Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 1
LUYỆN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN

BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM
MŨ – LOGA
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 2
I. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LŨY THỪA
1) Khái niệm về Lũy thừa
Lũy thừa với số mũ tự nhiên:
. . ... ,
=
n
a a a a a
với n là số tự nhiên.
Lũy thừa với số nguyên âm:
1
,
−
=
n
n
a
a
với n là số tự nhiên.
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
( )
= =
m
m
nmn
n
với m, n là số tự nhiên.
Đặt biệt, khi m = 1 ta có
1
.
=
n
n
a a
2) Các tính chất cơ bản của Lũy thừa
Tính chất 1:
0
1
1,
,
= ∀
= ∀
a a
a a a
Tính chất 2
(tính
đồ
ng bi
ế
n, ngh
ị
ch bi
ế
n): 1:
0 1:
> > ⇔ >
< < > ⇔ <
m n
m n
a a a m n
a a a m n
Tính chất 3
(so sánh l
ũ
y th
ừ
a khác c
ơ
s
ố
): v
ớ
i a > b > 0 thì
0
0
> ⇔ >
< ⇔ <
m m
m m
a b m
a b m
Chú ý:
+ Khi xét lu
ỹ
th
ừ
a v
ớ
i s
ố
m
ũ
0 và s
ố
m
ũ
nguyên âm thì c
ơ
s
ố
a ph
ả
i khác 0.
+ Khi xét lu
ỹ
th
ừ
a v
ớ
i s
ố
m
ũ
không nguyên thì c
ơ
s
ố
a ph
ả
i d
ươ
ng.
3) Các công thức cơ bản của Lũy thừa
Nhóm công thức 1:
( ) ( )
.
+
−
=
=
= =
m n m n
m
m n
n
n m
m mn n
a a a
aa
a
a a a
Nhóm công thức 2:
( )
1 1
1
33
2
; ;
. , , 0
, , 0
= = → = = =
= ∀ ≥
= ∀ ≥ >
mm
nmn n
n n
n n n
n
n
n
a a a a a a a a a
ab a b a b
a a a b
bb
Ví dụ 1:
Vi
ế
t các bi
ể
u th
ứ
c sau d
ướ
i d
ạ
ng l
ũ
y th
ừ
a v
ớ
i s
ố
m
ũ
h
ữ
u t
ỉ
, (coi các bi
ể
u th
ứ
c
đ
ã t
ồ
n t
ạ
i)
a)
2
43
.
=
A x x
b)
53
.
=
b a
B
a b
c)
53
2 2 2 .
=C
d)
33
232
.
323
=D
e)
43
8
.
=
D a
f)
2
5
3
.
=
b b
F
b b
Ví dụ 2:
Có th
ể
k
ế
t lu
ậ
n gì v
ề
s
ố
a trong các tr
ườ
ng h
ợ
p sau?
a)
( ) ( )
2 1
3 3
1 1 .
− −
− < −a a
b)
( ) ( )
3 1
2 1 2 1 .
− −
+ > +a a
c)
0,2
2
1
.
−
<
a
a
d)
( ) ( )
1 1
3 2
1 1 .
− −
− > −a a
e)
( ) ( )
3
2
4
2 2 .
− > −
a a
f)
1 1
2 2
1 1
.
−
>
a a
Ví dụ 3:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:
a)
( ) ( )
1
1 1
2 2
3 2 3 2 3 2 3 2
−
= + − − + + −
A
01. ĐẠI CƯƠNG VỀ MŨ VÀ LOGARITH
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 3
b)
4 10 2 5 4 10 2 5 .
= + + + − +B
Ví dụ 4:
Cho hàm s
ố
4
( ) .
4 2
=
+
x
x
f x
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
a
+
b
= 1 thì
f
(
a
) +
f
(
b
) = 1.
b)
Tính t
ổ
ng
1 2 2010
... .
2011 2011 2011
= + + +
S f f f
Ví dụ 5:
So sánh các c
ặ
p s
ố
sau
a)
5
2
π
2
và
10
3
π
2
b)
2
π
2
và
3
π
5
c)
10
4
3
5
và
5
2
4
7
d)
3
7
6
và
2
8
7
e)
5
π
6
và
2
π
5
Ví dụ 6:
Tìm
x
thỏa mãn các phương trình sau?
1)
5
4 1024
=
x
2)
1
5 2 8
2 5 125
+
=
x
3)
1 3
1
8
32
−
=
x
4)
( )
2
2
1
3 3 9
−
=
x
x
5)
2 8 27
.
