Giáo trình Bài tập cơ học lý thuyết: Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:99

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Bài tập cơ học lý thuyết được soạn thảo theo chương trình giảng dạy cơ học lý thuyết cho sinh viên ngành Cơ học. Nội dung sách gồm 15 chương chính và một số đề thi Olympic Cơ học. Phần 1 cuốn sách sẽ giới thiệu tới người đọc các bài tập, mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Bài tập cơ học lý thuyết: Phần 1

Đ À O V ĂN DŨNG_(Chủ biên) NGUYỄN XUÂN BỘI - PHẠM THỊ OANH - PHẠM CHI VINH BÀI TẬP ÌHNLtmnÉi o m CIPG H Noi NHÀ XUẤT BÀN ĐAI HOC QUỐC GIA HÀ NÔI à
M Ụ C LỤC Phần I. TĨN H HỌC 1 C hương l ẳ Hệ lực phầng 1 1 . 1. Các lực tác dụng theo một đường thẳng hoặc song song 1 1.2. Các lực có đường tác dụng giao nhau tại m ột điểm 2 1.3. Các lực song song và ngẫu lực 8 1.4. Hệ lực phẳng bất kỳ 10 1.5. T ĩnh học đồ thị 12 C hương 2. Hệ lực không gian 13 2.1. Đ ư a hệ lực về dạng đơn giản 13 2.2. Cân bằng của hê lưc bất kỳ 14 2.3. Trọng tâm 15 Phần II. Đ Ộ N G HỌC 17 C hương 3. Chuyển động của điểm 17 3.1. Q uý đạo và phương trình chuyển động của điểm 17 3.2. V ận tốc điểm 17 3.3. Gia tốc điểm 18 C hương 4. Các chuyển động đơn giản nhất của cố thể 19 4.1. Cố th ể quay quanh m ột trục cố định 19 4.2. B iến đổi các chuyển động đơn giản của cố thể 20 C hương 5. P hân và hợp các chuyển động của điểm 21 C hương 6 . Chuyển động phẳng của cố thể 26 6 . 1 . P h ư ơ ng trình chuyển động của hình phẳng và các điểm của nó 26 6 .2 . V ận tốc các điểm của cố thể trong chuyển động phẳng. T âm vận tốc tức thời 27 6.3. X entrôit cố định và xentrôit động 29 6.4. G ia tốc các điểm của cố thể trong chuyền động phằng. T âm gia tốc tức thời 31 6.5. Hợp chuyền động phẳng của cố thể 31
Chương 7. c ố thể quay quanh m ột điểm cố định 33 7.1. Cố thể quay quanh m ột điểm cố định 33 7.2. Hợp các chuyển động quay của cố thể quay quanh các trục cắt nhau 34 Phần IIIề Đ Ộ N G LỰC HỌC 36 Chương 8 . Đ ộng lực học điểm 36 8.1. Phương trình vi phân chuyển động - Các bài toán cơ bản của động lực học 36 8.2. Ba định lý cơ bản: Biến thiên động lượng, biến thiên m ô m en động lượng, biến thiên động năng 41 C hương 9. Đ ộng lực học hệ chất điểm và vật rắn 45 9.1. Đ ộng lực học hệ chất điểm 45 9.2. Đ ịnh lý biến thiên động lượng và chuyển động của khối tâ m 48 9.3. Đ ịnh lý biến thiên mô men động lượng 49 9.4. Đ ịnh lý biến thiên động năng 52 9.5. Khảo sát m ột số chuyển động đặc biệt 54 9.6. M ột số bài toán hỗn hợp 59 M Phần IV. Đ Ộ N G L ự c HỌC GIAI TÍCH T R O N G T Ọ A ĐỘ SU Y R Ộ N G , DAO Đ Ộ N G , VA CHẠM 62 Chương 10 . N guyên lý độ dời khả dĩ, nguyên lý D ’A lem bert-E uler-L agrange 62 C hương 11. Phương trình Lagrange II 66 C hương 12 . Phương trình R auss, phưong trình chính tắc H am ilton, định lí H am ilton-Jacobi, định lí Poisson 72 Chương 13. On dịnh chuỳển động 74 C hương 14. D ao động 76 14.1. D ao động của hệ có m ột bậc tự do 76 14.2. Dao động nhỏ của hệ nhiều bậc tự do 80 Chưcrng 15. Va chạm 82 Phần V. M ỘT s ó ĐỀ THI OLYMPIC c ơ HỌC T Ừ N Ă M 1989 Đ E N 1998 85 iv
