zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Không gian véc tơ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Báo xấu

9
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Không gian véc tơ, cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Không gian vectơ; Không gian con sinh bởi tập hữu hạn; Cơ sở và số chiều; Tìm cơ sở một số không gian con; Độc lập - Phụ thuộc tuyến tính; Tọa độ của vec-tơ theo cơ sở. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Không gian véc tơ

Chương 4: Không gian véc tơ 1 /46
Nội dung 1. Không gian vectơ 2. Kgian con sinh bởi tập hữu hạn 3. Độc lập - Phụ thuộc tuyến tính. 4. Cơ sở và số chiều. 5. Tìm cơ sở một số kgian con . 6. Tọa độ của vec-tơ theo cơ sở. 2 /46
1. Không gian véc tơ Định nghĩa: 1. x + y = y + x; 2. (x + y) + z = x + (y + z) 3. Tồn tại véc tơ không, ký hiệu 0 sao cho x + 0 = x 4. Mọi x thuộc V, tồn tại vectơ, ký hiệu –x sao cho x + (-x) = 0 5. Với mọi số α , β ∈ K và mọi vector x: ( α + β ) x = αx + βx 6. Với mọi số α ∈ K , với mọi x , y ∈V : α( x + y ) = α x + α y 7.( αβ ) x = α ( β x ) 8. 1x = x
1. Không gian véc tơ Tính chất của không gian véctơ 1) Véctơ không là duy nhất. 2) Phần tử đối xứng của véctơ x là duy nhất. 3) 0x = 0 x ∈V 4) α 0 = 0 α ∈K 5) -x = (-1)x x ∈V
1. Không gian véc tơ Ví dụ 1 V1 = {( x1 , x2 , x3 ) xi ∈ R} Định nghĩa phép cộng hai véctơ như sau: x + y = ( x1 , x2 , x3 ) + ( y1 , y2 , y3 ) = ( x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ) Định nghĩa phép nhân véctơ với một số thực như sau: α ⋅ x = α ( x1 , x2 , x3 ) = (αx1 ,αx2 ,αx3 ) ⎧ x1 = y1 ⎪ Định nghĩa sự bằng nhau: x = y ⇔ ⎨ x2 = y 2 ⎪x = y ⎩ 3 3 V1-Không gian véctơ R3 trên trường số thực
1. Không gian véc tơ Ví dụ 2 V2 = {ax 2 + bx + c a, b, c ∈ R} Định nghĩa phép cộng hai véctơ: là phép cộng hai đa thức thông thường, đã biết ở phổ thông. Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: là phép nhân đa thức với một số thực thông thường, đã biết ở phổ thông. Định nghĩa sự bằng nhau: hai véc tơ bằng nhau nếu hai đa thức bằng nhau, tức là các hệ số tương ứng bằng nhau). V2 - Không gian véctơ P2 [ x]
1. Không gian véc tơ Ví dụ 3 ⎧⎡a b ⎤ ⎫ V3 = ⎨⎢ ⎥ a, b, c, d ∈ R ⎬ ⎩⎣ c d ⎦ ⎭ Định nghĩa phép cộng hai véctơ: là phép cộng hai ma trận đã biết trong chương ma trận. Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: là phép nhân ma trận với một số đã biết. Định nghĩa sự bằng nhau của hai véctơ: hai véc tơ bằng nhau hai ma trận bằng nhau. V3 - Không gian véctơ M 2 [ R]
1. Không gian véc tơ Ví dụ 4 V 4 = {( x 1, x 2 , x 3 ) x i ∈ R ∧ 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 0} Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số giống như trong ví dụ 1. V4 - là KGVT CHÚ Ý: Có nhiều cách khác nhau để định nghĩa hai phép toán trên V1, ( hoặc V2, hoặc V3 ) sao cho V1 ( hoặc V2, hoặc V3 ) là không gian véctơ.
