Động học các môi trường liên tục_chương 3

Chia sẻ: Nguyễn Thị Giỏi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

171
lượt xem 34
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trước hết ta phân biệt một số khái niệm sau đây: Đi"m là vị trí tọa độ trong một không gian nhất định. Ph#n t$ được dùng để chỉ một phần thể tích rất nhỏ của MTLT hay còn gọi là chất điểm (điểm vật chất). Bi%n d&ng là sự thay đổi hình dạng của môi trường liên tục giữa cấu hình ban đầu (chưa biến dạng) và cấu hình sau cùng (đã bị biến dạng). Nghiên cứu biến dạng người ta không cần để ý đến quá trình xảy ra giữa hai cấu hình này....

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Động học các môi trường liên tục_chương 3

Cơ học môi trường liên tục 43 GVC Trần Minh Thuận Chương 3: ĐỘNG HỌC CÁC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC Trước hết ta phân biệt một số khái niệm sau đây: Đi"m là vị trí tọa độ trong một không gian nhất định. Ph#n t$ được dùng để chỉ một phần thể tích rất nhỏ của MTLT hay còn gọi là chất điểm (điểm vật chất). Bi%n d&ng là sự thay đổi hình dạng của môi trường liên tục giữa cấu hình ban đầu (chưa biến dạng) và cấu hình sau cùng (đã bị biến dạng). Nghiên cứu biến dạng người ta không cần để ý đến quá trình xảy ra giữa hai cấu hình này. Chuy"n đ(ng là sự dịch chuyển liên tục của một môi trường liên tục trong không gian. Dòng chảy được dùng để chỉ trạng thái liên tục chuyển động và biến dạng của một môi trường liên tục. Khi nghiên cứu dòng chảy người ta khảo sát quá trình thay đổi của các cấu hình một cách liên tục, trong đó trường vận tốc theo thời gian được xác định cụ thể. I. Véc-tơ vị trí - véc-tơ chuyển vị: Xét trạng thái ban đầu chưa biến dạng tại t = 0 và trạng thái đã biến dạng tại thời gian t = t của môi trường vật chất liên tục trên cùng hình vẽ. Nếu gán cho trạng thái ban đầu và trạng thái sau cùng ở trong 2 hệ tọa độ riêng biệt ta có: X3 x3 P t=t Đối với trạng thái ban đầu 1 phần tử t=0 r của môi trường liên tục chiếm vị trí Po u r trong không gian , có véc-tơ vị trí trong x r Po hệ tọa độ (OX1 X2 X3) Descartes là: r ˆ e3 x2 r X ˆ ˆ ˆ ˆ X = X1 .I1 + X 2 .I 2 + X 3 .I 3 = X k .I k b ˆ I3 o ˆ e2 Đối với cấu hình đã biến dạng phần tử ˆ e1 ˆ ban đầu tại vị trí Po nay chiếm vị trí I1 O X2 ˆ I2 mới P trong không gian, có véc-tơ vị trí x1 trong hệ tọa độ (ox1x2x3) Descartes là: X1 Hình 3.1 → ∧ ∧ ∧ ∧ x = x1 . e1 + x 2 . e2 + x 3 . e3 = x i . ei Hệ tọa độ vật chất (O X1 X2 X3) và hệ tọa độ không gian (o x1 x2 x3) có liên hệ với nhau bởi ˆ ˆ ˆ ˆ cosin chỉ phương αkK và αKk được định nghĩa bởi: ek .I K = I K .ek = α kK = α Kk [3.1] mặt khác ˆ ˆ I .I = δ và ek e p = δ kp ˆ ˆ [3.2] K P KP suy ra α Kk .α Kp = α kK .α pK = δ kp và α Kp .α Mp = α pK .α pM = δ KM [3.3] r Vectơ u nối liền 2 điểm PO và P được gọi là vectơ chuyển vị: v r u = u .e hay U = U .I . ˆ ˆ [3.4] k k K K ˆ Vectơ cơ sở ek được biểu diển bởi vectơ cơ sở I K như sau: ˆ ∧ ∧ e = α .I [3.5] k kK K → ^ ^ → suy ra u = u ( a . I ) = U . I = U trong đó U = u .α [3.6] k kK K K K K k kK → → → → Mặt khác: u = b+ x− X [3.7]
