Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về các nguyên lý biến phân

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

68
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn này là tìm hiểu một số kết quả liên quan đến nguyên lí biến phân Ekeland (cổ điển và vectơ) cùng một số ứng dụng của nguyên lí biến phân này. Luận văn gồm 3 chương: Chương 1 - Kiến thức chuẩn bị, Chương 2 - Nguyên lí biến phân Ekeland, Chương 3 - Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và một số nguyên lí biến phân khác. Sau đây là tóm tắt của luận văn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về các nguyên lý biến phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------- HOÀNG THỊ MẤN VỀ CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60. 46. 01. 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG Hà Nội – Năm 2015
Mục lục Mở đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Không gian vectơ tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Một số kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Hàm nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Nguyên lí biến phân Ekeland 15 2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cho bài toán cân bằng 23 2.2.2 Nguyên lí biến phân Ekeland vectơ . . . . . . . . . . 29 3 Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và một số nguyên lí biến phân khác 36 3.1 Dạng hình học của nguyên lý biến phân Ekeland . . . . . . 36 3.1.1 Định lí Bishop-Phelps . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.2 Định lí cánh hoa (the flower- pental theorem) . . . . 38 3.1.3 Định lí giọt nước (the drop theorem) . . . . . . . . . 41 3.2 Sự tương đương giữa nguyên lí biến phân Ekeland và tính đầy đủ của không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland trong chứng minh định lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.1 Định lí điểm bất động Banach . . . . . . . . . . . . 44 3.3.2 Một kết quả tinh tế hơn của Clarke (Clarke’s Re- finement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1
3.3.3 Định lí điểm bất động Caristi-Kirk . . . . . . . . . . 48 3.4 Một số nguyên lí biến phân khác . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4.1 Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss . . . . . . . . . 51 3.4.2 Nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler . . . . . . . . . . . 54 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2
Mở đầu Nguyên lý biến phân Ekeland (1974) (Ekeland’s variational principle, viết tắt là EVP) được coi là một trong các kết quả quan trọng nhất của giải tích phi tuyến trong bốn thập kỷ vừa qua. Nguyên lí biến phân Ekeland xuất phát từ định lí Weierstrass nói rằng, nếu hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact X thì sẽ đạt cực tiểu trên tập đó. Khi X là tập không compact thì hàm f có thể không có điểm cực trị. Với không gian metric đủ X , hàm f bị chặn dưới, với mỗi ε > 0, ta luôn tìm được điểm ε− xấp xỉ cực tiểu x, tức là inf f ≤ f (xε ) < inf f + ε. X X Vào năm 1974, Ekeland đã phát biểu nguyên lí nói rằng, với hàm f nửa liên tục dưới, bị chặn dưới trên không gian metric đủ X thì với mọi điểm ε− xấp xỉ cực tiểu x, ta luôn tìm được điểm xˆ là cực tiểu chặt của hàm nhiễu của hàm ban đầu, đồng thời f (ˆ x) ≤ f (x). Không những thế, ta có thể còn đánh giá được khoảng cách giữa x ˆ và x . Sau khi ra đời, nguyên lí biến phân Ekeland đã trở thành công cụ mạnh trong giải tích hiện đại. Những ứng dụng của nguyên lí này bao trùm nhiều lĩnh vực: Lí thuyết tối ưu, giải tích không trơn, lí thuyết điều khiển, lí thuyết điểm bất động, kinh tế,... Nguyên lí biến phân Ekeland đã được GS. Phạm Hữu Sách [1] sử dụng để nghiên cứu vi phân ánh xạ đa trị và các điều kiện tối ưu trong bài toán qui hoạch có tham gia các ánh xạ đa trị. Sự tương đương của nguyên lí Ekeland với định lí điểm bất động Caristi- Kirk đã được phát hiện từ lâu. Năm 1984 Penot mới chứng minh được rằng nguyên lí đó cũng tương đương với định lí giọt nước của Danes mà 3
sau này được gọi là dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland. Trong những năm gần đây, nguyên lí này được mở rộng cho hàm f là ánh xạ đơn trị hoặc đa trị nhận giá trị trong không gian vectơ và áp dụng trong các bài toán cân bằng. Mục đích của luận văn này là tìm hiểu một số kết quả liên quan đến nguyên lí biến phân Ekeland (cổ điển và vectơ) cùng một số ứng dụng của nguyên lí biến phân này. Luận văn gồm 3 chương Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả của tôpô và giải tích hàm phục vụ cho việc chứng minh các định lí. Chương 2. Nguyên lí biến phân Ekeland Chương này trình bày nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, các mở rộng của nguyên lí biến phân Ekeland gồm nguyên lí biến phân Ekeland cho bài toán cân bằng và nguyên lí biến phân Ekeland vectơ. Chương 3. Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và một số nguyên lí biến phân khác Chương này trình bày các dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland gồm định lí Bishop-Phelps, định lí cánh hoa và định lí giọt nước. Ứng dụng định lí điểm bất động gồm định lí điểm bất động Banach, một kết quả tinh tế hơn của Clarke, định lí điểm bất động Caristi-Kirk. Cuối cùng là nguyên lí biến phân Borwein-Preiss và nguyên lí Deville- Godefroy-Zizler. Luận văn cố gắng trình bày một cách có hệ thống (với các chứng minh cụ thể và chi tiết cùng với những chỉnh sửa cần thiết) về nguyên lí biến phân Ekeland. 4
Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS. Tạ Duy Phượng. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2013-2015, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình. Hà Nội, Ngày 25 tháng 10 năm 2015 Tác giả luận văn Hoàng Thị Mấn 5
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vectơ Định nghĩa 1.1.1. Giả sử F là một trường R hoặc C. Các phần tử của F được gọi là số (đại lượng vô hướng). Một không gian véctơ V định nghĩa trên trường F là một tập hợp V không rỗng mà trên đó hai phép cộng véctơ và phép nhân với một số hướng được định nghĩa sao cho các tính chất cơ bản sau đây được thỏa mãn: 1. Phép cộng véctơ có tính chất kết hợp: Với mọi u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w; 2. Phép cộng véctơ có tính chất giao hoán: Với mọi v, w ∈ V : v + w = w + v; 3. Phép cộng véctơ có phần tử trung hòa: Với mọi v ∈ V, có một phần tử 0 ∈ V, gọi là véctơ không: v + 0 = v; 4. Phép cộng véctơ có phần tử đối: Với mọi v ∈ V, tồn tại w ∈ V : v + w = 0; 5. Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng véctơ: Với mọi α ∈ F ; v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw; 6. Phép nhân véctơ phân phối với phép cộng vô hướng: Với mọi α, β ∈ F ; v ∈ V : (α + β)v = αv + βv; 7. Phép nhân vô hướng tương thích với phép nhân trong trường các số vô hướng: Với mọi α, β ∈ F ; v ∈ V : α.(β.v) = (α.β)v; 8. Phần tử đơn vị của trường F có tính chất của phần tử đơn vị với phép nhân vô hướng: Với mọi v ∈ V : 1.v = v.1. 6
Định nghĩa 1.1.2. Cho X là không gian véctơ. Tập C ⊆ X được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] thì (1 − λ)x + λy ∈ C (hay nói cách khác C chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó). Định nghĩa 1.1.3 (Nón). Cho X là một không gian vectơ. Tập K ⊂ X được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu ∀x ∈ K, ∀λ ≥ 0 thì λx ∈ K . K được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu K − x0 là nón có đỉnh tại 0. Định nghĩa 1.1.4 (Nón đóng). Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón đóng nếu K là tập đóng. Định nghĩa 1.1.5 (Nón nhọn). Một nón được gọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng nào. Định nghĩa 1.1.6 (Nón lồi). Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi nếu K là tập lồi, có nghĩa là ∀x, y ∈ K, ∀λ, µ > 0 và λ + µ = 1 thì λx + µy ∈ K. Mệnh đề 1.1.1. K là nón lồi khi và chỉ khi K là nón và K + K = K. Chứng minh. Giả sử K là nón. Theo định nghĩa ta có ∀x, y ∈ K thì 1 1 x ∈ K và y ∈ K . 2 2 1 1 1 Mặt khác, K là nón lồi nên (x + y) = x + y ∈ K . Vậy (x + y) ∈ K . 2 2 2 Suy ra K + K ⊆ K . Vậy K + K = K . Đảo lại, vì K là nón nên λx ∈ K, (1 − λ)y ∈ K, ∀x, y ∈ K . Mà K + K = K nên λx + (1 − λy) ∈ K hay K là tập lồi. 1.2 Không gian vectơ tôpô Định nghĩa 1.2.1 (Không gian tôpô). Cho một tập X 6= ∅. Họ τ các tập con nào đó của X được gọi là một tôpô trên X nếu (i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ; (ii) Gα ∈ τ với α ∈ I, I là tập chỉ số bất kì thì ∪α∈I Gα ∈ τ ; (iii) ∀G1 , G2 ∈ τ thì G1 ∩ G2 ∈ τ. Tập X cùng với tôpô trên X được gọi là một không gian tôpô. Kí hiệu: (X, τ ). 7
Định nghĩa 1.2.2. Cho (X, τ ) là không gian tôpô. • Tập G được gọi là tập mở trong X nếu G ∈ τ. • Tập F được gọi là tập đóng trong X nếu X\F ∈ τ. Định nghĩa 1.2.3. Cho không gian tôpô (X, τ ), tập A là tập con của X . Tập U được gọi là một lân cận của tập A nếu trong U có một tập mở chứa A. Khi A = {x} thì U là một lân cận của điểm x. Định nghĩa 1.2.4. Cho không gian tôpô (X, τ ). Một họ {Gα : α ∈ I} các tập con của X được gọi là một phủ của tập A ⊂ X nếu A ⊂ ∪α∈I Gα . Nếu I là tập hữu hạn thì ta nói phủ là hữu hạn. Nếu mọi Gα là tập mở thì ta nói phủ là phủ mở. Định nghĩa 1.2.5. Tập A ⊂ X được gọi là tập compact nếu từ mỗi phủ mở của A ta luôn có thể lấy ra được một phủ con hữu hạn. Nhận xét 1.2.1. Trong trường hợp A ⊂ Rn là tập compact khi và chỉ khi A đóng và bi chặn. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử A là tập compact và {xk } là một dãy phần tử của A sao cho xk → a. Ta chứng minh a ∈ A. Vì A là tập compact, theo định nghĩa dãy {xk }k chứa một dãy con {xk }l hội tụ đến một giới hạn thuộc A. Ta có a = lim xk = lim xkl ∈ A. k→+∞ l→+∞ Vậy A là tập đóng. Giả sử ngược lại tập A không bị chặn. Khi đó với mỗi k ∈ N∗ tồn tại xk ∈ A sao cho ||xk || > k . Vì A là tập compact, dãy {xk } ⊂ A có chứa một dãy con {xkl }l sao cho xkl → a ∈ A (l → ∞). Do tính liên tục của chuẩn ta có ||xkl || → ||a||, điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức ||xkl || > kl với mọi l ∈ N∗ . Vậy tập A phải bị chặn. Điều kiện đủ. Giả sử A ⊂ Rn là tập hợp đóng và bị chặn và {xk }k là dãy phần tử bất kì của A. Khi đó {xk }k là dãy bị chặn. Theo định lí Bozano- Weierstrass thì trong không gian Rn mọi dãy bị chặn đều chứa một dãy con hội tụ nên dãy {xk }k có chứa một dãy con {xkl }l 8
