Hạt trong hộp ba chiều

Chia sẻ: Phan Thi Ngoc Giau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

53
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hiện tượng suy biến của các mức năng lượng là một hiện tượng khá phổ biến đối với các hệ vi mô. Chúng ta sẽ bước đầu tìm hiểu hiện tượng này thông qua việc khảo sát năng lượng của hạt chuyển động trong không gian ba chiều

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hạt trong hộp ba chiều

H t trong h p ba chi u − s suy bi n Lý Lê Ngày 27 tháng 7 năm 2009 Tóm t t n i dung Hi n tư ng suy bi n c a các m c năng lư ng là m t hi n tư ng khá ph bi n đ i v i các h vi mô. Chúng ta s bư c đ u tìm hi u hi n tư ng này thông qua vi c kh o sát năng lư ng c a h t chuy n đ ng trong không gian ba chi u. T k t qu bài toán h t trong h p ch nh t, chúng ta s tính các giá tr trung bình như v trí và đ ng lư ng c a h t. 1 Phương trình Schr¨dinger cho h m t h t trong o không gian ba chi u Phương trình Schr¨dinger không ph thu c th i gian cho h m t h t, trong o không gian m t chi u đư c vi t như sau H ψ (x) = Eψ (x) (1) v i E là năng lư ng; H là toán t Hamiltonian 2 d2 H = Tx + V (x) = − + V (x) (2) 2m dx2 Trong (2), toán t Tx là toán t đ ng năng; V (x) là toán t th năng. Trong không gian ba chi u, đ ng năng cũng như th năng c a h ph thu c vào c ba thành ph n t a đ x, y, z V = V (x, y, z ) (3) 2 ∂2 ∂2 ∂2 T = Tx + Ty + Tz = − + 2+ 2 (4) 2m ∂x2 ∂y ∂z Do đó, phương trình Schr¨dinger không ph thu c th i gian cho h m t h t, o trong không gian ba chi u có d ng 2 ∂2 ∂2 ∂2 − + 2 + 2 + V (x, y, z ) ψ (x, y, z ) = Eψ (x, y, z ) (5) 2m ∂x2 ∂y ∂z 1
Trong (5), toán t ∂2 ∂2 ∂2 2 ≡ + 2+ 2 (6) ∂x2 ∂y ∂z đư c g i là toán t Laplacian ( 2 − del bình phương ). Như v y, phương trình Schr¨dinger (5) có th đư c vi t g n hơn như sau o 2 2 − + V (x, y, z ) ψ (x, y, z ) = Eψ (x, y, z ) (7) 2m N u h g m n h t thì đ ng năng c a h b ng t ng đ ng năng c a các h t trong h . Do đó, ta có n n 2 2 Ti = − T= (8) i 2mi i=1 i=1 Th năng là hàm ph thu c vào t a đ c a các h t trong h V = V (x1 , y1 , z1 , . . . , xn , yn , zn ) = V (q1 , . . . , qn ) (9) Hàm tr ng thái c a h cũng s ph thu c vào t a đ c a t t c các h t trong h ψ = ψ (x1 , y1 , z1 , . . . , xn , yn , zn ) = ψ (q1 , . . . , qn ) (10) Như v y, đ i v i h nhi u h t, trong không gian ba chi u, phương trình Schr¨dinger không ph thu c th i gian là o n 2 2 + V (q1 , . . . , qn ) ψ (q1 , . . . , qn ) = Eψ (q1 , . . . , qn ) (11) i 2mi i=1 Ví d , phương trình Schr¨dinger cho m t h g m hai h t chuy n đ ng o và tương tác v i nhau, trong không gian ba chi u đư c vi t như sau 2 2 2 2 + + V (q1 , q2 ) ψ (q1 , q2 ) = Eψ (q1 , q2 ) 1 2 2m1 2m2 Trong đó q1 = x1 , y1 , z1 và q2 = x2 , y2 , z2 là t a đ c a h t th nh t và h t th hai. 2 H t trong h p ba chi u   0
H p mà chúng ta s xét đ n là h p ch nh t v i đ dài các c nh là a, b, và c. H t a đ đư c ch n sao cho m t trong các đ nh c a h p n m t i g c t a đ và các tr c x, y, z là ba trong s 12 c nh c a h p. Th năng bên trong h p là zero; ngoài h p là vô cùng. V i đi u ki n như trên, ta k t lu n r ng hàm sóng b ng zero bên ngoài h p. Bên trong h p, toán t th năng b ng zero, nên phương trình sóng Schr¨dinger không ph thu c th i gian s là o 2 ∂2 ∂2 ∂2 − + 2 + 2 ψ (x, y, z ) = Eψ (x, y, z ) (12) 2m ∂x2 ∂y ∂z Gi s nghi m c a phương trình (12) đư c vi t dư i d ng tích c a ba hàm X (x), Y (y ), và Z (z ) ch a các bi n s x, y, z đ c l p; nghĩa là ψ (x, y, z ) = X (x)Y (y )Z (z ) (13) Phương pháp đư c dùng đ gi i phương trình vi phân như trên đư c g i là phương pháp tách bi n (seperation of variables). Th (13) vào (12), nhưng đ đơn gi n ta vi t X, Y, Z thay vì X (x), Y (y ), Z (z ), ta đư c ∂ 2 (XY Z ) ∂ 2 (XY Z ) ∂ 2 (XY Z ) 2m = − 2 E (XY Z ) + + (14) 2 2 2 ∂x ∂y ∂z Vì Y Z không ph i là hàm c a x; XZ không ph i là hàm c a y ; XY không ph i là hàm c a z nên ta có ∂ 2 (XY Z ) ∂2X =YZ ∂x2 ∂x2 2 (XY Z ) ∂2Y ∂ = XZ 2 ∂y 2 ∂y 2 (XY Z ) ∂2Z ∂ = XY ∂z 2 ∂z 2 Do đó, (14) tr thành ∂2X ∂2Y ∂2Z 2m = − 2 E (XY Z ) YZ + XZ 2 + XY (15) 2 2 ∂x ∂y ∂z Chia phương trình (15) cho XY Z , ta đư c 1 1 1 2m X + Y + Z =− 2E (16) X Y Z hay 2 2 Y (y ) 2 Z (z ) X (x) − − − =E (17) 2m X (x) 2m Y (y ) 2m Z (z ) 3
T đó, ta có 2 2 Y (y ) 2 Z (z ) X (x) − =E+ + (18) 2m X (x) 2m Y (y ) 2m Z (z ) Ta th y v trái c a phương trình (18) hoàn toàn không ph thu c vào các bi n y và z . Trong khi đó, v ph i c a (18) hoàn toàn không ph thu c vào bi n x. Như v y đ hai v phương trình b ng nhau thì phương trình ph i b ng m t h ng s . Đ t h ng s này là Ex , ta có 2 X (x) Ex = − (19) 2m X (x) L p lu n tương t như trên, ta đư c 2 2 Y (y ) Z (x) Ey = − Ez = − ; (20) 2m Y (y ) 2m Z (z ) K t h p v i (19) và (20), phương trình (18) tr thành E = Ex + Ey + Ez (21) Ta vi t l i các phương trình (19) và (20) như sau 2m X (x) + Ex X (x) = 0 (22) 2 2m Y (y ) + Ey Y (y ) = 0 (23) 2 2m Z (z ) + Ez Z (z ) = 0 (24) 2 Tóm l i, chúng ta đã chuy n m t phương trình vi phân riêng ph n v i ba bi n thành ba phương trình vi phân ch ch a m t bi n. Ta th y (22) chính là phương trình Schr¨dinger cho h t trong h p m t chi u v i th năng trong o h p V (x) = 0 và chi u dài là l = a. Như v y, nghi m c a (22) là 2 nx πx X (x) = sin (25) a a n2 h2 x Ex = (nx = 1, 2, 3, . . .) (26) 8ma2 Tương t , ta có ny πy 2 Y (y ) = sin (27) b b n 2 h2 y Ey = (ny = 1, 2, 3, . . .) (28) 8mb2 4
