Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán biên không chính qui cho hệ phương trình vi phân hàm bậc cao

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

55
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán biên không chính qui cho hệ phương trình vi phân hàm bậc cao bao gồm những nội dung về bài toán biên chính qui cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến; bài toán biên không chính qui cho hệ phương trình vi phân hàm bậc cao.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán biên không chính qui cho hệ phương trình vi phân hàm bậc cao

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH --------------o0o------------- Đinh Phước Vinh BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CHÍNH QUI CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH --------------o0o------------- Đinh Phước Vinh BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CHÍNH QUI CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN Thành phố Hồ Chí Minh - 2011
LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin kính gửi đến Thầy, PGS.TS. Nguyễn Anh Tuấn lời cám ơn sâu sắc về sự tận tình giúp đỡ của Thầy đối với tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn cũng như trong học tập. Xin trân trọng cám ơn Quý Thầy Cô thuộc khoa Toán của trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt những năm học tập. Xin trân trọng cám ơn Phòng Sau Đại Học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn tất chương trình học tập và thực hiện luận văn này. Xin cảm ơn tất cả bạn bè đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ tôi trong những lúc khó khăn nhất. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cám ơn đến gia đình tôi, là chỗ dựa cho tôi về mọi mặt và đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và hoàn thành luận văn này. Đinh Phước Vinh
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 3 MỤC LỤC .................................................................................................................... 4 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU ...................................................................................... 6 MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 9 Chương 1: BÀI TOÁN BIÊN CHÍNH QUI CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN ........................................................................................ 11 1.1. Giới thiệu bài toán ............................................................................................................. 11 1.2. Về sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) ................................................................. 11 1.2.1. Định lí về tính chất Fredholm của bài toán biên tuyến tính ...................................... 11 Định lí ............................................................................................................................................ 12 1.2.2. Định nghĩa ...................................................................................................................... 14 1.2.3. Định lí.............................................................................................................................. 15 1.2.4. Định nghĩa ...................................................................................................................... 19 1.2.5. Định nghĩa ...................................................................................................................... 20 1.2.6. Hệ quả ............................................................................................................................. 20 1.2.7. Định nghĩa ...................................................................................................................... 21 1.2.8. Hệ quả ............................................................................................................................. 21 Chương 2: BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CHÍNH QUI CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM BẬC CAO ........................................................................ 23 2.1. Giới thiệu bài toán ............................................................................................................. 23 2.2. Định lí về tính chất Fredholm của bài toán biên tuyến tính bậc cao ............................ 23 2.2.1. Định nghĩa ...................................................................................................................... 24 2.2.2. Bổ đề................................................................................................................................ 24 2.2.3. Định lí.............................................................................................................................. 27 2.2.4. Hệ quả ............................................................................................................................. 29 2.3. Về sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.1), (2.2) ................................................................. 30 2.3.1. Định nghĩa ...................................................................................................................... 31 2.3.2. Định nghĩa ...................................................................................................................... 32 2.3.3. Bổ đề................................................................................................................................ 32 2.3.4. Định lí.............................................................................................................................. 33 2.3.5. Hệ quả ............................................................................................................................. 37
2.3.6. Định nghĩa ...................................................................................................................... 38 2.3.7. Định nghĩa ...................................................................................................................... 39 2.3.8. Định lí.............................................................................................................................. 39 2.4. Ứng dụng vào hệ phương trình vi phân hàm đối số lệch ............................................... 44 2.4.1. Bổ đề................................................................................................................................ 45 2.4.2. Định lí.............................................................................................................................. 47 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ................................................................................... 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 53
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU  Tập hợp các số tự nhiên = ( −∞, +∞ ) Tập hợp các số thực = + [0, +∞) Tập hợp các số thực không âm Không gian các véc tơ cột m chiều x = ( xi )i =1 với các thành phần m m m 1,..., m ) và với chuẩn x = ∑ xi xi ∈  ( i = i =1 n x⋅ y ∑ xi= yi với x (= xi )i 1 = , y ( yi )i 1 n n x⋅ y = = i =1 sgn ( x ) sgn ( x ) = ( sgn ( xi ) )i =1 n  m+ =  m + {( x ) i i =1 m + (i : xi ∈  = 1,..., m ) } không gian các ma trận X = ( xik )i ,k =1 với các thành phần xik ∈  m  m×m m và với chuẩn x = ∑ i , k =1 xik . x = ( xi ) ( xi )i =1 ∈  m m = với m x i =1 x X = ( xik ) ( xik )i ,k =1 ∈  m×m m = với X m X i , k =1  m+ ×m = m×m + {( x ik )i ,k =1 : xik ∈ + = m ( i, k } 1,..., m ) r(X ) Bán kính phổ của ma trận X ∈  m×m x≤ y x ≤ y ⇔ xi ⇔ yi ( i = 1,..., m ) với = x ( xi )= , y ( yi )i 1 ∈  m m m = i 1=