D Á P SỐ v à H Ư Ớ N G D Ẫ N Phần Iệ TĨNH HỌC 91 C hương 1. Hệ lực phẳng 91 l . l ề Các lực tác dụng theo m ột đường thẳng hoặc song song 91 l ế2. Các lực có đường tác dụng giao nhau tại m ột điểm 91 i ẵ Các lực song song và ngẫu lực 3. 97 1.4Ể Hệ lực phẳng bất kỳ 100 1.5. T ĩnh học đồ thị 103 C hương 2 . Hệ lực không gian 103 2.1. Đ ư a hệ lực về dạng đơn giản 103 2.2. Cân bằng của hệ lực bất kỳ 105 2.3. Trong tâm 106 Phần II. Đ Ộ N G HỌC 109 C hương 3. Chuyển động của điểm 109 3.1. Q uỹ đạo và phương trình chuyển động của điểm 109 3.2. V ận tốc điểm 109 3.3. G ia tốc điểm 111 C hương 4. Các chuyển động đơn giản nhất của cố thể 112 4.1. Cố th ể quay quanh m ột trục cố định 112 4.2. B iến đổi các chuyển động đơn giản của cố thể 112 C hương 5. P hân và hợp các chuyển động của điểm 113 C hương 6 . Chuyển động phẳng của cố thể 116 6.1. P h ư ơ ng trình chuyển động của hình phẳng và các điểm của nó 116 6.2. V ận tốc các điểm của cố thể trong chuyển động phầng. T âm vận tốc tức thời 117 6.3. X entrôit cố định và xentrôit động 119 6.4. G ia tốc các điểm của cố th ể trong chuyền động phẳng. T âm gia tốc tứ c thời 120 6.5. Hợp chuyển động phầng của cố th ể 121
C hương 7. c ố thể quay quanh m ột điểm cố định 121 7 . 1 Ế Cố thể quay quanh m ôt điểm cố đinh 121 7.2. Hợp các chuyển động quay của cố thể quay quanh các trục cắt nhau 123 Phần III. Đ Ộ N G LỰC HỌC 124 C hương 8 . Đ ộng lực học điểm 124 8.1. Phương trình vi phân chuyển động. Các bài toán cơ bản của động lực hoc 124 8.2. Ba định lý cơ bản: Biến thiên động lượng, biến thiên m ô m en động lượng, biến thiên động năng 129 C hương 9. Đ ộng lực học hệ chất điểm và vật rắn 134 9 Ỗ Đ ộng lực học hệ chất điểm 1. 134 9.2. Đ ịnh lý biến thiên động lượng và chuyển động của khối tâ m 136 9.3. Đ ịnh lý biến thiên m ôm en động lượng 136 9.4. Đ ịnh lý biến thiên động năng 137 9.5. Khảo sát m ột số chuyển động đặc biệt 139 9.6. M ột số bài toán hỗn hợp 142 Phần IV. Đ Ộ N G LỰ C HỌC GIAI TÍCH T R O N G T Ọ A ĐỘ SU Y R Ộ N G , DAO Đ Ộ N G , VA CHẠM 145 C hương 10. N guyên lý độ đữi k*hả dĩ, nguyên lý D ’A lem bert-E uler-L agrange 145 C hương 11 . P h ư ang trình Lagrange II 148 C hương 12. Phương trình R auss, phương trình chính tắc H am ilton, định lý H am ilton - Jacobi, định lý Poisson 155 C hương 13. On định chuyến động 159 C hương 14. Dao động 162 14.1. Dao động của hệ có m ột bậc tự do 162 14.2. Dao động nhỏ của hệ nhiều bậc tự do 166 C hương 15. Va chạm 168 Phần V. M ỘT s ó ĐẾ THI OLYM PIC c ơ HỌC T Ừ N Ă M 1989 Đ E N 1998 171
LỜI N Ó I D Ầ U Cơ học lý th u yết là khoa học về các quy luật chuyển động, cân bằng v à sự tư ơng tác giữa các vật thể trong không gian, theo thời gian, là m ột trong những môn học trong điềm cho sinh viên ngành Cơ học ờ các trường Đ ại học Quốc gia và Đ ại học Kỹ thuật. Việc vận dụng các kiến thức đã học vào giải các bài tập cơ học lý th u yết là yêu cầu hàng đầu đối với sinh viên, qua đó giúp họ hiểu sâu th êm về lý th u yết đồng thời nâng cao tư duy và kỹ năng trong học tập. Giáo trình bài tập cơ học lý thuyết được soạn thảo theo chương trình giảng dạy cơ học lý th u yết cho sinh viên ngành Cơ học của Khoa Toán - Cơ - T in học, Trường Đ ai hoc K hoa học T ư