Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán biên thứ nhất đới với phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính với dạng đặc trưng không âm
lượt xem 4
download
Ngành toán học này đã góp phần xây dựng lý thuyết chung cho các ngành toán học và các khoa học khác. Phương trình eliptic xuất hiện khi nghiên cứu các quá trình không thay đổi về thời gian (quá trình dừng). Phương trình hyperbolic và parabolic xuất hiện khi nghiên cứu các quá trình có thay đổi về thời gian (quá trình không dừng).
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán biên thứ nhất đới với phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính với dạng đặc trưng không âm
- I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM MEUNGKHAM KEOPHOUVONG BI TON BIN THÙ NHT ÈI VÎI PH×ÌNG TRNH O HM RING CP HAI TUYN TNH VÎI DNG C TR×NG KHÆNG M LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - N«m 2017
- I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S×PHM MEUNGKHAM KEOPHOUVONG BI TON BIN THÙ NHT ÈI VÎI PH×ÌNG TRNH O HM RING CP HAI TUYN TNH VÎI DNG C TR×NG KHÆNG M Chuy¶n ng nh: TON GII TCH M¢ sè: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS. NGUYN THÀ NG N Th¡i Nguy¶n - N«m 2017
- LÍI CAM OAN Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l trung thüc v khæng tròng l°p vîi · t i kh¡c. Tæi công xin cam oan r¬ng måi sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n n y ¢ ÷ñc c£m ìn v c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2017 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Meungkham KEOPHOUVONG i
- LÍI CM ÌN Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v sü ch¿ b£o nghi¶m khc cõa TS. Nguy¹n Thà Ng¥n em xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh v s¥u sc ¸n cæ. Tæi công xin k½nh gûi líi c£m ìn ch¥n th nh ¸n c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o trong tr÷íng ¤i håc S÷ Ph¤m ¤i håc Th¡i Nguy¶n công nh÷ c¡c th¦y cæ gi¡o tham gia gi£ng d¤y khâa håc 2015-2017 nhúng ng÷íi ¢ em h¸t t¥m huy¸t v sü nhi»t t¼nh º gi£ng d¤y v trang bà cho chóng tæi nhi·u ki¸n thùc v kinh nghi»m. V cuèi còng, xin gûi líi bi¸t ìn bè mµ, c£m ìn gia ¼nh, c£m ìn c¡c çng nghi»p, b¤n b± ¢ luæn çng h nh gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp nghi¶n cùu công nh÷ trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n luªn v«n n y. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2017 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Meungkham KEOPHOUVONG ii
- Möc löc Líi cam oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Líi c£m ìn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Möc löc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc chu©n bà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Khæng gian H 1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Khæng gian Hloc 1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0 1.4. Khæng gian H 1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5. Khæng gian H 1,0 (QT ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 0 1.6. Khæng gian H 1,0 (QT ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7. B i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7.1. B i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh elliptic têng qu¡t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7.2. B i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh Laplace . . . . . 20 1.8. B i to¡n bi¶n hén hñp thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh parabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.8.1. B i to¡n bi¶n hén hñp thù nh§t v nghi»m suy rëng. . . . . . 25 1.8.2. B i to¡n bi¶n hén hñp thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh truy·n nhi»t thu¦n nh§t vîi h» sè l h¬ng sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 iii
