Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
PHẦN I.
I. LÍ DO CHỌN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. TÍNH PHỔ BIẾN
AM - GM và Cauchy - Schwarz chính là cặp bất đẳng thức phổ biến nhất trong
toán học sơ cấp. Với sự đa dạng vốn có, hai bất đẳng thức này thường xuyên được sử
dụng để chứng minh các bất đẳng thức đại số khác, từ trung học cơ sở đến trung học
phổ thông trong các kì thi.
Ngoài mục đích chính là nâng cao kỹ năng cơ bản giải toán dựa trên những
phương pháp phát triển từ bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, sáng kiến kinh nghiệm
này còn tổng hợp khá nhiều bất đẳng thức từ trước đến nay có thể chứng minh bằng
công cụ này.
Ta sẽ thấy ở đây một góc nhìn bao quát về bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
các kỹ năng cơ bản khi đứng trước một bài toán bất đẳng thức.
Bên cạnh việc sử dụng kỹ thuật Cauchy - Schwarz một cách phù hợp thì điều
kiện đủ để có thể chứng minh được bất đẳng thức mong muốn chính là chỉ ra sự tồn
tại của một bất đẳng thức đơn giản hơn.
Sáng kiến kinh nghiệm này hệ thống một số kỹ năng cơ bản nhất liên quan đến
bất đẳng thức Cauchy - Schwarz.
2. TÍNH CẤP THIẾT
Đối với đối tượng học sinh THPT không chuyên Bất đẳng thức là một chuyên
đề khó. Trong quá trình giảng dạy từ các nguồn tài liệu tham khảo tôi hệ thống một
số dạng bài tập nhằm mục đích để giúp học sinh tiếp cận một số kỹ năng cơ bản để áp
dụng BĐT Cauchy - Schwarz vào chứng minh BĐT với tiêu chí khuôn khổ là đưa
BĐT cần chứng minh về dạng đơn giản hơn BĐT ban đầu.
Bước đầu dạy cho đối tượng THPT không chuyên đã thu được một số hiệu quả
nhất định giúp các em “Bớt sợ” và có thể giải quyết được một số bài toán về chứng
minh BĐT. Từ đó tạo sự hứng khởi cho các em trong vấn đề khám phá loại toán này.
3. MỤC TIÊU
1
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
Mục tiêu của SKKN này là hệ thống một số bài tập áp dụng được BĐT Cauchy
- Schwarz vào chứng minh để học sinh làm quen từ đó dần định hình được phương
pháp tư duy vào chứng minh BĐT .
Với mục tiêu đấy và để tạo cho học sinh một “lối mòn” trên một số dạng bài
nên trong khuôn khổ SKKN này tôi không trình bày thêm các cách chứng minh khác.
Vì vậy tôi chọn SKKN
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
II. GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ
Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy - Schwarz còn được gọi là bất đẳng
thức Schwarz hoặc bằng cái tên khá dài là Cauchy - Bunyakovxki - Schwarz. Tài
liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức này là Bunyakovxki hoặc bằng tên dài nói
trên nhưng đảo thứ tự là bất đẳng thức Bunyakovxki - Cauchy - Schwarz nên
thường viết tắt là bất đẳng thức BCAUCHY - SCHWARZ.
Tuy nhiên trong toàn bộ sáng kiến kinh nghiệm này ta sẽ thống nhất với một
cách gọi duy nhất là bất đẳng thức Cauchy - Schwarz.
Ở mức độ phổ thông và trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm chúng ta quan
tâm đến dạng phát biểu sơ cấp của biểu thức này. Nó được phát biểu như sau:
n là các số thực tùy ý thì
(a Nếu a 2b
1, a 2 + … + a
2, …, a n)2 nb
n , b (a 1
1, b + a 2 2
1b
1 + a
= Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2, …, b )(b + … + a + b 2 2 2 2 1 n a a 2 1 = … = b b 2 1
+ … + b 2 2 ). (*). n a n b n
(ở đây, ta sử dụng quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0).
i =
i = y
i với x
i, y
i R, y
i > 0, ta thu được bất đẳng
Trong (*), chọn a , b x i y i
Nếu x
1, x
n là các số thực dương thì
(**). thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức 2, …, x 2 x 1 + y 1
1, y n là các số thực và y 1 + x (x 2 x 2 + … + 1 + y y y 2
x 2 n y n
2, …, y 2 + … + x n)2 2 + … + y n
2
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = … = . x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n
Trong khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm này, chúng ra sẽ cùng xem xét
vấn đề làm sao để có thể sử dụng hợp lý và hiệu quả các bất đẳng thức (*) và (**)
trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác bằng những kĩ thật cơ bản nhất.
III. MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH
Trong mục này, chúng ta sẽ cùng đến với một số chứng minh thú vị cho bất
đẳng thức Cauchy - Schwarz (*).
1. SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI
+ … + a 2 n
n = 0 và bất đẳng thức hiển
+ a 2 2 nhiên đúng. Do vậy, ta chỉ cần xét a 1
= 0 thì ta có a 2 + a 2 2
1 = a + … + a 2 n
2 = … = a 2 > 0 là đủ.
Nếu a 1
2b + (a
1 + a 1)2
1b + … + b + b nb 2 + … + a 2 2 2 n)x + (b ). n 2 1 1x - b n)2 nx - b + … + (a 2)2 2x - b . từ đó suy ra f(x) 0 với mọi x. Điều này có nghĩa là biểu thức ’
f phải là một số
Xét tam thức bậc hai f(x) = (a - 2(a )x2 2 + … + a 2 + a 2 n 2 1 Ta dễ dàng thấy được f(x) = (a
không dương, mà
f = (a
1b
1 + a
2b
2 + … + a
nb
n)2
- (a 1
+ … + a 2 + a 2 n 2
)(b 2 1
+ b 2 2
+ … + b 2 n
2 ),
’
nên ta có
1b
1 + a
2b
2 + … + a
nb
n)2
+ … + a 2 + a 2 (a n 2 1
)(b 2 1
+ … + b 2 + b 2 n 2
2 ),
(a
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1x - b a
1 = a
2x - b
2 = … = a
nx - b, tức
. a 1 = b 1 a 2 = … = b 2 a n b n
2. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM - GM
2 > 0 là
i = n Rõ ràng ta chỉ cần xét bất đẳng thức trong trường hợp i = 1
i = n 2 > 0, i = 1
a i b i
đủ.
