88 Tôn Thất Tú, Lê Văn Dũng, Lê Thị Thúy Quỳnh
VỀ ĐỊNH LÍ GIỚI HẠN TRUNG TÂM THEO TRUNG BÌNH
ĐỐI VỚI DÃY HIỆU MARTINGALE
ON THE MEAN CENTRAL LIMIT THEOREM FOR MARTINGALE DIFFERENCE SEQUENCES
Tôn Thất Tú1, Lê Văn Dũng1, Lê Thị Thúy Quỳnh2
1Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng; Email: tthattu@gmail.com
2Học viên Cao học K27-TSC, Đại học Đà Nẵng; Email: quynhle90dn@gmail.com
Tóm tắt - Trong lớp các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất thì
Định lý giới hạn trung tâm đóng vai trò rất quan trọng trong việc
nghiên cứu các bài toán thống kê và các ứng dụng. Tuy nhiên bài
toán thống kê nói chung không cho phép chúng ta nhiên cứu với
kích thước mẫu lớn vô hạn, chính vì vậy bài toán “xấp xỉ phân phối
chuẩn” sẽ cho phép chúng ta ước lượng được kích thước mẫu cần
thiết để chúng ta có thể áp dụng được Định lí giới hạn trung tâm.
Trong đó, chuẩn L và L1 thường được sử dụng trong bài toán
“xấp xỉ phân phối chuẩn”. Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập một
số kết quả về xấp xỉ phân phối chuẩn theo chuẩn L1 đối với dãy
biến ngẫu nhiên hiệu martingale cùng phân phối xác suất.
Abstract - Among the limit theorems of the probability theory, the
central limit theorem plays an important role in the research of
statistical problems and its applications. However, it is almost
impossible for us to study statistical problems with infinite sample
sizes. Therfore, the problem of “normal approximation” is to enable
us to estimate the sample size needed so that the central limit
theorem can be applied. In this case, the L norm and the L1 norm
are usually employed in the problem of “normal approximation”. In
this paper, we establish some results of normal approximation in L1
for the sequences of identical distributed martingale difference
random variables.
Từ khóa - xấp xỉ phân phối chuẩn; biến ngẫu nhiên; hiệu
martingale; bất đẳng thức Berry-Esssen; định lí giới hạn trung tâm.
Key words - normal approximation; random variables; martingale
difference; Berry-Essen inequality; central limit theorem.
1. Đặt vấn đề
Cho
*
( ; )N
n
Xn
là dãy biến ngẫu nhiên có kì vọng
0
và phương sai
2
hữu hạn. Đặt
12
...
nn
S X X X= + + +
. Kí
hiệu
()
n
Fx
và
()x
lần lượt là hàm phân phối xác suất của
biến ngẫu nhiên
/
n
Sn
và biến ngẫu nhiên chuẩn tắc.
Định lí giới hạn trung tâm cổ điển nói rằng: nếu
*
( ; )N
n
Xn
là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân
phối xác suất thì
()
n
Fx
hội tụ đến
()x
khi
n→
với mọi
Rx
. Vào năm 1954, Agnew [1] chỉ ra rằng
()
n
Fx
hội tụ
đến
()x
trong
p
L
khi
n→
với
1/ 2p
. Trong trường
hợp
1p=
hội tụ đó được gọi là định lí giới hạn trung tâm
theo trung bình. Tốc độ hội tụ của định lí giới hạn trung
tâm theo trung bình được Esseen [5] chỉ ra rằng:
1/2
1kh .i ()
n
F O n n
−
− = → ‖‖
Dãy biến ngẫu nhiên
*
( ; )N
n
Xn
xác định trên không
gian xác suất
( ; ; )P
được gọi là hiệu martingale nếu thỏa
mãn hai điều kiện:
i.
(| |)
n
EX
với mọi
;n
ii.
( / ) 0
1
EX
nn
=
−
, trong đó
0{ , }, =
1
(,
jX
=
1
..., ), 1.
j
Xj
−
Cho
*
( ; )N
n
Xn
là dãy các biến ngẫu nhiên cùng phân
phối xác suất và là hiệu martingale bình phương khả tích.
Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu tốc độ hội tụ của
hàm phân phối
( ) ( / )
n n
F x P S n x
=
về hàm
()x
theo
chuẩn
1
L
, trong đó
22
()
n
EX
=
. Nhắc lại rằng chuẩn
1
L
của
hai hàm
()fx
và
()gx
khả tích trên
R
xác định bởi:
1
|| || | ( ) ( )| .f g f t g t dt
−
− = −
Còn chuẩn
L
của hai hàm
()fx
và
()gx
xác định bởi:
|| || sup | ( ) ( ) |.
Rt
f g f t g t
− = −
Tích chập của hai hàm
()fx
và
()gx
khả tích trên
R
xác
định bởi:
* ( ) ( ) ( ) .f g x f x y g y dy
+
−
=−
2. Kết quả nghiên cứu
Để chứng minh kết quả chính ta cần bổ đề sau.
2.1. Bổ đề [3]
Cho
X
and
là hai biến ngẫu nhiên. Với mọi
1/ 2p
ta có:
2 1/2
11
2(2 1) ( | ) .
pp
XX
F F p E X
+
− − + +‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
Để thuận tiện cho việc trình bày chứng minh, ở đây ta
sử dụng hằng số C tổng quát có thể nhận các giá trị khác
nhau tùy thuộc vào biến đổi.
Ta có định lí sau.
2.2. Định lí
Nếu
3
1
(| | )EX
và
22
1
( / )
nn
EX
−
=
(h.c.c.) thì tồn
tại hằng số
(0; )C
sao cho:
13
3
1|)(| 1
|| || .
nXE
FC
nn
− +
Chứng minh. Lấy
12
, ,..., n
Z Z Z
và
là các biến ngẫu
nhiên độc lập với nhau và độc lập với mọi biến ngẫu nhiên
n
X
sao cho chúng có cùng phân phối chuẩn với kì vọng 0
và phương sai
2
( ) ( )
j
Var Z Var
==
.
Đặt:
21
11
1
11
, ( 1) / ( ... ),
( ), 1, .
,
... , ...
nm
mm
m n
m
Z
s n n m n U s X X
W s mZZ nZZ
−−
−+
= + + +
= = − + = + +
==+ +
Áp dụng Bổ đề 2.1 ta có:
2 1/2
1 ( )/ 1 2
2 1/2
( )/ ( )/ 1
( )/ ( )/ 1
1()
1
( )
.( 2.1) /
n
n
n
n S s
S s Z s
S s Z s
F F C E
s
F F C E
s
F F C n
+
+ +
++
− − +
− +
− +
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖ ‖ ‖
‖‖
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 9(82).2014 89
Tiếp theo ta xét
( )/ ( )/ 1 .
n
S s Z s
FF
++
−‖‖
Áp dụng công
thức Lindeberg [6] ta có:
( )
1
(( ) / ) (( ) / )
( / ) ( / ) .
n
n
m m m m m m
m
P S s t P Z s t
P U W X s t P U W Z s t
=
+ − +
= + + − + +
Vì
m
W
có phân phối chuẩn với kì vọng 0 và phương sai
2
m
. Hơn nữa
m
U
,
m
W
và
m
Z
độc lập nên tổng trên có thể viết
thành:
.n→
1
22
'
2
12
m m m m
m m m
m
nm m m m
m
nm m m m m m
m
t U X t U
EE
Z X t U Z X t U
Ess
Z
ss
=
=
− −
− − −
− − − −
=−
'
3
33
'
1
nm m m
m
m
m
mm
Z t U X
s
Es
=
−
+−
'' '
1
3
33
nm m m
m
mmm
m
X
s
t U X
Es
=
−
−−
Trong đó:
-
'
0 , 1
mm
.
-
()x
là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên có
phân phối chuẩn tắc.
Do
m
U
là
1m−
đo được và giả thiết
22
1
( / )
nn
EX
−
=
(h.c.c.) nên tổng thứ nhất bằng 0. Vì vậy:
(( ) / ) (( ) / )
n
P S s t P Z s t
+ − +
3
33
3
3
'
3
'
1
'' '
1
mm
m
mm
nm m m
m
m
nmm
mm
mm
s
X
Z t U X
Es
t U X
Ess
=
=
−
−
−
+−
Lấy tích phân 2 vế và áp dụng Định lí Fubini ta được
| ( ) ( ) |
n
SZ
P t P t dt
ss
−
++
−
3
33
1
3
33
1
||
| ( ) |
||
| ( ) |
nm m m
m
mm
m
m
nm m m
m
mm
m
m
X t U X
E dt
s
s
Z t U Z
E dt
s
s
−
=
−
=
−
−
−
+−
3
33
1
3
33
1
||
| ( ) |
||
| ( ) |
nm m m
m
mm
m
m
nm m m
m
mm
m
m
X t U X
E dt
s
s
Z t U Z
E dt
s
s
−
=
−
=
−
−
−
+−
Chú ý rằng
1
m
và:
22
| ''( ) | | ( 1) ( )| ( 1) ( ) 2x dx x x dx x x dx
+ + +
− − −
= − + =
Nên ta được:
33
3 3 3 3
11 3
3
33 3
1
| ( ) ( ) |
| | | |
22
(| | )
(| | ) , (2. )
12
n
nn
mm
mm
mm
nm
m
m
m
SZ
P t P t dt
ss
ZX
EE
ss
C C E X
CE X C
s
n n n
−
==
=
++
−
+
+ +
Kết hợp (2.1) và (2.2), định lí hoàn toàn được chứng minh.
2.3. Hệ quả
Cho
0.
Nếu
3
1
(| | )EX
và
22
1
( / )
nn
EX
−
=
(h.c.c.) thì tồn tại hằng số
( , ) (0; )CC
=
sao cho
1
|| || .
nC
Fn
−
Chứng minh. Suy trực tiếp từ Định lí 2.2.
2.4. Hệ quả
Nếu
3
1
(| | )EX
và
22
1
( / )
nn
EX
−
=
(h.c.c.) thì
( ) ( )
nxxF→
trong
1
L
khi
.n→
Chứng minh. Suy trực tiếp từ Định lí 2.2.
2.5. Hệ quả
Nếu
3
1
(| | )EX
và
22
1
( / )
nn
EX
−
=
(h.c.c.) thì
( ) ( )
nxxF→
trong
L
khi
.n→
Chứng minh. Áp dụng Hệ quả 2.4 và bất đẳng thức
([2], tr 48):
1/4 1
2
(2 ) nn FF
− −
Ta được
( ) ( )
nxxF→
trong
L
khi
.n→
Chú ý rằng từ Hệ quả 2.5 ta có ngay Định lí giới hạn
trung tâm cổ điển sau.
2.6. Hệ quả
Nếu
*
( ; )N
n
Xn
là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, cùng
phân phối xác suất có kì vọng
và phương sai
2
hữu hạn
thì với mọi
,Rx
( ) ( )
n
Sn
P x x
n
− →
khi
.n→
Định lí tiếp theo chúng tôi thiết lập tốc độ hội tụ của
dãy biến ngẫu nhiên bị chặn đều.
2.7. Định lí
Cho
0.
Nếu
0 sup || ||
nn
X
và
22
1
( / )
nn
E X Y
−
=
(h.c.c.) với
Y
là một biến ngẫu nhiên không âm thì tồn tại
hằng số
( , , ) (0; )CC
=
sao cho:
1
|| || .
nC
Fn
−
Chứng minh. Lấy
12
, ,..., n
Z Z Z
là các biến ngẫu nhiên
độc lập có phân phối chuẩn tắc và độc lập với mọi
n
X
,
là
biến ngẫu nhiên độc lập với mọi
n
X
và
,
n
Z
có phân phối
chuẩn với kì vọng 0 và phương sai
2
()Var
=
.
Đặt:
2 2 2 2 1 11
1
11
, (( ) ) / ( ... ),
(( )
,
( ... ,1) / . . ,, . ) .
nm
m m m
m n
s n n m Y n U s X X
WsZ Z Z Y s Z Z Y mn
−−
−+
=
= = − + = + +
+++=+ = +
Trên
-đại số
1
( , )
nm
Z
+
,
m
W
có phân phối chuẩn với
kì vọng
0
và phương sai
2
m
,
Z
có phân phối chuẩn tắc.
Do đó áp dụng Bổ đề 2.1 ta có:
1 ( )/ ( )/ 1 /.
n
n S s Z s
F F F C n
++
− − +‖ ‖ ‖ ‖
Mặt khác, theo Định lí Kantorovich-Rubienstein ([4],
Định lí 11.8.2) ta có:
1
( )/ ( )/ 1 ( )/
sup | ( (( ) / )) ( ( )) |,
n
S s Z s n Z s
f
F F E f S s E f
+ + +
=− + −‖‖
Trong đó
1
là tập tất cả các hàm
1
-Lipschitzian từ
R
vào
R
.
90 Tôn Thất Tú, Lê Văn Dũng, Lê Thị Thúy Quỳnh
Bây giờ với
f
là một hàm
1
-Lipschitzian từ
R
vào
R
tùy ý, ta có:
( (( ) / )) ( (( ) / ))
n
E f S s E f Z s
+ − + =
1
1
1
{ ( ( / )) ( ( / ))}
{ ( * ( / )) ( * ( / )
{ ( ( / )) ( ( / )}
mm
n
m m m m m m
mn
m m m m
mn
m m m m m m
m
E f W U X s E f W U YZ s
E f U X s E f U YZ s
E g U X s E g U YZ s
=
=
=
= + + − + +
= + − +
= + − +
(*)
m
m
gf
=
( )
2 2 2
,, ,,
2
1
3
,,,
3
1
3,,,
3
1
( ) ( )
( / )
( / ) .
nm m m m
m m m m
m
nm
m m m m
m
nmm m m m
m
Y
YZ X Y Z X
E g U E g U
ss
YZ
E g U Z s
s
X
E g U X s
s
=
=
=
−−
=−
+−
−−
Trong đó
m
là hàm mật độ của phân phối chuẩn có kì
vọng 0 và độ lệch chuẩn
m
.
Vì
m
U
và
m
là
1m−
-đo được, trong đó
( , ),
m m Y
=
nên:
11
( | ) ( | ) 0
m m m m
E X E YZ
−−
= =
(h.c.c.) và
2 2 2 2
11
( | ) ( | )
mm mm
E Y Z E X Y
−−
= =
(h.c.c.).
Hơn nữa
,,, ,, 3
1
|| || || | || ||| m
mm
g f C
−
, nên ta có:
1
| ( (( ) / )) ( (( ) / )) |
n
nj
j
E f S s E f YZ s
=
+ − +
2 2 3/2 2 2 3
33
3 3 3 3
11
33
11
/2
3 1/2
3
/2
3
31
(( ) ) (( ) )
| | | |
.
nn
mm
mm
mm
nn
mm
X
n m Y n m Y
Y n Y n
YZ
EE
ss
EE
C
CE CE n
==
==
+
+
− + −
+
+
Định lí được chứng minh.
3. Nhận xét
Trong trường hợp dãy biến ngẫu nhiên
*
( ; )N
n
Xn
có
cùng phân phối xác suất ta thấy rằng Hệ quả 2.3 tốt hơn
Định lí 4 [3]. Sau đây là một ví dụ minh họa cho hệ quả
trên đồng thời cũng chỉ ra sự tồn tại dãy biến ngẫu nhiên
thỏa mãn các điều kiện của Định lí 2.2.
Ví dụ. Cho
*
( ; )N
n
Yn
là dãy biến ngẫu nhiên độc lập,
có cùng phân phối xác suất Bernoulli đối xứng, tức là:
( 1) ( 1) 1/ 2.
nn
P Y P Y= − = = =
Đặt
12
. ... ,
nn
X Y Y Y=
khi đó
*
( ; )N
n
Xn
cũng là dãy các
biến ngẫu nhiên cùng phân phối xác suất Bernoulli đối
xứng và hơn nữa là
*
( ; )N
n
Xn
hiệu martingale bình
phương khả tích có
22
1
( / ) 1
nn
EX
−
= =
.
Theo Định lí 4 [3] ta có:
1/4
1
| || ( kh i ) .
nnF O n−
− = →
Trong khi đó, theo Hệ quả 2.3 ta có:
1/2
1
| || ( kh i ) .
nnF O n−
− = →
4. Kết luận
Bài báo thiết lập phép xấp xỉ phân phối chuẩn của dãy
các biến ngẫu nhiên hiệu martingale cùng phân phối xác
suất theo chuẩn L1 thông qua hai định lý 2.2 và 2.7.
Trong trường hợp
3
1
(| | )EX
thì định lý giới hạn
trung tâm cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối
sẽ là hệ quả của định lý 2.2.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] R. P. Agnew, Global versions of the central limit theorem, Proc. Nat.
Acad. Sci. U.S.A., 1(2), 800–804, 1954.
[2] Louis H.Y. Chen, Larry Goldstein, Qi-Man Shao, Normal
approximation by Stein’s method, Springer, 2011.
[3] Le Van Dung, Ta Cong Son and Nguyen Duy Tien, L1-bounds for
some martingale central limit theorems, Lith. Math. J., 54(1):48–60,
2014.
[4] R.M. Dudley, Real Analysis and Probability, Cambridge Univ.
Press, Cambridge, 2004.
[5] C.G. Esseen, On mean central limit theorems, Kungl. Tekn. Högsk.
Handl. Stockholm, 121(3), 1–30, 1958.
[6] J.W. Lindeberg, Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in
der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Zeitschrift,
15(1):211–225, 1922.
(BBT nhận bài: 12/06/2014, phản biện xong: 01/07/2014)
![Quyển ghi Xác suất và Thống kê [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20251030/anh26012006/135x160/68811762164229.jpg)
