Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về cấu trúc thứ tự trong các vành không giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Thành Thị Phương Bối

VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC

VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Thành Thị Phương Bối

VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC

VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. BÙI TƯỜNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến PGS.TS Bùi Tường Trí, người

thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và

hoàn thành luận văn.

Tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô trong khoa Toán-

Tin thuộc trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giảng dạy, truyền đạt

những kiến thức quý báu và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

và hoàn thành chương trình đào tạo ở trường.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn cùng khóa và các anh chị khóa

trên đã nhiệt tình giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực

hiện luận văn.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình tôi đã tạo điều kiện, hỗ trợ

cho tôi cả về tinh thần lẫn vật chất để tôi có thể yên tâm hoàn thành khóa học.

Bản thân tôi đã cố gắng học tập, tìm hiểu và hoàn thành luận văn bằng cả

tâm huyết và năng lực của mình nhưng luận văn chắc sẽ không thể tránh khỏi

những thiếu sót. Vì thế, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp chân

thành từ quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn.

TP.HCM, Tháng 09 năm 2013

Tác giả

Thành Thị Phương Bối

1

MỤC LỤC

trang

Trang phụ bìa

0TMỤC LỤC0T ............................................................................................................. 1

0TBẢNG KÍ HIỆU0T ................................................................................................... 2

0TPHẦN MỞ ĐẦU0T ................................................................................................... 3

0TChương 1- MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ0T ............................................... 4

0TChương 2- VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO

Lời cảm ơn

0T2.1.0T

0TĐịnh lý0T ..................................................................................................... 16

0T2.2.0T

0TĐịnh lý R.E. Johnson0T ............................................................................. 21

0T2.3.0T

0TĐịnh lý0T ..................................................................................................... 22

0T2.4.0T

0TĐịnh lý0T ..................................................................................................... 25

0T2.5.0T

0TĐịnh lý Albert, Neumann, Fuchs0T ......................................................... 26

0T2.6.0T

0TĐịnh lý0T ..................................................................................................... 28

0T2.7.0T

0TCác ví dụ về vành không giao hoán sắp thứ tự0T ................................... 31

0TKẾT LUẬN0T ......................................................................................................... 35

0TTÀI LIỆU THAM KHẢO0T ................................................................................. 36

HOÁN0T .................................................................................................................. 16

2

BẢNG KÍ HIỆU

charR

RM

R M

Đọc là Kí hiệu

R

M là song module

Đặc số của vành R M là R − module phải M là R − module trái

RM ( ) J R

Căn Jacobson của vành R

Thứ tự trên vành R

P [ ]x

Vành các đa thức biến x có hệ số thực

T

Tiền thứ tự trên vành R

T

Cái bao đóng chia của T

3

PHẦN MỞ ĐẦU

Vành số nguyên  có một cấu trúc thứ tự tự nhiên được định nghĩa với

∀

< ⇒ + < + ,

,a b c ,

a c b c

∈ , ta có: a b

<

< ⇒ <

0

a

,0

0

b

ab .

hai phép toán cộng và nhân trong  . Cụ thể:

...

< − < − < < < < 1 0 1 2 ...

2

Trong  , chúng ta có quan hệ thứ tự:

Nếu chúng ta tiên đề hóa những tính chất cơ bản trên, chúng ta sẽ đi đến

khái niệm một vành sắp thứ tự.

Tuy nhiên không phải bất cứ vành R nào cũng có thể đưa vào một quan

hệ thứ tự để nó trở thành một vành sắp thứ tự. Điều đó càng phức tạp hơn đối với

lớp các vành không giao hoán. Trong trường hợp nếu R là một trường thì Artin

và Schreier đã chỉ ra rằng: một trường R là trường sắp thứ tự nếu và chỉ nếu R là “số thực hình thức”, 1− không là tổng của các bình phương trong R .

Vậy với những điều kiện gì thì vành R sắp thứ tự và các vành không giao

hoán sắp thứ tự có các đặc trưng cơ bản nào? Luận văn sẽ tìm hiểu và làm rõ vấn

đề trên.

Chương 1- MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

4

Chương này sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản và các kết quả có liên

quan chặt chẽ đến chương sau như: lý thuyết vành, lý thuyết module, quan hệ thứ

tự, trường sắp thứ tự.

1.1. Định nghĩa vành

,

Cho tập hợp R khác rỗng, trên R ta trang bị hai phép toán thường được kí

,.R + là một

hiệu là “+” (đọc là phép cộng) và “.” (đọc là phép nhân). Ta nói

,R +

vành nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

,.R là một nửa nhóm.

i) là một nhóm giao hoán.

ii)

+

=

+

+

=

+

z

xy

xz

y

yx

zx .

x y z R∈ , ,

( x y

)

iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng: với các phần tử tùy ý

) z x

và ( ta có:

Nếu phép nhân là giao hoán thì ta gọi R là vành giao hoán, nếu phép nhân

có phần tử đơn vị thì ta gọi R là vành có đơn vị.

1.2. Định nghĩa vành con

Một bộ phận A khác rỗng của vành R cùng với hai phép toán của vành R

.R

cảm sinh trên A lập thành một vành thì ta nói A là vành con của vành

1.3. Định lý

Cho A là một tập con khác rỗng của vành R . Các mệnh đề sau tương

đương:

5

A là vành con của R ;

+ ∈

∈ x y A x ,

,

∈ − ∈ y A xy A x A ;

,

,

i)

− ∈

∈ x y A x ,

,

y A

ii) Với mọi

iii) Với mọi và xy A∈ .

1.4. Định nghĩa ideal của một vành

∈

rx

x

I

,

∈ ∀ ∈ ∀ ∈ r R I .

Cho R là một vành, một vành con I của R được gọi là ideal trái (ideal

( I xr

),

phải) của vành R nếu thỏa mãn các điều kiện:

Vành con I của R được gọi là ideal của vành R nếu I vừa là ideal trái vừa

là ideal phải của vành R .

1.5. Định lý

Cho I là một tập con khác rỗng của vành R . Các mệnh đề sau tương

I là ideal của R ;

đương:

∈

I∈ và

,x y

r R x

,

+ ∈ − ∈ I ,

y

x

I rx ,

∈ và I

xr

I∈ ;

i)

∈

∈ và xr

I∈ .

,x y

I∈ và

r R x

,

− ∈ y

I rx ,

I

ii) Với mọi

iii) Với mọi

1.6. Định nghĩa ideal nguyên tố

⊆

Một ideal I của vành R được gọi là ideal nguyên tố nếu I R≠ và với hai

⊆ thì M I⊆ hoặc N I⊆ .

M N R MN I ,

,

ideal

1.7. Định nghĩa ideal tối đại

⊂

⊂ thì I M=

Một ideal I của vành R được gọi là ideal tối đại nếu I R≠ và nếu M là

hoặc M R= . một ideal thỏa I M R

6

1.8. Định lý − Định nghĩa

Giả sử I là ideal của vành R . Khi đó ta xét nhóm thương của nhóm cộng

I .

