Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán biên thứ nhất đới với phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính với dạng đặc trưng không âm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

41
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ngành toán học này đã góp phần xây dựng lý thuyết chung cho các ngành toán học và các khoa học khác. Phương trình eliptic xuất hiện khi nghiên cứu các quá trình không thay đổi về thời gian (quá trình dừng). Phương trình hyperbolic và parabolic xuất hiện khi nghiên cứu các quá trình có thay đổi về thời gian (quá trình không dừng).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán biên thứ nhất đới với phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính với dạng đặc trưng không âm

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM MEUNGKHAM KEOPHOUVONG BI TON BIN THÙ NHT ÈI VÎI PH×ÌNG TRNH O HM RING CP HAI TUYN TNH VÎI DNG C TR×NG KHÆNG M LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - N«m 2017
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S×PHM MEUNGKHAM KEOPHOUVONG BI TON BIN THÙ NHT ÈI VÎI PH×ÌNG TRNH O HM RING CP HAI TUYN TNH VÎI DNG C TR×NG KHÆNG M Chuy¶n ng nh: TON GII TCH M¢ sè: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS. NGUYN THÀ NGN Th¡i Nguy¶n - N«m 2017
LÍI CAM OAN Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l trung thüc v khæng tròng l°p vîi · t i kh¡c. Tæi công xin cam oan r¬ng måi sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n n y ¢ ÷ñc c£m ìn v c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2017 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Meungkham KEOPHOUVONG i
LÍI CM ÌN Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v sü ch¿ b£o nghi¶m khc cõa TS. Nguy¹n Thà Ng¥n em xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh v s¥u sc ¸n cæ. Tæi công xin k½nh gûi líi c£m ìn ch¥n th nh ¸n c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o trong tr÷íng ¤i håc S÷ Ph¤m ¤i håc Th¡i Nguy¶n công nh÷ c¡c th¦y cæ gi¡o tham gia gi£ng d¤y khâa håc 2015-2017 nhúng ng÷íi ¢ em h¸t t¥m huy¸t v sü nhi»t t¼nh º gi£ng d¤y v trang bà cho chóng tæi nhi·u ki¸n thùc v kinh nghi»m. V cuèi còng, xin gûi líi bi¸t ìn bè mµ, c£m ìn gia ¼nh, c£m ìn c¡c çng nghi»p, b¤n b± ¢ luæn çng h nh gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp nghi¶n cùu công nh÷ trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n luªn v«n n y. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2017 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Meungkham KEOPHOUVONG ii
Möc löc Líi cam oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Líi c£m ìn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Möc löc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Khæng gian H 1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Khæng gian Hloc 1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0 1.4. Khæng gian H 1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5. Khæng gian H 1,0 (QT ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 0 1.6. Khæng gian H 1,0 (QT ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7. B i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7.1. B i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh elliptic têng qu¡t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7.2. B i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh Laplace . . . . . 20 1.8. B i to¡n bi¶n hén hñp thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh parabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.8.1. B i to¡n bi¶n hén hñp thù nh§t v nghi»m suy rëng. . . . . . 25 1.8.2. B i to¡n bi¶n hén hñp thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t thu¦n nh§t vîi h» sè l h¬ng sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 iii