sao cho xkl → a (l → ∞). Vì A là tập đóng nên a ∈ A. Vậy A là tập compact. Định nghĩa 1.2.6. Cho không gian tôpô (X, τ ), A là một tập con bất kì của X . Đối với mỗi phần tử bất kì x ∈ X ta gọi: (i) Điểm x là điểm trong của tập A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của x nằm trong A. (ii) Điểm x là điểm ngoài của tập A nếu tồn tại ít nhất một lân cận của x nằm trọn trong X\A. (iii) Điểm x là điểm biên của tập A nếu x đồng thời không là điểm trong và không là điểm ngoài của A. Hay nói cách khác, x là điểm biên của A nếu mọi lân cận của x đều có giao khác rỗng với A và X\A. Tập hợp những điểm biên của tập hợp A được gọi là biên của tập hợp A, kí hiệu ∂A. Định nghĩa 1.2.7. Cho X , Y là hai không gian tô pô. Một ánh xạ f từ X vào Y được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu với mọi lân cận V của f (x0 ) đều tồn tại một lân cận U của x0 sao cho f (U ) ⊆ V. Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X . Định nghĩa 1.2.8. Ta nói một tôpô τ trên không gian véctơ X tương hợp với cấu trúc đại số, nếu các phép toán đại số trong X liên tục trong tôpô đó, tức là nếu: 1. x + y là một hàm liên tục của hai biến x, y , tức là với mọi lân cận V của điểm x + y đều có một lân cận Ux của x và một lân cận Uy của y sao cho nếu x0 ∈ Ux , y 0 ∈ Uy thì x0 + y 0 ∈ V. 2. αx là một hàm liên tục của hai biến α, x, tức là với mọi lân cận V của αx đều có một số ε > 0 và một lân cận U của x sao cho |α − α0 | < ε, x0 ∈ U thì α0 x0 ∈ V. Một không gian véctơ X trên đó có một tôpô tương hợp với cấu trúc đại số gọi là một không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuyến tính). Định nghĩa 1.2.9. Một không gian véctơ tôpô X được gọi là không gian véctơ tôpô lồi địa phương nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) chỉ gồm các tập lồi. 9
Định nghĩa 1.2.10 (Ánh xạ liên tục). Cho X, Y là hai không gian tôpô. Ánh xạ f : X → Y là liên tục tại điểm x trong X nếu mọi tập mở V trong Y chứa f (x) thì có tập mở U của X chứa x sao cho f (U ) ⊂ V . Ta nói f liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm trên X . 1.3 Không gian mêtric Định nghĩa 1.3.1. Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ d : X × X → R thỏa mãn (i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y; (ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; (iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X. Khi đó, d được gọi là khoảng cách hay một mêtric trên X và cặp (X, d) được gọi là một không gian mêtric. Định nghĩa 1.3.2. Trong không gian mêtric X . Một dãy {xn } được gọi là dãy cơ bản nếu (∀ε > 0) (∃N ) (∀n ≥ N ) (∀m ≥ N ) thì d (xn , xm ) < ε. Định nghĩa 1.3.3. Không gian mêtric X trong đó mọi dãy cơ bản đều hội tụ (tới một phần tử của X ) được gọi là một không gian đủ. Định nghĩa 1.3.4. Cho không gian mêtric X . Tập hợp B(x0 , r) = {x ∈ X|d(x0 , x) < r} được gọi là hình cầu mở tâm x0 , bán kính r. Định nghĩa 1.3.5. Cho không gian mêtric X . Tập hợp B[x0 , r] = {x ∈ X|d(x0 , x) ≤ r} được gọi là hình cầu đóng tâm x0 , bán kính r. Nhận xét 1.3.1. Mọi không gian mêtric là không gian tôpô với τ là họ tất cả các hình cầu mở trong X cùng với giao hữu hạn và hợp vô hạn của chúng. 10