và 2 nz πz Z (z ) = sin (29) c c n 2 h2 z Ez = (nz = 1, 2, 3, . . .) (30) 8mc2 Như v y, năng lư ng c a h n2 h2 n2 n2 y x z E = Ex + Ey + Ez = + 2+ 2 (31) 8m a2 b c Hàm sóng c a h t trong h p ch nh t ψ (x, y, z ) = X (x)Y (y )Z (z ) ny πy 8 nx πx nz πz ψ (x, y, z ) = sin( ) sin( ) sin( ) (32) abc a b c Trong đó, a, b, c là đ dài c a các c nh theo các tr c x, y, z tương ng. Hàm sóng có ba s lư ng t nx , ny và nz . Chúng bi n đ i m t cách đ c l p v i nhau. Hàm sóng có d ng ψ (x, y, z ) = X (x)Y (y )Z (z ) đư c chu n hóa như sau 2 2 ψ (x, y, z ) dxdydz = X (x)Y (y )Z (z ) dxdydz 2 2 2 = X (x) dx Y (y ) dy Z (z ) dz =1 hay 2 2 2 X (x) dx = Y (y ) dy = Z (z ) dz = 1 (33) 3 S suy bi n Xét h p có d ng hình l p phương, a = b = c. Khi đó, các m c năng lư ng đư c xác đ nh b i h2 (n2 + n2 + n2 ) E= (34) 8ma2 x y z Năng lư ng th p nh t hay năng lư ng đi m không c a h t, ng v i tr ng thái nx = ny = nz = 1, là h2 E111 = 3 × 8ma2 5
b ng ba l n năng lư ng c a h t trong h p m t chi u có dùng đ dài. Các m c năng lư ng ti p theo thu đư c khi tăng d n các giá tr nx , ny , nz . Ví d , khi tăng m t s lư ng t lên 2, gi a nguyên hai s lư ng t còn l i là 1, ta s có 3 giá tr E211 , E121 , E112 . V i b ba s lư ng t (1, 1, 2) thì n2 + n2 + n2 = 6 x y z Do đó h2 E211 = E121 = E112 = 6 × 8ma2 Tương t , v i b ba s lư ng t (1, 1, 3) thì h2 E311 = E131 = E113 = 11 × 8ma2 n2 + n2 + n2 nx ny nz E B c suy bi n x y z 2 /8ma2 ) 3 111 3(h 1 6(h2 /8ma2 ) 6 211 121 112 3 2 /8ma2 ) 9 221 212 122 9(h 3 11(h2 /8ma2 ) 11 311 131 113 3 12(h2 /8ma2 ) 12 222 1 2 /8ma2 ) 14 321 312 231 213 132 123 14(h 6 B ng 1.1: M t s m c năng lư ng th p nh t c a h t trong h p E 6 212 122 221 112 121 211 111 Hình 1.1: M t s m c năng lư ng th p nh t c a h t trong h p Chúng ta th y có nh ng tr ng thái mà năng lư ng c a h t b ng nhau m c dù s lư ng t khác nhau. Ví d , ng v i giá tr n2 + n2 + n2 = 6 ⇒ E = 6(h2 /8ma2 ) x y z có đ n ba tr ng thái là nx ny nz Tr ng thái 112 ψ112 121 ψ121 211 ψ211 6
Như v y, ng v i m c năng lư ng E = 6(h2 /8ma2 ), h t trong h p l p phương đư c mô t b i ba hàm sóng 8 πx πy 2πz ψ112 = sin( ) sin( ) sin( ) a3 a a a 8 πx 2πy πz ψ121 = sin( ) sin( ) sin( ) 3 a a a a 8 2πx πy πz ψ211 = sin( ) sin( ) sin( ) 3 a a a a Ba hàm sóng ψ211 , ψ121 , ψ112 mô t ba tr ng thái khác nhau c a h v i cùng m c năng lư ng. Khi hai hay nhi u hàm sóng tương ng v i nh ng t ng thái có cùng đ c tr năng lư ng thì đ c tr này đư c g i là suy bi n (degenerate). B c suy bi n c a m t m c năng lư ng là s tr ng thái mà m c năng lư ng đó có. Trong ví d trên ta có suy bi n b c ba: có ba tr ng thái cùng m c năng lư ng E = 6(h2 /8ma2 ). 