Cơ học môi trường liên tục 44 GVC Trần Minh Thuận → Trong đó b là véc-tơ nối giữa 2 điểm o và O . Nếu 2 hệ thống tọa độ này trùng nhau thì → → → → b =0 và u = x− X [3.8] Viết theo thành phần Descartes ta có : (theo tọa độ (ox1x2x3) ) u k = x k − α kK . X K . [3.9] Hơn nữa nếu 2 hệ tọa độ trùng với nhau thì các trị số cosin chỉ phương akK trở thành δkK. Cuối cùng: uk = xk − X k . [3.10] II. Quan điểm Euler và quan điểm Lagrang: Theo quan điểm Lagrang : người quan sát sẽ di chuyển theo cùng với hệ thống các phần tử chuyển động của môi trường liên tục . Chuyển động này có thể được diễn tả bởi phương trình sau đây : x i = x i ( X1 , X 2 , X 3 , t ) = x i ( X , t ) hay: → → → x = x( X , t ) Trong đó xi là là vị trí của phần tử được tính ở thời điểm hiện tại t , dựa vào vị trí của phần tử X1,X2,X3 tại thời điểm t = 0 . Khi t biến thiên thì xi sẽ cho ta quỹ đạo của phần tử đó trong không gian. Theo quan điểm Euler: ngược lại người quan sát sẽ đứng tại vị tri cố định (x1 x2 x3 ) và theo dõi các phần tử di chuyển (hay biến dạng) đến vị trí đó tại thời điểm hiện tại . → → → → X i = X i ( x1 , x 2 , x 3 ,t ) = X i ( x ,t ) ⇒ X = X ( x ,t ) Điều kiện cần và đủ cho sự hiện hữu của hàm số ngược chính là Jacobian : ∂x i j= ≠0 [3.11] ∂X j Thí dụ: Cho một môi trường liên tục chuyển dịch theo mô tả của Lagrang như sau: x1 = X 1 + X 2 ( e t − 1 ) x 2 = X1 ( e t − 1 ) + X 2 x3 = X 3 Jacobian của hệ bằng 1 ≠ 0, do đó ta có được quy luật chuyển dịch theo tọa độ Euler là: x1 = X 1 + X 2 ( e t − 1 ) x 2 = X1 ( e t − 1 ) + X 2 x3 = X 3 Cho MTLT là 1 hình chữ nhật kích thước a×b (hình 3.2), nếu ta lấy 1 đoạn thẳng đứng dài bằng a của MTLT (X1 = 0 , X2 = 0 , X3 = α trong đó α là 1 tham số : 0 ≤ α ≤ a) thì đoạn thẳng 1 này theo cách mô tả Lagrang có quy luật chuyển dịch : x1=0, x2 αt 2 , x3= α, nghĩa là khi t 4 thay đổi đoạn thẳng này sẽ biến thành các đoạn thẳng xiên. Và tương tự cả hình chữ nhật sẽ biến thành các hình bình hành.
Cơ học môi trường liên tục 45 GVC Trần Minh Thuận Nếu mô tả chuyển dịch theo Euler, thí dụ ta xét x3 , X3 điểm cố định A trong tọa độ không gian (x1 = 0, x2 = 0 , x3 = a) ta sẽ có quy luật chuyển dịch X1 = A 1 2 0 , X2 = − at , X3 = a. Các hàm này cho ta 4 t=0 t=t thấy khi t thay đổi, những phần tử sẽ chuyển dịch qua điểm A là những phần tử nằm trên a đường thẳng song song với trục X2 và ở bên trái điểm A. b Do đó ta thấy quy luật chuyển dịch của 1 MTLT có thể mô tả theo 2 phương pháp. Trong O x2 , X2 phương pháp Lagrang khi cố định Xi ta có thể x1 , X1 theo dõi được quá trình chuyển dịch cũng như Hình 3.2. các tính chất khác của sự chuyển dịch của 1 phần tử. Còn trong phương pháp Euler khi cố định xi ta có thể xác định được những gì đã xẩy ra tại 1 điểm của không gian (phần tử nào đã đi qua, vận tốc của nó,v.v..) Hai phương pháp mô tả nói trên là tương đương. Người ta có thể chuyển từ phương pháp thứ nhất sang phương pháp thứ hai và ngược lại. Việc chọn phương pháp mô tả nào là tùy thuộc bài toán cụ thể. Thí dụ trong tính toán chuyển dịch chất lỏng, chất khí trong đường ống, hình dạng biên của môi trường đã được xác định, người ta chỉ quan tâm đến trường vân tốc tại các điểm trong ống , khi đó phương pháp Euler là thích hợp. Trái lại khi nghiên cứu mặt sóng chất lỏng, cần xác định quỹ đạo của các phần tử chất lỏng, hoặc khi nghiên cứu vật rắn biến dạng, cần xác định sự biến dạng của vât thể thì sử dụng phương pháp Lagrang là hợp lý. Bài tập : Theo mô tả Lagrang ta có phương trình: x1 = X 1 + X 2 ( e t − 1 ) x 2 = X1 ( e t − 1 ) + X 2 x3 = X 3 Hãy tìm các công thức nghịch đảo theo Euler. − x1 + x 2 ( e t − 1 ) − x1 ( e t − 1 ) − x 2 (Giải đáp X1 = ; X2 = ; X 3 = x3 ) 1 − e t − e −t 1 − e t − e −t III. Gradient biến dạng và Gradient chuyển vị: 1. Gradient biến dạng vật chất: theo hệ tọa độ vật chất (OX1 X2 X3) và không gian (ox1 ∂x i x2 x3 ), là vi phân từng phần của véctơ vị trí xi theo Xj tạo nên tensor là nhị thức sau đây: ∂X j → → → → ∂x ^ ∂x ^ ∂x ^ F = x .