135
KHAÛO SAÙT TÍNH OÅN ÑÒNH CUÛA HEÄ THOÁNG
Hình 4.5: Quyõ ñaïo nghieäm soá
Veõ caùc nghieäm cuûa phöông trình (4.10) töông öùng vôùi caùc giaù trò cuûa K leân maët phaúng phöùc. Neáu cho K thay ñoåi lieân tuïc töø 0 ñeán +¥ , taäp hôïp taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình (4.10) taïo thaønh ñöôøng ñaäm neùt nhö treân hình veõ. Ñöôøng ñaäm neùt treân hình veõ ñöôïc goïi laø quyõ ñaïo nghieäm soá.
Ñònh nghóa
Quyõ ñaïo nghieäm soá laø taäp hôïp taát caû caùc nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tính cuûa heä thoáng khi coù moät thoâng soá naøo ñoù trong heä thay ñoåi töø 0 fi ¥ .
4.3.2 Qui taéc veõ quyõ ñaïo nghieäm soá
Hình 4.6
Xeùt heä thoáng ñieàu khieån coù sô ñoà khoái ôû hình 4.6.
Phöông trình ñaëc tính cuûa heä
+
=
1
0
(4.11)
G s H s ( )
( )
Muoán aùp duïng caùc qui taéc veõ quyõ ñaïo nghieäm soá, tröôùc tieân ta
phaûi bieán ñoåi töông ñöông phöông trình ñaëc tính veà daïng
136
CHÖÔNG 4
+
=
K
1
0
(4.12)
N s ( ) D s ( )
trong ñoù K laø thoâng soá thay ñoåi.
=
Ñaët
G s K ( )
o
N s ( ) D s ( )
+
Goïi n laø soá cöïc cuûa G0(s), m laø soá zero cuûa Go(s) = (4.12)
0
1
oG s( ) =
Ñieàu kieän bieân ñoä
1
G s ( ) o
(cid:219)
Ñieàu kieän pha
+ p l 1 2 )
(
= G s ( ) o
Sau ñaây laø 11 qui taéc veõ quyõ ñaïo nghieäm soá cuûa heä thoáng coù
phöông trình ñaëc tính coù daïng (4.12):
Qui taéc 1: Soá nhaùnh cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá = baäc cuûa phöông
trình ñaëc tính = soá cöïc cuûa G0(s) = n.
Qui taéc 2: Khi K = 0: caùc nhaùnh cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá xuaát
phaùt töø caùc cöïc cuûa Go(s). Khi K tieán ñeán +¥
: m nhaùnh cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá tieán theo caùc tieäm
ñeán m zero cuûa Go(s), n-m nhaùnh coøn laïi tieán ñeán ¥ caän xaùc ñònh bôûi qui taéc 5 vaø 6.
Qui taéc 3: Quyõ ñaïo nghieäm soá ñoái xöùng qua truïc thöïc.
Qui taéc 4: Moät ñieåm treân truïc thöïc thuoäc veà quyõ ñaïo nghieäm
soá neáu toång soá cöïc vaø zero cuûa Go(s) beân phaûi noù laø moät soá leû.
Qui taéc 5: Goùc taïo bôûi caùc ñöôøng tieäm caän cuûa quyõ ñaïo
nghieäm soá vôùi truïc thöïc xaùc ñònh bôûi
(
a =
=
(cid:219) —
( l
0 1 2 K )
(4.13)
,
,
,
)+ p l 1 2 n m
Qui taéc 6: Giao ñieåm giöõa caùc tieäm caän vôùi truïc thöïc laø ñieåm
A coù toïa ñoä xaùc ñònh bôûi
n
m
– – -
z i
-
∑ ∑ p i
cöïc
zero
=
-
∑
i
1
1
=
=
OA
(4.14)
- -
∑ n m
= i n m
(pi vaø zi laø caùc cöïc vaø caùc zero cuûa Go(s)). Qui taéc 7: Ñieåm taùch nhaäp (neáu coù) cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá
137
KHAÛO SAÙT TÍNH OÅN ÑÒNH CUÛA HEÄ THOÁNG
naèm treân truïc thöïc vaø laø nghieäm cuûa phöông trình:
= 0
dK ds
Qui taéc 8: Giao ñieåm cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá vôùi truïc aûo coù
theå xaùc ñònh baèng moät trong hai caùch sau ñaây
- AÙp duïng tieâu chuaån Routh-Hurwitz.