9 27 64
−
=
x x
6)
2
5 6
3
1
2
− +
=
x x
7)
2 8
1 0,25
.32
0,125 8
−
−
=
x
x
8)
0,2 0,008
=
x
9)
3 7 7 3
9 7
49 3
− −
=
x x
10)
( )
( )
1
12 . 3
6
=
xx
11)
1 1
1
7 .4
28
− −
=
x x
II. CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ LOGARITH
1) Khái niệm về Logarith
Logarith c
ơ
s
ố
a
c
ủ
a m
ộ
t s
ố
x
> 0
đượ
c ký hi
ệ
u là
y
và vi
ế
t d
ạ
ng log
= ⇔ =
y
a
y x x a
Ví dụ:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c logarith sau
(
)
2 3 2 2
log 4; log 81; log 32; log 8 2
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
•
2 2
log 4 2 4 2 log 4 2
= ⇔ = ⇔ = → =
y
y y
•
y 4
3 3
log 81 y 3 81 3 y 4 log 81 4
= ⇔ = = ⇔ = → =
•
(
)
(
)
y 10
5
2 2
log 32 y 2 32 2 2 y 10 log 32 10
= ⇔ = = = ⇔ = → =
•
(
)
(
)
(
)
(
)
7
3
2 2
log 8 2 2 8 2 2 . 2 2 7 log 8 2 7
= ⇔ = = = ⇔ = → =
y
y y
Chú ý:
Khi a = 10 thì ta g
ọ
i là logarith c
ơ
s
ố
th
ậ
p phân, ký hi
ệ
u là lgx ho
ặ
c logx
Khi a = e, (v
ớ
i e ≈ 2,712818…)
đượ
c g
ọ
i là logarith c
ơ
s
ố
t
ự
nhiên, hay logarith Nepe, ký hi
ệ
u là lnx, (
đọ
c là len-
x)
2) Các tính chất cơ bản của Logarith
• Bi
ể
u th
ứ
c logarith t
ồ
n t
ạ
i khi c
ơ
s
ố
a > 0 và a ≠ 1, bi
ể
u th
ứ
c d
ướ
i d
ấ
u logarith là x > 0.
•
log 1 0 ;log 1,
= = ∀
a a
a a
• Tính
đồ
ng bi
ế
n, ngh
ị
ch bi
ế
n c
ủ
a hàm logarith: 1
log log
0 1
> ⇔ >
> ⇔
< ⇔ < <
a a
b c a
b c
b c a
3) Các công thức tính của Logarith
Công thức 1:
log ,
= ∀ ∈
ℝ
x
a
a x x ,
(1)
Ch
ứ
ng minh:
Theo
đị
nh ngh
ĩ
a thì hi
ể
n nhiên ta có log
= ⇔ =
x x x
a
a x a a
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 4
Ví dụ 1:
(
)
8
5 4
2 2 2 2 2
log 32 log 2 5;log 16 log 2 log 2 8...
= = = = =
Ví dụ 2:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:
a)
3
2
5
14
log .
a
a a a
P
a a
=
b)
log .
a
Q a a a a
=
Hướng dẫn giải:
a)
Ta có
1 2 1 2 28 67
128 3 67 67
32
55 3 5 3 15 60
15 4 60 60
1 1
1 1 1 1 3
4
2 4 2 4 4
. . 1 67
log log .
60
.
a a
a a a a a a a a a a P a a
a a a a a a
+ + −
−
+
= = = = = → = = = −
b)
Ta có
( )
15
7 15 15
1 3
8
8 16 16
2 4
15
. . . log log .
8
a a
a a a a a a a a a a a a a a Q a a= = = = → = = =
Ví dụ 3:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:
1) 1
5
log 125 ..................................
...................
=
2)
2
log 64 ...................................
.................................
=
3)
16
log 0,125 ................................
..................
=
4)
0,125
log 2 2 ...................................
.......................
=
5)
3
3
3
log 3 3 ...................................
.............
=
6)
7
87
7
log 7 343 .................................
...........................
=
Ví dụ 4:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:
a)
(
)
3 5
log .....................................................................................................................
.............
a
P a a a= =
b)
(
)
2
35
4
log .....................................................................................................................
.......
= =
a
Q a a a a
Công thức 2:
log
, 0
= ∀ >
a
x
a x x ,
(2)
Ch
ứ
ng minh:
Đặ
t
(
)
log , 2
=⇒= ⇔ =
t t t
a
x t x a a a
Ví dụ 1:
( )
( ) ( ) ( )
3
33
5
2
log 4 1
1 1
log 4 log 4
log 6
log 3 2
2 2
2 3, 5 6, 3 3 3 4 2...
= = = = = =
Ví dụ 3:
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:
1)
8
log 15
2 .......................................
..............
=
2)
2 2
log 64
2 .......................................
.............................
=
3)
81
log 5
1........................................
.............
3
=
4)
(
)
3
log 4
3
9 .......................................
.............................
=
Công thức 3:
(
)
log . log log
= +
a a a
x y x y
,
(3)
Ch
ứ
ng minh:
Áp d
ụ
ng công th
ứ
c
(2)
ta có
log
log log log log
log
. .
+
=
→ = =
=
a
a a a a
a
x
x y x y
y
x a x y a a a
y a
Áp d
ụ
ng công th
ứ
c
(1)
ta
đượ
c :
(
)
log log
log . log log log
+
= = + ⇒
a a
x y
a a a a
x y a x y dpcm
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
(
)
3
2 2 2 2 2 2 2
log 24 log 8.3 log 8 log 3 log 2 log 3 3 log 3
= = + = + = +
b)
(
)
3
3 3 3 3 3 3
log 81 log 27.3 log 27 log 3 log 3 log 3 3 1 4
= = + = + = + =
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
4
2
3 3 3
2 2 2 2 2
4 10
log 4 16 log 4 log 16 log 2 log 2 2 .
3 3
= + = + = + =
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Học offline: Số 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn
Trang 5
b)
1
3
13
3
3 3 3
1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 10
log 27 3 log 27 log 3 log 3 log 3 log log 3 .
3 3 3 3
− −
= + = + = + = − − = −
c)
(
)
(
)
6 2
3
5 5
2 2 2 2 2 2 2
log 8 32 log 8 log 32 log 2 log 2 log 2 log 2 6 2 8.
= + = + = + = + =
Công thức 4:
log log log
= −
a a a
x
x y
y,
(4)
Chứng minh:
Áp d
ụ
ng công th
ứ
c
(2)
ta có
log log
log log
log
log
−
=
→ = =
=
aa
a a
a
a
xx
x y
y
y
x a x a a
ya
y a
Áp d
ụ
ng công th
ứ
c
(1)
ta
đượ
c :
log log
log log log log
−
= = − ⇒
a a
x y
a a a a
x
a x y dpcm
y
Ví dụ:
4
5
332
2 2 2 2 2
3
32 5 4 7
log log 32 log 16 log 2 log 2 .
2 3 6
16
= − = − = − =
Công thức 5:
log .log
=
m
a a
b m b
,
(5)
Ch
ứ
ng minh:
Theo công th
ứ
c
(2)
ta có
(
)
log log .log
=⇒= =
a a a
m
b b m b
m
b a b a a
Khi
đ
ó
.log
log log .log
= =
⇒
a
m b
m
a a a
b a m b dpcm
Ví dụ 1:
( )
3 2
2 2 2 5 5 5
1
44
2 2 2
log 27 log 3 3log 3; log 36 log 6 2log 6
1 5
log 32 log 32 log 32
4 4
= = = =
= = =
Ví dụ 2:
4
2
2
3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 6 .45 1
2log 6 log 400 3log 45 log 6 log 400 log 45 log log 81
log 4.
2 20 3
−
− + = − + = = = = −
Ví dụ 3:
5 5 5 5 5 5 5 5
1 50 3
log 3 log 12 log 50 log 3 log 12 log 50 log log 25 2.
22 3
− + = − + = = =
Công thức 6:
1
log log
=
n
a
a
b b
n
, (6)
Chứng minh:
Đặt
(
)
log
=⇒= ⇔ =
n
y
n ny
a
b y a b a b
Lấy logarith cơ số a cả hai vế ta được :
1
log log log log
= ⇔ = ⇒=
ny
a a a a
a b ny b y b
n
hay
1
log log=⇒
n
a
a
b b dpcm
n
Ví dụ 1 :
1
2
5 1
5
2
2
2
2
2
2
1
log 16 log 16 log 16 2.4 8.
1
2
1
log 64 log 64 log 64 5.6 30.
1
5
= = = =
= = = =
Hệ quả:
T
ừ
các công th
ứ
c
(5)
và
(6)
ta có :
log log
=
n
m
a
a
m
b b
n
Ví dụ 2:
( )
( )
( )
( )
3 1 3
3
111
3
4452 2 2
52
5
3
9 11 11
4
log 125 log 5 log 5 ; log 32 2 log 2 log 2 .
1
4 3 3
3
= = = = = =