Ch÷ìng 2. B i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai tuy¸n t½nh vîi d¤ng °c tr÷ng khæng ¥m . . . . 30 2.1. Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai tuy¸n t½nh vîi d¤ng °c tr÷ng khæng ¥m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2. B i to¡n bi¶n thù nh§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.1. Ph¥n lo¤i c¡c iºm tr¶n bi¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.2. Ph¡t biºu b i to¡n bi¶n thù nh§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3. C¡c m»nh · bê trñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4. Cæng thùc Green cho to¡n tû L(u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5. Sü tçn t¤i nghi»m suy rëng cõa b i to¡n bi¶n thù nh§t . . . . . . 36 2.5.1. ¡nh gi¡ ti¶n nghi»m trong Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5.2. Sü tçn t¤i nghi»m suy rëng cõa b i to¡n bi¶n thù nh§t trong khæng gian Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 iv
MÐ U Bë mæn ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng hay ph÷ìng tr¼nh Vªt lþ to¡n l mët bë mæn to¡n håc cì b£n vøa mang t½nh lþ thuy¸t cao vøa mang t½nh ùng döng rëng. Ng nh to¡n håc n y ¢ gâp ph¦n x¥y düng lþ thuy¸t chung cho c¡c ng nh to¡n håc v c¡c khoa håc kh¡c. Ph÷ìng tr¼nh elliptic xu§t hi»n khi nghi¶n cùu c¡c qu¡ tr¼nh khæng thay êi v· thíi gian (qu¡ tr¼nh døng), ph÷ìng tr¼nh hyperbolic v parabolic xu§t hi»n khi nghi¶n cùu c¡c qu¡ tr¼nh câ thay êi v· thíi gian (qu¡ tr¼nh khæng døng). º x¡c ành nghi»m cõa c¡c lo¤i ph÷ìng tr¼nh n y ng÷íi ta ph£i x¥y düng c¡c i·u ki»n ban ¦u, i·u ki»n bi¶n. i·u ki»n ban ¦u cho bi¸t tr¤ng th¡i t¤i thíi iºm t = 0, i·u ki»n bi¶n cho bi¸t qu¡ tr¼nh x£y ra ð c¡c bi¸n khæng gian. B i to¡n t¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh èi vîi i·u ki»n bi¶n ¢ cho ÷ñc gåi l b i to¡n bi¶n. Tø ché th§y ÷ñc vai trá r§t quan trång v c¦n thi¸t cõa lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng v mong muèn ÷ñc hiºu s¥u, hiºu kÿ v· ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng °c bi»t l ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai tuy¸n t½nh n¶n em chån · t i "B i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai tuy¸n t½nh vîi d¤ng °c tr÷ng khæng ¥m" º nh¬m möc ½ch nghi¶n cùu v· kh¡i ni»m mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng v tr¼nh b y têng quan lþ thuy¸t c¡c v§n · v· b i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai tuy¸n t½nh vîi d¤ng °c tr÷ng khæng ¥m. Luªn v«n gçm câ hai ch÷ìng vîi nëi dung cö thº nh÷ sau: Ch÷ìng1: Tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n c¡c khæng gian Sobolev 0 0 nh÷ H (Ω) , 1 1 Hloc H (Ω) , H (QT ) , H (QT ) , b i to¡n bi¶n thù (Ω) , 1 1,0 1,0 nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh elliptic v b i to¡n bi¶n hén hñp thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh parabolic. Ch÷ìng 2: Tr¼nh b y v· b i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai tuy¸n t½nh vîi d¤ng °c tr÷ng khæng ¥m, sü tçn t¤i nghi»m suy rëng cõa b i to¡n bi¶n n y. B i to¡n bi¶n thù nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai tuy¸n t½nh vîi d¤ng °c tr÷ng khæng ¥m chùa b i to¡n bi¶n cõa ph÷ìng tr¼nh elliptic v parabolic nh÷ nhúng 1
tr÷íng hñp °c bi»t. 2
Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n v· khæng gian Sobolev, b i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh elliptic v b i to¡n bi¶n hén hñp thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh parabolic. Nëi dung chõ y¸u cõa ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [2] , [3] , [4] . 1.1. Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai Ta k½ hi»u Ω l mët mi·n bà ch°n trong khæng gian Euclid n chi·u Rn vîi ∂Ω l bi¶n cõa mi·n n y. x = (x1 , x2 , ..., xn ) l mët iºm cõa khæng gian Rn . ∂ Dxi = l to¡n tû l§y ¤o h m ri¶ng theo bi¸n xi . ∂xi Gi£ sû α = (α1 , α2 , ..., αn ) l tªp hñp c¡c ch¿ sè, trong â αi l c¡c sè n nguy¶n khæng ¥m v |α| = αi . Khi â P i=1 ∂ |α| Dα = Dxα11 Dxα22 ...Dxαnn = . º cho ìn gi£n, æi khi ta dòng ∂xα11 ∂xα22 ...∂xαnn k½ hi»u: ∂ 2u uxi xj = º ch¿ ¤o h m ri¶ng c§p hai cõa h m u. ∂xi ∂xj ành ngh¾a 1.1. Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai l ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng: n n X ∂ 2u X ∂u L (u) ≡ aij (x) + ai (x) + a (x) u = f (x) , (1.1) i,j=1 ∂x i ∂x j i=1 ∂x i 3