j= w
- Thay s
vaøo phöông trình ñaëc tính (4.12), caân baèng
phaàn thöïc vaø phaàn aûo seõ tìm ñöôïc giao ñieåm vôùi truïc aûo vaø giaù trò K.
Qui taéc 9: Goùc xuaát phaùt cuûa quyõ ñaïo nghieäm soá taïi cöïc phöùc
pj ñöôïc xaùc ñònh bôûi
m
n
p
p
(cid:176) + 180
arg(
)
arg(
)
(4.15)
q = j
j
z i
j
p i
- - -
∑
∑
=
=
i
1
1 j
i i
Daïng hình hoïc cuûa coâng thöùc treân laø
„
j = 180o + (∑goùc töø caùc zero ñeán cöïc pj )
– (∑goùc töø caùc cöïc coøn laïi ñeán cöïc pj)
Qui taéc 10: Toång caùc nghieäm laø haèng soá khi K thay ñoåi töø +¥
0 fi
Qui taéc 11: Heä soá khueách ñaïi doïc theo quyõ ñaïo nghieäm soá coù
theå xaùc ñònh töø ñieàu kieän bieân ñoä
K
= 1
(4.16)
N s ( ) D s ( )
Ví duï 4.7. Cho heä thoáng töï ñoäng coù sô ñoà khoái nhö sau
=
G s ( )
+
+
s
K 2 )(
s s (
3 )
Hình 4.7
Haõy veõ QÑNS cuûa heä thoáng khi K = 0 fi
+¥
.
Giaûi. Phöông trình ñaëc tính cuûa heä thoáng
+
=
+
=
1
0 (cid:219)
1
(1)
0
G s( )
+
+
s
3
K 2 )(
s s (
)
Caùc cöïc: ba cöïc.
q
138
CHÖÔNG 4
2 , p = -
3
1 0 , p = - p =
2
3
Caùc zero: khoâng coù. ⇒ QÑNS goàm coù ba nhaùnh xuaát phaùt töø caùc cöïc khi K = 0. Khi K fi
, ba nhaùnh cuûa QÑNS seõ tieán ñeán voâ cuøng theo
+¥ caùc tieäm caän xaùc ñònh bôûi:
- Goùc giöõa caùc tieäm caän vaø truïc thöïc
= (l
)
0
1
3
p
(
(
a =
=
= (l
)
1
–
⇒
2
p
+ p l 1 2 ) n m
+ p l 1 2 ) 3 0
3 = (l
)
1
a = a = - a = p 3
- Giao ñieåm giöõa caùc tieäm caän vaø truïc thöïc
- -
cöïc
zero
0
3
0
[
+ - (
)]
- -
∑
=
=
= -
OA
- -
∑ n m
+ - 2 ) ( 3 0
= 0
- Ñieåm taùch nhaäp laø nghieäm cuûa phöông trình
5 3 dK ds
= -
+ s
3 + s
2 + s
Ta coù (1)
K
2
3
5
+ s s (
)(
= - )
(
s 6 )
= -
+ s
⇒
23 + s
10
(
6 )
dK ds
(loaïi)
(cid:219)
+ s
Do ñoù
= 0 (cid:219)
23 + s
10
6
0 (cid:219)
(
= )
= - = -
2 549 , 0 785 ,
dK ds
s 1 s 2
- Giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi truïc aûo coù theå xaùc ñònh baèng moät
trong hai caùch sau ñaây:
Caùch 1
AÙp duïng tieâu chuaån Routh
+
+
=
-
3 s
+ s K
(1)
25 s
6
0
Baûng Routh
1
s3
5
s2
6 K 0
s1
(cid:219)
6
0
a = 3
=1 K 5
1 5
- ·
139
KHAÛO SAÙT TÍNH OÅN ÑÒNH CUÛA HEÄ THOÁNG
K
s0
Ñieàu kieän ñeå heä thoáng oån ñònh
> K
0
0 < K < 30
K
1 5 > 0
- 6
Vaäy heä soá khueách ñaïi giôùi haïn laø Kgh = 30. Thay giaù trò Kgh = 30 vaøo phöông trình (2), giaûi phöông trình
ta ñöôïc giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi truïc aûo.
