ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------
NGUYỄN VĂN HIẾN
VỀ BÀI TOÁN ĐẢM BẢO CHI PHÍ ĐIỀU KHIỂN
TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------
NGUYỄN VĂN HIẾN
VỀ BÀI TOÁN ĐẢM BẢO CHI PHÍ ĐIỀU KHIỂN
TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ
Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. MAI VIẾT THUẬN
THÁI NGUYÊN - 2019
i
Mục lục
Một số ký hiệu và chữ viết tắt ii
Lời nói đầu 1
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 4
1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi
phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 10
1.4. Một bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Chương 2 Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian
hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ bất định 13
2.1. Phát biểu bài toán và một số tiêu chuẩn . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Chương 3 Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian
hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân
thứ 24
3.1. Phát biểu bài toán và một số tiêu chuẩn . . . . . . . . . . . . . 24
3.2. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
ii
Một số ký hiệu và chữ viết tắt
R, R+ tập các số thực, số thực không âm tương ứng
Rn không gian vectơ Euclide thực n−chiều
Rn×r không gian các ma trận thực cỡ (n × r)
C([a, b], Rn) không gian các hàm liên tục trên [a, b], nhận giá trị trong Rn
AT ma trận chuyển vị của ma trận A
A = (A)ij phần tử Aij của ma trận A
diag{l1, . . . , ln} ma trận đường chéo chính
I ma trận đơn vị
A ≥ 0 A là một ma trận không âm
A ≥ B A − B ≥ 0
A > 0 A là một ma trận dương
toán tử tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α
C
toán tử đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville cấp α
t t , Dα t
t0I α t , I α t t0 Dα RL t0Dα
toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α
kết thúc chứng minh của định lí hoặc bổ đề
1
Lời nói đầu
Mô hình mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc
nguyên được nghiên cứu đầu tiên bởi L.O. Chua và L. Yang vào năm 1988 [5].
Mô hình này đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học
trong những năm gần đây do những ứng dụng rộng lớn của nó trong xử lí tín
hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa và các lĩnh vực khác [2, 6, 17]. Năm 2008,
trong một nghiên cứu của mình, A. Boroomand và M.B. Menhaj [2] lần đầu
tiên mô hình hóa mạng nơ ron bởi hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo
hoặc Riemann–Liouville). So với mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi
phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân
phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville) có thể mô tả các đặc tính và tính
chất của mạng nơ ron một cách chính xác hơn [2, 17]. Do đó hệ phương trình
mạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà
khoa học. Nhiều kết quả hay và thú vị về hệ phương trình mạng nơ ron phân
thứ đã được công bố trong những năm gần đây (xem [17, 18, 25] và các tài
liệu tham khảo trong đó).
Trong các ứng dụng thực tế, ta luôn cần phải xem xét dáng điệu của véc
tơ trạng thái của hệ thống mô tả bởi hệ phương trình vi phân phân thứ trong
một thời gian hữu hạn, khi đó các giá trị lớn của véc tơ trạng thái là không thể
chấp nhận. M.P. Lazarevi´c cùng các cộng sự [10, 11] là những tác giả đầu tiên
nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian (FTS) cho hệ động lực mô tả bởi
các hệ phương trình vi phân phân thứ. Khác với bài toán ổn định theo nghĩa
Lyapunov, nghiên cứu dáng điệu của véc tơ trạng thái của hệ phương trình vi
phân phân thứ trên một khoảng thời gian vô hạn, khái niệm ổn định hữu hạn
thời gian nghiên cứu dáng điệu của véc tơ trạng thái trong một khoảng thời
gian hữu hạn. Cụ thể hơn một hệ phương trình vi phân phân thứ được gọi là
2
FTS nếu khi ta đưa ra một giới hạn cho điều kiện ban đầu, véc tơ trạng thái
của hệ không vượt ra khỏi ngưỡng đã giới hạn trong suốt khoảng thời gian đã
cho. Bài toán nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian cho một số lớp hệ
phương trình mạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu
của nhiều nhà khoa học trong những năm gần đây [4, 7, 21, 22, 23, 24].
Mặt khác, trong các bài toán kỹ thuật, ngoài việc tìm cách thiết kế một bộ
điều khiển làm cho hệ thống không những ổn định hữu hạn thời gian mà còn
đảm bảo một mức độ đầy đủ về hiệu suất (guarantees an adequate level of
performance). Bài toán này được gọi là bài toán đảm bảo chi phí điều khiển
trong thời gian hữu hạn của hệ động lực. Nội dung cơ bản của bài toán này
là ngoài việc thiết kế một bộ điều khiển để đảm bảo cho hệ thống điều khiển
là ổn định hữu hạn thời gian, ta còn phải dựa trên điều khiển đó tìm một cận
trên của hàm mục tiêu (hàm chi phí) tương ứng. Đối với hệ phương trình mạng
nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với bậc nguyên đã có một vài công
trình nghiên cứu về bài toán này (xem [9]). Bài toán đảm bảo chi phí điều
khiển cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ được nghiên cứu trong [18].
Luận văn tập trung nghiên cứu bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong
thời gian hữu hạn cho một số lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ. Luận
văn gồm có 3 chương gồm những nội dung chính như sau:
Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ
như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm
phân thứ Caputo. Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lí tồn tại và duy
nhất nghiệm. Cuối chương, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ. Nội dung
chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [8, 13, 14].
Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho
bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn cho hệ phương
trình mạng nơ ron phân thứ bất định. Nội dung chính của chương này được
tham khảo chủ yếu từ tài liệu [18].
Trong chương 3 của luận văn, chúng tôi nghiên cứu bài toán đảm bảo chi phí
điều khiển trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron chuyển
mạch phân thứ. Đây chính là đóng góp mới của luận văn.
Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự nỗ lực học hỏi của bản thân, em đã
3
nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ. Với tình cảm chân thành em xin
gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới TS. Mai Viết Thuận - người Thầy đã tận tình
hướng dẫn, chỉ bảo, truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho
em trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn.
Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo của trường Đại học Khoa học
- Đại học Thái Nguyên, những người đã trực tiếp tham gia giảng dạy lớp Cao
học Toán K11 khóa 2017 - 2019, các phòng ban chức năng, Khoa Toán - Tin,
trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện
cho em trong thời gian học tập vừa qua.
Thái Nguyên, ngày 01 tháng 3 năm 2019
Tác giả luận văn
NGUYỄN VĂN HIẾN
4
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức về giải tích phân thứ như tích phân
Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, đạo hàm phân thứ Riemann-
Liouville, mối liên hệ giữa hai loại đạo hàm Caputo và Riemann-Liouville.
Ngoài ra, chúng tôi cũng trình bày phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương
trình vi phân phân thứ. Các kiến thức được trình bày trong chương này được
1.1. Giải tích phân thứ
chúng tôi tham khảo trong [1, 13, 16].
1.1.1. Tích phân phân thứ
Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân
thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm
tích phân lặp thông thường.
Định nghĩa 1.1. Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann- Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi:
t0I α
t x(t) :=
t0
+∞ (cid:82)
(cid:90) t (t − s)α−1x(s)ds, t ∈ (a, b], 1 Γ(α)
0
trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) = tα−1e−t dt, α > 0.
:= I với I là toán Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0 chúng ta quy ước t0I α t
tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với
0 < α < 1 được cho bởi định lí sau:
t x cũng là một
5 Định lí 1.1. Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi đó, t x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa, t0I α tích phân t0I α hàm khả tích.
Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản.
Ví dụ 1.1. (i) Cho x(t) = (t − a)β, ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0,
chúng ta có:
t0I α
t x(t) =
(t − a)α+β, t > a. Γ(β + 1) Γ(α + β + 1)
+∞ (cid:88)
(ii) Cho x(t) = eλt, λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có:
t0I α
t x(t) = λ−α
j=0
, t > 0. (λt)α+j Γ(α + j + 1)
1.1.2. Đạo hàm phân thứ
Định nghĩa 1.2. Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được
t x(t) :=
t0I n−α t
t0
(cid:90) t (cid:2) (t − s)n−α−1x(s)ds, x(t)(cid:3) = dn dtn dn dtn
dtn là
cho bởi: 1 t0 Dα RL Γ(n − α) trong đó n = [α] + 1 là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dn
đạo hàm thông thường cấp n.
Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function):
1 nếu t ≥ 0; f (t) = 0 nếu t < 0.
Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville cấp α của hàm f (t) là:
0 Dα RL
t f (t) =
. t−α Γ(1 − α)
Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau:
6 Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm
tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa
các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau:
a
(cid:90) t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)).
Do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (cid:48)(t) = ϕ(t) hầu khắp nơi
trên [a, b].
Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n[a, b] như sau:
)}. AC n[a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1f )(t) ∈ AC[a, b] (D = d dt
Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n[a, b].
Mệnh đề 1.1. Không gian AC n[a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng như
n−1 (cid:88)
sau:
t ϕ(t) +
k=0
ck(t − t0)k, f (t) = t0I α
trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck(k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và
t0I α
t ϕ(t) =
t0
(cid:90) t (t − s)n−1ϕ(s)ds. 1 (n − 1)!
Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có:
(k = 0, 1, . . . , n − 1). ϕ(s) = f (n)(s), ck = f (k)(t0) k!
Định lí sau cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ
Riemann–Liouville.
t f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu diễn
t0 Dα dưới dạng sau:
Định lí 1.2. Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n[a, b], khi đó đạo hàm phân thứ RL
n−1 (cid:88)
RL
t f (t) =
t0 Dα
t0
k=0
(cid:90) t (t − t0)k−α + f (k)(t0) Γ(1 + k − α) 1 Γ(n − α) f (n)(s)ds (t − s)α−n+1 .
Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lí 1.2.
RL
t f (t) =
t0 Dα
t0
Hệ quả 1.1. Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì (cid:90) t [ 1 Γ(1 − α) f (cid:48)(s)ds (t − s)α ]. f (t0) (t − t0)α +
7
Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là
một toán tử tuyến tính.
Mệnh đề 1.2. Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ
RL
t [λf (t) + µg(t)] = λ RL
t f (t) + µ RL
t g(t),
t0 Dα
t0 Dα
t0 Dα
Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là:
trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n[a, b].
RL
t0 Dα
t [λf (t) + µg(t)] (cid:90) t
Chứng minh. Ta có:
t0 (cid:90) t
= (t − s)n−α−1[λf (s) + µg(s)]ds
t0
t0
(cid:90) t (t − s)n−α−1f (s)ds + (t − s)n−α−1g(s)ds = µ Γ(n − α) dn dtn
t g(t).
t0 Dα
= λ RL dn dtn dn dtn t f (t) + µ RL 1 Γ(n − α) λ Γ(n − α) t0 Dα
C
t x(t) := t0I n−α
t Dnx(t),
t0Dα
Định nghĩa 1.3. Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
trong đó n = [α] + 1 là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dn dtn
là đạo hàm thông thường cấp n.
Đối với một hàm vectơ x(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xd(t))T đạo hàm phân thứ
C
t x1(t),C
t x2(t), . . . ,C
t xd(t))T .
t x(t) := (C
t0Dα
t0 Dα
t0 Dα
t0Dα
Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:
Định lí sau cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đạo hàm phân thứ Caputo
cấp α.
t f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có: t x(t) biểu diễn dưới dạng sau:
t0Dα t0Dα
Định lí 1.3. Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n[a, b], khi đó đạo hàm phân thứ Caputo C (i) Nếu α (cid:54)∈ N thì C
C
t f (t) =
t0Dα
(cid:90) t
t0
1 Γ(n − α) f (n)(s)ds (t − s)α−n+1 .
8
Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có:
C
t f (t) =
t0Dα
(cid:90) t
t0
1 Γ(1 − α)
t0Dn
C
t f (t) = f (n)(t).
t0Dn
(ii) Nếu α = n ∈ N thì C f (cid:48)(s)ds (t − s)α . t f (t) biểu diễn dưới dạng sau:
C
t f (t) = f (t).
t0D0
Đặc biệt:
Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử
tuyến tính.
Mệnh đề 1.3. Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân thứ
C
t [λf (t) + µg(t)] = λ C
t f (t) + µ C
t g(t),
t0Dα
t0Dα
t0Dα
Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là:
trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n[a, b].
C
t (t0I α
t f (t)) = f (t).
t0Dα
Định lí 1.4. Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có:
Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch
đảo phải của tích phân phân thứ.
Điều này được chỉ rõ trong định lí dưới đây:
n−1 (cid:88)
Định lí 1.5. Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n[a, b] thì
t0I α
t (C
t f (t)) = f (t) −
t0Dα
k=0
(t − t0)k. f (k)(t0) k!
t0I α
t f (t)) = f (t) − f (t0).
t (C
t0Dα
Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và Caputo có quan hệ sau:
Định lí 1.6. Cho α > 0 và đặt n = [α] + 1. Với bất kì x ∈ AC n[a, b], chúng
n−1 (cid:88)
C
ta có:
t x(t) =RL
t (x(t) −
t0Dα
t0 Dα
j=0
x(j)(t0)), (t − t0)j j!
với hầu hết t ∈ [a, b].
9
1.2. Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình
vi phân phân thứ
Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và
luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Bây giờ cho trước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn) là không gian các hàm liên tục nhận giá trị vectơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn (cid:107).(cid:107)∞ được định nghĩa như sau:
(cid:107)x(t)(cid:107), (cid:107)x(cid:107)∞ := max t∈[0,T ]
trong đó (cid:107).(cid:107) là chuẩn Euclide trong không gian Rn.
Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm
địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ.
Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo
0 Dα C
t x(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0,
(1.1)
với điều kiện ban đầu
(1.2) x(0) = x0 ∈ Rn,
trong đó f : [0, T ] × Rn −→ Rn là một hàm liên tục trên [0, T ] × Rn.
Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T ] nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T ], Rn) thỏa mãn (1.1) và
(1.2).
Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự tương đương giữa nghiệm của
hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân.
Mệnh đề 1.4. Xét bài toán (1.1). Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn tùy ý, một hàm ϕ(., x0) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn
[0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân:
0
(cid:90) t (1.3) (t − s)α−1f (s, ϕ(s, x0)) ds, t ∈ [0, T ]. ϕ(t, x0) = x0 + 1 Γ(α)
Nhận xét 1.1. [1] Cho t là một thời điểm nào đó ở tương lai và t0 là thời
điểm hiện tại t > t0. Từ công thức (1.3), chúng ta thấy rằng để biết được
ϕ(t, x0) không chỉ cần biết giá trị của nghiệm trong khoảng [t0, t) (từ hiện tại
10
tới tương lai) mà còn cần phải biết thêm giá trị của nó tại hầu hết các thời
điểm trên đoạn [0, t0] (toàn bộ quá khứ). Đây chính là điểm khác biệt cơ bản
giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ.
Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương
trình vi phân phân thứ Caputo được đảm bảo bởi các định lí sau:
Định lí 1.7. (Định lí tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn và K > 0 tùy ý. Đặt
G = {(t, x) ∈ R+ × Rn : t ∈ [0, T ], (cid:107)x − x0(cid:107) ≤ K}.
Giả sử f (t, x) là một hàm liên tục trên G theo biến thứ nhất và thỏa mãn điều
kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho:
(cid:107)f (t, x) − f (t, y)(cid:107) ≤ L(cid:107)x − y(cid:107), ∀(t, x), (t, y) ∈ G.
(cid:107)f (t, x)(cid:107) và Đặt M = sup (t,x)∈G
T nếu M = 0; T ∗ = min{T, (KΓ(1 + α)/M )1/α}, trong trường hợp còn lại.
Khi đó, tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T ∗], Rn) là nghiệm của bài toán (1.1)
với điều kiện ban đầu thỏa mãn (1.2).
Định lí 1.8. (Định lí tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét bài toán (1.1), (1.2). Giả sử f : R+ × Rn −→ Rn thỏa mãn
(cid:107)f (t, x) − f (t, y)(cid:107) ≤ L(t)(cid:107)x − y(cid:107),
1.3. Công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ
Caputo
ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục. Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý x0 ∈ Rn, bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞).
Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler.
11
+∞ (cid:88)
Định nghĩa 1.4. Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi
k=0
, Eα(z) = zk Γ(αk + 1)
được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.
+∞ (cid:88)
k=0
k=0
Nhận xét 1.2. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có: +∞ (cid:88) = = ez. E1(z) = zk Γ(k + 1) zk k!
Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ.
+∞ (cid:88)
Định nghĩa 1.5. Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi
k=0
, Eα,β(z) = zk Γ(αk + β)
được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá
+∞ (cid:88)
trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là:
k=0
, ∀A ∈ Rn×n. Eα,β(A) = Ak Γ(αk + β)
Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được
trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của I. Podlubny [16].
Trong phần còn lại của mục này, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và luôn mặc
định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Xét hệ phương trình
vi phân phân thứ Caputo tuyến tính hệ số hằng không thuần nhất
t x(t) = Ax(t) + g(t), t ≥ 0;
C 0 Dα x(0) = x0 ∈ Rn,
(1.4)
trong đó x(t) ∈ Rn, g(t) ∈ Rn, A ∈ Rn×n là ma trận thực hằng số cho trước.