X ≤Y 1,..., m ) với X = ( xik )i ,k =1 , X ≤ Y ⇔ xik ⇔ yik ( i, k = m = ( yik )i ,k =1 ∈  m×m m Y k ( k − ε )! ( k − ε )!= ∏ ( i − ε ) với k ∈  , ε ∈ ( 0,1) i =1 C ( [ a, b ] ;  m ) Không gian Banach các hàm véc tơ x : [ a, b ] →  m liên tục với chuẩn =x C max { x ( t ) : t ∈ [ a, b ]} L ( [ a, b ] ;  m ) Không gian Banach các hàm véc tơ x : [ a, b ] →  m khả tích với chuẩn b x L = ∫ x ( t ) dt a Cαn ,−β1 ( ( a, b ) ;  m ) Không gian Banach các hàm véc tơ x : ( a, b ) →  m khả vi liên tục tới lim ( t − a ) x ( i −1) ( t ) , αi cấp (n − 1) và có các giới hạn t →a lim ( b − t ) x ( i −1) ( t )( i = 1,..., n ) , βi với −∞ < a < b + ∞, α , β ∈  t →b α +i−n+ α +i−n β +i−n+ β +i−n =αi = , βi ( i = 1,..., n ) 2 2 n  sup ∑ ( t − a ) ( b − t ) x ( i −1) ( t ) : a < t < b . α β với chuẩn = xC n −1 i i α β  i =1 ,   αn −, β1 ( ( a, b ) ;  m ) Tập tất cả các phần tử x ∈ Cαn ,−β1 ( ( a, b ) ;  m ) sao cho x ( n −1) C là liên tục tuyệt đối trên (a, b) , nghĩa là, liên tục tuyệt đối trên [ a + ε , b − ε ] với mọi số dương ε bé tuỳ ý Lα , β ( ( a, b ) ;  m ) Không gian Banach các hàm vectơ y : ( a, b ) →  m có các thành phần khả tích với trọng số ( t − a ) ( b − t ) với chuẩn α β b ∫ ( t − a ) ( b − t ) y ( t ) dt α β y Lα ,β = a
Lα , β ( ( a, b ) ;  m×m ) Không gian Banach các ma trận hàm Y : ( a, b ) →  m×m có các thành (t − a ) (b − t ) α β phần khả tích với trọng số với chuẩn b ∫ ( t − a ) ( b − t ) Y ( t ) dt α β Y Lα ,β = a Lα , β ( ( a, b ) ;  m+ ) { } Lα , β ( ( a, b ) ;  m+ ) =y ∈ Lα , β ( ( a, b ) ;  m ) : y ( t ) ∈  m+ , t ∈ ( a, b ) Lα , β ( ( a, b ) ;  m+ ×m ) Lα , β ( ( a, b ) ;  m+ ×m ) =∈{ } Y Lα , β ( ( a, b ) ;  m×m ) : Y ( t ) ∈  m+ ×m , t ∈ ( a, b )
MỞ ĐẦU Phương trình vi phân hàm mặc dù ra đời đã lâu nhưng bắt đầu được quan tâm từ những năm 20 của thế kỉ trước nhờ những ứng dụng của nó trong các lĩnh vực vật lý, cơ học, kinh tế, nông nghiệp,…Trong sự phát triển đó, các bài toán biên đóng một vai trò nổi bật ở cả lý thuyết và thực tiễn ứng dụng. Cho tới nay, có một lớp đủ rộng những bài toán chính quy x ( n ) ( t ) = f ( x )( t ) với điều kiện biên hi ( = x ) 0= ( i 1,..., n ) đã được nghiên cứu và trình bày trong các tài liệu chuyên khảo [1], [2]. Những điều kiện đủ cho tính giải được của những bài toán loại này cũng đã được giải quyết như trong [4], [5], [7], [10], [11], [16],…Tuy nhiên đối với bài toán biên không chính quy, các kết quả thu được còn khá khiêm tốn và chưa đủ tổng quát. Như ở ( ) [14], [15], trường hợp toán tử f có dạng f ( x )( t ) = g t , x ( t ) ,..., x ( ) ( t ) đã được nghiên n −1 cứu đầy đủ; trong khi với phương trình vi phân hàm x ( n ) ( t ) = f ( x )( t ) , bài toán có trọng số đã được giải quyết trong [13], cũng như bài toán hai điểm trong [6], [7], và bài toán nhiều điểm Vallée-Poussin trong [8]. Với mong muốn phần nào lấp đầy lỗ hỏng trên, luận văn này trình bày một số kết quả thu được từ việc khảo sát sự tồn tại nghiệm của bài toán trong trường hợp tổng quát Nội dung của luận văn gồm hai chương. Chương 1 trình bày định lí về sự tồn tại nghiệm của bài toán biên chính qui dx ( t ) = f ( x )( t ) , h ( x ) = 0 trong trường hợp các toán tử f : C ([ a, b ] ;  n ) → L ([ a, b ] ;  n ) dt và h : C ([ a, b ] ;  n ) →  n liên tục. Chương 2, cũng là nội dung chính của luận văn, tổng hợp một số kết quả tổng quát hơn được thiết lập trong [12], bởi các tác giả I. Kiguradze, B. Puza và I.P. Stavroulakis trong việc xây dựng tính giải được của bài toán biên không chính qui x ( n ) ( t ) = f ( x )( t ) với điều kiện biên hi (= x ) 0= ( i 1,..., n ) trong trường hợp các toán tử
f : Cαn ,−β1 ( ( a, b ) ;  m ) → Lα , β ( ( a, b ) ;  m ) và hi : Cαn ,−β1 ( ( a, b ) ;  m ) →  m ( i = 1,..., n ) liên tục và thỏa các điều kiện { sup f ( x )( ⋅) : x Cαn−,β1 } ≤ ρ ∈ Lα , β ( ( a, b ) ;  + ) , { sup hi ( x ) : x Cαn−,β1 } ≤ ρ < +∞ ( i = 1,..., n ) . Một số kết quả thu được sau đó chính là sự tổng quát hoá các kết quả đã biết trước đó.