trong â f l mët h m (ho°c mët v²ctì h m) ¢ bi¸t trong mi·n Ω ⊂ Rn , u l h m ©n, L l mët to¡n tû vi ph¥n tuy¸n t½nh trong Ω, [aij (x)] l ma trªn gçm c¡c h» sè cõa ¤o h m c§p hai cõa to¡n tû L thäa m¢n: aij (x) = aji (x) , i, j = 1, n. Ph¥n lo¤i ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai Khi nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh ¤o h m ri¶ng nâi chung v ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai tuy¸n t½nh nâi ri¶ng ng÷íi ta chia l m ba lo¤i ph÷ìng tr¼nh cì b£n: ph÷ìng tr¼nh elliptic, ph÷ìng tr¼nh hyperbolic v ph÷ìng tr¼nh parabolic. X²t ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai (1.1). °t A (x) = [aij (x)] , aij (x) ÷ñc coi l thüc i, j = 1, n. Gi£ sû x0 ∈ Ω l mët iºm tòy þ, λ1 (x0 ) , λ2 (x0 ) , ..., λn (x0 ) l c¡c gi¡ trà ri¶ng thüc cõa ma trªn A (x0 ) . Ta k½ hi»u n+ = n+ (x0 ) l sè c¡c gi¡ trà ri¶ng d÷ìng n− = n− (x0 ) l sè c¡c gi¡ trà ri¶ng ¥m v n0 = n0 (x0 ) l sè c¡c gi¡ trà ri¶ng b¬ng khæng, n = n+ + n− + n0 . Khi â: ∗ Ph÷ìng tr¼nh (1.1) ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh elliptic t¤i iºm x0 (ho°c elliptic t¤i iºm x0 ) n¸u n+ = n ho°c n− = n. ∗ Ph÷ìng tr¼nh (1.1) ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh hyperbolic t¤i iºm x0 (ho°c hyperbolic t¤i iºm x0 ) n¸u n+ = n − 1 v n− = 1 ho°c n+ = 1 v n− = n − 1. ∗ Ph÷ìng tr¼nh (1.1) ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh parabolic t¤i iºm x0 (ho°c parabolic t¤i iºm x0 ) n¸u n0 > 0. ∗ Ph÷ìng tr¼nh (1.1) ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh elliptic, hyperbolic v parabolic tr¶n tªp Ω n¸u t÷ìng ùng nâ elliptic, hyperbolic v parabolic t¤i méi iºm cõa mi·n Ω. V½ dö . X²t ph÷ìng tr¼nh Traphigin (n=2) ∂ 2u ∂ 2u + a(x1 ) = f (x), ∂x21 ∂x22 4
trong â a(x1 ) > 0 vîi x1 > 0; a(x1 ) < 0 vîi x1 < 0 v a(x1 ) = 0 khi x1 = 0. Ph÷ìng tr¼nh n y l elliptic vîi x1 > 0, hyperbolic vîi x1 < 0; parabolic vîi x1 = 0. 1.2. Khæng gian H 1 (Ω) ành ngh¾a 1.2. Khæng gian Sobolev H 1 (Ω) l khæng gian gçm nhúng c¡c h m u ∈ L2 (Ω) sao cho Dα u ∈ L2 (Ω) vîi a ch¿ sè α : |α| ≤ 1. Hay câ thº vi¸t: H 1 (Ω) = { u (x)| u (x) v uxi ∈ L2 (Ω) , i = 1, n . Nhªn x²t ∗ H 1 (Ω) l khæng gian tuy¸n t½nh. ∗ Ta ÷a v o H 1 (Ω) t½ch væ h÷îng: n Z X Z [u, v]H 1 (Ω) = (uxi vxi ) dx + uvdx. (1.2) Ω i=1 Ω Khi â chu©n t÷ìng ùng s³ l :  Z X n !  21 kukH 1 (Ω) =  kuxi k2L2 (Ω) + kuk2L2 (Ω) dx . (1.3) Ω i=1 1.2.1. Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian H 1 (Ω) T½nh ch§t1: Khæng gian H 1 (Ω) l khæng gian Hilbert. T½nh ch§t 2: N¸u Ω0 ∈ Ω v u ∈ H 1 (Ω) th¼ u ∈ H 1 (Ω0) . T½nh ch§t 3: N¸u u ∈ H 1 (Ω) , a (x) ∈ C 1 Ω th¼ au ∈ H 1 (Ω) . Câ thº t½nh (au)xi theo quy tc l§y vi ph¥n thæng th÷íng èi vîi t½ch hai h m. T½nh ch§t 4: Gi£ sû ∂Ω ∈ C 1. Khi â, tªp h m C ∞ Ω trò mªt khp nìi trong H 1 (Ω) . 1.2.2 V¸t cõa h m (n-1) chi·u trìn n¬m Gi£ sû Ω l mët mi·n trong Rn v Σ l mët m°t trong Ω. N¸u trong Ω mët h m u ÷ñc cho h¦u khp th¼ gi¡ trà cõa u 5
tr¶n m°t Σ cè ành ÷ñc x¡c ành khæng ìn trà v¼ mesΣ = 0 n¶n h m u tr¶n Σ câ thº câ gi¡ trà tòy þ. Song vîi mët þ ngh¾a x¡c ành ta câ thº nâi v· c¡c gi¡ trà cõa mët h m ÷ñc x¡c ành h¦u khp tr¶n mët m°t (n-1) chi·u. Rã r ng h¤n ch¸ tr¶n Σ cõa mët h m li¶n töc trong Ω l h m li¶n töc trong Σ. Gi£ sû Σ l mët m°t (n-1) chi·u thuëc lîp C 1 n¬m trong Ω v Σ1 l mët m©u cõa nâ ÷ñc chi¸u ìn trà l¶n mët mi·n D cõa m°t ph¯ng {xn = 0} v câ ph÷ìng tr¼nh: xn = g (x0 ) , x0 = (x1 , x2 , ..., xn−1 ) , g (x0 ) ∈ C 1 D . Do mi·n Ω bà ch°n n¶n ta câ thº °t Ω trong mët khèi lªp ph÷ìng 0 < xi < a, i = 1, n vîi mët sè a > 0 n o â. Gi£ sû u (x) ∈ C01 Ω v °t u(x) = 0 b¶n ngo i Ω, u (x0 , 0) = 0. Theo cæng thùc Newton-Leibnitz, ta câ 0 g(x Z ) 0 0 0 ∂u (x0 , ξn ) u (x)|Σ1 = u (x , g (x )) − u (x , 0) = dξn , ∂ξn 0 vîi b§t ¯ng thùc Holder 0 g(x Z )
Za
∂u (x0 , ξn )
2
∂u (x0 , ξn )
2