Ta dễ dàng thu được công thức tường minh của nghiệm bài toán (1.4) như sau:
0
(cid:90) t Φ(t − τ )g(τ ) dτ, ϕ(t, x0) = Φ0(t)x0 +
+∞ (cid:88)
trong đó:
+∞ (cid:88)
, Φ0(t) = Eα(Atα) = Aktαk Γ(kα + 1)
k=0 Akt(k+1)α−1 Γ([k + 1]α)
k=0
. Φ(t) =
12
Để kết thúc mục này, chúng tôi trình bày kết quả về công thức nghiệm của
hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có nhiễu phi tuyến thỏa mãn điều
kiện Lipschitz toàn cục. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo có
nhiễu phi tuyến
t x(t) = Ax(t) + f (x(t)), t ≥ 0;
0 Dα C x(0) = x0 ∈ Rn,
(1.5)
trong đó x(t) ∈ Rn, A ∈ Rn×n là một ma trận thực hằng số cho trước, f : Rn −→ Rn là một hàm liên tục Lipschitz thỏa mãn f (0) = 0.
Định lí 1.9. Xét bài toán (1.5). Giả sử f là hàm liên tục Lipschitz toàn cục trên Rn với hệ số Lipschitz L và f (0) = 0. Khi đó, với mọi x0 ∈ Rn, bài toán giá trị đầu (1.5) có nghiệm toàn cục duy nhất x(., x0). Hơn nữa, nghiệm này
thỏa mãn công thức biến thiên hằng số:
0
1.4. Một bổ đề bổ trợ
(cid:90) t x(t, x0) = Eα(tαA)x0 + (t − τ )α−1Eα,α((t − τ )αA)f (x(τ, x0)) dτ, ∀t ≥ 0.
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một bổ đề quan trọng được sử dụng để
chứng minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn.
Bổ đề 1.1. [8] Cho số thực α ∈ (0, 1], P ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương và x : R+ −→ Rn là một hàm vectơ liên tục và có đạo hàm. Khi
đó, ta có bất đẳng thức sau đúng
0 Dα C t
0 Dα
t x(t), ∀t ≥ 0.
(cid:2)xT (t)P x(t)(cid:3) ≤ 2xT (t)P C
Bổ đề 1.2. ([3]) Cho trước các hằng số X, Y, Z với số chiều hữu hạn thỏa mãn Y = Y T > 0, X = X T , khi đó X + Z T Y −1Z < 0 nếu và chỉ nếu (cid:34) (cid:35) X Z T < 0. Z −Y
Bổ đề 1.2 thường được gọi là Bổ đề Schur.
Bổ đề 1.3. (Bất đẳng thức Cauchy cho ma trận) [26] Cho S ∈ Rn×n là một ma trận đối xứng, xác định dương và x, y ∈ Rn. Khi đó ta có bất đẳng thức sau
±2yT x ≤ xT Sx + yT S−1y.
13
Chương 2
Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ bất định
Trong chương này, chúng tôi trình bày bài toán đảm bảo chi phí điều khiển
trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ bất định.
Chương này được viết dựa trên bài báo [18] trong danh mục tài liệu tham
t f (t), tích phân phân thứ t g(t).
2.1. Phát biểu bài toán và một số tiêu chuẩn
khảo. Để thuận tiện cho việc trình bày các nội dung của chương này, đạo hàm phân thứ Caputo của hàm f (.) được ký hiệu bởi Dα Riemann–Liouville của hàm g(.) được ký hiệu bởi I α
Xét mạng nơ ron phân thứ Caputo
t x(t) = −[A + (cid:52)A(t)]x(t) + [D + (cid:52)D(t)]f (x(t))
Dα
(2.1) +[W + (cid:52)W (t)]w(t) + [B + (cid:52)B(t)]u(t), t ≥ 0,
x(0) = x0 ∈ Rn,
trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái của mạng nơ ron, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển đầu vào, w(t) ∈ Rp là véc tơ nhiễu, A = diag{a1, a2, . . . , an} ∈ Rn×n là ma trận đường chéo chính, xác định dương; D, W, B là các ma trận
hằng số đã biết với số chiều thích hợp; (cid:52)A(t) = GaFa(t)Ha, (cid:52)D(t) = GdFd(t)Hd,
14
(cid:52)W (t) = GwFw(t)Hw, (cid:52)B(t) = GbFb(t)Hb, trong đó Ga, Gd, Gw, Gb, Ha, Hd,
w (t)Fw(t) ≤ I, F T
d (t)Fd(t) ≤ I, F T
Hw, Hb là các ma trận thực, hằng số, đã biết với số chiều thích hợp; Các ma
trận Fa(t), Fd(t), Fw(t), Fb(t) là các ma trận thực không biết nhưng thỏa mãn F T a (t)Fa(t) ≤ I, F T b (t)Fb(t) ≤ I, ∀t ≥ 0; f (x(t)) = [f1(x1(t)), . . . , fn(xn(t))]T ∈ Rn là các hàm kích hoạt của các nơ ron; x0 là điều kiện ban đầu.
Để nghiên cứu tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ (2.1), ta cần các giả
thiết sau:
H1. Các hàm kích hoạt fi(.) (i=1,. . . ,n) liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipschitz
với hằng số Lipschitz li > 0, fi(0) = 0 (i = 1, . . . , n), tức là
(cid:107)fi(ξ1) − fi(ξ2)(cid:107) ≤ li(cid:107)ξ1 − ξ2(cid:107),
với mọi ξ1, ξ2 ∈ R. Điều kiện trên tương đương với tồn tại một ma trận đường chéo chính, xác định dương L = diag{l1, . . . , ln} thỏa mãn
(cid:107)f (y) − f (x)(cid:107) ≤ (cid:107)L(y − x)(cid:107),
với mọi x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rm. H2. Nhiễu w(t) ∈ Rp thỏa mãn điều kiện:
∃d > 0 : (2.2) wT (t)w(t) ≤ d, ∀t ∈ [0, Tf ].
Cho trước một số dương Tf . Hàm chi phí bậc hai liên kết với mạng nơ ron
Tf(cid:90)
phân thứ (2.1) có dạng
0
J(u) = (2.3) (Tf − s)α−1(xT (s)Q1x(s) + uT (s)Q2u(s))ds, 1 Γ(α)
trong đó Q1 ∈ Rn×n, Q2 ∈ Rm×m là các ma trận đối xứng xác định dương cho trước.
Khi véc tơ điều khiển u(t) ≡ 0, hệ (2.1) trở thành
t x(t) = −[A + (cid:52)A(t)]x(t) + [D + (cid:52)D(t)]f (x(t))
Dα
(2.4) +[W + (cid:52)W (t)]w(t), t ≥ 0,
x(0) = x0 ∈ Rn,
15
Định nghĩa 2.1. ([10]) Cho trước các số dương c1, c2, Tf và một ma trận đối
xứng xác định dương R. Hệ (2.4) được gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn
tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d) nếu và chỉ nếu
0 Rx0 ≤ c1 ⇒ xT (t)Rx(t) ≤ c2, xT
t ∈ [0, Tf ],
với mọi nhiễu w(t) ∈ Rp thỏa mãn (2.2).
Định nghĩa 2.2. ([18]) Nếu tồn tại một điều khiển ngược u∗(t) = Kx(t) và một số dương J ∗ sao cho hệ phương trình vi phân phân thứ dưới đây
t x(t) = [−A + BK − (cid:52)A(t) + (cid:52)B(t)K]x(t)
Dα
+[D + (cid:52)D(t)]f (x(t)) (2.5) +[W + (cid:52)W (t)]w(t), t ≥ 0,
x(0) = x0 ∈ Rn,
ổn định trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d) và hàm chi phí (2.3) thỏa mãn J(u) ≤ J ∗ thì giá trị J ∗ gọi là giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ, u∗(t) gọi là luật điều khiển đảm bảo chi phí điều khiển.
Định lí 2.1. [18] Giả sử các điều kiện H1 và H2 thỏa mãn. Cho trước các số
dương c1, c2, Tf và ma trận đối xứng xác định dương R. Nếu tồn tại ma trận
đối xứng xác định dương P và ma trận Y , các số dương (cid:15)1, (cid:15)2 thỏa mãn điều
kiện sau
a Y T H T
b P LT P Q1 Y T Q2 D 0 0
∗ 0 0 0 M11 P H T −(cid:15)1I
∗ 0 0 0 0 ∗ −(cid:15)2I
< 0, (2.6a) ∗ 0 0 −I 0 ∗ ∗
∗ 0 0 ∗ ∗ ∗ −Q1
∗ 0 ∗ ∗ ∗ ∗ −Q2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ M77
(2.6b) λ2c1 + T α f < λ1c2, d(1 + λ3) Γ(α + 1)
trong đó
M11 = −AP − P AT + BY + Y T BT + (cid:15)1GaGT a
16
b + GdGT
d + W W T + GwGT w,
d Hd,
2 , λ1 = λmin(P ), λ2 = λmax(P ),
+ (cid:15)2GbGT M77 = −I + H T 2 P −1R− 1 P = R− 1
w Hw), L = diag{l1, . . . , ln}.