- Ch÷ìng 2. B i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai tuy¸n t½nh vîi d¤ng °c tr÷ng khæng ¥m . . . . 30 2.1. Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai tuy¸n t½nh vîi d¤ng °c tr÷ng khæng ¥m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2. B i to¡n bi¶n thù nh§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.1. Ph¥n lo¤i c¡c iºm tr¶n bi¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.2. Ph¡t biºu b i to¡n bi¶n thù nh§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3. C¡c m»nh · bê trñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4. Cæng thùc Green cho to¡n tû L(u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5. Sü tçn t¤i nghi»m suy rëng cõa b i to¡n bi¶n thù nh§t . . . . . . 36 2.5.1. ¡nh gi¡ ti¶n nghi»m trong Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5.2. Sü tçn t¤i nghi»m suy rëng cõa b i to¡n bi¶n thù nh§t trong khæng gian Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 iv
- MÐ U Bë mæn ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng hay ph÷ìng tr¼nh Vªt lþ to¡n l mët bë mæn to¡n håc cì b£n vøa mang t½nh lþ thuy¸t cao vøa mang t½nh ùng döng rëng. Ng nh to¡n håc n y ¢ gâp ph¦n x¥y düng lþ thuy¸t chung cho c¡c ng nh to¡n håc v c¡c khoa håc kh¡c. Ph÷ìng tr¼nh elliptic xu§t hi»n khi nghi¶n cùu c¡c qu¡ tr¼nh khæng thay êi v· thíi gian (qu¡ tr¼nh døng), ph÷ìng tr¼nh hyperbolic v parabolic xu§t hi»n khi nghi¶n cùu c¡c qu¡ tr¼nh câ thay êi v· thíi gian (qu¡ tr¼nh khæng døng). º x¡c ành nghi»m cõa c¡c lo¤i ph÷ìng tr¼nh n y ng÷íi ta ph£i x¥y düng c¡c i·u ki»n ban ¦u, i·u ki»n bi¶n. i·u ki»n ban ¦u cho bi¸t tr¤ng th¡i t¤i thíi iºm t = 0, i·u ki»n bi¶n cho bi¸t qu¡ tr¼nh x£y ra ð c¡c bi¸n khæng gian. B i to¡n t¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh èi vîi i·u ki»n bi¶n ¢ cho ÷ñc gåi l b i to¡n bi¶n. Tø ché th§y ÷ñc vai trá r§t quan trång v c¦n thi¸t cõa lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng v mong muèn ÷ñc hiºu s¥u, hiºu kÿ v· ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng °c bi»t l ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai tuy¸n t½nh n¶n em chån · t i "B i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai tuy¸n t½nh vîi d¤ng °c tr÷ng khæng ¥m" º nh¬m möc ½ch nghi¶n cùu v· kh¡i ni»m mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng v tr¼nh b y têng quan lþ thuy¸t c¡c v§n · v· b i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai tuy¸n t½nh vîi d¤ng °c tr÷ng khæng ¥m. Luªn v«n gçm câ hai ch÷ìng vîi nëi dung cö thº nh÷ sau: Ch÷ìng1: Tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n c¡c khæng gian Sobolev 0 0 nh÷ H (Ω) , 1 1 Hloc H (Ω) , H (QT ) , H (QT ) , b i to¡n bi¶n thù (Ω) , 1 1,0 1,0 nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh elliptic v b i to¡n bi¶n hén hñp thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh parabolic. Ch÷ìng 2: Tr¼nh b y v· b i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai tuy¸n t½nh vîi d¤ng °c tr÷ng khæng ¥m, sü tçn t¤i nghi»m suy rëng cõa b i to¡n bi¶n n y. B i to¡n bi¶n thù nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai tuy¸n t½nh vîi d¤ng °c tr÷ng khæng ¥m chùa b i to¡n bi¶n cõa ph÷ìng tr¼nh elliptic v parabolic nh÷ nhúng 1
- tr÷íng hñp °c bi»t. 2
- Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n v· khæng gian Sobolev, b i to¡n bi¶n thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh elliptic v b i to¡n bi¶n hén hñp thù nh§t èi vîi ph÷ìng tr¼nh parabolic. Nëi dung chõ y¸u cõa ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [2] , [3] , [4] . 1.1. Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai Ta k½ hi»u Ω l mët mi·n bà ch°n trong khæng gian Euclid n chi·u Rn vîi ∂Ω l bi¶n cõa mi·n n y. x = (x1 , x2 , ..., xn ) l mët iºm cõa khæng gian Rn . ∂ Dxi = l to¡n tû l§y ¤o h m ri¶ng theo bi¸n xi . ∂xi Gi£ sû α = (α1 , α2 , ..., αn ) l tªp hñp c¡c ch¿ sè, trong â αi l c¡c sè n nguy¶n khæng ¥m v |α| = αi . Khi â P i=1 ∂ |α| Dα = Dxα11 Dxα22 ...Dxαnn = . º cho ìn gi£n, æi khi ta dòng ∂xα11 ∂xα22 ...∂xαnn k½ hi»u: ∂ 2u uxi xj = º ch¿ ¤o h m ri¶ng c§p hai cõa h m u. ∂xi ∂xj ành ngh¾a 1.1. Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai l ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng: n n X ∂ 2u X ∂u L (u) ≡ aij (x) + ai (x) + a (x) u = f (x) , (1.1) i,j=1 ∂x i ∂x j i=1 ∂x i 3
- trong â f l mët h m (ho°c mët v²ctì h m) ¢ bi¸t trong mi·n Ω ⊂ Rn , u l h m ©n, L l mët to¡n tû vi ph¥n tuy¸n t½nh trong Ω, [aij (x)] l ma trªn gçm c¡c h» sè cõa ¤o h m c§p hai cõa to¡n tû L thäa m¢n: aij (x) = aji (x) , i, j = 1, n. Ph¥n lo¤i ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai Khi nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh ¤o h m ri¶ng nâi chung v ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai tuy¸n t½nh nâi ri¶ng ng÷íi ta chia l m ba lo¤i ph÷ìng tr¼nh cì b£n: ph÷ìng tr¼nh elliptic, ph÷ìng tr¼nh hyperbolic v ph÷ìng tr¼nh parabolic. X²t ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai (1.1). °t A (x) = [aij (x)] , aij (x) ÷ñc coi l thüc i, j = 1, n. Gi£ sû x0 ∈ Ω l mët iºm tòy þ, λ1 (x0 ) , λ2 (x0 ) , ..., λn (x0 ) l c¡c gi¡ trà ri¶ng thüc cõa ma trªn A (x0 ) . Ta k½ hi»u n+ = n+ (x0 ) l sè c¡c gi¡ trà ri¶ng d÷ìng n− = n− (x0 ) l sè c¡c gi¡ trà ri¶ng ¥m v n0 = n0 (x0 ) l sè c¡c gi¡ trà ri¶ng b¬ng khæng, n = n+ + n− + n0 . Khi â: ∗ Ph÷ìng tr¼nh (1.1) ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh elliptic t¤i iºm x0 (ho°c elliptic t¤i iºm x0 ) n¸u n+ = n ho°c n− = n. ∗ Ph÷ìng tr¼nh (1.1) ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh hyperbolic t¤i iºm x0 (ho°c hyperbolic t¤i iºm x0 ) n¸u n+ = n − 1 v n− = 1 ho°c n+ = 1 v n− = n − 1. ∗ Ph÷ìng tr¼nh (1.1) ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh parabolic t¤i iºm x0 (ho°c parabolic t¤i iºm x0 ) n¸u n0 > 0. ∗ Ph÷ìng tr¼nh (1.1) ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh elliptic, hyperbolic v parabolic tr¶n tªp Ω n¸u t÷ìng ùng nâ elliptic, hyperbolic v parabolic t¤i méi iºm cõa mi·n Ω. V½ dö . X²t ph÷ìng tr¼nh Traphigin (n=2) ∂ 2u ∂ 2u + a(x1 ) = f (x), ∂x21 ∂x22 4
- trong â a(x1 ) > 0 vîi x1 > 0; a(x1 ) < 0 vîi x1 < 0 v a(x1 ) = 0 khi x1 = 0. Ph÷ìng tr¼nh n y l elliptic vîi x1 > 0, hyperbolic vîi x1 < 0; parabolic vîi x1 = 0. 1.2. Khæng gian H 1 (Ω) ành ngh¾a 1.2. Khæng gian Sobolev H 1 (Ω) l khæng gian gçm nhúng c¡c h m u ∈ L2 (Ω) sao cho Dα u ∈ L2 (Ω) vîi a ch¿ sè α : |α| ≤ 1. Hay câ thº vi¸t: H 1 (Ω) = { u (x)| u (x) v uxi ∈ L2 (Ω) , i = 1, n . Nhªn x²t ∗ H 1 (Ω) l khæng gian tuy¸n t½nh. ∗ Ta ÷a v o H 1 (Ω) t½ch væ h÷îng: n Z X Z [u, v]H 1 (Ω) = (uxi vxi ) dx + uvdx. (1.2) Ω i=1 Ω Khi â chu©n t÷ìng ùng s³ l : Z X n ! 21 kukH 1 (Ω) = kuxi k2L2 (Ω) + kuk2L2 (Ω) dx . (1.3) Ω i=1 1.2.1. Mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian H 1 (Ω) T½nh ch§t1: Khæng gian H 1 (Ω) l khæng gian Hilbert. T½nh ch§t 2: N¸u Ω0 ∈ Ω v u ∈ H 1 (Ω) th¼ u ∈ H 1 (Ω0) . T½nh ch§t 3: N¸u u ∈ H 1 (Ω) , a (x) ∈ C 1 Ω th¼ au ∈ H 1 (Ω) . Câ thº t½nh (au)xi theo quy tc l§y vi ph¥n thæng th÷íng èi vîi t½ch hai h m. T½nh ch§t 4: Gi£ sû ∂Ω ∈ C 1. Khi â, tªp h m C ∞ Ω trò mªt khp nìi trong H 1 (Ω) . 1.2.2 V¸t cõa h m (n-1) chi·u trìn n¬m Gi£ sû Ω l mët mi·n trong Rn v Σ l mët m°t trong Ω. N¸u trong Ω mët h m u ÷ñc cho h¦u khp th¼ gi¡ trà cõa u 5
- tr¶n m°t Σ cè ành ÷ñc x¡c ành khæng ìn trà v¼ mesΣ = 0 n¶n h m u tr¶n Σ câ thº câ gi¡ trà tòy þ. Song vîi mët þ ngh¾a x¡c ành ta câ thº nâi v· c¡c gi¡ trà cõa mët h m ÷ñc x¡c ành h¦u khp tr¶n mët m°t (n-1) chi·u. Rã r ng h¤n ch¸ tr¶n Σ cõa mët h m li¶n töc trong Ω l h m li¶n töc trong Σ. Gi£ sû Σ l mët m°t (n-1) chi·u thuëc lîp C 1 n¬m trong Ω v Σ1 l mët m©u cõa nâ ÷ñc chi¸u ìn trà l¶n mët mi·n D cõa m°t ph¯ng {xn = 0} v câ ph÷ìng tr¼nh: xn = g (x0 ) , x0 = (x1 , x2 , ..., xn−1 ) , g (x0 ) ∈ C 1 D . Do mi·n Ω bà ch°n n¶n ta câ thº °t Ω trong mët khèi lªp ph÷ìng 0 < xi < a, i = 1, n vîi mët sè a > 0 n o â. Gi£ sû u (x) ∈ C01 Ω v °t u(x) = 0 b¶n ngo i Ω, u (x0 , 0) = 0. Theo cæng thùc Newton-Leibnitz, ta câ 0 g(x Z ) 0 0 0 ∂u (x0 , ξn ) u (x)|Σ1 = u (x , g (x )) − u (x , 0) = dξn , ∂ξn 0 vîi b§t ¯ng thùc Holder 0 g(x Z )
- Za
- ∂u (x0 , ξn )
- 2
- ∂u (x0 , ξn )
- 2
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán quy hoạch lồi
60 p | 328 | 76
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nguyên lý ánh xạ co và phương pháp điểm gần kề cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị đơn điệu
45 p | 322 | 70
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu hàm phân thức a - phin
56 p | 254 | 39
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán ổn định các hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ
41 p | 235 | 38
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm của các bài toán tối ưu có tham số
63 p | 229 | 38
-
Tóm tắt luận văn thạc sĩ toán học: Bài toán biên hỗn hợp thứ nhất đối với phương trình vi phân
20 p | 239 | 29
-
Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Toán học: Cơ sở Wavelet trong không gian L2 (R)
45 p | 229 | 27
-
Luận văn thạc sĩ toán học: Xấp xỉ tuyến tính cho 1 vài phương trình sóng phi tuyến
45 p | 202 | 21
-
Luân văn Thạc sĩ Toán học: Toán tử trung hòa và phương trình vi phân trung hòa
58 p | 141 | 6
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán cực tiêu chuẩn nguyên tử của ma trận
65 p | 15 | 5
-
Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán sắp xếp kho vận với ràng buộc sắp xếp
20 p | 42 | 5
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch toán học tựa khả vi
41 p | 43 | 5
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Thác triển chỉnh hình kiểu Riemann
55 p | 94 | 5
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp phân tích trực giao chuẩn (POD) cho bài toán xác định tham số trong phương trình Elliptic
106 p | 16 | 5
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự tồn tại và tính trơn của tập hút toàn cục đối với bài toán Parabolic suy biến nửa tuyến tính trong không gian (LpN)
43 p | 76 | 4
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vấn đề duy nhất của hàm phân hình chung nhau một hàm nhỏ
48 p | 69 | 4
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Thác triển ánh xạ chỉnh hình kiểu Riemann
54 p | 94 | 4
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhiễu sinh ra đồng bộ hóa cho một số hệ đơn giản
55 p | 37 | 3
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn