Bài giảng trọng tâm Mũ- Logarith

Chia sẻ: | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:90

Thêm vào BST

Báo xấu

137
lượt xem 49
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

• Giải được phương trình mũ và logarit dạng cơ bản nhất, tương ứng với mức độ thi THPT • Không đầu tư nhiều thời gian vào chuyên đề này vì học sinh còn chuẩn bị cho các bộ môn khác • Từ bài tập cơ bản nâng lên các bt mức độ cao hơn

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng trọng tâm Mũ- Logarith

Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 1 LUY N THI I H C TR C TUY N §ÆNG VIÖT HïNG BÀI GI NG TR NG TÂM MŨ – LOGA H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 2 01. I CƯƠNG V MŨ VÀ LOGARITH I. CÁC CÔNG TH C CƠ B N V LŨY TH A 1) Khái ni m v Lũy th a Lũy th a v i s mũ t nhiên: a n = a.a.a...a, v i n là s t nhiên. 1 Lũy th a v i s nguyên âm: a − n = n , v i n là s t nhiên. a ( a) m m Lũy th a v i s mũ h u t : a n = n a m = n v i m, n là s t nhiên. 1 t bi t, khi m = 1 ta có a n = n a . 2) Các tính ch t cơ b n c a Lũy th a  a 0 = 1, ∀a  Tính ch t 1:  1  a = a, ∀a   a > 1: a m > a n ⇔ m > n Tính ch t 2 (tính ng bi n, ngh ch bi n):  0 < a < 1: a > a ⇔ m < n m n   am > bm ⇔ m > 0 Tính ch t 3 (so sánh lũy th a khác cơ s ): v i a > b > 0 thì  m a < b ⇔ m < 0 m  Chú ý: + Khi xét lu th a v i s mũ 0 và s mũ nguyên âm thì cơ s a ph i khác 0. + Khi xét lu th a v i s mũ không nguyên thì cơ s a ph i dương. 3) Các công th c cơ b n c a Lũy th a Nhóm công th c 1: Nhóm công th c 2: a m .a n = a m + n ( ) m 1 1 1 m n am = a n = n a  a = a 2 ; → 3 a = a3 ; n a = an am = a m−n n ab = n a . n b , ∀a, b ≥ 0 an (a ) m n = a mn = ( a n ) a na m n = , ∀a ≥, b > 0 b nb Ví d 1: Vi t các bi u th c sau dư i d ng lũy th a v i s mũ h u t , (coi các bi u th c ã t n t i) b3 a a) A = 4 x 2 3 x . b) B = 5 . c) C = 5 23 2 2 . a b 23 3 2 5 b2 b d) D = 3 . e) D = 4 3 a8 . f) F = . 3 2 3 3 b b Ví d 2: Có th k t lu n gì v s a trong các trư ng h p sau? −0,2 − 2 − 1 −3 −1 1 a) ( a − 1) 3 < ( a − 1) 3 . b) ( 2a + 1) > ( 2a + 1) . c)   < a2 . a 1 1 − − 1 − 1 3  1 2  1  d) (1 − a ) > (1 − a ) e) ( 2 − a)4 > (2 − a) . 2 2 3 2 . f)   >   . a a Ví d 3: Tính giá tr các bi u th c sau: −1    ( ) ( ) 1 1 a) A =  3+ 2 − 3− 2 2  3+ 2 2 + 3− 2       H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 3 b) B = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 . 4x Ví d 4: Cho hàm s f ( x) = . 4x + 2 a) Ch ng minh r ng n u a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1.  1   2   2010  b) Tính t ng S = f  + f   + ... + f  .  2011   2011   2011  Ví d 5: So sánh các c p s sau 5 10 10 5 2 3 π 2 π 3 π π  3 4  4 2 a)   và   b)   và   c)   và   2 2 2 5 5 7 3 2 5 2 6 7 π π d)   và   e)   và   7 8 6 5 Ví d 6: Tìm x th a mãn các phương trình sau? x +1 5 2 8 1 1) 4 x = 5 1024 2)   = 3) 81 − 3 x = 25 125 32 x−2 x −x x 2 −5 x + 6 1 2  8  3 4) ( 3 3 ) 2x 27 =  5)   .   = 6)   =1 9  9   27  64 2 −x 3 x −7 7 x −3 1  0, 25   9  7 7) .322 x −8 =   8) 0, 2 x = 0,008 9)   =  0,125  8   49  3 10) ( 12 ) . ( 3 ) = x x 1 1 11) 71− x.41− x = 6 28 II. CÁC CÔNG TH C CƠ B N V LOGARITH 1) Khái ni m v Logarith Logarith cơ s a c a m t s x > 0 ư c ký hi u là y và vi t d ng y = log a x ⇔ x = a y Ví d : Tính giá tr các bi u th c logarith sau log 2 4; log 3 81; log 2 32; log 2 (8 2 ) Hư ng d n gi i: • log 2 4 = y ⇔ 2 = 4 ⇔ y = 2  log 2 4 = 2 y → • log 3 81 = y ⇔ 3y = 81 = 34 ⇔ y = 4  log3 81 = 4 → ( 2 ) = 32 = 2 = ( 2 ) ⇔ y = 10  log 32 = 10 y 10 • log 2 32 = y ⇔ 5 → 2 (8 2 ) = y ⇔ ( 2 ) = 8 2 = 2 . 2 = ( 2 ) ⇔ y = 7  log (8 2 ) = 7 y 7 • log 2 3 → 2 Chú ý: Khi a = 10 thì ta g i là logarith cơ s th p phân, ký hi u là lgx ho c logx Khi a = e, (v i e ≈ 2,712818…) ư c g i là logarith cơ s t nhiên, hay logarith Nepe, ký hi u là lnx, ( c là len- x) 2) Các tính ch t cơ b n c a Logarith • Bi u th c logarith t n t i khi cơ s a > 0 và a ≠ 1, bi u th c dư i d u logarith là x > 0. • log a 1 = 0 ;log a a = 1, ∀a b > c ⇔ a > 1 • Tính ng bi n, ngh ch bi n c a hàm logarith: log a b > log a c ⇔  b < c ⇔ 0 < a < 1 3) Các công th c tính c a Logarith Công th c 1: log a a x = x, ∀x ∈ » ,(1) Ch ng minh: Theo nh nghĩa thì hi n nhiên ta có log a a x = x ⇔ a x = a x H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 4 ( 2) 8 Ví d 1: log 2 32 = log 2 25 = 5;log 2 16 = log 2 24 = log 2 = 8... Ví d 2: Tính giá tr các bi u th c sau: a 5 a 3 a2 a) P = log 1 . b) Q = log a a a a a. a a4 a Hư ng d n gi i: 1 2 1 2 28 67 1+ + a 5 a 3 a2 a.a 5 .a 3 a 5 3 a 15 28 3 − 67 67  1 − 60  67 a) Ta có = = = = a 15 4 = a 60  P = log 1 → a 60 = log 1   = − .   a4 a 1 1 1 1 + 3 a  60 a a a 2 .a 4 a2 4 a4 1 3 7 15 15 15 15 b) Ta có a a a a = a a a.a 2 = a a.a 4 = a.a 8 = a 16  Q = log → a a 16 = log a ( a)8 = 8 . Ví d 3: Tính giá tr các bi u th c sau: 1) log 1 125 = ..................................................... 2) 5 log 2 64 = .................................................................... 3) log16 0,125 = .................................................. 4) log 0,125 2 2 = .......................................................... 5) log 3 3 3 3 3 = ................................................ 6) log 7 7 8 7 7 343 = ............................................................ Ví d 4: Tính giá tr các bi u th c sau: ( ) a) P = log a a 3 a 5 a = .................................................................................................................................. ( ) b) Q = log a a 3 a 2 4 a 5 a = ............................................................................................................................ Công th c 2: a log a x = x, ∀x > 0 , (2) Ch ng minh: t log a x = t ⇒ x = at , ( 2 ) ⇔ at = at log 3 4 1 ( )  1 1 = ( 3 ) 2  = ( 3 )  2 = ( 4 ) 2 = 2... log 3 4 log 3 4 Ví d 1: 2log 2 3 = 3, 5log5 6 = 6, 3     Ví d 3: Tính giá tr các bi u th c sau: log 2 64 1) 2log8 15 = ..................................................... 2) 2 2 = ....................................................................  log81 5 1 3)   = ..................................................... 4)  3   log3 4 ( 9) 3 = .................................................................... Công th c 3: log a ( x. y ) = log a x + log a y , (3) Ch ng minh:  x = a log a x  Áp d ng công th c (2) ta có   x. y = a log a x .a log a y = a log a x + log a y → y = a log a y  Áp d ng công th c (1) ta ư c : log a ( x. y ) = log a aloga x + loga y = log a x + log a y ⇒ dpcm Ví d 1: Tính giá tr các bi u th c sau: a) log 2 24 = log 2 ( 8.3) = log 2 8 + log 2 3 = log 2 23 + log 2 3 = 3 + log 2 3 b) log 3 81 = log 3 ( 27.3 ) = log 3 27 + log 3 3 = log 3 33 + log 3 3 = 3 + 1 = 4 Ví d 2: Tính giá tr các bi u th c sau: 4 4 10 a) log 2 4 3 16 = log 2 4 + log 2 3 16 = log 2 22 + log 2 2 3 = 2 + = . 3 3 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 5 1 1 −3 − 1   1 1 10 3 3 b) log 1 27 3 = log 1 27 + log 1 3 3  3 = log 1 3 + log 1 3 = log 1   + log 1   3 = −3 − = − .  3    3   3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 2 c) log 2 8 5 32 = log 2 8 + log 2 5 32 = log 2 23 + log 2 2 = log 2 ( 2) + log 2 ( 2) = 6 + 2 = 8.  x Công th c 4: log a   = log a x − log a y , (4)  y Ch ng minh:  x = a log a x  x a log a x Áp d ng công th c (2) ta có   = log y = a log a x −log a y → y = a a log y y a a  x Áp d ng công th c (1) ta ư c : log a   = log a a loga x − loga y = log a x − log a y ⇒ dpcm  y 5 4 32 5 4 7 Ví d : log 2 3 = log 2 32 − log 2 3 16 = log 2 2 2 − log 2 2 3 = − = . 16 2 3 6 Công th c 5: log a b = m.log a b , (5) m Ch ng minh: ( ) m Theo công th c (2) ta có b = a loga b ⇒ b m = a loga b = a m.loga b Khi ó log a bm = log a a m.loga b = m.log a b ⇒ dpcm log 2 27 = log 2 33 = 3log 2 3; log 5 36 = log 5 62 = 2log 5 6 Ví d 1: 1 1 5 log 2 4 32 = log 2 ( 32 ) 4 = log 2 32 = 4 4 Ví d 2: −4 1 62.45 1 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1 62 − log 1 400 + log 1 45 = log 1 = log 1 81 = log 1   = −4. 3 2 3 3 3 3 3 3 20 3 3 3 1 50 3 Ví d 3: log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5 = log 5 25 = 2. 2 2 3 1 Công th c 6: log a n b = log a b , (6) n Ch ng minh: ( ) y t log a n b = y ⇒ a n = b ⇔ a ny = b 1 L y logarith cơ s a c hai v ta ư c : log a a ny = log a b ⇔ ny = log a b ⇒ y = log a b n 1 hay log a n b = log a b ⇒ dpcm n 1 log 2 16 = log 1 16 = log 2 16 = 2.4 = 8. 