Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hiệu ứng nụ cười trong toán tài chính

M(cid:244)c l(cid:244)c

LŒi mº ﬁ˙u 1

LŒi c¶m ‹n 3

Ch›‹ng 1 MØt sŁ ki(cid:213)n thłc chu¨n b(cid:222) 4

1.1 Ki(cid:213)n thłc c‹ b¶n v(cid:210) th(cid:222) tr›Œng t(cid:181)i ch(cid:221)nh . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 C‚c th(cid:222) tr›Œng t(cid:181)i ch(cid:221)nh . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 C(cid:230) phi(cid:213)u chłng kho‚n v(cid:181) c‚c ph‚i sinh . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Th(cid:222) tr›Œng v(cid:181) to‚n h(cid:228)c . . . . . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Gi‚ ﬁ›(cid:238)c xem nh› c‚c qu‚ tr(cid:215)nh ng(cid:201)u nhi“n . 7 . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Th«ng tin th(cid:222) tr›Œng v(cid:181) bi(cid:211)u di(cid:212)n to‚n h(cid:228)c . . 7 . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.3 C‹ hØi cª ch“nh l(cid:214)ch th(cid:222) gi‚ v(cid:181) nguy“n l(cid:253) AAO . . 10 . . . . . . . . . . . .

1.2.4 Nguy“n l(cid:253) ﬁ‚p łng v(cid:181) kh‚i ni(cid:214)m th(cid:222) tr›Œng ﬁ˙y ﬁæ . . 11 . . . . . . . . . .

1.3 M« h(cid:215)nh Black - Scholes . . . . . . . . . . . . . . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1 Gi(cid:237)i thi(cid:214)u m« h(cid:215)nh v(cid:181) k(cid:213)t qu¶ . . . . . . . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2 C‹ sº d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n m« h(cid:215)nh Black - Scholes . 13 . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 14 . . . . . . . . 1.3.3 X‚c ﬁ(cid:222)nh c‚c tham sŁ cæa chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c

. 16 . . . 1.3.4 C«ng thłc Black - Scholes v(cid:210) gi‚ cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua .

20 Ch›‹ng 2 Hi(cid:214)u łng n(cid:244) c›Œi

. 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 M« h(cid:215)nh Dupire (1994) . . . . . . . . . . . . . .

. 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 M« h(cid:215)nh . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 C«ng thłc Dupire . . . . . . . . . . . .

2.1.3 Hi(cid:214)u łng n(cid:244) c›Œi cæa ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ﬁŁi v(cid:237)i c‚c quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua Ch'u ¢u 22

. 25 . . . . . . . . 2.1.4 C‚c v˚n ﬁ(cid:210) g˘p ph¶i khi thøc h(cid:181)nh v(cid:181) h›(cid:237)ng gi¶i quy(cid:213)t.

. 26 . . . . . . . . 2.2 MØt sŁ h›(cid:237)ng ti(cid:213)p c¸n ch(cid:221)nh ﬁ• ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu . . . . . . . .

28 Ch›‹ng 3 §(cid:222)nh gi‚ v(cid:237)i n(cid:244) c›Œi trong m« h(cid:215)nh th(cid:222) tr›Œng LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c

. 28 . . . . . . . . 3.1 B(cid:181)i to‚n n(cid:244) c›Œi trong m« h(cid:215)nh th(cid:222) tr›Œng LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c .

. 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Hai m« h(cid:215)nh thay th(cid:213) c(cid:230) ﬁi(cid:211)n . . . . . . . . . .

. 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Tr›Œng h(cid:238)p thay th(cid:213) loga chu¨n . . . . .

. 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 M« h(cid:215)nh co d•n h»ng sŁ cæa ph›‹ng sai

. 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 L(cid:237)p m« h(cid:215)nh t(cid:230)ng qu‚t . . . . . . . . . . . . . .

3.3.1 Tr›Œng h(cid:238)p c(cid:244) th(cid:211): H(cid:231)n h(cid:238)p c‚c chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c . . . . . . 39

3.3.2 Mº rØng m« h(cid:215)nh h(cid:231)n h(cid:238)p chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c cho ph—p ﬁØ

l(cid:214)ch ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3.3 M« h(cid:215)nh t(cid:230)ng qu‚t ki(cid:211)u Dupire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 V(cid:221) d(cid:244) ‚p d(cid:244)ng v(cid:181)o d(cid:247) li(cid:214)u th(cid:222) tr›Œng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

K(cid:213)t lu¸n 51

Ph(cid:244) l(cid:244)c 52

1.1 M« h(cid:215)nh th(cid:222) tr›Œng LIBOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.1.1 M« h(cid:215)nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.1.2 Hai ﬁØ ﬁo th›Œng d(cid:239)ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o 59

LŒi mº ﬁ˙u

To‚n h(cid:228)c t(cid:181)i ch(cid:221)nh ra ﬁŒi tı r˚t s(cid:237)m nh› l(cid:181) mØt ﬁ(cid:223)i hÆi tø nhi“n cæa x• hØi. Nh(cid:247)ng m« h(cid:215)nh to‚n h(cid:228)c d(cid:239)ng ﬁ(cid:211) nghi“n cłu c‚c th(cid:222) tr›Œng t(cid:181)i ch(cid:221)nh ra ﬁŒi nh»m m(cid:244)c ﬁ(cid:221)ch gi¶m thi(cid:211)u ræi ro t(cid:181)i ch(cid:221)nh, v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c c‚c nh(cid:181) ﬁ˙u t›, c‚c chuy“n gia t(cid:181)i ch(cid:221)nh d(cid:239)ng ﬁ(cid:211) ph(cid:223)ng hØ v(cid:181) b¶o hi(cid:211)m. Vi(cid:214)c ra ﬁŒi c‚c th(cid:222) tr›Œng Quy(cid:210)n ch(cid:228)n ﬁ(cid:223)i hÆi ph¶i x'y døng c‚c m« h(cid:215)nh ﬁ(cid:211) ﬁ(cid:222)nh gi‚ c‚c h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n ﬁª. Hai trong nh(cid:247)ng ng›Œi ﬁ˙u ti“n th(cid:181)nh c«ng trong vi(cid:214)c x'y døng m« h(cid:215)nh ﬁ(cid:211) ﬁ(cid:222)nh gi‚ quy(cid:210)n ch(cid:228)n v(cid:237)i thŒi gian li“n t(cid:244)c l(cid:181) hai nh(cid:181) To‚n h(cid:228)c ng›Œi M(cid:252) l(cid:181) Fisher Black v(cid:181) Myron Scholes tı n¤m 1973. Trong m« h(cid:215)nh ﬁª, t(cid:181)i s¶n c‹ sº ﬁ›(cid:238)c gi¶ thi(cid:213)t cª gi‚ tu'n theo chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c

v(cid:181) cho bºi:

l(cid:181) ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng h»ng sŁ v(cid:181) W l(cid:181) chuy(cid:211)n ﬁØng Brown ti“u chu¨n. V(cid:237)i m« h(cid:215)nh Black - Sholes ng›Œi ta cª th(cid:211) ﬁ(cid:222)nh gi‚ chłng kho‚n v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh gi‚ c‚c h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n cª k(cid:211) ﬁ(cid:213)n c‚c y(cid:213)u tŁ ng(cid:201)u nhi“n t‚c ﬁØng l“n th(cid:222) tr›Œng. V(cid:237)i nhi(cid:210)u l(cid:253) do kh‚c nhau, gi‚ cæa c‚c h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n t(cid:221)nh bºi c«ng thłc Black - Scholes kh«ng ph(cid:239) h(cid:238)p v(cid:237)i thøc t(cid:213). B»ng thøc nghi(cid:214)m ng›Œi ta th˚y ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng σ kh«ng ph¶i l(cid:181) mØt h»ng sŁ m(cid:181) l(cid:181) mØt h(cid:181)m cæa c¶ thŒi gian v(cid:181) gi‚ thøc thi h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n, h‹n n(cid:247)a ﬁª l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i, ﬁ(cid:229) th(cid:222) cª chi(cid:210)u l(cid:229)i quay xuŁng d›(cid:237)i cª h(cid:215)nh d‚ng cæa mØt n(cid:244) c›Œi, v(cid:215) th(cid:213) sø ki(cid:214)n n(cid:181)y g(cid:228)i l(cid:181) "Hi(cid:214)u łng n(cid:244) c›Œi". R˚t nhi(cid:210)u nh(cid:181) nghi“n cłu ﬁ• cŁ g(cid:190)ng ﬁ˘t b(cid:181)i to‚n ph(cid:239) h(cid:238)p tŁt, ch(cid:221)nh x‚c ﬁ(cid:213)n młc cª th(cid:211), v(cid:237)i d(cid:247) li(cid:214)u v(cid:210) quy(cid:210)n ch(cid:228)n. MØt sŁ h›(cid:237)ng ti(cid:213)p c¸n ch(cid:221)nh nh›: §˙u ti“n l(cid:181) h›(cid:237)ng ti(cid:213)p c¸n døa tr“n gi¶ thi(cid:213)t v(cid:210) m« h(cid:215)nh hi(cid:211)n thay th(cid:213) ﬁŁi v(cid:237)i qu‚ tr(cid:215)nh gi‚ t(cid:181)i s¶n, v(cid:181) ngay l¸p tłc d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n hi(cid:214)u łng n(cid:244) c›Œi hay ﬁØ l(cid:214)ch ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng. MØt v(cid:221) d(cid:244) l(cid:181) qu‚ tr(cid:215)nh co d•n h»ng sŁ cæa ph›‹ng sai (CEV) cæa Cox (1975) v(cid:181) Cox & Ross (1976). H›(cid:237)ng ti(cid:213)p c¸n thł hai døa tr“n gi¶ thi(cid:213)t v(cid:210) t(cid:221)nh kh«ng ﬁ(cid:213)m ﬁ›(cid:238)c cæa c‚c gi‚ trao ﬁ(cid:230)i hi(cid:214)n h(cid:181)nh. C‚ch n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu bºi Breeden v(cid:181) Litzenberger (1978), sau ﬁª l(cid:181) Dupire(1994,1997), Derman v(cid:181) Kani(1994,1998). H(cid:228) ﬁ• ﬁ›a ra ﬁ›(cid:238)c bi(cid:211)u thłc hi(cid:211)n cho ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng Black - Scholes nh› l(cid:181) mØt h(cid:181)m cæa gi‚ thøc thi v(cid:181) kœ h„n. H›(cid:237)ng ti(cid:210)p c¸n n(cid:181)y cª h„n ch(cid:213) c‹ b¶n l(cid:181) ng›Œi l(cid:181)m ph¶i nØi suy tr‹n c‚c gi‚ quy(cid:210)n ch(cid:228)n gi(cid:247)a c‚c gi‚ thøc thi li“n ti(cid:213)p ﬁ(cid:211) cª th(cid:211) l˚y vi ph'n c˚p hai theo gi‚ thøc thi. H›(cid:237)ng t(cid:213)p c¸n thł ba, ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu bºi Rubinstein(1994), Jackwerth v(cid:181) Rubinstein(1996), Britten - Jones v(cid:181) Neubeger(2000) g(cid:229)m vi(cid:214)c t(cid:215)m c‚c x‚c su˚t kh«ng ræi ro trong mØt m« h(cid:215)nh tam thłc/nh(cid:222) thłc cæa gi‚ t(cid:181)i s¶n, v(cid:181) d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n sø ph(cid:239) h(cid:238)p tŁt nh˚t cæa gi‚ quy(cid:210)n ch(cid:228)n theo ti“u chu¨n tr‹n (m(cid:222)n) n(cid:181)o ﬁª. Ngo(cid:181)i ra c(cid:223)n cª h›(cid:237)ng ti(cid:213)p c¸n th(cid:222) tr›Œng kh«ng ﬁ˙y ﬁæ. Nª bao g(cid:229)m c‚c m« h(cid:215)nh ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ng(cid:201)u nhi“n, nh› m« h(cid:215)nh cæa Hull v(cid:181) White (1987), Heston (1993) v(cid:181) Tompkins(2000a,2000b), v(cid:181) m« h(cid:215)nh khu(cid:213)ch t‚n nh¶y, nh› m« h(cid:215)nh cæa Merton(1976) hay Prigent, Renault v(cid:181) Scaillet (2001). H›(cid:237)ng ti(cid:213)p c¸n

= µdt + σdWt trong ﬁª S l(cid:181) gi‚ tr(cid:222) t(cid:181)i s¶n, µ l(cid:181) d(cid:222)ch chuy(cid:211)n h»ng sŁ, σ dSt St

cuŁi c(cid:239)ng døa tr“n c‚i g(cid:228)i l(cid:181) m« h(cid:215)nh th(cid:222) tr›Œng ﬁŁi v(cid:237)i ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n. C‚c v(cid:221) d(cid:244) ﬁ˙u ti“n l(cid:181) trong Schonbucher (1999), v(cid:181) Ledoit v(cid:181) Santa Clara (1998).

V(cid:237)i ﬁ(cid:210) t(cid:181)i "Hi(cid:214)u ıng N(cid:244) c›Œi trong to‚n t(cid:181)i ch(cid:221)nh" trong lu¸n v¤n n(cid:181)y, sau khi t(cid:215)m t«i hi(cid:211)u c‚c m« h(cid:215)nh cæa Black - Scholes, Dupire, Cox & Ross, Heston, Rubinstein, ... th˚y vi(cid:214)c ﬁ›a ra mØt m« h(cid:215)nh t(cid:230)ng qu‚t h‹n l(cid:181) c˙n thi(cid:213)t, tuy nhi“n b(cid:181)i to‚n ﬁ(cid:222)nh gi‚ cho c‚c h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n l(cid:181) mØt b(cid:181)i to‚n mº cª nhi(cid:210)u h›(cid:237)ng gi¶i quy(cid:213)t v(cid:181) vi(cid:214)c gi¶i quy(cid:213)t v˚n ﬁ(cid:210) n(cid:181)y mØt c‚ch tri(cid:214)t ﬁ(cid:211) cª th(cid:211) c(cid:223)n ch›a thøc hi(cid:214)n ﬁ›(cid:238)c trong thŒi gian ng(cid:190)n. Nªi chung, b(cid:181)i to‚n t(cid:215)m ph'n phŁi kh«ng ræi ro ﬁ(cid:211) ﬁ(cid:222)nh gi‚ nh˚t qu‚n cho t˚t c¶ c‚c quy(cid:210)n ch(cid:228)n gi›Œng nh› cª nhi(cid:210)u ﬁi(cid:211)m kh«ng x‚c ﬁ(cid:222)nh. MØt lŒi gi¶i cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra n(cid:213)u cª gi¶ thi(cid:213)t v(cid:210) sø ph(cid:244) thuØc ph'n phŁi kh«ng ræi ro cª tham sŁ c(cid:244) th(cid:211) v(cid:237)i mØt sŁ tham sŁ, ch…ng h„n ph(cid:244) thuØc thŒi gian, v(cid:181) khi ﬁª ta s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c tham sŁ n(cid:181)y cho ph(cid:239) h(cid:238)p v(cid:237)i ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng. B»ng c‚ch ‚p d(cid:244)ng c‚ch t›(cid:238)ng tø nh› cæa Dupire(1994,1997), ta ﬁ˘t b(cid:181)i to‚n n(cid:181)y v(cid:181) t(cid:215)m l(cid:237)p m« h(cid:215)nh ﬁ˙u ti“n d(cid:201)n t(cid:237)i ph'n phŁi kh«ng ræi ro cª tham sŁ ﬁæ linh ho„t cho m(cid:244)c ﬁ(cid:221)ch thøc h(cid:181)nh. Khi ﬁª sˇ t„o ra c‚c qu‚ tr(cid:215)nh li“n k(cid:213)t gi(cid:247)a h›(cid:237)ng ti(cid:213)p c¸n ph'n phŁi kh«ng ræi ro cª tham sŁ v(cid:181) h›(cid:237)ng ti(cid:213)p c¸n m« h(cid:215)nh thay th(cid:213), v(cid:181) d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n m« h(cid:215)nh hi(cid:211)n v(cid:237)i c‚c m¸t ﬁØ kh«ng ræi ro cª tham sŁ linh ho„t. V(cid:237)i c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n th›Œng g˘p trong thøc t(cid:213) th(cid:215) m« h(cid:215)nh LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c (FLM) l(cid:181) sø løa ch(cid:228)n thu¸n ti(cid:214)n nh˚t trong r˚t nhi(cid:210)u t(cid:215)nh huŁng. Trong lu¸n v¤n n(cid:181)y t«i cŁ g(cid:190)ng ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a c‚c v˚n ﬁ(cid:210) li“n quan ﬁ(cid:213)n m« h(cid:215)nh FLM ﬁ(cid:211) thay th(cid:213) cho m« h(cid:215)nh loga chu¨n c(cid:230) ﬁi(cid:211)n, v(cid:181) c(cid:242)ng truy l„i c‚c c˚u tr(cid:243)c ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng nh› ﬁ• quan s‚t tr“n th(cid:222) tr›Œng. Lu¸n v¤n g(cid:229)m ba ch›‹ng v(cid:237)i nh(cid:247)ng nØi dung ch(cid:221)nh sau ﬁ'y: • Ch›‹ng 1. Tr(cid:215)nh b(cid:181)y s‹ l›(cid:238)c v(cid:210) c‚c th(cid:222) tr›Œng t(cid:181)i ch(cid:221)nh v(cid:181) mØt sŁ kh‚i ni(cid:214)m t(cid:181)i ch(cid:221)nh cª li“n quan. M« h(cid:215)nh Black - Scholes v(cid:181) c«ng thłc Black - Scholes ﬁ(cid:222)nh gi‚ quy(cid:210)n ch(cid:228)n v(cid:237)i thŒi gian li“n t(cid:244)c.

• Ch›‹ng 2. Nh(cid:190)c ﬁ(cid:213)n kh‚i ni(cid:214)m "Hi(cid:214)u łng N(cid:244) c›Œi". M« h(cid:215)nh Dupire c(cid:239)ng v(cid:237)i c‚ch x'y døng c«ng thłc Dupire l(cid:181)m c‹ sº tham kh¶o khi x'y døng m« h(cid:215)nh thay th(cid:213) trong ch›‹ng 3.

• Ch›‹ng 3. X'y døng mØt l(cid:237)p khu(cid:213)ch t‚n ﬁ(cid:211) l¸p m« h(cid:215)nh l•i su˚t LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c d›(cid:237)i c‚c ﬁØ ﬁo ch(cid:221)nh t(cid:190)c cæa ch(cid:243)ng, døa tr“n gi¶ thi(cid:213)t v(cid:210) mØt sø ph(cid:244) thuØc h(cid:181)m tr‹n t„i thŒi ﬁi(cid:211)m ﬁ‚o h„n gi(cid:247)a l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c v(cid:181) mØt chuy(cid:211)n ﬁØng Brown k(cid:213)t h(cid:238)p. §(cid:229)ng thŒi x'y døng trong l(cid:237)p n(cid:181)y mØt m« h(cid:215)nh cª th(cid:211) ph(cid:239) h(cid:238)p mØt c‚ch g˙n nh› ch(cid:221)nh x‚c v(cid:237)i c‚c ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng th(cid:222) tr›Œng cho º ﬁ˙u v(cid:181)o.

• Ph˙n ph(cid:244) l(cid:244)c. Tr(cid:215)nh b(cid:181)y tªm t(cid:190)t mØt sŁ y(cid:213)u tŁ v(cid:210) m« h(cid:215)nh th(cid:222) tr›Œng LIBOR.

LŒi c¶m ‹n

B¶n lu¸n v¤n n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c ho(cid:181)n th(cid:181)nh d›(cid:237)i sø h›(cid:237)ng d(cid:201)n v(cid:181) ch(cid:216) b¶o t¸n t(cid:215)nh cæa PGS. TS Tr˙n H(cid:239)ng Thao (Vi(cid:214)n To‚n h(cid:228)c - Vi(cid:214)n khoa h(cid:228)c v(cid:181) c«ng ngh(cid:214) Vi(cid:214)t Nam). Th˙y ﬁ• d(cid:181)nh nhi(cid:210)u thŒi gian h›(cid:237)ng d(cid:201)n t¸n t(cid:215)nh c(cid:242)ng nh› gi¶i ﬁ‚p c‚c th(cid:190)c m(cid:190)c cæa t«i trong suŁt qu‚ tr(cid:215)nh l(cid:181)m lu¸n v¤n. T«i muŁn b(cid:181)y tÆ l(cid:223)ng bi(cid:213)t ‹n s'u s(cid:190)c ﬁ(cid:213)n ng›Œi th˙y cæa m(cid:215)nh. T«i c(cid:242)ng xin c¶m ‹n nhªm seminar v(cid:210) "To‚n t(cid:181)i ch(cid:221)nh" t„i Vi(cid:214)n To‚n h(cid:228)c ﬁ• gi(cid:243)p t«i b(cid:230) sung, cæng cŁ c‚c ki(cid:213)n thłc v(cid:210) th(cid:222) tr›Œng t(cid:181)i ch(cid:221)nh c(cid:242)ng nh› t(cid:215)m hi(cid:211)u v(cid:210) c‚c m« h(cid:215)nh to‚n h(cid:228)c trong t(cid:181)i ch(cid:221)nh.

Qua ﬁ'y, t«i xin g(cid:246)i t(cid:237)i c‚c th˙y c« Khoa To‚n-C‹-Tin h(cid:228)c, Tr›Œng §„i h(cid:228)c Khoa h(cid:228)c Tø nhi“n §„i h(cid:228)c QuŁc gia H(cid:181) NØi, c(cid:242)ng nh› c‚c th˙y c« ﬁ• tham gia gi¶ng d„y kho‚ cao h(cid:228)c 2007 - 2009, lŒi c¶m ‹n s'u s(cid:190)c nh˚t ﬁŁi v(cid:237)i c«ng lao d„y d(cid:231) trong suŁt qu‚ tr(cid:215)nh t«i h(cid:228)c t„i tr›Œng.

T«i xin c¶m ‹n gia ﬁ(cid:215)nh, b„n b(cid:204) v(cid:181) t˚t c¶ m(cid:228)i ng›Œi ﬁ• quan t'm, t„o ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n, ﬁØng

vi“n c(cid:230) v(cid:242) t«i ﬁ(cid:211) t«i cª th(cid:211) ho(cid:181)n th(cid:181)nh nhi(cid:214)m v(cid:244) cæa m(cid:215)nh.

H(cid:181) NØi, ng(cid:181)y 15 th‚ng 12 n¤m 2011

H(cid:228)c vi“n: L“ Vi(cid:214)t Ph›‹ng(1)

(1)E-mail: Vietphuong2088@gmail.com

Ch›‹ng 1

MØt sŁ ki(cid:213)n thłc chu¨n b(cid:222)

Trong ch›‹ng n(cid:181)y ch(cid:243)ng ta sˇ nh(cid:190)c qua v(cid:210) c‚c th(cid:222) tr›Œng t(cid:181)i ch(cid:221)nh v(cid:181) mØt sŁ kh‚i ni(cid:214)m t(cid:181)i ch(cid:221)nh cª li“n quan. M« h(cid:215)nh Black - Scholes v(cid:181) c«ng thłc Black - Scholes ﬁ(cid:222)nh gi‚ quy(cid:210)n ch(cid:228)n v(cid:237)i thŒi gian li“n t(cid:244)c.

1.1 Ki(cid:213)n thłc c‹ b¶n v(cid:210) th(cid:222) tr›Œng t(cid:181)i ch(cid:221)nh

1.1.1 C‚c th(cid:222) tr›Œng t(cid:181)i ch(cid:221)nh

Tı l'u ta ﬁ• nghe nªi t(cid:237)i c‚c trung t'm giao d(cid:222)ch chłng kho‚n nh› NewYork, London, Tokyo v(cid:181) g˙n ﬁ'y l(cid:181) c‚c trung t'm giao d(cid:222)ch chłng kho‚n º c‚c th(cid:181)nh phŁ l(cid:237)n cæa Vi(cid:214)t Nam nh› H(cid:181) NØi, Th(cid:181)nh phŁ H(cid:229) Ch(cid:221) Minh. C‚c b(cid:181)i b‚o v(cid:210) ho„t ﬁØng bu«n b‚n t„i c‚c th(cid:222) tr›Œng n(cid:181)y th›Œng xuy“n xu˚t hi(cid:214)n tr“n trang nh˚t cæa c‚c tŒ nh¸t b‚o v(cid:181) tr“n b¶n tin thŒi sø v(cid:181) c‚c b¶n tin t(cid:181)i ch(cid:221)nh cæa c‚c quŁc gia cª n(cid:210)n kinh t(cid:213) th(cid:222) tr›Œng. C(cid:223)n r˚t nhi(cid:210)u th(cid:222) tr›Œng t(cid:181)i ch(cid:221)nh kh‚c n(cid:247)a, m(cid:231)i th(cid:222) tr›Œng ﬁ(cid:210)u cª nh(cid:247)ng ﬁ˘c tr›ng x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi mØt lo„i h(cid:181)ng ho‚ t(cid:181)i ch(cid:221)nh ﬁ›(cid:238)c mang ra trao ﬁ(cid:230)i. C‚c th(cid:222) tr›Œng t(cid:181)i ch(cid:221)nh quan tr(cid:228)ng nh˚t l(cid:181) c‚c th(cid:222) tr›Œng c(cid:230) phi(cid:213)u, c‚c th(cid:222) tr›Œng tr‚i phi(cid:213)u, c‚c th(cid:222) tr›Œng ti(cid:210)n t(cid:214), c‚c th(cid:222) tr›Œng h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng giao sau v(cid:181) h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n.

H(cid:181)ng ho‚ trao ﬁ(cid:230)i t„i c‚c th(cid:222) tr›Œng n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c ph'n th(cid:181)nh hai lo„i ch(cid:221)nh l(cid:181) t(cid:181)i s¶n c‹

sº v(cid:181) t(cid:181)i s¶n ph‚i sinh.

- T(cid:181)i s¶n c‹ sº g(cid:229)m: C(cid:230) phi(cid:213)u, tr‚i phi(cid:213)u hay mØt ﬁ‹n v(cid:222) ti(cid:210)n t(cid:214). T(cid:181)i s¶n c‹ sº

c(cid:223)n ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) t(cid:181)i s¶n nguy“n khºi hay t(cid:181)i s¶n n(cid:210)n t¶ng.

- T(cid:181)i s¶n ph‚i sinh bao g(cid:229)m c‚c t(cid:181)i s¶n ph(cid:244) thuØc, tłc l(cid:181) c‚c h(cid:181)ng ho‚ m(cid:181) gi‚ tr(cid:222) cæa nª r(cid:243)t ra ﬁ›(cid:238)c tı gi‚ tr(cid:222) cæa c‚c t(cid:181)i s¶n c‹ sº. T(cid:181)i s¶n ph‚i sinh hay ph‚i sinh t(cid:181)i l(cid:181) ch(cid:221)nh c(cid:223)n ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) t(cid:181)i s¶n ph(cid:244) thuØc. C‚c quy(cid:210)n ch(cid:228)n, c‚c h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng kœ h„n ... c‚c ph‚i sinh t(cid:181)i ch(cid:221)nh ﬁi(cid:211)n h(cid:215)nh.

1.1.2 C(cid:230) phi(cid:213)u chłng kho‚n v(cid:181) c‚c ph‚i sinh

MØt c«ng ty cª th(cid:211) huy ﬁØng vŁn b»ng c‚ch b‚n c‚c c(cid:230) ph˙n cæa h(cid:228) cho c‚c nh(cid:181) ﬁ˙u t›. Ng›Œi sº h(cid:247)u c‚c c(cid:230) ph˙n n(cid:181)y cª th(cid:211) nh¸n ﬁ›(cid:238)c c(cid:230) tłc ho˘c kh«ng tuœ thuØc v(cid:181)o

c«ng ty ﬁª l(cid:181)m ¤n cª l•i kh«ng v(cid:181) cª quy(cid:213)t ﬁ(cid:222)nh chia l•i cho c‚c c(cid:230) ﬁØng hay kh«ng. Ngo(cid:181)i ra h(cid:228) cª to(cid:181)n quy(cid:210)n b‚n ho˘c chuy(cid:211)n nh›(cid:238)ng cho ng›Œi kh‚c.

Gi‚ cæa c(cid:230) phi(cid:213)u ph¶n ‚nh c‚ch nh(cid:215)n v(cid:181) dø ﬁo‚n cæa nh(cid:181) ﬁ˙u t› v(cid:210) c‚c chi tr¶ c(cid:230) tłc, v(cid:210) kho¶n ti(cid:210)n ki(cid:213)m ﬁ›(cid:238)c trong t›‹ng lai v(cid:181) ngu(cid:229)n vŁn m(cid:181) c«ng ty ﬁª sˇ ki(cid:211)m so‚t. Nh› v¸y trong ph˙n l(cid:237)n thŒi gian th(cid:215) gi‚ cæa mØt c(cid:230) phi(cid:213)u ﬁ›(cid:238)c ph‚n ﬁ(cid:222)nh bºi ng›Œi n(cid:181)o muŁn tr¶ gi‚ cho nª v(cid:181)o mØt ng(cid:181)y ﬁ(cid:222)nh tr›(cid:237)c.

Cho tr›(cid:237)c mØt chłng kho‚n, tłc l(cid:181) mØt lo„i c(cid:230) phi(cid:213)u ho˘c tr‚i phi(cid:213)u. Khi ﬁª, mØt ph‚i sinh chłng kho‚n l(cid:181) mØt h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng ﬁ˘c bi(cid:214)t m(cid:181) gi‚ tr(cid:222) cæa nª t„i mØt ng(cid:181)y n(cid:181)o ﬁª trong t›‹ng lai ph(cid:244) thuØc ho(cid:181)n to(cid:181)n v(cid:181)o gi‚ tr(cid:222) t›‹ng lai cæa chłng kho‚n ﬁª. C‚ nh'n n(cid:181)o ho˘c h•ng n(cid:181)o x'y døng n“n h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng ﬁª v(cid:181) mang b‚n nª ﬁi g(cid:228)i l(cid:181) ng›Œi vi(cid:213)t. C‚ nh'n n(cid:181)o ho˘c h•ng n(cid:181)o mua h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng ﬁª th(cid:215) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ng›Œi gi(cid:247). Chłng kho‚n m(cid:181) h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng ﬁª c¤n cł v(cid:181)o ﬁ(cid:211) l¸p n“n ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt t(cid:181)i s¶n n(cid:210)n t¶ng.

1.1.2.1 C‚c h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng kœ h„n

L(cid:181) lo„i h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng k(cid:253) k(cid:213)t gi(cid:247)a hai b“n ﬁŁi t‚c A v(cid:181) B (Th›Œng l(cid:181) c‚c c«ng ty t(cid:181)i ch(cid:221)nh

ho˘c c‚c nh(cid:181) m«i gi(cid:237)i ﬁ˙u t›, ho˘c c‚c nh(cid:181) ﬁ˙u t› t(cid:181)i ch(cid:221)nh...) V(cid:237)i c‚c quy ›(cid:237)c sau:

(a) §(cid:213)n thŒi ﬁi(cid:211)m ﬁ‚o h„n T cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng, b“n A ph¶i giao cho b“n B mØt khŁi l›(cid:238)ng s¶n ph¨m t(cid:181)i ch(cid:221)nh (C(cid:230) phi(cid:213)u, tr‚i phi(cid:213)u, ti(cid:210)n t(cid:214)...) ho˘c mØt khŁi l›(cid:238)ng h(cid:181)ng ho‚ n(cid:181)o ﬁª cª gi‚ th(cid:222) tr›Œng l(cid:181) X t„i thŒi ﬁi(cid:211)m T .

(b) §(cid:213)n thŒi ﬁi(cid:211)m ﬁ‚o h„n T ﬁª, b“n B ph¶i tr¶ cho b“n A mØt kho¶n ti(cid:210)n F (0, T )

ﬁ(cid:222)nh tr›(cid:237)c tı l(cid:243)c k(cid:253) k(cid:213)t.

(c) Kh«ng cª b˚t k(cid:215) mØt chi ph(cid:221) giao d(cid:222)ch n(cid:181)o tr›(cid:237)c thŒi ﬁi(cid:211)m T . (d) §(cid:213)n thŒi ﬁi(cid:211)m T hai b“n b(cid:190)t buØc ph¶i thøc thi c‚c quy ›(cid:237)c ﬁª, theo mØt sŁ

ﬁi(cid:210)u kho¶n c(cid:244) th(cid:211).

a) H(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c

H(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng giao sau gi(cid:247)a hai ﬁŁi t‚c A v(cid:181) B c(cid:242)ng giŁng v(cid:237)i h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c º c‚c quy ›(cid:237)c (a), (c), (d) v(cid:181) kh‚c v(cid:237)i h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c º quy ›(cid:237)c (b), nª ﬁ›(cid:238)c thay b»ng quy ›(cid:237)c (b(cid:146)).

(b(cid:146)) §(cid:213)n thŒi ﬁi(cid:211)m ﬁ‚o h„n T , b“n B ph¶i tr¶ cho b“n A mØt kho¶n ti(cid:210)n l(cid:181) F (t, T ), kho¶n ti(cid:210)n n(cid:181)y ho(cid:181)n to(cid:181)n x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi gi‚ c¶ th(cid:222) tr›Œng t„i thŒi ﬁi(cid:211)m t n(cid:181)o ﬁª (t < T ). Ngo(cid:181)i ra c‚c s¶n ph¨m ghi n(cid:238) trong h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng ph¶i l(cid:181) t(cid:181)i s¶n ﬁ›(cid:238)c ni“m y(cid:213)t trong th(cid:222) tr›Œng ch(cid:221)nh thłc.

MØt ﬁi(cid:211)m ph'n bi(cid:214)t gi(cid:247)a hai lo„i h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c v(cid:181) giao sau l(cid:181): º h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c, hai b“n ﬁŁi t‚c tho¶ thu¸n r»ng sˇ r(cid:181)ng buØc trøc ti(cid:213)p v(cid:237)i nhau th«ng qua

b) H(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng giao sau

c‚c ﬁi(cid:210)u kho¶n cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng. C(cid:223)n ﬁŁi v(cid:237)i h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng giao sau th(cid:215) hai b“n mua v(cid:181) b‚n ch(cid:216) quan h(cid:214) gi‚n ti(cid:213)p v(cid:237)i nhau tr“n th(cid:222) tr›Œng ch(cid:221)nh thłc th«ng qua mØt t(cid:230) chłc trung gian g(cid:228)i l(cid:181) "Qu(cid:252) ﬁ(cid:210)n b(cid:239)". trong h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng giao sau ng›Œi gi(cid:247) h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng cª th(cid:211) l(cid:181) ng›Œi b‚n hay ng›Œi mua. Vi(cid:214)c chuy(cid:211)n ti(cid:210)n qua l„i gi(cid:247)a ng›Œi gi(cid:247) h(cid:238)p ﬁ«ng v(cid:181) qu(cid:252) ﬁ(cid:210)n b(cid:239) ﬁ›(cid:238)c ti(cid:213)n h(cid:181)nh h(cid:181)ng ng(cid:181)y v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) "L(cid:214)nh g(cid:228)i ﬁ(cid:210)n b(cid:239)". Vi(cid:214)c giao d(cid:222)ch trong h(cid:238)p ﬁØng n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c thøc hi(cid:214)n theo h(cid:215)nh thłc h—t to v(cid:181) ra hi(cid:214)u.

1.1.2.2 C‚c h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n

L(cid:181) lo„i h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng cho ph—p ng›Œi gi(cid:247) h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng cª mØt c‹ hØi mua mØt c(cid:230) ph˙n chłng

kho‚n trong t›‹ng lai v(cid:237)i mØt gi‚ ﬁ¶m b¶o tr›(cid:237)c. C‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng n(cid:181)y l(cid:181):

(a) §(cid:213)n ng(cid:181)y ﬁ‚o h„n, ng›Œi gi(cid:247) h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng cª th(cid:211) tr¶ cho ng›Œi vi(cid:213)t h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng mØt

sŁ ti(cid:210)n b»ng gi‚ thøc thi cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng.

(b) N(cid:213)u ng›Œi vi(cid:213)t h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng nh¸n ﬁ›(cid:238)c sŁ ti(cid:210)n gi‚ thøc thi do ng›Œi gi(cid:247) tr¶ th(cid:215)

ng›Œi vi(cid:213)t ph¶i giao mØt c(cid:230) ph˙n chłng kho‚n cho ng›Œi gi(cid:247) v(cid:181)o ng(cid:181)y ﬁ‚o h„n.

Nh› v¸y ng›Œi gi(cid:247) h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng n(cid:181)y cª mØt quy(cid:210)n ch(cid:228)n ﬁ˙u t›. N(cid:213)u ﬁ(cid:213)n ng(cid:181)y ﬁ‚o h„n gi‚ c(cid:230) phi(cid:213)u th˚p h‹n gi‚ thøc thi th(cid:215) ng›Œi ﬁª cª quy(cid:210)n kh«ng thøc thi. C(cid:223)n n(cid:213)u gi‚ c(cid:230) phi(cid:213)u cao h‹n gi‚ thøc thi th(cid:215) ng›Œi gi(cid:247) sˇ tr¶ chi ph(cid:221) thøc thi v(cid:181) cª ﬁ›(cid:238)c mØt c(cid:230) ph˙n cª gi‚ tr(cid:222).

N(cid:213)u h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng ch(cid:216) cho ph—p ng›Œi gi(cid:247) s(cid:246) d(cid:244)ng nª v(cid:181)o ng(cid:181)y ﬁ‚o h„n th(cid:215) ta nªi quy(cid:210)n

ch(cid:228)n mua n(cid:181)y thuØc ki(cid:211)u Ch'u ¢u.

C(cid:223)n mØt lo„i kh‚c (cid:221)t h„n ch(cid:213) h‹n l(cid:181) h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua ki(cid:211)u M(cid:252). Ng›Œi gi(cid:247) h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c ph—p thøc thi h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng n(cid:181)y t„i b˚t kœ thŒi ﬁi(cid:211)m n(cid:181)o tr›(cid:237)c ng(cid:181)y ﬁ‚o h„n.

a) H(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua

L(cid:181) lo„i h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng cho ph—p ng›Œi gi(cid:247) h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng cª mØt c‹ hØi ﬁ›(cid:238)c ph—p b‚n mØt c(cid:230) ph˙n chłng kho‚n trong t›‹ng lai v(cid:237)i mØt gi‚ ﬁ¶m b¶o tr›(cid:237)c, ngay c¶ khi ng›Œi ta kh«ng sº h(cid:247)u b˚t kœ mØt c(cid:230) phi(cid:213)u n(cid:181)o c¶. C‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng n(cid:181)y l(cid:181):

(a) §(cid:213)n ng(cid:181)y ﬁ‚o h„n, ng›Œi gi(cid:247) h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng cª th(cid:211) ﬁ›a cho ng›Œi vi(cid:213)t mØt c(cid:230) ph˙n chłng kho‚n ho˘c t›‹ng ﬁ›‹ng mØt sŁ ti(cid:210)n theo gi‚ th(cid:222) tr›Œng l(cid:243)c ˚y cæa mØt c(cid:230) ph˙n chłng kho‚n.

(b) N(cid:213)u ng›Œi vi(cid:213)t h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng nh¸n ﬁ›(cid:238)c c(cid:230) ph˙n chłng kho‚n ho˘c sŁ ti(cid:210)n t›‹ng ﬁ›‹ng do ng›Œi gi(cid:247) h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng giao cho th(cid:215) anh ta ph¶i tr¶ chi ph(cid:221) thøc thi cho ng›Œi gi(cid:247) h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng v(cid:181)o ng(cid:181)y ﬁ‚o h„n cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng.

C(cid:242)ng nh› v(cid:237)i c‚c h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua, º h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n b‚n ng›Œi gi(cid:247)

b) H(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n b‚n

h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng cª quy(cid:210)n ch(cid:228)n ﬁ˙u t›. V(cid:181) n(cid:213)u h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng ch(cid:216) cho ph—p ng›Œi gi(cid:247) s(cid:246) d(cid:244)ng nª v(cid:181)o ng(cid:181)y ﬁ‚o h„n th(cid:215) g(cid:228)i l(cid:181) quy(cid:210)n ch(cid:228)n b‚n ki(cid:211)u Ch'u ¢u. C(cid:223)n n(cid:213)u cª th(cid:211) thøc thi h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng n(cid:181)y v(cid:181)o b˚t kœ thŒi ﬁi(cid:211)m n(cid:181)o tr›(cid:237)c ng(cid:181)y ﬁ‚o h„n th(cid:215) ta cª quy(cid:210)n ch(cid:228)n b‚n ki(cid:211)u M(cid:252). MØt quy(cid:210)n ch(cid:228)n b‚n ki(cid:211)u M(cid:252) cª th(cid:211) ki(cid:213)m ﬁ›(cid:238)c nhi(cid:210)u ti(cid:210)n h‹n mØt quy(cid:210)n ch(cid:228)n b‚n ki(cid:210)u Ch'u ¢u.

1.2 Th(cid:222) tr›Œng v(cid:181) to‚n h(cid:228)c

1.2.1 Gi‚ ﬁ›(cid:238)c xem nh› c‚c qu‚ tr(cid:215)nh ng(cid:201)u nhi“n

X—t mØt t(cid:181)i s¶n t(cid:181)i ch(cid:221)nh S m(cid:181) gi‚ cæa nª t„i mØt thŒi ﬁi(cid:211)m t ﬁ›(cid:238)c k(cid:253) hi(cid:214)u l(cid:181) S(t). Gi¶ s(cid:246) t0 l(cid:181) thŒi ﬁi(cid:211)m hi(cid:214)n t„i th(cid:215) ta ch(cid:216) bi(cid:213)t ﬁ›(cid:238)c gi‚ thøc thi S(t0) nhŒ quan s‚t tr“n th(cid:222) tr›Œng v(cid:181) nªi chung ta kh«ng bi(cid:213)t tr›(cid:237)c ﬁ›(cid:238)c gi‚ S(t) v(cid:237)i t > t0. Gi‚ S(t) bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i mØt c‚ch ph(cid:244) thuØc v(cid:181)o nhi(cid:210)u y(cid:213)u tŁ ng(cid:201)u nhi“n nh› c‚c bi(cid:213)n ﬁØng gi‚ c‚c s¶n ph¨m kh‚c, c‚c xu h›(cid:237)ng t¤ng tr›ºng ho˘c suy tho‚i cæa c‚c n(cid:210)n kinh t(cid:213) tr“n th(cid:213) gi(cid:237)i, c‚c di(cid:212)n bi(cid:213)n v(cid:210) nhu c˙u ti“u d(cid:239)ng trong v(cid:181) ngo(cid:181)i n›(cid:237)c, ti(cid:210)m løc s¶n xu˚t, c‚c di(cid:212)n bi(cid:213)n ch(cid:221)nh tr(cid:222), c‚c . Ta gom c‚c y(cid:213)u tŁ ng(cid:201)u ch(cid:221)nh s‚ch cæa nh(cid:181) n›(cid:237)c, c‚c di(cid:212)n bi(cid:213)n t'm l(cid:253) nh(cid:181) ﬁ˙u t›... nhi“n ﬁª cæa t˚t c¶ c‚c s¶n ph¨m t(cid:181)i ch(cid:221)nh S tr“n th(cid:222) tr›Œng v(cid:181)o mØt t¸p h(cid:238)p c‹ b¶n k(cid:221) hi(cid:214)u l(cid:181) Ω m(cid:181) m(cid:231)i ph˙n t(cid:246) ω cæa nª bi(cid:211)u th(cid:222) mØt y(cid:213)u tŁ ng(cid:201)u nhi“n n(cid:181)o ﬁª. M(cid:231)i sø ki(cid:214)n x¶y ra trong th(cid:222) tr›Œng l(cid:181) mØt t¸p h(cid:238)p n(cid:181)o ﬁª g(cid:229)m mØt sŁ c‚c y(cid:213)u tŁ ng(cid:201)u nhi“n. §(cid:211) ﬁo l›Œng mØt c‚ch ﬁ(cid:222)nh l›(cid:238)ng kh¶ n¤ng x¶y ra c‚c sø ki(cid:214)n ﬁª ng›Œi ta d(cid:239)ng mØt lo„i th›(cid:237)c ﬁo l(cid:181) mØt ﬁØ ﬁo x‚c su˚t P . §Ø ﬁo ﬁª ch(cid:216) ﬁo ﬁ›(cid:238)c c‚c sø ki(cid:214)n thuØc v(cid:210) mØt l(cid:237)p F n(cid:181)o ﬁª c‚c sø ki(cid:214)n (F sˇ ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh nh› mØt σ − ﬁ„i sŁ), m(cid:231)i sø ki(cid:214)n A thuØc v(cid:210) l(cid:237)p n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt bi(cid:213)n cŁ ng(cid:201)u nhi“n v(cid:181) gi‚ tr(cid:222) ﬁo l›Œng kh¶ n¤ng x¶y ra sø ki(cid:214)n A ﬁª ch(cid:221)nh l(cid:181) x‚c xu˚t P(A).

V¸y ta cª mØt kh«ng gian x‚c su˚t (Ω, F , P ) m(cid:181) m(cid:231)i t(cid:181)i s¶n t(cid:181)i ch(cid:221)nh S(t) l(cid:181) mØt qu‚ tr(cid:215)nh ng(cid:201)u nhi“n x‚c ﬁ(cid:222)nh tr“n ﬁª: V(cid:237)i m(cid:231)i t, S(t) c(cid:223)n ph(cid:244) thuØc v(cid:181)o c‚c y(cid:213)u tŁ ng(cid:201)u nhi“n ω : S = S(t,ω)

1.2.2 Th«ng tin th(cid:222) tr›Œng v(cid:181) bi(cid:211)u di(cid:212)n to‚n h(cid:228)c

Ta nh(cid:190)c l„i ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a σ - tr›Œng

1.2.2.1 σ - tr›Œng v(cid:181) lu(cid:229)ng th«ng tin th(cid:222) tr›Œng

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.2.1. MØt σ − ﬁ„i sŁ G (hay c(cid:223)n g(cid:228)i l(cid:181) σ − tr›Œng G) x‚c ﬁ(cid:222)nh tr“n t¸p Ω l(cid:181) mØt h(cid:228) c‚c t¸p con cæa Ω tho¶ m•n c‚c t(cid:221)nh ch˚t: (a) G ﬁªng ﬁŁi v(cid:237)i ph—p h(cid:238)p ﬁ(cid:213)m ﬁ›(cid:238)c.

(b) G ﬁªng ﬁŁi v(cid:237)i ph—p l˚y ph˙n b(cid:239). (c) Ω ∈ G

+ Tı (a) v(cid:181) (b) ta suy ra G c(cid:242)ng ﬁªng ﬁŁi v(cid:237)i ph—p giao ﬁ(cid:213)m ﬁ›(cid:238)c. + Tı (b) v(cid:181) (c) suy ra ∅ ∈ G

Nh› ph˙n tr“n ta ﬁ• nªi, gi‚ cæa c‚c s¶n ph¨m t(cid:181)i ch(cid:221)nh ﬁ›(cid:238)c xem nh› nh(cid:247)ng qu‚ tr(cid:215)nh ng(cid:201)u nhi“n x—t tr“n mØt kh«ng gian x‚c su˚t (Ω, F , P ) , m(cid:231)i sø ki(cid:214)n A x¶y ra trong th(cid:222) tr›Œng ﬁ›(cid:238)c xem l(cid:181) mØt t¸p h(cid:238)p thuØc v(cid:210) h(cid:228) F v(cid:237)i kh¶ n¤ng x¶y ra ch(cid:221)nh l(cid:181) x‚c su˚t P(A). Nh›ng gi‚ s¶n ph¨m th(cid:215) thay ﬁ(cid:230)i ng(cid:201)u nhi“n theo thŒi gian t v(cid:181) c‚c th«ng tin v(cid:210) th(cid:222) tr›Œng (ch(cid:221)nh s‚ch, nhu c˙u ti“u d(cid:239)ng...) c(cid:242)ng t(cid:221)ch lu(cid:252) c(cid:181)ng ng(cid:181)y c(cid:181)ng nhi(cid:210)u th“m. Ta gi¶ s(cid:246) m(cid:228)i th«ng tin v(cid:210) th(cid:222) tr›Œng ˚y t„i thŒi ﬁi(cid:211)m t ﬁ›(cid:238)c ghi nh¸n trong mØt tr›Œng th«ng tin Ft l(cid:181) mØt h(cid:228) con cæa F. Nh› v¸y Ft ghi nh¸n m(cid:228)i bi(cid:213)n cŁ x¶y ra trong th(cid:222) tr›Œng t„i m(cid:228)i thŒi ﬁi(cid:211)m s ≤ t.

V(cid:210) m˘t to‚n h(cid:228)c, h(cid:228) th«ng tin c‹ b¶n F v(cid:181) c‚c h(cid:228) con Ft ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh nh› nh(cid:247)ng

Nh¸n x—t 1.2.2.

σ - ﬁ„i sŁ tr“n t¸p Ω c‚c y(cid:213)u tŁ ng(cid:201)u nhi“n c‹ b¶n.

§i(cid:210)u ki(cid:214)n (i) ph¶n ‚nh ﬁ(cid:243)ng th«ng tin th(cid:222) tr›Œng: M(cid:231)i ng(cid:181)y tr«i qua ta cª th“m th«ng

tin di(cid:212)n bi(cid:213)n cæa th(cid:222) tr›Œng.

C‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n (ii) v(cid:181) (iii) cª t(cid:221)nh ch˚t k(cid:252) thu¸t ﬁ(cid:211) ph(cid:244)c v(cid:244) t(cid:221)nh to‚n. Trong to‚n h(cid:228)c, lu(cid:229)ng th«ng tin F(t) ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a nh› tr“n ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt bØ l(cid:228)c. Tuœ bŁi c¶nh cæa b(cid:181)i to‚n, cª th(cid:211) ch(cid:228)n ra nhi(cid:210)u bØ l(cid:228)c kh‚c nhau.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.2.3. Lu(cid:229)ng th«ng tin th(cid:222) tr›Œng Ft, t ≥ 0 l(cid:181) mØt h(cid:228) c‚c σ - ﬁ„i sŁ con cæa σ - ﬁ„i sŁ F (Ft ⊂ F ) v(cid:181) tho¶ m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n sau ﬁ'y: (i) L(cid:181) mØt h(cid:228) t¤ng, tłc l(cid:181) Fs ⊂ Ft v(cid:237)i s ≤ t (ii) Li“n t(cid:244)c ph¶i, tłc l(cid:181) T(cid:15)>0 Ft+(cid:15) = Ft (iii) M(cid:228)i t¸p P - bÆ qua ﬁ›(cid:238)c A thuØc F ﬁ(cid:210)u ﬁ›(cid:238)c chła trong F0 (do ﬁª A ⊆ Ft, ∀t)

1.2.2.2 Kh«ng gian x‚c su˚t ﬁ›(cid:238)c l(cid:228)c

N(cid:213)u t(cid:181)i s¶n t(cid:181)i ch(cid:221)nh S cª gi‚ l(cid:181) mØt qu‚ tr(cid:215)nh ng(cid:201)u nhi“n St = S(t,ω) x‚c ﬁ(cid:222)nh tr“n kh«ng gian x‚c su˚t ﬁ›(cid:238)c l(cid:228)c ﬁª th(cid:215) St l(cid:181) mØt bi(cid:213)n ng(cid:201)u nhi“n ﬁo ﬁ›(cid:238)c ﬁŁi v(cid:237)i Ft. T(cid:221)nh ch˚t ﬁª ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) t(cid:221)nh th(cid:221)ch nghi cæa qu‚ tr(cid:215)nh gi‚ t(cid:181)i s¶n St ﬁŁi v(cid:237)i lu(cid:229)ng th«ng tin

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.2.4. Cho mØt kh«ng gian x‚c su˚t (Ω, F , P ) g(cid:229)m t˚t c¶ c‚c y(cid:213)u tŁ ng(cid:201)u nhi“n trong mØt th(cid:222) tr›Œng t(cid:181)i ch(cid:221)nh, v(cid:181) cho Ft, t ≥ 0 l(cid:181) mØt lu(cid:229)ng th«ng tin tr“n th(cid:222) tr›Œng ﬁª. Khi ﬁª bØ (Ω, F , Ft, P ) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt kh«ng gian x‚c su˚t ﬁ›(cid:238)c l(cid:228)c cæa th(cid:222) tr›Œng ﬁª.

th(cid:222) tr›Œng Ft. §i(cid:210)u ﬁª cª ngh(cid:220)a l(cid:181) m(cid:228)i sø ki(cid:214)n li“n quan ﬁ(cid:213)n gi‚ c¶ cæa t(cid:181)i s¶n S t„i thŒi ﬁi(cid:211)m t ﬁ(cid:210)u ﬁ›(cid:238)c chła ﬁøng trong σ − tr›Œng th«ng tin Ft.

1.2.2.3 L(cid:222)ch s(cid:246) di(cid:212)n bi(cid:213)n cæa gi‚ t(cid:181)i s¶n

t ).

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.2.5. Cho S l(cid:181) mØt t(cid:181)i s¶n t(cid:181)i ch(cid:221)nh n(cid:181)o ﬁª x—t trong mØt kh«ng gian x‚c su˚t (Ω, F , P ) cæa th(cid:222) tr›Œng. Ta ch(cid:228)n bØ l(cid:228)c (Ft) º ﬁ'y ch(cid:221)nh l(cid:181) σ − tr›Œng sinh ra bºi m(cid:228)i gi‚ tr(cid:222) qu‚ khł Ss, s ≤ t cæa t(cid:181)i s¶n S v(cid:181) k(cid:221) hi(cid:214)u l(cid:181) (F S

t = σ(Ss, s ≤ t)

H(cid:228) (F S

t ) tho¶ m•n c‚c t(cid:221)nh ch˚t cæa mØt lu(cid:229)ng th«ng tin th(cid:222) tr›Œng v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181)

l(cid:222)ch s(cid:246) di(cid:212)n bi(cid:213)n gi‚ t(cid:181)i s¶n S tı qu‚ khł cho ﬁ(cid:213)n thŒi ﬁi(cid:211)m t.

Trong to‚n h(cid:228)c, (F S

t , t ≥ 0) ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) bØ l(cid:228)c tø nhi“n cæa qu‚ tr(cid:215)nh ng(cid:201)u nhi“n

∀t F S

(St, t ≥ 0).

1.2.2.4 Lu(cid:229)ng th«ng tin t(cid:230)ng h(cid:238)p cæa th(cid:222) tr›Œng

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.2.6. Gi¶ s(cid:246) mØt th(cid:222) tr›Œng M g(cid:229)m cª c‚c t(cid:181)i s¶n c‹ b¶n l(cid:181) S1, S2, ..., SK. M(cid:231)i t(cid:181)i s¶n Sk(k = 1, 2, .., K) łng v(cid:237)i mØt l(cid:222)ch s(cid:246) di(cid:212)n bi(cid:213)n l(cid:181) F Sk . Khi ﬁª lu(cid:229)ng th«ng tin t(cid:230)ng h(cid:238)p cæa th(cid:222) tr›Œng M, k(cid:253) hi(cid:214)u l(cid:181) F M ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a bºi

t =

K [ k=1

Trong ﬁª, v(cid:237)i m(cid:231)i t, F M

l(cid:181) l(cid:222)ch s(cid:246) di(cid:212)n bi(cid:213)n cæa th(cid:222) tr›Œng M cho t(cid:237)i thŒi ﬁi(cid:211)m t.

F M ∀t ≥ 0 F Sk t

1.2.2.5 Gi¶ thuy(cid:213)t th(cid:222) tr›Œng hi(cid:214)u qu¶

ph¨m t(cid:181)i ch(cid:221)nh.

(ii) M(cid:228)i nh(cid:181) ﬁ˙u t› ﬁ(cid:210)u cª c‹ hØi nh› nhau ﬁ(cid:211) ti(cid:213)p c¸n th«ng tin v(cid:210) th(cid:222) tr›Œng. Nªi c‚ch kh‚c, kh«ng cª ai cª c‹ hØi v›(cid:238)t trØi n(cid:190)m b(cid:190)t ﬁ›(cid:238)c th«ng tin v(cid:210) th(cid:222) tr›Œng (gi‚ c¶, ch(cid:221)nh s‚ch...) h‹n nh(cid:247)ng ng›Œi kh‚c.

Hai ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁª ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) hai nguy“n l(cid:253) cæa gi¶ thuy(cid:213)t v(cid:210) th(cid:222) tr›Œng hi(cid:214)u qu¶. Gi¶

thuy(cid:213)t n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c nh(cid:181) kinh t(cid:213) h(cid:228)c M(cid:252) l(cid:181) Eugene Fama ﬁ›a ra n¤m 1965.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.2.7. Gi¶ thuy(cid:213)t th(cid:222) tr›Œng hi(cid:214)u qu¶ l(cid:181) mØt gi¶ thuy(cid:213)t g(cid:229)m hai ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n sau: (i) M(cid:228)i th«ng tin v(cid:210) t(cid:181)i ch(cid:221)nh ﬁ(cid:210)u ﬁ›(cid:238)c ph¶n ‚nh ﬁ˙y ﬁæ trong gi‚ cæa c‚c s¶n

- D„ng y(cid:213)u: Khi th«ng tin v(cid:210) th(cid:222) tr›Œng ch(cid:216) l(cid:181) c‚c th«ng tin qu‚ khł. - D„ng trung b(cid:215)nh: Khi th«ng tin v(cid:210) th(cid:222) tr›Œng l(cid:181) m(cid:228)i th«ng tin c«ng khai. - D„ng m„nh: G(cid:229)m m(cid:228)i th«ng tin cª th(cid:211), ngo(cid:181)i ra, c‚c di(cid:212)n bi(cid:213)n t›‹ng lai v(cid:210) gi‚ s¶n ph¨m t(cid:181)i ch(cid:221)nh ch(cid:216) ph(cid:244) thuØc v(cid:181)o th«ng tin qu‚ khł th«ng qua gi‚ hi(cid:214)n t„i cæa ch(cid:243)ng. Nªi c‚ch kh‚c, khi gi‚ c‚c t(cid:181)i s¶n t(cid:181)i ch(cid:221)nh cª t(cid:221)nh ch˚t Markov.

Ba d„ng th(cid:222) tr›Œng hi(cid:214)u qu¶:

1.2.2.6 MØt sŁ kh‚i ni(cid:214)m c‹ b¶n trong to‚n t(cid:181)i ch(cid:221)nh

sŁ n(cid:181)o ﬁ˚y.

Gi¶ s(cid:246) cª n chłng kho‚n v(cid:237)i gi‚ tr(cid:222) t„i thŒi ﬁi(cid:211)m t l(cid:181) S1(t), ..., Sn(t). MØt ph›‹ng ‚n , αn(t) chłng kho‚n Sn t„i m(cid:231)i

ﬁ˙u t› l(cid:181) mØt c‚ch ch(cid:228)n ra α1(t) chłng kho‚n S1 , ... thŒi ﬁi(cid:211)m t ﬁ(cid:211) ﬁ˙u t›. V¸y gi‚ tr(cid:222) V α(t) cæa ph›‹ng ‚n ˚y t„i thŒi ﬁi(cid:211)m t l(cid:181):

a) Ph›‹ng ‚n ﬁ˙u t› MØt ph›‹ng ‚n ﬁ˙u t› l(cid:181) t(cid:230) h(cid:238)p cæa mØt sŁ h(cid:247)u h„n c‚c chłng kho‚n v(cid:237)i c‚c tr(cid:228)ng

n X i=1

R(cid:226) r(cid:181)ng V α(t) l(cid:181) mØt qu‚ tr(cid:215)nh ng(cid:201)u nhi“n. C‚c αi(t) l(cid:181) c‚c h(cid:181)m sŁ t˚t ﬁ(cid:222)nh cæa t. N(cid:213)u αi(t) > 0 th(cid:215) g(cid:228)i l(cid:181) ph›‹ng ‚n b‚n ﬁŁi v(cid:237)i chłng kho‚n Si, c(cid:223)n n(cid:213)u αi(t) < 0 th(cid:215) g(cid:228)i l(cid:181) ph›‹ng ‚n mua ﬁŁi v(cid:237)i chłng kho‚n Si. Ph›‹ng ‚n ﬁ˙u t› c(cid:223)n ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) danh m(cid:244)c ﬁ˙u t› ho˘c chi(cid:213)n l›(cid:238)c ﬁ˙u t› v(cid:181) ﬁ›(cid:238)c

k(cid:253) hi(cid:214)u l(cid:181) (α, S).

V α(t) = α1(t)S1(t) + ... + αn(t)Sn(t) = αi(t)Si(t)

- T„i mØt thŒi ﬁi(cid:211)m t, ph›‹ng ‚n ﬁ˙u t› cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c c'n ﬁŁi l„i, tłc l(cid:181) ﬁi(cid:210)u ch(cid:216)nh l„i vi(cid:214)c mua v(cid:181) b‚n c‚c chłng kho‚n Si(1 ≤ i ≤ n). §i(cid:210)u ﬁª c(cid:242)ng cª ngh(cid:220)a l(cid:181) thay ﬁ(cid:230)i c‚c tr(cid:228)ng sŁ cæa ch(cid:243)ng tı α1(t), ..., αn(t) sang β1(t), ..., βn(t).

- N(cid:213)u sau khi c'n ﬁŁi l„i m(cid:181) gi‚ tr(cid:222) cæa ph›‹ng ‚n ﬁ˙u t› kh«ng thay ﬁ(cid:230)i th(cid:215) ta

g(cid:228)i sø c'n ﬁŁi l„i ﬁª l(cid:181) sø c'n ﬁŁi tø t(cid:181)i tr(cid:238).

b) C'n ﬁŁi l„i v(cid:181) tø t(cid:181)i tr(cid:238)

1.2.3 C‹ hØi cª ch“nh l(cid:214)ch th(cid:222) gi‚ v(cid:181) nguy“n l(cid:253) AAO

X—t mØt m« h(cid:215)nh th(cid:222) tr›Œng M g(cid:229)m c‚c chłng kho‚n S v(cid:181) mØt h(cid:228) c‚c ph›‹ng ‚n

ﬁ˙u t› tø t(cid:181)i tr(cid:238) Φ.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.2.8. MØt ph›‹ng ‚n ﬁ˙u t› tø t(cid:181)i tr(cid:238) φ ∈ Φ ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt c‹ hØi cª ﬁØ ch“nh th(cid:222) gi‚ n(cid:213)u qu‚ tr(cid:215)nh gi‚ Vt(φ) cæa ph›‹ng ‚n ﬁ˙u t› tho¶ m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n:

(i) P{(V0(φ)=0)} = 1

(ii) (T l(cid:181) thŒi ﬁi(cid:211)m ﬁ‚o h„n cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng) P{(VT (φ)≥0)} = 1

(iii) P{(VT (φ)>0)} > 0

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.2.9. Ta nªi r»ng th(cid:222) tr›Œng M = (S, Φ) l(cid:181) mØt th(cid:222) tr›Œng kh«ng cª c‹ hØi ch“nh th(cid:222) gi‚ n(cid:213)u kh«ng t(cid:229)n t„i mØt ph›‹ng ‚n ﬁ˙u t› tø t(cid:181)i tr(cid:238) n(cid:181)o trong Φ m(cid:181) l(cid:181) cª ﬁØ ch“nh th(cid:222) gi‚.

Gi¶ thi(cid:213)t "Kh«ng cª ﬁØ ch“nh th(cid:222) gi‚" g(cid:228)i l(cid:181) nguy“n l(cid:253) AAO

1.2.4 Nguy“n l(cid:253) ﬁ‚p łng v(cid:181) kh‚i ni(cid:214)m th(cid:222) tr›Œng ﬁ˙y ﬁæ

Chi(cid:213)n l›(cid:238)c ﬁ‚p łng ﬁŁi v(cid:237)i mØt ph‚i sinh cª gi‚ tr(cid:222) ﬁ‚o h„n Xt t„i thŒi ﬁi(cid:211)m ﬁ‚o h„n T l(cid:181) mØt ph›‹ng ‚n ﬁ˙u t› tø t(cid:181)i tr(cid:238) φ sao cho Vt(φ) = Xt. Tłc l(cid:181) sao cho gi‚ tr(cid:222) l(cid:243)c ﬁ‚o h„n cæa ph›‹ng ‚n ﬁ˙u t› ˚y b»ng ﬁ(cid:243)ng v(cid:237)i gi‚ tr(cid:222) ﬁ‚o h„n Xt ﬁ• ﬁ(cid:222)nh tr›(cid:237)c v(cid:181) ﬁ• ghi trong h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng.

Qu‚ tr(cid:215)nh gi‚ Vt(φ) cæa ph›‹ng ‚n ˚y ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) qu‚ tr(cid:215)nh ﬁ‚p łng. K(cid:253) hi(cid:214)u ΦX l(cid:181)

l(cid:237)p t˚t c¶ c‚c ph›‹ng ‚n ﬁ˙u t› φ ﬁ‚p łng cho ph‚i sinh X.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.2.10. Chi(cid:213)n l›(cid:238)c ﬁ‚p łng

MØt t(cid:181)i s¶n ph‚i sinh X ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁ„t ﬁ›(cid:238)c trong th(cid:222) tr›Œng M n(cid:213)u cª (cid:221)t nh˚t mØt

ph›‹ng ‚n ﬁ‚p łng cho nª.

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.2.11. Ph‚i sinh ﬁ„t ﬁ›(cid:238)c trong th(cid:222) tr›Œng M

MØt th(cid:222) tr›Œng M ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁ˙y ﬁæ n(cid:213)u m(cid:228)i t(cid:181)i s¶n ph‚i sinh X ﬁ(cid:210)u ﬁ„t ﬁ›(cid:238)c trong

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 1.2.12. Th(cid:222) tr›Œng ﬁ˙y ﬁæ

1.3 M« h(cid:215)nh Black - Scholes

1.3.1 Gi(cid:237)i thi(cid:214)u m« h(cid:215)nh v(cid:181) k(cid:213)t qu¶

N¤m 1973, trong mØt t„p ch(cid:221) v(cid:210) kinh t(cid:213) ch(cid:221)nh tr(cid:222), hai nh(cid:181) Kinh t(cid:213) ki“m To‚n h(cid:228)c M(cid:252) l(cid:181) Fisher Black v(cid:181) Myron Scholes ﬁ• c«ng bŁ mØt b(cid:181)i b‚o quan tr(cid:228)ng v(cid:210) ﬁ(cid:222)nh gi‚ quy(cid:210)n ch(cid:228)n. Tı ﬁª ra ﬁŒi m« h(cid:215)nh Black - Scholes ﬁ(cid:211) ﬁ(cid:222)nh gi‚ t(cid:181)i s¶n kh«ng ræi ro trong mØt th(cid:222) tr›Œng v(cid:237)i thŒi gian li“n t(cid:244)c. Ngay l¸p tłc, m« h(cid:215)nh ﬁª c(cid:239)ng v(cid:237)i c«ng thłc Black - Scholes n(cid:230)i ti(cid:213)ng r(cid:243)t ra tı m« h(cid:215)nh ﬁª ﬁ• cª mØt t‚c ﬁØng cª t(cid:221)nh ch˚t c‚ch m„ng ﬁ(cid:213)n c‚c

th(cid:222) tr›Œng chłng kho‚n t„i M(cid:252) l(cid:243)c ﬁª. Ng›Œi ta th˚y r(cid:226) sø ﬁ‹n gi¶n m(cid:181) r˚t hi(cid:214)u qu¶ cæa m« h(cid:215)nh n(cid:181)y ﬁ(cid:211) ﬁ(cid:222)nh gi‚ chłng kho‚n v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh gi‚ h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n cª k(cid:211) ﬁ(cid:213)n c‚c y(cid:213)u tŁ ng(cid:201)u nhi“n t‚c ﬁØng l“n th(cid:222) tr›Œng. N¤m 1996, Scholes ﬁ• ﬁ›(cid:238)c nh¸n gi¶i th›ºng Nobel v(cid:210) kinh t(cid:213) (L(cid:243)c ﬁª Black ﬁ• m˚t) nhŒ c‚c c«ng tr(cid:215)nh v(cid:210) t(cid:181)i ch(cid:221)nh v(cid:237)i sø cØng t‚c cæa R.C.Merton, mØt chuy“n gia l•o luy(cid:214)n v(cid:210) t(cid:181)i ch(cid:221)nh t„i vi(cid:214)n c«ng ngh(cid:214) Massachusetts.

G(cid:228)i S = St l(cid:181) gi‚ c(cid:230) phi(cid:213)u t„i thŒi ﬁi(cid:211)m t, v(cid:215) gi‚ c(cid:230) phi(cid:213)u ch(cid:222)u nhi(cid:210)u t‚c ﬁØng ng(cid:201)u nhi“n cæa th(cid:222) tr›Œng, n“n ta coi St l(cid:181) mØt qu‚ tr(cid:215)nh ng(cid:201)u nhi“n v(cid:237)i thŒi gian li“n t(cid:244)c St = S(t,ω).

M« h(cid:215)nh Black - Scholes ﬁ›(cid:238)c m« t¶ bºi ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n ng(cid:201)u nhi“n tuy(cid:213)n t(cid:221)nh

nh› sau:

trong ﬁª µ v(cid:181) σ l(cid:181) nh(cid:247)ng h»ng sŁ, c(cid:223)n B l(cid:181) mØt chuy(cid:211)n ﬁØng Brown. Gi‚ c(cid:230) phi(cid:213)u t„i thŒi ﬁi(cid:211)m t b˚t kœ ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi c«ng thłc:

dS = µSdt + σSdB

X—t mØt quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua ki(cid:211)u Ch'u ¢u v(cid:237)i gi‚ thøc thi l(cid:181) X, thŒi ﬁi(cid:211)m ﬁ‚o h„n T , l•i su˚t kh«ng ræi ro l(cid:181) r v(cid:181) St l(cid:181) gi‚ chłng kho‚n t„i thŒi ﬁi(cid:211)m t ∈ [0, T ]. Khi ﬁª gi‚ V cæa quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua t„i thŒi ﬁi(cid:211)m hi(cid:214)n t„i t ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi c«ng thłc Black - Scholes sau:

(cid:19) t(cid:21) St = S0 exp (cid:20)σBt + (cid:18)µ − σ2 2

trong ﬁª N l(cid:181) k(cid:221) hi(cid:214)u cho h(cid:181)m ph'n phŁi N (0, 1)

x Z

V = StN(d1) − Xe−r(T −t)N(d2)

2 du

−∞

v(cid:181) d1, d2 l(cid:181) hai gi‚ tr(cid:222) cho bºi

e− u2 N(x) = 1 √ 2π

N(cid:213)u ch(cid:228)n thŒi ﬁi(cid:211)m hi(cid:214)n t„i l(cid:181)m thŒi ﬁi(cid:211)m gŁc t = 0 th(cid:215) c«ng thłc Black - Scholes

trº th(cid:181)nh:

√ (cid:20)ln + (cid:18)r + (cid:19) (T − t)(cid:21) d1 = St X σ2 2 1 T − t √ T − t σ d2 = d1 − σ

V = S0N(d1) − Xe−rT N(d2)

trong ﬁª:

x Z

2 du

−∞

e− u2 N(x) = 1 √ 2π

1 √ + (cid:18)r + (cid:19) T (cid:21) d1 = S0 X σ2 2 T (cid:20)ln √ T σ d2 = d1 − σ

1.3.2 C‹ sº d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n m« h(cid:215)nh Black - Scholes

Gi¶ s(cid:246) ta cª mØt th(cid:222) tr›Œng M ho„t ﬁØng li“n t(cid:244)c, cª l•i su˚t kh«ng ﬁ(cid:230)i, kh«ng chia l(cid:238)i tłc cho c(cid:230) ﬁ«ng tr›(cid:237)c khi ﬁ‚o h„n, kh«ng cª chi ph(cid:221) giao d(cid:222)ch, kh«ng trao ﬁ(cid:230)i chłng kho‚n. K(cid:221) hi(cid:214)u St l(cid:181) gi‚ c(cid:230) phi(cid:213)u t„i thŒi ﬁi(cid:211)m t, dSt l(cid:181) l›(cid:238)ng gi‚ c(cid:230) phi(cid:213)u thay ﬁ(cid:230)i trong kho¶ng thŒi gian nhÆ [t, t + dt]. MØt ﬁi(cid:210)u tø nhi“n l(cid:181) ta cª th(cid:211) gi¶ thi(cid:213)t l(cid:181) ﬁØ thay ﬁ(cid:230)i

t›‹ng ﬁŁi v(cid:210) gi‚ l(cid:181)

tß l(cid:214) thu¸n v(cid:237)i ﬁØ d(cid:181)i thŒi gian dt v(cid:237)i mØt h(cid:214) sŁ tß l(cid:214) µ n(cid:181)o ﬁª:

dSt St

Ngo(cid:181)i ra c(cid:223)n ph¶i k(cid:211) ﬁ(cid:213)n t‚c ﬁØng cæa c‚c y(cid:213)u tŁ ng(cid:201)u nhi“n trong th(cid:222) tr›Œng l“n tß l(cid:214) ﬁª n(cid:247)a. C‚c y(cid:213)u tŁ ng(cid:201)u nhi“n ˚y t„o n“n mØt lo„i "nhi(cid:212)u" ng(cid:201)u nhi“n. Nhi(cid:212)u ng(cid:201)u nhi“n ph(cid:230) bi(cid:213)n nh˚t ch(cid:221)nh l(cid:181) nhi(cid:212)u cª ph'n bŁ x‚c su˚t chu¨n, ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) nhi(cid:212)u tr(cid:190)ng Gauss hay ti(cid:213)ng (cid:229)n tr(cid:190)ng Gauss, th(cid:211) hi(cid:214)n qua vi ph'n ng(cid:201)u nhi“n dBt cæa mØt chuy(cid:211)n ﬁØng Brown Bt v(cid:237)i mØt h(cid:214) sŁ tß l(cid:214) σ n(cid:181)o ﬁª. Do ﬁª ta ﬁ˘t:

' µdt dSt St

(3.1) = µdt + σdBt dSt St

µ, σ l(cid:181) c‚c h»ng sŁ. µ c(cid:223)n g(cid:228)i l(cid:181) ﬁØ d(cid:222)ch chuy(cid:211)n gi‚. σ g(cid:228)i l(cid:181) ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng gi‚, σ c(cid:181)ng l(cid:237)n th(cid:215) t‚c ﬁØng ng(cid:201)u nhi“n c(cid:181)ng l(cid:237)n.

X—t ph›‹ng tr(cid:215)nh:

1.3.2.1 Qu‚ tr(cid:215)nh chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c

Ta x—t c‚c h(cid:181)m:

dSt = µStdt + σStdBt

U(t,s) = ln S x‚c ﬁ(cid:222)nh tr“n [0, T ] × R

v(cid:181) Y(t) = U(t,s(t)) = ln S(t)

‚p d(cid:244)ng c«ng thłc Ito ta cª:

dY = Utdt + Usds + 1 2

(t)dt

= 0 + σ2S2 (µStdt + σStdBt) − 1 S Uss(σS(t))2dt 1 2S2 (t)

(cid:19) dt + σdBt = (cid:18)µ − σ2 2

Z Z (cid:19) ds + σdBs (cid:18)µ − Y(t) − Y(0) = σ2 2

(cid:19) t + σBt = (cid:18)µ −

Suy ra:

(cid:19) t + σBt ⇒ ln S(t) − ln S(0) = (cid:18)µ − σ2 2 σ2 2

Qu‚ tr(cid:215)nh S(t) n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) mØt chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c.

(cid:19) t(cid:21) (3.2) St = S0 exp (cid:20)σBt + (cid:18)µ − σ2 2

1.3.3 X‚c ﬁ(cid:222)nh c‚c tham sŁ cæa chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c

B»ng quan s‚t, ta cª th(cid:211) ›(cid:237)c l›(cid:238)ng ﬁ›(cid:238)c c‚c tham sŁ µ v(cid:181) σ cæa chuy(cid:211)n ﬁØng Brown

h(cid:215)nh h(cid:228)c, ﬁi(cid:210)u ﬁª cª ngh(cid:220)a l(cid:181) ta ›(cid:237)c l›(cid:238)ng ﬁ›(cid:238)c gi‚ St cæa c(cid:230) phi(cid:213)u.

Gi¶ s(cid:246) ta ghi nh¸n ﬁ›(cid:238)c mØt sŁ sŁ li(cid:214)u v(cid:210) gi‚ mØt c(cid:230) phi(cid:213)u trong mØt kho¶ng thŒi gian [0, T ], c(cid:244) th(cid:211): Chia kho¶ng [0, T ] th(cid:181)nh n kho¶ng nhÆ ﬁ(cid:210)u nhau cª ﬁØ d(cid:181)i l(cid:181) ∆t, ∆t = ti − ti−1, (i = 1, n) sau ﬁª ta thu th¸p c‚c gi‚ chłng kho‚n t„i thŒi ﬁi(cid:211)m cuŁi ti cæa c‚c kho¶ng nhÆ [ti−1, ti]. Ta ﬁ›(cid:238)c n quan s‚t S1, ..., Sn. Ta thøc hi(cid:214)n theo c‚c b›(cid:237)c sau:

B›(cid:237)c 1: T„o ra mØt d•y sŁ li(cid:214)u: ui = ln(Si) − ln(Si−1), (i = 1, n) ‚p ﬁ(cid:244)ng (3.2) ta ﬁ›(cid:238)c:

V(cid:237)i Bti − Bti−1 l(cid:181) c‚c bi(cid:213)n ng(cid:201)u nhi“n ﬁØc l¸p cª ph'n bŁ chu¨n N(0,∆t).

(cid:19) ∆t (3.3) Ui = σ (cid:0)Bti − Bti−1(cid:1) + (cid:18)µ − σ2 2

B›(cid:237)c 2: T(cid:221)nh kœ v(cid:228)ng v(cid:181) ph›‹ng sai cæa bi(cid:213)n ng(cid:201)u nhi“n U nh¸n c‚c gi‚ tr(cid:222) rŒi r„c

U1, ..., Un theo hai c‚ch:

C‚ch 1: Døa v(cid:181)o d•y sŁ li(cid:214)u thøc t(cid:213):

Ui 1 n U = EU = e

n X i=1 1 n − 1

n X i=1

C‚ch 2: Døa v(cid:181)o bi(cid:211)u thłc (3.3).

S2 = VarU = (Ui − EU )2

(cid:19) ∆t EU = (cid:18)µ − σ2 2

VarU = σ2∆t

B›(cid:237)c 3: Gi¶i c‚c ph›‹ng tr(cid:215)nh sau ﬁ'y ﬁŁi v(cid:237)i µ v(cid:181) σ.

(cid:19) ∆t σ2 2

Ta ﬁ›(cid:238)c:

U = (cid:18)µ − e S2 = σ2∆t

U + S2 2 σ = µ = e v(cid:181) ∆t S √ ∆t

V(cid:221) d(cid:244) 1.3.1. Gi‚ c(cid:230) phi(cid:213)u cæa h•ng m‚y t(cid:221)nh IBM M(cid:252) l(cid:243)c ﬁªng c(cid:246)a trong kho¶ng thŒi gian tı ng(cid:181)y 28/10/1997 ﬁ(cid:213)n ng(cid:181)y 9/12/1997 ﬁ›(cid:238)c thŁng k“ l„i g(cid:229)m 33 sŁ li(cid:214)u nh› sau (t(cid:221)nh theo ﬁ‹n v(cid:222) ﬁ« la M(cid:252)) 99, 375 101, 625 101, 062 101, 938 95, 812 102, 75 98, 25 98, 5 99, 5

97, 688 99, 0 96, 625 99, 125 101, 5 99, 125 101, 5 103, 5 102, 125

103, 062 104, 75 105, 562 103, 125 107, 375 109, 75 109, 75 109, 5

‚p d(cid:244)ng c‚c c«ng thłc tr“n ta t(cid:221)nh ﬁ›(cid:238)c:

115, 562 110, 75 110, 375 109, 25 112, 25 113, 062 110, 375

U = 0, 00264441 e

V(cid:237)i ∆t =

ta ﬁ›(cid:238)c:

S = 0, 020256795

1 365

U + S2 2 = 1, 04 µ = e

∆t S √ σ = = 0, 367 ∆t

Do ﬁª gi‚ c(cid:230) phi(cid:213)u v(cid:181)o b˚t kœ mØt ng(cid:181)y t n(cid:181)o sˇ ﬁ›(cid:238)c ›(cid:237)c l›(cid:238)ng bºi:

(cid:19) t(cid:21) St = S0 exp (cid:20)0, 367Bt + (cid:18)1, 04 − 0, 3672 2

⇒ St = S0 exp(0, 367Bt + 0, 9725t)

1.3.4 C«ng thłc Black - Scholes v(cid:210) gi‚ cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua

Trong m(cid:244)c (2.1.1.1) ﬁ• gi(cid:237)i thi(cid:214)u c«ng thłc Black - Scholes ﬁ(cid:211) ﬁ(cid:222)nh gi‚ V cæa mØt

h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n.

trong ﬁª:

x Z

− e

(3.4) V = S0N(d1) − Xe−rT N(d2)

−∞

u2 2 du N(x) = 1 √ 2π

T• sˇ chłng minh c«ng thłc ﬁª. G(cid:228)i V l(cid:181) gi‚ cæa quy(cid:210)n ch(cid:228)n v(cid:181)o thŒi ﬁi(cid:211)m hi(cid:214)n t„i t = 0. Khi ﬁª V ﬁ›(cid:238)c t(cid:221)nh theo

c«ng thłc:

1 √ (cid:19) T (cid:21) + (cid:18)r + d1 = S0 X σ2 2 T (cid:20)ln √ T σ d2 = d1 − σ

Trong ﬁª:

(3.5) V = e−rT E (cid:2)(ST − X)+(cid:3)

ST l(cid:181) gi‚ chłng kho‚n t„i thŒi ﬁi(cid:211)m ﬁ‚o h„n T

X l(cid:181) gi‚ thøc thi h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng t„i thŒi ﬁi(cid:211)m ﬁ‚o h„n T

Gi¶ s(cid:246) gi‚ chłng kho‚n St tu'n theo m« h(cid:215)nh Black - Scholes th(cid:215) St l(cid:181) gi‚ tr(cid:222) cæa mØt

chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c. Theo (3.2) ta cª

(ST − X)+ = 0 ( ST − X n(cid:213)u n(cid:213)u ST − X ≥ 0 ST − X < 0

V(cid:215) BT l(cid:181) mØt bi(cid:213)n ng(cid:201)u nhi“n v(cid:237)i kœ v(cid:228)ng 0 v(cid:181) ph›‹ng sai T n“n ta cª th(cid:211) ﬁ˘t

(cid:19) T (cid:21) (3.6) ST = S0 exp (cid:20)σBT + (cid:18)r − σ2 2

√ BT = T .Z, trong ﬁª Z ' N (0, 1). Khi ﬁª ST vi(cid:213)t th(cid:181)nh:

√ (cid:19) T (cid:21) T Z + (cid:18)r − (3.7) ST = S0 exp (cid:20)σ σ2 2

Thay (3.7) v(cid:181)o (3.5) ta ﬁ›(cid:238)c

Suy ra:

√ (cid:19) T (cid:19) − X(cid:21) V = e−rT E T Z + (cid:18)r − ((cid:20)S0 exp (cid:18)σ σ2 2

+∞ Z

2 dx

−∞

Ta t(cid:215)m x = a ﬁ(cid:211) cª ﬁ…ng thłc

√ (cid:19) T (cid:19) − X(cid:21) V = T + (cid:18)r − e− x2 (3.8) (cid:20)S0 exp (cid:18)σx σ2 2 e−rT √ 2π

Suy ra:

√ (cid:19) T (cid:21) − X = 0 T + (cid:18)r − S0 exp (cid:20)σa σ2 2

Tı (3.8) v(cid:181) (3.9) ta suy ra:

√

(cid:19) T σ2 2 ln (cid:18) X S0 (cid:19) − (cid:18)r − √ a = (3.9) σ T

σx

T +(r−

+∞ Z

 

2 dx

√

σ2 2 V = − X e− x2 S0e e−rT √ 2π    

σx

T +(r−

+∞ Z

 

2 dx −

2 dx

Ta t(cid:221)nh hai t(cid:221)ch ph'n tr“n.

+∞ Z

−a Z

σ2 2 e− x2 Xe− x2 = e−rT S0e 1 √ 2π 1 √ 2π    

2 dx =

2 du

−∞

−a Z

Xe− x2 Xe− u2 I2 = 1 √ 2π 1 √ 2π

2 du = XΦ(−a)

−∞

e− u2 = X 1 √ 2π

Trong ﬁª Φ(x) =

2 du l(cid:181) h(cid:181)m ph'n phŁi chu¨n.

x R −∞

√

σx

T +(r−

+∞ Z

e− u2 1 √ 2π

2 dx

√

(r−

−σx

+∞ Z

a σ2 2

)T 1 √

σ2 2 e− x2 I1 = S0e 1 √ 2π

T )dx

(r−

e−( x2 = S0e 2π

σ2 2 .J = S0e

√

−σx

T )dx

Trong ﬁª:

+∞ R a √

Ta cª:

√

T )2

− (x−σ 2 e

J = e−( x2 1 √ 2π √ √ T )2 − − T = T + − σx − σx = x2 2 x2 2 σ2T 2 σ2T 2 (x − σ 2 σ2T 2 σ2T

Do ﬁª:

+∞ R a

+∞ Z

σ2T 2

J = 2 dx √ 1 √ 2π §(cid:230)i bi(cid:213)n sŁ b»ng c‚ch ﬁ˘t y = x − σ T ta ﬁ›(cid:238)c:

2 dy

√

a−σ

√

T )

−(a−σ Z

σ2T 2

J = e e− y2 1 √ 2π

2 dy

−∞

= e e− y2 1 √ 2π

x Z

σ2T 2 Φ−(a − σ

2 dy

−∞

√ = e T ) Φ(x) = e− y2 v(cid:237)i 1 √ 2π

V¸y:

√ T ) Suy ra: I1 = S0erT Φ−(a − σ

Theo (3.9) th(cid:215)

V = e−rT (I1 + I2) √ T ) − XΦ(−a)i = e−rT hS0erT Φ−(a − σ √ T )i − Xe−rT Φ(−a) = S0Φh−(a − σ

(cid:19) T ln (cid:18)S0 X σ2 2 (cid:19) + (cid:18)r − √ −a =

§˘t d1 = −a v(cid:181) d2 = −(a − σ

(cid:19) T √ σ ln (cid:18)S0 X σ2 2 T (cid:19) + (cid:18)r + √ T ) = σ T −(a − σ √ T ) th(cid:215)

√ 1 √ (cid:19) + (cid:18)r + (cid:19) T (cid:21) T v(cid:181) d1 = d2 = d1 − σ (cid:20)ln (cid:18) S0 X σ2 2 σ T

V = S0Φd1 − Xe−rT Φd2

2 du th(cid:215)

Ta cª: K(cid:253) hi(cid:214)u: N(x) = Φ(x) =

x R −∞

e− u2 1 √ 2π

1 √ (cid:19) T (cid:21) v(cid:237)i d1 = S0 X σ2 2 V = S0N(d1) − Xe−rT N(d2) + (cid:18)r + (cid:20)ln √ T σ T d2 = d1 − σ

§ª l(cid:181) c«ng thłc Black - Scholes ﬁ(cid:211) ﬁ(cid:222)nh gi‚ V cæa mØt quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua ki(cid:211)u Ch'u

¢u tr“n c‹ sº gi‚ c(cid:230) phi(cid:213)u St tu'n theo m« h(cid:215)nh Black - Scholes .

Ch(cid:243) (cid:253): N(cid:213)u ta l˚y thŒi ﬁi(cid:211)m ban ﬁ˙u l(cid:181) t th(cid:215) gi‚ chłng kho‚n ban ﬁ˙u sˇ l(cid:181) St c(cid:223)n kho¶ng thŒi gian tı l(cid:243)c ﬁ˙u ﬁ(cid:213)n l(cid:243)c ﬁ‚o h„n sˇ l(cid:181) T − t do ﬁª c«ng thłc Black - Scholes khi ﬁª sˇ vi(cid:213)t l(cid:181):

√ (cid:19) (T − t)(cid:21) V = StN(d1) − Xe−r(T −t)N(d2) + (cid:18)r + (cid:20)ln v(cid:237)i d1 = St X σ2 2 1 T − t √ T − t σ d2 = d1 − σ

Ch›‹ng 2

Hi(cid:214)u łng n(cid:244) c›Œi

Gi¶ s(cid:246) r»ng gi‚ c(cid:230) phi(cid:213)u St tu'n theo m« h(cid:215)nh Black-Scholes sau ﬁ'y:

G(cid:228)i Vt l(cid:181) gi‚ cæa quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua ki(cid:211)u Ch'u ¢u v(cid:237)i kho¶n thu nh¸p l(cid:181):

dSt = µStdt + σStdBt, S0 = 1

trong ﬁª X l(cid:181) gi‚ thøc thi v(cid:181)o ng(cid:181)y ﬁ‚o h„n T.

Khi ﬁª VT ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh th«ng qua ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng kh«ng ﬁ(cid:230)i σ, thŒi gian ﬁ‚o h„n T v(cid:181) gi‚ thøc thi X nhŒ c«ng thłc Black - Scholes. Tuy nhi“n, gi¶ thi(cid:213)t σ kh«ng ﬁ(cid:230)i l(cid:181) kh«ng ph(cid:239) h(cid:238)p v(cid:237)i thøc t(cid:213). Qu¶ v¸y, ta cª th(cid:211) quan s‚t gi‚ th(cid:222) tr›Œng hi(cid:214)n t„i cæa quy(cid:210)n ch(cid:228)n ﬁª v(cid:237)i T v(cid:181) X cho tr›(cid:237)c, gi¶ s(cid:246) ta ghi nh¸n ﬁ›(cid:238)c gi‚ ﬁª l(cid:181) V(T,X) c(cid:223)n V(σ,T,X) l(cid:181) gi‚ e cæa quy(cid:210)n ch(cid:228)n t(cid:221)nh bºi c«ng thłc Black - Scholes. Gi‚ tr(cid:222) ˘σ = ˘σ(T,X) t(cid:215)m ﬁ›(cid:238)c tı ph›‹ng tr(cid:215)nh

fT = max(ST − X, 0)

ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n. §˘c tr›ng n(cid:181)y nªi l“n nh(cid:247)ng khuy(cid:213)t ﬁi(cid:211)m cæa m« h(cid:215)nh Black - Scholes ban ﬁ˙u, m(cid:181) nªi theo lŒi cæa Fisher Black, ﬁª l(cid:181) nh(cid:247)ng "l(cid:231) h(cid:230)ng" cæa m« h(cid:215)nh, bºi v(cid:215) tr“n thøc t(cid:213) ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng kh«ng ph¶i l(cid:181) h»ng sŁ.

B»ng thøc nghi(cid:214)m, ng›Œi ta ﬁ• ch(cid:216) ra r»ng:

V(˘σ,T,X) = V(T,X) e

(1) Gi‚ tr(cid:222) cæa ˘σ(T,X) bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i theo T khi X cŁ ﬁ(cid:222)nh. (2) Gi‚ tr(cid:222) cæa ˘σ(T,X) c(cid:242)ng bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i theo X khi T cŁ ﬁ(cid:222)nh, v(cid:181) ˘σ(T,X) l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i

V(cid:215) ˘σ(T,X) l(cid:181) mØt h(cid:181)m l(cid:229)i, ﬁ(cid:229) th(cid:222) quay chi(cid:210)u l(cid:229)i xuŁng d›(cid:237)i, cª h(cid:215)nh d‚ng cæa mØt n(cid:244)

c›Œi; Sø ki(cid:214)n n(cid:181)y do ﬁª ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) hi(cid:214)u łng n(cid:244) c›Œi.

cæa X.

2.1 M« h(cid:215)nh Dupire (1994)

2.1.1 M« h(cid:215)nh

Ta x—t mØt th(cid:222) tr›Œng M ﬁ˙y ﬁæ, kh«ng cª ﬁØ ch“nh th(cid:222) gi‚, v(cid:237)i c‚c t(cid:181)i s¶n c‹ b¶n l(cid:181) c(cid:230) phi(cid:213)u S v(cid:181) t(cid:181)i s¶n vŁn R, trong ﬁª vŁn R n(cid:181)y cª th(cid:211) cho vay ho˘c ﬁi vay v(cid:237)i mØt

l•i xu˚t kh«ng ﬁ(cid:230)i r. T(cid:229)n t„i mØt ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng σ(S,t) l(cid:181) mØt h(cid:181)m tr‹n cæa S v(cid:181) t v(cid:181) mØt chuy(cid:211)n ﬁØng Brown sao cho S tho¶ m•n ph›‹ng tr(cid:215)nh:

Khi ﬁª ta cª c‚c kh…ng ﬁ(cid:222)nh sau:

(1.1) = µtdt + σ(S,t)dB dS S

tr(cid:215)nh ﬁ„o h(cid:181)m ri“ng

(a) H(cid:181)m V(S,t) cæa mØt t(cid:181)i s¶n ph‚i sinh vi(cid:213)t tr“n chłng kho‚n S tho¶ m•n ph›‹ng

+ − rV = 0 + rS (1.2) ∂V ∂t σ2 (S,t) 2 S2 ∂2V ∂S2 ∂V ∂S

m•n ph›‹ng tr(cid:215)nh

(b) V(cid:237)i x‚c su˚t trung t(cid:221)nh Q, t(cid:229)n t„i mØt chuy(cid:211)n ﬁØng Brown B sao cho S tho¶ e

(cª c(cid:239)ng mØt ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng nh› tr›(cid:237)c l(cid:181) σ(S,t))

(1.3) = rdt + σ(S,t)d dS S Bt e

(c) V(cid:237)i x‚c su˚t trung t(cid:221)nh Q, m(cid:228)i t(cid:181)i s¶n ph‚i sinh V b˚t k(cid:215) vi(cid:213)t tr“n chłng kho‚n

S l(cid:181) lŒi gi¶i cæa ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n ng(cid:201)u nhi“n

(1.4) = rdt + σV (S,t)d dV V Bt e

2.1.2 C«ng thłc Dupire

Ta c˙n t(cid:215)m h(cid:181)m sŁ σ(S,t) - tłc l(cid:181) ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng sao cho v(cid:237)i m(cid:228)i thŒi ﬁi(cid:211)m ﬁ‚o h„n T

v(cid:181) v(cid:237)i m(cid:228)i gi‚ tr(cid:222) thøc thi X ta ﬁ(cid:210)u cª

Ta ﬁ›a ra h(cid:181)m ϕ(T,x) x‚c ﬁ(cid:222)nh nh› sau:

(1.5) V0(T,X) = e−rT EQ[max{(ST − X), 0}]

§ª ch(cid:221)nh l(cid:181) h(cid:181)m m¸t ﬁØ x‚c su˚t cæa bi(cid:213)n ng(cid:201)u nhi“n ST x—t d›(cid:237)i x‚c su˚t trung t(cid:221)nh

Q. Do ﬁª

+∞ Z

(1.6) ϕ(T,x) = Q(x≤ST

Tı (1.5) v(cid:181) (1.7) ta ﬁ›(cid:238)c:

+∞ Z

(1.7) EQ[max{(ST − X), 0}] = (x − X)ϕ(T,x)dx

(1.8) erT V0(T,X) = (x − X)ϕ(T,x)dx

§„o h(cid:181)m hai l˙n theo X c¶ hai v(cid:213) cæa (1.8) ta ﬁ›(cid:238)c

H(cid:181)m m¸t ﬁØ ϕ(T,x) cæa mØt qu‚ tr(cid:215)nh ph¶i tho¶ m•n mØt ph›‹ng tr(cid:215)nh Fokker - Planck

(T, x) (1.9) V(T,x) = erT ∂2V0 ∂X 2

(T,x)x2ϕ(T,x)] −

(V(cid:237)i ch(cid:243) (cid:253) r»ng ph›‹ng tr(cid:215)nh n(cid:181)y ch(cid:216) ph(cid:244) thuØc v(cid:181)o c‚c h(cid:214) sŁ khu(cid:213)ch t‚n x‚c ﬁ(cid:222)nh n“n qu‚ tr(cid:215)nh)

Thay ϕ(T,x) trong (1.10) bºi bi(cid:211)u thłc (1.8) cæa nª theo gi‚ th(cid:222) tr›Œng, ta ﬁ›(cid:238)c ph›‹ng

tr(cid:215)nh:

= [σ2 (1.10) [rxϕ(T,x)] ∂ϕ ∂T 1 2 ∂2 ∂x2 ∂ ∂x

(x,T )x2 σ2 2

) + . = 0 − rx ∂2 ∂x2 ( ∂V0(T,x) ∂T ∂2V0(T,x) ∂x2 ∂V0(T,x) ∂x

(x,T )x2 σ2 2

Suy ra:

=⇒ + . = 0 − rx ∂V0(T,x) ∂T ∂2V0(T,x) ∂x2 ∂V0(T,x) ∂x

§ª l(cid:181) c«ng thłc Dupire.

