Giáo trình Xác suất thống kê: Phần 1 - Trường ĐH Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội

Chia sẻ: Minh Quan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Xác suất thống kê: Phần 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Khái niệm cơ bản về xác suất; Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Xác suất thống kê: Phần 1 - Trường ĐH Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH DOANH VÀ CÔNG NGHỆ HÀ NỘI NGUYỄN HOÀN VŨ (Chủ biên) – TÔ XUÂN LƢỢC XÁC SUẤT THỐNG KÊ Giáo trình dùng cho sinh viên Kinh tế HÀ NỘI 2022 1
2
MỤC LỤC Mục lục ………………………………………………………………………………………… 03 Lới nói đầu ……………………………………………………………………………...…….. 05 PHẦN I. XÁC SUẤT………………………………………………………………………….. 07 Chƣơng 1. Khái niệm cơ bản về xác suất …………………………………………………… 07 1. Giải tích tổ hợp …………………………………………………………………….. 07 2. Định nghĩa xác suất …………………………………………………………............ 10 3. Quan hệ giữa các biến cố …………………………………………………................ 13 4. Các định lí cơ bản về xác suất ………………………………………………………. 16 BÀI TẬP CHƢƠNG 1 ………………………………………………………………… 26 Chƣơng 2. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất …………………………………………. 31 1. Biến ngẫu nhiên ……………………………………………………………………... 31 2. Hàm phân phối ……………………………………………………………………… 34 3. Các số đặc trƣng của biến ngẫu nhiên ………………………………………………. 37 4. Luật số lớn và các định lí giới hạn ………………………………………………….. 49 BÀI TẬP CHƢƠNG 2 ………………………………………………………………… 54 PHẦN II. THỐNG KÊ TOÁN ……………………………………………………………….. 59 Chƣơng 3. Phƣơng pháp mẫu thống kê ……………………………………………………… 59 1. Mẫu thống kê ngẫu nhiên …………………………………………………………… 59 2. Thống kê mẫu ………………………………………………………………............. 60 3. Thống kê mô tả ……………………………………………………………………… 63 4. Phân phối xác suất của các thống kê mẫu …………………………………………... 68 BÀI TẬP CHƢƠNG 3 …………………………………………………………………………. 72 Chƣơng 4. Ƣớc lƣợng tham số thống kê ……………………………………………………... 75 1. Ƣớc lƣợng điểm ……………………………………………………………………... 75 2. Ƣớc lƣợng tham số bằng khoảng tin cậy ……………………………………………. 77 BÀI TẬP CHƢƠNG 4 ………………………………………………………………… 89 Chƣơng 5. Kiểm định giả thuyết thống kê …………………………………………………... 91 1. Khái niệm chung ……………………………………………………………............. 91 2. Kiểm định giá trị tham số …………………………………………………………… 93 3. Kiểm định so sánh giá trị tham số …………………………………………………... 100 BÀI TẬP CHƢƠNG 5 ………………………………………………………………… 113 Chƣơng 6. Phân tích tƣơng quan và hồi qui ………………………………………………… 117 1. Hệ số tƣơng quan ……………………………………………………………………. 117 2. Hồi qui tuyến tính đơn ………………………………………………………………. 121 BÀI TẬP CHƢƠNG 6 ………………………………………………………………… 125 Tài liệu tham khảo ……………………………………………………………………………… 128 PHỤ LỤC ………………………………………………………………………………………. 129 3
4
Lời nói đầu Thống kê là một môn khoa học lớn có phạm vi ứng dụng rộng rãi trong hầu hết các hoạt động của xã hội, đặc biệt trong Kinh tế học. Việc áp dụng và nghiên cứu phát triển các phƣơng pháp Thống kê trong Kinh tế học cũng nhƣ các ngành khác đang hết sức phổ biến. Hiện nay ở hầu hết các trƣờng đại học trên thế giới, trong chƣơng trình đào tạo của các ngành Kinh tế, Y học, Quản trị kinh doanh…, Thống kê là một môn học cốt lõi, có tính bắt buộc ở cả bậc đại học và sau đại học. Ở nƣớc ta, nhu cầu trang bị kiến thức, nâng cao hiểu biết về các phƣơng pháp thống kê trong các ngành khoa học, trong đó có Kinh tế học đang ngày càng tăng. Các trƣờng đang triển khai ngày càng