∇ X ≡ e1 + e2 + e3 [3.12] ∂X1 ∂X 2 ∂X 3 ∂ → Trong đó ∇ X = . ei ∂X i
Cơ học môi trường liên tục 46 GVC Trần Minh Thuận Nhị thức F có thể viết dưới dạng ma trận sau: ∂X1 ∂X 1 ∂X1 ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 x1 ∂ ∂ ∂ ∂X 2 ∂X 2 ∂X 2 F = x2 = , , = = ∂x i ∂X j [3.13] ∂X1 ∂X 2 ∂X 3 ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 x3 ∂X 3 ∂X 3 ∂X 3 ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 2. Gradient biến dạng không gian : Là vi phân từng phần của véc tơ vị trí Xi theo tọa độ ∂x i không gian xj tạo nên tensor có dạng nhị thức như sau : ∂X j → → → ∂X ^ ∂X ^ ∂X ^ → H = X .∇x ≡ . e1 + . e2 + . e3 [3.14] ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 Hoặc viết dưới dạng ma trận : ∂X1 ∂X1 ∂X 1 , , ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 X1 ∂ ∂ ∂ ∂X 2 ∂X 2 ∂X 2 H = X2 , , = , , = ∂X i ∂x j [3.15] ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 X3 ∂X 3 ∂X 3 ∂X 3 , , ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 Cả 2 tensor biến dạng không gian và vật chất được liên hệ bởi: ∂x i ∂X j ∂X i ∂x i . = = ∂ ik [3.16] ∂X j ∂x k ∂x j ∂X k Gradient chuyển vị vật chất và không gian tương tự là vi phân từng phần của véctơ chuyển vị → u theo tọa độ vật chất Xj và tọa độ không gian xj , ta có : ∂u i ∂x i → = − ∂ij hay J = u ∇x = F − I [3.17] ∂X j ∂X j ∂u i ∂X i → và: = δ ij − hay K = u ∇x = I − H [3.18] ∂x j ∂x j IV. Tensor biến dạng :
Cơ học môi trường liên tục 47 GVC Trần Minh Thuận Qo r r t=0 u + du Q r x3, X3 dX r r r r X + dX r dx Po u du r r r P X x + dx r O x t=t x2, X2 x1, X1 Hình 3.3 Bình phương chiều dài phần tử vi phân giữa Po và Qo : → → ∂X i ( dX )2 = d X .d X = dX i .dX i = δ ij dX j dX i mà dX i = .dx j [3.20] ∂X j ∂X K ∂X K Suy ra: ( dX )2 =. .dx i .dx j = Cij .dx i .dx j [3.21] ∂x i ∂x j ∂X K ∂X K Trong đó C ij = . gọi là tenxơ biến dạng Cauchy [3.22] ∂x i ∂x j Tương tự bình phương chiều dài phần tử vi phân giữa P và Q → → ( dx )2 = d x .d x = dx i .dx i = δ ij .dx i .dx j [3.23] ∂x i mà dx i = .dX j [3.24] ∂X j ∂x ∂x K Suy ra ( dx )2 = K .dX i .dX j = Gij dX i dX j [3.25] ∂X i ∂X j ∂x ∂x K trong đó Gij = K gọi là ten xơ biến dạng Green. [3.26] ∂X i ∂X j Phương thức biến dạng là số đo biến dạng bằng hiệu của (dx)2 và (dX)2 . Nếu hiệu số = 0 ta có sự chuyển vị của chất rắn .Ta có thể khai triển theo 2 cách : ∂x ∂x ( dx )2 − ( dX )2 = ( k . k − δ ij )dX i dX j = 2 Lij dX i dXj [3.27] ∂X i ∂X j 1 ∂x ∂x trong đó: Lij = ( k . k − δ ij ) [3.28] 2 ∂X i ∂X j Lij được gọi là ten xơ biến dạng hữu hạn Lagrange (hay Green). Cách khác: ∂X k ∂X k ( dx )2 − ( dX )2 = ( δ ij − . )dxi .dx j = 2 Eij .dxi .dx j [3.29] ∂xi ∂x j
