Lời cảm ơn
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đối với người thầy
của mình, TS Vũ Đình Phượng, người đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình
hướng dẫn, chỉ bảo để tôi có thể hoàn thành luận văn này đồng thời cũng
mong muốn được học hỏi thầy nhiều hơn nữa.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Ban giám hiệu, Phòng
đào tạo sau Đại học trường Đại học Thăng Long cùng quý thầy cô tham gia
giảng dạy khóa học đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình
học tập và nghiên cứu để tác giả hoàn thành khóa học và hoàn thành bản luận
văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả
Thân Thị Nguyệt Ánh
1
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS Vũ Đình
Phượng, luận văn chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp với đề tài: “ Những
dạng toán phương trình, bất phương trình vô tỉ thường gặp trong trường
trung học phổ thông” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản
thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả
Thân Thị Nguyệt Ánh
2
Mục lục
Trang
Mở đầu…………………………………………………………………… 5
Chƣơng 1. PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT
PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ………………………………………………. 7
1.1. Phương pháp giải phương trình vô tỉ………………………………. 7
1.1.1. Phương pháp biến đổi tương đương……………………………….. 7
1.1.2. Phương trình vô tỉ thường gặp…………………………………….. 8
1.1.3. Phương pháp biến đổi thành phương trình tích.…………………… 10
1.1.4. Phương pháp nhân lượng liên hợp…………………………………. 12
1.1.5. Phương pháp đặt ẩn phụ…………………………........................... 20
1.1.6. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số…………………………………. 38
1.1.7. Phương pháp đánh giá…………………............................................ 42
1.2. Phương pháp giải bất phương trình vô tỉ…………………………... 45
1.2.1. Phương pháp biến đổi tương đương.……………………………….. 45
1.2.2. Sử dụng phương pháp chia khoảng và tách căn……………………. 48
1.2.3. Giải bất phương trình bằng cách đưa về dạng tích hoặc thương… 50
1.2.4. Phương pháp nhân lượng liên hợp…………………………………. 52
1.2.5. Phương pháp đặt ẩn phụ …………………………………………… 54
1.2.6. Phương pháp hàm số………………………………………………. 56
1.3. Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ có
chứa tham số………………………………………………………. 58
1.3.1. Phương pháp biến đổi tương đương………………………………. 58
1.3.2. Phương pháp đặt ẩn phụ…………………………………………… 60
1.3.3. Sử dụng định lí Lagrange………………………………………….. 61
1.3.4. Phương pháp điều kiện cần và đủ…………………………………. 62
1.3.5. Phương pháp hàm số………………………………………………. 63
1.4. Một số phương trình, bất phương trình vô tỉ giải bằng nhiều cách
khác nhau………………………………………………………….. 69
3
Chƣơng 2. MỘT SỐ SAI LẦM THƢỜNG GẶP CỦA HỌC SINH
KHI GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ……… 75
2.1. Sai lầm trong biến đổi làm thừa nghiệm của phương trình, bất
phương trình……………………………………………………………… 75
2.2. Sai lầm trong biến đổi làm thiếu nghiệm của phương trình, bất
phương trình………………………………………………………………. 80
2.3. Sai lầm trong biến đổi vừa làm thừa nghiệm vừa làm thiếu nghiệm
của phương trình…………………………………………………………. 85
Chƣơng 3. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP XÂY DỰNG PHƢƠNG
TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ……………………………… 87
3.1. Xây dựng phương trình vô tỉ từ hệ phương trình đối xứng loại hai.. 87
3.2. Xây dựng phương trình, bất phương trình vô tỉ dựa vào phương
trình đã biết cách giải……………………………………………… 88
3.3. Xây dựng phương trình, bất phương trình vô tỉ dựa vào phương
trình tích…………………………………………………………… 91
3.4. Xây dựng phương trình, bất phương trình vô tỉ từ các hằng đẳng
thức………………………………………………………………… 92
3.5. Xây dựng phương trình, bất phương trình vô tỉ dựa vào tính đơn
điệu của hàm số……………………………………………………. 95
3.6. Xây dựng phương trình, bất phương trình vô tỉ dựa vào phương
trình lượng giác……………………………………………………. 97
3.7. Xây dựng phương trình, bất phương trình vô tỉ dựa vào nghiệm
chọn sẵn và phương pháp nhân lượng liên hợp……………………. 99
3.8. Xây dựng phương trình, bất phương trình vô tỉ bằng cách sử dụng
hàm ngược…………………………………………………………. 101
Kết luận…………………………………………………………………... 103
Tài liệu tham khảo………………………………………………………. 104
4
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Phương trình, bất phương trình vô tỉ là đề tài lí thú của Đại số, đã lôi
cuốn nhiều người say mê nghiên cứu và tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay,
ý tưởng phong phú và tối ưu. Chính vì vậy mà các bài toán về phương trình,
bất phương trình vô tỉ thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi
và kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng.
Bên cạnh đó, học sinh phải đối mặt với nhiều dạng toán phương trình, bất
phương trình vô tỉ mà các cách giải chưa được hệ thống một cách đầy đủ
trong sách giáo khoa (phương pháp hàm số, phương pháp nhận xét – đánh giá,
phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp lượng giác…), đồng thời các em
thường xuyên gặp phải một số sai lầm khi giải các bài toán dạng này. Việc chỉ
ra các sai lầm thường gặp của học sinh, phân loại và tổng hợp các dạng bài
tập nhằm phát triển năng lực cho mọi đối tượng học sinh, tìm ra các phương
pháp giải hay cũng như ý tưởng xây dựng các phương trình, bất phương trình
vô tỉ là mối quan tâm của không ít người. Để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và
học tập tác giả đã lựa chọn đề tài: “ Những dạng toán phương trình, bất
phương trình vô tỉ thường gặp trong trường trung học phổ thông” làm đề tài
nghiên cứu cho luận văn.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nhằm nghiên cứu các phương pháp giải phương trình, bất phương
trình vô tỉ. Dựa vào cách giải, đưa ra một số hướng để xây dựng phương trình
bất phương trình vô tỉ. Đồng thời hạn chế các sai lầm thường gặp của học sinh
khi giải các dạng toán trên.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các phương trình, bất phương trình vô tỉ trong chương trình
trung học phổ thông.
5
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Phương trình, bất phương trình vô tỉ và các phương pháp giải. Từ đó có
thể đưa ra nhiều cách khác nhau để giải một phương trình hay bất phương
trình vô tỉ.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp chủ yếu để thực hiện luận văn này là thu thập tài liệu, các
nguồn tài liệu này tôi thu thập được từ: các giáo trình, sách tham khảo, tạp chí
chuyên ngành, các website chuyên ngành. Sau khi thu thập tài liệu, tôi tiến
hành tổng hợp, phân tích tài liệu để phù hợp với mục đích nghiên cứu.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba
chương:
Chương 1: Phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ
Chương 2: Sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình, bất phương
trình vô tỉ.
Chương 3: Một số phương pháp xây dựng phương trình, bất phương trình vô
tỉ
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều và nghiêm túc trong suốt quá trình nghiên
cứu, nhưng do thời gian và trình độ hạn chế nên kết quả đạt được trong luận
văn còn rất khiêm tốn và không tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy tác giả mong
nhận được ý kiến đóng góp, chỉ bảo của quý thầy cô, các anh chị đồng nghiệp
để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà nội 2016
6
CHƢƠNG 1
PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG
TRÌNH VÔ TỈ
1.1. Phƣơng pháp giải phƣơng trình vô tỉ
1.1.1. Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng
Nội dung chính của phương pháp này là thực hiện lũy thừa hai vế với
số mũ phù hợp
Ta thường sử dụng các phép biến đổi tương đương sau:
Dạng 1: Dạng 2:
Dạng 3: Dạng 4:
Ví dụ 1.1. Giải phương trình (1)
Phân tích: Biến đổi phương trình về dạng , sau đó bình phương 2 vế
ta thu được một phương trình bậc hai.
Lời giải:
(1)
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 1.2. Giải phương trình (2)
Phân tích: Phương trình có dạng cơ bản
Lời giải: (2) hoặc
7
hoặc
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là
1.1.2. Phƣơng trình vô tỉ thƣờng gặp
(1) Dạng 1:
Bước 1: Đặt điều kiện xác định
Bước 2: Chuyển vế để hai vế đều không âm tức là: (1.1)
Bước 3: Bình phương hai vế phương trình (1.1) ta có:
.
Dạng 2: (2)
Bước 1: Lập phương hai vế phương trình (2) thu được:
(2.1)
Bước 2: Thế vào (2.1) ta thu được phương trình hệ quả
(2.2)
Bước 3: Kiểm tra lại nghiệm.
Dạng 3: với hoặc
Bước 1: Đặt điều kiện xác định
Bước 2: Biến đổi phương trình
(3.1)
Chú ý: Biến đổi từ các phương trình (2.1) sang (2.2) và từ (3) sang (3.1) là
các biến đổi hệ quả, do đó khi giải xong ta cần thay thế nghiệm trở lại phương
trình đề bài để kiểm tra nhằm tránh thu được nghiệm ngoại lai.
Ví dụ 1.3. Giải phương trình (3)
8
Phân tích: Biến đổi phương trình về dạng sau đó bình
phương 2 vế đưa về giải phương trình bậc hai.
Lời giải: Điều kiện xác định
(3)
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là
Ví dụ 1.4. Giải phương trình (4)
Phân tích: Phương trình có dạng với cụ
thể: nên ta biến đổi phương trình thành
sau đó bình phương hai vế ta thu được phương trình hệ
quả. Do đó sau khi tìm được các nghiệm ta cần thay thế nghiệm vào phương
trình đề bài để nhận nghiệm thích hợp.
Lời giải: Điều kiện xác định
(4)
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là
Ví dụ 1.5. Giải phương trình (5)
Phân tích: Biến đổi phương trình đưa về dạng cơ bản sau đó
lập phương hai vế và thường sử dụng hằng đẳng thức
, rồi thay thế vào phương trình
9
thu được sau khi lập phương và giải phương trình hệ quả dạng
Lời giải: Tập xác định
(5)
(5.1)
Thế vào (5.1), suy ra:
Thử lại: Thay và vào phương trình (5) đều không thỏa mãn.