rộng rãi việc biên soạn các giáo trình Thống kê cho phù hợp với xu hƣớng mới trên thế giới và chƣơng trình đào tạo của mỗi trƣờng. Chúng tôi biên soạn cuốn giáo trình này nhằm cung cấp một tài liệu có chất lƣợng phục vụ các sinh viên, học viên cao học các chuyên ngành Kinh tế và các bạn có quan tâm. Chúng tôi chủ trƣơng trình bày các đơn vị kiến thức thật cơ bản, đơn giản và dễ hiểu, chỉ cung cấp những kiến thức cần thiết, lƣợc bớt những kiến thức mang tính lí thuyết mà ít ứng dụng thực tế, chủ yếu thiên về việc thực hành tính toán, nhằm giúp bạn đọc có thể áp dụng các phƣơng pháp thống kê vào công việc của mình, không cần trang bị quá nhiều kiến thức Toán học. Cuối mỗi chƣơng đều có các bài tập giúp bạn đọc vận dụng các kĩ năng đã học vào các bài toán thực tế. Giáo trình gồm 6 chƣơng chia làm 2 phần. Phần I gồm 2 chƣơng cung cấp các kiến thức hết sức cơ bản về Lí thuyết xác suất, cơ sở toán học của Thống kê toán, chủ yếu để áp dụng trong phần sau. (Bạn đọc nếu có nhu cầu tìm hiểu sâu hơn về phần này, có thể tìm đọc trong các Tài liệu tham khảo). Phần II gồm 4 chƣơng, giới thiệu những nội dung cơ bản về các phƣơng pháp Thống kê toán trong các ngành Kinh tế học. Chúng tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu nhà trƣờng, Ban chủ nhiệm Khoa Toán đã chỉ đạo và tạo điều kiện để các tác giả hoàn thành giáo trình này. Cảm ơn các phản biện đã đọc và cho những nhận xét quý báu. Mặc dù đã hết sức cố gắng nhƣng giáo trình này khó tránh khỏi những sai sót. Rất mong nhận đƣợc các ý kiến đóng góp phê bình của bạn đọc. Hà Nội, tháng 01 năm 2021. Các tác giả. 5
6
PHẦN I XÁC SUẤT Chương 1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT Lí thuyết xác suất là một ngành toán học lớn nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên, có rất nhiều ứng dụng trong cuộc sống và các ngành khoa học. Trong chương 1 và chương 2 sẽ tập trung giới thiệu những nét đại cương nhất về lí thuyết xác suất, để phục vụ cho các vấn đề được đề cập tới trong Phần 2: Thống kê toán. § 1. GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.1.1. Hoán vị Giả sử ta có n phần tử sắp xếp vào n vị trí khác nhau. Mỗi một cách đổi chỗ các phần tử đó cho nhau đƣợc gọi là một hoán vị. Bằng phƣơng pháp qui nạp có thể chứng minh số các cách đổi chỗ nhƣ vậy, kí hiệu là Pn bằng: Pn  n! Qui ƣớc: 0! = 1. Ví dụ 1.1: Xếp 3 ngƣời A, B, C vào 3 chỗ ngồi theo hàng ngang, có 6 cách: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. 1.1.2. Tổ hợp Tổ hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) của tập hợp A là số cách lấy ra ngẫu nhiên k phẩn tử từ n phần tử đã cho, sao cho 2 cách lấy đƣợc coi là khác nhau nếu giữa chúng có ít nhất một phần tử khác nhau. Số cách lấy ra nhƣ vậy, kí hiệu là Cnk và đƣợc tính bằng: n! Cnk   Cnn  k k !(n  k )! Ta thấy ngay Cn0  Cnn  1; Cn1  Cnn1  n. 7
Ví dụ 1.2: Chọn ngẫu nhiên 2 ngƣời từ một nhóm 3 ngƣời A, B, C. Ta có: C32  3 cách chọn nhƣ sau: AB, AC, BC. 1.1.3. Chỉnh hợp Lấy ngẫu nhiên k phần tử từ n phần tử cho trƣớc (k ≤ n), sao cho 2 cách lấy đƣợc coi là khác nhau nếu giữa chúng có ít nhất một phần tử khác nhau hoặc thứ tự lấy ra của k phần tử đó khác nhau. Số cách lấy ra nhƣ vậy gọi là chỉnh hợp (không lặp) chập k của n phần tử, kí hiệu Ank và tính bằng công thức: n! Ak  n(n  1)...