+
+
+
s
3 s
6
= 30 0
25 s = - 5
(cid:219)
s 1 = (cid:219) j 6 s 2 = - j 6 s 3
j= w
Caùch 2
. Giao ñieåm (neáu coù) cuûa QÑNS vaø truïc aûo phaûi coù daïng s
2
Thay s
j= w ) 3 w +
(
( ) w + j
( w + j 6
3 w +
= vaøo phöông trình (1) ta ñöôïc ) j K 0 5
25 w +
3 w + j
- w - j = j K 6 0 (cid:219)
2 w + 5
j w = 6 0 (cid:219) - = K 0
= 0 0 - w = K (cid:219)
Hình 4.8
Hình 4.8
Ví duï 4.8. Cho heä thoáng hoài tieáp aâm ñôn vò, trong ñoù haøm truyeàn
= K 6 30 w = –
)
= hôû laø: G s ( ) + s K 2 8 + 20 s s (
Giaûi. Phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng =
Haõy veõ QÑNS cuûa heä thoáng khi K = 0fi +¥ .
+ 1 0 G s( )
140
CHÖÔNG 4
2 s s (
)
K + = (cid:219) 1 0 (1) + + s 8 20
1 0 ,
2 3 ,
= - – p j Caùc cöïc p = 4 2
K fi Caùc zero khoâng coù ⇒ QÑNS goàm ba nhaùnh xuaát phaùt taïi caùc cöïc khi K = 0. Khi +¥ , ba nhaùnh tieán ñeán voâ cuøng theo tieäm caän xaùc ñònh bôûi
- Goùc giöõa caùc tieäm caän vaø truïc thöïc
1
(
(
–
2
p = (l 0) 3 p a = = = (l ) ⇒ 1 - - + p l 1 2 ) n m + p l 1 2 ) 3 0 3 = (l 1)
a = a = - a = p 3
- Giao ñieåm giöõa caùc tieäm caän vaø truïc thöïc
[
)]
- - - cöïc zero j j 0 2 4 2 + - + 4 ( 0 ( )
∑
= = = - OA - -
∑ n m
+ - ) ( 3 0 8 3
= 0 - Ñieåm taùch nhaäp laø nghieäm cuûa phöông trình dK ds
Ta coù
3 s
28 s = -
(cid:219) + + = (1) 20 0
3 + s
(
)
(cid:219) + s K 28 + s s 20 K
23 + s
(
= - + s ⇒ 16 20 ) dK ds
23 s
+ + s Do ñoù = 0 (cid:219) 16 20 0 (cid:219) = = - = - 3 33 , 2 00 , dK ds s 1 s 2
Vaäy QÑNS coù hai ñieåm taùch nhaäp.
- Giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi truïc aûo ñöôïc xaùc ñònh caùch thay s j= w vaøo phöông trình ñaëc tính.
3 s
28 s
+ + = (cid:219) + s K (1) 20 0
j= w ta ñöôïc Thay s
141
KHAÛO SAÙT TÍNH OÅN ÑÒNH CUÛA HEÄ THOÁNG
3 w +
28
3 w + )
(
2 w + j 8 ( )
)
= w + - w - j K j = j K 0 (cid:219) 20 0 w + j 20 (
2 w + 8
3 w +
j= –
0 = 0 = K 0 (cid:219) (cid:219) - 20 w = 20 0 - = K 160 w = K w = –
20 .
