Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm lợi ích và ứng dụng trong Toán tài chính

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:69

Thêm vào BST

Báo xấu

102
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm lợi ích và ứng dụng trong Toán tài chính trình bày về những kiến thức cơ sở như khái niệm cơ bản của thị trường tài chính, biến ngẫu nhiên và các đặc trưng,... Bên cạnh đó, luận văn còn trình bày về hàm lợi ích; ứng dụng trong thuyết đầu tư.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm lợi ích và ứng dụng trong Toán tài chính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đặng Nguyễn Ngọc Thúy HÀM LỢI ÍCH VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đặng Nguyễn Ngọc Thúy HÀM LỢI ÍCH VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN CHÍ LONG Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
3 MỤC LỤC Lời cảm ơn ...................................................................................................................... 5 Danh sách hình vẽ........................................................................................................... 6 Mở đầu ............................................................................................................................ 7 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ ................................................................................ 8 1.1 Các khái niệm cơ bản của thị trường tài chính ................................................. 8 1.2 Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng ..................................................................... 8 1.2.1 Định nghĩa .................................................................................................. 8 1.2.2 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên ................................................................. 9 1.3 Phân phối chuẩn và phân phối loga chuẩn .......................................................... 11 1.3.1 Phân phối chuẩn ........................................................................................... 12 1.3.2 Phân phối loga chuẩn ................................................................................... 13 1.4 Quá trình ngẫu nhiên và chuyển động Brown..................................................... 13 1.4.1 Quá trình ngẫu nhiên .................................................................................... 13 1.4.2 Chuyển động Brown ..................................................................................... 14 1.5 Mô hình bước ngẫu nhiên loga chuẩn ............................................................. 14 1.5.1 Sự cộng gộp liên tục ..................................................................................... 14 1.5.2 Xây dựng mô hình bước ngẫu nhiên loga chuẩn ..................................... 17 CHƯƠNG II: HÀM LỢI ÍCH ...................................................................................... 21 2.1 Định nghĩa và ví dụ ............................................................................................. 21 2.1.1 Định nghĩa..................................................................................................... 21 2.1.2 Nguyên tắc cực đại kỳ vọng hàm lợi ích và bài toán đầu tư tối ưu .............. 22 2.1.3 Ví dụ ............................................................................................................. 22 2.2 Giá trị tương đương hầu chắc chắn của một phương án đầu tư ...................... 25 2.3 Hàm lợi ích và phép biến đổi affine dương .................................................... 26 2.4 Một vài hàm lợi ích thường gặp .......................................................................... 27 2.4.1 Ví dụ ............................................................................................................. 27 2.4.2 Hàm lợi ích logarit ........................................................................................ 36 2.4.3 Hàm lợi ích lũy thừa ..................................................................................... 37 2.4.4 Hàm mũ......................................................................................................... 39 2.5 Hàm e ngại rủi ro................................................................................................. 41