22 1 2 Ví d 1 : 1 log 5 2 64 = log 1 64 = log 2 64 = 5.6 = 30. 25 1 5 m H qu : T các công th c (5) và (6) ta có : log an b m = log a b n 3 ( 32 2 ) = log( ) ( 2 ) 1 (5 ) 9 11 11 11 Ví d 2: log 3 5 4 125 = log 1 3 4 = 4 log 5 5 = ; log 2 3 = log 2= . 53 1 4 2 2 3 2 3 3 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 6  27  log 3 3 27 + log 1  5  3  9 Ví d 3: Tính giá tr bi u th c A = 4 . 1 1 log 3 + log 1   3   81 3 Hư ng d n gi i: (3 3 ) 2 log 3 3 27 = log 3 3 =2  33  1  27  13  = 13 26 log 1  5  = log − 1 log 3 3 5 = −2. = − . 3  9   52  1 5 5  − 3 2 3 2  27  log 3 3 27 + log 1  5  26 2− 1 3  9  5 = 4. log = log 1 3−4 = −4.2 log 3 3 = −8  A = → = 3 81 32 1 1 4 −8 + 4 5 log 3 + log 1   3  81 3 log c b Công th c 7: (Công th c i cơ s ) log a b = , (7) log c a Ch ng minh: ( ) Theo công th c (2) ta có b = a loga b ⇒ log c b = log c a loga b = log a b.log c a ⇒ log a b = log c b log c a ⇒ dpcm Nh n xét : + cho d nh thì ôi khi (7) còn ư c g i là công th c “ch ng” cơ s vi t theo d ng d nh n bi t như sau log a b = log a c.log c b log b b 1 + Khi cho b = c thì (7) có d ng log a b = = . log b a log b a Ví d 1: Tính các bi u th c sau theo n s ã cho: a) Cho log 2 14 = a  A = log 2 49 = ? → b) Cho log15 3 = a  B = log 25 15 = ? → Hư ng d n gi i: a) Ta có log 2 14 = a ⇔ a = log 2 ( 2.7 ) = 1 + log 2 7 ⇒ log 2 7 = a − 1. Khi ó A = log 2 49 = 2log 2 7 = 2 ( a − 1) .  1 1− a 1 1 log 3 5 = a − 1 = a  b) Ta có log15 3 = a ⇔ a = =   → log 3 15 1 + log 3 5 log 3 = a  5  1− a 1 1 log 3 15 1 1 B = log 25 15 = = a = a =  B = → . log 3 25 2log 3 5 2 1 − a 2 (1 − a ) 2 (1 − a ) a Ví d 2: Cho log a b = 3. Tính b b a) A = log b . b) B = log ab . a a a Hư ng d n gi i: 1 T gi thi t ta có log a b = 3 ⇒ log b a = . 3 a) b 1 1 1 1 A = log = log b − log a= − = − = b a b b  b  b  log b − log a log b − log a a a a log b   a  log a  a     b b a a     H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 7 1 1 1 1 3 −1 3 −1 = − = − =  A = → . 1 − 2log b a log a b − 2 1 − 2 3 −2 3−2 3 −2 3 2 b  b log a Cách khác: Ta có ư c A = log b = log b b a = log a b − 1 = 3 − 1  b  2   = log b =  a a a log b log a b − 2 3−2 a  a     a2 a 2   a b 1 1 1 1 b) B = log ab . = log ab b − log ab a = − = − = a log b ab log a ab log b a + log b b log a a + log a b 1 1 1 1 2 3 −1 2 3 −1 = − = − =  B = → . 1 1 1 + log a b 1 1 1+ 3 3 +1 3 +1 log b a + + 2 2 2 3 2 b2 2 log a  b  a = 2log a b − 1 = 2 3 − 1 . 2 b b Cách khác: Ta có B = log ab = log 2   = log ab = a ( ab )  a  a log a ab 1 + log a b 1+ 3 Ví d 3: Tính giá tr các bi u th c sau: a) log 6 3.log 3 36 = ...................................................................... b) log 3 8.log 4 81 = ...................................................................... 1 c) log 2 .log 25 3 2 = ................................................................. 5 Ví d 4: Cho log a b = 7. Tính a a) A = log a b . b) B = log b 3 ab 2 . 3 b a Ví d 5: Tính các bi u th c sau theo n s ã cho: 49 a) Cho log 25 7 = a; log 2 5 = b  P = log 3 5 → =? 8 b b) Cho log ab a = 2  Q = log ab → =? a Công th c 8: a logb c = c logb a , (8) Ch ng minh: ( ) logb a Theo công th c (7): log b c = log b a.log a c ⇒ a logb c = a logb a.loga c ⇔ a logb c = a loga c = c logb a ⇒ dpcm ( 2) 1 log 2 27 Ví d 1: 49 log 7 2 =2 log 7 49 = 2 = 4; 2 = 27 log 2 2 = 27 = 3 3... 2 Ví d 2: Tính giá tr các bi u th c sau: log3 4 a) A = 36log6 5 + 3 − 3log9 36 = .......................................................................... 32 − log3 2.4 2 log 3 b) B = = ........................................................................................... 