Giáo trình Bài tập giải tích hàm - Phạm Đình Đống

Chia sẻ: Trần Ý Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:75

Thêm vào BST

Báo xấu

708
lượt xem 251
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Bài tập giải tích hàm do Phạm Đình Đống biên soạn giới thiệu tới các bạn những bài tập về giải tích hàm như không gian định chuẩn; không gian Hilbert; toán tử Compact và phổ của toán tử Compact;... Mời các bạn tham khảo giáo trình để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Bài tập giải tích hàm - Phạm Đình Đống

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO (Giáo trình dùng cho sinh viên Đại học, Cao đ ẳng ) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHẠM ĐÌNH Đ ỒNG BÀI TẬP GIẢI TÍCH HÀM Giáo trình dùng cho sinh viên Đại học, Cao đẳng ( Tái bản lần thứ 10) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC
931/GD-01/6730/491-00 Mã số: 5V213P0
Lita To all the girls i love before. Tôi đ n v i gi i tích hàm như m t "s s p đ t c a s ph n". Có l , đó là nguyên nhân đ tôi vi c vi t t p tài li u nh này. Xin nh n m nh r ng, đây ch là s góp nh t khai tri n ch ng có gì là sáng t o. Th nh tho ng có đôi l i khen t ng, tôi l y làm x u h như đã cư ng chi m m t cái gì đó không ph i ph n mình đư c hư ng. Khi m t k bình thư ng quên ư c lư ng tài s c c a mình, vi t v m t đi u quá r ng l n và tr u tư ng ch c h n không th tránh kh i thi u sót. R t mong s ch giáo c a các đ c gi . Nư c muôn sông không đ cho tôi r a tai đ nghe nh ng l i cao lu n. Hu , tháng 5, 2008. Ph m Đình Đ ng
3 Ph.D.Dong "A journey of a thousand miles begin with one step" - Lão T 1 Không gian đ nh chu n Bài t p 1.1. Cho X là m t không gian vectơ , f1 , f2 : X −→ K là các ánh x tuy n tính th a f1 (x)f2 (x) = 0, ∀x ∈ X . Ch ng minh r ng f1 ≡ 0 ho c f 2 ≡ 0. Ch ng minh. Gi s f1 = 0 ta c n ch ng minh f2 = 0. Vì f1 = 0 nên t n t i x1 ∈ X sao cho f1 (x1 ) = 0, lúc đó f2 (x1 f1 (x1 )) = f2 (x1 )f1 (x1 ) = 0 Suy ra f2 (x1 ) = 0 hay x1 ∈ Kerf2 . N u f2 = 0 lúc đó t n t i x2 ∈ X sao cho f2 (x2 ) = 0 thì x2 ∈ Kerf1 . Đ t x0 = x1 + x2 , lúc đó f1 (x0 ) = f1 (x1 ) + f1 (x2 ) = f1 (x1 ) = 0 f2 (x0 ) = f2 (x1 ) + f2 (x2 ) = f2 (x2 ) = 0 =⇒ f1 (x0 )f2 (x0 ) = f1 (x1 )f2 (x2 ) = 0 Mâu thu n v i gi thi t, v y f2 ≡ 0. Bài t p 1.2. Cho X là không gian vectơ , A : X −→ X là ánh x tuy n tính th a A2 = 0. Ch ng minh r ng Id − A là song ánh. Ch ng minh. V i m i x1 , x2 ∈ X th a (Id − A)(x1 ) = (Id − A)(x2 ) ⇒ x1 − A(x1 ) = x2 − A(x2 ) ⇒ A(x1 − x2 ) = x1 − x2 ⇒ A2 (x1 − x2 ) = A(x1 ) − A(x2 ) = 0 ⇒ A(x1 ) = A(x2 ). t đó suy ra x1 = x2 . V y Id − A là đơn ánh. V i m i y ∈ X , xét x = A(y )+ y ∈ X , khi đó (Id − A)(x) = (Id − A)(A(y )+ y ) = A(y ) + y − A(A(y ) + y ) = A(y ) + y − A2 (y ) − A(y ) = y . V y Id − A là toàn ánh. V y Id − A là song ánh. Bài t p 1.3. Cho X, Y là hai không gian vectơ v i dimX = n, dimY = m. Ch ng minh r ng dim(L(X, Y )) = n.m. Ch ng minh. Ta có L(X, Y ) = {f : X −→ Y là các ánh x tuy n tính } là m t không gian vectơ . Lúc đó L(X, Y ) ∼ Matn×m (K), suy ra dim(L(X, Y )) = = dimMatn×m (K). M t khác ta th y Aij là ma tr n sao cho aij = 1, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m còn các v trí còn l i b ng 0 thì lúc đó h g m {(Aij )}, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m
4 Ph.D.Dong là đ c l p tuy n tính. M t khác   a11 . . . a1n  a21 . . . a2n  A= . ... .  . . . . am 1 . . . amn thì n m A= aij Aij i=1 j =1 Do đó {Aij } là h sinh c a Matn×m (K). V y {Aij } là cơ s c a Matn×m (K) và nó có m × n ph n t . V y dim(L(X, Y )) = n.m. Bài t p 1.4. Cho f : X −→ R là ánh x tuy n tính , Y ⊂ X th a Kerf ⊂ Y . Ch ng minh r ng Y = X ho c Y = Kerf . Ch ng minh. Gi s Y là không gian con c a X ch a Kerf th c s . Lúc đó có y0 ∈ Y và y0 ∈ Kerf nên f (y0 ) = 0. / V i m i x ∈ X , ta đ t z = x − f ((y0)) y0 thì fx f (x) f (x) f (z ) = f (x − y0 ) = f (x) − f (y0 ) = f (x) − f (x) = 0 f (y0 ) f (y0 ) f (x) ⇒z =x− y0 ∈ Kerf ⊂ Y f (y0 ) f (x) y0 ∈ Y , t c là X = Y . Suy ra x = z + f (y0 ) Bài t p 1.5. Cho X = {0} là không gian vectơ th c ho c ph c. Ch ng minh r ng ta có th trang b ít nh t m t chu n trên X . Ch ng minh. G i B = {eα | α ∈ I } là cơ s Hamel c a X trên K. Lúc đó m i x ∈ X, x = 0 có th vi t duy nh t dư i d ng n x= xij eij j =1 trong đó n ∈ N, xij ∈ K \ {0}, ij ∈ I, j = 1, n đôi m t phân bi t. Ta đ nh nghĩa n x= xij và x = 0 n u x = 0 j =1 Ta s ch ng minh . là m t chu n trên X . Th t v y,
5 Ph.D.Dong n • L y x ∈ X, x = 0. Lúc đó x = xij eij trong đó n ∈ N, xij ∈ j =1 K \ {0}, ij ∈ I, j = 1, n đôi m t phân bi t. Vì x = 0 nên t n t i ít nh t m t ij = 0. Do đó, x > 0. • V i m i x ∈ X và λ ∈ K, n u x = 0 ho c λ = 0 thì λx = 0, n do đó λx = |λ| x . Gi s x = 0, λ = 0. N u x = xij eij thì j =1 n λxij eij . Suy ra λx = |λ| x . λx = j =1 • L y tùy ý x, y ∈ X . N u x = 0 ho c y = 0 thì x + y = x + y . Ngư c l i, n u x, y = 0, ta xem x có bi u di n như trên và y = m yts ets trong đó m ∈ N, xts ∈ K \ {0}, ts ∈ I, s = 1, m đôi m t phân s=1 bi t. Đ t Cx , Cy ⊂ I như sau Cx = {ij , j = 1, n} và Cy = {ts , s = 1, m} n m N u Cx ∩ Cy = ∅ thì x + y = xij eij + yts ets . Khi đó x + y = s=1 j =1 n m |xts | = x + y . xij + s=1 j =1 Bây gi ta gi s Cxy = Cx ∩ Cy = ∅. Không m t tính t ng quát, gi s in = tm , in−1 = tm−1 , . . . , in−k = tm−k thì Cxy = {in , . . . , in−k } = {tm , . . . , tm−k }. Ta có th bi u di n x + y như sau n −k −1 m−k −1 k x+y = xij eij + yts ets + (xin−l + ytm−l )ein−l s=1 j =1 l=1 v i (xin−l + ytm−l ) = 0, n u nó b ng 0 thì ta không vi t ra. N u x + y = 0 thì x + y ≤ x + y , hi n nhiên. N u x + y = 0 thì n−k −1 m−k −1 k |yts | + x+y = xij + xin−l + ytm−l s=1 j =1 l=1 n −k −1 m−k −1 k ≤ |yts | + xij + ( xin−l + ytm−l ) s=1 j =1 l=1 =x+y
6 Ph.D.Dong Bài t p 1.6. Ki m tra các t p cho dư i đây là không gian đ nh chu n . a) X = Kn , x = (x1 , . . . , xn ), x = max |xi | i=1,n b) X = c, các dãy s th c ho c ph c h i t , x = sup |xn | n∈N c) X = M [a, b], t p g m t t c các hàm s b ch n trên [a, b], x = sup |x(t)| t∈[a,b] b d) X = C[a,b] , các hàm s liên t c trên [a, b], x = ( |x(t)|2 dt)1/2 a ∞ e) X = l1 , t p t t c các dãy s th c ho c ph c (xn )n sao cho |xn | < n=1 ∞ +∞ và x = |xn | n=1 Ch ng minh. a) Ta có v i m i x ∈ X , x ≥ 0. x = 0 ⇒ max |xi | = 0 ⇒ xi = 0 ∀i = 1, n ⇒ x = 0 i=1,n ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K, ta có λx = max |λxi | = |λ| max |xi | = |λ| x i=1,n i=1,n V i m i x, y, z ∈ X , ta có x + y = max |xi + yi | ≤ max |xi | + max |yi | i=1,n i=1,n i=1,n Suy ra x + y ≤ x + y . V y (X, . ) là m t không gian đ nh chu n. b) Tương t a) c) Tương t . b b d) Ta có x = ( |x(t)|2 dt)1/2 ≥ 0 và x = ( |x(t)|2 dt)1/2 = 0 ⇒ a a b |x(t)|2 dt = 0. Gi s x = 0, t c là có (α, β ) sao cho x(t) = 0, ∀t ∈ a β b |x(t)|2 dt ≥ |x(t)|2 dt > 0, mâu thu n. (α, β ) nên a α
7 Ph.D.Dong V i m i x ∈ X, λ ∈ K, ta có λx = |λ| x . ∀x, y ∈ X , ta có theo b t đ ng th c tích phân thì b b b |x(t) + y (t)|2 dt)1/2 ≤ ( |x(t)|2 dt)1/2 + ( |y (t)|2 dt)1/2 ( a a a ⇒ x+y ≤ x + y . V y (X, . ) là m t không gian đ nh chu n. ∞ |xn | ≥ 0, ∀x ∈ X . e) Ta có x = n=1 ∞ |xn | = 0 ⇒ xn = 0, ∀n ∈ N ⇒ x = 0. x= n=1 V i m i x ∈ X, λ ∈ K, ta có λx = |λ| x . ∀x, y ∈ X , ta có |xn + yn | ≤ |xn | + |yn |, ∀n ∈ N ∞ ∞ ∞ ⇒ |xn + yn | ≤ |xn | + |yn | n=1 n=1 n=1 ⇒ x+y ≤ x + y . V y (X, . ) là m t không gian đ nh chu n. Bài t p 1.7. Cho (xn )n , (yn )n là hai dãy Cauchy trong X . Ch ng minh r ng αn = xn − yn h i t . Ch ng minh. Ta ch c n ch ng minh (αn )n là dãy Cauchy trong R thì (αn )n h i t . Th t v y, v i m i m, n ∈ N ta có |αm − αn | = | xm − ym − xn − yn | ≤ xm − ym − xn + yn ≤ xm − xn + ym − yn . Do (xn )n , (yn )n là hai dãy Cauchy trong X nên khi m, n → ∞ thì xm − xn → 0 và ym − yn → 0. Suy ra |αm − αn | → 0 khi m, n → ∞. Bài t p 1.8. Cho . 1 , . 2 , . . . , . là các chu n trên không gian đ nh k chu n X , α1 , α2 , . . . , αk ∈ R∗ . + 1. Ch ng minh max{ . 1 , . . . , . k } là m t chu n. k αk . 2. Ch ng minh là m t chu n. k i=1
8 Ph.D.Dong 3. f ∈ L(X, Y ), Y là không gian đ nh chu n nào đó. Ta đ nh nghĩa : X −→ . R a x −→ f (x) 1 Ch ng minh . là m t chu n khi và ch khi f đơn ánh. a Ch ng minh. 1. Rõ. 2. Rõ. 3. x a = 0 ⇔ f (x) 1 = 0 ⇔ f (x) = 0. f (x) = 0 ⇒ x = 0 ⇒ ker f = 0. V y f đơn ánh. Các công vi c còn l i xin dành cho đ c gi . = sup |f (t)|, Bài t p 1.9. Cho a > 1. Trên C [0, 1] xét các chu n sau f ∞ t∈[0,1] 1 = a |f (t)| dt, ∀f ∈ C [0, 1]. Ch ng minh f = min{ f 1 , f ∞} f là 1 0 m t chu n khi và ch khi a ≤ 1 Ch ng minh. N u a ≤ 1 thì f 1 ≤ f ∞ nên f = f 1 , rõ ràng là m t chu n. L y fn (t) = tn , ∀t ∈ [0, 1], ∀n ≥ 0. Khi đó f0 1 = a, f0 ∞ = 1, do a đó f0 = min(1, a). M t khác fn 1 = n+1 , fn ∞ = 1, do đó fn = a 1 min(1, n+1 ), ∀n ≤ 1. ∀n, ta có f0 + fn 1 = a(1 + n+1 ), f0 + fn ∞ = 2, do 1 đó f0 + fn = min(2, a(1 + n+1 )). N u . là m t chu n thì nó th a b t đ ng th c tam giác, t c là 1 a )) ≤ min(1, a) + min(1, min(2, a(1 + ) n+1 n+1 Cho n → ∞ ta đư c min(2, a) ≤ min(1, a) + min(0, 1) Suy ra min(2, a) ≤ min(1, a), t c là a ≤ 1.1 Bài t p 1.10. Cho X là m t không gian đ nh chu n. Tìm t t c các không gian con c a X ch a trong m t hình c u. 1 min c a hai chu n chưa h n là chu n.