Cơ học môi trường liên tục 48 GVC Trần Minh Thuận 1 ∂X k ∂X k trong đó: ( δ ij − E ij = . ) [3.30] 2 ∂x i ∂x j được gọi là tenxơ biến dạng hữu hạn Euler (hay Almansi). Thay phương trình[3.17] vào [3.28] 1 ∂u ∂u j ∂u k ∂u k Lij = ( i + + . ) [3.31] 2 ∂X j ∂X i ∂X i ∂X j tương tự thay [3.18] vào [3.30] ta được: 1 ∂u ∂u j ∂u k ∂u k E ij = ( i + − . ) [3.32] 2 ∂x j ∂x i ∂x i ∂x j V. Lý thuyết biến dạng nhỏ - Tenxơ biến dạng vô cùng bé - Tenxơ quay: 5.1. Lý thuyết biến dạng nhỏ: Nếu điều kiện các gradient chuyển vị nhỏ hơn 1 ta sẽ có lý thuyết biến dạng nhỏ , các tenxơ biến dạng hữu hạn sẽ biến thành tenxơ biến dạng vô cùng bé . 5.2. Ten xơ biến dạng vô cùng bé: ∂u i ∂u i Do các gradient chuyển vị
Cơ học môi trường liên tục 49 GVC Trần Minh Thuận hay du i = (l ij + w ij )dX j [3.37] trong đó l ij = ε ij đã được định nghĩa ở [3.15] còn 1 ∂u i ∂u j w ij = ( − 2 ∂X j ∂X i ) [3.38] được gọi là ten xơ quay Lagrang Trong trường hợp sử dụng biến Euler và khai triển dui tương tự như ở trên ta được kết quả sau: du i = (ε ij + ω ij )dx j [3.39] trong đó l ij = ε ij đã được định nghĩa ở [3.15] còn 1 ∂u i ∂u j ω ij = ( − 2 ∂x j ∂x i ) [3.40] được gọi là ten xơ quay Euler. Ten xơ quay là ten xơ phản đối xứng, tức là: Wij = −W j i [3.41] ω ij = −ω j i [3.42] Ten xơ quay chỉ có 3 thành phần độc lập mà ta thấy khi viết ở dạng ma trận: 0 ω12 ω13 ω ij = − ω12 0 ω 23 [3.43] − ω13 − ω 23 0 r 1 r Vậy các thành phần này tương ứng với ba thành phần của véc tơ ω = rot u : 2 1 ∂u ∂u ω1 =ω 32 = 2 ( ∂x 3 − ∂x 2 ) 2 3 1 ∂u ∂u ω 2 =ω13 = 2 ( ∂x 1 − ∂x3 ) [3.44] 3 1 ∂u ∂u ω 3 =ω 21 = 1 ( ∂x2 − ∂x 1 ) 2 1 2 Trong trường hợp chuyển vị vô cùng bé thì tọa độ đầu và cuối của một phần tử rất gần nhau, gradient chuyển vị Lagrang và Euler gần bằng nhau. Khi đó ta có thể coi ten xơ biến dạng vô cùng bé cũng như ten xơ quay Lagrang và Euler tương ứng bằng nhau, tức là: l ij = ε ij [3.45] w ij = ω ij VI. Ý nghĩa vật lý của ten xơ biến dạng vô cùng bé và ten xơ quay: 6.1. Ý nghĩa của ten xơ biến dạng vô cùng bé: Trước tiên ta xét các thành phần trên đường chéo chính ε11 , ε22, ε33 . Giả sử ta để ý thành phần ε22 . Ta có 1 ∂u ∂u l ij = ( i + j ) 2 ∂X j ∂X i
Cơ học môi trường liên tục 50 GVC Trần Minh Thuận Giả thiết cho phân tố thẳng POQO =∆X trùng với trục X2 (hình 3.4) Theo [3.17] quan hệ trên viết thành: ∂u ∂x ∆x ∆x − ∆X ε 22 = 2 = 2 − δ 22 = −1 = ∂X 2 ∂X 2 ∆X ∆X Như vậy ε22 chính là biến dạng dài tỉ đối của phân tố thẳng theo phương trục X2 . Tương tự cho các phương còn lại. Do đó các thành phần trên đường chéo chính của ten xơ biến dạng bé là biến dạng dài tỉ đối của các phân tố thẳng trên các trục Xi . ∂u 2 x3, X3 dx 3 ∂x 3 M’ M x3, X3 PO QO α+β 2 dx3 dX x2, X2 MO BO Q β ∂u 3 x1, X1 r dx 2 ∂x 2 u P dx2 α+β Q’ PO α 2 x2, X2 dX2 QO a/ b/ x1, X1 Hình 3.4 Sau đây ta để ý đến các thành phần không nằm trên đường chéo chính, thí dụ ta xét ε32 . Ta 1 ∂u ∂u j có: l ij = ( i + ) 2 ∂X j ∂X i Xem hình 3.4b ta thấy số hạng thứ nhất của vế phải bằng: ∂u3 ∂u3 Q' Q ≈ = = tgα ≈ α ∂X 2 ∂x 2 PQ' Nếu xét phân tố thẳng Po M o trùng với trục X3 thì tương tự như trên số hạng thứ hai của vế phải bằng: ∂u2 ∂u 2 M' M ≈ = = tgβ ≈ β ∂X 3 ∂x 3 PM' 1 ∂u ∂u j Do đó : l ij = ( i + ) 2 ∂X j ∂X i Như vậy các thành phần không trên đường chéo chính biểu thị một nửa góc bị thu lại của góc vuông giữa hai phân tố thẳng trên mặt tọa độ. Góc γ ij gọi là góc trượt, tức là góc biến dạng thực tế của góc vuông trên mặt OX i X j . Các thành phần ε ij (i≠j ) gọi là biến dạng trượt.
Cơ học môi trường liên tục 51 GVC Trần Minh Thuận 6.2. Ý nghĩa của ten xơ quay: Vì ten xơ quay là ten xơ phản đối xứng, nên các thành phần trên đường chéo chính bằng không. Ta thử xét 1 thành phần khác không, thí dụ ω 32 . Ta có: 1 ∂u ∂u 1 1 1 ω 32 = ( 3 − 2 ) = ( α − β ) = α − β 2 ∂X 2 ∂X 3 2 2 2 Giả sử phân tố mặt MOPOQOBO sau khi biến dạng và chuyển dịch biến thành phân tố MPQB. α−β Trên hình 3.5 ta đã biết góc α là ∂u 2 dx 3 2 góc quay của phân tố thẳng ∂x 3 POQO đến PQ, còn β là góc quay B ngược lại của phân tố thẳng α−β M’ POMO đến PM. Để xác định góc x3, X3 2 α+β quay của phân tố mặt M MOPOQOBO khi biến dạng, ta chỉ 2 dx3 α−β cần xác định góc quay của MO đường chéo POBO đến PB. BO 2 Q β ∂u 3 Đầu tiên ta thực hiện phép quay r dx 2 ∂x 2 α+β u P dx2 α+β Q’ 1 góc cho phân tố thẳng 2 PO α 2 x2, X2 POQO theo ngược chiều kim dX2 đồng hồ và POMO theo chiều kim QO đồng hồ (mục đích đưa góc x1, X1 /\ vuông MO POQO về bằng với góc Hình 3.5 /\ MPQ ). Do đó đường chéo α−β POBO vẫn đứng yên. Kế tiếp ta thực hiện phép quay góc cho hai phân tố thẳng nói 2 trên theo cùng chiều kim đồng hồ để trùng với PQ và PM, lúc bấy giờ đường chéo POBO α−β cũng sẽ quay 1 góc để trùng với đường chéo PB của phân tố mặt MPQB. Do đó ω 32 2 thể hiện sự quay của đường chéo POBO và cũng là góc quay của phân tố mặt MOPOQOBO quanh trục X1. Từ [3.35] và [3.37] hoặc [3.39], ta r được: r uQO i = U PO i + du i r uQO i = U PO i + (ε ij )P dx j + (ω ij )P dx j r O O Hay viết dưới dạng véc tơ r r r r uQO = uPO + u ε + uω r r r trong đó u ω = ω ∧ dx Như vậy ta thấy chuyển vị của phần tử QO bao gồm chuyển vị tịnh tiến (chuyển vị của phần r r tử lân cận PO ), chuyển vị quay uω và chuyển vị gây biến dạng u ε . Trong đó chuyển vị gây biến dạng là đặc trưng cho môi trường biến dạng . Trong kỹ thuật , trong hệ tọa độ Descartes vuông góc, ten xơ biến dạng vô cùng bé [3.33] và [3.34] được viết dưới dạng sau :
Cơ học môi trường liên tục 52 GVC Trần Minh Thuận  ε1 γ 21 γ 31  γ ε2 γ 32  [3.46]  12  γ 13  γ 23 ε3  ∂u1 ∂u ∂u Trong đó: ε1 = ; ε2 = 2 ; ε3 = 3 ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 1  ∂u1 ∂u 2  1 γ 12 = γ 21 =  +  = γ 12 2  ∂x 2 ∂x1   2  1  ∂u 2 ∂u  1 γ 23 = γ 32 =  + 3  = γ 23 2  ∂x 3  ∂x 2  2  1  ∂u 3 ∂u  1 γ 31 = γ 13 =  + 1  = γ 31 2  ∂x1  ∂x 3  2  VII. Trạng Thái Biến Dạng Tại Lân Cận Một Điểm: 7.1. Định luật biến đổi các thành phần biến dạng tại một điểm khi đổi hệ toạ độ: Đối với hệ tọa độ Descartes vuông góc ta có công thức biến đổi: ε' ij = aim a jn ε mn [3.47] ε mn = bmi bnj ε' ij Trong đó aij cho ở bảng [1.66a] còn bij = a ji Đối với hệ tọa độ cong ta cũng có công thức biến đổi tương tự [3.47], trong đó : ∂θ i a ij = ∂θ' j [3.48] ∂θ' i bj = i ∂θ j 7.2. Biến dạng chính. Phương chính biến dạng. Các bất biến của trạng thái biến dạng: Ta đã biết tại một điểm trong MTLT trạng thái biến dạng được xác định bởi tenxơ biến dạng bé ε ij = l ij . Gọi ε i(n ) là các thành phần biến dạng theo phương véc tơ đơn vị ni bất kỳ, ta có ˆ quan hệ: ε i(n ) = ε ij n j ˆ [3.49a] Nếu phương của ni là phương chính với giá trị biến dạng chính là ε (tức là tại các mặt vuông góc với pháp tuyến ni này thì ten xơ biến dạng chỉ có thành phần biến dạng dài và không có thành phần biến dạng trượt) thì: ε i(n ) = εni = εδ ij n j = ε ij n j ˆ Suy ra: ( ε ij − εδ ij )n j = 0 [3.49b] cùng với điều kiện nini=1 ta có đũ số phương trình cần thiết để tìm ra các biến dạng chính và các cosin chỉ phương ni. Để phương trình trên luôn có nghiệm ngoài nghiệm tầm thường, thì : ε ij − εδ ij = 0 [3.49c] Khai triển định thức trên ta được phương trình đặc trưng:
Cơ học môi trường liên tục 53 GVC Trần Minh Thuận ε (3α ) − I ε ε (2α ) + II α ε (α ) − III ε = 0 [3.49d] trong đó các hệ số I ε ,II ε ,III ε là những bất biến của trạng thái biến dạng: I ε = ε ii = ε11 + ε 22 + ε 33 ε ε 21 ε 22 ε 32 ε 33 ε13 II ε = 1 (ε ii ε jj − ε ij ε ij ) = ε11 + ε 22 ε 23 + ε 33 ε 31 ε11 [3.49e] 2 12 ε11 ε12 ε13 III ε = ε 21 ε 22 ε 23 ε 31 ε 32 ε 33 Giải [3.49d] ta được 3 nghiệm đó là các biến dạng chính ε (1 ) , ε (2 ) , ε (3 ) . Sau đó lần lượt thay từng giá trị biến dạng chính vào [3.49b] và kết hợp với phương trình n1 + n2 + n3 = 1 để tìm 2 2 2 ra cosin chỉ phương ni của mỗi ε(α) đó. Bất biến thứ nhất I ε của trạng thái biến dạng bằng độ biến đổi tỉ đối thể tích của phân tố tại điểm đang xét (xem hình 3.6). Ta có: dV − dVo dX 1 (1 + ε11 )dX 2 (1 + ε 22 )dX 3 (1 + ε 33 ) − dX 1dX 2 dX 3 θ= = dVo dX 1dX 2 dX 3 Nếu bỏ qua các lượng biến dạng bé bậc cao, ta được: θ = ε11 + ε 22 + ε 33 = I ε X3 7.3. Ten xơ biến dạng cầu và Ten xơ biến dạng lệch: dX2(1+ε22 ) Một ten xơ biến dạng ε ij có thể phân thành hai ten xơ hạng hai: dX3(1+ε33 ) ε ij = ε' ij + ε" ij [3.50a] dX3 trong đó ε' ij là ten xơ biến dạng cầu: dX2 ε 0 0 dX1 X2 ε' ij = 0 ε 0 [3.50b] dX1(1+ε11 ) 0 0 ε X1 1 với ε = (ε11 + ε 22 + ε 33 ) [3.50c] Hình 3.6 3 và ε" ij gọi là ten xơ biến dạng lệch : ε11 − ε ε12 ε13 ε" ij = eij = ε 21 ε 22 − ε ε 23 [3.50d] ε 31 ε 32 ε 33 − ε Ta có thể hình dung ra sự biến dạng tại một điểm và lân cận có thể phân tích thành hai thành phần: một thành phần chỉ gồm có ba biến dạng dài theo ba phương vuông góc và bằng nhau ε, nó chỉ làm cho phân tố chỉ thay đổi thể tích mà không thay đổi hình dạng; Thành phần thứ hai có bất biến thứ nhất bằng không, (ε11 − ε ) + ( ε 22 − ε ) + ( ε 33 − ε ) = 0 , làm cho phân tố thay đổi hình dáng mà không thay đổi thể tích. 7.4. Biến dạng phẳng . Biểu diễn trạng thái biến dạng bằng vòng tròn Mohr:
Cơ học môi trường liên tục 54 GVC Trần Minh Thuận Khi có một và chỉ một biến dạng chính tại một điểm trong MTLT bằng không, thì trạng thái biến dạng phẳng sẽ xảy ra tại điểm đó. Theo mô tả của Euler nếu x3 được chọn là phương tại đó biến dạng chính bằng không, thì trạng thái biến dạng phẳng song song với mặt phẳng x1 x2 xảy ra và ten xơ biến dạng tuyến tính được cho bởi: ε11 ε12 0 ε ij = ε 21 ε 22 0 [3.51a] 0 0 0 Khi x1 và x2 cũng là các phương chính, thì ten xơ biến dạng có dạng: ε (1 ) 0 0 ε ij = 0 ε (2 ) 0 [3.51b] 0 0 0 Đối với các biến dạng phẳng vuông góc với trục x3 thì véc tơ chuyển dịch là hàm số của x1 và x2 mà thôi: u1= u1(x1 , x2) u2= u2(x1 , x2) [3.51c] u3= C (hằng số, thường lấy bằng 0) 1 ∂u ∂u j Thay các biểu thức trên vào l ij = ( i + ) , ta được ten xơ biến dạng phẳng ở [3.51a]. 2 ∂X j ∂X i Cũng như đối với trạng thái ứng suất, trạng thái biến dạng tại một điểm có thể biểu diễn bằng nhóm ba vòng tròn Mohr trong mặt phẳng εn ∼ γn . Với ba biến dạng chính εI> εII > εIII, ta vẽ r được ba vòng tròn Mohr. Nếu ta để ý đến một phương n bất kỳ tạo với phương biến dạng r chính những góc φ, β, θ rthì biến dạng dài εn theo phương n và biến dạng trượt 1/2 γn của mặt vuông góc với phương n được biểu thị bằng điểm giao của hai cung tròn vẽ từ tâm O2 và O3 VIII Chuyển động - Dòng chảy - Đạo hàm: Chuyển động và dòng là các danh từ để mô tả sự thay đổi liên tục hay tức thời của cấu hình của môi trường liên tục. Dòng thường mang ý nghĩa của một chuyển động dẫn đến sự biến dạng thường xuyên (không trở về cấu hình ban đầu) chẳng hạn trong nghiên cứu về sự dẽo. Trong dòng chảy lưu chất, dòng mang ý nghĩa của chuyển động liên tục. Đạo hàm là tốc độ biến đổi theo thời gian của một đặc trưng bất kỳ trong MTLT của một phần tử nhất định trong môi trường liên tục đang chuyển động. Chẳng hạn vị trí tức thời x i của một phần tử chính là 1 đặc trưng của phần tử đó. Do đó đạo hàm của vị trí của 1 phần tử là vận tốc tức thời của phần tử đó , → • dx → d x → ký hiệu: v i = i = xi hay v = = x [3.51] dt dt một cách tổng quát , nếu Pij ... là 1 đặc trưng vô hướng , véctơ hay tenxơ của một môi trường liên tục thì được diễn tả như là 1 hàm điểm của tọa độ , dưới dạng mô tả của Euler ta có: → Pij ... = Pij ... ( x ,t ) . Đạo hàm được cho bởi : → → → dPij ... ( x , t ) ∂Pij ... ( x , t ) ∂Pij ... ( x , t ) dx K = + . [3.52] dt ∂t ∂x K dt
Cơ học môi trường liên tục 55 GVC Trần Minh Thuận trong đó số hạng thứ 2 phía vế phải xuất hiện do các phần tử riêng biệt thay đổi vị trí trong không gian được gọi là vận tốc đối lưu. → ∂Pij ... ( x , t ) Số hạng được gọi là vận tốc cục bộ ta có: ∂t → → → dPij ... ( x , t ) ∂Pij ... ( x , t ) ∂Pij ... ( x , t ) = + vK . [3.53] dt ∂t ∂x K d ∂ ∂ d ∂ → Ký hiệu : = + vK . hay = + V . ∇→ dt ∂t ∂x K dt ∂t x VII Vận tốc - Gia tốc - Trường vận tốc tức thời : Vận tốc : nếu véc-tơ vị trí x i = u i + X i thì vận tốc được định nghĩa bởi: dx d ( u i + X i ) du i • → vi ≡ i = = = u i (vì X độc lập với thời gian) [3.54] dt dt dt → → → • du i ( X , t ) ∂u i ( X , t ) Nếu mô tả u i = u i ( X , t ) thì: v i ≡ ui = = [3.55] dt ∂t → Nếu mô tả u i = u i ( x , t ) thì: • → → → → ⋅ → du i ( x , t ) ∂u i ( x , t ) → ∂u ( x , t ) v i ( x,t ) ≡ u i ( x,t ) = = + v K ( x,t ) i [3.56] dt ∂t ∂x K → → → → → → d u( x , t ) ∂ u( x , t ) → → • → → → → Hoặc : v ( x,t ) ≡ u ( x,t ) = = + v ( x , t ). ∇ x u( x , t ) . r dt ∂t r Trong phương trình trên vận tốc được tính bằng phương thức ẩn và hàm số v i = v i ( x , t ) được gọi là trường vận tốc tức thời Gia tốc : Đạo hàm của vận tốc chính là gia tốc . Nếu vận tốc được cho dưới dạng Lagrang thì → → dv i ( X ,t ) ∂v i ( X ,t ) • ai ≡ v i ≡ = [3.57] dt ∂t Nếu vận tốc được cho dưới dạng Euler thì → → → → dv i ( x , t ) ∂v i ( x , t ) → ∂v ( x , t ) ai ( x , t ) ≡ = + v K ( x,t ) i [3.58] dt ∂t ∂x K → → → → → d v ( x,t ) ∂ v ( x,t ) → → → → Hay: a( x , t ) ≡ = + v ( x , t ). ∇ x v ( x , t ) r dt ∂t Quỹ đạo : là đường cong hay đường đi của 1 phần tử trong khi chuyển động hay chảy . Đường dòng : là 1 đường cong có các tiếp tuyến tại những điểm bất kỳ thuộc đường cong đó chính là phương của vận tốc các điểm đó Chuyển động ổn định: của một môi trường liên tục nếu trường vận tốc độc lập với thời gian ∂v i tức là = 0 . Đối với chuyển động ổn định thì đường dòng và quỹ đạo trùng nhau. ∂t
Cơ học môi trường liên tục 56 GVC Trần Minh Thuận VIII. Tenxơ vận tốc biến dạng - Tenxơ vận tốc quay - Gia số biến dạng tự nhiên ∂v i - Tenxơ gradient vận tốc: xác định bởi gradient của trường vận tốc tức thời hay Yij. Ta có ∂x j thể viết tenxơ này theo thành phần đối xứng và phản đối xứng như sau : ∂v 1 ∂v ∂v j ∂v ∂v j Yij ≡ i = ( i + )+( i − ) = Dij + Vij [3.59] ∂x j 2 ∂x j ∂x i ∂x j ∂x i 1 → → → 1 → → Ký hiệu : ( v ∇ x + ∇ → v ) + ( v ∇→ − ∇→ v ) = D + V Y = x x x 2 2 - Vận tốc biến dạng : hay tenxơ vận tốc biến dạng được định nghĩa bởi số hạng tenxơ đối xứng của Yij, tenxơ gradient vận tốc : 1 ∂v ∂v j 1 → → Dij = Dij = ( i + ) Ký hiệu D = ( v ∇x + ∇x v ) [3.60] 2 ∂x j ∂x i 2 -Tenxơ vận tốc quay : hay ten xơ xoáy được định nghĩa bởi số hạng phản đối xứng của tenxơ gradient vận tốc: 1 ∂v ∂v j 1 → → Vij = −Vij = ( i − ) Ký hiệu V = ( v ∇ x − ∇x v ) . [3.61] 2 ∂x j ∂x i 2 Gia số biến dạng tự nhiên : Ta có thể thấy tenxơ vận tốc biến dạng chính là đạo hàm của tenxơ biến dạng tuyến tính Euler sau đây: dε ij 1 d ∂u i ∂u j dE 1 d → → = ( + ) hay = ( u ∇ x + ∇x u ) [3.62] dt 2 dt ∂x j ∂x i dt 2 dt d ∂u i ∂ du i Nếu thay ( ) bởi ( ) phương trình trên trở thành: dt ∂x j ∂x j dt dε ij 1 ∂v i ∂v j = ( + ) = Dij hay dε ij = Dij .dt Ký hiệu dE = Ddt [3.63] dt 2 ∂x j ∂x i trong đó số hạng dε ij được gọi là gia số biến dạng tự nhiên , được dùng rộng rãi trong các bài toán về dòng và lý thuyết dẻo.