ĐỐI TƯỢNG VÀ PHƯƠNG PHÁP TRONG TOÁN
HỌC CỔ ĐIỂN.
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .................................................................................................................................... 1
CHƯƠNG I. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN. ............................... 2
1.1. Sự khởi sinh của các tư tưởng tiền Toán học. ................................................................ 5
1.2. Tư tưởng chứng minh. ..................................................................................................... 8
1.3. Các tiên đề và định nghĩa. .............................................................................................. 10
1.4. Hình học, từ Euclid đến Hilbert .................................................................................... 13
1.5. Số và đại lượng ................................................................................................................ 18
CHƯƠNG II. MỘT SỐ TƯ TƯỞNG TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH. ........................ 25
2.1. Tư tưởng về xấp xỉ. .......................................................................................................... 25
2.2. Những tiến bộ trong đại số.............................................................................................. 29
2.3. Phương pháp tọa độ ........................................................................................................ 32
2.4. Quan điểm về giới hạn và phép tính vô cùng bé. .......................................................... 38
KẾT LUẬN ............................................................................................................................. 49
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................... 50
MỞ ĐẦU
David Hilbert, một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại, có
nói đại ý rằng, Toán học cũng giống như nhạc cổ điển: vừa đơn giản vừa đẹp.
Cũng như trong âm nhạc, vẻ đẹp của toán học cổ điển còn mãi với thời gian.
Ngày nay, đọc lại những trang “Cơ sở” của Euclid, ta vẫn ngạc nhiên thán phục
trước sự chặt chẽ của lập luận, sự trong sáng của tư duy trong một công trình
được viết đã hai ngàn năm.
Tìm hiểu về đối tượng và phương pháp của toán học cổ điển là sự trở về
với cội nguồn của những ý tưởng, những phương pháp toán học mà ta được học
trong nhà trường. Hiểu được cội nguồn của nó, ta sẽ hiểu rõ hơn, sâu hơn, và sẽ
có thể đi xa hơn. Sự hiểu biết đó cũng sẽ giúp ích rất nhiều cho những người làm
công tác giảng dạy toán học ở nhà trường.
Vì những lẽ đó, chúng tôi chọn đề tài cho luận văn này là “Đối tượng và
phương pháp trong toán học cổ điển”.
Tất nhiên, không thể đề cập đến toàn bộ vấn đề rộng lớn như tên gọi của
luận văn. Chúng tôi chỉ tập trung trình bày ở đây một số vấn đề sau:
Sự xuất hiện của ý tưởng về “chứng minh” -
- Phương pháp tiên đề.
- Phương pháp tọa độ
- Ý tưởng về xấp xỉ
- Đại lượng vô cùng bé.
Nội dung của luận văn được viết dựa vào các tài liệu liệt kê trong phần Tài
liệu tham khảo, đặc biệt là cuốn sách ”Mathematics – the music of reason” của
1
J. Dieudonné.
CHƯƠNG I. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN.
Vào thời văn minh cổ đại, nhằm đáp ứng các nhu cầu trong cuộc sống
hàng ngày và xây dựng quy trình tính toán số học và các phép đo lường không
gian, từ thế kỷ thứ 6 trước Công nguyên, người Hy Lạp, bằng cách phân tích
chuỗi suy luận ẩn sau những qui trình đó, đã tạo ra một phương thức tư duy
hoàn toàn mới. Trong chương này, chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ những khía cạnh
thiết yếu trong toán học Hy Lạp và sự phát triển đến mức không ngờ, đặc biệt
hiệu quả, mà nó mang lại cho các nhà toán học vào giữa thời kỳ phục hưng cho
đến cuối thế kỷ thứ 18.
Chúng ta sẽ chỉ tập trung vào 2 nền tảng đặc trưng của Toán học Hy Lạp.
1) Ý tưởng về chứng minh: bằng một chuỗi suy luận lô gic xuất phát từ
những mệnh đề, định đề, tiên đề chưa được chứng minh. Cần phải nhấn
mạnh rằng ý tưởng này chỉ có thể trở thành hiện thực nhờ vào kỹ năng
suy luận logic bởi những người đã được nuôi dưỡng từ những trường phái
Triết học Hy Lạp. Một ví dụ nổi bật là nguyên tắc “chứng minh phản
chứng”, một phương pháp đã được các nhà logic học làm sâu sắc thêm và
đã trở thành một trong những trụ cột của lập luận toán học.
2) Những đối tượng mà các nhà toán học cùng quan tâm đều mang những
tên gọi thường được sử dụng trong các tính toán thực tế như: số, hình học
và độ lớn. Tuy nhiên, ngay từ thời của Plato, các nhà toán học đã lưu ý
rằng dưới những tên gọi đó, họ đang lập luận về những thực thể hoàn toàn
khác, những thực thể phi vật chất, nhận được “bằng cách trừu tượng” từ
đối tượng cảm nhận bởi giác quan của chúng ta, nhưng chúng chỉ là hình
ảnh của những đối tượng đó.
Như sẽ chỉ ra trong mục 1.3, phần nói về lược đồ trong hình học, sự khác
2
nhau đến mức nào của những tính chất được gán bởi các tiên đề cho các đối
tượng “trìu tượng” của hình học với những “hình ảnh” của chúng, và những khó
khăn phát sinh trong việc tìm kiếm một từ phù hợp để định nghĩa những đối
tượng này . Để có thể hiểu rõ hơn về những ý tưởng này, chúng ta sẽ không
dừng lại ở đây để theo dõi chi tiết thăng trầm lịch sử của những khái niệm. Thay
vào đó, chúng ta sẽ trình bày những ý tưởng mà Pasch và Hilbert đã thực hiện
vào cuối thế kỷ thứ 19. Hai nhà toán học này đã khắc phục những thiếu sót
nhưng vẫn giữ nguyên phương pháp tiên đề Euclid trong tinh thần ban đầu của
nó. Họ đã xóa bỏ vĩnh viễn những khó khăn, bằng cách nêu rõ chính các tiên đề
xác định các đối tượng toán học.
Cũng tương tự như vậy, mục 1.4 được dành để trình bày các đối tượng
toán học mà “hình ảnh” của chúng là các số và những đại lượng của các thực thể
thông qua nhận thức bằng cảm quan của chúng ta. Đặc tính “trừu tượng” của
toàn bộ các con số đã luôn hiện hữu trong Toán học Hy lạp, và sự trình bày của
Euclid về quan hệ chia hết của các số và số nguyên tố vẫn còn thích hợp trong
việc giảng dạy ngày nay. Mặc dù vậy, không giống như trong hình học, các con
số không được đặt trong dạng lý thuyết tiên đề .
Ngược lại, việc khám phá ra đại lượng vô ước đã mang lại một cuộc
khủng hoảng trong quan niệm của các nhà Toán học Hy Lạp về phép đo độ lớn.
Có vẻ như trên thực tế những người theo trường phái Pytagore trước kia đã luôn
chấp nhận rằng khi một đơn vị được chọn cho một loại đại lượng, thì mọi đại
lượng cùng loại là “thông ước” với đơn vị này –có thể gọi đó là một số hữu tỷ.
Để vượt qua những khó khăn này, người Hy Lạp đã tạo ra những đối tượng
Toán học mới, cụ thể là tỷ số giữa các đại lượng cùng một loại. Các tỷ số này
được định nghĩa một cách tiên đề sao cho tỷ số giữa các đại lượng cùng loại với
một đơn vị đã chọn cho chúng lập nên một phần của cái mà ta gọi là tập các số
thực dương. Phần này chứa các số hữu tỷ và một số số vô tỷ, tuy nhiên nó chưa
3
cho phép chỉ ra rõ được hết các phần tử chứa trong đó.
Chắc chắn vì lý do triết học, nên các nhà toán học của trường Plato đã
quan sát thấy những điều cấm kỵ trong việc vận dụng ba loại độ lớn hình học là:
chiều dài, diện tích và thể tích. Ví dụ, bạn không thể cộng các số chiều dài với
số đo diện tích, và tích của số đo hai chiều dài lại là số đo một diện tích (hoặc
tích của ba chiều dài là số đo một thể tích), chứ không phải là số đo chiều dài.
Mặc dù hình học có thể tự thích nghi với những hạn chế trên, nhưng những hạn
chế đó đã làm cho không thể thực hiện các phép tính đại số như chúng ta vẫn
thực hiện ở các số thực. Phải đến Descartes mới ngăn việc thực hiện những phép
toán như vậy, mặc dù có một số các nhà toán học đã đề nghị việc này từ hàng
thế kỷ trước. Từ thời kỳ này trở đi “tỷ số” giữa các đại lượng cùng một loại
được đồng nhất với các số thực, mà không cần thiết phải chỉ rõ loại cần được
xem xét.
Trong mục 2.2 và 2.3, chúng ta sẽ chỉ ra, cùng với việc phát minh ra các
ký hiệu thuận tiện vào thời Trung cổ và thời kỳ Phục hưng, cuộc cải cách này đã
tạo nên không chỉ sự phát triển của đại số, mà còn tạo ra phát minh về phương
pháp toạ độ, một mặt cho ta một mô hình đại số của hình học Euclid, mặt khác
hiện thực hóa một tư tưởng chung về hàm thực của một biến số thực, một ý
tưởng vẫn chưa được người Hy Lạp biết đến.
Cuối cùng trong mục 2.1 và 2.4 chúng ta giới thiệu về hai trong những tư
tương cơ bản nhất của toán học, là xấp xỉ và giới hạn, cái này suy ra từ cái kia.
Các nhà toán học Hy Lạp thường giải quyết các vấn đề đại số bằng hình học
“dựng hình”; Ví dụ như Euclid đã đưa ra việc xây dựng căn bậc hai của một “tỷ
số” bằng giao điểm của một đường tròn và một đường thẳng, và tương tự như
vậy Menaechmus đã xây dựng căn bậc ba bằng giao điểm của hai đường conic.
Tuy nhiên chúng ta cũng nhận thấy một tư tưởng khác của Euclid về việc xác
định số đo diện tích của hình phẳng không là đa giác: ông đặt hình phẳng này
vào giữa hai dãy hình đa giác, mà hiệu diện tích của chúng dần đến không. Ý
4
tưởng này đã được Acimet sử dụng lặp đi lặp lại, được tổng quát hóa vào thế kỷ
thứ 17, và nó cũng giúp cho việc chứng minh sự tồn tại của căn bậc n với n ≥4,
cái mà người Hy Lạp không thể làm được bằng các phương pháp hình học. Để
chứng minh cơ sở pháp lý của những quy trình này, rõ ràng cần phải đưa ra một
tiên đề, vẫn còn chưa được tường minh cho đến thế kỷ thứ 19, khi mà Cauchy
làm sáng tỏ với tên gọi “Tiên đề dãy đoạn thắt”. Tiên đề này kết hợp với những
tiên đề trước đây của Euclid, đã hoàn chỉnh định nghĩa tiên đề của tập hợp tất cả
các số thực. Nó đã cung cấp một cơ sở vững chắc cho giải tích, một lĩnh vực đã
được sáng tạo vào thế kỷ thứ 17 và trở thành một công cụ mạnh mẽ nhất của
toán học thuần túy và những ứng dụng của nó.
1.1. Sự khởi sinh của các tư tưởng tiền Toán học.
Trong xã hội ngày nay, những ý tưởng về số và đại lượng đã được con
người tiếp thu từ rất sớm. Từ khi mười hai hay mười ba tuổi, những khái niệm
này đã trở nên quá “tự nhiên” đối với chúng ta và chúng ta sử dụng chúng một
cách tự động. Tuy nhiên, Piaget chỉ ra bằng thực nghiệm rằng, trong khi nhận
thức về một số tự nhiên “bất kỳ” có thể được nắm bắt từ rất sớm, thì với một số
đại lượng như thể tích hoặc trọng lượng, các em nhỏ dưới 12 tuổi vẫn gặp nhiều
khó khăn về nhận thức khi so sánh hai độ lớn của đại lượng cùng loại. Về phần
mình, các nhà dân tộc học đã phát hiện những xã hội nguyên thủy mà trong các
số của họ, những số vượt đơn vị ở mức nào đó đều không có tên gọi, và tất
nhiên là không sử dụng được trong tính toán.
Các văn bản tìm thấy từ những nền văn minh Phương Đông cổ xưa tại Ai
Cập hoặc Babylon là quá rời rạc để có thể cho phép chúng ta theo dõi được con
đường xây dựng số học hoặc hình học chặt chẽ. Chúng chỉ được xuất hiện hoàn
chỉnh từ thiên niên kỷ thứ hai trước công nguyên. Đương nhiên chúng ta không
bàn với sự suy đoán trừu tượng ở đây, mà chỉ với các công thức được lưu truyền
lại, và được thiết kế để nhằm điều chỉnh các vấn đề thực tế được đặt ra bởi một
xã hội nông nghiệp phát triển cao: các vấn đề về trao đổi, thuê mượn, tranh
5
chấp, phân chia tài sản.
Người Hy lạp được thôi thúc bởi sự kiện là lũ của sông Nile làm biến
dạng các cánh đồng, và cần phải nhờ vào những người có kỹ năng đặc biệt,
những người biết cách khôi phục chính xác diện tích đất sau lũ.
Chúng ta cũng không cần đi sâu vào chi tiết những vấn đề đã giải quyết
trong những tài liệu còn lại đến ngày nay. Chúng ta chỉ muốn nói rằng, về số học
họ đã cho thấy sự hiểu biết về phép chia, cấp số cộng, có thể là cả cấp số nhân,
và “quy tắc tam xuất”.
Trong những viên gạch của người Babylon, thậm chí ta còn tìm thấy lời
giải những bài toán tương đương với phương trình bậc hai. Ví dụ như có một
viên gạch cho thấy sơ đồ hình vuông, với dòng chữ sau: “Tôi cộng chiều dài
của cạnh hình vuông với diện tích của nó và được kết quả là ¾, vậy cạnh của
hình vuông dài bao nhiêu?” Phương trình mà nhà học giả đang suy nghĩ sẽ được
chúng ta viết như sau:
Và nhà học giả cũng giải quyết theo cách tương tự chúng ta, như sau: ông
thêm ¼ vào hai vế của phương trình, và thấy rằng bình phương của x + ½ bằng
1, từ đó ông kết luận rằng x = ½ .
Trong lĩnh vực hình học phẳng, các hình như hình chữ nhật, hình tam
giác, hình thang, góc vuông và đường tròn, đã được biết đến, có thể có liên hệ
với việc sử dụng các dụng cụ, như bàn xoay của thợ gốm, hình vuông quang học
của người thợ nề. Một ý tưởng tương tự được nhận thấy trong những viên gạch
của người Babylon, nói rằng nơi nào chúng ta có cầu thang thì tỷ lệ giữa chiều
cao và chiều rộng của một bậc thang cũng bằng tỉ lệ giữa tổng chiều cao của cầu
thang và phép chiếu nằm ngang của nó (Hình 1). Mặt khác, người Hy Lạp đã
cho rằng Talet có một thủ thuật để đo chiều cao kim tự tháp, điều mà chắc chắn
6
đã được người Ai Cập biết đến: “chúng tôi quan sát chiều dài cái bóng của kim
tự tháp, tỷ lệ giữa chiều cao của kim tự tháp và chiều dài này bằng tỉ lệ giữa
chiều cao của một chiếc gậy và chiều dài của cái bóng của nó” (Hình 2).
Trong hình học ba chiều, những lăng mộ còn lại chính là nhân chứng cho
kiến thức về không gian ba chiều được rút ra từ kinh nghiệm của các kiến trúc
sư và thợ xây dựng.
(Hình 1) (Hình 2)
Có những khái niệm phát sinh mà chưa bao giờ liên quan đến bất kỳ đối
tượng cụ thể nào: việc liệt kê các đối tượng, đo những đại lượng có thể cộng vào
hoặc trừ được, như chiều dài, diện tích, thể tích, trọng lượng, góc, và với mỗi
một trong chúng, người ta chọn một đơn vị, thường đó là bội hoặc ước của nó.
Các công thức liên quan đến các ví dụ trong đó các dữ liệu đã được đặc
biệt hóa; đó là quy tắc tính toán không có cơ sở cho trường hợp tổng quát, chẳng
hạn tính diện tích hình có dạng và kích thước cho trước, như tam giác cân, hình
chữ nhật, hình thang hoặc hình tròn. Đương nhiên, chúng ta không thể tìm thấy
7
công thức theo nghĩa mà chúng ta hiểu về từ đó: công thức phải đúng cho dữ
liệu tùy ý hoặc không xác định. Bản chất chung của quy tắc tính toán này chỉ có
thể đoán được khi có một chuỗi các ví dụ đưa ra với các dữ liệu biến thiên.
1.2. Tư tưởng chứng minh.
Vào thế kỉ VI và VII trước Công nguyên các học giả Hy Lạp đã đưa ra cái
mà chúng ta gọi là suy luận logic: đó là chuỗi các suy luận – sau đó được mã
hóa như các các phép tam đoạn luận (hình thức lập luận trong đó kết luận được
rút ra từ hai đoạn trình bày) – chúng buộc người đối thoại đồng ý xác nhận Q
một khi anh ta đã đồng ý một khẳng định P khác . Ta biết rằng, từ thế kỷ thứ V
trước công nguyên, các nhà tư tưởng Hy Lạp là bậc thầy về nghệ thuật sắp xếp
lý luận thành một chuỗi liên tiếp các kết luận logic, điều này được thấy rõ trong
các tác phẩm của những nhà ngụy biện, cũng như trong các đoạn đối thoại của
Plato. Họ đã khám phá ra rằng những lý luận này có thể lấy bất cứ hoạt động
nào của con người làm đối tượng, đặc biệt là những công thức toán học và hình
học, hầu hết trong số đó đến từ nền văn minh Ai Cập và Babylon. Những lý luận
này trở thành chứng minh kết nối những định lý với nhau. Người ta biết đến
những định lý đầu từ thời Talet vào cuối thế kỷ thứ VII trước công nguyên,
nhưng những phương pháp chứng minh vẫn chưa được biết đến, nếu giả thiết
chúng tồn tại. Tuy nhiên, người ta thừa nhận rằng, các định lý của trường phái
Pythagore, và tất nhiên trong số đó có định lý mang tên “Định lý Pytagore” , đã
có chứng minh, mặc dù chứng minh thế nào vẫn chưa được biết. Những văn bản
đầu tiên chứa cách chứng minh chỉ được tìm thấy trong bản thảo của Plato và
Aristotle.
Trong bản đối thoại nổi tiếng dưới tên gọi Meno, Socrates muốn một nô
lệ trẻ không có học thức tìm hiểu xem làm cách nào có thể dựng hình vuông có
diện tích gấp đôi diện tích một hình vuông ABCD đã cho (Hình 3). Cậu bé nô lệ
lúc đầu trả lời rằng điều này có thể thực hiện bằng cách tăng gấp đôi cạnh, và
Socrates đã chỉ cho cậu ta thấy rằng diện tích của hình vuông mới này sẽ không
8
thể gấp đôi mà sẽ là gấp 4 lần diện tích của hình vuông ABCD đã cho. Sau đó
ông ta cho cậu bé vẽ một hình vuông A’B’C’D’, mỗi cạnh của nó bằng đường
chéo của hình vuông ABCD, và ông chứng minh rằng hình vuông này có các
đặc điểm như đã yêu cầu (gấp đôi hình cũ). Đó là trường hợp đặc biệt của định
lý Pythagore áp dụng cho tam giác vuông cân. Chứng minh bao gồm việc chỉ ra
rằng hình vuông ABCD có thể được chia bởi các đường chéo của nó thành bốn
hình tam giác bằng nhau, và mỗi một trong chúng, chẳng hạn OAB bằng
A’AB dựng trên phía khác của cạnh huyền của nó, từ đó chúng ta có tất cả 8
tam giác bằng nhau và bằng OAB, tạo thành hình vuông A’B’C’D’. Tất nhiên
sau đó, vào thời Euclid, sự bằng nhau của các tam giác OAB và A’AB được
rút ra từ chuỗi định lý. Ở đây Socrates mới chỉ hài lòng rằng sự bằng nhau này
được chấp nhận bởi người đối thoại.
Hình 3
Chứng minh thứ hai được Aristotle ghi lại, cũng từ trường phái
Pythagore, liên quan đến hình tam giác vuông cân đó, và trở thành ví dụ đầu tiên
về “phản chứng”, về sau trở thành một công cụ thiết yếu của toán học. Đó cũng
là ví dụ đầu tiên khẳng định sự không thể thực hiện được. Định lý nói rằng trong
một tam giác vuông cân, tỷ lệ giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông không thể là
phân số p/q (trong đó p và q là các số tự nhiên). Thật vậy, theo định lý Pythago,
phân số như vậy sẽ có tính chất (p/q)2 = 2. Ta có thể giả sử vấn đề “rút gọn” tới
9
trường hợp p và q không cùng chẵn: nếu chúng cùng chẵn, ta có thể chia chúng
cho 2 mà không làm biến đổi giá trị của p/q, và bằng cách làm như vậy nhiều lần
nếu cần, ta đi đến khi trường hợp “rút gọn”. Bây giờ p2=2q2, và từ đó p chẵn, giả
sử p=2p’. Bây giờ 4p’2=2q2, suy ra q2=2p’2 và vì thế q cũng phải là số chẵn: ta
đạt đến kết luận vô lý, và vì thế giả thiết ban đầu là không thể. Xuất phát điểm ở
đây là xét những tính chất sơ cấp của số chẵn và số lẻ, điều có vẻ như được
trường phái Pythagore ưa chuộng. Sự ưa chuộng như vậy cũng được tìm thấy
trong cuốn sách thứ 9 của bộ Cơ sở của Eucid, mặc dù ngày nay chủ đề đã trở
nên “tầm thường”.
1.3. Các tiên đề và định nghĩa.
Cách thức mà một chứng minh phải được tiến hành bởi một loạt lập luận
được Plato miêu tả rất rõ trong một đoạn nổi tiếng của Republic (VI, 510, c, d):
Những người nghiên cứu về hình học và số học …. bắt đầu bằng việc xác định
những số lẻ và số chẵn, hoặc những hình khác nhau và ba loại góc... Những dữ liệu
này được xem như đã biết, …. Sau đó, bắt đầu từ những giả thiết này, bằng một
loạt các lập luận, họ đi đến kết luận cuối cùng mà họ đã đặt ra để nghiên cứu.
Phương pháp này vẫn giữ nguyên đối với các nhà toán học ở mọi thời đại.
Nhưng thế nào là bản chất của những “giả thiết” mà Plato nói đến (Plato chưa
bao giờ dùng thuật ngữ “chân lý”) và những thực thể mà những giả thiết này
được áp dụng thì luôn là vấn đề tranh cãi của các nhà toán học và triết học cho
đến tận ngày hôm nay. Người ta thường nói những vấn đề đó thuộc vào “cơ sở
của toán học”.
Nhiều đối thoại của Plato nhằm mục đích làm sáng tỏ các từ ‘trừu tượng’
được sử dụng trong khi nói mà không có khái niệm rõ ràng nào về ý nghĩa của
chúng, như sắc đẹp, lòng can đảm, tình yêu, lòng hiếu thảo, sự công bằng, đạo
đức.... Cũng tương tự như vậy, các nhà toán học cần phải làm rõ nghĩa của các
từ: hình, vị trí, độ lớn, số lượng, kích thước, là những khái niệm cơ bản xuất
10
hiện trong “các giả thiết”.
Nếu những từ này mô tả những khái niệm thuộc về kinh nghiệm cảm
quan, chúng sẽ không khó hiểu hơn những kinh nghiệm này. Nhưng ở cuối đoạn
trích từ Republic đã dẫn trên đây, Plato cẩn thận giải thích ngay (VI, 510, d)
rằng các nhà toán học dùng những hình có thể nhìn thấy được, và biện luận về
chúng, mặc dù cái mà họ thực sự nghĩ đến trong đầu là nguồn gốc của những
cái mà các hình đang nói đến chỉ là hình ảnh của chúng.
Để minh họa thêm điều này chúng ta cần nhìn không gì khác hơn là bối
cảnh trong Meno mà Plato đang nói đến, để thấy điều Socrate nói hoàn toàn
không phải về những hình mà ông vẽ, có lẽ là trên cát.
Ông ấy thực sự sẽ gặp khó khăn trong việc chứng minh “bằng thực
nghiệm” sự bằng nhau của các tam giác OAB và A’AB.
Plato kết hợp sự mô tả của ông với những xem xét liên quan đến lý thuyết về các
Ý tưởng, mà chúng ta không nói đến ở đây. Ngay cả Aristole, người không chấp
nhận lý thuyết này, vẫn đồng tình với đoạn trước đó trong Republic:
ông viết (Metaph. K3, 1062a 20-b3: Những nghiên cứu của các nhà toán học,
phải tiến hành với những cái có được thông qua trừu tượng hóa, và để làm điều
đó, họ nghiên cứu chúng sau khi đã loại bỏ ý nghĩa của dữ liệu, như cân nặng,
độ sáng, độ cứng.... không giữ lại cái gì ngoài số lượng và tính liên tục; và tính
liên tục này có thể nhận thức bằng một, hai hay ba cách ).
Bằng cách này, các “đối tượng toán học” đầu tiên được đưa ra. Nhưng để
hiểu chúng là gì và có thể nói gì về chúng thì lại gặp phải vô số những khó khăn,
cho đến tận cuối thế kỷ XIX.
Trong khi chúng ta có một lượng đáng kể công trình của Plato và
Aristotle, thì gần như không có bất cứ tài liệu viết về toán học trước Euclid. Do
đó, chỉ nhờ Cơ sở của Euclid mà chúng ta mới có những thông tin tương đối
chính xác về những quan niệm của các nhà toán học Hy Lạp của thế kỷ thứ IV
11
hay thứ V, mặc dù tác phẩm này có lẽ là sự tổng hợp
kiến thức của nhiều thời kỳ khác nhau.
Các “giả thiết” tạo thành điểm xuất phát của quá trình mô tả bởi Plato
phần lớn lại được dẫn ra từ những “giả thiết” trước đó. Chẳng hạn, những lập
luận của Socrates trong Meno là trường hợp riêng của của Định lý Euclid
(Quyển I, 34) chứng minh sự bằng nhau của hai tam giác ABD, BCD trong hình
bình hành ABCD (Hình 4). Để làm điều đó, ông sử dụng một “trường hợp bằng
nhau của tam giác” (Quyển I, 26), với lưu ý rằng cạnh BD là chung của hai tam
giác và ta có các góc bằng nhau =BDC và ADB = DBC theo Quyển I, 29.
Hình 4
Vấn đề là khi chứng minh một định lí nào đó, người ta thường dựa trên
một định lí trước đã được chứng minh, mà bản thân định lí trước đó lại là kết
quả của sự suy luận từ một định lí trước nữa đã được chứng minh và cứ tiếp tục
như thế...Nhưng quá trình qui về các định lí đã chứng minh trước không thể kéo
dài vô hạn. Thời cổ hy lạp, người ta đã nhìn thấy tình trạng này và tìm ra lối
thoát bằng cách thừa nhận một số mệnh đề mà tính đúng đắn của nó xuất phát từ
trực quan, để làm những mệnh đề xuất phát cơ bản. Những mệnh đề xuất phát
được thừa nhận không chứng minh gọi là các tiên đề và định đề. Nhờ cách đó
mà Euclid đã đúc kết thành công những vấn đề cốt lõi của toán học được tích tụ
12
cho đến thời điểm đó.
1.4. Hình học, từ Euclid đến Hilbert
Bằng cách chọn lọc, phân biệt các loại kiến thức hình học đã có, bổ sung,
khái quát và sắp xếp chúng lại thành một hệ thống chặt chẽ, dùng các tính chất
trước để suy ra tính chất sau, bộ sách Cơ sở đồ sộ của Euclid đã đặt nền móng
cho môn hình học cũng như toàn bộ toán học cổ đại. Bộ sách gồm 13 cuốn: sáu
cuốn đầu gồm các kiến thức về hình học phẳng, ba cuốn tiếp theo có nội dung số
học được trình bày dưới dạng hình học, cuốn thứ mười gồm các phép dựng hình
có liên quan đến đại số, 3 cuốn cuối cùng nói về hình học không gian.
Trong cuốn thứ nhất, Euclid đưa ra 5 định đề:
1. Qua hai điểm bất kì, luôn luôn vẽ được một đường thẳng
2. Đường thẳng có thể kéo dài vô hạn.
3. Với tâm bất kì và bán kính bất kì, luôn luôn vẽ được một đường tròn.
4. Mọi góc vuông đều bằng nhau.
5. Nếu hai đường thẳng tạo thành với một đường thẳng thứ ba hai góc trong
cùng phía có tổng nhỏ hơn 180 độ thì chúng sẽ cắt nhau về phía đó.
Và 5 tiên đề:
1. Hai cái cùng bằng cái thứ ba thì bằng nhau.
2. Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái
bằng nhau.
3. Bớt đi những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái
bằng nhau.
4. Trùng nhau thì bằng nhau.
5. Toàn thể lớn hơn một phần.
Với các định đề và tiên đề đó, Euclid đã chứng minh được tất cả các tính
13
chất hình học.
Con đường suy diễn hệ thống và chặt chẽ của bộ cơ bản làm cho tập sách
được chép tay và truyền đi các nước. Tuy nhiên, các định đề và tiên đề của
Euclid còn quá ít, đặc biệt là không có các tiên đề về liên tục, nên trong nhiều
chứng minh, ông phải dựa vào trực giác hoặc thừa nhận những điều mà ông
không nêu thành tiên đề.
Euclid đã phát triển theo phương pháp suy luận các tính chất của “Yếu tố
toán học” trong suy nghĩ của Plato và Aristotle. Khái niệm của ông trong quyển
I đến VI đã liệt kê các đối tượng thuộc hình học phẳng: điểm, đường thẳng, góc,
hình tròn, hình đa giác.
Từ những khái niệm, tiên đề và định đề này, Euclid chứng minh một
chuỗi các định lý, và thông thường có kèm theo những hình vẽ hoặc sơ đồ để
giúp cho người đọc dễ hình dung.
Và điều này cũng có thể tìm thấy ở hình học của Ấn Độ, Trung Quốc khi
họ vẽ biểu đồ và sau đó nói đơn giản là “nhìn” vào ta thấy điều cần chứng minh.
Ví dụ để chứng minh định lý Pythagore thì họ có thể nói rằng nhìn vào
hình số 5, có thể thấy rằng (b-c)2 = b2- 2bc + c2, và trong hình số 6, ở tam giác
góc bên phải có cạnh huyền a và hai cạnh bên b, c ta có a2 = (b-c)2 +2bc= b2 +
a
c
c
c
b
a
b - c
c
b - c
b
b
c2, theo hình 6, từ đó chứng minh định lý Pythagore.
14
Hình 6 Hình 5
Trong quyển III, 17; quyển VI, 13 Euclid cho là hiển nhiên rằng đường
thẳng đi qua một điểm nằm bên trong một hình tròn giao với hình tròn này; theo
cách thức tương tự, thì nếu hình tròn C có một điểm nằm bên trong và một điểm
nằm bên ngoài hình tròn , thì C và giao nhau (quyển I, 1 và 22). Việc xem
xét các đối tượng “có thể nhìn thấy” được trình bày rõ ràng hơn trong Cuốn sách
III, 8, mà Euclid nghiên cứu các đoạn thẳng nối một điểm nằm ngoài hình tròn
với một điểm trên hình tròn (Hình số 7), và phân biệt trên đường tròn này “chu
vi mặt lồi” (trong hệ thức với điểm bên ngoài) từ chu vi mặt lõm (khái niệm mà
Plato đã gặp khó khăn trong xác định “số tuyệt đối”). Những ví dụ này có thể
tìm được rất nhiều, chúng chỉ ra những khó khăn ông phải khắc phục để tạo ra
một bảng từ vựng phù hợp với bản chất của các đối tượng chỉ “có thể thấy được
trong tư tưởng” và cắt nghĩa các tính chất phù hợp với bản chất của chúng,
nghĩa là không có sơ đồ.
Hơn nữa, Euclid công nhận sự “hiển nhiên” dựa trên việc nghiên cứu một
số ít trường hợp, và một số ít các “lược đồ”. Những người đi sau ông thời cổ đại
đã làm phong phú thêm lĩnh vực hình học bằng việc khám phá và nghiên cứu
những đường và mặt mới, và như vậy đã chuẩn bị nền tảng cho bước nhảy vọt
trong lĩnh vực toán học sau thời kỳ Phục hưng. Nhưng nếu chúng ta xem xét nó
kỹ càng chúng ta thấy rằng tiến bộ này, khác với trường hợp của Euclid, có được
nhờ một số lớn các tính chất, chúng không được phát biểu, mà chỉ được gợi ý
bởi những hình vẽ ít nhiều chính xác hơn.
15
Hình 7
Tuy nhiên, do sự hiểu biết của chúng ta về tính chính xác trong hệ tiên đề
hiện đại làm chúng ta chú ý đến những khuyết điểm này. Một phần từ câu hỏi
hóc búa về định đề đường thẳng song song - “định đề” thứ năm của Euclid “Qua
một điểm nằm ngoài một đường thẳng có không quá một đường thẳng cùng nằm
trong mặt phẳng với đường thẳng đã cho và không cắt đường thẳng ấy” - không
thật sự hiển nhiên, nhưng trước thế kỉ 16 chưa có nhiều phản biện về các công
trình của Euclid. Nhận thức như vậy có thể là rõ ràng với Plato và Aristotle,
nhưng thật đáng ngạc nhiên khi những nhà tư tưởng sâu sắc như Descartes và
Pascal – những người không hề do dự tấn công trực diện vào triết học kinh viện
– cũng tuyên bố mạnh mẽ về “chân lý hiển nhiên” của các tiên đề hình học! Hơn
thế nữa, họ bày tỏ quan điểm chung của các nhà toán học ở cùng thời,và quan
điểm đó vẫn tiếp tục được nhấn mạnh trong thế kỷ tiếp theo.Ở thời điểm đó các
nhà toán học Gauss và Cauchy đã cổ động cho “tính chặt chẽ hình học” như là
mô hình cho các lĩnh vực khác của toán học.
Những chỉ trích các cấu trúc của Euclid ngày càng nhiều, đặc biệt suốt
thế kỷ XIX trong phong trào tiến đến sự “chặt chẽ” lớn hơn trong toán học, tuy
nhiên không nhằm mục đích sửa những suy luận của Euclid trong quá trình
chứng minh của ông, mà chủ yếu chỉnh sửa sự kiện rằng các chứng minh không
dựa ở mức độ đầy đủ vào các định nghĩa và tiên đề đã được phát biểu tường
minh. Cảm nhận chung là nếu chúng ta có thể hoàn thiện một cách thích hợp
những cơ sở của lý luận, thì ta có thể đi đến một tình hình hoàn toàn thỏa mãn.
Điều đó không thực hiện được cho đến cuối thế kỷ 19, với việc nghiên
cứu sâu sắc về số thực, người ta có thể thực hiện phép toán của hố phân cách
“hình học trực giác” từ những tiên đề được cho là đưa ra cơ sở hợp lý.
Đó là sứ mệnh được Pasch và Hilbert thực hiện vào cuối thế kỷ 19, khi họ
liệt kê ra hệ thống tiên đề hoàn toàn tường minh (23 tiên đề, trong trường hợp
của Hilbert), nhờ đó, tất cả các định lý của Euclid có thể được chứng minh mà
16
không cần tới lược đồ.
Giống như Euclid, Hilbert bắt đầu với những khái niệm không định nghĩa
được, nhưng danh sách của ông là vét cạn. Có ba loại “đối tượng nguyên thủy”:
các điểm, các đường thẳng và các mặt phẳng, và ba “quan hệ nguyên thủy”:
thuộc vào (ví dụ, điểm thuộc một đường thẳng hay một mặt phẳng), “nằm giữa”
(như là một điểm đối với hai điểm khác, khi cả ba điểm nằm trên cùng đường
thẳng), và “bằng nhau” (như hai đoạn thẳng hay hai góc).
Một câu hỏi ngay lập tức nảy sinh là làm thế nào chúng ta có thể suy luận
một cách chính xác khi từ chối định nghĩa những điều được xem xét, và vì thế
tránh được một phép hồi quy vô hạn các định nghĩa. Câu trả lời rất đơn giản: chỉ
cần không bao giờ cố tình đưa ra bất cứ mệnh đề nào về các đối tượng hình học
và những quan hệ của chúng mà không phải là hệ quả logic của hệ tiên đề kiểm
soát chúng (cũng có nghĩa là các định nghĩa đã được liệt kê một cách vét cạn).
Poincare đã viết [9], có thể nói rằng những tiên đề này làm nên những “định
nghĩa trá hình” về các đối tượng và quan hệ của chúng: những quan hệ này theo
một nghĩa nào đó là không xuất hiện, mà được thay thể bởi các bản chất “tiên
đề”.
Hilber, tiếp theo Pascal, đã chỉ ra phương pháp lọai bỏ những kết luận mà
có thể được gợi ý bằng trực giác hình học, mà không suy ra từ các tiên đề: điều
này có thể sẽ làm thay đổi tên gọi thông thường của các đối tượng hình học và
các quan hệ của chúng. Hilbert đã đề nghị nói “cái bàn” “cái ghế” và “cái cốc”
thay vì “điểm”, “đường thẳng” và “mặt phẳng”
Ví dụ, hai tiên đề đầu tiên trong danh mục của Hilbert:
1) “Hai điểm phân biệt thuộc một và chỉ một đường thẳng”
2) “Có ít nhất hai điểm phân biệt thuộc cùng một đường thẳng”
sẽ thành
1) “Hai cái bàn phân biệt thuộc một và chỉ một cái ghế”
17
2) “Có ít nhất hai cái bàn phân biệt thuộc cùng một cái ghế”
Rõ ràng không có nguy cơ gặp sai sót trong các mệnh đề như vậy, vì
chúng không có nghĩa trong đời thường.
Điều này giống như nói đùa, nhưng thực ra điều này tách biệt giữa ý nghĩa
và tên gọi, đối với hình học sơ cấp, là một quá trình cơ bản, nó giải phóng toán
học khỏi việc gắn quá gần với thực tiễn. Điều này làm nên những thắng lợi
không ngờ trong thế kỷ XIX, và những ứng dụng đáng kinh ngạc trong vật lý.
1.5. Số và đại lượng
Số là công cụ luôn gắn liền với nền văn minh của loài người, là khái niệm
cơ bản và là cơ sở của toán học. Xuất hiện đơn giản nhất ngay trong xã hội
nguyên thủy, khái niệm số và kho tàng số của loài người từng bước được làm
giàu thêm. Thành tựu đó có được , một mặt là do phạm vi hoạt động thực tiễn
của con người ngày càng mở rộng và mặt khác là do những yêu cầu nội tại của
bản thân toán học.
Lịch sử khoa học chỉ ra rằng sự phát triển khái niệm đầu tiên về số tự
nhiên đã đi theo sau sự phát triển và hoàn thiện những phép đếm thô sơ. Nói
cách khác nhu cầu đếm các vật đã dẫn đến sự hình thành khái niệm số tự nhiên.
Sự mở rộng đầu tiên đối với khái niệm số là việc ghép thêm các phân số
vào tập hợp số tự nhiên. Việc đưa ra các phân số vào là để đo đạc các đại lượng
như đo độ dài, thời gian, diện tích... và nó được biết đến sớm hơn các số âm.
Trong khi các nhà toán học Hy Lạp đang cố gắng đưa hệ thống “giả thiết
- suy diễn” vào các trường học triết học, thì nhu cầu trong đời sống hàng ngày ở
các thành phố Hy Lạp, cũng như ở các nền văn minh khác, là cần một tầng lớp
những nhà “tính toán chuyên nghiệp”. Trong cuốn Republic (VII, 525), Plato nói
rằng, trong khi những người được gọi là “logisticians” biết tính toán các phân
số, thì những nhà toán học quan tâm không gì khác hơn ngoài các số tự nhiên.
Trong các tài liệu toán học của Hy Lạp cổ đại, người ta thường dùng hai
18
thuật ngữ khác nhau : logistic – tức là nghệ thuật tính toán và số học là khoa học
về các tính chất của các số. Thuật ngữ đầu chỉ phần thực tiễn, thuật ngữ sau chỉ
phần lí thuyết, trong đó không có phần kĩ thuật tính toán. Sự phân chia ấy được
du nhập vào châu Âu thời kỳ trung cổ. Chỉ tới thời kì Phục Hưng, hai phần trên
mới được hòa nhập lại với tên gọi chung là số học.
Vấn đề này được tìm thấy trong Quyển thứ VII Cơ sở của Euclid (Euclid
ký hiệu các số tự nhiên bằng các chữ cái, và miêu tả chúng bằng các đoạn
thẳng), trong tác phẩm đó chúng ta đã thấy những lý thuyết cơ bản về phép chia
hết của các số tự nhiên, số nguyên, và phân tích số tự nhiên thành các tích các số
nguyên tố.
Nói đến số học thời kì Hy Lạp cổ đại, ta không thể không đề cập đến bộ
“Số học” của Diophantus (Khoảng thế kỷ 4 sau Công nguyên). Đó là bộ sách
chứa đựng bản sắc phương đông nhất và cũng là một trong những bộ sách hấp
dẫn nhất còn lưu giữ được.
Phương pháp “Logistic” của ông đã phát triển để làm rõ hơn những điều
trong những viên gạch của người Babylon. Chúng được thiết kế để tìm ra một
hoặc nhiều “ẩn số”, là nghiệm của một hệ phương trình mà ngày nay chúng ta
có thể viết dưới dạng một đẳng thức giữa những đa thức với các hệ số xác định.
Các phương trình này có bậc cao nhất là sáu đối với các ẩn. Ví dụ (quyển VI,
19), bài toán là tìm ra ba số mà tích của hai số trong ba số đã cho cộng thêm 1
thì bằng một số chính phương. Chúng ta có thể viết bài này dưới dạng ba
phương trình sau.
xy + 1= u2 yz + 1= v2 zx + 1 = w2
Chúng ta không đi vào chi tiết các phương pháp của Diophantus, chúng
rất ít khi dựa trên một lý thuyết tổng quát. Chúng ta chỉ muốn nhấn mạnh rằng
ông chỉ tìm một nghiệm cho mỗi bài toán (ngay cả khi bài đó có nhiều nghiệm),
trong đó các đại lượng chưa biết là những số tự nhiên, hoặc phân số dạng p/q ( p
và q là các số tự nhiên), những cái mà ta gọi là số hữu tỉ dương. Lúc bấy giờ
19
trong một số bài toán cụ thể ông ấy đã nêu lên những điều không thể giải quyết
được vì ông quan niệm rằng nghiệm âm hay nghiệm vô tỉ là nghiệm “không thể
có được”, điển hình là hai ví dụ sau:
4 = 4x + 20 (Quyển V, 2)
3x +18 = 5x2 (Quyển IV, 31)
Trong những trường hợp này Diophantus chỉ nói rằng bài toán là vô lý..
Tầm quan trọng của những điều không thể này là ở chỗ chúng đã được
vượt qua - lần thứ hai trong thời đại cổ điển, lần đầu tiên vào thời Trung cổ - với
việc tạo ra những đối tượng toán học mới, xa hơn rất nhiều những hình ảnh thực
tiễn, so với những gì của trường phái Pythagore.
Đối với Euclid và những người đi trước ông, những người không muốn
tính các phân số, thì các phân số được thay thế bằng khái niệm về tỷ lệ giữa độ
dài hai đoạn thẳng hay đường gấp khúc, hoặc hai diện tích của đa giác, hay hai
thể tích của vật rắn. Người Hy Lạp đã nói đến chiều dài, diện tích và thể tích,
khối lượng theo khái niệm chung về “đại lượng” (trong đó hình thành ba loại
khác nhau), và những “khái niệm chung” của Euclid có thể được xem là khởi
đầu của mô tả tiên đề kiểu Hilbert. Thật vậy, Euclid không định nghĩa khái niệm
đại lượng hoặc khái niệm hai quan hệ “nguyên thủy” giữa các đại lượng cùng
loại, là “lớn hơn” (mà chúng ta viết A > B) và “tổng của hai đại lượng ” (mà ta
viết là C=A+B).
Những gì ông làm là liệt kê (nhưng không vét cạn) một số tính chất liên
hệ những khái niệm đó, ví dụ, “khái niệm chung” số 4 của ông có thể được viết
bằng những ký hiệu của chúng ta như:
Nếu A>B, thì A + C > B + C
Tích pA của một đại lượng A đạt được bằng cách cộng các đại lượng A p
lần. Sau đó Euclid đã nói rằng hai đại lượng cùng loại A và B là thông ước nếu
20
tồn tại một đại lượng C thứ ba cùng loại, sao cho A = pC và B = qC với p, q là
hai số tự nhiên, và ông nói trong (Quyển X, 5) rằng A và B có “cùng tỷ lệ” như
số tự nhiên p và q (điều mà chúng ta viết là A/B = p/q).
Trong trường hợp này, thay vì nói giống như Diophantus, rằng đường
chéo của hình vuông không “tỷ lệ” với cạnh của hình vuông, thì các nhà toán
học Hy Lạp theo trường phái Plato đã tuyên bố rằng, hai đại lượng cùng loại
luôn luôn có một tỷ lệ, ngay cả khi chúng vô ước. Sau đó họ đã thành công,
trong việc định nghĩa tổng quát quan điểm về bất đẳng thức và phép cộng bằng
phép dựng hình, điều mà vẫn còn chưa được hiểu hết cho đến thế kỷ 19.
Tuy nhiên, hệ thống tính toán đối với những “tỷ số” tổng quát này chưa sử
dụng được đối với người Hy Lạp vì quan niệm của họ về tích các tỷ số. Thực
vậy, khi Euclid tính toán tích của hai tỷ số giữa các chiều dài A/B và C/D
(Quyển VI, 23), thì ông chỉ ra rằng đó là tỷ số giữa diện tích hai hình chữ nhật
(AxC)/ (BxD). Hơn thế nữa, Euclid không định nghĩa về tổng hai tỷ số bất kỳ,
và trong những trường hợp cụ thể mà ông xem xét, thì các tỷ số có cùng mẫu
(quyển V, 24). Trong hệ thống này, các phép tính của Diophantus (và thậm chí
là của những người Babylon đi trước đó) là không khả thi.
Tuy nhiên, nếu chúng ta bỏ qua các tư tưởng triết học, thì hoàn toàn
không khó để dung hòa hai quan điểm, trong khi vẫn trung thành với các ý
tưởng của Euclid. Sau khi xem xét lại các nghiên cứu khoa học, đầu tiên ở thế
giới Hồi giáo, sau đó là ở phương Tây, nhiều nhà toán học đã nhận thấy một
cách độc lập khả năng đó: Nhà thơ - nhà toán học Omar Khayyam ở thế kỷ 11,
R. Bombelli người Italy ở thế kỷ 16, cuối cùng là Descartes, người mà uy tín của
ông đã giúp cho cuộc cải cách được dứt khoát thừa nhận. Điều này bao gồm
việc chỉ xét tỷ số giữa các chiều dài, và đưa tất cả chúng về dạng OX/OU, trong
đó OU là một đoạn thẳng chọn cố định, và X là một điểm bất kỳ thuộc nửa
đường thẳng kéo dài OU. Điều này làm được theo một mệnh đề Euclid,
khẳng định sự tồn tại “theo tỷ lệ thức thứ 4” trong (quyển VI, 12). Thay vì tiếp
21
tục nói “tỷ số”, bây giờ đơn giản là nói rằng ta xét các điểm X thuộc , và
những gì chúng ta phải làm là xác định mối quan hệ giữa hai điểm X phép toán X+Y và XY, chúng cũng phải xác định các điểm, mà không phải là những đối tượng kiểu khác, như trong Euclid. Định nghĩa X X+Y và XY, có rất nhiều cách để làm. Cách đơn giản nhất theo tôi là một phương án thay đổi chút ít cách của Hilbert, nó chỉ đòi hỏi dựng các đường song song, và chỉ dựa trên định lý Euclid về các tam giác đồng dạng hoặc bằng nhau. Xét nửa đường thẳng thứ hai không là kéo dài của nửa đường thẳng và một điểm A nằm trên . Việc dựng Z=X + Y và W = XY được chỉ ra trong hình 8 và 9. (Chúng có thể được mô tả mà không cần biểu đồ). Việc dựng = Y + X và =YX được chỉ ra bằng các đường chấm chấm. Các phép dựng hình này chứng minh hai tính chất cơ bản của các phép toán của các điểm thuộc . Y + X = X + Y YX = XY Hình 9: YA’ // AU, A’W // AX Hình 8: AA // , YA’// OA, A’Z // AX Hình 10 chỉ ra sự tồn tại điểm là “nghịch đảo” của điểm X thuộc , như vậy có: Chúng ta cũng có thể viết 1/X hay X-1 (U cũng được viết như 1, nếu tính đến các 22 phương trình hiển nhiên UX = XU= X). Hình 10: A’U // AX, A’X’ // AU Hình 11: A’X // AY, A’Z // OA. Lưu ý rằng trong biểu diễn trên đây không cần phải phân biệt giữa các tỷ số thông ước và vô ước. Việc mở rộng hiển nhiên những phép dựng này cũng cho phép tránh được tính không thể xảy ra mà Diphantus đã tính đến. Chính vấn đề này đã dẫn các nhà toán học Ấn Độ ở thế kỷ 4 sau công nguyên đưa ra “số âm”. Chúng được phổ biến chậm chạp và vẫn gặp phải sự cản trở cho đến cuối thế kỷ 18. Thực vậy, tất cả những gì đòi hỏi là kéo dài phép dựng đến tất cả các điểm của đường thẳng chứa , và không chỉ đối với các điểm thuộc . Phương trình Z + Y = X, khi đó luôn có nghiệm, ngay cả nếu X < Y (Hình 11), và chúng ta viết nghiệm đó là X – Y. Đặc biệt 0- X được viết là –X, dẫn đến X + (-X)= 0. Ngày nay chúng ta nói rằng các điểm thuộc được đưa ra theo công thức này là các số thực, những điểm thuộc là dương và thuộc là âm. Lưu ý rằng các công thức này “giải thích” ngay “các quy tắc về dấu”. (-X)Y= -(XY). và cụ thể hơn thì tích của hai số âm là số dương, điều đó dường như khó hiểu 23 đối với các nhà phi toán học (Hình 12). 24 Hình 12: CHƯƠNG II. MỘT SỐ TƯ TƯỞNG TRONG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH. Suốt một nghìn năm của thời kì trung cổ, trong toán học đã không có một bước ngoặt cơ bản nào mặc dù các chân lí toán học và logic luôn luôn là đối tượng được quan tâm. Đến thế kỉ thứ XIV-XVI ở Châu Âu là “thời đại Phục Hưng” với ý nghĩa là phục hưng nền văn hóa cổ đại, chuẩn bị cho một nền văn hóa mới ra đời. Đặc biệt tư duy sáng tạo toán học đã bắt đầu phục hưng trong các lĩnh vực số học, đại số, hình học. Hai thế kỉ sau đó được đánh dấu bởi sự xuất hiện và phát triển của những tư tưởng hoàn toàn mới mà ngày nay ta gọi là phép tính vi phân – tích phân. Những tư tưởng mới xuất hiện là do những nhu cầu của khoa học mà đặc biệt là nghành thiên văn học, cơ học và các nghành khoa học tự nhiên. Điều này đã dẫn đến các ý tưởng đề cập đến bản chất của đại lượng vô cùng bé được đưa vào cuối thế kỉ XVII, trong đó chuẩn mực mà các nhà toán học dựa vào là “tính chặt chẽ thời Hy Lạp”. Cuộc tranh luận cuốn hút gần như tất cả các nhà toán học nổi tiếng thời bấy giờ, trong đó mỗi người đều có quan điểm riêng của mình và đều nhằm trả lời câu hỏi: Đại lượng vô cùng bé là gì? Vấn đề này đã dẫn đến một cuộc khủng hoảng thứ hai trong lịch sử toán học, nảy sinh trong quá trình đảm bảo cơ sở lý luận cho phép tính vô cùng bé. Lí thuyết đó đã được đưa ra vào thế kỉ XVII. Chính Descartes đã mở đầu cho giai đoạn “bước ngoặt” này trong lịch sử phát triển của toán học. Không những ông đã đưa vào trong toán học phương pháp tọa độ mà còn đưa ra đại lượng biến thiên, và do đó đặt nền móng cho môn hình học giải tích. 2.1. Tư tưởng về xấp xỉ. Trong ứng dụng của toán học, một số thực Y hầu như luôn được thay bằng một số hữu tỷ X, là một giá trị xấp xỉ của Y. Điều đó có nghĩa là hiệu của 25 Y – X nằm ở đâu đó giữa - và + , trong đó là một số dương, được gọi là sự xấp xỉ của Y bởi X, hoặc sai số gắn với Y; X được gọi là một giá trị xấp xỉ đến Y với lân cận , ở đó chính Y được lấy là “giá trị chính xác” của nó. Người Babylon đã biết cách tìm ra các giá trị xấp xỉ hữu tỷ cho , và người Hy Lạp đã sáng tạo ra các phương thức tổng quát để có được giá trị xấp xỉ đối với tất cả các căn bậc hai (a là một số tự nhiên), với một sai số tuỳ ý. Sự tồn tại những giá trị gần đúng như vậy được suy ra từ một tiên đề tổng quát do Acximet phát biểu , thường được ông sử dụng, và được mang tên ông: Nếu Y và X là hai số dương, luôn tồn tại một số tự nhiên m sao cho Y < mX. Nếu p là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho Y < (p+1)X, ta có pX ≤ Y < (p+1)X, từ đó pX xấp xỉ Y với cận X. Một dạng tương đương của tiên đề Acximet nói rằng luôn có một số tự nhiên m sao cho . Vì thế không tồn tại số Z nhỏ hơn tất cả các số dương còn lại (không tồn tại số “vô cùng bé”). Tiện thể chúng ta có thể nhận xét một tiên đề như vậy khác với kinh nghiệm chủ quan đến mức nào: không thể vẽ bằng hình ảnh phép toán đặt các đoạn thẳng trên đường thẳng có đầu mút trùng với đầu mút X, cho đến ki được Y, ngoại trừ trường hợp X và Y đều không quá to hoặc quá nhỏ. Vì X có thể được chia nhỏ ra thành một số tuỳ ý các phần bằng nhau (Euclid, Sách VI, 10), một khi giá trị xấp xỉ pX đã nhận được, ta lập các số với 0 ≤ m ≤ 9. Nếu q+1 là số nhỏ nhất trong các số đó thì , 26 do đó là một giá trị xấp xỉ Y với lân cận X/10. Chúng ta tiếp tục với và cứ tiếp tục như vậy. Quá trình này cho các giá trị xấp xỉ đến Y với lân cận bé tùy ý, bởi vì đối với bất kỳ số Z > 0 nào, luôn tồn tại một số n sao cho X/10n < Z. Tuy nhiên, có vẻ như quy trình này áp dụng được cho một số X “chính xác”, đã biết. Tuy nhiên khi Z > 0 là một số đã biết, liệu có thể nói rằng X= cũng đã biết? Việc dựng “giá trị trung bình của tỉ lệ thức” do Euclid đưa ra trong (Cuốn VI, 13) (xem Hình 13) đã trả lời câu hỏi này bằng cách lấy giao nửa đường tròn và một X 1 đường thẳng. Hình 13 Từ thế kỷ thứ 15, người Hy Lạp đã đối mặt với một vấn đề tương tự liên quan đến cái mà chúng ta gọi là “căn bậc ba”. Chúng ta sẽ xem trong mục 2.3 làm cách nào để “dựng” được chúng, và tại sao các quan điểm hình học của họ đã ngăn cản họ làm những phép dựng tương tự cho “căn bậc n” trong trường hợp n ≥ 4 . Sau Diophantus, hầu như không phát sinh thêm bất kỳ sự nghi ngờ nào 27 nữa. Vào thế kỷ thứ 14, Oresme đã ngầm thừa nhận rằng, với số tự nhiên n và số thực X>0, luôn tồn tại số Z>0 sao cho Zn=X. Chúng ta viết số này là X1/n. Ông thậm chí còn xuất phát từ quan điểm này để đưa ý tưởng về lũy thừa Xp/q, với số mũ phân số, và có những nhận định táo bạo về lũy thừa với số mũ vô tỉ, như . Trong công trình của S.Stevin vào thế kỷ thứ 16, đã xuất hiện một phương pháp xấp xỉ tổng quát hóa quá trình được mô tả ở trên, và vào thời điểm đó nó có thể được coi như một chứng minh sự tồn tại. Ông sử dụng phương trình, , ở đó là một đa thức, mà ta viết như sau: ở đó và . Từ đó chúng ta có , và dễ dàng chỉ ra rằng tồn tại số tự nhiên đủ lớn để . Stevin thay biến số t trong liên tiếp bởi các số 1,2,3,… và dừng lại ở số tự nhiên cuối cùng q sao cho , và ≥0. Sau đó ông thay thế bằng những số và dừng ở số tự nhiên cuối cùng sao cho . Ông tiếp tục theo cách tương tự với các số ,vân vân. Như vậy, ông thu được dãy các đoạn thắt , ,…, , … (1) (Hình 14), mà ông có thể kéo dài vô hạn, mà ở đó độ dài 28 Hơn nữa ta có và b2 c0 c2 c1 b0 b1 Hình 14 Sau đó ông mặc nhiên thừa nhận rằng có một số Z được chứa trong tất cả các khoảng. Hơn nữa, không thể có hai số như vậy Z’ có 0 < Z - Z’ < 1/ với mọi số tự nhiên k, mâu thuẫn với tiên đề Acsimet. Tiếp đó ông giả sử rằng chúng ta có , điều có thể chứng minh được theo cách sơ cấp. Quá trình này cho ông thêm một phương pháp nhận được các giá trị xấp xỉ của Z, với lân cận nhỏ tùy ý của sai số. Việc ứng dụng phương pháp này đối với đa thức cho một quy trình để tính xấp xỉ X . Các nhà toán học trong nhiều thế kỷ tiếp theo đã sử dụng và khái quát hóa phương pháp này, nhưng định mệnh đã dành cho Cauchy việc rút ra từ đó Tiên đề các dãy đoạn thắt, khẳng định sự tồn tại của một số thực nằm trong tất cả các khoảng của dãy (1), trong đó mỗi khoảng chứa khoảng tiếp theo. Trong lý thuyết tiên đề về số thực, tiên đề này là tiên đề cuối cùng được liệt kê, và không nghi ngờ gì nữa, là tiên đề quan trọng nhất, chứa đựng cốt lõi của toàn bộ giải tích. 2.2. Những tiến bộ trong đại số Việc có thể thực hiện tính toán sử dụng các số chưa biết như thể chúng đã được biết không phải là điều hiển nhiên, và đó là điều mà các bạn trẻ thấy khó hiểu. Đó thực sự là một điểm khởi đầu của môn đại số, là cái ngưỡng mà chúng ta đã thấy các nhà thông thái người Babylon vượt qua vào thiên niên kỷ thứ hai trước công nguyên. Tuy nhiên trong khi không mất quá một thế kỷ để hình học đạt đến một hình thức cơ bản cuối cùng, thì phải mất đến mười ba thế kỷ sau 29 Diophantus, đại số mới trở thành như ta thấy ngày hôm nay. Trở ngại chính cản trở sự phát triển của đại số là cách những nhà toán học dùng ngôn ngữ hàng ngày để mô tả các phép tính trong đại số, sử dụng các phép toán cơ bản, tổng và tích. Ví dụ, sau đây là cách mô tả việc giải phương trình bậc hai do al-Khwarizmi (thế kỷ thứ 9), người nổi tiếng vào thời trung cổ đến mức tên ông, với một chút biến đổi, đã trở thành thuật ngữ “algorithm” (thuật toán) của chúng ta. Bài toán: Hình vuông phải như thế nào để khi ta cộng vào diện tích của nó mười lần độ dài cạnh của nó, thì được 39? (trong ký hiệu hiện đại ). Lời giải: Chia 2 số lần mà cạnh được cộng vào, sẽ ra 5. Nhân số này với chính nó, được tích là 25. Cộng số này với 39 được 64. Lấy căn bậc hai của số này sẽ được 8, và trừ nó cho một nửa số bội của các cạnh, còn lại 3. Đây là cạnh của hình vuông cần tìm, như vậy hình vuông bằng 9. Dễ dàng hình dung được rằng, một khi bài toán phức tạp hơn một chút, việc mô tả lời giải của nó viết theo cách như vậy sẽ trở thành khó hiểu như thuật ngữ pháp lý. Khó khăn này đã dần dẫn đến việc công nhận nhu cầu viết tắt để làm cho chuỗi các phép toán trở nên dễ hiểu: ở đây chúng ta có vấn đề về ký hiệu, điều mà lại một lần nữa nảy sinh mỗi khi đưa vào thêm đối tượng mới, và có lẽ sẽ không bao giờ ngừng dày vò các nhà toán học. Diophantus,không nghi ngờ gì nữa, là nhà toán học đầu tiên sử dụng những ký hiệu viết tắt. Trong một bài toán liên quan đến đại lượng chưa biết, ông sử dụng ký hiệu đặc biệt để biểu thị sáu luỹ thừa đầu tiên của nó. Các nhà toán học vào Thời trung cổ đã làm theo gương ông, viết: 30 hoặc (cosa) ẩn số (censo) (cubo) (censo di censo) Tuy nhiên, Diophantus và hầu hết những người sau ông không có ký hiệu cho ẩn số thứ hai, khi bài toán có ẩn như vậy. Vào cuối thế kỷ thứ 15, Luca Pacioli đã viết và để thay cho “cộng” và “trừ”, và sử dụng kí hiệu R hoặc R2, R3, R4 hoặc RR để biểu thị căn bậc 2,3,4. Ví dụ, ông viết: để biểu thị (chữ V thay cho dấu ngoặc đơn của biểu thức đi sau nó). Trong công trình của R.Bombelli, chúng ta thấy L và ┘thay cho ngoặc đơn). Các dấu + và – chỉ được xuất hiện vào khoảng năm 1480, dấu = xuất hiện vào năm 1557, và các dấu bất đẳng thức < và > xuất hiện vào năm 1631. Một bước tiến quan trọng trong ký hiệu có được là nhờ Viète: ông đã sử dụng các chữ cái để ký hiệu không chỉ các ẩn số mà còn các đại lượng đã cho trong một bài toán mà việc cho các giá trị bằng số là không cần thiết. Điều này đã rút ngắn đáng kể việc mô tả các phép tính. Chẳng hạn, công thức mà chúng ta viết là được Viete ghi thành B in A Quadratum, plus D plano in A, equari Z solido . Ký hiệu cho số mũ (dương và âm) được sử dụng vào thế kỷ 15 bởi N.Chuquet và M.Stifel, sau đó là Stevin vào thế kỷ thứ 16 (không phải Viete), đã trở nên phổ biến với công trình của Descartes. Cuối cùng còn phải đưa ra các chỉ số cho các dãy số, khi chúng ta không muốn chỉ rõ dãy có bao nhiêu số hạng. Ý tưởng này nảy sinh trong công trình của Newton và Leibniz, tuy nhiên đến 31 cuối thế kỷ thứ 19, rất nhiều nhà toán học thích viết: , hơn là các ký hiệu hiện đại chúng cho phép ta tính với n+1 số hạng mà không có bất kỳ sự bất tiện nào. Như vậy, chỉ khi kết thúc của một quá trình tiến hóa lâu dài, người ta mới có thể viết một “đa thức tổng quát” , và điều này làm cho ta có thể phát biểu và chứng minh những định lý tổng quát trong đại số. 2.3. Phương pháp tọa độ Chúng ta biết rằng một trong ba phát kiến quan trọng nhất trong toán học ở thế kỉ 17 có được là nhờ nhà toán học Descartes (và đồng thời là cả Fermat), đó là việc đưa vào hình học phương pháp tọa độ (cũng được biết đến như “ứng dụng của đại số trong hình học”, và sau đó là “hình học giải tích”). Tuy nhiên, các phương pháp đó sẽ không có được nếu không có những bậc tiền bối, bởi vì ví dụ đầu tiên về đường cong phẳng xác định bởi các phương trình xuất hiện ngay từ thế kỷ thứ 4 trước Công nguyên. Chúng ta đã thấy trong mục 1.2 rằng việc dựng một hình vuông có diện tích gấp đôi hình vuông khác là dễ dàng, một vấn đề tương tự “ gấp đôi thể tích của khối lập phương” , không nghi ngờ gì nữa, xuất hiện khá sớm, nhưng dường như vấn đề này đã trở nên khó hơn nhiều đối với các nhà toán học Hy Lạp. Việc gấp đôi hình vuông dẫn đến dựng chiều dài x có “tỷ lệ trung bình” giữa hai chiều dài a và 2a, tức là sao cho 32 bởi vì, theo định nghĩa tích của hai tỷ số (mục 1.4) Đó là cách đặt vấn đề giúp Hippocrates của xứ Chio (ở thế kỷ 5) đưa việc gấp đôi khối lập phương về việc dựng hai “tỷ lệ trung bình” giữa a và 2a, tức là nói rằng, hai chiều dài x và y thỏa mãn phương trình. (2) Thật vậy, đối với các nhà toán học Hy Lạp thì tích của ba chiều dài A, B và C là thể tích hình hộp với các cạnh là A, B, C và như vậy hệ thức (2) kéo theo: (Euclid, Book VIII, 12, với các tỷ lệ thông ước). Cách xây dựng này dường như không dễ nhớ như vấn đề gốc ban đầu. Nhưng Menaechmus, một học trò của Eudoxus, nhận thấy rằng (2) cũng có thể viết dưới dạng hai phương trình đồng thời: (3) (4) Sau đó ông có ý tưởng lấy hai nửa đường thẳng vuông góc, OX và OY trên cùng một mặt phẳng, và xem xét riêng rẽ hệ thức (3) và (4) giữa đoạn x=OP trên OX và đoạn y = OQ trên OY. Nhưng đối với mỗi điểm Q trên OY với OQ = y, trên đường thẳng song song với OX qua Q (Hình 15), ta có điểm M1 sao cho (một “tỷ lệ trung bình” giữa 2a và y), và điểm x1= OP1= QM1 thỏa mãn M2 sao cho x2 = OP2= QM2 thỏa mãn x2y = 2a2 (một “tỷ lệ thứ tư giữa 2a, y và 33 a). Hình 15 Khi Q thay đổi trên OY, thì M1 và M2 vẽ nên hai đường cong C1 và C2 . Chính Menaechmus sau đó ít lâu đã phát hiện ra rằng các đường cong có thể nhận được như những thiết diện phẳng của một nón tròn xoay. Sau Euclid và Archimedes , các thiết diện phẳng này, được biết với tên gọi thiết diện conic, đã được Apollonius (thế kỷ 3 trước công nguyên) nghiên cứu sâu hơn, ông đặt tên cho C1 là parabola và C2 là hyperbola. Nếu N là giao điểm của hai đường cong, thì các đoạn OH = NK = x và OK = NH = y cho lời giải của (2). Những câu chuyện dân gian lưu truyền rằng Plato không thích lời giải này bởi vì nó sử dụng các đường cong mà không phải là đường thẳng và đường tròn; nhưng kiểu “dựng” nhờ giao điểm của các đường cong lại trở nên khá phổ biến ở những người kế tục của Euclid (phương pháp dựng này đã suy ra các tính chất “nhìn thấy” nhưng không chứng minh được), và điều này được Descartes và Newton đánh giá cao. Tầm quan trọng của phương pháp được Descartes và Fermat sử dụng là ở chỗ nó cho phép chuyển bất cứ vấn đề nào trong hình học phẳng thành vấn đề 34 tương tự trong đại số. Điều này có được là vì các đối tượng và các quan hệ trong hệ thống tiên đề của Hilbert có thể được diễn dịch như là các đối tượng và quan hệ của lý thuyết số thực, tuân theo “từ điển” sau đây: Điểm M cặp số (x, y) ta viết M =(x, y) đường thẳng phương trình ax +by + c= 0 với a2 + b2 ≠ 0 điểm thuộc... cặp thỏa mãn.... điểm giữa A= (x1, y1) cặp (tx1 + (1-t)x2, ty1 + (1-t)y2 với 0 độ dài đoạn AB đường tròn phương trình x2 + y2 +ax + by +c =0 với 4c < a2 + b2 Cuối cùng, công thức cho góc α giữa các đường thẳng AB và AC là trong đó A=(x0, y0) , B= (x1, y1) ; C=(x2, y2) “Hình học không gian” có thể được “ dịch” theo cách tương tự, bằng cách thay thế một điểm bởi bộ ba số (x,y,z), mặt phẳng bởi phương trình ax + by + cz + d= 0 với a2 + b2 + c2 ≠ 0, v.v… Vào thế kỷ 19, khi cơ sở toán học trở nên sâu sắc hơn, có thể nói rằng hình học sơ cấp có một mô hình trong lý thuyết số thực. Đây là “cây cầu” đầu 35 tiên trong một loạt các cây cầu nối hai phần đối lập của toán học. Hơn thế nữa, sự kiện các đường thẳng, đường tròn và đường conic trong mặt phẳng được xác định bởi các phương trình dạng P(x,y)=0, trong đó P là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với hệ số thực, một cách tự nhiên dẫn các nhà toán học tới việc nghiên cứu các đường cong được xác định bởi những phương trình cùng loại nhưng không có hạn chế về bậc . Đó là điểm khởi đầu của một lĩnh vực mới của toán học, hình học đại số, nó bổ sung một cách to lớn vào danh sách các đường cong mà các nhà toán học Hy Lạp biết đến, và ngày nay nó vẫn là một trong những lĩnh vực sôi động nhất, sau 300 năm nghiên cứu và vô vàn kết quả. Phương pháp tọa độ cũng là cơ sở của hai tiến bộ tuyệt vời khác trong thế kỷ 17: đưa ra ý tưởng về hàm số và phép tính vô cùng bé. Người ta thường nói rằng các khái niệm toán học của các nhà toán học Hy Lạp về cơ bản là tĩnh, và điều này trái ngược ý tưởng biến thiên chi phối tư tưởng khoa học hiện đại. Rõ ràng Cơ sở của Euclid tập trung nghiện cứu các hình mà vị trí và kích thước là cố định. Tuy nhiên, ngay từ khi bắt đầu của toán học Hy Lạp, những cố gắng để tìm hiểu sự chuyển động và thay đổi về hình dạng hay bản chất luôn luôn xâm chiếm ý nghĩ của các nhà triết học, và khái niệm về chuyển động đều - thẳng hay tròn- được chỉ ra rõ ràng ngay khi biết cách đo thời gian. Chúng ta biết rằng, trong hệ thiên văn của họ, bằng việc kết hợp những chuyển động này mà các nhà toán học Hy Lạp cố gắng tính quỹ đạo của các hành tinh. Mặc dù khái niệm về thời gian không được tính đến trong hình học Hy Lạp, ít nhất hai đường cong phẳng, đường quadratrix (Hình 16) của Hyppias và đường xuắn ốc 36 (Hình 17) của Acsimet, đã được định nghĩa bởi tổ hợp các chuyển động đều. r Hình 16 Có vẻ như về nguyên tắc cần nghiên cứu các chuyển động thẳng không nhất thiết đều- đặc biệt chuyển động của các vật rơi, chủ đề nổi bật trong các trường phái triết học vào thời trung cổ. Loạichuyển động mà Oresme (người đầu tiên ) trong thế kỷ 14 có ý tưởng biểu diễn sự thay đổi độ lớn theo thời gian bằng đồ thị. Ông đã dùng hoành độ của một điểm để biểu thị thời gian và tung độ biểu thị giá trị của sự thay đổi độ lớn tại thời điểm đó (Hình 18); tọa độ các điểm nhận được lập nên đồ thị. Oresme cũng cho rằngcó thể lấy trục hoành làm trục thời gian và với bất cứ “giá trị” nào đều biểu thị được bằng con số. Ngày nay y y D r=c r O x t x Hình 17 Hình 18 37 phương pháp trở lên phổ biến và thường bị lạm dụng. Vào thế kỷ 17 ý tưởng này được kết hợp với phương pháp tọa độ, và làm cho người ta quen dần với ý tưởng về số y “phụ thuộc” vào số x biến đổi trên khoảng I. Vào cuối thế kỷ này người ta nói rằng y là một hàm số của x: đồ thị của nó là một đường cong giao tại chỉ một điểm với mỗi đường thẳng đi qua một điểm thuộc I và song song với OY. Tuy nhiên, ngược lại, mỗi đường cong có tính chất này xác định một hàm số: ví dụ, nửa đường tròn tâm O và bán kính 1 nằm phía trên OX (Hình 13) xác định trong khoảng -1 ≤ x ≤ 1 hàm số Chính sự tương ứng này mà vào thế kỷ 19 đã có thể định nghĩa được khái niệm tổng quát về hàm số như một đối tượng toán học. Nhưng cho đến lúc đó người ta vẫn còn ít quan tâm về cơ sở lý thuyết. Khái niệm về hàm số, mặc dù có thể là “trực giác” , đã mở ra một kỷ nguyên tiến bộ không ngừng, trong toán học cũng như trong những ứng dụng của nó, và tất cả các nhà toán học cùng nhau đưa nó phát triển. Đó trước hết là do khái niệm hàm số là cơ sở cho phát minh thứ ba của thế kỷ 17 - và có lẽ phát minh quan trọng nhất trong toàn bộ lịch sử toán học - phép tính vô cùng bé. 2.4. Quan điểm về giới hạn và phép tính vô cùng bé. Ví dụ đầu tiên về việc xác định một số theo phương pháp “dãy đoạn thắt” (2.1) mà ta biết cho đến nay là việc tính xấp xỉ diện tích hình tròn, được Euclid đưa ra (Cơ sở, Quyển XII, 2). Ông vẽ nội tiếp trong hình tròn một hình vuông P1, sau đó bằng cách lấy liên tiếp các trung điểm của các cung chắn các cạnh của đa giác, ông nhận được các đa giác đều P2, P3, ....Pn,..... có 8, 16....2n+1 cạnh. Đồng thời, ông xét các đa giác ngoại tiếp Q2, Q3, ....Qn, các cạnh của chúng tiếp xúc đường tròn tại các đỉnh của đa giác nội tiếp (Hình 19). Giả sử pn là diện tích đa giác Pn và qn là diện tích đa giác Qn . Khi đó các số này là những đầu mút của dãy các đoạn thắt 38 [p1, q1], [p2, q2], ......, [pn, qn], ...., “ Phần tô đậm là diện tích ” và Euclid chỉ ra, bằng một lập luận hình học đẹp đẽ, rằng Hình 19 Như vậy ông có thể kết luận rằng số duy nhất được chứa trong tất cả các đoạn này cho ta “diện tích hình tròn”. Cấu trúc trên đây đơn giản là một ví dụ về cái được gọi là “phương pháp vét cạn”, có thể là được Eudoxus phát minh ra. Ít nhất thì chính ông là người đã áp dụng nó để chúng minh rằng thể tích của hình nón tròn xoay bằng 1/3 thể tích của hình trụ có cùng đáy và chiều cao (Euclid, Quyển XII, 10). Archimedes đã tạo ra hàng loạt những kết quả mới: diện tích một đoạn thuộc parabon, diện tích và thể tích hình cầu, thể tích một đoạn thuộc parabon tròn xoay... Vào thế kỷ 17, việc sử dụng tọa độ đã cho phép mở rộng được phương pháp vét cạn. Ví dụ, nếu trong đoạn 39 I: a ≤ x ≤ b y = f(x) là hàm dương tăng, chúng ta có thể ước lượng theo phương pháp này diện tích S bao hàm giữa đồ thị và trục OX: chúng ta chia I liên tiếp thành 2,4,8,...,2n,......phần bằng nhau, và đối với mỗi đoạn [tk, tk+1], xét diện tích của hình chữ nhật có đáy đoạn này được và nằm bên “ dưới” đường cong, và diện tích của hình chữ nhật cùng đáy và nằm bên “trên” đường cong. Nếu là tổng tính diện các hình chữ nhật loại thứ nhất, và là tổng diện tích các hình chữ nhật loại thứ hai, thì ta có ≤ S ≤ và (Hình 20) Số S được định nghĩa là số duy nhất có trong tất các đoạn lồng nhau [ , ]. Đây là cách mà Fermat tiến hành từ năm 1636 liên quan đến đường cong y=xm (trong đó m là số tự nhiên với m>1), bởi một công thức đại số đơn giản 40 cho và một cách tường minh, và ông đã nhận được công thức “Phần tô đậm là diện tích ” O y a x b Hình 20 Về sau, bằng việc lựa chọn tốt hơn việc chia I thành các khoảng ngày càng nhỏ hơn, ông đã mở rộng những kết quả này đến trường hợp mà là phân số bất kỳ (khác với -1) Phương pháp này (với một vài cải tiến nhỏ để có thể chia nhỏ hơn “các đoạn thắt”) vẫn là một trong những dạng cơ bản của tính toán diện tích bằng máy tính. Điều này có lẽ sẽ không gợi lên được nhiều sự quan tâm nếu không phải vì sự kiện những nhà toán học đó tại thời điểm đó cùng tấn công bài toán tưởng chừng rất khác ( đó là bài toán về cách xác định các tiếp tuyến cho đường cong phẳng đã được đề cập trong thời cổ điển). Đối với người Hy Lạp, tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M là một đường thẳng D đi qua M sao cho các điểm của đường cong (C) gần M nằm cùng một phía so với đường thẳng D (Hình 21): đường thẳng D chạm đường cong tại điểm M. Euclid đã chỉ ra rằng tiếp tuyến tại điểm M của đường tròn tâm O là vuông góc với OM (Quyển III, trang 16), và việc mô tả các đường conic như là những thiết diện phẳng của hình nón với các đáy tròn đã giúp cho việc tìm các tiếp tuyến của những đường cong này. Tuy nhiên, ngoài các đường conic, trong 41 thời cổ điển, người ta chỉ biết một đường cong mà tiếp tuyến được xác định, đó là đường xoắn ốc của Ác xi mét 2.3), và chúng ta không biết làm thế nào ông đoán được việc dựng những tiếp tuyến này . Fermat chính là người,vào năm 1636, lại sử dụng phương pháp toạ độ để tấn công bài toán một cách có hệ thống đối với các đường cong (Ở đó m là một số tự nhiên ). Câu hỏi đặt ra là liệu đường thẳng D, cho bởi phương trình đi qua điểm của đường cong , có “chạm” với đường cong này tại điểm đó hay không.Với điểm của đường thẳng , mà hoành độ với đủ nhỏ, thì cần biết dấu của đoạn thẳng có hướng D M C (Hình 22). Vì đường thẳng D đi qua điểm M, chúng ta có và Hình21 bởi công thức nhị thức, trong đó Q(x,h) là đa thức của x và h, và tồn tại số A sao 42 cho |Q(x, h)| ≤ A, với |h| ≤ 1. D x + h x x + hn Hình 22 Nếu số khác không, thì dấu ngoặc đơn cuối cùng trong biểu thức (*) có cùng dấu như khi mà: <1 và < và điều này xẩy ra khi hoặc ; dấu của thay đổi cùng với dấu của khi trở thành lớn hơn hoặc nhỏ hơn 0. Nói cách khác, đường thẳng đi qua đường cong tại điểm . Do đó, chỉ một đường “tiếp xúc” là đường thẳng mà với . Nhìn chung đường thẳng này thực ra không đi qua đường cong, nhưng với trường hợp và tại x = 0 thì điều này tỏ ra là không luôn đúng (Hình 23). Tuy nhiên, sẽ thuận tiện nếu nói rằng đường thẳng Do mà phương trình của nó là 43 tiếp xúc với đường cong tại M. Y y = x3 O X Hình 23 Phép tính này, cũng như mọi lý luận về “phép vét cạn” đều không thể thể hiện thỏa đáng, ngoại trừ dùng ngôn ngữ mà, về mặt lịch sử, chưa rõ ràng cho đến giữa thế kỷ mười tám, và phải mất đến 80 năm nữa mới trở thành tổng quát: đó là, ngôn ngữ giới hạn. Phép dựng hình của Euclid ở trên đã làm “rõ ràng về trực quan” rằng một đa giác đều cạnh vẽ bên trong một đường tròn “tiến đến” đường tròn khi tiến ra vô hạn. Vào thế kỷ thứ năm, nhà ngụy biện Antiphon đi xa đến mức nói rằng khi đủ lớn, đa giác trở thành chính đường tròn, xúc phạm sâu sắc đến hình học của trường phái Plato. Trường phái này đã đưa ra ví dụ khác, là các tiệm cận hyperbol (Hình 15), chúng có thể kể đã được Maenachmus biết đến: khoảng cách từ điểm tới đường thẳng nhỏ hơn khi , nhưng không bao giờ bằng không, điều này tất nhiên chỉ có 44 thể thừa nhận đối với “hình tuyệt đối” của Plato. Ngày nay chúng ta nói rằng dãy ( ) các số thực có giới hạn bằng 0, hoặc có tiến đến 0, khi với mỗi số , tất cả các nằm trong khoảng với mọi, từ số nào đó trở đi (ở đó tất nhiên phụ thuộc vào ). Tổng quát hơn, tiến đến một số thực , hoặc có giới hạn nếu dãy tiến đến 0. Khi đó ta viết: Sử dụng ngôn ngữ này, tiên đề về dãy đoạn thắt (2.1) được thể hiện bằng cách nói, nếu thì các dãy ( ) và có cùng giới hạn, là số Z duy nhất được chứa trong tất cả các khoảng. Quay lại với phép tính của Fermat nhằm xác định tiếp tuyến của đường cong , chúng ta có thể nói rằng “hệ số góc” của tiếp tuyến tại điểm là giới hạn của “hệ số góc” (5) của một “ cát tuyến”, đường thẳng nối điểm tới điểm trên đường cong với hoành độ (và được xác định chỉ khi ), đối với mỗi dãy ( ) các số khác không tiến đến 0. Trong dạng này, định nghĩa có thể áp dụng cho mỗi đường cong với phương trình , với điều kiện giới hạn của dãy (6) tồn tại và luôn bằng nhau, với mọi dãy ( ) các số khác không mà tiến đến 0. Người ta đã nhanh chóng nhận ra vào thế kỷ thứ 17, rằng phương pháp của Fermat có thể áp dụng được cho nhiều đường cong khác được biết lúc đó, ví 45 dụ, cho đường cong , v.v… Đối với động hình học và động lực học hiện đại ( được hình thành vào thời điểm đó nhờ các công trình của Galileo và Kepler), dựa vào cách “tiếp cận đến giới hạn” đã cung cấp một định nghĩa về “vận tốc tức thời” – một khái niệm cho đến lúc này mới chỉ được biết đến bằng trực quan, nhưng không được phát biểu chính xác. Không thể cho rằng bản đúc kết ngắn gọn này phản ánh được con đường mà tư tưởng toán học đã trải qua trong việc sáng tạo ra phép tính vô cùng bé trong suốt thế kỷ thứ 17: con đường chậm chạp, quanh co và dễ lạc lối. Trong biểu thức (5), cả tử số và mẫu số đều trở thành 0 khi chúng ta cho , và biểu thức 0/0 là vô nghĩa. Các nhà toán học đã cố gắng tìm một lối thoát bằng cách, như Leibniz đã làm, nói về các “số vô cùng bé”, hoặc như Newton đã làm, về “giá trị cuối cùng của đại lượng triệt tiêu”, nhưng việc này chỉ để che đậy bằng lời nói thiếu sự chính xác của ý tưởng. Tuy nhiên, cho đến cuối thế kỷ, sự gia tăng việc quen với loại lý luận này và tính có lợi hiển nhiên của nó đã dẫn đến việc xây dựng cơ sở lý luận thông qua việc đưa ra những khái niệm và thuật toán chung. Giới hạn của biểu thức (6) xác định, khi thay đổi, một hàm mới mà Newton gọi là “fluxion” của hàm số ( ông biến đổi từ chữ “fluent”) và ’ cho hàm số này, mà Leibniz đến lượt mình viết thành ông đưa ra ký hiệu . Về sau giới hạn của (6) được viết là , và gọi là đạo hàm tại điểm của hàm số . Đối với diện tích S của hình 20, người ta dùng thuật ngữ tích phân hàm số giữa và , và ký hiệu được sử dụng từ thời Fourier, lấy trực tiếp từ thuật ngữ do Leibniz sử dụng. Hơn nữa, thuật ngữ và ký hiệu đã được áp dụng cho các hàm số không nhất thiết dương trong khoảng bằng coi là âm những phần diện tích nằm phía dưới trục 46 . Bước nhảy vọt lớn trong phép tính vô cùng bé đã được thực hiện nhờ một khám phá quan trọng về mối liên hệ giữa đạo hàm và tích phân. Điều này đã được rất nhiều nhà toán học thực hiện độc lập vào những năm 1660, bằng cách ít nhiều gây nhầm lẫn. Khi điểm thay đổi trên khoảng , công thức: xác định một hàm số của ; và, với những giả thiết đề ra ở trên, hàm số có tại mọi điểm một đạo hàm bằng (chúng ta nói rằng là nguyên hàm của hàm số ). Dễ dàng chứng minh được với , ta có (Hình 24) ta có thể viết thành và do giả thuyết nhỏ tuỳ ý cùng với . Lập luận tương tự với trường hợp . Một khi một nguyên hàm của một hàm số được biết, thì tất cả những nguyên hàm khác là hàm số , ở đó C là một hằng số bất kỳ. Leibniz viết: 47 đối với một nguyên hàm tùy ý của . Y f(x + h) f(x) h X x x + h Hình 24 Kết quả cơ bản này cho phép chuyển từ tính chất của đạo hàm đến tính chất của tích phân, và ngược lại. Tóm lại, chúng ta nhận thấy rằng tất cả những ý tưởng hình học được mô tả ở trên, cũng giống như tất cả những ứng dụng hình học khác của giải tích cho đến tận giữa thế kỷ thứ 19, đều được dựa trên giả thiết không phát biểu được về độ dài của đường cong, diện tích của mặt và thể tích của một vật rắn. Chúng được gợi ý bởi “trực giác hình học”, mà trên thực tế là bởi những lược đồ đơn giản. Việc chuyển những khái niệm này thành “các đối tượng toán học” (theo quan điểm của Plato) đã gặp nhiều vấn đề khó khăn mà mãi tới thế kỉ thứ 19 và 48 thế kỉ thứ 20 mới khắc phục được. Luận văn đã cố gắng trình bày lại sự phát triển của những tư tưởng toán học cơ bản: - Tư tưởng về chứng minh, bắt đầu từ những trường phải của Hy Lạp cổ đại - Phương pháp tiên đề: trong số học và hình học, từ Euclid đến Hilbert. - Quan niệm về số vô tỷ, sự hình thành việc xây dựng chính xác tập hợp số thực. - Phương pháp toạ độ. - Tư tưởng về xấp xỉ, sự ra đời của khái niệm vô cùng bé. - Phép tính giới hạn - Phép tính vi phân và tích phân. Việc tìm hiểu sự hình thành và phát triển của nhữn tư tưởng và phương pháp trong toán học giúp ta nhận thức rõ hơn về ý nghĩa, vai trò của toán học 49 trong sự phát triển của xã hội loài người . DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Hà Huy Khoái – Bài giảng về Lịch sử và Triết học của toán học, ĐH Thăng Long 2014. 2) J.Dieudonné. Mathematics – the music of reason. Springer, 1992. 3) A. Irvine. Philosophy of Mathematics. North Holland Publishing House, 50 2009KẾT LUẬN