Lấy căn bậc hai hai vế của bất đẳng thức đã cho, sau đó chia cả hai vế cho
2
2
i = n i = 1
i = n i = 1
, ta được a i b i
3
ib a i
i = n i = 1
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
1.
2
2
i = n i = 1
i = n i = 1
a i b i
ib a i
Sử dụng tính chất về dấu giá trị tuyệt đối kết hợp với bất đẳng thức AM - GM, ta có:
|
|a i |
|b i
i = n i = 1
i = n i = 1
2
2
i = n i = 1
i = n i = 1
a i b i
2
a i b i
2
i = n i = 1
i = n i = 1
2 i
2
2 a i
2
i = n 1 = 2 i = 1
i = n 1 + 2 i = 1
b i b i + 1 1 = 1. + = 2 2
a i = n 1 2 i = 1
2
2
2
2
i = n i = 1
i = n i = 1
i = n i = 1
i = n i = 1
a i b i a i b i
3. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
) - (a 2
= (a
2) 0.
1 + a
+ b 2 )(b 2 + a 2 (a 2 1 2 1
2b
1b
1b
2)2
Với n = 1, bất đẳng thức của ta trở thành đẳng thức. Xét khi n = 2, ta có 1 - a 2b
Giả sử bất đẳng thức đúng khi n = k (k 2). Xét khi n = k + 1. Áp dụng kết quả
trường hợp n = 1 với hai bộ
+ b 2 2
+ … + b 2 k
2 + … + a 2 + a 2 , k 2
2 ,
, a k + 1
, b k + 1
a 1 b 1
Ta có:
+ b 2 2
+ … + b 2 k
2
2
+
+
2 2 + … + a 2 + a 2 k 2
2
a 1
b 1
a k + 1 b k + 1 2
+ … + a 2 + a 2 k 2
+ … + b 2 + b 2 )(b 2 k 2 1
2 ) +
2 k + 1
a . (a 1 k + 1b
)(b 2 1
+ … + b 2 + b 2 k 2
) (a 2
1b
1 + a
2b
2 + … + a
kb
k)2 ;
Mặt khác, theo giả thiết quy nạp, ta lại có + … + a 2 + a 2 (a k 2 1
1b a
1 + a
2b
2 + … + a
kb
Suy ra
| k .
+ … + a 2 + a 2 k 2
+ … + b 2 + b 2 )(b 2 k 2 1
2 ) |
(a 1
Kết hợp đánh giá này với đánh giá ở trên, ta được
4
1b a
1 + a
2b
2 + … + a
kb
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
2 a i
2
| k +
|
2 k + 1
a b i k + 1b i = k + 1 i = 1 i = k + 1 i = 1
1b
1 + a
2b
2 + … + a
kb
k + a
(a k + 1b k + 1)2 .
Điều này chứng tỏ bất đẳng thức của ta cũng đúng cho n = k + 1. Theo nguyên
lý quy nạp, ta có nó đúng với mọi n 1.
5
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
PHẦN II. NỘI DUNG CHÍNH
NHỮNG KỸ NĂNG CƠ BẢN KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
n là các số thực tùy ý thì
(a Nếu a 2b
1, a 2 + … + a
2, …, a n)2 nb
1, b + a 2 2
n , b (a 1
1 + a
1b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = CAUCHY - SCHWARZ VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2, …, b + b 2 )(b 2 + … + a 2 2 1 n a a 2 1 = … = b b 2 1
2 + … + b 2 ). (*). n a n b n
(ở đây, ta sử dụng quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0).
i =
i = y
i với x
i, y
i R, y
i > 0, ta thu được bất đẳng
Trong (*), chọn a , b x i y i
thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
Nếu x
1, x
n là các số thực dương thì
(**).
2, …, x 2 x 1 + y 1
1, y n là các số thực và y 1 + x (x 2 x 2 + … + 1 + y y y 2
x 2 n y n
= . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = … =
2, …, y 2 + … + x n)2 2 + … + y n x x 2 1 y y 2 1
x n y n
Để có thể sử dụng tốt bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, Ta cần quan sát, đưa ra
nhận xét (về điều kiện, về dạng phát biểu của bài toán, …) và nhận biết mình cần
phải làm gì? Và tự đặt câu hỏi “Có cách nào giúp đơn giản hóa bài toán hay không?”
và tìm cách trả lời câu hỏi đó. Để hiểu rõ hơn vấn đề, ta hãy xét những bài toán sau.
+ + (1) Bài 1. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng a2 b + c a + b + c 2 c2 a + b b2 c + a
Phân tích
Nhận thấy rằng vế trái của bất đẳng thức có dạng phát biểu giống với dạng
phân thức của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
2 x 1 + y 1
2 x 2 + … + y 2
2 x n . Yếu tố này đã y n
6
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
gợi cho ta ý nghĩ sử dụng Cauchy - Schwarz để giải bài toán. Và nhận xét này đã giúp
. (1.1) = ∑ ra giải quyết bài toán thành công, theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có (a + b + c)2 (b + c) + (c + a) + (a + b) a + b + c 2 a2 b + c
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , tức là a = b = c. = = a b + c b c + a c a + b
Bài 2. Nếu a, b, c là các số thực dương thì
+ + 1. (2) a b + 2c b c + 2a c a + 2b
Định hướng và tìm tòi lời giải
Nhận thấy rằng vế trái của bất đẳng thức có dạng phân thức, điều này gợi cho
ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức để chứng
minh bài toán. Nhưng muốn vậy ta cần có sự xuất hiện của bình phương trên các tử
số, tuy nhiên ở đây lại không có. Ta có thể thêm vào các tử và mẫu các lượng a, b, c
tương ứng để bình phương xuất hiện, cụ thể là:
+ + = + + (2.1) a b + 2c b c + 2a c a + 2b a2 a(b + 2c) b2 b(c + 2a) c2 c(a + 2b)
Đến đây ra có thể yên tâm sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz để thu được
∑ = (2.2) a2 a(b + 2c) (a + b + c)2 a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b) (a + b + c)2 3(ab + bc + ca)
Và như vậy bài toán sẽ được chứng minh xong nếu ta có
3(ab + bc + ca) (2.3)
(a + b + c)2
Đây lại là một kết quả cơ bản và khá quen thuộc.
Lưu ý rằng (2.2) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi
= = a a(b + 2c) b b(c + 2a) c c(a + 2b)
Và (2.3) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c. Giải hệ này, ta tìm được
a = b = c.
Vì vậy bất đẳng thức đã cho xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c.
Bài 3. Cho bốn số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng:
+ + + 2. (3) a b + c b c + d c d + a d a + b
7
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
Định hướng và tìm tòi lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có:
VT = + + + a2 a(b + c) b2 b(c + d) c2 c(d + a) d2 d(a + b)
(3.1) (a + b + c + d)2 a(b + c) + b(c + d) + c(d + a) + d(a + b)
= (a + b + c + d)2 (a + c)(b + d) + 2ac + 2bd
Mặt khác, theo bất đẳng thức AM - GM, ta lại có
(a + c)(b + d) + 2ac + 2bd (a + c)(b + d) + + (a + c)2 2 (b + d)2 2
= (3.2) (a + b + c + d)2 2
Kết hợp hai bất đẳng thức này lại, ta suy ra kết quả cần chứng minh.
Ta có (3.1) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi
= = = a a(b + c) b b(c + d) c c(d + a) d d(a + b)
Còn (3.2) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = c và b = d. Từ hai điều kiện này, ta suy
ra bất đẳng thức đã cho xảy ra khi và chỉ khi a = c và b = d.
Nhận xét.
Ưu điểm của việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz trong các ví dụ vừa
rồi là có thể được thấy rõ ở bậc của các bất đẳng thức trước và sau khi sử dụng
Cauchy - Schwarz. Rõ ràng bậc của các bất đẳng thức giảm đi rõ rệt sau khi ta áp
dụng Cauchy - Schwarz, điều đó có nghĩa việc chứng minh các bất đẳng thức sau đó
sẽ dễ hơn rất nhiều.
Có thể cho rằng “Ta vẫn có thể sử dụng phép biến đổi trực tiếp ở đây nên
không cần thiết phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz làm gì”.
Khẳng định này đúng với (2), 1 bằng biến đổi trực tiếp ta + + a b + 2c b c + 2a c a + 2b
có:
∑a(a + 2b)(c + 2a) (a + 2b)(b + 2c)(c + 2a),
8
) + 6abc
b + b2
+ ca2
+ b3
+ c3 2(a2
+ ca2
2(a3
a) + (ab2 + bc2 a) 3(ab2
) + 9abc, + ca2
c + c2 b + b2
) + 3abc,
+ bc2
+ b3
+ c3
2(a3 Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức + bc2 c + c2 ) + 4(a2 a) + 4(ab2 b + b2 c + c2 ) + 2(a2
Đúng do theo bất đẳng thức AM - GM, ta có:
c)
VT = 2(a3
+ c2 + 4ab2
a) + 2(b3 + 4bc2
+ a2 3(ab2
b) + 2(c3 + bc2
+ b2 + ca2
) + 3abc.
4ca2
Nhưng với (3) + + + 2 thì sao? a b + c b c + d c d + a d a + b
Việc thực hiện biến đổi trực tiếp để đánh giá với (3) là rất khó. Một bất đẳng
thức bốn biến số và chỉ có tính chất hoán vị vòng quanh giữa các biến chứ không đối
xứng. Mà để thực hiện biến đổi trực tiếp, ta cần phải sử dụng nhiều tính toán (ngay cả
với ví dụ ba biến ở trên thì việc triển khai đã sử dụng không ít tính toán), rất dễ mắc
sai lầm. Và nếu biến đổi thì sau khi biến đổi xong, ta sẽ được một bất đẳng thức hoán
vị bậc bốn với bốn biến số. Việc đánh giá các bất đẳng thức này thật không dễ. Như
vậy, việc sử dụng biến đổi trực tiếp ở đây là không khả thi và ta nên loại trừ.
Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz đã thể hiện ưu thế tuyệt đối của mình ở
những ví dụ này. Và ta có thể kết lại được tác dụng chính của bất đẳng thức Cauchy -
Schwarz là giúp đơn giản hóa bài toán, đưa những cái phức tạp, cồng kềnh về những
cái đơn giản.
Tiếp theo là một số ví dụ khác.
Bài 4. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng
+ + 1. (4) a a + 2bc b b + 2ca c c + 2ab
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có
∑ = + + a a + 2bc a2 a2 + 2abc b2 b2 + 2abc c2 c2 + 2abc
+ 2abc) + (b2
+ 2abc)
(4.1) (a2 (a + b + c)2 + 2abc) + (c2
a2
+ b2
+ c2
+ 6abc, (4.2)
Do đó ta chỉ cần chứng minh được (a + b + c)2
Hay ab + bc + ca 3abc.
9
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
Do a + b + c = 3 nên bất đẳng thức trên tương đương với
(a + b + c)(ab + bc + ca) 9abc, (4.4)
Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức AM - GM.
Ta có (4.1) xảy ra đẳng thức khi = = , còn (4.4) xảy ra a a2 + 2abc b b2 + 2abc c c2 + 2abc
đẳng thức khi a = b = c. Kết hợp hai điều kiện này lại cho ta điều kiện đẳng thức của cả
bài toán là a = b = c.
+ + (5) Bài 5. Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0, ta có + b2 + c2 a2 a3 3 a + 2b b3 b + 2c c3 c + 2a
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có
+ + + + = a3 a + 2b b4 b2 + 2bc c4 c2 + 2ca a4 a2 + 2ab
+ b2
b3 b + 2c (a2 (a2 + 2ca)
+ b2 a2
+ c2
(5.1) =
+ b2 + c2 a2 3
+ b2 a2
)2 + b2 + 2(ab + bc + ca)
Ta phải chứng minh c3 c + 2a + c2 )2 + 2ab) + (b2 + 2bc) + (c2 )2 + b2 (a2 + c2 + c2 + 2(ab + bc + ca) (a2 + c2
) a2
+ b2
+ c2
+ 2(ab + bc + ca), (5.2)
3(a2
+ b2 + b2
+ c2 + c2
ab + bc + ca (5.3)
Hay a2
Đây là một kết quả cơ bản.
Do (5.1) xảy ra đẳng thức khi = = a2 a2 + 2ab b2 b2 + 2bc c2 c2 + 2ca
và (5.3) xảy ra đẳng thức khi a = b = c nên bất đẳng thức đã cho đạt được dấu bằng khi
và chỉ khi a = b = c.
Sau đây là một kỹ năng khác.
10
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
Bài 6. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
(a2
+ 2)(b2
+ 2)(c2
+ 2) 3(a + b + c)2
. (6)
Định hướng và tìm tòi lời giải
Vì ba biến a, b, c độc lập với nhau nên một cách tự nhiên, ta muốn tìm cách
+ 2 gợi cho ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy
đánh giá để làm giảm đi số biến. Sự xuất hiện của a2
như sau
- Schwarz cho đại lượng (a + b + c)2
+ 2)
=
1 +
a.1 + 2 (a + b + c)2 2 (b + c) (a2 2 (b + c)2 . (6.1) 2
Và như thế ta có thể đưa bài toán về chứng minh bất đẳng thức sau - một bất đẳng
thức hai biến
+ 2)(c2
1 + + 2) 3
(b2 (b + c)2 . (6.2) 2
Hơn nữa ta có thể chắc chắn rằng (6.2) luôn đúng.
Thật vậy. Do tính chất độc lập của ba biến a, b, c nên (6.1) chắc chắn có thể
xảy ra đẳng thức (đạt được khi a = ). 2 b + c
Và vì bất đẳng thức đã cho đúng với mọi a, b, c bất kỳ nên nó cũng phải đúng
với a = , tức là (6.2) phải đúng (vì khi a = thì bất đẳng thức đã cho trở 2 b + c 2 b + c
thành (6.2)).
- 3bc + 1 0, (6.3)
c2
+ b2 Bây giờ thực hiện phép khai triển, ta viết được (6.2) dưới dạng + c2 b2 2
c2
- 3bc + 1 = (bc - 1)2
0.
+ c2 b2 2
Đúng vì bc và bc + b2
Ta có (6.1) xảy ra đẳng thức khi a = , 2 b + c
còn (6.3) xảy ra đẳng thức khi b = c và bc = 1.
Giải ra, ta tìm được điều kiện để đẳng thức xảy ra ở bất đẳng thức ban đầu là
11
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
a = b = c = 1.
Cách khác.
(a2
+ 2)(b2
+ 2)(c2
+ 2) 3(a + b + c)2
. (6)
Nhận xét rằng đây là một bất đẳng thức không thuần nhất và các biến a, b, c
độc lập với nhau. Ta muốn dùng Cauchy - Schwarz để đánh giá bất đẳng thức này.
Muốn vậy, bạn hãy nhớ lại mục đính chính của ta trong mọi đánh giá là đưa bài toán
- 1) 0 a2
+ 1 a2
+ b2
(*)
về đơn giản nhất có thể.
+ 2)(b2
+ 2)(c2
- 1)(b2 .b2
+ 2(a2
+ b2
.b2 ) + 4].(c2
+ 2)
+ b2
+ 2(a2
+ b2
) + 3].(c2
+ 2)
Không mất tổng quát giả sử (a2 + 2) = [a2 Vậy (a2
(*) [a2
+ b2
+ 12
)(12
+ 12
+ c2
) 3(a + b + c)2
= 3(a2
dấu bằng khi và chỉ khi a = b = c = 1
Bài 7. Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực bất kỳ a, b, c
(a2
+ 1)(b2
+ 1)(c2
+ 1) (ab + bc + ca - 1)2
. (7)
Lời giải
Bằng phương pháp suy luận giống như ở bài toán trước, ta muốn áp dụng bất
+ 1 xuất hiện trong đánh giá. Ta thực hiện như sau
đẳng thức Cauchy - Schwarz với biểu thức bình phương bên vế phải sao cho đại lượng a2
(b + c)2 + 1)
. (7.1) + (bc - 1)2
VP = 2 a(b + c) + (bc - 1) (a2
Và như vậy, ta chỉ cần chứng minh được
+ (bc - 1)2
(b2
+ 1)(c2
+ 1). (7.2)
(b + c)2
Thế nhưng đây thực chất chỉ là một hằng đẳng thức.
Đẳng thức ở đánh giá (7.1) xảy ra khi và chỉ khi a(bc - 1) = b + c,
hay a + b + c = abc.
Vậy ở bất đẳng thức đã cho, ta có đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a + b + c = abc.
+ 1) = (ab + bc + ca - 1)2
+ 1)(b2
+ 1)(c2
+ (a + b + c - abc)2
(7.3).
Nhận xét. Thật ra ta có hằng đẳng thức (a2
12
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
Sử dụng hằng đẳng thức này, ta có thể chứng minh được bất đẳng thức dưới
+ 1)(b2
+ 1)(c2
+ 1)(d2
+ 1) = 16. Chứng
đây bằng phương pháp tương tự như hai bài toán vừa xét. Bài 8. Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn (a2
minh bất đẳng thức: -3 ab + ac + ad + bc + bd + cd - abcd 5. (8)
Lời giải
Dễ thấy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
16, (8.1)
(ab + ac + ad + bc + bd + cd - abcd - 1)2
Hay là
16. (8.2)
[a(b + c + d - bcd) + (bc + ca + db - 1)]2
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có
(b + c + d - bcd)2
+ 1)
. (8.3) + (bc + cd + db - 1)2
VT (a2
Và như thế ta chỉ cần chứng minh được
+ (bc + cd + db - 1)2
(b2
+ 1)(c2
+ 1)(d2
+ 1). (8.4)
(b + c + d - bcd)2
Đây chính là hằng đẳng thức (7.3) mà ta vừa đề cập ở trên.
Bài 9. Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương, ta đều có
(a + 1)(b + 1)(c + 1). (9) 3 a(b + 1) + b(c + 1) + c(a + 1) 2
Phân tích và tìm tòi lời giải
Đây là một bất đẳng thức không thuần nhất và các biến độc lập với nhau. Đó
chính là lợi thế của bài toán, việc đánh giá riêng lẻ sẽ dễ dàng hơn những bất đẳng
thức có điều kiện. Ta quan sát và có để ý rằng đại lượng c(a + 1) và biểu thức bên
vế phải của bất đẳng thức đã cho đều chứa a + 1. Do đó nếu ta sử dụng Cauchy -
Schwarz đánh giá biểu thức còn lại của vế trái là a(b + 1) + b(c + 1) sao cho
a + 1 xuất hiện thì ta có thể giản bớt a + 1 ở hai vế. Và như thế ta chỉ còn một bất
đẳng thức hai biến, lẽ đương nhiên là nó sẽ dễ chứng minh hơn bất đẳng thức ban
đầu. Với những ý tưởng như vậy, ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz như
sau
a(b + 1) + b(c + 1) (a + 1)[(b + 1) + b(c + 1)]. (9.1)
Như thế ta chỉ cần chứng minh
13
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
b(c + 2) + 1 + c (b + 1)(c + 1). (9.2) 3 2
Phân tích tương tự như trên, ta muốn áp dụng Cauchy - Schwarz một lần nữa cho vế
trái của (9.2) sao cho nhân tử b + 1 xuất hiện. Theo đó ta sẽ chỉ còn một bất đẳng
thức một biến số… Ý tưởng đã rõ. Bây giờ ra chỉ cần thêm một chút quan sát nữa là
được. Bạn hãy để ý rằng đại lượng b(c + 2) + 1 còn thiếu một lượng c + 1 thì có thể
phân tích ra được b + 1, cái mà chúng ta cần. Do đó ta sẽ sử dụng bất đẳng thức
Cauchy - Schwarz để bổ sung lượng đó cho nó, cụ thể là
(b(c + 2) + 1) + (c + 1) 1 +
c c + 1
b(c + 2) + 1 + c
= (9.3) (b + 1)(c + 2)(2c + 1) c + 1
Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh được
c + 1, (9.4) (c + 2)(2c + 1) c + 1 3 2
Hay
(9.5)
4(c + 2)(2c + 1) 9(c + 1)2
. (9.6)
Đúng theo bất đẳng thức AM - GM
4(c + 2)(2c + 1) 2 (c + 2) + (2c + 1) = 9(c + 1)2
Ta có (9.1) xảy ra dấu bằng khi ab(c + 1) = b + 1, (9.3) xảy ra dấu bằng khi
b(c + 2) + 1 = (c + 1)2 , c
còn (9.6) xảy ra dấu bằng khi c = 1.
Kết hợp những điều kiện này lại, chúng ta tìm được điều kiện để xảy ra dấu đẳng thức
ở bất đẳng thức ban đầu là a = b = c = 1.
1 1 1 = 2. Chứng minh rằng + + Bài 10. Cho x, y, z > 1 và z y x
x + y + z x - 1 + y - 1 + z - 1. (10).
Lời giải
14
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
Một cách tự nhiên, ta muốn áp dụng Cauchy - Schwarz cho biểu thức bên phải sao
cho sau bước đánh giá, ta thu được đại lượng x + y + z làm nhân tử. Với ý tưởng như
vậy, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz như sau
∑ (∑x)
1 x - 1 = ∑x. (10.1) 3 - ∑ = (∑x) x x
(∑ x - 1)2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = 1 1 1 = 2 và + + z y x x - 1 x2 y - 1 y2 z - 1 . z2
Giải ra, ta tìm được x = y = z = 3 . 2
Vậy bất đẳng thức đã cho xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = y = z = 3 . 2
Bài 11. Cho bốn số thực dương a, b, c, d thỏa mãn: a + b + c + d = 1 + a 1 + b 1 + c 1 . d
Chứng minh rằng
a + b + c + d + + + (11) a2 + 1 2 b2 + 1 2 c2 + 1 2 d2 + 1 2
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có
+ 1 + b2 a2
+ 1 + c2
+ 1 + d2
+ 1
2
+ 1 a
a2 (a + b + c + d)
. (11.1)
a + b + c + d + = (a + b + c + d)
1 1 1 1 = 2(a + b + c + d)2 + + + d c b a
+ + + b2 + 1 b c2 + 1 c d2 + 1 d
Từ đây suy ra
+ + + a + b + c + d. (11.2) a2 + 1 2 b2 + 1 2 c2 + 1 2 d2 + 1 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
= = = 1 1 1 1 và + + + a + b + c + d = d c b a a2 + 1 a2 b2 + 1 b2 c2 + 1 c2 d2 + 1 . d2
Giải hệ phương trình này ta tìm được điều kiện để đẳng thức xảy ra là
a = b = c = d = 1.