4 2.5.1 Xây dựng hàm e ngại rủi ro ......................................................................... 41 2.5.2 Tính chất ....................................................................................................... 42 2.5.3 Hàm e ngại rủi ro ứng với một số hàm lợi ích .............................................. 46 CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT ĐẦU TƯ .................................. 49 3.1 Hiệu quả .............................................................................................................. 49 3.2 Hàm lợi ích mũ và sự đầu tư với lợi tức thu được là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn ......................................................................................................................... 49 3.3 Hàm lợi ích lũy thừa và sự đầu tư với lợi tức thu được là biến ngẫu nhiên phân phối loga-chuẩn ......................................................................................................... 57 Kết luận......................................................................................................................... 66 Chỉ mục......................................................................................................................... 67 Tài liệu tham khảo ........................................................................................................ 68
5 Lời cảm ơn Trong quá trình thực hiện đề tài em đã gặp rất nhiều khó khăn và bỡ ngỡ. Nếu không có những sự giúp đỡ và lời động viên chân thành của thầy cô và bạn bè đồng nghiệp có lẽ em khó có thể hoàn thành tốt luận văn này. Đầu tiên em xin gửi lời biết ơn chân thành tới thầy Nguyễn Chí Long, người trực tiếp hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành luận văn này. Em muốn gửi lời cám ơn đến các thầy cô giáo trong hội đồng phản biện, những ý kiến đóng góp của quý thầy cô là vô cùng hữu ích, giúp em nhận ra các khuyết điểm của luận văn này và hoàn thiện luận văn. Đồng thời em gửi lời cám ơn đến các thầy cô, cán bộ phòng sau đại học đã tạo mọi điều kiện trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Và sau cùng con xin cám ơn cha mẹ, anh chị đã luôn động viên và tạo điều kiện cho con ăn học và nuôi dạy con nên người. Tp Hồ Chí Minh, Tháng 9 Năm 2012 Đặng Nguyễn Ngọc Thúy
6 Danh sách hình vẽ Hình 2. 1. Trò chơi công bằng ...................................................................................... 24 Hình 2. 2. Đầu tư rủi ro với hàm lợi ích U (ω ) = −ω −3 ................................................. 28 Hình 2. 3. Đầu tư rủi ro với hàm lợi ích U (ω ) = −1010 ω −5 ............................................ 29 Hình 2. 4. Đường cong lợi ích ứng với λ = −3 ............................................................. 32 Hình 2. 5. Đường cong lợi ích ứng với λ = −5 ............................................................. 33 Hình 2. 6. Phương án đầu tư tối ưu .............................................................................. 35 Hình 3. 1 Minh họa định lý 3.2 .................................................................................... 56 Hình 3. 2. Minh họa định lý 3.4 ................................................................................... 64
7 Mở đầu Toán tài chính là một ngành khoa học mới xuất hiện và phát triển trong khoảng bốn thập kỷ trở lại đây. Cùng với công cụ giải tích ngẫu nhiên, Toán tài chính đã và đang phát triển mạnh mẽ, thu được những thành tựu rực rỡ, đồng thời cung cấp những công cụ hữu ích cho các nhà đầu tư. Nhiều giải thưởng Nobel Kinh tế đã đạt được trên lĩnh vực Toán tài chính như: Nobel Kinh tế năm 1990 dành cho Harry Markovitz, Willliam Sharpe và Merton Miller, Nobel Kinh tế năm 1997 dành cho M.Scholes và Rober Merton, Nobel Kinh tế năm 2003 dành cho Clive Granger và Rorbert Engle. Khi tham gia vào thị trường tài chính, các nhà đầu tư luôn quan tâm tới lợi nhuận. Câu hỏi đặt ra: "Cách nào là tối ưu để đầu tư vào thị trường tài chính?". Bên cạnh đó, họ cũng thường có tâm lý e ngại rủi ro. Khái niệm e ngại rủi ro thường được sử dụng trong các mô hình thông qua khái niệm hàm lợi ích. Hàm lợi ích cho ta cách đo lường sự lựa chọn của nhà đầu tư phụ thuộc vào tổng vốn hiện có và mức độ e ngại rủi ro, với mong muốn là đạt được lợi nhuận lớn. Điều này đã thúc đẩy việc phát triển lý thuyết đầu tư tối ưu.Và hàm lợi ích chính là hạt nhân của lý thuyết đầu tư tối ưu hiện đại.Việc nghiên cứu về hàm lợi ích cũng như ứng dụng của nó góp một phần quan trọng vào sự phát triển của lý thuyết đầu tư hiện đại nói riêng và Toán tài chính nói chung.
8 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ ( Các định nghĩa, mệnh đề, định lý trình bày trong chương 1 được trích dẫn từ các tài liệu [1],[2],[3],[7],[8],[12],[14]) 1.1 Các khái niệm cơ bản của thị trường tài chính Các thị trường tài chính quan trọng: Thị trường cổ phiếu, thị trường trái phiếu, thị trường tiền tệ, thị trường hợp đồng giao sau và hợp đồng quyền chọn. Hàng hóa mua bán trong thị trường: • Tài sản cơ sở (tài sản nguyên khởi): gồm cổ phiếu, trái phiếu, đơn vị tiền tệ. • Tài sản phụ thuộc (phái sinh tài chính): là tài sản mà giá trị của nó phụ thuộc vào giá trị của tài sản cơ sở. • Phái sinh tài chính là một đối tượng nghiên cứu của Toán tài chính. Các quyền chọn, hợp đồng kỳ hạn... là những ví dụ điển hình về phái sinh tài chính. Phương án đầu tư: là danh mục gồm các số lượng của mỗi tài sản mà nhà đầu tư có trong thị trường tài chính. 1.2 Biến ngẫu nhiên và các đặc trưng Xét không gian xác suất ( Ω, F , P ) . Trong đó: • Ω là không gian mẫu hay không gian các biến cố sơ cấp. (Ω) Nếu A ⊂ Ω thì A là biến cố ngẫu nhiên. Khi đó: P= { A / A ⊂ Ω} là tập hợp tất cả các biến cố ngẫu nhiên. • F là σ − đại số các tập hợp con của Ω . • P là độ đo xác suất. 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1
9 Cho X xác định trên không gian xác suất ( Ω, F , P ) : X: Ω →  . w  X ( w) ∈  X được gọi là biến ngẫu nhiên nếu: X −1 (−∞, x= ] {w ∈ Ω : X ( w) ∈ (−∞, x]} ∈ F , ∀x ∈ . Mệnh đề 1.1 Nếu X , Y là các biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất ( Ω, F , P ) ; a, b là các hằng số thực thì aX + bY ; X − Y ; X / Y (Y ≠ 0); max( X , Y ), min( X , Y ) cũng là các biến ngẫu nhiên trên ( Ω, F , P ) . Nếu X là biến ngẫu nhiên trên ( Ω, F , P ) , g là hàm đo được trên  thì g ° X là biến ngẫu nhiên trên ( Ω, F , P ) . 1.2.2 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên 1. Hàm phân phối Cho biến ngẫu nhiên X , ta gọi hàm thực F được xác định bởi hệ thức: = X ( x ) : P ({w : X ( w) ≤ x}) F ( x) F= = P ( X ≤ x) , ∀x ∈  là hàm phân phối của X . 2. Hàm mật độ a. Phân phối rời rạc ● Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối rời rạc nếu miền giá trị của X là một tập hữu hạn hay đếm được. Ta còn gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc. Ta ký hiệu Im( X ) là tập giá trị của X . ● Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc với Im(= X) { xi , i ∈ I } với I = {1, 2,..., n} hay I =  , khi đó: =P ( X x= i) x xi f ( x)= f X ( x)= P ( X= x )=  , ∀i ∈ I 0 x ≠ xi được gọi là hàm mật độ rời rạc của X hay mật độ của X . ● Nếu f ( x) là hàm mật độ của X thì f ( x) ≥ 0 , ∀x ∈  và chỉ khác 0 ở không quá đếm được điểm.
10 b. Phân phối liên tục tuyệt đối ● Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối liên tục tuyệt đối nếu hàm phân phối của X liên tục tuyệt đối trên  . ● Biến ngẫu nhiên X có phân phối liên tục tuyệt đối nếu và chỉ nếu tồn tại hàm x = f ( x) ≥ 0 trên  sao cho F ( x) −∞ ∫ f (u )du , ∀x ∈  . Khi đó, ta gọi f ( x) là hàm mật độ của X . +∞ ● Nếu f ( x) là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X thì f ( x) ≥ 0 và ∫ −∞ f ( x)dx = 1 . +∞ Ngược lại, nếu f ( x) là hàm số không âm trên  và ∫ −∞ f ( x)dx = 1 thì f ( x) là hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên X nào đó. 3. Kỳ vọng toán học, phương sai, độ lệch chuẩn a. Kỳ vọng toán học Định nghĩa 1.2 ● Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị { xi , i ∈ I } , nếu ∑ x P( X = x ) i∈I i i hội tụ thì đại lượng = E(X ) ∑= x P(X i∈I i xi ) được gọi là kỳ vọng toán của X . ● Giả sử X là biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối với hàm mật độ f X ( x) , nếu +∞ +∞ ∫ x f X ( x)dx < ∞ thì đại lượng E ( X ) = ∫ xf X ( x)dx được gọi là kỳ vọng toán của X . −∞ −∞ Mệnh đề 1.2 Trong điều kiện tồn tại, kỳ vọng toán có các tính chất: i. EX ≤ E X ii. Nếu X ≤ Y thì E ( X ) ≤ E (Y ) iii. inf X ( w) ≤ E ( X ) ≤ sup X ( w) w∈Ω w∈Ω iv. E ( aX + bY= ) aE ( X ) + bE (Y ) . Mệnh đề 1.3
11 i. Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc với miền giá trị { xi , i ∈ I } , g là hàm Borel đo được trên  . Khi đó, g ( X ) có kỳ vọng và = E  g ( X )  ∑= g (x )P(X i∈I i xi ) nếu và chỉ nếu ∑ g ( x ) P ( X= i∈I i xi ) ≤ ∞ . ii. Giả sử X là biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối với hàm mật độ f X ( x) , g là hàm Borel +∞ đo được trên  .Khi đó, g ( X ) có kỳ vọng và E  g ( X )  = ∫ g ( x) f X ( x)dx nếu và chỉ −∞ +∞ nếu ∫ −∞ g ( x) f X ( x)dx < ∞ . b. Phương sai Định nghĩa 1.3 Giả sử X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng là E ( X ) , nếu E ( X − EX ) tồn tại thì ta nói 2 đó là phương sai của X . Ký hiệu: D( X ) hoặc Var ( X ) hoặc σ 2 ( X ) . ● σ ( X ) = D( X ) được gọi là độ lệch chuẩn của X . Mệnh đề 1.4 Trong điều kiện tồn tại phương sai có các tính chất: i. = ( ) D( X ) E X 2 − ( EX ) . 2 ii. D( X ) ≥ 0 0 ⇔ P(X = D( X ) = c) = 1 với c = const. iii. D ( cX ) = c 2 D( X ) . iv. D ( X ± c) = D( X ) . 1.3 Phân phối chuẩn và phân phối loga chuẩn Mệnh đề 1.5
12 −( x − µ ) 2 +∞ 1 ∫ 2σ dx = 1. 2 e −∞ 2πσ −( x − µ ) 2 +∞ 1 ∫−∞ x 2πσ e 2σ 2 dx = µ . −( x − µ ) 2 +∞ 1 ∫x 2σ = µ 2 + σ 2. 2 2 e dx −∞ 2πσ 1.3.1 Phân phối chuẩn Định nghĩa 1.4 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn N ( µ , σ 2 ) nếu hàm mật độ xác suất của X là: −( x − µ ) 2 1 = 2σ , ∀x ∈ ;( µ > 0, σ > 0). 2 f ( x) e σ 2π Ta viết: X ~ N ( µ , σ 2 ) . Nhận xét X −µ • Nếu X ~ N ( µ , σ 2 ) thì Y = ~ N ( 0,1) . σ X σ Y + µ ~ N ( µ ,σ 2 ) . • Nếu Y ~ N ( 0,1) ; σ > 0 thì = Mệnh đề 1.6 i. Nếu X ~ N ( µ , σ 2 ) thì E [ X ] = µ và D [ X ] = σ 2 . ii. Nếu X ~ N ( µ , σ 2 ) thì ( aX + b ) ~ N ( aµ + b, a 2σ 2 ) . iii. Nếu X ~ N ( µ1 , σ 12 ) ; Y ~ N ( µ2 , σ 22 ) và $ X,Y$ là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì ( X + Y ~ N µ1 + µ2 , σ 12 + σ 22 . ) Hệ quả 1.1 Nếu họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên { X 1 , X 2 ,..., X n } độc lập và X i ~ N ( µ , σ 2 ) với mọi ( ) n i = 1, 2,..., n thì ∑X i =1 i ~ N nµ , nσ 2 .
13 1.3.2 Phân phối loga chuẩn Định nghĩa 1.5 Phân phối loga chuẩn LN ( µ , σ 2 ) là phân phối của Y = e X khi X là phân phối chuẩn ( ) N µ , σ 2 . Ta viết: Y ~ LN µ , σ 2 . ( ) Mệnh đề 1.7 ( ) 1 Nếu X ~ LN ( µ , σ 2 ) thì E [ X ] = e µ+ σ 2 = D [ X ] e 2 µ +σ eσ − 1 . 2 2 i. 2 và ii. Nếu X 1 ~ LN ( µ1 , σ 12 ) ; X 2 ~ LN ( µ2 , σ 22 ) và X 1 , X 2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì ( X 1. X 2 ~ LN µ1 + µ2 , σ 12 + σ 22 . ) Hệ quả 1.2 Nếu họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên { X 1 , X 2 ,..., X n } độc lập và X i ~ LN ( µ , σ 2 ) với ( ) n mọi i = 1, 2,..., n thì ∏X i =1 i ~ LN nµ , nσ 2 . Mệnh đề 1.8 Cho X là biến ngẫu nhiên, X ~ LN ( µ , σ 2 ) . Khi đó, hàm mật độ xác suất của X là: −( ln x − µ ) 2 1 f ( x) = 2σ 2 e x 2πσ 1.4 Quá trình ngẫu nhiên và chuyển động Brown 1.4.1 Quá trình ngẫu nhiên Định nghĩa 1.6 Một quá trình ngẫu nhiên ( X t , t ≥ 0 ) là một hàm hai biến X (t , w) : Xt : + × Ω →  (t , w)  X (t , w) X (t , w) là một hàm đo được đối với σ − đại số B+ × F , trong đó B+ là σ − đại số các tập Borel trên = + [0, ∞ ) . Nhận xét
14 • Khi cố định mỗi w∈ Ω , hàm t  X (t , w) là một quỹ đạo mẫu của quá trình ngẫu nhiên ( X t , t ≥ 0 ) , ứng với yếu tố ngẫu nhiên w đó. • Khi cố định mỗi t ∈  + , hàm w  X (t , w) là một biến ngẫu nhiên. • Nếu t ∈ {1, 2,...., T } thì X là quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc. • Nếu X lấy giá trị trong không gian  n ( n ≥ 1 ) thì ta có một quá trình ngẫu nhiên n chiều. • Trong tài chính, các quá trình giá chứng khoán, giá trái khoán, giá sản phẩm phái sinh… đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên. 1.4.2 Chuyển động Brown Một trong những quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhất là quá trình chuyển động Brown. Quá trình này được sử dụng để xây dựng phần lớn các mô hình chứng khoán. Định nghĩa 1.7 Một quá trình ngẫu= nhiên B B(t , w) :  + × Ω →  được gọi là một chuyển động Brown nếu nó thỏa mãn: • B (0) = 1 tức là P {w : B(0, w= } 1. ) 0= • B (t ) là hàm liên tục theo t . • B (t ) có các số gia độc lập, phân phối chuẩn. Yi B ( ti ) − B ( ti −1 ) với i = 1,.., n thì: Yi , với Tức là: nếu 0 = t0 < t1 < t2 < ... < tn và= i = 1,..., n là các biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối chuẩn, E (Yi )= 0, Var (Yi )= ti − ti −1 với mọi i = 1,.., n . 1.5 Mô hình bước ngẫu nhiên loga chuẩn 1.5.1 Sự cộng gộp liên tục Ta xét một phương án đầu tư không rủi ro: Giả sử ta có vốn ban đầu là s0 , ta gửi tiết kiệm số tiền này hoặc đầu tư vào một tài sản không rủi ro nào đó với lãi suất hằng năm là µ . • Nếu lãi suất được công hằng năm, tức là một năm một lần thì sau một năm tiền lãi thu được là: s0 µ . Vậy sau một năm số tổng số tiền ta thu được là:
15 s= 1 s0 + s0 µ s1 − s0 Đặt r = , r gọi là lợi tức của sự đầu tư trên. Trong trường hợp này thì r = µ s0 • Nếu lãi suất được cộng vào hai năm một lần, tức là cứ sáu tháng lại cộng µ thêm . Sau 6 tháng đầu tiên, số tiền ta nhận được là: 2 µ  µ s 0.5 =+ s0 s0 . = s0 1 +  2  2 µ µ µ 2 Sau 6 tháng tiếp theo thì s1 = s0.5 + s0.5 . = s0.5 1 +  = s0 1 +  2  2  2  µ 2 s0 1 +  − s0 s1 − s0  µ 2 Lợi tức của sự đầu tư này: r = =  2 =1 +  − 1 s0 s0  2 µ • Nếu lãi suất được cộng hằng tháng, mỗi tháng là thì sau một năm số tiền ta 12 thu được là: µ 12  = s1 s0 1 +   12  µ 12  s0 1 +  − s0 s1 − s0 µ 12  12   Lợi tức của sự đầu tư này: r = = =+ 1  −1 s0 s0  12  µ • Nếu lãi suất được cộng hằng ngày ( không kể năm nhuận), mỗi tháng là 365 thì sau một năm số tiền ta thu được là: µ  365  = s1 s0 1 +   365  s1 − s0  µ  365 Lợi tức của sự đầu tư này: r = =1 +  −1 s0  365  µ • Nếu lãi suất được cộng n lần trong một năm, mỗi lần cộng thì sau một năm n ta thu được:  µ n = s1 s0 1 +   n
16 s − s0  µ  n Lợi tức của sự đầu tư này: r =1 =1 +  − 1 s0  n Cho n → +∞ ta có:  µ n =s1 s0 lim 1 +  n →+∞  n  µ n r= lim 1 +  − 1 n →+∞  n Suy ra: s1 = s0 e µ (1.1) r = e µ − 1 ⇒ µ = log ( r + 1) (1.2) Phương trình (1.1), (1.2) cho ta biết diễn biến khi lãi suất được cộng gộp một cách liên tục tại mọi thời điểm trong năm. Và µ được gọi là lợi tức được cộng gộp liên tục của sự đầu tư trên. Tổng quát: Xét một phương án đầu tư không rủi ro với vốn ban đầu là s0 , lợi tức được cộng gộp liên tục là µ . Đặt s(t) là giá trị của phương án đầu tư tại thời điểm t. Khi đó: s (t ) = s0 e µt Xét giá trị của phương án đầu tư tại thời điểm t+dt với dt rất nhỏ: dt ) s0 e (t= dt ) µ + s (t + = s0 e µt .e= µ dt s (t )e µ dt Đặt : ds (t ) = s (t + dt ) − s (t ) . Khi đó: ds (t ) = s (t + dt ) − s (t ) = s (t ) ( e µ dt − 1) ds (t ) ⇒ = e µ dt − 1, ∀t s (t ) ds (t ) Vậy = e µ dt − 1 (1.3) s (t ) Phương trình (1.3) mô tả sự thay đổi giá trị của phương án đầu tư không rủi ro khi thời gian thay đổi.
17 1.5.2 Xây dựng mô hình bước ngẫu nhiên loga chuẩn Ở phần trước ta xét phương án đầu tư không rủi ro với lợi tức cố định, ở phần này ta xem lợi tức là một biến ngẫu nhiên. Xét một phương án đầu tư rủi ro, với vốn ban đầu là s0 . Gọi s1 là giá trị của phương án đầu tư sau khoảng thời gian rất nhỏ dt, lợi tức của phương án đầu tư trong thời gian dt là một biến ngẫu nhiên Y1 . Khi đó: s1 s0 (1 + Yi ) = Ta xét thêm một khoảng thời gian dt nữa, gọi s2 là giá trị của phương án đầu tư sau khoảng thời gian này kết thúc, lợi tức của phương án đầu tư trong thời gian dt thứ 2 là một biến ngẫu nhiên Y2 . Khi đó: s2 = s1 (1 + Y2 ) = s0 (1 + Y1 )(1 + Y2 ) . Vậy khi thời gian qua đi, giá trị của phương án đầu tư sẽ thay đổi bởi các đại lượng ngẫu nhiên. Gọi sn là giá trị của phương án đầu tư sau khi n khoảng thời gian dt kết thúc. Yi là lợi n tức của phương án đầu tư trong khoảng thời gian dt thứ i. Khi đó: = sn s0 ∏ (1 + Yi ) i =1 Lấy log hai vế ta có:  n   n  ln ( sn )= ln  s0 ∏ (1 + Yi ) = ln ( s0 ) + ln  ∏ (1 + Yi )  =  i 1=  i1  n =ln ( s0 ) + ∑ ln (1 + Yi ) i =1 s  n ⇒ ln ( sn ) − ln ( s0 ) = ln  n  = ∑ ln (1 + Y ) i  s0  i =1 Z i ln (1 + Yi ) khi đó Z i là biến ngẫu nhiên và ta có: Với mỗi i, đặt = s  n ln  n  = ∑ Z i  s0  i =1 ● Giả sử các biến ngẫu nhiên Yi thỏa mãn các điều kiện sau: i. Các biến ngẫu nhiên Yi là độc lập. Những gì diễn ra tại một khoảng thời gian nào đó sẽ không ảnh hưởng tới diễn biến tại những khoảng thời gian sau đó hay nói cách khác thị trường “ không có ký ức”.
18 ii. Với mọi i thì Yi có cùng phân phối. Giá trị trung bình, độ lệch chuẩn, và tất cả những thuộc tính khác của phân phối xác suất không đổi theo thời gian. iii. Yi có phương sai hữu hạn. Z i ln (1 + Yi ) cũng thỏa mãn các điều Do Yi thỏa mãn các điều kiện (i),(ii),(iii) nên = kiện trên. 1  sn  Theo định lý Giới hạn trung tâm, ta có: lim ln   có phân phối chuẩn. n →∞ n  s0  Giả sử Z i là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với giá trị trung bình và phương sai như nhau. Đặt: E ( Zi ) µ= ⇒ E ( Z i ) = µ dt dt D ( Zi ) σ2 = ⇒ D ( Z i ) = σ 2 dt dt Khi đó: Z i  N ( µ dt , σ 2 dt ) . Định nghĩa: dX i := ( Zi − µ dt ) σ Z i µ dt + σ dX i với dX i  N ( 0, dt ) . Suy ra = Gọi s (t ) là giá trị của phương án đầu tư tại thời điểm t ( thời điểm n khoảng thời gian dt giống nhau kết thúc) Khi đó: s (t ) = sn  s (t )   sn  ln   = ln    s0   s0  n = ∑ Zi i =1 n = ∑ ( µ dt + σ dX ) i i =1 với dX i  N ( 0, dt ) n n = =i 1 =i 1 ∑ µ dt + ∑ σ dX i n = nµ dt + σ ∑ dX i i =1 n = µ t + σ ∑ dX i i =1
19 Do Z i , (i = 1,..., n) , là biến ngẫu nhiên độc lập nên dX i , i = 1,..., n cũng là biến ngẫu nhiên độc lập, các dX i đều có phân phối chuẩn với trung bình là 0 và phương sai là dt. n Từ đó ta có: X = ∑ dX i là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình là 0 và i =1 phương sai là n.dt = t . Ta có:  s (t )  ln   µt + σ X = X  N ( 0, t )  0  s s (t ) ⇒ = e µt +σ X s0 s0 e µt +σ X ⇒ s (t ) = µ t + σ X  N ( µ t , σ 2t ) ⇒ e µt +σ X  LN ( µt , σ 2t ) ). (Ta thấy Y = Giá trị của phương án đầu tư tại thời điểm t’=t+dt với dt là khoảng thời gian rất s0 e ( ) ngắn: s (t + dt ) = µ t + dt +σ Y với Y  N ( 0, t + dt ) s (t + dt ) s0 e (t= s (t )e µ dt +σ dX với dX  N ( 0, dt ) µ + dt ) +σ ( X + dX ) = Suy ra s0 e µt +σ= X µ dt +σ dX .e Khi đó: ds (t ) = s (t + dt ) − s (t ) = s (t ) ( e µ dt +σ dX − 1) ds (t ) ⇒ = e µ dt +σ dX − 1 s (t ) ds (t ) Phương trình:= e µ dt +σ dX − 1 với dX  N ( 0, dt ) (1.4) mô tả sự thay đổi của phương s (t ) án đầu tư rủi ro theo thời gian. Phương trình này khác với phương trình (1.3) ở đại lượng ngẫu σ dX dùng để đo lường rủi ro của phương án đầu tư . Phương trình (1.3) là trường hợp đặc biệt của (1.4) khi σ =0 . ds (t ) Phương trình= e µ dt +σ dX − 1 với dX  N ( 0, dt ) là một công thức của mô hình bước s (t ) ngẫu nhiên log normal ( trong đó µ gọi là trung bình lợi tức cộng gộp liên tục của
20 phương án đầu tư, σ là độ lệch chuẩn tương ứng). Tuy nhiên trong mô hình tài chính với thời gian liên tục thì mô hình bước ngẫu nhiên thường được mô tả bởi phương trình: ds = α dt + σ dX (1.5) s Trong đó α gọi là trung bình lợi tức tức thời. Mối liên hệ giữa hai phương trình (1.4) và (1.5) thể hiện qua định lý sau: Định lý (trích dẫn [13] trang 9) Cho s là biến ngẫu nhiên bất kỳ . Khi đó: ds ds = α dt + σ dX ⇔ = e µ dt +σ dX − 1 s s 1 Với dX  N ( 0, dt ) và α= µ + σ 2 . 2 Trong trường hợp này: • s thỏa một bước ngẫu nhiên loga chuẩn  s (1)  • ln   có phân phối chuẩn với kỳ vọng µ , độ lệch chuẩn σ .  s (0)  • α là kỳ vọng lợi tức tức thời hằng năm, µ kỳ vọng lợi tức cộng gộp liên tục hằng năm, σ là độ lệch chuẩn tương ứng. • Tại mọi thời điểm t cho trước, s (t ) là biến ngẫu nhiên có phân phối loga chuẩn xác định bởi: s (t ) = s (0)e µt +σ X với X ~ N ( 0, t ) .