Abel R

I+ mà không phụ

I+ chỉ phụ thuộc vào các lớp x

I+ và y

Lớp xy •

,x y từ các lớp đó. Và ta

thuộc vào sự lựa chọn của các phần tử đại diện

I+

I+ .

I+ và y

R

gọi xy là tích của hai lớp x

I cùng với hai phép toán: +

+

I y ,

x

I

x

+ + y

I

•

)



+

+

x

I

I

I y ,

)

Phép cộng: (

+ xy

Phép nhân: (

là vành, gọi là vành thương của R trên I .

Nhận xét:

I cũng giao hoán.

I+ .

1) Nếu R là vành giao hoán thì vành thương R

I có đơn vị e

2) Nếu vành R có đơn vị e thì vành thương R

1.9. Định nghĩa đồng cấu vành

'R được gọi là một đồng cấu vành nếu

∀

f bảo toàn các phép toán, nghĩa là

∈ ,x y R

+

y

)

) =

( f x ( f xy

+ )

( ) = f x ( ( ) f x f y

( f y )

Một ánh xạ f từ vành R vào vành

7

Một đồng cấu từ vành R vào vành R được gọi là một tự đồng cấu của R .

Một đồng cấu đồng thời là đơn ánh, toàn ánh, song ánh được gọi lần lượt là đơn

cấu, toàn cấu, đẳng cấu. Một tự đồng cấu song ánh được gọi là một tự đẳng cấu.

'R thì ta nói R đẳng cấu với

'R . Kí hiệu:

Nếu tồn tại một đẳng cấu từ R vào

R R≅

'

.

1.10. Các ví dụ về đồng cấu vành

Rid của vành R là một tự đẳng cấu, gọi là tự

1) Ánh xạ đồng nhất

đẳng cấu đồng nhất của R .

x= là một đơn cấu, gọi là đơn cấu chính tắc.

R→ định bởi

( ) x

Ai

:Ai A

R

:

R π → định

2) Giả sử A là vành con của vành R . Khi đó ánh xạ bao hàm

I

x

I

π = + là một toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc .

3) Giả sử I là một ideal của vành R . Khi đó ánh xạ

( )x

f R :

R→ định bởi

'

'R R là hai vành. Khi đó ánh xạ

,

bởi

4) Giả sử

'R ) là một đồng cấu, gọi là

( ) f x =

'0R

'0R là phần tử không của vành

(

đồng cấu tầm thường.

1

=

axa−

5) Cho R là một vành có đơn vị và a R∈ khả nghịch. Khi đó ánh xạ

:f R

R→ , định bởi

( ) f x

là một tự đẳng cấu của R .

=

f

0

0

1.11. Mệnh đề

f R :

R→ '

(

)

R

R

'

−

= −

x

f

∀ ∈ . x R

(

)

( ), f x

là đồng cấu vành thì và Nếu

1.12. Mệnh đề

8

Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành. Đặc biệt, tích của hai

đơn cấu (tương tứng, toàn cấu, đẳng cấu) vành cũng là một đơn cấu (tương tứng,

toàn cấu, đẳng cấu) vành.

1.10. Mệnh đề

Ánh xạ ngược của một đẳng cấu vành cũng là một đẳng cấu vành.

1.13. Định lý

f R :

'

R→ và A là một vành con của R ,

'A là vành

Cho đồng cấu vành

'R . Khi đó:

'R .

con của

( f A là vành con của

)

1

'

f

i)

'A là ideal của

'R thì

)

( A−

1

'

f

là vành con của R . Hơn nữa, nếu ii)

)

( A−

1

=

Im f

cũng là ideal của R .

ker

f

f −=

'R ,

( f R

)

(

)

'

0R

Đặc biệt: là vành con của là ideal của R . Ta

gọi Im f là ảnh của f và ker f là hạt nhân của f .

f =

ker

1.14. Định lý

f R :

R→ là đơn cấu khi và chỉ khi

'

{ } 0R

Đồng cấu vành .

→ định bởi

1.15. Định lý đẳng cấu 1

f R :

R→ . Khi đó ánh xạ

'

Rf :

R

'

ker

f

R

≅

+

=

Cho đồng cấu vành

f Im .

ker

f

( f x

)

( ) f x

ker

f

là đơn cấu vành. Đặc biệt

9

1.16. Định lý đẳng cấu 2

Cho R là một vành và I là một ideal của R , A là một vành con của R .

A∩ là ideal của A và

+ I A

(

)

A

Khi đó I A+ là vành con của R ; I là ideal của I A+ ; I

+ ∩ I

A

I

∩ ≅ A

+ x

I

I

. qua đẳng cấu vành x

1.17. Định lý đẳng cấu 3

'A

A là vành con của vành thương R

Cho R là một vành và I là ideal của R . Khi đó:

I

I

khi và chỉ khi A có dạng i)

'A là vành con của R và

'A chứa I .

'A

với

I

I

'A chứa I . Hơn nữa, ta có:

R I

'A là ideal của R và (

)

R

A

'

≅

+

+

với nếu và chỉ nếu A có dạng ii) A là ideal của vành thương R

x

I

x A

'

)

+

(

)

I

'

A

' A I

(

)

. qua đẳng cấu (

1.18. Định nghĩa

Cho R là một vành có đơn vị. Nếu mọi phần tử khác không trong R đều

khả nghịch (đối với phép nhân) thì R được gọi là một thể (hay vành chia).

1.19. Định nghĩa

Một thể giao hoán được gọi là một trường.

1.20. Định nghĩa

Vành giao hoán R được gọi là miền nguyên nếu tích của các phần tử khác

không luôn khác không.

10

≠

= ⇒ = hoặc

R

0,

ab

0

0

a

0b = .

1.21. Định nghĩa

Một vành R được gọi là một miền nếu

'R

1.22. Định nghĩa

R⊇ gọi là một vành các thương của R nếu

∀ ∈ ∃

∈

∈

x R a b R

',

,

∈ ax R xb R . ,

{ } \ 0 :

Cho R là một miền, miền

0

s ≠ nếu s là số nguyên dương bé nhất thỏa

1.23. Định nghĩa đặc số của vành

=

Vành R gọi là vành có đặc số

∀ ∈ r R

s r .

0 ,R

(*)

Vành R gọi là vành có đặc số 0 nếu 0 là số nguyên duy nhất thỏa (*).

0

1.24. Mệnh đề

s ≠ thì mọi phần tử không phải là ước của không 0s = thì mọi phần tử

Nếu vành R có đặc số

trong vành đều có cấp bằng s . Nếu vành R có đặc số

không phải là ước của không đều có cấp vô hạn.

Chứng minh.