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là
1.1.3. Phƣơng pháp biến đổi thành phƣơng trình tích
Nội dung chính của phương pháp này là sử các phép biến đổi, kết hợp
với việc tách, ghép, nhóm để đưa phương trình đã cho về dạng tích các
phương trình đơn giản hơn và đã biết cách giải.
Ví dụ 1.6. Giải phương trình (6)
Phân tích: Sử dụng phân tích và ghép từng cặp
lại với nhau sẽ xuất hiện nhân tử chung và đưa được về phương trình tích số.
Lời giải: Tập xác định
(6)
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là
10
Ví dụ 1.7. Giải phương trình (7)
Phân tích: Sau khi đặt điều kiện xác định, ta bình phương hai vế và dễ dàng
khử được các căn thức.
Lời giải: Điều kiện xác định
(7)
Kết luận: Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có tập nghiệm là
(8) Ví dụ 1.8. Giải phương trình
và Phân tích: Ta nhận thấy
từ đó ta có cách giải sau.
Lời giải: Điều kiện xác định
(*) (8)
+) Nếu thì phương trình (*) có dạng:
(thỏa mãn).
+) Nếu thì phương trình (*) có dạng:
(thỏa mãn).
11
+) Nếu thì phương trình (*) có dạng:
(luôn đúng).
Kết luận: Phương trình đã cho có tập nghiệm là
1.1.4. Phƣơng pháp nhân lƣợng liên hợp
Nhân lượng liên hợp là một hình thức trục căn thức bằng hằng đẳng thức để
sau khi nhân lượng liên hợp, ta biến đổi phương trình đã cho về dạng tích số,
sau đây là các dạng cơ bản:
Biểu thức Biểu thức liên hợp Biến đổi
Chú ý: Các biến đổi sau khi nhân liên hợp với điều kiện mẫu số khác 0.
Trƣờng hợp 1: Ghép hai căn thức để liên hợp và phân tích biểu thức còn
lại
Ví dụ 1.9. Giải phương trình (9)
12
Phân tích: Ta nhận thấy sẽ có nhân
tử chung với vế phải của phương trình, nên ta ghép hai căn thức lại với nhau
để nhân liên hợp, từ đó ta có cách giải sau.
Lời giải: Điều kiện xác định
(9)
hoặc
vô nghiệm. Ta sẽ chứng tỏ phương trình
Thật vậy, với điều kiện xác định của phương trình ta có
và
.
Do đó phương trình vô nghiệm.
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 1.10. Giải phương trình (10)
Phân tích: mục đích của việc nhân lượng liên hợp là ta xác định lượng nhân
tử chung để đưa phương trình về dạng tích số. Nhưng trong một số trường
hợp, sau khi ta nhân lượng liên hợp ta thu được một biểu thức không chứa
biến x nhằm chuyển bài toán về dạng đơn giản hơn. Cụ thể đối với bài này, ta
13
thấy: đã khử được biến x nên ta sẽ tiến hành nhân
liên hợp.
Lời giải: Điều kiện xác định
(10)
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Trƣờng hợp 2: Thêm, bớt hằng số để liên hợp
Bằng cách nhẩm nghiệm của phương trình, có sự hỗ trợ của máy tính cầm tay
Casio, nếu phương trình có nghiệm hữu tỉ và duy nhất thì ta tiến hành thêm
bớt hằng số để ghép với các căn thức, sau đó nhân liên hợp.
Ví dụ 1.11. Giải phương trình (11)
Phân tích: Khi ghép hiệu của hai biểu thức trong căn với nhau ta thu được
biểu thức: , không có nhân tử chung với biểu thức ngoài căn. Lúc này ta
sử dụng máy tính cầm tay Casio, loại fx – 570 VN plus hoặc các máy tính
khác có tính năng tương đương, để dự đoán nghiệm của phương trình bằng
cách nhập vào máy tính biểu thức: và bấm
phím: Shift solve 4 (4 là số nguyên bất kỳ trong khoảng xác định ), thì cho ta
nghiệm X = 4. Để kiểm tra xem phương trình còn nghiệm hay không, ta sửa
lại cấu trúc: và tiếp tục bấm Shift
solve 4, khi này máy tính hiển thị kết quả là Can’t solve, chứng tỏ phương
14
trình có nghiệm duy nhất x = 4. Lúc này ta ghép các căn thức của phương
trình với các hằng số để liên hợp, tức là ta ghép
, trong đó m, n là giá trị
của các căn thức tương ứng tại x = 4, nghĩa là:
Lời giải: Điều kiện xác định
(11)
hoặc (11.a)
Xét
Suy ra phương trình (11.a) vô nghiệm với mọi
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 1.12. Giải phương trình (12)
Phân tích: Sử dụng máy tính Casio, nhận thấy phương trình có nghiệm duy
nhất x = -3, nên sẽ ghép thêm hằng số với căn thức để nhân liên hợp.
Lời giải: Điều kiện xác định
(12)
15
(thỏa mãn điều kiện).
do
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 1.13. Giải phương trình (13)
Phân tích: Để giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp nhân liên hợp,
thông thường ta biến đổi phương trình về dạng hoặc
trong đó vô nghiệm với mọi x thuộc tập xác
định. Tuy nhiên trong nhiều bài toán để chứng minh phương trình
vô nghiệm chúng ta cần kết hợp với phương pháp đánh giá để giải quyết trọn
vẹn nó. Nguyên nhân là sau khi thực hiện phép biến đổi liên hợp, đại lượng
chứa các biểu thức có dấu ngược nhau. Từ đó ta nảy sinh ý tưởng truy
ngược dấu biểu thức trong để đưa về cùng một dấu làm cho đại lượng
này hiển nhiên dương (hoặc âm) với mọi x thuộc tập xác định. Ta sẽ
giải phương trình (13) để minh họa cho cách làm này.
Lời giải: Điều kiện xác định
(13)
16
(do
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Trƣờng hợp 3: Thêm, bớt một nhị thức bậc nhất để liên hợp
Đối với các phương trình có nhiều hơn một nghiệm, nghiệm là số vô tỉ hay
hữu tỉ, ta sẽ ghép thêm một nhị thức bậc nhất: để nhân lượng liên hợp.
Việc tìm ra biểu bậc nhất được trình bày thông qua các ví dụ sau đây.
Ví dụ 1.14. Giải phương trình (14)
Phân tích:
Sử dụng máy tính Casio, ta nhập vào và bấm
Shift solve 0, thì máy tính cho ta được nghiệm X=0. Để kiểm tra phương trình
còn nghiệm hay không, ta sửa lại cấu trúc
và tiếp tục bấm Shift solve 0, máy tính
cho ta thêm một nghiệm nữa X = 1. Tiếp tục nhập vào máy tính
và bấm Shift solve 1, lúc này
máy tính hiển thị kết quả Can’t solve. Do đó phương trình sẽ có hai nghiệm
với nhân tử chung là , nên ta ghép vào các nhị thức bậc nhất
cho từng căn thức để nhân liên hợp. Cụ thể:
, với thỏa mãn hệ:
+) Khi
+) Khi
Lời giải: Điều kiện xác định
17
Với Do đó:
(14)
, ( do ).
hoặc (thỏa mãn điều kiện).
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 1.15. Giải phương trình (15)
Phân tích:
Sử dụng máy tính Casio, ta nhập vào và bấm Shift
solve 2 , thì máy tính cho ta được nghiệm vô tỉ X = 2,6180…. Khi đó ta sử
dụng tính năng table của máy tính để tìm ra nhân tử chung là tam thức bậc
hai như sau: Gán biến (thao tác trên Casio: SHIFT/RCL/(-
)/MODE/7), nhập vào hàm , nhấn dấu “=”, bỏ qua hàm
g(X), máy tính hiển thị Start ?, ta nhập vào số -9, nhấn dấu “=”, máy tính
hiển thị End ?, ta nhập vào số 9, Step 1, nhấn dấu “=”, máy tính hiển thị một
bảng, ta nhìn vào cột X và F(X) và quan tâm đến dòng có giá trị nguyên. Với
bài này ta có X = 3, F(X) = -1, suy ra phương trình có nhân tử chung là
( 3 của cột X là hệ số b, -1 của cột F(X) là hệ số c trong nhân tử
). Khi đó ta tìm các hệ số m,n,p,q thỏa mãn: ,
18
, để sau khi nhân lượng liên hợp ta được thừa số chung như
đã dự đoán ở trên. Sử dụng chức năng TABLE của máy tính Casio ta tìm m,
n, p, q như sau: Sau khi gán biến , ta bấm MODE SETUP/ 7/
(nhập vào giá trị của hàm f(X)), nhấn dấu “=”, bỏ qua hàm g(X),
máy tính hiển thị Start ?, ta nhập vào số -9, nhấn dấu “=”, máy tính hiển thị
End ?, ta nhập vào số 9, Step 1, nhấn dấu “=”, máy tính hiển thị một bảng,
ta nhìn vào cột X và F(X) và quan tâm đến dòng có giá trị nguyên. Với bài
này ta có X = 1, F(X) = -1, suy ra m = 1, n = -1. Làm tương tự ta tìm được p
= 1, q = -2.
Lời giải: Điều kiện xác định
Nhận xét: do vế trái của phương trình (15) luôn dương, nên phương trình có
nghiệm khi hoặc , kết hợp với điều
kiện, suy ra . Với điều kiện kéo theo đó ta có ,
do đó phương trình
(15)
(do ).
(thỏa mãn), hoặc (loại).
19
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 1.16. Giải phương trình (16)
Phân tích: sử dụng máy tính Casio ta tìm được nghiệm X = 2. Để kiểm tra
xem phương trình còn nghiệm hay không ta nhập vào máy tính biểu thức:
và bấm Shift solve 2 , thì
máy tính cho ta được nghiệm vô tỉ X = 0,4142…. Khi đó ta sử dụng tính năng
table của máy tính để tìm ra nhân tử là .Hiển nhiên phương trình
đã cho có nhân tử dạng: . Tiếp tục sử dụng tính năng
table của máy tính ta tìm được lượng liên hợp cho các căn thức.
Lời giải: Tập xác định
Đặt
(16)
). (do
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
1.1.5. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ
Nội dung của phương pháp này là đặt một biểu thức có chứa căn thức
bằng một biểu thức theo ẩn mới mà ta gọi là ẩn phụ, rồi chuyển phương trình
20
đã cho về phương trình với ẩn phụ vừa đặt, giải phương trình theo ẩn phụ để
tìm nghiệm, rồi thay vào phương trình vừa đặt để tìm nghiệm theo ẩn ban đầu.
Nhận xét: có nhiều cách đặt ẩn phụ, tùy thuộc vào kinh nghiệm phát hiện ra
mối quan hệ đặc thù giữa các đối tượng tham gia trong phương trình. Sau đây
là một số trường hợp đặt ẩn phụ thường gặp.
1.1.5.1. Đặt một ẩn phụ
Trƣờng hợp 1: phƣơng trình có dạng
Phương pháp giải
- Đặt điều kiện xác định.
- Đặt , sau đó đưa về giải phương trình ẩn .
- Tìm được , thay trở lại tìm .
Ví dụ 1.17. Giải phương trình (17)
Phân tích: Nhận thấy rằng các biểu thức chứa ẩn ngoài căn thức là
, và có mối liên hệ với biểu thức trong
căn, do đó tiến hành đăt ẩn phụ.
Lời giải: Điều kiện xác định
Đặt
Phương trình (17) trở thành:
(do ).
Với , suy ra
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 1.18. Giải phương trình (18)
21
Phân tích: Nhận thấy nếu đặt thì biểu thức có chứa biến số
và t có mối liên hệ với nhau, vì vậy ta có ngoài căn thức
cách giải sau.
Lời giải: Tập xác định
Đặt , suy ra
Phương trình đã cho trở thành
(do phương trình vô nghiệm).
Với ta có hoặc
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 1.19. Giải phương trình (19)
Phân tích: Đối với bài toán có dạng thuận nghịch loại ,
ta có thể giải bằng cách đặt ẩn phụ
Lời giải: Điều kiện xác định
(19)
. Đặt
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Khi đó, phương trình (19) trở thành:
(thỏa mãn), hoặc (loại).
22
Với , ta có
hoặc
hoặc
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Nhận xét: Nhìn chung, đối với bài toán giải phương trình (không chứa tham
số) bằng phương pháp đặt ẩn phụ, ta không nhất thiết phải đặt điều kiện cho
ẩn phụ. Khi đó, sau khi tìm được giá trị của ẩn phụ ta có thể giải phương trình
vô nghiệm.
Ví dụ 1.20. Giải phương trình (20)
Phân tích: Trong nhiều bài toán, phép đặt ẩn phụ chỉ được xác định thông
qua các phép biến đổi, chẳng hạn: Phép chia, phép lũy thừa, phép đồng
nhất….Đối với phương trình này, sau khi lũy thừa hai vế, ta sẽ đặt ẩn phụ.
Lời giải: Điều kiện xác định
(20)
Đặt
Phương trình đã cho trở thành:
Với , ta có
23
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Trƣờng hợp 2:
Phƣơng trình có dạng
Phương pháp giải
- Đặt điều kiện xác định.
- Đặt , và biến đổi phương trình đã cho về phương
trình ẩn .
- Tìm được , thay trở lại tìm .
Ví dụ 1.21. Giải phương trình (21)
Phân tích: Sử dụng phân tích , đồng thời biến đổi
, khi đó ta tiến hành đặt ẩn phụ.
Lời giải: Điều kiện xác định
(21)
Đặt
Khi đó phương trình (21) trở thành hoặc
Với ta có
(thỏa mãn).
Với ta có
24
(vô nghiệm).
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
1.1.5.2. Đặt nhiều ẩn phụ
Trƣờng hợp 1: Đặt hai ẩn phụ đƣa về giải hệ phƣơng trình
Xét phƣơng trình có dạng
Phương pháp giải
- Đặt điều kiện xác định.
- Đặt
- Giải hệ phương trình trên, tìm được và thay trở lại tìm .
Ví dụ 1.22. Giải phương trình (22)
Lời giải: Điều kiện xác định
Đặt
Thay vào phương trình đã cho ta có:
Khi đó, ta có hệ phương trình
(thỏa mãn). Với
25
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 1.23. Giải phương trình (23)
Phân tích: Phương trình có dạng , nên ta có thể sử dụng
phương pháp lũy thừa hai vế để đưa về giải phương trình hệ quả. Ngoài ra, ta
cũng sử dụng phương pháp đặt 2 ẩn phụ và giải hệ phương trình.
Lời giải: Tập xác định
Đặt
Thay vào phương trình (23) ta có:
Khi đó ta có hệ phương trình sau:
hoặc
Với (thỏa mãn).
Với (thỏa mãn).
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 1.24. Giải phương trình (24)
Phân tích: Đối với phương trình trên, nếu ta lũy thừa hai vế sẽ thu được
phương trình bậc cao đồng thời các biểu thức khá phức tạp. Do đó ta sử dụng
cách đặt 2 ẩn phụ đưa về giải hệ phương trình.
Lời giải: Điều kiện xác định
Đặt
Thay vào phương trình (24) ta có:
Khi đó ta có hệ phương trình
26
hoặc
(thỏa mãn). Với
(thỏa mãn). Với
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 1.25. Giải phương trình (25)
Phân tích: Nếu để nguyên phương trình và đặt hai ẩn phụ là các căn thức,
lúc này nhiều học sinh sẽ lúng túng vì chưa biết biến đổi lượng còn lại có
chứa ẩn ở ngoài căn thức như thế nào. Tuy nhiên nếu ta biến đổi khéo léo
cũng như kết hợp với các biểu thức liên hợp, ta sẽ đưa phương trình về dạng
quen thuộc.
Lời giải: Điều kiện xác định Với điều kiện đó, ta có:
(25)
Đặt
Thay vào phương trình (25) ta có
Khi đó ta có hệ phương trình
27
, (do vô nghiệm).
Với , ta có (thỏa mãn).
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Trƣờng hợp 2: Đặt hai ẩn phụ, đƣa về giải phƣơng trình đẳng cấp
Ví dụ 1.26. Giải phương trình (26)
Phân tích: Ta nhận thấy , khi đó đặt hai ẩn phụ
đưa về giải phương trình đẳng cấp bậc hai.
Lời giải: Tập xác định
Đặt
Phương trình đã cho trở thành
hoặc
Với , ta có
(thỏa mãn).
Với , ta có
(thỏa mãn).
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Nhận xét: Ta có thể chia cả hai vế của phương trình (26) cho
ta được: , sau đó đặt một ẩn phụ đưa về giải
phương trình bậc hai.
28
Ví dụ 1.27. Giải phương trình (27)
Phân tích: Nhận thấy , do đó ta cần phân tích
, hay . Khi
đó ta tiến hành đặt hai ẩn phụ, đưa về giải phương trình đẳng cấp.
Lời giải: Điều kiện xác định
(27) (27.1)
Đặt
Phương trình (27.1) trở thành:
hoặc .
Với ta có
Với ta có
(thỏa mãn).
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Nhận xét: Ngoài cách đặt hai ẩn phụ, đưa về giải phương trình đẳng cấp bậc
hai như trên ta còn có thể chia cả hai vế của phương trình (27.1) cho
, sau đó đặt một ẩn phụ. Hoặc có thể nhân lượng liên hợp, sau
khi sử dụng máy tính Casio tìm được hai nghiệm .
Trƣờng hợp 3: Đặt hai ẩn phụ, đƣa về giải hệ phƣơng trình đối xứng
Ví dụ 1.28. Giải phương trình (28)
29
Phân tích: Ta có thể đưa phương trình về dạng cơ bản , sau đó bình
phương hai vế và giải phương trình bậc 4. Ngoài ra, ta tiến hành đặt ẩn phụ,
đưa về giải hệ phương trình đối xứng.
Lời giải: Điều kiện xác định
Đặt Thay vào phương trình ban đầu ta được:
Khi đó ta có hệ phương trình:
hoặc
Với
(thỏa mãn).
Với
(thỏa mãn).
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 1.29. Giải phương trình (29)
Phân tích: Đối với phương trình vừa chứa căn bậc 3 và chứa lũy thừa bậc
ba, ta có thể đặt ẩn phụ đưa về giải hệ phương trình đối xứng.
Lời giải: Tập xác định
Đặt Thay vào phương trình (29) ta được
Khi đó ta có hệ phương trình:
30
(do ).
Với
hoặc hoặc (thỏa mãn).
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Nhận xét: Ta có thể sử dụng phương pháp hàm số (được trình bày mục I.6) để
giải phương trình (29).
Ví dụ 1.30. Giải phương trình (30)
(Trích đề thi học sinh giỏi thành phố Hồ Chí Minh năm học 2004 - 2005)
Phân tích: Ta đặt , thay vào phương trình ban đầu ta có
. Khi đó m, n được chọn sao cho hệ phương trình sau là
hệ đối xứng loại hai:
Dùng phương pháp hệ số bất định suy ra:
Lời giải: Điều kiện xác định
Đặt
Kết hợp với phương trình đã cho ta có hệ phương trình
31
Để thỏa mãn hệ phương trình thì Lấy hai phương trình
trong hệ trừ cho nhau theo vế ta được:
Với , thay vào phương trình (2) ta được
(thỏa mãn) hoặc (loại).
Với , thay vào phương trình (2) ta được
(thỏa mãn) hoặc (loại).
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Trƣờng hợp 4: Đặt ba ẩn phụ dựa vào hằng đẳng thức
Xuất phát từ hằng đẳng thức
Khi đó nếu phương trình có dạng thì suy ra
Ví dụ 1.31. Giải phương trình (31)
Lời giải: Tập xác định
Đặt
32
Khi đó ta được
Suy ra
Thử lại các nghiệm trên vào phương trình (31) đều thỏa mãn.
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
1.1.5.3. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Đối với một số phương trình giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ, sau khi
đặt ẩn phụ t thì biến x vẫn tồn tại, ta xem x là tham số. Thông thường, ta đưa
về phương trình bậc hai đối với ẩn t, với cách chọn các hệ số của phương
trình thích hợp để biệt thức là số chính phương.
Ví dụ 1.32. Giải phương trình (32)
Lời giải: Điều kiện (luôn đúng).
(32.a) (32)
Đặt
Khi đó phương trình (32.a) trở thành
33
Suy ra:
Với (loại).
Với , ta có
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 1.33. Giải phương trình (33)
Lời giải: Điều kiện
(33) (33.a)
Đặt
Khi đó phương trình (33.a) trở thành:
. Suy ra
Với , ta có:
Với , ta có:
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
34
Nhận xét: trong ví dụ trên ta khéo chọn hệ số a của phương trình:
để được
biệt thức là số chính phương.
Ví dụ 1.34. Giải phương trình (34)
Lời giải: Điều kiện
(34) (34.a)
Đặt
Khi đó phương trình (34.a) trở thành :
Suy ra hay
Với , ta có:
(vô nghiệm).
Với , ta có:
(thỏa mãn).
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Nhận xét: đối với các ví dụ 1.33 và ví dụ 1.34, ta có thể giải các phương trình
này bằng cách bình phương hai vế, sau đó đưa về giải phương trình bậc 4 (đây
35
là phương trình hệ quả).
1.1.5.4. Đặt ẩn phụ bằng cách lƣợng giác hóa
Một số dấu hiệu và phương pháp lượng giác hóa thường gặp:
Nếu phương trình chứa thì đặt
hoặc
Nếu phương trình chứa thì đặt hoặc
Nếu phương trình chứa thì đặt hoặc
Nếu phương trình chứa thì đặt
Ví dụ 1.35. Giải phương trình (35)
Lời giải: Điều kiện xác định
Đặt Phương trình (35) trở thành:
) (do
Do
36
Với ta có
Với ta có
Với ta có
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là
Ví dụ 1.36. Giải phương trình (36)
Lời giải: Tập xác định
(36) (36a)
Xét , đặt thay vào phương trình (36a) ta được:
Mà suy ra phương trình có nghiệm
(thỏa mãn). Mà phương trình bậc ba có tối đa
3 nghiệm. Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 1.37. Giải phương trình (37)
Lời giải: Tập xác định
Đặt , ta có:
37
(do )
Phương trình (37) trở thành:
Mà ta có (thỏa mãn).
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
1.1.6. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Ta có kết quả sau:
“Nếu hàm số liên tục và đơn điệu ( luôn đồng biến hoặc luôn nghịch
biến) trên miền D thì phương trình có không quá một nghiệm thuộc
D, đồng thời nếu thỏa mãn: thì ”.
Vấn đề quan trọng khi sử dụng phương pháp hàm số là ta phải nhận ra được
hàm số đơn điệu và nhẩm được một nghiệm của phương trình. Khi đó ta cần
nắm vững các tính chất sau:
Nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì:
- Hàm số là nghịch biến (hoặc đồng biến) trên D.
- Hàm số là đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D.
- Hàm số với là nghịch biến (hoặc đồng biến) trên D.
Tổng của các hàm đồng biến (hay nghịch biến) trên D là hàm số đồng
biến (hay nghịch biến) trên D.
38
Tích của các hàm đồng biến (hay nghịch biến) trên D là hàm số đồng
biến (hay nghịch biến) trên D.
Chú ý:
Ví dụ 1.38. Giải phương trình (38)
Phân tích: Nếu ta chuyển phương trình về dạng , sử
dụng kết quả đã biết về tính đơn điệu của hàm số, thì ta nhận thấy hàm số
đồng biến trên tập xác định của phương trình.
Đồng thời ta nhẩm được một nghiệm của phương trình là .Từ đó ta có
cách giải sau.
Lời giải: Điều kiện xác định
(38)
Xét hàm số
Ta có
Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên
Mặt khác , nên là nghiệm duy nhất của
phương trình.
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 1.39. Giải phương trình (39)
Lời giải: Điều kiện xác định Với , suy ra
(39)
39
Xét hàm số
Ta có
Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên
Mặt khác , nên là nghiệm duy
nhất của phương trình.
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 1.40. Giải phương trình (40)
Phân tích: Đối với một số phương trình ta sử dụng tính đơn điệu của hàm số
để đưa phương trình đã cho về dạng đơn giản hơn.
Lời giải: Tập xác định
(40) (40.a)
Xét hàm số
Ta có Suy ra là hàm số liên tục và
đồng biến trên
Khi đó phương trình (40.a) có dạng
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 1.41. Giải phương trình (41)
(Trích đề thi học sinh giỏi thành phố Hồ Chí Minh năm học 2004 - 2005).
Lời giải: Tập xác định
(41) (41.a)
40
Xét hàm số Ta có Suy ra hàm số
liên tục và đồng biến trên
Khi đó phương trình (41.a) có dạng:
(thỏa mãn), hoặc (thỏa mãn).
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 1.42. Giải phương trình (42)
Lời giải: Tập xác định
Do không thỏa mãn phương trình (42), nên chia cả hai vế của phương
trình cho ta được:
(42.a)
Đặt , phương trình (42.a) trở thành:
(42.b)
Xét hàm số
Ta có Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên
Khi đó phương trình (42.b) có dạng:
41
hoặc
Suy ra (thỏa mãn).
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
1.1.7. Phƣơng pháp đánh giá
1.1.7.1.Ý tƣởng của phƣơng pháp
Trƣờng hợp 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng ( là hằng
số). Sau đó sử dụng bất đẳng thức, hoặc lập bảng biến thiên của hàm số
để từ đó chứng minh được hoặc . Khi đó nghiệm
của phương trình là các giá trị của để dấu bằng xảy ra.
Trƣờng hợp 2: Biến đổi phương trình về dạng có tập xác định
. Sau đó sử dụng bất đẳng thức hoặc lập bảng biến thiên của và ,
từ đó suy ra được hoặc ( là hằng số). Khi
đó nghiệm của phương trình là các giá trị của đồng thời thỏa mãn các
phương trình và .
1.1.7.2. Một số bất đẳng thức thƣờng sử dụng
a) Bất đẳng thức Cauchy:
Cho là các số thực không âm khi đó: . Dấu đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi
b) Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
Cho là các số thực bất kỳ, ta có:
hay
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
c) Bất đẳng thức vectơ:
42
Cho các vectơ khi đó ta có các bất đẳng thức sau:
, dấu đẳng thức xảy ra khi cùng hướng. +)
, dấu đẳng thức xảy ra khi cùng hướng. +)
, dấu đẳng thức xảy ra khi cùng phương. +)
Ví dụ 1.43. Giải phương trình (43)
Phân tích: Nhận thấy tổng của hai biểu thức dưới dấu căn thức là hằng số,
do đó ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để đánh giá vế trái.
Lời giải: Điều kiện xác định
Xét vế trái của phương trình (43), áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta
có:
(43.a)
Mặt khác vế phải của phương trình : (43.b)
Suy ra , nên phương trình (43) có nghiệm khi và chỉ khi
dấu đẳng thức đồng thời xảy ra ở (43.a) và (43.b).
Tức là
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Nhận xét: Ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá từng số hạng
của vế trái phương trình (43) như sau:
và
Suy ra
Ví dụ 1.44. Giải phương trình (44)
43
Phân tích: Nhận thấy các biểu thức dưới dấu căn được viết lại là tổng của
hai bình phương ( độ dài của vectơ) nên vế trái của phương trình gợi cho ta
sử dụng bất đẳng thức vectơ dạng:
Lời giải: Tập xác định
(44) (44.a)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai vectơ
Khi đó ta có:
Và
Ta luôn có: (44.b)
Từ (44.a) và (44.b) suy ra nghiệm của phương trình đã cho là các giá trị của
làm cho dấu đẳng thức xảy ra trong (44.b).
Khi đó các vectơ cùng chiều
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Ví dụ 1.45. Giải phương trình (45)
Phân tích: Ta biến đổi các biểu thức dưới dấu căn thức về tổng của hai bình
phương ( độ dài của vectơ), từ đó sử dụng bất đẳng thức vectơ để tìm nghiệm
của phương trình.
Lời giải: Tập xác định
(45) (45.a)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét các vectơ
Khi đó ta có:
44
và
Ta luôn có: (45.b)
Từ (45.a) và (45.b) suy ra nghiệm của phương trình đã cho là các giá trị của
làm cho dấu đẳng thức xảy ra trong (45.b).
Khi đó các vectơ cùng chiều
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
1.2.Phƣơng pháp giải bất phƣơng trình vô tỉ
1.2.1. Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng
Tương tự như giải phương trình, ta thường thực hiện một số phép biến
đổi tương đương sau để giải bất phương trình:
Dạng 1:
Dạng 2:
Dạng 3:
Dạng 4: hoặc
Dạng 5: hoặc
hoặc Dạng 6:
Dạng 7:
Ví dụ 1.46. Giải bất phương trình (46)
45
Phân tích: Đây là bất phương trình có dạng cơ bản dạng nên ta sử
dụng phép biến đổi tương đương, xét hai trường hợp và tìm nghiệm.
Lời giải:
(46) hoặc
(vô nghiệm) hoặc
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình đã cho
Ví dụ 1.47. Giải bất phương trình (47)
Phân tích: Bất phương trình có dạng , khi đó ta cần đặt điều
kiện xác định các căn thức, rồi chuyển vế sao cho hai vế không âm và bình
phương hai vế ta sẽ đưa về dạng cơ bản.
Chú ý: Đối với bất phương trình, ta tránh biến đổi hệ quả vì tập nghiệm của
bất phương trình thường là vô số nghiệm, do đó việc thử lại nghiệm để loại
bỏ nghiệm ngoại lai là không thực hiện được.
Lời giải: Điều kiện xác định
(47)
hoặc
46
hoặc
hoặc
Kết luận: Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Ví dụ 1.48. Giải bất phương trình (48)
Phân tích: Đây là bất phương trình có chứa ẩn ở dưới mẫu, nên trước hết ta
đặt điều kiện xác định. Sau đó xét dấu của biểu thức ở mẫu rồi nhân chéo,
khử mẫu đưa về bất phương trình cơ bản.
Lời giải: Điều kiện xác định
Trường hợp 1: Xét
(48)
hoặc
hoặc
hoặc
(thỏa mãn).
47
Trường hợp 2: Xét
(48)
Kết hợp với điều kiện , nghiệm của bất phương trình là
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Nhận xét: Ngoài cách giải trên ta có thể sử dụng phương pháp nhân lượng
liên hợp để giải bất phương trình (48).
1.2.2. Phƣơng pháp chia khoảng và tách căn
Ví dụ 1.49. Giải bất phương trình (49)
Phân tích: Nhận thấy các biểu thức dưới dấu căn thức đều có thể phân tích
được thành tích với thừa số . Sau đó ta đưa bất phương trình đã cho về
dạng tích số.
Lời giải: Điều kiện xác định
Trường hợp 1: Xét , thỏa mãn bất phương trình.
Trường hợp 2: Xét , suy ra
(49)
(chia cả hai vế cho )
48
Bất phương trình vô nghiệm với mọi
Trường hợp 3: Xét , suy ra
(49)
(chia cả hai vế cho )
Do nên bất phương trình vô nghiệm.
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình đã cho
Nhận xét: Ta có thể giải bất phương trình (49) bằng cách bình phương hai vế
và đưa về giải bất phương trình cơ bản như sau:
(49)
49
1.2.3. Giải bất phƣơng trình bằng cách đƣa về dạng tích hoặc thƣơng
Để giải bất phương trình có một trong các dạng sau: ;
; hoặc ; ; ta có phương pháp giải chung như
sau:
+) Tìm tập xác định là .
+) Tìm nghiệm của các phương trình và trên tập D.
+) Lập bảng xét dấu của và trên , từ bảng xét dấu ta suy ra tập
nghiệm của bất phương trình đã cho.
Ví dụ 1.50. Giải bất phương trình (50)
Phân tích: Ta nhận thấy cả hai vế của bất phương trình đều có thừa số
nên ta chuyển vế và nhóm nhân tử chung, chuyển bất phương trình đã
cho về dạng tích. Từ đó ta lập bảng xét dấu để tìm nghiệm.
Lời giải: Điều kiện xác định
(50)
Đặt
Ta có
50
Bảng xét dấu :
- - - 0 +
+ 0 - - -
- 0 + 5 5 + 0 -
Kết luận: Từ bảng xét dấu, suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
Ví dụ 1.51. Giải bất phương trình (51)
Phân tích: Đây là bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu, lúc này ta chuyển vế,
qui đồng và giải bất phương trình dạng . Bằng việc lập bảng xét dấu
của các biểu thức ở tử số và mẫu số ta sẽ tìm được tập nghiệm của bất
phương trình đã cho.
Lời giải: Điều kiện xác định
(51)
và Đặt
Xét
51
(loại) hoặc (thỏa mãn).
, phương trình vô nghiệm với mọi .
,do Xét
Lập bảng xét dấu:
-1 0 8 9
- - 0 + 54
-2 - 0 + +
+ - 0 +
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
1.2.4. Phƣơng pháp nhân liên hợp
Ví dụ 1.52. Giải bất phương trình (52)
Phân tích: Nhận thấy , do đó ta tiến hành nhân lượng
liên hợp để trục căn thức ở mẫu và rút gọn.
52
Lời giải: Điều kiện xác định
(52)
Kết luận: Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Ví dụ 1.53. Giải bất phương trình (53)
Phân tích: Sử dụng máy tính Casio, ta tìm được nghiệm của phương trình
là và . Mà vế trái của phương
trình đã có thừa số , khi đó ta thêm bớt hằng số và tiến hành nhân
lượng liên hợp.
Lời giải: Điều kiện xác định
(53)
53
(do với )
Kết luận: Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Ví dụ 1.54. Giải bất phương trình (54)
Phân tích: Nếu ghép hai căn thức với nhau và nhân lượng liên hợp, ta được
biểu thức có thừa số chung với lượng còn lại.
Lời giải: Điều kiện xác định
(54)
(do )
(thỏa mãn điều kiện).
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
1.2.5. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ
Các dạng và phương pháp giải bất phương trình vô tỉ có nét tương đồng với
phương trình vô tỉ. Tuy nhiên với bất phương trình giải bằng phương pháp
54
đặt ẩn phụ, ta cần tìm điều kiện cho ẩn phụ chặt chẽ để không phát sinh bất
phương trình hệ quả.
Ví dụ 1.55. Giải bất phương trình (55)
Phân tích: Nhận thấy nên khi đặt suy ra
. Khi đó ta đưa về giải bất phương trình bậc hai của .
Lời giải: Điều kiện xác định
Đặt
Bất phương trình (55) trở thành:
Suy ra
(luôn đúng).
Kết luận: Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Ví dụ 1.56. Giải bất phương trình
Phân tích: Nhận thấy , và
. Khi đó các biểu thức xuất hiện trong bất phương trình
có dạng “tổng – tích”, từ đó ta đặt ẩn phụ để giải bất phương trình.
Lời giải: Tập xác định
Bất phương trình tương đương với
Đặt , bất phương trình trở thành:
(*)
Nhận xét: hay
55
Từ đó (*)
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Ví dụ 1.57. Giải bất phương trình (57)
Phân tích: Nhận thấy , khi đó vế trái của bất phương
trình có dạng “tổng – tích”. Từ đó ta đặt ẩn phụ để giải bất phương trình.
Lời giải: Điều kiện xác định
Đặt
Suy ra
Bất phương trình (57) trở thành
(do hay ).
(loại do ) hoặc
Với , ta có (thỏa mãn).
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
1.2.6. Phƣơng pháp hàm số
Khi giải bất phương trình vô tỉ bằng phương pháp hàm số, ta sử dụng kết quả
sau:
56
Nếu hàm số liên tục và đồng biến trên và thì
Nếu hàm số liên tục và nghịch biến trên và thì
Ví dụ 1.58. Giải bất phương trình (58)
Phân tích: Nhận thấy vế trái của bất phương trình là tổng của các hàm số
nghịch biến trên tập xác định của bất phương trình, từ đó ta có hướng sử
dụng phương pháp hàm số để giải bất phương trình này.
Lời giải: Điều kiện xác định
(58) (58.a)
. Xét hàm số
Ta có
Suy ra hàm số liên tục và nghịch biến trên . Mặt khác
Khi đó bất phương trình (58.a) có dạng
Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Ví dụ 1.59. Giải bất phương trình (59)
Phân tích: Nếu ta chuyển vế, biến đổi bất phương trình thành
, từ đây ta thấy hai vế có cùng một qui tắc, và
ta xây dựng hàm đặc trưng.
Lời giải: Tập xác định
(59) (59.a)
57
Xét hàm số , có
Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên
Bất phương trình (59.a) trở thành:
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
1.3. Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ chứa
tham số
1.3.1. Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng
Phương trình có dạng
Phương pháp giải
Ta thường biến đổi phương trình trên về hệ
Ví dụ 1.60. Giải biện luận phương trình (60)
Lời giải:
(60)
+) Nếu thì phương trình vô nghiệm.
+) Nếu thì từ phương trình thứ hai của hệ suy ra
Thay vào điều kiện ta được
Kết luận
58
thì phương trình có nghiệm duy nhất Với
thì phương trình vô nghiệm. Với
Ví dụ 1.61.Tìm để bất phương trình sau có nghiệm
(61)
Lời giải
Bất phương trình đã cho tương đương với hệ
Để bất phương trình có nghiệm thì
Vậy với thì bất phương trình đã cho có nghiệm.
Ví dụ 1.62. Xác định để phương trình sau có hai nghiệm thực
(62)
Phân tích: Sau khi đặt điều kiện để phương trình có nghiệm và bình phương
hai vế ta thu được phương trình bậc hai. Sau đó ta có thể biện luận phương
trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện xác định.
Lời giải:
(62)
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
(62.a) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
Xét phương trình (62.a) có suy ra phương trình
(62.a) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi .
Theo định lí vi – et ta có:
Khi đó phương trình (62) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
59
Vậy là các giá trị cần tìm.
1.3.2.Phƣơng pháp đặt ẩn phụ
Cách đặt ẩn phụ khi giải phương trình hay bất phương trình có chứa tham số
giống như trường hợp đặt ẩn phụ trong trường hợp phương trình, bất phương
trình không có chứa tham số đã được trình bày ở chương trước. Sau đây là
một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.63. Với giá trị nào của phương trình sau có nghiệm
Lời giải: Điều kiện xác định
Đặt , phương trình đã cho trở thành
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình
có ít nhất một nghiệm không âm. Ta nhận thấy
, do đó chỉ xảy ra trường hợp phương trình có một
nghiệm không âm. Điều này tương đương với:
Kết luận: Với thì phương trình có nghiệm.
60
1.3.3. Sử dụng định lí Lagrange
Định lí Lagrange: Cho hàm số liên tục trên đoạn và tồn tại đạo
hàm trên khoảng luôn tồn tại một số sao cho
Từ định lí Lagrange, nếu thì tồn tại số sao cho
hay phương trình có nghiệm thuộc khoảng
Vậy để áp dụng kết quả trên vào bài toán chứng minh phương trình có nghiệm
ta cần thực hiện các bước sau:
- Xác định hàm số khả vi liên tục trên đoạn đồng thời thỏa
mãn và
- Khi đó tồn tại số sao cho hay phương
trình có nghiệm thuộc khoảng
Ví dụ 1.64. Chứng tỏ rằng với thì phương trình
luôn có ít nhất một nghiệm dương.
Lời giải: Điều kiện xác định
Biến đổi phương trình về dạng
Xét hàm số khả vi liên tục trên
;
Khi đó tồn tại sao cho:
hay phương trình đã cho có ít
nhất một nghiệm dương.
61
1.3.4. Phƣơng pháp điều kiện cần và đủ
Thông thường ta hay sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ cho các dạng
toán sau:
Dạng 1: Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghiệm duy nhất.
Dạng 2: Phương trình, bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị của tham
số.
Dạng 3: Phương trình nghiệm đúng với mọi
Phƣơng pháp giải:
- Đặt điều kiện xác định của phương trình, bất phương trình.
- Tìm điều kiện cần.
- Kiểm tra điều kiện đủ.
Ví dụ 1.65. Xác định để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất
(65)
Lời giải: Điều kiện xác định
(65)
+) Điều kiện cần:
Nhận thấy, nếu là một nghiệm của bất phương trình thì cũng là
nghiệm của bất phương trình. Do đó, bất phương trình có nghiệm duy nhất thì
+) Điều kiện đủ:
Với , thay vào bất phương trình ta được:
Với thì bất phương trình (65) có dạng:
62
(thỏa mãn).