Vaäy giao ñieåm cuûa QÑNS vaø truïc aûo laø s
a r g(
)]
)
(cid:176) - - - 180 - Goùc xuaát phaùt cuûa QÑNS taïi cöïc phöùc p2 laø + p 1 q = 2 p 2 p 2 p 3
[a r g( { - + a r g[(
)
(
= (cid:176) - - - - - j j j 4 180 2 4 2 4 2 + ) 0 ] - + a r g[(
} )]
=
180
+ ,
{ } 153 5 90
⇒
- tg 63 5 ,
Hình 4.9
Ví duï 4.9. Cho heä thoáng hoài tieáp aâm ñôn vò, trong ñoù haøm truyeàn
(cid:176) - = (cid:176) - 180 90 1 2 + - 4 (cid:176) q = - 2
)
)(
)
+ 1 = hôû laø: G s ( ) + + + s 20 8 3 s s (
K s ( 2 s Haõy veõ QÑNS cuûa heä thoáng khi K = 0 fi +¥ .
142
CHÖÔNG 4
Giaûi. Phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng =
)
)(
) = -
+ 1 0 G s( ) + 1 + = (cid:219) 1 0 (1) + + + s 3 8 20 s s (
3 , p
2
3 4 ,
– j 4 2 Caùc cöïc p = K s ( 2 s 1 0 , p = -
1
1
Caùc zero z = -
⇒ QÑNS goàm boán nhaùnh xuaát phaùt taïi caùc cöïc khi K = 0. , moät nhaùnh tieán ñeán zero, ba nhaùnh coøn laïi tieán ñeán +¥ Khi K fi voâ cuøng theo tieäm caän xaùc ñònh bôûi:
- Goùc giöõa caùc tieäm caän vaø truïc thöïc
1
(
(
–
2
p = (l 0) 3 p a = = = (l ) ⇒ 1 - - + p l 1 2 ) n m + p l 1 2 ) 4 1 3 = (l 1)
a = a = - a = p 3
(
(
[
(
)]
(
- - - - zero cöïc j 4 0 2 + - + - + 4 3 ) 1 ) - Giao ñieåm giöõa caùc tieäm caän vaø truïc thöïc ∑ = = = - OA - -
∑ n m
+ - j 2 ) 3 0 10 3
- Ñieåm taùch nhaäp laø nghieäm cuûa phöông trình = 0 dK ds
Ta coù
2 s
)(
)
)
+ + + + + = (cid:219) s 3 8 20 1 0 (1) s s ( K s (
)
2 s s
)( (
+ + + s 3 20 s s ( = - (cid:219) K + 1 8 )
3 s
2 s
4 s 3
2 1 )
+ + + + s 26 88 60 = - ⇒ 77 + dK ds s(
3 s
2 s
= 0 (cid:219)
4 s 3
dK ds
+ + + + s 26 77 88 = 60 0 Do ñoù
– (cid:219) (loaïi) = - = - – 3 67 , 0 66 , j 1 05 , j 0 97 . s 1 2 , s 3 4 ,
Vaäy QÑNS khoâng coù ñieåm taùch nhaäp.
143
KHAÛO SAÙT TÍNH OÅN ÑÒNH CUÛA HEÄ THOÁNG
- Giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi truïc aûo ñöôïc xaùc ñònh caùch thay s j= w vaøo phöông trình ñaëc tính.
2 s
)(
)
)
+ + + + + = (cid:219) s (1) 3 8 20 1 0 s s ( K s (
4 s
2 s
3 s 11
(
)
+ + + + = (cid:219) + K s K 44 60 0
4
3 w +
2 +
j= w Thay s ta ñöôïc
(
4
2
w - w - j K 11 44 w + 60 0 = K j )
3 w +
(
)
= - K w + 44 0 (cid:219) - w = K 11 + 60 0 w
= 0 0 w = K
w = – (cid:219) = K 5 893 , 322
w = – (loaïi) = - K j 1 314 , 61 7 ,
Vaäy giao ñieåm caàn tìm laø: = – 5 893 j , s
ghK = 322
Heä soá khueách ñaïi giôùi haïn laø
Hình 4.10
- Goùc xuaát phaùt cuûa QÑNS
)
3
4
- + b 180 taïi cöïc phöùc p3 q = 3 b + b + b ( 2 1
,
)
,
,
g
= + + - + 180 146 3 153 4 116 6 90 (
Ví duï 4.10. Cho heä thoáng hoài tieáp aâm ñôn vò, trong ñoù haøm truyeàn
33 7 , q = - 3
)
= hôû laø: G s ( ) + + s a 400 6 )( s s (
Giaûi. Phöông trình ñaëc tröng cuûa heä thoáng =
Haõy veõ QÑNS cuûa heä thoáng khi a = 0fi +¥ .