9 Ph.D.Dong Ch ng minh. Gi s L là không gian con c a X và B (a, ) ⊂ X sao cho L ⊂ B (a, ). L y x ∈ L tùy ý. Khi đó nx ∈ L, ∀n ∈ N. Vì L ⊂ B (a, ) nên nx ∈ B (a, ), t c là nx − a < , ∀n ∈ N, t đó nx ≤ nx − a + a < +a . Cho n → ∞ ta có x = 0, hay x = 0. V y + a . Suy ra x < n L = {0}. Bài t p 1.11. Cho X là m t không gian đ nh chu n. Tìm t t c các không gian con c a X ch a m t hình c u. Ch ng minh. G i L là không gian con c a X sao cho B (a, ) ⊂ L. Rõ ràng a ∈ L. L y x ∈ B (0, ), t c là x < . Khi đó a + x ∈ B (a, ) ⊂ L. Suy ra x ∈ L, t c là B (0, ) ⊂ L. x x M t khác ∀x ∈ X, x = 0 ta có ∈ B (0, ) nên ∈ L. Vì L là 2x 2x không gian con nên x ∈ L. Do đó, X ⊂ L. V y L = X . Bài t p 1.12. Cho X là không gian đ nh chu n và G là không gian con ◦ c a X . Ch ng minh r ng ho c G = X ho c G= ∅. ◦ Ch ng minh. N u G= ∅ thì theo bài 1.11 ta có G = X . Bài t p 1.13. Cho X, Y là hai không gian đ nh chu n. A : X −→ Y là toán t tuy n tính liên t c, (An )n là dãy các toán t tuy n tính liên t c t X vào Y . Kí hi u U = {x ∈ X | An x không h i t v Ax} và V = {x ∈ X | (An x)n không ph i là dãy Cauchy } Ch ng minh r ng U và V ho c b ng ∅ ho c trù m t trong X . Ch ng minh. Ta có CU = X \U = {x ∈ X | An x h i t v Ax} Rõ ràng X \U là m t không gian con c a X . Gi s x0 ∈ U và n u x ∈ CU thì ∀λ ∈ K, λ = 0, x + λx0 ∈ U . Th t v y, n u ngư c l i x + λx0 ∈ CU 1 ta suy ra x0 ∈ CU , vô lý. Lúc đó ∀x ∈ CU , ∀n ∈ N, x + x0 ∈ U và dãy n 1 x + x0 → x nên x ∈ U , t c là CU ⊂ U . Do đó, X = U ∪ CU ⊂ U . V y n U = X. Tương t cho V .
10 Ph.D.Dong Bài t p 1.14. Cho X là m t không gian đ nh chu n và A ⊂ X sao cho X \A là không gian con tuy n tính c a X . Ch ng minh A ho c b ng ∅ ho c trù m t trong X . ◦ Ch ng minh. Theo gi thi t X \A= ∅ ho c X \A = X . Suy ra A = ∅ ho c X \A = ∅, t c là A = ∅ ho c A = X . Do đó, A ho c b ng ∅ ho c trù m t trong X . Bài t p 1.15. Ch ng minh r ng trong không gian đ nh chu n X , B (x0 , r) = B (x0 , r) và int(B (x0 , r)) = B (x0 , r). Ch ng minh. 1. B (x0 , r) = B (x0 , r). Ta có B (x0 , r) ⊂ B (x0 , r), do B (x0 , r) đóng nên B (x0 , r) ⊂ B (x0 , r). Ngư c l i, l y x ∈ B (x0 , r) thì x − x0 ≤ r. Ta ch n dãy (xn )n như sau 1 1 xn = 1 − x + x0 , n n 1 1 1 1 xn − x0 = 1 − n x + n x0 − x0 = (1 − n )(x − x0 ) = (1 − n ) x − x0 ≤ x − x0 ≤ r , ⇒ xn − x0 ≤ r, ∀n ∈ N∗ hay xn ∈ B (x0 , r), ∀n ∈ N∗ hay (xn )n ⊂ B (x0 , r). 1 1 1 1 Ta có xn − x = 1 − n x + n x0 − x = n (−x + x0 ) = n (−x + x0 ) ≤ r n , ∀n. Suy ra xn − x → 0, n → ∞ V y x ∈ B (x0 , r) hay B (x0 , r) ⊃ B (x0 , r). 2. int(B (x0 , r)) = B (x0 , r) Ta có B (x0 , r) ⊂ B (x0 , r), suy ra B (x0 , r) ⊂ int(B (x0 , r)). M t khác, v i m i x ∈ int(B (x0 , r)) ta c n ch ng minh x − x0 < r. Gi s x − x0 = r. Vì x ∈ int(B (x0 , r)) nên có s > 0 sao cho B (x, s) ∈ int(B (x0 , r)). Ta l y x1 = (1 + 2sr )x − sxr0 , lúc đó x1 − x = 2 (1 + 2sr )x − sxr0 − x = 2sr x − x0 = 2sr .r = 2 < s. s 2 Suy ra x1 ∈ B (x, s) nên x1 ∈ int(B (x0 , r)) (∗). Hơn n a, x1 − x0 = (1 + 2sr )x − sxr0 − x0 = (1 + 2sr ) x − x0 = 2 (1 + 2sr )r = r + 2 > r. s ⇒ x1 ∈ B (x0 , r) ⇒ x1 ∈ int(B (x0 , r)), mâu thu n v i (∗). / / V y x − x0 < r hay x ∈ B (x0 , r). Suy ra int(B (x0 , r)) = B (x0 , r). NH N XÉT: Các kh ng đ nh trên không đúng trong không gian mêtric. Ch ng h n, đ i v i mêtric r i r c2 (X, d) ta có B (x0 , 1) = X và 2 Ta nên nghĩ đ n mêtric này khi tìm ph n ví d v s khác nhau gi a không gian đ nh chu n và không gian mêtric. Đây là m t trong nh ng ví d ch ng t m t mêtric chưa h n sinh ra m t chu n.
11 Ph.D.Dong B (x0 , 1) = {x0 }. M t ví d khác là không gian mêtric (N, d) v i d đư c đ nh nghĩa như sau:  0 n um=n 1 d(m, n) = n un=m  1 + min(m, n) Ta có B (0, 1) = B (0, 1). Th t v y, B (0, 1) = {n ∈ N : d(n, 0) ≤ 1} = {n ∈ N} = X B (0, 1) = {n ∈ N : d(n, 0) < 1} = {0} B (0, 1) = {0} Bài t p 1.16. Cho A, B ⊂ X . Ch ng minh r ng 1. A đóng, B compact thì A + B đóng. 2. A, B compact thì A + B compact. 3. A, B đóng mà A + B không đóng. Ch ng minh. 1. A đóng, B compact thì A + B đóng. L y (zn )n ⊂ A + B , zn → z . Ta c n ch ng minh z ∈ A + B . Do (zn )n ⊂ A + B nên zn = xn + yn , xn ∈ A, yn ∈ B ∀n ∈ N. Vì (yn )n ⊂ B và B compact nên có dãy con ynk → y0 ∈ B , và do dãy con znk cũng h i t v z nên xnk = znk − ynk h i t v z − y0 . Do A đóng nên z − y0 = x0 ∈ A hay z = x0 + y0 ∈ A + B . V y zn → z ∈ A + B nên A + B là đóng. 2. A, B compact thì A + B compact. L y (zn )n ⊂ A + B khi đó zn = xn + yn , xn ∈ A, yn ∈ B ∀n ∈ N. Vì A, B compact nên t n t i hai dãy con (xnk ⊂ (xn )n ) và ynl ⊂ (yn )n sao cho xnk → a0 ∈ A, ynl → b0 ∈ B T hai dãy con trên ta trích ra đư c hai dãy con xnkj , ynk j sao cho xnkj → a0 ∈ A, ynk j → b0 ∈ B ⇒ znkj = xnkj + ynk j → a0 + b0 ∈ A + B 3. A, B đóng mà A + B không đóng. 1 A = {n + |n ∈ N} n B = {−n|n ∈ N}
12 Ph.D.Dong 1 A, B đóng và A + B ⊃ { n |n ∈ N} 1 nhưng ( n )n∈nn ⊂ A + B d n v 0 và 0 ∈ A + B / V y A + B không đóng. Bài t p 1.17. N u B (x0 , r) ⊂ X và Y là không gian con c a không gian đ nh chu n X th a B (x0 , r) ⊂ Y . Ch ng minh X = Y . Ch ng minh. Ta ch c n ch ng minh X ⊂ Y . Th t v y, ∀x ∈ X , l y y = 1+r x x + x0 , lúc đó rx y − x0 =
13 Ph.D.Dong hay sup |xi − xi | → 0, k, m → ∞ k m i∈N Suy ra |xi − xi | → 0, k, m → ∞, ∀i ∈ N m k ⇒ (xn )n là dãy Cauchy trong K nên xi → xi ∈ K, ∀i =∈ N. i n 0 Đ t x0 là dãy (xn )n∈N ta s ch ng minh dãy này h i t . Th t v y, t 0 b t đ ng th c |xn −xm | = |xn −xn +xn −xm +xm −xm | ≤ |xn −xn |+|xn −xm |+|xm −xm | 0 0 0 k k k k 0 0 k k k k 0 ta có (xn )n∈N là dãy Cauchy trong K nên x0 h i t . 0 Ti p theo, ta s ch ng minh (xn )n h i t v x0 trong X . xn − x0 = sup |xi − xi | n 0 i∈N L y > 0 b t kì, do xk → x0 khi k → ∞ nên v i m đ l n thì n n |xk → x0 | < 2 , ∀n ∈ N nên n n xn − x0 = sup |xi − xi | ≤ < n 0 2 i∈N hay xn → x0 , n → ∞. c) X là không gian Banach. Th t v y, l y (xn )n là m t dãy Cauchy trong X, ta có xn − xm → 0, n, m → ∞ hay sup |xn (t) − xm (t)| → 0, k, m → ∞ t∈[a,b] Suy ra |xn (t) − xm (t)| → 0, k, m → ∞, ∀t ∈ [a, b] ⇒ (xn (t))n là dãy Cauchy trong K nên xn (t) → x0 (t) ∈ K, ∀t ∈ [a, b]. Xét x0 : [a, b] −→ K t −→ x0 (t) = lim xn (t) n→∞ Lúc đó x0 là m t hàm s và ta s ch ng minh nó b ch n. Ta có xn − xm → 0, n, m → ∞. L y = 1, ∃n0 > 0 sao cho v i n, m ≥ n0 thì xn − xm < 1 ⇒ xn0 − xm < 1 ⇒ xm ≤ xn0 + 1. Vì xn0 b ch n nên ∃Kn0 > 0 sao cho |xn0 (t)| < Kn0 ∀t ∈ [a, b]. Do đó xn0 = sup |xn0 (t)| ≤ Kn0 . t∈[a,b] V y xm = sup xm (t) ≤ Kn0 + 1, ∀m ≥ n0 . t∈[a,b]
14 Ph.D.Dong { xm , Kn0 + 1} < +∞. Lúc đó xm ≤ K, ∀m ∈ Đ tK= max m=1,...,n0 −1 = sup xm (t) ≤ K, ∀m ∈ N, nên |x0 (t)| = N. M t khác, xm t∈[a,b] | lim xn (t)| ≤ K, ∀t ∈ [a, b]. V y x0 b ch n. n→∞ Hơn n a, do x0 (t) = lim xn (t) nên |xn (t) − x0 (t)| → 0, n → ∞, suy n→∞ ra xn − x0 = sup |xn (t) − x0 (t)| ≤ t∈[a,b] v i n đ l n, t c là xn → x0 , n → ∞. d) X không là không gian Banach. e) X là không gian Banach3 . Th t v y, ta l y (xn )n là m t dãy Cauchy trong X , lúc đó ∞ m n |xm − xk | → 0, m, k → ∞ x −x = n n n=1 Suy ra ∀ > 0, t n t i n0 > 0 sao cho v i m i m, k ≥ n0 thì s |xm − xk | < , ∀s ∈ N(∗) n n n=1 Và ta cũng có |xm − xk | → 0, m, k → ∞. Lúc đó (xn )m∈N là dãy n n m Cauchy trong K nên nó h i t , kí hi u xm = lim xm và x0 = (x0 )m∈N . 0 n m n→∞ Ta s ch ng minh xn → x0 , n → ∞. Trong (∗) cho m → ∞ ta có ∀m ≥ n0 s |xm − x0 | ≤ , ∀s ∈ N n n n=1 s |xm − x0 | ≤ ⇒ lim n n s→∞ n=1 ∞ |xm − x0 | ≤ ⇒ n n n=1 Suy ra (y )n = (x − x )n ∈ X mà xn ∈ X nên x0 ∈ X . K t h p v i n n 0 ∞ m 0 |xm − x0 | ≤ , ∀m ≥ n0 x −x = n n n=1 3 Sau khi xét dãy Cauchy (xn )n ta đã ti n hành theo 3 bư c. Bư c 1: Ta d đoán gi i h n x0 c a dãy (xn )n . Bư c 2: Ta ch ng minh x ∈ X . Bư c 3: Ch ng minh (xn )n h i t v x0
15 Ph.D.Dong ⇒ xm → x0 , m → ∞. Ta có đi u c n ch ng minh. Bài t p 1.19. Cho M là m t t p con c a X . Ch ng minh r ng a) N u M l i thì M l i. b) B (x0 , r) và B (x0 , r) là l i. Ch ng minh. a) ∀x, y ∈ M , ∀α, β ≥ 0 th a α + β = 1 t n t i (xn )n ⊂ M và (yn )n ⊂ M sao cho xn → x, yn → y, n → ∞. Lúc đó vì M l i nên αx+βy ∈ M, ∀n hay (αx + βy )n ⊂ M h i t v αx + βy ∈ M . V y M l i b) B (x0 , r) là l i. Th t v y, ∀x, y ∈ B (x0 , r), ∀λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ)x − x0 = λ(x − x0 ) + (1 − λ)(y − x0 ) ≤ λ x − x0 + (1 − λ) y − x0 ≤ λr + (1 − λ)r = r ⇒ λx + (1 − λ)x ∈ B (x0 , r) hay B (x0 , r) l i. Hoàn toàn tương t cho B (x0 , r). Bài t p 1.20. 1. Cho X là không gian Banach và Y là m t không gian con đóng c a X . Ch ng minh r ng X/Y là Banach. 2. Cho M là không gian con c a không gian đ nh chu n X sao cho M và X/M là Banach. Ch ng minh r ng X Banach. Ch ng minh. ∞ 1. X/Y là Banach. L y xn là m t chu i h i t tuy t đ i trong không n=1 gian thương X/Y . Ta c n ch ng minh nó h i t trong X/Y . Ta có xn = inf x = inf xn + x x∈Y x∈xn nên v i m i n ∈ N, t n t i un sao cho 1 xn + un = xn + 2n Do đó ∞ ∞ ∞ ∞ 1 xn + un = xn + = xn + 1 2n n=1 n=1 n=1 n=1
16 Ph.D.Dong ∞ xn + un h i t tuy t đ i trong không gian Banach X V y chu i n=1 nên h i t . G i x0 là t ng c a chu i. Khi đó n (xn + un ) − x0 lim n→∞ k =1 n n (xn + un ) − x0 là m t ph n t c a l p tương đương (xn + và k =1 k =1 n un ) − x0 = xn − x0 nên k =1 n n xn − x0 = (xn + un ) − x0 k =1 k =1 n n ⇒ lim xn − x0 ≤ lim (xn + un ) − x0 = 0 n→∞ n→∞ k =1 k =1 ∞ n ⇒ lim xn − x0 = 0 hay xn → x0 . n→∞ k =1 k =1 V y không gian thương X/Y là Banach. 2. X Banach. L y (xn )n ⊂ X là m t dãy Cauchy trong X , lúc đó ∀ > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 : xn − xm < . Ta có (xn ) ⊂ X/M nên xn − xm = x ≤ xn − xm inf x∈(xn −xm ) ⇒ (xn )n là dãy Cauchy trong X/M , do đó xn → x0 ∈ X/M . 1 V i m i n ∈ N có αn ∈ M sao cho xn − x0 + αn ≤ xn − x0 + n . Suy ra αn − αm ≤ αn + xn − x0 + xn − xm + αm + xm − x0 1 1 ≤ xn − x0 + + xm − x0 + + xn − xm n m Cho n, m → ∞ ta có αn − αm → 0, t c là (αn )n là dãy cơ b n trong M nên αn → α0 . Ta s ch ng minh xn → x0 + α0 . Ta có 1 xn − x0 − α0 ≤ αn + xn − x0 + αn − α0 ≤ xn − x0 + + αn − α0 n Cho n → ∞ ta có xn − x0 − α0 → 0. V y lim xn = x0 + α0 . n→∞ V y X là không gian Banach.
17 Ph.D.Dong NH N XÉT: M t ví d minh h a. Cho X = C[0,1] và M là t p con c a X các hàm s tri t tiêu t i 0. Khi đó M là không gian vectơ con c a X và do đó X/M cũng là không gian vectơ. Ta đ nh nghĩa ánh x φ : X/M −→ C như sau φ([f ]) = f (0), ∀[f ] ∈ X/M . Đ nh nghĩa trên là h p lý vì n u f ∼ g thì f (0) = g (0). Ta có φ tuy n tính vì ∀s, t ∈ C và ∀f, g ∈ X , φ(t[f ] + s[g ]) = φ([tf + sg ]) = tf (0) + sg (0) = tφ([f ]) + sφ([g ]) Hơn n a, φ([f ]) = φ([g ]) ⇔ f (0) = g (0) ⇔f ∼g ⇔ [f ] = [g ] V y φ là đơn ánh. V i m i s ∈ C ta luôn có f ∈ X và f (0) = s sao cho φ([f ]) = s. Do đó φ là toàn ánh. T đó, φ là đ ng c u tuy n tính t X/M vào C. Ta th y r ng M là không gian con đóng c a X v i chu n . ∞ (chu n max) và X/M là không gian Banach v i chu n thương tương ng. Ta có [f ] = inf { g : g ∈ [f ]} ∞ = inf { g : g (0) = f (0)} ∞ = |f (0)| ( l y g (t) = f (0), ∀t ∈ [0, 1]) Suy ra [f ] = φ([f ]) , v i m i [f ] ∈ X/M hay φ b o toàn chu n. Vì v y X/M ≡ C Bây gi , xét X v i chu n . 1 . Khi đó M không đóng trong X . Th t v y, xét dãy 1 nt n u 0 ≤ t ≤ n gn (t) = 1 n u n ≤t≤1 1 Khi đó gn ∈ M và gn → 1 theo chu n . 1 nhưng 1 ∈ M . "Chu n / thương" lúc này cũng không còn là chu n. Th t v y, [f ] = 0, ∀[f ] ∈ X/M . Đi u này có th gi i thích như sau, l y f ∈ X , v i m i n ∈ N, ta đ t h( t) = f (0)(1 − gn (t)) v i gn (t) đư c xác đ nh như trên. Khi đó |f (0)| hn (0) = f (0) và hn = . Do đó, 2n |f (0)| inf { g 1 | g (0) = f (0)} ≤ h ≤ 1 2n Suy ra [f ] = inf { g : g ∈ [f ]} = 0. 1
18 Ph.D.Dong 11 Bài t p 1.21. Cho f ∈ L( E, µ), g ∈ Lq (E, µ), p, q > 0 và + = 1. pq Ch ng minh r ng d u ” = ” x y ra khi và ch khi ∃c1 , c2 , c2 + c2 = 0 : 1 2 c1 |f (x)|p = c2 |g (x)|q , đ i v i b t đ ng th c Holder v tích phân: 1 1 |f |p dµ) p ( |g |q dµ) q |f g | dµ ≤ ( E E E Ch ng minh. Trong ch ng minh này ta s dùng b t đ ng th c Young : 11 a, b ≥ 0, p, q > 0 và + = 1 pq ap b q ab ≤ + p q D u ” = ” x y ra khi và ch khi ap = bq . • B t đ ng th c Holder v tích phân: N u |f |p dµ = 0 ho c |g |q dµ = 0 thì |f |p ho c |g |q h u kh p nơi, E E suy ra v trái cũng b ng 0 nên b t đ ng th c đúng. N u |f |p dµ = ∞ ho c |g |q dµ = ∞ thì b t đ ng th c đúng. E E p |g |q dµ < ∞, lúc đó ta l y a = |f | dµ < ∞ và 0 < Xét 0 < E E |f | |g | và b = . Áp d ng b t đ ng th c Young cho 1 1 ( |f |p dµ) ( |g |q dµ) q p E E a và b ta có: |f |p |g |q |f | |g | 1≤ + p |f |p dµ q |g |q dµ 1 ( |f |p dµ) p ( |g |q dµ) q E E E E L y tích phân hai v trên E ta có |f |p dµ |g |q dµ |f | |g | dµ 11 E E E ≤ + = + =1 p q 1 1 |f | dµ |g | dµ ( |f | dµ) ( |g |q dµ) p pq p q p q E E E E Suy ra 1 1 |f |p dµ) p ( |g |q dµ) q |f g | dµ ≤ ( E E E