MỤC LỤC
Trang
Lời cam đoan ………………………………………………………………3
Lời mở đầu …………………………………………………………………4
CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Thặng dư bậc hai…….…………………………………………………..6
1.2. Biểu diễn số nguyên dương thành tổng của các bình phương................14
1.2.1. Biểu diễn số nguyên dương thành tổng hai số chính phương……14
1.2.2. Biểu diễn số nguyên dương thành tổng bốn số chính phương......16
1.3. Một số tính chất của liên phân số……………………………………….19
CHƢƠNG 2
MỘT SỐ LỚP PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN BẬC HAI
2.1. Phương trình dạng . ……………………………………......23
2.2. Phương trình dạng …………………………………….....31
2.3. Phương trình dạng ...………………………………………37
2.4. Phương trình dạng . ………………………………………...40
2.5. Phương trình dạng ………………………………...42
Trang 1
2.6. Phương trình dạng ……………………………………...43
CHƢƠNG 3
MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM
NGUYÊN BẬC HAI Ở PHỔ THÔNG
3.1. Phương pháp phân tích………………………………………………….45
3.2. Phương pháp sử dụng tính chất chia hết và chia có dư…………………48
3.3. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức……………………………………49
3.4. Phương pháp xuống thang (lùi vô hạn)…………………………………51
3.5. Phương pháp tham số…………………………………………………...53
3.6. Phương pháp quy nạp ….……………………………………………….54
Bài tập đề nghị ………………………………………………………………57
Hướng dẫn hoặc đáp số ……………………………………………………..58
KẾT LUẬN ………………………………………………………………...62
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………63
Trang 2
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn
Công Minh, luận văn chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp với đề tài:“ Một
số lớp phương trình nghiệm nguyên bậc hai ” được hoàn thành bởi sự nhận
thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luân văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2016
Tác giả
Hoàng Văn Năng
Trang 3
Lời mở đầu
Phương trình và bài toán với nghiệm nguyên là một đề tài lí thú của Số
học và Đại số, là một trong những dạng toán lâu đời nhất của Toán học.
Phương trình nghiệm nguyên được nghiên cứu từ thời Diophant thế kỉ
thứ III, nó vô cùng đa dạng và thường không có quy tắc giải tổng quát. Mỗi
bài toán, với số liệu riêng của nó, đòi hỏi một cách giải riêng. Thông qua việc
giải phương trình nghiệm nguyên, các nhà toán học đã tìm ra những tính chất
sâu sắc của số nguyên, số hữu tỉ, số đại số. Giải phương trình nghiệm nguyên
đã đưa đến sự ra đời của liên phân số, lý thuyết đường cong eliptic, lý thuyết
xấp xỉ Diophant, thặng dư bậc hai…
Trong các kì thi học sinh giỏi Tỉnh, Quốc gia, Quốc tế, phương trình
nghiệm nguyên vẫn thường xuyên xuất hiện dưới các hình thức khác nhau và
luôn được đánh giá là khó do tính không mẫu mực của nó.
Mục đích chính của luận văn là nêu ra một số lớp phương trình nghiệm
nguyên bậc hai và cách giải cho từng dạng. Bên cạnh đó luận văn cũng đưa ra
một số phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên bậc
hai ở phổ thông.
Nội dung của luận văn gồm ba chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Một số lớp phương trình nghiệm nguyên bậc hai.
Chương 3: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai ở
phổ thông.
Trang 4
Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của
PGS.TS Nguyễn Công Minh – Trường Đại học sư phạm Hà Nội. Thầy đã
dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt
quá trình làm luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy.
Tôi xin cảm ơn Sở Nội Vụ, Sở giáo dục và Đào tạo tỉnh Bắc Giang,
Trường THPT Phương Sơn, tổ Toán Tin trường THPT Phương Sơn đã tạo
điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học này.
Tôi xin gửi tới các thầy cô khoa Toán Tin, Phòng Sau Đại học & Quản
lí Khoa học Trường Đại học Thăng Long, cũng như các thầy giáo, cô giáo
tham gia giảng dạy khóa cao học 2014 – 2016 lời cảm ơn sâu sắc về công lao
dạy dỗ trong quá trình giáo dục, đào tạo của nhà trường.
Đồng thời tôi xin cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán CTM3-BG
Trường Đại học Thăng Long đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập
và làm luận văn này.
Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận văn thạc
sĩ nên chắc rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót,
tôi rất mong được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến của các thầy cô và độc giả
quan tâm đến luận văn này.
Hà Nội, tháng 05 năm 2016
Tác giả
Hoàng Văn Năng
Trang 5
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này trình bày các kiến thức cơ bản về thặng dư bậc hai bao
gồm: Kí hiệu Legendre và các tính chất, luật thuận nghịch bậc hai và áp dụng
trong việc tính kí hiệu Legendre (xem ). Trình bày các vấn đề về biểu diễn
một số nguyên dương thành tổng của hai số chính phương, tổng của bốn số
chính phương. Nêu ra một số tính chất cơ bản của liên phân số (xem ).
1.1. Thặng dƣ bậc hai
Định nghĩa 1.1. Giả sử p là số nguyên tố lẻ và a nguyên tố với p. Số được
gọi là một thặng dư bậc hai theo modulo nếu phương trình đồng dư
có nghiệm. Nếu ngược lại, ta nói là bất thặng dư bậc hai
modulo .
Bổ đề 1.1. Giả sử là số nguyên tố lẻ, là số nguyên không chia hết cho .
Khi đó phương trình đồng dư không có nghiệm, hoặc có đúng
hai nghiệm không đồng dư modulo
Định lý 1.1. Nếu là số nguyên tố lẻ, thì trong các số có đúng
thặng dư bậc hai theo modulo
Định nghĩa 1.2. Giả sử là số nguyên tố lẻ, là số nguyên không chia hết
cho . Kí hiệu Legendre được định nghĩa như sau:
i. nếu a là thặng dư bậc hai theo modulo p.
Trang 6
ii. nếu a là bất thặng dư bậc hai theo modulo p.
Định lý 1.2. (Tiêu chuẩn Euler) Giả sử là số nguyên tố lẻ, là số nguyên
dương không chia hết cho . Khi đó
.
Định lý 1.3. Giả sử là số nguyên tố lẻ, và là các số nguyên không
chia hết cho . Khi đó:
i. Nếu thì
ii.
iii.
Định lý 1.4. Nếu là số nguyên tố lẻ thì ta có:
i.
ii.
Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa các kí hiệu Legendre và
Trang 7
với p, q là các số nguyên tố lẻ. Định lý này thường được sử dụng trong việc
tính toán với các kí hiệu Legendre. Để chứng minh luật thuận nghịch bậc hai
ta dựa vào hai bổ đề sau đây.
Bổ đề 1.2. (Bổ đề Gauss) Giả sử là số nguyên tố lẻ, là số nguyên không
chia hết cho . Nếu là số các thặng dư bé nhất của các số nguyên
lớn hơn , thì
.
Chứng minh. Giả sử là các thặng dư dương nhỏ nhất lớn hơn và
là các thặng dư nhỏ nhất nhỏ hơn của các số Vì
, nên các thặng dư nhỏ nhất thuộc . Ta
sẽ chỉ ra rằng tập chính là tập
. Vì số đều nhỏ hơn
nên ta chỉ cần chứng tỏ rằng chúng không đồng dư nhau modulo p.
Hiển nhiên , nếu ; vì nếu và
không ta suy ra , hay , điều này không xảy ra
với mà . Tương tự ; vì nếu không thì
, điều này không xảy ra khi và .
Trang 8
Vậy thì
hay
Do
suy ra
.
Vì nên
.
Suy ra
Vậy
Trang 9
Bổ đề 1.3. Nếu là số nguyên tố lẻ và là số lẻ không chia hết cho thì
Chứng minh. Giả sử là các thặng dư dương nhỏ nhất lớn hơn và
là các thặng dư dương nhỏ nhất nhỏ hơn của các số a, 2a,...,
Ta có
,
trong đó là một hoặc .
Như vậy
Như trong chứng minh bổ đề Gauss đã chỉ ra rằng tập
cũng chính là tập , nên
Suy ra
Trang 10
,
hay
Vì lẻ nên suy ra
Vậy
Định lý 1.5. (Luật thuận nghịch bậc hai) Giả sử và là các số nguyên tố
lẻ khác nhau, khi đó
.
Chứng minh. Xét các cặp số nguyên với và .
Số các cặp nói trên là . Ta có với mọi cặp số .
Chia các cặp số nói trên thành hai nhóm. Nhóm thứ nhất gồm các cặp
, và nhóm thứ hai gồm các cặp số . mà mà
Trang 11
Ta thấy nhóm thứ nhất gồm các cặp số mà và .
Đối với mỗi cố định, , có đúng các số : .
Như vậy nhóm thứ nhất có số cặp là:
.
Tương tự nhóm thứ hai có các cặp số là:
.
Vậy
Theo bổ đề 1.2. ta suy ra
Luật thuận nghịch bậc hai thường được dùng để tính kí hiệu Legendre, cũng
chính là xét xem một số nguyên có là thặng dư bậc hai của số nguyên tố
hay không. Sau đây ta xét ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.1. Tính các kí hiệu Legendre sau: , , .
Trang 12
Lời giải. Theo luật thuận nghịch bậc hai ta có:
hay , mặt khác ta có
nên . Từ đó ta có .
Ta có
.
.
Theo luật thuận nghịch bậc hai ta có:
mà
.
còn nên theo luật thuận nghịch bậc hai ta Ta có
mà nên . có
.
Trang 13
1.2. Biểu diễn số nguyên dƣơng thành tổng của các bình phƣơng
1.2.1. Biểu diễn số nguyên dƣơng thành tổng hai số chính phƣơng
Bổ đề 1.4. Nếu p là số nguyên tố không có dạng 4k+3 thì có các số nguyên x,
y sao cho .
Chứng minh. Khi , ta có . Giả sử p là số nguyên tố dạng
4k+1. Do (-1) là thặng dư bậc hai mod p nên có số nguyên x, 0 < x < p để
với số nguyên k nào đó. Gọi m là số nguyên dương nhỏ nhất sao
cho phương trình có nghiệm nguyên x, y. Hiển nhiên là m < p, vì
.
Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng . Giả sử là . Gọi a, b là các số nguyên
sao cho với a x (mod m) và b y (mod m), ta có
(mod m).
Thế thì có số nguyên t sao cho . Suy ra
Từ đẳng thức
và a x (mod m), b y (mod m), ta có
(mod m)
(mod m)
Như vậy (ax+by)/m và (ay-bx)/m là các số nguyên và
Trang 14
Chúng ta còn phải chứng tỏ . Ta có kéo
theo . Vậy . Nếu , thì , kéo theo .
Thế thì . Nhưng , nên , hay , điều
này không xảy ra vì .
Định lý 1.6. Số nguyên dương n là tổng của hai số chính phương khi và chỉ
khi mỗi thừa số nguyên tố dạng của n xuất hiện với số mũ chẵn trong
khai triển n thành tích các thừa số nguyên tố.
Chứng minh. Giả sử ngược lại là có thừa số nguyên tố (mod 4) của n có
số mũ lẻ 2j+1 và . Đặt d = (x,y),a = x/d, b = y/d, , thì
(a,b) = 1 và . Giả sử là lũy thừa lớn nhất của p chia hết d. Thế
thì m chia hết cho với 2j-2k+1 là số nguyên dương, vậy p|m. Nhưng
vì nếu p|a thì , và điều này vô lý với (a,b) = 1. Gọi z là số
nguyên mà (mod p). Thế thì
(mod p).
Vì p|m nên . Nhưng nên , hay
và điều này không xảy ra khi (mod 4).
Giả sử phân tích của n không có thừa số nguyên tố dạng với số mũ lẻ.
Khi đó ta có trong đó u không có thừa số nguyên tố dạng .
Trang 15
Theo bổ đề 1.4. mỗi thừa số nguyên tố không có dạng , đều là tổng của
hai số chính phương và hệ thức
ta suy ra u là tổng của hai số chính phương. Giả sử , khi đó ta có
1.2.2. Biểu diễn số nguyên dƣơng thành tổng bốn số chính phƣơng
Bổ đề 1.5. Nếu m, n đều là tổng của bốn số chính phương thì tích mn cũng là
tổng của bốn số chính phương.
Chứng minh. Giả sử và . Ta có
Bổ đề 1.6. Nếu p là số nguyên tố thì có các số nguyên x, y, z, t sao cho
.
Chứng minh. Trường hợp hiển nhiên ta có
.
Trước hết ta chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lẻ thì có các số nguyên x, y, z
với sao cho . Vì (mod p) kéo theo
(mod p) nên các số là đôi một không đồng dư mod p.
Cũng vậy, các số đôi một không đồng dư mod p.
Trang 16
có cả thảy Vì số nên
sao cho . Gọi m là số nguyên dương nhỏ nhất có
sao cho phương trình có nghiệm nguyên (x; y; z; t).
Hiển nhiên m < p vì
Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng m = 1. Giả sử m > 1. Nếu m chẵn thì tất cả các số x,
y, z, t đều là số chẵn hoặc đều là số lẻ, hoặc hai trong chúng là số chẵn và hai
số còn lại là số lẻ. Như vậy, không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng :
và Khi đó các số
đều là các số nguyên và
điều này vô lý với giả thiết về tính nhỏ nhất của m.
Bây giờ giả sử m là số lẻ. Gọi a, b, c, d là các số nguyên sao cho:
(mod m), (mod m), (mod m), (mod m) và
Ta có
Trang 17
Do đó
với k là số nguyên nào đó.
Nhưng
nên . Nếu ta có cũng như (mod m).
Khi đó hay ; và điều này không xảy ra vì . Thế thì
. Ta có
Theo định lý 1.8. ta có
Từ (mod m), (mod m), (mod m), (mod m) ta có
(mod m)
(mod m)
(mod m)
(mod m).
Suy ra ;
; là các số nguyên.
Trang 18
Ta có
,
và điều này vô lý với giả thiết về tính nhỏ nhất của m.
Định lý 1.7. Mọi số nguyên dương đều là tổng của bốn số chính phương.
Chứng minh. Khi là hiển nhiên. Khi thì n là tích của các số nguyên
tố. Theo bổ đề 1.5. và bổ đề 1.6. ta suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.2. Biểu diễn thành tổng các số chính phương:
a. Số 5825 thành tổng của hai số chính phương.
b. Số 299 thành tổng của bốn số chính phương.
Lời giải.
a. Ta có
b. Ta có
1.3. Một số tính chất của liên phân số
Định nghĩa 1.3. Cho là số nguyên, còn là các số nguyên
dương. Khi đó đại lượng được kí hiệu như sau:
Trang 19
gọi là liên phân số hữu hạn có độ dài . Với mỗi ,
được gọi là giản phân thứ của liên phân số đã cho.
Định nghĩa 1.4. Cho là dãy vô hạn các số nguyên với
Với mỗi đặt . Khi đó tồn tại giới hạn
.
Ta gọi số là giá trị của liên phân số vô hạn , và kí hiệu
.
Định nghĩa 1.5. Ta gọi liên phân số vô hạn là tuần hoàn
nếu dãy tuần hoàn kể từ một chỉ số nào đó tức là: Tồn tại các số nguyên
dương m và k sao cho với mọi ta có số nguyên dương k
được gọi là chu kì của liên phân số . Khi đó ta viết
Tính chất 1. Mỗi số hữu tỷ đều có thể biểu diễn dưới dạng một liên phân số
hữu hạn.
Trang 20
Tính chất 2. Cho liên phân số hữu hạn . Giả sử hai dãy số
nguyên dương và được xác định như sau:
Khi đó giản phân thứ , được cho bởi công thức:
, thì Tính chất 3. Với mọi
là dãy giản phân của liên phân số hữu hạn độ Tính chất 4. Giả sử
dài : . Khi đó ta có mối liên hệ sau:
với
với .
Tính chất 5. Với các giản phân của liên phân số hữu hạn
ta có các dãy bất đẳng thức sau:
1)
2)
3) Mỗi giản phân lẻ đều lớn hơn dãy giản phân chẵn .
Trang 21
Tính chất 6. Với mọi thì (tức là và là nguyên
tố cùng nhau).
Tính chất 7. là một số vô tỷ. Ngược lại mỗi số vô tỷ đều
biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng một liên phân số vô hạn.
Tính chất 8. Với , mọi nguyên dương ta luôn có:
.
Tính chất 9. Số vô tỉ có biểu diễn liên phân số tuần hoàn khi và chỉ khi
nó là số vô tỉ bậc hai (tức là nghiệm của một tam thức bậc hai với hệ số
nguyên)
Tính chất 10. Nếu là số không chính phương thì biểu diễn liên phân số
của là tuần hoàn và có dạng với . Hơn
nữa dãy là đối xứng tức là .
Chẳng hạn biểu diễn liên phân số vô hạn của là :
Trang 22
CHƢƠNG 2. MỘT SỐ LỚP PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM
NGUYÊN BẬC HAI
2.1. Phƣơng trình dạng (với d là số nguyên dương).
Xét phương trình (2.1), trong đó d nguyên dương. Ta thấy nếu
(x;y) là một nghiệm của (2.1) thì (x;-y), (-x;y), (-x;-y) cũng là nghiệm của
(2.1). Vì vậy sau đây ta chỉ yêu cầu tìm nghiệm x, y nguyên dương. Phương
trình (2.1) có tên gọi là phương trình Pell loại 1 (xem ).
Bổ đề 2.1. Cho là số vô tỉ, khi đó tồn tại vô số cặp số nguyên dương (p; q):
Chứng minh. Theo tính chất của liên phân số vô hạn (trang 22, mục 1.3. tính
chất 8) ta có:
với .
Mà theo cách xác định , thì:
Vì thế với mọi k ta có:
Chọn , ta có:
Trang 23
Bổ đề 2.2. Tồn tại vô số cặp số nguyên dương sao cho:
Chứng minh. Thật vậy theo bổ đề 2.1, tồn tại vô số cặp số nguyên dương
sao cho:
Mà
Định lý 2.1. ( Điều kiện tồn tại nghiệm) Nếu d là số nguyên dương không
chính phương thì phương trình (2.1) có nghiệm nguyên dương.
Chứng minh. Giả sử d là số không chính phương. Từ bổ đề 2.1. tồn tại vô số
cặp số nguyên dương sao cho :
Đặt . Với mỗi số kí hiệu
Do đó tồn tại để . Suy ra tồn tại để
(mod ), (mod )
và
Trang 24
Xét tích
(2.2)
Vì
(mod )
(mod )
Vậy tồn tại sao cho
(2.3)
(2.4)
Từ (2.2), (2.3), (2.4) suy ra
;
Nhân vế với vế hai đẳng thức trên với nhau và chú ý rằng
ta được
Ta chứng minh . Rõ ràng . Nếu trái lại thì suy ra
Trang 25
Ta có mâu thuẫn. Vậy là nghiệm nguyên dương của (2.1).
Định lý 2.2. (Công thức nghiệm) Kí hiệu là nghiệm nhỏ nhất của
phương trình là nghiệm bất kì thì ) (nghĩa là nếu
Khi đó dãy số cho bởi
;
cho ta tất cả các nghiệm của phương trình (2.1).
Dãy nghiệm có thể xác định theo công thức truy hồi
Chứng minh. Ta có
(2.5)
Suy ra
.
Trang 26
Đảo lại giả sử (x ;y) là nghiệm bất kì của (2.1). Ta chứng minh tồn tại
để . Vì d không chính phương nên điều này tương đương tồn tại
để :
Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử trái lại
Khi đó tồn tại sao cho:
Nhân hai vế với ta được :
Do (2.5) ta có
. Do đó
Vậy
(2.6)
Ta có
Trang 27
Lại có nên . Hơn nữa và
nên . Vậy là nghiệm của
(2.1) do đó trái với (2.6).
Từ định lí trên ta thấy việc tìm nghiệm của phương trình (2.1) quy về việc tìm
nghiệm nhỏ nhất của nó. Cách đơn giản nhất là thử trực tiếp : Thay lần
lượt vào biểu thức cho tới khi nào được số chính phương
thì dừng lại. Vì phương trình (2.1) có nghiệm nên chắc chắn quá trình này sẽ
dừng lại sau b phép thử. Khi đó nghiệm nhỏ nhất là với
Tuy nhiên nếu nghiệm nhỏ nhất (a;b) với b lớn thì cách thử này không khả
thi. Chẳng hạn với phương trình thì nghiệm nhỏ nhất là :
Sau đây ta sẽ trình bày một thuật toán sử dụng liên phân số để tìm nghiệm
nhỏ nhất của phương trình (2.1).
Định lý 2.3. Cho phương trình (2.1)
+ Biểu diễn thành liên phân số
+ Nếu chu kì n là số chẵn ta tính giản phân thứ
Trang 28
Khi đó là nghiệm nhỏ nhất của (2.1).
+ Nếu chu kì n là số lẻ ta tính giản phân thứ
Khi đó là nghiệm nhỏ nhất của (2.1).
Ví dụ 2.1. Giải các phương trình nghiệm nguyên dương sau:
a.
b.
Lời giải.
a. Bằng cách thế vào ta thấy:
loại. Với
loại. Với
loại. Với
loại. Với
nên x = 24. Với
Suy ra nghiệm nhỏ nhất của phương trình là (24; 5).
Trang 29
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình được xác định bởi công thức:
Hoặc theo hệ thức truy hồi sau:
với
b. Biểu diễn liên phân số của
Suy ra . Trong đó chính là chiều dài của
chu kì liên phân số của . Vậy ta tính giản phân
Trang 30
Suy ra nghiệm nhỏ nhất của phương trình là (8;3).
Vậy tập hợp nghiệm nguyên dương của phương trình được xác định
bởi công thức:
2.2. Phƣơng trình dạng (với d là số nguyên dương).
Xét phương trình (2.7), trong đó d nguyên dương. Ta thấy nếu
(x;y) là một nghiệm của (2.7) thì (x;-y), (-x;y), (-x;-y) cũng là nghiệm của
(2.7). Vì vậy ta cũng chỉ yêu cầu tìm nghiệm x,y nguyên dương của phương
trình. Phương trình (2.7) có tên gọi là phương trình Pell loại 2.
Định lý 2.4. Điều kiện cần để (2.7) có nghiệm là d không là số chính phương
và d không có ước nguyên tố dạng .
Chứng minh. Nếu thì (2.7) trở thành
Vì nên suy ra
Vậy (2.7) không có nghiệm (nguyên dương).
Nếu d có ước nguyên tố dạng , giả sử là nghiệm. Khi đó
.
Trang 31
Điều này vô lý vì thì
Định lý 2.5. Nếu là số nguyên tố thì (2.7) có nghiệm khi và chỉ khi
hoặc .
Chứng minh. Nếu (2.7) có nghiệm thì từ định lý 2.4. suy ra hoặc
Đảo lại nếu thì phương trình có nghiệm .
Xét và phương trình là nghiệm phương Gọi
trình , tức là . Nếu a chẵn thì b lẻ do đó
.
Mâu thuẫn vì một số chính phương khi chia cho 4 chỉ có thể dư 0,1. Vậy a lẻ
và b chẵn. Đặt , ta có
Do p nguyên tố và nên hoặc
Nếu . Vậy (u;v) là nghiệm của
phương trình
Nếu . Vậy (v;u) là nghiệm của phương trình
Suy ra . Mâu thuẫn.
Trang 32
Định lý 2.6. Gọi (a;b) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình
Khi đó (2.7) có nghiệm khi và chỉ khi hệ phương trình
(2.8)
có nghiệm nguyên dương.
Hơn nữa nếu hệ trên có nghiệm nó sẽ có nghiệm duy nhất. Nghiệm duy nhất
này chính là nghiệm nhỏ nhất của (2.7).
Chứng minh. Giả sử (2.7) có nghiệm. Gọi là nghiệm nhỏ nhất của
(2.7). Đặt . Ta chứng minh do đó
chính là nghiệm của (2.8).
Ta có là nghiệm của phương trình nên
Suy ra . Ta có
Dễ thấy . Do là nghiệm của (2.7) nên
Trang 33
Đảo lại giả sử (u;v) là nghiệm hệ phương trình (2.8). Ta có
hoặc
Nếu thì (u;v ) là nghiệm của do đó
Mâu thuẫn. Vậy do đó (2.7) có nghiệm .
Tiếp theo ta chứng minh là nghiệm nhỏ nhất của (2.7). Giả sử là
nghiệm nhỏ nhất của (2.7). Theo chứng minh trên ta có
Định lý 2.7. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi trong biểu
diễn thành liên phân số chu kì n là số lẻ. Trong
trường hợp đó là nghiệm nhỏ nhất của phương trình.
Ở đó là giản phân thứ .
Định lý 2.8 (Công thức nghiệm) Giả sử phương trình có
nghiệm. Gọi là nghiệm nhỏ nhất của nó. Khi đó dãy cho bởi
Trang 34
cho ta tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình.
Chứng minh. Giả sử cho bởi công thức trên. Khi đó
Giả sử là một nghiệm của (2.7). Ta có
ở đó
Vậy là nghiệm của phương trình . Gọi là nghiệm nhỏ
nhất của nó. Theo công thức nghiệm của phương trình (2.1) và định lý 2.7.
tồn tại sao cho:
Trang 35
Ta gọi phương trình là phương trình liên kết của phương trình
.
Ví dụ 2.2. Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
a.
b.
Lời giải.
a. Xét phương trình ta tìm được nghiệm nhỏ nhất của phương
trình là (649;180).
Hệ phương trình có nghiệm nghiệm duy nhất (18;5).
Suy ra (18;5) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình đã cho và tập hợp nghiệm
của phương trình đã cho là , xác định bởi công thức:
với
b. Phương trình có nghiệm nhỏ nhất là (9;4).
Xét hệ phương trình giải hệ ta được nghiệm duy nhất (2;1).
Suy ra (2;1) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình đã cho và tập nghiệm của
phương trình đã cho là , xác định bởi công thức:
Trang 36
2.3. Phƣơng trình
Xét phương trình
). Bộ ba số nguyên dương (2.9) hay còn gọi là phương trình Pitago (xem thỏa mãn phương trình được gọi là bộ
ba Pitago. Bộ ba Pitago được gọi là nguyên thủy nếu . Sau
đây ta sẽ đi tìm tập hợp tất cả các bộ ba Pitago, nghĩa là tìm tất cả các nghiệm
nguyên dương của phương trình đã cho.
Bổ đề 2.3. Nếu là bộ ba Pitago nguyên thủy thì
và không cùng tính chẵn lẻ.
Chứng minh. Giả sử và là ước nguyên tố chung của thì
mâu thuẫn. Vậy tương tự có
.Vì nên không cùng chẵn. Nếu cùng lẻ
thì (mod 4) (mod 4) mâu thuẫn. Vậy không cùng tính
chẵn lẻ.
Định lý 2.9. Tập hợp tất cả các bộ ba Pitago được cho bởi:
hoặc
Trong đó và khác tính chẵn lẻ.
Trang 37
Chứng minh. Dễ thấy cho bởi công thức trên thì .
Ngược lại giả sử là bộ ba Pitago.
Trường hợp
Theo bổ đề 2.3. thì khác tính chẵn lẻ. Không giảm tính tổng quát giả sử x
lẻ, y chẵn do đó z lẻ. Ta có
Vì x,z lẻ nên thay vào phương trình
(2.9) ta được ta có . Theo bổ đề 2.3. có
suy ra . Vậy tồn tại m,n sao cho . Vậy
. (2.10)
Giả sử và là ước nguyên tố chung của hay thì
mâu thuẫn. Vậy vì lẻ nên khác
tính chẵn lẻ.
Trường hợp là bộ ba số Pitago bất kì:
theo (2.10): Đặt
Ví dụ 2.3. Giải các phương trình nghiệm nguyên dương sau :
a.
b.
Lời giải.
Trang 38
a. Rõ ràng cùng tính chẵn lẻ. Đặt , khi đó
.
Phương trình này có nghiệm là :
hoặc
với khác tính chẵn lẻ.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là :
b. Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương. Gọi
là nghiệm nguyên dương sao cho nhỏ nhất. Khi đó ta có:
+
Thật vậy gọi p là ước nguyên tố chung của . Ta có
Vậy cũng là
nghiệm của phương trình với . Điều này mâu thuẫn với
tính nhỏ nhất của .
+
Giả sử chẵn lẻ khi đó ta có
Trang 39
trong đó . Từ suy ra là bộ ba
Pitago nguyên thủy nên ta cũng có
trong đó . Đặt , từ ta có
. Lại có
Thay vào ta được
Vậy là nghiệm của phương trình với
. Mâu thuẫn với cách chọn . Vậy phương trình
không có nghiệm nguyên dương.
2.4. Phƣơng trình dạng (với n nguyên dương).
Xét phương trình với là số nguyên dương.
Nếu là số nguyên tố thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
với .
Nếu là hợp số thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi mọi ước nguyên tố
của dạng có lũy thừa chẵn trong phân tích tiêu chuẩn.
Ví dụ 2.4. Giải các phương trình nghiệm nguyên dương sau:
a.
Trang 40
b.
Lời giải.
a. Ta có
.
Do nên ta có
Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là: (97; 97); (7; 137); (137; 7).
b. Ta có
mà
.
Do đó
.
Mà
.
Mặt khác . Do đó
Trang 41
hoặc
Giải các hệ trên ta được nghiệm duy nhất của phương trình là : .
2.5. Phƣơng trình dạng (với )
Với mọi phương trình luôn có nghiệm nguyên.
Ví dụ 2.5. Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
a.
b.
Lời giải.
a. Ta nhận thấy 23 là số nguyên tố chỉ có một cách duy nhất biểu diễn thành
tổng của bốn bình phương là:
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm nguyên là: và các
hoán vị của chúng.
b. Ta thấy chỉ có đúng hai cách phân tích khác nhau thành tổng của bốn
bình phương đó là: .
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên là: và
các hoán vị của chúng.
2.6. Phƣơng trình dạng (với nguyên, là số nguyên tố).
Định lý 2.10. Phương trình (với n nguyên, p là số nguyên tố,
) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi là thặng dư bậc hai modulo .
Trang 42
Chứng minh. Ta có
Như vậy để chứng minh phương trình trên có nghiệm nguyên hoặc không có
nghiệm nguyên ta chỉ việc tính kí hiệu Legendre .
Nếu thì phương trình đã cho có nghiệm.
Nếu thì phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 2.6. Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
a.
b.
Lời giải.
a. Do 7 và 71 đều là số nguyên tố nên áp dụng luật thuận nghịch bậc hai ta
có :
Từ đó suy ra phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
b. Ta có
Như vậy phương trình đã cho có nghiệm và khi đó nó có đúng hai họ nghiệm.
Trang 43
Mà phương trình đồng dư này có hai
nghiệm là
Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm nguyên là :
và với
Trang 44
CHƢƠNG 3. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG
TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN BẬC HAI Ở PHỔ THÔNG
3.1. Phƣơng pháp phân tích
3.1.1. Đƣa về phƣơng trình ƣớc số
Đây là kĩ thuật cơ bản nhất trong giải phương trình nghiệm nguyên. Khi gặp
các phương trình nghiệm nguyên dạng đa thức, ta thường cố gắng thêm bớt
các hằng số để đưa về dạng A1.A2…An = c, với c là hằng số. Sau đó tìm hết
các khả năng phân tích ra thừa số của c. Đưa phương trình ban đầu về các hệ
đơn giản.
Ví dụ 3.1. Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
a. với x, y nguyên dương và p là số nguyên tố.
b.
c.
Lời giải. a. Ta có
.
Vì là số nguyên tố nên ước số nguyên của chỉ có thể là .
Hơn nữa do nên phương trình tương đương với
Trang 45
Vậy các nghiệm nguyên dương là :
b. Phương trình đã cho được viết dưới dạng
( với là số sẽ chọn sau)
Ta có
.
Vì ta chỉ quan tâm đến nghiệm nguyên của phương trình nên cần chọn sao
cho là bình phương nhị thức. Vì vậy chọn , khi đó phương trình có
dạng :
Vậy phương trình có nghiệm nguyên là :
c. Ta có
Do 2011 là số nguyên tố nên ước nguyên của 2011 chỉ có thể là
Từ đó suy ra các nghiệm nguyên (x ;y) của phương trình là : (1006; 1005);
(1006; -1005); (-1006; -1005); (-1006; 1005).
Trang 46
3.1.2. Tách giá trị nguyên
Phương pháp này thường áp dụng đối với những phương trình có thể biểu
diễn dễ dàng một ẩn theo các ẩn còn lại. Khi đó thường sử dụng tính chất
sau : Nếu và thì .
Ví dụ 3.2. Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
a.
b.
Lời giải.
a. Ta có
Nếu phương trình không nghiệm đúng.
Nếu phương trình có dạng suy ra hay
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên là:
b.
nên suy ra Do nên để Vì
hay thì
Trang 47
loại và .
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên là: .
3.2. Phƣơng pháp sử dụng tính chất chia hết và chia có dƣ
Nội dung chính của phương pháp này chính là xét số dư từng vế của một
phương trình. Nếu hai vế của phương trình cùng chia cho một số mà được hai
số dư khác nhau thì phương trình đó không có nghiệm nguyên. Phương pháp
này tỏ ra rất hiệu quả khi cần chứng minh một phương trình nghiệm nguyên
vô nghiệm.
Ví dụ 3.3. Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
. a.
. b.
c.
Lời giải.
a. Do nguyên nên ; , với là các số
Vì thế với mọi nguyên ta có . Ở đây là các số
. Mà . Vậy phương trình trên không có nghiệm nguyên.
b. Ta có:
Trang 48
suy ra Chỉ có thể xảy ra trường Ta thấy
với . Khi đó hợp:
Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho. Vậy tập
nghiệm của phương trình là với là số nguyên tùy ý.
c. Ta có
Ta thấy (mod 2) nên phương trình có nghiệm nguyên nếu:
suy ra lẻ. Mặt khác có nên chỉ có thể khi đó
ta được . Vậy phương trình đã cho có các nghiệm
là:
3.3. Phƣơng pháp sử dụng bất đẳng thức
Trong khi giải các phương trình nghiệm nguyên rất cần đánh giá miền giá trị
của các biến, nếu số giá trị mà biến số có thể nhận không nhiều thì ta có thể
dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra. Để đánh giá được miền giá trị
của biến số cần vận dụng linh hoạt các tích chất chia hết, đồng dư, bất đẳng
thức…
Ví dụ 3.4. Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
a.
Trang 49
b.
c.
d.
Lời giải.
a. Ta có
.
Suy ra và là số chính phương. Do đó hay
. Từ đó ta có các nghiệm nguyên của phương trình là :
b. Ta có
Khi đó
.
Phương trình có nghiệm nguyên nếu:
.
Do nên . Thay lần lượt các gí trị của vào phương
trình và tìm ta được các nghiệm nguyên của phương trình đã cho là: (0;0);
(7; 5); (5; 5)
c. Ta có
Trang 50
Ta thấy
Thay vào phương trình tìm và thử lại ta được tập nghiêm của phương trình
là :
d. Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số và ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy phương trình có nghiệm
nguyên là
3.4. Phƣơng pháp xuống thang ( lùi vô hạn )
Phương pháp này dùng để chứng minh một phương trình nào
đó ngoài nghiệm tầm thường thì không còn nghiệm nào
khác. Phương pháp này được diễn giải như sau : Bắt đầu bằng việc giả sử
là nghiệm của phương trình . Nhờ những biến
đổi; suy luận số học ta tìm được một bộ nghiệm khác có quan hệ
với bộ nghiệm đầu tiên bởi một tỉ số nào đó chẳng hạn
Rồi lại tìm được bộ nghiệm thỏa mãn Quá
trình cứ tiếp tục dẫn đến chia hết cho với là một số tự nhiên
tùy ý. Điều này xảy ra khi và chỉ khi .
Ví dụ 3.5. Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:
a.
Trang 51
b.
Lời giải.
a. Gọi là một nghiệm của phương trình trên tức là : .
Do nên ta suy ra . Mà ,
và nên khi và chỉ khi
. Đặt ta được .
Rõ ràng , đặt ta được . Từ đó nếu
là một nghiệm của phương trình trên thì cũng là một
nghiệm. tiếp tục lý luận trên thì đều chia hết cho 3. Ta lại tìm được
nghiệm tiếp theo là với
dẫn đến: đều chia hết cho với đều chia hết cho 3. Tiếp tục và tùy ý. Điều này xảy ra khi và chỉ
khi . Vậy phương trình đã cho có nghiêm nguyên duy nhất là:
b. Giả sử là nghiệm của phương trình .
Ta có đặt thì .
Suy ra đặt . Vậy nếu là nghiệm của
phương trình đã cho thì cũng là nghiệm của phương trình đã cho.
Cứ tiếp tục lập luận như vậy ta được với nguyên dương bất kì
cũng là nghiệm của phương trình. Điều này xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Trang 52
3.5. Phƣơng pháp tham số
Phương pháp này thường được áp dụng đối với những phương trình có vô số
nghiệm nguyên mà các nghiệm nguyên của nó cùng phụ thuộc vào một hay
một số tham số.
Ví dụ 3.6. Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình sau:
a.
b.
Lời giải.
a. Ta có thể giả sử . Thật vậy, nếu bộ ba số thỏa mãn
phương trình và có ước chung lớn nhất là . Giả sử
cũng là nghiệm của phương trình. thì
Với , từ phương trình ta suy ra đôi một nguyên tố cùng
nhau, vì nếu hai trong ba số có ước chung là thì số còn lại cũng chia hết
cho . Từ mà nên . Suy ra
do đó . Vậy ta có với là số nguyên
dương tùy ý sao cho .
Thử lại thấy bộ số nguyên dương có dạng trên là nghiệm.
Vậy tập hợp tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình là :
với là số nguyên dương tùy ý sao cho .
Trang 53
b. Ta có (Vì nguyên dương).
Đặt , ta có với . Khi đó , do
đó từ ta suy ra tức là với .
Do đó nghiệm của phương trình được cho bởi :
, với
Ví dụ 3.7. Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm
nguyên.
Lời giải. Ta thấy với có ngay . Chọn , phương
trình đã cho có vô hạn nghiệm nguyên có dạng:
.
Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên.
3.6. Phƣơng pháp quy nạp
Đây là phương pháp tỏ ra rất hiệu quả khi ta cần chứng minh một phương
trình nào đó có nghiệm nguyên ( hoặc có ít nhất nghiệm nguyên hoặc có
không quá nghiệm nguyên). Phương pháp quy nạp được sử dụng đối với
những phương trình chứa tham số tự nhiên.
Ví dụ 3.8. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương thì phương trình
(3.1)
có ít nhất nghiệm tự nhiên.
Trang 54
Lời giải. Gọi là mệnh đề phương trình (3.1) có ít nhất nghiệm tự
nhiên.
Với thì là nghiệm của phương trình (3.1).
Với thì phương trình (3.1) có hai nghiệm là và .
Vậy , đúng. Ta thấy, nếu là nghiệm của phương trình (3.1)
thì là nghiệm của phương trình
(3.2)
Giả sử đúng với và (3.1) có ít nhất một nghiệm lẻ , tức là
và lẻ. Khi đó phương trình (3.2) có nghiệm mà cả và đều chẵn. Ta
chỉ cần chứng minh (3.2) có ít nhất một nghiệm với , lẻ.
Thật vậy, ta có
Mặt khác
Mà lẻ nên trong hai số trên phải có đúng một số lẻ, giả sử là
Khi đó
lẻ.
Suy ra là một nghiệm tự nhiên lẻ của (3.2).
Trang 55
Vậy (3.2) có ít nhất nghiệm tự nhiên hay đúng.
Ví dụ 3.9. Chứng minh rằng với , phương trình
(3.3)
có ít nhất một nghiệm nguyên dương với và đều lẻ.
Lời giải. Với , phương trình (3.3) có nghiệm Giả sử (3.3)
có nghiệm nguyên dương lẻ khi . Ta chứng minh
phương trình (3.3) có nghiệm nguyên dương lẻ khi
Thật vậy, ta có
mà
Do đó là các nghiệm nguyên dương của phương trình (3.3)
khi Mặt khác
lẻ.