0

s ≠ , 0 s= . Với mọi

sr = và r có cấp là n là một ước số của s . Ta chứng tỏ n

=

=

=

x

0

0

) nx r

( x nr

)

Xét vành R và giả sử r R∈ không phải là ước của 0. Nếu R có đặc số

R

R

nx =

ta có x R∈ , ta có ( và do r không phải là ước của 0R , suy ra

0s = và giả sử r có cấp hữu

s= . Bây giờ nếu vành R có đặc số

0R

. Vậy n

nx =

0R

0s = . Vậy r có cấp vô hạn.

với mọi x R∈ , điều này trái với giả hạn n . Lập luận như trên, ta có:

thiết R có đặc số

11

1.25. Hệ quả

=

Đặc số của vành R có đơn vị 1 R chính là cấp của phần tử đơn vị 1R

0

s .1 R

R

R≠ 0 0s > bé nhất sao cho

). trong nhóm cộng R (tức là số nguyên

1.26. Mệnh đề

Nếu R là một miền thì hoặc R có đặc số 0 hoặc R có đặc số nguyên tố.

≠

R ≠

Chứng minh.

s ≠ thì phải

0

x R x∈

,

{ }0R

0R

<

nên có Vì và do đó, nếu R có đặc số

s mm=

'

1s > . Hơn nữa, nếu giả sử

'm m s

,

< thì phải có r R∈ sao cho

có với 1

= b m r '

m r ≠ '

0R

, ngoài ra phần tử không phải là ước của 0 theo giả thiết, nên

mb ≠

0R

=

=

=

=

mb m m r '

sr

(*); nhưng mặt khác, theo mệnh đề 1.24, b có cấp s và do m s< , ta có

s ≠ 0

(

)

(

) mm r '

0R

(mâu thuẫn với (*)). Vậy đặc số ta có

phải là số nguyên tố.

1.27. Hệ quả

Một miền nguyên, một thể hay một trường hoặc có đặc số 0, hoặc có đặc số

nguyên tố.

1.28. Định nghĩa module

× →

=

f M R M m r ,

:

,

,

Cho R là một vành tùy ý và M là một nhóm cộng Aben. M được gọi là

(

)

) ( f m r mr



∀

∀

,m m m M

,

một R − module phải nếu có một ánh xạ

∈ và

∈ thì:

,a b R

1

2

sao cho

+

+

12

) = m a b ma mb .

(

+

+

i)

)

(

= m m a m a m a 2 .

2

1

1

= ma b m ab

ii)

).

(

)

(

iii)

RM là R − module phải, tương tự có R M là R − module trái, M vừa là R −

Chú ý:

RM .

module phải vừa là R − module trái gọi là song module. Kí hiệu: R

∅ ≠ ⊂

N M N

,

1.29. Định nghĩa module con

được gọi là module con của M Cho R − module M và tập

∀

∈ x y N x ,

:

− ∈ y N .

nếu:

∀ ∈ ∀ ∈ ,

a R x N xa N

∈ .

:

i)

ii)

M N cũng là R − module được gọi là module thương.

Tất nhiên module con N là một R − module với phép toán cảm sinh và

0MR ≠ và M có đúng hai

M được gọi là module đơn hay bất khả quy nếu

1.30. Định nghĩa

module con là M và 0.

1.31. Định nghĩa

A M là tập hợp các phần tử của R linh hóa toàn

(

)

=

r R Mr :

Cho M là R − module,

( A M

) { = ∈

} 0

. bộ M :

13

M là R − module trung thành khi và chỉ khi

) 0 ( A M = .

1.32. Định nghĩa

1.33. Định nghĩa vành nguyên thủy

Vành R được gọi là vành nguyên thủy nếu nó có một R − module bất khả

quy và trung thành.

1.34. Định nghĩa căn Jacobson của một vành

)

mọi R − module bất khả quy. Kí hiệu: Căn Jacobson của một vành R là tập tất cả các phần tử của R mà linh hóa ( J R . Nếu R không có module bất khả

R= .

( J R

)

quy thì ta đặt

1.35. Định nghĩa vành nửa nguyên thủy

( J R = thì R được gọi là vành nửa nguyên thủy.

) 0

Nếu

∀

aRb =

∈ sao cho

1.36. Định nghĩa vành nguyên tố

,a b R

( )0

thì ta Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu

0a = hoặc

0b = .

có

1.37. Định nghĩa quan hệ thứ tự

Quan hệ hai ngôi ℜ trong một tập hợp X được gọi là một quan hệ thứ tự

trong X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây:

ℜ ∀ ∈ . x x

x X

,

∀

y=

,x y X

∈ , nếu x yℜ và y xℜ thì x

Phản xạ: i)

ii) Phản xứng: .

∀

x y z X , ,

14

∈ , nếu x yℜ và y zℜ thì x zℜ .

iii) Bắc cầu:

Quan hệ này mở rộng quan hệ “bé hơn hoặc bằng” trong tập hợp số thực

,x y ta có x yℜ hoặc y xℜ thì quan hệ thứ tự ℜ được gọi

và thường được kí hiệu là “ ≤ ”.

)

Nếu với mọi cặp (

là tuyến tính hay toàn phần, còn nếu trong X tồn tại các cặp phần tử không so sánh được với nhau thì ℜ được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận.

,X ≤ là một tập sắp thứ tự. Khi đó ta định nghĩa:

1.38. Định nghĩa

)

Cho (

a

•

≤ ∀ ∈ a A .

∀

∈

,a b A

Cận trên của một tập con A của X là phần tử x X∈ thỏa x ,

• Một dây chuyền trong X là một tập con A của X thỏa

X∈ sao cho nếu

thì a b≤ hoặc b a≤ .

0x

∈

x= .

x X x

,

≤ thì x

0

0x

Phần tử cực đại của X là phần tử •

1.39. Bổ đề Zorn

Nếu X là một tập không rỗng được sắp thứ tự bộ phận và mọi dây chuyền

tăng của X đều có cận trên nằm trong X thì X có phần tử cực đại.

1.40. Định nghĩa

∀

∈ , ta có:

,a b c F ,

Một trường F là trường sắp thứ tự nếu tồn tại một thứ tự toàn phần “<”

trên F sao cho

< ⇒ + < +

a b < a 0

a c b c , < ⇒ < ab . b 0

,0

15

2

1.41. Định nghĩa

− ∉∑ 1 F

2

=

∈

≤ ≤

F

+ + ...

/

n

,

,1

Một trường là thực hình thức nếu với



2 a n

∈ a F i

{ 2 a 1

} i n

∑

F .

là tổng của các bình phương trong

1.42. Định lý Artin- Schreier

Một trường F là thực hình thức nếu và chỉ nếu F sắp thứ tự.

Chương 2- VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC

16

VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN

Chương này sẽ trình bày các tính chất và mối quan hệ giữa vành tiền sắp

thứ tự và vành sắp thứ tự, điều kiện để một tiền thứ tự trở thành một thứ tự, mối

quan hệ giữa miền nguyên sắp thứ tự và vành các thương, mối quan hệ giữa vành

sắp thứ tự Acsimet và tính giao hoán của vành.

Trước tiên, ta định nghĩa khái niệm thông thường của một vành sắp thứ tự

như sau:

2.1. Định lý

"< trên R sao

∀

2.1.1. Định nghĩa

∈ , ta có:

R là vành sắp thứ tự nếu tồn tại một thứ tự toàn phần " ,a b c R ,

< ⇒ + < +

a b <

a c b c ; < ⇒ <

0

,0

0

. ab

b

a

cho

<

P

: 0

2.1.2. Định nghĩa

"< là tập hợp

{ = ∈ c R

} c

Hình nón dương của thứ tự " thỏa mãn

+ ⊆ P P P .

.

=

2.3

P

P

R

( ( (

) 2.1 ) 2.2 )

⊆ P P P . ) ( ∪ −

{ } \ 0 .

ba tính chất sau:

17

Nhận xét:

"< . Do đó, ta

b a P

Nếu cho tập P thỏa mãn 3 tính chất trên thì ta định nghĩa một thứ tự trên

< ⇔ − ∈ . Khi đó R là vành sắp thứ tự với "

vành R bởi a b

có P thỏa 3 tính chất trên là một thứ tự trên R .

P

P

,1

P

0R ≠ thì

2.1.3. Mệnh đề

= ∅ ∈ và R là một

( ∩ −

)

Nếu P là một thứ tự trên vành

miền có đặc số 0.

a P

P

a

Chứng minh.

( ∈ ∩ −

)

( P∈ −

)

0 a

P P P

a

Giả sử nếu thì a P∈ và

= + − ∈ + ⊆ (mâu thuẫn với tính chất (2.3)). Do đó

= ∅ .

(

)

− ∈ Ta có: a P . ( P∩ −

)

2 = 1 1

.P P P

⊆ . Mở rộng với

suy ra P

)2 = − ∈ 1

(

− ∈ vì

= + + ∈ . Do đó

n .1 1 ... 1

P

charR = 0.

Mặt khác, ta cũng có 1 P∈ hoặc 1 P

b c R∈ ,

bất kỳ số tự nhiên n , ta có:

{ } \ 0

±

b

P P P

.

bc ≠ .

0

thì việc lựa Cuối cùng, ta chứng minh R là một miền. Nếu

)(

) ± ∈ c

⊆ và

chọn một cách thích hợp dấu của b và c cho ta (

Vậy R là một miền.

Nhận xét:

Mệnh đề trên cho ta điều kiện cần để một vành R có tồn tại một thứ tự

trong R . Nhìn chung, các điều kiện này là không đủ để đảm bảo sự tồn tại của

một thứ tự. Trong phần sau của luận văn, ta sẽ tìm ra một số điều kiện đủ để một

vành tùy ý được sắp thứ tự.

Ý tưởng đầu tiên là của J.P.Serre về sự mở rộng của khái niệm thứ tự là

khái niệm tiền thứ tự.

18

T

R⊆

2.1.4. Định nghĩa

{ } \ 0

thỏa mãn hai tính Một tiền thứ tự trong vành R là một tập con

T T

T

+ ⊆ ;

(

)2.4

∈

2.5

,...,

R

,...,

t

T

∈ thì tích của

,...,

,...,

(

)

{ } \ 0 ,

∀ a 1

t 1

a m

n

a a , 1 1

a a t , , 1

m

m

t lấy n

chất sau:

theo thứ tự bất kỳ đều nằm trong T .

Chú ý:

R∈ và các số

i 1,...,

i ≥ , 0 m

1,..., m a a

,...,

,....,

+ + các nhân tử cho bởi

...

a 1

a m

mi i a 1 ... 1 m

i m

T∈ là tích của 1 i

ta viết tử tùy ý

( per a

,..., a a 1 m  

i 1

i m

Cho phần )

∈

...

... t

R

t

,...,

,...,

T∈ với

∈ . T

{ } \ 0 ,

2 a t m 1

n

a m

n

a 1

t 1

( 2 per a 1

)

lấy theo thứ tự bất kỳ. Từ đó, tính chất (2.5) có thể viết dưới dạng như sau:

T

T

,1

0R ≠ thì

2.1.5. Mệnh đề

= ∅ ∈ và R là T

( ∩ −

)

Nếu T là một tiền thứ tự trên vành

một miền có đặc số 0.

Nhận xét:

axa

a

− , suy ra P thỏa (2.4) và (2.5)). Tuy nhiên điều ngược lại không

( = −

) a x

(

)

1) Bất kỳ thứ tự P nào trong R cũng là một tiền thứ tự (vì ta có

đúng. Chẳng hạn ta xét ví dụ sau:

[ ]x , ta gọi P là tập hợp các đa thức khác không có hệ số

Trong vành

dẫn đầu dương, T là tập hợp các đa thức khác không có hệ số dẫn đầu dương và

bậc lớn hơn 100. Khi đó, P thỏa các tính chất (2.1), (2.2) và (2.3) nên P là một

19

thứ tự, T thỏa các tính chất (2.4), (2.5) nên T là một tiền thứ tự. Nhưng T

không thỏa tính chất (2.3) nên T không là một thứ tự.

2) Giao của một họ bất kỳ (không rỗng) của các thứ tự là một tiền thứ tự.

T

R⊆

≠ ∈ , ta kí hiệu:

2.1.6. Bổ đề

{ } \ 0

i

=

∈

∈

≥

R

t

T i m n

...

t ...

/

,...,

,...,

, ,

,

{ } \ 0 ,

T b

n

a m

n

2 a t m 1

a 1

t 1

( 2 per b a 1

)

Với bất kỳ tiền thứ tự và bất kỳ phần tử 0 b R

{ ∑

} 0 .

Khi đó, các điều sau là tương đương:

bT không là tiền thứ tự trong R ;

= có nghiệm , ' t t

T∈ .

t

bt+ '

0

i)

= có nghiệm

t

t ', ''

T∈ .

t

t b+ '' '

0

ii) Phương trình

iii) Phương trình

i

ii⇒

)

)

Chứng minh.

bT thỏa hai tính chất (2.4) và (2.5). Suy ra

i

0 (*)

...

...

Ta có

2 a t m 1

bT∈ , tức là khi và chỉ khi

bT không là tiền thứ tự ) t = n

( 2 per b a 1

∑

∈

,...,

,...,

R

t

T

{ } \ 0 ,

a 1

t 1

a m

n

i

t ...

...

T∈ .

2 a t 1 m

n

với khi và chỉ khi 0

i

t ...

...

T∈ .

2 a t m 1

n

∈ .Ta có hai trường hợp xảy ra: ( 2 per b a 1 ( 2 b per b a . 1

) )

Trường hợp 1: Nếu i chẵn thì

Trường hợp 2: Nếu i lẻ thì

Thật vậy:

20

Vì T là tiền thứ tự nên nhóm các số hạng trong phương trình (*) mà i

∈ ; nhưng trong (*) phải tồn

t

+ = r

0,

∈ t T br T ,

chẵn thì ta sẽ có phương trình

0

t = . Khi đó, nhân trái b ta có phương trình

bt

+ = t

t ' 0, '

= ∈ . br T

ii

)

i⇒

)

tại một số hạng với i lẻ mà

= có nghiệm

t t , '

T∈ suy ra 0

t

bt+ '

0

bT

.bT∈ Vậy

Giả sử phương trình

ii

)

iii⇒

)

không là tiền thứ tự.

= có nghiệm

t t , '

t

bt+ '

0

T∈

= ⇒ +

=

=

+ t b btb '

0

''

t

t b '

t 0, ''

btb T

∈ .

iii

)

ii⇒ Chứng minh tương tự.

)

suy ra Giả sử phương trình

T

R⊆

2.1.7. Định lý

{ } \ 0

Một tiền thứ tự là một thứ tự khi và chỉ khi T là tiền thứ tự tối

T

R⊆

đại.

)⇒ Giả sử

{ } \ 0

⊃

0

T T '

T

a

a

'

'

a T

T

≠ thì với

là một thứ tự. Khi đó nếu tồn tại một tiền thứ tự Chứng minh. (

− ∈ ⊆ và

= + − ∈ + ⊆ '

T

'

T T ,

'

T

a T T∈

'\

(

)

ta có

(

)⇐ Giả sử T là một tiền thứ tự tối đại. Khi đó nếu T không là một thứ

(mâu thuẫn). Do đó T là tiền thứ tự tối đại.

⊃

tự thì tồn tại b sao cho b và b− đều không thuộc vào T . Mặt khác bT thỏa hai

bt+

= 0

T

≠ . Theo bổ đề 2.1.6 phương trình 1 t

2

T b

T T , b

= có nghiệm

tính chất (2.4), (2.5) và

T∈ . Mà

bt−

0

T∈ và phương trình

t 3

4

t 2,t 1

t 4,t 3

có nghiệm

+

= ⇔ +

=

=

=

∈

bt

0

0

0

bt

bt

T

(

)(

)

)

⇔ + t t 1 3

( bt bt 2

4

t 5

2

4

t 1

2

t t 1 3

bt t 2 3

21

⇔ + = (mâu thuẫn). 0

t t 1 3

t 5

nên ta có:

2.2. Định lý R.E. Johnson

=

∈

2.2.1. Định nghĩa

0R ≠ , ta định nghĩa:

R

/

,...,

( T R

)

2 a ... m

a m

a 1

( 2 per a 1

)

Cho vành

{ ∑

} { } \ 0

T R thỏa hai tính chất (2.4) và (2.5) nên

T R là một tiền thứ tự.

(

)

(

)

Nhận xét:

0 T R∉

2.2.2. Định nghĩa

(

)

) T R là

(

.Trong trường hợp này, Vành R là thực hình thức nếu

T R là tiền thứ tự yếu của R .

(

)

một tiền thứ tự trong R vì nó được chứa trong mỗi tiền thứ tự của R . Ta gọi

2.2.3. Định lý

0R ≠ bất kỳ. Các điều sau là tương đương:

R là thực hình thức.

Cho vành

i)

ii) R có một tiền thứ tự.

iii) R có một thứ tự.

iii

)

i⇒ hiển nhiên.

)

0 T R∉

i

)

ii⇒

)

(

)

Chứng minh.

Giả sử R là thực hình thức. Khi đó R có một tiền thứ tự yếu

chứa trong một tiền thứ tự T nào đó của R .

)

ii

iii⇒

22

Cố định một tiền thứ tự T trong R . Theo bổ đề Zorn, ta có thể mở rộng T thành tiền thứ tự tối đại 1T . Áp dụng định lý 2.1.7, ta có 1T là một thứ tự

trên R . Vậy định lý đã được chứng minh.

Trong lý thuyết của trường thực hình thức, điều nổi tiếng là bất kỳ tiền thứ

=

a F∈

T T F

tự T nào trong trường F cũng đều là giao của tất cả các thứ tự chứa T . Trong

(

)

{ } \ 0

F nếu và chỉ nếu

0a > trong mỗi thứ tự của trường F . Artin đã sử dụng kết quả

trường hợp thì phần tử là tổng của các bình phương trong

này làm công cụ trong bài giải nổi tiếng của ông về vấn đề thứ 17 của Hilbert

(những lưu ý về cấu trúc của hàm hữu tỉ nửa xác định dương).

Tiếp theo, chúng ta sẽ xét sự tổng quát hóa các kết quả này từ trường đến

vành tùy ý.

2.3. Định lý

2.3.1. Định nghĩa

∈

T

,

:

∈ a R at T t T

∈

∈

} T

2

∈

≠

T b ,

:

∈

:

,

{ = ∈ { = ∈ a R t a T t : ' , ' { = ∈ a R ab { 2 = ∈ a R b a T b '

} } 0 } ≠ ' 0

T gọi là cái bao đóng chia của T .

∉

Cho T là một tiền thứ tự bất kỳ trong vành R , ta định nghĩa:

,T T

T

⊆ . Do đó T là một tiền thứ tự của R .

Nhận xét: Ta có 0

23

T

T

0

Thật vậy:

∉ ⇒ ∉ . Do đó để chứng minh T là một tiền thứ tự của R ta

Ta có 0

T T

+ ⊆ ;

T

( )1

∈

∈

...

cần kiểm tra T thỏa hai tính chất sau:

T∈ .

,...,

,...,

R

( )2 Với

{ } \ 0

2 c a a ... m 1 n

a 1

a n

T c , 1

c m

( 2 per c 1

)

thì

+ ∈ . Ta có:

Kiểm tra tính chất (1):

T∈ . Ta cần chứng minh

T

,a a 1 2

a 1

a 2

∈ ⇒ ∈

Giả sử

T

∈ ∀ = ,

T

i

1,2

a a , 1 2

a t i i

T t , i

=

=

+

∈

T

T

T

)

( ∈ ⇒ +

(

)(

)

t a t 1 2 2

( t a t 1 2 2

a 1

) a t a t 2 1 2 2

a t 1 1

a t 2 2

a t a t 2 1 2 2

⇒ + ∈ . a 2

a 1

là tiền thứ tự nên ta lại có . Vì T

∈

∈

...

Kiểm tra tính chất (2):

T∈

,...,

,...,

R

{ } \ 0

2 c a a ... m n 1

a 1

T c , 1

a n

c m

( 2 per c 1

)

∈

...

,

...

...

∈ . Ta biết rằng

, ta cần chứng minh: Với

n

2 c a a ... m 1 n

1

( 2 per c 1

)

( 2 per c 1

) 2 c a a t T t T m

,...,

,

,...,

tức là chứng minh

c c , 1

c c a , 1 m m

=

t

T

(

)

(

a t n n

it

T∈ thì với cách đặt

=

∈

T

...

...

...

...

t ...

.

T∈ .

n

n

2 2 c a m 1

2 a t n 1

2 c a a ... m n 1

là tích của các phần tử 1 a lấy theo thứ tự bất kỳ. Nếu ta sắp n

T∈ sao cho ) 2 c a a t ... m 1

i ia t ( 2 per c 1

)

) 1 1 ... a t ( 2 per c 1

∈ ta có : )

xếp các ( 2 per c 1 Suy ra

Vậy T là một tiền thứ tự của R .

2.3.2. Định lý

T

R⊆

24

{ } \ 0

Cho tiền thứ tự bất kỳ , cái bao đóng chia T của T là giao của

'T của R chứa T .

tất cả các thứ tự

P P

T

T

'

= ⇒ ⊇ . Để hoàn tất

Chứng minh.