4 S ch ng ch t các tr ng thái suy bi n Xét m t tr ng thái suy bi n b c n, nghĩa là có n hàm sóng đ c l p ψ1 , ψ2 , ψ3 , . . ., ψn cùng m c năng lư ng E . Ta có H ψ1 = Eψ1 ; H ψ2 = Eψ2 ; ... H ψn = Eψn (35) Theo nguyên lí ch ng ch t, n u ψ1 , ψ2 , ψ3 , ..., ψn là nh ng tr ng thái c a m t h thì tr ng thái đư c xác đ nh b i ψ = c1 ψ1 + c2 ψ2 + · · · + cn ψn (36) cũng là m t tr ng thái c a h . Th t v y, t (36), ta có H ψ = H (c1 ψ1 + c2 ψ2 + · · · + cn ψn ) (37) Toán t năng lư ng H là toán t tuy n tính. Do đó H (c1 ψ1 + c2 ψ2 + · · · + cn ψn ) = c1 H ψ1 + c2 H ψ2 + · · · + cn H ψn (38) Th (35) vào (38), ta đư c H (c1 ψ1 + c2 ψ2 + · · · + cn ψn ) = c1 Eψ1 + c2 Eψ2 + · · · + cn Eψn = E (c1 ψ1 + c2 ψ2 + · · · + cn ψn ) vì ψ = c1 ψ1 + c2 ψ2 + · · · + cn ψn nên phương trình trên tr thành H ψ = Eψ (39) 7
T k t qu trên, ta th y hàm t h p tuy n tính ψ cũng là m t đ c hàm c a toán t Hamiltonian v i cùng đ c tr năng lư ng E . Do đó, nó cũng là m t tr ng thái c a h . N u h suy bi n b c hai thì ta ch có m t tr ng thái t h p tuy n tính ψ = c1 ψ1 + c2 ψ2 Khi b c suy bi n l n hơn hai, s có r t nhi u tr ng thái t h p tuy n tính đư c t o ra. Ví d , v i trư ng h p suy bi n b c ba, ta có các tr ng thái t h p tuy n tính như sau ψ12 = c1 ψ1 + c2 ψ2 ψ13 = c1 ψ1 + c3 ψ3 ψ23 = c2 ψ2 + c3 ψ3 ψ123 = c1 ψ1 + c2 ψ2 + c3 ψ3 Các tr ng thái này đ u có cùng m c năng lư ng. 5 Giá tr trung bình Ti n hành n phép th . Gi s B là đ i lư ng ng u nhiên nh n các giá tr có th b1 , b2 , . . . , bn v i s l n nh n là k1 , k2 , . . . , kn . Giá tr trung bình c a đ i lư ng ng u nhiên B trong n phép th là ¯ = b = 1 (k1 b1 + b2 x2 + · · · + bn xn ) = ki b bi = fi bi (40) n n i i ki v i fi = là t n su t đ B nh n giá tr bi . Ví d , khi ti n hành kh o sát n đi m thi c a 9 sinh viên, ta có k t qu như sau 0,20,20,60,60,80,80,80,100. Đi m trung bình trong trư ng h p này là 1 1 ki bi = {1(0) + 2(20) + 2(60) + 3(80) + 1(100)} = 56 n 9 i ki Khi n đ l n thì t s chính là xác su t quan sát th y giá tr bi , kí n hi u là Pi , ta có b= Pi bi (41) i và giá tr trung bình b đư c g i là giá tr kì v ng. Bây gi , gi s chúng ta mu n xác đ nh v trí c a m t h t đang tr ng 2 thái ψ (x). Theo Born, ψ (x) là xác su t tìm th y h t t i v trí x. Đi u này có nghĩa là các phép đo t a đ x không cho m t k t qu duy nh t. N u ta 8