Chương 1: BÀI TOÁN BIÊN CHÍNH QUI CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN 1.1. Giới thiệu bài toán Trong chương này ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến dx ( t ) = f ( x )( t ) (1.1) dt với điều kiện biên h(x)=0 (1.2) trong đó f : C ([ a, b ] ;  n ) → L ([ a, b ] ;  n ) và h : C ([ a, b ] ;  n ) →  n là các toán tử liên tục. Nghiệm của phương trình (1.1) được hiểu là một hàm x : [ a, b ] →  n liên tục tuyệt đối thoả phương trình (1.1) hầu khắp nơi trên [ a, b ] . Một nghiệm của (1.1) thoả (1.2) được gọi là một nghiệm của bài toán (1.1), (1.2). 1.2. Về sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) 1.2.1. Định lí về tính chất Fredholm của bài toán biên tuyến tính Xét bài toán biên dx ( t ) = p ( x )( t ) + q ( t ) (1.3) dt  ( x ) = c0 (1.4) trong đó,
p : C ([ a, b ] ;  n ) → L ([ a, b ] ;  n ) ,  : C ([ a, b ] ;  n ) →  n , q ∈ L ([ a, b ] ;  n ) và c0 ∈  n . Ngoài ra ta còn giả sử: (i) p tuyến tính và tồn tại hàm khả tích η : [ a, b ] →  sao cho với mọi t ∈ [ a, b ] , x ∈ C ([ a, b ] ;  n ) , ta có p ( x )( t ) ≤ η ( t ) x C (ii)  là toán tử tuyến tính bị chặn. Cùng với bài toán (1.3), (1.4) ta có bài toán thuần nhất tương ứng dx ( t ) = p ( x )( t ) (1.3 0 ) dt  ( x) = 0 (1.4 0 ) Định lí Bài toán (1.3), (1.4) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài toán thuần nhất tương ứng (1.3 0 ), (1.4 0 ) chỉ có nghiệm tầm thường.Hơn nữa, nếu bài toán (1.3 0 ), (1.4 0 ) chỉ có nghiệm tầm thường thì tồn tại số dương β sao cho nghiệm của bài toán (1.3), (1.4) thoả đánh giá x C ≤ β ( c0 + q L ). Chứng minh • Đặt B C ([ a, b ] ;  n ) ×  n là không gian Banach chứa các phần tử u = ( x, c ) , trong = đó x ∈ C ([ a, b ] ;  n ) , c ∈  n với chuẩn u=B x C + c Với tuỳ= ýu ( x, c ) ∈ B , cố định t0 ∈ [ a, b] , ta đặt  t  f ( u )( t ) =  c + x ( t 0 ) + ∫t p ( x )( s ) ds, c −  ( x )   0  và t  h ( t ) =  ∫ q ( s ) ds, c0  với mọi t ∈ [ a, b ] . t 0 
Khi đó bài toán (1.3), (1.4) trở thành phương trình các toán tử trong B =u f (u ) + h do u = ( x, c ) là nghiệm của phương trình trên khi và chỉ khi c = 0 và x là nghiệm của bài toán (1.3), (1.4). • f là toán tử compact Ta chứng minh f(M) là tập compact tương đối nếu M là một tập bị chặn trong B. {u B : u ≤ K } với K dương. Đặt M =∈ Do các giả thiết (i), (ii) của bài toán (1.3), (1.4), có K 1 dương sao cho  ( x ) ≤ K1 x C , ∀x ∈ C ([ a, b ] ;  n ) và với mọi u ∈ M ta có t f ( u )( t ) ≤ 2 c + x ( t0 ) + ∫ p ( x )( s ) ds + ( x) t0 t t ≤ 2K + ∫ p ( x )( s ) ds + K1 x t0 C ≤ 2K + ∫ p ( x )( s ) ds + K K t0 1 t b ≤ 2 K + K1 K + x C ∫η ( s ) ds ≤ 2 K + K K + K ∫η ( s ) ds. t0 1 a Từ đó suy ra f(M) bị chặn đều. Mặt khác, với t , s ∈ [ a, b ] ta có s   ∫ p ( x )(ξ ) dξ ,0  f ( u )( t ) − f ( u )( s ) = t  s s s ≤ ∫ p ( x )(ξ ) dξ ≤ ∫ x C η ( ξ ) dξ ≤ K ∫η ( ξ ) dξ t t t Suy ra f(M) đồng liên tục đều. Theo định lí Ascoli-Arzela, f là toán tử compact.
• Áp dụng luân phiên Fredholm cho phương trình các toán tử, phương trình =u f ( u ) + h có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình u = f ( u ) chỉ có nghiệm tầm thường, tương đương với bài toán (1.3 0 ), (1.4 0 ) chỉ có nghiệm tầm thường. Hơn nữa, nếu phương trình u = f ( u ) chỉ có nghiệm tầm thường thì toán tử I − f khả nghịch trong đó I : B → B là toán tử đồng nhất. Khi đó, ( I − f ) −1 là tuyến tính bị chặn. Suy ra nghiệm u của β ( c0 + q (I − f ) h ≤ β h B = ) . Tuy −1 phương trình = u f ( u ) + h thoả đánh giá u B = L B nhiên khi đó c = 0 và ta có x C ≤ β ( c0 + q L ). Định lí được chứng minh. 1.2.2. Định nghĩa Cặp ( p,  ) các toán tử p : C ([ a, b ] ;  n ) × C ([ a, b ] ;  n ) → L ([ a, b ] ;  n ) và được gọi là hoà hợp nếu (i) Với bất kì x ∈ C ([ a, b ] ;  n ) , các toán tử p ( x, ⋅) : C ([ a, b ] ;  n ) → L ([ a, b ] ;  n ) và  ( x, ⋅) : C ([ a, b ] ;  n ) →  n tuyến tính; (ii) Với bất kì x, y ∈ C ([ a, b ] ;  n ) và hầu khắp trên [a,b], ta có các bất đẳng thức p ( x, y )( t ) ≤ α ( t , x C ) y C;  ( x, y ) ≤ α 0 ( x C ) y C trong đó α 0 :  + →  + là hàm không giảm, α : [ a, b ] ×  + →  + khả tích trên [a,b] theo biến thứ nhất và không giảm theo biến thứ hai; (iii) Tồn tại số dương β sao cho với mỗi x ∈ C ([ a, b ] ;  n ) , q ∈ C ([ a, b ] ;  n ) , c0 ∈  n mọi nghiệm y của bài toán dy ( t ) p ( x, y )( t ) + q ( x, y )( t ) ,  ( x, y ) = = c0 (1.5) dt đều thoả bất đẳng thức
y C ≤ β ( c0 + q L ). (1.6) 1.2.3. Định lí Giả sử tồn tại số dương ρ và cặp hoà hợp ( p,  ) , trong đó p : C ([ a, b ] ;  n ) × C ([ a, b ] ;  n ) → L ([ a, b ] ;  n ) liên tục và  : C ([ a, b ] ;  n ) × C ([ a, b ] ;  n ) →  n sao cho với bất kì λ ∈ ( 0,1) mọi x là nghiệm của bài toán dx ( t ) = p ( x, x )( t ) + λ  f ( x )( t ) − p ( x, x )( t )  , (1.7) dt  ( x, x ) λ  ( x, x ) − h ( x )  = (1.8) đều thoả bất đẳng thức x C ≤ ρ. (1.9) Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm. Chứng minh • Gọi α , α 0 , β tương ứng là các hàm và số trong định nghĩa 1.2.2. Đặt 2 ρα ( t , 2 ρ ) + sup { f ( x )( t ) : x ∈ C ([ a, b ] ;  n ) , x C ≤ 2 ρ } , γ (t ) = 2 ρα 0 ( 2 ρ ) + sup { h ( x ) : x ∈ C ([ a, b ] ;  n ) , x C ≤ 2 ρ } , γ0 = 1 khi 0 ≤ s ≤ ρ  σ (s) = 2 − s / ρ khi ρ < s
Khi đó, γ ∈ L ([ a, b ] ;  ) , γ 0 < +∞ và hầu khắp nơi trên [ a, b ] ta có q ( x )( t ) ≤ σ ( x C )  f ( x )( t ) + p ( x, x )( t )  { ≤ 2 ρα ( t , 2 ρ ) + sup f ( x )( t ) : x ∈ C ([ a, b ] ;  n ) , x C }γ (t ) . ≤ 2ρ = Tương tự ta cũng có: c0 ( x ) ≤ γ 0 . Như vậy, q ( x )( t ) ≤ γ ( t ) , c0 ( x ) ≤ γ 0 . (1.12) • Với mỗi x ∈ C ([ a, b ] ;  n ) , xét bài toán biên dy ( t ) p ( x, y )( t ) + q ( x )( t ) ,  ( x, y ) = = c0 ( x ) . (1.13) dt Ta chứng minh bài toán có nghiệm duy nhất bằng cách chỉ ra rằng bài toán thuần nhất tương ứng dy ( t ) = p= ( x, y )( t ) ,  ( x, y ) 0 dt chỉ có nghiệm tầm thường. Thật vậy, giả sử y(t) là nghiệm của bài toán thuần nhất, do ( p,  ) là hoà hợp và theo điều ( x )( t ) 0,= kiện (iii) của định nghĩa 1.2.2, với q= c0 ( x ) 0 , ta có y C ( ≤ β c0 ( x ) + q ( x ) L )= 0, nên bài toán thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường. Khi đó, từ các điều kiện (i), (ii) của định nghĩa 1.2.2, các giả thiết của định lí 1.2.1 đều thoả mãn, nên bài toán (1.13) có nghiệm duy nhất. Giả sử y là nghiệm của bài toán (1.13). Theo định nghĩa 1.2.2 và (1.12) ta có y C ( ≤ β c0 ( x ) + q ( x ) L ) ≤ β (γ 0 + γ L ). và
y '(t ) = p ( x, y )( t ) + q ( x ) ( t ) p ( x, y )( t ) + q ( x )( t ) ≤ α ( t , x C ) y C + γ (t ) ≤ α (t, x C ) r + γ (t ). với =r : β (γ 0 + γ L ), γ * (t ) α (t, x = C ) r + γ (t ). Xét toán tử F : C ( [ a, b ] ;  n ) → C ( [ a, b ] ;  n ) ; x  F ( x ) = y, đặt tương ứng mỗi x với nghiệm duy nhất y của (1.13). Ta chứng minh F là toán tử compact. Thật vậy: • F là toán tử liên tục Với x1 , x2 ∈ C ([ a, b ] ;  = n ) , đặt y1 ( t ) F= ( x1 )( t ) , y2 ( t ) F ( x2 )( t ) , và y ( t ) y2 ( t ) − y1 ( t ) = Khi đó, ta có =y ' ( t ) p ( x2 , y )( t ) + q0 ( x1 , x2 )( t ) ,  ( x2 , y ) = c ( x1 , x2 ) với q0 ( x1 , x2 )( t= ) p ( x2 , y1 )( t ) − p ( x1 , y1 )( t ) + q ( x2 )( t ) − q ( x1 )( t ) , c ( x1 , x2 )=  ( x1 , y1 ) −  ( x2 , y1 ) + c0 ( x2 ) − c0 ( x1 ) . Theo điều kiện (iii) của định nghĩa 1.2.2, y là nghiệm của bài toán nên thoả bất đẳng thức
y C ≤ β  c ( x1 , x2 ) C + q ( x1 , x2 ) L  . Hay F ( x2 ) − F ( x1 ) C ≤ Do β   ( x1 , y1 ) −  ( x2 , y1 ) C + c0 ( x2 ) − c0 ( x1 ) C + p ( x2 , y1 ) − p ( x1 , y1 ) L + q ( x2 ) − q ( x1 ) L  . các toán tử p, q,  và c0 liên tục nên suy ra F liên tục trên C ([ a, b ] ;  n ) . • F là toán tử compact Xét Cr = { x ∈ C ( [ a, b ] ;  n ) : x C ≤r . } Ta đã có =yC F ( x) C ≤ r , và t t t F ( x )( t ) − F ( x )( s ) = y ( t ) − y ( s ) = ∫ y ' (ξ ) dξ ≤ ∫ y ' (ξ ) dξ ≤ ∫ γ * (ξ ) dξ s s s với mọi s, t ∈ [ a, b ] . Theo định lí Ascoli-Arzela, F ( Cr ) là tập compact tương đối. Do đó, F : Cr → Cr là ánh xạ compact. Áp dụng nguyên lí điểm bất động Schauder cho ánh xạ compact liên tục F, tồn tại x trong C r sao cho F ( x )( t ) = x ( t ) với mọi t ∈ [ a, b ] . Khi đó, x là nghiệm của bài toán (1.7), (1.8) với λ = σ x ( C ) . Ta chứng minh x C ≤ ρ , tức x thoả (1.9). Giả sử ngược lại, ρ < x C < 2ρ (1.14) hoặc x C ≥ 2ρ (1.15)
thì λ σ x Giả sử có (1.14),= ( C ) ∈ ( 0,1) . Theo điều kiện của định lí thì nghiệm phải thoả (1.9), mâu thuẫn với (1.14). = Giả sử có (1.15), khi đó λ σ= ( ) x C 0 , và x là nghiệm của bài toán thuần nhất dy ( t ) = p= ( x, y )( t ) ,  ( x, y ) 0. dt Điều này mâu thuẫn với việc phương trình này chỉ có nghiệm tầm thường. Vậy x phải thoả nên λ σ= (1.9). Và do đó, x là nghiệm của (1.1), (1.2). Thật vậy, do (1.9) đúng= x C 1 và ( ) x là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2). Định lí được chứng minh. 1.2.4. Định nghĩa Cho các toán tử p : C ( [ a, b ] ;  n ) × C ( [ a, b ] ;  n ) → L ( [ a, b ] ;  n ) ,  : C ( [ a, b ] ;  n ) × C ( [ a, b ] ;  n ) → L ( [ a, b ] ;  n ) đồng thời p0 : C ([ a, b ] ;  n ) → L ([ a, b ] ;  n ) ,  0 : C ([ a, b ] ;  n ) → L ([ a, b ] ;  n ) là các toán tử tuyến tính. Ta nói cặp ( p0 ,  0 ) thuộc tập Ωpn, nếu tồn tại dãy xk ∈ C ([ a, b ] ;  n ) (k=1,2,...) sao cho với t t mỗi y ∈ C ( [ a, b ] ;  n ) ta có lim ∫ p ( xk , y )( s ) ds = ∫ p0 ( y )( s ) ds đều trên [ a, b ] , và k →∞ 0 0 lim  ( xk , y ) =  0 ( y ) . k →∞
Từ định nghĩa ta thấy với mỗi x cố định, nếu đặt p0 ( y ) = p ( x, y ) và  0 ( y ) =  ( x, y ) thì ( p0 ,  0 ) thuộc tập Ωpn, . 1.2.5. Định nghĩa Ta nói cặp ( p,  ) các toán tử liên tục p : C ([ a, b ] ;  n ) × C ([ a, b ] ;  n ) → L ([ a, b ] ;  n ) ,  : C ([ a, b ] ;  n ) × C ([ a, b ] ;  n ) → L ([ a, b ] ;  n ) thuộc lớp Ο0n nếu các điều sau đây được thoả: (i) Với mỗi x ∈ C ( [ a, b ] ;  n ) cố định, các toán tử p ( x, ⋅) : C ([ a, b ] ;  n ) → L ([ a, b ] ;  n ) ,  ( x, ⋅) : C ([ a, b ] ;  n ) → L ([ a, b ] ;  n ) là tuyến tính; (ii) Với bất kì x, y ∈ C ([ a, b ] ;  n ) , và hầu khắp nơi trên [ a, b ] ta có các bất đẳng thức p ( x, y )( t ) ≤ α ( t ) y C ,  ( x, y ) ≤ α 0 y C , trong đó α : [ a, b ] →  + khả tích, α 0 ∈  + ; (iii) Với mọi cặp ( p0 ,  0 ) ∈ Ωpn, bài toán dy ( t ) = p= 0 ( y )( t ) ,  0 ( y ) 0 (1.16) dt chỉ có nghiệm tầm thường. 1.2.6. Hệ quả Giả sử tồn tại số dương ρ và cặp ( p,  ) ∈ Ο0n sao cho với bất kì λ ∈ ( 0,1) , mọi nghiệm tuỳ ý của bài toán (1.7), (1.8) đều thoả bất đẳng thức (1.9). Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm. Chứng minh Từ (i), (ii) của định nghĩa 1.2.5 suy ra ( p,  ) thoả các điều kiện (i), (ii) của định nghĩa 1.2.2.