(n  k  1)  n (n  k )! Các công thức trên có thể chứng minh bằng phƣơng pháp qui nạp theo k. Ví dụ 1.3: Chọn ngẫu nhiên 2 ngƣời từ một nhóm 3 ngƣời A, B, C. Ai đƣợc chọn đầu tiên sẽ làm nhóm trƣởng. Từ ví dụ trên ta có 3 cách chọn nhóm: AB, AC, BC. Để phân nhóm trƣởng ta có 3 cách nữa: BA, CA, CB. Chú ý: - Với 1 cách chọn k phần tử theo nghĩa tổ hợp, ta có k! cách đổi chỗ của k phần tử đó, vậy: n! Ank  Cnk .k !   n(n  1)...(n  k  1) (n  k )! - Hoán vị của n phần tử chính là chỉnh hợp chập n của n phần tử đó và bằng n! 1.1.4. Lấy ra từng phần tử một k lần. Chỉnh hợp lặp Các cách trên là lấy một lần k phần tử từ tập n phần tử cho trƣớc. Ngoài ra còn có 2 cách lấy ra từng phần tử một k lần: lấy có hoàn lại (một phần tử có thể đƣợc lấy hơn 1 đến k lần) và lấy không hoàn lại (mỗi phần tử chỉ đƣợc lấy 1 lần). - Lấy không hoàn lại tƣơng đƣơng với chỉnh hợp chập k ở trên. - Lấy có hoàn lại: 2 cách lấy đƣợc coi là khác nhau nếu giữa chúng có ít nhất một phần tử khác nhau. Số cách lấy đƣợc gọi là chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử, tính bằng công thức: nk. 8
Nhận xét. Để dễ phân biệt các trƣờng hợp, ta nên chú ý các nhận xét sau: a. Có 4 cách lấy ra k phần tử từ tập n phần tử đã cho: 1. Lấy theo nghĩa tổ hợp. 2. Lấy theo nghĩa chỉnh hợp. 3. Lấy ra từng phần tử một không hoàn lại k lần. 4. Lấy ra từng phần tử một có hoàn lại k lần. - 2 cách đầu lấy 1 lần (cùng một lúc), 2 cách sau lấy từng phần tử một, k lần. - Trong 3 cách đầu: mỗi phần tử của tập A chỉ có mặt 1 lần (k phần tử khác nhau), còn theo cách 4 có thể có phần tử lấy trùng lại (k phần tử có thể trùng nhau). b. Cách 3 phân biệt với 2 cách đầu ở chỗ lấy k lần hay 1 lần. c. Cách 1 và 2 phân biệt với nhau ở chỗ thứ tự các phần tử lấy ra có được kể đến hay không. d. Định lượng: Cách 1  Cnk  < Cách 2  Ank  = Cách 3  n(n  1)...(n  k  1)  < Cách 4  n k  . e. Luật tích: Nếu có 2 việc A1 (có k1 cách thực hiện) và A2 (có k2 cách thực hiện) khác nhau thì số cách thực hiện hai việc A1 và A2 liên tiếp là k1 . k2 (tích chứ không phải tổng). Tổng quát cho các việc A1, A2, …, Am khác nhau. Do đó số cách 3 là n(n  1)...(n  k  1) , còn cách 4 là nk. Ví dụ 1.4: Một hộp có 10 ống thuốc, trong đó có 7 ống tốt. Lấy ngẫu nhiên 6 ống để kiểm nghiệm. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 6 ống thuốc? Có bao nhiêu cách lấy ra 6 ổng thuốc để trong đó có 4 ống tốt? Giải. Số cách lấy ra 6 ống từ 10 ống thuốc: C106  210. Số cách lấy ra 4 ống từ 7 ống tốt: C74  35 (việc A1) và 2 ống còn lại từ 3 ống không tốt: C32  3 (việc A2). Hai việc trên khác nhau, vậy với mỗi cách lấy 4 ống tốt thì có 3 cách lấy 2 ống không tốt, theo luật tích: để lấy 6 ống có 4 ống tốt là: C74 . C32  35.3  105. 9
§ 2. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT Phép thử và biến cố. Hiện tƣợng xảy ra trong một số các điều kiện nào đó đƣợc gọi là phép thử (ngẫu nhiên), kết quả (có thể xảy ra hoặc không) đƣợc gọi là biến cố ngẫu nhiên (hoặc sự kiện ngẫu nhiên), thƣờng kí hiệu biến cố A, B, C,… Chẳng hạn, tung một con xúc xắc là một phép thử, xuất hiện mặt có số chấm chẵn khi tung xúc xắc là một biến cố. Biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử đƣợc gọi là biến cố không thể, thƣờng đƣợc kí hiệu Ø hoặc Φ. Ví dụ xuất hiện mặt 7 chấm khi tung xúc xắc. Biến cố nhất định xảy ra đƣợc gọi là biến cố chắc chắn, thƣờng kí hiệu Ω. Chẳng hạn biến cố xuất hiện mặt có số chấm không quá 6. 