27 log3 4 c) C = 81log3 5 + 27 log9 36 + 34log9 7 = ....................................................................... BÀI T P LUY N T P : Bài 1. Tính giá tr các bi u th c sau 1) log 25−1 5 4 5 2) log 3 3 729 3) log 9 27 3 1 log 3 4 12 4) log 9 3 5) log 3 3 (3 3 ) 6)   3 9  1 log27 81 7)     8) 103+2log10 3 9) 43log8 3+2log16 5  3   H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 8 1 log 9 2−log 1 5 log3 2−2log 27 3 10) 9 2 11) 42+log 2 3 12) 3 3 log 7 16 13) 25log5 6 + 49log7 8 14) 10 3 log10 8 15) log 7 15 − log 7 30 1 1 16) 3 1+log 9 4 +4 2−log 2 3 +5 log125 27 17) 25 log 8 5 + 49 log 6 7 Bài 2. Quy i các bi u th c sau theo các n ã cho a) Cho log23 = a ; log25 = b. Tính log 2 3; log 2 3 135; log 2 180 theo a, b. b) Cho log53 = a, tính log2515. c) Cho log96 = a, tính log1832. d) Cho lg5 = a; lg3 = b. Tính log308. Bài 3. Ch ng minh các ng th c sau (v i gi thi t các bi u th c u có nghĩa) a+b 1 a) lg = ( lg a + lg b ) , v i a2 + b2 = 7ab. 3 2 1 b) lg ( a + 2b ) − 2lg 2 = ( lg a + lg b ) , v i a2 + 4b2 = 12ab 2 2a + 3b log c a + log c b c) log c = , v i 4a2 + 9b2 = 4ab 4 2 d) Cho log1218 = a, log2454 = b, ch ng minh r ng: ab + 5(a – b) = 1. log a c log a b + log a x e) = 1 + log a b f) log ax bx = log ab c 1 + log a x log a N − log b N log a N 1 1 1 k (k + 1) g) = , v i b2 = ac. h) + + ... + = logb N − log c N log c N log a x log a 2 x log a k x 2log a x H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 9 02. HÀM S MŨ VÀ LOGARITH 1. Hàm s mũ y = ax (v i a > 0, a ≠ 1). • T p xác nh: D = R. • T p giá tr : T = (0; +∞). • Khi a > 1 hàm s ng bi n, khi 0 < a < 1 hàm s ngh ch bi n. • Nh n tr c hoành làm ti m c n ngang. 2. Hàm s logarit y = loga x (v i a > 0, a ≠ 1) • T p xác nh: D = (0; +∞). • T p giá tr : T = R. • Khi a > 1 hàm s ng bi n, khi 0 < a < 1 hàm s ngh ch bi n. • Nh n tr c tung làm ti m c n ng. 3. Gi i h n c bi t 1 x  1 • lim (1 + = lim 1 +  = e x) x • x →0 x →±∞  x ln(1 + x) ln(1 + u ) lim = 1  lim → =1 x →0 x u →0 u ex −1 eu − 1 sin x sin u ( x) • lim = 1  lim → =1 • lim = 1  lim → =1 x →0 x u →0 u x →0 x x →0 u ( x ) Ví d 1. Tính các gi i h n sau: x − e2 x − 1 e −1 3 e3 x − e 2 x 1) lim 2) lim 3) lim x →0 x x →0 x x →0 x ln(1 + 3 x) ln(1 + 4 x) e−4 x − 1 4) lim 5) lim 6) lim x →0 x x →0 2x x →0 3x Hư ng d n gi i: e −1 2x  e2 x − 1  1) lim = lim  .2  = 2 x →0 x →0 x  2x  − x  −x  e 3 −1  e 3 − 1  −1   1 2) lim = lim  .  = − x →0 x x →0  −x  3    3  3  3) lim e3 x − e 2 x = lim ( e3 x − 1) − ( e2 x − 1) = lim e3 x − 1 − lim e2 x − 1 = 3 − 2 = 1. x →0 x x →0 x x →0 x x →0 x ln(1 + 3 x)  ln(1 + 3 x)  4) lim = lim  .3 = 3 x →0 x x →0  3x  ln(1 + 4 x)  ln(1 + 4 x)  5) lim = lim  .2  = 2 x →0 2x x →0  4x  e−4 x − 1  e −4 x − 1  −4   4 6) lim = lim  .   = − x →0 3x x →0  −4 x  3   3 BÀI T P LUY N T P Tính các gi i h n sau: ln (1 + 4 x ) 2 e x − cos x eax − ebx 1) lim 2) lim 3) lim x →0 sin x x →0 x2 x →0 x 2 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 10 x +1 x esin 2 x − esin x  x   1 x 4) lim 5) lim   6) lim  1 +  x →0 x x →+∞  1 + x  x →+∞  x x +1 2 x −1 x  x +1   3x − 4  3  2x + 1  7) lim   8) lim   9) lim   x →+∞  x − 2  x →+∞  3 x + 2  x →+∞  x − 1  4. o hàm c a hàm mũ và logarith  y = a x  y′ = a x .ln a → Hàm mũ:   y = au  y ′ = u ′.au .ln a  →  y = e x  y ′ = e x → c bi t, khi a = e thì ta có   y = e  y ′ = u ′.eu  u →  1  y = log a x  y ′ = x.ln a → Hàm logarith:   y = log u  y ′ = u ′ →   a u.ln a  1  y = ln x  y ′ = x → c bi t, khi a = e thì ta có   y = ln u  y ′ = u ′ →   u Chú ý: B ng o hàm c a m t s hàm cơ b n thư ng g p: Hàm sơ c p Hàm h p y = k  y′ = 0 → y = ku  y ′ = k .u ′ → 1 1 1 u′ y=  y′ = − 2 → y=  y ′ = − 2 → x x u u y = x n  y′ = n.x n −1 ⇒ → y = u n  y′ = n.u n −1 .u ′ ⇒ → 1 u′ y = x  y′ = → y = u  y ′ = → 2 x 2 u  y = sin x  y′ = cos x  →  y = sin u  y′ = u ′.cos u  →    y = cos x  y ′ = − sin x  →  y = cos u  y ′ = −u ′.sin u  →  1  u′  y = tan x  y ′ = cos 2 x  →  y = tan u  y ′ = cos 2 u  →    y = cot x  y ′ = −1 →  y = cot u  y′ = −u ′ →   sin 2 x   sin 2 u  u uv′ − u ′v  y =  y′ = →  v v2  y = u.v  y′ = uv′ + u ′v →  Ví d 2. Tính o hàm c a các hàm s sau: x2 − x + 1 1) y = 4 x3 − 3 x + 2 2) y = 3 y = 4 x3 − 3 x + 2 3) y = 3 sin 2 ( 2 x − 1) x+3 Hư ng d n gi i: 1 −3 ( 1) y = 4 x3 − 3 x + 2 = x3 − 3x + 2 ) 4 1 ( )(  y ′ = . 3 x 2 − 3 x3 − 3 x + 2 → 4 ) 4 1 3 − ′ x2 − x + 1  x2 − x + 1 3 1  x2 − x + 1  3  x2 − x + 1  2) y = 3 =   y′ = .  →  .  = x+3  x+3  3  x+3   x+3  3 3 − ′ − 1  x 2 − x + 1  3  (2 x − 1)( x + 3) − x 2 + x − 1  1  x 2 − x + 1  3 x 2 + 5 x − 4 = .  .  = .  . 3  x+3   ( x + 3) 2  3  x+3  ( x + 3) 2 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 11 2 . ( sin ( 2 x − 1) )′ = . 2 1 4 1 3) y = 3 sin 2 ( 2 x − 1) = sin ( 2 x − 1)  3  y ′ = .   → cos ( 2 x − 1) 3 3 sin ( 2 x − 1) 3 3 sin ( 2 x − 1) BÀI T P LUY N T P: Bài 1: Tính o hàm c a các hàm s sau: 1 + 3 1 + 5x x+4 1) y = 2) y = 9 + 6 5 x9 3) y = 4 sin 11 1 + 2x 3 ( 4) y = x 2 − 4 x + 4 e x ) ( 5) y = x5 − x e −2 x ) 6) y = e−3 x .sin 4 x e2 x + e x 1 x− 7) y = x.e 3 8) y = 9) y = esin 3 x − 4x e2 x − e x 10) y = cos x.ecot x 11) y = 2 x.ecos x ( 12) y = ln x 2 + 4 x − sinx ) ln ( 2 x + 1) 13) y = ecos x .ln ( cos x ) ( 14) y = ln x + x 2 + 1 ) 15) y = x +1 ln ( x − cot x ) ( 16) y = log 1 x 4 − cos 2 x ) 17) y = 3x − 4 18) y = (2 x − 1) ln(3x 2 + x) 2 Bài 2: Ch ng minh r ng các hàm s sau th a mãn h th c ch ra tương ng? x2 ( ) − 1) y = x.e 2  xy ' = 1 − x 2 y → 2) y = ( x + 1) .e x  y '− y = e x → 3) y = e 4 x + 2e − x  y '''− 13 y '− 12 y = 0 → 5) y = e − x .sin x  y ''+ 2 y '+ 2 y = 0 → 6) y = esin x  y '.cos x − y.sin x − y '' = 0 → 1 7) y = x 2 .e x  y ''− 2 y '+ y = e x → 2 ( )( 8) y = x 2 + 1 . e x + 2011  y ' = → ) 2 xy x +1 2 ( + e x x2 + 1 ) 9) y = ln 1 1+ x  xy '+ 1 = e y → 1 + ln x 10) y = 1 1 + x + ln x  xy ' = y ( y.ln x − 1) → 11) y = x (1 − ln x ) (  2 x 2 y ' = x 2 y 2 + 1 → ) Ví d 3. Gi i các phương trình và b t phương trình sau, v i các hàm s cho dư i ây? ( 1) f '( x) = 2 f ( x); f ( x) = e x x 2 + 3 x + 1 ) 1 2) f '( x) + f ( x) = 0; f ( x) = x3 ln x x 3) f '( x) = 0; f ( x) = e 2 x −1 + 2.e1−2 x + 7 x − 5 4) f '( x) > g '( x); f ( x) = x + ln( x − 5); g ( x) = ln( x − 1) 1 5) f '( x) < g '( x); f ( x) = .52 x +1; g ( x) = 5 x + 4 x ln 5 2 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 12 03. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PH N 1 D NG 1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ B N Khái ni m: Là phương trình có d ng a x = b , trong ó 0 < a ≠ 1. Cách gi i: + N u b ≤ 0 thì phương trình vô nghi m. + N u b ≤ 0 thì a x = b ⇔ x = log a b Ví d m u: Gi i phương trình 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 5 x + 2.5 x −1 . Hư ng d n gi i: 1 Ta có 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 5 x + 2.5 x −1 ⇔ 2 x + 2 x.2 + 2 x.22 = 5 x + 2.5x. 5 x  2 7 5 ⇔ (1 + 2 + 4 ) .2 x = 1 +  .5 x ⇔ 7.2 x = .5 x ⇔   = 5 ⇔ x = log 5 5  5 5 2 2 V y phương trình ã cho có 1 nghi m là x = log 5 5. 2 BÀI T P LUY N T P: 1) 7 x + 7 x +1 + 7 x + 2 = 342 2) 5 x + 10.5 x −1 + 18 = 3.5 x +1 3) 2 x +1 + 2 x + 2 + 2 x + 3 = 3x −1 + 3x − 2 4) 3x + 3x +1 + 3x + 2 = 351 5) 2 x +1 + 2 x + 2 = 3x − 2 + 3x − 3 6) 7.5 x − 2.5x −1 = 11 7) 14.7 x + 4.32 x = 19.32 x − 7 x 8) 4 x +1 + 4 x −1 = 2.6 x − 4.6 x − 2 9) x x +1 x −2 1 1 1   +  +  = 22 2 2 2 D NG 2. PHƯƠNG PHÁP ƯA V CÙNG CƠ S a = 1 Cơ s phương pháp: S d ng các công th c lũy th a ưa phương trình v d ng a f ( x ) = a g ( x ) ⇔   f ( x) = g ( x) m+ n a .a = a m n am = a m−n an Các công th c lũy th a cơ b n: (a )m n = a m.n = a n.m = ( a n ) m m 1 n a = a  a − n = m → n an Ví d m u: Ví d 1. Gi i các phương trình sau x +10 x +5 +3 x −2 1 = 16 x +1 2) 3− x +4 x 2 2 1) 2 x = 3) 16 x −10 = 0,125.8 x −15 243 Hư ng d n gi i: +3 x −2 x = 2 = 16 x +1 ⇔ 2 x +3 x − 2 = 24 x + 4 ⇔ x 2 + 3x − 2 = 4 x + 4 ⇔ x 2 − x − 6 = 0   2 2 1) 2 x →  x = −3 V y phương trình có hai nghi m là x = 2 và x = –3. 1  x = −1 2) 3− x + 4 x = ⇔ 3− x + 4 x = 3−5 ⇔ − x 2 + 4 x = −5 ⇔  2 2 243 x = 5 V y phương trình có nghi m x = −1; x = 5. x +10 x +5 3) 16 x −10 = 0,125.8 x −15 , (1) . H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 13  x − 10 ≠ 0  x ≠ 10 i u ki n:  ⇔  x − 15 ≠ 0  x ≠ 15 x +10 x +5 1 x + 10 x+5 = 2−3 ; 8 = 23 nên ta có (1) ⇔ 2 x −10 = 2−3.2 x −15 ⇔ 4. 4. 3. Do 16 = 24 ; 0,125 = = −3 + 3. 8 x − 10 x − 15 4( x + 10) x = 0 ⇔ x − 10 = 60 x − 15 ⇔ x 2 − 5 x − 150 = 15 x − 150   → ( x = 20 ) V y phương trình có nghi m x = 0; x = 20. Ví d 2. Gi i các phương trình sau: x x x −1 2 9 3) ( 5 + 2) =( 5 − 2 ) x +1 27 x −1 x −1 2 x +1 1)   .   = 2) 4.9 =3 2 3 8 64 Hư ng d n gi i: x x x 3 x 3 2 9 27 2 9 3 3 3 1)   .   = ⇔  .  =   ⇔   =    x = 3. → 3 8 64 3 8 4 4 4 V y phương trình có nghi m duy nh t x = 3. 2 x +1 2x − 3 0 4.9x −1 ( 2)  3   3  2− 3− 2x 3 x −1 2 x +1 2x − 3 2x − 3 2) 4.9 =3 2 ⇔ 2 x +1 =1 ⇔ 3 .2 2 =1⇔ 3 . =1⇔   =1 =   ⇔ x = 2. 3.2 2  2  2 3 V y phương trình có nghi m duy nh t x = . 2 x 2x 3 81x  81  18.81  9  9 3 Cách khác: 4.9 x −1 = 3 22 x +1 ⇔ 16.81x −1 = 9.22 x +1 ⇔ 16. = 9.2.4 x ⇔   = ⇔  =  ⇔ x= . 81  4 16  2 2 2 x −1 3) ( 5 + 2) =( 5 − 2 ) x +1 , (1) . x −1 i u ki n: x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1. ( )( ) ( ) 1 −1 Do 5+2 5 − 2 = 1  5 − 2 = →= 5+2 5+2 1− x  1  x =1 (1) ⇔ x − 1 = ⇔ ( x − 1)  1 +  = 0 ⇔  x = −2 x +1  x +1  V y phương trình có hai nghi m là x = 1 và x = –2. Ví d 3. Gi i các phương trình sau: 2   ( ) ( ) 1 x −1 ( ) ( ) x 2 −5 x 6 x +3 2 2 2 +1 2 −1 2 −2 1)  2 2 x  =4 2) 3+ 2 = 3− 2 3) 5 x − 3x = 2 5x − 3x     Hư ng d n gi i: 2   ( ) x > 0 1 x −1 1)  2 2 x +3 2 x  = 4, (1) . i u ki n:      x ≠1 ( ) ) = 22 ⇔ 3 ( x + 1) = 2 ⇔ 2 x − 5 x − 3 = 0 ⇔ x = 3 ⇔ x = 9. 3 x +1 (1) ⇔ 2 ( x x −1 x ( x −1 ) V y phương trình ã cho có nghi m x = 9. ( ) ( ) x 2 −5 x ( 2 ). 6 2) 3+ 2 = 3− 2 , ( )( ) ( ) ( ) 1 −1 Do 3+ 2 3 − 2 = 1  → 3− 2 = = 3+ 2 . ( 3+ 2 ) x = 2 ( 2) ⇔ ( ) ( ) x2 −5 x −6 3+ 2 ⇔ x2 − 5x + 6 = 0 ⇔ = 3+ 2 x = 3 V y phương trình ã cho có nghi m x = 2 và x = 3. H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 14 2 3) 5 x − 3x 2 +1 = 2 5x ( 2 −1 − 3x 2 −2 )⇔5 x2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − 3.3x = 5 x − 3x ⇔ 5 x − 5 x = 3.3x − 3x 5 9 5 9 x2 x2 3 3 2 25 2 5 125 5 5 ⇔ 5 x = 3x ⇔   = ⇔   =    x = ± 3. → 5 9 3 27  3 3 V y phương trình ã cho có nghi m x = ± 3. BÀI T P LUY N T P: x 2 − x −5 2 x +3 3  2 1) ( 0, 2 ) x − x2 6 x −10 =5 2)   =  3) 2  3 (3 + 2 2 ) ( ) 4 x −1 2 x +3 = 3− 2 2 x 2 −3 ( ) 1 x2 − x x −1 5 x 2 − 4 x −1 x 2 −1 4) 9. 3 = 81 5) 10 =1 6) e =  e x −1 5 x −7 x +1 4 x−2 1 ( 4) 1 1 x x 2 − 4 x −1 7)   = 16. 3 8) 9 =  9) 27 x −1 = .81 x + 2 8  3 9 x x 1  1  ( ) ( ) 5 x −3 x3 2 x 2 −1 10) 3x.  =   11) 10 − 3 = 19 + 6 10  3   27  D NG 3. PHƯƠNG TRÌNH B C HAI THEO M T HÀM S MŨ  a f ( x ) = ... Cơ s phương pháp: Bi n i phương trình v d ng A.a 2 f ( x ) + B.a f ( x ) + C = 0   f ( x ) → a  = ... ; a 2n = ( a n ) 1 2 Chú ý: a − n = n a Ví d m u: Ví d 1. Gi i các phương trình: 25 x − 30.5 x + 125 = 0 Hư ng d n gi i: Phương trình ã cho tương ương: ( 5 x ) − 30.5 x + 125 = 0 . 2 t t = 5 x , i u ki n t > 0. t = 5 Khi ó phương trình tr thành: t 2 − 30t + 125 = 0 ⇔  t = 25 + V i t = 5 ⇔ 5 = 5 ⇔ x =1. x + V i t = 25 ⇔ 5 x = 25 ⇔ 5 x = 52 ⇔ x = 2 . V y phương trình ã cho có 2 nghi m là x = 1 và x = 2. Ví d 2. Gi i phương trình: 3x + 2 + 3− x = 10 . Hư ng d n gi i: 3x = 1 = 30 x = 0 Ta có 3x + 2 + 3− x = 10 ⇔ 9.3x + x = 10 ⇔ 9.( 3x ) − 10.3x + 1 = 0 ⇔  x 1 1 2 ⇔ 3 3 = = 3 −2  x = −2   9 V y phương trình ã cho có 2 nghi m là x = 0, x = −2. Ví d 3. Gi i các phương trình sau: x 1− x 1) 5 x −5 +4=0 2) 3 x − 8.3 2 + 15 = 0 3) 32 x +8 − 4.3x +5 + 27 = 0 Hư ng d n gi i: 1) 5 x − 51− x + 4 = 0, (1) . i u ki n: x ≥ 0. 5  x =0 ( ) =1 x = 0 2 x 5 (1) ⇔ 5 x − +4=0⇔ 5 x + 4.5 x − 5 = 0   → ⇔ ⇔ 5 x  5 x = 5  x =1  x = 1 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 15 C hai nghi m u th a mãn i u ki n, v y phương trình có hai nghi m x = 0 và x = 1. x  3 x =3 x = 2 ( ) ( ) ( )  2x x 2) 3x − 8.3 2 + 15 = 0 ⇔ 3 − 8. 3 + 15 = 0   → ⇔ x = log 3 5 = log 3 25 ( ) x  3 =5   V y phương trình có hai nghi m x = 2 ; x = log3 25. 2 x +8 x+5 2( x + 4) x+4 2( x + 4) x+4 3x + 4 = 3 ⇒ x = −3 3) 3 − 4.3 + 27 = 0 ⇔ 3 − 4.3 .3 + 27 = 0 ⇔ 3 − 12.3 + 27 = 0   x + 4 → 3 = 9 = 3 ⇒ x = −2 2  V y phương trình ã cho có hai nghi m là x = –2 và x = –3. BÀI T P LUY N T P: 1) 92 x − 32 x − 6 = 0 2) 2 x − 4 x−1 = 1 3) 25 x − 5 x − 12 = 0 4) 100 x − 10 x+1 + 16 = 0 5) 9 x − 10.3x + 9 = 0 6) 3x + 2.32− x = 9 D NG 4. PHƯƠNG PHÁP T N PH GI I PHƯƠNG TRÌNH MŨ Lo i 1: Phương trình có ch a a f ( x ) ,b f ( x ) , c f ( x ) , d f ( x ) m n a c d  trong ó =  =  . gi i phương trình d ng này ta chia c hai v cho b f ( x ) v i b = min {a, b, c, d } hay b b  b g i m t cách dân rã, ta chia c hai v c a phương trình cho bi u th c lũy th a mà có cơ s nh nh t. Ví d 1. Gi i phương trình: 3.9 x + 7.6 x − 6.4 x = 0 . Hư ng d n gi i:  3  x 2 2x x   = ⇒ x = −1 3 3 2 3 Phương trình ã cho tương ương: 3.   + 7.   − 6 = 0 ⇔  . 2 2  x 3   = −3 < 0   2  V y phương trình ã cho có 1 nghi m là x = −1. Ví d 2. Gi i các phương trình sau: 1 1 1 − − − 1) 64.9 x − 84.12 x + 27.16 x = 0 2) 4 x + 6 x = 9 x 3) 32 x +4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 = 0 4) ( H kh i A – 2006): 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0 Hư ng d n gi i: x 1) Chia c hai v c a (1) cho 9 ta ư c  4  x 4 x x 2x  = x x =1 (1) ⇔ 64 − 84.  + 27.  = 0 ⇔ 27.   − 84.  + 64 = 0   3  x 3  12   16  4  4  → ⇔ x = 2 2  9 9 3 3  4  16  4    = =    3  9 3 V y phương trình ã cho có hai nghi m x = 1 và x = 2. 2) i u ki n: x ≠ 0.  3 t 1 + 5 t t 2t t   = t − = t , ( 2 ) ⇔ 4t + 6t = 9t ⇔   −   − 1 = 0 ⇔   −   − 1 = 0 ⇔  2 t 9 6 3 3 1 2      3  1 − 5 x 4 4 2 2   =
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 16  3  x 4  3  −2 x x 2x x   = =   9 6 3 3 2 9 2 ⇔ 81.   + 45.   − 36 = 0 ⇔ 81.  + 45.   − 36 = 0 ⇔   x = −2. → 4 4 2 2  x  3  = −1 < 0  2   V y phương trình có nghi m duy nh t x = –2. 4) 3.8x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = 0   3 x 3 x x x 3x 2x x .  =  12   18   27  3 3 ⇔ 3 + 4.   −   − 2.   = 0 ⇔ 2.   +   − 4.  − 3 = 0 ⇔ 3  2 2  x = 1. → 8 8  8  2 2 2  x . 3  2  = −2 < 0  V y phương trình có nghi m duy nh t x = 1. BÀI T P LUY N T P: 1) 10.25 x − 29.10 x + 10.4 x = 0 2) 5.36 x = 3.16 x + 2.81x 3) 25 x + 3.15 x + 2.9 x = 0 4) 15.25 x − 34.15 x + 15.9 x = 0 5) 4.49 x − 17.14 x = 392.4 x 6) 25 x + 4.9 x = 5.15 x 2 2 2 Lo i 2: Phương trình có tích cơ s b ng 1 Cách gi i: 1 Do ab = 1 ⇔ ( ab ) f ( x) = 1  b f ( x ) = → f ( x) a 1 T ó ta t a f ( x ) = t , (t > 0)  b f ( x ) = → t Chú ý: M t s c p a, b liên h p thư ng g p: ( 2 +1 )( ) ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) = 1 2 − 1 = 1; ( 5 + 2 )( 5 − 2 ) = 1; ( 7 + 4 3 )( 7 − 4 3 ) = 1... ( 2 ± 1) 2 3± 2 2 = M t s d ng h ng ng th c thư ng g p: 3 = (2 ± 3) 2 7±4 ... Ví d m u. Gi i các phương trình sau: ( ) +( ) ( ) +( ) x x x x 1) 2+ 3 2− 3 =4 2) 3 3+ 8 3 3− 8 =6 3) ( 5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2 x +3 4) ( 2 + 3 ) + (2 − 3) x x ( x −1) 2 x − 2 x −1 2 4 = 2− 3 Hư ng d n gi i: ( ) +( ) x x 1) 2+ 3 2− 3 = 4, (1) . ( )( ) ( ) .( ) ( ) x x x 1 Do 2+ 3 2 − 3 =1⇔ 2+ 3 2− 3 = 1  → 2− 3 = ( ) x 2+ 3 ( ) ( ) x x 1 t 2+ 3 = t ,(t > 0)  → 2− 3 = . t 1 t = 2 + 3 Khi ó (1) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t 2 − 4t + 1 = 0   → t t = 2 − 3 ( ) ( )  x = 2. x 2 V i t =2+ 3 ⇔ 2+ 3 =2+ 3 = 2+ 3 → H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 17 ( ) ( ) −2 ( ) x −1 V i t =2− 3 ⇔ 2+ 3 =2− 3 = 2+ 3 = 2+ 3  x = −2. → V y phương trình có hai nghi m x = ±2. ( ) +( ) x x 2) 3 3+ 8 3 3− 8 = 6, ( 2). ( )( ) ( )( ) ( ) .( ) ( ) x x x 1 Do 3 3+ 8 3 3− 8 = 3 3+ 8 3 + 8 =1⇔ 3 3+ 8 3 3− 8 = 1  → 3 3− 8 = ( ) x 3 3+ 8 ( ) ( ) x x 1 t 3 3+ 8 = t ,(t > 0)  → 3 3− 8 = . t 1 t = 3 + 8 Khi ó ( 2 ) ⇔ t + − 6 = 0 ⇔ t 2 − 6t + 1 = 0   → t t = 3 − 8 ( ) x ( ) x V i t = 3+ 8 ⇔ 3 3+ 8 = 3+ 8 ⇔ 3+ 8 3 = 3 + 8  x = 3. → 8⇔( 8) =3− x ( ) ( ) = (3 − 8 ) x −1 −1 V i t = 3− 3 3+ 8 = 3− 8 ⇔ 3+ 8 3  x = −3. → V y phương trình có hai nghi m x = ±3. x x  5 − 21   5 + 21  3) ( 5 − 21 ) + 7 (5 + 21 ) ( 3) . x x =2 x+ 3 ⇔  + 7.  = 8,  2   2  x x x x  5 − 21   5 + 21   5 − 21 5 − 21   5 − 21  1 Ta có     =  .  = 1   2  =  →   2   2   2 2   5 + 21  x    2  x x  5 + 21   5 − 21  1 t  = t ,(t > 0)   →  = .  2   2  t 1 t = 1 Khi ó ( 3) ⇔ + 7t − 8 = 0 ⇔ 7t 2 − 8t + 1 = 0   1 → t t =  7 x  5 + 21  V i t =1⇔   = 1  x = 0. →  2  x 1  5 + 21  1 1 V i t= ⇔  =  x = log 5+ →  . 7  2  7 21 7 2 x = 0 V y phương trình có hai nghi m  x = log 1  5 + 21     2 7 4) ( 2 + 3 ) + (2 − 3) ⇔ 2 − 3 (2 + 3) ( ) + 2 − 3 (2 − 3) ( ) ( x −1)2 x 2 − 2 x −1 4 x 2 − 2 x +1 x 2 − 2 x −1 = =4 2− 3 (2 − 3 )(2 + 3 )( 2 + 3 ) + (2 − 3) = 4 ⇔ (2 + 3) + (2 − 3) x2 − 2 x x2 − 2 x x2 − 2 x x2 − 2 x = 4, ( 4 ). t t = (2 + 3) , (t > 0)  ( 2 − 3 ) x2 − 2 x x2 − 2 x 1 → = . t H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 18  ( ) x2 − 2 x 1 t = 2 + 3  2+ 3 =2+ 3  x2 − 2 x = 1 Khi ó ( 4 ) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t − 4t + 1 = 0   2 → ⇔ ⇔ 2 t = 2 − 3 ( )  x − 2 x = −1 x2 − 2 x t   2+ 3 =2− 3   V i phương trình x 2 − 2 x = 1 ⇔ x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 2 ± 2 V i phương trình x 2 − 2 x = −1 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1. x = 1 V y phương trình có hai nghi m  x = 2 ± 2 BÀI T P LUY N T P: x x 7+3 5  7−3 5  1) ( 5 + 24 ) + (5 − 24 ) x x = 10 2)    + 7    =8   2   2  ( ) + (5 + 2 ) ( ) + (4 + ) x x x x 3) 5−2 6 6 = 10 4) 4 − 15 15 =8 ( ) ( ) ( ) +( ) x x x2 x2 − 1 5) 2 −1 + 2 +1 − 2 2 = 0 6) 10 + 3 10 − 3 = 10 + 4 ( ) ( ) x x x 7) 5 + 21 + 5 − 21 = 5.22 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 19 04. PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH D NG 1. PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH CƠ B N Khái ni m: Là phương trình có d ng log a f ( x) = log a g ( x), (1) . trong ó f(x) và g(x) là các hàm s ch a n x c n gi i. Cách gi i: a > 0; a ≠ 1  - t i u ki n cho phương trình có nghĩa  f ( x) > 0  g ( x) > 0  f ( x) = g ( x) - Bi n i (1) v các d ng sau: (1) ⇔ a =1 Chú ý: - V i d ng phương trình log a f ( x) = b ⇔ f ( x) = ab - y lũy th a b c ch n: log a x 2 n = 2n log a x , n u x > 0 thì n log a x = log a x n  g ( x) ≥ 0  - V i phương trình sau khi bi n i ư c v d ng f ( x) = g ( x) ⇔   f ( x) = [ g ( x)] 2  log a a x = x; a log a x = x  x - Các công th c Logarith thư ng s d ng: log a ( xy ) = log a x + log a y; log a   = log a x − log a y  y m 1 log an x m = log a x; log a b = n log b a Ví d m u: Ví d 1. Gi i các phương trình sau: ( ) 1) log 1 x 2 + 3 x − 4 = log 1 ( 2 x + 2 ) 1 2) lg x = lg ( x + 1) 2 3 3 8− x 1 3) log 2 4 = log 1 x 2 ( ) 4) log 5− x x 2 − 2 x + 65 = 2 2 Hư ng d n gi i:  x > 1   x + 3x − 4 > 0   x < −4 x > 1 2  ( ) 1) log 1 x + 3 x − 4 = log 1 ( 2 x + 2 ) ⇔ 2 x + 2 > 0 2  ⇔  x > −1  ⇔   x = 2  x = 2. →  2  2   x = −3  x + 3x − 4 = 2 x + 2  x + x − 6 = 0  3 3   V y phương trình có nghi m x = 2. x > 0 x > 0  1  x > 0    x>0   x = 1+ 5 1+ 5 2) lg x = lg ( x + 1) ⇔  x + 1 > 0 ⇔ ⇔ 2 ⇔ 2  x = → 2 2lg x = lg x + 1 ( )   2 ( ) lg x = lg ( x + 1)  x = x + 1     2   x = 1 − 5   2 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 20 1+ 5 V y phương trình ã cho có nghi m x = . 2 8− x 1 3) log 2 = log 1 x, ( 3) . 4 2 2 8 − x > 0 i u ki n:  ⇔ 0 < x < 8. x > 0 8− x 8− x 8− x 1 1 − 1 Khi ó ( 3) ⇔ log 2 = − log 2 x ⇔ =x 2 ⇔ = ⇔ x (8 − x ) = 4 4 2 4 4 x ⇔ − x 2 + 8 x = 16 ⇔ ( x − 4 ) = 0  x = 4. 2 → Nghi m x = 4 th a mãn i u ki n, v y phương trình có nghi m x = 4. ( ) 4) log 5− x x 2 − 2 x + 65 = 2, ( 4) 5 − x > 0 x < 5    x < 5 i u ki n: 5 − x ≠ 1 ⇔ x ≠ 4 ⇔  2  x ≠ 4 x − 2 x + 65 > 0 ( x − 1) + 64 > 0, ∀x ∈ R 2   Khi ó ( 4 ) ⇔ x 2 − 2 x + 65 = ( 5 − x ) ⇔ 8 x + 40 = 0  x = −5. 2 → Nghi m x = –5 th a mãn i u ki n, v y phương trình có nghi m x = –5. Bình lu n: Trong các ví d 3 và 4 chúng ta c n ph i tách riêng i u ki n ra gi i trư c r i sau ó m i gi i phương trình. ví d 1 và 2 do các phương trình tương i ơn gi n nên ta m i g p i u ki n vào vi c gi i phương trình ngay. Ví d 2. Gi i các phương trình sau: 1 1 1) lg ( x + 3) − 2lg ( x − 2 ) = lg 0, 4 2) log 5 ( x + 5 ) + log 5 x − 3 = log5 ( 2 x + 1) 2 2 ( )  1  3) log 2 4 x + 15.2 x + 27 − 2log 1  =0 4.2 x − 3  2 Hư ng d n gi i: 1) lg ( x + 3) − 2lg ( x − 2 ) = lg 0, 4, (1) . x + 3 > 0  x > −3 i u ki n:  ⇔ ⇔ x > 2. x − 2 > 0 x > 2 Khi ó, (1) ⇔ lg ( x + 3) − lg ( x − 2 ) = lg 0, 4 ⇔ lg 2 ( x + 3) = lg 0, 4 ⇔ ( x + 3) = 0, 4 = 2 ⇔ 2 ( x − 2 ) − 5 ( x + 3) = 0 2 ( x − 2) ( x − 2) 2 2 5 x = 7 ⇔ 2 x − 13 x − 7 = 0   2 → x = − 1  2 i chi u v i i u ki n ta ư c nghi m c a phương trình là x = 7. 1 1 2) log 5 ( x + 5 ) + log 5 x − 3 = log 5 ( 2 x + 1) , ( 2 ) . 2 2   x+5>0  x > −5   i u ki n:  x − 3 > 0 ⇔  x > 3 ⇔ x > 3. 2 x + 1 > 0  1  x > −  2 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn