Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh của họ tiến hóa

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tính hyperbolic của toán tử tuyến tính bị chặn được xác định qua phổ của toán tử, phổ của toán tử không cắt trục ảo. Perron vào năm 1930 đã đặc trưng tính hyperbolic của toán tử tuyến tính bị chặn thông qua lớp các ánh xạ liên tục và bị chặn, phương pháp của Perron sau này còn được gọi là phương pháp “input-output” (đầu vào-đầu ra). Mời các bạn cùng tham khảo nội dung luận văn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh của họ tiến hóa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ Nguyễn Thị Hồng Hạnh ĐẶC TRƯNG TÍNH NHỊ PHÂN MŨ MẠNH CỦA HỌ TIẾN HÓA LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2019
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ Nguyễn Thị Hồng Hạnh ĐẶC TRƯNG TÍNH NHỊ PHÂN MŨ MẠNH CỦA HỌ TIẾN HÓA Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Trịnh Viết Dược Hà Nội - Năm 2019
Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.Không gian tuyến tính định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.Họ tiến hóa trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Chương 2. Đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh của họ tiến hóa . . . . . . . . 11 2.1.Khái niệm nhị phân mũ mạnh theo một họ chuẩn . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.Đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh của họ tiến hóa sinh bởi họ toán tử liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.Đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh của họ tiến hóa tổng quát . 28 2.4.Nhị phân mũ mạnh không đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1
LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến Sỹ Trịnh Viết Dược người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Hà Nội, ngày 19 tháng 10 năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Hồng Hạnh 2
LỜI MỞ ĐẦU Tính hyperbolic của toán tử tuyến tính bị chặn được xác định qua phổ của toán tử, phổ của toán tử không cắt trục ảo. Perron vào năm 1930 đã đặc trưng tính hyperbolic của toán tử tuyến tính bị chặn thông qua lớp các ánh xạ liên tục và bị chặn, phương pháp của Perron sau này còn được gọi là phương pháp “input-output” (đầu vào-đầu ra). Về mặt hình học, dáng điệu nghiệm của phương trình trình vi phân gắn với toán tử hyperbolic (còn được gọi là hệ hyperbolic) giống với mặt phẳng pha của điểm yên ngựa. Không gian ban đầu được phân tách thành tổng trực tiếp của hai không gian con đóng mà nghiệm sẽ bị co lại khi có giá trị ban đầu thuộc một trong hai không gian con này (ứng với không gian con ổn định) và giãn ra khi có giá trị ban đầu thuộc không gian con còn lại (ứng với không gian con không ổn định). Tính chất này được xem như là tính cốt lõi của hệ hyperbolic, vì vậy khi mở rộng khái niệm hyperbolic cho phương trình trình vi phân gắn với toán tử tuyến tính không bị chặn hoặc phương trình trình vi phân gắn với các toán tử tuyến tính phụ thuộc thời gian (còn được gọi là hệ không ôtônôm - “non autonomous”) thì tính chất này luôn được bảo toản. Tuy nhiên, do có sự điều chỉnh về mặt khái niệm nên các hệ không ôtônôm có tính chất hyperbolic thường được gọi là hệ có nhị phân mũ. Sau này, khái niệm hyperbolic được tổng quát hóa bởi Pesin thông qua khái niệm hyperbolic không đều (hay nhị phân mũ không đều). Xét trong không gian hữu hạn chiều hoặc không gian Banach, khái niệm hyperbolic không đều cho phép hệ số giãn và co của các quỹ đạo không bị chặn đều mà phụ thuộc vào thời điểm ban đầu. Do đó, đối với hệ hyperbolic không đều thì dáng điệu nghiệm với điều kiện ban đầu nằm trong không gian con ổn định hoặc không gian con không ổn định sẽ bị xấu đi mà không có sự kiểm soát về dáng điệu. Tuy nhiên, khái niệm hyperbolic không đều được đưa ra bởi Pesin có hệ số giãn và co tăng không quá hàm mũ. Chi tiết về lý thuyết 3
hyperbolic không đều của Pesin và mối liên hệ của lý thuyết này với số mũ Lyapunov, chúng tôi giới thiệu người đọc các tài liệu [4, 3]. Khái niệm nhị phân mũ mạnh theo một họ chuẩn cho trước được đưa ra và phát triển bởi Luis Barreira và Claudia Valls. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày chi tiết các kết quả trong bài báo [5] của Luis Barreira và Claudia Valls xuất bản năm 2017. Trong bài báo này, các tác giả đưa ra đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh của họ tiến hóa theo một họ chuẩn trong hai trường hợp: họ tiến hóa sinh bởi họ toán tử tuyến tính liên tục mạnh và họ tiến hóa tổng quát, các kết quả này được phát biểu và chứng minh theo phương pháp của Perron mà đã đề cập ở trên; và tính tương đương giữa họ tiến hóa có nhị phân mũ mạnh không đều (theo nghĩa Pesin) và họ tiến hóa có nhị phân mũ mạnh ứng với họ chuẩn nào đó. Vì vậy, bố cục luận văn được chia thành hai chương. • Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản của giải tích hàm như là không gian tuyến tính định chuẩn, toán tử tuyến tính bị chặn, không gian các toán tử tuyến tính bị chặn và họ tiến hóa trong không gian Banach. • Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Chúng tôi trình bày chi tiết các chứng minh trong bài báo [5] của Luis Barreira và Claudia Valls, đồng thời xây dựng một ví dụ minh họa cho khái niệm nhị phân mũ mạnh theo một họ chuẩn cho trước với mục đích hiểu rõ hơn khái niệm này. Hà Nội, ngày 19 tháng 10 năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Hồng Hạnh 4
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn Trong mục này, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm mà sẽ được sử dụng trong chương sau. Các kiến thức này được tham khảo trong hai cuốn sách [1, 2]. 1.1.1. Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Tập X 6= ∅ được gọi là không gian véctơ trên trường số K nếu trên X xác định hai phép toán: cộng véctơ + : X × X → X và nhân một số vô hướng với véctơ · : K × X → X thỏa mãn các tiên đề sau. a) x + (y + z) = (x + y) + z với mọi x, y, z ∈ X. b) Tồn tại θ ∈ X sao cho x + θ = θ + x = x với mọi x ∈ X. c) Với mỗi x ∈ X tồn tại (−x) ∈ X sao cho x + (−x) = (−x) + x = θ. d) x + y = y + x với mọi x, y ∈ X. e) α(βx) = (αβ)x với mọi x ∈ X và α, β ∈ K. f) Với mọi x, y ∈ X và α, β ∈ K thì (α + β)x = αx + βx, 5
α(x + y) = αx + αy. g) 1x = x với mọi x ∈ X. Định nghĩa 1.1.2. Cho X là một không gian véctơ trên trường K (K = R hoặc C). X được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn nếu với mọi x ∈ X xác định một số gọi là chuẩn của x, kí hiệu kxk, thỏa mãn ba tiên đề sau: a) kxk ≥ 0 với mọi x ∈ X. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = θ. b) kλxk = |λ|kxk với mọi x ∈ X và λ ∈ K. c) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ X. Định nghĩa 1.1.3. Dãy {xn } trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới x ∈ X nếu lim kxn − xk = 0, ký hiệu là xn → x. n→∞ Định nghĩa 1.1.4. Dãy {xn } trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu lim kxn − xm k = 0. n,m→∞ Định nghĩa 1.1.5. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ đến một véctơ trong X. 1.1.2. Toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.1.6. Cho X và Y là hai không gian véctơ trên trường K. Ánh xạ A : X → Y được gọi là tuyến tính nếu i) A(x + x0 ) = Ax + Ax0 với mọi x, x0 ∈ X. ii) A(αx) = αAx với mọi x ∈ X và α ∈ K. Định nghĩa 1.1.7. Cho X và Y là hai không gian định chuẩn. Ánh xạ A : X → Y được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi dãy {xn } ⊂ X sao cho xn → x0 thì A(xn ) → A(x0 ). Chú ý 1.1.1. Nếu A liên tục tại mọi điểm x0 ∈ X thì A được gọi là liên tục trên X. 6
Định nghĩa 1.1.8. Cho X và Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính A : X → Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho kAxk ≤ Ckxk, ∀x ∈ X. Khi đó, M := inf{C > 0 : kAxk ≤ Ckxk} được gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là kAk. Định lý 1.1.1. Cho X, Y là hai không gian định chuẩn và A : X → Y là toán tử tuyến tính bị chặn. Khi đó, kAk = sup kAxk = sup kAxk. kxk≤1 kxk=1 Định lý 1.1.2. Cho X, Y là hai không gian định chuẩn và A : X → Y là toán tử tuyến tính. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương. i) A là liên tục trên X. ii) A là liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X. iii) A là bị chặn. Định nghĩa 1.1.9. Cho X, Y là các không gian tuyến tính định chuẩn và D(A) là không gian con của X. Toán tử tuyến tính A : D(A) → Y được gọi là toán tử đóng nếu với mọi dãy {xn } ⊂ D(A) thỏa mãn xn → x, Axn → y thì x ∈ D(A) và Ax = y. Định lý 1.1.3 (Định lí đồ thị đóng). Cho X, Y là các không gian Banach và A : X → Y là toán tử tuyến tính. Khi đó, A là liên tục khi và chỉ khi A là toán tử đóng. Định nghĩa 1.1.10. Cho họ (At )t∈T gồm các toán tử tuyến tính At từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Họ (At )t∈T được gọi là bị chặn từng điểm nếu với mỗi x ∈ X thì tập {At x : t ∈ T } là bị chặn. Họ (At )t∈T được gọi là bị chặn đều nếu tập {kAt k : t ∈ T } là bị chặn. Định lý 1.1.4 (Nguyên lý bị chặn đều Banach - Steinhaus). Nếu họ (At )t∈T gồm các toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Banach X vào không gian định chuẩn Y là bị chặn từng điểm thì họ này bị chặn đều. 7
1.1.3. Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Kí hiệu B(X, Y ) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y , được trang bị hai phép toán như sau: tổng của hai toán tử A, B ∈ B(X, Y ) là một toán tử, kí hiệu là A + B và xác định bởi (A + B)(x) = Ax + Bx, ∀ x ∈ X; tích của một số vô hướng α ∈ K với toán tử A ∈ B(X, Y ) là một toán tử, kí hiệu là αA và xác định bởi (αA)(x) = α(Ax). Tập B(X, Y ) cùng với hai phép toán bên trên trở thành một không gian véctơ trên trường K. Trong trường hợp X = Y , B(X, Y ) được ký hiệu là B(X). Mặt khác, với mỗi A ∈ B(X, Y ) thì số kAk = sup kAxk kxk=1 tạo thành một chuẩn trên không gian véctơ B(X, Y ). Do đó, B(X, Y ) là không gian định chuẩn. Định lý 1.1.5. Nếu Y là không gian Banach thì B(X, Y ) là không gian Banach. Định lý 1.1.6. Cho không gian Banach X và A ∈ B(X). Nếu kAk < 1 thì toán tử I − A khả nghịch và ∞ X −1 (I − A) = Ak . k=0 1.2. Họ tiến hóa trong không gian Banach Trong phần này, chúng tôi nhắc lại khái niệm họ tiến hóa sinh bởi một phương trình vi phân trong không gian Banach. Với giả thiết họ các toán tử tuyến tính là liên tục mạnh, họ tiến hóa sinh bởi một phương trình vi phân trong không gian Banach sẽ luôn tồn tại. Nội dung của phần này được viết theo sách chuyên khảo của Daleckii-Krein [6]. 8
Định nghĩa 1.2.1. Cho X là không gian Banach, ánh xạ A : R → B(X) được gọi là liên tục mạnh trên R nếu với mỗi x ∈ X thì ánh xạ t 7→ A(t)x liên tục theo t trên R. Xét phương trình vi phân trong không gian Banach X x0 (t) = A(t)x(t). Định lý 1.2.1. Giả sử A là ánh xạ liên tục mạnh. Khi đó, với mỗi x0 ∈ X thì bài toán Cauchy của phương trình  x0 (t) = A(t)x(t),  t ∈ R, (1.2.1) x(0) = x0  có duy nhất nghiệm x(t) xác định trên R. Do đó, toán tử Cauchy được nghĩa nghĩa như sau. Định nghĩa 1.2.2 (Toán tử Cauchy). Với mỗi t ∈ R, toán tử U (t) : X → X được xác định bởi U (t)x0 = x(t, x0 ), trong đó x(t, x0 ) là nghiệm của bài toán Cauchy (1.2.1). Định lý 1.2.2. U (t) thuộc B(X) và U (t) là song ánh trên X với mỗi t ∈ R. Đặt T (t, τ ) := U (t)U −1 (τ ) với t, τ ∈ R. Định nghĩa 1.2.3. Họ toán tử (T (t, τ ))t,τ ∈R được gọi là họ tiến hóa sinh bởi họ toán tử liên tục mạnh (A(t))t∈R . Tiếp theo là một số tính chất của họ tiến hóa. 1. Xét bài toán Cauchy với điều kiện ban đầu (τ, x) ∈ R × X,  x0 (t) = A(t)x(t), t ∈ R,  x(τ ) = x.  Khi đó, nghiệm x(t) của bài toán Cauchy bên trên được cho bởi họ tiến hóa T (t, τ ) như sau: x(t) = T (t, τ )x với t ∈ R. 9
2. Với mọi t, s, τ ∈ R ta có i) T (t, t) = Id, ii) T (t, s)T (s, τ ) = T (t, τ ), iii) T (t, τ ) = [T (τ, t)]−1 . Đặc biệt, khi A(t) ≡ A thì T (t, τ ) = U (t)U −1 (τ ) = etA e−τ A = e(t−τ )A . Nội dung cuối của phần này là bổ đề Gronwall-Bellman. Đây là một bổ đề được sử dụng thường xuyên khi nghiên cứu dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân. Bổ đề 1.2.1 (Bổ đề Gronwall-Bellman). Cho h : R → R+ là hàm liên tục và K là hằng số. Giả sử u : R → R là hàm liên tục và thoả mãn Z t u(t) ≤ K + h(τ )u(τ )dτ, ξ ≤ t ≤ η. ξ Khi đó, Rt h(τ )dτ u(t) ≤ Ke ξ , ξ ≤ t ≤ η. 10
Chương 2 Đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh của họ tiến hóa Trong chương này, chúng tôi trình bày các kết quả trong bài báo của Barreira và Valls [5]. Mục tiêu chính của chương này là đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh của họ tiến hóa trong hai trường hợp: họ tiến hóa sinh bởi họ toán tử tuyến tính liên tục mạnh và họ tiến hóa tổng quát. Các kết quả đặc trưng này theo hướng tổng quát định lý Perron trong phương trình vi phân thường, hay còn gọi là phương pháp “input-output”. Tính mới trong các kết quả này là xét tính nhị phân mũ mạnh (theo nghĩa đều) của họ tiến hóa theo một họ chuẩn cho trước. Tuy nhiên, một điểm thú vị là tính nhị phân mũ mạnh của họ tiến hóa theo một họ chuẩn cho trước lại tương đương với tính nhị phân mũ mạnh không đều của họ tiến hóa theo chuẩn ban đầu của không gian Banach. 2.1. Khái niệm nhị phân mũ mạnh theo một họ chuẩn Cho (X, k · k) là không gian Banach và k · kt với t ∈ R là một họ chuẩn trên X. Giả sử họ chuẩn này thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) Tồn tại các hằng số C > 0 và ≥ 0 sao cho kxk ≤ kxkt ≤ Ce|t| kxk (2.1.1) 11
với mọi x ∈ X và t ∈ R. (ii) Ánh xạ t 7→ kxkt là đo được với mỗi x ∈ X. Định nghĩa 2.1.1. Họ (T (t, τ ))t,τ ∈R gồm các toán tử tuyến tính bị chặn trên X được gọi là họ tiến hóa liên tục mạnh nếu 1. T (t, t) = Id, t ∈ R. 2. T (t, s)T (s, τ ) = T (t, τ ), t, s, τ ∈ R. 3. Với t, τ ∈ R và x ∈ X, các ánh xạ s 7→ T (t, s)x và s 7→ T (s, τ )x là liên tục. Định nghĩa 2.1.2. Họ tiến hóa (T (t, τ ))t,τ ∈R được gọi là có nhị phân mũ mạnh ứng với họ chuẩn k · kt nếu i. Tồn tại họ phép chiếu P (t) với t ∈ R sao cho P (t)T (t, τ ) = T (t, τ )P (τ ), t, τ ∈ R. (2.1.2) ¯ < 0 < b ≤ ¯b và D > 0 sao cho với t ≥ τ thì ii. Tồn tại các hằng số a ≤ a kT (t, τ )P (τ )xkt ≤ Dea¯(t−τ ) kxkτ , (2.1.3) kT (τ, t)Q(t)xkτ ≤ De−b(t−τ ) kxkt (2.1.4) và với t ≤ τ thì kT (t, τ )P (τ )xkt ≤ Dea(t−τ ) kxkτ , (2.1.5) ¯ kT (τ, t)Q(t)xkτ ≤ De−b(t−τ ) kxkt , (2.1.6) trong đó Q(t) = Id − P (t). Để đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh theo một họ chuẩn cho trước, chúng ta định nghĩa không gian Y như sau: Y là tập hợp các ánh xạ liên tục x : R → X sao cho kxk∞ = sup {kx(t)kt : t ∈ R} < ∞. Khi đó, (Y, k · k∞ ) là không gian Banach. 12
2.2. Đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh của họ tiến hóa sinh bởi họ toán tử liên tục mạnh Trong phần này, chúng ta xét họ tiến hóa sinh bởi toán tử tuyến tính liên tục mạnh. Cụ thể, xét phương trình vi phân x0 (t) = A(t)x(t), (2.2.7) trong đó A : R → B(X) là ánh xạ liên tục mạnh. Khi đó, phương trình vi phân (2.2.7) xác định một họ tiến hóa (T (t, τ ))t,τ ∈R . Bây giờ là điều kiện cần để họ tiến hóa (T (t, τ ))t,τ ∈R có nhị phân mũ mạnh theo họ chuẩn k · kt . Định lý 2.2.1. Giả sử họ tiến hóa (T (t, τ ))t,τ ∈R có nhị phân mũ mạnh ứng với họ chuẩn k · kt . Khi đó, 1. Với mỗi y ∈ Y , tồn tại duy nhất x ∈ Y sao cho x0 (t) − A(t)x(t) = y(t) (2.2.8) với mọi t ∈ R. 2. Tồn tại K, a > 0 sao cho kT (t, τ )x0 kt ≤ Kea|t−τ | kx0 kτ (2.2.9) với mọi x0 ∈ X và t, τ ∈ R. Chứng minh. 1. Với y ∈ Y , hàm x(t) được định nghĩa như sau. Z t Z +∞ x(t) = T (t, τ )P (τ )y(τ )dτ − T (t, τ )Q(τ )y(τ )dτ, t ∈ R. −∞ t Định nghĩa trên là hoàn toàn xác định. Thật vậy, từ (2.1.3) và (2.1.4) suy ra Z t Z +∞ kx(t)kt ≤ kT (t, τ )P (τ )y(τ )kt dτ + kT (t, τ )Q(τ )y(τ )kt dτ −∞ t Z t Z +∞ a¯(t−τ ) −b(τ −t) ≤ Dkyk∞ e dτ + e dτ −∞ t 1 1 =D − + kyk∞ < ∞, a ¯ b 13
với mọi t ∈ R. Do đó, x(t) được xác định và kxk∞ < ∞. Tiếp theo, ta chứng minh x(t) thỏa mãn phương trình (2.2.8). Với t0 ∈ R, ta có Z t Z t x(t) = T (t, τ )y(τ )dτ − T (t, τ )P (τ )y(τ )dτ t0 t0 Z t Z t − T (t, τ )Q(τ )y(τ )dτ + T (t, τ )P (τ )y(τ )dτ t0 −∞ Z +∞ − T (t, τ )Q(τ )y(τ )dτ t Z t Z t0 = T (t, τ )y(τ )dτ + T (t, τ )P (τ )y(τ )dτ t0 −∞ Z +∞ − T (t, τ )Q(τ )y(τ )dτ t0 Z t = T (t, τ )y(τ )dτ + T (t, t0 )x(t0 ). t0 Do đó, x(t) thỏa mãn phương trình Z t x(t) = T (t, τ )y(τ )dτ + T (t, t0 )x(t0 ), (2.2.10) t0 với mọi t ∈ R. Vì họ tiến hóa (T (t, τ ))t,τ ∈R là liên tục mạnh và y là hàm liên tục nên từ (2.2.10) suy ra x(t) là hàm khả vi và thỏa mãn phương trình (2.2.8). Cuối cùng, ta chứng minh rằng x là nghiệm duy nhất trong Y của phương trình (2.2.8). Giả sử có hai hàm x1 , x2 ∈ Y sao cho x01 (t) − A(t)x1 (t) = y(t), x02 (t) − A(t)x2 (t) = y(t) với mọi t ∈ R. Suy ra, (x1 − x2 )0 (t) = A(t)(x1 − x2 )(t) với mọi t ∈ R. Đặt x = x1 − x2 , ta cần chỉ ra rằng x = 0. Thật vậy, đặt xs (t) = P (t)x(t) và xu (t) = Q(t)x(t). Suy ra x(t) = xs (t) + xu (t). Mặt khác, từ (2.1.2) ta có xs (t) = P (t)T (t, τ )x(τ ) = T (t, τ )P (τ )x(τ ) = T (t, τ )xs (τ ), xu (t) = Q(t)T (t, τ )x(τ ) = T (t, τ )Q(τ )x(τ ) = T (t, τ )xu (τ ). Với mỗi t ∈ R, τ ≥ 0, ta có kxs (t)kt = kT (t, t − τ )xs (t − τ )kt 14
= kT (t, t − τ )P (t − τ )x(t − τ )kt ≤ Dea¯τ kx(t − τ )kt−τ ≤ Dea¯τ kxk∞ . Cho τ → +∞, suy ra xs (t) = 0. Tương tự, ta có kxu (t)kt = kT (t, t + τ )xu (t + τ )kt = kT (t, t − τ )Q(t + τ )x(t + τ )kt ≤ De−bτ kx(t + τ )kt+τ ≤ De−bτ kxk∞ . Cho τ → +∞, suy ra xu (t) = 0. Do đó, x(t) = 0 với mọi t ∈ R. Vậy x1 = x2 . 2. Từ các điều kiện (2.1.3) và (2.1.6), với t ≥ τ ta có kT (t, τ )x0 kt ≤ kT (t, τ )P (τ )x0 kt + kT (t, τ )Q(τ )x0 kt ¯ ≤ Dea¯(t−τ ) kx0 kτ + Deb(t−τ ) kx0 kτ ¯ ≤ 2Deb(t−τ ) kx0 kτ . Tương tự, với t ≤ τ thì kT (t, τ )x0 kt ≤ kT (t, τ )P (τ )x0 kt + kT (t, τ )Q(τ )x0 kt ≤ De−a(τ −t) kx0 kτ + De−b(τ −t) kx0 kτ ≤ 2De−a(τ −t) kx0 kτ . Đặt K = 2D và a = max{¯b, −a}, ta thu được ước lượng (2.2.9). Bây giờ ta chứng minh phần đảo của Định lí 2.2.1. Định lý 2.2.2. Giả sử với mỗi y ∈ Y thì phương trình (2.2.8) có duy nhất nghiệm x ∈ Y và điều kiện (2.2.9) được thỏa mãn (họ tiến hóa bị chặn mũ). Khi đó, họ tiến hóa (T (t, τ ))t,τ ∈R có nhị phân mũ mạnh ứng với họ chuẩn k · kt . Chứng minh. Xét toán tử H : D(H) → Y , được xác định bởi (Hx)(t) = x0 (t) − A(t)x(t), t ∈ R, trong đó D(H) = {x ∈ Y : Hx ∈ Y }. Khi đó, (H, D(H)) là toán tử tuyến tính. Định lý này sẽ được chứng minh thông qua một số bổ đề dưới đây. 15
Bổ đề 2.2.1. H : D(H) → Y là toán tử đóng. Chứng minh. Gọi (xk )k∈N là một dãy trong D(H) hội tụ đến x ∈ Y sao cho yk = Hxk hội tụ đến y ∈ Y . Ta chứng minh rằng x ∈ D(H) và Hx = y. Với mỗi τ ∈ R, t ≥ τ , ta có x(t) − x(τ ) = lim (xk (t) − xk (τ )) k→∞ Z t = lim x0k (s)ds k→∞ τ Z t = lim (yk (s) + A(s)xk (s)) ds. k→∞ τ Mặt khác, từ (2.1.1) suy ra Z t Z t Z t yk (s)ds − y(s)ds ≤ kyk (s) − y(s)k ds τ τ τ Z t ≤ kyk (s) − y(s)ks ds τ ≤ (t − τ ) kyk − yk∞ . Vì yk → y trong Y nên Z t Z t lim yk (s)ds = y(s)ds. k→∞ τ τ Vì hàm s 7→ A(s)x là liên tục với mỗi x ∈ X nên sup kA(s)xk < ∞. τ ≤s≤t Theo định lí Banach - Steinhaus, ta có M := sup {kA(s)k : s ∈ [τ, t]} < ∞. Suy ra, Z t Z t Z t A(s)xk (s)ds − ≤M A(s)x(s)ds kxk (s) − x(s)k ds τ τ τ ≤ M (t − τ ) kxk − xk∞ . Vì xk → x trong Y nên Z t Z t lim A(s)xk (s)ds = A(s)x(s)ds. k→∞ τ τ 16
Do đó, Z t x(t) − x(τ ) = (A(s)x(s) + y(s)) ds. τ Suy ra, x là hàm khả vi và x0 (t) = A(t)x(t) + y(t) với mọi t ∈ R. Vậy, x ∈ D(H) và Hx = y. Từ bổ đề trên và giả thiết của định lý thì toán tử H là song ánh và đóng. Áp dụng định lí đồ thị đóng, suy ra toán tử H có toán tử ngược G : Y → D(H) ⊂ Y là toán tử bị chặn. Các không gian con ổn định và không ổn định được xây dựng như sau. Với mỗi τ ∈ R, ký hiệu Fτs là tập tất cả x ∈ X sao cho tồn tại một nghiệm u của phương trình (2.2.7) với điều kiện ban đầu u(τ ) = x và thỏa mãn sup {ku(t)kt : t ∈ [τ, +∞)} < ∞, (2.2.11) Fτu là tập tất cả x ∈ X sao cho tồn tại một nghiệm u của phương trình (2.2.7) với điều kiện ban đầu u(τ ) = x và thỏa mãn sup {ku(t)kt : t ∈ (−∞, τ ]} < ∞. (2.2.12) Khi đó, Fτs và Fτu là các không gian con của X. Bổ đề 2.2.2. X = Fτs ⊕ Fτu với mỗi τ ∈ R. Chứng minh. Cho Φ : R → R là một hàm trơn có giá trong [τ, +∞) sao cho 0 ≤ Φ ≤ 1, Φ = 1 trên [τ + 1, +∞) và sup |Φ0 (t)| < ∞. Lấy x ∈ X, gọi u là nghiệm của phương t∈R trình u (t) = A(t)u(t) với u(τ ) = x. Đặt g = Φ0 u, ta có 0 kgk∞ = sup {kΦ0 (t)u(t)kt : t ∈ R} ≤ sup {kΦ0 (t)u(t)kt : t ∈ [τ, τ + 1]} ≤ sup |Φ0 (t)|Ce max{|τ |,|τ +1|} sup ku(t)k < ∞. t∈[τ,τ +1] t∈[τ,τ +1] Do đó, g ∈ Y . Vì H khả nghịch nên tồn tại v ∈ D(H) sao cho Hv = g. Đặt w = (1 − Φ)u + v, khi đó Hw = 0 (tức là w là nghiệm của phương trình (2.2.7)). Thật vậy, với mỗi t ∈ R ta có Hw(t) = Hu(t) − HΦu(t) + Hv(t) 17
= −(Φu)0 (t) + A(t)Φu(t) + g(t) = −g(t) − Φ(t)u0 (t) + Φ(t)A(t)u(t) + g(t) = −Φ(t) (u0 (t) − A(t)u(t)) = 0. Mặt khác, sup {kw(t)kt : t ∈ [τ, +∞)} = sup {k(1 − Φ(t))u(t) + v(t)kt : t ∈ [τ, +∞)} ≤ sup {k(1 − Φ(t))u(t)kt : t ∈ [τ, τ + 1]} + sup {kv(t)kt : t ∈ [τ, +∞)} < ∞. Do đó, w(τ ) ∈ Fτs . Ta cũng có, H(w − u) = 0 và sup {k(w − u)(t)kt : t ∈ (−∞, τ ]} = sup {kv(t)kt : t ∈ (−∞, τ ]} < ∞. Suy ra, w(τ ) − x = w(τ ) − u(τ ) = v(τ ) ∈ Fτu hay x ∈ Fτs + Fτu . Tiếp theo, ta chứng minh Fτs ∩ Fτu = {0}. Thật vậy, lấy x ∈ Fτs ∩ Fτu . Khi đó, tồn tại u là nghiệm của phương trình u0 (t) = A(t)u(t) với điều kiện ban đầu u(τ ) = x, thỏa mãn (2.2.11) và (2.2.12). Do đó, u ∈ Y và Hu = 0. Vì H khả nghịch nên u = 0. Suy ra, x = u(τ ) = 0. Gọi P (τ ) : X → Fτs và Q(τ ) : X → Fτu là các phép chiếu liên kết với phân tích tổng trực tiếp X = Fτs ⊕ Fτu . Khi đó, P (τ ) + Q(τ ) = Id và thỏa mãn các tính chất dưới đây. Bổ đề 2.2.3. P (t)T (t, τ ) = T (t, τ )P (τ ) với mọi t, τ ∈ R và tồn tại M ≥ 0 sao cho kP (τ )xkτ ≤ M kxkτ với mọi x ∈ X và τ ∈ R. Chứng minh. Với mỗi x ∈ X, ta có x = x1 + x2 với x1 ∈ Fτs và x2 ∈ Fτu . Tiếp theo ta chứng minh hai không gian Fτs và Fτu là bất biến với toán tử T (t, τ ), tức là T (t, τ )x1 ∈ Fts và T (t, τ )x2 ∈ Ftu với mọi t ∈ R. Do x1 ∈ Fτs nên tồn tại nghiệm u của phương trình u0 (t1 ) = A(t1 )u(t1 ) với u(τ ) = x1 và sup{ku(t1 )kt1 : t1 ∈ [τ, +∞)} < ∞. 18