Định lí minimax cho hàm đa trị

Chia sẻ: DanhVi DanhVi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết chứng minh các điều kiện đủ cho sự tồn tại đẳng thức minimax và điểm yên ngựa. Các kết quả được thiết lập cho các hàm đa trị vô hướng xác định trên nửa dàn tôpô. Để nắm nội dung mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Định lí minimax cho hàm đa trị

Số 6(84) năm 2016 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _____________________________________________________________________________________________________________ VÀI ĐỊNH LÍ MINIMAX CHO HÀM ĐA TRỊ VÕ VIẾT TRÍ*, NGUYỄN XUÂN HẢI**, NGUYỄN HỒNG QUÂN** TÓM TẮT Chúng tôi chứng minh vài điều kiện đủ cho sự tồn tại đẳng thức minimax và điểm yên ngựa. Các kết quả được thiết lập cho các hàm đa trị vô hướng xác định trên nửa dàn tôpô. Từ khóa: định lí minimax, điểm yên ngựa, nửa dàn , ánh xạ  -KKM. ABSTRACT Some minimax theorems for set-valued maps We prove several sufficient conditions for the existence of minimax equalities and saddle points. Results are established for set-valued maps defined on topological semilattices. Keywords: minimax theorem, Saddle point, Semilattice, 1. -KKM mapping. Giới thiệu và tổng quan Gọi X là một tập không rỗng và F : X  X  2 R là một hàm đa trị vô hướng. Ta nói một đẳng thức minimax thỏa cho F nếu inf  sup  F ( x, y) = y X x X sup  inf x X  F ( x, y ) . (1) y X Trong trường hợp X là một không gian tôpô compact và F là hàm liên tục thì các tập và  F ( x, y ) là các tập compact, do đó max  F ( x, y ) và min  F ( x, y ) tồn tại. y X y X x X Hơn nữa các ánh xạ đơn trị y  max  F ( x, y ) và x  min  F ( x, y ) là liên tục. Bởi x X y X vậy, trong trường hợp này nếu đẳng thức minimax thỏa cho F thì nó được viết dưới dạng min  max  F ( x, y ) = max  min  F ( x, y ) . y X x X x X y X Một điểm ( x, y )  X  X được gọi là điểm yên ngựa của F nếu max  F ( x, y) = F ( x, y ) = min  F ( x, y ) . x X * ** y X TS, Trường Đại học Thủ Dầu Một; Email: trivv@tdmu.edu.vn TS, Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông ( Cơ sở TP Hồ Chí Minh) 96 (2) Võ Viết Trí và tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _____________________________________________________________________________________________________________ Nếu F có điểm yên ngựa thì đẳng thức minimax luôn thỏa cho F, và (1) được viết ở dạng inf  max  F ( x, y) = y X x X sup  min  F ( x, y ) . x X (3) y X Một điều kiện để có đẳng thức kiểu (1) được thiết lập lần đầu trong [2], trong khi các điều kiện đủ để có đẳng thức dạng (2) đã được đưa ra gần đây bởi các tác giả ([38]). Bài báo này thiết lập vài kết quả mới cho sự tồn tại điểm yên ngựa và đẳng thức minimax (1) được thỏa. Ta nhắc lại vài khái niệm cần thiết về sau. Gọi X, Y là các không gian tôpô và G : X  2Y là một hàm đa trị. G được gọi là nửa liên tục dưới (lsc) tại x0 nếu mỗi tập mở U  Y thỏa G( x0 ) U   , tồn tại một lân cận mở V của x0 sao cho: x  V , G( x0 )  U   . G gọi là nửa lên tục trên (usc) tại x0 nếu với mỗi tập mở U  G ( x0 ) , tồn tại một lân cận mở V của x0 sao cho U  G (V ) . G gọi là liên tục tại x0 nếu và chỉ nếu nó vừa usc vừa lsc tại x0 . Ta nói rằng G là lsc (usc, liên tục) nếu nó là lsc (usc, liên tục) tại mọi điểm của X. Từ đây trở đi, với tập không rỗng X, ta luôn kí hiệu  X  là lớp tất cả các tập con hữu hạn của X. Tập sắp thứ tự bộ phận ( X , ) được gọi là nửa dàn trên (gọi tắt là nửa dàn) nếu mỗi cặp phần tử bất kì ( x, y ) đều có cận trên đúng sup x, y. ( X , ) gọi là nửa dàn tôpô nếu X là một không gian tôpô và ánh xạ ( x, y)  sup x, y liên tục. Nếu x1, x2  X sao cho x1  x2 thì tập [ x1 , x2 ]   y  X : x1  y  x2  được gọi là một khoảng thứ tự (hoặc cho gọn là khoảng). Với một tập con hữu hạn N   X  , tập hợp conv N  [ x, sup N ] được gọi là một bao lồi của N . Tập con C  X được gọi là một x N tập   lồi nếu với mọi N  C  , conv N  C . Gọi ( X 1 , 1 ) và ( X 2 , 2 ) là hai nửa dàn tôpô. Trên X 1  X 2 ta trang bị tôpô tích và đưa vào X1  X 2 quan hệ thứ tự bộ phận như sau: với ( x1 , x2 )  X1  X 2 và ( y1 , y2 )  X 1  X 2 ta xác định ( x1, x2 )  ( y1, y2 ) nếu và chỉ nếu x1 1 y1 và x2  2 y2 . Khi đó ( X1  X 2 , ) là nửa dàn tôpô với sup ( x1 , x2 ), ( y1, y2 )  (supx1 , y1, supx2 , y2 ) . Ta gọi nửa dàn này là nửa dàn tích. Với X là một nửa dàn tôpô, D  X và G : X  2 X là một ánh xạ đa trị, G được gọi là một ánh xạ   KKM nếu với mọi tập con hữu hạn N   D , ta có conv N   G (x). x N Định lí sau đây sẽ được dùng để chứng minh các kết quả chính của bài báo. Định lí này được thiết lập trong [1]. 97 Số 6(84) năm 2016 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _____________________________________________________________________________________________________________ Định lí 1.1. Giả sử X là nửa dàn tôpô có các khoảng liên thông đường và G : X  2 X là ánh xạ đa trị thỏa các điều kiện sau (i) G có các ảnh đóng; (ii) G là ánh xạ   KKM; (iii) tồn tại N 0   X  và một tập con compact K của X sao cho  G ( x)  K . x X  Khi đó G (x)   . x X 2. Các định lí minimax Định lí 2.1. Giả sử X là nửa dàn tôpô có các khoảng liên thông đường,   R và F : X  X  2 R là một hàm đa trị thỏa các điều kiện sau a) với mỗi N   X  và y  conv N , min sup F ( x, y )   ; x N b) với mỗi x  X , tập  y  X : sup F ( x, y)    là đóng; c) tồn tại N 0   X  và một tập con compact K của X sao cho y  X \ K , max sup F ( x, y)   . xN 0 Khi đó tồn tại y  X sao cho sup  F ( x, y )   . Do đó, nếu với bất kì x X   F : sup  inf xX sup  inf x X  F ( x, y) , các điều kiện a)-c) được thỏa thì inf  sup  F ( x, y) = yX y X x X  F ( x, y) . y X Chứng minh. Định nghĩa hàm đa trị G : X  2 X , được xác định bởi G( x)   y  X : sup F ( x, y )    cho mọi x  X . Bởi giả thiết b), G có các ảnh đóng, nghĩa là điều kiện (i) của Định lí 1.1 được thỏa. Giả thiết c) có nghĩa rằng với mọi y  X \ K , tồn tại x  N sao cho sup F ( x, y )   . Điều này kéo theo rằng nếu với y nào đó thỏa sup F ( x, y )   cho mọi x  N , thì y phải thuộc K. Do đó  G( x)  y  X : sup F ( x, y)     K . xN 0 x N 0 Vậy điều kiện (iii) của Định lí 1.1 thỏa cho G . Ta chứng minh G là một ánh xạ   KKM. Lấy bất kì tập con hữu hạn N   X  và bất kì y  conv N . Giả thiết a) kéo theo sự tồn tại x  N sao cho nghĩa là sup F ( x, y )   , y   y' X : sup F ( x, y ' )     G( x). Do đó conv N   x N điều kiện của Định lí 1.1. Theo Định lí 1.1 ta có 98 G (x). Vậy, G thỏa tất cả các Võ Viết Trí và tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _____________________________________________________________________________________________________________  y  X : sup F ( x, y )     . G ( x)  x X x X Suy ra tồn tại y  X sao cho: sup F ( x, y )   với mọi x  X . Do đó sup  F ( x, y )  supsup F ( x, y ), x  X    . x X Chú ý rằng bất đẳng thức sau luôn thỏa F   inf  sup  F ( x, y) y X  sup  inf x X x X  F ( x, y)  F .  