1. Không gian véc tơ Ví dụ 5 V 5 = {( x 1 ,x 2 ,x 3 ) x i ∈ R ∧ x 1 + x 2 − 2x 3 = 1} Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số giống như trong ví dụ 1. V4 - KHÔNG là KGVT x = (1,2,1) ∈V4 , y = (2,3,2) ∈V4 x + y = (3,5,3) ∉ V4
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính Tập con V- KGVT trên K M = {x1 , x2 ,..., xm } ∃α1,α 2 ,!,α m ∈ K không đồng thời bằng 0 M–phụ thuộc α1x1 + α 2 x2 +!+ α m xm = 0 tuyến tính α1x1 + α 2 x2 +!+ α m xm = 0 M – độc lập tuyến tính → α1 = α 2 =!α m = 0
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính V- KGVT trên K Tập con M = {x1 , x2 ,..., xm } Vector x thuộc V được gọi là Tổ hợp tuyến tính của M, nếu ∃α1,α 2 ,!,α m ∈ K x = α1x1 + α 2 x2 +!+ α m xm
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính Ví dụ 5 Trong không gian R3 cho họ véc tơ M = {(1,1,1); (2,1, 3), (1, 2, 0)} 1. Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? 2. Véctơ x = (2,-1,3) có là tổ hợp tuyến tính của họ M? Giải câu 1. Giả sử α ( 1,1,1) + β ( 2,1, 3) + γ ( 1, 2, 0 ) = 0 ⇔ ( α + 2β + γ ,α + β + 2γ ,α + 3β ) = ( 0, 0, 0 ) ⎧α + 2β + γ = 0 ⎛1 2 1 ⎞ ⎪ ⇔ ⎨α + β + 2γ = 0 A = ⎜1 1 2 ⎟ ⇒ r( A ) = 2 ⎜ ⎟ ⎪ α + 3β = 0 ⎜1 3 0 ⎟ ⎩ ⎝ ⎠ Hệ có vô số nghiệm, suy ra M phụ thuộc tuyến tính
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính Giải câu 2. Giả sử α ( 1,1,1) + β ( 2,1, 3) + γ ( 1, 2, 0 ) = x ⇔ ( α + 2β + γ ,α + β + 2γ ,α + 3β ) = ( 2, −1, 3) ⎧ α + 2β + γ = 2 ⎛1 2 1 2 ⎞ ⎪ ⇔ ⎨α + β + 2γ = −1 (A |b) = ⎜1 1 2 −1⎟ ⎜ ⎟ ⎪ α + 3β = 3 ⎜1 3 0 3 ⎟ ⎩ ⎝ ⎠ r(A |b) ≠ r(A ) Hệ pt vô nghiệm, suy ra không tồn tại bộ số α , β , γ Vậy véctơ x không là tổ hợp tuyến tính của M.
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính M = {x1, x2 ,!, xm } Hệ thuần nhất α1x1 + α 2 x2 +!+ α m xm = 0 AX=0 Có duy nhất nghiệm X = 0 M – độc lập tuyến tính Có nghiệm khác không M – phụ thuộc tuyến tính
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính M = {x1, x2 ,!, xm } α1x1 + α 2 x2 +!+ α m xm = x Hệ pt AX= b Hệ có nghiệm x là tổ hợp tuyến tính của M Hệ vô nghiệm x không là tổ hợp tuyến tính
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính Ví dụ Trong không gian véctơ V cho họ M = {x, y, 2 x + 3 y, z} a. Vécto 2x + 3y có là tổ hợp tuyến tính của x, y, z. b. M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính Ví dụ Trong không gian véctơ V cho { x, y} độc lập tuyến tính, z không là tổ hợp tuyến tính của x và y. Chứng minh rằng { x , y , z } độc lập tuyến tính
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính ? Nếu M chứa véctơ 0, thì M phụ thuộc tuyến tính. M = {x1, x2 ,!, xm } - phụ thuộc tt ? ∃xi - là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại trong M
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính ? Thêm một số véctơ vào họ phụ thuộc tuyến tính ta thu được một họ phụ thuộc tuyến tính. ? Bỏ đi một số véctơ của họ độc lập tuyến tính ta thu được họ độc lập tuyến tính. Cho họ véctơ M chứa m véctơ M = {x1 , x2 ,..., xm } Cho họ véctơ N chứa n véctơ N = { y1 , y2 ,..., yn } ? Nếu mỗi véctơ yk của N là tổ hợp tuyến tính của M và n > m, thì N là tập phụ thuộc tuyến tính.
2. Độc lập-phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa hạng của họ véctơ M = {x1, x2 ,!, xm ,!} ⊂ V Hạng của họ M là k nếu tồn tại k véctơ độc lập tuyến tính của M và mọi tập con của M chứa nhiều hơn k véctơ thì phụ thuộc tuyến tính. Hạng của họ M là số tối đại các véctơ độc lập tuyến tính của M.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.