nhiên, Đ ại học Quốc gia Hà Nội. Nội dung gồm bốn phần chính (15 chương) và phần V là m ột số đề thi O lym pic C ơ học. Các bài tập được chọn lọc gồm đủ các thể loại phù hợp với các phần của lý th u y ết, được phân loại thành các chủ đề chi tiết. Cuối phần bài tập có đáp số hoặc hướng dẫn để người đọc th am khảo và tự kiểm tra lời giải của mình. T ham gia biên soạn giáo trinh bài tập gồm có N guyễn X uân Bội (P hần I: T ĩnh học), Phạm Chí V ĩnh (Phần II: Đ ộng học), Phạm T hị O anh (P hần III: Đ ộng lực học), Đ ào V an D ũng (Phần IV: Đ ộng lực học giải tích trong tọa độ suy rộng, dao động, va chạm ); Đ ào Văn Dũng chủ biên. Giáo trìrih được hoàn thành nhờ sự quan tâm v à tạo điều kiện của lãnh đạo Khoa Toán - C ơ - T in học, lãnh đạo Trường Đ ại học Khoa học T ự nhiên. Các tác giả bày tỏ lời cảm ơn chân thành. Các tác giả chân thành cảm ơn G S-T SK H Đ ào Huy Bích, G S-T S N guyễn Thúc An đã đóng góp những ý kiến quý báu nhằm hoàn thiện nội dung cuốn sách. N hân dịp này các tác giả cảm ơn Nhà X uất bản Đ ại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tìn h giúp đỡ trong việc xuất bản giáo trình này. Vì nội dung giáo trình đa dạng, thời gian hạn chế cho nên các vấn đề được trình bày chắc chắn còn có những thiếu sót. Chúng tôi m ong nhận được ý kiến của bạn đọc để bổ sung cho giáo trình ngày càng được hoàn thiện hơn. Các nhận xét, góp ý xin gử i về K hoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đ ại học K hoa học T ự nhiên, Đ ại học Quốc gia Hà Nội. Hà nội, ngày 10 tháng 11 năm 1999 Các tác giả
P h ầ n I ẳ T ĨN H H Ọ C C h ư ơ n g 1. HỆ LỰC P H Ẳ N G 1.1. C ác lư c tá c d u n g th e o m ô t d ư ò n g th ẳ n g h o ă c so n g so n g 1. Các lực P\ = 1 0 kG, p 2 = 2 0 kG, p 3 = 12 kG, p 4 = 18 kG cùng tác dụng vào m ột điểm nào đấy Hãy xác định lực cân bằng của chúng trong hai trường hợp sau: a) các lực đã cho tác dụng theo một đường thẳng và cùng chiều. b) hai lực đầu cùng chiều, hai lực sau theo chiều ngược lại. 2. Hai quả cân 1 0 kG và 5kG treo trên m ột sợi dây tại những điểm khác nhau, trong đó quả cầu lớn treo thấp hơn quả cầu nhỏ. Hỏi sức cấng của các đoạn dây bằng bao nhiêu ? ///////// 3 . Tải trọng Q = 30 kG được giữ cân bằng nhờ đối trọng côt vào đầu dây cáp ABC vắt qua ròng rọc. Trọng lượng của dây cáp bằng 5k G . Bò qua độ cứng của dây, m a sát và bán kính của ròng rọcẵ Hãy xác định trọng lượng p , các ứng lực Fa , F c căng dây tại các đầu A, c và ứng lực Fb tại tiết diện giữ a B của dây trong các trường hợp sau: a) khi các điểm A và c nằm trên cùng m ột độ cao. b) khi điềm A nhận vị trí cao nhất. c) khi điểm A nhận vị trí thấp nhất. Hình bài s 4 . M ột người nặng 64 kG đứng tại đáy giếng mỏ ghì giữ m ột tải trọng 48 kG nhờ m ột sợi dây m ềm nhẹ, không dãn vắt qua ròng rọc cố định. a) Hỏi người đó đã tác động lên đáy giếng m ột áp lực bằng bao nhiêu ? b) N gười đó có th ể ghì giữ m ột tải trọng lớn nhất bằng bao nhiêu ? 5. M ột đoàn tàu gồm đầu máy, toa chở than trọng lượng 45 tấn, toa hành lý trọng lượng 20 tấn và 5 toa chở khách m ỗi toa trọng lương 48 tấn. Hỏi các m óc nối toa xe bị căng m ột lực bằng bao nhiêu v à lực kéo của đầu m áy bằng bao nhiêu ? B iết rằng sức cản chuyển động của đoàn tàu có thể xem bằng —— trọng lượng của nó và khi giải bài toán ta th ừ a nhận rằng sức căng này 200 phân tỷ lệ vớ i trọng lượng của các thành phần đoàn tàu và đoàn tàu đang chuyển động đều. 1