y X Do đó, nếu với bất kì   F , các điều kiện a)-c) được thỏa thì inf  sup  F ( x, y) y X  sup  F ( x, y )   . x X x X Cho   F ta có inf  sup  F ( x, y) y X x X  sup  inf x X Các bất thức trên kéo theo inf  F ( x, y ) . y X  sup  F ( x, y) y X x X = sup  inf x X  F ( x, y) . Chứng y X minh hoàn thành. Gọi X là nửa dàn tôpô và F : X  X  2 R là một hàm đa trị. Ta nói F là   tựa lõm nếu với mọi y  X , N   X  và x  conv N , tồn tại x' N sao cho F ( x' , y)  F ( x, y)  R . Sau đây là vài điều kiện đủ để các giả thiết của Định lí 2.1 được thỏa. Mệnh đề 2.1. Nếu với mỗi x  X , F ( x ,  ) là lsc thì giả thiết b) của Định lí 2.1 được thỏa. 1) Giả thiết a) của Định lí 2.1 được thỏa nếu với mỗi y  X , sup F ( y, y)   và tập U y :=  x  X : sup F ( x, y )    là   lồi. Trong trường hợp F là   tựa lõm thì U y là   lồi. Chứng minh. 1) Lấy bất kì lưới y  trong Vx   y  X : sup F ( x, y)    hội tụ đến y0 . Ta phải chứng tỏ rằng sup F ( x, y0 )   . Với bất kì   0 , tồn tại t0  F ( x, y0 ) sao cho sup F ( x, y0 )  t0   . Khi F ( x ,  ) là lsc, tồn tại lưới t  sao cho t  F ( x, y ) và t  t0 . Ta có t  sup F ( x, y )   cho mọi  . Vì (  ,  ] là đóng, ta có t0   . Khi đó sup F ( x, y0 )  t0       . Vì  là tùy ý, ta có sup F ( x, y0 )   . 2) Giả sử trái lại, a) của Định lí 2.1 không thỏa. Thế thì tồn tại N   X  và y  conv N sao cho sup F ( x, y )   với mọi x  N . Suy ra N  U y . Vì U y là   lồi, 99 Số 6(84) năm 2016 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _____________________________________________________________________________________________________________ ta có y  conv  N  U y , nghĩa là sup F ( y , y )   . Điều này mâu thuẫn với giả thiết sup F ( y , y )   . Trong trường hợp của hàm đơn trị, ta có hệ quả sau. Hệ quả 2.1. Giả sử X là nửa dàn tôpô có các khoảng liên thông đường,   R và f : X  X  R là một hàm (đơn trị ) thỏa các điều kiện sau a) với mỗi N   X  và y  conv N , tồn tại x  N với f ( x, y )   ; b) với mỗi x  X , tập  y  X : f ( x, y)    là đóng; c) tồn tại N 0   X  và một tập con compact K của X sao cho y  X \ K , tồn tại x  N 0 sao cho f ( x, y )   . Khi đó y  X sao cho f ( x, y )   với mọi x  X . Hệ quả là, nếu với bất kì   sup inf f ( x, y) , các điều kiện a)-c) được thỏa thì inf sup f ( x, y ) = sup inf f ( x, y ) . x X y  X y X x X x X y  X Tiếp theo ta chứng minh một kết quả cho sự tồn tại điểm yên ngựa. Định lí 2.2. Giả sử X là nửa dàn tôpô có các khoảng liên thông đường và F : X  X  2 R là một hàm đa trị thỏa các điều kiện sau a) với mỗi X  X sup F ( a, y )  inf F ( x , b) ; và ( x, y)  conv  , tồn tại ( a, b)   với b) với bất kì ( a, b)  X  X , tập ( x, y)  X  X : sup F (a, y)  inf F ( x, b)  là đóng; c) tồn tại 0   X  X  và một tập con compact K của X  X sao cho ( x, y )  X  X \ K , tồn tại (a, b)  0 với sup F ( a, y )  inf F ( x, b ) . Khi đó F có điểm yên ngựa, và do đó ta có inf  max  F ( x, y) y X = x X sup  min  F ( x, y ) . x X y X Chứng minh. Định nghĩa hàm đa trị G : X  X  2 X  X , được xác định bởi G(a, b)   ( x, y)  X  X : sup F (a, y)  inf F ( x, b)  cho mọi ( a, b )  X  X . Lấy bất kì    X  X  và ( x, y )  conv  , bởi giả thiết a) tồn tại ( a , b)   sao cho sup F ( a, y )  inf F ( x , b) . Điều này có nghĩa rằng ( x, y )   ( x' , y' )  X  X : sup F (a, y ' )  inf F ( x' , b)   G(a, b). Do đó conv   ( x' , y' )  X  X : sup F (a, y' )  inf F ( x' , b)    G(a, b). ( a , b ) Vậy G là ánh xạ   KKM. 100 ( a , b )