Kết luận:
1.3.5. Phƣơng pháp hàm số
Phƣơng pháp giải
Bước 1: Tìm miền xác định của phương trình, hay bất phương trình là .
Bước 2: Biến đổi phương trình, bất phương trình đã cho về dạng
hay
Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số , từ đó tìm được tham số
thỏa mãn bài toán.
Chú ý: Ta sử dụng các kết quả sau
- Phương trình có nghiệm trên
- Bất phương trình có nghiệm trên
- Bất phương trình có nghiệm trên
- Bất phương trình nghiệm đúng
- Bất phương trình nghiệm đúng
Chú ý: Nếu không tồn tại thì ta lập bảng biến thiên của
Ví dụ 1.66. Tìm để phương trình có nghiệm thực (66)
63
Phân tích: Quan sát phương trình, ta có thể cô lập được tham số đưa về dạng
. Sau đó ta lập bảng biến thiên của , từ đó tìm được tham số
.
Lời giải: Tập xác định
(66)
ta có
Khi đó: và
Bảng biến thiên của hàm số
2 :
+ 0 -
2
-2
Từ bảng biến thiên suy ra, phương trình đã cho có nghiệm khi:
Ví dụ 1.67. Xác định để phương trình sau có nghiệm
(67)
Phân tích: Để cho việc tính đạo hàm đơn giản hơn, ta tiến hành đặt ẩn phụ
và đặt điều kiện chính xác cho ẩn phụ.
Lời giải: Điều kiện xác định
Đặt , điều kiện: . Suy ra
Phương trình (67) trở thành: (67.a)
Xét hàm số , có
64
Bảng biến thiên của hàm số :
0 1
0 - 0 +
1 1
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (67.a) có nghiệm
. Từ bảng biến thiên suy ra là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 1.68. Xác định để bất phương trình sau có nghiệm
(68)
Phân tích: Nhận thấy các biểu thức có chứa ẩn trong phương trình có dạng
“tổng – tích”, do đó để việc tính đạo hàm của hàm số đơn giản hơn sau khi
cô lập tham số ta sẽ tiến hành đặt ẩn phụ và đặt điều kiện chính xác cho ẩn
phụ.
Lời giải: Điều kiện xác định
Đặt
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-copxki ta có:
Bất phương trình (68) trở thành:
Ta có ; (loại) hoặc
65
Bảng biến thiên của hàm số :
- 0 +
Bất phương trình (68) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình có
nghiệm Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta được:
Nhận xét: Để tìm điều kiện chính xác cho , ta có thể lập
bảng biến thiên của hàm số với
Ví dụ 1.69. Xác định để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân
biệt: (69)
Phân tích: Nhận thấy có thể cô lập được tham số , biến đổi phương trình
về dạng , từ đó ta sử dụng phương pháp hàm số để tìm .
Lời giải: Điều kiện xác định
Đặt
Ta có , xét
Bảng biến thiên của hàm số
66
2
+ 0 -
2
Từ bảng biến thiên, suy ra
Mặt khác:
Ứng với hoặc mỗi giá trị thì phương trình có
đúng một nghiệm
Ứng với mỗi giá trị thì phương trình có đúng hai
nghiệm
Phương trình (69) trở thành:
; . Xét hàm số
Trường hợp 1: Nếu thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm
phân biệt khi và chỉ khi phương trình có đúng hai nghiệm phân
biệt.
Bảng biến thiên:
-2 2
+
Dựa vào bảng biến thiên, nhận thấy không có giá trị nào của thỏa mãn.
Trường hợp 2: Nếu thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm
67
phân biệt khi và chỉ khi phương trình có đúng một nghiệm.
Bảng biến thiên:
2
0 -
6
Từ bảng biến thiên suy ra:
Kết luận: Vậy là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 1.70. Xác định để bất phương trình sau có nghiệm
(70)
Phân tích: Chia cả hai vế của bất phương trình cho , sau đó
biện luận sự tồn tại nghiệm của bất phương trình dạng .
Lời giải: Tập xác định
Đặt
Xét hàm số , ta có
Bảng biến thiên của hàm số
0 1
- 0 +
2
1
Dựa vào bảng biến thiên ta có
68
Khi đó bất phương trình (65) có dạng: Xét hàm số
, ta có
Suy ra là hàm số đồng biến trên
Bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi bất phương
trình có nghiệm
Kết luận: là các giá trị cần tìm.
1.4. Một số phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ giải bằng nhiều cách
khác nhau
Thông qua một vài ví dụ nhỏ dưới đây, ta nhận ra toán học sơ cấp có nhiều
cách giải khác nhau, tùy thuộc vào đặc điểm của từng bài toán với dấu hiệu
nhận dạng mà ta chọn phương pháp giải cho phù hợp sao cho nhanh gọn,
chính xác.
Ví dụ 1.71. Giải phương trình (71)
Lời giải: Điều kiện xác định:
Cách 1: Bình phương 2 vế
(71)
Thử lại ta được tập nghiệm của phương trình là:
69
Cách 2: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp
). (do
(71.a)
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Cách 3: Đặt ẩn phụ, đưa về giải phương trình đẳng cấp bậc hai
(71) (71.c)
Đặt
Khi đó phương trình (71.c) trở thành:
Với ta có
70
Với ta có
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình đã cho là
Cách 4: Biến đổi thành phương trình tích
(71)
Giải tương tự như trên ta tìm được tập nghiệm của phương trình
Ví dụ 1.72. Giải bất phương trình (72)
Lời giải: Điều kiện xác định
Cách 1: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Đặt
Bất phương trình (72) trở thành:
(do ).
Với ta có (thỏa mãn).
Kết luận: tập nghiệm của bất phương trình là
Cách 2: Biến đổi tương đương
(72)
71
( do và ).
Giải tương tự như trên ta được tập nghiệm của bất phương trình là
Cách 3: Bình phương hai vế
Nhận xét: với ta có và do đó
(71)
). (do
(thỏa mãn).
Cách 4: Nhân liên hợp
(72)
). (vì
(do ).
(thỏa mãn).
Ví dụ 1.73. Giải phương trình (73)
Lời giải: Điều kiện
Cách 1: Đặt hai ẩn phụ, đưa về phương trình đẳng cấp bậc hai.
(73) (73.a)
Đặt
72
Khi đó phương trình (73.a) trở thành:
Với , ta có
(vô nghiệm).
Với , ta có
(thỏa mãn).
Kết luận: Phương trình đã cho có 2 nghiệm
Cách 2: Biến đổi tương đương (bình phương hai vế).
(73 ) (vì ).
(thỏa mãn).
Cách 3: Đặt một ẩn phụ
(73)
(73.b)
(chia cả 2 vế của phương trình cho ).
Đặt , phương trình (73.b) trở thành:
*) Với , ta có:
73
(vô nghiệm).
*) Với , ta có:
(thỏa mãn).
Cách 4: Nhân liên hợp
(73) (73.c)
+) Xét , thay vào phương trình (73), không thỏa mãn.
+) Xét
(73.c)
74
CHƢƠNG 2
MỘT SỐ SAI LẦM THƢỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ
2.1. Sai lầm trong biến đổi làm thừa nghiệm của phƣơng trình, bất
phƣơng trình.
Dạng 1. Sai lầm dễ mắc phải:
Ví dụ 2.1. Giải phương trình (74)
Lời giải sai:
(74)
Nguyên nhân sai lầm:
Do không đặt điều kiện xác định căn thức nên với thì vô nghĩa
nên là nghiệm ngoại lai.
Lời giải đúng:
(74)
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
Nhận xét: hoặc
Ví dụ 2.2. Giải phương trình (75)
Lời giải sai:
(75)
(75.a)
75
( do ) (75.b)
Vậy tập nghiệm của phương trình là
Nguyên nhân sai lầm:
Nguyên nhân là do phép thế từ (75.a) sang (75.b) là
phép biến đổi hệ quả, do đó với không thỏa mãn phương trình.
Lời giải đúng:
(75)
) ( do
Thử lại: (không thỏa mãn); (thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình là
Nhận xét: Khi giải phương trình dạng , sau khi lập
phương hai vế, nếu sử dụng phép thế vào phương
trình thì phép biến đổi đó làm xuất hiện nghiệm ngoại lai. Do đó, sau khi tìm
được nghiệm ta cần thử lại nghiệm vào phương trình ban đầu.
Dạng 2. Sai lầm dễ mắc phải:
(76) Ví dụ 2.3. Giải phương trình
Lời giải sai:
Điều kiện xác định:
76
(76)
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy tập nghiệm của phương trình là
Nguyên nhân sai lầm:
Khi nhân cả hai vế của phương trình (76) với biểu thức mà không
có điều kiện nên làm xuất hiện nghiệm ngoại lai .
Lời giải đúng:
Điều kiện xác định: .
(76)
(thỏa mãn).
Vậy tập nghiệm của phương trình là
Nhận xét:
Dạng 3. Sai lầm dễ mắc phải:
Ví dụ 2.4. Giải phương trình (77)
Lời giải sai:
(77)
Vậy tập nghiệm của phương trình là
Nguyên nhân sai lầm:
Do không đặt điều kiện xác định căn thức nên sau khi bình phương hai vế để
khử căn sẽ làm thừa nghiệm của phương trình là .
77
Lời giải đúng:
(77)
Vậy tập nghiệm của phương trình là
Nhận xét:
Dạng 4. Sai lầm dễ mắc phải:
Ví dụ 2.5. Giải bất phương trình (78)
Lời giải sai:
(78)
(78.a)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Nguyên nhân sai lầm:
Do không đặt điều kiện xác định của căn thức nên biến đổi từ bất phương
trình (78) sang hệ bất phương trình (78.a) không tương đương.
Lời giải đúng:
(78)
78
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Nhận xét: Đây là dạng bất phương trình cơ bản:
Dạng 5. Sai lầm dễ mắc phải
Ví dụ 2.6. Giải bất phương trình (79)
Lời giải sai:
(79)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Nguyên nhân sai lầm:
Do không đặt điều kiện xác định của căn thức, đồng thời nhân chéo khử mẫu
của bất phương trình mà không xét dấu của các biểu thức có chứa ẩn ở mẫu
nên phép biến đổi trên không phải là phép biến đổi tương đương.