Định nghĩa 1.3.6. Cho không gian mêtric (X, d). Dãy hình cầu (Sn ), Sn có tâm an và bán kính rn trong không gian (X, d) được gọi là thắt dần nếu Sn ⊃ Sn+1 (n = 1, 2, ...) và limn→∞ rn = 0. Định lí 1.3.1 (Nguyên lí Cantor). Không gian mêtric (X, d) là không gian đủ thì mọi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có điểm chung duy nhất. Chứng minh. Với mọi m, n mà m > n thì am ∈ S[an , rn ]. Suy ra d(an , am ) < rn . Do đó lim d(an , am ) = 0. m,n→∞ Vì vậy {an } là dãy Cauchy trong X . Vì X đủ nên dãy {an } hội tụ đến a ∈ X . Khi đó a là điểm chung của mọi hình cầu. Thật vậy, với số tự nhiên n bất kì, {an+k }∞ k=1 là một dãy trong S[an , rn ] và lim an+k = 1, cho nên a ∈ S[an , rn ] (∀n). k→∞ Ta chứng minh a là điểm chung duy nhất của các hình cầu. Thật vậy, giả sử b cũng là điểm chung của các hình cầu thì d(a, b) ≤ d(a, an ) + d(an , b) ≤ rn + rn = 2rn (∀n). Mà rn → 0 suy ra d(a, b) = 0. Vì vậy a = b. Định lí hoàn toàn được chứng minh. Định nghĩa 1.3.7 (Không gian định chuẩn). Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là một không gian tuyến tính X trên trường P (P là trường số thực R hay trường số phức C) cùng với một ánh xạ đi từ X vào tập hợp số thực, kí hiệu là ||.|| (đọc là chuẩn), thỏa mãn các tiên đề sau: (i) Với mọi x ∈ X thì ||x|| ≥ 0, ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là phần tử không của X ); (ii) Với mọi x ∈ X , mọi α ∈ P thì ||αx|| = |α|||x||; (iii) Với mọi x, y ∈ X thì ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (bất đẳng thức tam giác). Kí hiệu (X, ||.||). Định nghĩa 1.3.8 (Không gian Banach). Không gian định chuẩn (X, ||.||) được gọi là không gian Banach nếu với mêtric sinh bởi ||.|| là không gian đầy đủ. 11
1.4 Ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.4.1. Cho X , Y là hai tập hợp bất kì và tập các tập con của Y (được kí hiệu là 2Y ). Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y nếu với mỗi x ∈ X , F (x) là một tập hợp con của Y . Kí hiệu: F : X ⇒ Y, hay F : X → 2Y . 1.5 Một số kí hiệu Ta kí hiệu dom f = {x ∈ X|f (x) < +∞}; La f = {x ∈ X|f (x) ≤ a} là tập mức dưới của f ; epi f = {(x, a) ∈ X × R|f (x) ≤ a} là tập trên đồ thị của f ; dS (x) = d(S, x) := inf{d(x, y)|y ∈ S}; Br (S) := {x ∈ X|d(S, x) ≤ r; graphF := {(x, y) ∈ X × Y |y ∈ F (x)} với F : X → 2X . 1.6 Hàm nửa liên tục dưới Định nghĩa 1.6.1. Cho X là không gian mêtric và hàm f : X → R ∪ {+∞}. Ta định nghĩa lim inf f (x) = inf{y : ∃xn → x(n → ∞), lim f (xn ) = y}. x→x n→∞ Định nghĩa 1.6.2. Cho X là không gian tôpô. Hàm f : X → R ∪ {+∞} được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 nếu lim inf f (x) ≥ f (x0 ). x→x0 Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu f nửa liên tục dưới tại mọi điểm của X . Nhận xét 1.6.1. Hàm f là nửa liên tục dưới tại x0 khi và chỉ khi ∀ε > 0 tồn tại lân cận U của x0 sao cho ∀x ∈ U ta đều có f (x) ≥ f (x0 ) − ε. Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.6.1. Cho X là không gian mêtric và hàm f : X → R ∪{+∞}. Khi đó các khẳng định sau là tương đương (i) f là hàm nửa liên tục dưới trên X ; 12