15
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
1, a
2, …, a
n có tổng bằng 1. Chứng minh
Bài 12. Cho n số thực dương a
1 1 + a 2 1
1 a n
+ … + + … + . (12) 1 + a 1 1 + a 1 1 < 2 + … + a 1 + a n 1 a 2
0 = 0. Khi đó ta phải chứng minh
Lời giải Để việc đánh giá được thuận lợi, ta đặt a
i = n 1 2 i = 1
. (12.1) 1 + a 1 + … + 0 + a 1 + a 1 1 < 1 + … + a 0 + a n 1 a i
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta được
1
2 0 + … + a i
i = n i = 1
i = n i = 1
i = n 1 (1 + a a i i = 1
(12.2) i)2
1 + a a i 0 + … + a
Ta cần chứng minh
i)2
i = n P = i = 1
1 . (12.3) < 2 (1 + a a i 0 + … + a
Để ý rằng với mọi 1 i n, ta có
i)2
0 + … + a
< (1 + a a i 0 + … + a (1 + a 0 + … + a i) a i i - 1)(1 + a
0 + … + a i
0 + … + a
1 1 = - (12.4) 1 + a 1 + a i - 1
Do đó
0 + … + a i
i = n P < i = 1 1 + a
0 + … + a
1 1 - 1 + a
i - 1
0 + … + a i
1 = - = 1 - 1 + a 1 1 + 1 1 (12.5) = 2 1 1 + a 0
Bài toán được chứng minh xong.
+ + . (13) Bài 13. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng a2 + c2 + b2 a + b + c a3 + ab + b2 a2 b3 + bc + c2 b2 c3 + ca + a2 c2
16
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
Phân tích và tìm tòi lời giải
Xin được nhắc lại một lần nữa mục đích của ta khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy -
Schwarz là làm đơn giản hóa bài toán, càng nhiều càng tốt. Bởi vì vậy cho nên ta cố
gắng áp dụng Cauchy - Schwarz làm sao cho giảm bớt được một số đại lượng có
trong các vế của bất đẳng thức cần chứng minh. Chẳng hạn ở bài này, ta hãy cùng
trên tử thì bài toán sẽ không
+ b2
+ c2
+ b2
quan sát vế phải và đưa ra nhận xét “nếu ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho vế trái để làm mất đại lượng a2
)2 + c2 + ab + b2 )
∑ . (13.1) (a2 ∑a(a2 còn khó nữa”. Với ý tưởng như vậy, ta thực hiện đánh giá sau a3 + ab + b2 a2
Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh
+ b2
+ c2
)(a + b + c) ∑a(a2
+ ab + b2
). (13.2)
(a2
Thế nhưng đây lại chỉ đơn giản là một hằng đẳng thức. Ta có đẳng thức xảy ra khi và
chỉ khi
= = , tức là a = b = c. a(a2 b(b2 c(c2 a2 + ab + b2 ) b2 + bc + c2 ) c2 + ca + a2 )
+ c3 + c2
. (14) + + Bài 14. Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi a, b, c dương b2 c + a a2 b + c c2 a + b a3 + b3 3 + b2 a2 2
Lời giải
)2
(b + c) + b4 a4
+ c3 (c + a) + c4
(a + b)
(a3 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta được + b3 + + . (14.1) a2 b + c b2 c + a c2 a + b
+ b2
+ c2
)(a3
+ c3
) 3∑a4
(b + c). (14.2)
2(a2 Từ đó bài toán được quy về chứng minh + b3
+ b5
+ 2a2
b2
(a + b) - 3ab(a3
a5 ∑
0, (14.3) + b3 )
Bất đẳng thức này tương đương với
b2 - a3
(a + b) - 3ab(a3 - ab3 b2 b + a2
+ b3 + b4
) ] + 2a2
b2
(a + b) - 3ab(a3
+ b3
)
Ta có + 2a2 + b5 a5 = (a + b) [a4
17
- 3ab(a2 - 3a3
)] - 3ab3
]
b + 3a2
b2 b2
b2 b + a2 b + a2 b2 b + 6a2
- ab3 - ab3 b2
+ b4 + b4 - 4ab3
+ 2a2 + 2a2 + b4
]
- a3 - a3 - 4a3
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức - ab + b2 b2
= (a + b) [a4 = (a + b) [a4 = (a + b) [a4 = (a + b)(a - b)4
Vậy
+ (b + c)(b - c)4
+ (c + a)(c - a)4
0. (14.4)
(14.3) (a + b)(a - b)4
Do bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh. Ta đi tìm
= = điều kiện để đẳng thức xảy ra. Do (14.1) xảy ra đẳng thức khi a3 a4 (b + c) c3 c4 (a + b) b3 b4 (c + a)
Và (14.4) xảy ra đẳng thức khi a = b = c nên bất đẳng thức đã cho có dấu bằng khi a =
b = c.
Bây giờ chúng ta sẽ đến với một kỹ năng khác, (cùng mẫu).
Bài 15. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có
+ . (15) 1 (a + b)2 1 (a + c)2 1 a2 + bc
Phân tích và tìm tòi lời giải
Ta có nhận xét rằng “nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho các bình
, (a + c)2
sao cho đại lượng a2
+ bc xuất hiện bậc của bất đẳng thức sẽ được
phương (a + b)2
giảm đáng kể”. Tiến hành theo ý tưởng này, ta được
, (15.1)
b (a + b)2 1 + + bc) c
(a2
Từ đó suy ra
+ bc)
(15.2) c (b + c)(a2 1 (a + b)2
Hoàn toàn tương tự, ta cũng có
+ bc)
(15.3) b (b + c)(a2 1 (a + c)2
Cộng tương ứng vế với vế hai bất đẳng thức này, ta được
18
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
+ bc)
+ bc)
+ + = (15.4) c (b + c)(a2 b (b + c)(a2 1 (a + b)2 1 (a + c)2 1 a2 + bc
Do (15.1) xảy ra đẳng thức khi a = c và (15.3) xảy ra đẳng thức khi a = b nên bất
đẳng thức đã cho xảy ra đẳng thức khi a = b = c.