1.2.1. Định nghĩa xác suất (dạng cổ điển) Định nghĩa. Xác suất của biến cố A là một số không âm, kí hiệu P(A) (P là viết tắt của Probability), biểu thị khả năng xảy ra biến cố A và đƣợc xác định nhƣ sau: m Số trường hợp thuận lợi cho A P(A) = = n Số trường hợp có thể xảy ra khi thực hiện phép thử Chú ý. Theo định nghĩa trên, ta luôn có 0  P( A)  1; P()  0; P()  1. Ví dụ 1.5: Rút ngẫu nhiên 8 quân bài từ cỗ bài 52 quân. Tìm xác suất sao cho: a. Có 3 quân At, 2 quân 10, 1 quân 2, 1 quân K, 1 quân J (Biến cố A). b. Có 2 quân Cơ, 1 quân Rô, 2 quân Pic, 3 quân Nhép (B). c. Có 5 quân đỏ, 3 quân đen (C). d. Có 3 quân chủ bài (D). Giải. Theo luật tích: C43 .C42 .C41 .C41 .C41 4.6.4.4.4 P ( A)  8  8 C52 C52 C132 .C131 .C132 .C133 P( B)  8 C52 5 3 C26 .C26 P (C )  8 C52 C133 .C395 P( D)  8 C52 10
Ví dụ 1.6: Một ngƣời chọn ngẫu nhiên một số điện thoại có 6 chữ số. Tính xác suất sao cho: a. Chữ số 5 đầu tiên và 6 chữ số khác nhau (A). b. Chữ số 5 đầu tiên và số điện thoại là chẵn (B). c. Chữ số 5 đầu tiên, 5 chữ số còn lại khác nhau, chữ số cuối cùng chẵn (C). d. Chữ số 5 đầu tiên, chữ số 0 cuối cùng, 4 chữ số giữa trùng với năm sinh của chủ nhân (D). Giải. Ta thấy mỗi chữ số trong số điện thoại đều từ tập 10 chữ số 0, 1,…, 9 và có thể trùng nhau. Để lập số điện thoại ta chọn ngẫu nhiên từng số một có hoàn lại 6 lần. Số trƣờng hợp có thể sẽ là 106. a. Chọn số 5 đầu tiên, các số còn lại đều khác nhau, tức là chọn không hoàn lại trong 9 số còn lại. Vậy 1. A95 1.9.8.7.6.5 P( A)    0,01512 106 106 b. Chọn số 5 đầu tiên, các số tiếp theo chọn ngẫu nhiên trong cả tập 10 số, riêng số cuối chọn trong tập 5 số chẵn: 0, 2, 4, 6, 8. Vậy ta có: 1.10.10.10.10.5 P( B)   0,05 106 c. Chọn số 5 đầu tiên, số cuối cùng có 5 khả năng, 4 số còn lại lần lƣợt khác số cuối. 1.9.8.7.6.5 Vậy: P(C )   0,01512 106 1.1.1.1.1.1 d. Rõ ràng P ( D)   106 106 Ví dụ 1.7: Một tổ 10 ngƣời ngồi ngẫu nhiên quanh một bàn tròn. Tìm khả năng để A và B ngồi cạnh nhau. Giải. Số trƣờng hợp có thể là 10!. A có thể ngồi 1 trong 10 chỗ, 2 chỗ cạnh A dành cho B, 8 chỗ còn lại cho 8 ngƣời ngồi ngẫu nhiên, nên số trƣờng hợp thuận lợi là 10.2.8!. Do đó: 10.2.8! 2 P  10! 9 11
1.2.2. Định nghĩa xác suất theo phƣơng pháp thống kê Khi ta thực hiện đi thực hiện lại cùng một phép thử nào đó n lần, có m lần xuất hiện biến cố A, ta gọi tỉ số m/n là tần suất của biến cố A. Khi n thay đổi, tỉ số này dao động xung quanh một số cố định nào đó, và sẽ ngày càng gần số cố định đó khi n càng lớn. Ta gọi số cố định đó là xác suất của biến cố A theo nghĩa thống kê, tức là: m P( A)  n Độ chính xác của xấp xỉ tùy thuộc vào số lần thực hiện phép thử n. Từ đó ta cũng có P()  0, P()  1 và 0  P( A)  1. Ví dụ 1.8: Buffon tung đồng tiền 4040 lần có 2048 lần sấp, P = m/n = 0,5069. Pearson tung 12000 lần thấy 6019 sấp, P = m/n = 0,5016. Pearson tung 24000 lần thấy 12012 lần sấp, m/n = 0,5005. Ví dụ 1.9: Laplace nghiên cứu sinh đẻ ở London, Petersburg và Berlin trong 10 năm và đƣa ra tỉ lệ sinh con gái là 21/43. Cramer nghiên cứu ở Thụy Điển năm 1935 có tỉ lệ sinh con gái là 42591/88273 ≈ 0,4825. 1.2.3. Định nghĩa xác suất theo phƣơng pháp hình học Giả sử một điểm đƣợc ném ngẫu nhiên vào miền S (khả năng điểm đó rơi vào mọi điểm trong miền S là nhƣ nhau). Khi đó xác suất để điểm đó rơi vào miền A (với A  S ) đƣợc định nghĩa (gọi là theo phƣơng pháp hình học) nhƣ sau: Độ đo của miền A P(A) = Độ đo của miền S Độ đo ở đây đƣợc hiểu là độ dài nếu S thuộc R1, diện tích nếu S thuộc R2, thể tích nếu S thuộc R3. Để giải đƣợc bài toán loại này, cần phải mô hình hóa bài toán theo hình học và xác định đƣợc miền S cũng nhƣ miền A. Ví dụ 1.10: Trên mặt phẳng cho đƣờng tròn bán kính r cố định và đƣờng thẳng d. Kẻ ngẫu nhiên các đƣờng thẳng song song với d và cắt đƣờng tròn đã cho. Tìm xác suất để cát tuyến nhận đƣợc có độ dài nhỏ hơn r. 12
Giải. Qua tâm O kẻ đƣờng thẳng vuông góc với d, nhận đƣợc đƣờng kính CD. Đƣờng thẳng song song với d và cắt đƣờng tròn sẽ phải vuông góc với CD tại một điểm trong đoạn CD, vậy miền S là đoạn CD. Dựng tam giác đều OAB. Để đoạn AB < r, trung điểm H phải nằm trong đoạn DH, và đây chính là miền A. Tƣơng tự đối xứng qua bên kia điểm   O. Vậy xác suất cần tìm là: 2 r  r 3 2 2r  1  3 2. Hình 1. Minh họa ví dụ. 1.2.4. Nguyên lí xác suất nhỏ và nguyên lí xác suất lớn Một biến cố không thể có xác suất bằng 0. Tuy nhiên một biến cố có xác suất 0 vẫn có thể xảy ra dù rất hãn hữu. Qua quan sát thực tế ngƣời ta thấy các biến cố có xác suất bằng 0, thậm chí xác suất dƣơng nhƣng rất nhỏ thì sẽ không xảy ra khi ta thực hiện một phép thử hay vài phép thử. Từ đó ngƣời ta thừa nhận nguyên lí sau, gọi là nguyên lí xác suất nhỏ: Nếu biến cố A có xác suất rất nhỏ thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra. Chẳng hạn, mỗi chuyến bay đều có một xác suất rất nhỏ để xảy ra tai nạn. Nhƣng trên thực tế ngƣời ta vẫn đi máy bay, các hãng hàng không vẫn đƣợc phép hoạt động, vì mỗi ngƣời khi đi máy bay đều tin rằng trong chuyến bay của mình, biến cố “máy bay rơi” sẽ không xảy ra do có xác suất rất nhỏ. Khi nói rằng “Biến cố A có xác suất nhỏ hơn 5% do đó sẽ không xảy ra” thì khẳng định này có độ tin cậy là 95%. Tƣơng tự nhƣ vậy, ta có thể đƣa ra nguyên lí của các biến cố có xác suất lớn: Nếu biến cố A có xác suất gần bằng 1 thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ xảy ta. Mức xác suất đủ để coi là rất nhỏ hay lớn tùy vào từng bài toán cụ thể. § 3. QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ Khi ta thực hiện một phép thử, có thể xảy ra các biến cố có những quan hệ với nhau. Ta sẽ phân loại các quan hệ đó. - Quan hệ kéo theo. Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B nếu và chỉ nếu khi biễn cố A xảy ra thì suy ra biến cố B cũng xảy ra. Kí hiệu là A  B. 13
Minh họa quan hệ này bằng hình học, ta có thể hiểu nhƣ là tập A nằm trong tập B (tập A là tập con của B). - Quan hệ tương đương. Hai biến cố A và B là tƣơng đƣơng nếu và chỉ nếu A xảy ra thì kéo theo B xảy ra và ngƣợc lại, có nghĩa là A  B và B  A. - Tổng của hai biến cố. Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố, kí hiệu A  B , xảy ra khi và chỉ khi hoặc A xảy ra hoặc B xảy ra, hay là ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Theo hình học có thể minh họa nhƣ là tổng của hai tập A và B. - Tích của hai biến cố. Tích của hai biến cố A và B là một biến cố, kí hiệu A  B hoặc AB, xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra. Minh họa hình học nhƣ là giao của hai tập A và B. - Hai biến cố xung khắc. Hai biến cố A và B xung khắc với nhau nếu xảy ra biến cố này thì không xảy ra biến cố kia, hay là AB  . - Hiệu của hai biến cố. Hiệu của biến cố A và biến cố B là một biến cố, kí hiệu A \ B, xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra nhƣng B không xảy ra. - Biến cố đối lập. Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu A , là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra thì A không xảy ra và ngƣợc lại, tức là A   \ A. Minh họa hình học quan hệ giữa các biến cố: A B B A A  B. A B A A B B A B A\ B Hình 2. Minh họa hình học quan hệ giữa các biến cố ngẫu nhiên. Chú ý. • Ta có thể mở rộng các quan hệ trên cho nhiều biến cố hơn. 14