(ii) epif = {(x, a) ∈ X × R|f (x) ≤ a} là tập đóng trong X × R; (iii) La f = {x ∈ X|f (x) ≤ a} là tập đóng trong X(∀a ∈ R). Chứng minh. (i) ⇒ (ii) Giả sử f là hàm nửa liên tục dưới trên X . Ta lấy dãy {(xn , an )} ⊂ epif sao cho lim (xn , an ) = (x0 , a0 ). Ta chỉ cần chỉ ra n→∞ (x0 , a0 ) ∈ epif . Thật vậy, vì lim xn = x0 , lim an = a0 và hàm f là nửa liên tục dưới tại n→∞ n→∞ x0 nên lim inf f (xn ) ≥ f (x0 ). n→∞ Mặt khác, {(xn , an )} ⊂ epif nên f (xn ) ≤ an (∀n ∈ N) nên lim inf f (xn ) ≤ n→∞ lim an . Do đó f (x0 ) ≤ lim inf f (xn ) ≤ lim an = a0 . n→∞ n→∞ n→∞ Chứng tỏ rằng (x0 , a0 ) ∈ epif . (ii) ⇒ (iii) Giả sử epi f là tập đóng trong X × R. Ta sẽ chứng minh mọi tập mức của f đều đóng trong X . Thật vậy, giả sử La f = {x ∈ X|f (x) ≤ a} là tập mức bất kì của f . Lấy dãy {xn } ⊂ La f sao cho lim xn = x0 . Do dãy {xn } ⊂ La f nên f (xn ) ≤ a n→∞ hay (xn , a) ∈ epif, ∀n ∈ N. Hơn nữa, lim xn = x0 nên lim (xn , a) = (x0 , a). n→∞ n→∞ Mà epif là tập đóng trong X × R nên (x0 , a) ∈ epif , do đó x0 ∈ La f. (iii) ⇒ (i) Giả sử mọi tập mức của f đều đóng trong X , ta cần chứng minh f là hàm nửa liên tục dưới trên f . Phản chứng, giả sử f không là hàm nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X . Khi đó, tồn tại dãy {xn } ⊂ X sao cho lim xn = x0 , lim inf f (xn ) < f (x0 ). Chọn n→∞ n→∞ ε > 0 đủ nhỏ sao cho tồn tại k ∈ N để f (xn ) ≤ f (x0 ) − ε, ∀n > k . Xét tập mức L = {x ∈ X|f (x) ≤ f (x0 ) − ε}. Ta thấy xn ∈ L, ∀n > k . Mặt khác, do L đóng và lim xn = x0 nên x0 ∈ L, do đó f (x0 ) < f (x0 ) − ε n→∞ (vô lí). Vậy f là nửa liên tục dưới trên X . Định nghĩa 1.6.3. Cho tập S trong không gian mêtric (X, d). Hàm chỉ của tập S là hàm 0 nếu x ∈ S, lS (x) = +∞ nếu x ∈ / S. 13
Mệnh đề 1.6.2. Nếu S là tập đóng thì lS là hàm nửa liên tục dưới. Chứng minh. Khi x0 ∈ S , từ định nghĩa hàm lS ta có, với mọi ε > 0 tồn tại lân cận U của x0 mà lS (x) ≥ lS (x0 ) − ε, ∀x ∈ U. Khi x0 ∈/ S , do S là tập đóng nên d(x0 , S) > 0. d(x0 , S) Ta chọn r = , ∀x ∈ B(x0 , r) thì x ∈ / S. 2 Do đó, lS (x) ≥ lS (x0 ) − ε, ∀x ∈ B(x0 , r). Vậy lS là hàm nửa liên tục dưới. Định nghĩa 1.6.4. Cho một không gian vectơ X . Một hàm số f (x) xác định trên X và lấy giá trị là số (thực hay phức, tùy theo X là không gian thực hay phức) gọi là một phiếm hàm trên X . Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu (i) f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) với mọi x1 , x2 ∈ X; (ii) f (αx) = αf (x) với mọi x ∈ X và với mọi số α. Định nghĩa 1.6.5 (Không gian liên hợp). Cho X là một không gian vectơ tôpô. Không gian liên hợp (hay còn gọi là không gian đối ngẫu) của X , kí hiệu là X ∗ là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X . 14
Chương 2 Nguyên lí biến phân Ekeland Trong chương này, ta xem xét nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, xem xét nguyên lí này trong không gian hữu hạn chiều, mở rộng của nguyên lí biến phân Ekeland cho bài toán cân bằng và nguyên lí Ekeland vectơ. 2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển Trong bài toán tối ưu, ta quan tâm đến câu hỏi là khi nào hàm f : X → R ∪ {+∞} đạt cực tiểu trên X , tức là tồn tại xˆ ∈ X sao cho f (x) ≥ f (ˆ x) ∀x ∈ X . Trước hết ta nhắc lại kết quả quen thuộc về sự tồn tại điểm cực tiểu của hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact. Định lí 2.1.1 (Định lí Weierstrass). Cho hàm f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới trên tập X compact. Khi đó f đạt cực tiểu trên X . Chứng minh. Đặt a = inf{f (x)|x ∈ X}. Khi đó có một dãy {xn } ⊂ X sao cho lim f (xn ) = a. n→∞ Do X compact, không mất tính tổng quát ta có thể coi {xn } là dãy hội tụ đến x ∈ X . Ta sẽ chứng minh f (x) = a. Thật vậy, do f là hàm nửa liên tục dưới tại x nên lim inf f (xn ) ≥ f (x). n→∞ Kết hợp với lim f (xn ) = a ta suy ra f (x) ≤ a (điều đó chứng tỏ a 6= −∞). n→∞ Mặt khác theo định nghĩa của a ta có f (x) ≥ a. Vậy f (x) = a và x là điểm cực tiểu của hàm f trên X . Như vậy, điều kiện để f đạt cực tiểu trên X là X là tập compact và f phải là hàm nửa liên tục dưới trên X . Nếu ta bỏ đi tính chất compact của 15
tập X thì kết luận của định lí không còn đúng. Ta các xét ví dụ sau. 1 Ví dụ 2.1.1. Xét hàm số f (x) = với x ≥ 1. x Vì X = [1, +∞) là tập đóng nhưng không bị chặn nên X không phải là tập compact. Hàm f liên tục trên X . Rõ ràng tồn tại inf f (x) = 0 nhưng không tồn tại x0 ∈ [1, +∞) sao cho x≥1 f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ [1, +∞). Thật vậy, giả sử phản chứng, tồn tại x0 ∈ [1, +∞) sao cho f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ [1, +∞). 1 1 Ta có f (x0 ) ≤ f (x) ⇔ ≤ ⇔ x0 ≥ x. x0 x 1 1 Với x ≥ x0 thì ≤ tức f (x) ≤ f (x0 ) (mâu thuẫn). x x0 Do đó f không đạt cực tiểu trên [1, +∞). −1 Ví dụ 2.1.2. Xét hàm số f (x) = với 0 < x ≤ 1. x Vì X = (0, 1] là tập bị chặn nhưng không đóng nên X không phải là tập compact. Hàm f liên tục trên X . Rõ ràng không tồn tại x0 ∈ (0, 1] sao cho f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ (0, 1]. Thật vậy, lấy {xn } ⊂ (0, 1] bất kì mà xn → 0 khi n → ∞. −1 Suy ra → −∞ khi n → ∞. Tức là, f (xn ) → ∞ khi n → ∞. Điều này xn chứng tỏ không tồn tại x0 ∈ (0, 1] sao cho f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ (0, 1]. Ta đã biết rằng mọi tập khác rỗng bị chặn dưới trong R đều có cận dưới đúng. Vì {f (x), x ∈ X} là một tập khác rỗng trong R nên luôn tồn tại inf{f (x), x ∈ X}. Nhưng nếu X không phải là tập compact thì dù f có thể là hàm liên tục (như các ví dụ trên) thì vẫn chưa chắc đã tồn tại min{f (x), x ∈ X}. Câu hỏi đặt ra là liệu có tồn tại hay không hàm ϕ(x) "đủ gần" hàm f (x) mà tồn tại x ˆ sao cho ϕ(ˆx) = min ϕ(x). Câu hỏi này 16
đã được trả lời bằng nguyên lí biến phân Ekeland. Khi giả thiết compact của tập X không còn thì hàm f có thể không đạt cực trị. Khi đó ta xét khái niệm điểm ε− xấp xỉ cực tiểu như sau. Định nghĩa 2.1.1. Với ε > 0 cho trước, một điểm x ∈ X gọi là ε− xấp xỉ cực tiểu của f (x) nếu inf f ≤ f (x) < inf f + ε. X X Điểm ε− xấp xỉ cực tiểu bao giờ cũng tồn tại nếu f bị chặn dưới. Tuy nhiên, khi X là không gian metric đủ thì nguyên lí biến phân Ekeland phát biểu rằng, ta có thể làm nhiễu hàm f để thu được một hàm đạt cực tiểu trên X . Sau đây ta phát biểu và chứng minh nguyên lí biến phân Ekeland và một số phát biểu khác của nguyên lí này. Định lí 2.1.2 (Nguyên lí biến phân Ekeland). Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và hàm f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử ε > 0 và x ∈ X thỏa mãn f (x) < inf f + ε. (2.1) X ˆ ∈ X sao cho Khi đó, với λ > 0 bất kì, tồn tại x x) ≤ f (x); (i) f (ˆ (ii) d(ˆx, x) ≤ λ; ε (iii) f (x) + d(x, x x), ∀x ∈ X\{ˆ ˆ) > f (ˆ x}. λ Nguyên lí biến phân Ekeland có nhiều cách chứng minh. Dưới đây chúng tôi trình bày chứng minh nguyên lí này theo [2]. Định nghĩa 2.1.2. Cho số α > 0, ta định nghĩa quan hệ thứ tự ” ≤α ” trên X × R như sau (x1 , a1 ) ≤α (x2 , a2 ) ⇔ (a2 − a1 ) + αd(x1 , x2 ) ≤ 0. (2.2) Nếu (x1 , a1 ) ≤α (x2 , a2 ) thì ta cũng viết (x2 , a2 ) ≥α (x1 , a1 ). Dễ dàng chứng minh quan hệ ” ≤α ” có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu. • Tính phản xạ: Hiển nhiên ta có (x, a) ≤α (x, a) với mọi (x, a) ∈ X × R. 17
• Tính phản xứng: Giả sử rằng (x1 , a1 ) ≤α (x2 , a2 ) và (x2 , a2 ) ≤α (x1 , a1 ). Ta cần chứng tỏ rằng(x1 , a1 ) = (x2 , a2 ). Thật vậy, từ công thức (2.2) ta có 1 1 2 2 a1 − a2 1 2 (x , a ) ≤α (x , a ) ⇔ d(x , x ) ≤ (2.3) α và a2 − a1 (x2 , a2 ) ≤α (x1 , a1 ) ⇔ d(x1 , x2 ) ≤ . (2.4) α Suy ra 2d(x1 , x2 ) ≤ 0. Vì thế x1 = x2 . Từ (2.3) và (2.4) ta có a1 ≤ a2 và a2 ≤ a1 nên a1 = a2 . Do đó (x1 , a1 ) = (x2 , a2 ). • Tính bắc cầu: Giả sử rằng (x1 , a1 ) ≤α (x2 , a2 ) và (x2 , a2 ) ≤α (x3 , a3 ). Ta cần chứng tỏ (x1 , a1 ) ≤α (x3 , a3 ). Ta có 1 2 a1 − a2 2 3 a2 − a3 d(x , x ) ≤ và d(x , x ) ≤ . α α Do đó 1 2 2 3 a1 − a3 d(x , x ) + d(x , x ) ≤ . α Mặt khác d(x1 , x3 ) ≤ d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ). a1 − a3 1 3 Từ đây ta có d(x , x ) ≤ . Vậy (x1 , a1 ) ≤ (x3 , a3 ). α Khẳng định 1: Nếu (x1 , a1 ) ∈ X × R thì Ω := {(x, a) ∈ X × R : (x, a) ≥ (x1 , a1 )} là tập đóng. Chứng minh. Thật vậy, giả sử {(xn , an ) ⊂ X × R thỏa mãn (xn , an ) ≥α (x1 , a1 ) (k = 2, 3, 4...) và xn → x; an → a 1 a1 − an n Do d(x , x ) ≤ , ∀n ∈ N nên ta có α 1 a1 − a d(x , x) ≤ , α tức là (x, a) ≥ (x1 , y 1 ). Vậy (x, a) ∈ Ω. Ta đã chứng minh được rằng Ω là tập đóng. 18
Khẳng định 2: Cho S là tập đóng trong X × R sao cho tồn tại m > 0 để a > m với mọi (x, a) ∈ S . Khi đó với mỗi phần tử (x1 , a1 ) ∈ S tồn tại (x, a) ∈ S sao cho (x, a) ≥ (x1 , a1 ) và (x, a) là phần tử cực đại trong S theo thứ tự ” ≤α ”, tức là, nếu (x, a) ∈ S và (x, a) ≤α (x, a) thì (x, a) = (x, a). Chứng minh. Ta xây dựng dãy (xn , an ) trong S bằng quy nạp như sau. Bắt đầu từ (x1 , a1 ) ∈ S cho trước, giả sử (xn , an ) đã biết. Ta kí hiệu S n = {(x, a) ∈ S|∃x ∈ X, (xn , an ) ≤α (x, a)}. Theo khẳng định 1, S n là tập đóng. Ngoài ra, vì (xn , an ) ∈ S n nên S n 6= ∅. Đặt mn = inf{a ∈ R|(x, a) ∈ S n }. Hiển nhiên mn ≥ m và mn ≤ an . Chọn (xn+1 , an+1 ) ∈ S n sao cho n+1 an + mn a ≤ . (2.5) 2 Nếu mn = an thì đặt (xn+1 , an+1 ) = (xn , an ). Giả sử mn < an do mn + an mn + an mn < , tồn tại (x, a) ∈ S sao cho mn ≤ a < . Đặt 2 2 (xn+1 , an+1 ) = (x, a) ta thấy (2.5) nghiệm đúng. Dãy {S n } là các tập lồng nhau: S n+1 ⊂ S n , ∀n ∈ N. Thật vậy, nếu (x, a) ∈ S n+1 thì (xn , an ) ≤ (xn+1 , an+1 ) ≤ (x, a). Do đó (x, a) ∈ Sn . Đặt d((x, a), (x0 , a0 )) = d(x, x0 ) + |a − a0 |. Với mọi n ta có mn ≤ mn+1 ≤ an+1 và 1 |an+1 − mn+1 | ≤ |an − mn | ≤ 2−n |a1 − m|. 2 Thật vậy, do (2.5) ta có 1 1 an+1 − mn+1 ≤ an+1 − mn ≤ (an − mn ) = |an − mn |. 2 2 Vì an+1 − mn+1 ≥ 0, từ đó suy ra |an+1 − a| ≤ ... ≤ 2−n |a1 − m1 | ≤ 2−n |a1 − m|. 19