Si 1.2. C ác lư c có d ư ờ n g tá c d u n g giao n h au tạ i m ộ t điểm 6 . Các thanh AC và BC nối với nhau và với tư ờ n g thẳng đứng nhờ các bản lề. Tại bu lông khớp c tác dụng m ột lực c thẳng đứng p — 1.000 kG. p Hãy xác định phàn lực của các thanh này lên bu lông khớp c , nếu góc lập bỏ-i các thanh với tư ờng bằng OL = 30°, Hình bà 16 (5 = 60°. 7. Chiếc đèn đưạc treo tại điểm giữa B của sợi dây A B C , các đầu m út của dây bị buộc chặt vào các móc ở A và c nằm trên m ôt đường nằm ngang. Hãy xác định sức căng Tị và T 2 tai các phần A B , BC của dây. B iết trong lượng đèn 15 kG, toàn bộ dây ABC dài 20 m và điểm treo đèn cách đ ư ờ n g nằm ngang m ột khoảng B D = 0 ,1 m. Bò qua trọng lượng của dây. 8 . M ột vật nặng p — 2 kG treo lên trần nhà bằng sợi dây AB và bị kéo v ào tư ờ n g nhờ sợi dây BC. Hãy xác định sức căng T a của dây AB và sức căng T c của dây B C , biết góc O — 60° và góc ¡3 = 135°. Bỏ qua trọng lượng của dây. i X Hình bài 7 Hình bài 8 Hình bàt 9 9 . M ột quả cầu nặng p kG được treo bằng sợi dây AB hợp vớ i ph ư ơ ng th ẳn g đứng góc a , đồng thời quả cầu bị kéo ngang bằng sợi dây BC. Hãy xác định sức căng của dây AB và BC. 1 0 . Trên m ặt phẳng nhẵn nghiêng m ột góc Q so với m ặt phẳng ngang, có m ột quả cầu nặng p kG buộc vào đỉnh A bằng m ột sợi dây m ềm , không dãn nghiêng góc ¡3 so với phương thẳng đứng. Hãy tính sức căng của dây v à áp lực của quả cầu lên m ặt nghiêng. Hình bàI 10 X 2
1 1 . Sợi dây C A E B D vắt qua hai ròng rọc nhỏ không đáng kể A và B nằm theo phương ngang với khoảng cách A B — í. Tại các đầu dây c v à D có treo các quả cầu, mỗi quả có trọng lượng p k G , còn tại điểm E treo quả cầu p kG. Bổ qua m a sát tại các ròng roc và trong lương của dây, hãy xác định khoảng cách X từ điểm E đến đường ngang AB tai vị trí cân bằng. e 0 Ể3 c D N ¡y N Hình bài 11 Hình bàĩ 12 1 2 . Tải trọng p và sợi dây BCD cùng buộc vào đầu B của sợi dây A B , đầu A cột chặt vào tư ờ ng. Sợi dây BCD vắt qua ròng rọc nhỏ tại c , còn tại đầu D buộc quả cầu có trọng lư ạng Q = 10 kG. Bỏ qua m a sát tai ròng roc, hãy xác đinh sức căng T của dây AB v à đô lớn của tải trọng p nếu tại vị trí cân bằng các góc giữa dây v à đường thẳng đứng BE bằng a — 45°, (3 = 60°. 1 3 . Quả cầu đồng chất trọng lượng p được đặt ở các vị trí sau: a) p = 6 kG nằm trên hai m ặt nghiêng trơn AB v à BC vuông góc vớ i nhau. T ìm áp lực của quả cầu lên m ỗi m ặt nghiêng, biết rằng m ặt phẳng BC tạo với phương ngang góc 60°. b) p = 20 kG được giữ trên m ặt phẳng nghiêng trơn nhờ m ột sợi dây buộc vào cân lò so gắn chặt ở bên trên m ặt phẳng. Cân lò so chỉ 10 kG. Góc nghiêng của m ặt phẳng so với phương nằm ngang bằng 30°, hãy xác định góc O giữ a phương í của sợi dây với đường thẳng đứng và áp lực Q của quả cầu lên m ặt phẳng, khi bỏ qua trọng lượng của cân lò so. c) Q uả cầu p treo lên tư ờ n g tran thẳng đứng AB nhờ sợi dây AC lập với tường góc a . Hãy xác định sức căng T của dây và áp lực Q của quả cầu lên t ' s s Hình bài 13 3