• Các minh họa hình học trên chỉ để giúp hình dung rõ hơn chứ không thay thế cho định nghĩa quan hệ giữa các biến cố. Để hiểu rõ các biến cố cần phải bám sát theo định nghĩa. Chẳng hạn, xét trƣờng hợp sau: trong một buổi bắn tập, ta gọi A là biến cố xạ thủ A bắn trúng bia, B là biến cố xạ thủ B bắn trúng bia. Nếu mô tả hình học sẽ không rõ ràng, ta dễ nhầm là 2 biến cố này không có điểm chung nào cả, vậy tích AB = Ø. Nhƣng thực ra, biến cố tích AB chính là cả hai xạ thủ đều bắn trúng. Mở rộng cho quan hệ nhiều biến cố, ta có định nghĩa nhóm đầy đủ các biến cố. Định nghĩa. Các biến cố A1 , A2 ,..., An gọi là một nhóm đầy đủ các biến cố nếu thỏa mãn 2 điều kiện: a. Chúng xung khắc từng đôi một: Ai Aj  , i  j. b. Tổng của chúng tƣơng đƣơng với biến cố chắc chắn: A1  A2  ...  An  . Ví dụ đơn giản nhất về nhóm đầy đủ là nhóm 2 biến cố A và A. - Qui tắc đối ngẫu De Morgan: A  B  C  ABC ; ABC  A  B  C. Qui tắc trên có thể mở rộng cho nhiều biến cố hơn. - Các phép tổng và tích các biến cố có tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối: A( B  C )  AB  AC; A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C ). Ví dụ 1.11: Hai ngƣời cùng bắn mỗi ngƣời một viên vào bia. Gọi Ai = {Ngƣời thứ i bắn trúng bia}, i = 1, 2. Khi đó, qua A1 và A2, ta biểu diến các biến cố sau: a. Chỉ ngƣời thứ 1 bắn trúng: A1 A2 b. Có một ngƣời bắn trúng: A1 A2  A1 A2 c. Có ít nhất một ngƣời bắn trúng: A1  A2 d. Cả hai cùng bắn trúng: A1 A2 e. Không ai bắn trúng: A1 A2 hoặc A1  A2 f. Nhóm đầy đủ các biến cố: A1 , A1 hoặc A1 A2 , A1 A2 , A1 A2 , A1 A2 15
§ 4. CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1.4.1. Công thức cộng xác suất P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB) (1.1) Chứng minh. Ta chứng minh theo định nghĩa xác suất cổ điển. Giả sử số trƣờng hợp có thể của phép thử là n, số trƣờng hợp thuận lợi cho A, B, AB là nA, nB, nAB. Khi đó số trƣờng hợp thuận lợi cho A  B sẽ là nA + nB – nAB. Do đó: nA  nB  nAB P( A  B)   P( A)  P( B)  P( AB). n □ Từ công thức trên ta rút ra một số kết luận sau: - Nếu A, B xung khắc, AB  , P( AB)  0  P( A  B)  P( A)  P( B) (1.2) - P( A)  1  P  A  (1.3) - P( A  B  C)  P( A)  P( B)  P(C)  P( AB)  P( BC)  P( AC)  P( ABC) (1.4) Nếu A, B, C xung khắc từng đôi một, ta có: P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C ) (1.5) 1.4.2. Công thức nhân xác suất 1.4.2.1. Xác suất có điều kiện Định nghĩa. Xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra là số đo khả năng xảy ra biến cố A khi biến cố B đã xảy ra, kí hiệu P(A / B). Ví dụ 1.12: Một lớp chia làm 3 nhóm thực tập. Nhóm 1 có 30 sinh viên trong đó có 10 nữ. Nhóm 2 có 25 sinh viên trong đó có 10 nữ. Nhóm 3 có 25 sinh viên trong đó có 8 nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp. Tìm xác suất để sinh viên đƣợc chọn là sinh viên nữ. Giải. Gọi A là biến cố chọn đƣợc sinh viên nữ, Bi là biến cố sinh viên đƣợc chọn thuộc nhóm i, i = 1, 2, 3. Ta có: 28 10 10 8 P( A)  ; P( A / B1 )  ; P( A / B2 )  ; P( A / B3 )  . 80 30 25 25 16
Tính chất của xác suất có điều kiện: a. 0  P( A / B)  1 b. P( B / B)  1 c. AC    P( A  C / B)  P( A / B)  P(C / B) d . P( A / B)  1  P( A / B) 1.4.2.2. Hai biến cố độc lập Định nghĩa. Hai biến cố A, B gọi là độc lập nếu P( A / B)  P( A) hoặc P( B / A)  P( B). Trong thực tế, xét sự độc lập của hai biến cố theo một trong hai đẳng thức trên (theo định lƣợng) thƣờng khó khăn và không thuận tiện. Ta có thể xét về mặt định tính: định nghĩa trên thực chất là việc xảy ra biến cố này hay không đều không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia. Ví dụ 1.13: Hai chị đến bệnh viện sinh con. Nếu gọi A là biến cố chị A sinh con trai, còn B là biến cố chị B sinh con trai, thì ta thấy A và B độc lập. Nhận xét. Nếu A, B độc lập thì A, B; A, B; A, B cũng độc lập. Điều này có thể chứng minh dễ dàng, chẳng hạn, P( A / B)  1  P( A / B)  1  P( A)  P( A). 1.4.2.3. Công thức nhân xác suất P( AB)  P( A). P( B / A)  P( A / B). P( B) (1.6) Chứng minh. Theo định nghĩa xác suất cổ điển. Giả sử trong phép thử, n là số kết quả có thể, số kết quả thuận lợi cho A, B, AB là nA, nB, nAB. Khi đó ta có: nA n n P( A)  , P( B)  B , P( AB)  AB ; n n n Với điều kiện biến cố A đã xảy ra thì số kết quả có thể có của phép thử đối với biến cố B là nA, trong đó có nAB kết quả thuận lợi cho B (tức là các kết quả thuận lợi cho cả A và B). Do đó nAB n n n P( B / A)   P( AB)  AB  A . AB  P( A).P( B / A) nA n n nA nAB nB nAB Tƣơng tự ta có P( AB)   .  P( B).P( A / B) n n nB □ Hệ quả 1. Nếu A, B độc lập thì P( AB)  P( A). P( B) 17
Hệ quả 2. P( A1 A2 ... An )  P( A1 ). P( A2 / A1 ). P( A3 / A1 A2 )... P( An / A1 A2 ... An1 ). Nếu A1 , A2 ,..., An độc lập (toàn phần) thì P( A1 A2 ... An )  P( A1 ). P( A2 )... P( An ). Chú ý. Trong công thức (6), P(A / B) và P(B / A) có vai trò tƣơng đƣơng. Tùy trƣờng hợp cụ thể, chẳng hạn phép thử liên quan đến B xảy ra trƣớc phép thử liên quan đến A thì tính P(A / B) dễ hơn, P(B / A) khó xác định hoặc không có nghĩa. Ta xét trƣờng hợp sau: Một hộp 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy 1 viên đƣợc bi đỏ. Sau đó lấy tiếp 1 viên nữa trong số còn lạ4i. Gọi B là biến cố bi lấy ra lần đầu là bi đỏ, A là biến cố bi lấy ra lần sau là đỏ. Khi đó P(A / B) = 4/7 (tính P(B / A) khó hơn nhiều). Do đó P(AB) = P(B).P(A / B)= 5/8.4/7 = 20/56. Ví dụ 1.14: Có 3 con gà mái và 2 con gà trống nhốt chung trong một cái lồng. Một ngƣời đến mua, ngƣời bán bắt ngẫu nhiên 1 con. a. Tìm xác suất để ngƣời đó mua đƣợc con gà mái. b. Ngƣời thứ 2 đến mua, ngƣời bán lại bắt ngẫu nhiên ra 1 con. Tìm xác suất ngƣời thứ hai mua đƣợc con gà trống. c. Xác suất này sẽ bằng bao nhiêu nếu ngƣời bán gà quên mất con gà bán cho ngƣời thứ nhất là mái hay trống? Giải. Gọi Bi = {ngƣời thứ i mua đƣợc con gà mái}, i = 1, 2. Ta có: a. P(B1) = 3/5 = 0,6. b. Vì ngƣời thứ 2 mua sau khi ngƣời thứ 1 đã mua xong, nên: P( B2 / B1 )  2 / 4  0,5. c. Ta có B2  B1B2  B1B2 (lần 1 mái lần 2 trống hoặc lần 1 trống lần 2 cũng trống). Vì B1B1    ( B1B2 )  ( B1B2 )   và B1, B2 không độc lập nên B1 , B2 và B1 , B2 không độc lập. Do đó: 3 2 2 1 8 P( B2 )  P( B1B2 )  P( B1B2 )  P( B1 ).P( B2 / B1 )  P( B1 ).P( B2 / B1 )  .  .   0, 4. 5 4 5 4 20 Ví dụ 1.15: Hai ngƣời cùng bắn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất trúng đích của xạ thủ A là 0,8 còn của B là 0,7. Tính xác suất để: a. A bắn trúng đích ngay trong 3 phát đầu (biến cố D1). 18
b. B bắn trúng đích ngay từ phát thứ 3 (D2). c. Hai ngƣời cùng bắn trúng đích khi mỗi ngƣời bắn một phát (D3). d. Ít nhất có 1 ngƣời bắn trúng đích khi mỗi ngƣời bắn một phát (D4). Giải. Gọi Ai = {xạ thủ A bắn trúng đích ở phát thứ i}, i = 1, 2, 3. Bi = {xạ thủ B bắn trúng đích ở phát thứ i}, i = 1, 2, 3. Các biến cố Ai, Bi độc lập với nhau, nhƣng không xung khắc. Vậy: D1  A1  A2  A3 (hoặc D1  A1 A2 A3 )  P( D1 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  P( A1 A2 )  P( A1 A3 )  P( A2 A3 )  P( A1 A2 A3 )  0,3.3  3.0,82  0,83  0,992; D2  B1B2 B3  P( D2 )  P( B1 ).P( B2 ).P( B3 )  (1  0,7)2 .0,7  0,063; D3  A1B1  P( D3 )  P( A1 ).P( B1 )  0,8.0,7  0,56; D4  A1  B1  P( D4 )  P( A1 )  P( B1 )  P( A1B1 )  0,8  0,7  0,8.0,7  0,94. Ví dụ 1.16: Một doanh nghiệp phun thuốc trừ sâu 3 lần liên tiếp trong 1 tuần. Xác suất sâu bị chết sau lần phun 1 là 0,5. Nếu sâu sống sót thì khả năng bị chết sau lần phun thứ 2 là 0,7. Tƣơng tự sau lần phun 3 là 0,9. Tìm xác suất sâu bị chết sau tuần phun thuốc. Giải. Gọi A = {sâu bị chết sau tuần phun thuốc}; Ai = {sâu chết sau lần phun thứ i}, i = 1, 2, 3. Các Ai không độc lập. Ta có: A  A1  A1 A2  A1 A2 A3 (xung khắc), từ đó P( A)  P( A1 )  P( A1 ).P( A2 / A1 )  P( A1 ).P( A2 / A1 ).P( A3 / A1 A2 )   0,5  (1  0,5).0,7  (1  0,5).(1  0,7).0,9  0,985. Hoặc cách khác: A  A1 A2 A3 = {sâu sống sót sau cả tuần phun thuốc} P(A)  P( A1 ).P( A2 / A1 ).P( A3 / A1 A2 )   (1  0,5)(1  0,7)(1  0,9)  0,015  P( A)  1  0,015  0,985. Ví dụ 1.17: Một hộp chứa 3 bi trắng, 7 bi đỏ, 15 bi xanh. Một hộp khác chứa 10 bi trắng, 6 bi đỏ và 9 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một viên bi. Tìm xác suất để hai viên bi lấy ra cùng màu. 19
Giải. Gọi 1T = {viên bi lấy từ hộp 1 là màu trắng}. Tƣơng tự 1D, 1X; 2T = {viên bi lấy từ hộp 2 là màu trắng}. Tƣơng tự 2D, 2X. A = {2 viên bi lấy ra cùng màu}, vậy A  1T 2T 1D 2D 1X 2 X ; Mỗi viên bi chỉ có một màu nên đây là tổng 3 biến cố xung khắc. Việc rút bi từ hộp 1 và hộp 2 là độc lập. Do đó: P( A)  P(1T ).P(2T )  P(1D ).P(2 D )  P(1X ).P(2 X )  3 10 7 6 15 9 207     25 25 25 25 25 25 625 Ví dụ 1.18: Ở một vùng có 2 dịch bệnh: bệnh A với xác suất 0,7 và bệnh B xác suất 0,5 (có thể bị cả 2 bệnh A và B). Dùng 2 loại thuốc T1, T2 để điều trị cả 2 bệnh. T1 cho khả năng khỏi bệnh A là 0,8, khỏi bệnh B là 0,6, khỏi cả 2 bệnh là 0,3. Loại T2 tƣơng ứng là 0,6; 0,7 và 0,4. a. Tìm xác suất để mắc cả 2 bệnh A và B. b. Loại thuốc nào cho khả năng chữa khỏi cao hơn. Giải. Gọi A = {ngƣời bắc bệnh A}, B = {ngƣời mắc bệnh B}, D = {bị bệnh nói chung}. Ta có D  A  B  AB, các biến cố này không xung khắc, A và B độc lập. Gọi Ei = {ngƣời khỏi bệnh do điều trị thuốc Ti}, i = 1, 2. a. P( AB)  P( A).P( B)  0,7.0,5  0,35. b. Biến cố ngƣời bị bệnh và đƣợc chữa khỏi bằng thuốc T1 là: DE1. DE1  ( A  B  AB ) E1  AE1  BE1  ( AB ) E1 ; P( DE1 )  P( AE1 )  P( BE1 )  P[( AB) E1 ]  P ( AE1BE1 )  P ( AE1 ( AB ) E1 )  P( BE1 ( AB ) E1 )  P( AE1.BE1.( AB ) E1 )  P( A).P( E1 A)  P( B).P( E1 B)  P( AB).P( E1 AB )  P ( AE1 ).P( BE1 )  P ( AE1 ).P(( AB) E1 )  P( BE1 ).P (( AB ) E1 )  P( AE1 ).P( BE1 ).P(( AB) E1 )   0,7.0,8  0,5.0,6  0,35.0,3  0,56.0,3  0,56.0,105  0,3.0,105   0,56.0,3.0,105  0,72434. Biến cố ngƣời bị bệnh và đƣợc chữa khỏi bằng thuốc T2 là: DE2  ( A  B  AB) E2 , từ đó ta có: 20