Giáo trình Tôpô đại cương: Phần 2 - TS. Nông Quốc Chinh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:79

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn cuốn giáo trình "Tôpô đại cương" trình bày các nội dung: Ánh xạ liên tục, không gian con, không gian tích, không gian thương; không gian compact, không gian liên thông. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Tôpô đại cương: Phần 2 - TS. Nông Quốc Chinh

C h ư ơ n g 3 ÁNH XẠ LIÊN TỤC, KHÔNG GIAN CON KHÔNG GIAN TÍCH, KHÔNG GIAN THƯƠNG Việc nghiên cứu lớp ánh xạ giữa những không gian tỏpô rất quan trừng, đặc biệt là các ánh xạ liên tục. Trong chương trình giải tích cổ điển chúng ta đã biết về các hàm liên tục. Ở đây khái niệm ánh xa liên tục sẽ là khái quát hơn, sự hiểu biết về các ánh xạ liên tục từ không gian tôpô này đến không gian tôpô kia sẽ cho ta biết được những tính chất của không gian tôpô nguồn (hoặc đích), đặc biệt các phép đồng phôi giữa những không gian tôpõ sẽ chuyển cấu trúc không gian tôpô này đến không gian tôpô kia với ý nghĩa là các tương đương tỏpô. Các bất biến qua các phép đổng phôi được g ừ i là các bất biên tôpô. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu cụ thể về ánh xạ liên tục. § Ì . Á N H X Ạ LIÊN T Ụ C - P H É P Đ Ồ N G PHÔI Định nghĩa 3.1. • Ta nói ánh xạ f : X - » Y , từ không gian tôpô X đến không gian tôpô Y , là liên tục t ạ i điểm Xo e X nếu với m ỗ i lân cận u của điểm f ( x ) e Y luôn tồn t ạ i lân cận V của điểm Xo thoa mãn f ( V ) c Ư. 0 • Ánh xạ f được g ừ i là ánh xạ liên tục trên không gian tôpỏ X nếu nó liên tục tại m ừ i điểm X G X . Nhận xét. G i ả sử f: X - > Y là ánh xạ từ không gian tôpô X đến không gian tôpô Y . Ánh xạ f là liên tục tại điểm x e X nếu và chỉ nếu với 0 79
m ừ i lân cận u của f (x ) trong Y , tạo ảnh r ' ( U ) là lân cận của x 0 0 trong X . Thật vậy, nếu ánh xạ f là liên tục tại Xo hiển nhiên tồn tại lân cận V của Xo để f ( V ) c u => V c r ( f ( V ) ) c r ' ( U ) =» r ( U ) là Lân cận của l ẵ x trong X. Ngược lại giả sử với m ừ i lân cận u của f ( x ) luôn có 0 0 r ' ( U ) là lãn cận của điểm x trong X . K h i đó chừn V = r ' ( U ) , ta có 0 f ( V ) = f ( r ' ( U ) ) c u . V ậ y f là liên tục tại x . 0 Định lý 3.1. Cho f : X - > Y là ánh xạ từ không gian tôpô X đến không gian tỏpô Y . K h i đó các điều kiện sau đây là tương đương: a) Á n h xạ f là liên tục. b) Đ ố i với m ỗ i tập con A bất kì của X luôn có f ( Ã ) c f ( A ) . c) Tạo ảnh của m ỗ i tập con đóng tùy ý trong Y là tập con đóng trong X . d) Tạo ảnh của m ồ i tập con m ở tùy ý trong Y là tập m ở trong X. e) Tạo ảnh của mỗi phần tử thuộc tiền cơ sở nào đó của tôpô trong Y là tập m ở trong không gian tôpô X . g) Đ ố i với m ồ i tập con B bất kì trong Y luôn có f ~ ' ( B ) c r ' ( B ) . Chứng minh. • a) => b). Giả sử A c X , và f là ánh xạ liên tục. Nếu f( Ã ) * 0 lấy tuy ý y e f( Ã ), khi đó 3x e Ã thoa mãn f(x) = y. G i ả sử u là lân cận tuy ý của y = f(x). Vì f là liên tục, nén tồn tại lân cận V của X sao cho f ( V ) c u , do đó V c f '(U). Vì x e Ã => V r i A * 0 I => r ( U ) n A * 0 1 nghĩa là tồn tai x'e f ' ( ự ) n A . Đ ố i với phần tử x' đó ta có f ( x ' ) e U Í Ì f ( A ) nghĩa là u n f ( A ) * 0 (làn cận tùy ý của điểm y luôn có giao khác rỗng với tập f ( A ) ) => f( Ã ) c Ĩ Ĩ Ă ) . • b) => c). Giả sử B là tập đóng tùy ý trong Y, đặt A = r ' ( B ) c X 80
Theo g i ả thiết ta có: f ( A ) c l'(A) = f [ f - ' ( B ) ] = B H f ( X ) c B = B => A c f [ f ( Ã ) ] c f - ' ( B ) = Á c Ã . V ậ y A = Ã 1 => f ' ( B ) là tập đóng trong X . - c) => d). G i ả sử B là tập m ở tuy ý trong Y . K h i đó Y \ B là tập đóng trong Y => r ' ( Y \ B) là tập đ ó n g , nhưng r ' ( Y \ B) = X \ r ' ( B ) là đóng nên r ' ( B ) là tập m ở trong X . • d) => e). H i ể n nhiên, vì m ỗ i phần tử thuộc tiền cơ sở của tôpô trong Y là tập m ở trong Y nên tạo ảnh của nó là m ở trong X . • e) => a). G i ả sử ánh xạ f thoa m ã n điều kiện (e), v ớ i Xo là điểm bất kì trong X , và u là lân cận tuy ý của điểm f(x„) trong Y . G i ả sử co là một cơ sở của tôpô trên Y , và M là m ộ t tiền cơ sở của tôpô đ ó . Theo định lý (2.10), tồn t ạ i w e Ó) sao cho f ( x ) e W c U , t ừ định 0 nghĩa tiền cơ sở ta thấy w là giao hữu hạn nào đó của các phần tử trong M, nghĩa là w = V , n ... n v (Vị EM). k Vì r ' ( W ) = r ( v ) n . . . n 1 1 r ' ( v ) , theo (e) các tập r ' ( V , ) , k f ( V ) đêu là tập m ở trong X , nén r ' ( W ) là tập m ở trong X . Đặt - 1 k r ' ( W ) = V , ta có Xo e r ' ( W ) = V . Ta có: f(V) = f(f - '(W)) = w n f(X) c w c u . Theo định nghĩa f là liên tục t ạ i đ i ể m x . Do x là điểm bất kỳ trong 0 0 X, nên á n h xạ f là liên tục trên X . • b) => g). G i ả sử B c Y tuy ý, đặt A = r ' ( B ) . Theo b) ta có: f ( Ã ) c ŨÃ) c B ^ Ã c r'(f(Ã))cr'(B) => r\B) c f-'(B). • g) => b). G i ả sử A c X tuy ý. Đặt B = f ( A ) c Y . Ta có Ã c r ' ( B ) c f - ' ( B ) => f( Ã ) c f( r ' ( B ) ) c B = ŨÃ). ũ 6-TP Hì
Định lý 3.2. G i ả sử X , Y , z là ba không gian t ô p ô , f : X - * Y và g : Y - > z là các ánh xạ Liên tục. K h i đó ánh xạ h = g.f : X z cũng là á n h xạ liên tục. Chứng minh. G i ả sử w là một tập m ở tuy ý trong z , do g là liên tục n ê n g~'(W) là một tập m ở trong Y . V ì f là liên tục nên: r [ g - ( W ) ] = (gf)- (W)= h-'(W) , | 1 là tập m ở trong X . V ậ y h là á n h xạ liên tục. • Định nghĩa 3.2. Ánh xạ f : X -> Y từ không gian tôpô X đến k h ô n g gian tôpô Y được g ừ i là á n h xạ m ở (tương ứng đ ó n g ) , nếu ảnh của m ỗ i tập m ở (tương ứng đ ó n g ) bất kì trong X qua á n h xạ f là tập m ở (tương ứng đ ó n g ) trong Y . Định nghĩa 3.3. Ánh xạ f : X -> Y từ không gian tôpô X đến k h ô n g gian tôpô Y được g ừ i là phép đồng phôi nếu f là song ánh và f, r 1 đ ề u là các á n h x ạ liên tục. Hai k h ô n g gian tôpô X và Y được gừi là đồng phôi nếu tồn t ạ i một p h é p đồng phôi từ X đ ế n Y . VI dụ 3.1 1) Xét tập hợp số thực (R, g f ) với tôpô tự nhiên, c á c h à m liên tục từ u —> IR là các ánh xạ liên tục. R 2) Đ ố i v ớ i k h ô n g gian tôpô ( X , gr) tuy ý, á n h xạ đồng nhất từ X - > X là một phép đồng phôi. 3) Á n h xạ f : X - * Y từ k h ô n g gian tôpô (X, £7 ) đến k h ô n g gian X tôpô ( Y , 7y) cho m ừ i phần tử X e X ứng với một phần tử cố định n à o đ ó trong Y là liên tục ( g ừ i là ánh xạ hằng). 4) A n h xạ từ một k h ô n g gian tôpô rời rạc đến k h ô n g gian tôpô tuy ý là liên tục. 82
5) A n h xạ từ không gian tôpô tuy ý t ớ i không gian tôpô ròi rạc là á n h xạ mở, nhưng chưa chắc liên tục. 6) T ồ n t ạ i những ánh xạ là song á n h , liên tục nhưng chưa chắc là phép đồng phôi. Thát vậy g i ả sử ( X , ( X . ai) là song á n h , liên tục nhung k h ô n g là p h é p đồng phôi. 7) Ánh xạ f : IR —> !R (với tôpô tự nhiên) là liên tục k h i và chỉ khi VE > 0, tồn t ạ i ô > 0, sao cho Vx e R thoa m ã n |x - Xoi < s thì: \ m - f(x )i < E. 0 Thật vậy, g i ả sử ánh xạ f là liên tục t ạ i đ i ể m x , 8 > 0 tuy ý. K h i 0 đó ta có khoảng ì = ( f ( x ) - s, f ( x ) + 8) là một lân cận của đ i ể m 0 0 f ( x ) . Vì f liên tục n ê n t ồ n t ạ i 0 một lân cận V của x 0 sao cho f ( V ) c ì. Vì cơ sở của tôpô tự nhiên là những khoảng m ở , n ê n tồn tại một khoảng m ở J c V chứa x . K h i đ ó tồn t ạ i 5 > 0 thỏa m ã n 0 ( x - ô, Xo + ô) c J. N h ư vậy tồn t ạ i 5 xác định sao cho Vx e 1 0 R thỏa mãn X e ( x - ô, x + ỗ ) thì f ( x ) e ì, nghĩa là |x - Xoi < ố => 0 0 * |f(x) - f ( x ) | < s.0 Ngược l ạ i , g i ả sử á n h xạ f thoa m ã n điều kiện đã đưa ra ở trên. V ớ i u là lân cận tuy ý của đ i ể m f ( x ) k h i đ ó có một khoảng m ở 0 ì CƯ sao cho t'(x„)el. Ta có thể giả thiết rằng: ì = ( f ( x ) - s, f ( x ) + s), v ớ i £ > 0 xác định. Theo g i ả thiết ta t ì m 0 0 được số s > 0 xác định đ ể từ điều kiện |x - Xoi < ô, sẽ kéo theo |f(x) - f ( x ) | < e. Đặt J = (Xo - 8, Xo + 5). Ta có J là lân cận của x 0 0 thoa m ã n f(J) c ì c u . Do u lấy tuy ý nên ta có f là liên tục. 8) Sau đây là một vài ví dụ về á n h xạ k h ô n g liên tục. a) f: R - > R được xác định bởi: 83
0 khi X < 0 f(x) = Ì khi X > 0 là h à m liên tục t ạ i m ừ i đ i ể m X * 0, nhưng k h ô n g liên tục tại đ i ể m x = 0. 0 b) H à m Đirichlê f: R - > R xác định b ở i : Ì khi X 6 Q f(x) = I 0 khi x e l R X Q là h à m k h ô n g liên tục t ạ i V x e l R . Thực vậy, g i ả sử x e Q tuy ý ta cổ f ( x ) = 1. Chừn một lân cận 0 0 của Ì = f ( x ) là u = (1/2,3/2). K h i đ ó với một lân cận V bất kì của 0 Xo ta có V n (R \ Q ) * 0 => f ( V ) í u , vì luôn có X e V : f ( x ) = 0. N h ư vậy f k h ô n g liên tục t ạ i m ừ i đ i ể m của Q. Chứng minh tương tự ta có t ạ i m ừ i x e [R \ Q , í" cũng k h ô n g liên tục. 0 Ta c ó t h ể d ễ d à n g chứng m i n h k ế t quả sau: Định lý 3.3. a) Đ ể á n h x ạ f : X - > Y là á n h xạ m ở thì điều k i ệ n cần và đủ là ảnh f ( U ) của phần tử Ư tuy ý trong cơ sở (ĩ) nào đ ó của tôpô trên X là m ở trong Y . b) H ợ p thành của hai á n h x ạ m ở là á n h xạ mở. c) Song á n h f : X - > Y là m ộ t phép đồng phôi k h i và chỉ khi f là á n h x ạ liên tục và m ở . • 84
§2. SO SÁNH HAI T Ô P Ô Định nghĩa 3.4. Cho hai tôpô í7j, gr trên cùng một tập hợp X, ta t nói rằng G7, là mịn hom Í7 (hoặc &2 thô hem ơ i , C7j mạnh hơn Q- , hay 2 2 C7 yếu hơn Oi) nếu ^ c 7,. Ta nói rằng hai tôpô C7j, ơ trên X là so 2 2 sánh được nếu C7, c 7, hoặc
• b) => c). Á p dụng định lý (2.1), tạo ảnh của m ừ i phần từ thuộc tiền cơ sở của & 2 là phần tử của £7ị. V ậ y m ừ i phần tử thuộc tiền c ơ sở của ^2 cũng là phần tử của STj. • c) => a) Á p dụng định lý (2.1), á n h xạ i d là liên tục. Suy ra với x bất kỳ U e g 2 ta có i d ' ( U ) = u e & , vậy & c Y , trong đ ó X là k h ô n g gian tôpô, Y là tập hừp trên đ ó đ ã xác định hai t ô p ô
Chứng minh. D ễ d à n g thấy rằng hừ M = ị ĩ ị (Ui )|i ẹ ì, Ui E ®i) là một phủ của l X nên theo định lý ( Ì . 11) tồn tại một tôpô
Nhận xét. Giả sử { ( X , ^ ) } s s s e s là một hừ không gian tôpô, ( Y , « ) là một không gian tôpô, {í' } e là một hừ ánh xạ f, : X - > Y liên tục. s s S s Hiển nhiên nếu thay B bằng một tôpô n' trên Y yếu hơn li thì r mỗi ánh xạ f của hừ nói trên vẫn liên tục. Nhưng nếu ta thay Ti s bằng một tôpô cá' c Y[ là một hừ ánh xạ từ các không s s s6S gian tôpô (X , 7 ) vào tập hợp Y, « là tôpô cuối trong Y xác định bởi s S hừ ánh xạ { f } s s e s , h : Y -> z là ánh xạ từ không gian tòpô (Y 2?) vào không gian tõpõ (Z, 4>). Khi đổ h liên tục nếu và chi nếu, với mỗi s € s, ánh xa h i ; : X -> z là liên tục. Xo
Chứng minh. H i ể n nhiên nếu g liên tục thì h f liên tục v ớ i m ừ i s e s. G i ả sử á n h s xạ hợp h i ; liên tục v ớ i m ừ i s e S và W e ^ > tuy ý. K h i đ ó : ( h t ; r ' ( W ) = f ; ' [h ' ( W ) ] e 7 với m ừ i s e s. Do đ ó h " ' ( W ) là một tập S hừp m ở trong Y đ ố i v ớ i tôpô B. V ậ y h là á n h xạ liên tục. • r § 4 . C Á C TIÊN Đ Ề T Á C H Định nghĩa 3.5. Không gian tôpô (X, ư) được gừi là T -không gian 0 nếu với hai đ i ể m khác nhau bất kì X, y E X t ồ n t ạ i ít nhất m ộ t đ i ể m c ó lân cận không chứa đ i ể m kia. Định lý 3.10. K h ô n g gian tôpô ( X , ự) là T - k h ô n g gian nếu và chỉ 0 nếu đ ố i với hai đ i ể m k h á c nhau tuy ý X, y e X ta c ó hoặc X
Định lý 3.11. Không gian tôpô (X, ư) là T , - k h ô n g gian nếu và chỉ nếu với m ỗ i X e X tập {XỊ là tập đóng. Chứng minh. Giả sử X là T, - không gian. V ớ i X e X ta có tập X \ { x } là tập mở. Thật vậy, lấy bất kỳ y e X \ {x} theo định nghĩa tồn tại lân cận v 5 của y thoa mãn x ệ V y . Suy ra y e V c X \ { x } , nên y là điểm y trong của X \ { X } . N h ư vậy m ừ i điểm thuộc X \ Ị XỊ đều là điểm trong của n ó . Vây x \ { x } là tập mở. Do đó {x} là tập đóng. Ngược l ạ i , g i ả sử với m ừ i X e X luôn có { x Ị là tập đóng trong X. G i ả sử x,y là hai phần tử khác nhau tuy ý thuộc X , tập V = X \ ( x i là m ở và nó là làn cận của y không chứa X. Tương tự tập u - X \ {y} tập là tập m ở và nó là lân cận của X không chứa y. V ậ y X là T,-không gian. • Định nghĩa 3.7. Không gian tôpô ( X , Ợ) được g ừ i là T - k h ô n g gian 2 nếu với hai điểm khác nhau bất kỳ x,y e X luôn tồn tại các lân cận U x của X và V của y sao cho U n V = 0 . x Định nghĩa 3.8. Không gian tỏpô (X, ư) được g ừ i là T , - k h ô n g gian (hoặc không gian chính quy) nếu X là T , - k h ô n g gian và với m ừ i x e X , với m ừ i tập đóng F c X thoa mãn X Ệ. F, luôn tồn tại các lân cận m ở U của X và V của F sao cho U n V = 0 . x x Đỉnh lý 3.12. Tj-không gian (X, Ợ) là T -không gian nếu và chỉ 3 nếu với m ừ i X e X và với m ừ i lân cận m ở V của X luôn tồn tại lân cận u của X sao cho x e U c u c V . Chứng minh. • (=>) G i ả sử X là T j - k h ô n g gian, X € X và V là một lân cận m ở nào đó của X. K h i đó tập F = X \ V là tập đóng trong X thoa mãn X í F, theo định nghĩa, tồn t ạ i các lân cận mớ u của X và w cùa F sao 90
cho u n w = 0 , nghĩa là u c X \ w . Vì X \ w là tập đ ó n g nên Ũ c X \ W c X \ F = V. • (
c) K h ô n g gian tôpô (X, C7 ) với X là vô hạn, là T . - k h ỏ n g gian vì K m ừ i tập một điểm là tập đóng, nhưng khổng là T - k h ỏ n g gian vì : hai tập m ở khác rỗng tuy ý trong không gian tôpô ( X , ?7 ) luôn cóK giao khác rỗng. d) Trên táp các số thưc R, ký hiêu Y = { - I k * 0, keZ|. k V ớ i m ỗ i X e 1R, i e ký hiệu O x) = (x — —, X + — ) . iV i Ì G ừ i : « ( x ) = Ị 0;(x) I i £ N*} nêu X + 0, CB(x)= { O i ( x ) \ Y I i e N * } n ế u x = 0. Ta nhận thấy hừ {2ĩ(x)} eiR thoa mãn các điều kiện trong định lý x (2.11), do đó trên R có một tôpô M trên R nhận hừ {«(x)Ị eR x làm cơ sở. R õ ràng với hai điểm tuy ý X -ị- y trong [R có thể chừn được m và n đủ lổm để O ( x ) n O (y) = 0 , vì vây {Rjl) m u là T-,-không gian. M ặ t khác, ta có Y là một tập đóng trong (R, M) không chứa điểm 0. V ớ i u là lân cận bất kỳ của điểm 0, và V là lân cận bất kỳ của Y , ta luôn có u n V * 0 . Điều đó chứng tỏ (R, M) không phải là T - k h ô n g gian. 3 d) N ế u ( X , Ợ) là không gian hoàn toàn chính quy thì (X, 7) là T - k h ô n g gian. Thật vậy trong X ta xét các tập u = r ' ( [ 0 , 1/2)), 3 và V = r ' ( ( l / 2 , 1]), do đó f là ánh xạ liên tục và các tập [0, 1/2), (1/2, 1] là tập m ở trong không gian tôpô [0, 1] nên ta có u và V là m ở trong X thoa mãn X e u , F c V và u n V = 0 . Tồn tại những không gian tôpô là T, - không gian nhưng không là không gian tôpô hoàn toàn chính quy. Nhưng do việc xây dựng những không gian đó khá phức tạp nên ta không đưa ra ở đày. 92
N ế u ( X , ự) là T k h ô n g gian thì ( X , Ợ) là T - k h ô n g gian (hiển 4 n h i ê n ) . T ừ bổ đề Urison dưới đây ta sẽ chứng minh được rằng m ô i T - k h ô n g gian là một khổng gian hoàn toàn chính quy. Ta 4 cũng sẽ đưa ra một phản ví dụ để chứng tỏ rằng tồn t ạ i những k h ô n g gian tôpô h o à n toàn chính quy nhung không là k h ô n g gian chuẩn tắc. g) Trong mặt phang từa đ ộ Oxy ký hiệu p = { ( x , y) e R 1 y > 0} là 2 tập hợp các điểm nằm ở nửa phía trên trục hoành, p, = {(X, y ) e R | y = 0 } ; P = P \ P j . V ớ i m ỗ i z e P , 2 2 và r > 0. g ừ i U(z, r) là tập tất cả c á c đ i ể m của P nằm trong hình tròn bán kính 2 r tiếp xúc với p, t ạ i z. Đ ặ t Uj(z) = U ( z , 1/i)u { z } , ( i = Ì, 2, . . . ) (H.l). Với mỗi z e P , và r > 0, g ừ i U(z, r) là tập tất cả c á c đ i ể m của p nằm trong h ì n h tròn t â m z bán kính r. Đặt Ui(z) = U(z, Ì / i ) , ( i - 1,2, . . . ) ( H . 2 ) . H.l H.2 H ừ { U ( z ) | ép - r* thỏa m ã n c á c điều kiện của định lý (2.11), nên s n ó là cơ sở của t õ p ỏ 7 xác định trên p. Ta có thể chứng minh được (P 7 ) là k h ô n g gian tôpô hoàn toàn chính quy n h ư n g k h ô n g là k h ô n g gian chuẩn tắc. 93
Định lý 3.13. (Bổ đề Urison). V ớ i hai tập đóng r ờ i nhau bất kỳ A , B trong không gian chuẩn tắc (X, g) luôn tồn t ạ i h à m liên tục I : X -> ì sao cho I U ) = 0, Vx e A và f ( y ) = Ì , Vy e B . Chứng minh. Trước hết ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp rằng: với m ỗ i số hữu tỷ r e [0, Ì ] ta có thể chừn được tập m ở V thoa mãn các t điều kiện sau: A c Vo, V , = X \ B, và nếu r < r' thì V c V . (*). r r Thật vậy vì tập các số hữu tỷ Q có lực lượng đ ế m được nên ta có thể sắp xếp các số hữu tỷ trong đoạn [0, 1] thành một dãy Ịi|}. Ễ trong đ ó Tị = 0, r = Ì . 2 Do A , B là hai tập đóng rời nhau trong (X, Ợ) nên theo giả thiết tồn t ạ i các lân cận m ở u của A và V của B sao cho u n V = 0 . Đặt Vo = u , V , = X \ B. K h i đ ó Vo c X \ V, vì X \ V là tập đóng nên VÕ c X \ V c V , Như vậy ta được V,. c V nếu Tị < Tị (với i, j < 2). r Giả sử với mừi i < n ta đã xác định được một tập mở V thoa mãn điều k i ệ n V, c V . nếu ĩ, < Tị (**). Trong tập {r„ r , r 2 r„, r B + 1 | g ừ i r, là số lớn nhất trong các số r,, r , 2 r nhỏ hơn r u u + J, v à r là số nhỏ nhất trong các số r,, r , 2 r lớn hơn r u u + ị. K h i đó theo giả thiết quy nạp vì r, < r nên ta có V c V . Hơn nữa vì V, và tập X \ V p r r là hai tập hợp đóng rời nhau và (X, ư) là không gian chuẩn tắc nên tồn tại các tập m ở ư và V là lân cận của các tập v ~ và X \ V thoa mãn ư n V = 0 . Đặt v % t l = ư khi đó V % + I c X \ V . Do X \ V là 94
tập đ ó n g n ê n V , , c X \ V c V . N h ư vây ta đã xây dựng được c á c tập m ở V ri v r thoa m ã n điều kiện (**). Gừi f : X -» ì = [0, Ì ] là hàm xác định bởi f(x) = Ì nếu X e B, f ( x ) = i n f {r} n ế u x e V , = X \ B . r=v r K h i đ ó ta c ó f ( x ) = 0 v ớ i m ừ i X e A và f ( y ) = Ì với m ừ i y e B. Mặt khác do h ừ lì c á c tập cổ dạng [0, a), (b, 1] , (c, d) (0 < a < Ì, 0 thỏa m ã n Vk c X \ B k k e n u 95
(Vk), và Ị j v k D A. k=l M ộ t cách tương tự ta cũng chỉ ra được một h ừ con { W Ị e f * cùa k k c o hừ { U Ị ^ thỏa mãn W c X \ A ( V k ) , v à Ị j w D B. u u e r k k k=l Đặt: p, = v„ Q, = w, \ p,, p = v \ Q,,Q = W \(P, up ) 2 2 2 2 2 P = V \ỊjQ ,Q = W \ÙP ,... k k i t k i i=l i=l P=Ũ i'Q =ỦQi- p i=l i=l Khi đó p và Q là hai tập mở không có điểm chung, thỏa mãn A c p và B c Q. Thật vậy, vì P và Q đều là những tập m ở trong X k k (Vk) nên p và Q là những tập m ở trong X . Hơn nữa v ớ i m ừ i k, t e N ta I đ ề u c ó p n Q, = 0 , vì nếu k < t thì Q, = w , \ y p ị c w , \ P => k k i=l p n Q, = 0 và nếu t < k thì p = v \ UQị c v \ ộ, =* p n Q, = 0. k k k k k i=l T ừ đó suy ra p n Q = 0 . 00 Do l ị v k 3 A . Nên nếu X e A thì 3 n e N để X e V n k=i u °' Do w c x\A (Vk) => X ậ v7 (Vk) ^xíQ , (Vk) k k t "0-1 _ 00 ^ x e V u \ [ j Q . = oo v à v ì v ậ y x e | j p 0 p k =P^AcP. i=l k=l Chứng minh tương tư ta có B c Q. Vậy X là không gian chuẩn tắc. r 96
§5. K H Ô N G GIAN C O N C Ủ A MỘT KHÔNG GIAN TÔPÔ Ta sẽ nghiên cứu và x â y dựng tôpô bằng phương pháp tự nhiên trên các tập con của các k h ô n g gian tôpô . Định nghĩa 3.11. Cho không gian tôpô (X, gr), A c X. Khi đó trên A có t h ể xác định một tôpô
trùng với tôpô trên B cảm sinh bởi tôpô Í7trên X . Chứng minh. G ừ i u e 7 B => vậy « c 3- . B Ngược l ạ i , lấy tuy ý u £ c7jj => 3 W 6 sao cho u = w n B. Đặt Ư = w n A , ta có u = w n B = (W n A ) n B = U ' n B suy ra u e. lì . Từ đó suy ra Q" c (B, hay B & =