BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Hoàng Đức Huy

KKHHÁÁII NNIIỆỆMM SSỐỐ TTHHẬẬPP PPHHÂÂNN ĐĐỐỐII VVỚỚII HHỌỌCC SSIINNHH TTRRUUNNGG HHỌỌCC PPHHỔỔ TTHHÔÔNNGG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠN PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

Mã số: 60.10.40

Người hướng dẫn khoa học:

TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

PHẦN MỞ ĐẦU

1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Ở Pháp, kể từ sau cuộc chống cải cách Toán học Hiện đại (1968/1978) số thập phân

đóng vai trò cơ sở trong việc nghiên cứu hệ thống số (theo Bronner, 1997). Sự chọn lựa

didactic này chịu ảnh hưởng từ ý kiến sư phạm của những nhà toán học lớn của Pháp, chẳng

Nếu ta chọn hệ đếm thập phân cho giảng dạy ở phổ thông là vì những lý do sư phạm : để tiết

kiệm thời gian, và bởi vì số được biểu diễn trong hệ thập phân sẽ cụ thể và phù hợp với tư

duy của trẻ. (Lebesgue,1931, tr 8)

hạn theo Lebesgue :

Trong đời sống và trong các ngành khoa học, nhất là các ngành khoa học thực nghiệm

như vật lý, hóa học…, người ta thường sử dụng số thập phân khi tính toán và chấp nhận các

kết quả thập phân gần đúng.

Trong chương trình và sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất, theo Luận án tiến sĩ của Lê

Thái Bảo Thiên Trung (2007) khái niệm số thập phân chỉ chính thức được nghiên cứu ở tiểu

học. Đến trung học cơ sở, số thập phân được nhận dạng như những số hữu tỷ đặc biệt. Thể

chế dạy học trung học cở sở và trung học phổ thông không xem số thập phân là đối tượng

nghiên cứu.Tuy nhiên chúng vẫn xuất hiện trong định nghĩa số thực và tính toán gần đúng,

nhất là trong tính toán với máy tính bỏ túi hiện rất được khuyến khích tại Việt Nam.

Vì vậy, chúng tôi cho rằng vai trò và vị trí của đối tượng số thập phân trong dạy học

toán bậc phổ thông Việt Nam không được xem trọng như trong thể chế dạy học của Pháp.

Mặt khác, các nghiên cứu về việc giảng dạy số thập phân trong thể chế dạy học Việt

Nam cũng rất hiếm. Điều này giải thích cho tính thích đáng của nghiên cứu mà chúng tôi dự

định thực hiện.

Chúng tôi khởi đầu nghiên cứu của mình với các câu hỏi sau:

Khái niệm số thập phân đã được đưa vào chương trình hiện hành và sách giáo khoa

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

phổ thông Việt Nam như thế nào? Có sự tiến triển nào về chương trình và sách giáo

khoa đối với việc dạy học khái niệm số thập phân qua hai chương trình hiện hành

và trước năm 2001 ?

Những khó khăn nào mà học sinh Việt Nam gặp phải khi học khái niệm này? Lý do

của những khó khăn trên là gì ? Trong những khó khăn này, cái nào giống và khác

với những gì mà các nhà Didactic Toán của Pháp đã phát hiện khi nghiên cứu thể

chế dạy học của Pháp ?

Quan niệm về khái niệm số thập phân của học sinh có được sau khi học khái niệm

này là gì?

2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu của chúng tôi sử dụng chủ yếu các công cụ của lý thuyết nhân chủng học

của Chevallard (1991). Đặc biệt hai định đề mà chúng tôi tích lại dưới đây của

+ Mọi thực tế thể chế đều có thế phân tích được, theo những quan điểm khác nhau và

bằng những cách khác nhau, thành một hệ thống các nhiệm vụ xác định.

+ Việc thực hiện mỗi kiểu nhiệm vụ là kết quả của việc áp dụng một kĩ thuật.

Chevallard đóng vai trò giả thuyết công việc cho nghiên cứu của chúng tôi.

- Trong khuông khổ của nghiên cứu này, chúng tôi sẽ đặc biệt nghiên cứu những sai

lầm của học sinh khi học số thập phân. Điều rút ra từ việc từ việc nghiên cứu sai lầm

“Sai lầm không chỉ đơn giản do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra (…..), mà còn là

hậu quả một kiến thức trước đây đã từng tỏ ra có ích, đem lại thành công, nhưng bây giờ lại tỏ ra

sai hoặc đơn giản là không còn thích hợp nũa. Những sai lầm thuộc loại này không phải thất

thường hay không dự đoán được. Chúng tạo thành chướng ngại. Trong hoạt động của giáo viên

cũng như trong hoạt động của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần xây dựng nên nghĩa của

kiến thức thu nhận được.” (G.Brousseau, 1976).

“Thêm vào đó, những sai lầm ấy, ở cùng một chủ thể, thường liên hệ với nhau trong một nguồn

chung : một cách nhận thức, một quan niệm đặc trưng, nhất quán - nếu không muốn nói là đúng

đắn, một “kiến thức” cũ đã từng đem lại thành công trong một lĩnh vực hoạt động nào đó.”

(G.Brousseau, 1976).

đã được Brousseau nhận định:

Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

tôi giới hạn đề tài của mình vào các câu hỏi nghiên cứu sau:

Q1: Những đặc trưng khoa học luận của khái niệm số thập phân là gì? Đâu là những

chướng ngại khoa học luận gắn với khái niệm này?

Q2: Mối quan hệ thể chế đối với đối tượng số thập phân trong chương trình hiện hành?

Dưới các ràng buộc của thể chế dạy học, học sinh có thể gặp những khó khăn gì khi học khái

niệm này? Những khó khăn nào có nguồn gốc khoa học luận? Những khó khăn nào gây ra do

sự lựa chọn Didactic của thể chế dạy học?

3. Phương pháp nghiên cứu

- Tổng hợp lại một số kết quả của những nghiên cứu trước đó (Pháp: Brousseau 1987,

Margolinas 1985, Neyret 1995; Việt Nam: Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) để trả lời cho

câu hỏi Q1.

- Phân tích chương trình và sách SGK hiện hành từ tiểu học đến trung học phổ thông

để tìm một số yếu tổ trả lời câu hỏi Q2.

4. Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm có phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận.

+ Phần mở đầu trình bày một số ghi nhận và câu hỏi ban đầu dẫn đến việc chọn đề tài,

mục đích nghiên cứu, phạm vi lí thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của

luận văn.

+ Trong chương 1, chúng tôi tóm tắt một số đặc trưng khoa học luận và toán học của

số thập phân từ công trình của Brousseau (1998), cấu trúc đại số và thứ tự của số thập phân

từ quan điểm của toán học cao cấp. Đặc biệt chúng tôi sẽ nhấn mạnh sự phân biệt giữa số

thập phân và dạng viết thập phân.

+ Trong chương 2, chúng tôi tiến hành phân tích thể chế dạy học ở trường tiểu học,

trung học cơ sở, trung học phổ thông ở Việt Nam liên quan đến đối tương số thập phân.

+ Trong chương 3, chúng tôi trình bày một thực nghiệm nhằm tìm hiểu mối quan hệ cá

nhân của học sinh với số thập phân.

+ Phần kết luận trình bày tóm tắt các kết quả đạt được qua các chương 1, 2, 3 của luận

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

văn và đề cập đến những hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn.

Chương 1:

MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN VÀ TOÁN HỌC CỦA SỐ

THẬP PHÂN

1.1. Một số kết quả khoa học luận của Brousseau (1998)

Từ các nghiên cứu khoa học luận và việc trình bày số thập phân Brousseau (1998) đã

Có nhiều cách định nghĩa hay xây dựng số thập phân. Những định nghĩa và cách xây dựng

này khác nhau do sự lựa chọn những kiến thức khởi đầu khác nhau. Ngoài ra việc xây dựng khái

niệm số thập phân bằng tiên đề là kiểu định nghĩa cuối cùng của khái niệm số thập phân nói riêng và

của những khái niệm toán học khác nói chung. Brousseau cũng nhấn mạnh rằng cách xây dựng bằng

phương pháp tiên đề cần phải được bổ sung thêm các lý thuyết để có thể hiểu được định nghĩa.

Il existe bien des mainières de définir mathématiquement ou de cons-truire les

décimaux. Elles diffèrent par le choix de ce que l’on considère connu comme objets

mathématiques et comme méthode de démonstration, mais leur résultat est le même, en ce

sens qu’il existe un moyen de montrer l’équivalence, l’isomorphisme des structures obtenues.

Chacune de ces constructions axiomatiques est dans le champ des mathématiques ; par

contre, l’étude de ce qui fait leurs différences, les raisons des choix, de ce qui est admis ou

non, de ce qui est important ou non, facile ou non ... ne relève pas des mathématiques. Une

constructions axiomatique est chargée

implicitement d’option épistémologiques, de

présupposés didactiques qu’il faut se garder de croire nécessaires au même titre que les

conclusions mathématiques, mais par lesquels il faut bien passer pour obtenir un discours qui

permet de communiquer la notion. Deux méthodes diffèrent par le choix des axiomes et des règles de production des théorèmes1.

( Brousseau. 1998, trang 201)

kết luận rằng:

Brousseau tóm tắt một số cách xây dựng số thập phân theo hai cách mở rộng hay thu

1 Có nhiều cách định nghĩa hay xây dựng khái niệm số thập phân. Chúng phân biệt với nhau thông qua sự lựa chọn các đối tượng được xem như đã biết và phương pháp chứng minh. Tuy nhiên tập hợp số thập phân là duy nhất theo nghĩa sai khác một đẳng cấu. Mỗi sự tiên đề hóa trong cách xây dựng số thập phân đều nằm trong phạm vi toán học. Tuy nhiên việc nghiên cứu sự khác nhau giữa các cách xây dựng này, các lý do lựa chọn những gì đã biết hay chưa biết, cái gì quan trọng hay không quan trọng, cái gì dẽ hiểu hay khó hiểu… thì không dựa vào toán học. Sự xây dựng bằng tiên đề ngầm ẩn dựa trên quan điểm tri thức luận và dựa vào việc chọn lựa những kết luận toán học cần thiết mà chúng ta chấp nhận rằng đúng, nhưng thông qua các kết luận này cần phải lĩnh hội được lý thuyết cho phép vận dụng khái niệm […] (Được chúng tôi dịch) Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

hẹp một tập số cho trước.

Prenons, par exemple, une construction directe des décimaux D :

. Considéron, dans ZxN, la relation d’équivalence ~

(

,

,

)

D x ,

 , la classe de (a,n) étant notée

a 10n

p

)

n p 

) )

. D = Z x N/ (cid:0) est muni d’opérations stables par pasage au quotient: p b .10 , a ( .10  a b n p ( . , ) 

b p ( , a n ( , )   ) a n x b p ( , ( , 

, 0)N

D

Qui prolongent les opérations dans N, identifié à (

n

p

b p ( ,

)

a .10

b .10

. Dest ordonné par ( , ) a n

,

,

)

D x ,

 est un anneau commutatif unitaire intègre et totalement ordonné.

. Alors (

( Brousseau, 1998, trang 203)

- Xây dựng số thập phân bằng cách mở rộng Z hay N.

Exemple : les descimaux sont les rationnels exprimables par une fraction descimale.

.10 p

p x

/ (

(C’est la construction qui sera retenue plus loin)   Z

- Xây dựng số thập phân từ việc thu hẹp tập số hữu tỉ.

 D x D  

Dans le processus exposé plus loin nous retiendrons d’abord une extension de N

pour construire directement Q  l’ neseble des nombres rationnels, púi une réduction

de Q  à D  .

( Brousseau, 1998, trang 201)

• Chướng ngại khoa học luận liên quan đến số thập phân: Bằng cách tổng hợp các

nghiên cứu khoa học và nghiên cứu thể chế dạy học Toán của Pháp mà nhất là Brousseau

(1998), Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) đã nhấn mạnh về một chướng ngại khoa học luận

liên quan đến việc lĩnh hội số thập phân :

- Tập hợp các số tự nhiên với cấu trúc cộng và cấu trúc thứ tự rời rạc của chúng là một

chướng ngại khi lĩnh hội cấu trúc đại số và cấu trúc thứ tự của tập hợp số thập phân. Đặc

biệt, thứ tự rời rạc của tập hợp số tự nhiên sẽ ngăn cản việc lĩnh hội thứ tự không rời rạc của

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

tập hợp số thập phân.

- Những lựa chọn Didactic liên quan đến việc xây dựng số thập phân trong thể chế dạy

học Pháp càng làm gia tăng chướng ngại này. Nghĩa là chướng ngại khoa học luận kể trên cũng là chướng ngại có nguồn gốc didactic2 (đối với thể chế dạy học của Pháp).

1.2. Cấu trúc đại số của số thập phân.

1.2.1. Số thập phân có cấu trúc vành

Trong lý thuyết toán học: Ta gọi là vành một tập hợp X cùng với hai phép toán hai

ngôi đã cho trong X kí hiệu theo thứ tự bằng các dấu + và . và gọi là phép cộng và phép nhân

sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:

1. X cùng với phép cộng là một nhóm aben

,

x y z X ta có: ,

2. X cùng với phép nhân là nửa nhóm

3. Phép nhân phân phối đối với phép cộng: với các phần tử

x( y + z) = xy + xz

(y + z)x = yx + zx

Từ đó, khi gọi D là tập các số thập phân, có thể thấy tập số thập phân D có cấu trúc

vành và có các đặc trưng sau :

1.2.2. Số thập phân là một vành giao hoán có đơn vi.

Thật vậy :

: (

,

,

)

)

a b c D a b

a

c

  

b c ( 

1. D cùng với phép cộng là một nhóm aben

:

,

   a b D a b b a

+

:

0

D a D a

,    

+

  a

)

:

a D

a D a

a

 

: (   

(  

+ 0

 ) 0

+

: (

,

,

)

a b c D ab c )

a bc (

2. D cùng với phép nhân là nửa nhóm

,a b c D ta có: ,

3. Phép nhân trong D phân phối đối với phép cộng:

(

)

a b c 

ab ac 

2 Theo Cornu (1983): Là những chướng ngại gây ra bởi phương pháp giảng dạy. Đó là những chướng ngại hoặc do giáo viên gây ra hoặc do hệ thống dạy học (bao gồm chương trình, chỉ dẫn của chương trình, thói quen, lựa chọn các ví dụ , …) gây ra. Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

với các phần tử

)

b c a ba bc ( 

a D

.1a

  : Ta có

a

4. Phép nhân trong D có phần tử đơn vị:

1.2.3. Số thập phân không có cấu trúc trường

Thật vậy, vì một số số thập phân không có phần tử nghịch đảo nên số thập phân không

D .

có cấu trúc trường.

1 0,3

Ví dụ: 0, 3 D ; nhưng

1.2.4. Số thập phân là tập con của các trường Q và R

Thật vậy, như ta đã biết: mỗi số thập phân là số hữu tỉ, như vậy tập số thập phân là tập

con của các trường Q và R.

1.3. Sự phân biệt giữa số thập phân và dạng viết thập phân

1.3.1. Số thập phân có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng viết.

Các dạng viết này có thể xuất hiện như là nghiệm của phương trình hay kết quả khai căn

bậc hai của một số thực, kết quả của tính xấp xỉ giá trị của hàm số tại một điểm. Vậy mỗi

dạng viết khác nhau của số thập phân liên hệ với những vấn đề toán học sinh ra số thập phân

này.

Chẳng hạn số thập phân 2,5 có các dạng viết như sau:

- Dạng viết thập phân là 2,5.

(ví dụ khi giải phương trình 2x = 5). - Dạng viết phân số là 5 2

- Dạng viết a là 6, 25 (Ví dụ khi giải phương trình x2 = 6,25).

1

- Dạng viết 2 + sin30o (Dạng viết này có thể xuất hiện khi giải phương trình lượng giác).

1 1!

1 2!

xe

...

1  

- Dạng viết (Dạng viết này có thể xuất hiện khi tính gần đúng số e từ khai triển

1 1!

1 2!

1 n !

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

) Mac Laurin

1.3.2. Tất cả các số thực đều có thể biểu diễn dưới dạng thập phân. Như vậy, người ta có

thể phân biệt các kiểu số dựa vào dạng viết thập phân của chúng.

- Số thập phân có dạng viết thập phân hữu hạn hoặc vô hạn với chu kỳ 0.

- Số hữu tỉ có thể viết dưới dạng thập phân vô hạn tuần hoàn (kể cả số thập phân). Khi đó

Xét các số hữu tỉ

,

ta có thể viết các số đó dưới dạng thập phân

1 3

1 4

= 0,333 ...

1 3

= 0,25

1 4

được biểu diễn dưới dạng thập phân hữu hạn và số hữu tỉ

Và ta nói rằng số hữu tỉ

1 4

được biểu diễn dưới dạng thập phân vô hạn tuần hoàn. Nói rằng

là thập phân hữu

1 3

1 4

= 0,25 ta có thể kết thúc ngay ở số 5; trong khi

là một số thập

hạn vì khi biểu diễn

1 4

1 3

= 0,333 ... ta có thể viết thể viết thêm bao nhiêu

phân vô hạn tuần hoàn vì khi biểu diễn

1 3

, nhưng nếu muốn kéo dài con số 3

chữ số 3 nữa vẫn chưa biểu diễn đúng hẳn được số

1 3

đến bao nhiêu cũng viết được. Cũng như thế, có thể viết

= 0,1428571 ...

1 7

Ở đây, con số 1 (số sau dấu phẩy thứ 7) ta viết dấu” ...” vì nếu muốn viết thêm bao

nhiêu số sau dấu phẩy cũng được, chẳng hạn có thể viết:

= 0,14285714285714 ...(cid:1)

1 7

, các số 142857 được lặp lại theo thứ

(cid:3)(cid:4)(cid:1)(cid:5)(cid:6)ư thế trong biểu diễn dạng thập phân của

1 7

tự đó bao nhiêu lần tùy ý … và ta muốn dừng lại ở số mấy cũng được miễn là đã biểu

diễn đầy đủ 6 con số này tức là quy tắc tuần hoàn của số thập phân vô hạn tuần hoàn

0,1428571 ... =

1 7

(Toán học cao cấp tập 2, Nguyễn Đình Trí, 2007, trang 9).

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

ta xem số thập phân là số có dạng viết thập phân vô hạn tuần hoàn chu kỳ 0 hoặc chu kỳ 9.

Như vậy chúng ta cần chú ý rằng, chẳng hạn dạng viết 0,333 … không phải là số thập

phân. Trong đoạn trích trên, tác giả dùng chữ “một số thập phân vô hạn tuần hoàn”, điều này

có thể gây hiểu lầm rằng đây là số thập phân. Trong khi đó chỉ là dạng viết thập phân của số

hữu tỉ.

- Số vô tỷ được chứng minh là có dạng viết thập phân vô hạn không tuần hoàn (cách

Người ta chứng minh rằng bất kì một số hữu tỉ nào cũng có thể biểu diễn dưới

dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn.

Nhưng, với số vô tỉ thì không như thế, người ta cũng chứng minh được rằng bất

kì một số vô tỉ nào cũng biểu diễn dưới dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Chẳng hạn khi viết:

2 = 1,41 ...

Ta không thể từ biểu diễn thập phân này mà có thể viết thêm các số sau dấy

phẩy một cách tùy tiện vì không có quy tắc tuần hoàn.

Nếu viết:

2 = 1,4142 ...

Tương tự như trên, ta chỉ có thể biễu diễn xấp xỉ 2 với 5 con số sau dấu phẩy

và từ năm con số đó không thể suy diễn để viết tiếp những con số thập phân khác vì

2 là số vô tỉ, có biểu diễn thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Ngoài ra như định nghĩa trên tập các số hữu tỉ và số vô tỉ, ta có bao hàm thức:

N Z Q R

  

( Toán học cao cấp tập 2, Nguyễn Đình Trí, 2007, trang 10)

chứng minh dựa vào tính đếm được và không đếm được trong tập hợp các số)

Như vậy chúng ta cũng chú ý 2 không phải là số thập phân nhưng có thể biểu diễn dưới dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn. Trong đoạn trích trên, tác giả dùng chữ “một

số TP vô hạn không tuần hoàn”, điều này có thể gây hiểu lầm rằng số ấy là số TP. Trong khi

đó chỉ là dạng viết TP của số vô tỉ.

Tóm lại, ta cần phân biệt giữa dạng viết thập phân của một số thực với số thực này.

Tương tự như vậy, chúng ta cũng có thể biểu diễn số thực dưới dạng liên phân số thông qua

số hữu tỉ (nghĩa là có thể nói liên phân số là dạng viết hữu tỉ của số thực).

1.4. Thứ tự không rời rạc của tập số thập phân và tính trù mật của nó trong

Q và R

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

- Quan hệ thứ tự:

Định nghĩa: Giả sử X là một tập hợp, S là một bộ phận của X x X . Thế thì S được gọi

: a X aSa

là một quan hệ thứ tự trong X, nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn:

1. (Phản xạ): Với mọi

,a b X nếu aSa và bSa thì a = b.

2. (Phản đối xứng): Với mọi

,a b c X nếu aSb và bSc thì aSc ,

3. (Bắc cầu): Với mọi

,a b X

Ta nói một tập X sắp thứ tự nếu trong X có một quan hệ thứ tự.

b hoặc b

a thì X gọi là được sắp tuyến tính (hay sắp toàn phần). Trong trường

Tập X cùng một quan hệ thứ tự trên X gọi là một tập được sắp. Nếu với mọi

đều có a

hợp khác thì X gọi là được sắp bộ phận.

. Tập con A của một không gian Mêtric X gọi là trù mật trong X nếu A X

Từ các định nghĩa và các cách xây dựng tập số thập phân (D) hoặc bằng cách mở rộng

tập N hoặc bằng cách thu hẹp Q hay tập R (Brossseau 1987) đã chỉ rõ các tính chất đặc trưng

liên quan đến thứ tự của tập D so với N, Q và R.

Tập D phân biệt so với tập N bởi thứ tự không rời rạc.

Chẳng hạn “n là số liền sau của 17” có lời giải trong N, nhưng không có lời giải trong

D (Brossseau 1987, trang 449)

- Tập D là trù mật trong Q hay R

D trù mật trong Q và trù mật trong R vì với một sai số mong muốn cho trước, luôn

tồn tại một số thập phân mà khoảng cách từ số thập phân này đến số thực nhỏ hơn sai số đã

chọn (Brousseau, 1987, trang 450). Nghĩa là D  R

1.5. Kết luận

• Các tính chất đặc trưng của số thập phân :

- Tập hợp số thập phân là một vành giao hoán có đơn vị với hai phép toán cộng và nhân.

Tập hợp số thập phân không phải là trường vì tồn tại những số thập phân không có

phần tử khả nghịch là số thập phân.

- Thứ tự trên tập hợp số thập phân là thứ tự không rời rạc (nghĩa là không có khái niệm

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

hai số thập phân kề nhau).

- Tập hợp số thập phân là trù mật trong Q và trù mật trong R : với mọi số thực cho

trước, luôn tồn tại 1 dãy các số thập phân hội tụ về số thực này.

• Số thập phân có thể viết dưới nhiều dạng viết. Chẳng hạn số thập phân 2,5 có các dạng

viết như sau:

- Dạng viết thập phân là 2,5.

5 2

(ví dụ khi giải phương trình 2x = 5). - Dạng viết phân số là

- Dạng viết a là 6, 25 (Ví dụ khi giải phương trình x2 = 6,25).

1

- Dạng viết 2 + sin30o (Dạng viết này có thể xuất hiện khi giải phương trình lượng giác).

1 1!

1 2!

...

xe

1  

- Dạng viết (Dạng viết này có thể xuất hiện khi tính gần đúng số e từ khai triển

1 1!

1 2!

1 n !

= 0,333 ... Đây

). Mac Laurin

3

là dạng viết thập phân của số hữu tỉ.

- 2 = 1,4142 ...Đây là dạng viết thập phân của số vô tỉ.

• Các số hữu tỉ và vô tỉ đều có thể biểu diễn dưới dạng thập phân. Ví dụ: - 1

• Chướng ngại liên quan đến việc lĩnh hội số thập phân :

Cấu trúc đại số và cấu trúc thứ tự rời rạc của tập hợp các số tự nhiên tạo nên một chướng

ngại khoa học luận và có thể là chướng ngại Didactic đối với việc lĩnh hội tập hợp số thập

phân.

Từ các nghiên cứu trên, làm cơ sở cho chúng tôi nghiên cứu câu hỏi :

Q2: Mối quan hệ thể chế đối với đối tượng số thập phân trong chương trình hiện hành?

Dưới các ràng buộc của thể chế dạy học, học sinh có thể gặp những khó khăn gì khi học khái

niệm này? Những khó khăn nào có nguồn gốc tri thức luận? Những khó khăn nào gây ra do

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

sự lựa chọn Didactic của thể chế dạy học?

Chương 2 :

MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI SỐ THẬP PHÂN Ở TRƯỜNG

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Để làm rõ trong thể chế dạy học Toán trung học phổ thông, chúng tôi buộc phải phân

tích mối quan hệ thể chế đối với đối tượng này trong thể chế dạy học Toán tiểu học và trung

học cơ sở. Bởi vì theo nghiên cứu sơ lược của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) về chương

trình hiện hành thì đối tượng số thập phân cũng chỉ được tập trung nghiên cứu trong hai thể

chế tiểu học và trung học cơ sở. Như trong chương trình và sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất

chúng tôi giới hạn nghiên cứu của mình trên các vấn đề về cấu trúc đại số, thứ tự trong tập

hợp số thập phân và sự phân biệt giữa số thập phân với dạng viết thập phân.

Phân tích chương này chúng tôi dựa vào các sách giáo khoa và chương trình sau đây:

1. Chương trình toán tiểu học hiện hành (2000), Bộ Giáo dục và Đào tạo.

2. Đỗ Đình Hoan chủ biên (2007), sách giáo khoa Toán 5, NXBGD.

3. Đỗ Đình Hoan chủ biên (2006), sách bài tập Toán 5, NXBGD.

4. Đỗ Đình Hoan chủ biên (2006), sách giáo khoa Toán 4, NXBGD.

5. Đỗ Đình Hoan chủ biên (2006), sách bài tập Toán 4, NXBGD.

6. Đỗ Đình Hoan chủ biên (2007), sách giáo viên Toán 5, NXBGD.

7. Phan Đức Chính tổng chủ biên (2004), sách giáo khoa Toán 7, NXBGD.

8. Phan Đức Chính tổng chủ biên (2004), sách giáo viên Toán 7, NXBGD.

9. Đoàn Quỳnh tổng chủ biên (2006), sách đại số 10 nâng cao, NXBGD.

10. Đoàn Quỳnh tổng chủ biên (2006), sách giáo viên đại số 10 nâng cao, NXBGD.

2.1. Thể chế ở trường tiểu học

2.1.1. Ở cấp độ chương trình

Trong chương trình toán hiện hành các phép tính cộng trừ đã được đưa vào chương

trình ở lớp 1 và lớp 2 trong phạm vi các số tự nhiên bé hơn 100. Phép nhân và phép chia

được giảng dạy lần đầu ở lớp 3 trong phạm vi 100 và 1000. Ở đây phân số xuất hiện lần đầu

Liên quan đến số thập phân, chúng tôi tìm thấy những yêu cầu sau:

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

, số thập phân được chính thức giảng dạy ở lớp 5. ở lớp 2 thông qua dạy bài 1 2

Đối với số thập phân chương trình tiểu học yêu cầu nắm:

a) Khái niệm ban đầu về số thập phân. Đọc, viết, so sánh các số thập phân. Viết và chuyển đổi các số

đo đại lượng dưới dạng số thập phân.

b) Phép cộng và phép trừ các số thập phân có đến ba chữ số ở phần thập phân, có nhớ không quá ba

lần.

c) Phép nhân các số thập phân có tới ba tích riêng và phần thập phân của tích có không quá ba chữ

số.

d) Phép chia các số thập phân, trong đó số chia có không quá ba chữ số (cả phần nguyên và phần

thập phân), thương có không quá bốn chữ số, với phần thập phân của thương có không quá ba chữ

số.

e) Tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng và phép nhân, nhân một tổng với một số.

f) Thực hành tính nhẩm trong một số trường hợp đơn giản. Tính giá trị biểu thức số thập phân có

không quá ba dấu phép tính.

(Chương trình hiện tại, trang 17)

Như vậy, số thập phân chưa được nghiên cứu đầy đủ, thể chế chỉ giới hạn nghiên cứu

3D (tập hợp các số thập phân có tối đa 3 chữ số thập phân sau dấu phẩy).

trên tập

2.1.2. Phân tích sách giáo khoa

A. Phần bài học:

- Ở sách giáo khoa lớp 5 người ta không định nghĩa chính thức số thập phân mà khái niệm số

thập phân được giới thiệu thông qua các ví dụ.

Khái niệm số thập phân được hình thành, giới thiệu thông qua các phân số thập phân

a) Từ bảng:

m

dm

cm

mm

0

1

0

0

1

0

0

0

1

m còn được viết thành 0,1m.

 1 dm hay

1 10

m còn được viết thành 0,01 m.

 1 cm hay

1 100

m còn được viết thành 0,001m.

 1mm hay

1 1000

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

và việc đổi đơn vị độ dài như sau :

Các phân số thập phân

được viết thành 0,1; 0,01; 0,001.

;

;

1 10

1 100

1 1000

0,1 đọc là: không phẩy một; 0,1 =

1 10

0,01 đọc là: không phẩy không một; 0,01 =

1 100

0,001 đọc là: không phẩy không không một; 0,001 =

1 1000

Các số 0,1; 0,01; 0,001 gọi là số thập phân.

Mối liên hệ giữa số thập phân và số tự nhiên cũng được hình thành thông qua việc đổi

b) Từ bảng:

m

dm

cm

mm

0

5

0

0

7

0

0

0

9

m còn được viết thành 0,5 m.

 5 dm hay

5 10

m còn được viết thành 0,07m.

 7 cm hay

7 100

m còn được viết thành 0,009m.

 9mm hay

9 100

được viết thành 0,5; 0,07; 0,009.

;

;

Các phân số thập phân

5 10

7 100

9 1000

0,5 đọc là: không phẩy năm;

0,5 =

5 10

0,07 đọc là: không phẩy không bảy;

0,07 =

7 100

0,009 đọc là: không phẩy không không chín; 0,009 =

9 1000

Các số 0,5; 0,07; 0,009 cũng được gọi là số thập phân.

c) Từ bảng

m

dm

cm

mm

2

7

8

5

6

0

1

9

5

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

đơn vị độ dài.

2

được viết thành 2,7m;

 2m7dm hay

7 10

2,7m đọc là: hai phẩy bảy mét.

 8m56cm hay được viết thành 8,56m.

 0m195mm được viết thành 0,195m.

Mỗi số thập phân gồm hai phần: phần nguyên và phần thập phân, chúng được phân

cách bởi dấu phẩy.

Những chữ số ở bên trái dấu phẩy thuộc về phần nguyên, những chữ số ở bên phải dấu

phẩy thuộc về phần thập phân.

Ví dụ:

8,56

Phần nguyên

Phần thập phân

8,56 đọc là : tám phẩy năm mươi sáu.

(Toán 5, Đỗ Đình Hoan chủ biên, NXBGD, 2007)

Nhận xét : Như Brousseau (1998) đã đề cập việc dạy học số thập phân cùng với việc

đọc số thập phân như sách giáo khoa đã lựa chọn nhấn mạnh trên sự tương đồng giữa số thập

phân và số tự nhiên, gây ra hậu quả là học sinh có khuynh hướng hiểu số thập phân chỉ là số

tự nhiên có thêm dấu phẩy.

Thứ tự trên số thập phân là một mục tiêu chính của chương trình toán 5 liên quan đến

Mục tiêu: Theo sách giáo vien lớp 5 thì mục tiêu của phần này là giúp học sinh biết

cách so sánh hai số thập phân và biết sắp xếp các số thập phân theo thứ tự từ bé đến

lớn (hoặc ngược lại)

(Toán 5, Sách giáo viên, trang 88)

dạy học toán 5.

