Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Sử dụng điều kiện xảy ra của đẳng thức để chứng minh một số dạng bất đẳng thức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:90

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài có cấu trúc gồm 2 chương giới thiệu một số bất đẳng thức có điều kiện trong các kỳ thi quốc gia, quốc tế; sử dụng điều kiện xảy ra của đẳng thức để chứng minh một số dạng bất đẳng thức. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Sử dụng điều kiện xảy ra của đẳng thức để chứng minh một số dạng bất đẳng thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ NGUYỄN THỊ NHƢ TUYẾT “SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN XẢY RA CỦA ĐẲNG THỨC ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC” LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC HÀ NỘI , NĂM 2014 Page 1 of 90
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ NGUYỄN THỊ NHƢ TUYẾT “SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN XẢY RA CỦA ĐẲNG THỨC ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC” CHUYÊN NGÀNH: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. NGUYỄN VŨ LƢƠNG HÀ NỘI , NĂM 2014 Page 2 of 90
LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu và học tập tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, tác giả đã hoàn thành khóa luận với đề tài: “Sử dụng điều kiện xảy ra của đẳng thức chứng minh một số dạng bất đẳng thức”. Để hoàn thành được luận văn này, đầu tiên tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Vũ Lƣơng, thầy đã dành thời gian hướng dẫn, chỉ bảo và tận tình giúp đỡ trong quá trình xây dựng đề tài, giúp tác giả giải quyết các vấn đề nảy sinh trong quá trình làm luận văn và hoàn thành luận văn đúng định hướng ban đầu. Qua đây tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy, cô giáo đã đọc, kiểm tra, đánh giá và cho những ý kiến quý báu để luận văn được hoàn thiện, phong phú hơn. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng Sau Đại học, khoa Toán – Cơ – Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường. Cuối cùng là sự biết ơn sâu sắc tới gia đình, lời cảm ơn tới bạn bè đã thông cảm, động viên giúp đỡ cho tác giả có đủ nghị lực để hoàn thành luận văn. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận được sự chỉ bảo của thầy cô và các bạn. Một lần nữa tác giả xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người. Chúc tất cả mọi người sức khỏe và thành đạt. Page 3 of 90
MỤC LỤC Lời cảm ơn………………..………………..………………………………….3 Chƣơng I. Giới thiệu một số bất đẳng thức có điều kiện trong các kỳ thi quốc gia, quốc tế……………………………………..……………………… 5 I. Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân ( AM – GM)……5 II. Bất đẳng thức CAUCHY – SCHWARZ… …….…………………. 9 III. Một số bài toán về bất đẳng thức có điều kiện trong các kỳ thi quốc gia và quốc tế..……………………………………………………………….11 Chƣơng II. Sử dụng điều kiện xảy ra của đẳng thức để chứng minh một số dạng bất đẳng thức………………...……………………………… ………..32 §1. Sử dụng điều kiện xảy ra của đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức có điều kiện chứa căn thức………………………………………...32 §2. Sử dụng điều kiện xảy ra của đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức có điều kiện dạng phân thức…………………………………….…41 §3. Sử dụng điều kiện xảy ra của đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức dạng trung bình…………………………………………………….51 §4. Sử dụng điều kiện xảy ra của đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức với điều kiện đẳng thức……………………………………………64 §5. Sử dụng điều kiện xảy ra của đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức với điều kiện chứa thứ tự.……………………………………….....75 §6. Phép toán nhóm abel và bất đẳng thức với điều kiện……………………..84 Tài liệu tham khảo……………………………………………………89&90 Page 4 of 90
CHƢƠNG I. GIỚI THIỆU MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN TRONG CÁC ĐỀ THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ. I. BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN.(BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM). Trong luận văn này, tác giả hay sử dụng bất đẳng thức quen thuộc AM-GM (bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân) sau: “ Với là các số thực không âm, ta luôn 1 1 n  n   ai    ai  . n có: n i 1  i 1  n Ở đây ta ký hiệu a i 0 i  a1a2 ...an ”. Chứng minh. Có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức AM – GM, trong đó cách chứng minh quen thuộc nhất như sau: Cách 1: Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n số không âm thì sẽ đúng với 2n số không âm. 1 2n 1 1 n 1 n   2n i 1 ai    ai   ani  . 2  n i 1 n i 1  Page 5 of 90
1 1 1 2n 1  n n 1  n n   i 2   2n i 1 a  i 1 ai   2   i n  .  i 1 a  1 1 2n  2n   ai    ai  . 2n  2n i 1  i 1  Từ đó suy ra bất đẳng thức đúng với n  2k . Bất đẳng thức AM – GM sẽ được chứng minh nếu chúng ta chứng minh khẳng định sau đây: Nếu bất đẳng thức đúng với n  k thì cũng đúng với n  k  1. 1 1 k 1  k 1  k 1 Thật vậy:  i   k  1 i 1 a  i 1 ai  .  1 1  k 1  k 1 k 1   k 1 k 1   ai    ai   k   ai  . i 1  i 1   i 1  Áp dụng giả thiết quy nạp suy ra: 1 1  k 1 1 k k 1  k 1  k 1  k 1  k 1  a    ai   k   ai .  ai   . i 1 i  i 1   i 1  i 1     1 1 k 1  k 1  k 1  k 1  k 1   ai    ai   k   ai  . (đpcm) i 1  i 1   i 1  Cách 2: Page 6 of 90
Nếu n = 1, n = 2 thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng. Giả sử bất đẳng thức đúng với n  k  2 , ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n  k  1. 1 k 1 k 1  i1 ai  ak 1 k Ta có: Sk 1   ai  k  1 i 1 k k 1 . Theo giả thiết quy nạp ta thu được:  a  1 k k i 1 i k  ak 1 Sk 1  . k 1 Để chứng minh bất đẳng thức đúng khi n  k  1 ta cần chứng minh:  a  1 k 1 k k  ak 1  k 1  k 1    ai  i 1 i . k 1  i 1  1  k  k k 1 Ký hiệu:     ai  ,   ak 1 . k 1  i 1  Ta thu được: k k 1   k 1   k  1 k .  k k         k   k   0 .      k k     k 1   k 2   k 3 2  ...   k 1   0 .       k   k    k   k 1   ...   k   k 1   0 . Page 7 of 90
      k 1   k 2   ...   k 1     k 2   k 3  ...   k 2   ...   k 1   0 2 Bất đẳng thức đúng vì  ,   0 . Các trường hợp riêng: a 2  b2  ab   a  b   0 . 2 1. 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. ab   2 2. a, b  0 :  ab  a b . 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b . abc 3 3. a, b, c :    abc .  3  Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c . a 3  b3  c 3 4. a, b, c :  abc . 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c . Trong luận văn này, tác giả cũng hay sử dụng bất đẳng thức quen thuộc : II. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - SCHWARZ. Với ai  R, bi  R (i  1, n) , chứng minh rằng: Page 8 of 90
2  n   n 2  n 2    i i     ai   bi  a b  i 1   i 1  i 1  Chứng minh. Cách 1. (Sử dụng đẳng thức Lagrange). Từ đẳng thức 2  n 2  n 2   n    ai   bi     aibi    (aib j  a jbi ) 2  i 1  i 1   i 1  1i j n 2  n   n 2  n 2  Suy ra   aibi     ai   bi   i 1   i 1  i 1  a1 a2 a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   ...  n b1 b2 bn Cách 2. (Sử dụng tính chất của hàm bậc 2). n  n  n 2 n f  x   x  a  2 x   aibi    bi    ai x  bi  2 Xét hàm số: 2 2 i i 1  i 1  i 1 i 1 Ta có f  x   0 với mọi giá trị của x n Nếu a i 1 2 i  0  ai =0 i  1, n thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng. n Áp dụng tính chất của hàm bậc 2 khi a i 1 2 i  0 suy ra Page 9 of 90
2  n   n  n   '    aibi     ai2   bi2   0  i 1   i 1  i 1  2  n   n 2  n 2     aibi     ai   bi   i 1   i 1  i 1  a1 a2 a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   ...  n b1 b2 bn Cách 3. (Áp dụng bất đẳng thức trung bình). Ta có  1 2 2 xk  yk2   xk yk k  1, n  k k   1 n 2 n Cộng tất cả các bất đẳng thức ta thu được: x  y 2  xk yk 2 k 1 k 1 n n Kí hiệu A   ak2 , B  k 1 b k 1 2 k n n a b Chọn xk  k , yk  k ta có A B x   y k 1 2 k k 1 2 k 1 n xk yk Và thu được  k 1 AB 1 2  n   n  n     ak bk   A2 B 2    ak2   bk2   k 1   k 1  k 1  ak A Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xk  yk   k . bk B Page 10 of 90
III. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN TRONG CÁC ĐỀ THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ. Bài 1. (Poland, 1996) n Cho n  2 và a1, a2 ,..., an  R  với a i 1 i  1 và ai  1.Chứng minh n rằng với x1, x2 ,..., xn  R  mà x i 1 i  1, ta có: n  2 n ai xi2 2 xi x j   i j n  1 i 1 1  ai Chứng minh 2 n  n  n Nếu  xi  1 thì 1    xi    xi2  2 xi x j . i 1  i 1  i 1 i j Từ đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 1 n x2  i . (1) n  1 i 1 1  ai Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có 2  n  n xi2 n   xi    1  a  1  ai   i 1  i 1 i i 1 Từ đây vơi chú ý rằng Page 11 of 90
n n  xi  1 i 1 và a i 1 i  1 , ai  1 ta suy ra (1) Bài 2. (Rumania 1996) Cho x1, x2 ,..., xn1 là những số thực không âm với x1  x2  ...  xn  xn1 .Chứng minh rằng n n  i 1 xi  xn1  xi   x x i 1 n 1 n 1  xi  . Chứng minh. n Ta có x i 1 n 1 ( xn1  xi )  (n  1) xn21 . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành n  i 1 xi ( xn1  xi  n  1.xn1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, suy ra ta có điều phải chứng minh. Bài 3. (Autria-Poland 1996). Nếu w, x, y, z là những số thực thỏa mãn w  x  y  z  0 và w2  x 2  y 2  z 2  1. Chứng minh rằng 1  wx  xy  yz  zw  0 . Chứng minh. Page 12 of 90
Bất đẳng thức bên phải : wx  xy  yz  zw  (w  y)( x  z )  (w  y)2  0 Từ bất đẳng thức bên trái, nhận thấy wx  xy  yz  zw  (w  y)( x  z ) 1  ( w  y )2  ( x  z ) 2   w2  x 2  y 2  z 2  1 2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được wx  xy  yz  zw   w2  x 2  y 2  z 2  w2  x 2  y 2  z 2   1 2 Bài 4. (Rumania 1998) Cho số nguyên dương n  2 và x1, y1, x2 , y2 ,..., xn , yn là các số thực dương thỏa mãn x1  x2  ...  xn  x1 y1  x2 y2  ...  xn yn . Chứng minh rằng x1 x2 x x1  x2  ...  xn    ...  n y1 y2 yn Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với:  x1 x2 x   , ,..., n  và  x1 y1 ,..., xn yn   y1 y2 yn   x xn  để có  x1  x2  ...  xn    1 . x1 y1  ...  2  y . xn yn   1 yn  Page 13 of 90
x x   x1  x2  ...  xn  x   1  2  ...  n   x1 y1  x2 y2  ...  xn yn  2  y1 y2 yn  x1 x2 x  x1  x2  ...  xn  2  x1  x2  ...  xn    ...  n . y1 y2 yn (đpcm) 1 1 1 Bài 5. (Iran 1998). Cho x, y, z  1 và    2 . Chứng minh rằng: x y z x  y  z  x 1  y 1  z 1 . Chứng minh. Ta có: 2  x 1 y 1 z 1    2 x 1  y 1  z 1  x y z    x y z   x 1 y 1 z 1      x  y  z   x y z   1 1 1   3     x  y  z   x y z  x yz Vậy ta có: x  y  z  x  1  y  1  z  1 (đpcm). Bài 6. (Ireland, 1999).Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn Page 14 of 90
a2 b2 c2 d2 1 a  b  c  d  1. Chứng minh rằng:     . ab bc cd d a 2 Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 2  a b c d  a  b  c  d   ab  bc  cd  d a 2  ab bc cd d a   a2 b2 c2 d2       .2(a  b  c  d )  a  b b  c c  d d  a   a2 b2 c2 d2  1 1       (a  b  c  d )  . ab bc cd d a 2 2 Bài 7. (Rumania 1999). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  3abc . Chứng minh rằng a  b  c  a3  b3  c3 . Chứng minh. 1 1 1 Từ giả thiết ab  bc  ca  3abc     3. a b c 1 1 1 Mà ta có bất đẳng thức  a  b  c       9  a  b  c  3 a b c Vậy ta có 3 a  b  c    a  b  c  2 2  32  12 3  1 3   1  a a b b  c c 2  2 2 2   Page 15 of 90
1 1 1   a 3  b3  c 3      a b c  3  a 3  b3  c 3   a  b  c  a 3  b3  c 3 . (đpcm) Bài 8. (Belarus, 1999).Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng: a b c    1. b  2c c  2a a  2b Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có a b c a2 b2 c2       b  2c c  2a a  2b ab  2ca bc  2ab ca  2bc a  b  c  1 2  3 ab  bc  ca  ( do  a  b  c   3 ab  bc  ca  ). 2 Bài 9. (Austria-Poland, 2000). Cho x, y, z là các số thực không âm sao cho x  y  z  1 . Chứng minh rằng: 2  1  x 2   1  y 2   1  z 2   1  x 1  y 1  z  . 2 2 2 Chứng minh. Đặt A  x2  y 2  z 2 , Page 16 of 90
B  xy  yz  zx , C  x2 y 2  y 2 z 2  z 2 x2 D  xyz . Khi đó ta có: 1  A  2B ; B2  C  2D x4  y 4  z 4  A2  2C  4B2  4B  1  2C  2C  4B  8D  1 . Khi đó biểu thức ở giữa trở thành 3  2 A   2C  4B  8D  1  2  2C  8D  2 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai trong ba số x, y, z bằng 0. Bây giờ biểu thức vế phải bằng 2  B  D . Bởi vậy ta phải chứng minh 2C  8D  B  D hoặc B  2B2  3D  0 . Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có A  B , vì vậy B 1  2B   BA . Vậy ta cần chứng minh B2  3D  C  D  0 . Nhưng C  xyyz  yzzx  zxxy  D có thể thu được từ bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bài 10. (IMO, 2001) Chứng minh rằng với a, b, c là các số thực dương ta có: a b c    1. a 2  8bc b2  8ca c 2  8ab Page 17 of 90
Chứng minh Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: a2 b2 c2 VT    a a 2  8bc b b 2  8ca c c 2  8ab a  b  c 2   1. a a  8bc  b b  8ca  c c  8ab 2 2 2 Bài 11. (Short list IMO, 2001). Cho x1, x2 ,..., xn là các số thực, chứng minh rằng: x1 x1 x1   ...   n. 1  x12 1  x12  x22 1  x12  x22 ...  xn2 Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz  a b   a b i i 2 i i 2 với x1 ai  1 và bi  1  x  x22 ...  xn2 2 1 Ta thu được x1 x1 x1  1  x12 1  x12  x22  ...  1  x12  x22 ...  xn2  n bi 2 . Page 18 of 90
Từ đó ta thu được b i 2  1. Để ý rằng với i  2 , 2  xi  xi2 b  2 2    1  x1  x2  ...  xi  1  x12  x22  ...  xi2  i 2 2 2 xi2  1  x 2 1  x22  ...  xi21 1  x12  x22  ...  xi2  1 1   1  x  x  ...  x 2 1 2 2 2 i 1 1  x  x22  ...  xi2 2 1 x12 1 Với i  1 sử dụng bất đẳng thức b   1 2 . 1  x12 1  x12 1 Cộng vế với các bất đẳng thức này ta được 2 n  xi  1   b i 2  2  i 1  1  x1  x2  ...  xi  2 2 1 1  x1  x22 ...  xn2 2  1. Bài 12. (Czech and Slovak Republics, 2004). Cho P( x)  ax 2  bx  c là đa thức bậc 2 với các hệ số không âm. Chứng 1 minh rằng với x  0 ta luôn có: P( x) P    ( P(1)) 2 .  x Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta nhận được: Page 19 of 90
1  1  P( x) P   =  ax 2  bx  c   a 2  bx  c  x  x    a 2  b 2 2 =        c      2 2 2 ax  bx      c     x   x      a b    ax  bx  c c    a  b  c    P(1)  . 2 2  x x  Bài 13. (UK 2005) Cho a, b, c là ba số thực không âm. Chứng minh rằng 2 a b c  1 1 1       a  b  c    . b c a a b c Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 2 a b2 c 2  2 a b c 2           2 2 2  1 1 1  2   2 b c a  b c a  a b c a b c2  2  a b c  3 abc 2 2 Nhưng do      3  3 nên       2  2  2  b c a abc b c a b c a  Page 20 of 90