+ 1 0 G s( )
144
CHÖÔNG 4
)
+ = (cid:219) 1 0 +
)(
)
s s ( + + s a + (cid:219) 400 6 )( + s a 6 = 400 0 s s (
)
2 s s (
)
(cid:219) + + = + + 6 0 6 as s (
+ = (cid:219) 1 0 (1) 400 )+ as s 6 ( 2 + + s 6 400
3 s Caùc cöïc p = -
1
j 10 , p 6
1 0 ,
Caùc zero z = 6 = – 2 3 2 , z = - 2
⇒ QÑNS goàm ba nhaùnh xuaát phaùt taïi caùc cöïc khi K = 0. Khi +¥ , hai nhaùnh tieán ñeán hai zero, nhaùnh coøn laïi tieán ñeán voâ K fi cuøng theo tieäm caän xaùc ñònh bôûi
(
(
- Goùc giöõa caùc tieäm caän vaø truïc thöïc
a = = ⇒ a = p , (l = 0) - - + p l 1 2 ) n m + p l 1 2 ) 3 2
[
[
(
)]
- - - - zero cöïc j j 10 0 6 + - + 2 ( + - 6 ) + - 6 )] - Giao ñieåm giöõa caùc tieäm caän vaø truïc thöïc ∑ = = - = OA 8 - -
∑ n m
2 ( 3 2
= 0 - Ñieåm taùch nhaäp laø nghieäm cuûa phöông trình da ds
3 s
)
(cid:219) + + + = + Ta coù (1) 400 6 0 as s(
26 s 3 s
2 s +
+ + 400 = - (cid:219) a 6 2 s s 6
4 s
3 s
3 s
2 s +
2 s +
(
+ + + + - - s 12 2400 = - 400 = ⇒ da ds 6 2 s s 36 2 s s 6 6 800 2 )
4 s
3 s
2 s
+ + = - - s Do ñoù = 0 (cid:219) 12 36 800 2400 0 da ds
= + (loaïi) 6 9 , (cid:219) = -
= - – j (loaïi) 2 9 , 8 7 48 , s 1 s 2 s 3 4 ,
Vaäy QÑNS 1 coù ñieåm taùch nhaäp taïi – 2,9.
145
KHAÛO SAÙT TÍNH OÅN ÑÒNH CUÛA HEÄ THOÁNG
j= w
+
+
+
+
=
- Giao ñieåm cuûa QÑNS vôùi truïc aûo ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch thay s vaøo phöông trình ñaëc tính.
3 s
26 s
400
as s (
6 )
0
2
(cid:219) (1)
+
+
+
+
3 s
as
6
6
(
a s )
= 400 0
j= w
(cid:219)
3
2
Thay s ta ñöôïc
+ w + = - w - j w + a aj 6 6 400 0 ( )
2 w + a )
3 w +
= + 6 400 0 ( (cid:219) - w = a 6 0
0 = ¥ - w = a
(cid:219) 5 85 , 5 7 ,
w = – = a w = – j (loaïi) = - a 8 38 , 11 7 ,
Vaäy giao ñieåm caàn tìm laø s j ,
,= 5 7
gha
giôùi haïn cuûa heä soá a laø = – 5 85 , töông öùng vôùi giaù trò
3
4
= + + - - - Goùc xuaát phaùt cuûa QÑNS taïi cöïc phöùc p2 + 71 6 36 7 180 180 ( ) ( , , ) ( 26 6 90 ) , b + b ) 2 + b + b ( 1
Hình 4.11
(cid:176) , q = 2 q = 2 171 7
146
CHÖÔNG 4
4.4 TIEÂU CHUAÅN OÅN ÑÒNH TAÀN SOÁ
4.4.1 Nguyeân lyù goùc quay
n
n
1
Xeùt heä thoáng baäc n coù phöông trình ñaëc tính heä soá haèng: - + + + A(s) = = 0 (4.17) ..... a s o a n a s 1
Ña thöùc A(s) ñöôïc vieát döôùi daïng:
A(s) = ao(s - p1)( s - p2)....( s - pn)
vôùi p1, p2,... pn laø cöïc cuûa heä thoáng, laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tính.
Thay s = jw vaøo (4.17) ta coù:
A(jw ) = ao(jw - p1)( jw - p2)....( jw - pn)
Hình 4.12
Giaû söû phöông trình (4.17) coù m nghieäm phaûi (coù phaàn thöïc döông), coøn (n - m) nghieäm traùi (coù phaàn thöïc aâm)
n
Goùc quay cuûa vectô ña thöùc ñaëc tính taàn soá A(jw )
w - j arg A(jw ) = a r g( ) p i
∑
=
i
1
n
Khi taàn soá w thay ñoåi töø – ¥ ñeán + ¥ thì söï thay ñoåi goùc quay cuûa vectô ña thöùc ñaëc tính taàn soá A(jw ) seõ laø:
w - j D arg A(jw ) = a r g( ) p i
∑
=
i
1
- ¥ 147 KHAÛO SAÙT TÍNH OÅN ÑÒNH CUÛA HEÄ THOÁNG Kyù hieäu D chæ söï thay ñoåi goùc quay Neáu qui ñònh chieàu quay döông laø chieàu ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà thì ta coù bieåu thöùc sau ñoái vôùi nghieäm traùi vaø phaûi: D arg (jw - pn-m) = p
- ¥ Heä coù m nghieäm phaûi vaø (n - m) nghieäm traùi: Nguyeân lyù goùc quay D arg A(jw ) = (n - m)p - mp = (n - 2m) p
- ¥ - /
n m
)2 ( Heä thoáng baäc n coù m nghieäm phaûi vaø (n - m) nghieäm traùi coù
vectô ña thöùc ñaëc tính taàn soá A(jw ) seõ quay moät goùc laø (
2
voøng kín theo chieàu ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà khi taàn soá w bieán
thieân töø - ¥ ñeán + ¥ D arg A(jw ) = . 2p n m-
2
2
- ¥ < w < + ¥ 4.4.2 Tieâu chuaån oån ñònh taàn soá Mikhailov (cid:5) Tieâu chuaån oån ñònh döïa vaøo nguyeân lyù goùc quay ñöôïc Veùctô ña thöùc ñaëc tính taàn soá A(jw ) seõ quay moät goùc baèng
hieäu soá nghieäm traùi (n - m) vaø nghieäm phaûi (m) nhaân vôùi p khi w
bieán thieân töø - ¥ ñeán + ¥ . A. V. Mikhailov phaùt bieåu vaøo naêm 1938: (cid:5) Chöùng minh: Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå heä tuyeán tính oån ñònh laø bieåu ñoà
vectô ña thöùc ñaëc tính A(jw ) xuaát phaùt töø nöûa truïc thöïc döông taïi
w baèng khoâng, phaûi quay n goùc phaàn tö theo chieàu ngöôïc chieàu
kim ñoàng hoà khi w bieán thieân töø 0 ñeán + ¥
, vôùi n laø baäc cuûa
phöông trình ñaëc tính cuûa heä thoáng n n 1 Xeùt heä thoáng baäc n coù phöông trình ñaëc tính: - + + + A(s) = = 0 (4.18) ..... a s
o a
n a s
1 Heä thoáng oån ñònh neáu n cöïc naèm beân traùi maët phaúng phöùc. Theo nguyeân lyù goùc quay: 148 CHÖÔNG 4 (4.19) D arg A (jw ) = np
- ¥ Vì A(jw ) vaø A(-jw ) laø phöùc lieân hôïp neân (4.20) D arg A(jw ) = D arg A(jw )
- ¥ Do ñoù phöông trình (4.20) coù theå ñöôïc vieát döôùi daïng p D arg A(jw ) = n 2 Heä oån ñònh Heä khoâng oån ñònh Hình 4.13 (cid:5) Xaây döïng bieåu ñoà Mikhailov