B. Phần bài tập

Chúng tôi sẽ xem xét các kiểu nhiệm vụ theo 2 trục.

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

- Nhóm trục thứ nhất liên quan đến cấu trúc đại số.

- Nhóm trục thứ hai liên quan đến thứ tự trên số thập phân.

• Liên quan đến cấu trúc đại số : có các phép toán : cộng, trừ, nhân, chia.

Kĩ thuật để giải các kiểu nhiệm vụ liên quan đến cộng, trừ, nhân, chia số thập phân

được quy về cộng, trừ, nhân, chia số tự nhiên rồi sau đó thực hiện việc đổi đơn vị hay thực

hiện quy tắc đặt dấu phẩy. Điều này càng nhấn mạnh trên sự tương đồng giữa số thập phân

và số tự nhiên.

Kiểu nhiệm vụ T1: Cộng số thập phân : Phép cộng hai số thập phân được đưa vào

chương trình thông qua ví dụ:

Ví dụ (ví dụ 1 trang 49 sách giáo khoa Toán 5): Đường gấp khúc ABC có đoạn thẳng

AB dài 1,84m và đoạn thẳng BC dài 2,45m. Hỏi đường gấp khúc đó dài bao nhiêu

mét?

2,45m

Ta phải thực hiện phép cộng

1,84m

1,84 + 2,45 = ?(m)

184

Ta có: 1,84m = 184 cm

245

2,45m = 245cm

429

429cm = 4,29m

Thông thường ta đặt tính rồi làm như sau:

1,84

. Thực hiện phép cộng như cộng các số tự nhiên.

2,45

. Viết dấu phẩy ở tổng thẳng cột với các dấu phẩy của các

4,29(m)

số hạng.

Muốn cộng hai số thập phân ta làm như sau:

- Viết số hạng này dưới số hạng kia sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng cột

với nhau.

- Cộng như cộng các số tự nhiên

- Viết dấu phẩy ở tổng thẳng cột với các dấu phẩy của các số hạng

(Toán 5, trang 50)

Kĩ thuật cộng hai số thập phân cuối cùng được mô tả như sau :

Kiểu nhiệm vụ T2: Phép trừ

Tương tự như phép cộng 2 số thập phân.

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

Kĩ thuật phép trừ 2 số thập phân được mô tả :

Muốn trừ một số thập phân cho một số thập phân ta làm như sau:

- Viết số trừ dưới số bị trừ sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng cột với nhau.

- Trừ như trừ các số tự nhiên.

- Viết dấu phẩy ở hiệu thẳng cột với các dấu phẩy của số bị trừ và số trừ

Chú ý: Nếu số chữ số ở phần thập phân của số bị trừ ít hơn số chữ số ở phần thập phân của số

trừ, thì ta có thể viết thêm một số thích hợp chữ số 0 vào bên phải phần thập phân của số bị

trừ, rồi trừ như trừ các số tự nhiên.

(Sách giáo khoa Toán 5, Đỗ Đình Hoan chủ biên , 2007 , NXBGD)

Kiểu nhiệm vụ T3: Nhân các số thập phân: Như đã nói các kĩ thuật này dựa trên các

kĩ thuật nhân các số tự nhiên.

Muốn nhân một số thập phân vói một số tự nhiên ta làm như sau:

- Nhân như nhân các số tự nhiên.

- Đếm xem trong phần thập phân của số thập phân có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu

phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

a) Nhân một số thập phân với một số tự nhiên:

Muốn nhân một số thập phân với 10, 100, 1000, …ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số

đó lần lượt sang bên phải một, hai, ba, … chữ số.

b) Nhân một số thập phân với 10, 100, 1000,…

Muốn nhân một số thập phân với một số thập phân ta làm như sau:

- Nhân như nhân các số tự nhiên.

- Đếm xem trong phần thập phân của cả hai thừa số có bao nhiêu chữ số rồi dùng dấu

phẩy tách ở tích ra bấy nhiêu chữ số kể từ phải sang trái.

Chú ý: Khi nhân một số thập phân với 0,1; 0,01; 0,001, … ta chỉ việc chuyển dấu phẩy

của số đó lần lượt sang bên trái một, hai, ba, … chữ số.

c) Nhân một số thập phân với một số thập phân

Kiểu nhiệm vụ T4: Chia số thập phân

Tương tự như kiểu nhiệm vụ T3, kĩ thuật chia các số thập phân được mô tả kĩ và cũng

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

dựa vào kĩ thuật chia 2 số tự nhiên.

Kết luận: Việc nghiên cứu cấu trúc đại số của tập hợp số thập phân càng làm tăng

thêm sự tương đồng của số thập phân và số tự nhiên. Sự khác biệt trong các kĩ thuật nhân,

chia, cộng, trừ số thập phân so với nhân, chia, cộng, trừ số tự nhiên chỉ được phân biệt qua

đặt dấu phẩy vào kết quả tìm được.

Theo sách giáo viên Toán lớp 5, trang 87, 88 thì mục tiêu của phần này là :

Giúp học sinh nhận biết: Viết thêm chữ số 0 vào bên phải phần thập phân hoặc bỏ chữ

số 0 (nếu có) ở tận cùng bên phải của số thập phân thì giá trị của số thập phân không

đổi.

Giúp học sinh biết cách so sánh hai số thập phân và biết sắp xếp các số thập phân theo

thứ tự từ bé đến lớn (hoặc ngược lại).

• Liên quan đến thứ tự :

a) Ví dụ: 9dm = 90cm

Mà : 9dm = 0,9m.

nên : 0,9m = 0,90m

Vậy : 0,9 = 0,90 hoặc 0,90 = 0,9.

b) Nếu viết thêm chữ số 0 vào bên phải phần thập phân của một số thập phân thì được

một số thập phân bằng nó.

Ví dụ: 0,9 = 0,90 = 0,900 = 0,9000

12 = 12,0 = 12,00 = 12,000

Nếu một chữ số thập phân có chữ số 0 ở tận cùng bên phải phần thập phân thì khi bỏ

chữ số 0 đó đi, ta được một số thập phân bằng nó.

Ví dụ: 0,9000 = 0,900 = 0,90 = 0,9

12,000 = 12,00 = 12,0 = 12

(Toán 5, trang 40)

Liên quan đến thứ tự của số thập phân, trước tiên chúng tôi tìm hiểu số thập phân bằng nhau.

Trong bài tập của phần này, chúng tôi thấy có 15 nhiệm vụ liên quan đến thứ tự số

thập phân (tuy nhiên chỉ có 3/15 nhiệm vụ thể hiện mối liên hệ giữa số thập phân và phân số

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

thập phân).Chẳng hạn :

Bài 3/40. Khi viết số thập phân 0,100 dưới dạng phân số thập phân, bạn Lan viết:

0,100

0,100

0,100

; Bạn Mỹ viết :

; bạn Hùng viết:

. Ai viết đúng, ai

10 100

1 100

100 1000

viết sai? Tại sao?

Kiểu nhiệm vụ T5: So sánh hai số thập phân

• Chúng tôi tìm thấy hai kỹ thuật so sánh số thập phân

- Kĩ thuật 1: kĩ thuật so sánh các số thập phân bằng cách chuyển về các số tự nhiên

Ví dụ (ví dụ 1 trang 40 sách giáo khoa lớp 5):: So sánh 8,1 và 7,9

Ta có thể viết : 8,1m = 81dm

7,9m = 79dm

Ta có : 81dm > 79dm (81 > 79 vì hàng chục có 8 > 7)

Tức là : 8,1m > 7,9m

Vậy : 8,1 > 7,9 (phần nguyên có 8 > 7)

(Toán 5, trang 41)

tương ứng vẫn được giới thiệu thông qua việc đổi đơn vị độ dài.

Như vậy, việc so sánh các số thập phân có thể thực hiện được thông qua việc so sánh

các số tự nhiên sau khi đã đổi đơn vị độ dài.

Một kỹ thuật khác để so sánh hai số thập phân tiếp tục được giới thiệu thông qua ví dụ 2

So sánh 35,7m và 35,698m

Ta thấy 35,7m và 35,698m có phần nguyên bằng nhau (đều bằng 35m), ta so sánh các

phần thập phân.:

mm

7 m dm

700

Phần thập phân của 35,7m là

7 10

m

mm

698

Phần thập phân của 35,698m là

698 1000

Mà : 700mm > 698mm ( 700 > 698 vì ở hàng phần trăm có 7 > 6).

m

m

Nên :

7 10

698 1000

Do đó: 35,7m > 35,698m

Vậy: 35,7 > 35,698 (phần nguyên bằng nhau, hàng phần mười có 7 > 6)

Trong hai số thập phân có phần nguyên bằng nhau, số thập phân nào có hàng phần

mười lớn hơn thì số đó lớn hơn.

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

trang 41 sách giáo khoa toán lớp 5 như sau

(Toán 5, trang 41)

Muốn so sánh hai số thập phân ta có thể làm như sau:

So sánh các phần nguyên của hai số đó như so sánh hai số tự nhiên, số thập

-

phân nào có phần nguyên lớn hơn thì số đó lớn hơn.

Nếu phần nguyên của hai số đó bằng nhau thì so sánh phần thập phân, lần lượt

-

từ hàng phần mười, hàng phần trăm, hàng phần nghìn, … ; đến cùng môt hàng nào đó,

số thập phân nào có chữ số ở hàng tương ứng lớn hơn thì số đó lớn hơn.

-

Nếu phần nguyên và phần thập phân của hai số đó bằng nhau thì hai số đó bằng

nhau.

Ví dụ:

2001,2 > 1999,7 (vì 2001 > 1997)

78,469 < 78,5 (vì phần nguyên bằng nhau, ở hàng phần mười có 4 < 5)

630,72 > 630,70 (vì phần nguyên bằng nhau, hàng phấn mười bằng nhau, có hằng

phần trăm có 2 > 0)

(Toán 5, trang 42)

Ky thuật thứ hai được trình bày chính thức và trở thành kỹ thuật được thể chế mong đợi:

Nhận xét : Như vậy, việc so sánh hai số thập phân có phần nguyên bằng nhau được

quy về việc so sánh 2 phần thập phân của chúng. Trong ví dụ 2 ở trên, kĩ thuật chuyển 2

phần thập phân thành 2 số tự nhiên tương ứng (bằng cách đổi đơn vị độ dài từ m ra mm) đã

được vận dụng.

Ở sách giáo khoa Toán lớp 5 chúng tôi thấy xuất hiện kiểu bài tập so sánh 2 hoặc

nhiều số thập phân có độ dài bằng nhau và khác nhau.

Tuy rằng kỹ thuật cuối cùng được rút ra là thứ tự từ điển nhưng một kỹ thuật khác có

thể được hình thành trong ví dụ 2 (trang 41 sách giáo khoa Toán 5) đó là chuyển 2 số thập

phân cần so sánh về phân số thập phân rồi so sánh hai phân số đó.