− rx ∂V0(T,x) ∂T (1.11) σ2 (T,x) = . ∂V0(T,x) ∂x x2 2 ∂2V0(T,x) ∂x2

2.1.3 Hi(cid:214)u łng n(cid:244) c›Œi cæa ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ﬁŁi v(cid:237)i c‚c quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua Ch'u

¢u

Trong m(cid:244)c n(cid:181)y, ta gi¶ thi(cid:213)t r»ng ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n σ(T,X) l(cid:181) mØt h(cid:181)m kh¶ vi li“n

t(cid:244)c ﬁ(cid:213)n mØt c˚p c˙n thi(cid:213)t ﬁŁi v(cid:237)i (T, X).

Gi¶ s(cid:246) cª mØt quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua Ch'u ¢u x'y døng tr“n mØt c(cid:230) phi(cid:213)u S cª gi‚ thøc thi l(cid:181) X v(cid:181) cª thŒi ﬁi(cid:211)m ﬁ‚o h„n T . Ta ﬁ• bi(cid:213)t thu ho„ch cæa quy(cid:210)n ch(cid:228)n ﬁª v(cid:181)o l(cid:243)c ﬁ‚o h„n l(cid:181):

2.1.3.1 Tr›Œng h(cid:238)p quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua nh(cid:222) ph'n hay sŁ ho‚

Trong ﬁª ST l(cid:181) gi‚ c(cid:230) phi(cid:213)u l(cid:243)c ﬁ‚o h„n T .

ST − X n(cid:213)u ST ≥ X   (1.12) C(T,X) = max{ST − X, 0} = 0 n(cid:213)u ST < X 

a) Quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua nh(cid:222) ph'n

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a 2.1.1. Quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua nh(cid:222) ph'n (hay sŁ ho‚) l(cid:181) quy(cid:210)n ch(cid:228)n x'y døng tr“n mØt chłng kho‚n S , cª gi‚ thøc thi l(cid:181) X, ﬁ‚o h„n t„i T v(cid:181) cª thu ho„ch cuŁi c(cid:239)ng l(cid:181):

N(cid:213)u xem σ l(cid:181) h»ng sŁ (tłc l(cid:181) ch›a x—t ﬁ(cid:213)n hi(cid:214)u łng n(cid:244) c›Œi) th(cid:215) so s‚nh (1.12) v(cid:181)

(1.13) ta nh¸n th˚y

1 n(cid:213)u ST ≥ X   (1.13) VT = 0 n(cid:213)u ST < X 

Ta x˚p x(cid:216) VT . X—t hi(cid:214)u

(1.14) VT = − ∂C ∂X

Ta cª:

πT = C(T,X−∆X) − C(T,X+∆X)

πT = [C(T,X−∆X) − C(T,X)] + [C(T,X) − C(T,X+∆X)]

∆X − ∆X + ◦(∆X) ⇒ πT = − ∂C ∂X ∂C ∂X

K(cid:213)t h(cid:238)p v(cid:237)i (1.14) ta ﬁ›(cid:238)c

⇒ − = − − ◦(∆X) ∂C ∂X πT 2∆X

Khi cª t‚c d(cid:244)ng cæa n(cid:244) c›Œi, tłc l(cid:181) cª ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n σ = σ(T,X) bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i ph(cid:244)

thuØc v(cid:181)o (T, X) th(cid:215) h(cid:181)m C(T,X) sˇ trº th(cid:181)nh C(σ(T,X),T,X) v(cid:181) hi(cid:214)u πT sˇ trº th(cid:181)nh:

VT = lim ∆X→0 πT 2∆X

trong ﬁª c‚c ﬁ„o h(cid:181)m ri“ng l˚y gi‚ tr(cid:222) t„i (σ(T,X), T, X).

Suy ra:

− (cid:19) 2∆X + ◦(∆X) . ∂C ∂X ∂C ∂σ ∂σ ∂X πT = (cid:18)− e

K(cid:221) hi(cid:214)u:

= − (T, X) − . (T, X) (1.15) πT ∆X→0 e 2∆X ∂C ∂X ∂C ∂σ ∂σ ∂X VT = lim e

Tı (1.15) v(cid:181) (1.14) ta cª h(cid:214) thłc gi(cid:247)a c‚c thu ho„ch khi cª x—t ﬁ(cid:213)n hi(cid:214)u łng n(cid:244) c›Œi

v(cid:181) khi kh«ng x—t ﬁ(cid:213)n hi(cid:214)u łng n(cid:244) c›Œi cæa quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua nh(cid:222) ph'n:

(T, X) bºi ν(T,X) ∂C ∂σ

(T, X) (1.16) ∂σ ∂X VT = VT − ν(T,X) e

X—t mØt quy(cid:210)n ch(cid:228)n nh(cid:222) ph'n ﬁ‚o h„n t„i T v(cid:181) cª thu ho„ch cuŁi c(cid:239)ng cª d„ng:

b) Quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua nh(cid:222) ph'n ﬁ›(cid:238)c ﬁ‚p łng

Quy(cid:210)n ch(cid:228)n n(cid:181)y cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c ﬁ‚p łng bºi mØt ph›‹ng ‚n ﬁ˙u t› g(cid:229)m vi(cid:214)c mua mØt quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua nh(cid:222) ph'n cª gi‚ thøc thi l(cid:181) K1 thŒi gian ﬁ‚o h„n T v(cid:181) vi(cid:214)c b‚n mØt quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua nh(cid:222) ph'n cª gi‚ thøc thi l(cid:181) K2 ﬁ‚o h„n t„i T .

G(cid:228)i QT l(cid:181) gi‚ cæa quy(cid:210)n ch(cid:228)n ﬁª l(cid:243)c ﬁ‚o h„n. Ta cª:

1 n(cid:213)u K1 < ST ≤ K2   VT = e 0 n(cid:213)u ST 6∈ (K1, K2] 

T − V (2)

T + ν(T,K2)

łng v(cid:237)i gi‚ thøc thi K1, ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng σ(T,X1) łng v(cid:237)i gi‚ thøc thi K2, ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng σ(T,X2)

Trong ﬁª: V (1) T V (2) T

V(cid:237)i X2 = X1 + ∆X, ta ﬁ›(cid:238)c gi‚ d

(T, X1) (T, X2) − ν(T,K1) ∂σ ∂X ∂σ ∂X QT = V (1) e

QT (X1) nh› sau: e

(T, X1)) − (T, X1)(cid:21) dX (ν(T,X1) (X1, σ(T,X1)) − (X1, σ(T,X1)). ∂σ ∂X ∂VT ∂X ∂VT ∂σ ∂σ ∂X QT = (cid:20) ∂ d ∂X e

(1.17) Ch(cid:243) (cid:253): C‚c c«ng thłc (1.16) v(cid:181) (1.17) l(cid:181) t(cid:221)nh cho c‚c gi‚ tr(cid:222) t„i thŒi ﬁi(cid:211)m ﬁ‚o h„n T . Sau khi hi(cid:214)n t„i ho‚ v(cid:210) thŒi ﬁi(cid:211)m hi(cid:214)n t„i t ∈ [0, T ] th(cid:215) ta v(cid:201)n cª c‚c c«ng thłc ﬁª v(cid:237)i VT thay b»ng Vτ v(cid:181) QT thay b»ng Qτ, trong ﬁª τ = T − t.

Gi¶ s(cid:246) thu ho„ch cæa quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua Ch'u ¢u l(cid:181) f(ST ). Khi ﬁª, n(cid:213)u ta k(cid:221) hi(cid:214)u

2.1.3.2 Tr›Œng h(cid:238)p t(cid:230)ng qu‚t cæa mØt quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua Ch'u ¢u

gi‚ cæa quy(cid:210)n ch(cid:228)n ﬁª (cª x—t ﬁ(cid:213)n hi(cid:214)u łng n(cid:244) c›Œi) th(cid:215) ta sˇ cª:

∞ Z

Pt l(cid:181) e

trong ﬁª dQt ﬁ›(cid:238)c t(cid:221)nh theo (1.17) v(cid:237)i QT thay b»ng Qt v(cid:181) VT thay b»ng Vt

Nh› v¸y ta ﬁ›(cid:238)c:

∞ Z

f(x)dQt(x) Pt = e

(cid:20)− (x, σ(T, x)) − (x, σ(T, x)) (T, x) + (ν(T,x) (T, x))(cid:21) f(x)dx ∂Vt ∂X ∂ξ ∂X ∂ ∂X ∂σ ∂X ∂Vt ∂σ Pt = e

2.1.4 C‚c v˚n ﬁ(cid:210) g˘p ph¶i khi thøc h(cid:181)nh v(cid:181) h›(cid:237)ng gi¶i quy(cid:213)t.

Ta th˚y º m« h(cid:215)nh Black - Scholes, gi‚ tr(cid:222) (kh«ng ræi ro) cæa quy(cid:210)n ch(cid:228)n ki(cid:211)u ch'u ¢u ch(cid:216) ph(cid:244) thuØc v(cid:181)o ph'n phŁi x‚c su˚t kœ v(cid:228)ng cæa t(cid:181)i s¶n c‹ sº t„i thŒi ﬁi(cid:211)m ﬁ‚o h„n cæa quy(cid:210)n ch(cid:228)n. V(cid:237)i c‚c gi¶ thi(cid:213)t cæa m« h(cid:215)nh Black-Scholes, t(cid:181)i s¶n sˇ cª ph'n phŁi loga chu¨n t„i thŒi ﬁi(cid:211)m b˚t kœ trong t›‹ng lai. Trong khi ﬁª, n(cid:244) c›Œi ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng sˇ cung c˚p c‚c th«ng tin cho bi(cid:213)t sø kh‚c nhau gi(cid:247)a ph'n phŁi x‚c su˚t kœ v(cid:228)ng v(cid:237)i ph'n phŁi loga chu¨n. Tuy nª kh«ng chła ﬁæ th«ng tin ﬁ(cid:211) x‚c ﬁ(cid:222)nh duy nh˚t qu‚ tr(cid:215)nh m(cid:181) ph'n phŁi kh«ng loga chu¨n n(cid:181)y n¶y sinh, nh›ng n(cid:213)u gi¶ thi(cid:213)t c‚c ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ﬁ(cid:222)a ph›‹ng tłc thŒi l(cid:181) c‚c h(cid:181)m t˚t ﬁ(cid:222)nh thu˙n t(cid:243)y cæa gi‚ tr(cid:222) t(cid:181)i s¶n v(cid:181) thŒi gian th(cid:215) h(cid:181)m n(cid:181)y cª th(cid:211) x‚c ﬁ(cid:222)nh duy nh˚t tı n(cid:244) c›Œi ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng.

Tuy nhi“n, cª r˚t nhi(cid:210)u khª kh¤n ph¶i ﬁŁi m˘t khi thøc hi(cid:214)n m« h(cid:215)nh v(cid:237)i ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ﬁ(cid:222)a ph›‹ng cho bºi c«ng thłc Dupire. V˚n ﬁ(cid:210) ﬁ˙u ti“n l(cid:181) ch(cid:243)ng ta ﬁ• gi¶ thi(cid:213)t t˚t c¶ c‚c gi‚ quy(cid:210)n ch(cid:228)n (tłc l(cid:181) t˚t c¶ c‚c ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n) ﬁ• s‰n cª (gi‚ thøc thi b˚t kœ, k(cid:215) h„n b˚t kœ). Tr“n thøc t(cid:213) ch(cid:216) cª mØt v(cid:181)i gi‚ thøc thi v(cid:181) kœ h„n ﬁ›(cid:238)c ni“m y(cid:213)t. §i(cid:210)u n(cid:181)y buØc ch(cid:243)ng ta ph¶i tr¶i qua qu‚ tr(cid:215)nh gian kh(cid:230) khi nØi suy c‚c ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n trong kœ h„n v(cid:181) gi‚ thøc thi. H‹n n(cid:247)a, ta kh«ng th(cid:211) ch(cid:228)n ph›‹ng ph‚p nØi suy b˚t kœ (ch…ng h„n ph›‹ng ph‚p chia kho¶ng h»ng sŁ) do nh(cid:247)ng r(cid:181)ng buØc ch(cid:221)nh t(cid:190)c cæa ph›‹ng ph‚p, v(cid:215) ta ph¶i vi ph'n nª ﬁ(cid:211) thu ﬁ›(cid:238)c ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ﬁ(cid:222)a ph›‹ng.

V(cid:237)i c‚c ph›‹ng ph‚p nØi suy tr‹n c(cid:242)ng kh«ng ph¶i l(cid:181) kh«ng cª v˚n ﬁ(cid:210). Ch…ng h„n nØi suy b»ng h(cid:181)m Spline sˇ d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n m˘t ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n cª ﬁØ ch“nh th(cid:222) gi‚ (m˘c d(cid:239) ﬁ˙u v(cid:181)o ban ﬁ˙u kh«ng cª ﬁØ ch“nh th(cid:222) gi‚) do giao ﬁØng r˚t nhÆ m(cid:181) ch(cid:243)ng t„o ra trong mØt sŁ tr›Œng h(cid:238)p. §i(cid:210)u n(cid:181)y ch(cid:190)c ch(cid:190)n sˇ khi(cid:213)n ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ﬁ(cid:222)a ph›‹ng kh«ng th(cid:211) t(cid:221)nh to‚n v(cid:181) l(cid:181)m cho to(cid:181)n bØ m« h(cid:215)nh b(cid:222) n(cid:230).

M˘c d(cid:239) v¸y, v(cid:237)i nh(cid:247)ng y“u c˙u th˚p h‹n (ch…ng h„n cª mØt sø ph(cid:239) h(cid:238)p tŁt nh˚t chł kh«ng ph¶i l(cid:181) ph(cid:239) h(cid:238)p ch(cid:221)nh x‚c v(cid:237)i c‚c ﬁi(cid:211)m ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n th(cid:222) tr›Œng ﬁ˙u v(cid:181)o) th(cid:215) m« h(cid:215)nh n(cid:181)y l(cid:181)m vi(cid:214)c r˚t hi(cid:214)u qu¶. * H›(cid:237)ng gi¶i quy(cid:213)t:

§(cid:211) gi¶i quy(cid:213)t v˚n ﬁ(cid:210) tr“n ta cª th(cid:211) d(cid:239)ng ph›‹ng ph‚p gi¶i t(cid:221)ch sŁ. Gi‚ quy(cid:210)n ch(cid:228)n Ch'u ¢u sˇ ﬁ›(cid:238)c t(cid:221)nh v(cid:181) so s‚nh v(cid:237)i gi‚ th(cid:222) tr›Œng, k(cid:213)t h(cid:238)p v(cid:237)i mØt thu¸t to‚n tŁi thi(cid:211)u ho‚ sˇ cho ph—p ch(cid:243)ng ta ﬁi(cid:210)u ch(cid:216)nh σ(S,t) cho ph(cid:239) h(cid:238)p v(cid:237)i th(cid:222) tr›Œng. Tuy nhi“n ph›‹ng ph‚p n(cid:181)y sˇ r˚t ch¸m v(cid:215) ph¶i ﬁ(cid:222)nh gi‚ cho m(cid:231)i quy(cid:210)n ch(cid:228)n th(cid:181)nh ph˙n. MØt c«ng c(cid:244) h(cid:231) tr(cid:238) tŁt cho h›(cid:237)ng n(cid:181)y l(cid:181) ph›‹ng ph‚p ph›‹ng tr(cid:215)nh ﬁ„o h(cid:181)m ri“ng (PDE).

MØt h›(cid:237)ng ti(cid:213)p c¸n kh‚c l(cid:181) kh«ng quan t'm ﬁ(cid:213)n c«ng thłc Dupire m(cid:181) trøc ti(cid:213)p ch(cid:216) ra d„ng phi(cid:213)m h(cid:181)m cæa ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ﬁ(cid:222)a ph›‹ng. Theo c‚ch n(cid:181)y ch(cid:243)ng ta sˇ ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n tŁt h‹n c‚c gi¶ thi(cid:213)t cæa m« h(cid:215)nh. Ch…ng h„n cª th(cid:211) s(cid:246) d(cid:244)ng mØt h(cid:181)m song tuy(cid:213)n t(cid:221)nh tıng kh(cid:243)c ﬁ‹n gi¶n ﬁ(cid:211) nØi suy t„i m(cid:231)i giai ﬁo„n thŒi gian (ﬁŁi v(cid:237)i nØi suy theo thŒi gian).

2.2 MØt sŁ h›(cid:237)ng ti(cid:213)p c¸n ch(cid:221)nh ﬁ• ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu

R˚t nhi(cid:210)u nh(cid:181) nghi“n cłu ﬁ• cŁ g(cid:190)ng ﬁ˘t b(cid:181)i to‚n ph(cid:239) h(cid:238)p tŁt, ch(cid:221)nh x‚c ﬁ(cid:213)n młc cª th(cid:211), v(cid:237)i d(cid:247) li(cid:214)u v(cid:210) quy(cid:210)n ch(cid:228)n, ch(cid:243)ng ta sˇ t(cid:230)ng k(cid:213)t ng(cid:190)n g(cid:228)n l„i nh(cid:247)ng h›(cid:237)ng ti(cid:213)p c¸n ch(cid:221)nh. Tuy m(cid:231)i c‚ch l(cid:181)m ﬁ(cid:210)u ﬁ›(cid:238)c ph‚t tri(cid:211)n trong nh(cid:247)ng t(cid:215)nh huŁng c(cid:244) th(cid:211) ‚p d(cid:244)ng cho t(cid:181)i s¶n c‹ sº nªi chung, v(cid:181) cho l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c nªi ri“ng.

H›(cid:237)ng ti(cid:213)p c¸n ﬁ˙u ti“n ta ﬁ• nh(cid:190)c ﬁ(cid:213)n º tr“n døa tr“n gi¶ thi(cid:213)t v(cid:210) t(cid:221)nh kh«ng ﬁ(cid:213)m ﬁ›(cid:238)c cæa c‚c gi‚ trao ﬁ(cid:230)i hi(cid:214)n h(cid:181)nh. C‚ch n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu bºi Breeden v(cid:181) Litzen- berger (1978), sau ﬁª l(cid:181) Dupire(1994,1997), Derman v(cid:181) Kani(1994,1998). H(cid:228) ﬁ• ﬁ›a ra ﬁ›(cid:238)c bi(cid:211)u thłc hi(cid:211)n cho ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng Black - Scholes nh› l(cid:181) mØt h(cid:181)m cæa gi‚ thøc thi v(cid:181) kœ h„n. H›(cid:237)ng ti(cid:210)p c¸n n(cid:181)y cª h„n ch(cid:213) c‹ b¶n l(cid:181) ch(cid:243)ng ta ph¶i nØi suy tr‹n c‚c gi‚ quy(cid:210)n ch(cid:228)n gi(cid:247)a c‚c gi‚ thøc thi li“n ti(cid:213)p ﬁ(cid:211) cª th(cid:211) l˚y vi ph'n c˚p hai theo gi‚ thøc thi. H›(cid:237)ng ti(cid:213)p c¸n thł hai døa tr“n gi¶ thi(cid:213)t v(cid:210) m« h(cid:215)nh hi(cid:211)n thay th(cid:213) ﬁŁi v(cid:237)i qu‚ tr(cid:215)nh gi‚ t(cid:181)i s¶n, v(cid:181) ngay l¸p tłc d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n hi(cid:214)u łng n(cid:244) c›Œi hay ﬁØ l(cid:214)ch ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng. Nªi chung c‚ch n(cid:181)y kh«ng ﬁæ linh ho„t ﬁ(cid:211) ‚p d(cid:244)ng tŁt cho to(cid:181)n bØ m˘t ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng. MØt v(cid:221) d(cid:244) l(cid:181) qu‚ tr(cid:215)nh co d•n h»ng sŁ cæa ph›‹ng sai (CEV) ﬁ›(cid:238)c ph'n t(cid:221)ch bºi Cox (1975) v(cid:181) Cox & Ross (1976), v(cid:237)i c‚c ‚p d(cid:244)ng li“n quan v(cid:181)o m« h(cid:215)nh FLM ﬁ• ﬁ›(cid:238)c xem x—t bºi Andersen v(cid:181) Andreasen(2000). L(cid:237)p t(cid:230)ng qu‚t c‚c qu‚ tr(cid:215)nh nh› v¸y ﬁ›(cid:238)c Carr tr(cid:215)nh b(cid:181)y (1999).

H›(cid:237)ng t(cid:213)p c¸n thł ba, ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu bºi Rubinstein(1994), Jackwerth v(cid:181) Rubin- stein(1996), Britten - Jones v(cid:181) Neubeger(2000), g(cid:229)m vi(cid:214)c t(cid:215)m c‚c x‚c su˚t kh«ng ræi ro trong mØt m« h(cid:215)nh tam thłc/nh(cid:222) thłc cæa gi‚ t(cid:181)i s¶n, v(cid:181) d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n sø ph(cid:239) h(cid:238)p tŁt nh˚t cæa gi‚ quy(cid:210)n ch(cid:228)n theo ti“u chu¨n tr‹n (m(cid:222)n) n(cid:181)o ﬁª.

Ngo(cid:181)i ra ta c(cid:223)n cª h›(cid:237)ng ti(cid:213)p c¸n th(cid:222) tr›Œng kh«ng ﬁ˙y ﬁæ. Nª bao g(cid:229)m c‚c m« h(cid:215)nh ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ng(cid:201)u nhi“n, nh› m« h(cid:215)nh cæa Hull v(cid:181) White (1987), Heston (1993) v(cid:181) Tompkins(2000a,2000b), v(cid:181) m« h(cid:215)nh khu(cid:213)ch t‚n nh¶y, nh› m« h(cid:215)nh cæa Merton(1976) hay Prigent, Renault v(cid:181) Scaillet (2001). Khi x—t ﬁ(cid:213)n m« h(cid:215)nh FLM ch(cid:243)ng ta ph¶i nh(cid:190)c ﬁ(cid:213)n nh(cid:247)ng ﬁªng gªp g˙n ﬁ'y cæa Balland,P v(cid:181) Hughston L.P (2000), nh(cid:247)ng ng›Œi ﬁ• mº rØng l(cid:237)p c‚c ph'n phŁi cæa l•i su˚t LIBOR v(cid:181) Rebonato(2001) l(cid:181) ng›Œi ﬁ• x—t ﬁ(cid:213)n ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ng(cid:201)u nhi“n.

H›(cid:237)ng ti(cid:213)p c¸n cuŁi c(cid:239)ng døa tr“n c‚i g(cid:228)i l(cid:181) m« h(cid:215)nh th(cid:222) tr›Œng ﬁŁi v(cid:237)i ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n. C‚c v(cid:221) d(cid:244) ﬁ˙u ti“n l(cid:181) trong Schonbucher (1999), v(cid:181) Ledoit v(cid:181) Santa Clara (1998). łng d(cid:244)ng hi(cid:214)n nay v(cid:181)o tr›Œng h(cid:238)p FLM l(cid:181) theo Brace(2001).

Nªi chung, b(cid:181)i to‚n t(cid:215)m ph'n phŁi kh«ng ræi ro ﬁ(cid:211) ﬁ(cid:222)nh gi‚ nh˚t qu‚n cho t˚t c¶ c‚c quy(cid:210)n ch(cid:228)n gi›Œng nh› cª nhi(cid:210)u ﬁi(cid:211)m kh«ng x‚c ﬁ(cid:222)nh. MØt lŒi gi¶i cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c ﬁ›a ra n(cid:213)u cª gi¶ thi(cid:213)t v(cid:210) sø ph(cid:244) thuØc ph'n phŁi kh«ng ræi ro cª tham sŁ c(cid:244) th(cid:211) v(cid:237)i mØt sŁ tham sŁ, ch…ng h„n ph(cid:244) thuØc thŒi gian, v(cid:181) khi ﬁª ta s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c tham sŁ n(cid:181)y cho ph(cid:239)

h(cid:238)p v(cid:237)i ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng. B»ng c‚ch ‚p d(cid:244)ng c‚ch t›(cid:238)ng tø nh› cæa Dupire(1994,1997), ta ﬁ˘t b(cid:181)i to‚n n(cid:181)y v(cid:181) t(cid:215)m l(cid:237)p m« h(cid:215)nh ﬁ˙u ti“n d(cid:201)n t(cid:237)i ph'n phŁi kh«ng ræi ro cª tham sŁ ﬁæ linh ho„t cho m(cid:244)c ﬁ(cid:221)ch thøc h(cid:181)nh. Khi ﬁª sˇ t„o ra c‚c qu‚ tr(cid:215)nh li“n k(cid:213)t gi(cid:247)a h›(cid:237)ng ti(cid:213)p c¸n ph'n phŁi kh«ng ræi ro cª tham sŁ v(cid:181) h›(cid:237)ng ti(cid:213)p c¸n m« h(cid:215)nh thay th(cid:213), v(cid:181) d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n m« h(cid:215)nh hi(cid:211)n v(cid:237)i c‚c m¸t ﬁØ kh«ng ræi ro cª tham sŁ linh ho„t.

Khª kh¤n ch(cid:221)nh m(cid:181) c‚c m« h(cid:215)nh trong l(cid:237)p n(cid:181)y ph¶i ﬁŁi di(cid:214)n l(cid:181) vi(cid:214)c ﬁ›a ra mØt ph'n phŁi (ﬁØ ﬁo t›‹ng łng) ﬁ(cid:211) cª ﬁ›(cid:238)c c«ng thłc gi¶i t(cid:221)ch cho c‚c h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua. Tuy nhi“n, vi(cid:214)c v¸n d(cid:244)ng m« h(cid:215)nh cho ph(cid:239) h(cid:238)p v(cid:237)i d(cid:247) li(cid:214)u th(cid:222) tr›Œng l(cid:181) tø nhi“n v(cid:181) nh› v¸y vi(cid:214)c t(cid:221)nh to‚n sˇ thu¸n l(cid:238)i nhi(cid:210)u.

Ch›‹ng 3

§(cid:222)nh gi‚ v(cid:237)i n(cid:244) c›Œi trong m« h(cid:215)nh

th(cid:222) tr›Œng LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c

T(cid:221)nh d(cid:212) x(cid:246) l(cid:221) b»ng gi¶i t(cid:221)ch th›Œng l(cid:181) mØt t(cid:221)nh ch˚t quan tr(cid:228)ng ﬁŁi v(cid:237)i m« h(cid:215)nh t(cid:181)i ch(cid:221)nh. Nªi chung, n(cid:213)u ph¶i ‚p d(cid:244)ng c‚c ph›‹ng ph‚p sŁ v(cid:181)o d(cid:247) li(cid:214)u th(cid:222) tr›Œng th›Œng r˚t c(cid:229)ng k(cid:210)nh v(cid:181) tŁn nhi(cid:210)u thŒi gian. §'y cª th(cid:211) l(cid:181) h„n ch(cid:213) nghi“m tr(cid:228)ng ﬁŁi v(cid:237)i ng›Œi kinh doanh v(cid:215) h(cid:228) ph¶i ﬁ(cid:222)nh gi‚ mØt h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng m(cid:237)i hay mØt h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng c(cid:242) th¸m ch(cid:221) ﬁ(cid:222)nh gi‚ l„i to(cid:181)n bØ s(cid:230) s‚ch. Do ﬁª trong thøc h(cid:181)nh, cª c«ng thłc d„ng ﬁªng ﬁŁi v(cid:237)i c‚c quy(cid:210)n ch(cid:228)n ﬁ›(cid:238)c coi l(cid:181) cª kh¶ n¤ng ‚p d(cid:244)ng v(cid:181)o m« h(cid:215)nh ﬁang x—t mØt c‚ch c(cid:244) th(cid:211). §'y l(cid:181) l(cid:253) do v(cid:215) sao ta ph¶i nghi“n cłu c‚c m« h(cid:215)nh d(cid:212) x(cid:246) l(cid:253) gi¶i t(cid:221)ch.

H‹n n(cid:247)a c«ng thłc hi(cid:211)n ﬁŁi v(cid:237)i quy(cid:210)n ch(cid:228)n ph¶i k(cid:213)t h(cid:238)p v(cid:237)i t(cid:221)nh ph(cid:239) h(cid:238)p tŁt v(cid:237)i d(cid:247) li(cid:214)u th(cid:222) tr›Œng. Nh(cid:181) kinh doanh th(cid:221)ch c‚c m« h(cid:215)nh cª th(cid:211) t‚i l¸p v(cid:237)i t(cid:221)nh ph(cid:239) h(cid:238)p tŁt v(cid:237)i d(cid:247) li(cid:214)u th(cid:222) tr›Œng cæa h(cid:228). Tuy nhi“n t(cid:221)nh ch˚t ph(cid:239) h(cid:238)p c(cid:242)ng cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c x—t mØt c‚ch k—m trøc ti(cid:213)p h‹n b»ng c‚ch ki(cid:211)m tra sø bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i cæa c˚u tr(cid:243)c ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n th(cid:221)ch h(cid:238)p trong t›‹ng lai. Thøc ra, c‚c d„ng b˚t th›Œng ﬁŁi v(cid:237)i ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng t›‹ng lai cª t‚c ﬁØng m„nh t(cid:237)i vi(cid:214)c ﬁ(cid:222)nh gi‚ v(cid:181) ﬁ˘c bi(cid:214)t l(cid:181) b¶o hØ cæa ph‚i sinh l•i su˚t.

B(cid:213)n ﬁØng trong t›‹ng lai cæa ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n ch(cid:216) ki(cid:211)m tra nhanh ﬁ›(cid:238)c khi cª sø cª m˘t cæa gi‚ quy(cid:210)n ch(cid:228)n t›(cid:238)ng lai hi(cid:211)n, gi‚ n(cid:181)y cª li“n quan trøc ti(cid:213)p v(cid:237)i kh¶ n¤ng bi(cid:211)u di(cid:212)n gi¶i t(cid:221)ch cæa m¸t ﬁØ chuy(cid:211)n cæa qu‚ tr(cid:215)nh l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c.

Trong ch›‹ng n(cid:181)y ta x'y døng mØt l(cid:237)p khu(cid:213)ch t‚n ﬁ(cid:211) l¸p m« h(cid:215)nh l•i su˚t LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c d›(cid:237)i c‚c ﬁØ ﬁo ch(cid:221)nh t(cid:190)c cæa ch(cid:243)ng, døa tr“n gi¶ thi(cid:213)t v(cid:210) mØt sø ph(cid:244) thuØc h(cid:181)m tr‹n t„i thŒi ﬁi(cid:211)m ﬁ‚o h„n gi(cid:247)a l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c v(cid:181) mØt chuy(cid:211)n ﬁØng Brown k(cid:213)t h(cid:238)p. Ta sˇ x'y døng trong l(cid:237)p n(cid:181)y mØt m« h(cid:215)nh cª th(cid:211) ph(cid:239) h(cid:238)p mØt c‚ch g˙n nh› ch(cid:221)nh x‚c v(cid:237)i c‚c ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng th(cid:222) tr›Œng cho º ﬁ˙u v(cid:181)o.

3.1 B(cid:181)i to‚n n(cid:244) c›Œi trong m« h(cid:215)nh th(cid:222) tr›Œng LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c

Tr›(cid:237)c ti“n, ta c˙n hi(cid:211)u LIBOR l(cid:181) mØt ch(cid:216) sŁ ﬁ˘c bi(cid:214)t v(cid:210) l•i su˚t ti(cid:210)n g(cid:246)i, k(cid:253) hi(cid:214)u t(cid:190)t cæa London Inter-Bank Offer Rate, ﬁª ch(cid:221)nh l(cid:181) l•i su˚t trung b(cid:215)nh cæa th(cid:222) tr›Œng ti(cid:210)n g(cid:246)i li“n ng'n h(cid:181)ng London (Xem th“m ph˙n ph(cid:244) l(cid:244)c). Ta ﬁ• bi(cid:213)t r»ng c«ng thłc Black (xem trong Black 1976) cho mØt h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua tr“n l•i su˚t LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t

tr›(cid:237)c (g(cid:228)i t(cid:190)t l(cid:181) mØt h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua) ﬁ• trº th(cid:181)nh ti“u chu'n s(cid:246) d(cid:244)ng trong th(cid:222) tr›Œng ni“m y(cid:213)t gi‚ tr˙n. C«ng thłc n(cid:181)y nh˚t qu‚n v(cid:237)i m« h(cid:215)nh th(cid:222) tr›Œng LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c "forward LIBOR model (FLM)" loga chu¨n, trong ﬁª nª ﬁ›(cid:238)c coi nh› gi‚ tr(cid:222) kœ v(cid:228)ng cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n thanh to‚n chi(cid:213)t kh˚u d›(cid:237)i ﬁØ ﬁo li“n k(cid:213)t, khi m« h(cid:215)nh l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c ﬁ›(cid:238)c cho bºi FLM.

X—t gi‚ t„i thŒi ﬁi(cid:211)m 0 cæa mØt h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n cª thŒi ﬁi(cid:211)m ﬁ‚o h„n l(cid:181) T2 v(cid:181) thŒi ﬁi(cid:211)m khºi t„o l(cid:181) T1 (0 < T1 < T2) v(cid:237)i gi‚ tr(cid:222) thøc thi K. K(cid:221) hi(cid:214)u τ l(cid:181) tß l(cid:214) theo n¤m gi(cid:247)a T1 v(cid:181) T2. T„i thŒi ﬁi(cid:211)m T2, h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng n(cid:181)y ph¶i tr¶ mØt l›(cid:238)ng

º ﬁ'y F (t, S, T ) k(cid:253) hi(cid:214)u l•i su˚t LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c t„i thŒi ﬁi(cid:211)m t, tı thŒi ﬁi(cid:211)m S ﬁ(cid:213)n kœ h„n T , tłc l(cid:181)

τ (F (T1; T1, T2) − K)+

V(cid:237)i τ (S, T ) l(cid:181) tß l(cid:214) n¤m gi(cid:247)a S v(cid:181) T . P (t, s) l(cid:181) th(cid:181)nh ph˙n chi(cid:213)t kh˚u t„i thŒi ﬁi(cid:211)m t

ﬁŁi v(cid:237)i kœ h„n s.

L(cid:253) lu¸n kh«ng cª ﬁØ ch“nh th(cid:222) gi‚ cho ta gi‚ tr(cid:222) t„i thŒi ﬁi(cid:211)m 0 cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng l(cid:181):

− 1(cid:21) F (t; S, T ) = 1 τ (S, T ) (cid:20) P (t, S) P (t, T )

Gi¶ s(cid:246) m« h(cid:215)nh ﬁŁi v(cid:237)i F º tr“n l(cid:181) FLM loga chu¨n:

(E2 l(cid:181) kœ v(cid:228)ng theo ﬁØ ﬁo Q2) P (0, T2)τ E2[(F (T1; T1, T2) − K)+]

º ﬁ'y σ2 l(cid:181) h(cid:181)m t˚t ﬁ(cid:222)nh cæa thŒi gian. T(cid:221)nh loga chu¨n cæa m¸t ﬁØ cæa F t„i thŒi ﬁi(cid:211)m T1 suy ra r»ng kœ v(cid:228)ng nªi tr“n thu ﬁ›(cid:238)c tı c«ng thłc Black sau ﬁ'y:

(1.1) dF (t; T1, T2) = σ2(t)F (t; T1, T2)dWt

T1 Z

V (0; T1, T2, K) = P (0, T2)τ Bl(K, F2(0), υ2(T1))

º ﬁ'y Φ k(cid:253) hi(cid:214)u h(cid:181)m ph'n phŁi chu¨n

υ2(T1) = σ2 2(t)dt v u u u t

Bl(K, F, υ) = F Φ(d1(K, F, υ)) − KΦ(d2(K, F, υ))

R(cid:226) r(cid:181)ng, ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng trung b(cid:215)nh cæa l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c trong [0, T1], υ2(T1)/ T1 kh«ng ph(cid:244) thuØc v(cid:181)o gi‚ thøc thi K cæa quy(cid:210)n ch(cid:228)n. V(cid:215) ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng l(cid:181) mØt ﬁ˘c tr›ng cæa l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c, n“n ta kh«ng cª g(cid:215) ph¶i l(cid:181)m v(cid:237)i b¶n ch˚t cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng nªi

d1(K, F, υ) = ; d2(K, F, υ) = ln(F/K) + υ2/2 υ ln(F/K) − υ2/2 υ √

chung v(cid:181) v(cid:237)i gi‚ thøc thi K nªi ri“ng.

ta c‚c gi‚ cæa hai h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n li“n quan l(cid:181)

B'y giŒ l˚y hai gi‚ thøc thi K1, K2 kh‚c nhau, v(cid:181) gi¶ s(cid:246) r»ng th(cid:222) tr›Œng cung c˚p cho V (0; T1, T2, K2). e MØt c'u hÆi tø nhi“n l(cid:181): Cª t(cid:229)n t„i hay kh«ng mØt tham sŁ ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng υ2(T1) sao

cho c¶:

V (0; T1, T2, K1) v(cid:181) e

ﬁ(cid:210)u ﬁ(cid:243)ng? C'u tr¶ lŒi: Nªi chung l(cid:181) "kh«ng". Thøc ra , trong c«ng thłc Black, hai ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng kh‚c nhau υ2(T1, K1) v(cid:181) υ2(T1, K2) th›Œng ﬁ(cid:223)i hÆi ph¶i ph(cid:239) h(cid:238)p v(cid:237)i gi‚ quan s‚t ﬁ›(cid:238)c:

v(cid:181) V (0; T1, T2, K1) = P (0, T2)τ Bl(K1, F2(0), υ2(T1)) e V (0; T1, T2, K2) = P (0, T2)τ Bl(K2, F2(0), υ2(T1)) e

√ υ2(T1, K1)) e υ2(T1, K2)) e T1 th›Œng ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) ﬁ›Œng cong ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n

N(cid:213)u c«ng thłc Black nh˚t qu‚n v(cid:237)i c‚c gi‚ thøc thi kh‚c nhau th(cid:215) ﬁ›Œng cong n(cid:181)y sˇ ph…ng, v(cid:215) ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng kh«ng ph(cid:244) thuØc v(cid:181)o gi‚ thøc thi K. Thøc t(cid:213) ﬁ›Œng cong n(cid:181)y th›Œng cª d„ng n(cid:244) c›Œi. Do ﬁª ﬁ(cid:211) gi¶i th(cid:221)ch hi(cid:214)n t›(cid:238)ng n(cid:181)y ta ph¶i d(cid:239)ng ﬁ(cid:213)n m« h(cid:215)nh thay th(cid:213).

Gi¶ s(cid:246) r»ng d›(cid:237)i ﬁØ ﬁo Q2

V (0; T1, T2, K1) = P (0, T2)τ Bl(K1, F2(0), e V (0; T1, T2, K2) = P (0, T2)τ Bl(K2, F2(0), e ﬁ›Œng cong K 7−→ υ2(T1, K)/ e cæa quy(cid:210)n ch(cid:228)n v(cid:237)i thŒi ﬁi(cid:211)m ﬁ‚o h„n T1.

º ﬁ'y ν cª th(cid:211) l(cid:181) h(cid:181)m t˚t ﬁ(cid:222)nh ho˘c ng(cid:201)u nhi“n cæa F (t; T1, T2). N(cid:213)u ν l(cid:181) h(cid:181)m ng(cid:201)u nhi“n th(cid:215) ch(cid:243)ng ta sˇ s(cid:246) d(cid:244)ng c‚i g(cid:228)i l(cid:181) "m« h(cid:215)nh ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ng(cid:201)u nhi“n", ch…ng h„n ν(t, F ) = ξ(t)F , v(cid:237)i ξ tu'n theo mØt ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n c˚p 2. Tuy nhi“n, ta sˇ ch(cid:216) t¸p trung v(cid:181)o ν(t, .) l(cid:181) h(cid:181)m t˚t ﬁ(cid:222)nh, do ﬁª ta nghi“n cłu l(cid:237)p "m« h(cid:215)nh ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ﬁ(cid:222)a ph›‹ng".

M« h(cid:215)nh thay th(cid:213) cæa ta sˇ sinh ra mØt n(cid:244) c›Œi, nh› sau: 1. Gi¶ thi(cid:213)t K l(cid:181) gi‚ tr(cid:222) ban ﬁ˙u. T(cid:221)nh to‚n gi‚ cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n theo m«

h(cid:215)nh

(1.2) dF (t; T1, T2) = ν(t, F (t; T1, T2))dWt

V(cid:237)i F thu ﬁ›(cid:238)c tı m« h(cid:215)nh thay th(cid:213) (1.2)

2. Gi¶i ng›(cid:238)c c«ng thłc Black cho gi‚ thøc thi n(cid:181)y, tłc l(cid:181) gi¶i:

Π(K) = P (0, T2)τ E2[(F (T1; T1, T2) − K)+]

theo ν(K), ta thu ﬁ›(cid:238)c ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n trung b(cid:215)nh ν(K). Sau ﬁª thay ﬁ(cid:230)i K

v(cid:181) ‚p d(cid:244)ng thu¸t to‚n t›‹ng tø.

Π(K) = P (0, T2)τ Bl(K, F2(0), υ(K)pT1)

§Łi v(cid:237)i m« h(cid:215)nh thay th(cid:213) kh‚c loga chu¨n th(cid:215) ch(cid:243)ng ta sˇ thu ﬁ›(cid:238)c mØt ﬁ›Œng cong kh«ng chu¨n K 7−→ υ(K). R(cid:226) r(cid:181)ng ch(cid:243)ng ta ph¶i ch(cid:228)n ν(t, .) ﬁæ linh ho„t sao cho cª th(cid:211) ph(cid:239) h(cid:238)p v(cid:237)i ﬁ›Œng cong ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng t›‹ng łng tı th(cid:222) tr›Œng.

Nªi chung ta sˇ ph¶i l(cid:181)m vi(cid:214)c v(cid:237)i mØt m˘t ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n v(cid:215) ta cª mØt ﬁ›Œng cong ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ﬁŁi v(cid:237)i m(cid:231)i thŒi ﬁi(cid:211)m ﬁ‚o h„n ﬁ›(cid:238)c x—t. Tuy nhi“n, v˚n ﬁ(cid:210) ph(cid:239) h(cid:238)p cæa m« h(cid:215)nh v(cid:210) c‹ b¶n kh«ng b(cid:222) thay ﬁ(cid:230)i bºi v(cid:215) ch(cid:243)ng ta cª th(cid:211) g(cid:190)n d(cid:247) li(cid:214)u t„i m(cid:231)i thŒi ﬁi(cid:211)m ﬁ‚o h„n v(cid:237)i c‚c thŒi ﬁi(cid:211)m ﬁ‚o h„n kh‚c mØt c‚ch ri“ng rˇ.

3.2 Hai m« h(cid:215)nh thay th(cid:213) c(cid:230) ﬁi(cid:211)n

Trong ph˙n n(cid:181)y tr›(cid:237)c h(cid:213)t ta gi(cid:237)i thi(cid:214)u v(cid:210) FLM thu ﬁ›(cid:238)c b»ng c‚ch thay th(cid:213) mØt khu(cid:213)ch t‚n loga chu¨n cho tr›(cid:237)c. Sau ﬁª ta sˇ m« t¶ m« h(cid:215)nh CEV ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng bºi Andersen v(cid:181) Andreasen(2000) ﬁ(cid:211) l¸p m« h(cid:215)nh ti(cid:213)n ho‚ cæa qu‚ tr(cid:215)nh gi‚ k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c.

3.2.1 Tr›Œng h(cid:238)p thay th(cid:213) loga chu¨n

MØt c‚ch ﬁ‹n gi¶n ﬁ(cid:211) x'y døng m« h(cid:215)nh l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c v(cid:237)i c˚u tr(cid:243)c ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng kh«ng ph…ng l(cid:181) thay th(cid:213) mØt m« h(cid:215)nh loga chu¨n kh‚c t›‹ng tø nh› (1.1). Ta gi¶ s(cid:246) r»ng l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c:

tu'n theo ph›‹ng tr(cid:215)nh sau, d›(cid:237)i ﬁØ ﬁo Qj:

− 1(cid:21) Fj := F (.; Tj−1, Tj) = 1 τj (cid:20) P (., Tj−1) P (., Tj)

Fj(t) = Xj(t) + α

º ﬁ'y α l(cid:181) h»ng sŁ thøc, β l(cid:181) h(cid:181)m t˚t ﬁ(cid:222)nh cæa thŒi gian v(cid:181) W l(cid:181) chuy(cid:211)n ﬁØng Brown ti“u chu¨n, ta cª:

(2.3) dXj (t) = β(t)Xj(t)dWt

Do ﬁª v(cid:237)i t < T ≤ Tj−1, l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c Fj(t) cª bi(cid:211)u di(cid:212)n l(cid:181):

T Z

(2.4) dFj(t) = β(t)(Fj(t) − α)dWt

H(cid:181)m ph'n phŁi cæa Fj(T ) v(cid:237)i ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n Fj(t), t < T ≤ Tj−1 sˇ cª ph'n phŁi loga

chu¨n thay th(cid:213) v(cid:237)i m¸t ﬁØ

    − β2(u)du + (2.5) Fj(T ) = α + (Fj(t) − α) exp β(u)dWu 1 2  

2 U 2(t, T )

2 

Fj (t)−α + 1 U (t, T )

ln x−a ! 1   √ − exp (2.6) PFj (T )|Fj(t)(x) = 1 2 (x − a)U (t, T ) 2π  

v(cid:237)i x > α, º ﬁ'y

T Z

M« h(cid:215)nh thu ﬁ›(cid:238)c ﬁŁi v(cid:237)i Fj sˇ b¶o to(cid:181)n t(cid:221)nh d(cid:212) x(cid:246) l(cid:253) gi¶i t(cid:221)ch cæa chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c X. Ch(cid:243) (cid:253) r»ng n(cid:213)u k(cid:221) hi(cid:214)u Ej l(cid:181) kœ v(cid:228)ng theo ﬁØ ﬁo Qj th(cid:215)

U (t, T ) := β2(u)du (2.7) v u u u t

V(cid:215) v¸y, v(cid:237)i α < K, gi‚ h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n V (t; Tj−1, Tj, τj , K), łng v(cid:237)i m« h(cid:215)nh (2.4), cª c«ng thłc ﬁ‹n gi¶n l(cid:181):

P (t, Tj)Ej {[Fj(Tj−1) − K]+|Ft} = P (t, Tj)Ej{[Xj(Tj−1) − (K − α)]+|Ft}

§Ø bi(cid:213)n ﬁØng Black ti(cid:210)m ¨n ˆσ = ˆσ(K, α) t›‹ng łng v(cid:237)i mØt gi‚ thøc thi K cho tr›(cid:237)c v(cid:181) v(cid:237)i c‚ch ch(cid:228)n α sˇ thu ﬁ›(cid:238)c b»ng c‚ch r(cid:243)t tham sŁ ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ˆσ trong c«ng thłc Black ph(cid:239) h(cid:238)p v(cid:237)i gi‚ m« h(cid:215)nh:

(2.8) V (t; Tj−1, Tj, τj, K) = τjP (t, Tj)B1(K − α, Fj(t) − α, U (t, Tj−1))

B'y giŒ ta cª th(cid:211) hi(cid:211)u t„i sao ph—p bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i affin ﬁ‹n gi¶n (2.3) l„i h(cid:247)u (cid:221)ch trong thøc h(cid:181)nh. Th¸t ra, qu‚ tr(cid:215)nh l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c thu ﬁ›(cid:238)c cª ph›‹ng tr(cid:215)nh hi(cid:211)n v(cid:181) m¸t ﬁØ bi“n duy“n ﬁ• bi(cid:213)t, sˇ ﬁ›a ﬁ(cid:213)n c«ng thłc d„ng ﬁªng ﬁŁi v(cid:237)i gi‚ cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n, cho ph—p ﬁØ l(cid:214)ch trong ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n. MØt v(cid:221) d(cid:244) v(cid:210) c˚u tr(cid:243)c ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng l(cid:214)ch K 7−→ ˆα(K, α) trong c‚c m« h(cid:215)nh n(cid:181)y l(cid:181) m« h(cid:215)nh trong h(cid:215)nh 1.

τjP (t, Tj)Bl(K, Fj(t), ˆσ(K, α).pTj−1 − t) = τjP (t, Tj)Bl(K − α, Fj(t) − α, U (t, Tj−1))

H(cid:215)nh 1: C˚u tr(cid:243)c ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n ˆσ(K, α) ﬁ›(cid:238)c vˇ døa v(cid:181)o K, t„i thŒi ﬁi(cid:211)m t = 0 s(cid:246) d(cid:244)ng m« h(cid:215)nh l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c (2.4), º ﬁ'y ta ﬁ˘t Tj−1 = 1, Tj = 1, 5, α = −0, 015, β(t) = 0, 2 v(cid:237)i m(cid:228)i t v(cid:181) Fj(0) = 0, 055

Vi(cid:214)c ﬁ›a v(cid:181)o tham sŁ α kh‚c 0 cª hai ¶nh h›ºng ﬁ(cid:213)n c˚u tr(cid:243)c ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n, v(cid:237)i α = 0 th(cid:215) c˚u tr(cid:243)c n(cid:181)y l(cid:181) ph…ng t„i młc U (0, Tj−1). Thł nh˚t, nª d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n ﬁ›Œng cong gi¶m th¸t sø (α < 0) ho˘c t¤ng thøc sø (α > 0). Thł hai, nª d(cid:222)ch chuy(cid:211)n ﬁ›Œng cong l“n tr“n (α < 0) hay xuŁng d›(cid:237)i (α > 0). MØt c‚ch t(cid:230)ng qu‚t, t¤ng α sˇ d(cid:222)ch chuy(cid:211)n ﬁ›Œng cong ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng K 7−→ ˆα(K, α) xuŁng, trong khi gi¶m α sˇ n'ng ﬁ›Œng cong n(cid:181)y l“n. Chłng minh h(cid:215)nh thłc cæa c‚c t(cid:221)nh ch˚t n(cid:181)y r˚t d(cid:212) d(cid:181)ng. Ch…ng h„n, v(cid:237)i l›u (cid:253) r»ng t„i thŒi ﬁi(cid:211)m t = 0, K = Fj(0)) th(cid:215) ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:211)m ¨n theo gi‚ hi(cid:214)n h(cid:181)nh cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n ˆσ tho¶ m•n:

Hay

Bl(Fj(0), Fj(0), pTj − 1ˆσ(Fj(0), α)) = Bl(Fj(0) − α, Fj(0) − α, U (0, Tj−1))

Khi t¤ng α th(cid:215) v(cid:213) tr‚i cæa ph›‹ng tr(cid:215)nh n(cid:181)y gi¶m, do ﬁª gi¶m ˆσ v(cid:213) ph¶i. H‹n n(cid:247)a, khi vi ph'n (2.8) theo α ta thu ﬁ›(cid:238)c ﬁ„i l›(cid:238)ng lu«n 'm.

Nh› v¸y, vi(cid:214)c thay th(cid:213) mØt khu(cid:213)ch t‚n loga chu¨n gi(cid:243)p kh‚m ph‚ c‚c c˚u tr(cid:243)c ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng l(cid:214)ch, tuy nhi“n c‚c c˚u tr(cid:243)c n(cid:181)y th›Œng qu‚ cłng v(cid:181) c‚c ﬁØ dŁc 'm l(cid:237)n sˇ kh«ng th(cid:211) kh«i ph(cid:244)c l„i. H‹n n(cid:247)a, c‚i ph(cid:239) h(cid:238)p nh˚t v(cid:237)i d(cid:247) li(cid:214)u th(cid:222) tr›Œng th›Œng ﬁ„t ﬁ›(cid:238)c ﬁŁi v(cid:237)i sø s(cid:244)t gi¶m cæa ﬁ›Œng cong ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n t›‹ng łng v(cid:237)i gi‚ tr(cid:222) 'm cæa tham sŁ α, v(cid:181) do ﬁª t›‹ng łng v(cid:237)i gi‚ cæa h(cid:181)m m¸t ﬁØ l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c chła c‚c gi‚ tr(cid:222) 'm. M˘c d(cid:239) v¸y x‚c su˚t cæa c‚c l•i su˚t 'm cª th(cid:211) bÆ qua trong thøc t(cid:213), v(cid:181) r˚t nhi(cid:210)u ng›Œi kh«ng x—t ﬁ(cid:213)n h„n ch(cid:213) n(cid:181)y.

C‚c m« h(cid:215)nh ti(cid:213)p theo sˇ ﬁ(cid:223)i hÆi mØt sŁ t(cid:221)nh ch˚t v(cid:181) t(cid:221)nh linh ho„t ﬁ(cid:211) tho¶ m•n ﬁi(cid:210)u

ki(cid:214)n ph(cid:239) h(cid:238)p v(cid:237)i d(cid:247) li(cid:214)u th(cid:222) tr›Œng.

pTj − 1ˆσ(Fj(0), α)(cid:19) − 1(cid:21) (Fj(0) − α) (cid:20)2Φ (cid:18) 1 2 U (0, Tj−1)(cid:19) − 1(cid:21) = Fj(0) (cid:20)2Φ (cid:18) 1 2

3.2.2 M« h(cid:215)nh co d•n h»ng sŁ cæa ph›‹ng sai

M« h(cid:215)nh c(cid:230) ﬁi(cid:211)n kh‚c c(cid:242)ng d(cid:201)n t(cid:237)i t(cid:221)nh l(cid:214)ch trong c˚u tr(cid:243)c ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n l(cid:181) m« h(cid:215)nh CEV cæa Cox (1975) v(cid:181) Cox & Ross (1976). G˙n ﬁ'y, Andersen v(cid:181) Andreasen(2000) ﬁ• ‚p d(cid:244)ng m« h(cid:215)nh CEV nh› l(cid:181) mØt m« h(cid:215)nh ti(cid:213)n ho‚ cæa l•i su˚t LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c. Andersen v(cid:181) Andreasen ﬁ• b(cid:190)t ﬁ˙u v(cid:237)i m« h(cid:215)nh LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c t(cid:230)ng qu‚t d„ng

sau, d›(cid:237)i ﬁØ ﬁo Qj:

º ﬁ'y φ l(cid:181) h(cid:181)m t(cid:230)ng qu‚t. Andersen v(cid:181) Andreasen ﬁ• ﬁ(cid:210) ngh(cid:222) m« h(cid:215)nh CEV nh› l(cid:181) mØt tr›Œng h(cid:238)p ri“ng d(cid:212) x(cid:246) l(cid:253) cæa h(cid:228) tr“n, v(cid:237)i

dFj(t) = φ(Fj(t))σj(t)dWt

φ(Fj(t)) = [Fj(t)]γ

v(cid:237)i 0 < γ < 1. Ch(cid:243) (cid:253) r»ng tr›Œng h(cid:238)p bi“n γ = 0 v(cid:181) γ = 1 sˇ l˙n l›(cid:238)t d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n m« h(cid:215)nh chu¨n v(cid:181) loga chu¨n. Khi ﬁª m« h(cid:215)nh:

V(cid:237)i 0 < γ < 1/2 ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.9) kh«ng cª nghi(cid:214)m duy nh˚t trı khi ch(cid:243)ng ta ch(cid:216) r(cid:226) mØt ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n bi“n t„i Fj = 0. §'y l(cid:181) l(cid:253) do t„i sao ch(cid:243)ng ta coi Fj = 0 l(cid:181) bi“n h(cid:243)t cho ph›‹ng tr(cid:215)nh º tr“n khi 0 < γ < 1/2.

Sø ph(cid:244) thuØc v(cid:181)o thŒi gian cæa σj cª th(cid:211) th«ng qua mØt sø thay ﬁ(cid:230)i thŒi gian t˚t ﬁ(cid:222)nh.

Th¸t v¸y, tr›(cid:237)c h(cid:213)t ta ﬁ˘t

T Z

(2.9) dFj(t) = σj(t)[Fj(t)]γdWt, Fj = 0 l(cid:181) bi“n h(cid:243)t khi 0 < γ < 1/2

v(cid:181) khi ﬁª

υ(τ, T ) = σj(s)2ds

Z σj(s)dW (s) W (υ(0, t)) := f

W v(cid:237)i tham sŁ thŒi gian υ. Ch(cid:243)ng ta thay th(cid:213) bi(cid:213)n ta thu ﬁ›(cid:238)c mØt chuy(cid:211)n ﬁØng Brown f ﬁ(cid:230)i theo thŒi gian n(cid:181)y trong ph›‹ng tr(cid:215)nh (2.9) b»ng c‚ch ﬁ˘t fj(υ(t)) := Fj(t) v(cid:181) thu ﬁ›(cid:238)c

§'y l(cid:181) qu‚ tr(cid:215)nh d(cid:212) d(cid:181)ng bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i th(cid:181)nh qu‚ tr(cid:215)nh Bessel b»ng c‚ch ﬁ(cid:230)i bi(cid:213)n. Khi ﬁª cª mØt thao t‚c kh«ng phłc t„p sˇ d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n h(cid:181)m m¸t ﬁØ chuy(cid:211)n cæa f. CuŁi c(cid:239)ng ch(cid:243)ng ta cª th(cid:211) quay trº l„i m¸t ﬁØ chuy(cid:211)n cæa th(cid:181)nh ph˙n li“n t(cid:244)c cæa m« h(cid:215)nh l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c ban ﬁ˙u. Th(cid:181)nh ph˙n li“n t(cid:244)c n(cid:181)y cæa h(cid:181)m m¸t ﬁØ cæa Fj(T ) v(cid:237)i ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n Fj(t), 0 < T ≤ Tj−1 ﬁ›(cid:238)c cho bºi

(2.10) dfj (υ) = fj (υ)γd fj = 0 l(cid:181) bi“n h(cid:243)t khi 0 < γ < 1/2 Wυ, f

√ uw) PFj (T )|Fj(t)(x) = 2(1 − γ)k1/(2−2γ)(uw1−4γ))1/(4−4γ)e−u−wI1/(2−2γ)(2

k = 1 2υ(t, T )(1 − γ)2 (2.11)

l(cid:181) h(cid:181)m m¸t

V(cid:237)i Iq k(cid:221) hi(cid:214)u h(cid:181)m Bessel lo„i 1 c˚p q. H‹n n(cid:247)a, n(cid:213)u k(cid:221) hi(cid:214)u g(y, z) =

u = k[Fj(t)]2(1−γ) w = kx2(1−γ)

ﬁØ Gamma v(cid:181) G(y, x) =

e−zzy−1 Γ(y)

+∞ R x

v(cid:237)i ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n Fj(t) l(cid:181) G(1/2(1 − γ), u).

ƒu ﬁi(cid:211)m c‹ b¶n cæa m« h(cid:215)nh (2.9) l(cid:181) t(cid:221)nh d(cid:212) x(cid:246) l(cid:253) gi¶i t(cid:221)ch cæa nª ﬁŁi v(cid:237)i h(cid:181)m

g(y, z)dz l(cid:181) ph'n phŁi Gamma b(cid:230) xung th(cid:215) x‚c su˚t Fj(T ) = 0

m¸t ﬁØ chuy(cid:211)n nªi tr“n. M¸t ﬁØ chuy(cid:211)n n(cid:181)y cª th(cid:211) h(cid:247)u (cid:221)ch, ch…ng h„n trong m« phÆng Monte-Carlo. Tı nh(cid:247)ng hi(cid:211)u bi(cid:213)t v(cid:210) m¸t ﬁØ cª th(cid:211) d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n kh¶ n¤ng ﬁ(cid:222)nh gi‚ nh(cid:247)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n ﬁ‹n gi¶n. C(cid:244) th(cid:211), ta cª th(cid:211) suy ra c«ng thłc hi(cid:211)n sau ﬁ'y cho gi‚ cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng gi‚ tr˙n:

V (t, Tj−1), Tj, τj , K) =τj P (t, Tj)Fj(t) g(n + 1, u)G(cn, kK 2(1−γ))

(2.12)

+∞ X n=0 +∞ X n=0

º ﬁ'y K v(cid:181) u ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh nh› trong (2.11) v(cid:181):

− τj P (t, Tj)K g(cn, u)G(n + 1, kK 2(1−γ))

Gi‚ n(cid:181)y c(cid:242)ng cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c bi(cid:211)u di(cid:212)n b»ng h(cid:181)m ph'n phŁi χ2 kh«ng t'm m(cid:181) ch(cid:243)ng ta ﬁ• g˘p trong m« h(cid:215)nh CIR. Nh(cid:190)c l„i r»ng ch(cid:243)ng ta k(cid:221) hi(cid:214)u χ2(x, r, ρ) l(cid:181) h(cid:181)m ph'n phŁi Khi - b(cid:215)nh ph›‹ng kh«ng t'm v(cid:237)i r b¸c tø do v(cid:181) tham sŁ kh«ng t'm ρ, t(cid:221)nh t„i ﬁi(cid:211)m x. Khi ﬁª gi‚ º tr“n ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t l„i nh› sau:

cn := n + 1 + 1 2(1 − γ)

+ 2, 2u(cid:19) V (t, Tj−1), Tj, τj, K) =τjP (t, Tj)Fj(t) (cid:18)1 − χ2(2K 1−γ);

(2.13)

Nh› ﬁ• nªi º tr“n, gi‚ cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua (2.12) sˇ d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n sø l(cid:214)ch trong c˚u tr(cid:243)c ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n. mØt v(cid:221) d(cid:244) v(cid:210) c˚u tr(cid:243)c n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c minh ho„ trong h(cid:215)nh 2. Nh› ﬁ• l(cid:181)m trong tr›Œng h(cid:238)p chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c, ta cª th(cid:211) mº rØng m« h(cid:215)nh tr“n b»ng c‚ch thay th(cid:213) qu‚ tr(cid:215)nh CEV(2.9) v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a m« h(cid:215)nh l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c t›‹ng łng. Vi(cid:214)c ﬁ›a v(cid:181)o c‚c tham sŁ b(cid:230) xung ﬁ(cid:211) x‚c ﬁ(cid:222)nh m¸t ﬁØ cª th(cid:211) c¶i thi(cid:214)n t(cid:221)nh ph(cid:239) h(cid:238)p cæa m« h(cid:215)nh v(cid:237)i d(cid:247) li(cid:214)u th(cid:222) tr›Œng.

CuŁi c(cid:239)ng ta cª th(cid:211) g˘p mØt ch(cid:243)t r(cid:190)c rŁi v(cid:237)i t(cid:221)nh ch˚t h(cid:243)t khi F = 0. M˘c d(cid:239) nª kh«ng thøc sø trº th(cid:181)nh mØt b(cid:181)i to‚n ﬁŁi v(cid:237)i ﬁ(cid:222)nh gi‚ cho h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua, nh›ng nª cª th(cid:211) l(cid:181) mØt y(cid:213)u tŁ kh«ng c˙n x—t ﬁ(cid:213)n theo quan ﬁi(cid:211)m thøc h(cid:181)nh. Vi(cid:214)c cª hay kh«ng c‚c v˚n ﬁ(cid:210) li“n quan ﬁ(cid:213)n ﬁ(cid:222)nh gi‚ c‚c c˚u tr(cid:243)c v(cid:237)i nhi(cid:210)u quy(cid:210)n ch(cid:228)n ngo„i lai h‹n c(cid:242)ng kh«ng r(cid:226) r(cid:181)ng. §(cid:211) x(cid:246) l(cid:253) v˚n ﬁ(cid:210) h(cid:243)t Andersen v(cid:181) Andreasen(2000) ﬁ• ﬁ›a ra mØt qu‚ tr(cid:215)nh CEV gi(cid:237)i h„n, º ﬁª thay cho φ(F ) = F γ ch(cid:243)ng ta ﬁ˘t

1 1 − γ , 2kK 1−γ (cid:19) − τjP (t, Tj)Kχ2 (cid:18)2u; 1 1 − γ

º ﬁ'y (cid:15) l(cid:181) mØt sŁ thøc d›‹ng r˚t nhÆ. H(cid:181)m n(cid:181)y co r(cid:243)t h(cid:214) sŁ khu(cid:213)ch t‚n CEV F γ th(cid:181)nh mØt h(cid:214) sŁ khu(cid:213)ch t‚n młc t(cid:216) l(cid:214) loga chu¨n F (cid:15)γ−1 khi F ﬁæ nhÆ ﬁ(cid:211) l(cid:181)m cho sø kh‚c nhau

φ(F ) = F min((cid:15)γ−1, F γ−1)

l(cid:181) r˚t nhÆ (nhÆ h‹n c¶ (cid:15)). Andersen v(cid:181) Andreasen(2000) ﬁ• so s‚nh c‚c m« h(cid:215)nh LCEV v(cid:181) CEV ﬁŁi v(cid:237)i gi‚ tr˙n v(cid:181) r(cid:243)t ra k(cid:213)t lu¸n r»ng sø kh‚c nhau l(cid:181) nhÆ v(cid:181) d˙n tri(cid:214)t ti“u khi (cid:15) → 0. H(cid:228) c(cid:242)ng nghi“n cłu v(cid:210) tŁc ﬁØ hØi t(cid:244). L›(cid:238)c ﬁ(cid:229) Crank-Nicholson ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng ﬁ(cid:211) t(cid:221)nh gi‚ tr˙n trong m« h(cid:215)nh LCEV. C(cid:242)ng nh› ﬁŁi v(cid:237)i ch(cid:221)nh m« h(cid:215)nh CEV, Andersen v(cid:181) Andreasen c(cid:242)ng cho γ > 1 trong m« h(cid:215)nh LCEV, v(cid:181) sø kh‚c nhau x¶y ra khi (cid:15) nh¸n gi‚ tr(cid:222) r˚t l(cid:237)n.

H(cid:215)nh 2: C˚u tr(cid:243)c ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n theo (2.12) t„i thŒi ﬁi(cid:211)m t = 0 , º ﬁ'y ta l˚y

Tj−1 = 1, Tj = 1, 5, σj(t) = 1, 5 v(cid:237)i m(cid:228)i t, γ = 0, 5 v(cid:181) Fj(0) = 0, 055

3.3 L(cid:237)p m« h(cid:215)nh t(cid:230)ng qu‚t

Gi¶ s(cid:246) Fj cª th(cid:211) bi(cid:211)u di(cid:212)n bºi mØt bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i (ﬁØc l¸p v(cid:237)i thŒi gian) cæa chuy(cid:211)n ﬁØng

Brown W:

º ﬁ'y h l(cid:181) h(cid:181)m tho¶ m•n:

(3.14) Fj(t) = h(t, Wt) v(cid:237)i m(cid:228)i 0 ≤ t ≤ Tj−1

A1) h ∈ C 1,2(D), v(cid:237)i D = [0, Tj−1] × R;

A2) h(t, ω) > 0 v(cid:237)i m(cid:228)i (t, ω) ∈ D;

A3) V(cid:237)i m(cid:231)i t > 0, h(cid:181)m h(t) : R → R+, ω 7→ ht(ω) := h(t, ω) cª gi(cid:237)i h„n 0 t„i 'm v« c(cid:239)ng, limω→−∞ ht(ω) = 0, v(cid:181) t¤ng th¸t sø, tłc l(cid:181) dht(ω)/dω > 0 (t›‹ng ﬁ›‹ng v(cid:237)i ∂h(t, ω)/dω > 0), do ﬁª v(cid:237)i m(cid:231)i t > 0, h(cid:181)m ht kh¶ ngh(cid:222)ch v(cid:181) h(cid:181)m ng›(cid:238)c h−1 kh¶ vi.

A4) Ej{h(Tj−1, WTj−1)} t(cid:229)n t„i h(cid:247)u h„n v(cid:181) Ej{h(Tj−1, WTj−1)|Ft} = h(t, Wt) v(cid:237)i m(cid:228)i 0 ≤

MØt v(cid:221) d(cid:244) ﬁ‹n gi¶n v(cid:210) h(cid:181)m h tho¶ m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n tr“n l(cid:181) h(cid:181)m m(cid:242) h(t, w) = ae− b2t

2 +bw,

t ≤ Tj−1, v(cid:215) v¸y Fj l(cid:181) mØt martingale.

c‚ch ch(cid:228)n n(cid:181)y sˇ d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n d„ng loga chu¨n cho m« h(cid:215)nh LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c. Xem Brigo v(cid:181) Mercurio (2001b).

M(cid:244)c ti“u cæa ph˙n n(cid:181)y l(cid:181) x'y døng mØt s›Œn chung b¶o to(cid:181)n t(cid:221)nh ch˚t gi¶i t(cid:221)ch cæa chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c, nh›ng bao g(cid:229)m c‚c m« h(cid:215)nh cª th(cid:211) t„o ra hi(cid:214)u ıng n(cid:244) c›Œi ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n thøc. Sau ﬁ'y ta sˇ ch(cid:216) ra nh(cid:247)ng l(cid:238)i (cid:221)ch cæa c‚c gi¶ thi(cid:213)t tr“n.

v(cid:237)i a, b > 0

trøc ti(cid:213)p tı b(cid:230) ﬁ(cid:210) Ito:

Ph›‹ng tr(cid:215)nh li“n quan: Ph›‹ng tr(cid:215)nh suy ra tı l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c Fj ﬁ›(cid:238)c suy ra

(t, Wt) + (t, Wt)(cid:21) dt + (t, Wt)dWt 1 2 ∂2h ∂w2 ∂h ∂w

t (Fj(t)))dWt

(3.15) (t, h−1 = dFj(t) = (cid:20) ∂h ∂t ∂h ∂w

v(cid:237)i ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a r(cid:226) r(cid:181)ng v(cid:210) h(cid:181)m ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ﬁ(cid:222)a ph›‹ng σ(., .), v(cid:181) º ﬁ'y sŁ h„ng d(cid:222)ch chuy(cid:211)n b»ng 0 theo gi¶ thi(cid:213)t cuŁi ﬁŁi v(cid:237)i h v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) Feynman - K‚c. Do ﬁª qu‚ tr(cid:215)nh Fj l(cid:181) mØt khu(cid:213)ch t‚n mØt chi(cid:210)u.

= σ(t, (Fj(t))Fj(t)dWt

M¸t ﬁØ bi“n duy“n: K(cid:253) hi(cid:214)u pt l(cid:181) m¸t ﬁØ bi“n cæa Fj(t), t ≤ Tj−1 . Ta cª

t (x)} = Φ (cid:18) h−1

t (x) √ t

Vi ph'n theo x thu ﬁ›(cid:238)c m¸t ﬁØ bi“n:

2t [h−1

(cid:19) (3.16) Qj{Fj(t) ≤ x} = Qj{ht(Wt) ≤ x} = Qj{Wt ≤ h−1

(x)]2 d dx

√ e− 1 (3.17) pt(x) = Qj{Fj(t) ≤ x} = h−1 t (x) d dx 1 2πt

M¸t ﬁØ x‚c su˚t chuy(cid:211)n: Cho tr›(cid:237)c hai thŒi ﬁi(cid:211)m b˚t kœ t < T ≤ Tj−1, tı ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a (3.14) ta thu ﬁ›(cid:238)c l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c Fj(T ) v(cid:237)i ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n Fj(t):

t (Fj(t)) + WT − Wt)

Ph›‹ng tr(cid:215)nh (3.18) cho ph—p ta suy ra m¸t ﬁØ x‚c su˚t chuy(cid:211)n cæa qu‚ tr(cid:215)nh Fj. Th¸t v¸y, k(cid:221) hi(cid:214)u p(t, y; T, x) l(cid:181) m¸t ﬁØ cæa Fj(T ) v(cid:237)i ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n Fj(t) = y, ta cª:

(3.18) Fj(T ) = h(T, h−1

t (y) + WT − Wt) ≤ x|Fj(t) = y}

t (y)|Fj(t) = y}

T (x) − h−1

Qj{Fj(T ) ≤ x|Fj(t) = y} = Qj{h(T, h−1

T (x) − h−1 T − t

(cid:19) √ = Qj{WT − Wt ≤ h−1 = Φ (cid:18) h−1 t (y)

v(cid:215) v¸y ta thu ﬁ›(cid:238)c ngay p(t, y; T, x) b»ng c‚ch vi ph'n theo bi(cid:213)n x

(y)]2

T (x)−h−1

2(T −t) [h−1

e− 1 p(t, y; T, x) = (3.19) Qj{Fj(t) ≤ x|Fj(t) = y} = h−1 T (x) d dx d dx p2π(T − t)

C‚c m« h(cid:215)nh h(cid:247)u (cid:221)ch: Tr›(cid:237)c h(cid:213)t ch(cid:243)ng ta ch(cid:243) (cid:253) r»ng c‚c gi¶ thi(cid:213)t A3) v(cid:181) A4) k—o theo ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n sau:

Tj−1 nh› sau:

B(cid:230) ﬁ(cid:210) 3.3.1. V(cid:237)i m(cid:231)i t < Tj−1, h(cid:181)m ht cª th(cid:211) bi(cid:211)u di(cid:212)n qua h−1

+∞ Z

! dz Φ (3.20) ht(w) = w − h−1 (z) Tj−1 pTj−1 − t

+∞ Z

2(Tj−1 −t) dx

− (x−w)2 e

Chłng minh. Tı gi¶ thi(cid:213)t A4) v(cid:181) c«ng thłc t(cid:221)ch ph'n tıng ph˙n, ta cª:

−∞

+∞

ht(w) = hTj−1(x) 1 p2π(Tj−1 − t)

+∞ Z

−∞

!# ! " w − x w − x dx = + −hTj−1(x)Φ hTj−1(x)Φ d dx pTj−1 − t pTj−1 − t

SŁ h„ng ﬁ˙u ti“n cæa v(cid:213) ph¶i º ﬁ…ng thłc cuŁi b»ng 0 v(cid:215) do gi¶ thi(cid:213)t A3):

! w − x = 0 hTj−1(x)Φ lim x→−∞ pTj−1 − t

Trong khi ﬁª do gi¶ thi(cid:213)t A4)

! w − x = 0 hTj−1(x)Φ lim x→+∞ pTj−1 − t

V(cid:215) v¸y, v(cid:237)i x ﬁæ l(cid:237)n ta cª:

− (x−w)2 e 2(Tj−1 −t)

! w − x ≤ Φ pTj−1 − t x − w 1 √ 2π pTj−1 − t

Gi¶ s(cid:246) ta cª th(cid:211) ho‚n ﬁ(cid:230)i gi(cid:247)a ﬁ„o h(cid:181)m v(cid:181) t(cid:221)ch ph'n, ‚p d(cid:244)ng quy t(cid:190)c ﬁ„o h(cid:181)m ﬁŁi v(cid:237)i t(cid:221)ch ph'n ph(cid:244) thuØc tham sŁ ta cª k(cid:213)t qu¶ sau:

Khi ﬁª ﬁ…ng thłc (3.20) thu ﬁ›(cid:238)c th«ng qua ph—p bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i z = hTj−1(x)

+∞ Z

H(cid:214) qu¶ 3.3.2. V(cid:237)i m(cid:228)i t < Tj−1, ﬁ„o h(cid:181)m cæa h(cid:181)m ht cª th(cid:211) vi(cid:213)t l(cid:181):

(z)]2(cid:27) dz exp (cid:26)− (3.21) ht(w) = [w − h−1 Tj−1 d dw 1 2(Tj−1 − t) 1 p2π(Tj−1 − t)

mua ﬁ˘t l„i t„i Tj−1, thanh to‚n t„i Tj v(cid:237)i gi‚ thøc thi K ﬁ›(cid:238)c cho bºi:

§(cid:222)nh gi‚ h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua: Gi‚ t„i thŒi ﬁi(cid:211)m t cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n

+∞ Z

− e

2(Tj−1 −t) dw

V (t; Tj−1, Tj, τj , K) = τj P (t, Tj)Ej{[Fj(Tj−1) − K]+|Ft}

t (Fj(t)) + w) − K]+

−∞

+∞

=τj P (t, Tj) [hTj−1(h−1 1 p2π(Tj−1 − t)

t (Fj(t)) + w)

− e

2(Tj−1 −t) dw

(K)−h−1

(Fj(t))

h−1 Tj−1

+∞

− e

2(Tj−1 −t) dw

(K)−h−1

h−1 Tj−1

+∞

(Fj(t)) hTj−1 (h−1

t (Fj(t)) + w)

− e

2(Tj−1 −t) dw

hTj−1 (h−1 =τj P (t, Tj) Z p2π(Tj−1 − t) (3.22) − Kτj P (t, Tj) Z 1 p2π(Tj−1 − t)

(Fj(t))

h−1 Tj−1

=τj P (t, Tj) Z p2π(Tj−1 − t)

(K)−h−1 h−1

t (Fj(t)) − h−1 Tj−1 pTj−1 − t

º ﬁ'y t(cid:221)ch ph'n cuŁi c(cid:239)ng nªi chung ph¶i t(cid:221)nh b»ng ph›‹ng ph‚p gi¶i t(cid:221)ch sŁ. Tuy nhi“n sau ﬁ'y ta sˇ x—t mØt v(cid:221) d(cid:244) trong ﬁª t(cid:221)ch ph'n n(cid:181)y cª th(cid:211) t(cid:221)nh d›(cid:237)i d„ng hi(cid:211)n.

(K) ! − Kτj P (t, Tj)Φ

3.3.1 Tr›Œng h(cid:238)p c(cid:244) th(cid:211): H(cid:231)n h(cid:238)p c‚c chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c

MØt tr›Œng h(cid:238)p c(cid:244) th(cid:211) cæa m« h(cid:215)nh t(cid:230)ng qu‚t (3.14), ta x—t mØt t(cid:230) h(cid:238)p tuy(cid:213)n t(cid:221)nh cæa

N chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c kh«ng d(cid:222)ch chuy(cid:211)n:

∀t ≥ 0 Fj(t) = h(t, Wt)

i t+βiw

2 β2

N X i=1

l(cid:181):

º ﬁ'y Fj(0), βi, ψi l(cid:181) c‚c h»ng sŁ d›‹ng. Ta th˚y h(cid:181)m n(cid:181)y tho¶ m•n c‚c gi¶ thi(cid:213)t tı A1) ﬁ(cid:213)n A4) v(cid:181) ﬁ„o h(cid:181)m cæa h(cid:181)m ng›(cid:238)c h−1

(3.23) h(t, w) = ht(w) = ψie− 1

t (x) 1

h−1 t (x) = d dx 1 dw ht(h−1

(x)

i t+βih−1

2 β2

N P i=1

§i(cid:210)u ki(cid:214)n ban ﬁ˙u ‚p ﬁ˘t:

ψiβie− 1

N X i=1

ψi = Fj(0)

V(cid:215) th(cid:213) n(cid:213)u ﬁ˘t, v(cid:237)i m(cid:231)i i, λi := ψi/Fj (0) th(cid:215) ta cª th(cid:211) vi(cid:213)t Fj th(cid:181)nh h(cid:231)n h(cid:238)p cæa N

chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c (Kh«ng d(cid:222)ch chuy(cid:211)n) b(cid:190)t ﬁ˙u t„i Fj(0)

N X i=1

Fj(t) = λiYi(t) (3.24)

‚p d(cid:244)ng b(cid:230) ﬁ(cid:210) Ito ta cª:

dYi(t) = Yi(t)βidWt, Yi(0) = Fj(0)

dFj(t) = λiYi(t)βidWt

i t+βih−1

2 β2

(Fj (t))dWt

N X i=1 N X i=1

(3.25) = ψiβie− 1

ﬁi(cid:210)u n(cid:181)y r(cid:226) r(cid:181)ng nh˚t qu‚n v(cid:237)i (3.15). Ch(cid:243) (cid:253) r»ng ta c(cid:242)ng cª th(cid:211) vi(cid:213)t:

= σ(t, Fj(t))Fj(t)dWt

(z)

i t+βih−1

2 β2

dFj(t) = Fj(t) Λi(t, Fj(t))βidWt

(z)

kt+βkh−1

2 β2

Λi(t, z) :=

N X i=1 ψie− 1 N P k=1

Do ﬁª, ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ﬁ(cid:222)a ph›‹ng σ(., .) cª th(cid:211) coi nh› trung b(cid:215)nh cª tr(cid:228)ng sŁ ng(cid:201)u nhi“n cæa c‚c ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng c‹ b¶n βi v(cid:215) Λi d›‹ng v(cid:181) cª t(cid:230)ng b»ng 1.

ψke− 1

Tı c«ng thłc t(cid:230)ng qu‚t (3.17) v(cid:181) (3.19) ta suy ra h(cid:181)m m¸t ﬁØ x‚c su˚t bi“n v(cid:181) m¸t ﬁØ

x‚c su˚t chuy(cid:211)n cæa Fj l˙n l›(cid:238)t ﬁ›(cid:238)c cho bºi:

(x)]2

2t [h−1

M¸t ﬁØ x‚c xu˚t chuy(cid:211)n v(cid:181) m¸t ﬁØ x‚c su˚t bi“n:

(x)

i t+βih−1

2 β2

N P i=1

v(cid:181)

(y)]2

T (x)−h−1

2(T −t) [h−1

e− 1 (3.26) pt(x) = √ 2πt ψiβie− 1

T (x)

i T +βih−1

2 β2

e− 1 p(t, y; T, x) = (3.27)

N P i=1

ψiβie− 1 p2π(T − t)

thu ﬁ›(cid:238)c:

+∞

§(cid:222)nh gi‚ h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua: Ta t(cid:221)nh t(cid:221)ch ph'n trong th(cid:181)nh ph˙n cuŁi cæa (3.22)

t (Fj(t)) + w)

− e

2(Tj−1 −t) dw

(K)−h−1

(Fj (t))

hTj−1(h−1 Z

h−1 Tj−1

(Fj(t))+βiw

i Tj−1+βih−1

2 β2

p2π(Tj−1 − t)

+∞

N P i=1

− e

2(Tj−1−t) dw

ψie− 1

(K)−h−1

(Fj(t))

h−1 Tj−1

+∞

(Fj(t)) Z

i Tj−1+βih−1

2 β2

βiw− e

2(Tj−1 −t) dw

= Z p2π(Tj−1 − t)

(K)−h−1

(Fj(t))

N X i=1

h−1 Tj−1

+∞

(Fj (t)) Z

i t+βih−1

[w−βi(Tj−1 −t)]2 2(Tj−1 −t)

2 β2

− e

= ψie− 1 1 p2π(Tj−1 − t)

(K)−h−1

(Fj (t))

N X i=1

h−1 Tj−1

§i(cid:210)u n(cid:181)y sˇ d(cid:201)n t(cid:237)i gi‚ cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua:

dw = ψie− 1 1 p2π(Tj−1 − t)

V (t; Tj−1, Tj, τj, K)

t (Fj(t))

i t+βih−1

2 β2

(Fj(t))Φ

N X i=1

(K) + h−1 ! =τjP (t, Tj) ψie− 1 (3.28) βi(Tj−1 − t) − h−1 Tj−1 p(Tj−1 − t)

t (Fj(t)) − h−1 Tj−1 pTj−1 − t

Nªi ri“ng, gi‚ cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua t„i t = 0 r(cid:243)t g(cid:228)n l„i th(cid:181)nh:

(K) ! h−1 − Kτj P (t, Tj)Φ

(K) (K) ! !# − − KΦ V (0; Tj−1, Tj, τj, K) = τjP (0, Tj) ψiΦ βiTj−1 − h−1 Tj−1 pTj−1 h−1 Tj−1 pTj−1 " N X i=1

(3.29) §›Œng cong ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n thu ﬁ›(cid:238)c tı gi‚ quy(cid:210)n ch(cid:228)n (3.29) chłng tÆ c‚c d„ng (ch…ng h„n t¤ng ho˘c gi¶m theo gi‚ thøc thi) ho(cid:181)n tr¶ m« h(cid:215)nh h(cid:231)n h(cid:238)p chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c cæa ch(cid:243)ng ta r˚t khª ‚p d(cid:244)ng v(cid:181)o d(cid:247) li(cid:214)u th(cid:222) tr›Œng. Tuy nhi“n ch(cid:243)ng ta cª th(cid:211) d(cid:239)ng ﬁ(cid:213)n m« h(cid:215)nh t(cid:230)ng qu‚t h‹n ﬁ›(cid:238)c m« t¶ d›(cid:237)i ﬁ'y.

3.3.2 Mº rØng m« h(cid:215)nh h(cid:231)n h(cid:238)p chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c cho ph—p ﬁØ

l(cid:214)ch ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n

R(cid:226) r(cid:181)ng l(cid:181)m vi(cid:214)c v(cid:237)i c‚c t(cid:230) h(cid:238)p d›‹ng thøc sø ψ l(cid:181) qu‚ g(cid:223) bª khi nghi“n cłu h(cid:215)nh d„ng cæa m˘t ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n. B'y giŒ ch(cid:243)ng ta sˇ n(cid:237)i lÆng gi¶ thi(cid:213)t n(cid:181)y v(cid:181) cho ph—p t(cid:230) h(cid:238)p 'm nh›ng kh«ng l(cid:181)m m˚t ›u ﬁi(cid:211)m gi¶i t(cid:221)ch cæa m« h(cid:215)nh ban ﬁ˙u.

MØt trong nh(cid:247)ng t(cid:221)nh ch˚t cŁt y(cid:213)u trong ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a (3.23) l(cid:181), v(cid:237)i m(cid:231)i t cŁ ﬁ(cid:222)nh, h(cid:181)m h(t, .) t¤ng v(cid:181) kh¶ ngh(cid:222)ch, ﬁ'y l(cid:181) t(cid:221)nh ch˚t d(cid:212) m˚t ﬁi n(cid:213)u ψi n(cid:181)o ﬁª 'm. §(cid:211) b¶o to(cid:181)n

d‚ng ﬁi(cid:214)u mong muŁn cæa h, ta gi¶ thi(cid:213)t r»ng m(cid:231)i tham sŁ "ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng" βi c(cid:239)ng d˚u v(cid:237)i t(cid:230) h(cid:238)p ψi t›‹ng łng. Tªm l„i

Hi(cid:211)n nhi“n d›(cid:237)i (3.30) h(cid:181)m ht v(cid:201)n kh¶ vi, t¤ng v(cid:181) kh¶ ngh(cid:222)ch. §i(cid:210)u n(cid:181)y cª ngh(cid:220)a r»ng c‚c c«ng thłc (3.26), (3.27), (3.28) v(cid:201)n c(cid:223)n ﬁ(cid:243)ng. Tuy nhi“n ch(cid:243)ng ta ﬁ• m˚t mØt sŁ thł: T(cid:221)nh d›‹ng cæa h(cid:181)m h v(cid:181) do ﬁª t(cid:221)nh d›‹ng cæa qu‚ tr(cid:215)nh gi‚ Fj. §'y l(cid:181) ﬁi(cid:210)u kh«ng mong muŁn, v(cid:215) v¸y ch(cid:243)ng ta ph¶i t(cid:215)m c‚ch s(cid:246) l(cid:253) nª. Ta ti(cid:213)p t(cid:244)c nh› sau: CŁ ﬁ(cid:222)nh δ > 0 v(cid:181) ﬁ˘t ¯ω := h−1 Tj−1

(3.30) ∀i = 1, ..., N : ψi, βi ∈ R, sign(ψiβi) = 1

(0) + δ. Khi ﬁª ¯ω ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a tŁt va x‚c ﬁ(cid:222)nh duy nh˚t (ta bÆ qua sø ph(cid:244) thuØc v(cid:181)o j cho g(cid:228)n), v(cid:181) ε := hTj−1(¯ω). Ta ﬁ˘t

v(cid:181) gi¶ s(cid:246) r»ng β < α2/ε. N(cid:213)u ta ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a: f (ω) := aebω+cω2 v(cid:237)i

(¯ω), β := α := (¯ω) (3.31) dhTj−1 dw d2hTj−1 dw2

(cid:19) − b := (3.32) α2 ε2

th(cid:215) f tho¶ m•n

− c := < 0 a := εe−b¯ω−c¯ω2 − ¯ω (cid:18) β α ε ε β 2ε α2 2ε2

f (ω) > 0 ∀ω ∈ R, f(ω) ∈ C 2(R)

(ω) > 0 ∀ω < ¯ω, f (ω) = 0 df dω

Khi ﬁª ta cª th(cid:211) ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a h(cid:181)m hTj−1 m(cid:237)i m(cid:181) ta sˇ k(cid:253) hi(cid:214)u l(cid:181) ¯hTj−1 tho¶ m•n:

(¯ω) = α, (¯ω) = β f (¯ω) = ε, df dω lim ω→−∞ d2f dω2

Ta th˚y r»ng h(cid:181)m ¯hTj−1 cª t˚t c¶ c‚c ›u ﬁi(cid:211)m cæa h(cid:181)m hTj−1 trong (3.23), bao g(cid:229)m c¶ t(cid:221)nh ch˚t d›‹ng. H‹n n(cid:247)a gi¶ thi(cid:213)t ch(cid:243)ng ta ch(cid:228)n c‚c gi‚ thøc thi K ≥ ε, gi‚ cæa c‚c h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua ﬁ‚o h„n t„i Tj d›(cid:237)i ¯hTj−1 tr(cid:239)ng v(cid:237)i c‚c gi‚ quy(cid:210)n ch(cid:228)n (3.28) t›‹ng łng d›(cid:237)i hTj−1. V(cid:237)i c‚c gi‚ thøc thi th˚p h‹n ε ta v(cid:201)n cª th(cid:211) suy ra c«ng thłc d„ng ﬁªng cho gi‚ cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua. Tuy nhi“n n(cid:213)u ta l˚y δ sao cho ε l(cid:181) gi‚ thøc thi ni“m y(cid:213)t b— nh˚t th(cid:215) gi‚ cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua (3.28) l(cid:181) t˚t c¶ m(cid:228)i v˚n ﬁ(cid:210) thøc sø.

w ≥ ¯w n(cid:213)u (3.33) ¯hTj−1(w) := ( hTj−1(w) f (w) w < ¯w n(cid:213)u

Nh› v¸y l(cid:181) ch(cid:243)ng ta ﬁ• gi¶i quy(cid:213)t v(cid:210) t(cid:221)nh d›‹ng t„i thŒi ﬁi(cid:211)m ﬁ‚o h„n Tj−1. Gi‚ m(cid:181) ch(cid:243)ng ta tr¶ l(cid:181) ¯hTj−1(WTj−1) kh«ng cª c(cid:239)ng gi‚ tr(cid:222) kœ v(cid:228)ng v(cid:237)i hTj−1(WTj−1), cª ngh(cid:220)a l(cid:181) ch(cid:243)ng ta ﬁ• vi ph„m ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n kh«ng cª ﬁØ ch“nh th(cid:222) gi‚. Tuy nhi“n ch(cid:243)ng ta cª th(cid:211) thay th(cid:213) c‚c h(cid:214) sŁ ψi ¨n trong (3.31), (3.32), (3.33) b»ng c‚c ¯ψi m(cid:237)i (v(cid:181) nhÆ h‹n) sao cho:

v(cid:181) v(cid:210) c‹ b¶n ch(cid:243)ng ta l(cid:181)m ﬁ›(cid:238)c. Hai v(cid:221) d(cid:244) v(cid:210) ﬁ›Œng cong ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng suy ra tı gi‚ quy(cid:210)n ch(cid:228)n (3.28) d›(cid:237)i (3.30) ﬁ›(cid:238)c vˇ tr“n h(cid:215)nh 3.

E[¯hTj−1(WTj−1)] = Fj(0)

B'y giŒ ta muŁn mº rØng thu¸t to‚n tr“n cho m(cid:228)i thŒi ﬁi(cid:211)m t < Tj−1 d(cid:201)n t(cid:237)i h(cid:181)m (d›‹ng) ¯ht(.). Tuy nhi“n, n(cid:213)u l(cid:181)m nh› v¸y ta sˇ bÆ ﬁi t(cid:221)nh ch˚t c‹ b¶n: Qu‚ tr(cid:215)nh l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c l(cid:181) martingale d›(cid:237)i Qj. Do ﬁª ch(cid:243)ng ta ti(cid:213)p t(cid:244)c nh› sau.

§(cid:211) tho¶ m•n ﬁ(cid:223)i hÆi kh«ng cª ﬁØ ch“nh th(cid:222) gi‚ ta ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a

H(cid:215)nh 3: §›Œng cong ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n ﬁŁi v(cid:237)i gi‚ h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua (3.28) º ﬁ'y Fj(0) = 0, 045, Tj−1 = 1, (ψ1, ψ2, ψ3) = (0, 02475; −0, 01125; 0, 0315) v(cid:181) ¯ω = −2 do v¸y ( ¯ψ1, ¯ψ2, ¯ψ3) = (0, 02474376; −0, 01124716; 0, 031492056) v(cid:181) ε = 0, 02368. H(cid:215)nh tr‚i: (β1, β2, β3) = (0, 2; −0, 4; 0, 0155), H(cid:215)nh ph¶i: (β1, β2, β3) = (0, 2; −0, 1; 0, 0155)

Kœ v(cid:228)ng cª ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n n(cid:181)y cª th(cid:211) t(cid:221)nh b»ng c‚ch vi(cid:213)t WTj−1 = Wt + (WTj−1 − Wt) v(cid:181) cª WTj−1 − Wt ﬁØc l¸p v(cid:237)i Wt. B»ng c‚ch khai tri(cid:211)n b(cid:215)nh ph›‹ng tr“n m(cid:242) v(cid:181) ﬁ˘t

Fj(t) = ¯ht(Wt) ¯ht(w) = Ej[¯hTj−1(WTj−1)|Wt = w]

+∞ Z

∆t := Tj−1 − t ta ﬁ›(cid:238)c:

2∆t dx

−∞

2∆t

√ e− x2 Ej[¯hTj−1(WTj−1)|Wt = w] = ¯hTj−1 (w + x) 1 2π∆t

¯w−w Z

+∞ Z

i Tj−1+βi(w+x)− x2

2 β2

2∆t dx

N X i=1

−∞

¯w−w

2∆t

¯w−w Z

+∞ Z

i Tj−1+βiw

2 β2

1 √ √ = dx + ¯ψie− 1 aeb(w+x)+c(w+x)2− x2 2π∆t 2π∆t

2∆t dx

N X i=1

−∞

¯w−w

[x− (b+2cw)∆t

¯w−w Z

2(1−2c∆t)

2∆t

1−2c∆t

√ √ = aebw+cw2 dx + eβix− x2 ¯ψie− 1 ebx+2cwx+cx2− x2 2π∆t 1 2π∆t

−∞

√ dx = aebw+cw2+ ∆t(b+2cw)2 e− 1−2c∆t 1 2π∆t

+∞ Z

i t+βiw

2 β2

2∆t (x−βi∆t)2 dx

N X i=1

¯w−w

1 √ + e− 1 ¯ψie− 1 2π∆t

2bw+2cw2+b2∆t 2(1−2c∆t) √

i t+βiwΦ (cid:18) w − ¯w + βi∆t 2 β2

N X i=1

Do ﬁª ta cª

2bw+2cw2+b2(Tj−1−t) 2(1−2c(Tj−1 −t))

! ae (cid:19) √ + = Φ ¯ψie− 1 1 − 2c∆t ∆t ¯w(1 − 2c∆t) − w − b∆t p(1 − 2c∆t)∆t

! Φ ¯ht(w) = ae p1 − 2c(Tj−1 − t) ¯w(1 − 2c(Tj−1 − t)) − w − b(Tj−1 − t) p(1 − 2c(Tj−1 − t))(Tj−1 − t) (3.34)

i t+βiwΦ (cid:18) w − ¯w + βi∆t 2 β2

N X i=1

H(cid:181)m w 7→ ¯ht(w) cª t˚t c¶ c‚c ›u ﬁi(cid:211)m cæa h(cid:181)m ht ban ﬁ˙u:

(cid:19) √ + ¯ψie− 1 ∆t

1) ¯ht > 0 v(cid:237)i m(cid:228)i (t, w) ∈ D v(cid:215) ¯hTj−1 d›‹ng v(cid:181) d˚u ﬁ›(cid:238)c b¶o to(cid:181)n khi l˚y kœ v(cid:228)ng.

+∞ Z

− e

2) V(cid:237)i m(cid:231)i t > 0, h(cid:181)m ¯ht kh¶ vi theo w v(cid:181)

2(Tj−1 −t) dx > 0

−∞

v(cid:215) d¯hTj−1 (z)/dz > 0 v(cid:237)i m(cid:228)i z. Do ﬁª ¯ht t¤ng (th¸t sø)

= ¯hTj−1(w + x) d¯ht(w) dw d dw 1 p2π(Tj−1 − t)

3) V(cid:237)i m(cid:231)i t > 0, h(cid:181)m ht kh¶ ngh(cid:222)ch.

4) V(cid:237)i m(cid:228)i 0 < s < t, m¸t ﬁØ chuy(cid:211)n p(s, y; t, x) cª th(cid:211) thu ﬁ›(cid:238)c qua ngh(cid:222)ch ﬁ¶o sŁ cæa

¯ht.

Nh¸n x—t 3.3.3. Thu¸t to‚n x'y døng nªi tr“n kh‚ t(cid:230)ng qu‚t v(cid:181) cª th(cid:211) s(cid:246) d(cid:244)ng cho m(cid:228)i h(cid:181)m t¤ng hTj−1 ban ﬁ˙u.

3.3.3 M« h(cid:215)nh t(cid:230)ng qu‚t ki(cid:211)u Dupire

X—t mØt m« h(cid:215)nh th(cid:222) tr›Œng k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c thuØc l(cid:237)p t(cid:230)ng qu‚t x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

trong ﬁª W l(cid:181) chuy(cid:211)n ﬁØng Brown, h(cid:181)m h thÆa m•n:

Fj(t) = h(t, Wt) v(cid:237)i m(cid:228)i 0 ≤ t ≤ Tj−1

A1) h ∈ C 1,2(D), v(cid:237)i D = [0, Tj−1] × R;

A2) h(t, ω) > 0 v(cid:237)i m(cid:228)i (t, ω) ∈ D;

A4) Ej{h(Tj−1, WTj−1)} t(cid:229)n t„i h(cid:247)u h„n v(cid:181) Ej{h(Tj−1, WTj−1)|Ft} = h(t, Wt) v(cid:237)i m(cid:228)i 0 ≤

M« h(cid:215)nh n(cid:181)y cª ›u ﬁi(cid:211)m l(cid:181) cª th(cid:211) truy l„i mØt c‚ch ch(cid:221)nh x‚c n(cid:244) c›Œi ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ﬁŁi v(cid:237)i tß gi‚ kœ h„n k(cid:213)t h(cid:238)p. Theo m« h(cid:215)nh h(cid:231)n h(cid:238)p chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c th(cid:215) c«ng thłc th(cid:221)ch h(cid:238)p sˇ (cid:221)t hi(cid:211)n m(cid:181) ﬁ(cid:223)i hÆi t(cid:221)ch ph'n b»ng ph›‹ng ph‚p sŁ. Tuy nhi“n sø ph(cid:239) h(cid:238)p cæa m« h(cid:215)nh l(cid:181) tø ﬁØng v(cid:181) c‚c t(cid:221)nh to‚n v(cid:201)n c(cid:223)n nhanh v(cid:181) hi(cid:214)u qu¶.

B'y giŒ gi¶ s(cid:246) r»ng gi‚ cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua t„i thŒi ﬁi(cid:211)m khºi t„o l„i v(cid:181) thŒi ﬁi(cid:211)m ﬁ‚o h„n Tj−1, Tj l(cid:181) s‰n cª (trong th(cid:222) tr›Œng) ﬁŁi v(cid:237)i v« sŁ gi‚ thøc thi. MØt c‚ch ch(cid:221)nh x‚c, k(cid:221) hi(cid:214)u Cj (K) l(cid:181) gi‚ cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua v(cid:237)i gi‚ thøc thi K, v(cid:181) ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n kh«ng cª ﬁØ ch“nh th(cid:222) gi‚ sau ﬁ'y ﬁ›(cid:238)c thÆa m•n:

t ≤ Tj−1, v(cid:215) v¸y Fj l(cid:181) mØt martingale.

B1) Cj ∈ C 2((0, +∞));

B2) Cj(x) = 0; Cj(x) = τjP (0, Tj)Fj(0) v(cid:181) lim x→+∞ lim x→0+

dx (x) = 0;

dCj dx (x) = −τjP (0, Tj) v(cid:181) lim x→+∞

x dCj B3) lim x→0+

dx2 (x) > 0 v(cid:237)i m(cid:228)i x > 0, k—o theo −τjP (0, Tj) < dCj

dx (x) < 0 v(cid:237)i m(cid:228)i x > 0.

B4) d2Cj

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.3.4. H(cid:181)m hTj−1 v(cid:247)ng v(cid:237)i gi‚ cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua cho tr›(cid:237)c ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh ¨n tı ph›‹ng tr(cid:215)nh:

dCj dx (x) τjP (0, Tj)

Ph›‹ng tr(cid:215)nh n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a tŁt do c‚c gi¶ thi(cid:213)t tr“n Cj.

! − , x > 0 (3.35) (x) = −pTj−1Φ−1 h−1 Tj−1

Chłng minh. Theo Breeden & Litzenberger (1978) v(cid:181) ‚p d(cid:244)ng (3.16) ta thu ﬁ›(cid:238)c

V (0, Tj−1, Tj, τj, K) = τj P (0, Tj)[Qj{Fj(Tj−1) ≤ K} − 1] ∂ ∂K (K) ! # " − 1 Φ = τj P (0, Tj)

(K) ! − = −τj P (0, Tj)Φ h−1 Tj−1 pTj−1 h−1 Tj−1 pTj−1

‚p ﬁ˘t ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ph(cid:239) h(cid:238)p ch(cid:221)nh x‚c v(cid:237)i gi‚ tr˙n cæa th(cid:222) tr›Œng ta ph¶i cª

(K) ! − (K) = −τjP (0, Tj)Φ dCj dK h−1 Tj−1 pTj−1

§i(cid:210)u ki(cid:214)n n(cid:181)y sˇ ngay l¸p tłc d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n (3.35) th«ng qua h(cid:181)m ng›(cid:238)c cæa h(cid:181)m ph'n phŁi chu¨n, gi¶ thi(cid:213)t c‚c ﬁ„o h(cid:181)m dCj (x)/dx b(cid:222) ch˘n.

−1

H(cid:214) qu¶ 3.3.5. H(cid:181)m hTj−1 cª th(cid:211) bi(cid:211)u di(cid:212)n hi(cid:211)n nh› sau:

−1

!! (cid:19) − , ω ∈ R (3.36) −τjP (0, Tj)Φ hTj−1 (ω) = (cid:18) dCj dx ω pTj−1

k(cid:221) hi(cid:214)u h(cid:181)m ng›(cid:238)c cæa ﬁ„o h(cid:181)m c˚p mØt cæa Cj.

v(cid:237)i (cid:18)dCj dx

(cid:19)

Chłng minh. L˚y x = hTj−1(ω) trong (3.35) ta thu ﬁ›(cid:238)c:

dCj dx (hTj−1(ω)) τj P (0, Tj)

! − = Φ−1 − ω pTj−1

T‚c ﬁØng h(cid:181)m Φ v(cid:181)o c¶ hai v(cid:213) ta cª ﬁi(cid:210)u ph¶i chłng minh.

H(cid:214) qu¶ 3.3.6. H(cid:181)m hTj−1 l(cid:181) d›‹ng, kh¶ vi, t¤ng th¸t sø v(cid:181) cª gi(cid:237)i h„n b»ng 0 t„i 'm v« c(cid:239)ng:

H‹n n(cid:247)a Qj - kœ v(cid:228)ng cæa hTj−1 (WTj−1) h(cid:247)u h„n v(cid:181) b»ng Fj(0).

Tj−1 l(cid:181) mi(cid:210)n gi‚ tr(cid:222) cæa hTj−1)

(3.37) hTj−1(ω) = 0 lim ω→−∞

Chłng minh. V(cid:215) (3.35) ﬁ(cid:243)ng v(cid:237)i m(cid:228)i x > 0 (mi(cid:210)n x‚c ﬁ(cid:222)nh cæa h−1 n“n hTj−1 d›‹ng th¸t sø.

2Tj−1

− ω2 e

H‹n n(cid:247)a

hTj−1(ω) = d dω τj P (0, Tj) p2πTj−1

1 d2Cj dx2 (hTj−1(ω)) l(cid:181) d›‹ng th¸t sø do ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n B4). Khi ﬁª gi(cid:237)i h„n trong (3.37) k—o theo tı (3.36) v(cid:181) c‚c gi¶

+∞

thi(cid:213)t B3) v(cid:181) B4). CuŁi c(cid:239)ng, do (3.16) n“n ta cª

0 +∞

xQj{Fj(Tj−1) ≥ x} + Z Qj{Fj(Tj−1) ≥ x}dx Ej[hTj−1(WTj−1)] = − lim x→+∞

(x) (x) ! ! − − + Z dx xΦ Φ = − lim x→+∞

Z = (x) − (x)dx x lim x→+∞ h−1 Tj−1 pTj−1 +∞ dCj dx 1 τj P (0, Tj)

x→+∞

= 0 − h−1 Tj−1 pTj−1 dCj dx (cid:20) lim Cj(x)(cid:21) Cj(x) − lim x→0+ 1 τj P (0, Tj) 1 τjP (0, Tj)

= Fj(0)

Tr“n quan ﬁi(cid:211)m t(cid:221)nh to‚n, gi‚ tr(cid:222) cæa h(cid:181)m hTj−1 t„i m(cid:228)i ﬁi(cid:211)m ω cª th(cid:211) thu ﬁ›(cid:238)c b»ng c‚ch gi¶i tı ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a (3.36) ho˘c gi¶i ph›‹ng tr(cid:215)nh

º ﬁ'y ta ﬁ• s(cid:246) d(cid:244)ng (3.35) v(cid:181) c‚c gi¶ thi(cid:213)t B2), B3).

theo bi(cid:213)n x b»ng ph›‹ng ph‚p sŁ.

(x) = 0 ω − h−1 Tj−1

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.3.7. Gi‚ tr(cid:222) cæa tß gi‚ kœ h„n Fj t„i thŒi ﬁi(cid:211)m b˚t kœ t < Tj−1 v(cid:247)ng v(cid:237)i hTj−1 l(cid:181):

º ﬁ'y

(3.38) Fj(t) = ht(Wt)

+∞

ht(ω) = Ej[hTj−1(WTj−1)|Wt = ω]

dCj dz (z))

τjP (0,Tj)

(3.39) ! dz Φ = Z ω + pTj−1Φ−1(− 1 pTj−1 − t

Tı (3.39) ta th˚y ngay r»ng ht d›‹ng v(cid:237)i m(cid:228)i t < Tj−1. Gi¶ thi(cid:213)t ht kh¶ vi c˚p hai, t(cid:221)ch ph'n v(cid:181) ﬁ„o h(cid:181)m cª th(cid:211) ho‚n ﬁ(cid:230)i th(cid:215) di(cid:212)n bi(cid:213)n cæa tß gi‚ kœ h„n ﬁ›(cid:238)c cho nh› sau:

Chłng minh. V(cid:215) kœ v(cid:228)ng cæa hTj−1(WTj−1) d›(cid:237)i Qj l(cid:181) h(cid:247)u h„n, v(cid:181) b»ng Fj(0) n“n ph›‹ng tr(cid:215)nh ﬁ˙u ti“n trong (3.39) x‚c ﬁ(cid:222)nh duy nh˚t (Qj, Ft) - martingale v(cid:237)i gi‚ tr(cid:222) hTj−1(WTj−1) t„i thŒi ﬁi(cid:211)m Tj−1 do t(cid:221)nh ch˚t Markov cæa chuy(cid:211)n ﬁØng Brown. Khi ﬁª ph›‹ng tr(cid:215)nh thł hai trong (3.39) suy ra tı (3.35) v(cid:181) (3.20)

H(cid:214) qu¶ 3.3.8. Di(cid:212)n bi(cid:213)n (kh«ng d(cid:222)ch chuy(cid:211)n) cæa Fj v(cid:247)ng v(cid:237)i gi‚ tr(cid:222) tß gi‚ kœ h„n (3.39) l(cid:181)

t (Fj(t)))dWt

+∞

t (Fj(t)) + pTj−1Φ−1(− 1

dCj dz (z))]2o

2(Tj−1−t) [h−1

τjP (0,Tj)

(h−1 dFj(t) = ∂ht ∂ω (3.40) exp n− 1 = Z dzdWt p2π(Tj−1 − t)

§(cid:211) ki(cid:211)m tra sø bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i cæa c‚c ﬁ›Œng cong ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n ﬁ›(cid:238)c t„o th(cid:181)nh tı qu‚ tr(cid:215)nh tß gi‚ kœ h„n trong t›‹ng lai, ta c˙n ﬁ(cid:222)nh gi‚ mØt c‚ch gi¶i t(cid:221)ch c‚c gi‚ cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua t„i thŒi ﬁi(cid:211)m 0 < t < Tj−1 trong t›‹ng lai. Tı c«ng thłc ﬁ(cid:222)nh gi‚ t(cid:230)ng qu‚t (3.22):

+∞

ω2

Chłng minh. §i(cid:210)u ph¶i chłng minh k—o theo tı gi¶ thi(cid:213)t v(cid:210) t(cid:221)nh kh¶ vi ﬁŁi v(cid:237)i ht, (3.21) v(cid:181) (3.35)

t (Fj(t)) + ω)

− e

2(Tj−1 −t) dω

(Fj(t))

h−1 Tj−1

hTj−1(h−1 V (t, Tj−1, Tj, K) =τj P (t, Tj) Z p2π(Tj−1 − t)

(K)−h−1 h−1

t (Fj(t)) − h−1 Tj−1 pTj−1 − t

ta cª k(cid:213)t qu¶ sau:

(K) ! − KτjP (0, Tj )Φ

M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) 3.3.9. Gi‚ t„i t < Tj−1 cæa gi‚ tr˙n khºi t„o l„i t„i Tj−1, thanh to‚n t„i Tj v(cid:181) gi‚ thøc thi K, ﬁ›(cid:238)c cho bºi

V (t, Tj−1, Tj, τj, K)

t (Fj(t))

dCj

t (Fj(t))

! # " h−1 Tj−1 dz Φ = τj P (t, Tj) Fj(t) − K + Z (3.41) (z) − h−1 pTj−1 − t

0 pTj−1Φ−1(− 1

dz (z)) + h−1

τjP (0,Tj)

! # " dz Φ = τj P (t, Tj) Fj(t) − Z pTj−1 − t

(Fj(t))

ω2

h−1 Tj−1

t (Fj(t)) + ω)

− e

2(Tj−1 −t) dω

−∞

Chłng minh. T(cid:221)ch ph'n trong (3.22) cª th(cid:211) vi(cid:213)t l„i nh› sau: (K)−h−1 hTj−1(h−1 · · · =Fj(t) − Z

t (Fj(t))

(K)−h−1

(Fj(t))

h−1 Tj−1

p2π(Tj−1 − t) ! h−1 Tj−1 =Fj(t) − KΦ (K) − h−1 pTj−1 − t

t (Fj(t)) + ω)Φ

−∞

! dω + Z hTj−1(h−1 ω pTj−1 − t

t (Fj(t))

! ! h−1 Tj−1 h−1 Tj−1 + Z dz Φ =Fj(t) − KΦ (z) − h−1 pTj−1 − t d dω (K) − h−1 pTj−1 − t

t (Fj(t)) + ω) (ph›‹ng tr(cid:215)nh thł ba).

º ﬁ'y ch(cid:243)ng ta s(cid:246) d(cid:244)ng ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a cæa Fj(t) (ph›‹ng tr(cid:215)nh ﬁ˙u ti“n), t(cid:221)ch ph'n tıng ph˙n (ph›‹ng tr(cid:215)nh thł hai) v(cid:181) ﬁ(cid:230)i bi(cid:213)n z = hTj−1(h−1

CuŁi c(cid:239)ng ta thu ﬁ›(cid:238)c ph›‹ng tr(cid:215)nh thł nh˚t trong (3.41), ph›‹ng tr(cid:215)nh c(cid:223)n l„i suy ra tı

(3.35).

Nh¸n x—t 3.3.10. M(cid:214)nh ﬁ(cid:210) (3.3.4) v(cid:181) (3.3.7) cª th(cid:211) ph‚t bi(cid:211)u l„i mØt c‚ch t›‹ng ﬁ›‹ng ﬁŁi v(cid:237)i h(cid:181)m ﬁ(cid:222)nh gi‚ t(cid:230)ng qu‚t Cj l(cid:181) ﬁ„i l›(cid:238)ng kh«ng nh˚t thi(cid:213)t ph(cid:239) h(cid:238)p v(cid:237)i t˚t c¶ c‚c h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n quanto tr“n th(cid:222) tr›Œng. Thøc t(cid:213), ch(cid:243)ng ta cª th(cid:211) gi¶ thi(cid:213)t mØt ph'n phŁi tham sŁ linh ho„t cho Fj(Tj−1) = hTj−1(WTj−1) ﬁ(cid:211) tr‚nh c‚c v˚n ﬁ(cid:210) v(cid:210) nØi suy c(cid:230) ﬁi(cid:211)n. Ch…ng h„n, ta x—t h(cid:231)n h(cid:238)p c‚c m¸t ﬁØ loga chu¨n t„i t = Tj−1, c‚c h(cid:214) sŁ ﬁ(cid:210)u l(cid:181) h»ng sŁ th(cid:215) h(cid:181)m m¸t ﬁØ l(cid:181):

N X i=1

N i=1 λieµiTj−1 = 1. Trong tr›Œng h(cid:238)p n(cid:181)y ta cª v(cid:237)i P

( (cid:21) − exp (cid:20)ln λi − µiTj−1 + pTj−1(x) = σ2 i Tj−1 1 2 1 2σ2Tj−1 x Fj(0) 1 xσip2πTj−1

N X i=1

Tı ﬁ'y ta cª th(cid:211) suy ra (3.35) v(cid:181) (3.38). Khi d(cid:239)ng ph›‹ng tr(cid:215)nh n(cid:181)y ﬁ(cid:211) t(cid:221)nh to‚n sˇ cho c«ng thłc hi(cid:211)n h‹n v(cid:181) kh«ng ﬁ(cid:223)i hÆi thu¸t to‚n sŁ (ngo(cid:181)i c‚c thu¸t to‚n chu¨n ﬁ(cid:211) t(cid:221)nh to‚n c‚c h(cid:181)m si“u vi(cid:214)t). H‹n n(cid:247)a, c‚ch t(cid:221)nh ﬁ• tr(cid:215)nh b(cid:181)y º tr“n c(cid:223)n cª mØt sŁ ›u ﬁi(cid:211)m: Thł nh˚t, nª ﬁÆi hÆi (cid:221)t h„n ch(cid:213) h‹n ﬁŁi v(cid:237)i c‚c tham sŁ m« h(cid:215)nh ﬁ(cid:211) ﬁ¶m b¶o ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ﬁ(cid:222)a ph›‹ng ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a tŁt; thł hai, c‚c h(cid:214) sŁ ﬁ(cid:210)u l(cid:181) h»ng sŁ, v(cid:181) do ﬁª d(cid:212) tham sŁ hªa h‹n; thł ba l(cid:181) cª th(cid:211) t(cid:221)nh to‚n nhanh chªng gi‚ cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua t›‹ng lai, v(cid:181) do ﬁª cª th(cid:211) ki(cid:211)m tra nhanh sø ti(cid:213)n tri(cid:211)n trong t›‹ng lai cæa c˚u tr(cid:243)c ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng.

Cj (K) = τj P (0, Tj) λieµiTj−1Bl(Ke−µiTj−1, Fj(0), σipTj−1)

3.4 V(cid:221) d(cid:244) ‚p d(cid:244)ng v(cid:181)o d(cid:247) li(cid:214)u th(cid:222) tr›Œng

Trong ph˙n n(cid:181)y ta sˇ x—t kh¶ n¤ng ph(cid:239) h(cid:238)p cæa m« h(cid:215)nh mº rØng (3.35) døa tr“n d(cid:247) li(cid:214)u ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng l•i su˚t. MØt c‚ch ch(cid:221)nh x‚c, ch(cid:243)ng ta s(cid:246) d(cid:244)ng ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng cæa gi‚ cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua l˚y tı ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng gi‚ tr˙n ch'u 'u in-the-money v(cid:181) out-the-money ni“m y(cid:213)t ng(cid:181)y 14 th‚ng 11 n¤m 2000. Ch(cid:243)ng ta t¸p trung v(cid:181)o ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua hai n¤m v(cid:237)i l•i su˚t LiBOR c‹ sº ﬁ›(cid:238)c ﬁ˘t l„i t„i 1,5 n¤m. L•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c c‹ sº l(cid:181) 5,32%, c‚c gi‚ thøc thi ﬁ›(cid:238)c x—t l(cid:181) 4%, 4,25%, 4,5%, 4,75%, 5%, 5,25%, 5.5%, 5,75%, 6%, 6,25%, 6,5% v(cid:181) c‚c ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng k(cid:213)t h(cid:238)p l(cid:181) 15,22%, 15,14%, 15,10%, 15,08%, 15,09%, 15,12%, 15,17%, 15,28%, 15,40%, 15,52%,

15,69%. §˘t N = 2, vi = Vi(1, 5), i = 1, 2 v(cid:181) λ2 = 1 − λ1, ch(cid:243)ng ta sˇ t(cid:215)m gi‚ tr(cid:222) ch˚p nh¸n ﬁ›(cid:238)c cæa λ1, v1, v2 v(cid:181) α l(cid:181)m cøc ti(cid:211)u b(cid:215)nh ph›‹ng sai l(cid:214)ch ph˙n tr¤m gi(cid:247)a gi‚ m« h(cid:215)nh v(cid:181) th(cid:222) tr›Œng, v(cid:237)i α thÆa m•n r(cid:181)ng buØc α < K v(cid:237)i m(cid:231)i gi‚ thøc thi ﬁ• giao d(cid:222)ch K. Ta thu ﬁ›(cid:238)c λ1 = 0, 2412, λ2 = 0, 7588, v1 = 0, 1527, v2 = 0, 2381 v(cid:181) α = 0, 0078. H(cid:215)nh 4 minh h(cid:228)a ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n thu ﬁ›(cid:238)c trong sø so s‚nh v(cid:237)i ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng th(cid:222) tr›Œng.

H(cid:215)nh 4

K(cid:213)t lu¸n

Tªm l„i, trong lu¸n v¤n n(cid:181)y, ch(cid:243)ng t«i ﬁ• tr(cid:215)nh b(cid:181)y nh(cid:247)ng kh‚i ni(cid:214)m v(cid:181) nh(cid:247)ng k(cid:213)t qu¶ c‹ b¶n v(cid:210) "Hi(cid:214)u łng n(cid:244) c›Œi" m(cid:181) b¶n ch˚t l(cid:181) t(cid:215)m c‚ch x‚c ﬁ(cid:222)nh ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n cæa gi‚ chłng kho‚n trong c‚c h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng t(cid:181)i ch(cid:221)nh, ﬁ˘c bi(cid:214)t l(cid:181) c‚c h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n. Ngo(cid:181)i k(cid:213)t qu¶ kinh ﬁi(cid:211)n cæa Dupire x—t t‚c ﬁØng cæa hi(cid:214)u łng n(cid:244) c›Œi v(cid:237)i h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n ki(cid:211)u Ch'u ¢u, ch(cid:243)ng t«i c(cid:242)ng t(cid:230)ng h(cid:238)p mØt sŁ k(cid:213)t qu¶ m(cid:237)i nh˚t v(cid:210) hi(cid:214)u łng n(cid:244) c›Œi trong c‚c h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c v(cid:210) l•i su˚t LIBOR v(cid:181) ﬁ›a ra m« h(cid:215)nh Dupire t(cid:230)ng qu‚t b»ng c‚ch x'y døng mØt l(cid:237)p m« h(cid:215)nh thay th(cid:213) cho chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c ﬁŁi v(cid:237)i m« h(cid:215)nh l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c, d›(cid:237)i c‚c ﬁØ ﬁo ch(cid:221)nh t(cid:190)c cæa ch(cid:243)ng, trong m« h(cid:215)nh th(cid:222) tr›Œng LIBOR. L(cid:237)p m« h(cid:215)nh thay th(cid:213) n(cid:181)y d(cid:212) x(cid:246) l(cid:253) gi¶i t(cid:221)ch v(cid:215) ch(cid:243)ng cho ra c«ng thłc d„ng ﬁªng ﬁŁi v(cid:237)i gi‚ cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua. C‚c ﬁ›Œng cong ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n bi(cid:211)u di(cid:212)n h(cid:215)nh d„ng thøc cæa th(cid:222) tr›Œng v(cid:181) v(cid:237)i sŁ l›(cid:238)ng tham sŁ kh«ng h„n ch(cid:213) gi(cid:243)p cho c‚c m« h(cid:215)nh thay th(cid:213) n(cid:181)y cª th(cid:211) ph(cid:239) h(cid:238)p v(cid:237)i d(cid:247) li(cid:214)u th¸t cæa th(cid:222) tr›Œng ch(cid:221)nh x‚c t(cid:237)i młc mong muŁn trong ﬁa sŁ tr›Œng h(cid:238)p.

Ch(cid:243)ng t«i nh¸n th˚y cª th(cid:211) cª hai h›(cid:237)ng ch(cid:221)nh c˙n nghi“n cłu trong t›‹ng lai:

i) Nghi“n cłu sø bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i cæa c‚c ﬁ›Œng cong ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n trong t›‹ng

lai b»ng m« h(cid:215)nh ﬁ• x—t;

ii) T(cid:221)nh (cid:230)n ﬁ(cid:222)nh theo thŒi gian cæa c‚c tham sŁ m« h(cid:215)nh. Thøc ra, tı tr›(cid:237)c ﬁ(cid:213)n nay, ﬁ'y v(cid:201)n l(cid:181) v˚n ﬁ(cid:210) m(cid:181) ch(cid:243)ng ta ﬁ• ph¶i ﬁŁi m˘t khi nghi“n cłu c‚c m« h(cid:215)nh ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ﬁ(cid:222)a ph›‹ng.

V(cid:215) thŒi gian v(cid:181) kh¶ n¤ng cª h„n, t«i hy v(cid:228)ng cª th(cid:211) ti(cid:213)p t(cid:244)c c‚c h›(cid:237)ng nghi“n cłu ﬁª sau n(cid:181)y. C(cid:242)ng v(cid:215) l(cid:253) do ﬁª, lu¸n v¤n cª th(cid:211) c(cid:223)n cª nhi(cid:210)u thi(cid:213)u sªt, k(cid:221)nh mong c‚c th˙y ch(cid:216) b¶o ﬁ(cid:211) t«i cª th(cid:211) ti(cid:213)n bØ h‹n.

H(cid:228)c vi“n

Ph(cid:244) l(cid:244)c

1.1 M« h(cid:215)nh th(cid:222) tr›Œng LIBOR

M« h(cid:215)nh th(cid:222) tr›Œng LIBOR (LMM) l˙n ﬁ˙u ti“n ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:210) xu˚t v(cid:181)o n¤m 1995 bºi ba nh(cid:181) to‚n h(cid:228)c Brace, Gatarek v(cid:181) Musiela thuØc ﬁ„i h(cid:228)c New South Wales. Thøc ra m« h(cid:215)nh n(cid:181)y ﬁ• ﬁ›(cid:238)c s(cid:246) d(cid:244)ng trong thøc t(cid:213) tr›(cid:237)c khi ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu, º ﬁ'y LIBOR l(cid:181) vi(cid:213)t t(cid:190)t cæa London Inter-Bank Offer Rate l(cid:181) mØt ch(cid:216) sŁ quen thuØc v(cid:237)i c‚c giao d(cid:222)ch t(cid:181)i ch(cid:221)nh quŁc t(cid:213). Nª ﬁ›(cid:238)c hi(cid:214)p hØi ng'n h(cid:181)ng Anh (BBA) x'y døng tr“n c‹ sº t(cid:230)ng h(cid:238)p b¶ng l•i su˚t cæa c‚c ng'n h(cid:181)ng th(cid:181)nh vi“n theo quy t(cid:190)c trung b(cid:215)nh cØng ﬁŁi v(cid:237)i nhªm 50% gi(cid:247)a b¶ng l•i su˚t t¸p h(cid:238)p tı c‚c ng'n h(cid:181)ng th(cid:181)nh vi“n. Trong m« h(cid:215)nh th(cid:222) tr›Œng LIBOR, c‚c bi(cid:213)n l(cid:181) c‚c l•i su˚t LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c quan s‚t ﬁ›(cid:238)c trøc ti(cid:213)p tı th(cid:222) tr›Œng. H‹n n(cid:247)a, trong LMM c‚c l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c cª ph'n phŁi loga chu¨n, m« h(cid:215)nh n(cid:181)y ph(cid:239) h(cid:238)p v(cid:237)i c‚c th(cid:222) tr›Œng ni“m y(cid:213)t gi‚ tr˙n s(cid:246) d(cid:244)ng c«ng thłc Black trong thøc t(cid:213).

LMM ho„t ﬁØng trong th(cid:222) tr›Œng l•i su˚t. LMM l(cid:181) c«ng c(cid:244) ﬁ(cid:211) ﬁ(cid:222)nh gi‚ v(cid:181) ph(cid:223)ng hØ ph‚i sinh l•i su˚t. LMM gi¶ thi(cid:213)t mØt sø bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i th(cid:222) tr›Œng n(cid:181)o ﬁª, trong ﬁª ph‚i sinh l•i su˚t cª th(cid:211) ﬁ›(cid:238)c ph(cid:223)ng hØ v(cid:181) t‚i t„o mØt c‚ch ch(cid:221)nh x‚c. Qu‚ tr(cid:215)nh ‚p d(cid:244)ng LMM ﬁ(cid:223)i hÆi d(cid:247) li(cid:214)u th(cid:222) tr›Œng v(cid:181) khi ﬁª LMM ﬁ›(cid:238)c thi(cid:213)t l¸p sao cho cª th(cid:211) ﬁi(cid:210)u khi(cid:211)n gi‚ tr(cid:222) t„o ra trong m« h(cid:215)nh ph(cid:239) h(cid:238)p tŁt nh˚t t(cid:237)i młc cª th(cid:211) v(cid:237)i gi‚ tr(cid:222) thøc t(cid:213) cæa th(cid:222) tr›Œng. Trong LMM to(cid:181)n bØ vi(cid:214)c ﬁ(cid:222)nh gi‚ ﬁ›(cid:238)c thøc hi(cid:214)n m(cid:181) ch(cid:216) s(cid:246) d(cid:244)ng l•i su˚t LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c. Ch…ng h„n vi(cid:214)c thanh to‚n ph‚i sinh l•i su˚t ﬁ›(cid:238)c vi(cid:213)t d›(cid:237)i d„ng l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c v(cid:181) b¶n th'n c‚c l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c th(cid:215) ﬁ›(cid:238)c l¸p m« h(cid:215)nh bºi c‚c chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c. L•i su˚t LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c kh«ng ﬁ›(cid:238)c bu«n b‚n tr“n th(cid:222) tr›Œng, ta kh«ng th(cid:211) mua nª. Tuy nhi“n, l(cid:253) thuy(cid:213)t ﬁ(cid:222)nh gi‚ ch“nh th(cid:222) gi‚ døa tr“n vi(cid:214)c ph(cid:223)ng hØ v(cid:237)i c‚c t(cid:181)i s¶n ph‚i sinh bu«n b‚n ﬁ›(cid:238)c ch…ng h„n nh› tr‚i phi(cid:213)u. §(cid:211) gi¶i quy(cid:213)t v˚n ﬁ(cid:210) n(cid:181)y th(cid:215) LMM s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c ph›‹ng tr(cid:215)nh cæa chuy(cid:211)n ﬁØng ﬁŁi v(cid:237)i qu‚ tr(cid:215)nh gi‚ tr‚i phi(cid:213)u, tı ﬁª suy ra c‚c ph›‹ng tr(cid:215)nh cho l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c. Khi ﬁª vi(cid:214)c x‚c ﬁ(cid:222)nh ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng tłc thŒi cæa c‚c l•i su˚t k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c sˇ d(cid:201)n t(cid:237)i c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁŁi v(cid:237)i c‚c ph›‹ng tr(cid:215)nh gi‚ tr‚i phi(cid:213)u. Di(cid:212)n bi(cid:213)n gi‚ tr‚i phi(cid:213)u thu ﬁ›(cid:238)c sˇ t„o th(cid:181)nh c‹ sº ﬁ(cid:222)nh gi‚ trong LMM.

1.1.1 M« h(cid:215)nh

X—t mØt th(cid:222) tr›Œng LIBOR M bao g(cid:229)m N + 1 t(cid:181)i s¶n, hay N + 1 tr‚i phi(cid:213)u. Ta coi N + 1 tr‚i phi(cid:213)u n(cid:181)y t›‹ng łng v(cid:237)i N + 1 thŒi ﬁi(cid:211)m ﬁ‚o h„n Ti, (i = 1, ..., N + 1) cho tr›(cid:237)c, v(cid:237)i 0 < T1 < ... < TN +1. Gi¶ thi(cid:213)t T0 = 0

Qu‚ tr(cid:215)nh gi‚ cæa tr‚i phi(cid:213)u thł i ﬁ›(cid:238)c k(cid:221) hi(cid:214)u l(cid:181) Bi(.). Khi ﬁª

= µi(t)dt + βi(t)dW (t) dBi(t) Bi(t)

d X j=1

(1.42) = µi(t)dt + βij(t)dW (t)

º ﬁ'y

i = 1, ..., N + 1 Bi(0) = b0,i e

MØt tho¶ thu¸n l•i su˚t LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c ﬁŁi v(cid:237)i thŒi ﬁi(cid:211)m Ti, (i = 1, ..., N ) l(cid:181) mØt tho¶ thu¸n ﬁ(cid:211) vay 1$ tı thŒi ﬁi(cid:211)m Ti ﬁ(cid:213)n thŒi ﬁi(cid:211)m Ti+1. ThŒi kœ t(cid:221)ch lu(cid:252) cæa tho¶ thu¸n l(cid:181) δi = Ti+1 − Ti, (i = 1, ..., N ). L•i su˚t ﬁ›(cid:238)c tho¶ thu¸n º tr“n ﬁ›(cid:238)c g(cid:228)i l(cid:181) l•i su˚t LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c cho vay tı thŒi ﬁi(cid:211)m Ti ﬁ(cid:213)n thŒi ﬁi(cid:211)m Ti+1. Theo quy ›(cid:237)c th(cid:215) l•i su˚t n(cid:181)y ﬁ›(cid:238)c t(cid:221)nh nh› sau: Thu ho„ch t„i thŒi ﬁi(cid:211)m Ti+1 cæa 1$ ﬁ›(cid:238)c vay t„i thŒi ﬁi(cid:211)m Ti b»ng 1 cØng l•i su˚t nh'n v(cid:237)i thŒi gian t(cid:221)ch lu(cid:252). MØt c‚ch ch(cid:221)nh x‚c ta ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a l•i su˚t LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c Li : [0, Ti] × Ω −→ R x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

b0,i l(cid:181) gi‚ tr‚i phi(cid:213)u quan s‚t ﬁ›(cid:238)c trong th(cid:222) tr›Œng t„i thŒi ﬁi(cid:211)m 0. e

Ta muŁn ch(cid:216) r(cid:226) ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng tłc thŒi cæa l•i su˚t LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c. N(cid:213)u δi l(cid:181) qu‚ tr(cid:215)nh dø b‚o ﬁ›(cid:238)c, b(cid:222) ch˘n ﬁ(cid:222)a ph›‹ng th(cid:215) qu‚ tr(cid:215)nh gi‚ tr‚i phi(cid:213)u ph¶i ﬁ›(cid:238)c x‚c ﬁ(cid:222)nh sao cho ﬁi(cid:210)u sau l(cid:181) ﬁ(cid:243)ng.

(1.43) 1 + δiLi(t) = 0 ≤ t ≤ Ti, i = 1, ..., N Bi(t) Bi+1(t)

Ti(cid:213)p theo c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n tr“n βi sˇ ﬁ›(cid:238)c t(cid:221)nh to‚n sao cho ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.44) ﬁ(cid:243)ng. Ta ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a qu‚ tr(cid:215)nh si : [0, Ti] × Ω −→ Rd x‚c ﬁ(cid:222)nh bºi

(1.44) = ... + σi(t)dW (t) 0 ≤ t ≤ Ti, i = 1, ..., N dLi(t) Li(t)

Ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.44) trº th(cid:181)nh

sij(t) = Li(t)σij(t) 0 ≤ t ≤ Ti, j = 1, ..., d, i = 1, ..., N

Tı ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.43) ta cª

(1.45) dLi(t) = ... + si(t)dW (t) 0 ≤ t ≤ Ti, i = 1, ..., N

) d( dLi(t) =

= (cid:0)(µi(t) − µi+1(t) − (βi(t) − βi+1(t)).βi+1(t)) dt + (βi(t) − βi+1(t)) dW(t)(cid:1) 1 δi 1 δi Bi(t) Bi+1(t) Bi(t) Bi+1(t) (1.46)

v(cid:237)i t, 0 ≤ t ≤ Ti, j = 1, ..., d, i = 1, ..., N. §…ng thłc thł hai ﬁ›(cid:238)c suy ra tı h(cid:214) qu¶ cæa c«ng thłc Ito v(cid:181) ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) Kunita - Watanabe.

So s‚nh (1.45) v(cid:181) (1.46) ta nh¸n th˚y r»ng c‚c βi c˙n tho¶ m•n c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n sau

V(cid:237)i t ∈ [0, T ] ta ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a i(t) l(cid:181) sŁ nguy“n duy nh˚t i tho¶ m•n Ti−1 < t < Ti. Tłc

l(cid:181), i(t) k(cid:221) hi(cid:214)u ch(cid:216) sŁ cæa tr‚i phi(cid:213)u ﬁ˙u ti“n ﬁ‚o h„n t„i t. Do ﬁª

(1.47) βi(t) − βi+1(t) = si(t) 0 ≤ t ≤ Ti, i = 1, ..., N δi 1 + δiLi(t)

i X j=i(t)

(βj(t) − βj+1(t)) βi(t)(t) − βi+1(t) =

(1.48)

i X j=i(t)

Gi¶ s(cid:246) β : [0, T ] × Ω −→ Rd l(cid:181) qu‚ tr(cid:215)nh F dø b‚o ﬁ›(cid:238)c b(cid:222) ch˘n ﬁ(cid:222)a ph›‹ng b˚t kœ,

li“n t(cid:244)c tr“n Ti, Ti+1, i = 1, ..., N + 1. N(cid:213)u c‚c βi tho¶ m•n

0 ≤ t ≤ T, i = i(t), ..., N = sj(t) δj 1 + δjLj(t)

i−1 X j=i(t)

β(t) − n(cid:213)u sj(t) 0 ≤ t ≤ Ti−1 δj 1 + δjLj(t)   (1.49) βi(t) =

th(cid:215) ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.45) tho¶ m•n. §i(cid:210)u n(cid:181)y cho th˚y t(cid:221)nh to‚n v(cid:210) ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n c˙n v(cid:181) ﬁæ ﬁŁi v(cid:237)i βi trong (1.45) l(cid:181) ﬁ(cid:243)ng.

β(t) n(cid:213)u Ti−1 < t ≤ Ti 

Vi(cid:214)c x‚c ﬁ(cid:222)nh di(cid:212)n bi(cid:213)n gi‚ tr‚i phi(cid:213)u s(cid:246) d(cid:244)ng (1.49) b¶o ﬁ¶m r»ng l•i su˚t LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c tho¶ m•n (1.45) v(cid:181) do ﬁª c(cid:242)ng tho¶ m•n (1.44). Di(cid:212)n bi(cid:213)n gi‚ tr‚i phi(cid:213)u s(cid:246) d(cid:244)ng (1.49) sˇ ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a l(cid:181):

Nh¸n x—t 1.1.1. §i(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁŁi v(cid:237)i c‚c βi ﬁ¶m b¶o r»ng ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.44) ﬁ(cid:243)ng. V(cid:215) v¸y (1.44) l(cid:181) mØt ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n ﬁŁi v(cid:237)i Bi(t)/Bi+1(t) v(cid:237)i 0 ≤ t ≤ Ti, (i = 1, ..., N ) do ﬁª (1.44) kh«ng ch(cid:216) ra ﬁ›(cid:238)c c‚c ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n tr“n Bi(t) ﬁŁi v(cid:237)i Ti−1 < t ≤ Ti, (i = 1, ..., N + 1) tłc l(cid:181) l•i su˚t LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c kh«ng quan t'm ﬁ(cid:213)n tr‚i phi(cid:213)u ﬁ‚o h„n ﬁ˙u ti“n. §i(cid:210)u n(cid:181)y ph¶n ‚nh trong c‚c c«ng thłc th«ng qua kh¶ n¤ng tho¶ m•n ﬁ˙y ﬁæ h(cid:181)m βi(.)(.) th«ng qua h(cid:181)m β(.).

= µi(t)dt + βi(t)dW (t) dBi(t) Bi(t)

i−1 X j=i(t)

  β(t) − dW (t) n(cid:213)u µi(t)dt + sj (t) 0 ≤ t ≤ Ti−1     δj 1 + δjLj (t) =

n(cid:213)u µi(t)dt + β(t)dW (t) Ti−1 < t ≤ Ti  (1.50)

1.1.2 Hai ﬁØ ﬁo th›Œng d(cid:239)ng

X—t mØt ph›‹ng ‚n ﬁ˙u t› tr‚i phi(cid:213)u s(cid:246) d(cid:244)ng chi(cid:213)n l›(cid:238)c sau

(i) T„i thŒi ﬁi(cid:211)m 0, b(cid:190)t ﬁ˙u v(cid:237)i 1$ mua

tr‚i phi(cid:213)u ﬁ‚o h„n t„i T1.

1.1.2.1 §Ø ﬁo QSpot ﬁŁi v(cid:237)i h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng LIBOR giao ngay

(ii) T„i thŒi ﬁi(cid:211)m T1, nh¸n

tr‚i phi(cid:213)u - T2.

$, mua 1 B1(0) 1/B1(0) B2(T1) 1 B1(0)

tr‚i phi(cid:213)u - T3.

(iii) T„i thŒi ﬁi(cid:211)m T2, nh¸n

...

Ta g(cid:228)i ph›‹ng ‚n tr“n l(cid:181) ph›‹ng ‚n LIBOR giao ngay.

Nªi chung, gi(cid:247)a c‚c thŒi ﬁi(cid:211)m Ti v(cid:181) Ti+1, ph›‹ng ‚n LIBOR giao ngay gi(cid:247) mØt l›(cid:238)ng cæa tr‚i phi(cid:213)u Tj+1. Do ﬁª gi‚ tr(cid:222) B(t) t„i thŒi ﬁi(cid:211)m t, 0 ≤ t ≤ T cæa

$, mua 1 B1(0)B2(T1) 1/B1(0)B2(T1) B3(T2)

1 i+1 j=1 Bj (Tj−1) Q ph›‹ng ‚n LIBOR giao ngay l(cid:181):

Ch(cid:243) (cid:253) r»ng ph›‹ng ‚n LIBOR giao ngay l(cid:181) tø t(cid:181)i tr(cid:238). Vi ph'n ng(cid:201)u nhi“n cæa qu‚

tr(cid:215)nh gi‚ LIBOR giao ngay l(cid:181)

B(t) = , Ti ≤ t < Ti+1 Q Bi+1(t) i+1 j=1 Bj(Tj−1)

Th›‹ng cæa qu‚ tr(cid:215)nh gi‚ t(cid:181)i s¶n tr“n qu‚ tr(cid:215)nh gi‚ ph›‹ng ‚n LIBOR giao ngay ph¶i l(cid:181) mØt martingale ﬁŁi v(cid:237)i ﬁØ ﬁo QSpot ﬁang x—t. Do ﬁª, vi ph'n ng(cid:201)u nhi“n cæa gi‚ tr‚i phi(cid:213)u tr“n gi‚ ch(cid:216) t(cid:214) ﬁ›(cid:238)c t(cid:221)nh giŁng nh› c‚ch suy ra ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.46).

0 ≤ t ≤ T = µi(t)(t)dt + βi(t)(t)dW (t), dB(t) B(t)

v(cid:237)i t, 0 ≤ t ≤ Ti, i = 1, ..., N + 1

Sau ﬁ'y, ﬁØ ﬁo QSpot sˇ ﬁ›(cid:238)c x'y døng hi(cid:211)n v(cid:237)i gi¶ thi(cid:213)t t(cid:229)n t„i mØt qu‚ tr(cid:215)nh F− kh¶ ﬁo‚n b(cid:222) ch˘n ﬁ(cid:222)a ph›‹ng (gi¶ thi(cid:213)t kh«ng cª ﬁØ ch“nh th(cid:222) gi‚) ϕ∗ : [0, T ] × Ω −→ Rd sao cho

= (µi(t) − µi(t)(t) − (βi(t) − βi(t)(t))βi(t)(t))dt + (βi(t) − βi(t)(t))dW (t) d(Bi(t)/B(t)) (Bi(t)/B(t))

§(cid:222)nh ngh(cid:220)a qu‚ tr(cid:215)nh ϕSpot : [0, T ] × Ω −→ Rd

0 ≤ t ≤ T, i = 1, ..., N + 1 µi(t) = βi(t).ϕ∗(t)

V(cid:215) ϕ∗ tho¶ m•n ﬁi(cid:210)u ki(cid:214)n kh«ng cª ﬁØ ch“nh th(cid:222) gi‚ sau

ϕSpot := ϕ∗(t) − βi(t)(t), 0 ≤ t ≤ T

0 ≤ t ≤ T µV (t) = βV (t).ϕ∗(t)

n“n nª sˇ bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i sang ϕSpot tho¶ m•n

ﬁŁi v(cid:237)i c‚c qu‚ tr(cid:215)nh gi‚ ph›‹ng ‚n V1, V2 v(cid:181) ﬁŁi v(cid:237)i t, 0 ≤ t ≤ T §(cid:222)nh ngh(cid:220)a martingale ﬁ(cid:222)a ph›‹ng M : [0, T ] × Ω −→ R bºi

(1.51) µV1(t) − µV2(t) − (βV1(t) − βV2(t))βi(t)(t) = (βV1(t) − βV2(t))ϕSpot(t)

V(cid:181) ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a qu‚ tr(cid:215)nh W QSpot : [0, T ] × Ω −→ Rd bºi

Z M(t) := ϕSpot(s)dW (s), 0 ≤ t ≤ T

Tı ﬁ(cid:222)nh l(cid:253) Girsanov suy ra W QSpot l(cid:181) mØt martingale ﬁ(cid:222)a ph›‹ng ﬁŁi v(cid:237)i ﬁØ ﬁo QSpot

ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a bºi ﬁ„o h(cid:181)m Radon - Nikodym cæa nª

Z W QSpot(t) = W (t) + ϕSpot(s)ds, 0 ≤ t ≤ T (1.52)

V(cid:215)

  Z Z (t) := exp ϕSpot(s)dW (s) − kϕSpot(s)k2ds 0 ≤ t ≤ T , (1.53) 1 2 dQSpot dP  

t R 0

ph›‹ng giŁng nh› mØt chuy(cid:211)n ﬁØng Brown. H‹n n(cid:247)a, W QSpot l(cid:181) mØt martingale ﬁ(cid:222)a ph›‹ng d›(cid:237)i QSpot. §˘c tr›ng Levy cæa chuy(cid:211)n ﬁØng Brown suy ra W QSpot l(cid:181) chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c d›(cid:237)i QSpot.

Ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n ng(cid:201)u nhi“n cho qu‚ tr(cid:215)nh gi‚ tr‚i phi(cid:213)u tr“n qu‚ tr(cid:215)nh gi‚ LIBOR

giao ngay bi(cid:211)u di(cid:212)n qua QSpot - chuy(cid:211)n ﬁØng Brown W QSpot

ϕSpot(s)ds l(cid:181) mØt qu‚ tr(cid:215)nh bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i h(cid:247)u h„n, W QSpot cª c˚u tr(cid:243)c bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i b(cid:215)nh

= (µi(t) − µi(t)(t) − (βi(t) − βi(t)(t))βi(t)(t))dt d(Bi(t)/B(t)) (Bi(t)/B(t))

+ (βi(t) − βi(t)(t))(dW QSpot(t) − ϕSpot(t)dt)

v(cid:237)i t, 0 ≤ t ≤ Ti, i = 1, ..., N + 1. §…ng thłc sau suy ra tı (1.51)

Ta suy ra ngay r»ng c‚c th›‹ng º tr“n l(cid:181) c‚c martingale d›(cid:237)i QSpot. V(cid:215) th(cid:213) QSpot l(cid:181)

ﬁØ ﬁo c˙n t(cid:215)m.

MØt ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n ng(cid:201)u nhi“n ﬁ›(cid:238)c suy ra cho c‚c l•i su˚t LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t

tr›(cid:237)c bi(cid:211)u di(cid:212)n qua W QSpot. Thay th(cid:213) (1.52) v(cid:181)o (1.46) v(cid:181) s(cid:246) d(cid:244)ng (1.51) ta ﬁ›(cid:238)c

= (βi(t) − βi(t)(t))(dW QSpot(t)

dLi(t) = (cid:0)(βi(t) − βi+1(t)).(βi(t)(t) − βi+1(t))dt + (βi(t) − βi+1(t)).dW QSpot(t)(cid:1)

n X j=i+1

= dt + si(t).dW QSpot(t) 1 + δiLi(t) δi δjsj(t).si(t) 1 + δiLi(t)

v(cid:237)i t, 0 ≤ t ≤ T, i = 1, ..., N. º ﬁ'y ﬁ…ng thłc sau s(cid:246) d(cid:244)ng c‚c ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.47) v(cid:181) (1.48).

Ch(cid:243) (cid:253) r»ng th(cid:181)nh ph˙n d(cid:222)ch chuy(cid:211)n µ kh«ng xu˚t hi(cid:214)n trong ph›‹ng tr(cid:215)nh tr“n, ﬁ(cid:222)nh

gi‚ cæa c‚c ph‚i sinh l(cid:181) ﬁØc l¸p v(cid:237)i l(cid:238)i nhu¸n kœ v(cid:228)ng thøc t(cid:213) cæa c‚c t(cid:181)i s¶n c‹ sº.

CuŁi c(cid:239)ng nh(cid:190)c l„i r»ng σi(.) ≡ Li(.)si(.)

i X j=i(t)

v(cid:237)i 0 ≤ t ≤ Ti, i = 1, ..., N.

= dt + σi(t).dW QSpot(t) (1.54) dLi(t) Li(t) δjLj(t)σj(t).σj(t) 1 + δiLi(t)

Ta x—t ch(cid:216) t(cid:214) l(cid:181) mØt trong c‚c tr‚i phi(cid:213)u, ch…ng h„n Bn+1 v(cid:237)i n n(cid:181)o ﬁª (n ∈ {1, ..., N }).

MØt ph›‹n ‚n ﬁ˙u t› ch(cid:216) chła mØt tr‚i phi(cid:213)u sˇ l(cid:181) tø t(cid:181)i tr(cid:238).

Tß sŁ cæa qu‚ tr(cid:215)nh gi‚ t(cid:181)i s¶n tr“n qu‚ tr(cid:215)nh gi‚ tr‚i phi(cid:213)u ph¶i l(cid:181) martingale d›(cid:237)i ﬁØ ﬁo QTn+1 ﬁang x—t. Nªi ri“ng Bn/Bn+1 l(cid:181) mØt martingale. Do ﬁª l•i su˚t LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c thł n l(cid:181) mØt bi(cid:213)n ﬁ(cid:230)i afin cæa Bn/Bn+1 sˇ l(cid:181) mØt martingale d›(cid:237)i ﬁØ ﬁo QTn+1. §i(cid:210)u n(cid:181)y sˇ h(cid:247)u (cid:221)ch khi t(cid:221)nh to‚n gi‚ cæa mØt h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua trong m« h(cid:215)nh th(cid:222) tr›Œng LIBOR.

Vi ph'n ng(cid:201)u nhi“n cæa gi‚ tr‚i phi(cid:213)u tr“n gi‚ ch(cid:216) t(cid:214) ﬁ›(cid:238)c t(cid:221)nh giŁng nh› c‚ch m(cid:181) ta

suy ra ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.46)

1.1.2.2 §Ø ﬁo QTn+1 ﬁŁi v(cid:237)i h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng LIBOR giao sau

v(cid:237)i t, 0 ≤ t ≤ min(Ti, Tn+1), i = 1, ..., N + 1.

Ho(cid:181)n to(cid:181)n giŁng tr›Œng h(cid:238)p ﬁØ ﬁo QSpot, qu‚ tr(cid:215)nh ϕTn+1 : [0, Tn+1] × Ω −→ Rd v(cid:181) W QTn+1 : [0, Tn+1] × Ω −→ Rd ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a c(cid:239)ng v(cid:237)i mØt ﬁØ ﬁo QTn+1 sao cho W QTn+1 l(cid:181) mØt chuy(cid:211)n ﬁØng Brown d - chi(cid:210)u d›(cid:237)i QTn+1. MØt c‚ch ch(cid:221)nh x‚c ϕTn+1, W QTn+1 v(cid:181) QTn+1 ﬁ›(cid:238)c ﬁ(cid:222)nh ngh(cid:220)a nh› sau:

= (µi(t) − µn+1(t) − (βi(t) − βn+1(t))βn+1(t))dt + (βi(t) − βn+1(t))dW (t) d(Bi(t)/Bn+1(t)) (Bi(t)/Bn+1(t))

ϕTn+1(t) := ϕ∗(t) − βn+1(t), 0 ≤ t ≤ Tn+1

Z W QTn+1 (t) := W (t) + ϕTn+1 (s)ds, 0 ≤ t ≤ Tn+1 (1.55)

º ﬁ'y ϕTn+1 tho¶ m•n

  Z Z (t) := exp ϕTn+1 (s)dW (s) − ||ϕTn+1(s)||2ds , 0 ≤ t ≤ Tn+1 dQTn+1 dP 1 2  

(1.56) µV1(t) − µV2(t) − (βV1(t) − βV2(t))βn+1(t) = (βV1(t) − βV2(t))ϕTn+1(t)

V(cid:237)i V1, V2 l(cid:181) c‚c qu‚ tr(cid:215)nh gi‚ cæa ph›‹ng ‚n ﬁ˙u t› v(cid:181) 0 < t < Tn+1

Ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n ng(cid:201)u nhi“n cho qu‚ tr(cid:215)nh gi‚ tr‚i phi(cid:213)u ﬁang x—t tr“n qu‚ tr(cid:215)nh

gi‚ tr‚i phi(cid:213)u thł n + 1 ﬁ›(cid:238)c bi(cid:211)u di(cid:212)n b»ng QTn+1- chuy(cid:211)n ﬁØng Brown W QTn+1

= (µi(t) − µn+1(t) − (βi(t) − βn+1(t))βn+1(t))dt d(Bi(t)/Bn+1(t)) (Bi(t)/Bn+1(t))

+ (βi(t) − βn+1(t))(dW QTn+1 (t) − ϕTn+1(t)dt)

v(cid:237)i 0 ≤ t ≤ min(Ti, Tn+1), i = 1, ..., N + 1. §…ng thłc thł hai nh¸n ﬁ›(cid:238)c tı (1.56).

Ta suy ra ngay r»ng c‚c th›‹ng tr“n l(cid:181) c‚c martingale d›(cid:237)i QTn+1. V(cid:215) v¸y QTn+1 l(cid:181) ﬁØ

ﬁo m(cid:181) ta c˙n t(cid:215)m.

MØt ph›‹ng tr(cid:215)nh vi ph'n ng(cid:201)u nhi“n ﬁ›(cid:238)c suy ra cho l•i su˚t LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c ﬁ›(cid:238)c bi(cid:211)u di(cid:212)n qua W QTn+1 v(cid:237)i n ∈ {1, ..., N }. Thay (1.55) v(cid:181)o (1.46) v(cid:181) s(cid:246) d(cid:244)ng (1.56) ta ﬁ›(cid:238)c

= (βi(t) − βn+1(t)).dW QTn+1 (t)

dLi(t) = (cid:0)(βi(t) − βi+1(t)).(βn+1(t) − βi+1(t))dt + (βi(t) − βi+1(t)).dW QTn+1 (t)(cid:1)

v(cid:237)i 0 ≤ t ≤ min(Ti, Tn+1), i = 1, ..., N + 1. §…ng thłc cuŁi s(cid:246) d(cid:244)ng ph›‹ng tr(cid:215)nh (1.47).

º ﬁ'y ﬁ(cid:211) cho ng(cid:190)n g(cid:228)n ta quy ›(cid:237)c k(cid:221) hi(cid:214)u

= − dt + si(t).dW QTn+1 (t) δjsj(t).si(t) 1 + δiLi(t) 1 + δiLi(t) δi n X j=i+1 (1.57)

n X j=i

 i < n n(cid:213)u xj

n X j=i

i = n xj := n(cid:213)u

v(cid:237)i i v(cid:181) n nguy“n.

Ch(cid:243) (cid:253) r»ng th(cid:181)nh ph˙n d(cid:222)ch chuy(cid:211)n µ kh«ng xu˚t hi(cid:214)n trong (1.57). CuŁi c(cid:239)ng nh(cid:190)c l„i r»ng σi(.) ≡ Li(.)si(.)

− i > n n(cid:213)u xj 0 n X j=i  

n X j=i+1

v(cid:237)i 0 ≤ t ≤ min(Ti, Tn+1), i = 1, ..., N.

= − dt + σi(t).dW QTn+1 (t) (1.58) dLi(t) Li(t) δjLj(t)σj(t).σj(t) 1 + δiLi(t)

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o

[1] Tr˙n H(cid:239)ng Thao, n¤m 2003, Nh¸p m«n To‚n h(cid:228)c t(cid:181)i ch(cid:221)nh, Nh(cid:181) xu˚t b¶n Khoa h(cid:228)c

v(cid:181) k(cid:252) thu¸t H(cid:181) NØi.

[2] Andersen, L., and Andressen, J, 2000, Volatility Skews and Extensions of the LIBOR

[3] B. Dupire, 1993, Pricing and hedging with smiles, RISK Magazine.

[4] B. Dupire, 1994, Pricing with a smiles, RISK Magazine, January.

[5] Derman E and I Kani, 1997, Stochastic implied trees: arbitrage pricing with stochastic term and strike structure of volatility, Goldman Sachs Quantitative Strategies Technical Notes, April.

[6] Heston S, 1993, A closed-form solution for options with stochastic volatility with appli- cations to bond and currency options, Review of Financial Studies 6, trang 327-343.

[7] JP Morgan, 1999, Event risk and jump diffusion in option pricing, Risk Magazine,

September.

Market Model, Applied Mathematical Finance 7, trang 1-32.

Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hiệu ứng nụ cười trong toán tài chính

M(cid:244)c l(cid:244)c

LŒi mº ﬁ˙u

LŒi c¶m ‹n

Ch›‹ng 1

MØt sŁ ki(cid:213)n thłc chu¨n b(cid:222)

1.1 Ki(cid:213)n thłc c‹ b¶n v(cid:210) th(cid:222) tr›Œng t(cid:181)i ch(cid:221)nh

1.1.1 C‚c th(cid:222) tr›Œng t(cid:181)i ch(cid:221)nh

1.1.2 C(cid:230) phi(cid:213)u chłng kho‚n v(cid:181) c‚c ph‚i sinh

1.2 Th(cid:222) tr›Œng v(cid:181) to‚n h(cid:228)c

1.2.1 Gi‚ ﬁ›(cid:238)c xem nh› c‚c qu‚ tr(cid:215)nh ng(cid:201)u nhi“n

1.2.2 Th«ng tin th(cid:222) tr›Œng v(cid:181) bi(cid:211)u di(cid:212)n to‚n h(cid:228)c

1.2.3 C‹ hØi cª ch“nh l(cid:214)ch th(cid:222) gi‚ v(cid:181) nguy“n l(cid:253) AAO

1.2.4 Nguy“n l(cid:253) ﬁ‚p łng v(cid:181) kh‚i ni(cid:214)m th(cid:222) tr›Œng ﬁ˙y ﬁæ

1.3 M« h(cid:215)nh Black - Scholes

1.3.1 Gi(cid:237)i thi(cid:214)u m« h(cid:215)nh v(cid:181) k(cid:213)t qu¶

1.3.2 C‹ sº d(cid:201)n ﬁ(cid:213)n m« h(cid:215)nh Black - Scholes

1.3.3 X‚c ﬁ(cid:222)nh c‚c tham sŁ cæa chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c

1.3.4 C«ng thłc Black - Scholes v(cid:210) gi‚ cæa h(cid:238)p ﬁ(cid:229)ng quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua

Ch›‹ng 2

Hi(cid:214)u łng n(cid:244) c›Œi

2.1 M« h(cid:215)nh Dupire (1994)

2.1.1 M« h(cid:215)nh

2.1.2 C«ng thłc Dupire

2.1.3 Hi(cid:214)u łng n(cid:244) c›Œi cæa ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ﬁŁi v(cid:237)i c‚c quy(cid:210)n ch(cid:228)n mua Ch'u

¢u

2.1.4 C‚c v˚n ﬁ(cid:210) g˘p ph¶i khi thøc h(cid:181)nh v(cid:181) h›(cid:237)ng gi¶i quy(cid:213)t.

2.2 MØt sŁ h›(cid:237)ng ti(cid:213)p c¸n ch(cid:221)nh ﬁ• ﬁ›(cid:238)c nghi“n cłu

Ch›‹ng 3

§(cid:222)nh gi‚ v(cid:237)i n(cid:244) c›Œi trong m« h(cid:215)nh

th(cid:222) tr›Œng LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c

3.1 B(cid:181)i to‚n n(cid:244) c›Œi trong m« h(cid:215)nh th(cid:222) tr›Œng LIBOR k(cid:253) k(cid:213)t tr›(cid:237)c

3.2 Hai m« h(cid:215)nh thay th(cid:213) c(cid:230) ﬁi(cid:211)n

3.2.1 Tr›Œng h(cid:238)p thay th(cid:213) loga chu¨n

3.2.2 M« h(cid:215)nh co d•n h»ng sŁ cæa ph›‹ng sai

3.3 L(cid:237)p m« h(cid:215)nh t(cid:230)ng qu‚t

3.3.1 Tr›Œng h(cid:238)p c(cid:244) th(cid:211): H(cid:231)n h(cid:238)p c‚c chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c

3.3.2 Mº rØng m« h(cid:215)nh h(cid:231)n h(cid:238)p chuy(cid:211)n ﬁØng Brown h(cid:215)nh h(cid:228)c cho ph—p ﬁØ

l(cid:214)ch ﬁØ bi(cid:213)n ﬁØng ti(cid:210)m ¨n

3.3.3 M« h(cid:215)nh t(cid:230)ng qu‚t ki(cid:211)u Dupire

3.4 V(cid:221) d(cid:244) ‚p d(cid:244)ng v(cid:181)o d(cid:247) li(cid:214)u th(cid:222) tr›Œng

K(cid:213)t lu¸n

Ph(cid:244) l(cid:244)c

1.1 M« h(cid:215)nh th(cid:222) tr›Œng LIBOR

1.1.1 M« h(cid:215)nh

1.1.2 Hai ﬁØ ﬁo th›Œng d(cid:239)ng

T(cid:181)i li(cid:214)u tham kh¶o

Có thể bạn quan tâm

Bất định chính sách kinh tế toàn cầu và chi phí vốn của doanh nghiệp tại Việt Nam

Bài giảng Tài chính tiền tệ - Chương 5: Các trung gian tài chính

Bài giảng Tài chính tiền tệ - Chương 8: Thị trường tài chính

Bài giảng Tài chính tiền tệ - Chương: Mở đầu

Tài liệu ôn thi chứng chỉ Kiểm toán và Kế toán viên - Chuyên đề 2: Tài chính và quản lý tài chính nâng cao

Nghị quyết số 42/NQ-CP năm 2025

Xu hướng và lợi ích của chuyển đổi số trong huy động vốn đối với các công ty chứng khoán tại Việt Nam

Luận văn Thạc sĩ Kinh tế: Phản ứng của tương quan các chỉ báo thị trường tài chính trước các cú sốc dao động - Trường hợp của Việt Nam

Bài giảng Ngang bằng lãi suất

Bài giảng môn Thị trường tài chính quốc tế

Bài giảng Đầu tư quốc tế: Chương 5 - Đầu tư danh mục quốc tế: Tổng quan về danh mục đầu tư quốc tế và thị trường vốn toàn cầu

Bài giảng Tiền tệ, ngân hàng và thị trường tài chính 1: Chương 1

Bài giảng Tiền tệ, ngân hàng và thị trường tài chính 1: Chương 2

Bài giảng Tiền tệ, ngân hàng và thị trường tài chính 1: Chương 3

Bài giảng Tiền tệ, ngân hàng và thị trường tài chính 1: Chương 4

Bài giảng Tiền tệ, ngân hàng và thị trường tài chính 1: Chương 5

Bài giảng Tiền tệ, ngân hàng và thị trường tài chính 1: Chương 6

Bài giảng Tiền tệ, ngân hàng và thị trường tài chính 1: Chương 7

Bài giảng Tiền tệ, ngân hàng và thị trường tài chính 1: Chương 8

Bài giảng Tiền tệ, ngân hàng và thị trường tài chính 1: Chương 9

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS