1. M ĐU:Ở Ầ
1.1. Lý do ch n đ tài:ọ ề
- Th c hi n ch tr ng, đng l i c a Đng, chính sách pháp lu t c aự ệ ủ ươ ườ ố ủ ả ậ ủ
Nhà n c. Căn c vào ph ng h ng, nhi m v và k ho ch chuyên mônướ ứ ươ ướ ệ ụ ế ạ
c a tr ng THPT Th ch Thành 2 năm h c 2015-2016.ủ ườ ạ ọ
- Năm h c 2015-2016, tôi đc phân công tr c ti p gi ng d y các l pọ ượ ự ế ả ạ ớ
10. Đa s h c sinh nh n th c còn ch m, giáo viên c n có ph ng pháp c thố ọ ậ ứ ậ ầ ươ ụ ể
cho t ng d ng toán đ h c sinh n m đc bài t t h n.ừ ạ ể ọ ắ ượ ố ơ
- Trong ch ng trình toán THPT, mà c th là phân môn Đi s 10, cácươ ụ ể ạ ố
em h c sinh đã đc ti p c n v i ph ng trình ch a n d i d u căn vàọ ượ ế ậ ớ ươ ứ ẩ ướ ấ
đc ti p c n v i m t vài cách gi i thông th ng đi v i nh ng bài toán cượ ế ậ ớ ộ ả ườ ố ớ ữ ơ
b n đn gi n. Tuy nhiên trong th c t các bài toán gi i ph ng trình ch a nả ơ ả ự ế ả ươ ứ ẩ
d i d u căn r t phong phú và đa d ng và đc bi t là trong các đ thi THPTướ ấ ấ ạ ặ ệ ề
qu c gia m y năm g n đây, các em s g p m t l p các bài toán v ph ngố ấ ầ ẽ ặ ộ ớ ề ươ
trình vô t (câu này là câu l y đi m 8 đôi khi là đi m 9 trong câu trúc đ thi)ỉ ấ ể ể ề
mà ch có s ít các em bi t ph ng pháp gi i nh ng trình bày còn l ng c ngỉ ố ế ươ ả ư ủ ủ
ch a đc g n gàng, sáng s a th m chí còn m c m t s sai l m không đángư ượ ọ ủ ậ ắ ộ ố ầ
có trong khi trình bày. T i sao l i nh v y?ạ ạ ư ậ
- Lý do chính đây là: Trong ch ng trình SGK Đi s l p 10 hi nở ươ ạ ố ớ ệ
hành đc trình bày ph n đu ch ng III (gi a h c k I) r t là ít và h nượ ở ầ ầ ươ ữ ọ ỳ ấ ạ
h p ch có m t ti t lý thuy t sách giáo khoa, gi i thi u s l c 1 ví d vàẹ ỉ ộ ế ế ớ ệ ơ ượ ụ
đa ra cách gi i khá r m rà khó hi u và d m c sai l m, ph n bài t p đaư ả ườ ể ễ ắ ầ ầ ậ ư
ra sau bài h c cũng r t h n ch . M t khác do s ti t phân ph i ch ng trìnhọ ấ ạ ế ặ ố ế ố ươ
cho ph n này quá ít nên trong quá trình gi ng d y, các giáo viên không thầ ả ạ ể
đa ra đc nhi u bài t p cho nhi u d ng đ hình thành k năng gi i choư ượ ề ậ ề ạ ể ỹ ả
h c sinh. Nh ng trong th c t , đ bi n đi và gi i chính xác ph ng trìnhọ ư ự ế ể ế ổ ả ươ
ch a n d i d u căn đòi h i h c sinh ph i n m v ng nhi u ki n th c,ứ ẩ ướ ấ ỏ ọ ả ắ ữ ề ế ứ
ph i có t duy m c đ cao và ph i có năng l c bi n đi toán h c nhanhả ư ở ứ ộ ả ự ế ổ ọ
nh n thu n th c. ẹ ầ ụ
1.2. M c đích nghiên c u:ụ ứ
- T lý do ch n đ tài, t c s th c ti n gi ng d y kh i l p 10 ừ ọ ề ừ ơ ở ự ễ ả ạ ố ớ ở
tr ng THPT, cùng v i kinh nghi m trong th i gian gi ng d y. Tôi đã t ngườ ớ ệ ờ ả ạ ổ
h p, khai thác và h th ng hoá l i các ki n th c thành: ợ ệ ố ạ ế ứ “M t s ph ngộ ố ươ
pháp gi i ph ng trình vô t trong c u trúc đ thi THPT qu c giaả ươ ỉ ấ ề ố ’’.
- Qua n i dung c a đ tài này tôi mong mu n s cung c p cho h c sinhộ ủ ề ố ẽ ấ ọ
m t s ph ng pháp t ng quát và m t s k năng c b n và phát hi n đcộ ố ươ ổ ộ ố ỹ ơ ả ệ ượ
đâu là đi u ki n c n và đ. H c sinh thông hi u và trình bày bài toán đúngề ệ ầ ủ ọ ể
trình t , đúng logic, không m c sai l m khi bi n đi. Hy v ng đ tài nh nàyự ắ ầ ế ổ ọ ề ỏ
ra đi s giúp các b n đng nghi p cùng các em h c sinh có m t cái nhìn toànờ ẽ ạ ồ ệ ọ ộ
1
di n cũng nh ph ng pháp gi i m t s các bài toán v gi i ph ng trình vôệ ư ươ ả ộ ố ề ả ươ
t .ỉ
1.3. Đi t ng nghiên c u:ố ượ ứ
Đ tài này nh m giúp h c sinh v n d ng và tìm ra các ph ng pháp gi iề ằ ọ ậ ụ ươ ả
ph ng trình ch a n d u cănươ ứ ẩ ấ
1.4. Ph ng pháp nghiên c u:ươ ứ
Ph ng pháp: ươ
- Nghiên c u lý lu n chung.ứ ậ
- Kh o sát đi u tra t th c t d y và h c .ả ề ừ ự ế ạ ọ
- T ng h p so sánh , đúc rút kinh nghi m.ổ ợ ệ
Cách th c hi n:ự ệ
- Trao đi v i đng nghi p, tham kh o ý ki n giáo viên cùng b môn ổ ớ ồ ệ ả ế ộ
- Liên h th c t trong nhà tr ng, áp d ng đúc rút kinh nghi m quaệ ự ế ườ ụ ệ
quá trình gi ng d y.ả ạ
- Thông qua vi c gi ng d y tr c ti p các l p kh i 10 trong năm h cệ ả ạ ự ế ở ớ ố ọ
t 2008 đn 2016.ừ ế
2. N I DUNG SÁNG KI N KINH NGHI M:Ộ Ế Ệ
2.1. C s lơ ở ý lu n c a sáng ki n kinh nghi mậ ủ ế ệ :
- Nhi m v trung tâm trong tr ng h c THPT là ho t đng d y c aệ ụ ườ ọ ạ ộ ạ ủ
th y và ho t đng h c c a trò, xu t phát t m c tiêu đào t o. Giúp h c sinhầ ạ ộ ọ ủ ấ ừ ụ ạ ọ
c ng c nh ng ki n th c ph thông đc bi t là b môn toán h c r t c nủ ố ữ ế ứ ổ ặ ệ ộ ọ ấ ầ
thi t không th thi u trong đi s ng c a con ng i. Môn Toán là m t mônế ể ế ờ ố ủ ườ ộ
h c t nhiên quan tr ng và khó v i ki n th c r ng, đa ph n các em ng i h cọ ự ọ ớ ế ứ ộ ầ ạ ọ
môn này.
- Mu n h c t t môn toán các em ph i n m v ng nh ng tri th c khoaố ọ ố ả ắ ữ ữ ứ
h c môn toán m t cách có h th ng, bi t v n d ng lý thuy t linh ho t vàoọ ở ộ ệ ố ế ậ ụ ế ạ
t ng d ng bài t p. Đi u đó th hi n vi c h c đi đôi v i hành, đòi h i h cừ ạ ậ ề ể ệ ở ệ ọ ớ ỏ ọ
sinh ph i có t duy logic và cách bi n đi. Giáo viên c n đnh h ng cho h cả ư ế ổ ầ ị ướ ọ
sinh h c và nghiên c u môn toán h c m t cách có h th ng trong ch ngọ ứ ọ ộ ệ ố ươ
trình h c ph thông, v n d ng lý thuy t vào làm bài t p, phân d ng các bàiọ ổ ậ ụ ế ậ ạ
t p r i t ng h p các cách gi i.ậ ồ ổ ợ ả
- Do v y, tôi m nh d n đa ra sáng ki n kinh nghi m này v i m cậ ạ ạ ư ế ệ ớ ụ
đính giúp cho h c sinh THPT v n d ng và tìm ra ph ng pháp gi i khi g pọ ậ ụ ươ ả ặ
các bài toán gi i ph ng trình ch a n d i d u căn.ả ươ ứ ẩ ướ ấ
Trong sách giáo khoa Đi s 10 ch nêu ph ng trình d ng ạ ố ỉ ươ ạ
f (x)
=
g(x) và trình bày ph ng pháp gi i b ng cách bi n đi h qu , tr c khiươ ả ằ ế ổ ệ ả ướ
gi i ch đt đi u ki n ả ỉ ặ ề ệ f(x)
0. Nh ng chúng ta nên đ ý r ng đây ch là đi uư ể ằ ỉ ề
ki n đ đ th c hi n đc phép bi n đi cho nên trong quá trình gi i h cệ ủ ể ự ệ ượ ế ổ ả ọ
2
sinh d m c sai l m khi l y nghi m và lo i b nghi m ngo i lai vì nh mễ ắ ầ ấ ệ ạ ỏ ệ ạ ầ
t ng đi u ki n ưở ề ệ f(x)
0 là đi u ki n c n và đ c a ph ng trình.ề ệ ầ ủ ủ ươ
Tuy nhiên khi g p bài toán gi i ph ng trình vô t , có nhi u bài toánặ ả ươ ỉ ề
đòi h i h c sinh ph i bi t v n d ng k t h p nhi u ki n th c kĩ năng phânỏ ọ ả ế ậ ụ ế ợ ề ế ứ
tích bi n đi đ đa ph ng trình t d ng ph c t p v d ng đn gi nế ổ ể ư ươ ừ ạ ứ ạ ề ạ ơ ả
Trong gi i h n c a SKKN tôi ch h ng d n h c sinh hai d ngớ ạ ủ ỉ ướ ẫ ọ ạ
ph ng trình th ng g p và m t s bài toán v n d ng bi n đi c b n vàươ ườ ặ ộ ố ậ ụ ế ổ ơ ả
m t s d ng bài toán th ng g p trong kì thi THPT qu c gia.ộ ố ạ ườ ặ ố
2.2. Th c tr ng v n đ tr c khi áp d ng sáng ki n kinhự ạ ấ ề ướ ụ ế
nghi m:ệ
H c sinh tr ng THPT Th ch Thành 2 nói riêng và m t s h c sinhọ ườ ạ ộ ố ọ
c a các tr ng mi n núi nói chung, đa s là h c sinh vùng nông thôn, khuủ ườ ề ố ọ ở
v c đc bi t khó khăn, còn thi u th n v m i m t nên ki n th c THCS cònự ặ ệ ế ố ề ọ ặ ế ứ
non y u, ti p thu bài còn ch m, ch a t h th ng đc ki n th c. Khi g pế ế ậ ư ự ệ ố ượ ế ứ ặ
các bài toán v ph ng trình vô t ch a phân lo i và đnh hình đc cáchề ươ ỉ ư ạ ị ượ
gi i, lúng túng khi đt đi u ki n và bi n đi, trong khi đó ph ng trình lo iả ặ ề ệ ế ổ ươ ạ
này có r t nhi u d ng. Nh ng bên c nh đó ch ng trình Đi s 10 khôngấ ề ạ ư ạ ươ ạ ố
nêu cách gi i t ng quát cho t ng d ng, th i l ng dành cho ph n này là quáả ổ ừ ạ ờ ượ ầ
ít.Trong khi đó m y năm l i g n đây trong c u trúc đ thi THPT qu c gia thìấ ạ ầ ấ ề ố
câu gi i ph ng trình là câu l y đi m 8 đôi khi là đi m 9 đòi h i m c đ tả ươ ấ ể ể ỏ ứ ộ ư
duy cao c a h c h c sinh.ủ ọ ọ
Qua vi c kh o sát ki m tra đnh k và vi c h c t p, làm bài t p hàngệ ả ể ị ỳ ệ ọ ậ ậ
ngày nh n th y h c sinh th ng b qua ho c không gi i đc ho c trìnhậ ấ ọ ườ ỏ ặ ả ượ ặ
bày cách gi i đt đi u ki n và l y nghi m sai ph n này.ả ặ ề ệ ấ ệ ở ầ
2.3. Các gi i pháp đã s d ng đ gi i quy t v n đả ử ụ ể ả ế ấ ề:
M t s d ng và ph ng pháp gi i:ộ ố ạ ươ ả
Qua nghiên c u trao đi và đúc rút kinh nghi m t th c t và ý ki nứ ổ ệ ừ ự ế ế
c a đng nghi p tôi m nh d n đa ra h ng g i quy t các v n đ trên c aủ ồ ệ ạ ạ ư ướ ả ế ấ ề ủ
h c sinhọ
v i m t s d ng và ph ng pháp gi i c th t ng d ng:ớ ộ ố ạ ươ ả ụ ể ừ ạ
* D ng 1ạ: ph ng trình ươ
)(xf
= g(x) (1)
Đi u ki n ề ệ
g(x) 0
là đi u ki n c n và đ c a ph ng trình ề ệ ầ ủ ủ ươ (1), sau
khi gi i ph ng trình ả ươ f(x) = g2(x) ch c nỉ ầ
g(x) 0
đ k t lu n nghi m màể ế ậ ệ
không c n ph i thay vào ph ng trình ban đu đ th đ l y nghi m.ầ ả ươ ầ ể ử ể ấ ệ
* D ng 2:ạ ph ng trình ươ
)()( xgxf
(2)
Ph ng trình ươ (2)
)()(
0)(
xgxf
xf
3
Đi u ki n ề ệ
f(x) 0
là đi u ki n c n và đ c a ph ng trình (2). Chú ýề ệ ầ ủ ủ ươ
đây không nh t thi t ph i đt đi u ki n đng th i c ở ấ ế ả ặ ề ệ ồ ờ ả f(x) và g(x) không
âm vì f(x)=g(x)
Hai d ng trên là hai d ng c b n mà h u h t các em h c sinh có th n mạ ạ ơ ả ầ ế ọ ể ắ
v ng đc sau khi đc giáo viên h ng d n.ữ ượ ượ ướ ẫ
*D ng 3: S d ng l ng liên h p đ đa ph ng trình vạ ử ụ ượ ợ ể ư ươ ề
ph ng trình tíchươ
a) Bi u th c liên h p xu t hi n ngay trong ph ng trìnhể ứ ợ ấ ệ ươ
L u ý: ư
a
b
=
a b
a b
+
m
( )
, 0,a b a b>
;
3 3
a b
=
3 32 2
3
a b
a ab b
+m
Ví d 1ụ: Gi i ph ng trình: ả ươ
10 1x+
+
3 5x−
=
9 4x−
+
2 2x−
Phân tích: 10x-1-(9x+4)=3x-5-(2x-2) nên ta có l i gi i sauờ ả
L i g iờ ả : Đi u ki n: ề ệ
5
3
x
.
Pt
( ) ( )
10 1 9 4 3 5 2 2x x x x+ − + + − − −�
=0
3 3
10 1 9 4 3 5 2 2
x x
x x x x
− −
+�+ + − − + −
=0
( )
1 1
310 1 9 4 3 5 2 2
xx x x
� �
− +�� �
+ + + − + −
� �
=0
3x=�
(th a mãn đk)ỏ
V y pt có nghi m là ậ ệ x=3
Ví d 2: ụGi i ph ng trìnhả ươ :
( )
9 4 1 3 2 3x x x+ − − = +
(đ thi th thpt ề ử
qu c gia th ch thành 2-2015) ố ạ
L i gi i: Đk: ờ ả
2
3
x
Pt
3
9 3 9 4 1 3 2
4 1 3 2
xx x x
x x
+
� �
= + = + + −� �
� �
+ + −
� �
,bình ph ng 2 v ươ ế
ta có nghi m ệx=6.