1 4 . Thanh đồng chất AB gắn vào tư ờng thẳng đứng nhờ bản lề A và giữ nghiêng góc 60° so với đường thẳng đứng nhờ sợi dây BC tạo với thanh m ột góc 30°. Hãy xác định độ lớn và hướng phản lực R của bản lề, biết trọng lư ợng của thanh bằng 2 k G . 1 5 . X à đồng chất AB dài 2 m nặng 5kG tự a đầu trên A vào tư ờ n g trơn th ẳng đứng. Sai dây BC buôc vào đầu dưới B của xà. Hãy tìm xem cần phải côt dây vào tư ờng ở khoảng cách AC bằng bao nhiêu, để xà với tường tao thành góc B A D — 45° ờ trang thái cân bằng, đồng th ời tìm sức căng T của dây và phản lưc R của tường. Hình bài 14 Hình bài 15 Hình bài 16 1 6 . D ầm AB được giữ ờ vị tri nằm ngang nhờ thanh CD. T ại A, c và D có gắn bản lề. Hãy xác định phản lực Ở các chỗ tự a A và D, nếu cho tác dụng lực th ẳng đứng F = 5 tấn tại đầu B của dầm. Các kích thước được cho th eo hình vẽ, bỏ qua trong lượng các thanh. 1 7 . D ầm AB gắn bản lề tại gối đỡ A và đặt trên con lăn tai đầu B. T ại trung điểm của dầm có tác dụng lực p = 2 tấn nghiêng góc 45° so với trục của' Aó. Hãy xác định phản lực của các gối tự a trong trường hạp a và b. Lấy kích th ư ớc theo hình vẽ và bỏ qua trọng lượng của dầm . Hình bàt 17 1 8 . Dây điện ACB căng giữa hai cột sao cho nó tạo thành m ột đư ờng cong th oải, độ võng của nó C D = / = 1 m. Khoảng cách giữa hai cột A B = í = 40 m . Trọng lương của dây Q = 4 0 kG. Hãy xác định sức căng của dây: Tc tại điểm giữa, TA và T B tại các đầu m ú tử Cho biết trọng lượng của m ỗi nửa dây đặt cách cột gần nhất m ột khoảng bằng ¿/ 4 . 4
Hình bài 18 Hình bài 19 1 9 . Hai dây dẫn của xe điện treo vào các dây cáp ngang, m ỗi dây cáp lai cột chặt vào hai cột. Các cột được bố trí dọc theo đường cách nhau 40 m. Đ ối với m ôi dây cáp ngang, các khoảng cách AK = KL = LB = 5 m , KC = LD = 0,5 m. Bỏ qua trọng lượng của dây cáp, hãy tìm sức căng Ti , T 2 và Tz tại các phần AC, CD và D B của nó, cho biết trọng lượng của m ột m ét dây dẫn bằng 0 ,7 5 kG. 2 0 . Đ ể vư ợ t sông người ta dùng quang chuyển tải L, quang này treo vào dây cáp AB nhờ con lăn c . D ây cáp AB cột chặt vào các đỉnh tháp A v à B. Đ ể chuyển con lăn c về bờ trái, người ta dùng dây CAD vắt qua ròng rọc A và quấn vào tời D; tư ơ ng tự cũng có m ột sợi dây để kéo quang lại bờ phải. Các điểm A và B nằm trên m ột đường nằm ngang và cách nhau m ột khoảng AB = 100 m; độ dài của dây cáp AC B bằng 102 m; trọng lượng của quang chuyển tải bằng 5 tấn. Bỏ qua trọng lượng của các dây cũng như m a sát giữa con lăn và dây cáp, hãy xác định sức cẳng của dây CAD và sức căng của dây cáp AC B khi khoảng cách từ c đến tháp A là 20 m. Hình bài 20 Hình bài 21 2 1 ắ Đ ể nén khối xi m ăng lập phương M theo 4 m ặt, người ta dùng cơ cấu khớp bản lề, trong đó các thanh A B, BC và CD trùng với các cạnh của hình vuông ABCD; còn các thanh 1, 2, 3, 4 bằng nhau và hướng theo các đường chéo của hình vuông này. Hai lực trực đối p đặt tại các điểm A và D. Hãy xác định các ứng lực N i , N 2, N 3, N 4 nén khối lập phương và các ứng lực s 1, S 2, s 3 trong các thanh AB, BC và CD; biết rằng độ lớn của các lực đăt tại các điểm A và D bằng p = 5 tấn. 5
2 2 . Đ a giác thanh khớp gồm 4 thanh bằng nhau, các đầu m út A v à E gắn khớp bản lề, các m út B, c và D chịu tải trọng thẳng đứng Q như nhau. T ại vị trí cân bằng góc nghiêng của các thanh bên so với phương nằm ngang a — 60°. Hãy xác định góc nghiêng của các thanh giữa so với phương nằm ngang (góc /3 trên hình vẽ) Hình bài 22 Hình bài 23 2 3 . Khung cử a AB biểu thị trên hình vẽ theo m ặt cắt, khung nặng 1 0 0 kG có thể quay quanh trục nằm ngang A. c ử a m ở nhờ kéo dây BC D vắt qua các ròng rọc D và c (bổ qua kích thước của các ròng rọc). B iết ròng rọc c v à điểm A nằm trên m ột đường thẳng đứng, trọng lượng của khung đặt tại tâm của nó, A B = AC và bỏ qua m a sát; hãy tìm sự thay đổi của sức căng T của dây th eo góc tp hợp b&i khung AB với đường nằm ngang AH, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của sưc căng này. 2 4 . Hai quả cầu nhò A và B, quả th ứ nhất nặng 0,1 kG, quả th ứ hai nặng 0,2 kG, đều nẳm trên m ột trụ tròn nhăn có trục nằm ngang và bán kính OH = 0,1 m . Các quả cầu nối với nhau bằng sợi dây AB dài 0,2 m. Hãy xác định các góc
tại điểm cao nhất của đường tròn; tại đầu c treo quả cân Q. Hãy xác đinh góc ờ tâm ip của cung AB tai vi trí cân bằng v à chỉ ra điều kiện cân bằng, bổ qua trọng lượng của vòng, kích thước của ròng rọc và m a sát tại đó. 2 6 . Đ iểm M bị hút về ba tâm cố định M l ( z i , t/l), M 2 (x 2, ĩ/2) và M s (x 3 , 23) bờ i các / lực tỷ lệ với khoảng cách: F\ = k\T\, F 2 = k,2ĩ 2 và F3 — k^rs, Ở đây ri = M M 1, r 2 = M M 2, r 3 = M M 3, còn k ị , /c2, ^3 là các hệ số tỷ lệ. Hãy xác định các tọa độ X, y của điểm M tại vị trí cân bằng. 2 7 . Mạch đầu m út của m ột chiếc cầu xích đặt trong m óng đá có dang hình hộp chữ nhật, tiết diện giữa của nó là A B C D . Các cạnh AB = AC = 5 m; trọng lượng riêng của m óng đá bằng 2 ,5 G /c m 3, m ạch đặt theo đường chéo BC. Hãy tìm độ dài cần th iết a của cạnh th ứ ba hình hộp, cho biết sức căng của mạch T — 100 tấn (cần dự tính m óng lật nhào quanh mép D và bỏ qua sức cản cùa đất). 2 8 . T háp nước gồm m ột bể chứa hình trụ cao 6 m, đường kính 4 m gắn trên bốn cột đặt đối xứ ng và nghiêng so với phương nằm ngang, đáy bể nằm ờ đô cao 17 m trên mức các chỗ tựa; trọng lượng của tháp là 8 tấn , áp lực gió được tính trên diện tích hình chiếu của m ặt bể lên m ặt phẳng vuông góc với hướng gió, trong đó áp lực riêng của gió bằng 125 k G /m 2. Hãy xác định khoảng cách cần th iết AB giữa các chân cột (dự tính tháp bị lật nhào do áp lực gió theo hướng ngang) ệ Hình bài 28 2 9. T ấm thép nặng 40 kG dịch chuyển thẳng đều trên m ặt phẳng nằm ngang của một giá bằng gang không bôi trơn . Hãy xác định lực cần cho dịch chuyển này, biết rằng hệ số m a sát bằng 0,18 và lực hướng song song với dịch chuyển. 3 0 . Chiếc hòm trọng lượng p đặt trên m ặt phẳng nháp nằm ngang với hệ số m a sát ụ,. Hãy tìm xem cần phải đặt lực Q nghiêng m ột góc ß bằng bao nhiêu và giá trị nhổ nhất của Q để có th ể xê dịch hòm . 7
1.3. C ác lư c son g so n g v à n g ẫ u lư c LU- 3 1 . T hanh đồng chất AB dài 1 m, nặng 2 kG treo nằm ngang trên hai sợi dây song song AC và BD. Tải trọng p = 12 kG treo vào thanh tại điểm E với khoảng cách A E = - m. 4 Hãy xác định sức căng T c v h T p của các dây 3 2 . M ôt dầm ngang nằm trên hai gối đỡ, khoảng cách giữ a chúng bằng 4 m; ta đặt trên nó hai tải trọng: Tải trọng c 200 kG, tải trọng D 100 kG, sao cho phản lực của gối đỡ A lớn gấp hai phản lực của gối đỡ B, khoảng cách giữ a các tải trọng CD = 1 m, bỏ qua trọng lượng của dầm. Hãy tìm xem tải trọng c đặt cách gối đỡ A m ôt khoảng X bằng bao nhiêu? Him >ỷj> H-m Á B ------- 7' Ip Hình bài 32 Hình bài s s 3 3 . Dầm AB dài 10 m nặng 200 kG nằm trên 2 gối đỡ c và D, gối đỡ c đăt cách đầu m út A 2 m; gối đỡ D cách dầu m út B là 3 m. Đầu m út A của dầm được kéo thẳng lên trên nhờ tải trọng Q — 300 kG và sợi dây vắt qua ròng rọc. Tải trọng p = 800 kG treo vào dầm tai điểm cách đầu m út A là 3 m Hãy xác định phản lực của các gối đỡ, bỏ qua m a sát tại ròng rọc. 3 4 . M ột dầm ngang đồng chất dài 4 m, nặng 0,5 tấn đặt sâu vào tư ò n g có chiều dày 0,5 m sao cho dầm tự a tai các điểm A và B' Hãy xác định phản lực tại những điểm này (A, B ) nếu ta treo tải trọng p = 4 tấn vào đầu m út tư do c của dầm. Hình bài 3ị Hình bài 35 3 5 ề Một dầm ngang ngàm chặt một đầu vào tư ờ n g, còn đầu kia đỡ lấy ổ trục. Do trọng lượng của trục, của các puli và ổ trục, dầm chịu m ột tải trọng th ẳn g đứng Q = 120 kG. Bỏ qua trọng lượng của dầm và coi tải trọng Q tác dụng tại điểm cách tư ờ n g m ột khoảng a = 750 m m , hãy xác định phản lực ngàm (phàn lực và m ôm en phản lực). 8
3 6 . Dầm ngang đỡ bao lơn chịu tải trọng phân bố đều với cường độ p — 200 k G /m . Một tải trọng p — 200 kG truyền từ cột lên dầm tại đầu m út tự do. Khoảng cách từ trục cột đến tường t — 1 ,5 m. Hãy xác định phản lực ngàm . p /> . M in " B m t m ủ n 11 1 )> p # — . T ịp >1 a a. ũ a ỉ Hình bàt 36 Hình bàt 37 3 7 . N gẫu lưc (p , p ) tác dụng lên dầm có hai m út thừa nằm ngang. Tải trọng phân bố đều với cường đô p tác dung lên m út thừa bên trái và tải trọng thẳng đứng Q tác dụng tại điểm D của mút thừa bên phải của dầm. Hãy xác định phản lực của các gối đỡ, cho trước p — 1 tấn , Q = 2 tấn , p — 2 tấ n /m é t, a = 0 , 8 m. 3 8 . Cần truc đường sắt tư a trên các đường ray, khoảng cách giữa chúng bằng 1,5 m. Trọng lượng của xe tời cần trục là 3 tấn, trọng tâm của nó tại điểm A trên giao tuyến KL cùa m ặt phẳng đối xứng của xe tời với m ặt phẳng hình vẽ. Tời B nặng 1 tấn, trọng tâm của nó tại điểm c cách đường th ẳng KL 0,1 m. Trọng lượng của đối trọng D bằng 2 tấn, trọng tâm của nó tại điểm E, cách đường thẳng KL 1 m. c ầ n FG nặng 0,5 tấn, trọng tâm của nó tại điểm H cách đường thẳng KL 1 m. T ầm vươn của cần trục L M = 2 m . Hãy xác định tải trọng lớn nhất Q, mà cần trục vẫn không bị lật. Hình bài 38 Hình bài 39 3 9 . Trọng lượng của dàn cẩu di động không kể đối trọng là 50 tấn tác dụng theo đường thẳng cách đường thẳng đứng qua ray phải A 1,5 m. Tải trọng phải cẩu 25 tấn mắc vào xe tờ iẵ Tầm vư ơn tính từ đường thẳng đứng qua ray phải bằng 10 m. 9
