Luận văn Thạc sĩ: Khảo sát quá trình nén Hong - Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha

Chia sẻ: Dương Đăng Mạnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:73

Thêm vào BST

Báo xấu

127
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Việc nghiên cứu các trạng thái phi cổ điển có ý nghĩa rất quan trọng trong việc tăng độ chính xác của các phép đo và làm cơ sở để nghiên cứu và áp dụng vào các lĩnh vực như: lý thuyết chất rắn, quang lượng tử, thông tin lượng tử và máy tính lượng tử.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ: Khảo sát quá trình nén Hong - Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha

B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Đ I H C HU TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M ----- PH M BÁCH KHOA KH O SÁT QUÁ TRÌNH NÉN HONG-MANDEL C A TR NG THÁI CH NG CH T HAI TR NG THÁI K T H P VUÔNG PHA CHUYÊN NGÀNH: V T LÝ LÝ THUY T VÀ V T LÝ TOÁN Mã s : 60 44 01 LU N VĂN TH C SĨ V T LÝ Ngư i hư ng d n khoa h c TS. TRƯƠNG MINH Đ C Hu , năm 2010 i
L I CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên c u c a riêng tôi, các s li u và k t qu nghiên c u nêu trong Lu n văn là trung th c, đư c các đ ng tác gi cho phép s d ng và chưa t ng đư c công b trong b t kỳ m t công trình nghiên c u nào khác. Hu , tháng 9 năm 2010 Tác gi Lu n văn Ph m Bách Khoa ii
L I C M ƠN Tôi xin bày t lòng bi t ơn sâu s c đ n th y giáo TS. Trương Minh Đ c, ngư i đã giúp đ tôi r t nhi u v tài li u và hư ng d n t n tình trong su t th i gian th c hi n Lu n văn. Tôi xin chân thành c m ơn các th y giáo, cô giáo gi ng d y, Khoa V t lý, Phòng Sau Đ i h c - Trư ng Đ i h c Sư ph m Hu đã t n tình giúp đ tôi, đã gi ng d y tôi trong su t quá trình h c t p v a qua. Tôi xin c m ơn quý th y cô T V t lý - Công ngh và Trư ng THPT Sơn M đã t o đi u ki n thu n l i và giúp đ tôi trong quá trình h c t p. Tôi xin g i l i c m ơn đ n t t c nh ng ngư i thân và b n bè, đ c bi t là b , m , v , con đã đ ng viên, giúp đ tôi trong su t quá trình h c t p và th c hi n Lu n văn. Hu , tháng 9 năm 2010 Tác gi Lu n văn Ph m Bách Khoa iii
M CL C Trang Trang ph bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i L i cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii L i c m ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Danh sách các hình v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 M Đ U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chương 1 - CÁC KI N TH C T NG QUAN 10 1.1 Các tr ng thái k t h p . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.1 Khái ni m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.2 Tính ch t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Khái ni m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Tính ch t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Tr ng thái nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Các ki u nén b c cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.1 Nén ki u Hong-Mandel . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2 Nén ki u Hillery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1