+ a2 )
+ c2 )
+ b2
+ a2
+ c2
+ b2 )
+ + (16) 1 a + b + c (2b2 (2c2 (2a2 Bài 16. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau c3 )(2c2 b3 )(2b2 a3 )(2a2
Lời giải
Tương tự bài trước, ta muốn áp dụng Cauchy - Schwarz cho các mẫu số của từng
phân thức bên vế phải sao cho đại lượng a + b + c xuất hiện sau khi đánh giá. Với ý
tưởng như vậy, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz như sau
+ b2
+ a2
)(a2
+ a2
+ c2
) (a2
+ ba + ac)2
= a2
(a + b + c) (16.1)
(a2
Từ đó suy ra
+ b2
+ c2 )
. (16.2) (2a2 a3 )(2a2 a (a + b + c)2
Cộng bất đẳng thức này với hai bất đẳng thức tương tự, ta thu được ngay kết quả bài
toán. Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bài 17. Giả sử a, b, c là ba số thực dương cho trước. Chứng minh rằng
2 a + b + c ab + bc + ca
+ + . (17) 1 a2 + ab + bc 1 b2 + bc + ca 1 c2 + ca + ab
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có
+ ab + bc)
= (17.1) (a2 1 a2 + ab + bc c2 + ab + bc + ab + bc)(c2 c2 + ab + bc (ca + ab + bc)2
= ∑ (17.2) Cộng bất đẳng thức này với hai bất đẳng thức tương tự, ta suy ra ∑(c2 + ab + bc) (ab + bc + ca)2 (a + b + c)2 (ab + bc + ca)2 1 a2 + ab + bc
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bài 18. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có
+ + (18) a2 + c2 + b2 ab + bc + ca ab a2 + bc + ca bc b2 + ca + ab ca c2 + ab + bc
19
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
Lời giải
+ bc + ca)
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có
+ bc + ca)
= (18.1) (a2 ab a2 + bc + ca ab(b2 + bc + ca)(b2 ab(b2 + bc + ca) (ab + bc + ca)2
Do đó ta chỉ cần chứng minh được
+ bc + ca) (a2
+ b2
+ c2
)(ab + bc + ca), (18.2)
∑ab(b2
b + b3 a3
c + c3
a abc(a + b + c). (18.3)
Hay
Chia cả hai vế của bất đẳng thức này cho abc, ta được
+ + a + b + c (18.4) a2 c b2 a c2 b
Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ,
+ + = a + b + c (18.5) a2 c b2 a c2 b (a + b + c)2 c + a + b
1, x
n thỏa mãn x
1 + x
2 + … + x
n = n. Chứng
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 2, …, x Bài 19. Cho các số thực dương x
minh bất đẳng thức
1 + n
2 + n
n + n
+ + … + 1. (19) 1 - x 2 x 1 1 - x 2 x 2 1 - x 2 x n
Lời giải
1)][1 + (n - x
1 + (n - x
1)]2
= n2
(19.1)
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có 1)] [x + (n - x 2 [x 1
Từ đó suy ra
1 + n
1 - x 2 x 1 n + 1 - x 1 (19.2) n2
2 = … = x
n = 1.
1 = x
Cộng bất đẳng thức này với các bất đẳng thức tương tự, ta suy ra ngay kết quả bài toán. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x
Bài 20. Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
+ + 1. 1 b + c + 1 1 c + a + 1 1 a + b + 1
Chứng minh rằng
20
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
a + b + c ab + bc + ca. (20)
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có
= . (20.1) 1 b + c + 1 b + c + a2 (b + c + 1)(b + c + a2 ) b + c + a2 (b + c + a)2
Thực hiện đánh giá tương tự cho hai biểu thức còn lại, và sau đó cộng cả ba bất đẳng
+ 2(a + b + c)
+ c2 (a + b + c)2
thức lại với nhau, ta thu được + b2 a2 1. (20.2)
Từ đây ta suy ra ngay
a + b + c ab + bc + ca. (20.3)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Bài 21. Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương, ta đều có
2 a + b + c ab + bc + ca
+ + . (21) 2a2 2b2 2c2 1 + bc 1 + ca 1 + ab
Lời giải.