(cid:2) Thay S = jw vaøo phöông trình ñaëc tính sau ñoù taùch phaàn 0 thöïc vaø phaàn aûo A(jw ) = P(w ) + jQ(w ) trong ñoù: P(w ) laø haøm chaün vôùi w : P(-w ) = P(w ) Q(w ) laø haøm leû vôùi w : Q(-w ) = - Q(w ) (cid:2) Töø bieåu thöùc A(jw ) nhaän ñöôïc baèng caùch theá S = jw vaøo 1 n
+ n
+ - w w maãu soá haøm truyeàn:
w =
) A j( ) ) +
..... a j
(
o a
n a j
(
1 w chính laø ñöôøng cheùo cuûa ña giaùc coù caïnh Ta nhaän thaáy A j( ) töông öùng baèng akw n-k vaø caùc caïnh vuoâng goùc vôùi nhau. 149 KHAÛO SAÙT TÍNH OÅN ÑÒNH CUÛA HEÄ THOÁNG Ví duï 4.12. xeùt heä baäc ba n = 3 3
w +
) 2
w +
a j
)
(
1 ) A j( w +
a j
(
2 a
3 Hình 4.14 (cid:2) Ña thöùc ñaëc tính (maãu soá haøm
truyeàn ñaït cuûa heä caàn xeùt oån ñònh ôû
traïng thaùi hôû hoaëc traïng thaùi kín)
ñöôïc phaân tích thaønh hai thaønh
phaàn: w = oa j
(
)
Cho w bieán thieân töø 0 ñeán voâ
cuøng baèng phöông phaùp treân xaây
döïng toaøn boä bieåu ñoà veùctô ña thöùc
ñaëc tính A(jw ). Ví duï 4.13: A(s) = (1+sT1) (1+sT2) (1+sT3) + K = D(s) + K = 0 A(s) = D(s) + K(s) T1 = 0,5 ; T2 = 2 ; T3 = 0,1. Tính Kgh D arg A(jw ) = D(jw ) + K
0 < w < + ¥
0 < w <+ ¥
Xaây döïng bieåu ñoà Töø ñoù suy ra: (2,6 - 0,1w 2) gh gh
0 K P ( K Q
( D(jw ) = P(w ) + jQ(w )
P(w ) = 1 - 1,25 w 2
P(w ) = w
=
?
w =
)
o
w =
)
o w =
o 2 6
,
0 1
, ghK = Hình 4.15 4.4.3 Tieâu chuaån oån ñònh Nyquist - · g 1 1 25
,
( 31 5
, 2 6
,
=
)
0 1
, Hình 4.16 Cho heä thoáng töï ñoäng coù sô ñoà khoái 150 CHÖÔNG 4 Cho bieát ñaëc tính taàn soá cuûa heä hôû G(s), baøi toaùn ñaët ra laø Tieâu chuaån Nyquist xeùt tính oån ñònh cuûa heä thoáng kín Gk(s). Heä thoáng kín Gk(s) oån ñònh neáu ñöôøng cong Nyquist cuûa heä hôû G(s) bao ñieåm (–1, j0) voøng theo chieàu döông (ngöôïc chieàu l
2 , trong ñoù l laø soá cöïc cuûa Ví duï 4.14. Cho heä thoáng hoài tieáp aâm ñôn vò, trong ñoù heä hôû G(s) kim ñoàng hoà) khi w thay ñoåi töø 0 ñeán +¥
heä hôû G(s) naèm beân phaûi maët phaúng phöùc. coù ñöôøng cong Nyquist nhö hình veõ. Bieát raèng G(s) oån ñònh. Xeùt Hình 4.17 tính oån ñònh cuûa heä thoáng kín Vì G(s) oån ñònh neân G(s) khoâng coù cöïc naèm beân phaûi maët phaúng phöùc. Do ñoù theo tieâu chuaån Nyquist heä kín oån ñònh neáu
ñöôøng cong Nyquist G(jw ) cuûa heä hôû khoâng bao ñieåm (–1, j0). Vì
vaäy: Tröôøng hôïp (cid:1): G(jw ) khoâng bao ñieåm (-1, j0) ⇒ heä kín oån ñònh.
Tröôøng hôïp (cid:2): G(jw ) qua ñieåm (-1, j0) heä kín ôû bieân giôùi oån ñònh;
Tröôøng hôïp (cid:3): G(jw ) bao ñieåm (-1, j0) ⇒ heä kín khoâng oån ñònh. g 151 KHAÛO SAÙT TÍNH OÅN ÑÒNH CUÛA HEÄ THOÁNG Chuù yù: Ñoái vôùi caùc heä thoáng coù khaâu tích phaân lyù töôûng, ñeå 2 g - xaùc ñònh ñöôøng cong Nyquist coù bao ñieåm (–1, j0) hay khoâng, ta
baùn kính voâ cuøng lôùn (g laø soá khaâu tích phaân lyù veõ theâm cung Ví duï 4.15. Xeùt tính oån ñònh cuûa heä hoài tieáp aâm ñôn vò bieát haøm töôûng trong haøm truyeàn heä hôû). Giaûi. Tuøy theo giaù trò cuûa K, T1, T2, T3 maø bieåu ñoà Nyquist cuûa heä
hôû coù theå coù moät trong ba daïng sau Hình 4.18 = truyeàn cuûa heä hôû laø: G s
( ) + + + 1 1 )( )( 1
) s T s
(
1 T s
3 K
T s
2 Vì heä kín khoâng coù cöïc naèm beân phaûi maët phaúng phöùc neân
- Tröôøng hôïp (cid:1): G(jw ) khoâng bao ñieåm (–1, j0) ⇒ heä kín oån ñònh.
- Tröôøng hôïp (cid:2): G(jw ) qua ñieåm (–1, j0) ⇒ heä kín ôû bieân giôùi oån ñònh. Ví duï 4.16. Cho heä thoáng hôû khoâng oån ñònh coù ñaëc tính taàn soá - Tröôøng hôïp (cid:3): G(jw ) bao ñieåm (–1, j0) ⇒ heä kín khoâng oån ñònh. g nhö caùc hình veõ döôùi ñaây. Hoûi tröôøng hôïp naøo heä kín oån ñònh? 152 CHÖÔNG 4 Hình 4.19 153 KHAÛO SAÙT TÍNH OÅN ÑÒNH CUÛA HEÄ THOÁNG Giaûi: (a) OÅn ñònh (b) Khoâng oån ñònh (c) Khoâng oån ñònh Ví duï 4.17. Cho heä thoáng hôû coù haøm truyeàn ñaït laø (d) OÅn ñònh (e) Khoâng oån ñònh P(w ) n
) = (K > 0, T > 0, n > 2) G s
( ) Ts K
+ 1 ( Tìm ñieàu kieän cuûa K vaø T ñeå heä thoáng kín (hoài tieáp aâm ñôn Giaûi. Ñaëc tính taàn soá cuûa heä thoáng laø vò) oån ñònh. n G j
( w =
) Tj K
w + 1 ) ( K M Bieân ñoä ( w =
) T w +2 2 1 - j w 1
ntg T Pha w = -
(
) ( ) Hình 4.20 Bieåu ñoà Nyquist cuûa heä thoáng hôû coù daïng nhö hình 4.29. Do heä hôû khoâng coù cöïc naèm beân phaûi maët phaúng phöùc neân ñeå
heä thoáng kín oån ñònh thì ñöôøng cong Nyquist cuûa heä hôû khoâng
bao ñieåm (–1,j0), theo hình veõ ta thaáy ñieàu naøy xaûy ra khi M(w –p )
< 1.(
)n