Lời giải đúng:
Điều kiện xác định:
+) Xét thì , suy ra bất phương trình vô nghiệm.
79
+) Xét
(79)
Kết hợp với điều kiện , tập nghiệm của bất phương trình
là
Nhận xét:
2.2. Sai lầm trong biến đổi làm thiếu nghiệm của phƣơng trình, bất
phƣơng trình.
Dạng 6. Sai lầm dễ mắc phải:
Ví dụ 2.7. Giải phương trình (80)
Lời giải sai:
(80)
(80.a)
hoặc (80.b)
(vô nghiệm) hoặc
Vậy tập nghiệm của phương trình là
Nguyên nhân sai lầm:
Do không đặt điều kiện xác định của phương trình đồng thời phép biến đổi từ
(80.a) sang (80.b) là không tương đương nên làm mất nghiệm của phương
trình.
Lời giải đúng:
Điều kiện xác định:
80
hoặc
+) Với , thỏa mãn phương trình.
+) Với
(80)
(do ).
Vậy tập nghiệm của phương trình là
Nhận xét: Khi gặp phương trình dạng ta cần đặt điều
kiện xác định của phương trình và sau đó biến đổi thành phương trình tích số
Dạng 7. Sai lầm dễ mắc phải:
Ví dụ 2.8. Giải phương trình (81)
Lời giải sai:
(81)
Vậy tập nghiệm của phương trình là
Nguyên nhân sai lầm:
81
Do không đặt điều kiện xác định của phương trình nên biến đổi
đã làm thay đổi tập xác định của phương trình. Vì vậy cách
giải trên làm mất nghiệm của phương trình là
Lời giải đúng:
Điều kiện xác định:
+) Với
(81)
(do )
(thỏa mãn).
+) Với
(81)
Vì nên thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
Nhận xét:
với hoặc với
Dạng 8. Sai lầm dễ mắc phải
82
Ví dụ 2.9. Giải bất phương trình (82)
Lời giải sai:
(82) (82.a)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Nguyên nhân sai lầm:
Phép biến đổi từ bất phương trình (82) sang hệ bất phương trình (82.a) không
phải là phép biến đổi tương đương do thiếu trường hợp nên
làm mất nghiệm của bất phương trình.
Lời giải đúng:
(82) hoặc
hoặc
hoặc
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Nhận xét: Đây là dạng bất phương trình cơ bản
hoặc
83
Dạng 9. Sai lầm dễ mắc phải:
Ví dụ 2.10. Giải bất phương trình (83)
Lời giải sai:
(83)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Nguyên nhân sai lầm:
Do không xét riêng trường hợp dấu bằng xảy ra nên phép biến đổi trên làm
mất nghiệm của bất phương trình là
Lời giải đúng:
(83) hoặc
hoặc
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Nhận xét: hoặc
Dạng 10. Sai lầm dễ mắc phải:
Ví dụ 2.11. Giải phương trình (84)
Lời giải sai:
84
Điều kiện: (vô nghiệm).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Nguyên nhân sai lầm:
Lời giải trên đã giải sai điều kiện nên phương trình đã cho mất nghiệm.
Lời giải đúng:
Điều kiện xác định:
hoặc
Thay vào phương trình (84) thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
Nhận xét: hoặc
2.3. Sai lầm trong biến đổi vừa làm thừa nghiệm, vừa làm thiếu nghiệm
của phƣơng trình.
Ví dụ 2.12. Giải phương trình (85)
Lời giải sai:
(85)
. Vậy tập nghiệm của phương trình là
Nguyên nhân sai lầm:
Lời giải trên đã mắc phải các lỗi sau:
- Không đặt điều kiện xác định căn thức.
85
- Chia cả hai vế cho biểu thức có chứa ẩn, điều này thường sẽ làm mất
nghiệm của phương trình.
- Bình phương hai vế của phương trình mà không có điều kiện có
nghiệm của phương trình, đây là phép biến đổi hệ quả, thường sẽ
làm thừa nghiệm của phương trình.
Như vậy lời giải trên đã làm mất nghiệm đồng thời thừa nghiệm
Lời giải đúng:
(85)
Vậy tập nghiệm của phương trình là
86
CHƢƠNG 3
MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP XÂY DỰNG PHƢƠNG TRÌNH,
BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Con đường sáng tạo ra những phương trình, bất phương trình vô tỉ là dựa
trên cơ sở các phương pháp giải đã được trình bày ở trên. Ta tìm cách biến đổi
để thu được một phương trình, bất phương trình dễ nhìn về mặt hình thức
đồng thời che đi mối quan hệ giữa các đối tượng trong phương trình. Sau đây
là một số ý tưởng xây dựng phương trình, bất phương trình vô tỉ bằng cách
làm như trên.
3.1 . Xây dựng một phƣơng trình vô tỉ từ hệ phƣơng trình đối xứng loại
hai
Bài toán 3.1
Ý tưởng: Xuất phát từ một hệ phương trình đối xứng loại hai đã biết cách giải
. Xét hệ phương trình
Ta có ví dụ sau:
Ví dụ 3.1. Giải phương trình
Phƣơng pháp giải
Đặt , thay vào phương trình đã cho ta có hệ
phương trình:
Trừ các phương trình trong hệ theo vế ta được
(do )
Với ta có
87
Vậy tập nghiệm của phương trình là
Bài toán 3.2
Ý tưởng: Xuất phát từ hệ phương trình đối xứng loại hai đối với và
Ta có ví dụ sau:
Ví dụ 3.2. Giải phương trình
Phƣơng pháp giải
Đặt , khi đó ta có hệ phương trình
.
+) Với , ta có
+) Với , ta có
Vậy tập nghiệm của phương trình là
Nhận xét: Nếu thay dấu đẳng thức ở các phương trình trong bài toán 1 và bài
toán 2 bằng các dấu bất đẳng thức ta sẽ thu được các bất phương trình vô tỉ.
3.2. Xây dựng phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ dựa vào phƣơng
trình đã biết cách giải
Bài toán 3.3
88
Ý tưởng: Xuất phát từ phương trình bậc hai , hoặc bất phương
trình bậc hai ; sau đó chọn bằng các số và là biểu
thức chứa căn ta sẽ xác định được các phương trình hoặc bất phương trình vô
tỉ. Thường chọn các hệ số sao cho biệt thức là số chính phương.
Chẳng hạn chọn và ta thu được phương
trình
Qui đồng bỏ mẫu, ta được ví dụ sau:
Ví dụ 3.3. Giải phương trình
Phƣơng pháp giải
Điều kiện xác định . Phương trình tương đương với
Chia cả hai vế của phương trình cho ta được
Đặt , phương trình trở thành
+) Với , ta có
(phương trình vô nghiệm).
+) Với , ta có
89
(thỏa mãn).
Vậy tập nghiệm của phương trình là
Lưu ý:
Mấu chốt của lời giải trên là chia cả hai vế của phương trình cho
với việc phân tích:
Ta có thể chọn là các biểu thức có chứa biến sao cho biệt thức là số
chính phương.
và , thay vào bất Chẳng hạn, chọn
phương trình ta được:
Biến đổi và rút gọn ta có ví dụ sau:
Ví dụ 3.3.1. Giải bất phương trình
Phƣơng pháp giải
Đặt , thay vào bất phương trình đã cho ta được
(*)
. , suy ra
hoặc (*)
Thay vào ta giải các bất phương trình cơ bản.
Kết hợp với điều kiện , tập nghiệm của bất phương trình là:
90
3.3. Xây dựng phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ dựa vào phƣơng
trình tích
Đối với phương pháp này thì việc xây dựng một phương trình hay bất phương
trình vô tỉ là rất dễ dàng, ta chỉ cần xét phương trình hay bất
phương trình , sau đó ta nhân vào và biến đổi để không còn tích
nữa. Còn việc giải thường là đi ngược lại quá trình sáng tác. Tuy nhiên việc
sáng tác phương trình hay bất phương trình trong trường hợp này cũng không
quá tùy tiện mà nên xây dựng những phương trình đưa về tích có đặc thù
riêng hoặc đại diện cho phương pháp phân tích nào đó.
Bài toán 3.4
Ý tưởng:
Xuất phát từ phương trình tích , chẳng hạn Đặt là
các biểu thức có chứa căn thức ta thu được những phương trình vô tỉ.
Chọn , thay vào phương trình ta
được:
Khai triển và rút gọn ta có ví dụ sau:
Ví dụ 3.4. Giải phương trình
Phƣơng pháp giải
Điều kiện xác định:
Phương trình tương đương với (*)
Đặt , thay vào (*) ta có (1)
Biến đổi phương trình (1) thành phương trình tích từ đó tìm được tập nghiệm
của phương trình đã cho là
91
3.4. Xây dựng phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ từ các hằng đẳng
thức
Bài toán 3.5
Ý tưởng: Xuất phát từ một đẳng thức nào đó, ta có thể xây dựng được các
phương trình vô tỉ. chẳng hạn hằng đẳng thức:
Khi đó ta chọn sao cho: , từ đó ta được một
phương trình tích số:
, suy ra Chẳng hạn, chọn
Từ đó ta có ví dụ sau:
Ví dụ 3.5. Giải phương trình
Phƣơng pháp giải
Đặt suy ra
Phương trình đã cho trở thành:
(1)
Mặt khác ta có (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Từ đây ta giải phương trình có dạng tích số, tìm được tập nghiệm là
Chẳng hạn, chọn , suy ra
Từ đó ta có ví dụ sau:
Ví dụ 3.5.1. Giải bất phương trình
Phƣơng pháp giải
Đặt suy ra
92
Bất phương trình đã cho trở thành:
(1)
(2) Mặt khác ta có
Từ (1) và (2) suy ra
Từ đây ta giải bất phương trình có dạng tích số, tìm được tập nghiệm của bất
phương trình là
Bài toán 3.6
Ý tưởng: xuất phát từ hằng đẳng thức , ta chọn là các biểu thức
có chứa căn ta thu được các phương trình hay bất phương trình vô tỉ.