+ bc
+ bc + bc + 2bc Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Cauchy - Schwarz , ta có + c2 b2 2 (b + c)2 2 = = (21.1) 2a2 1 + bc [a(b + c) + bc]2 (ab + bc + ca)2 (2a2 (b + c)2 2 (b + c)2 + bc) 2
Cộng bất đẳng thức này với hai bất đẳng thức tương tự, ta suy ra ngy kết quả cần
chứng minh. Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
- a2 a5 + c2 + b2 a5
- c2 c5 + b2 + a2 c5
0. (22) + + Bài 22. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1. Chứng minh - b2 b5 + a2 + c2 b5
+ c2 + c2
Do = 1 - nên bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại Lời giải. - a2 a5 + c2 + b2 a5 a2 + b2 + b2 a5
thành
+ + (23) a5 - a2 + c2 + b2 a5 b5 - b2 + a2 + c2 b5 c5 - c2 + b2 + a2 c5 3 + c2 + b2 a2
21
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
+ c2
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có
+ c2 )2 + c2
+ b2
+ c2 )
1 a
1 + b2 a = (23.1) 1 + c2 + b2 a2 1 + b2 a + b2 (a2 (a5 + b2 + c2
+ c2 )
Cộng bất đẳng thức này với các bất đẳng thức tương tự, ta được
+ b2 )2
+ c2
∑ . (23.2) 1 + c2 + b2 a2 1 1 1 + 2(a2 + + c b a + b2 (a2
+ b2
+ c2
. (23.3)
Theo đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức sau là đủ
1 1 1 a2 + + c b a
Sử dụng giả thiết abc 1 kết hợp với bất đẳng thức cơ bản
+ b2
+ c2 ,
ab + bc + ca a2
ta có
+ b2
+ c2
(23.4)
+ + = ab + bc + ca a2 1 1 + + b a 1 c abc a abc b abc c
Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Bài 24. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Nếu k 1, thì
+ k
+ k
+ k
+ + . (24). 3 2 + k 1 + b2 a2 1 + c2 b2 1 + a2 c2
Lời giải.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta được
+ b2
1 + 1 + c2 + 1 + (k - 1)]
2 a + b + c + (k - 1) 3
[a2
(a + b + c)2
2 a + b + c a + b + c + (k - 1) 3
(k + 2)2 = . (24.1) 9
Từ đó suy ra
+ 2) + (k - 1)(a + b + c)2
+ k
(a + b + c)2
9(c2 . (24.2) (k + 2)2 1 + b2 a2
Thực hiên đánh giá tương tự cho hai biểu thức còn lại, sau đó cộng vế theo vế của cả
ba bất đẳng thức đó lại ta được
22
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
∑a2 9
+ 6
2
∑a2 9
+ 2∑ab
∑a
2 ∑a
+ 3(k - 1) 2
+ k
+ 3(k - 1) 2 ∑a (k + 2)2
∑a (k + 2)2
∑ = (24.3) 1 + b2 a2
= 3 . k + 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Bài 25. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng
+ c
+ a
+ b
+ + 1. (25) a + b2 a3 b + c2 b3 c + a2 c3
Lời giải.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có
1 a
+ 1 + c
a a + 1 + c
+ c
1 a (25.1) (a + b + c)2
+ b2
+ c)
1 a
= a + b2 a3 (a3 + 1 + c
= 1 + a + ca . 9
Suy ra ta chỉ cần chứng minh được
+ + 1, (25.2) 1 + a + ca 9 1 + b + ab 9 1 + c + bc 9
Hay ab + bc + ca 3, (25.3)
Hiển nhiên đúng theo kết quả quen thuộc ab + bc + ca . (a + b + c)2 3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
+ + 9 . (26) 2 Bài 26. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng (3c - a + b)2 + (a + b)2 2c2 (3a - b + c)2 + (b + c)2 2a2 (3b - c + a)2 + (c + a)2 2b2
Lời giải.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có
. (26.1) 2a2 (3a - b + c)2 + (b + c)2 2a2 (3a - b + c)2 + c2 + 2(b2 )
Do đó ta chỉ cần chứng minh được
23
+ (3b - c + a)2
). (26.2)
9(a2
+ b2
+ c2
(3a - b + c)2 Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức + (3c - a + b)2
+ b2 a2
ab + bc + ca , (26.3)
Sau khi triển khai và rút gọn, ta được + c2
là một kết quả khá quen thuộc.
Vì vậy, phép chứng minh của ta được hoàn tất.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Bài 27. Cho a, b, c là các số thực dương sao cho abc = 1. Chứng minh
+ + 1. (27) 1 1 + a + b2 1 1 + b + c2 1 1 + c + a2
, b = y3
và c = z3
. Ta phải chứng minh
Lời giải Đặt a = x3
+ + 1. (27.1) 1 + y6 1 + x3 1 + z6 1 + y3 1 + z6 1 + z3
Với x, y, z > 0 và xyz = 1.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có
+ y2
yz + z2 x2 )2 + z2
+ y6 )
z4 + x + 1 y2 = = . (27.2) (z2 z4 + x2 (x2 1 + y6 1 + x3 z4 + x + + x2 1 y2 )2 + y2 (1 + x3 z4 + x + 1 y2
Ta cần chứng minh
) (x2
+ y2
+ z2
)2
, (27.3)
∑(z4
x2 yz + z2 + x2 x2 + z2 z2 + y2
. (27.4)
y2
Hay xyz(x + y + z) x2
Đây là một kết quả quen thuộc.
Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
Nhận xét: Ngoài ra, kết quả tổng quát hơn vẫn còn đúng: Cho a, b, c là các số thực
dương thỏa mãn abc = 1. Khi đó với mọi k > 0, ta có
+ + 1. (27.5) 1 1 + a + bk 1 1 + b + ck 1 1 + c + ak
Bài 28. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có
+ + . (28) 1 abc 1 + b3 a3 + abc 1 + c3 b3 + abc 1 + a3 c3 + abc
Lời giải
24
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
Sử dụng tính thuần nhất, ta có thể chuẩn hóa cho abc = 1. Từ đó bất đẳng thức cần
chứng minh có thể được viết thành
+ 1
+ b3
1 + 1) a
1 1 + c2 + b a = = = . c a + b + c 1 + b3 a3 1 1 + c2 + b a (a + b + c)2 bc + ca + c2 (a + b + c)2 (a3 1 + c2 + b
(28.2)
Cộng tương ứng bất đẳng thức này với hai đánh giá tương tự, vế theo vế, ta suy ra
ngay kết quả cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
25
Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức
PHẦN III. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phan Huy Khải, 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức, tập 1, Nhà xuất bản Hà
Nội 1998
[2] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất bản Tri Thức, 2006
[3] Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Bất đẳng thức và những lời giải hay, Nhà
xuất bản Hà Nội 2009
[4] Trần Phương, Những viên kim cương trong bất đẳng thức Toán học, Nhà xuất
bản Tri Thức, 2009
[5] Wikipedia, Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, [Online:
http://vi.wikipedia.org/wiki/B%E1%BA%A5t_%C4%91%E1%BA%B#ng_th%E1%
BB%A9c_Cauchy-Schwarz].
26