th c hi n phép đo nhi u l n thì ta s thu đư c nhi u giá tr khác nhau. Do đó, có th ta s ph i tính giá tr trung bình x cho nh ng phép đo này. T a đ x có giá tr liên t c, và xác su t tìm th y h t là hàm m t đ xác su t 2 Ψ nên giá tr trung bình x đư c tính như sau +∞ +∞ 2 ψ ∗ xψdx x= x ψ dx = (42) −∞ −∞ đây, chúng ta xem giá tr trung bình là giá tr kì v ng. Theo lí thuy t xác su t th ng kê, gi s X là đ i lư ng ng u nhiên liên t c có hàm m t đ xác su t f (x). Kì v ng c a đ i lư ng ng u nhiên X đư c xác đ nh b i +∞ EX = xf (x)dx −∞ T ng quát, giá tr trung bình c a m t thu c tính B đư c xác đ nh b i ψ ∗ Bψdx B= (43) Khi áp d ng vào cơ h c lư ng t thì thu c tính B s đư c thay th b ng toán t B c a thu c tính đó. Như v y (43) tr thành ψ ∗ B ψdx B= (44) Trong trư ng h p đ c bi t, n u ψ là m t đ c hàm c a B v i đ c tr β ; nghĩa là B ψ = βψ thì ta có ψ ∗ B ψdx = ψ ∗ βψdx = β ψ ∗ ψdx = β B= (45) vì ψ ∗ ψdx = 1 do hàm ψ đư c chu n hóa. Như v y, giá tr trung bình cũng chính là đ c tr . Nói cách khác, đ c tr β c a toán t B là k t qu duy nh t ta thu đư c khi th c hi n phép đo thu c tính B đư c mô t b i B . Ví d : Tìm x và px cho h t trong h p ch nh t, tr ng thái cơ b n. Ta có a b c ψ ∗ (x, y, z )xψ (x, y, z )dxdydz x= 0 0 0 9
V i ψ (x, y, z ) = X (x)Y (y )Z (z ) và x = x, ta đư c a b c X ∗ Y ∗ Z ∗ xXY Zdxdydz x = 0 0 0 a b c X ∗ xXdx Y ∗ Y dy Z ∗ Zdz = 0 0 0 a ∗ = X xXdx 0 vì b c Y ∗ Y dy = Z ∗ Zdz = 1 0 0 Do đó a 2 πx a x sin2 x= = a a 2 0 Tương t , ta có a b c X ∗ Y ∗ Z ∗ px XY Zdxdydz px = 0 0 0 a b c X ∗ px Xdx Y ∗ Y dy Z ∗ Zdz = 0 0 0 a ∗ = X px Xdx 0 d v i px = −i , ta đư c dx a a d X ∗ (x) px = −i X (x)dx = −i X (x)X (x)dx dx 0 0 2 πx là hàm th c nên X ∗ (x) = X (x). vì X (x) = sin a a Áp d ng công th c tính tích phân t ng ph n, đ t u = X (x) ; dv = X (x)dx ⇒ du = X (x)dx ; v = X (x) Ta có a a a X (x)X (x)dx = X 2 (x) − X (x)X (x)dx 0 0 0 a 1 a X (x)X (x)dx = X 2 (x) ⇒ =0 2 0 0 Vì X (0) = X (a) = 0. Như v y a px = −i X (x)X (x)dx = 0 0 10
Bài t p 1. Vi t phương trình Schr¨dinger cho nguyên t He g m m t h t nhân và o hai electron. Xem h t nhân đư c c đ nh (đ ng yên) t i g c t a đ . Cho bi t công th c tính th năng tương tác gi a các h t mang đi n là qi qj Vij = k 2 rij Trong đó, k là h ng s ; qi , qj là đi n tích c a các h t mang đi n; rij là kho ng cách gi a i và j . 2. Gi i phương trình sau theo phương pháp tách bi n s ∂ 2 U (x, y ) ∂U (x, y ) − =0 ∂x2 ∂y Vi U (x, y ) = X (x)Y (y ) 3. Trong cơ h c lư ng t thì khái ni m tr ng thái và m c năng lư ng là không gi ng nhau. Gi s m t h t kh i lư ng m trong h p l p phương v i 2 đ dài m i c nh là a có các m c năng lư ng E < 20 . Như v y, có t t 8ma2 c bao nhiêu tr ng thái ng và bao nhiêu m c năng lư ng th a mãn đi u ki n trên? 4. Tính các giá tr trung bình x2 , x 2 , p2 và px 2 cho h t tr ng thái x cơ b n trong h p hình ch nh t. T đó tính x2 − x 2 p2 − px 2 × ∆x∆px = x h So sánh k t qu ∆x∆px v i . 2π Cho công th c tính tích phân x2 x 1 x sin2 (kx)dx = − sin(2kx) − 2 cos(2kx) 4 4k 8k x3 x2 1 x x2 sin2 (kx)dx = − − 3 sin(2kx) − 2 cos(2kx) 6 4k 8k 4k 11