Ví d 3ụ: Gi i ph ng trình: ả ươ
2
6 4
2 4 2 2
4
x
x x
x
−
+ = + −
+
Phân tích: Quan sát ph ng trình ta th y 2ươ ấ x+4-4(2-x)=6x-4.Đây là c ơ
s t t đ ta nhóm.ở ố ể
L i gi i: Đk ờ ả
2 2x−
,
pt
2
6 4
2 4 2 2
4
x
x x
x
−
+ − − =�+
3
2
x=�
và
( )
2
2 4 2 2 4x x x+ + − = + ∗
.Bình ph ng hai v c a ươ ế ủ
( )
∗
ta có nghi m ệx= 2
V y pt có 2 nghi m là ậ ệ x=3/2 và x
Ví d 4ụ: Gi i ph ng trình sau: ả ươ
2
3x 2 1 2 3x x x− − + = − −
4
Phân tích : Khi ghép các bi u th c trong căn ta th y:ể ứ ấ
( ) ( )
3x 2 1 2 3x x
− − + = −
� �
� �
và phân tích bi u th c còn l i ể ứ ạ
( ) ( )
2
2 3 2x 3 1x x x− − = − +
xu t hi n nhân t chung.ấ ệ ử
L i gi i: Đk ờ ả
2
3
x
.Pt
( ) ( ) ( ) ( )
2x 3 1 3
2x 3 1 2x 3 1 0 2
3x 2 1 3x 2 1
x x x
x x
−� �
= − + − − + = =� � �
� �
− + + − + +
� �
ho c ặ
( )
11
3x 2 1 x
x= +
− + +
(vô nghi m vì VT<1 , VP>1).ệ
b)Tìm đc m t nghi m, thêm, b t đ làm xu t hi n bi u th c liên ượ ộ ệ ớ ể ấ ệ ể ứ
h pợ
Ví d 5ụ: Gi i ph ng trình:ả ươ
( )
2
3x 1 6 3 14x 8 0 1x x− − − + − − =
(ĐHKB_2010)
Phân tích : ta nh m nghi m ho c dùng ch c năng CALC c a máy tính ẩ ệ ặ ứ ủ
b túi ta tìm đc nghi mỏ ượ ệ x=5 ho c ta tìm m t s ặ ộ ố x
16
3x
� �
−
� �
� �
sao cho 3x+1
và 6-x là m t s chính ph ng th a mãn ph ng trình trên. D th y ộ ố ươ ỏ ươ ễ ấ x=5 th aỏ
mãn (1). Vì v y ta đa pt v d ng ậ ư ề ạ (x-5)f(x)=0, ta c n làm xu t hi n nhân t ầ ấ ệ ử
chung x-5 t v trái c a ph ng trình b ng ph ng pháp liên h p.ừ ế ủ ươ ằ ươ ợ
L i gi i: Đk: ờ ả
16
3x−
.
Pt (1)
( ) ( )
( ) ( )
2
3x 5 5
3x+1 4 1 6 3 14x 5 0 5 3x 1 0
3 1 4 1 6
x
x x x
x x
− −
− + − − + − − = + + − + =� � + + + −
( ) ( )
5 0
1 1 3x 1 0
3 1 4 1 6
− =
+ + − = ∗
+ + + −
x
x x
5x=�
và pt (*) vô nghi m v i đk.ệ ớ
V y ậx=5 là nghi m duy nh t.ệ ấ
Ví d 6ụ: Gi i ph ng trình: ả ươ
2
3
5 1 9 2 3 1x x x x− + − = + −
(Hsg k12 HN-
2012).
Phân tích: T ng t ta th y x=1 là nghi m, ngoài cách làm nh trên ta ươ ự ấ ệ ư
còn có th làm nhanh nh sau: Thay ể ư x=1 vào
5 1x−
ta đc 2,vào ượ
3
9x−
ta
đc 2 vì th ta tách nh sau.ượ ế ư
5