≠

∉ ⇒ ∉

∉

Với bất kỳ thứ tự P T⊇ , ta có P T⊇ . Từ

a

0,

a T

⊇ a P P T a T

,

'

(

)

chứng minh, ta cần chỉ ra rằng: với bất kỳ .

aT− được định nghĩa trong bổ đề 2.1.6. Vì a T∉ và theo bổ đề 2.1.6 nên

aT− là một tiền thứ tự trong R và

aT− có thể mở rộng thành một thứ tự P của R .

− ∈

Xét tập

⊆ ⇒ ∉ Vậy định lý đã được chứng minh.

a P .

P

a T −

a

Nhưng P T⊇ và

T

R⊆

Hệ quả 2.3.2.1.

{ } \ 0

∈

∈ a R t T at T

:

,

a T

Một tiền thứ tự là giao của một họ các thứ tự nếu và chỉ nếu T

) ∈ ⇒ ∈ .

là “cái bao đóng chia” của nó (

2.3.2.2. Hệ quả

b R∈

Trong một vành thực hình thức R , phần tử 0 a R

≠ ∈ là hoàn toàn dương { } \ 0

(tức là dương trong tất cả các thứ tự của R ) nếu và chỉ nếu tồn tại

2ab

( T R∈

)

sao cho .

T R không nhất thiết phải là cái bao đóng chia của chính

Nhận xét:

(

)

Tiền thứ tự yếu

) T R .

(

nó, vì phần tử hoàn toàn dương a ở trên không cần thuộc vào

Chẳng hạn, chúng ta xét một ví dụ minh họa như sau:

=

−

R

2 y z

,...,

,

+ + ...

25



[

x y z , n

2 x n

x 1

2 x 1

] ( /

)

=

T T R

Cho là thực hình thức và tiền thứ

(

)

tự yếu của nó không đóng chia, tức là T T≠ .

=

∈

Thật vậy:

/

,...,

R

( T R

)

2 a ... m

a m

a 1

( 2 per a 1

)

{ ∑

} { } \ 0

0 T R∉

Ta có: và R là thực hình

R

(

)

≠ ⇒ ≠

=

0

0

2 /

thức tức là . Trong trường hợp giao hoán,

)

( T R

2 a i

a i

a i

∈ a R i

} { } \ 0

{ ∑

∑

−

+ + ...

2 y z

. và R là thực hình thức tức là

2 x n

2 x 1

−

+ + ...

2 y z

Nếu xem R là vành giao hoán trong trường hợp này thì

2 x 1

2 x n

)

R là miền nguyên. Trường thương F của R có thể xem như trường các phân

là ideal nguyên tố. Do đó là một đa thức bất khả quy và ideal (



x 1,...,

x y ,n

(

)

:f R →  được xác định bởi:

− đồng cấu

=

=

= = ...

0,

= − . Từ 1

1

( f T ≥ trong R và

) 0

( f y

)

thức hữu tỉ . Ta có F là thực hình thức và R cũng vậy. Do đó để

( f x n

)

( f x 1

( ) f z = − ta

2

2

=

2 y z

+ + ...

z T

T

chỉ ra T không đóng chia, ta xét ( ) ) f z

∈ ⇒ ∈ . Vậy T T≠ .

x 1

x n

có z T∉ . Mặt khác,

2.4. Định lý

'

R R⊆ là các vành. Khi đó một thứ tự P của R có thể được mở

Cho

'R nếu và chỉ nếu trong

'R , 0 không là tổng của

∈

t ...

,

,...,

R

,...,

t

...

∈ . P

rộng thành một thứ tự

{ } '\ 0 ,

2 a t m 1

n

a 1

a m

t 1

n

)

'P của ( 2 per a 1

các phần tử có dạng

Chứng minh.

(

)⇒ Hiển nhiên.

...

t ...

'T là tập tất cả các tổng của các phần tử có dạng

(

)⇐ Giả sử

n

2 a t m 1

( 2 per a 1

)

26

'T là tiền thứ tự của

'R . Cho

'P là một thứ tự bất kỳ của

P T

R P

P P

R

R

'

'

'R chứa

'T , ta có :

⊆ ∩ ⊆ ∩ ⇒ = ∩ . Vậy P là một thứ tự. '

không chứa 0. Khi đó

Nhận xét:

Nếu R là miền bất kỳ thì bất kỳ thứ tự nào trên R cũng có thể mở rộng

duy nhất thành một thứ tự trên vành các thương của nó.

2.5. Định lý Albert, Neumann, Fuchs

2.5.1. Định lý

'R là vành các thương của R . Khi đó, bất kỳ thứ tự

'P của

'R .

P nào của R đều mở rộng duy nhất thành một thứ tự

Cho R là một miền,

= ∈ ∃

= ∈ ∃ ∈

∈

P

'

',

:

,

P

'

',

:

Chứng minh.

∈ . Giả sử

} ∈ x R a b P axb P

{

} x R a P ax P

{

( ) 1

∈

∈ c R

cax R

∈ . Cố định một phần tử

∈ .

Đặt

∈ x P a b P axb P

',

:

,

{ } \ 0 :

∈

P P P

.

⊆ . Điều này kéo theo

Lấy

( c axb

)

∈

∈ .

cax P ca P ,

= ∈ ∃ ∈

∈

P

'

',

:

Ta có thể giả sử rằng c P∈ , khi đó

} x R b P xb P

{

( ) 2

Chứng minh tương tự, ta có:

=

P

P

'

R

27

∩ = và

R P

P

'

'P là một thứ tự

( ∪ − '

)

{ } '\ 0

Ta có: . Do đó để chỉ ra rằng

∈ ⇒ + ∈ và

x y P ,

y P

x

'

'

xy P∈ . Từ (1) và (2)

'

'R , ta chỉ cần chứng minh:

+

=

∈

+ ax b a yb

∈ . Mà

∈ và P

của

∈ a b P ax P yb P

:

,

,

( a x

) y b

(

)

(

)

=

+ ∈

ax

yb

P

∈ . Do đó theo định nghĩa

∈ Vậy '.

x

', y P xy P

'P , ta có:

( ) a xy b

(

)(

)

'P là một thứ tự của

'R mở rộng từ P và tính duy nhất của

'P là hiển nhiên.

suy ra tồn tại

Nhận xét:

Định nghĩa của một thứ tự trên vành không dựa trên sự tồn tại của phần tử

đơn vị. Vì thế, chúng ta có thể nói về thứ tự trên vành có thể không có đơn vị.

R R⊆ có thể không có đơn vị,

'

'R là vành các thương của R .

Do đó, định lý trên cũng đúng cho bất kỳ vành

2.5.2. Hệ quả

Cho R là một miền và I là ideal khác không của R . Khi đó bất kỳ thứ tự

trên I (xem như vành không có đơn vị) đều mở rộng duy nhất thành một thứ tự

trên R .

∈

Chứng minh.

ax

∈ I xa I ,

0

a ≠ trong I . Với bất kỳ x R∈ , ta có:

Cố định một phần tử

Vì R là một vành các thương của I , áp dụng định lý 2.5.1 ta có điều phải chứng

minh.

Nhận xét: Nói chung lớp các vành sắp thứ tự là quá rộng và khác biệt so với bất

kỳ định lý về sự phân lớp tốt nào. Do đó, lớp con của vành sắp thứ tự Acsimet đủ

nhỏ để có thể được mô tả hoàn toàn.

28

2.6. Định lý

,R < . Khi đó:

2.6.1. Định nghĩa

)

>

=

a

n

Cho a là phần tử dương trong vành sắp thứ tự (

1n ≥ .

a là vô cùng lớn nếu

(

).1 n

1n ≥ .

na < với bất kỳ số nguyên

1

a là vô cùng bé nếu

với bất kỳ số nguyên

,R < . Hai tính chất sau là tương đương:

2.6.2. Bổ đề

)

0

1n ≥ sao cho na b> .

a b > trong R , tồn tại số nguyên ,

Cho vành sắp thứ tự (

(1) Với

,R < được gọi là vành sắp thứ tự Acsimet.

R không có phần tử vô cùng lớn lẫn vô cùng bé. (2)

)

Nếu (1) hoặc (2) đúng thì (

2⇒ là rõ ràng.

( ) 1

( )

1⇒ Giả sử ta có (2) và lấy

0

1ma > với

a b > . Từ (2) ta có: b n< và ,

( ) 2

( )

1

,

m n ≥ là các số nguyên thích hợp.Ta suy ra mna

> > . n b

,R < là vành chia sắp thứ tự thì với

Chứng minh.

a

a> 0,

)

,R < là vành sắp thứ tự

là vô cùng lớn nếu và Chú ý: Nếu (

1a− là vô cùng bé. Do đó, trong trường hợp này (

)

chỉ nếu

Acsimet nếu và chỉ nếu R không có phần tử vô cùng lớn, nếu và chỉ nếu R

không có phần tử vô cùng bé.

29

,R < là vành sắp thứ tự Acsimet. Khi đó:

2.6.3. Định lý

)

Cho (

i)

R là vành giao hoán; (

)

,R < đẳng cấu thứ tự với vành con duy nhất của  (với thứ tự

ii)

cảm sinh).

iii) Chỉ có duy nhất tự đẳng cấu thứ tự của R là ánh xạ đồng nhất.

Ta sẽ sử dụng nhát cắt Dedekind để chứng minh định lý:

Một nhát cắt Dedekind là một tập con A của tập hợp số hữu tỉ  thỏa các

A ≠ ∅ ;

tính chất sau:

i)

\ A ≠ ∅



; ii)

∈

x A y

,

x

< thì y A∈ .

iii) A không chứa phần tử lớn nhất.

,x y ∈ , nếu

iv) Với

=

∈

m n m n :

,

,

Chứng minh định lý.

{

} < na m



aU

=

∈

>

m n m n :

,

,

n

0,

{

} ≤ m na



aL

,R < là Acsimet nên mỗi tập hợp này chứa một số nguyên. Đặc biệt,

Lấy a R∈ , đặt

)

}

Vì (

L U là lát cắt Dedekind trên  . ,a

a

chúng là tập con không rỗng của  . Ta có {

}

( f a . Xét ánh xạ

)

:f R →  . Giả sử

L U xác định một số thực ,a

a

Do đó, {

< ⇒

<

≥

a b

n

1:

2

30

> . Đặt m là số nguyên nhỏ

( ) f b

( f a

)

( − n b a

)

⇒ >

≥ na m

− > 1

m

+ − 1

. Lấy số nguyên

nb m

+ > 1

> m na

( − n b a

)

.na Khi đó:

⇒

≥

>

≥

nhất lớn hơn .

( ) f b

( f a

)

+ 1m n

m n

⊆

. Đặc biệt f là đơn ánh.

,a b R∈ . Ta có:

+ U U a

b

U + a b

Tiếp theo xét hai phần tử tùy ý và

L a

+ ⊆ L b

L + a b

=

+

. Suy luận từ tính chất của nhát cắt Dedekind ta có

( + f a b

)

( f a

)

( ) f b

=

.

( f ab

)

) ( ) ( f a f b

,R < đẳng cấu thứ tự với

. Chứng minh tương tự, ta có

)

)

( f R cùng với thứ tự cảm sinh từ  .

Vậy (

Trong trường hợp đặc biệt khi R là giao hoán, ta có f hiển nhiên là phép nhúng

thứ tự duy nhất từ R vào  . Từ đó ta có kết luận ii) và iii).

Nhận xét:

,R < là giao

Việc chứng minh định lý trên dựa vào nhát cắt Dedekind, tuy nhiên ta có

)

,R < là ánh xạ đồng nhất.

thể dùng phương pháp khác để chỉ ra vành sắp thứ tự Acsimet (

)

hoán và chỉ có tự đẳng cấu thứ tự của (

Chứng minh R là vành giao hoán

,a b R∈ , ta chứng minh ab ba=

. Lấy

−

≤

<

∃ ∈ n

:

n

a mb na

31

(

) 1



2

−

=

−

−

−

=

,R < là Acsimet và

m ab ba

< mb a a na

n

aa

a

Ta . Suy ra có: với m∈ bất kỳ,

)

) 1

)

(

(

(

)

)

( a mb

(

)

≤

ab ba−

0 (1)

. Vì (

≤

với mọi m∈ nên ta có

ba ab−

0 (2)

Tương tự, ta chứng minh được

,R < là ánh xạ đồng nhất.

Từ (1) và (2) suy ra ab ba= . Do đó R là vành giao hoán.

)

Chứng minh chỉ có tự đẳng cấu thứ tự của (

"< ) theo cách thông thường

Ta định nghĩa giá trị tuyệt đối (với thứ tự "

a= nếu

a= − nếu

0a < .

0a ≥ và a

như sau: a

) ,R < , lấy

0b > trong R . Ta có với m∈

'b

Gọi ϕ là tự đẳng cấu thứ tự của (

∃ ∈ n

:

n

− ≤ 1

< mb n

(*).

( ) bϕ=



−

< ⇔ −

− < 1

'

m b b

1

bất kỳ, và áp dụng ϕ cho bất đẳng

n

− ≤ 1

mb

'

( m b b

)

< ∀ ∈  . ' 1, m

thức (*), ta thu được: Đặt < . Suy ra n

b b

'

( ) = bϕ=

(

) ,R <

= −

ϕ

− b

b

= − . Do đó ϕ là ánh xạ đồng nhất trên R .

( ϕ

)

( ) b

Mặt khác, vì là Acsimet nên . Từ đó, ta có:

2.7. Các ví dụ về vành không giao hoán sắp thứ tự

∀

∈

< ⇔ −

f g ,

,

f

g

g

f

Các ví dụ về vành giao hoán sắp thứ tự thì tương đối nhiều như: vành số



[ ]x với quan hệ:

[ ] x

có nguyên  , số thực  , vành

hệ số dẫn đầu dương,…Tuy nhiên khi xét các vành không giao hoán sắp thứ tự

thì phức tạp hơn nhiều. Sau đây, chúng ta sẽ xét hai ví dụ cơ bản về các vành

không giao hoán sắp thứ tự.

2.7.1. Ví dụ 1

,G < là nhóm nhân sắp thứ tự. Trong

,R < là vành sắp thứ tự và (

)

32

)

Cho (

n

, định nghĩa: vành nhóm A RG=

=

>

<

/

0 trong

< < ...

trong

P

g

g

G

r 1

, R g 1

2

r g i

i

n

∑

= 1

i

  

  

,A P là vành sắp thứ tự.

.

)

Khi đó, ta có (

Chứng minh.

),.G sắp thứ tự nếu tồn tại một thứ tự

∀

< ⇒ <

Trước tiên ta có một nhóm nhân (

∈ , ta có:

,a b c G ,

"< trên G sao cho:

a b

ac bc .

+ ⊆

=

P P P P

,

P

A

toàn phần "

)

{ } \ 0

( ∪ −

.P P P⊆

αα ∈ khi đó:

là rõ ràng. Ta cần kiểm tra tính chất Ta có:

' P

,

n

α

=

>

<

Lấy

0 trong

< < ...

trong

g

g

G

, r g r i i 1

, R g 1

2

n

∑

= 1

i

m

=

>

<

α '

,

0 trong

g

< < ...

g

trong

G

' ' ' r g r j j 1

' R g , 1

' 2

' m

∑

= 1

j

.

+

+

+

∈

∈

αα = .

'

...(

),

' ' r r g g 1 1 1 1

s h 2 2

s h 3 3

s R h G , i

i

>

<

<

<

0 trong

...

trong G

' r r 1 1

' R g g , 1 1

h 2

h 3

,A P là vành sắp thứ tự.

' Pαα⇒ .

)

∈ . Vậy P là một thứ tự trong A . Do đó (

Ta có:

33

2.7.2. Ví dụ 2

Xét một đại số Weyl R trên trường số thực  , sinh bởi hai biến x và y

xy

yx−

1

= . Khi đó các phần tử của R được biểu diễn duy nhất dưới

n

=

+

với quan hệ

r

+ + ...

( ) r x y n

( ) r x 0

( ) r x y 1

∈

≠

0

, trong đó mỗi dạng chính tắc



( ) r x i

[ ] ( ) x r x , n

≠ ∈ như trên,

.

( )

nr x có hệ số dẫn

Xét P R⊂ là tập tất cả các phần tử 0 r R

"< trên R , trong đó:

2

2

2

2

< < <

<

<

<

<

< < x

x

y

xy

2 x y

y

xy

2 x y

...

< < ...

...



đầu dương. Khi đó P xác định một thứ tự "

Chứng minh.

=

I

I∈ là hệ độc lập, không giao hoán

Đại số Weyl:

∈ với {

}

:ix i

=

F

f

:

j

Cho k là vành và

( R F ,

)

j

{

R k x i :i } ∈ ⊆ J

RR =

trên k . là ideal sinh bởi F trong R . Ta có vành

F

(

)

=

=

−

RR =

∈

R k x y

,

F

xy

yx

thương . Ta xem R là vành sinh bởi { }ix trên k với quan hệ F

{

}1 − thì

f

I

0

j

x i : i

{

}

(

)

và là

) = ∈ ∀ . Nếu R j ,

(

F

(

)

x y

y x−

= . 1

(

)

1A k với quan hệ

.k Kí hiệu là

đại số Weyl trên

+ ⊆

=

P P P P

,

P

R

Trở lại ví dụ 2:

( ∪ −

)

{ } \ 0

Ta có hai tính chất là rõ ràng.

.P P P⊆ .

Ta cần kiểm tra

34

,r s P∈ , ta có:

i

=

+

>

r

+ + ...

,

+ + ...

0

( ) n r x y r x n

n

a x i

a a , 0 i

m

k

=

+

=

>

+ + ...

,

+ + ...

0

s

s

s

( ) r x 0 ( ) x

( ) ( ) x y

= ( ) x

s 0

( ) r x y 1 ( ) s x y 1

m

m

b x k

, b b 0 k

Lấy

( ) m x y .

( ) n r x y s n m

k

k

n

i

i

n

Khi đó tích của r và s được viết dưới dạng chính tắc như trên, số hạng có bậc cao nhất trong y được xác định từ tích

=

=

+

y

y

( ) x

n y s m

b x i

b x i

∑

∑

=

=

0

0

i

i

  

  

m

n m

=

+ các số hạng có bậc của y bé hơn

Ta có: các số hạng có bậc của y bé hơn n .

( ) x y

( ) x y +

( ) n r x y s n m

( ) r x s n m

n m+ .

Do đó:

( ) x là tích hệ số dẫn đầu của

( ) x và tích

( ) r x s n m

( ) nr x và

ms

Hệ số dẫn đầu của

.r s P∈ .

< ⇔ − ∈ ∀ ∈ .

r

r P r s P

s

s

,

,

này là số dương. Vậy

Vậy P xác định một thứ tự trên R như sau:

2

2

2

2

< < <

<

<

<

<

< < x

x

...

y

xy

2 x y

< < ...

y

xy

2 x y

...



Cuối cùng ta kiểm tra với thứ tự đó, ta luôn có:

Ta xét hai trường hợp sau:

t<

l

t

t

l

t

l

<

⇔

−

−

Trường hợp 1: l

k x y

s x y

s x y

k x y

∈ (vì P

s x y

k x y

Ta có: có hệ số dẫn đầu là 1 0> )

t=

Trường hợp 2: l

l

l

s

k

l

s

k

<

∈

k x y

s x y

x

y

P

35

x

x−

)

( ⇔ − x

Ta có: có hệ có hệ số dẫn đầu là 1 0> ). (vì

KẾT LUẬN

Kết quả luận văn:

- Nêu lên được mối quan hệ giữa vành tiền sắp thứ tự và vành sắp thứ tự.

- Điều kiện để một tiền thứ tự trở thành một thứ tự.

- Điều kiện để vành R có thứ tự. - Tìm ra mối quan hệ giữa miền nguyên sắp thứ tự và vành các thương.

- Tìm ra mối quan hệ giữa vành sắp thứ tự Acsimet và tính giao hoán của

vành.

- Nêu được một số ví dụ minh họa của vành không giao hoán sắp thứ tự.

36

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Nguyễn Viết Đông, Trần Ngọc Hội (2005), Đại số đại cương, Nxb Đại học

quốc gia Tp. Hồ Chí Minh.

2. Lê Thanh Hà (1999), Các cấu trúc đại số cơ bản, Nxb Giáo dục.

3. Mỵ Vinh Quang (1999), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục.

Tiếng Anh

I.N. (1968), Noncommutative Rings, The Mathematical 4. Herstein

Association of America, USA.

5. Lam T.Y. (1991), A First Course in Noncommutative Rings, Springer –

Verlag, New York.

6. Lam T.Y. (2003), Exercises in classical ring theory, Springer – Verlag, New

York.