ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
HOÀNG THỊ QUỲNH NHƯ
ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ
CỦA BÀI TOÁN BIẾN PHÂN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG
Thái Nguyên - 2017
2
Mục lục
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Không gian tuyến tính định chuẩn . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Khái niệm về không gian tuyến tính . . . . . . . . 5
1.1.2 Khái niệm về không gian tuyến tính định chuẩn . 6
1.2 Phép tính vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Dưới vi phân của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Đạo hàm Gâteaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Chương 2. Điều kiện cần cực trị cho bài toán tối ưu trong
không gian vô hạn chiều 13
2.1 Định lí Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Bài toán trơn không có ràng buộc . . . . . . . . . 14
2.1.2 Bài toán lồi không có ràng buộc . . . . . . . . . . 16
2.2 Qui tắc nhân tử Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chương 3. Điều kiện cần cho bài toán biến phân 30
3.1 Bài toán biến phân cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Phương trình Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Bổ đề Du Bois-Reymond và bài toán Bolza . . . . . . . . 42
3.4 Ví dụ của Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5 Điều kiện Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.6 Điều kiện Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.7 Điều kiên Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.8 Bài toán đẳng chu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.9 Bài toán điều khiển tối ưu và nguyên lý cực đại Pontriagin62
3.9.1 Dẫn tới bài toán điều khiển tối ưu . . . . . . . . . 62
3.9.2 Bài toán điều khiển tối ưu . . . . . . . . . . . . . 63
3
Tài liệu tham khảo 66
3
Lời nói đầu
Điều kiện cần cực trị cho bài toán tối ưu được Fermat phát biểu
cách đây hơn 300 năm. Lí thuyết điều kiện cần cực trị trong không
gian hữu hạn chiều cho bài toán có hạn chế được phát triển qua nhiều
thời kì bởi các nhà toán học Lagrange, Euler, Kuhn, Tucker,...
Năm 1696, Johann I. Bernoulli đã phát biểu bài toán đường đoản
thời (brachistochrone): Cho trước hai điểm Avà Btrên một mặt phẳng
thẳng đứng. Hãy xác định đường AMB để dưới tác động của lực trọng
trường một vật thể Mchuyển động trên đó từ Ađến Btrong thời gian
ngắn nhất.
Vấn đề này bắt nguồn từ thực nghiệm của G. Galilei: Nếu cho hai
viên bi giống nhau lăn trên dây cung và trên cung tròn thì viên bi lăn
trên cung tròn có thể đến điểm cuối nhanh hơn (mặc dù đường đi dài
hơn, nhưng tốc độ lớn hơn).
Giả sử y(x)là hàm mô tả đường cong chuyển động của viên bi trên
hệ trục tọa độ (x, y)với y(x0) = 0, y(x)≤0khi x≥x0.Điểm Acó
tọa độ là A(x0,0) và điểm Bcó tọa độ là B(x1, y1)cho trước.
Giả thiết lực ma sát là không đáng kể, theo định luật rơi Galilei, ta
có vận tốc của viên bi là p−2gy(x),trong đó g≈9,8m/s2là gia tốc
rơi tự do. Quãng đường đi được sau thời gian dt là ds =p1 + y′2(x)dx.
Vì v(t) = ds
dt nên p−2gy(x) = p1 + y′2(x)dx
dt hay dt =p1 + y′2(x)
p−2gy(x)dx.
Thời gian đi từ A(x0,0) đến B(x1, y1)sẽ là: T=
x1
Z
x0p1 + y′2(x)
p−2gy(x)dx.
Bài toán trở thành: Trong số tất cả các quỹ đạo (đường cong)
y(x)nối hai điểm A(x0,0) đến B(x1, y1)cho trước, hãy tìm đường cong
4
làm cực tiểu phiếm hàm
x1
Z
x0p1 + y′2(x)
p−2gy(x)dx.
Đây là bài toán cực trị có ràng buộc:
T=
x1
Z
x0p1 + y′2(x)
p−2gy(x)dx →inf (1)
y(x0) = 0, y(x1) = y1.(2)
Bài toán (1)–(2) là bài toán tối ưu trong không gian vô hạn chiều
(không gian tất cả các đường cong trơn nối hai điểm cho trước).
Sau Bernoulli, bài toán này được tổng quát thành bài toán biến phân:
J(x(.)) =
t1
Z
t0
L(t, x(t),˙x(t))dt →inf
(x(t0), x(t1)) ∈Γ,
trong đó [t0, t1]⊂Rcho trước, Γ⊂Rn×Rn, L là hàm liên tục trên
miền nào đó của R×Rn×Rn.
Mục đích của luận văn là trình bày các khái niệm nghiệm yếu và
nghiệm mạnh địa phương và toàn cục của bài toán biến phân, các điều
kiện cực trị cấp một và cấp hai của bài toán biến phân.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Tạ Duy Phượng
đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá tình học tập và
nghiên cứu. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các Giáo
sư, Phó giáo sư, Tiến sĩ, quý thầy cô giáo giảng dạy tại Đại học Khoa
học, Đại học Thái Nguyên và tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa
học và Công nghệ Việt Nam, đã mang đến cho em nhiều kiến thức bổ
ích trong nghiên cứu khoa học. Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn tới
gia đình và các bạn đồng môn đã luôn giúp đỡ và động viên tôi trong
thời gian học tập và trong quá trình hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 05 năm 2017.
Tác giả
Hoàng Thị Quỳnh Như