λ3 = λmax(H T
Khi đó, hệ (2.5) ổn định trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d).
Hơn nữa,
u(t) = Y P −1x(t), ∀t ≥ 0,
là luật điểu khiển đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (2.1) với giá trị đảm bảo
chi phí điều khiển là
J ∗ = T α f + λ2c1. d(1 + λ3) Γ(α + 1)
Chứng minh. Xét hàm toàn phương không âm cho mạng nơ ron (2.5)
V (x(t)) = xT (t)P −1x(t).
Từ Bổ đề 1.1, ta tính được đạo hàm Caputo của V (x(t)) theo t của hệ (2.5)
như sau
t V (x(t)) ≤ 2xT (t)P −1 Dα
t x(t)
Dα
(cid:21) (cid:20) = xT (t) − P −1A − AT P −1 + P −1BK + K T BT P −1 x(t)
(2.7)
− 2xT (t)P −1GaFa(t)Hax(t) + 2xT (t)P −1Df (x(t)) + 2xT (t)P −1GdFd(t)Hdf (x(t)) + 2xT (t)P −1W ω(t) + 2xT (t)P −1GwFw(t)Hwω(t) + 2xT (t)P −1GbFb(t)HbKx(t).
17
a P −1x(t) + (cid:15)−1
a Hax(t);
1 xT (t)H T
d P −1x(t) + f T (x(t))H T
d Hdf (x(t));
Bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có các đánh giá sau đây
− 2xT (t)P −1GaFa(t)Hax(t) ≤ (cid:15)1xT (t)P −1GaGT 2xT (t)P −1GdFd(t)Hdf (x(t)) ≤ xT (t)P −1GdGT 2xT (t)P −1W ω(t)
w Hwω(t)
wP −1x(t) + ωT (t)H T wP −1x(t) + λ3ωT (t)ω(t);
(2.8) ≤ xT (t)P −1W W T P −1x(t) + ωT (t)ω(t);
b P −1x(t) + (cid:15)−1
b HbKx(t).
2 xT (t)K T H T
2xT (t)P −1GwFw(t)Hwω(t) ≤ xT (t)P −1GwGT ≤ xT (t)P −1GwGT 2xT (t)P −1GbFb(t)HbKx(t) ≤ (cid:15)2xT (t)P −1GbGT
Mặt khác, từ điều kiện H1 ta có
(2.9) 0 ≤ −f T (x(t))f (x(t)) + xT (t)LT Lx(t).
Từ (2.7)–(2.9), ta thu được
t V (x(t)) ≤ ηT (t)Ωη(t) + (1 + λ3)ωT (t)ω(t)
Dα (2.10) − xT (t)[Q1 + K T Q2K]x(t),
trong đó
(cid:105)T (cid:104) , η(t) =
d P −1
(cid:34) xT (t) f T (x(t)) (cid:35) Ω11 Ω = , P −1D DT P −1 Ω22
1 H T
wP −1
b HbK
Ω11 = −P −1A − AT P −1 + P −1BK + K T BT P −1 a Ha + P −1GdGT a P −1 + (cid:15)−1
+ (cid:15)1P −1GaGT + P −1W W T P −1 + P −1GwGT 2 K T H T + (cid:15)2P −1GbGT b P −1 + (cid:15)−1 + LT L + Q1 + K T Q2K,
d Hd − I.
Ω22 = H T
18
Bây giờ, nhân cả hai vế bên trái và bên phải Ω với P = diag{P, I} và đặt K = Y P −1, ta có
(cid:34) (cid:35)
Φ = PΩP = , Ξ11 D DT Ξ22
trong đó
d + W W T + GwGT w
b HbY
+ (cid:15)−1
1 P H T + (cid:15)2GbGT + P LT LP + P Q1P + Y T Q2Y.
Ξ11 = −AP − P AT + BY + Y T BT + (cid:15)1GaGT a a HaP + GdGT b + (cid:15)−1 2 Y T H T
Chú ý rằng Ω < 0 tương đương với Φ < 0. Áp dụng Bổ đề Schur, ta có Φ < 0 tương đương với (2.6a). Do đó, từ các điều kiện (2.6a), (2.10) và xT (t)[Q1 + K T Q2K]x(t) > 0, ta có
t V (x(t)) ≤ (1 + λ3)ωT (t)ω(t),
Dα (2.11) ∀t ∈ [0, Tf ].
Tích phân cấp α cả hai vế của (2.11) từ 0 đến t(0 < t < Tf ) và sử dụng Định
lý 1.5, ta thu được
xT (t)P −1x(t)
≤ xT (0)P −1x(0) + I α
0
(cid:90) t (t − s)α−1ωT (s)ω(s)ds = xT (0)P −1x(0) + (2.12) (cid:90) t (t − s)α−1ds ≤ xT (0)P −1x(0) +
t ((1 + λ3)ωT (t)ω(t)) 1 + λ3 Γ(α) 0 d(1 + λ3) Γ(α) d(1 + λ3) Γ(α + 1)
≤ xT (0)P −1x(0) + T α f .
1
1
2 x(t)
Mặt khác, ta có
2 P R
xT (t)P −1x(t) =xT (t)R
(2.13)
≥λmin(P )xT (t)Rx(t) =λ1xT (t)Rx(t),
và
1 2 P R
1 2 x(0)
xT (0)P −1x(0) = xT (0)R (2.14)
19
≤ λmax(P )xT (0)Rx(0) = λ2xT (0)Rx(0) ≤ λ2c1.
Từ (2.12)–(2.14), ta nhận được
λ1xT (t)Rx(t) ≤V (x(t)) = xT (t)P −1x(t)
≤λ2c1 + T α f . d(1 + λ3) Γ(α + 1)
Điều kiện (2.6b) suy ra xT (t)Rx(t) < c2. Vậy, hệ (2.5) ổn định trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d). Tiếp theo, chúng tôi sẽ tìm giá trị
chi phí đảm bảo điều khiển cho hàm chi phí (2.3). Từ các điều kiện (2.6a) và
(2.10), ta có
t V (x(t)) ≤ (1 + λ3)ωT (t)ω(t) − xT (t)[Q1 + K T Q2K]x(t), ∀t ∈ [0, Tf ]. (2.15)
Dα
Tích phân cấp α cả hai vế của (2.15) từ 0 đến Tf và sử dụng Định lý 1.5, ta
thu được
(2.16) ((1 + λ3)ωT (t)ω(t)) − J(u). V (x(Tf )) − V (x(0)) ≤ I α Tf
Suy ra
((1 + λ3)ωT (t)ω(t)) + V (x(0))
f + λ2c1 := J ∗ T α
(2.17) ≤ J(u) ≤ I α Tf d(1 + λ3) Γ(α + 1)
do V (x(Tf )) = xT (Tf )P −1x(Tf ) ≥ 0. Định lý được chứng minh.
(cid:50)
Nhận xét 2.1. Chú ý rằng, trong Định lý 2.1, bất đẳng thức ma trận (2.6a)
là tuyến tính với các ẩn (cid:15)1 > 0, (cid:15)2 > 0, P > 0 và ma trận Y . Vì vậy các điều
kiện này có thể giải trong thời gian đa thức bằng cách sử dụng MATLAB’s
LMI Control Toolbox trong MATLAB.
Nhận xét 2.2. Từ Định lý 4.1 và Nhận xét 2.1, chúng ta các bước sau đây
để giải bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn của mạng
nơ ron phân thứ như sau:
Bước 1. Giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.6a) thu được ma trận
đối xứng xác định dương P, và ma trận Y và hai số dương (cid:15)1, (cid:15)2 .
20
2 P −1R− 1
2 và các
Bước 2. Tính ma trận nghịch đảo P −1, ma trận P = R− 1
w Hw).
số λ1 = λmin(P ), λ2 = λmax(P ), λ3 = λmax(H T
Bước 3. Kiểm tra điều kiện (2.6b) trong Định lý 4.1. Nếu đúng, tiếp tục
Bước 4; nếu sai thì quay lại Bước 1.
Bước 4. Điều khiển đảm bảo chi phí cho hệ (2.1) được cho bởi u(t) =
Y P −1x(t).
Nhận xét 2.3. So với các kết quả được nghiên cứu trong [23, 24, 21] về bài
toán nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian dựa trên cách tiếp cận sử dụng
tính toán chuẩn của ma trận, Định lý 2.1 có ưu điểm là các điều kiện được đưa
ra dưới dạng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Các điều kiện kiểu này
có thể giải số một cách hiệu quả bằng cách sử dụng phương pháp điểm trong
(xem [3, 20]).
Tiếp theo, chúng tôi xét một trường hợp riêng của hệ (2.1). Khi ∆A(t) =
0, ∆D(t) = 0, ∆W (t) = 0, ∆B(t) = 0, hệ (2.1) trở thành
t x(t) = −Ax(t) + Df (x(t)) + W ω(t) + Bu(t),
Dα t ≥ 0, (2.18)
x(t0) = x0 ∈ Rn.
Hệ quả dưới đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 2.1.
Hệ quả 2.1. Giả sử các điều kiện H1 và H2 được thỏa mãn. Cho trước các số
dương c1, c2, Tf và một ma trận đối xứng, xác định dương R. Nếu tồn tại một
ma trận đối xứng, xác định dương P , một ma trận Y có số chiều thích hợp
thỏa mãn các điều kiện dưới đây
N11 P LT P Q1 Y T Q2 D 0 0 ∗ −I 0
< 0, (2.19a) ∗ 0 0 ∗ −Q1
∗ ∗ ∗ 0 −Q2 ∗ ∗ ∗ ∗ −I
(2.19b) λ2c1 + T α f < λ1c2, d Γ(α + 1)
ở đó
M11 = −AP − P AT + BY + Y T BT + W W T ,
21
2 P −1R− 1
2 , λ1 = λmin(P ), λ2 = λmax(P ),
P = R− 1
L = diag{l1, . . . , ln}.
Khi đó hệ đóng tương ứng ổn định trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ
(c1, c2, Tf , R, d). Ngoài ra,
u(t) = Y P −1x(t), t ≥ 0,
là điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (2.18) và giá trị đảm
bảo chi phí của hệ xác định bởi
2.2. Ví dụ minh họa
J ∗ = T α f + λ2c1. d Γ(α + 1)
Trong mục này, chúng tôi trình hai ví dụ số để minh họa cho kết quả lý
thuyết trong mục trước.
√ Ví dụ 2.1. Xét hệ (2.1), với n = 2, α = 0.95, x(t) = (x1(t), x2(t))T ∈ 0.1 cos t, f (x(t)) = (tanh(x1(t)), tanh(x2(t)))T ∈ R2, R2, u(t) ∈ R, ω(t) =
A = diag{3, 4} và
(cid:34) (cid:35) 0 (cid:104) (cid:105) 0.5 0.6 , Ha = , Fa(t) = sin t, Ga = 1
(cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) 0.3 −0.5 0.2 (cid:104) D = , (cid:105) 0.1 0.3 , Gd = , Hd = 0.4 0.7 0.3
(cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) 0.4 0.2 , (cid:105) (cid:104) 1 , Hw = , Gw = Fd(t) = cos t, W = 0.6
(cid:34) (cid:34) 0.3 (cid:35) 5 (cid:35) 1 , Fw(t) = cos t, B = , Gb = 3 0
(cid:104) (cid:105) 1 Hb = , Fb(t) = sin t.
Ta thấy hàm kích hoạt thỏa mãn điều kiện H1 với L = diag{1, 1}, véc tơ nhiễu
ω(t) thỏa mãn điều kiện H2 với d = 0.1. Hàm chi phí điều khiển liên kết với
22
hệ có dạng (2.3) với
(cid:34) (cid:35) 0.5 0 (cid:104) . (cid:105) 0.2 Q1 = , Q2 = 0 0.6
Cho trước c1 = 1, c2 = 2, Tf = 1, R = I, ta thấy các điều kiện (2.6a) và (2.6b)
trong Định lý 2.1 được thỏa mãn với (cid:15)1 = 1.2473, (cid:15)2 = 1.2503, và
(cid:34) (cid:35) 0.3364 −0.0366 P = , −0.0366 0.3190
(cid:104) Y = . (cid:105) −0.0717 −0.0790
Theo Định lý 2.1, hệ đóng tương ứng là ổn định trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (1, 2, 1, I, 0.1) với giá trị đảm bảo chi phí điều khiển là J ∗ = 0.5694.
Ngoài ra, điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ xác định bởi
(cid:104) u(t) = x(t), t ∈ [0, 1]. (cid:105) −0.2430 −0.2755
Ví dụ 2.2. Xét mạng nơ ron phân thứ sau đây
t x(t) = −Ax(t) + Df (x(t)) + W ω(t) + Bu(t),
D0.98 t ≥ 0, (2.20)
x(0) = x0 ∈ R3,
ở đó
2 −1.2 0
, A = diag{5, 4, 9}, D = 1.8 1.71 1.15 −4.75 0 1.1
W = , B = ,
2 1 2 3 2 5
x(t) = (x1(t), x2(t), x3(t))T ∈ R3, u(t) ∈ R, ω(t) = cos t ∈ R. Ta thấy, véc tơ nhiễu ω(t) thỏa mãn điều kiện H2 với d = 1. Hàm kích hoạt f (x(t)) = (tanh(x1(t)), tanh(x2(t)), tanh(x3(t)))T ∈ R3. Rõ ràng, hàm kích hoạt f (.) thỏa mãn điều kiện H1 với L = diag{1, 1, 1}. Tác động điều kiển ngược u(t) = Kx(t)
23
vào hệ (2.20), ta thu được hệ đóng sau
t x(t) = (−A + BK)x(t) + Df (x(t))
D0.98
(2.21) +W ω(t), t ≥ 0,
x(0) = x0 ∈ R3.
Hàm chi phí điều khiển liên kết với hệ (2.20) có dạng (2.3) với
0.5 0 0 (cid:104) . (cid:105) 0.2 0 0.2 0 , Q2 = Q1 = 0 0 0.1
Cho trước c1 = 1, c2 = 2.9, Tf = 1, R = I, ta thấy các điều kiện (2.19a) và
(2.19b) trong Hệ quả 2.1 được thỏa mãn với
4.4778 0.2517 0.5986
P = , 0.2517 4.3515 0.2527 0.5986 0.2527 10.5415
(cid:104) Y = . (cid:105) −6.9910 −4.5758 −8.2268
Theo Hệ quả 2.1, hệ đóng (2.21) ổn định trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (1, 2.9, 1, I, 1) với giá trị đảm bảo chi phí điều khiển J ∗ = 11.6206. Ngoài
ra, luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ xác định bởi
(cid:104) u(t) = x(t), t ∈ [0, 1]. (cid:105) −1.4184 −0.9301 −0.6776
24
Chương 3
Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ
Chương này nghiên cứu bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian
hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ. Đây chính
là kết quả nghiên cứu của chúng tôi. Để thuận tiện cho việc trình bày các nội
t f (t), tích phân phân thứ Riemann–Liouville của hàm g(.) được ký hiệu t g(t).
3.1. Phát biểu bài toán và một số tiêu chuẩn
dung của chương này, đạo hàm phân thứ Caputo của hàm f (.) được ký hiệu bởi Dα bởi I α
Xét hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ
t x(t) = −[Aσ + ∆Aσ(t)]x(t) + [Dσ + ∆Dσ(t)]f (x(t))
Dα
(Σσ) t ≥ 0 +[Wσ + ∆Wσ(t)]ω(t) + [Bσ + ∆Bσ(t)]u(t),
x(0) = x0 ∈ Rn,
(3.1) ở đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véc tơ điều khiển, ω(t) ∈ Rp là véc tơ nhiễu; σ(.) : Rn −→ N := {1, 2, . . . , N } là luật chuyển
mạch giữa các hệ con của hệ chuyển mạch 3.1. Hàm σ(.) phụ thuộc vào véc tơ
trạng thái tại mỗi thời điểm, tức là nếu σ(x(t)) = i, i = 1, 2, . . . , N thì hệ con
25
thứ i được chọn; ma trận Ai là ma trận đường chéo chính, xác định dương,
các ma trận Di, Wi, Bi(i = 1, 2, . . . , N ) là các ma trận thực, hằng số cho trước
có số chiều thích hợp sao cho các phép toán đại số về ma trận thực hiện được; f (x(t)) = [f1(x1(t)) . . . , fn(xn(t))]T ∈ Rn là hàm kích hoạt của mạng nơ ron; x0 là điều kiện ban đầu.
Cho trước một số dương Tf . Hàm chi phí bậc hai liên kết với mạng nơ ron
Tf(cid:90)
phân thứ (3.1) có dạng
0
J(u) = (3.2) (Tf − s)α−1(xT (s)Q1x(s) + uT (s)Q2u(s))ds, 1 Γ(α)
trong đó Q1 ∈ Rn×n, Q2 ∈ Rm×m là các ma trận đối xứng xác định dương cho trước. Để nghiên cứu bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu
hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ (3.1), ta cần các
giả thiết sau:
(A1). Các ma trận ∆Ai(t), ∆Di(t), ∆Wi(t), ∆Bi(t) thỏa mãn điều kiện dưới
đây
∆Ai(t) = EaiFai(t)Hai, ∆Di(t) = EdiFdi(t)Hdi, i = 1, . . . , N,
∆Wi(t) = EwiFwi(t)Hwi, ∆Bi(t) = EbiFbi(t)Hbi, i = 1, . . . , N,
ở đó Eai, Hai, Edi, Hdi, Ewi, Hwi, Ebi, Hbi(i = 1, 2, . . . , N ), là các ma trận thực,
hằng số cho trước; Fai(t), Fdi(t), Fwi(t), Fbi(t) là các ma trận thực, không biết
ai(t)Fai(t) ≤ I, F T F T
di(t)Fdi(t) ≤ I, F T
wi(t)Fwi(t) ≤ I, F T
bi (t)Fbi(t) ≤ I, ∀t ≥ 0.
nhưng thỏa mãn điều kiện dưới đây
(A2). Hàm kích hoạt fj(.)(j = 1, . . . , n) thỏa mãn điều kiện Lipschitz với hàng
số Lipschitz lj > 0, fj(0) = 0 (j = 1, . . . , n) :
(3.3) |fj(ξ1) − fj(ξ2)| ≤ lj|ξ1 − ξ2|, j = 1, . . . , n, ∀ξ1, ξ2 ∈ R.
(A3). Véc tơ nhiễu ω(t) ∈ Rp thỏa mãn điều kiện dưới đây
(3.4) ∃d > 0 : ωT (t)ω(t) ≤ d, ∀t ∈ [0, Tf ].
26
Bây giờ, ta sẽ thiết kế một điều khiển ngược u(t) = Kσx(t) sao cho hệ đóng
t x(t) = [−Aσ + BσKσ − ∆Aσ(t) + ∆Bσ(t)Kσ]x(t)
sau Dα
(3.5) t ≥ 0 +[Dσ + ∆Dσ(t)]f (x(t)) + Wσ + ∆Wσ(t)]ω(t),
x(0) = x0 ∈ Rn,
ổn định trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d) và hàm chi phí toàn phương (3.2) thỏa mãn J(u) ≤ J ∗ với J ∗ là một số dương nào đó mà
ta sẽ xác định sau.
Để chứng minh các kết quả tiếp theo, chúng tôi trình bày định nghĩa hệ ma
trận đầy đủ chặt và một điều kiện đủ để một hệ ma trận là đầy đủ chặt.
Định nghĩa 3.1. ([19]) Hệ ma trận {Li} được gọi là đầy đủ chặt nếu với mọi x ∈ Rn, x (cid:54)= 0 tồn tại một chỉ số i ∈ N := {1, 2, . . . , N } sao cho xT Lix < 0.
N (cid:91)
Nhận xét 3.1. ([19]) Đặt Si = {x ∈ Rn : xT Lix < 0}. Khi đó hệ ma trận {Li} đầy đủ chặt khi và chỉ khi
i=1
Si = Rn\{0}.
N (cid:80) i=1
N (cid:88)
Bổ đề 3.1. ([19]) Nếu tồn tại các số 0 < βi < 1, βi = 1 sao cho
i=1
βiLi < 0
thì hệ ma trận {Li} đầy đủ chặt.
Để thuận tiện cho việc trình bày kết quả chính của mục này, với i =
2 P −1R− 1
2 , ν1 = λmin( ˆP ), ν2 = λmax( ˆP ),
1, 2, . . . , N, ta ký hiệu
wiHwi), γi = 1 + λmax(H T
diHdi)
L = diag{l1, . . . , ln}, ˆP = R− 1 λmax(H T
i + BiYi + Y T
i BT i
ai + (cid:15)−1
aiHaiP + EbiET bi
i P H T
Li(P ) = (cid:2)−AiP − P AT (cid:3) + (cid:15)iEaiET
i + EdiET
di + γiP LLP
i H T + WiW T
biHbiYi + DiDT i + EwiET wi,
θ = max 1≤i≤N 1 2 + Y T
27 (cid:3) ,
i + BiYi + Y T
i BT i
(cid:2)−AiP − P AT Ξi = 1 2
Si = {x ∈ Rn : xT Li(P )x < 0},
j=1Λj
(cid:16) (cid:16) (cid:17)(cid:17) ∪p−1 , . . . , Λp ∩
k=1 Λk
(cid:1) , . . . , Λp = Λp\ (cid:1)(cid:1) . Λi = {P x : x ∈ Si}, Λ1 = Λ1, Λ2 = Λ2\ (cid:0)Λ2 ∩ Λ1 ΛN = ΛN \ (cid:0)ΛN ∩ (cid:0)∪N −1
Định lí 3.1. Giả sử rằng các điều kiện (A1), (A2) và (A3) thỏa mãn. Cho
trước các số dương c1, c2, Tf và ma trận đối xứng xác định dương R. Giả sử tồn
tại một ma trận đối xứng, xác định dương P , các ma trận Yi(i = 1, 2, . . . , N ),
các số dương (cid:15)i(i = 1, 2, . . . , N ) sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa mãn:
(i) Hệ ma trận Li(P ) đầy đủ chặt;
< 0 (i = 1, . . . , N ). (ii) Ξi P Q1 Y T i Q2 0 ∗ −Q1
f < ν1c2.
(iii) ∗ ∗ ν2c1 + d(1+θ) −Q2 Γ(α+1)T α
Khi đó hệ (3.5) ổn định trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d)
với luật chuyển mạch xác định bởi σ(x(t)) = i ∈ N khi mà x(t) ∈ Λi. Hơn
nữa,
∀t ≥ 0, u(t) = YσP −1x(t),
là luật điểu khiển đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (3.1) với giá trị đảm bảo
chi phí điều khiển là
J ∗ = T α f + ν2c1. d(1 + θ) Γ(α + 1)
N (cid:83) i=1
và Chứng minh. Vì hệ ma trận {Li(P )} đầy đủ chặt nên ta có Si ∩Sj = ∅ (i (cid:54)= j) Si = Rn\{0}. Dựa trên các tập Si, ta xây dựng các tập Λi như ở bên
N (cid:91)
trên. Ta sẽ chỉ ra rằng
i=1
(3.6) Λi ∩ Λj = ∅ (i (cid:54)= j), Λi = Rn\{0}.
N (cid:83) i=1
Rõ ràng, Λi ∩ Λj = ∅ (i (cid:54)= j). Với bất kỳ x ∈ Rn\{0}, tồn tại một chỉ số i ∈ N Λi = Rn\{0}. sao cho y = P −1x ∈ Si. Suy ra x = P P −1x = P y ∈ Λi. Suy ra
28
N (cid:91)
Từ cách xây dựng các tập Λi, ta thu được
i=1
(3.7) Λi ∩ Λj = ∅ (i (cid:54)= j), Λi = Rn\{0}.
Luật chuyển mạch được chọn như sau σ(x(t)) = i ∈ N khi mà x(t) ∈ Λi. Do
đó khi x(t) ∈ Λi, hệ con thứ i được kích hoạt và ta có hệ con thứ i sau
t x(t) = −[Ai + ∆Ai(t)]x(t) + [Di + ∆Di(t)]f (x(t))
Dα
(3.8) (Σi) t ≥ 0 +[Wi + ∆Wi(t)]ω(t) + [Bi + ∆Bi(t)]u(t),
x(0) = x0 ∈ Rn.
Đặt Ki = YiP −1. Xét hàm toàn phương
V (x(t)) = xT (t)P −1x(t).
Áp dụng Bổ đề 1.1, ta tính được đạo hàm Caputo của V (x(t)) theo t của hệ
i BT
i P −1(cid:3) x(t)
i P −1 + P −1BiKi + K T − 2xT (t)P −1EaiFai(t)Haix(t) + 2xT (t)P −1EbiFbi(t)HbiKix(t) + 2xT (t)P −1Dif (x(t)) + 2xT (t)P −1EdiFdi(t)Hdif (x(t)) + 2xT (t)P −1Wiω(t) + 2xT (t)P −1EwiFwi(t)Hwiω(t).
Dα con Σi bất kỳ của hệ (3.5) như sau: t V (x(t)) ≤ xT (t) (cid:2)−P −1Ai − AT
(3.9)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ma trận, ta thu được các đánh giá sau
aiP −1x(t) + (cid:15)−1
aiHaix(t),
i xT (t)H T
(3.10) − 2xT (t)P −1EaiFai(t)Haix(t) ≤ (cid:15)ixT (t)P −1EaiET
biP −1x(t) + xT (t)K T
i H T
biHbiKix(t),
(3.11) 2xT (t)P −1EbiFbi(t)HbiKix(t) ≤ xT (t)P −1EbiET
i P −1x(t) + ωT (t)ω(t),
(3.12) 2xT (t)P −1Wiω(t) ≤ xT (t)P −1WiW T
(3.13)
wiP −1x(t) + ωT (t)H T wiP −1x(t) + λmax(H T
wiHwiω(t) wiHwi)ωT (t)ω(t).
2xT (t)P −1EwiFwi(t)Hwiω(t) ≤ xT (t)P −1EwiET ≤ xT (t)P −1EwiET
29
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ma trận và điều kiện (A2), ta thu được
các đánh giá sau
(3.14)
i P −1x(t) + f T (x(t))f (x(t)) i P −1x(t) + xT (t)LLx(t),
diHdif (x(t))
2xT (t)P −1Dif (x(t)) ≤ xT (t)P −1DiDT ≤ xT (t)P −1DiDT
(3.15)
diP −1x(t) + f T (x(t))H T diP −1x(t) + λmax(H T diP −1x(t) + λmax(H T
diHdi)f T (x(t))f (x(t)) diHdi)xT (t)LLx(t).
2xT (t)P −1EdiFdi(t)Hdif (x(t)) ≤ xT (t)P −1EdiET ≤ xT (t)P −1EdiET ≤ xT (t)P −1EdiET
Từ (3.9)–(3.15), ta thu được đánh giá sau đây
t V (x(t)) ≤ ηT (t)Li(P )η(t) + (1 + θ)ωT (t)ω(t), ∀t ∈ [0, Tf ],
(3.16) Dα
ở đó η(t) = P −1x(t). Chú ý rằng x(t) ∈ Λi nên η(t) = P −1x(t) ∈ Si và ηT (t)Li(P )η(t) < 0. Từ lập luận này và (3.16), ta có
t V (x(t)) ≤ (1 + θ)ωT (t)ω(t), ∀t ∈ [0, Tf ].
(3.17) Dα
Tích phân cấp α cả hai vế của (3.17) từ 0 đến t(0 < t < Tf ) và sử dụng Định
lý 1.5, ta thu được
xT (t)P −1x(t)
≤ xT (0)P −1x(0) + I α
0
(cid:90) t = xT (0)P −1x(0) + (t − s)α−1ωT (s)ω(s)ds (3.18) (cid:90) t (t − s)α−1ds ≤ xT (0)P −1x(0) +
t ((1 + θ)ωT (t)ω(t)) 1 + θ Γ(α) 0 d(1 + θ) Γ(α) d(1 + θ) Γ(α + 1)
≤ xT (0)P −1x(0) + T α f .
1
1
Mặt khác, ta có
2 x(t)
xT (t)P −1x(t) =xT (t)R
2 ˆP R ≥λmin( ˆP )xT (t)Rx(t) =ν1xT (t)Rx(t),
(3.19)
30
1
1
và
2 ˆP R
2 x(0)
xT (0)P −1x(0) = xT (0)R (3.20)
≤ λmax( ˆP )xT (0)Rx(0) = ν2xT (0)Rx(0) ≤ ν2c1.
Từ (3.18)–(3.20), ta nhận được
ν1xT (t)Rx(t) ≤V (x(t)) = xT (t)P −1x(t)
≤ν2c1 + T α f . d(1 + θ) Γ(α + 1)
Điều kiện (iii) suy ra xT (t)Rx(t) < c2. Vậy, hệ (3.5) ổn định trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d). Tiếp theo, chúng tôi sẽ tìm giá trị
chi phí đảm bảo điều khiển cho hàm chi phí toàn phương (3.2). Từ điều kiện
(3.17), ta có
t V (x(t)) ≤ ηT (t)Ωiη(t)+(1+θ)ωT (t)ω(t)−xT (t)[Q1 +K T Q2K]x(t), (3.21)
Dα
ở đó
i + BiYi + Y T
i BT i
i Q2Yi.
Ωi = (cid:2)−AiP − P AT (cid:3) + P Q1P + Y T 1 2
Bằng cách sử dụng Bổ đề Schur, ta có Ωi < 0 tương đương với điều kiện (ii).
Do đó, từ (ii) và (3.21), ta suy ra
t V (x(t)) ≤ (1 + θ)ωT (t)ω(t) − xT (t)[Q1 + K T Q2K]x(t),
Dα (3.22)
Tích phân cấp α cả hai vế của (3.22) từ 0 đến Tf và sử dụng Định lý 1.5, ta
thu được
((1 + θ)ωT (t)ω(t)) − J(u). (3.23) V (x(Tf )) − V (x(0)) ≤ I α Tf
Suy ra
((1 + θ)ωT (t)ω(t)) + V (x(0))
f + ν2c1 := J ∗ T α
(3.24) ≤ J(u) ≤ I α Tf d(1 + θ) Γ(α + 1)
do V (x(Tf )) = xT (Tf )P −1x(Tf ) ≥ 0. Định lý được chứng minh.
(cid:50)
31
Nhận xét 3.2. Từ Bổ đề 3.1, ta thấy điều kiện (i) trong Định lý 3.1 được
N (cid:80) i=1
thỏa mãn nếu tồn tại các số τi(i = 1, . . . , N ) thỏa mãn 0 < τi < 1, τi = 1
N (cid:88)
sao cho
i=1
(3.25) M = τiLi(P ) < 0.
Bằng cách sử dụng Bổ đề Schur, ta nhận thấy rằng điều kiện M < 0 tương
đương với điều kiện dưới đây
(cid:35) (cid:34)
< 0, (3.26) Ψ11 Ψ12 ΨT 12 −Ψ22
N (cid:88)
ở đó
i + BiYi + Y T
i BT
i ) + (cid:15)iEaiET
ai + EbiET bi
i=1
τi Ψ11 = (−AiP − P AT (cid:18)1 2
i + EdiET
di + WiW T
i + EwiET wi
(cid:19)
aN τ1Y T
N H T
1 H T b1
+ DiDT (cid:104) , Ψ12 = . . . τN P H T . . . τN Y T τ1P H T a1 (cid:105) bN τ1γ1P L . . . τN γN P L
Ψ22 = diag{τ1(cid:15)1I, . . . , τN (cid:15)N I, τ1I, . . . , τN I, τ1γ1I, . . . , τN γN I}.
Chú ý rằng bất đẳng thức ma trận (3.26) có thể đưa về bất đẳng thức ma
trận tuyến tính khi ta cố định N hằng số dương τ1, . . . , τN . Vì vậy điều kiện
(i) trong Định lý 3.1 có thể giải số được bằng bất đẳng thức ma trận tuyến
tính.
Nhận xét 3.3. Từ Định lý 3.1 và Nhận xét 3.2, ta có các bước sau để giải bài
toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình
mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ (3.1).
Bước 1. Giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính (3.26), bất đẳng thức ma
trận tuyến tính trong điều kiện (ii), điều kiện (iii) trong Định lý 3.1 để tìm ma
trận đối xứng, xác định dương P , các ma trận Yi(i = 1, . . . , N ), các số dương
(cid:15)i(i = 1, . . . , N );
Bước 2. Xây dựng các tập Λi(i = 1, . . . , N );
Bước 3. Chọn quy tắc chuyển mạch giữa các hệ con như sau σ(x(t)) = i ∈ N ,
khi mà x(t) ∈ Λi;
32 Bước 4. u(t) = YσP −1x(t) là luật điểu khiển đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (3.1) với giá trị đảm bảo chi phí điều khiển là
3.2. Ví dụ minh họa
J ∗ = T α f + ν2c1. d(1 + θ) Γ(α + 1)
Trong mục này, chúng tôi đưa ra một ví dụ minh họa cho kết quả lý thuyết
trong mục trước.
Ví dụ 3.1. Xét hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ (3.1) với √ 0.1 sin t, f (x(t)) =
(cid:34) (cid:34) (cid:35) hai hệ con, tức là N = 2 và các tham số α = 0.95, ω(t) = (tanh x1(t), tanh x2(t))T ∈ R2, (cid:35) 2 1 0 (cid:104) (cid:105) 0.5 0.4 , Fa1(t) = sin t, , Ea1 = , Ha1 = A1 = 0 1 1
(cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) 0.2 −0.3 0.5 (cid:104) (cid:105) 0.1 0.4 D1 = , Ed1 = , Hd1 = , Fd1(t) = cos t, 0.7 0.3
0.4 (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) 0.3 0.4 (cid:104) (cid:105) 0.5 W1 = , Ew1 = , Hw1 = , Fw1(t) = sin t,
0.8 (cid:35) (cid:34) 0.5 (cid:35) (cid:34) −2 −1 (cid:104) (cid:105) 0.5 B1 = , Eb1 = , Hb1 = , Fb1(t) = sin t, 3
(cid:34) (cid:35) 0 (cid:34) 4 0 (cid:35) 1 (cid:104) (cid:105) 0.3 0.4 A2 = , Ea2 = , Ha2 = , Fa2(t) = cos t, 0 3 2
(cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) 0.3 0.1 0.3 (cid:104) (cid:105) 0.2 0.3 D2 = , Ed2 = , Hd2 = , Fd2(t) = sin t, 3
0.2 0.5 (cid:35) (cid:34) (cid:34) (cid:35) 0.1 0.1 (cid:104) (cid:105) 1 W2 = , Ew2 = , Hw2 = , Fw2(t) = sin t, 0.3
(cid:34) (cid:34) 0.3 (cid:35) 4 (cid:35) 0 (cid:104) (cid:105) 0.9 B2 = , Eb2 = , Hb2 = , Fb2(t) = cos t. 5 1
(cid:34) (cid:35) 1 0 . Ta thấy hàm kích hoạt f (x(t)) Cho trước Tf = 5, c1 = 1, c2 = 3, R = 0 1
thỏa mãn điều kiện (A2) với L = diag{1, 1}, véc tơ nhiễu ω(t) thỏa mãn điều
33
kiện (A3) với d = 0.1. Ta xét hàm chi phí toàn phương có dạng (3.2) với (cid:34) (cid:35) 1 0 (cid:104) .Ta thấy các điều kiện trong Định lý 3.1 và Nhận xét (cid:105) 1 Q1 = , Q2 = 0 2
3.2 được thỏa mãn với τ1 = 0.4, τ2 = 0.6, (cid:15)1 = 0.9295, (cid:15)2 = 0.2034,
(cid:34) (cid:35) 0.8564 −0.1927 (cid:104) P = (cid:105) 1.7240 −2.6191 , Y1 = 0.6730
−0.1927 (cid:104) . (cid:105) −2.5183 −3.2950 Y2 =
Khi đó ta có hệ ma trận {L1(P ), L2(P )} đầy đủ chặt, ở đó
(cid:34) (cid:35) 2.8208 6.3084 L1(P ) = 6.3084 −3.6504
(cid:34) (cid:35) −6.9188 −4.0994 . L2(P ) = −4.0994 2.3572
2 < 0}
Ta xây dựng miền chuyển mạch như sau
2 < 0},
1 + 12.6168x1x2 − 3.6504x2 1 − 8.1988x1x2 + 2.3572x2
S1 = {x = (x1, x2)T ∈ R2 : 2.8208x2 S2 = {x = (x1, x2)T ∈ R2 : −6.9188x2
Λ1 = {P x : x ∈ S1},
(cid:1) . Λ2 = {P x : x ∈ S2}, Λ1 = Λ1, Λ2 = Λ2\ (cid:0)Λ2 ∩ Λ1
Luật chuyển mạch giữa hai hệ con được xác định như sau
1, nếu x(t) ∈ Λ1 σ(x(t)) = . 2, nếu x(t) ∈ Λ2
Theo Định lý 3.1, hệ đóng tương ứng ổn định trong thời gian hữu hạn ứng với
bộ (1, 3, 0.1, 5, R). Ngoài ra, luật điều khiển ngược đảm bảo chi phí điều khiển
cho hệ là u(t) = Kix(t)(i = 1, 2), t ∈ [0, 5] với
(cid:104) (cid:105) 1.2158 −3.5434 K1 =
(cid:104) . , (cid:105) −4.3205 −6.1328 K2 =
Giá trị đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ là J ∗ = 2.8344.
34
Kết luận
Luận văn đã đạt được những kết quả sau:
• Trình bày lại một số khái niệm cơ bản về giải tích phân thứ bao gồm tích
phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi
phân phân thứ Caputo, công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân
phân thứ Caputo;
• Trình bày một tiêu chuẩn cho bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong
thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ bất định;
• Nghiên cứu bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn
cho hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ;
• Đưa ra 01 ví dụ để minh họa cho kết quả lý thuyết trong Chương 3.
35
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Hoàng Thế Tuấn (2017), Về một số vấn đề định tính của hệ phương trình
vi phân phân thứ, Luận án tiến sĩ toán học, Viện Toán học.
Tiếng Anh
[2] Boroomand, A. and Menhaj, M. B. (2008), “Fractional-order Hopfield neu-
ral networks”, In International Conference on Neural Information Process-
ing (pp. 883-890), Springer, Berlin, Heidelberg.
[3] Boyd S., El Ghaoui L., Feron E. and Balakrishnan V. (1994), Linear Matrix
Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia.
[4] Chen L. P., Liu C., Wu R.C., He Y.G., and Chai Y. (2016), “Finite-time
stability criteria for a class of fractional-order neural networks with delay”,
Neural Computing and Applications, 27(3), 549–556.
[5] Chua L.O. and Yang L. (1998), “Cellular neural networks: Theory”, IEEE
Transactions on Circuits and Systems, 35(10), 1257–1272.
[6] Chua L.O. and Yang L. (1998), “Cellular neural networks: Applications",
IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), 1273–1290.
[7] Ding X., Cao J., Zhao X., and Alsaadi F.E. (2017) “Finite-time Stability of
fractional-order complex-valued neural networks with time delays", Neural
Processing Letters, 46(2), 561–580.
[8] Duarte-Mermoud M.A., Aguila-Camacho N., Gallegos J.A. and Castro-
Linares R. (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove
36
Lyapunov uniform stability for fractional order systems", Communications
in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), 650–659.
[9] Niamsup P., Ratchgit K. and Phat V.N. (2015), “Novel criteria for finite-
time stabilization and guaranteed cost control of delayed neural networks",
Neurocomputing, 160, 281–286.
[10] Lazarevi´c M. P. and Debeljkovi´c D.L. (2005), “Finite-time stability anal-
ysis of linear autonomous fractional order systems with delayed state",
Asian Journal of Control, 7(4), 440–447 (2005).
[11] Lazarevi´c M. P. and Spasi´c A.M., “Finite-time stability analysis of frac-
tional order time-delay systems: Gronwall’s approach", Mathematical and
Computer Modelling, 49, 475–481 (2009).
[12] Hilfer R. (2000), Applications of Fractional Calculus in Physics, World
Science Publishing, Singapore.
[13] Kaczorek T. (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory,
Springer.
[14] Kilbas A.A., Srivastava H.M. and Trujillo J.J (2006), Theory and Appli-
cations of Fractional Differential Equations, Springer.
[15] Li M. and Wang J. (2017), “Finite time stability of fractional delay differ-
ential equations", Applied Mathematics Letters, 64, 170–176.
[16] Podlubny I. (1999), Fractional Differential Equations, Academic Press.
[17] Shuo Z, Chen Y.Q. and Yu Y. (2017), “A Survey of Fractional-Order
Neural Network”, ASME 2017 International Design Engineering Technical
Conferences and Computers and Information in Engineering Conference,
American Society of Mechanical Engineers.
[18] Thuan M.V., Binh T.N. and Huong D.C. (2018), “Finite-time guaranteed
cost control of Caputo fractional-order neural networks”, Asian Journal of
Control, DOI: 10.1002/asjc.1927.
37
[19] Thuan M.V. (2018), “Robust finite-time guaranteed cost control for pos-
itive systems with multiple time delays”, Journal of Systems Science and
Complexity, 31, 1–14.
[20] VanAntwerp J. G., and R. D. Braatz (2000), “A tutorial on linear and
bilinear matrix inequalities", Journal of Process Control, 10(4), 363–385.
[21] Velmurugana G., Rakkiyappan R., and Cao J. (2016), “Finite-time syn-
chronization of fractional-order memristor-based neural networks with
time delays”, Neural Networks, 73, 36–46.
[22] Wang L., Song Q.K., Liu Y., Zhao Z.J., and Alsaadi F.E. (2017), “Finite-
time stability analysis of fractional-order complex-valued memristor-based
neural networks with both leakage and time-varying delays”, Neurocom-
puting, 245, 86–101.
[23] Wu R.C., Lu Y.F., and Chen L.P. (2015), “Finite-time stability of frac-
tional delayed neural networks”, Neurocomputing, 149, 700–707.
[24] Yang X., Song Q.K., Liu Y., and Zhao Z.J. (2015), “Finite-time stability
analysis of fractional-order neural networks with delay”, Neurocomputing,
152, 19–26.
[25] Zhang S., Yu Y. and Yu J. (2017), “LMI conditions for global stability of
fractional-order neural networks”, IEEE Transactions on Neural Networks
and Learning Systems, 28(10), 2423–2433.
[26] Zhou K. and Khargonekar P. P. (1988), “Robust stabilization of linear
systems with norm-bounded time-varying uncertainty”, Syst. Control Lett.,
10, 17–20.