Hãy xác định trọng lượng nhổ nhất Q và khoảng cách lớn nhất X từ trọng tâm của đối trọng đến đường thẳng đứng qua ray trái B đe cho dàn cau không bi lật với mọi vị trí của xe tời đã chịu tải cũng nhu' chưa chịu tải. Bổ qua trọng lượng của xe tời. 4 0 . Cầu AB đưac nâng lên nhờ hai xà CD dài 8 m nặng 400 kG, bo trí m ôi bên cầu m ột chiếc. Đ ộ dài của cầu AB = CE = 5m ; độ dài của dây xích AC = B E , trọng lượng của cầu bằng 3 tấn và có thể xem như đăt tại trung điem của A B. Hãy tính đối trọng p làm cân bằng cầu. Hình bài ịO Hình bài ị l 4 1 ế Dầm đứt đoạn nằm ngang AEB có đầu A bị ngàm vào tư ờ n g, đầu B tự a trên gối đỡ di đông, điểm E gắn khớp bản lề. Dầm chiu tải của cần truc năng Q = 5 tấn, m ang thêm tải trọng p = 1 tấn, tầm vươn K L = 4 m; trọng tâ m của cần trục nằm trên đường thẳng đứng EK. Các kích thước cho trên hình vẽ. Bỏ qua trọng lượng của dầm, hãy xác định các phản lực tại các điểm A và B khi cần trục nằm trong một mặt phẳng thẳng đứng cùng với dầm A B. 1.4. H ê lư c p h ẳ n g b ấ t kỳ 42. Quả cầu đồng chất có trọng lượng p — 9 8 ,1 kG chịu nằm ở vị trí cân bằng nhờ hai dây m ềm , không dãn, n h ẹ.A B và CD tạo với nhau góc 150°, cùng nằm trong một m ặt phẳng thẳng đứng (hình vẽ). Dây AB tạo với phương ngang góc 45°. Hãy xác định sức căng T b , T c của các dây. Hình bài ị 2 0 43. Quả cầu đồng chất trọng lượng Q bán kính a và quả cân trọng lượng p cùng treo vào điểm o trên các sại dây m ềm , nhẹ, không dãn, khoảng cách O M = b. Hãy xác định xem khi cân bằng, đưòng thẳng OM tạo với đường thầng íầ \p đứng m ột góc íp bằng bao nhiêu? Hình bài 43 10
4 4 ắ Dầm đồng chất AB trọng lượng p tự a trên hai đường thẳng nghiêng trơn CD và DE trong m ặt phẳng thẳng đứng. Góc nghiêng của đường thẳng th ứ nhất so với phương nằm ngang bằng a , còn của đường thứ hai bằng 90°-o;. Hãy tìm góc nghiêng 0 của dầm so với phương nằm ngang tại vị trí cân bằng và áp lực của nó lên các đường thẳng tựa. 4 5 . T hanh đồng chất AB nặng 1 0 0 kG tựa một đầu trên sàn ngang trơn, còn đầu kia tự a trên mặt phẳng trơn nghiêng một góc 30° so với phương nằm ngang. T hanh đươc giữ bằng sơi dây buôc vào đầu B vắt qua ròng rọc c và m ang tải trọng p , phần BC của dây nằm song song với mặt phẳng nghiêng. Bỏ qua m a sát tai ròng rọc, hãy xác đinh tải trọng p và các áp lực N a , N b lên sàn và m ặt phẳng nghiêng. yi Hình bài 44 Hình bài ị 5 Hình bài 46 4 6 . Chiếc thang đồng chất AB tư a vào tư ờng trơn và nghiêng m ôt góc 45° so với phương nằm ngang, thang nặng 2 0 kG. Một người nặng 60 kG đứng tại điểm D Hãy tìm áp lực của thang lên chỗ tư a A và lên tư ờng. 4 7 . T hang AB trọng lượng p dựa vào tư ờng trơn và tựa trên sàn ngang nháp. Lực ma sát tại điểm B không lớn hơn ụ, N, trong đó ụ, là hệ số ma sát tĩnh, còn N là phản lưc pháp tuyến của sàn. Cần phải đặt thang nghiêng một góc a đối với sàn bằng bao nhiêu để m ột người có trọng lương p có thể trèo Hình bài ị 7 lên đến tân đỉnh thang. 4 8 . Hai quả cầu nhăn đồng chất Ci và c 2 có bán kính R 1, R 2, trọng lượng Pi , p 2 cùng treo vào điểm A bằng các dây AB và AD. Biết A B = i \ \ A D — ¿2, £] -f- R\ — ¿2 " ỉ^2\ §óc A B D = O H i. Hãy xác định góc d lập với dây AD với mặt phẳng nằm ngang AE, sức căng Tị , T2 của các dây và áp lực của quả cầu này lên quả cầu kia. Hình bài \ 8 11