Chẳng hạn chọn , thay vào đẳng thức
, khai triển hằng đẳng thức hai vế và rút gọn ta thu được ví dụ sau:
Ví dụ 3.6. Giải phương trình
Phƣơng pháp giải
Điều kiện xác định
Biến đổi phương trình đã cho thành
( phương trình vô nghiệm).
(2)
93
(thỏa mãn).
Vậy tập nghiệm của phương trình là
Bài toán 3.7
Ý tưởng: xuất phát từ hằng đẳng thức , ta chọn
là các biểu thức có chứa căn đồng thời ta muốn xây dựng một phương
trình được giải bằng cách đưa về phương trình đẳng cấp dạng:
Ta chỉ việc tính theo sau đó cho ta sẽ thu được
phương trình ẩn . Thường ta chọn các hệ số sao cho biệt thức là số
chính phương.
Chẳng hạn ta xét hằng đẳng thức
, khi đó chọn
Xét
Mà và
Từ đó ta có ví dụ sau:
Ví dụ 3.7. Giải phương trình
Phƣơng pháp giải
Điều kiện xác định
Biến đổi phương trình đã cho thành
94
, biến đổi về giải phương trình đẳng cấp bậc Đặt
hai đối với .
Bài toán 3.8
Ý tưởng: Dựa vào hằng đẳng thức
Đặt
Xét (*)
Ta có ;
và , thay vào bất phương trình (*) ta thu được bài toán sau:
Ví dụ 3.8. Giải bất phương trình
Phƣơng pháp giải
Tập xác định
Biến đổi bất phương trình thành
Đặt
Đưa về giải bất phương trình tích ẩn
3.5. Xây dựng phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ dựa vào tính đơn
điệu của hàm số
Ta có kết quả sau:
Nếu hàm số liên tục và đơn điệu trên khoảng đồng thời
thì
Bằng cách chọn hàm số đơn điệu và là biểu thức có chứa căn thức, ta
có thể xây dựng được những phương trình, bất phương trình vô tỉ.
Bài toán 3.9
Ý tưởng: Xét hàm số có . Khi đó hàm số
95
đồng biến trên . Sau đó cho , ta thu được ví dụ
sau:
Ví dụ 3.9. Giải phương trình
Phƣơng pháp giải
Tập xác định
Biến đổi phương trình đã cho trở thành:
(*)
Xét hàm số đồng biến trên Khi đó phương trình (*) trở thành
Từ đó giải phương trình bậc ba tìm được tập nghiệm của phương trình là
Bài toán 3.10
Ý tưởng: Xuất phát từ hàm số có
suy ra hàm số đồng biến trên
Sau đó cho ta thu được ví dụ sau:
Ví dụ 3.10. Giải bất phương trình
Phƣơng pháp giải
Điều kiện xác định
Quá trình giải toán đi ngược với quá trình sáng tác.
Bài toán 3.11
Sử dụng các ước lượng của hàm đơn điệu, ta có thể xây dựng được các
phương trình, bất phương trình vô tỉ. Ta có các ước lượng sau, xét :
96
i)
Thật vậy hàm số liên tục và đơn điệu tăng trên nên
ta có
ii)
Thật vậy hàm số liên tục và đơn điệu tăng trên nên
ta có
iii)
Thật vậy hàm số liên tục và đơn điệu tăng trên nên
ta có
Cộng các ước lượng cơ bản trên và thay ta thu được ví dụ sau:
Ví dụ 3.11. Giải phương trình
Phƣơng pháp giải
Điều kiện xác định .
Biến đổi phương trình đã cho về dạng
Sử dụng các ước lượng trên, suy ra tập nghiệm của phương trình là
3.6. Xây dựng phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ dựa vào phƣơng
trình lƣợng giác
Từ một phương trình lượng giác đơn giản nào đó, kết hợp với các phép biến
đổi lượng giác thì sẽ tìm ra các phương trình, bất phương trình vô tỉ. Lợi thế
của phương pháp này là đưa phương trình ban đầu về phương trình lượng giác
cơ bản đã biết cách giải.
Bài toán 3.12
Ý tưởng: Xuất phát từ phương trình lượng giác cơ bản:
97
Ta biến đổi phương trình thành
Đặt , ta có ví dụ sau:
Ví dụ 3.12. Giải phương trình
Phƣơng pháp giải
Điều kiện xác định .Ta xét các trường hợp sau:
Nếu xét vế trái của phương trình ta có và
, suy ra phương trình
vô nghiệm với mọi
Nếu , ta đặt , thay vào giải phương trình
lượng giác . Từ đó tìm được tập nghiệm của
phương trình là
Bài toán 3.13
Ý tưởng: Xuất phát từ phương trình lượng giác , biến đổi
phương trình này ta được:
Đặt ,ta thu được ví dụ sau:
Ví dụ 3.13. Giải bất phương trình
Phƣơng pháp giải
Điều kiện xác định
Đặt , đưa về giải phương trình lượng giác cơ bản
98
Sau khi tìm được nghiệm của phương trình , sử dụng tính
liên tục của hàm số, lập bảng xét dấu của hàm số , từ
đó tìm được tập nghiệm của bất phương trình.
Bài toán 3.14
Ý tưởng: Xuất phát từ phương trình lượng giác cơ bản
biến đổi phương trình này ta được:
Đặt , ta thu được ví dụ sau:
Ví dụ 3.14. Giải phương trình (1)
Thay bằng ta thu được phương trình khó hơn:
Ví dụ 3.14.1. Giải phương trình
Trong phương trình (1), ta thay bằng ta thu bài toán sau
Ví dụ 3.14.2. Giải phương trình
3.7. Xây dựng phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ dựa vào nghiệm chọn
sẵn và phƣơng pháp nhân lƣợng liên hợp
Việc nhẩm các nghiệm bằng máy tính cầm tay và phương pháp nhân lượng
liên hợp là phương pháp thường dùng khi giải các phương trình, bất phương
trình vô tỉ. Việc xây dựng bài toán mới dựa trên phương pháp này cũng khá
quen thuộc, ta chỉ cần chọn sẵn nghiệm rồi xây dựng các biểu thức thỏa mãn
dấu đẳng thức xảy ra. Còn giải phương trình dạng này, một điều rất quan
trọng là đoán được nghiệm của nó, từ đó ta sẽ tìm lượng liên hợp tương ứng.
Ví dụ 3.15
Chọn thay vào các căn thức sau, ta được:
Từ đó ta có ví dụ sau:
99
Giải phương trình
Phƣơng pháp giải
Điều kiện xác định
Phương trình đã cho tương đương với
(thỏa mãn điều kiện). Vì
Vậy tập nghiệm của phương trình là
Ví dụ 3.16
Chọn thay vào các căn thức sau, ta được:
Từ đó ta có ví dụ sau:
Giải bất phương trình
Phƣơng pháp giải
Điều kiện xác định
Bất phương trình đã cho tương đương với
100
Vì
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
3.8. Xây dựng phƣơng trình, bất phƣơng trình vô tỉ bằng cách sử dụng
hàm ngƣợc
Đây là phương pháp khá hay để xây dựng phương trình, bất phương trình vô
tỉ. Ta sử dụng các kết quả sau:
- Nếu hàm số liên tục và đơn điệu nghiêm ngặt trên khoảng
thì tồn tại hàm số ngược .
- Cho hàm số có hàm ngược . Khi đó đồng
biến đồng biến.
- Giả sử hàm số có hàm số ngược . Nếu vẽ đồ thị
của hai hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ Đề - các vuông góc
thì hai đồ thị ấy đối xứng với nhau qua đường phân giác thứ nhất.
Do đó việc giải phương trình qui về giải phương trình
hoặc .
Ví dụ 3.17
Xét hàm số trên khoảng . Hàm số ngược của
là , xác định trên khoảng . Khi đó ta có ví dụ sau:
Giải phương trình , với .
Hướng dẫn giải
Cách 1. Đặt ẩn phụ, đưa về hệ phương trình đối xứng
101
Đặt , ta có hệ
Giải hệ phương trình đối xứng trên ta tìm được tập nghiệm của phương trình
ban đầu là
Cách 2.
Bình phương hai vế, đưa về giải phương trình hệ quả là phương trình bậc 4
Ví dụ 3.18
Ta có hàm số trên có hàm số ngược là hàm số
xác định trên . Do đó ta có ví dụ sau:
Giải bất phương trình .
Phƣơng pháp giải
Điều kiện xác định
Tìm tập nghiệm của phương trình bằng cách
đặt . Sau đó sử dụng tính liên tục của hàm số và lập
bảng xét dấu của suy ra tập nghiệm của bất phương trình.
102
Kết luận
Luận văn “Những dạng toán về phương trình, bất phương trình vô tỉ thường
gặp trong trường Trung học phổ thông” đã giải quyết được những vấn đề sau:
- Hệ thống các phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ
thường gặp trong trường Trung học phổ thông.
- Đưa ra một số bài tập có thể giải bằng nhiều cách khác nhau.
- Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh Trung học phổ thông
khi giải các phương trình, bất phương trình vô tỉ.
- Đưa ra một số hướng để xây dựng các phương trình, bất phương
trình vô tỉ mới.
Luận văn đã góp phần nâng cao chất lượng dạy và học nội dung phương trình,
bất phương trình vô tỉ trong trường Trung học phổ thông.
Hà nội, tháng 4 năm 2016
Tác giả
Thân Thị Nguyệt Ánh
103
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Nguyễn Tài Chung, (2015), Sáng tạo và giải phương trình, hệ phương
trình, bất phương trình vô tỉ, NXB Tổng hợp TPHCM.
[2]. Lê Văn Đoàn, (2015), Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải phương trình, bất
phương trình vô tỉ, NXB ĐHQGHN.
[3]. Nguyễn Phụ Hy, (1995), Phương pháp giải phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình, NXB GD.
[4]. Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2013), Sai lầm thường gặp và các sáng
tạo khi giải toán, NXB ĐHSP.
[5]. Nguyễn Văn Mậu, (1997), Phương pháp giải phương trình và bất phương
trình, NXBGD.
[6]. Chuyên đề phương trình, bất phương trình vô tỉ trên mạng Internet.
[7]. Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ, NXBGD.
104
