HOÀNG THỊ MẤN
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
VỀ CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:
60. 46. 01. 02
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG
Hà Nội – Năm 2015
Mục lục
Mở đầu
3
1 Kiến thức chuẩn bị
6 6 1.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Không gian vectơ tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Một số kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Hàm nửa liên tục dưới
2 Nguyên lí biến phân Ekeland
15 2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 2.2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cho bài toán cân bằng 2.2.2 Nguyên lí biến phân Ekeland vectơ . . . . . . . . . . 29
3 Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và một số
nguyên lí biến phân khác 36 3.1 Dạng hình học của nguyên lý biến phân Ekeland . . . . . . 36 3.1.1 Định lí Bishop-Phelps . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.2 Định lí cánh hoa (the flower- pental theorem) . . . . 38 3.1.3 Định lí giọt nước (the drop theorem) . . . . . . . . . 41
3.2 Sự tương đương giữa nguyên lí biến phân Ekeland và tính
đầy đủ của không gian mêtric
. . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland trong chứng minh
định lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.1 Định lí điểm bất động Banach . . . . . . . . . . . . 44 3.3.2 Một kết quả tinh tế hơn của Clarke (Clarke’s Re-
finement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1
3.3.3 Định lí điểm bất động Caristi-Kirk . . . . . . . . . . 48 3.4 Một số nguyên lí biến phân khác . . . . . . . . . . . . . . . 51 . . . . . . . . . 51 3.4.1 Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss 3.4.2 Nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler . . . . . . . . . . . 54 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2
Mở đầu
Nguyên lý biến phân Ekeland (1974) (Ekeland’s variational principle, viết tắt là EVP) được coi là một trong các kết quả quan trọng nhất của giải tích phi tuyến trong bốn thập kỷ vừa qua. Nguyên lí biến phân Ekeland xuất phát từ định lí Weierstrass nói rằng, nếu hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact X thì sẽ đạt cực tiểu trên tập đó. Khi X là tập không compact thì hàm f có thể không có điểm cực trị. Với không gian metric đủ X, hàm f bị chặn dưới, với mỗi ε > 0, ta luôn tìm được điểm ε− xấp xỉ cực tiểu x, tức là
Vào năm 1974, Ekeland đã phát biểu nguyên lí nói rằng, với hàm f nửa liên tục dưới, bị chặn dưới trên không gian metric đủ X thì với mọi điểm ε− xấp xỉ cực tiểu x, ta luôn tìm được điểm ˆx là cực tiểu chặt của hàm nhiễu của hàm ban đầu, đồng thời f (ˆx) ≤ f (x). Không những thế, ta có thể còn đánh giá được khoảng cách giữa ˆx và x .
Sau khi ra đời, nguyên lí biến phân Ekeland đã trở thành công cụ mạnh trong giải tích hiện đại. Những ứng dụng của nguyên lí này bao trùm nhiều lĩnh vực: Lí thuyết tối ưu, giải tích không trơn, lí thuyết điều khiển, lí thuyết điểm bất động, kinh tế,...
Nguyên lí biến phân Ekeland đã được GS. Phạm Hữu Sách [1] sử dụng để nghiên cứu vi phân ánh xạ đa trị và các điều kiện tối ưu trong bài toán qui hoạch có tham gia các ánh xạ đa trị. Sự tương đương của nguyên lí Ekeland với định lí điểm bất động Caristi- Kirk đã được phát hiện từ lâu. Năm 1984 Penot mới chứng minh được rằng nguyên lí đó cũng tương đương với định lí giọt nước của Danes mà
3
f + ε. inf X f ≤ f (xε) < inf X
sau này được gọi là dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland. Trong những năm gần đây, nguyên lí này được mở rộng cho hàm f là ánh xạ đơn trị hoặc đa trị nhận giá trị trong không gian vectơ và áp dụng trong các bài toán cân bằng.
Mục đích của luận văn này là tìm hiểu một số kết quả liên quan đến nguyên lí biến phân Ekeland (cổ điển và vectơ) cùng một số ứng dụng của nguyên lí biến phân này.
Luận văn gồm 3 chương
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả của tôpô và giải tích hàm phục vụ cho việc chứng minh các định lí.
Chương 2. Nguyên lí biến phân Ekeland Chương này trình bày nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, các mở rộng của nguyên lí biến phân Ekeland gồm nguyên lí biến phân Ekeland cho bài toán cân bằng và nguyên lí biến phân Ekeland vectơ.
Chương 3. Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và một số nguyên lí biến phân khác Chương này trình bày các dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland gồm định lí Bishop-Phelps, định lí cánh hoa và định lí giọt nước.
Ứng dụng định lí điểm bất động gồm định lí điểm bất động Banach,
một kết quả tinh tế hơn của Clarke, định lí điểm bất động Caristi-Kirk. Cuối cùng là nguyên lí biến phân Borwein-Preiss và nguyên lí Deville- Godefroy-Zizler.
Luận văn cố gắng trình bày một cách có hệ thống (với các chứng minh cụ thể và chi tiết cùng với những chỉnh sửa cần thiết) về nguyên lí biến phân Ekeland.
4
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS. Tạ Duy Phượng. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2013-2015, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình.
Hà Nội, Ngày 25 tháng 10 năm 2015
Tác giả luận văn
Hoàng Thị Mấn
5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử F là một trường R hoặc C. Các phần tử của F được gọi là số (đại lượng vô hướng). Một không gian véctơ V định nghĩa trên trường F là một tập hợp V không rỗng mà trên đó hai phép cộng véctơ và phép nhân với một số hướng được định nghĩa sao cho các tính chất cơ bản sau đây được thỏa mãn:
1. Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp:
Với mọi u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w;
2. Phép cộng véctơ có tính chất giao hoán:
Với mọi v, w ∈ V : v + w = w + v;
3. Phép cộng véctơ có phần tử trung hòa:
Với mọi v ∈ V, có một phần tử 0 ∈ V, gọi là véctơ không: v + 0 = v;
4. Phép cộng véctơ có phần tử đối:
Với mọi v ∈ V, tồn tại w ∈ V : v + w = 0;
5. Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng véctơ: Với mọi α ∈ F ; v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw;
6. Phép nhân véctơ phân phối với phép cộng vô hướng:
Với mọi α, β ∈ F ; v ∈ V : (α + β)v = αv + βv;
7. Phép nhân vô hướng tương thích với phép nhân trong trường các số
vô hướng: Với mọi α, β ∈ F ; v ∈ V : α.(β.v) = (α.β)v;
8. Phần tử đơn vị của trường F có tính chất của phần tử đơn vị với phép
nhân vô hướng: Với mọi v ∈ V : 1.v = v.1.
6
1.1 Không gian vectơ
Định nghĩa 1.1.2. Cho X là không gian véctơ. Tập C ⊆ X được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] thì (1 − λ)x + λy ∈ C (hay nói cách khác C chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó).
Định nghĩa 1.1.3 (Nón). Cho X là một không gian vectơ. Tập K ⊂ X được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu ∀x ∈ K, K được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu K − x0 là nón có đỉnh tại 0.
Định nghĩa 1.1.4 (Nón đóng). Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón đóng nếu K là tập đóng.
Định nghĩa 1.1.5 (Nón nhọn). Một nón được gọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng nào.
Định nghĩa 1.1.6 (Nón lồi). Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi nếu K là tập lồi, có nghĩa là
∀λ ≥ 0 thì λx ∈ K.
Mệnh đề 1.1.1. K là nón lồi khi và chỉ khi K là nón và K + K = K.
∀x, y ∈ K, ∀λ, µ > 0 và λ + µ = 1 thì λx + µy ∈ K.
x ∈ K và y ∈ K. 1 2
Chứng minh. Giả sử K là nón. Theo định nghĩa ta có ∀x, y ∈ K thì 1 2 Mặt khác, K là nón lồi nên
y ∈ K. Vậy (x + y) ∈ K. (x + y) = x + 1 2 1 2 1 2
Suy ra K + K ⊆ K. Vậy K + K = K. Đảo lại, vì K là nón nên λx ∈ K, (1 − λ)y ∈ K, Mà K + K = K nên λx + (1 − λy) ∈ K hay K là tập lồi.
∀x, y ∈ K.
Định nghĩa 1.2.1 (Không gian tôpô). Cho một tập X (cid:54)= ∅. Họ τ các tập con nào đó của X được gọi là một tôpô trên X nếu (i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ; (ii) Gα ∈ τ với α ∈ I, I là tập chỉ số bất kì thì ∪α∈IGα ∈ τ ; (iii) ∀G1, G2 ∈ τ thì G1 ∩ G2 ∈ τ.
Tập X cùng với tôpô trên X được gọi là một không gian tôpô. Kí hiệu: (X, τ ).
7
1.2 Không gian vectơ tôpô
Định nghĩa 1.2.2. Cho (X, τ ) là không gian tôpô.
• Tập G được gọi là tập mở trong X nếu G ∈ τ.
Định nghĩa 1.2.3. Cho không gian tôpô (X, τ ), tập A là tập con của X. Tập U được gọi là một lân cận của tập A nếu trong U có một tập mở chứa A. Khi A = {x} thì U là một lân cận của điểm x.
Định nghĩa 1.2.4. Cho không gian tôpô (X, τ ). Một họ {Gα : α ∈ I} các tập con của X được gọi là một phủ của tập A ⊂ X nếu A ⊂ ∪α∈IGα. Nếu I là tập hữu hạn thì ta nói phủ là hữu hạn. Nếu mọi Gα là tập mở thì ta nói phủ là phủ mở.
Định nghĩa 1.2.5. Tập A ⊂ X được gọi là tập compact nếu từ mỗi phủ mở của A ta luôn có thể lấy ra được một phủ con hữu hạn.
Nhận xét 1.2.1. Trong trường hợp A ⊂ Rn là tập compact khi và chỉ khi A đóng và bi chặn.
• Tập F được gọi là tập đóng trong X nếu X\F ∈ τ.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử A là tập compact và {xk} là một dãy phần tử của A sao cho xk → a. Ta chứng minh a ∈ A. Vì A là tập compact, theo định nghĩa dãy {xk}k chứa một dãy con {xk}l hội tụ đến một giới hạn thuộc A. Ta có
Vậy A là tập đóng. Giả sử ngược lại tập A không bị chặn. Khi đó với mỗi k ∈ N∗ tồn tại xk ∈ A sao cho ||xk|| > k. Vì A là tập compact, dãy {xk} ⊂ A có chứa một dãy con {xkl}l sao cho xkl → a ∈ A (l → ∞). Do tính liên tục của chuẩn ta có ||xkl|| → ||a||, điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức ||xkl|| > kl với mọi l ∈ N∗. Vậy tập A phải bị chặn.
xkl ∈ A. a = lim k→+∞ xk = lim l→+∞
Điều kiện đủ. Giả sử A ⊂ Rn là tập hợp đóng và bị chặn và {xk}k là dãy phần tử bất kì của A. Khi đó {xk}k là dãy bị chặn. Theo định lí Bozano- Weierstrass thì trong không gian Rn mọi dãy bị chặn đều chứa một dãy con hội tụ nên dãy {xk}k có chứa một dãy con {xkl}l
8
sao cho xkl → a (l → ∞). Vì A là tập đóng nên a ∈ A. Vậy A là tập compact.
Định nghĩa 1.2.6. Cho không gian tôpô (X, τ ), A là một tập con bất kì của X. Đối với mỗi phần tử bất kì x ∈ X ta gọi:
(i) Điểm x là điểm trong của tập A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của
(ii) Điểm x là điểm ngoài của tập A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của
x nằm trong A.
(iii) Điểm x là điểm biên của tập A nếu x đồng thời không là điểm trong và không là điểm ngoài của A. Hay nói cách khác, x là điểm biên của A nếu mọi lân cận của x đều có giao khác rỗng với A và X\A. Tập hợp những điểm biên của tập hợp A được gọi là biên của tập hợp A, kí hiệu ∂A.
Định nghĩa 1.2.7. Cho X, Y là hai không gian tô pô. Một ánh xạ f từ X vào Y được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu với mọi lân cận V của f (x0) đều tồn tại một lân cận U của x0 sao cho f (U ) ⊆ V. Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X.
Định nghĩa 1.2.8. Ta nói một tôpô τ trên không gian véctơ X tương hợp với cấu trúc đại số, nếu các phép toán đại số trong X liên tục trong tôpô đó, tức là nếu:
1. x + y là một hàm liên tục của hai biến x, y, tức là với mọi lân cận V của điểm x + y đều có một lân cận Ux của x và một lân cận Uy của y sao cho nếu x(cid:48) ∈ Ux, y(cid:48) ∈ Uy thì x(cid:48) + y(cid:48) ∈ V.
2. αx là một hàm liên tục của hai biến α, x, tức là với mọi lân cận V của αx đều có một số ε > 0 và một lân cận U của x sao cho |α − α(cid:48)| < ε, x(cid:48) ∈ U thì α(cid:48)x(cid:48) ∈ V.
Một không gian véctơ X trên đó có một tôpô tương hợp với cấu trúc đại số gọi là một không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuyến tính).
x nằm trọn trong X\A.
Định nghĩa 1.2.9. Một không gian véctơ tôpô X được gọi là không gian véctơ tôpô lồi địa phương nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) chỉ gồm các tập lồi.
9
Định nghĩa 1.2.10 (Ánh xạ liên tục). Cho X, Y là hai không gian tôpô. Ánh xạ f : X → Y là liên tục tại điểm x trong X nếu mọi tập mở V trong Y chứa f (x) thì có tập mở U của X chứa x sao cho f (U ) ⊂ V . Ta nói f liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm trên X.
Định nghĩa 1.3.1. Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ d : X × X → R thỏa mãn (i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y; (ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; (iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X. Khi đó, d được gọi là khoảng cách hay một mêtric trên X và cặp (X, d) được gọi là một không gian mêtric.
Định nghĩa 1.3.2. Trong không gian mêtric X. Một dãy {xn} được gọi là dãy cơ bản nếu
1.3 Không gian mêtric
Định nghĩa 1.3.3. Không gian mêtric X trong đó mọi dãy cơ bản đều hội tụ (tới một phần tử của X) được gọi là một không gian đủ.
Định nghĩa 1.3.4. Cho không gian mêtric X. Tập hợp
(∀ε > 0) (∃N ) (∀n ≥ N ) (∀m ≥ N ) thì d (xn, xm) < ε.
được gọi là hình cầu mở tâm x0, bán kính r.
Định nghĩa 1.3.5. Cho không gian mêtric X. Tập hợp
B(x0, r) = {x ∈ X|d(x0, x) < r}
được gọi là hình cầu đóng tâm x0, bán kính r.
Nhận xét 1.3.1. Mọi không gian mêtric là không gian tôpô với τ là họ tất cả các hình cầu mở trong X cùng với giao hữu hạn và hợp vô hạn của chúng.
10
B[x0, r] = {x ∈ X|d(x0, x) ≤ r}
Định nghĩa 1.3.6. Cho không gian mêtric (X, d). Dãy hình cầu (Sn), Sn có tâm an và bán kính rn trong không gian (X, d) được gọi là thắt dần nếu Sn ⊃ Sn+1
(n = 1, 2, ...) và limn→∞ rn = 0.
Định lí 1.3.1 (Nguyên lí Cantor). Không gian mêtric (X, d) là không gian đủ thì mọi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có điểm chung duy nhất.
Chứng minh. Với mọi m, n mà m > n thì am ∈ S[an, rn]. Suy ra d(an, am) < rn. Do đó lim
k=1 là một dãy trong S[an, rn]
d(an, am) = 0.
m,n→∞ Vì vậy {an} là dãy Cauchy trong X. Vì X đủ nên dãy {an} hội tụ đến a ∈ X. Khi đó a là điểm chung của mọi hình cầu. Thật vậy, với số tự nhiên n bất kì, {an+k}∞ an+k = 1, cho nên a ∈ S[an, rn] và lim k→∞
Ta chứng minh a là điểm chung duy nhất của các hình cầu. Thật vậy, giả sử b cũng là điểm chung của các hình cầu thì
(∀n).
Mà rn → 0 suy ra d(a, b) = 0. Vì vậy a = b. Định lí hoàn toàn được chứng minh.
Định nghĩa 1.3.7 (Không gian định chuẩn). Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là một không gian tuyến tính X trên trường P (P là trường số thực R hay trường số phức C) cùng với một ánh xạ đi từ X vào tập hợp số thực, kí hiệu là ||.|| (đọc là chuẩn), thỏa mãn các tiên đề sau: (i) Với mọi x ∈ X thì ||x|| ≥ 0, ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là phần tử không của X); (ii) Với mọi x ∈ X, mọi α ∈ P thì ||αx|| = |α|||x||; (iii) Với mọi x, y ∈ X thì ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (bất đẳng thức tam giác). Kí hiệu (X, ||.||).
Định nghĩa 1.3.8 (Không gian Banach). Không gian định chuẩn (X, ||.||) được gọi là không gian Banach nếu với mêtric sinh bởi ||.|| là không gian đầy đủ.
11
(∀n). d(a, b) ≤ d(a, an) + d(an, b) ≤ rn + rn = 2rn
Định nghĩa 1.4.1. Cho X, Y là hai tập hợp bất kì và tập các tập con của Y (được kí hiệu là 2Y ). Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y nếu với mỗi x ∈ X, F (x) là một tập hợp con của Y . Kí hiệu: F : X ⇒ Y, hay F : X → 2Y .
1.4 Ánh xạ đa trị
Ta kí hiệu
dom f = {x ∈ X|f (x) < +∞}; Laf = {x ∈ X|f (x) ≤ a} là tập mức dưới của f ; epi f = {(x, a) ∈ X × R|f (x) ≤ a} là tập trên đồ thị của f ; dS(x) = d(S, x) := inf{d(x, y)|y ∈ S}; Br(S) := {x ∈ X|d(S, x) ≤ r; graphF := {(x, y) ∈ X × Y |y ∈ F (x)} với F : X → 2X.
1.5 Một số kí hiệu
Định nghĩa 1.6.1. Cho X là không gian mêtric và hàm f : X → R ∪ {+∞}. Ta định nghĩa
1.6 Hàm nửa liên tục dưới
f (xn) = y}. inf f (x) = inf{y : ∃xn → x(n → ∞), lim n→∞ lim x→x
Định nghĩa 1.6.2. Cho X là không gian tôpô. Hàm f : X → R ∪ {+∞} được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 nếu lim inf x→x0
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu f nửa liên tục dưới tại mọi điểm của X.
Nhận xét 1.6.1. Hàm f là nửa liên tục dưới tại x0 khi và chỉ khi ∀ε > 0 tồn tại lân cận U của x0 sao cho ∀x ∈ U ta đều có f (x) ≥ f (x0) − ε.
Ta có mệnh đề sau
f (x) ≥ f (x0).
Mệnh đề 1.6.1. Cho X là không gian mêtric và hàm f : X → R∪{+∞}. Khi đó các khẳng định sau là tương đương (i) f là hàm nửa liên tục dưới trên X;
12
(ii) epif = {(x, a) ∈ X × R|f (x) ≤ a} là tập đóng trong X × R; (iii) Laf = {x ∈ X|f (x) ≤ a} là tập đóng trong X(∀a ∈ R).
Chứng minh. (i) ⇒ (ii) Giả sử f là hàm nửa liên tục dưới trên X. Ta lấy dãy {(xn, an)} ⊂ epif sao cho lim (xn, an) = (x0, a0). Ta chỉ cần chỉ ra n→∞ (x0, a0) ∈ epif . Thật vậy, vì
an = a0 và hàm f là nửa liên tục dưới tại
lim xn = x0, lim n→∞ n→∞ f (xn) ≥ f (x0).
f (xn) ≤
an = a0. f (xn) ≤ lim n→∞
x0 nên lim inf n→∞ Mặt khác, {(xn, an)} ⊂ epif nên f (xn) ≤ an(∀n ∈ N) nên lim inf n→∞ an. Do đó f (x0) ≤ lim inf lim n→∞ n→∞ Chứng tỏ rằng (x0, a0) ∈ epif .
(ii) ⇒ (iii) Giả sử epi f là tập đóng trong X × R. Ta sẽ chứng minh mọi tập mức của f đều đóng trong X. Thật vậy, giả sử Laf = {x ∈ X|f (x) ≤ a} là tập mức bất kì của f . Lấy dãy {xn} ⊂ Laf sao cho lim xn = x0. Do dãy {xn} ⊂ Laf nên f (xn) ≤ a n→∞ ∀n ∈ N. hay (xn, a) ∈ epif, Hơn nữa, lim n→∞ Mà epif là tập đóng trong X × R nên (x0, a) ∈ epif , do đó x0 ∈ Laf.
(xn, a) = (x0, a). xn = x0 nên lim n→∞
xn = x0, lim inf n→∞
∀n > k.
(iii) ⇒ (i) Giả sử mọi tập mức của f đều đóng trong X, ta cần chứng minh f là hàm nửa liên tục dưới trên f . Phản chứng, giả sử f không là hàm nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X. Khi đó, tồn tại dãy {xn} ⊂ X sao cho lim f (xn) < f (x0). Chọn n→∞ ε > 0 đủ nhỏ sao cho tồn tại k ∈ N để f (xn) ≤ f (x0) − ε, Xét tập mức L = {x ∈ X|f (x) ≤ f (x0) − ε}. Ta thấy xn ∈ L, Mặt khác, do L đóng và lim n→∞
(vô lí). Vậy f là nửa liên tục dưới trên X.
Định nghĩa 1.6.3. Cho tập S trong không gian mêtric (X, d). Hàm chỉ của tập S là hàm
(cid:26) 0
∀n > k. xn = x0 nên x0 ∈ L, do đó f (x0) < f (x0) − ε
nếu x ∈ S, +∞ nếu x /∈ S.
13
lS(x) =
Mệnh đề 1.6.2. Nếu S là tập đóng thì lS là hàm nửa liên tục dưới.
∀x ∈ U.
Chứng minh. Khi x0 ∈ S, từ định nghĩa hàm lS ta có, với mọi ε > 0 tồn tại lân cận U của x0 mà lS(x) ≥ lS(x0) − ε, Khi x0 /∈ S, do S là tập đóng nên d(x0, S) > 0.
Ta chọn r =
Do đó, lS(x) ≥ lS(x0) − ε, Vậy lS là hàm nửa liên tục dưới.
Định nghĩa 1.6.4. Cho một không gian vectơ X. Một hàm số f (x) xác định trên X và lấy giá trị là số (thực hay phức, tùy theo X là không gian thực hay phức) gọi là một phiếm hàm trên X. Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu (i) f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) với mọi x1, x2 ∈ X; (ii) f (αx) = αf (x) với mọi x ∈ X và với mọi số α.
Định nghĩa 1.6.5 (Không gian liên hợp). Cho X là một không gian vectơ tôpô. Không gian liên hợp (hay còn gọi là không gian đối ngẫu) của X, kí hiệu là X ∗ là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X.
14
, d(x0, S) 2 ∀x ∈ B(x0, r) thì x /∈ S. ∀x ∈ B(x0, r).
Chương 2
Nguyên lí biến phân Ekeland
Trong chương này, ta xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, xem xét nguyên lí này trong không gian hữu hạn chiều, mở rộng của nguyên lí biến phân Ekeland cho bài toán cân bằng và nguyên lí Ekeland vectơ.
Trong bài toán tối ưu, ta quan tâm đến câu hỏi là khi nào hàm f : X → R ∪ {+∞} đạt cực tiểu trên X, tức là tồn tại ˆx ∈ X sao cho f (x) ≥ f (ˆx) ∀x ∈ X. Trước hết ta nhắc lại kết quả quen thuộc về sự tồn tại điểm cực tiểu của hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact.
2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển
Định lí 2.1.1 (Định lí Weierstrass). Cho hàm f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới trên tập X compact. Khi đó f đạt cực tiểu trên X.
f (xn) = a.
Chứng minh. Đặt a = inf{f (x)|x ∈ X}. Khi đó có một dãy {xn} ⊂ X sao cho lim n→∞
Do X compact, không mất tính tổng quát ta có thể coi {xn} là dãy hội tụ đến x ∈ X. Ta sẽ chứng minh f (x) = a. Thật vậy, do f là hàm nửa liên tục dưới tại x nên lim n→∞
Kết hợp với lim n→∞
Như vậy, điều kiện để f đạt cực tiểu trên X là X là tập compact và f phải là hàm nửa liên tục dưới trên X. Nếu ta bỏ đi tính chất compact của
15
inf f (xn) ≥ f (x). f (xn) = a ta suy ra f (x) ≤ a (điều đó chứng tỏ a (cid:54)= −∞). Mặt khác theo định nghĩa của a ta có f (x) ≥ a. Vậy f (x) = a và x là điểm cực tiểu của hàm f trên X.
tập X thì kết luận của định lí không còn đúng. Ta các xét ví dụ sau.
Ví dụ 2.1.1. Xét hàm số f (x) =
với x ≥ 1.
1 x
Vì X = [1, +∞) là tập đóng nhưng không bị chặn nên X không phải là tập compact. Hàm f liên tục trên X. Rõ ràng tồn tại inf x≥1
f (x) = 0 nhưng không tồn tại x0 ∈ [1, +∞) sao cho
Thật vậy, giả sử phản chứng, tồn tại x0 ∈ [1, +∞) sao cho
∀x ∈ [1, +∞). f (x0) ≤ f (x),
∀x ∈ [1, +∞). f (x0) ≤ f (x),
≤ ⇔ x0 ≥ x. 1 x
Với x ≥ x0 thì
Ta có f (x0) ≤ f (x) ⇔ 1 x0 Do đó f không đạt cực tiểu trên [1, +∞).
với 0 < x ≤ 1.
Ví dụ 2.1.2. Xét hàm số f (x) =
≤ 1 x0 tức f (x) ≤ f (x0) (mâu thuẫn). 1 x
−1 x Vì X = (0, 1] là tập bị chặn nhưng không đóng nên X không phải là tập compact. Hàm f liên tục trên X. Rõ ràng không tồn tại x0 ∈ (0, 1] sao cho
Thật vậy, lấy {xn} ⊂ (0, 1] bất kì mà xn → 0 khi n → ∞.
Suy ra
∀x ∈ (0, 1]. f (x0) ≤ f (x),
chứng tỏ không tồn tại x0 ∈ (0, 1] sao cho f (x0) ≤ f (x),
Ta đã biết rằng mọi tập khác rỗng bị chặn dưới trong R đều có cận dưới đúng. Vì {f (x), x ∈ X} là một tập khác rỗng trong R nên luôn tồn tại inf{f (x), x ∈ X}. Nhưng nếu X không phải là tập compact thì dù f có thể là hàm liên tục (như các ví dụ trên) thì vẫn chưa chắc đã tồn tại min{f (x), x ∈ X}. Câu hỏi đặt ra là liệu có tồn tại hay không hàm ϕ(x) "đủ gần" hàm f (x) mà tồn tại ˆx sao cho ϕ(ˆx) = min ϕ(x). Câu hỏi này
16
→ −∞ khi n → ∞. Tức là, f (xn) → ∞ khi n → ∞. Điều này −1 xn ∀x ∈ (0, 1].
đã được trả lời bằng nguyên lí biến phân Ekeland.
Khi giả thiết compact của tập X không còn thì hàm f có thể không đạt cực trị. Khi đó ta xét khái niệm điểm ε− xấp xỉ cực tiểu như sau.
Định nghĩa 2.1.1. Với ε > 0 cho trước, một điểm x ∈ X gọi là ε− xấp xỉ cực tiểu của f (x) nếu
Điểm ε− xấp xỉ cực tiểu bao giờ cũng tồn tại nếu f bị chặn dưới. Tuy nhiên, khi X là không gian metric đủ thì nguyên lí biến phân Ekeland phát biểu rằng, ta có thể làm nhiễu hàm f để thu được một hàm đạt cực tiểu trên X. Sau đây ta phát biểu và chứng minh nguyên lí biến phân Ekeland và một số phát biểu khác của nguyên lí này.
f + ε. inf X f ≤ f (x) < inf X
Định lí 2.1.2 (Nguyên lí biến phân Ekeland). Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và hàm f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử ε > 0 và x ∈ X thỏa mãn
(2.1)
f + ε. f (x) < inf X
Khi đó, với λ > 0 bất kì, tồn tại ˆx ∈ X sao cho (i) f (ˆx) ≤ f (x); (ii) d(ˆx, x) ≤ λ; (iii) f (x) +
Nguyên lí biến phân Ekeland có nhiều cách chứng minh. Dưới đây chúng
tôi trình bày chứng minh nguyên lí này theo [2].
Định nghĩa 2.1.2. Cho số α > 0, ta định nghĩa quan hệ thứ tự ” ≤α ” trên X × R như sau
(2.2)
d(x, ˆx) > f (ˆx), ∀x ∈ X\{ˆx}. ε λ
Nếu (x1, a1) ≤α (x2, a2) thì ta cũng viết (x2, a2) ≥α (x1, a1).
Dễ dàng chứng minh quan hệ ” ≤α ” có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
(x1, a1) ≤α (x2, a2) ⇔ (a2 − a1) + αd(x1, x2) ≤ 0.
17
• Tính phản xạ: Hiển nhiên ta có (x, a) ≤α (x, a) với mọi (x, a) ∈ X ×R.
• Tính phản xứng: Giả sử rằng (x1, a1) ≤α (x2, a2) và (x2, a2) ≤α
(2.3)
(x1, a1). Ta cần chứng tỏ rằng(x1, a1) = (x2, a2). Thật vậy, từ công thức (2.2) ta có
và
(2.4)
(x1, a1) ≤α (x2, a2) ⇔ d(x1, x2) ≤ a1 − a2 α
Suy ra 2d(x1, x2) ≤ 0. Vì thế x1 = x2. Từ (2.3) và (2.4) ta có a1 ≤ a2 và a2 ≤ a1 nên a1 = a2. Do đó (x1, a1) = (x2, a2).
. (x2, a2) ≤α (x1, a1) ⇔ d(x1, x2) ≤ a2 − a1 α
Ta cần chứng tỏ (x1, a1) ≤α (x3, a3). Ta có
• Tính bắc cầu: Giả sử rằng (x1, a1) ≤α (x2, a2) và (x2, a2) ≤α (x3, a3).
và d(x2, x3) ≤
Do đó
d(x1, x2) ≤ . a1 − a2 α a2 − a3 α
Mặt khác
d(x1, x2) + d(x2, x3) ≤ . a1 − a3 α
Từ đây ta có d(x1, x3) ≤
. Vậy (x1, a1) ≤ (x3, a3).
d(x1, x3) ≤ d(x1, x2) + d(x2, x3).
Khẳng định 1: Nếu (x1, a1) ∈ X × R thì Ω := {(x, a) ∈ X × R : (x, a) ≥ (x1, a1)} là tập đóng.
a1 − a3 α
Chứng minh. Thật vậy, giả sử {(xn, an) ⊂ X × R thỏa mãn
(k = 2, 3, 4...) và xn → x; an → a (xn, an) ≥α (x1, a1)
Do d(x1, xn) ≤
∀n ∈ N nên ta có , a1 − an α
tức là (x, a) ≥ (x1, y1). Vậy (x, a) ∈ Ω. Ta đã chứng minh được rằng Ω là tập đóng.
18
d(x1, x) ≤ , a1 − a α
Khẳng định 2: Cho S là tập đóng trong X × R sao cho tồn tại m > 0 để a > m với mọi (x, a) ∈ S. Khi đó với mỗi phần tử (x1, a1) ∈ S tồn tại (x, a) ∈ S sao cho (x, a) ≥ (x1, a1) và (x, a) là phần tử cực đại trong S theo thứ tự ” ≤α ”, tức là, nếu (x, a) ∈ S và (x, a) ≤α (x, a) thì (x, a) = (x, a).
Chứng minh. Ta xây dựng dãy (xn, an) trong S bằng quy nạp như sau. Bắt đầu từ (x1, a1) ∈ S cho trước, giả sử (xn, an) đã biết. Ta kí hiệu
Theo khẳng định 1, Sn là tập đóng. Ngoài ra, vì (xn, an) ∈ Sn nên Sn (cid:54)= ∅. Đặt
Sn = {(x, a) ∈ S|∃x ∈ X, (xn, an) ≤α (x, a)}.
Hiển nhiên mn ≥ m và mn ≤ an. Chọn (xn+1, an+1) ∈ Sn sao cho
(2.5)
mn = inf{a ∈ R|(x, a) ∈ Sn}.
an+1 ≤ . an + mn 2
mn + an 2 mn + an 2
Nếu mn = an thì đặt (xn+1, an+1) = (xn, an). Giả sử mn < an do , tồn tại (x, a) ∈ S sao cho mn ≤ a < mn < . Đặt (xn+1, an+1) = (x, a) ta thấy (2.5) nghiệm đúng. Dãy {Sn} là các tập lồng nhau: Sn+1 ⊂ Sn, Thật vậy, nếu (x, a) ∈ Sn+1 thì
∀n ∈ N.
Do đó (x, a) ∈ Sn. Đặt d((x, a), (x(cid:48), a(cid:48))) = d(x, x(cid:48)) + |a − a(cid:48)|. Với mọi n ta có
(xn, an) ≤ (xn+1, an+1) ≤ (x, a).
và
mn ≤ mn+1 ≤ an+1
Thật vậy, do (2.5) ta có
|an − mn| ≤ 2−n|a1 − m|. |an+1 − mn+1| ≤ 1 2
Vì an+1 − mn+1 ≥ 0, từ đó suy ra
an+1 − mn+1 ≤ an+1 − mn ≤ (an − mn) = |an − mn|. 1 2 1 2
19
|an+1 − a| ≤ ... ≤ 2−n|a1 − m1| ≤ 2−n|a1 − m|.
Với mọi (x, a) ∈ Sn+1 ta có
Vì (xn+1, an+1) ≤ (x, a) nên
|an+1 − a| ≤ |an+1 − mn+1| ≤ 2−n|a1 − m|.
Do đó
0 ≤ d(xn+1, x) ≤ . an+1 − a α
Từ đó suy ra khi n → ∞, ta có
diamSn+1 := sup{d((x, a), (x(cid:48), a(cid:48))) : (x, a) ∈ Sn+1, (x(cid:48), a(cid:48)) ∈ Sn+1} → 0.
Vậy {Sn} là dãy các tập đóng lồng nhau có đường kính giảm tới 0. Vì X × R là không gian mêtric đủ nên tồn tại duy nhất phần tử (x, a) ∈ X × R thỏa mãn
0 ≤ d(xn+1, x) ≤ ≤ |a1 − m|. an+1 − a α 2−n α
Do (x, a) ∈ S1, ta có (x, a) ∈ S và (x1, a1) ≤α (x, a). Giả sử (x, a) ∈ S thỏa mãn
(2.6)
∩∞ n=1Sn = {(x, a)}.
Do (2.6) và do (x, a) ∈ Sn, với mọi n ∈ N, ta có
(x, a) ≤α (x, a).
(xn, an) ≤α (x, a) ≤α (x, a).
Vậy (x, a) ∈ Sn, minh được rằng (x, a) là phần tử cực đại trong S. Khẳng định 2 được chứng minh. Đặt
∀n ∈ N. Từ đó suy ra (x, a) = (x, a). Ta đã chứng
(2.7)
S = epif = {(x, a) ∈ X × R : f (x) ≤ a}. Do hàm f là nửa liên tục dưới, S là tập đóng trong X ×R. Ta có (x, f (x)) ∈ S. Đặt (x1, a1) = (x, f (x)), do Khẳng định 2 nên tồn tại (ˆx, ˆa) sao cho
. Từ (2.7) ta có
và (ˆx, ˆa) là phần tử cực đại trong S theo thứ tự ” ≤α ”. Đặt α =
(x1, a1) ≤α (ˆx, ˆa)
ε λ
20
ˆa − a1 + αd(x, ˆx) ≤ 0
hay
(2.8)
. Suy ra (ˆx, ˆa) ≤α (ˆx, f (ˆx)) và (ˆx, ˆa) (cid:54)= (ˆx, f (ˆx)). Điều này chứng
Mặt khác, ta có ˆa = f (ˆx). Thật vậy, giả sử ˆa > f (ˆx). Khi đó d(ˆx, ˆx) < ˆa − f (ˆx) 2
tỏ (ˆx, ˆa) không thể là phần tử cực đại, mâu thuẫn. Vậy
(2.9)
ˆa − f (x) + αd(x, ˆx) ≤ 0.
Thế (2.9) vào (2.8) ta có
(2.10)
ˆa = f (ˆx).
Suy ra f (ˆx) − f (x) ≤ 0, tức tính chất (i) trong kết luận của định lí nghiệm đúng. Do đó
f (ˆx) − f (x) + αd(x, ˆx) ≤ α.
Từ (2.10) ta có
f (x) + ε ≤ f (ˆx) + ε. f (x) ≤ inf x∈X
Do đó
αd(x, ˆx) ≤ f (x) − f (ˆx) ≤ ε.
Vậy tính chất (ii) nghiệm đúng. Để kiểm tra tính chất (iii), ta lấy tùy ý x ∈ X\{ˆx}. Nếu f (x) = +∞ thì bất đẳng thức chặt trong (iii) là đúng. Giả sử f (x) ∈ R. Vì (x, f (x)) ∈ S, (x, f (x)) (cid:54)= (ˆx, f (ˆx)) và (ˆx, f ˆx) là phần tử cực đại trong S nên bất đẳng thức (ˆx, f (ˆx)) ≤α (x, f (x)) là sai. Do đó
d(x, ˆx) ≤ = ε = λ. ε α λ ε
hay
f (x) − f (ˆx) + αd(x, ˆx) > 0
Vậy tính chất (iii) nghiệm đúng. Định lí đã được chứng minh.
Nhận xét 2.1.1. Nếu X là không gian Banach thì tính chất (iii) trong kết luận của Định lí suy ra
d(x, ˆx) > 0. f (x) − f (ˆx) + ε λ
21
f (ˆx) + ||ˆx − ˆx|| ≤ f (x) + ||x − ˆx|| ∀x ∈ X. ε λ ε λ
Đặt φ(x) = f (x) +
||x − ˆx||, ta có φ(ˆx) ≤ φ(x) với mọi x ∈ X, tức là ε λ
Các dạng khác của nguyên lí biến phân Ekeland.
ˆx là điểm cực tiểu toàn cục của hàm φ (một xấp xỉ của f ). Nói một cách khác, nguyên lý biến phân Ekeland khẳng định rằng với mỗi điểm ε− cực tiểu của hàm số thực nửa liên tục dưới trên một không gian mêtric đủ, tồn tại điểm cực tiểu toàn cục của một hàm số xấp xỉ của hàm số thực đó, sao cho điểm mới này cách điểm đã cho"không xa lắm" và giá trị của hàm số thực ban đầu tại đó không lớn hơn giá trị của hàm số xấp xỉ tại điểm ε− cực tiểu đã cho.
Định lí 2.1.3. Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và hàm f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử ε > 0 và x ∈ X thỏa mãn
f + ε. f (x) < inf X
Khi đó, với mọi λ > 0 tồn tại ˆx ∈ X sao cho (i) d(x, ˆx) ≤ λ; (ii) f (ˆx) +
(iii) f (x) +
Hằng số λ trong định lí trên rất linh hoạt. Chọn λ =
sau.
d(x, ˆx) > f (ˆx), ∀x ∈ X\{ˆx}. ε d(x, ˆx) ≤ f (x); λ ε λ √ ε, ta có kết quả
Định lí 2.1.4. Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và hàm f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử ε > 0 và x ∈ X thỏa mãn
f + ε. f (x) < inf X
Khi đó tồn tại ˆx ∈ X sao cho: √ (i) d(ˆx, x) ≤ ε; √ (ii) f (ˆx) + √ (iii) f (x) +
Khi điểm xấp xỉ cực tiểu x không biết rõ, ta chỉ quan tâm đến tính chất
của điểm ˆx với hàm nhiễu, ta có dạng yếu của nguyên lí biến phân sau.
22
εd(ˆx, x) ≤ f (x); εd(ˆx, x) > f (ˆx), ∀x ∈ X\{ˆx}.
Định lí 2.1.5. Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và hàm f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Khi đó với mọi ε > 0 tồn tại ˆx sao cho
√ f (x) + εd(ˆx, x) > f (ˆx), ∀x ∈ X\{ˆx}.
2.2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cho bài toán cân bằng
Nguyên lí biến phân Ekeland đã được sử dụng rộng rãi trong giải tích phi tuyến vì nó kế thừa sự tồn tại của các nghiệm xấp xỉ của bài toán cực tiểu hóa cho hàm nửa liên tục dưới trên một không gian metric đầy đủ. Vì bài toán tối ưu hóa là một trường hợp riêng của bài toán cân bằng, trong đó f (x, y) = g(y) − g(x), nên chúng ta quan tâm tới việc mở rộng nguyên lí Ekeland cho bài toán cân bằng. Chúng ta bắt đầu bằng trình bày kết quả tổng quát này cho song hàm f (trong [3]) với những chứng minh chi tiết và những chỉnh sửa cần thiết.
Cho D ⊆ X là một tập đóng, trong đó X là một không gian tuyến tính định chuẩn, và f : D × D → R.
2.2 Mở rộng
∀t ∈ D;
∀x, y, z ∈ D.
Định lí 2.2.1. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn. (i) f (x, .) là bị chặn dưới và nửa liên tục dưới với mọi x ∈ D; (ii) f (t, t) = 0, (iii) f (z, x) ≤ f (z, y) + f (y, x), Khi đó, với mọi ε > 0, mọi x0 ∈ D tồn tại ˆx ∈ D sao cho
f (x0, ˆx) + ε||x0 − ˆx|| ≤ 0
và
f (ˆx, x) + ε||ˆx − x|| > 0, ∀x ∈ D\{ˆx}.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta chứng minh cho trường hợp ε = 1. Kí hiệu F (x) := {y ∈ D : f (x, y) + ||y − x|| ≤ 0}. Từ (i) ta có F (x) là tập đóng với mọi x ∈ D. Từ (ii) ta có f (x, x) = 0, ∀x ∈ D nên f (x, x) + ||x − x|| = 0, ∀x ∈ D, do
23
đó, x ∈ F (x). Vậy F (x) (cid:54)= ∅, ∀x ∈ D. Giả sử y ∈ F (x) có nghĩa là
(2.11)
và z ∈ F (y), tức là
(2.12)
f (x, y) + ||y − x|| ≤ 0,
Cộng vế với vế của bất đẳng thức (2.11), (2.12) và kết hợp với (iii) ta có
f (z, y) + ||y − z|| ≤ 0.
Suy ra z ∈ F (x). Do đó từ giả thiết y ∈ F (x) suy ra F (y) ⊆ F (x). Đặt v(x) := inf
0 ≥ f (x, y) + ||y − x|| + f (z, y) + ||y − z|| ≥ f (x, z) + ||z − x||.
z∈F (x)
Với mọi z ∈ F (x) ta có
f (x, z).
z∈F (x)
Do đó
(−f (x, z)) = − inf f (x, z) = −v(x). ||x − z|| ≤ −f (x, z) ≤ sup z∈F (x)
Đặc biệt, nếu x1, x2 ∈ F (x) thì
||x − z|| ≤ −v(x), ∀z ∈ F (x).
||x1 − x2|| ≤ ||x − x1|| + ||x − x2|| ≤ −v(x) − v(x) = −2v(x).
Suy ra diam(F (x)) ≤ −2v(x), Cố định x0 ∈ D, do v(x) := inf
∀x ∈ D.
z∈F (x)
f (x, z) nên với ε = 2−1 tồn tại x1 ∈
F (x0) sao cho
Lấy một điểm x2 ∈ F (x1). Như vậy, vì v(x1) := inf
f (x0, x1) ≤ v(x0) + 2−1.
z∈F (x1)
f (x1, z) nên với
ε = 2−2 tồn tại x2 ∈ F (x1) sao cho
Cứ tiếp tục quá trình như trên ta thu được dãy {xn} ⊂ D sao cho xn+1 ∈ F (xn) và
(2.13)
f (x1, x2) ≤ v(x1) + 2−2.
24
f (xn, xn+1) ≤ v(xn) + 2−(n+1).
Vì xn+1 ∈ F (xn) nên theo khẳng định ở trên, ta có F (xn+1) ⊂ F (xn). Ta có
y∈F (xn)
v(xn+1) = f (xn+1, y) ≥ inf f (xn+1, y) inf y∈F (xn+1)
y∈F (xn)
≥ inf {f (xn, y) − f (xn, xn+1)}
y∈F (xn)
= inf f (xn, y) − f (xn, xn+1)
Do đó
(2.14)
= v(xn) − f (xn, xn+1).
Từ (2.13) và (2.14) ta có
v(xn+1) ≥ v(xn) − f (xn, xn+1).
Suy ra
−v(xn) ≤ −f (xn, xn+1) + 2−(n+1) ≤ (v(xn+1) − v(xn)) + 2−(n+1).
hay
0 ≤ v(xn+1) + 2−(n+1).
Do đó
diam(F (xn)) ≤ −2v(xn) ≤ 2.2−n → 0, n → ∞.
Vì {F (xn)} là đóng và F (xn+1) ⊆ F (xn) nên theo định lí về các tập đóng lồng nhau ta có
−v(xn+1) ≤ 2−(n+1).
Vì ˆx ∈ F (x0) nên f (x0, ˆx) + ||ˆx − x0|| ≤ 0. Hơn nữa, ˆx ∈ F (xn) và vì F (ˆx)) ⊆ F (xn) với mọi n nên ta có
∩nF (xn) = {ˆx}.
Suy ra x /∈ F (ˆx) = {ˆx} khi x (cid:54)= ˆx. Vậy theo định nghĩa F (ˆx) = {y ∈ D : f (ˆx, y)+||y − ˆx|| ≤ 0} mà x /∈ F (ˆx) nên f (ˆx, x) + ||x − ˆx|| > 0. Định lí hoàn toàn được chứng minh.
Nhận xét 2.2.1. Mọi hàm f (x, y) có dạng tách biến
F (ˆx) = {ˆx}.
25
f (x, y) = g(y) − g(x),
hiển nhiên thỏa mãn (ii) và (iii). Thật vậy, ta có f (t, t) = g(t) − g(t) = 0. Và f (z, x) = g(x)−g(z) = [g(x)−g(y)]+[g(y)−g(z)] = f (y, x)+f (z, y). Nếu f (x, y) không có dạng tách biến thì có thể nó không thỏa mãn (iii). Thí dụ
(cid:26) e−||x−y|| − 1 + g(y) − g(x) nếu x (cid:54)= y; nếu x = y,
trong đó, g là một hàm bị chặn dưới và nửa liên tục dưới.
f (x, y) = 0
Chứng minh. Ta có f (z, x) = e−||z−x|| − 1 + g(x) − g(z), và
Ta có
f (z, y) + f (y, x) = [e−||z−y|| − 1 + g(y) − g(z)] + [e−||y−x|| − 1 + g(x) − g(y)] = e−||z−y|| + e−||y−x|| − 2 + g(x) − g(z).
tức là
(2.15)
f (z, x) ≤ f (z, y) + f (y, x),
Thay x = 0, y = 2, z = 1 vào (2.15) ta có
e−||z−x|| ≤ e−||z−y|| + e−||y−x|| − 1.
Suy ra
e−1 ≤ e−1 + e−2 − 1.
Điều này là vô lí. Như vậy, hàm f (x, y) cho dưới dạng như trên không thỏa mãn (iii).
Nhận xét 2.2.2. Điều kiện (iii) của Định lí 2.2.1 suy ra với mọi x1, x2, ..., xn ∈ D ta có
n (cid:88)
(2.16)
0 ≤ e−2 − 1.
i=1
trong đó xn+1 = x1.
26
f (xi, xi+1) ≥ 0,
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp. Với n = 2 ta có
Vậy n = 2 thì (2.16) đúng.
n (cid:88)
Giả sử rằng (2.16) đúng với n, tức là
f (x1, x2) + f (x2, x3) = f (x1, x2) + f (x2, x1) ≥ f (x1, x1) = 0.
i=1
Ta đi chứng minh (2.16) đúng với n + 1. Ta có
n+1 (cid:88)
n−1 (cid:88)
f (xi, xi+1) ≥ 0.
i=1
i=1 n−1 (cid:88)
f (xi, xi+1) = f (xi, xi+1) + f (xn, xn+1) + f (xn+1, x1)
i=1
Do đó (2.16) đúng với n + 1. Vậy (2.16) đúng.
Dưới đây chúng ta chứng minh nguyên lí Ekeland cho một họ hàm.
i=1Xi, ta kí hiệu |||x||| là chuẩn Chebyshev của x được xác định i=1Xi cùng với
Cho m là số nguyên dương, và I = {1, 2, ..., m}. Xét hàm fi : D × Di → R, i ∈ I, trong đó D = Πi∈IDi và Di ⊂ Xi là tập con đóng của không gian Euclid Xi. Kí hiệu các phần tử của tập Di = Πj(cid:54)=iDi là xi. Vì vậy, x ∈ D có thể viết là x = (xi, xi) ∈ Di × Di. Nếu x ∈ Πm bởi |||x||| := maxi ||xi||i và ta sẽ xét không gian Euclid Πm chuẩn này.
Dưới đây là một mở rộng của Định lí 2.2.1.
m) ∈ D, tồn tại ˆx =
1, ..., x0
≥ f (xi, xi+1) + f (xn, x1) ≥ 0.
Định lí 2.2.2. Giả thiết rằng (i) fi(x, .) : Di → R là bị chặn dưới và nửa liên tục dưới với mọi i ∈ I; (ii) fi(x, xi) = 0 với mọi i ∈ I và với mọi x = (x1, x2, ..., xn) ∈ D; (iii) fi(z, xi) ≤ fi(z, yi)+fi(y, xi) với mọi x, y, z ∈ D, trong đó y = (yi, yi) với mọi i ∈ I. Khi đó với mọi ε > 0 và với mọi x0 = (x0 ( ˆx1, ˆx2, ..., ˆxm) ∈ D sao cho với mỗi i ∈ I ta có
27
(2.17)
i − ˆxi||i ≤ 0;
(2.18)
fi(x0, ˆxi) + ε||x0
fi(ˆx, xi) + ε|| ˆxi − xi||i > 0, ∀xi ∈ Di, xi (cid:54)= ˆxi.
Chứng minh. Tương tự chứng minh trên, ta chứng minh trong trường hợp ε = 1. Giả sử i ∈ I tùy ý. Với mỗi x ∈ D, đặt
Tập Fi(x) đóng. Từ (ii) ta có fi(x, xi) = 0 với mọi i ∈ I. Suy ra fi(x, xi) + ||xi − xi|| = 0 hay xi ∈ Fi(x). Vì vậy Fi(x) là tập khác rỗng. Với mỗi x ∈ D, đặt
Fi(x) := {yi ∈ Di, fi(x, yi) + ||xi − yi||i ≤ 0}.
zi∈Fi(x)
Tương tự chứng minh Định lí 2.2.1, có thể chỉ ra rằng diam(Fi(x)) ≤ −2vi(x) với mọi x ∈ D và i ∈ I. Bây giờ cố định x0 ∈ D, chọn tương ứng với mỗi i ∈ I một phần tử i ∈ Fi(x0) sao cho x1
vi(x) = inf fi(x, zi).
i ) ≤ vi(x0) + 2−1.
Đặt x1 = (x1
m) ∈ D và với mỗi i ∈ I chọn x2
1, ..., x1
i ∈ Fi(x1) sao cho
fi(x0, x1
i ) ≤ vi(x1) + 2−2.
m) ∈ D. Tiếp tục quá trình trên ta được {xn} ⊂ D sao
1, ..., x2
Đặt x2 = (x2 cho xn+1
fi(x1, x2
i
∈ Fi(xn), với mỗi i ∈ I, n ∈ N và
i
Lập luận tương tự như trong chứng minh Định lí 2.2.1, ta chỉ ra rằng
diam(Fi(xn)) ≤ −2vi(xn) ≤ 2.2−n → 0, n → ∞,
với mỗi i ∈ I. Với mỗi x ∈ D, đặt
fi(xn, xn+1 ) ≤ vi(xn) + 2−(n+1).
28
F (x) := F1(x) × ... × Fm(x) ⊆ D.
Tập F (x) là tập đóng và sử dụng (iii) trực tiếp suy ra y ∈ F (x) nên F (y) ⊆ F (x). Do đó, ta có
Mặt khác, với mỗi y, z ∈ F (xn), ta có
diam(Fi(xn)).
F (xn+1) ⊆ F (xn), ∀n = 0, 1, ...
|||y − z||| := max i∈I ||yi − zi||i ≤ max i∈I
Vì diam(F (xn)) → 0, |||y − z||| → 0.
Do vậy, diam(F (xn)) → 0 khi n → ∞. Như vậy, theo định lí Cantor về
các tập đóng lồng nhau thắt dần, ta có
∀i ∈ I nên maxi diam(Fi(xn)) → 0 hay
n=0F (xn) = {ˆx}, ∩∞
Vì ˆx ∈ F (x0), tức là ˆxi ∈ Fi(x0) (i ∈ I), ta thu được
ˆx ∈ D.
i − ˆxi||i ≤ 0,
Do đó (2.17) đúng. Hơn nữa, ˆx ∈ F (xn) suy ra F (ˆx) ⊆ F (xn) với mọi n = 0, 1, .... Bởi vậy F (ˆx) = {ˆx}. Vậy Fi(ˆx) = { ˆxi} với mọi i ∈ I. Vì vậy, với mọi xi ∈ Di, mà xi (cid:54)= ˆxi, ta có xi /∈ Fi(ˆx) và
∀i ∈ I. fi(x0, ˆxi) + ||x0
Do vậy (2.18) cũng đúng. Định lí hoàn toàn được chứng minh.
2.2.2 Nguyên lí biến phân Ekeland vectơ
Để nghiên cứu bài toán cân bằng vectơ cần mở rộng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm vectơ. Mục này trình bày nguyên lí biến phân Ekeland vectơ theo [4]. Giả sử f : X → Y trong đó (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và (Y, K) được kí hiệu là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương được sắp thứ tự bởi nón lồi đóng không tầm thường K ⊆ Y như sau
fi(ˆx, xi) + || ˆxi − xi||i > 0.
29
y1 ≤K y2 ⇔ y2 − y1 ∈ K.
Định nghĩa 2.2.1 (Nửa liên tục dưới). Một hàm giá trị vectơ f được gọi là K−nửa liên tục dưới (lower semicontinous) tại x0 ∈ X nếu với mỗi lân cận V của f (x0) tồn tại một lân cận U của x0 sao cho
f (U ) ⊂ V + K.
Để cho tiện nhiều khi ta chỉ nói nửa liên tục dưới thay cho K− nửa liên tục dưới. Dưới đây ta có khái niệm về tính tựa nửa liên tục dưới yếu hơn khái niệm nửa liên tục dưới nêu trên.
Định nghĩa 2.2.2 (Tựa nửa liên tục dưới). Một hàm f được gọi là tựa nửa liên tục dưới (quasi lower semicontinous) tại x0 ∈ X nếu với mỗi b ∈ Y mà b /∈ f (x0) + K tồn tại lân cận U của x0 ∈ X mà b /∈ f (x) + K với mỗi x ∈ U . Một hàm f là tựa nửa liên tục dưới trên X nếu nó là tựa nửa liên tục dưới tại mọi điểm của X.
Nhận xét 2.2.3. Hàm f là nửa liên tục dưới thì f là tựa nửa liên tục dưới. Điều ngược lại không đúng.
Bổ đề 2.2.1. Hàm f tựa nửa liên tục dưới trên X nếu và chỉ nếu các tập mức dưới là đóng, tức là với mỗi b ∈ Y, L(f, b) = {x ∈ X, f (x) ∈ b − K} là đóng.
Nói chung tính tựa nửa liên tục dưới không đóng qua phép cộng [12, Nhận xét 23]. Nhưng có thể chứng minh được rằng nếu f, g : X → Rn là tựa nửa liên tục dưới và bị chặn dưới (tức là f (X) ⊆ b + K với b nào đó) thì f + g cũng là tựa nửa liên tục dưới. Ta muốn khi nào thì tổng của một hàm tựa nửa liên tục dưới f và một hàm liên tục dưới g vẫn là tựa nửa liên tục dưới. Câu trả lời là khẳng định khi thêm giả thiết về tính chất bị chặn đơn điệu (monotone bounds property-MBP) của không gian (Y, K). Như vậy, nếu Y không là MBP thì câu trả lời phủ định, thậm chí trong trường hợp g là liên tục, như ví dụ sau chỉ ra.
Ví dụ 2.2.1. Cho Y := R2 và K := {(x, 0) : x ≥ 0}. Khi đó, (Y, K) không có tính chất MBP.
30
Cho f, g : R → R2 xác định bởi
(cid:26) (0, 0)
nếu t = 0, (−1, −t) nếu t (cid:54)= 0,
và g := (0, t) với mọi t. Hàm f là tựa nửa liên tục dưới, g là liên tục, nhưng hàm tổng f + g rõ ràng không tựa nửa liên tục dưới khi t = 0.
Theo ví dụ trên ta xét lớp hàm trong Bổ đề 1.4.2 dưới đây, khẳng định tính chất tựa nửa liên tục dưới của tổng vẫn được bảo toàn. Kết quả này sẽ có lợi trong các nghiên cứu tiếp theo.
f (x, y) =
Bổ đề 2.2.2. Cho f : X → Y là hàm tựa nửa liên tục dưới, g : X → R là hàm nửa liên tục dưới, và e ∈ K. Khi đó hàm f + ge : X → Y là tựa nửa liên tục dưới.
Chứng minh. Ta có (f + ge)(x) := f (x) + g(x).e ∀x ∈ X hay Nếu e = 0Y thì (f + ge)(x) := f (x) + g(x).e = f (x), f = g.e = f . Mà f tựa nửa liên tục dưới nên f + g.e là tựa nủa liên tục dưới. Giả sử rằng e (cid:54)= 0Y và cố định ˆx ∈ X. Giả sử u := b − g(ˆx)e − f (ˆx) /∈ K. Khi đó phần bù K C của K là tập mở và là lân cận của u, hay nói cách khác tập K C − u là lân cận của gốc trong Y ban đầu. Vì lân cận bất kì của gốc trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương là tập hấp thụ (ví dụ, Rudin [15, p. 24]), tồn tại ε > 0 sao cho εe ∈ K C − u,
Vì f tựa nửa liên tục dưới nên tồn tại lân cận U của ˆx sao cho
b − g(ˆx)e − f (ˆx) + εe /∈ K.
Do g nửa liên tục dưới nên tồn tại một lân cận V của ˆx mà
b − g(ˆx)e − f (x) + εe /∈ K, ∀x ∈ U.
Vì vậy, với mọi x ∈ V tồn tại kx ∈ K sao cho g(ˆx)e − εe − g(x)e = −kx. Do đó, với mọi x ∈ U ∩ V ta có
g(ˆx) − ε < g(x), ∀x ∈ V.
Suy ra b − g(x)e − f (x) /∈ K.
31
b + kx − g(x)e − f (x) ∈ K.
Ta kí hiệu K ∗ là đối ngẫu của K trong không gian tôpô đối ngẫu Y ∗
xác định bởi
Cố định điểm e ∈ K\(−K) và xét phiếm hàm e∗ ∈ K ∗ mà e∗(e) = 1. Kết quả dưới đây cung cấp một phiên bản của nguyên lí biến phân Ekeland vectơ áp dụng cho bài toán cân bằng [3].
K ∗ = {y∗ ∈ Y ∗, y∗(y) ≥ 0, ∀y ∈ K}.
Định lí 2.2.3. Giả sử (X, d) là không gian metric đủ. Giả thiết rằng hàm f : X × X → Y thỏa mãn các giả thiết sau: (i) f (t, t) = 0Y với mọi t ∈ X; (ii) y → e∗(f (x, y)) là bị chặn dưới với mọi x ∈ X; (iii) f (z, y) + f (y, x) ∈ f (z, x) + K với mọi x, y, z ∈ X; (iv) y → f (x, y) là tựa nửa liên tục dưới với mọi x ∈ X. Khi đó, với mỗi ε > 0 và với mỗi x0 ∈ X, tồn tại ˆx ∈ X sao cho (a) f (x0, ˆx) + εd(x0, ˆx)e ∈ −K; (b) f (ˆx, x) + εd(ˆx, x)e /∈ −K,
∀x ∈ X\{ˆx}.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, chúng ta chứng minh định lí trong trường hợp ε = 1. Với mỗi x ∈ X xét tập hợp
Từ (i) ta có f (x, x) = 0 với mọi x ∈ X. Suy ra f (x, x)+d(x, x)e = 0 ∈ −K hay x ∈ F (x). Vậy F (x) (cid:54)= ∅ với mọi x ∈ X. Do (iv) nên F (x) là tập đóng với mỗi x ∈ X (Bổ đề 2.2.1, 2.2.2). Giả sử rằng y ∈ F (x), có nghĩa là
(2.19)
F (x) := {y ∈ X : f (x, y) + d(x, y)e ∈ −K}.
và lấy z ∈ F (y), nghĩa là
(2.20)
f (x, y) + d(x, y)e ∈ −K,
Cộng hai vế của (2.19) và (2.20) và do −K là nón lồi nên ta có
f (y, z) + d(y, z) ∈ −K.
Do (iii) và bất đẳng thức tam giác của khoảng cách, ta dễ dàng có được z ∈ F (x).
32
f (x, y) + f (y, z) + (d(x, y) + d(y, z))e ∈ −K.
Thật vậy, để chứng minh z ∈ F (x) ta cần chứng minh f (x, z)+d(x, z).e ∈ −K. Vì f (x, y) + f (y, z) ∈ f (x, z) + K nên tồn tại k ∈ K sao cho
Suy ra f (x, z) = f (x, y) + f (y, z) − k. Ta có
f (z, y) + f (y, z) = f (z, x) + k
f (x, z) + d(x, z)e = f (x, y) + f (y, z) − k + [d(x, y) + d(y, z)]e − αe
Do đó y ∈ F (x) kéo theo bao hàm F (y) ⊆ F (x). Ta định nghĩa hàm giá trị thực v(x) = inf
= [f (x, y) + d(x, y)e] + [f (y, z) + d(y, z)e] − k − αe ∈ −K.
z∈F (x)
Nếu z ∈ F (x) thì d(x, z)e = −f (x, z) − k, với k ∈ K nào đó. Lấy e∗ hai vế, vì e∗(e) = 1 nên e∗(d(x, z)e) = d(x, z)e∗(e) = d(x, z) và e∗(k) ≥ 0 với mọi k ∈ K. Suy ra e∗(d(x, z)e) = d(x, z) = −e∗(f (x, z)) − e∗(k) ≤ −e∗(f (x, z)). Tương tự chứng minh Định lí 2.2.1, ta có chuỗi bất đẳng thức sau
e∗(f (x, z)).
d(x, z) ≤ −e∗(f (x, z))
z∈F (x) = −v(x).
Cụ thể, với mỗi x1, x2 ∈ F (x) ta có
e∗(f (x, z)) ≤ − inf
Chứng tỏ rằng diam(F (x)) ≤ −2v(x). Bắt đầu từ x0 ∈ X, dãy điểm {xn} của X có thể định nghĩa sao cho xn+1 ∈ F (xn) và e∗(f (xn, xn+1)) ≤ v(xn) + 2−(n+1). Chú ý rằng, từ (iii) suy ra e∗(f (z, y)) + e∗(f (y, x)) ≥ e∗(f (z, x)). Do đó
d(x1, x2) ≤ d(x1, x) + d(x, x2) ≤ −2v(x).
y∈F (xn)
v(xn+1) ≥ inf e∗(f (xn+1, y))
y∈f (xn)
≥ ( inf e∗(f (xn, y))) − e∗(f (xn, xn+1))
Do đó, như trong Định lí 1.4.1, chúng ta thu được
= v(xn) − e∗(f (xn, xn+1)).
33
−v(x) ≤ −e∗(f (xn, xn+1)) + 2−(n+1) ≤ v(xn+1) − v(xn) + 2−(n+1).
Điều đó dẫn đến
diam(F (xn)) ≤ −2v(xn) ≤ 2.2−n.
Suy ra
diam(F (x)) → 0, n → ∞.
Vì tập F (xn) là tập đóng và F (xn+1) ⊆ F (xn) nên theo định lí Cantor về dãy các tập đóng lồng nhau ta thu được giao của tập F (xn) là {ˆx} và F (ˆx) = {ˆx}. Do ˆx ∈ F (x0), chúng ta có (a). Ngoài ra, nếu x (cid:54)= ˆx, thì x /∈ F (ˆx), và chúng ta có (b).
Nhận xét 2.2.4. Ta sẽ chỉ ra điều kiện (ii) của Định lí 2.2.3 rõ ràng là yếu hơn giả thiết về tính bị chặn dưới của f (x, .). Thật vậy, nếu một hàm g : X → Y là bị chặn dưới thì tồn tại b ∈ Y mà với mỗi x ∈ X, g(x) ∈ b + K. Đặc biệt, e∗(g(x)) ≥ e∗(b), tức là e∗(g) là bị chặn dưới. Mặt khác, xét hàm g : R → R2 định nghĩa bởi g(t) = (−t, t). Nếu R2 được cho bởi nón R2 + thì ta sẽ dễ dàng thấy rằng g là không bị chặn dưới. Nhưng nếu ta lấy e∗ = (1, 1), hàm thực e∗(g(t)) = 0 là hằng số, do đó hiển nhiên bị chặn (bị chặn dưới).
Theo Định lí 2.2.3, ta có thể suy ra nguyên lí biến phân Ekeland cho bài
toán cân bằng vectơ dưới đây.
Định lí 2.2.4. Giả sử rằng các giả thiết của Định lí 2.2.3 được thỏa mãn. Với ε > 0 và λ > 0 cho trước và x0 ∈ X sao cho
(2.21)
∀y ∈ X. f (x0, y) + εe /∈ −K,
Khi đó, tồn tại ˆx ∈ X sao cho (a’) f (ˆx, x0) ∈ K; (b’) d(ˆx, x0) ≤ λ; (c’) f (ˆx, x) +
d(ˆx, x)e /∈ −K, ∀x ∈ X\{ˆx}. ε λ
Chứng minh. Giả sử ˆx ∈ X là một phần tử được cho bởi Định lí 2.2.3 với ε thay vì ε. Khi đó, chúng ta thu được (c’) từ tính chất (b) của Định lí λ 2.2.3. Theo tính chất (a), ta có
(2.22)
34
f (x0, ˆx) + d(x0, ˆx)e ∈ −K, ε λ
tức là
(2.23)
Từ giả thiết (i) và (iii) suy ra f (x, y) + f (y, x) ∈ f (x, x) + K = K. Cụ thể là
f (x0, ˆx) + d(x0, ˆx)e = −k1 (k1 ∈ K). ε λ
Suy ra
(2.24)
f (x0, ˆx) + f (ˆx, x0) = k0 (k0 ∈ K).
Từ (2.23) và (2.24), ta có
f (x0, ˆx) = −f (ˆx, x0) + k0 (k0 ∈ K).
Như vậy (a’) được chứng minh. Ta có
f (ˆx, x0) = d(x0, ˆx)e + k1 + k0 ∈ K. ε λ
Suy ra d(x0, ˆx) − λ ≤ 0 tức là d(x0, ˆx) ≤ λ. Định lí chứng minh xong.
Nhận xét 2.2.5. Nếu chúng ta giả sử rằng nón K nhọn (tức là K ∩ (−K) = {0}), khi đó ta có thể làm yếu điều kiện (2.21) như sau
(2.26)
d(x0, ˆx)e + εe − k1 = − f (x0, ˆx) + εe = − ε λ ε λ (d(x0, ˆx) − λ)e − k1 /∈ −K. (2.25)
Thật vậy, từ (2.26), (2.25), chúng ta có
∀y ∈ X. f (x0, y) + εe /∈ −K\{0},
− (d(x0, ˆx) − λ)e − k1 /∈ −K\{0}. ε λ
Nếu d(x0, ˆx) − λ > 0, thì − bằng 0. Điều này mâu thuẫn với tính nhọn của K.
35
(d(x0, ˆx) − λ)e − k1 ∈ −K, và do đó phải ε λ
Chương 3
Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và một số nguyên lí biến phân khác
Mục này trình bày định lí Bishop-Phelps, định lí cánh hoa (the flower- pental theorem), định lí giọt nước (the drop theorem). Chúng là các dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland. Trong ba định lí, định lí Bishop- Phelps [8,9] có giải thích hình học gần với nguyên lí biến phân Ekeland nhất.
3.1.1 Định lí Bishop-Phelps
Định nghĩa 3.1.1. Cho X là không gian Banach. Với bất kì x∗ ∈ X ∗\{0} và bất kì ε > 0 ta gọi
3.1 Dạng hình học của nguyên lý biến phân Ekeland
là nón Bishop-Phelps liên kết x∗ và ε, với x∗(x) là giá trị của x∗ tại x.
Ta minh họa nón này trong không gian ba chiều cổ điển gọi là nón kem
(ice cream cone)
36
K(x∗, ε) = {x ∈ X|ε||x∗||||x|| ≤ x∗(x)}
Nhận xét 3.1.1. K(x∗, ε) là nón.
Chứng minh. Với mọi x ∈ K(x∗, ε), nghĩa là ε||x∗||.||x|| ≤ x∗(x). Và với mọi λ ≥ 0, ta có
Suy ra y = λx ∈ K. Do đó K là nón.
ε||x∗||.||λx|| = λ[ε||x∗||.||x||] ≤ λx∗(x) = x∗(λx)
Định nghĩa 3.1.2. Ta nói tập S có điểm K(x∗, ε) điểm tựa y (point support y) nếu
Định lí 3.1.1 (Định lí Bishop-Phelps). Cho X là không gian Banach và S là tập đóng trong X. Giả sử x∗ ∈ X ∗ là bị chặn trên S. Khi đó với mọi ε > 0, S có K(x∗, ε) điểm tựa y.
{y} = S ∩ [K(x∗, ε) + y].
Chứng minh. Ta áp dụng nguyên lý biến phân Ekeland với hàm f xác định như sau
Giả sử z là điểm thỏa mãn
f (x) = − + lS(x). x∗(x) ||x∗||
ta tìm được điểm y sao cho: (i) f (y) + ε||y − z|| ≤ f (z), (ii) f (x) + ε||x − y|| > f (y), ∀x (cid:54)= y. Ta chứng minh y ∈ S ∩ [K(x∗, ε) + y]. Thật vậy, từ (i) suy ra y ∈ S. Mặt khác 0 ∈ K(x∗, ε) nên y ∈ [K(x∗, ε)+y]. Tiếp theo ta chứng minh S ∩ [K(x∗, ε) + y] = {y}.
37
f (x) + ε, f (z) < inf X
Bằng phản chứng, giả sử ta có y(cid:48) (cid:54)= y mà y(cid:48) ∈ S ∩ [K(x∗, ε) + y]. Suy ra y(cid:48) − y ∈ K(x∗, ε), ta có
hay
ε||x∗||||y(cid:48) − y|| ≤ x∗(y(cid:48) − y) = x∗(y(cid:48)) − x∗(y),
Chia cả hai vế của bất đẳng thức trên cho ||x∗|| ta được
(3.1)
−x∗(y(cid:48)) + ε||x∗||.||y − y(cid:48)|| ≤ −x∗(y).
Vì y ∈ S và y(cid:48) ∈ S nên lS(y) = lS(y(cid:48)) = 0. Kết hợp với (3.1) ta suy ra
− + ε||y(cid:48) − y|| ≤ − . x∗(y(cid:48)) ||x∗|| x∗(y) ||x∗||
tức là
− + lS(y(cid:48)) + ε||y(cid:48) − y|| ≤ − + lS(y), x∗(y(cid:48)) ||x∗|| x∗(y) ||x∗||
Điều này mâu thuẫn với (ii). Định lí hoàn toàn được chứng minh.
Nhận xét 3.1.2. Bức tranh hình học của định lí Bishop- Phelps và ngyên lí biến phân Ekeland gần như là một. Nón Bishop- Phelps K(x∗, ε) + y trong Định lí 3.1.1 đóng vai trò tương tự như của f (y)−εd(x, y) trong Định lí 2.1.2. Có thể chứng minh phát biểu của nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian Bannach bằng cách áp dụng định lí Bishop-Phelps cho epigraph của hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới.
3.1.2 Định lí cánh hoa (the flower- pental theorem)
Định nghĩa 3.1.3. Cho X là không gian Banach và a, b ∈ X. Ta gọi
f (y(cid:48)) + ε||y(cid:48) − y|| ≤ f (y), ∀y(cid:48) (cid:54)= y.
là cánh hoa liên kết với γ ∈ (0, + ∝) và a, b ∈ X.
và γ =
Pγ(a, b) = {x ∈ X|γ||a − x|| + ||x − b|| ≤ ||b − a||}
Dưới đây là hình vẽ cánh hoa Pγ((0, 0); (1, 0)) khi γ =
38
. 1 3 1 2
Nhận xét 3.1.3. Một cánh hoa luôn là tập lồi.
Chứng minh. Giả sử x, y ∈ Pγ(a, b). Để chứng minh Pγ(a, b) là tập lồi ta cần chỉ ra rằng với 0 < λ < 1 thì λx + (1 − λ)y ∈ Pγ(a, b). Vì x ∈ Pγ(a, b) nên ta có
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với λ ta được
(3.2)
γ||a − x|| + ||x − b|| ≤ ||b − a||.
Tương tự, vì y ∈ Pγ(a, b) nên
γ||λa − λx|| + ||λx − λb|| ≤ λ||b − a||.
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với 1 − λ ta được
γ||a − y|| + ||y − b|| ≤ ||b − a||.
Cộng tương ứng hai vế của (3.2) và (3.3) ta có
γ||(1 − λ)a − (1 − λ)y|| + ||(1 − λ)y − (1 − λ)b|| ≤ (1 − λ)||b − a||. (3.3)
(3.4)
Mà
γ[||λa−λx||+||(1−λ)a−(1−λ)y||]+[||λx−λb||+||(1−λ)y−(1−λ)b||] ≤ ||b−a||.
(3.6)
γ[||λa − λx|| + ||(1 − λ)a − (1 − λ)y||] ≥ γ||a − [λx + (1 − λ)y]||. (3.5)
39
||λx − λb|| + ||(1 − λ)y − (1 − λ)b|| ≥ ||[λx + (1 − λ)y] − b||.
Kết hợp (3.5), (3.6) với (3.4) ta có
Suy ra λx + (1 − λ)y ∈ Pγ(a, b). Do đó Pγ(a, b) là tập lồi.
γ||a − [λx + (1 − λ)y]|| + ||[λx + (1 − λ)y] − b|| ≤ ||b − a||.
Định lí 3.1.2 (Định lí cánh hoa). Cho X là không gian Banach và S là tập đóng trong X. Giả sử a ∈ S và b ∈ X\S. Đặt t = ||b − a|| và r ∈ (0, d(S, b)).
Khi đó, với bất kì γ > 0, tồn tại y ∈ S ∩Pγ(a, b) thỏa mãn ||y −a|| ≤
t − r γ
mà Pγ(y, b) ∩ S = {y}.
Chứng minh. Xét hàm f (x) := ||x − b|| + lS(x). Vì r ∈ (0, d(S, b)) nên
Suy ra
r < ||x − b||, ∀x ∈ S.
Do đó
0 < ||x − b|| − r, ∀x ∈ S.
Điều này chứng tỏ
f (a) = ||a − b|| = t < t + (||x − b|| − r), ∀x ∈ S.
Ta áp dụng nguyên lý biến phân Ekeland cho hàm f (x) với ε = t − r và
thỏa mãn
f + (t − r). f (a) < inf S f + (t − r) = inf X
(3.7)
> 0 ta tìm được y sao cho ||y − a|| ≤ λ = t − r γ t − r γ
và
(3.8)
||y − b|| + lS(y) + γ||a − y|| ≤ ||a − b||
||x − b|| + γ||x − y|| > ||y − b|| + lS(y), ∀x ∈ X {y}. Bất đẳng thức (3.7) chứng tỏ y ∈ S vì nếu y /∈ S thì lS(y) = +∞ do đó (3.7) là vô lí. Vì vậy ||y − b|| + γ||a − y|| ≤ ||a − b|| hay y ∈ Pγ(a, b). Vậy y ∈ S ∩ Pγ(a, b). Do y ∈ S và từ bất đẳng thức (3.8) ta có
Điều này chứng tỏ rằng Pγ(y, b) ∩ S = {y}. Định lí hoàn toàn được chứng minh.
40
||x − b|| + γ||x − y|| > ||y − b||, ∀x ∈ S\{y}.
3.1.3 Định lí giọt nước (the drop theorem)
Định nghĩa 3.1.4. Cho X là không gian Banach, tập C là tập lồi trong X và a ∈ X. Chúng ta gọi
là giọt nước liên kết với a và C.
Bổ đề dưới đây cung cấp cho chúng ta mối liên hệ giữa giọt nước và
cánh hoa. Điều này được minh họa bằng hình ảnh sau
[a, C] := conv({a} ∪ C) = {a + t(c − a)|c ∈ C, 0 ≤ t ≤ 1}
Bổ đề 3.1.1 (Giọt nước và cánh hoa). Cho X là không gian Banach, a, b ∈ X và γ ∈ (0, 1). Khi đó, ta có (i) B||a−b||(1−γ)/(1+γ)(b) ⊂ Pγ(a, b); (ii) [a, B||a−b||(1−γ)/(1+γ)(b)] ⊂ Pγ(a, b).
Chứng minh. (i) Ta chứng minh B||a−b||(1−γ)/(1+γ)(b) ⊂ Pγ(a, b). Lấy x ∈ B||a−b||(1−γ)/(1+γ)(b), khi đó
Ta có
||x − b|| ≤ ||a − b|| . 1 − γ 1 + γ
γ||x − a|| + ||x − b|| ≤ γ(||x − b|| + ||b − a||) + ||x − b||
= (1 + γ)||x − b|| + γ||b − a||
≤ (1 − γ)||a − b|| + ||b − a||
41
= ||b − a||.
Điều này chứng tỏ x ∈ Pγ(a, b). (ii) Ta chứng minh [a, B||a−b||(1−γ)/(1+γ)(b)] ⊂ Pγ(a, b). Lấy x ∈ [a, B||a−b||(1−γ)/(1+γ)(b)], khi đó tồn tại t ∈ [0, 1] và y ∈ B||a−b||(1−γ)/(1+γ)(b) để
Vì y ∈ B||a−b||(1−γ)/(1+γ)(b) nên theo (i) ta có y ∈ Pγ(a, b). Do γ||a − a|| + ||a − b|| = ||b − a|| nên suy ra a ∈ Pγ(a, b). Mặt khác, vì Pγ(a, b) là tập lồi nên x = ta + (1 − t)y ∈ Pγ(a, b). Ta có điều phải chứng minh.
x = ta + (1 − t)y.
Định lí 3.1.3 (Định lí giọt nước). Cho X là không gian Banach và S là tập con đóng trong X. Giả sử b ∈ X\S và r ∈ (0, d(S; b)). Khi đó, với bất kì ε > 0, tồn tại y ∈ ∂S thỏa mãn
||y − b|| ≤ d(S, b) + ε
và
[y, Br(b)] ∩ S = {y}.
Chứng minh. Chọn a ∈ S sao cho ||a − b|| ≤ inf{d(x, b)|x ∈ S} + ε = d(S, b) + ε và
sao
Từ Định lí 3.1.2 suy ra tồn tại y ∈ S ∩ Pγ(y, b) mà ||y − a|| ≤
γ = ∈ (0, 1). ||a − b|| − r ||a − b|| + r
cho
(3.9)
t − r γ
.
Ta chứng minh y ∈ ∂S. Giả sử y ∈ intS, khi đó tồn tại r > 0 sao cho Br(y) ⊂ S. Ta xét những điểm có dạng x = ty + (1 − t)b với 0 < t ≤ 1 và 1 − t ≤
Pγ(y, b) ∩ S = {y}.
Ta có
r ||y − b||
42
||x − y|| = (1 − t)||y − b|| ≤ r nên x ∈ B(y, r).
Mặt khác
γ||x − y|| + ||x − b|| = γ(1 − t)||y − b|| + ||ty + (1 − t)b − b||
= γ(1 − t)||y − b|| + t||y − b||
= [γ(1 − t) + t]||y − b|| + t||y − b||
< (1 − t + t)||y − b||
Dẫn đến x ∈ Pγ(y, b). Vậy x ∈ S ∩ Pγ(y, b) mâu thuẫn với (3.9). Do đó y ∈ ∂S. Hơn nữa từ y ∈ Pγ(a, b) suy ra ||y − b|| < ||a − b|| < d(S, b) + ε.
Cuối cùng từ (3.9) và Bổ đề 3.1.1 với r =
= ||y − b||.
||a − b|| ta có 1 − γ 1 + γ
[y, B(b, r)] ∩ S = {y}.
3.2 Sự tương đương giữa nguyên lí biến phân Ekeland và tính
Thực chất, nguyên lí biến phân Ekeland mô tả tính đầy đủ của không
gian mêtric.
đầy đủ của không gian mêtric
Định lí 3.2.1 (Nguyên lý biến phân Ekeland và tính đầy đủ). Cho (X, d) là không gian mêtric. Khi đó X là đủ nếu và chỉ nếu mọi hàm nửa liên tục dưới f : X → R ∪ {+∞} bị chặn dưới và mọi ε > 0 tồn tại một điểm y ∈ X thỏa mãn
f + ε f (y) < inf X
và
f (x) + εd(x, y) ≥ f (y), ∀x ∈ X
Chứng minh. Phần "nếu" theo Định lí 2.1. Ta chứng minh phần "chỉ nếu". Lấy dãy (xi) là một dãy Cauchy. Khi đó, d(xi, x) là một hàm hoàn toàn được xác định và không hàm f (x) := lim i→∞
âm. Vì hàm khoảng cách là Lipschitz theo x ta thấy rằng f là liên tục. Hơn nữa, vì (xi) là dãy Cauchy nên ta có f (xi) → 0 khi i → ∞. Do đó
43
f = 0.
(3.10)
inf X Với ε ∈ (0, 1), ta chọn y sao cho f (y) ≤ ε và
Từ công thức (3.10), thay x = xi và lấy giới hạn khi i → ∞ ta được xi = y. Định lí hoàn f (y) ≤ εf (y) bởi vậy f (y) = 0. Điều đó chứng tỏ lim i→∞
toàn được chứng minh.
f (y) ≤ f (x) + εd(x, y), ∀x ∈ X.
3.3 Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland trong chứng minh
Trong phần này ta sẽ áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland để chứng minh định lí điểm bất động Banach, định lí điểm bất động Caristi-Kirk, định lí điểm bất động của ánh xạ co theo hướng.
định lí điểm bất động
Định nghĩa 3.3.1. Cho tập hợp X và ánh xạ f : X → X. Ta nói x là điểm bất động của f nếu f (x) = x.
Điểm bất động của ánh xạ thường biểu diễn trạng thái cân bằng của một hệ thống nào đó. Do đó, điều kiện đảm bảo sự tồn tại và duy nhất của điểm bất động cần được quan tâm. Bây giờ, ta sử dụng nguyên lí biến phân Ekeland để chứng minh một vài định lí điểm bất động.
3.3.1 Định lí điểm bất động Banach
Định nghĩa 3.3.2. Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và ánh xạ φ : X → X. Ta gọi φ là ánh xạ co nếu tồn tại k ∈ (0, 1) sao cho
d(φ(x), φ(y)) ≤ kd(x, y), ∀x, y ∈ X.
Định lí 3.3.1 (Định lí điểm bất động Banach). Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và ánh xạ φ : X → X là ánh xạ co. Khi đó, tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co φ.
Chứng minh. Xét hàm f (x) := d(x, φ(x)). Ta thấy f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ X nên f (x) là hàm bị chặn dưới trên X.
44
Ta sẽ chứng minh f là hàm liên tục trên X. Thật vậy, dựa vào đánh giá
|f (x) − f (y)| = |d(x, φ(x)) − d(y, φ(y))|
≤ |d(x, φ(x)) − d(x, φ(y))| + |d(x, φ(y)) − d(y, φ(y))|
≤ d(φ(x), φ(y)) + d(x, y)
Suy ra f là hàm liên tục trên X. Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm f (x) := d(x, φ(x)) với ε ∈ (0, 1 − k) ta tìm được ˆx ∈ X sao cho
(3.11)
≤ (k + 1)d(x, y).
Do φ(ˆx) ∈ X nên thay x = φ(ˆx) trong 3.11 ta có
f (x) + εd(x, ˆx) ≥ f (ˆx), ∀x ∈ X.
hay
f (ˆx) ≤ f (φ(ˆx)) + εd(φ(ˆx), ˆx),
d(ˆx, φ(ˆx)) ≤ d(φ(ˆx), φ(φ(ˆx)) + εd(ˆx, φ(ˆx))
≤ kd(ˆx, φ(ˆx)) + εd(ˆx, φ(ˆx))
Suy ra
≤ (k + ε)d(ˆx, φ(ˆx)).
Mà 0 < ε < 1 − k nên suy ra k − 1 < ε + k − 1 < 0. Do đó d(ˆx, φ(ˆx)) = 0 hay φ(ˆx) = ˆx. Vậy ˆx chính là điểm bất động của ánh xạ φ. Định lí được chứng minh. Ta đi chứng minh điểm bất động của φ là duy nhất. Thật vậy, giả sử có x1 (cid:54)= x2 là hai điểm bất động của φ tức là
(k + ε − 1)d(ˆx, φ(ˆx)) ≥ 0.
Khi đó
φ(x1) = x1, φ(x2) = x2.
Do k ∈ (0, 1) nên đẳng thức trên xảy ra khi x1 = x2 (mâu thuẫn). Vậy điểm bất động của φ nếu có là duy nhất.
45
d(x1, x2) = d(φ(x1), φ(x2)) ≤ kd(x1, x2).
3.3.2 Một kết quả tinh tế hơn của Clarke (Clarke’s Refinement)
Trong định lí điểm bất động Banach, ta có thể thay điều kiện ánh xạ co
bởi điều kiện yếu hơn là ánh xạ co theo hướng.
Định nghĩa 3.3.3. Cho (X, d) là không gian mêtric đủ. Cho x, y ∈ X , ta định nghĩa đoạn thẳng giữa x và y là
Định nghĩa 3.3.4 (co theo hướng). Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và ánh xạ φ : X → X. Ta gọi φ là ánh xạ co theo hướng nếu φ thỏa mãn các điều kiện sau. (i) φ là ánh xạ liên tục. (ii) Tồn tại k ∈ (0, 1) sao cho với bất kì x ∈ X mà φ(x) (cid:54)= x tồn tại z ∈ [x, φ(x)]\{x} thỏa mãn
[x, y] = {z ∈ X|d(x, z) + d(z, y) = d(x, y)}.
d(φ(x), φ(z)) ≤ kd(x, z).
Định lí 3.3.2. Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và ánh xạ φ : X → X là ánh xạ co theo hướng. Khi đó φ có một điểm bất động.
Chứng minh. Xét hàm f (x) = d(x, φ(x)). Do hàm khoảng cách và hàm φ là liên tục nên f là liên tục. Hơn nữa f bị chặn bởi 0. Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm f với ε ∈ (0, 1 − k) ta tìm được y ∈ X sao cho
(3.12)
Ta chứng minh φ(y) = y. Giả sử ngược lại φ(y) (cid:54)= y. Vì φ là ánh xạ co theo hướng nên ta tìm được z (cid:54)= y mà z ∈ [y, φ(y)], tức là
(3.13)
f (y) ≤ f (x) + εd(x, y), ∀x ∈ X.
thỏa mãn
(3.14)
d(y, z) + d(z, φ(y)) = d(y, φ(y)) = f (y)
Thay x = z trong (3.12) ta được
d(φ(y), φ(z)) ≤ kd(y, z).
46
f (y) ≤ f (z) + εd(z, y),
tức là
hay
(3.15)
d(y, z) + d(z, φ(y)) ≤ d(z, φ(z)) + εd(z, y)
Sử dụng bất đẳng thức tam giác và kết hợp với (3.14) ta có
(3.16)
d(y, z) ≤ −d(z, φ(y)) + d(z, φ(z)) + εd(z, y).
Kết hợp (3.15) và (3.16) ta được
d(z, φ(z)) − d(z, φ(y)) ≤ d(φ(y), φ(z)) ≤ kd(y, z).
hay
d(y, z) ≤ (k + ε)d(y, z),
Mặt khác, do 0 < ε < 1 − k ta suy ra k − 1 < k + ε − 1 < 0. Do đó d(y, z) = 0 dẫn đến y = z (mâu thuẫn). Định lí được chứng minh.
Rõ ràng, bất kì sự co nào cũng đều là co có hướng. Vì vậy Định lí 3.3.2 khái quát hóa định lí điểm bất động Banach. Dưới đây là một ví dụ áp dụng Định lí 3.3.2 khi định lí co Banach không làm được.
Ví dụ 3.3.1. Trên X = R2 ta định nghĩa ||x|| = ||(x1, x2)|| = |x1| + |x2|. Đoạn thẳng nối hai điểm (x1, x2) và (y1, y2) là hình chữ nhật với bốn đỉnh có tọa độ là (x1, x2); (x1, y2); (y1, x2); (y1, y2). Thật vậy, z ∈ [x, y] nếu d(x, z) + d(z, y) = d(x, y), tức là
(k + ε − 1)d(y, z) ≥ 0.
hay ta có
|z1 − x1| + |z2 − x2| + |z1 − y1| + |z2 − y2| = |x1 − y1| + |x2 − y2|,
và
|z1 − x1| + |z1 − y1| = |x1 − y1|,
Do vậy, z thuộc hình chữ nhật đóng có 4 đỉnh là 4 điểm (x1, x2), (y1, y2), (y1, x2), (x1, y2). Ánh xạ
|z2 − x2| + |z2 − y2| = |x2 − y2|.
47
− ). , x1 + φ(x1, x2) = ( x2 3 3x1 2 x2 3
là ánh xạ co theo hướng. Thật vậy, khi y = φ(x) (cid:54)= x với x = (x1, x2), y = (y1, y2). Khi đó y2 (cid:54)= x2 (trường hợp trái lại ta có y1 = x1). Ta chọn trên đoạn [x, y] điểm z = (x1, x2 + ε) với ε > 0. Với những điểm như thế ta có
− = d(( ); ( − )) x2 + ε 3 3x1 2 x2 3
) − ( − − = |( )| )| + |(x1 + ) − (x1 + d(φ(x1, x2 + ε), φ(x1, x2)) x2 + ε 3 x2 + ε 3 , x1 + 3x1 2 3x1 2 3x1 2 x2 3 x2 , x1 + 3 x2 + ε 3 x2 3
Mà
≤ + = ε. ε 3 ε 3 2 3
Suy ra
d((x1, x2 + ε), (x1, x2)) = |x1 − x1| + |x2 + ε − x2| = ε.
Bởi vậy φ là co theo hướng. Giả sử x = (x1, x2) là điểm bất động của φ thì ta có φ(x) = x tức là
d(φ(x1, x2 + ε), φ(x1, x2)) = d((x1, x2 + ε), (x1, x2)). 2 3
Suy ra
− ( , x1 + ) = (x1, x2) 3x1 2 x2 3 x2 3
= x1
Giải hệ phương trình trên ta được x2 =
3x1 2 x1 + x2 − 3 x2 = x2 3
x1. Vậy điểm bất động của φ là 3 2
tất cả những điểm có dạng (x,
Vì điểm bất động của φ là không duy nhất nên định lí điểm bất động Banach không áp dụng được cho ánh xạ này.
3.3.3 Định lí điểm bất động Caristi-Kirk
Với lí luận tương tự có thể được sử dụng để chứng minh định lí điểm
bất động Caristi-Kirk cho hàm đa trị.
48
). 3x 2
Định nghĩa 3.3.5. Cho ánh xạ đa trị F : X → 2X, ta nói x là điểm bất động của F nếu x ∈ F (x).
Định lí 3.3.3. Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và hàm f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Cho ánh xạ đa trị F : X → 2X có đồ thị đóng thỏa mãn
(3.17)
f (y) ≤ f (x) − d(x, y), ∀(x, y) ∈ graphF.
Khi đó F có một điểm bất động.
Chứng minh. Định nghĩa khoảng cách ρ trên X × X như sau.
Khi đó (X × X, ρ) là không gian mêtric đủ. Thật vậy
ρ((x1, y1), (x2, y2)) := d(x1, x2) + d(y1, y2), ∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ X × X.
• Với mọi (x1, y1), (x2, y2) ∈ X × X ta có
Dấu bằng chỉ xảy ra khi
ρ((x1, y1), (x2, y2)) := d(x1, x2) + d(y1, y2) ≥ 0.
tức là x1 = x2 và y1 = y2 hay là (x1, y1) = (x2, y2).
d(x1, x2) = 0 và d(y1, y2) = 0,
• Với mọi (x1, y1), (x2, y2) ∈ X × X ta có
ρ((x1, y1), (x2, y2)) = d(x1, x2) + d(y1, y2) = d(x2, x1) + d(y2, y1) = ρ((x2, y2), (x1, y1)).
• Với mọi (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) ∈ X × X ta có
49
ρ((x1, y1), (x2, y2)) + ρ((x2, y2), (x3, y3)) = d(x1, x2) + d(y1, y2) + d(x2, x3) + d(y2, y3) ≥ d(x1, x3) + d(y1, y3) = ρ((x1, y1), (x3, y3)).
Theo định nghĩa ta có,
• Giả sử {zn} ⊂ X × X với zn = (xn, yn) là dãy Cauchy trong X × X.
tức là
∀ε > 0, ∃N, ∀m > N, n > N thì ρ(zn, zm) < ε,
Suy ra {xn}, {yn} là dãy Cauchy trong X. Vì X là không gian mêtric đủ nên xn → x ∈ X và yn → y ∈ X. Do đó zn → z = (x, y) ∈ X × X. Vậy (X × X, ρ) là không gian mêtric đủ.
Chọn ε ∈ (0,
d(xn, xm) + d(yn, ym) < ε.
) và xét hàm g : X → R ∪ {+∞} xác định bởi
Khi đó g là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Áp dụng nguyên lí biến phân Ekeland cho hàm g ta thấy rằng tồn tại (ˆx, ˆy) ∈ graph F sao cho
1 2 g(x, y) = f (x) − (1 − ε)d(x, y) + lgraphF (x, y).
Do đó, với mọi (x, y) ∈ graph F ta có
g(ˆx, ˆy) ≤ g(x, y) + ερ((x, y), (ˆx, ˆy)), ∀(x, y) ∈ X × X.
Giả sử ˆz ∈ F (ˆy), thay (x, y) = (ˆy, ˆz) trong (3.18) ta được
f (ˆx) − (1 − ε)d(ˆx, ˆy) ≤ f (x) − (1 − ε)d(x, y) + ε(d(x, ˆx) + d(y, ˆy)). (3.18)
Suy ra
f (ˆx) − (1 − ε)d(ˆx, ˆy) ≤ f (ˆy) − (1 − ε)d(ˆy, ˆz) + ε(d(ˆy, ˆx) + d(ˆz, ˆy)).
Mặt khác, từ (3.17) ta có
f (ˆx) − f (ˆy) − d(ˆy, ˆx) ≤ −(1 − 2ε)d(ˆz, ˆy).
Vì vậy, ta có đánh giá sau
f (ˆx) − f (ˆy) − d(ˆy, ˆx) ≥ 0
Do đó d(ˆz, ˆy) = 0 hay ˆy = ˆz. Vậy ˆy ∈ F (ˆy). Định lí được chứng minh.
Nhận xét 3.3.1. Từ chứng minh trên ta thấy F (ˆy) = {ˆy}.
50
0 ≤ f (ˆx) − f (ˆy) − d(ˆy, ˆx) ≤ −(1 − 2ε)d(ˆz, ˆy).
3.4.1 Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss
Định nghĩa 3.4.1. Cho (X, d) là không gian mêtric đủ. Ta nói rằng hàm liên tục ρ : X × X → [0, ∞] là một hàm gauge-type trên không gian mêtric đủ (X, d) nếu thỏa mãn (i) ρ(x, x) = 0, ∀x ∈ X; (ii) Với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 mà ∀y, z ∈ X ta có ρ(y, z) ≤ δ kéo theo d(y, z) < ε.
3.4 Một số nguyên lí biến phân khác
Định lí 3.4.1 (Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss). Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và hàm f : X → R ∪ {+∞} là nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử ρ là hàm gauge-type và (δi)∞ i=0 là dãy số dương. Giả sử rằng ε > 0, z ∈ X thỏa mãn
f + ε. f (z) ≤ inf X
;
Khi đó tồn tại y và một dãy {xi} ⊂ X mà (i) ρ(z, y) ≤ , ρ(xi, y) ≤
ε 2iδ0
ε δ0 ∞ (cid:88)
(ii) f (y) +
i=0 ∞ (cid:88)
∞ (cid:88)
ρ(y, xi) ≤ f (z);
(iii) f (x) +
i=0
i=0
δiρ(x, xi) > f (y) + δiρ(y, xi), ∀x ∈ X\{y}.
Chứng minh. Định nghĩa dãy (xi) và (Si) theo quy nạp bắt đầu từ x0 := z và
(3.19)
Vì ρ(x0, x0) = 0 nên f (x0) + δ0ρ(x0, x0) = f (x0). Do đó x0 ∈ S0 hay S0 (cid:54)= ∅. Hơn nữa, S0 đóng vì cả f (.) và ρ(., x0) đều là hàm nửa liên tục dưới. Với mọi x ∈ S0, ta có
(3.20)
S0 = {x ∈ X|f (x) + δ0ρ(x, x0) ≤ f (x0)}.
Lấy x1 ∈ S0 thỏa mãn
(3.21)
f ≤ ε. δ0ρ(x, x0) ≤ f (x0) − f (x) ≤ f (z) − inf X
51
. [f (x) + δ0ρ(x, x0)] + f (x1) + δ0ρ(x1, x0) ≤ inf x∈S0 δ1ε 2δ0
Định nghĩa tương tự
1 (cid:88)
(3.22)
k=0
Tổng quát, giả sử rằng ta đã xác định xj, Sj, j = 0, 1, ..., i − 1 thỏa mãn
j−1 (cid:88)
j−1 (cid:88)
(3.23)
δkρ(x, xk) ≤ f (x1) + δ0ρ(x1, x0)}. S1 = {x ∈ S0|f (x) +
x∈Sj−1
k=0
k=0
và
j−1 (cid:88)
j (cid:88)
[f (x) + , δkρ(xj, xk) ≤ inf δkρ(x, xk)] + f (xj) + εδj 2jδ0
k=0
k=0
Chọn xi ∈ Si−1 mà
i−1 (cid:88)
i−1 (cid:88)
(3.25)
δkρ(xj, xk)}. (3.24) δkρ(x, xk) ≤ f (xj) + Sj = {x ∈ Sj−1|f (x) +
x∈Si−1
k=0
k=0
Và định nghĩa
i (cid:88)
i−1 (cid:88)
(3.26)
[f (x) + . f (xi) + δkρ(xi, xk) ≤ inf δkρ(x, xk)] + εδi 2iδ0
k=0
k=0
Ta thấy Si là một tập đóng khác rỗng với mọi 1 = 1, 2, ... . Từ (3.25) và (3.26) và kết hợp với (3.23), với mọi x ∈ Si ta có
i−1 (cid:88)
i−1 (cid:88)
Si = {x ∈ Si−1|f (x) + δkρ(x, xk) ≤ f (xi) + δkρ(xi, xk)}.
k=0
k=0 i−1 (cid:88)
i−1 (cid:88)
δiρ(x, xi) ≤ [f (xi) + δkρ(xi, xk)] − [f (x) + δkρ(x, xk)]
x∈Si−1
k=0
k=0
[f (x) + ≤ [f (xi) + δkρ(xi, xk)] − inf δkρ(x, xk)]
Điều này có nghĩa là
(3.27)
. ≤ εδi 2iδ0
Từ ρ là một hàm gauge-type, bất đẳng thức (3.27) kéo theo d(x, xi) hội tụ đều đến 0 và vì thế diam(Si) → 0.
52
. ρ(x, xi) ≤ ε 2iδ0
i=0Si thỏa mãn (i) và ta có xi → y.
Như vậy {Si} là dãy các tập đóng lồng nhau. Từ tính đầy đủ của X kết hợp với (3.20), (3.27) và định lí Cantor tồn tại duy nhất y ∈ ∩∞ Cho bất kì x (cid:54)= y, ta có x /∈ ∩∞
i=0Si và bởi vậy với một số j nào đó ta có
j (cid:88)
∞ (cid:88)
k=0
k=0 j−1 (cid:88)
f (x) + δkρ(x, xk) δkρ(x, xk) ≥ f (x) +
k=0
Mặt khác từ (3.19), (3.26) và y ∈ ∩∞
i=0, bất kì q > j,
j−1 (cid:88)
δkρ(xj, xk). > f (xj) +
k=0 q−1 (cid:88)
f (x0) > f (xj) + δkρ(xj, xk)
k=0 q (cid:88)
≥ f (xq) + δkρ(xq, xk)
k=0
Lấy giới hạn hai vế trên khi q → ∞ ta có
j−1 (cid:88)
≥ f (y) + δkρ(y, xk).
k=0 ∞ (cid:88)
f (z) = f (x0) ≥ f (xj) + δkρ(xj, xk)
k=0
Vậy (ii) được chứng minh. Cùng với hai đánh giá trên suy ra (iii).
Dưới đây ta phát biểu nguyên lí biến phân Borwein-Preiss trong không
gian định chuẩn.
Định lí 3.4.2. Cho X là không gian Banach với chuẩn ||.|| và hàm f : X → R∪{+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Cho λ > 0 và p ≥ 1. Giả sử rằng ε > 0 và z ∈ X thỏa mãn
≥ f (y) + δkρ(y, xk).
53
f (z) < infXf + ε.
Khi đó tồn tại y và một dãy (xi) trong X mà x1 = z và một hàm ϕp : X → R xác định bởi
∞ (cid:88)
i=1
∞ (cid:88)
ϕp(x) = µi||x − xi||p.
Ở đây µi > 0, i = 1, 2, ... và
i=1
µi = 1 mà
(iii) f (x) +
(i) ||xi − y|| ≤ λ, n = 1, 2, ...; ε λp ϕp(y) ≤ f (z); (ii) f (y) + ε λp ϕp(x) > f (y) +
3.4.2 Nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler
Một phần quan trọng của nguyên lí biến phân Borwein-Preiss là dãy con được tìm ra bởi Deville, Godefroy và Zizler dưới đây. Điều thú vị là xem xét định lí Baire về phạm trù được sử dụng như thế nào trong chứng minh.
ε λp ϕp(y), ∀x ∈ X\{y}.
Định nghĩa 3.4.2. Tập A được gọi là trù mật trong X nếu A = X. Tập A được gọi là không đâu trù mật trong X nếu intA = ∅. Tập A trong không gian mêtric X được gọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu A = ∪∞ n=1An, trong đó An là các tập không đâu trù mật. Tập hợp không thuộc phạm trù thứ nhất được gọi là thuộc phạm trù thứ hai.
Định lí 3.4.3 (Định lí phạm trù Barie). Mọi không gian mêtric đủ là tập hợp phạm trù thứ hai.
sao cho S2 ⊂
1 2
Chứng minh. Giả sử X là không gian mêtric đầy đủ nhưng X thuộc phạm trù thứ nhất. Khi đó, X = ∪∞ n=1An, trong đó An là các tập không đâu trù mật. Vì A1 là tập không đâu trù mật, cho nên với hình cầu đóng bất kì S, có tồn tại hình cầu đóng S1 ⊂ S sao cho S1 ∩ A1 = ∅. Có thể lấy bán kính của hình cầu S1 nhỏ hơn 1. Tương tự, tồn tại hình cầu đóng S2 có bán kính nhỏ hơn S1, S2 ∩ A2 = ∅.
54
Bằng qui nạp ta được dãy hình cầu đóng {Sn} lồng nhau, Sn có bán kính
nhỏ hơn
và Sn∩An = ∅ (∀n). Theo định lí Cantor, tồn tại điểm a chung n=1An = X
cho mọi Sn. Ta có a ∈ Sn suy ra a /∈ An (vô lí) . Định lí hoàn toàn được chứng minh.
Định nghĩa 3.4.3. Cho f : X → R ∪ {+∞}. Ta nói f đạt giá trị nhỏ nhất mạnh (strong minimum) tại x ∈ X nếu f (x) = inf X f và bất kì xi ∈ X, f (xi) → f (x) thì ||xi − x|| → 0.
Định nghĩa 3.4.4. Giả sử f bị chặn trên X, ta định nghĩa
1 n (∀n). Vì vậy, a /∈ ∪∞
Định nghĩa 3.4.5. Ta nói rằng hàm φ : X → R là một hàm bump nếu φ bị chặn và có giá supp(φ) = {x ∈ X|φ(x) (cid:54)= ∅} bị chặn khác rỗng.
||f ||∞ = sup{|f (x)||x ∈ X}.
Định lí 3.4.4 (Nguyên lí biến phân Deville-Godefroy-Zizler). Cho X là một không gian Banach và Y là một không gian Banach của các hàm liên tục bị chặn g trên X thỏa mãn các điều kiện sau. (i) ||g||∞ ≤ ||g||Y ∀g ∈ Y ; (ii) Mỗi g ∈ Y và z ∈ X, hàm x → gz(x) = g(x + z) ∈ Y và ||gz||Y = ||g||Y ; (iii) Mỗi g ∈ Y và s ∈ R, hàm x → g(ax) ∈ Y ; (iv) Tồn tại một hàm bump trong Y . Giả sử f : X → R ∪ {+∞} là một hàm nửa liên tục dưới chính thường (proper lsc function) và bị chặn dưới, khi đó tập G của tất cả g ∈ Y mà f + g đạt cực tiểu mạnh trên X là dư (residual) (thực chất là tập Gδ trù mật).
Chứng minh. Cho trước g ∈ Y . Ta định nghĩa S(g, a) = {x ∈ X|g(x) ≤ inf X g + a} và
Ta chỉ ra rằng, mỗi tập Ui là trù mật và mở trong Y và giao của chúng là tập G. Để chứng minh Ui là mở, ta giả sử rằng g ∈ Ui mà một tương ứng a > 0.
55
, ∀a > 0}. Ui = {g ∈ Y |diamS(f + g, a) < 1 i
.
Khi đó, với bất kì h ∈ Y mà ||g − h||Y <
ta có ||g − h||∞ <
a 3 a 3
Bây giờ, với bất kì x ∈ S(f + h,
), ta có a 3
Dễ dàng đánh giá
(f + h) + . (f + h)(x) ≤ inf X a 3
(f + h) + + ||g − h||∞ a 3
Điều này có nghĩa là S(f + h,
(f + g) + (f + g) + a. (f + g)(x) ≤ (f + h)(x) + ||g − h||∞ inf X + 2||g − h||∞ ≤ inf X ≤ inf X a 3
Để thấy rằng mỗi Ui trù mật trong Y , ta giả sử g ∈ Y và ε > 0. Ta chỉ cần chứng minh rằng với h ∈ Y mà ||h||Y < ε và một số a > 0 thì
.
diamS(f + g + h, a) <
) ⊂ S(f + g, a). Do vậy h ∈ Ui. a 3
1 i
Theo giả thiết (iv) Y chứa một hàm bump φ. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng ||φ||Y < ε. Từ giả thiết (ii) ta giả sử φ(0) (cid:54)= 0, bởi vậy φ(0) > 0.
Hơn nữa, từ giả thiết (iii) ta có thể giả sử rằng supp(φ) ⊂ B(0,
). Cho 1 2i
và chọn x ∈ X mà
a = φ(0) 2
. (f + g) + φ(0) 2
, cần chỉ ra rằng tập này được chứa
Để chứng minh diamS(f +g +h, a) <
(f + g)(x) < inf X Cho hàm h xác định bởi h(x) = −φ(x − x). Theo giả thiết (ii), h ∈ Y và ||h||Y = ||φ||Y < ε và h(x) = −φ(0).
. Khi đó x /∈ S(f + g + h, a),
trong hình cầu B(x,
1 i
cuối cùng ta có
), nếu ||x − x|| > 1 2i 1 2i
do đó
Bây giờ, supp(h) ⊂ B(x,
(f + g + h) + a. (f + g + h)(x) > inf X
), bởi vậy h(x) = 0 nếu ||x − x|| > 1 2i 1 2i
(f + g) > (f + g)(x) − a (f + g + h)(x) = (f + g)(x) ≥ inf X
56
= (f + g + h)(x) + φ(0) − (f + g + h) + a. ≥ inf X φ(0) 2
i=1Ui = G. Dễ dàng thấy rằng G ⊂
i=1Ui.
i=1Ui ta sẽ chỉ ra rằng g ∈ G, mà f + g đạt strong minimum
Cuối cùng, ta chứng minh rằng ∩∞ ∩∞ Cho g ∈ ∩∞ trên X. Đầu tiên thấy rằng, tồn tại ai > 0 mà
với mọi i.
diamS(f + g, ai) <
i=1S(f + g, ai).
nếu k ≥ i0. Do vậy, xk → x, bởi vậy g ∈ G.
Do vậy, tồn tại duy nhất điểm x ∈ ∩∞ Giả sử rằng xk ∈ X và (f + g)(xk) → inf X(f + g). Với i > 0 tồn tại i0 mà (f + g)(xk) < inf X(f + g) + ai, ∀i ≥ i0. Bởi vậy, xk ∈ S(f +g, ai), ∀i ≥ i0. Và do đó ||xk −x|| ≤ diamS(f +g, ai) < 1 i
57
1 i
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày một số vấn đề sau:
- Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, mở rộng nguyên lí Ekeland cho
bài toán cân bằng và nguyên lí biến phân Ekeland vectơ.
- Trình bày các dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland, sự
tương đương với tính đầy đủ của không gian mêtric.
- Ứng dụng định lí điểm bất động Banach, ánh xạ co theo hướng, định
lí điểm bất động Caristi-Kirk.
- Một số nguyên lí biến phân khác.
58
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tham khảo chính
[1] Phạm Hữu Sách, Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland và ứng dụng, Hội thảo Giải tích hiện đại và ứng dụng, trường hè Huế, Viện Toán học- Trường ĐHSP Huế, 1987.
[2] Nguyễn Đông Yên, Giải tích đa trị , Nhà xuất bản Khoa học Tự nhiên
và công nghệ, 2007.
[3] M. Bianchi, G. Kassay, R. Pini, Existence of equilibria via Ekeland’s
principle, J. Math. Anal. Appl. 305 (2005) 502-512.
[4] M. Bianchi, G. Kassay, R. Pini, Ekeland’s principle for vector equilib-
rium problems, Nonlinear Analysis 66 (2007) 1454-1464.
[5] Jonathan M. Borwein, Qiji J. Zhu, Techniques of Variational Analysis,
Springer, 2004.
[B] Tài liệu tham khảo bổ sung
[6] Errett Bishop and R. R. Phelps, A proof that every Banach space is
subreflexive, Bull. Amer. Math. Soc., 67:97-98, 1961.
[7] Errett Bishop and R. R. Phelps, The support functionals of a covex set. In V. L. Klee, editor, Proc. Sympos. Pure Math., Vol. VII, page 27-35. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1963.
[8] Josef Danes, A geometric theorem useful in nonlinear functional anal-
ysis, Boll. Un. Mat. Ital. (4), 6:369-375, 1972.
[9] Ivar Ekeland, Nonconvex minimization problems, Boll. Amer. Math.
Soc. (N.S.), 1:443-474, 1979.
59
[10] C. Finet, Variational principles in partially ordered Banach spaces,
J. Nonlinear Convex Anal, 2 (2001), 167-174.
[11] C. Finet, L. Quarta, C. Troestler, Vector- valued variational princi-
ples, Nonlinear Anal, 52 (2003), 197-208.
[12] A. Gopfert, C. Tammer, C. Zălinescu, On the vectorial Ekeland’s variational principles and minimal points in product spaces, Nonlinear Anal, 39 (2000), 909-922.
[13] S. Rolewicz, On drop property, Studia Math., 85:27-35, 1986.
[14] W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1973.
60
