Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Rẽ nhánh và vài ứng dụng cho các hệ phẳng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết rẽ nhánh là nghiên cứu toán học về những thay đổi trong bức tranh pha của nghiệm phương trình sai phân, nghiệm phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân. Rẽ nhánh xảy ra khi thay đổi nhỏ giá trị tham số của một hệ động lực gây ra sự thay đổi đột ngột trong bức tranh pha. Rẽ nhánh được chia ra làm hai loại. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Rẽ nhánh và vài ứng dụng cho các hệ phẳng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Hương RẼ NHÁNH VÀ VÀI ỨNG DỤNG CHO CÁC HỆ PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2020
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Hương RẼ NHÁNH VÀ VÀI ỨNG DỤNG CHO CÁC HỆ PHẲNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. LÊ HUY TIỄN Hà Nội - Năm 2020
LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Lê Huy Tiễn, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn này. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới khoa Toán - Cơ - Tin Học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội. Cảm ơn các thầy cô giáo đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn cao học. Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ em trong quá trình học tập. Hà Nội, ngày 23 tháng 02 năm 2020 Học viên Nguyễn Thị Hương i
Mục lục Lời cảm ơn i Lời nói đầu 1 Bảng thuật ngữ và ký hiệu 3 Danh sách hình 4 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ VÍ DỤ RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 5 1.1 Hình dung ban đầu về rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Ví dụ rẽ nhánh trong phương trình đại số . . . . . . . . 6 1.1.2 Ví dụ rẽ nhánh trong phương trình vi phân . . . . . . . 7 1.2 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Vài ví dụ rẽ nhánh của phương trình sai phân một chiều . . . 12 2 SỰ TỒN TẠI RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN MỘT CHIỀU 21 2.1 Thác triển địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Rẽ nhánh nút-yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Rẽ nhánh dĩa và rẽ nhánh xuyên tới hạn . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5 Dạng chuẩn tắc của rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5.1 Dạng chuẩn tắc của rẽ nhánh nút yên-ngựa . . . . . . . 27 2.5.2 Dạng chuẩn tắc của rẽ nhánh xuyên tới hạn . . . . . . 28 2.5.3 Dạng chuẩn tắc của rẽ nhánh dĩa . . . . . . . . . . . . . 29 2.5.4 Rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ii
3 RẼ NHÁNH TRONG HỆ PHẲNG 32 3.1 Rẽ nhánh ánh xạ co diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2 Rẽ nhánh ánh xạ bảo toàn diện tích . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 iii
LỜI NÓI ĐẦU Trong hệ động lực, rẽ nhánh là khái niệm ngược với ổn định. Khái niệm rẽ nhánh lần đầu tiên được giới thiệu bởi Henri Poincaré vào năm 1885, sau đó được các nhà toán học nghiên cứu sâu rộng, chẳng hạn [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], . . . . Lý thuyết rẽ nhánh là nghiên cứu toán học về những thay đổi trong bức tranh pha của nghiệm phương trình sai phân, nghiệm phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân. Rẽ nhánh xảy ra khi thay đổi nhỏ giá trị tham số của một hệ động lực gây ra sự thay đổi đột ngột trong bức tranh pha. Rẽ nhánh được chia ra làm hai loại. • Rẽ nhánh địa phương xảy ra khi thay đổi tham số làm cho bức tranh pha xung quanh điểm cân bằng hoặc điểm tuần hoàn thay đổi. • Rẽ nhánh toàn cục xảy ra khi thay đổi tham số làm cho bức tranh pha toàn cục thay đổi. Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu một số rẽ nhánh địa phương sau. 1. Rẽ nhánh nút-yên ngựa (saddle-node). 2. Rẽ nhánh xuyên tới hạn (transcritical). 3. Rẽ nhánh dĩa (pitchfork). 4. Rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ (period doubling). Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1. Các ví dụ rẽ nhánh của phương trình sai phân một chiều Trong chương này tác giả sẽ trình bày lại những kiến thức liên quan đến sự rẽ nhánh của phương trình sai phân cụ thể là các định nghĩa điểm bất động, 1
điểm tuần hoàn, điểm ổn định (hút), điểm không ổn định (đẩy). Sau đó, các ví dụ rẽ nhánh nói trên được tính toán chi tiết và minh họa hình học. Chương 2. Sự tồn tại rẽ nhánh của phương trình sai phân một chiều Mục đích của chương này là trình bày các định lý tồn tại các rẽ nhánh nút-yên ngựa, rẽ nhánh xuyên tới hạn, rẽ nhánh dĩa, rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ. Chương 3. Rẽ nhánh trong hệ phẳng Trong chương này tác giả đưa ra một số ví dụ về rẽ nhánh trong các hệ hai chiều, nhấn mạnh vào tính co diện tích và tính bảo toàn diện tích. Nội dung luận văn chủ yếu tham khảo từ cuốn sách [2]. Luận văn chỉ xét rẽ nhánh của hệ rời rạc, tức là các phương trình sai phân. Hà Nội, ngày 23 tháng 02 năm 2020 Học viên Nguyễn Thị Hương 2
BẢNG THUẬT NGỮ VÀ KÝ HIỆU [1] Tài liệu số 1 ở mục "Tài liệu tham khảo" N Tập hợp các số tự nhiên Z Vành các số nguyên Q, R Trường các số hữu tỷ, số thực (tương ứng) Z(M ) Môđun con suy biến của môđun M saddle-node bifurcation rẽ nhánh nút-yên ngựa pitchfork bifurcation rẽ nhánh dĩa transcritical bifurcation rẽ nhánh xuyên tới hạn period doubling bifurcation rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ 3
Danh sách hình 1.1 Bức tranh pha hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Sơ đồ bước cầu thang của g(x) = 2x(1 − x) . . . . . . . . . . . . 12 1.4 (a) a = −1, (b) a = −0.25, (c) a = 0.5. . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Lược đồ rẽ nhánh nút-yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 (a) a = 0.5, (b) a = 0.75, (c) a = 1. . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7 (a) a = 0.5, (b) a = 0.75, (c) a = 1. . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.8 Lược đồ rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.9 (a) ρ = 1, (b) ρ = 1.5, (c) ρ = 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.10 Lược đồ rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.11 (a) a = −2; (b) a = −1; (c) a = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.12 Lược đồ rẽ nhánh dĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1 Đồ thị f với điểm bất động hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Lược đồ rẽ nhánh nút yên-ngựa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Họ bản đồ có đạo hàm xuyên qua 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Rẽ nhánh nút-yên ngựa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Rẽ nhánh xuyên tới hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6 Rẽ nhánh dĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1 Rẽ nhánh nút-yên ngựa trong hệ phẳng . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 (a) b = −0.9, (b) b = −1.1, (c) a = −1.0. . . . . . . . . . . . . 39 3.3 Giá trị riêng phức của các điểm bất động elliptic . . . . . . . . 40 4
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ VÍ DỤ RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Trong chương này chúng ta sẽ nhắc lại những kiến thức liên quan đến sự rẽ nhánh của phương trình sai phân. Cụ thể ta định nghĩa điểm bất động, điểm tuần hoàn, điểm ổn định (hút), điểm không ổn định (đẩy) và các điều kiện liên quan phục vụ cho Chương 2 và Chương 3. Sau đó một số ví dụ về rẽ nhánh được tính toán minh họa cụ thể. 1.1 Hình dung ban đầu về rẽ nhánh Hiện tượng rẽ nhánh 1 xảy ra trong nhiều lĩnh vực khác nhau: toán học, sinh học, vật lý, hóa học, kinh tế, . . . . Câu hỏi đầu tiên: Thế nào là hiện tượng rẽ nhánh? 1 Nội dung phần này tham khảo từ tài liệu [1]. 5
1.1.1 Ví dụ rẽ nhánh trong phương trình đại số Chúng ta lấy ví dụ hiện tượng rẽ nhánh của phương trình đại số. Xét phương trình x2 − a = 0. Khi a > 0, phương trình có 2 nghiệm phân biệt; khi a = 0, phương trình có duy nhất nghiệm; khi a < 0, phương trình vô nghiệm. Khi giá trị tham số a đi qua 0, tính chất của phương trình bị thay đổi, cụ thể là số nghiệm thay đổi. Ta nói a = 0 là giá trị rẽ nhánh. Ngược với hiện tượng rẽ nhánh là hiện tượng ổn định. Trong ví dụ trên, tất cả các giá trị tham số dương a > 0 đều ổn định, theo nghĩa các phương trình x2 − a = 0 và x2 − (a ± ε) = 0 đều có 2 nghiệm √ √ x=± a và x = ± a ± ε với ε đủ bé để a ± ε > 0; tức là 2 hệ gần nhau có cùng số nghiệm. Tương tự, các giá trị tham số a < 0 đều ổn định theo nghĩa các phương trình x2 − a = 0 và x2 − (a ± ε) = 0 đều vô nghiệm. Ta có lược đồ sau. x √ x= a ổn định ổn định a điểm rẽ nhánh √ x=− a Lược đồ rẽ nhánh của phương trình x2 − a = 0 6
1.1.2 Ví dụ rẽ nhánh trong phương trình vi phân Hệ động lực chia làm hai loại: liên tục (phương trình vi phân thường) và rời rạc (phương trình sai phân thường). Ngoài ra còn có các hệ động lực sinh bởi phương trình vi-sai phân, phương trình vi-tích phân, phương trình vi phân trễ, phương trình sai phân trễ, hệ động lực lai, hệ động lực trên thang thời gian. Nói chung, các kết quả của hệ động lực liên tục và hệ động lực rời rạc là tương đồng nhau. Tuy nhiên, trong lý thuyết rẽ nhánh, sự khác biệt giữa hệ rời rạc và hệ liên tục là khá nhiều, cả về kỹ thuật lẫn kết quả. Sự khác nhau này không chỉ bởi tô-pô của đường thẳng thực R khác với tô-pô rời rạc trên tập số nguyên Z, mà còn xuất phát từ việc xây dựng bức tranh pha của phương trình sai phân khác với bức tranh pha của phương trình vi phân. Nếu bạn đã biết lý thuyết ổn định Lyapunov của nghiệm của phương trình vi phân, thì bạn không ngạc nhiên khi toàn bộ lý thuyết cơ bản đều phát biểu cho các hệ vững (rough systems): ổn định mũ, nhị phân mũ, ổn định tuyến tính hóa, tương đương tô-pô và định lý Hartman-Grobman, đa tạp bất biến ổn định và không ổn định. Trong các hệ vững, bức tranh pha của hệ ban đầu và các hệ gần nó là đồng phôi với nhau, hay là các hệ này tương đương tô-pô. Lý thuyết rẽ nhánh là phần nâng cao, đề cập đến trường hợp ngược lại, nghĩa là khi thay đổi tham số thì bức tranh pha của hệ không đồng phôi với nhau nữa. Trong phần này, thông qua ví dụ chúng ta sẽ hình dung ban đầu về khái niệm rẽ nhánh trong hệ động lực. Trước hết, để dễ hình dung, ta hãy xét các phương trình vi phân. Xét hệ vi phân phẳng phụ thuộc tham số  x0 = β + x2 với β ∈ R. y 0 = −y 7
Hình 1.1: Bức tranh pha hệ phương trình vi phân Trong Hình 1.1 ban đầu với β < 0 hệ có 2 điểm bất động trong đó một điểm yên ngựa và một điểm nút, khi β = 0 hệ chỉ có một điểm bất động và khi β > 0 hệ không có điểm bất động. Bức tranh pha của hệ trên không đồng phôi với nhau khi ta thay đổi giá trị tham số β hiện tượng đó gọi là rẽ nhánh và loại rẽ nhánh này được gọi là rẽ nhánh nút yên-ngựa. 1.2 Kiến thức chuẩn bị Xét phương trình sai phân phụ thuộc tham số xn+1 = f (a, xn ). Việc thay đổi giá trị tham số từ a từ a0 đến giá trị a1 gần a0 có thể sẽ làm thay đổi bức tranh pha của nghiệm phương trình sai phân. Có hai trường hợp xảy ra. 1. Bức tranh pha với a = a1 đồng phôi với bức tranh pha với a = a0 . Tình huống này ta nói a0 là điểm ổn định (stability). 2. Bức tranh pha với a = a1 không đồng phôi với bức tranh pha với a = a0 . Ta nói a0 là điểm phân nhánh hay rẽ nhánh (bifurcation). Định nghĩa 1.2.1. Xét phương trình sai phân xn+1 = f (xn ) với f : Rm → Rm là ánh xạ trơn. Điểm p được gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu f (p) = p. 8
Ký hiệu Fix(f ) là tập hợp các điểm bất động của f , tức là Fix(f ) = {p : f (p) = p}. Điểm p được gọi là điểm tuần hoàn của ánh xạ f nếu tồn tại số m ∈ N∗ sao cho f m (p) = p. Số m nhỏ nhất gọi là chu kỳ của điểm tuần hoàn p, và ký hiệu là π(p). Tập các điểm tuần hoàn của f ký hiệu là Per(f ). Với ε > 0, ký hiệu Nε (p) là ε-lân cận của điểm p, tức là Nε (p) = {x ∈ R : kx − pk < ε}. Định nghĩa 1.2.2. Cho p là điểm bất động của ánh xạ f . Nếu tồn tại > 0 sao cho với mọi x ∈ N (p) mà lim f k (x) = p k→∞ thì p gọi là điểm bất động hút. Nói cách khác, điểm bất động p gọi là hút nếu mọi điểm gần p đều hút về p dưới tác động của ánh xạ f . Tương tự, ta có khái niệm điểm bất động đẩy. Định nghĩa 1.2.3. Cho p là điểm bất động của ánh xạ f . Điểm p gọi là điểm bất động đẩy đối với f nếu tồn tại ε > 0 sao cho với mọi x ∈ Nε (p), tồn tại số tự nhiên N để f N (x) ∈ / Nε (p). Nói cách khác, điểm bất động p gọi là đẩy nếu mọi điểm gần p đều ra xa p sau hữu hạn tác động của ánh xạ f . Khi f là song ánh, thì p là đẩy đối với f nếu và chỉ nếu p là đẩy đối với f −1 . Định lý 1.2.4. Cho x∗ là một điểm bất động của phương trình sai phân xn+1 = f (xn ) trong đó f là ánh xạ trơn một chiều. Khi đó, các mệnh đề sau đây là đúng. 0 (i) Nếu |f (x∗ )| < 1 thì x∗ là ổn định (hút). 0 (ii) Nếu |f (x∗ )| > 1 thì x∗ là không ổn định (đẩy). 9
Định nghĩa 1.2.5. Cho p là điểm tuần hoàn chu kỳ k của ánh xạ f . Quỹ đạo tuần hoàn chu kỳ k của điểm p gọi là quỹ đạo tuần hoàn hút nếu p là điểm hút của f k . Tương tự, ta có khái niệm điểm bất động đẩy của ánh xạ f k . Định nghĩa 1.2.6. Cho p là điểm tuần hoàn chu kỳ k của ánh xạ f . Quỹ đạo tuần hoàn chu kỳ k của điểm p gọi là quỹ đạo tuần hoàn đẩy nếu p là điểm đẩy của f k . Đối với không gian có số chiều cao hơn, ta có tiêu chuẩn khác để xác định một điểm bất động là ổn định hay không ổn định, đó là dựa vào các giá trị riêng của ma trận Jacobi. Định nghĩa 1.2.7. Cho f = (f1 , f2 , . . . , fm ) là một ánh xạ trong Rm và cho p ∈ Rm . Ma trận Jacobi của f tại p, ký hiệu bởi Df (p), là ma trận  ∂f1 ∂f1  ∂x1 (p) · · · ∂xm (p) Df (p) =   .. ... ..  . .  ∂fm ∂fm ∂x1 (p) · · · ∂xm (p) của đạo hàm thành phần tại p. Định lý 1.2.8. Cho f là một ánh xạ trong Rm và giả sử f (p) = p. Khi đó, các mệnh đề sau đây là đúng. (i) Nếu |λ| < 1 với mọi λ ∈ σ(Df (p)) thì p là điểm bất động hút. (ii) Nếu |λ| > 1 với mọi λ ∈ σ(Df (p)) thì p là điểm bất động đẩy. Trong không gian hai chiều và không gian có số chiều lớn hơn, hệ có điểm bất động hỗn hợp (điểm yên ngựa). Điểm yên ngựa là điểm tồn tại |λ| > 1 và |λ| < 1 sao cho λ ∈ σ(Df (p)). 10
Hình 1.2: Điểm yên ngựa Định nghĩa 1.2.9. Cho f là một ánh xạ trong Rm , giả sử f (p) = p. Khi đó p được gọi là điểm bất động hyperbolic nếu |λ| = 6 1 với mọi λ ∈ σ(Df (p)). Định nghĩa 1.2.10. Cho f là một ánh xạ trong Rm , giả sử f (p) = p. Khi đó p được gọi là điểm bất động elliptic nếu |λ| = 1 với mọi λ ∈ σ(Df (p)). Chú ý 1.2.11. (Sơ đồ bước cầu thang) Sau đây là một phương pháp đồ họa quan trọng cho việc phân tích sự ổn định của điểm bất động của f . Với xn+1 = f (xn ) ta vẽ đồ thị của hàm f trên mặt phẳng (xn , xn+1 ) = (xn , f (xn )). Sau đó, cho x(0) = x0 ta xác định giá trị của x1 bằng cách vẽ một đường thẳng đứng qua x0 sao cho đường thẳng này cắt đồ thị của f tại (x0 , x1 ). Tiếp theo vẽ một đường ngang từ (x0 , x1 ) giao với đường y = x tại (x1 , x1 ). Một đường thẳng đứng vẽ từ điểm (x1 , x1 ) giao với đồ thị f tại điểm (x1 , x2 ). Cứ tiếp tục quá trình này chúng ta có thể thấy xn với mọi n > 0. Trong Hình 1.3 với giá trị ban đầu x0 = x(0) = 0.1, điểm bất động x = 0.5 là điểm hút, và điểm gốc là điểm bất động đẩy. 11
Hình 1.3: Sơ đồ bước cầu thang của g(x) = 2x(1 − x) 1.3 Vài ví dụ rẽ nhánh của phương trình sai phân một chiều Trong mục này chúng ta sẽ tính toán và minh họa hình học rẽ nhánh nút-yên ngựa, rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ, rẽ nhánh dĩa, và rẽ nhánh xuyên tới hạn thông qua các họ ánh xạ đơn giản. Ví dụ 1.2.1. (Rẽ nhánh nút-yên ngựa và rẽ nhánh nhân đôi chu kỳ) Cho phương trình sai phân xn+1 = a − x2n với a ∈ R. 12
Điểm bất động của f (a, x) = a − x2 thỏa mãn a − x2 = x. Do đó, các điểm bất động của f là nghiệm phương trình bậc 2 như sau x2 + x − a = 0. Khi đó xảy ra các trường hợp sau. 1 • Với a < − , f không có điểm bất động (trường hợp (a) trong Hình 1.4). 4 1 1 • Với a = − , f có một điểm bất động x = − (trường hợp (b) trong Hình 4 2 1 1.4) lúc này đường thẳng y = x là tiếp tuyến của y = a − x2 và f 0 (− ) = 1. 2 1 3 • Với − < a < , f có 2 điểm bất động. Cụ thể a = 0.5, f có một điểm 4 4 √ √ −1 − 3 −1 + 3 đẩy tại x1 = và 1 điểm hút tại x2 = (trường hợp (c) 2 2 trong Hình 1.4). 3 • Với a ≥ hệ động lực chuyển sang một trạng thái mới (trường hợp (b), 4 (c) trong Hình 1.6). Hình 1.4: (a) a = −1, (b) a = −0.25, (c) a = 0.5. 13
Chú ý 1.3.1. Khi một cặp điểm bất động xuất hiện ở miền không có điểm bất động nào, do sự thay đổi tham số ta gọi nó là rẽ nhánh nút-yên ngựa. Trong không gian một chiều rẽ nhánh này được gọi là rẽ nhánh tiếp tuyến. Điều này được thể hiện trong Hình 1.4. Trong không gian 2 chiều, khi thay đổi giá trị tham số a sẽ làm xuất hiện một điểm yên ngựa và một điểm nút, tên rẽ nhánh nút-yên ngựa xuất phát từ đây. Hình 1.5: Lược đồ rẽ nhánh nút-yên ngựa Hình 1.4 cho biết đồ thị không gian trạng thái trước, trong và sau giá trị 1 rẽ nhánh. Khi giá trị tham số a đi qua − , tính chất của bức tranh pha bị 4 1 thay đổi, cụ thể là số điểm bất động bị thay đổi. Ta nói a = − là giá trị rẽ 4 nhánh. Một loại lược đồ khác cung cấp thông tin về không gian trạng thái một cách tổng quát hơn, lược đồ này được minh họa trong Hình 1.5 và ta gọi nó là lược đồ rẽ nhánh. Lược đồ rẽ nhánh có trục hoành thể hiện giá trị tham số a, còn trục tung thể hiện giá trị điểm bất động x. Lược đồ rẽ nhánh mô tả điểm bất động của f như một hàm của a. Điểm bất động hút được chỉ ra trong đường cong liền, điểm bất động đẩy được chỉ ra trong đường cong đứt. 14
1 Vòng tròn tại a = − thể hiện vị trí xảy ra rẽ nhánh nút-yên ngựa. 4 Hình 1.6: (a) a = 0.5, (b) a = 0.75, (c) a = 1. Hình 1.7: (a) a = 0.5, (b) a = 0.75, (c) a = 1. 15