Trong chương trình tiểu học, thông qua sách giáo khoa lớp 5, hai kĩ thuật chính về so

sánh số thập phân được giới thiệu: Thứ nhất là đưa việc so sánh hai số thập phân về so sánh

hai số tự nhiên, thứ hai là dùng quy tắc cổ điển, ngoài ra sách giáo khoa còn giới thiệu so

sánh 2 số thập phân bằng cách đưa về so sánh phân số thập phân.

Như vậy : Nhiều kỹ thuật được rút ra khi so sánh hai số thập phân nhưng chỉ duy nhất thứ tự

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

rời rạc được sách giáo khoa vận dụng.

Kết luận : Việc so sánh các số thập phân dựa vào thứ tự trên các số tự nhiên mà

không có 1 bài tập nào để chỉ ra sự khác biệt này. Như vậy thứ tự trên tập hợp số thập phân

được nghiên cứu chỉ là thứ tự rời rạc.

• Vấn đề so sánh các số thập phân không cùng độ dài.

Vấn đề này được tìm thấy trong bài tập sắp xếp số thập phân, chẳng hạn.

Bài 2 trang 42. Viết các số theo thứ tự từ bé đến lớn.

6,375; 9,01; 8,72; 6,735; 7,19.

Nhận xét : Ở bài này, các số thập phân so sánh đã cho không cùng độ dài

Bài giải:

Theo sách giáo viên Toán 5, trang 89: Cho học sinh tự làm bài và chữa bài, kết quả là:

6,375 < 6,735 < 7,19 > 8,72 < 9,01.

Quan sát cặp số thập phân có cùng phần nguyên 6,375 và 6,735 chúng ta thấy chúng có cùng

độ dài và phần nguyên 735 > 375. Như vậy, nếu học sinh hiểu số thập phân là một cặp các số

nguyên và so sánh chúng dựa trên cặp số nguyên này (kiến thức sai) thì câu trả lời của học

sinh vẫn đúng.

• Vấn đề chặn các số thập phân :

Trong chương trình tiểu học, chúng tôi thấy vấn đề chặn các số thập phân được đặt ra.

Tuy nhiên trong các kiểu nhiệm vụ này, số chữ số thập phân sau dấu phẩy luôn bằng nhau.

Kiểu nhiệm vụ này xuất hiện ngay trong bài so sánh số thập phân. Nó xuất hiện dưới dạng bị

chặn trên và chặn dưới. Ví dụ :

Bài 3 trang 43: Tìm chữ số x, biết 9,7x8 < 9,718

Bài giải:

Theo sách giáo viên Toán 5: Cho học sinh tự làm rồi chữa bài.

Kết quả là: 9,708 < 9,718

Như vậy, bài toán chặn này học sinh chỉ làm việc trên 2 số tự nhiên cùng độ dài.

Bài 4 trang 43: Tìm số tự nhiên x, biết:

a) 0,9 < x < 1,2 b) 64,97 < x < 65,14

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

Bài giải:

Theo sách giáo viên toán 5, trang 90: Cho học sinh tự nêu bài tập rồi làm bài và chữa bài:

a) x = 1 vì 0,9 < x < 1,2

b) x = 65 vì 64,97 < 65 < 65,14

Bài toán này học sinh phải làm trên các Di khác nhau. Tuy nhiên số lượng bài tập kiểu này

chiếm tỉ lệ ít 2/15 và vấn đề chặn 1 số thập phân bằng hai số thập phân khác không được đặt

ra.

Kết luận:

- Chương trình tiểu học chỉ xét các số thập phân trong tập D3.

- Mối liên hệ giữa số thập phân, số tự nhiên và phân số thập phân chỉ được đề cập ngầm

ẩn trong phần bài học.

- Vấn đề so sánh các số thập phân không cùng độ dài chiếm tỉ lệ ít.

- Vấn đề chặn một số thập phân bằng hai số thập phân khác không được đặt ra.

- Đối với kiểu nhiệm vụ liên quan đến thứ tự số thập phân thì thứ tự không rời rạc chưa

bao giờ được nghiên cứu.

Số thập phân xuất hiện trở lại ở lớp 7.

2.2. Thể chế ở trường trung học cơ sở

2.2.1. Ở cấp độ chương trình.

- HS nhận biết được số thập phân hữu hạn, điều kiện để một phân số tối giản biểu diễn

được dưới dạng số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần toàn.

- Hiểu được rằng số hữu tỉ là số có biểu diễn thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần

hoàn.

Chú ý: Các nhận xét nêu trong SGK là các điều kiện để một phân số viết được dưới dạng số

thâp phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn. HS cần nắm được các điều kiện này để nhận biết

một phân số có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn hay không.

Cần lưu ý rằng khi xét các điều kiện này, phân số phải tối giản.

(Sách giáo viên Toán 7, trang 38)

Theo sách giáo viên Toán lớp 7 thì mục tiêu của phần này là:

Như vậy: Mục đích của việc quay lại số thập phân lần này là để giới thiệu các dạng

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

viết thập phân của số hữu tỉ và số thực.

Để làm rõ các kết luận trên, chúng tôi đi sẽ phân tích phần bài học và bài tập của sách

giáo khoa lớp 7.

2.2.2. Phân tích sách giáo khoa lớp 7

A. Bài học

Chúng tôi phân tích sách giáo khoa lớp 7 trong phần số thập phân hữu hạn, các dạng viết

thập phân vô hạn.

Ví dụ 1 : Viết số thập phân

dưới dạng số thập phân

3 37 , 20 25

Ta có :

3,0 20

37 25

100 0,15

120 1,48

0

200

0

Vậy

= 0,15;

= 1,48

37 25

3 20

Vậy, các số 0,15 ; 1,48 gọi là số thập phân hữu hạn.

Ví dụ 2 : Viết phân số

dưới dạng thập phân

5 12

= 0,4166666666666666,…

5 12

Phép chia này không bao giờ chấm dứt. Nếu cứ tiếp tục chia thì trong thương,

chữ số 6 sẽ được lặp đi lặp lại. Ta nói rằng khi chia 5 cho 12, ta được một số (số

0,4166...), đó là một số thập phân vô hạn tuần hoàn. Số 0,4166... được viết gọn là

0,41(6). Kí hiệu (6) chỉ rằng chữ số 6 được lặp lại vô hạn lần. Số 6 gọi là chu kỳ của

số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,41(6).

Tương tự :

= 0,111… = 0(1); 0(1) là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì là 1.

1 9

1. Số Thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn tuần hoàn

Nhận xét : Giống như giáo trình Toán Đại học mà chúng tôi đã phân tích ở chương 1,

sách giáo khoa Toán lớp 7 gọi dạng viết thập phân vô hạn tuần hoàn là số. Điều này gây khó

khăn cho việc hiểu rằng chúng ta không có một số mới (số thập phân vô hạn tuần hoàn). Đây

chỉ là dạng viết thập phân của số hữu tỉ. Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

Ví dụ :

2

25

5

Phân số

viết được dưới dạng thập phân hữu hạn vì:

, mẫu

không

6  75

2  25

6  75

có ước nguyên tố khác 2 và 5.

0, 08

 

Ta có

6  75

viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn vì mẫu 30 = 2.3.5 có

Phân số

7 30

ước nguyên tố 3 khác 2 và 5.

0, 2333... 0, 2(3)

Ta có:

7 30

(Sách giáo khoa toán 7, trang 33)

Vấn đề dạng viết thập phân của số thập phân được hiểu như là dạng viết thập phân vô

hạn tuần hoàn với chu kỳ 0 hoặc chu kỳ 9 không được đề cập.

Trích đoạn hướng dẫn sau đây của sách giáo viên toán 7 cho phép thấy rõ thể chế để

xác định số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn.

2. Dạng viết thập phân vô hạn không tuần hoàn

Tương tự như dạng viết thập phân vô hạn không tuần hoàn, các tác giả sách giáo khoa

Việt Nam cũng gọi dạng viết thập phân vô hạn tuần hoàn là số. Sách giáo khoa dùng dạng

Theo sách giáo viên lớp 7, sách giáo khoa giới thiệu cho học sinh thấy sự tồn tại của

số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Đó là số vô tỉ. Số vô tỉ đầu tiên học sinh nhận

biết đó là 2 – số đo độ dài đường chéo hình vuông có cạnh bằng 1. GV không nên đi

sâu vào lí thuyết chặt chẽ về số vô tỉ.

(Toán 7, Sách giáo viên, trang 45)

viết này để định nghĩa số vô tỉ như trong lời giải thích của sách giáo khoa lớp 7 trang 45.

Nhận xét: Việc so sánh các số thực được quy về việc so sánh trên các dạng viết thập

phân của chúng.

Vì tập hợp các số thực bao gồm các số hữu tỉ và vô tỉ nên có thể nói: Nếu a là số thực

thì a biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn. Khi đó, ta có thể so sánh

hai số thực“tương tự như so sánh hai số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân” (sách giáo khoa

Toán 7 trang 43)

Ví dụ:

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

a) 0,3192... 0,32(5)

GV cho học sinh thấy: Ta có thể so sánh hai số thực viết dưới dạng số thập phân

tương tự như so sánh hai số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân.

(Toán 7, Sách giáo viên, trang 48).

b) 1, 24598... 1, 24596...

Vấn đề: So sánh 0,999… và số 1 không được đặt ra.

Việc gọi các dạng viết thập phân vô hạn là số có thể gây hiểu nhầm rằng tất cả các

dạng viết thập phân đều là số thập phân. Kĩ thuật so sánh hai số thực chỉ dựa vào kĩ thuật so

sánh hai dạng viết thập phân của chúng càng làm gia tăng sự hiểu nhầm.

B. Phần bài tập

Thứ tự trên các số thập phân và các dạng viết thập phân

Kiểu nhiệm vụ T6 : So sánh các số thực :

Đây là kiểu nhiệm vụ quen thuộc, giống kiểu nhiệm vụ T5: So sánh số thập phân mà

học sinh đã được học ở lớp 5.

Kỹ thuật: Giống kỹ thuật so sánh hai số thập phân

Xét một số nhiệm vụ huy động thứ tự của số thập phân trên các Di khác nhau.

Bài 72 trang 35: Các số sau đây có bằng nhau không?

0,(31); 0,3(13);

Bài giải:

Chúng tôi giải bài toán trên dựa vào lời giải của sách giáo viên Toán lớp 7.

Theo sách giáo viên toán 7 trang 41.

0, (31) 0, (01).31

.31

• 0,3(13) = 0,31313131313 … = 0,(31).

1 99

31 99

• Hoặc giải thích như sau :

0, (01);

0, (001)

.)

1 99

1 999

.0, (01).13 0,3

0,3(13) 0,3 0, (013) 0,3 

1 10

13 31  990 99

(thừa nhận 0,(01).31 = 0,(31) và áp dụng kết quả bài 71 trang 35 là :

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

Vậy 0,(31) = 0,3(13).

Bài 91 trang 45: Điền số thích hợp vào ô trống :

a -3,02 < -3, 1 b) -7,5 8 > -7,513

c) -0,4 854 < - 0,49826 d) -1, 0765 < -1,892

Bài giải:

0

Theo sách giáo viên toán 7 trang 49.

0 a) -3,02 < 3, 1 b) -7,5 8 > -7,513

9

9

d) -1, 0765 < -1,892 c) -0,4 854 < - 0,49826

Chúng ta thấy trong các nhiệm vụ trên chỉ có nhiệm vụ d) so sánh giữa một số thập

phân của D5 và D3.Tuy nhiên ở đây thể chế mong đợi học sinh chỉ cần tìm một chữ số và vấn

đề chặn một số thập phân bởi hai số thập phân khác vẫn không được đặt ra.

2.3. Thể chế ở trường trung học phổ thông

Ở Chương trình trung học phổ thông, số thập phân xuất hiện ở bài 4: Số gần đúng và

sai số trong chương trình Đại số lớp 10 nâng cao, ban khoa học tự nhiên. Theo sách Toán

Kĩ năng:

- Viết được số quy tròn của một số căn cứ vào độ chính xác cho trước.

- Biết sử dụng máy tính bỏ túi để tính toán các số gần đúng.

dùng cho giáo viên lớp 10 nâng cao thì mức độ cần đạt được của bài này là :

Sự phân biệt giữa số thập phân và số thực thể hiện thông qua khái niệm số gần đúng

Khi quy tròn số đúng a đến hàng nào thì số gần đúng a nhận được là chính xác đến

hàng đó. Chẳng hạn, số gần đúng của  chính xác đến hàng phần trăm là 3,14; số gần

đúng của 2 chính xác đến hàng phần nghìn là 1,414..

(Toán 10, trang 26)

được đề cập trong phần bài học.

Liên quan đến quy tắc làm tròn số, thể chế có một số đề cập rất rõ đến mối liên hệ và

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

sự phân biệt giữa số thực (ví dụ 2 ) và số thập phân gần đúng của số thực ấy (ví dụ 1,4142)

Như vậy, thứ tự không rời rạc trong tập hợp số thập phân và vấn đề trù mật của số

thập phân trong số thực có thể được thể hiện một cách rõ ràng.

Tuy nhiên, mối liên hệ giữa số thập phân và dạng viết thập phân của số thực đã không được

làm rõ. Thí dụ các dạng viết thập phân vô hạn không được giải thích ở đây.

Nhận xét:

+ Mối liên hệ giữa dạng viết thập phân, số thập phân gần đúng và số thực không được

nghiên cứu.

+ Thứ tự không rời rạc và sự trù mật của tập số thập phân trong tập số thực cũng

không được đề cập.

2.4. Kết luận chương 2

Phân tích sách giáo khoa cho phép chúng tôi điểm lại một số kết quả nghiên cứu thể chế

như sau:

 Ở lớp 5: Số thập phân được chính thức đưa vào chương trình học, việc xây dựng tính

chất và phép toán trên số thập phân được xây dựng thông qua các tính chất của phân số thập

phân. Người ta chỉ giới hạn các số thập phân có nhiều nhất 3 chữ số sau dấu phẩy. Đặc biệt

các phép toán và thư tự trên các số thập phân được xây dựng từ các phép toán và thứ tự trên

tập hợp số tự nhiên. Điều này được giải thích nhờ sự đẳng cấu giữa vành Z và vành D3.

Nghĩa là chúng ta luôn có thể đặt tương ứng một số thập phân ứng với một số nguyên và

thao tác trên số nguyên này. Như vậy sự tương đồng giữa số nguyên và số thập phân được

nhấn mạnh. Ngoài ra vấn đề chặn số thập phân bởi hai số khác không được đặt ra.

 Đến lớp 7, số thập phân được đề cập trở lại. Nội dung chủ yếu ở chương trình lớp này là

dạng viết thập phân của các số thực. Sách giáo khoa định nghĩa số thực thông qua dạng

viết thập phân của chúng. Tuy nhiên:

+ Thứ tự không rời rạc trong tập hợp số thập phân vẫn không được nghiên cứu.

+ Sự phân biệt giữa số thập phân với dạng viết thập phân của các số hữu tỉ và các số vô tỉ

không được sách giáo khoa chú ý.

+ Việc so sánh các số thực được thực hiện thông qua việc so sánh các dạng viết thập phân

của chúng mà thực ra là so sánh các số thập phân gần đúng của chúng. Tuy nhiên mối

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

quan hệ giữa số thập phân gần đúng, dạng viết thập phân và số thực không được làm rõ.

 Đến lớp 10, số thập phân được chính thức nhắc lại thông qua tính gần đúng. Cụ thể ở

đây:

+ Mối liên hệ giữa số thập phân, dạng viết thập phân và số thực đã có thể được làm rõ tuy

nhiên điều này đã không được làm rõ.

+ Thứ tự không rời rạc trong tập hợp số thâp phân và vấn đề trù mật của tập số thập phân

trong tập số thực cũng không được nghiên cứu nhất là trong phần bài tập.

Từ các kết quả nghiên cứu chúng tôi dự đoán 2 khó khăn học sinh gặp phải khi lĩnh

hội tri thức trên tập số tự nhiên:

- Khó khăn thứ nhất liên quan đến việc phân biệt số thập phân và dạng viết thập phân.

Phân tích thể chế cho thấy chương trình và sách giáo khoa hoàn toàn không chú ý đến

sự phân biệt này. Cũng giống như các giáo trình Đại học, sách giáo khoa Việt Nam

dùng lẫn lộn giữa dạng viết thập phân các số thực với số thập phân.

- Khó khăn thứ hai có nguồn gốc khoa học luận mà chúng tôi đã làm rõ ở chương 1: đó

là sự khó khăn trên việc chiếm lĩnh thứ tự không rời rạc của số thập phân.(một thứ tự

rời rạc luôn là chướng ngại khoa học luận cho việc lĩnh hội thứ tự không rời rạc theo

quan điểm Brousseau 1998). Đặc biệt số lượng bài tập liên quan đến thứ tự của các số

thập phân có độ dài khác nhau rất ít xuất hiện.

Chúng tôi đúc kết các kết quả nghiên cứu thể chế dưới sự tham chiếu phân tích khoa

học luận ở chương 1 thành 2 giả thiết nghiên cứu sau:

H1: Học sinh gặp khó khăn khi phân biệt số thập phân với dạng viết thập phân. Đặc

biệt đối với học sinh mọi dạng viết thập phân các số thực đều là số thập phân.

H2: Học sinh gặp khó khăn khi giải quyết các bài toán liên quan đến thứ tự của các

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

các số thập phân có cùng phần nguyên nhưng có độ dài thập phân khác nhau.

Chương 3:

THỰC NGHIỆM

Các kết quả nghiên cứu ở chương 1, cùng với phân tích thể chế ở chương 2 cho phép

chúng tôi đặt ra các giả thiết nghiên cứu liên quan đến những khó khăn trong việc lĩnh hội số

thập phân ở học sinh trình bày ở cuối chương 2.

Chương này có mục đích kiểm chứng tính thích đáng của các giả thiết nghiên cứu mà

chúng tôi nhắc lại sau đây:

H1: Học sinh gặp khó khăn khi phân biệt số thập phân với dạng viết thập phân. Đặc

biệt đối với học sinh mọi dạng viết thập phân các số thực đều là số thập phân.

H2: Học sinh gặp khó khăn khi giải quyết các bài toán liên quan đến thứ tự của các

các số thập phân có cùng phần nguyên nhưng có độ dài thập phân khác nhau.

Thực nghiệm: trên cơ sở đó chúng tôi tổ chức thực nghiệm để kiểm chứng các giả

thiết H1 và H2.

3.1. Tổ chức thực nghiệm

Chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm thông qua 3 câu hỏi. Những câu hỏi này nhắm vào

việc kiểm chứng các giả thuyết nghiên cứu tương ứng như sau :

Giả thuyết nghiên cứu Câu hỏi

Câu hỏi 1 H1

Câu hỏi 2, câu hỏi 3 H2

Các câu hỏi thực nghiệm được soạn thảo cho học sinh trung học phổ thông sau khi đã

học xong phần số gần đúng và sai số ở lớp 10 (phần kiến thức duy nhất ở trung học phổ

thông có liên quan đến số thập phân).

Với phiếu thực nghiệm phát cho học sinh dưới đây, giáo viên không giải thích gì mà

chỉ khuyến khích học sinh tập trung trả lời cá nhân các câu hỏi.

Chúng tôi cũng ghi rõ rằng các câu hỏi này chỉ nhằm mục đích tìm hiểu về một vấn đề

trong chương trình học của học sinh, không có mục đích chấm điểm.

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

Tổng thời gian dành cho 3 câu hỏi thực nghiệm là 20 phút.

3.2. Thực nghiệm

3.2.1 Hệ thống các câu hỏi thực nghiệm

PHIẾU THỰC NGHIỆM

Họ và tên:

Lớp:

Trường:

Giới thiệu các bài toán

Câu hỏi 1: Hãy khoanh tròn số thập phân trong các dạng viết dưới đây?

2 ;

1 3

1 9

0,66; ; 0,66666; ;

4 ;

21 25

1 8

1 10

; ; ; 3,14; 3;

4 4

11 7

12 100

; ; 30,06; ; 15,00; 5,7418;

8 ;

2 100

15 75

15 4

13 3, 7

0,3; ; ; ; ;

0,333….; 0,1(2)

Câu hỏi 2: Có bao nhiêu số thập phân nằm giữa 12,23 và 12,232 ? Hãy liệt kê ?

Câu hỏi 3 :

a) Hãy điền vào chỗ trống 2 số thập phân có hai chữ số sau dấu phẩy mà em cho là tốt

nhất :

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

…… < 4,157 < …….

b) Hãy điền vào chỗ trống 2 số thập phân có ba chữ số sau dấu phẩy mà em cho là tốt

nhất:

….. < 4,1 < ……

Chúng tôi sử dụng lại một số câu hỏi thực nghiệm liên quan đến các vấn đề tương tự

trong các công trình đã có ở Pháp.

Câu hỏi 1 trên bắt nguồn từ câu hỏi của Neyret (1995) đối với thể chế dạy học của

Pháp. Chúng tôi chỉ bổ sung thêm 2 dạng viết cuối cùng 0,333 … và 0,1(2) là dạng viết thập

phân vô hạn tuần hoàn của một số hữu tỉ. Vì theo phân tích ở chương II, các sách giáo khoa

Việt Nam và giáo trình Đại học ở Việt Nam dùng một cách nhập nhằng giữa số thập phân và

dạng viết thập phân vô hạn.

Câu hỏi 2 chúng tôi sử dụng chính là câu hỏi 4.2 của Neyret (1995).

Câu hỏi 3 bắt nguồn từ các câu hỏi 3 và câu hỏi 4.1 của Margolinas (1985). Chúng tôi

sử dụng nguyên mẫu và không có sữa chữa gì.

Việc sử dụng các câu hỏi được soạn thảo bởi các nhà nghiên cứu của Pháp có 2 lý do

sau đây:

- Các câu hỏi này đã được soạn thảo rất tốt từ những nghiên cứu khoa học luận và

nghiên cứu thể chế của Pháp. Nghiên cứu thể chế Việt Nam của chúng tôi cũng chứng tỏ

rằng học sinh Việt Nam sẽ gặp phải những khó khăn như học sinh Pháp vì chương trình và

các sách giáo khoa Việt Nam đã không tính đến những khó khăn này.

- Ngoài ra, các kết quả thực nghiệm cũng cho phép đối chiếu với các kết quả đã thực

hiện ở Pháp. Sự khác nhau trong các kết quả thực nghiệm có thể giải thích từ việc phân tích

thể chế.

3.2.2. Phân tích chi tiết các câu hỏi thực nghiệm

Câu hỏi 1: Hãy khoanh tròn số thập phân trong các dạng viết dưới đây?

2 ;

4 ; 3,14;

1 9

1 10

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

; 0,66666; ; ; 0,66; 1 3 ; 3; 21 25 ; 1 8

15,00; 5,7418;

; 0,3; 8 ;

;

; 30,06;

;

4 4

11 7

12 100

15 75

;

;

0,333….;

;

0,1(2)

13 3, 7

15 4

2 100

Chúng tôi sẽ phân nhị nguyên thành 2 kiểu câu trả lời.

- Câu trả lời đúng và đầy đủ (nghĩa là lựa chọn tất cả các số thập phân trong các dạng

viết thập phân có mặt trong câu hỏi)

0,66; 0,66666; 3; ; 4 ; 3,14; 15,00; ; ; 21 25 ; 1 8 1 10 5,7418; 12 100

15 75

15 4

; 0,3; ; ; 30,06; 4 4

Câu trả lời đúng và đầy đủ chỉ có một, nghĩa là học sinh chỉ có một cách là lựa chọn

tất cả các dạng viết mà chúng tôi liệt kê trên. Sự xuất hiện của câu trả lời như thế này cho

phép chúng tôi có thể tin tưởng rằng học sinh hoàn toàn phân biệt được số thập phân với

dạng viết thập phân.

- Câu trả lời sai hay chưa đầy đủ bao gồm các chọn lựa khác của học sinh.

Như vậy, câu trả lời sai hay chưa đầy đủ rất đa dạng và khó có thể phân tích đầy đủ ở

đây.

Tuy nhiên, chúng tôi sẽ quan tâm đến một quan niệm liên quan đến một phần của giả

thiết H1: “Mọi dạng viết thập phân của số thực đều là số thập phân”.

Nhóm câu trả lời kí hiệu là S DVTP học sinh quan niệm số thập phân là số được viết

dưới dạng thập phân, nghĩa là có dấu phẩy. Trong những câu trả lời kiểu này: Học sinh chỉ

chọn các dạng viết sau: 0,66; 0,66666; 15,00; 5,7418; 30,06; 0,3; 0,333… 0,1(2) hoặc sự lưạ

13 3, 7

chọn cũng xếp vào nhóm này.

Với câu hỏi 1, chúng tôi đặt học sinh trước tình huống nhận dạng số thập phân. Trong

câu hỏi này, chúng tôi cố ý đưa vào nhiều dạng viết khác nhau của số thực: dạng viết thập

phân, dạng viết số tự nhiên, dạng viết chứa căn bậc hai, dạng viết thập phân vô hạn.

Trong các dạng viết đã cho, số thập phân được biểu diễn bằng nhiều dạng viết: Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

- Dạng viết thập phân: 0,66; 0,66666; 3,14; 15,00; 5,7418; 30,06; 0,3 .

- Dạng viết phân số : 21 25 ; 1 8 ; 1 10 ; 12 100 ; 15 75 ; 15 4

- Dạng viết số tự nhiên: 3 (chúng tôi không ghi 3,0 để kiểm tra xem học sinh

có xem số tự nhiên là số thập phân hay không)

. - Dạng viết chức căn thức : 4 ; 4 4

Chúng tôi muốn tìm hiểu xem học sinh sẽ hiểu như thế nào về số thập phân thông qua

cách học sinh khoanh tròn các số đã cho.

Trên cơ sở đó giúp chúng tôi hợp thức hay không hợp thức giả thiết H1 đã đề ra.

Câu hỏi 2: Có bao nhiêu số thập phân nằm giữa 12,23 và 12,232 ? Hãy

liệt kê ?

Chúng tôi dự đoán 2 nhóm câu trả lời:

- Câu trả lời đúng: là những câu trả lời: có vô số hoặc rất nhiều.

- Câu trả lời sai: là những câu trả lời: có n số (n hữu hạn) và liệt kê dãy số. Trong

nhóm câu trả lời này thì các câu trả lời sau đây có thể được quan sát: Có một số thỏa mãn là

12,231; có 10 số là: 12,231; 12,232; … 12,2310.

Câu trả lời này sẽ cho thấy sự khó khăn khi lĩnh hội thứ tự không rời rạc của D, một

phần là do tác động của thứ tự rời rạc của tập số tự nhiên.

Câu hỏi 3 :

a) Hãy điền vào chỗ trống 2 số thập phân có hai chữ số sau dấu phẩy

mà em cho là tốt nhất :

…… < 4,157 < …….

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

b) Hãy điền vào chỗ trống 2 số thập phân có ba chữ số sau dấu phẩy mà

em cho là tốt nhất :

….. < 4,1 < ……

Câu 3a) Các phương án trả lời của học sinh:

Như đã phân tích trong chương 2, các nhiệm vụ sử dụng thứ tự trên các số thập phân

thuộc các Di khác nhau của sách giáo khoa Việt Nam. Học sinh chỉ được yêu cầu tìm một

số thập phân bị kẹp giữa hai số thập phân hay một số còn thiếu của số thập phân. Trong câu

hỏi này, học sinh phải tìm một cặp số thập phân kẹp một số thập phân đã cho. Như vậy, ở

đây có một sự ngắt quãng hợp đồng, chúng tôi đặt học sinh trước một tình huống không còn

quen thuộc nữa.

- Câu trả lời đúng : 4,15 < 4,157 < 4,16

- Các câu trả lời khác: Học sinh chỉ tìm được một số thập phân thỏa mãn yêu cầu hay

không tìm được số nào cả.

Câu 3b) Các phương án trả lời của học sinh:

- Câu trả lời đúng : 4,099 < 4,1 < 4,101

- Câu trả lời khác: Học sinh chỉ tìm được một số thập phân thỏa mãn yêu cầu hay

không tìm được số nào.

Các câu trả lời khác cho câu 3a, 3b chứng tỏ sự học sinh gặp khó khăn khi làm việc

với các bài toán liên quan đến thứ tự của các số thập phân có cùng phần nguyên nhưng có độ

dài thập phân khác nhau .

3.3. Phân tích hậu thực nghiệm (aposteriori)

3.3.1. Mô tả thực nghiệm

Thực nghiệm đã được tiến hành tại 7 lớp 11, với 316 học sinh của trường Trung học

phổ thông Buôn Ma Thuột, thành phố Buôn Ma Thuột, tỉnh Đắk Lắk.

Thời gian thực nghiệm được tiến hành vào cuối tháng 8 và đầu tháng 9 của năm học

mới (2009- 2010), lúc này học sinh lớp 10 chưa học xong phần số gần đúng và sai số ở lớp

10 (phần kiến thức duy nhất ở phổ thông trung học có liên quan đến số thập phân).

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

Thực nghiệm đươc tiến hành cùng một thời gian tại tất cả 7 lớp

Dữ liệu thu được qua thực nghiệm là bài làm cá nhân của học sinh trên các phiếu thực

nghiệm.

Tổng số phiếu phát ra: 316

Tổng số phiếu thu về: 316

Trong số phiếu thu về tất cả học sinh đều làm bài. Không có phiếu nào để trống.

3.3.2. Phân tích chi tiết các kết quả thực nghiệm

Câu hỏi 1: Hãy khoanh tròn số thập phân trong các dạng viết dưới đây?

2 ;

1 9

1 3

0,66; 0,66666; ; ;

4 ;

21 25

1 8

1 10

3; ; ; ; 3,14;

4 4

11 7

12 100

8 ;

15,00; 5,7418; ; ; 30,06; ;

13 3, 7

15 75

15 4

2 100

0,333….;

0,1(2)

; ; ; ; 0,3;

Đối với câu hỏi 1: Kết quả thực nghiệm cho thấy: không có học sinh nào trả lời đúng

và đầy đủ câu hỏi 1. Điều này cho phép chúng tôi hoàn toàn hợp thức giả thiết H1: Học sinh

hoàn toàn không phân biệt được số thập phân với dạng viết thập phân.

Trong số học sinh trả lời sai:

Có 291/316 (= 93%) học sinh không khoanh tròn số 3, điều này cho thấy đa số học

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

sinh được thực nghiệm không xem số tự nhiên là số thập phân.

Có 285/316 (= 91%) học sinh trả lời câu hỏi 1 theo kiểu SDVTP. Điều này khẳng định

trường hợp đặc biệt của giả thiết H1: Mọi dạng viết thập phân các số thực đều là số thập

phân. Nghĩa là học sinh chọn tất cả các dạng viết có chứa dấu phẩy.

Kết quả trong thể chế Pháp: Có 49% học sinh lớp 9 trả lời sai.

Như vậy, đối với câu hỏi này nhiều học sinh Việt Nam gặp khó khăn hơn học sinh

Pháp. Điều này được lí giải là vì thể chế dạy học Việt Nam hoàn toàn không tính đến những

khó khăn này. Hơn nữa, so với câu hỏi của Neyret (1995) chúng tôi đã bổ sung thêm 2 dạng

viết thập phân vô hạn. Như vậy, câu hỏi cho học sinh Việt Nam trở nên khó hơn câu hỏi mà

Neyret đã thực nghiệm ở Pháp.

Câu hỏi 2: Có bao nhiêu số thập phân nằm giữa 12,23 và 12,232 ? Hãy liệt kê ?

Qua kết quả trả lời của học sinh, chúng tôi thu thập và tóm tắt kết quả thực nghiệm

trong bảng sau:

Bảng 3.1: Bảng tổng hợp tóm tắt kết quả trả lời câu hỏi 2

Câu trả lời đúng Câu trả lời sai Tổng số phiếu điều tra

(Vô số hay rất nhiều) (Một số hữu hạn) thu về

316 252 (= 80%) 64 (= 20%)

Bảng 3.1 cho thấy: với câu hỏi 2, chỉ có 20% học sinh trả lời sai. Tuy nhiên, câu hỏi

này tương đối cổ điển (nghĩa là có thể giáo viên thường giải thích cho học sinh biết trong

một khoảng cho trước có rất nhiều số thập phân). So với thực nghiệm ở Pháp: 36% học sinh

trả lời rất nhiều hoặc vô số.

