SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

HÀ NỘI

NĂM HỌC 2019 – 2020

Môn thi: MÔN TOÁN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Ngày thi 02 tháng 6 năm 2019

Thời gian làm bài: 120 phút.

( 2,0 điểm )

Bài I.

 4 x 1

Cho hai biểu thức

và

với

.

     x 0; x 25 B : A      15 x x 25

 25

x 2  x 5 x x 1 5    

1) Tìm giá trị của biểu thức A khi 2) Rút gọn biểu thức B . 3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức

    x  . 9

.P A B đạt giá trị nguyên lớn nhât.

Bài II. (2,5 điểm). 1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :

Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 15 ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành được 25% công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì bao nhiêu ngày mới hoàn thành xong công việc trên?

2) Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1 75, m và diện tích đáy là

2 0 32, m . Hỏi

bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước ? (Bỏ qua bề dày của bồn nước).

Bài III. (2,0 điểm)

4

27 x

1) Giải phương trình:

2

2

  x  18 0.

và parabol

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng

a) Chứng minh ( )d luôn cắt (

  d ( ) : y 2  mx m 1 ( P y ) :  x

b) Tìm tất cả giá trị của m để ( )d cắt (

)P tại hai điểm phân biệt

)P tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 ,x x 2

thỏa mãn

.

   1 1 x 1 1 x 2  2 x x 1 2

Bài IV. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (

O . Hai đường cao BE và

AB AC ) nội tiếp đường tròn 

1) Chứng minh bốn điểm B , C , E , F cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF .

3) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC . Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm I ,

đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P . Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP .

CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H .

Bài V. ( 0,5 điểm)

4

4

2

2

Cho biểu thức

với

giá trị nhỏ nhất của P .

     . Tìm giá trị lớn nhất,  P a b ab a b ab 3 ,a b là các số thực thỏa mãn

---HẾT---

HƯỚNG DẪN GIẢI

( 2,0 điểm )

Bài I.

 4 x 1

Cho hai biểu thức

và

với

.

     A x 0; x 25 B :     

 25

x 15 x x 25 2  x 5 x x 1 5    

    x  . 9

1) Tìm giá trị của biểu thức A khi 2) Rút gọn biểu thức B . 3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức

.P A B đạt giá trị nguyên lớn nhât.

Lời giải

1) Với

9x

 4 x 1 4  9 1 

.

Thay vào A ta có :

    A 1 

 25

x

  25 9

  4. 3 1 16

2) Rút gọn biểu thức B .

Với

,

, ta có

.

  0x 25x B :     15 x x 25 2  x 5 x x 1 5        

.

15 x   B :   x x 1 5   x 5 x 5  

 2   x 5     

  x x 

.

x 1  : B  x 5   x 5 5 x 5  15 

.

  x x  : B   x x 1 5   x 5 5 x 10  15 

.

5   B   x x 5 1   x 5 x 5

 2   2   x 

.

 B 1  x 1

3) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để biểu thức

.P A B đạt giá giá trị nguyên lớn nhất.

 4 x 1

.

Ta có

    P A B .  1  x

 25

x x 1

.

   

 x hay

Để P nhận giá trị nguyên khi x Z thì

  4

Khi đó, ta có bảng giá trị sau:

  25 x U  4; 2; 1;1; 2; 4 4  25  4 25  

25  x 4 2 1 1 2 4

x 29 27 26 23 24 21

Đánh giá

Thỏa mãn

Thỏa mãn

Thỏa mãn

Thỏa mãn

Thỏa mãn

Thỏa mãn

.P A B 1 2 4 4 2 1

Do P đạt giá trị nguyên lớn nhất nên ta có

. Khi đó giá trị cần tìm của x là

.

4P 24x

NHÓM TOÁN THCS HÀ NỘI

https://www.facebook.com/groups/650500558651229/

(2,5 điểm).

Bài II.

1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :

Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 15 ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành được 25% công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì bao nhiêu ngày mới hoàn thành xong công việc trên.

2) Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1 75, m và diện tích đáy là

2 0 32, m . Hỏi

bồn nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước ? (Bỏ qua bề dày của bồn nước).

Lời giải

1) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình : - Gọi thời gian để đội thứ nhất và đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc lần

x

15

, y

15

, đơn vị (ngày).

lượt là x và y 

Một ngày đội thứ nhất làm được

(công việc).

1 x

Một ngày đội thứ hai làm được

(công việc).

1 y

- Vì hai đội cùng làm trong 15 ngày thì hoàn thành xong công việc. Như vậy trong một ngày cả hai

đội làm được

(công việc). Suy ra, ta có phương trình :

(1).

1 x

1 y

1 15

1 15

- Ba ngày đội đội thứ nhất làm được

(công việc).

3 x

- Năm ngày đội thứ hai làm được

(công việc).

5 y

- Vì đội thứ nhất làm trong 3 ngày rồi dừng lại đội thứ hai làm tiếp trong 5 ngày thì cả hai đội

25

% 

hoàn thành xong

(công việc). Suy ra, ta có phương trình :

(2).

3 x

5 y

1 4

1 4

24

.

- Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :

(TMĐK).

40

 x   y

1 24 1 40

1 x 3 x

1 y 5 y

1 15 1 4

 1   x  1    y

      

- Vậy thời gian để đội thứ nhất làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là 24 (ngày) và thời

gian để đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là 40 (ngày).

2) Số mét khối nước đựng được của bồn chính là thể tích của bồn chứa. Như vậy số mét khối đựng

V

0 32 1 75 0 56

. ,

,

,

được của bồn sẽ là :

3 m .

Bài III. (2,0 điểm)

4

27 x

1) Giải phương trình:

2

2

  x  18 0.

và parabol

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng

a) Chứng minh ( )d luôn cắt (

  d ( ) : y 2  mx m 1 ( P y ) :  x

b) Tìm tất cả giá trị của m để ( )d cắt (

)P tại hai điểm phân biệt

)P tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 ,x x 2

thỏa mãn

   1 1 x 1 1 x 2  2 x x 1 2

Lời giải

4

1) Giải phương trình:

27 x

   18 0 1

2

 x

  0 *

 x t

2 7 t

 Cách 1 :   Đặt t *Phương trình  1 trở thành :

   18 0 2

2

2

 t

Ta có :

   

 Suy ra :Phương trình  2 có hai nghiệm phân biệt là:

       121 11 4.1. 18 7 11

và

 9 /

2

2

     t m t 2 ktm t 1  7 11 2

Thay

    x 9 x 3 9  7 11 2 t  vào  * ta có :

4

x   3

  18 0 x

Vậy nghiệm của phương trình là :  Cách 2 :  Ta có :

2

2

4

2

2

2

x x 2

2

2

    2 0 9 x  18 0 

27 x  9  x

2

    9 2 0

2

x  v li x  2     2 0 ô

2

  9 0 x

  x  x    x       x 9    x 3

Vậy nghiệm của phương trình là :

2

2

x   3

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng

và parabol

2

2

  d ( ) : y 2  mx m 1 ( P y ) :  x

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm

  1 1

Để ( )d luôn cắt (

  x 2  mx m

)P tại hai điểm phân biệt thì phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt với m

Ta có :

'

'  

a

2

2

2

'  

   m 0   

2  m m

Xét

Vậy ( )d luôn cắt (

 m m     1 1 0, m   1 0 2  b 

b) Tìm tất cả giá trị của m để ( )d cắt (

ac    1 )P tại hai điểm phân biệt

2

,x x thỏa mãn )P tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1

 1 2

2

   1 x 1 1 x 2  2 x x 1 2

Ta có

       1 0 m m 0 1 x x 1 2

Hai nghiệm của phương trình :

   x m 1  x m 1

Biến đổi biểu thức  2 ta có :

21;  2 x x 1 2

 x 2 x x 1 2      1    2   x 1 x 2 x x 1 2 1 x 1 1 x 2 x 1 x x 1 2   2 x x 1 2

Thay 1

21;

vào biểu thức 1 x

2

    x m    2 x 2 x x ta có : 1 2

   1

     m -1 m -1 1 -2 m m m -1- 2 2 m  x m  1 

2 2



        m m 3 0 m 3 m 1 0

Kết Luận : Với

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 m   m 3 0  3     m 1 L m 1 0   

   3m

Bài IV. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (

O . Hai đường cao BE và

AB AC ) nội tiếp đường tròn 

1) Chứng minh bốn điểm B , C , E , F cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng EF .

3) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC . Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm I ,

đường thẳng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P . Chứng minh tam giác APE đồng dạng với tam giác AIB và đường thẳng KH song song với đường thẳng IP .

CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H .

Lời giải

1) Chứng minh bốn điểm B , C , E , F cùng thuộc một đường tròn.

Xét tứ giác BCEF ta có :

( BE là đường cao)

 90  BEC

( CF là đường cao)

 90  BFC

 BCEF là tứ giác nội tiếp (đỉnh E , F cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông).

2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng

.EF

Vẽ tiếp tuyến Ax như hình vẽ  

 BAF ACB (tính chất giữa đường tiếp tuyến và dây cung).

Do tứ giác BCEF nội tiếp  .  AFE ACB

Ta suy ra   //  BAF AFE

 EF Ax (do hai góc so le trong)

Ax OA OA EF (đpcm).

Lại có 3) Chứng minh 

   ∽  APE ABI

Ta có :  AEB ABI

( Vì     180  AEB EFC ABI EFC

 )

)

 (vì AI

Mặt khác   90

 APE PAI

  90  AIB PAI

)  APE AIB 

 ( Vì AH BC

( g-g).

Vậy APE

PE

* Chứng minh

//KH PI

Gọi M là giao điểm của AO và EF , dung đường kính AS

Ta có

BE CS cùng vuông góc AC

/ /

/ /BS CF cùng vuông góc AB

,

là hình bình hành nên

,H K S thẳng hàng

BHCS

Ta có

và

 AE AC AH AD

.

.

 AE AC AM AS

.

.

ABI∽

Nội tiếp đường tròn

HMSD

.

Kết hợp PMID nội tiếp đường tròn    PIM PDM HSM

//HS PI

      AH AD AM AS . . AHM ASD     ASD AHM  AH AM  AD AS

Bài V. ( 0,5 điểm)

4

4

2

2

Cho biểu thức

với

giá trị nhỏ nhất của P .

     . Tìm giá trị lớn nhất,  P a b ab a b ab 3 ,a b là các số thực thỏa mãn

Lời giải

2

2

2

Ta có 2 a

thay vào P ta được.

4

4

2

2

     b ab a 3 b   3 ab

2 2 a b

2 2  ab a b

2 2 a b

2 2 a b 2

2

              3 ab 2 ab 9 6 2 ab  P a b ab a b ab

2

2

2 2 9 7ab a b

.

2

2

2

2

2

             ab ab 2. ab . 9 7 2 85 4 7 2 49 4 49 4            

Vì

, mà 

2

2

2

    a b   3 ab  a b 0 a b     ab 2 3 ab ab 2 3      .  1 ab

Và 

2

       a b 0 a b ab 2 3 ab ab 2 1    .  2 ab

Từ

và

suy

ra

 1

 2

2

2

2

  3 ab      3 1 ab      1 ab 7 2 7 2 7 2 1 2 7   2 9 2

2

               ab ab ab 1   4 7 2 81 4 81 4 7 2 1 4 81 85  4 4 7 2 85 4 1    4 85 4                  

      1 ab 21 7 2 85 4      

Vậy Max

. Dấu = xảy ra khi

.

    a 3 b 3 21P v ab 2 3 2   a b 6        3 a 3      b      

. Dấu = xảy ra khi

hoặc

.

   1 a 1 Min 1P ab 2 1 2     1 1 a b 2  a    b   b    