Trong hai số trên có đúng một số lẻ, giả sử là Lại có
chẵn nên lẻ.
Do đó phương trình (3.3) có ít nhất một nghiệm nguyên dương lẻ khi
Trang 56
Bài tập đề nghị
Bài 1. Tìm tất cả số nguyên tố p để phương trình có nghiệm
nguyên dương.
Bài 2. Cho p là một số nguyên tố lẻ biện luận theo p số nghiệm của phương
trình
Bài 3. Giải phương trình nghiệm nguyên sau :
a.
b.
Bài 4. Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình sau:
a.
b.
c.
Bài 5. Tìm nghiệm nguyên của phương trình các phương trình
a.
b.
c.
Bài 6. Giải phương trình nghiệm nguyên
a.
với x, y nguyên dương. b.
Trang 57
Bài 7. Tìm tất cả các số nguyên tố p để phương trình có
nghiệm nguyên.
Bài 8. Tìm tất cả các số nguyên dương n để phương trình có
nghiệm nguyên dương.
Bài 9. Chứng minh rằng với , phương trình
Có ít nhất nghiệm nguyên dương
Bài 10. Chứng minh rằng phương trình
luôn có nghiệm nguyên dương với mọi số nguyên dương .
Hƣớng dẫn hoặc đáp số
Bài 1. Nếu phương trình có nghiệm nguyên dương thì Vì x lẻ
nên Suy ra tồn tại Ngược lại, giả sử
Giả sử n chẵn, Vì m lẻ nên
Từ đó
Bài 2. Nếu p = 3 thì hiển nhiên phương trình đã cho có nghiệm
Trang 58
Nếu tacó
Từ đó suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi và
khi đó nó có đúng hai họ nghiệm.
Bài 3. a.
Phương trình đã cho có nghiệm. Mà phương trình đồng dư có
hai nghiệm là: Vậy phương trình đã cho có
hai họ nghiệm là: ;
b. Phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 4. a. Phương trình vô nghiệm.
b. Phương trình vô nghiệm.
c.
Bài 5. a. (1;4); (4;1); (-3;-6);(-6;-3); (0;9); (9;0); (-2;-11); (-11;-2).
b. (0;52); (-1;-56).
c. (0;0); (-12;0); (-16;8); (4;8); (4;-8).
Bài 6. a. (2;-8); (2;2); (0;-4); (0;2); (-2;6); (-2;-4).
b. (19;4); (8;6); (4;14); (3;36).
Trang 59
Bài 7. Giả sử phương trình có nghiệm Vì p lẻ nên y lẻ, do đó lẻ
suy ra Vì y lẻ nên Do đó
Đảo lại, giả sử Khi đó tồn tại
Giả sử m lẻ, n chẵn y phải lẻ vì nếu
không Đặt Ta có
Bài 8. Ta thấy phương trình có nghiệm Nếu n không chia
hết cho 3 và có dạng thì là nghiệm.
Đảo lại, giả sử phương trình có nghiệm và n không chia hết cho 3. Ta chứng
minh n có ước nguyên tố dạng
Nếu tất cả các ước nguyên tố của n có dạng thì n có dạng và khi
đó có dạng và do đó có ước nguyên tố dạng . Vậy p
không là ước của n do đó không là ước của Mâu thuẫn.
Bài 9. Dùng phương pháp quy nạp ( xem ví dụ 3.9).
Bài 10. Với , ta có là một nghiệm nguyên dương của
phương trình.
Với , ta có là một nghiệm nguyên dương của
phương trình.
Trang 60
Với ta xây dựng bộ số nguyên dương như sau :
Khi đó ta có
Từ đó ta có
+ Nếu và là số lẻ tức thì
là một nghiệm nguyên dương của phương trình.
+ Nếu và là số chẵn tức thì
là một nghiệm nguyên dương của phương trình.
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm nguyên dương với mọi số nguyên
dương
Trang 61
KẾT LUẬN
Trong luận văn này tôi đã hoàn thành được những việc sau:
Trình bày những kiến thức cơ bản về thặng dư bậc hai, biểu diễn số nguyên
dương thành tổng của hai, của bốn số chính phương, một số tính chất cơ bản
của liên phân số. Trình bày một số lớp phương trình nghiệm nguyên bậc hai.
Cuối cùng đã nêu ra một số phương pháp thường được sử dụng để giải
phương trình nghiệm nguyên bậc hai ở phổ thông.
Những năm gần đây vẫn có nhiều kết quả mới đạt được trong quá trình
nghiên cứu các phương trình nghiệm nguyên khác nhau. Hướng phát triển tiếp
theo của đề tài là nghiên cứu tiếp những phương trình nghiệm nguyên bậc hai
mà hiện nay chưa có lời giải cụ thể.
Trang 62
TÀI LIỆU THAM KHẢO
. Vũ Hữu Bình (2014), 9 chuyên đề số học trung học cơ sở, NXB Giáo dục
Việt Nam, Hà Nội.
. Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2002), Số học thuật toán, NXB Đại học
Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.
. Đàm Văn Nhỉ, Đặng Đình Hanh, Lưu Bá Thắng (2014), Các chuyên đề
bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 9, NXB Giáo dục Việt Nam, Hà Nội.
. Phạm Minh Phương, Trần Văn Tấn, Nguyễn Thị Thanh Thủy (2014),
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán trung học cơ sở - Số học, NXB Giáo dục Việt
Nam, Hà Nội.
. Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Văn Ngọc, Vũ Kim Thủy (2010), Bài giảng
số học, NXB Giáo dục Việt Nam, Hà Nội.
. Dương Quốc Việt, Đàm Văn Nhỉ (2014), Cơ sở lí thuyết số và Đa thức,
NXB Đại học sư phạm, Hà Nội.
Trang 63