Chương 2 -TÍNH CH T NÉN - TÍNH PH N K T CHÙM - TÍNH TH NG KÊ SUB-POISSON C A TR NG THÁI CH NG CH T HAI TR NG THÁI K T H P VUÔNG PHA 21 2.1 Kh o sát quá trình nén Hillery t ng quát . . . . . 21 2.1.1 B c k = 4n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2 B c k = 4n + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.3 B c k = 4n + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.4 B c k = 4n + 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Kh o sát tính th ng kê sub-Poisson b c cao t ng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1 B c 4n − 1 và 4n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.2 B c 4n + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.3 B c 4n + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Kh o sát tính ch t ph n k t chùm b c cao t ng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Chương 3 -KH O SÁT QUÁ TRÌNH NÉN HONG-MANDEL C A TR NG THÁI CH NG CH T HAI TR NG THÁI K T H P VUÔNG PHA 39 3.1 Kh o sát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.1 Nén b c 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.2 Nén b c 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2
3.1.3 Nén b c 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.4 Nén b c 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 So sánh quá trình nén Hillery và quá trình nén Hong-Mandel c a tr ng ch ng ch t hai tr ng thái k t h p vuông pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 K T LU N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 TÀI LI U THAM KH O . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 PH L C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1 3
DANH SÁCH CÁC HÌNH V 2.1 H s nén S4n+1 là hàm c a |α|2 và n khi φ = 0. . . . . . 24 2.2 H s nén S4n+1 là hàm c a |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và (b) φ = 3π/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 H s nén S4n+2 là hàm c a |α|2 và n khi φ = 0. . . . . . 26 2.4 H s nén S4n+2 là hàm c a |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và (b) φ = 3π/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 H s nén S4n+3 là hàm c a |α|2 và n khi φ = 0. . . . . . 28 2.6 H s nén S4n+3 là hàm c a |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và (b) φ = 3π/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.7 Tham s P4n là hàm c a |α|2 và n khi φ = 0. . . . . . . . 32 2.8 Tham s P4n là hàm c a |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và (b) φ = π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.9 Tham s P4n+2 là hàm c a |α|2 và n khi φ = 0. . . . . . . 33 2.10 Tham s P4n+2 là hàm c a |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và (b) φ = π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.11 Tham s P4n+3 là hàm c a |α|2 và n khi φ = 0. . . . . . . 35 2.12 Tham s P4n+3 là hàm c a |α|2 và n khi (a) φ = π/2 và (b) φ = π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4
3.1 H s nén Hong-Mandel b c 2 là hàm c a |α|2 v i các giá tr φ khác nhau: φ = 0 (đư ng ch m ch m), φ = π/2 (đư ng g ch g ch), φ = 3π/2 (đư ng nét li n). . . . . . . 42 3.2 H s nén Hong-Mandel b c 4 là hàm c a |α|2 v i các giá tr φ khác nhau: φ = 0 (đư ng ch m ch m), φ = π/2 (đư ng g ch g ch), φ = 3π/2 (đư ng nét li n). . . . . . . 45 3.3 H s nén Hong-Mandel b c 6 là hàm c a |α|2 v i các giá tr φ khác nhau: φ = 0 (đư ng ch m ch m), φ = π/2 (đư ng g ch g ch), φ = 3π/2 (đư ng nét li n). . . . . . . 48 3.4 H s nén Hong-Mandel b c 8 là hàm c a |α|2 v i các giá tr φ khác nhau: φ = 0 (đư ng ch m ch m), φ = π/2 (đư ng g ch g ch), φ = 3π/2 (đư ng nét li n).. . . . . . 53 3.5 H s nén Sk ki u Hillery b c 1,2,3,4 (a) và h s nén SN ki u Hong-Mandel b c 2,4,6,8 (b) là hàm c a |α|2 khi φ = 0. 54 5
M Đ U 1. Lý do ch n đ tài Vi c nghiên c u các tr ng thái phi c đi n có ý nghĩa r t quan tr ng trong vi c tăng đ chính xác c a các phép đo và làm cơ s đ nghiên c u và áp d ng vào các lĩnh v c như: lý thuy t ch t r n, quang lư ng t , thông tin lư ng t [13] và máy tính lư ng t . Do đó, các tính ch t phi c đi n c a các tr ng thái cho trư c r t đư c các nhà khoa h c quan tâm. Các tr ng thái phi c đi n này xu t phát đi m t tr ng thái k t h p. Năm 1963, Glauber [7] và Sudarshan [14] đã đưa ra khái ni m tr ng thái k t h p khi nghiên c u tính ch t c a chùm sáng laser. Tr ng thái k t h p là tr ng thái c đi n do trong bi u di n Glauber-Sudarshan [7], [8], [14], hàm phân b xác su t P tương ng v i tr ng thái này là hàm Delta. Tr ng thái k t h p tuân theo phân b Poisson, là phân b mà phương sai c a m t đ i lư ng b ng trung bình s h t c a chúng. N u phương sai c a m t đ i lư ng nh hơn trung bình s h t c a chúng thì hàm phân b ng v i tr ng thái đó là sub-Poisson. Các tr ng thái tuân theo th ng kê sub-Poisson là các tr ng thái phi c đi n do hàm phân b xác su t P ng v i tr ng thái đó là âm. M t tính ch t n a thu c tính ch t phi c đi n đó là tính ch t ph n k t chùm (anti-bunching). N u m t tr ng thái có tính ch t phi c đi n thì s th hi n r t rõ tính ch t ph n k t chùm ho c tính th ng kê sub-Poisson. Vào đ u th p niên 80 c a th k 20, Hestrom [9], Hillery [10] và Mandel [12] đã đưa ra khái ni m tr ng thái phi c đi n trong đó tr ng 6
thái phi c đi n đư c nh c đ n đ u tiên là tr ng thái nén. Trong tr ng thái nén, các thăng giáng lư ng t đư c gi m xu ng dư i m c thăng giáng mà tr ng thái k t h p cho phép. Khi tr ng thái nén đư c khám phá nó m ra m t phương cách đ vư t qua gi i h n lư ng t chu n suy ra t h th c b t đ nh. Năm 2007, Ran Zeng, Muhammad Ashfaq và Shutian Liu [13] đã đưa ra m t tr ng thái phi c đi n m i đó là tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha |Ψ , N |Ψ = √ (|α 2 + eiΦ |iα ), trong đó N là h s chu n hóa. Ngoài ra Ran Zeng, Muhammad Ashfaq và Shutian Liu [13] đã kh o sát m t s tính ch t phi c đi n c a tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha |Ψ nhưng ch d ng l i b c th p như hi u ng nén b c m t, tính th ng kê sub-Poisson b c m t và tính ch t ph n k t chùm b c m t. Năm 2009, tác gi Nguy n Th Bích Ngân [3] đã kh o sát m t s tính ch t phi c đi n c a tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha |Ψ v i các b c cao hơn như hi u ng nén Hillery t b c hai đ n b c tám, tính th ng kê sub-Poisson và tính ch t ph n k t chùm b c hai đ n b c mư i. Tính đ n th i đi m hi n t i, trong các bài báo và các tài li u mà chúng tôi c p nh t đư c, chưa có tác gi nào đ c p đ n vi c kh o sát quá trình nén Hillery t ng quát, tính th ng kê sub-Poisson t ng quát, tính ch t ph n k t chùm t ng quát và quá trình nén Hong-Mandel c a tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha. Vì v y, trong Lu n văn này tôi s kh o sát quá trình nén Hillery t ng quát, tính th ng kê sub-Poisson t ng quát, tính ch t ph n k t chùm t ng quát và quá trình nén Hong- Mandel c a tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p 7
vuông pha |Ψ , r i sau đó chúng tôi so sánh tính ch t nén Hillery và Hong-Mandel c a tr ng thái này. Đó chính là lý do tôi ch n đ tài " Kh o sát quá trình nén Hong- Mandel c a tr ng thái ch ng ch t hai tr ng thái k t h p vuông pha" đ nghiên c u. 2. M c tiêu c a đ tài Kh o sát các tính ch t c a quá trình nén Hillery t ng quát và quá trình nén Hong-Mandel c a tr ng thái ch ng ch t hai tr ng thái k t h p vuông pha. 3. Nhi m v nghiên c u - Kh o sát quá trình nén Hillery t ng quát, tính th ng kê sub- Poisson b c cao t ng quát, tính ch t ph n k t chùm b c cao t ng quát c a tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha. - Kh o sát quá trình nén Hong-Mandel b c 2, b c 4, b c 6, b c 8 c a tr ng thái ch ng ch t hai tr ng thái k t h p vuông pha. 4. Ph m vi nghiên c u Trong Lu n văn này ch kh o sát quá trình nén Hillery t ng quát tính th ng kê sub-Poisson b c cao t ng quát, tính ch t ph n k t chùm b c cao t ng quát và quá trình nén Hong-Mandel c a tr ng thái ch ng ch t hai tr ng thái k t h p vuông pha v i các b c N = 2, 4, 6, 8. 8
5. Phương pháp nghiên c u Đ nghiên c u đ tài này chúng tôi s d ng m t s phương pháp cơ b n như sau: - Phân tích, t ng h p tài li u - Phương pháp lý thuy t trư ng lư ng t - V n d ng các ki n th c đã h c đ tính toán đưa ra các bi u th c c th , v đ th và tính s . 6. B c c lu n văn Ngoài m c l c và tài li u tham kh o, Lu n văn đư c chia làm ba ph n: m đ u, n i dung và k t lu n. Ph n m đ u nêu rõ lý do ch n đ tài, m c tiêu, nhi m v , phương pháp và ph m vi nghiên c u. Ph n n i dung chia làm ba chương, trong đó chương 1 trình bày các ki n th c t ng quan; chương 2 kh o sát quá trình nén Hillery, tính ch t ph n k t chùm, tính th ng kê sub-Poisson t ng quát c a tr ng thái ch ng ch t hai tr ng thái k t h p vuông pha; chương 3 kh o sát quá trình nén Hong-Mandel c a tr ng thái ch ng ch t hai tr ng thái k t h p vuông pha. Ph n k t lu n nêu lên k t qu đ t đư c c a Lu n văn. 9
CHƯƠNG 1 CÁC KI N TH C T NG QUAN Đ đ m b o tính logic và d hi u, trư c khi trình bày v tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha và tính ch t phi c đi n c a chúng, chúng ta nh c l i m t cách khái quát tr ng thái k t h p. Tr ng thái k t h p, kí hi u |α , đư c Glauber [7] và Sudarshan [14] đưa ra l n đ u tiên vào năm 1963 khi dùng tr ng thái này đ mô t tính ch t c a chùm sáng laser. Sau đó chúng ta s đ c p đ n tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha, kí hi u |Ψ và m t s tính ch t phi c đi n (như tính ch t nén, tính th ng kê sub-Poisson và tính ch t ph n k t chùm) c a nó nhưng ch b c nh đã đư c Ran Zeng, Muhammad Ashfaq và Shutian Liu [13] đưa ra năm 2007 và tác gi Nguy n Th Bích Ngân [3] phát tri n thêm vào năm 2009. 1.1 Các tr ng thái k t h p 1.1.1 Khái ni m Năm 1963, Glauber [7] và Sudarshan [14] đưa ra khái ni m tr ng thái k t h p |α khi kh o sát tính ch t c a chùm sáng laser- chùm sáng có đ đơn s c cao và cư ng đ l n. Tính ch t đ c bi t c a chùm laser là tính k t h p, cư ng đ càng cao thì tính k t h p càng l n. Vì th , tr ng thái dùng đ mô t nó có tên là tr ng thái k t h p. 10
Ta có toán t sinh h t a+ và h y h t a tuân theo h th c giao hoán [a, a+ ] = 1, (1.1) [a, a] = [a+ , a+ ] = 0, (1.2) và toán t s h t n = a+ a. Tr ng thái k t h p |α đư c đ nh nghĩa là tr ng thái riêng c a toán t h y boson a. Do đó |α th a mãn phương trình a|α = α|α , (1.3) trong đó α là m t s ph c b t kỳ trong không gian ph c. Khi khai tri n thông qua các tr ng thái Fock |n thì tr ng thái k t h p |α đư c bi u di n dư i d ng ∞ |α = Cn |n , (1.4) n=0 trong đó |n là tr ng thái Fock. Thay (1.4) vào (1.3), ta đư c bi u th c c a tr ng thái k t h p bi u di n theo h cơ s c a các tr ng thái Fock ∞ αn |α = C0 √ |n , (1.5) n=0 n! v i C0 là h s chu n hóa. 1.1.2 Tính ch t Tr ng thái k t h p có m t s tính ch t sau Tính ch t 1: Các tr ng thái k t h p đã đư c chu n hóa, nghĩa là α|α = 1. (1.6) T bi u th c (1.6), ta thu đư c h s chu n hóa C0 c a tr ng thái k t h p |α 1 C0 = exp(− |α|2 ). (1.7) 2 11
Thay (1.7) vào (1.6), ta đư c bi u th c c a tr ng thái k t h p đã chu n hóa khai tri n theo h cơ s c a tr ng thái Fock |n có d ng như sau ∞ 1 αn |α = exp(− |α|2) √ |n . (1.8) 2 n=0 n! Tính ch t 2: Các tr ng thái k t h p không tr c giao v i nhau, nghĩa là α|β = 0. (1.9) Tính ch t 3: Phân b s h t tr ng thái |α tuân theo phân b Poisson (là phân b mà s h t trung bình và phương sai c a toán t s h t b ng nhau). Ta có s h t trung bình tr ng thái k t h p |α n = α|n|α = α|a+ a|α = |α|2 . (1.10) Phương sai c a toán t s h t trong tr ng thái k t h p |α ( n)2 = α|( n)2|α = α|n2 |α − α|n|α 2 = |α|2 . (1.11) T (1.10) và (1.11), ta th y s h t trung bình và phương sai c a toán t s h t trong tr ng thái k t h p b ng nhau, nghĩa là n = ( n)2 . (1.12) T (1.12) ch ng t r ng tr ng thái k t h p tuân theo phân b Poisson. Ta tính xác su t tìm h t tr ng thái k t h p |α p(n) = n|α α|n ∞ ∞ 2 αm (α∗ )m = exp(−|α| ) √ n| m √ m| n (1.13) m=0 m! m=0 m! 2|α|2n = exp(−|α| ) , n! 12
2n trong đó p(n) = exp(−|α|2 ) |α| là hàm phân b Poisson. Hàm phân b n! Poisson mô t r t t t các tính ch t c a chùm sáng laser và là hàm phân b tương ng v i gi i h n lư ng t chu n. Vì v y, tr ng thái k t h p là tr ng thái c đi n. Tính ch t 4: H t t c các tr ng thái k t h p |α là m t h đ , nghĩa là 1 |α α|d2 α = 1. (1.14) π Tính ch t 5: Tr ng thái k t h p |α là tr ng thái có đ b t đ nh c c ti u, nghĩa là 1 ( x)2 ( p)2 = . (1.15) 4 Đây là tính ch t quan tr ng nh t c a tr ng thái k t h p |α , nó g i cho ta nghĩ đ n kh năng t n t i c a các tr ng thái có đ b t đ nh nh hơn gi i h n lư ng t chu n. Nh ng tr ng thái này không th là tr ng thái c đi n. Vì v y, có th xem chúng là m t l p các tr ng thái phi c đi n. Ti p theo chúng ta s nghiên c u đ n tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha và tính ch t c a nó. 1.2 Tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha 1.2.1 Khái ni m Ran Zeng, Muhammad Ashfaq và Shutian Liu [13] đã đưa ra m t tr ng thái phi c đi n m i đó là tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha vào năm 2007. Tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng 13
thái k t h p vuông pha có d ng như sau N |Ψ = √ (|α + eiφ |iα ), (1.16) 2 trong đó tr ng thái k t h p |α bi u di n theo h cơ s c a các tr ng thái Fock |n có d ng như sau ∞ 1 2 αn |α = exp(− |α| ) √ |n , (1.17) 2 n=0 n! và tr ng thái k t h p |iα bi u di n theo h cơ s c a các tr ng thái Fock |n có d ng như sau ∞ 1 2 (iα)n |iα = exp(− |α| ) √ |n . (1.18) 2 n=0 n! Thay (1.17) và (1.18) vào (1.16) ta thu đư c bi u th c c a tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha khai tri n theo h cơ s c a các tr ng thái Fock |n có d ng như sau ∞ N 1 αn + eiφ (iα)n |Ψ = √ exp(− |α|2 ) √ |n , (1.19) 2 2 n=0 n! v i N là h s chu n hóa. 1.2.2 Tính ch t Tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha có m t s tính ch t sau Tính ch t 1: Tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha đã đư c chu n hóa, nghĩa là [3] Ψ|Ψ = 1. (1.20) 14
T bi u th c (1.20), ta thu đư c h s chu n hóa N c a tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha 2 1 N = [1 + e−|α| cos(φ + |α|2)]− 2 . (1.21) Thay (1.21) vào (1.19) ta có bi u th c c a tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha đã chu n hóa khai tri n theo h cơ s c a các tr ng thái Fock |n có d ng như sau 2 1 ∞ [1 + e−|α| cos(φ + |α|2 )]− 2 − |α|2 αn + eiφ (iα)n |Ψ = √ e 2 √ |n . (1.22) 2 n=0 n! Tính ch t 2: Các tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha không tr c giao v i nhau, nghĩa là [3] Ψ|Ψ = 0. (1.23) Tính ch t 3: Tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha là tr ng thái riêng c a bình phương toán t h y boson a2 , nghĩa là [3] a2|Ψ = α2 |Ψ . (1.24) Tính ch t 4: Phân gi i đơn v c a tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha |Ψ đư c vi t như sau [3] dµ(α)|Ψ Ψ| = 1. (1.25) v i α là s ph c b t kỳ trong không gian ph c nên ta ch n α = |α|eiϕ và hàm µ(α) đư c xác đ nh theo bi u th c [3] |α0| nπ 2πµ (α)N 2 d|α|α2n+1 exp(−|α|2 )[1 + cos(φ + ) = n!. (1.26) 0 2 Như v y, n u t n t i hàm µ(α) sao cho nó th a mãn đi u ki n (1.26) v i m i n thì có th khai tri n m t hàm b t kỳ dư i d ng các tr ng thái 15
ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha, nghĩa là khi đó các tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha l p thành m th đ . Tính ch t 5: Tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha |Ψ tuân theo tính th ng kê sub-Poisson b c m t và tính ch t ph n k t chùm b c m t đ n b c chín [3], [13]. Tính ch t 6: Tr ng thái ch ng ch t c a hai tr ng thái k t h p vuông pha |Ψ có hi u ng nén b c m t [13] và b c hai, b c ba, b c năm, b c sáu, b c b y [3]. 1.3 Tr ng thái nén Xu t phát t h th c b t đ nh cho 2 đ i lư ng v t lý A,B không đo đư c đ ng th i trong tr ng thái |ϕ nào đó 1 ˆ ˆ V AV B ≥ | ϕ|[A, B]|ϕ |2 . (1.27) 4 N u |ϕ = |α là tr ng thái k t h p c a hai đ i lư ng A,B thì h th c b t đ nh c a chúng đ t đ n đ b t đ nh t i thi u 1 ˆ ˆ V AV B = | ϕ|[A, B]|ϕ |2 , (1.28) 4 đ ng th i có th ch ng minh đư c r ng phương sai c a A cũng b ng phương sai c a B và b ng m t giá tr g i là gi i h n lư ng t chu n 1 ˆ ˆ V A = V B = | ϕ|[A, B]|ϕ |, (1.29) 4 M t tr ng thái v t lý |ϕ c a trư ng h t boson cho hai đ i lư ng A,B mà trong đó VA(ho c VB) bé hơn giá tr gi i h n lư ng t chu n sao 16
cho nguyên lý b t đ nh không b vi ph m thì tr ng thái |ϕ g i là tr ng thái nén đ i v i đ i lư ng A(ho c B). Trư ng h p đ c bi t n u tr ng thái nén c a A(ho c B) còn th a mãn đi u ki n (V A)(V B) b ng đ b t đ nh t i thi u thì nó đư c g i là tr ng thái nén lý tư ng. 1.4 Các ki u nén b c cao 1.4.1 Nén ki u Hong-Mandel Các tr ng thái nén đơn mode b c cao đư c đưa ra b i Hong và Mandel vào năm 1985 [11] và đư c g i là ki u nén Hong-Mandel. Cho hai toán t biên đ tr c giao có giao hoán t ˆ ˆ [Xa (ϕ), Xa (ϕ + π/2)] = 2iC, C : s th c b t kỳ. (1.30) Hong-Mandel đã s d ng đ ng nh t th c Campbell-Bake-Hausdorff ˆ ˆ 1 exp(∆Xa(ϕ)x) = : exp(∆Xa(ϕ)x) : exp( x2 C), (1.31) 2 trong đó :...: ký hi u N-tích. Khai tri n các hàm mũ trong (1.31) dư i d ng chu i theo x và đ ng nh t hai v , ta có: ˆ V N Xa(ϕ) ≡ (∆Xa(ϕ))2N N −1 (2N )2j C j ˆ = j : (∆Xa(ϕ))2(N −j) : + (2N − 1)!!C N , (1.32) j!2 j=0 trong đó (2N )! N (j) ≡ N (N − 1)...(N − j + 1); (2N − 1)!! ≡ . (1.33) N !2N tr ng thái k t h p, t t c các s h ng ˆ : (∆Xa(ϕ)x)2(N −j) : = 0 nên V N Xa(ϕ) = (2N − 1)!!C N , (1.34) 17