Câu hỏi 3 :

a) Hãy điền vào chỗ trống 2 số thập phân có hai chữ số sau dấu phẩy mà em cho là tốt

nhất :

…… < 4,157 < …….

b) Hãy điền vào chỗ trống 2 số thập phân có ba chữ số sau dấu phẩy mà em cho là tốt

nhất :

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

….. < 4,1 < ……

- Đối với phần 3a : Qua kết quả trả lời của học sinh, chúng tôi thu thập và tóm tắt kết

Bảng 3.2: Bảng tổng hợp tóm tắt kết quả trả lời câu hỏi 3.a.

quả thực nghiệm trong bảng sau:

Tổng số phiếu điều tra

Câu trả lời đúng Câu trả lời sai

thu về

179 (= 57%)) 137 (= 43%) 316

Qua bảng 3.2 cho thấy: Câu 3.a. có 137/316 (43%) học sinh không trả lời đúng câu

hỏi này.

- Đối với phần 3b. Qua kết quả trả lời của học sinh, chúng tôi thu thập và tóm tắt kết

quả thực nghiệm trong bảng sau:

Bảng 3.3: Bảng tổng hợp tóm tắt kết quả trả lời câu hỏi 3.b.

Tổng số phiếu điều tra

Câu trả lời đúng Câu trả lời sai

thu về

100 (= 32%) 316 216 (= 68%)

Qua bảng 3.3 cho thấy: Câu 3.b). có đến 216 (= 68%) học sinh trả lời sai. Vì để tìm

được 2 số thập phân có 3 chữ số thỏa mãn: ... < 4,1 < …, câu trả lời: số bên trái phải là

4,099 (trong khi đó số 99 > 1). Như vậy nếu học sinh xem số thập phân gồm hai phần: Phần

nguyên và phần thập phân thì phần thập phân phải lớn hơn 1, điều này giải thích tại sao

nhiều học sinh làm sai câu hỏi này. Kết quả trên cũng cho phép chúng tôi khẳng định ảnh

hưởng mạnh mẽ của thứ tự rời rạc trong N khi lĩnh hội thứ tự không rời rạc của D.

Như vậy, giả thuyết H2 tồn tại mạnh mẽ nghĩa là: Học sinh gặp khó khăn khi làm

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

việc với thứ tự không rời rạc của tập D. Đặc biệt học sinh khó huy động thứ tự này khi

giải quyết bài toán kẹp một số thập phân giữa hai số thập phân khác mà ở đó bắt buộc

phải chuyển đổi giữa các Di

So với nước Pháp có 40% học sinh lớp 9 trả lời đúng câu hỏi 3a. và 27,2% học sinh trả

lời đúng câu hỏi 3b.

Đối với câu hỏi liên quan đến thứ tự của tập số thập phân thì kết quả của học sinh Việt

Nam có phần nhỉnh hơn. Tuy nhiên cần lưu ý đối tượng thực nghiệm ở Việt Nam là học sinh

lớp 11 còn ở Pháp là học sinh lớp 9.

3.4. Kết luận phần thực nghiệm

Qua kết quả thực nghiệm thu được đã cho phép chúng tôi hợp thức được các giả thiết

H1, H2 đã đề cập đến ở đầu chương:

- Học sinh gặp khó khăn khi phân biệt số thập phân với dạng viết thập phân. Đặc biệt

đối với học sinh mọi dạng viết thập phân các số thực đều là số thập phân. Với kết quả thực

nghiệm là 100% học sinh trả lời thiếu hoặc không chính xác câu hỏi này. Điều này cho phép

chúng tôi khẳng định giả thiết H1 đã đề ra.

- Như phân tích ở chương II, thể chế dạy học ở Việt Nam thứ tự không rời rạc trong

tập hợp số thập phân vẫn không được nghiên cứu, cùng với kết quả thực nghiệm ở học sinh

cho phép khẳng định ảnh hưởng của thứ tự rời rạc trong N cản trở việc lĩnh hội thứ tự không

rời rạc của D.

- Đặc biệt học sinh còn gặp nhiều khó khăn trong khi huy động thứ tự của D để giải

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

quyết các bài toán liên quan đến sự chuyển đổi giữa các Di.

KẾT LUẬN

Các nghiên cứu khoa học luận liên quan đến tập hợp số thập phân ở Pháp mà tiêu biểu

nhất là các kết quả của Brousseau (1998) đã làm rõ những đặc trưng của tập hợp số thập

D Q R    .

phân. Nhất là các tính chất đặc trưng của chúng khi so sánh với các tập hợp khác trong thứ tự

bao hàm: Z

* /

Xét trên phương diện cấu trúc đại số tập hợp D thừa hưởng cấu trúc vành giao hoán có

Z x Z (cid:0) . Thế nhưng

đơn vị từ Z như trong cách xây dựng tập D như là tập thương trên tập

nó không thừa hưởng tính chất trường từ Q khi D được xây dựng như một sự thu hẹp của Q.

2

* /

(5,10 ) trong tập

Chính từ sự xây dựng D khi mở rộng tập Z chúng ta có thể kí hiệu các số thập phân thông

Z x Z (cid:0) được viết là 0,05. Điều này cho thấy

.

a

qua các số nguyên. Ví dụ: số

không phải Q nào cũng có thể được xác định bởi một cặp số nguyên theo dạng ( ,10 )n

Về phương diện thứ tự thì D được sắp tứ tự toàn phần nhưng không còn được thừa

hưởng tính chất tập được sắp thứ tự tốt của Z (nghĩa là không có khái niệm số liền trước, số

liền sau). Đây là một đặc trưng quan trọng so với tập Z và giúp D có tính chất trù mật trong

Q và R.

Các phân tích thể chế cho thấy các đặc trưng của số thập phân so với các tập hợp khác

nêu ở trên đã không được chú ý một cách thích đáng trong dạy học khái niệm số thập phân.

Như vậy, ngoài khó khăn mang bản chất khoa học luận thì những khó khăn trong việc lĩnh

hội các tính chất số thập phân không chỉ đến từ chướng ngại khoa học luận mà còn do sự lựa

chon Didacic gây ra. Cụ thể là sự khó khăn trong việc phân biệt số thập phân với dạng viết

thập phân. Nghĩa là hiểu được mối liên hệ giữa tập hợp số thập phân với các tập hợp khác.

Ngoài ra, học sinh cũng gặp khó khăn trong việc huy động thứ tự không rời rạc của tập hợp

số thập phân khi chuyển đổi giữa các số thập phân có độ dài thập phân khác nhau để giải

quyết các bài toán liên quan đến thứ tự. Những khó khăn này đã được tìm thấy trong thể chế

dạy học của Pháp, bây giờ, cũng được chúng tôi tìm thấy trong thể chế dạy học Việt Nam.

Điều này càng khẳng định rằng chúng chính là những chướng ngại khoa học luận. Và như

vậy muốn vượt qua những chướng ngại này cần thiết phải có sự lưu tâm thích đáng của thể

chế và cần phải nghiên cứu những đồ án Didactic phù hợp với thể chế dạy học Việt Nam

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

giúp học sinh vượt qua những chướng ngại này.

Chúng tôi biết rằng ở Pháp Brousseau đã nghiên cứu những đồ án Didactic liên quan

đến việc giảng dạy số nói chung và số thập phân nói riêng phù hợp với thể chế dạy học của

Pháp. Việc nghiên cứu lại những đồ án Didactic của Brousseau để có thể nghĩ đến việc xây

dựng đồ án Didactic phù hợp với thể chế dạy học ở Việt Nam là hướng mở ra từ luận văn

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

này.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Việt Nam

1. Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2006), NXB giáo dục.

2. Phạm Ngọc Bảo (2002), Đào tạo giáo viên tiểu học về bước chuyển từ phân số như là

những phần bằng nhau rút ra từ đơn vị” Đến phân số như là “Thương” ở lớp 3 và

lớp 4, Luận văn Thạc sĩ khoa học, Trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh.

3. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (chủ biên) (2003), Toán 6 tập 2, NXB

Giáo dục.

4. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2004), Toán 7- tập 1 , NXB Giáo dục.

5. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) (2003), Bài tập toán 7- tập 1, NXB Giáo dục.

6. Phùng Hồ Hải (2008), Số hữu tỉ và số vô tỉ, Báo Toán học và tuổi trẻ số 374.

7. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2006), Đại số 10, NXB Giáo dục.

8. Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2007), Toán 5, NXB Giáo dục.

9. Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2006), Toán 5, sách giáo viên, NXB Giáo dục.

10. Đỗ Đình Hoan ( chủ biên) (2006), Bài tập toán 5, NXB Giáo dục.

11. Phạm Văn Hoàn, Đỗ Trung Quân, Đỗ Đình Hoan, Đào Nãi, Vũ Dương Thụy (2003),

Toán 5, NXB Giáo dục.

12. Nguyễn Thị Nga (2007), Nghiên cứu một đồ án didactic dạy học khái niệm hàm số

tuần hoàn, Luận văn Thạc sĩ khoa học, Trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí

Minh.

13. Hoàng Xuân Sính (2001), Đại số đai cương, NXB Giáo dục.

14. Hoàng Xuân Sính, Nguyễn Tiến Tài (2000), Đại Số 7, NXB Giáo dục.

15. Tôn Thân (Chủ biên) (2003), Bài tập Toán 7- tập 1, NXB Giáo dục

16. Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) (2007), Toán học cao cấp- tập hai, NXB giáo dục.

17. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nghiên cứu về khái niệm giới hạn hàm số trong dạy

học toán: Đồ án didactic trong môi trường máy tính bỏ túi , Luận văn Thạc sĩ khoa

học, Trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh.

Pháp

1. Brousseau G. (1976), Chướng ngại khoa học luận và những vấn đề trong toán học.

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

Nghiên cứu didactic toán, 4(2), tr. 164-198.

2. Brousseau (1998), Théorie des situations didactiques, Pensée Sauvage, Grenoble.

3. Cornu (1983), Appentissage de la notion the limite : Conception et obstacles, thèse,

Université Joseph Fourier, Grenoble I.

4. Margolinas C (1988), Une estude sur lé difficultés d’enseignement des nombres réels,

Petit x n 16, pp. 51 – 66.

5. Neyret R (1995), Contraintes et dèterinations des processus de formation des

enseignants: nombres décimaux, rationnels et réels dans les instituts Universitaire de

Formation des Maitres, thèse, Université Joseph Fourier, Grenoble I.

6. Le Thai Bao Thien Trung (2007), Étude didactique des relations notion de limite et

decimalisation des nombres réels dans un environnement “ Calculatrice” thèse,

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

Université Joseph Fourier – Grenoble

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT

Luận văn: Khái niệm số thập phân với học sinh THPT