ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------
NGUYỄN THỊ PHƢỢNG
HỆ PHƢƠNG TRÌNH TOÁN TỬ: THAM SỐ HIỆU CHỈNH VÀ SỰ HỘI TỤ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------
NGUYỄN THỊ PHƢỢNG
HỆ PHƢƠNG TRÌNH TOÁN TỬ: THAM SỐ HIỆU CHỈNH VÀ SỰ HỘI TỤ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Lâm Thùy Dƣơng
THÁI NGUYÊN - 2017
iii
Mục lục
Bảng ký hiệu 1
Mở đầu 2
Chương 1. Hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh trong
5
không gian Banach 1.1 Phương trình toán tử đặt không chỉnh và phương pháp hiệu
5
chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Một số tính chất hình học của không gian Banach
5 và toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Phương trình toán tử đặt không chỉnh và phương
pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov . . . . . . . . . . 10
1.2 Hệ phương trình toán tử trong không gian Banach . . . . . . 19 . . . . . . . 19 1.2.1 Phương trình toán tử và bài toán cực trị
1.2.2 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu . . . . . 20
Chương 2. Nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh 25
2.1 Nguyên lý tựa độ lệch và tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . 25 25 2.1.1 Chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch
2.1.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . 30 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp và ví dụ minh họa . . . . . . . 32
2.2.1 Phương pháp hiệu chỉnh lặp . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
iv
Kết luận 41
Tài liệu tham khảo 42
1
Bảng ký hiệu
R
H tập hợp số thực không gian Hilbert thực
không gian Banach
X X ∗ Lp[a, b], 1 < p < ∞ không gian đối ngẫu của X không gian các hàm khả tích bậc p
trên đoạn [a, b] không gian các dãy số khả tổng bậc p
lp, 1 < p < ∞ ∅ ∀x tập rỗng với mọi x
D(A) R(A) miền xác định của toán tử A miền ảnh của toán tử A
I xn → x0 xn (cid:42) x0 J q J toán tử đồng nhất dãy {xn} hội tụ mạnh về x0 dãy {xn} hội tụ yếu về x0 ánh xạ đối ngẫu tổng quát ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị
2
Mở đầu
Nhiều bài toán của thực tiễn khoa học, công nghệ và kinh tế . . . được
đưa về việc giải hệ phương trình toán tử:
i = 0, 1, . . . , N, (1) Aix = fi,
ở đây, Ai : X → Y là các toán tử từ không gian X vào không gian Y , fi ∈ Y cho trước và N là một số dương cố định.
Trong một thời gian dài người ta cho rằng mọi bài toán đặt ra đều giải được. Nhưng thực tế chỉ ra quan niệm đó là sai lầm. Trong tính toán các
bài toán thực tế bằng máy tính luôn diễn ra quá trình làm tròn số. Chính
sự làm tròn đó đã dẫn đến sự sai lệch đáng kể về nghiệm, tức là có một sự thay đổi nhỏ của các dữ kiện đầu vào có thể dẫn đến sự sai khác rất
lớn về nghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở lên vô nghiệm hoặc vô định. Người ta nói những bài toán đó đặt không chỉnh.
Bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử (1), nói chung, cũng là một bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa một thay đổi nhỏ trong dữ
liệu của bài toán có thể dẫn đến một sai khác bất kỳ trong lời giải. Việc
xây dựng phương pháp hữu hiệu giải bài toán này đã và đang được các nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
Mục đích của đề tài luận văn là trình bày phương pháp hiệu chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử đặt không
chỉnh (1) trong không gian Banach, nêu cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch và đưa ra ví dụ minh họa. Nội dung của đề tài được
3
viết trên cơ sở bài báo [6] của Nguyễn Bường, Trần Thị Hương và Nguyễn Thị Thu Thủy công bố năm 2016 về những vấn đề sau:
1. Phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh (1)
trong không gian Banach; sự hội tụ của phương pháp; tham số hiệu
chỉnh chọn theo nguyên lý tựa độ lệch và tốc độ hội tụ của phương pháp.
2. Phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ (1) và kết quả số minh họa.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung
chính của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 trình bày khái niệm và tính chất của không gian Banach phản xạ lồi chặt, toán
tử đơn điệu, đơn điệu cực đại, ngược đơn điệu mạnh, toán tử liên tục Lipschitz; giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn
điệu đặt không chỉnh, trình bày chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp. Chương 2 giới thiệu cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý
tựa độ lệch, trình bày định lý đánh giá tốc độ hội tụ của phương pháp; giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh lặp, sự hội tụ của phương pháp, đồng
thời đưa ra ví dụ số minh họa cho phương pháp đã giới thiệu.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Lâm Thùy Dương. Tác giả
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học
– Đại học Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của các Giáo sư của Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin
- Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, các thầy cô của khoa
Toán – Tin và Trường Đại học Khoa học. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Trung học phổ thông Bắc Mê - Hà Giang và các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện
tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học.
4
Xin cảm ơn các anh chị em học viên lớp cao học K9C và bạn bè đồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập
và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn
Nguyễn Thị Phượng
5
Chương 1
Hệ phương trình toán tử đặt không
chỉnh trong không gian Banach
Chương này giới thiệu về hệ phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach, giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử
đơn điệu đặt không chỉnh và sự hội tụ mạnh của phương pháp. Nội dung của chương được trình bày trong 2 mục. Mục 1.1 giới thiệu về phương trình
toán tử đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov.
Mục 1.2 giới thiệu hệ phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach và phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đặt không
chỉnh.
1.1 Phương trình toán tử đặt không chỉnh và phương
pháp hiệu chỉnh
Nội dung của chương được tổng hợp từ các tài liệu [1], [2], [3], [4] và [6].
1.1.1 Một số tính chất hình học của không gian Banach và toán
tử đơn điệu
Cho X là không gian Banach với không gian đối ngẫu ký hiệu là X ∗. Ta dùng ký hiệu (cid:107).(cid:107) cho chuẩn trong X và X ∗ và viết tích đối ngẫu (cid:104)x∗, x(cid:105) thay cho giá trị của phiếm hàm tuyến tính x∗ ∈ X ∗ tại điểm x ∈ X, tức là (cid:104)x∗, x(cid:105) = x∗(x).
6
Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach X được gọi là phản xạ, nếu với mọi phần tử x∗∗ ∈ X ∗∗, không gian liên hợp thứ hai của X, đều tồn tại phần tử x ∈ X sao cho
x∗(x) = x∗∗(x∗) với mọi x∗ ∈ X ∗.
Định lý 1.1.2 (xem [3]) Cho X là một không gian Banach. Khi đó, các
khẳng định sau là tương đương:
(i) X là không gian phản xạ.
(ii) Mọi dãy bị chặn trong X đều có một dãy con hội tụ yếu.
Ví dụ 1.1.3 Các không gian lp, không gian Lp[a, b], 1 < p < ∞ là các không gian Banach phản xạ.
Ký hiệu SX := {x ∈ X : (cid:107)x(cid:107) = 1} là mặt cầu đơn vị của không gian
Banach X.
Định nghĩa 1.1.4 Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu với mọi điểm x, y ∈ X, x (cid:54)= y, mà (cid:107)x(cid:107) = 1, (cid:107)y(cid:107) = 1 thì
(cid:13) (cid:13) (cid:13) < 1. (cid:13) (cid:13) (cid:13)
x + y 2 Ví dụ 1.1.5 Không gian X = Rn với chuẩn (cid:107)x(cid:107)2 được xác định bởi
i=1
(cid:18) n (cid:19)1/2 (cid:88) , (cid:107)x(cid:107)2 = x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn x2 i
là không gian lồi chặt.
n (cid:88)
Không gian X = Rn, n ≥ 2 với chuẩn (cid:107)x(cid:107)1 xác định bởi
i=1
(cid:107)x(cid:107)1 = |xi|, x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
không phải là không gian lồi chặt. Thật vậy, lấy x = (1, 0, . . . , 0), y = (0, 1, 0, . . . , 0) ∈ Rn. Ta thấy x (cid:54)= y, (cid:107)x(cid:107)1 = (cid:107)y(cid:107)1 = 1 nhưng (cid:107)x + y(cid:107)1 = 2.
Định nghĩa 1.1.6 Không gian Banach X được gọi là không gian trơn nếu với mỗi điểm x nằm trên mặt cầu đơn vị SX của X tồn tại duy nhất một phiếm hàm gx ∈ X ∗ sao cho (cid:104)gx, x(cid:105) = (cid:107)x(cid:107) và (cid:107)gx(cid:107) = 1.
7
Ví dụ 1.1.7 Các không gian lp, Lp[a, b], 1 < p < ∞ là không gian Banach trơn.
Định nghĩa 1.1.8
(i) Chuẩn của không gian Banach X được gọi là khả vi Gâteaux nếu với mỗi y ∈ SX giới hạn
(1.1) lim t→0 (cid:107)x + ty(cid:107) − (cid:107)x(cid:107) t
tồn tại với x ∈ SX, ký hiệu (cid:104)y, (cid:53)(cid:107)x(cid:107)(cid:105). (cid:53)(cid:107)x(cid:107) được gọi là đạo hàm Gâteaux của chuẩn.
(ii) Chuẩn của X được gọi là khả vi Fréchet nếu với mỗi x ∈ SX, giới hạn (1.1) tồn tại đều với mọi y ∈ SX.
Ví dụ 1.1.9 Không gian Hilbert H là không gian có chuẩn khả vi Gâteaux
với (cid:53)(cid:107)x(cid:107) = x/(cid:107)x(cid:107), x (cid:54)= 0. Thật vậy, với mỗi x ∈ H với x (cid:54)= 0, ta có
= lim t→0 lim t→0 (cid:107)x + ty(cid:107) − (cid:107)x(cid:107) t (cid:28) (cid:29) = y, . = lim t→0 (cid:107)x + ty(cid:107)2 − (cid:107)x(cid:107)2 t((cid:107)x + ty(cid:107) + (cid:107)x(cid:107)) 2t(cid:104)y, x(cid:105) + t2(cid:107)y(cid:107)2 t((cid:107)x + ty(cid:107) + (cid:107)x(cid:107)) x (cid:107)x(cid:107)
Định nghĩa 1.1.10 Không gian Banach phản xạ X được gọi là có tính chất Ephimov–Stechkin (hay tính chất ES) nếu X lồi chặt và với mọi dãy {xn} ⊂ X hội tụ yếu đến x ∈ X, (cid:107)xn(cid:107) → (cid:107)x(cid:107) thì dãy {xn} hội tụ mạnh đến x.
Ví dụ 1.1.11 Không gian Hilbert H là không gian có tính chất ES.
Định nghĩa 1.1.12 Toán tử đơn trị A : X → X ∗ được gọi là
(i) đơn điệu nếu
(cid:104)Ax − Ay, x − y(cid:105) ≥ 0 ∀x, y ∈ X;
A được gọi là đơn điệu chặt trên X nếu dấu "=" của bất đẳng thức
trên chỉ xảy ra khi x = y;
8
(ii) đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm δ(t), không giảm với
t ≥ 0, δ(0) = 0 và thỏa mãn
(cid:104)Ax − Ay, x − y(cid:105) ≥ δ(cid:0)(cid:107)x − y(cid:107)(cid:1) ∀x, y ∈ X;
nếu δ(t) = cAt2, cA là hằng số dương thì toán tử A được gọi là đơn điệu mạnh;
(iii) bức nếu
= +∞, x ∈ X. lim (cid:107)x(cid:107)→+∞ (cid:104)Ax, x(cid:105) (cid:107)x(cid:107)
Định nghĩa 1.1.13 Một toán tử đơn trị đơn điệu A : X → X ∗ được gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ thị G(A) := {(x, Ax) : x ∈ D(A)} của nó không
bị chứa thực sự trong đồ thị của một toán tử đơn điệu nào khác.
Ví dụ 1.1.14 Toán tử A : R → R xác định bởi Ax = x3 là toán tử đơn điệu cực đại trên R.
Định nghĩa 1.1.15 Toán tử A : X → X ∗ được gọi là λ-ngược đơn điệu mạnh nếu tồn tại hằng số λ dương sao cho
(cid:104)Ax − Ay, x − y(cid:105) ≥ λ(cid:107)Ax − Ay(cid:107)2 ∀x, y ∈ X.
Định nghĩa 1.1.16 Toán tử A : X → X ∗ được gọi là
(i) hemi-liên tục tại x0 ∈ X nếu A(x0 + tnx) (cid:42) Ax0 khi tn → 0 với mọi
x thỏa mãn x0 + tnx ∈ X và 0 ≤ tn ≤ t(x0);
(ii) demi-liên tục trên X nếu từ xn → x suy ra Axn (cid:42) Ax;
(iii) thế năng nếu Ax là đạo hàm của một phiếm hàm lồi nào đó.
Nhận xét 1.1.17 Một toán tử đơn điệu và hemi-liên tục trên X thì demi- liên tục trên X.
Định nghĩa 1.1.18 Toán tử A : X → X ∗ được gọi là L-liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có
(cid:107)Ax − Ay(cid:107) ≤ L(cid:107)x − y(cid:107).
9
Nhận xét 1.1.19 Mọi toán tử λ-ngược đơn điệu mạnh là toán tử đơn điệu và liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L = 1/λ.
Ký hiệu 2X ∗ là tập các tập con của X ∗.
Định nghĩa 1.1.20 Ánh xạ J q : X → 2X ∗ (nói chung đa trị) được định nghĩa bởi
J qx = (cid:8)x∗ ∈ X ∗ : (cid:104)x∗, x(cid:105) = (cid:107)x∗(cid:107)q−1(cid:107)x(cid:107) = (cid:107)x(cid:107)q, x ∈ X}, q ≥ 2
gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X. Khi q = 2 thì J q được viết là J và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X.
Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là ánh xạ đơn
vị I.
Mệnh đề sau chỉ ra ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có tính đơn trị.
Mệnh đề 1.1.21 (xem [4]) Giả sử X là không gian Banach thực, J : X → 2X ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X. Khi đó,
(ii) J là một ánh xạ lẻ, tức là J(−x) = −Jx với mọi x ∈ X;
(iii) J là thuần nhất dương, tức là J(λx) = λJx với mọi λ > 0, mọi x ∈ X;
(vi) Với mỗi x ∈ X, Jx là tập lồi đóng bị chặn và khác rỗng;
(v) Nếu X ∗ là không gian lồi chặt thì J là ánh xạ đơn trị.
Một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu chặt, có tính chất bức là
ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian Banach X.
Định lý 1.1.22 (xem [4]) Nếu X ∗ là không gian Banach lồi chặt thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J là toán tử đơn điệu, bức và demi-liên tục. Hơn nữa, nếu X cũng là không gian Banach lồi chặt thì J là toán tử đơn điệu
chặt.
Với toán tử r : X → X ∗, ta sẽ viết r(x) = o((cid:107)x(cid:107)) với x → 0X nếu r(x)/(cid:107)x(cid:107) → 0 khi x → 0X, ở đây 0X là phần tử không của không gian Banach X.
10
Định nghĩa 1.1.23 Toán tử A : X → X ∗ được gọi là khả vi Fréchet tại điểm x ∈ X, nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục T : X → X sao
cho:
A(x + h) = Ax + T h + o((cid:107)h(cid:107)),
với mọi h thuộc một lân cận của điểm 0. Nếu tồn tại, thì T được gọi là đạo hàm Fréchet của A tại điểm x và ta viết A(cid:48)x = T .
1.1.2 Phương trình toán tử đặt không chỉnh và phương pháp
hiệu chỉnh Browder–Tikhonov
Cho X và Y là hai không gian Banach, A : X → Y là một toán tử từ
không gian X vào không gian Y và f ∈ Y . Xét phương trình toán tử:
Ax = f. (1.2)
Khái niệm bài toán đặt chỉnh được Hadamard đưa ra vào đầu thế kỷ
XX như sau:
Định nghĩa 1.1.24 Bài toán (1.2) được gọi là bài toán đặt chỉnh nếu
(i) Phương trình (1.2) có nghiệm với mọi f ∈ Y ;
(ii) Nghiệm này là duy nhất; và
(iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu A và f .
Định nghĩa 1.1.25 Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán (1.2) được gọi là bài toán đặt không chỉnh.
Nhận xét 1.1.26 (1) Đối với hầu hết các bài toán phi tuyến thì điều kiện (ii) gần như không thỏa mãn, hơn nữa điều kiện (iii) cũng khó thực
hiện được. Do đó, ta thường xét bài toán đặt không chỉnh (1.2) theo
nghĩa nghiệm của phương trình không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu A và f .
(2) Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian này, nhưng lại đặt
không chỉnh trên cặp không gian khác.
11
∞ (cid:88)
Ví dụ 1.1.27 Xét bài toán tính tổng của chuỗi Fourier
n=0 với hệ số (a0, a1, . . . , an, . . . ) ∈ l2, không gian các dãy số khả tổng bậc 2, với n ≥ 1 và ε > 0 bé tùy ý cho trước, được cho xấp xỉ bởi cn = an +
f0(t) = an cos(nt)
∞ (cid:88)
ε n c0 = a0. Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng
n=0 với hệ số (c0, c1, . . . , cn, . . . ) ∈ l2. Khoảng cách giữa hai bộ số này trong không gian l2 là:
f (t) = cn cos(nt)
n=0
n=0
(cid:114) (cid:19)1/2 (cid:19)1/2 (cid:18) ∞ (cid:88) (cid:18) ∞ (cid:88) = ε = ε (cn − an)2 1 n2 π2 6
có thể làm nhỏ tùy ý. Trong khi đó khoảng cách giữa hai tổng của chuỗi Fourier tương ứng xét trong không gian C[0, 1] có thể làm lớn bao nhiêu
∞ (cid:88)
cũng được, vì
n=1
cos(nt). f (t) − f0(t) = ε 1 n
Chẳng hạn tại t = 0 thì chuỗi trên phân kỳ. Do đó, trong trường hợp này bài toán tính tổng của chuỗi Fourier là không ổn định khi hệ số của chuỗi
có sự thay đổi nhỏ.
Nếu ta xét trong không gian L2[0, π], không gian các hàm khả tích bậc
hai trên đoạn [0, π], thì
∞ (cid:88)
0
n=0
(cid:19)1/2 (cid:19)1/2 (cid:18) (cid:90) π (cid:18) (cid:90) π | = ε (cid:2)f1(t) − f0(t)(cid:3)2dt (cn − an) cos(nt) |2 dt
0 (cid:18) ∞ (cid:88)
n=1
(cid:19)1/2 = (cn − an)2 = ε1 π 2 (cid:114)π 2
và bài toán lại ổn định.
Sự tồn tại duy nhất nghiệm và tính chất của tập nghiệm của phương
trình toán tử (1.2) được trình bày trong các định lý sau đây.
12
Định lý 1.1.28 (xem [4]) Nếu A : X → X ∗ là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và bức từ không gian Banach phản xạ thực X vào X ∗ thì phương trình toán tử Ax = f có nghiệm với mọi f ∈ X ∗.
Định lý 1.1.29 (xem [4]) Nếu A : X → X ∗ là một toán tử đơn điệu chặt, hemi-liên tục và bức từ không gian Banach phản xạ thực X vào X ∗ thì phương trình toán tử Ax = f có nghiệm duy nhất với f ∈ X ∗.
Định lý 1.1.30 (xem [4]) Cho X là một không gian Banach phản xạ thực, X ∗ là không gian liên hợp của X. Nếu A : X → X ∗ là toán tử đơn điệu cực đại thì tập nghiệm {x : A(x) = f, f ∈ R(A)} của phương trình toán
tử (1.2) là tập con lồi đóng trong X.
Tiếp theo, ta xét phương trình toán tử đặt không chỉnh (1.2) trong trường hợp toán tử A được cho chính xác còn vế phải f được cho xấp xỉ bởi fδ thỏa mãn
δ > 0, δ → 0. (1.3) (cid:107)fδ − f (cid:107) ≤ δ,
Gọi x0 là nghiệm của phương trình toán tử đặt không chỉnh (1.2) (giả sử tồn tại nghiệm). Vì tính không duy nhất của nghiệm của bài toán (1.2),
ta cần phải có thêm tiêu chuẩn cho sự lựa chọn nghiệm. Ta sẽ sử dụng nghiệm x0 có x∗-chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm x0 thỏa mãn
Ax0 = f,
và
(1.4) (cid:107)x0 − x∗(cid:107) = min{(cid:107)x − x∗(cid:107) : Ax = f },
x∗ là phần tử bất kỳ của X, đóng vai trò như là một tiêu chuẩn cho sự lựa chọn nghiệm. Bằng cách chọn x∗ ta có thể có được nghiệm ta mong muốn.
Như vậy, với dữ liệu (fδ, δ) ta cần tìm một phần tử xδ ∈ X hội tụ đến nghiệm chính xác x0 của phương trình đã cho khi δ → 0. Phần tử xδ có tính chất như vậy được gọi là nghiệm xấp xỉ của phương trình toán tử đặt
không chỉnh (1.2).
13
Trong trường hợp không biết thêm thông tin về nghiệm với vế phải f được cho bởi xấp xỉ fδ thỏa mãn điều kiện (1.3) thì nghiệm xấp xỉ rõ ràng là không thể xây dựng theo quy tắc xδ = A−1fδ, vì:
(1) Hoặc A−1 có thể không xác định với f ∈ Y ;
(2) Hoặc A−1 không liên tục, nên A−1fδ nếu tồn tại, cũng chưa chắc đã
xấp xỉ A−1f .
Để nhận được nghiệm ổn định ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh do A.N.
Tikhonov đề xuất dựa trên việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh và cách chọn giá trị của một tham số mới đưa vào.
Sau đây là định nghĩa toán tử hiệu chỉnh.
Định nghĩa 1.1.31 Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian Banach Y . Toán tử R(f, α) phụ thuộc vào tham số α,
tác động từ Y vào X được gọi là toán tử hiệu chỉnh cho phương trình (1.2) nếu:
(i) tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử R(f, α) xác định với mọi
α ∈ (0, α1) và với mọi fδ ∈ Y thỏa mãn
(cid:107)fδ − f (cid:107) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1);
(ii) tồn tại một hàm α = α(δ, fδ) phụ thuộc vào δ sao cho với mọi ε > 0,
luôn tìm được δ(ε) ≤ δ1 để với mọi fδ ∈ Y thỏa mãn
α ∈ R(fδ, α(δ, fδ)) và x0 là nghiệm có x∗-chuẩn
α − x0(cid:107) ≤ ε, ở đây xδ thì (cid:107)xδ nhỏ nhất của phương trình (1.2).
(cid:107)fδ − f (cid:107) ≤ δ ≤ δ(ε)
α ∈ R(fδ, α(δ, fδ)) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của phương trình (1.2), α = α(δ, fδ) được gọi là tham số hiệu chỉnh. Tham số hiệu chỉnh α(δ, fδ) phải được chọn sao cho
Phần tử xấp xỉ xδ
α(δ, fδ) = 0. lim δ→0
14
Nhận xét 1.1.32 Từ định nghĩa này, ta thấy việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào vế phải của phương trình (1.2) gồm hai bước:
(i) Xây dựng toán tử hiệu chỉnh R(f, α);
(ii) Xác định tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin của bài toán về phần
tử fδ và sai số δ.
Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ theo quy tắc trên được gọi là phương α − x0(cid:107), người ta phải sử dụng pháp hiệu chỉnh. Để đánh giá được giá trị (cid:107)xδ thêm thông tin về nghiệm. Một giả thiết thông dụng là điều kiện trơn của nghiệm, tức là tồn tại phần tử z ∈ X sao cho
x0 − x∗ = (A(cid:48)x0)∗z,
ở đây (A(cid:48)x0)∗ là toán tử liên hợp của toán tử A(cid:48)x0.
Tiếp theo ta xét một phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử đơn điệu (1.2) với A : X → X ∗ là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục trong không gian Banach phản xạ thực X có tính chất ES. Nếu không có tính
chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh đặt lên toán tử A thì phương trình (1.2), nói chung, là một bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa nghiệm của
nó không phụ thuộc liên tục dữ kiện ban đầu. Giả sử phương trình (1.2) có nghiệm.Ký hiệu S là tập nghiệm của phương trình (1.2). Khi đó, S là
một tập con lồi đóng khác rỗng trong X.
Trước hết ta nhắc lại bổ đề sau:
Bổ đề 1.1.33 (xem [4]) (Bổ đề Minty) Cho X là một không gian Ba- nach thực, X ∗ là không gian liên hợp của X, f ∈ X ∗ và A là một toán tử hemi-liên tục từ X vào X ∗. Khi đó, nếu tồn tại x0 ∈ X thỏa mãn bất đẳng thức
(cid:104)Ax − f, x − x0(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ X,
thì Ax0 = f .
Nếu A là một toán tử đơn điệu trên X thì điều kiện trên tương đương
với
(cid:104)Ax0 − f, x − x0(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ X.
15
Bổ đề trên được gọi là bổ đề Minty, tên của nhà toán học Mỹ, người đã chứng minh kết quả trên trong trường hợp X là không gian Hilbert. Sau
này cũng chính ông và Browder đã chứng minh một cách độc lập trong không gian Banach.
Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov là sử dụng một toán tử M : X → X ∗ có tính chất hemi-liên tục, đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của X là một dạng
của toán tử M . Năm 1975 Y.I. Alber (xem [4]) đã đưa ra phương pháp hiệu chỉnh:
(1.5) Ax + αJ(x − x∗) = fδ, fδ ∈ X ∗,
để hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (1.2) trong trường hợp toán tử A được cho chính xác, fδ là xấp xỉ của f thỏa mãn (1.3), ở đây x∗ là một phần tử bất kỳ trong X, J : X → X ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X.
Định lý 1.1.34 (xem [4]) Giả sử X ∗, không gian liên hợp của không gian Banach X, là lồi chặt, A : X → X ∗ là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục có miền xác định D(A) ≡ X. Khi đó với mỗi α > 0, fδ ∈ X ∗, phương trình (1.4) có duy nhất nghiệm xδ α. Chứng minh. Vì X ∗ là không gian lồi chặt nên J là toán tử đơn điệu, bức và demi-liên tục. Vì vậy, A + αJ cũng là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục từ X vào X ∗. Mặt khác, do J là toán tử bức nên với mỗi α > 0 toán tử A + αJ cũng là một toán tử bức. Thật vậy, ta xét
(cid:104)(A + αJ)x, x(cid:105) = (cid:104)Ax + αJx, x(cid:105)
= (cid:104)Ax − A0X + A0X + αJx, x − 0X(cid:105)
= (cid:104)Ax − A0X, x − 0X(cid:105) + (cid:104)A0X, x − 0X(cid:105) + α(cid:104)Jx, x(cid:105).
Vì A là toán tử đơn điệu nên
(cid:104)Ax − A0X, x − 0X(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ X.
Mặt khác, theo định nghĩa ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J ta có
α(cid:104)Jx, x(cid:105) = α(cid:107)x(cid:107)2.
16
Do đó
(cid:104)(A + αJ)x, x(cid:105) ≥ α(cid:107)x(cid:107)2 − (cid:107)A0X(cid:107)(cid:107)x(cid:107).
Từ bất đẳng thức này suy ra
≥ (cid:104)(A + αJ)x, x(cid:105) (cid:107)x(cid:107) α(cid:107)x(cid:107)2 − (cid:107)A0X(cid:107)(cid:107)x(cid:107) (cid:107)x(cid:107)
= α(cid:107)x(cid:107) − (cid:107)A0X(cid:107).
Suy ra
= +∞. lim (cid:107)x(cid:107)→+∞ (cid:104)(A + αJ)x, x(cid:105) (cid:107)x(cid:107)
Vì A là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục với D(A) ≡ X nên A là toán tử
đơn điệu cực đại. Suy ra, với mỗi α > 0 toán tử A + αJ cũng là một toán tử đơn điệu cực đại, bức và hemi-liên tục. Do đó, phương trình (1.4) có (cid:3) duy nhất nghiệm với mỗi α > 0, ký hiệu là xδ α.
Định lý 1.1.35 (xem [4]) Giả sử X là không gian Banach phản xạ thực có tính chất ES; X ∗, không gian liên hợp của X, là lồi chặt; A : X → X ∗ là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục có D(A) ≡ X; tập nghiệm S của phương
δ α trình toán tử (1.2) khác rỗng. Khi đó, nếu α, nghiệm {xδ → 0 khi δ → 0 thì dãy α} hội tụ mạnh đến nghiệm x0 của phương trình (1.2) thỏa mãn
(1.6) (cid:107)x − x∗(cid:107). (cid:107)x0 − x∗(cid:107) = min x∈S
Chứng minh. Từ (1.2) và (1.5) ta có
α − Ax + f − fδ, xδ
α − x(cid:105)
(cid:104)Axδ
α − x∗) − J(x − x∗), xδ
α − x(cid:105)
+ α(cid:104)J(xδ
α(cid:105) ∀x ∈ S.
= α(cid:104)J(x − x∗), x − xδ
Do A là toán tử đơn điệu và J là toán tử đơn điệu mạnh nên từ bất đẳng
thức này ta suy ra
α − x(cid:107)2 ≤ (cid:104)fδ − f, xδ
α − x(cid:105) + α(cid:104)J(x − x∗), x − xδ α(cid:105) α − x(cid:107) + α(cid:104)J(x − x∗), x − xδ α(cid:105)
αmJ (cid:107)xδ
α − x(cid:107) + α(cid:104)J(x − x∗), x − xδ
α(cid:105),
≤ (cid:107)fδ − f (cid:107)(cid:107)xδ ≤ δ(cid:107)xδ
17
ở đây mJ là hằng số dương. Bất đẳng thức này tương đương với
α − x(cid:107) + (cid:104)J(x − x∗), x − xδ
α(cid:105).
α − x(cid:107)2 ≤
(cid:107)xδ (1.7) mJ (cid:107)xδ δ α
Từ (1.7) chứng tỏ dãy {xδ Do đó tồn tại một dãy con của dãy {xδ
α} bị chặn trong không gian Banach phản xạ X. α} hội tụ yếu đến một phần tử x1 , α → 0. α (cid:42) x1 khi
nào đó của X. Không giảm tổng quát, ta có thể coi xδ δ α Từ (1.5) ta có
α + αJ(xδ
α − x∗) − fδ, x − xδ
α(cid:105) = 0 ∀x ∈ X.
(cid:104)Axδ
Do tính đơn điệu của toán tử A + αJ nên đẳng thức trên được viết thành
α(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ X.
(cid:104)Ax + αJ(x − x∗) − fδ, x − xδ
α (cid:42) x1 ta được
→ 0, với xδ Trong bất đẳng thức này cho α, δ α
(cid:104)Ax − f, x − x1(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ X.
Theo Bổ đề Milty ta suy ra x1 ∈ S, tức là x1 là một nghiệm của phương trình (1.2).
, Bây giờ ta sẽ chứng minh x1 thỏa mãn (1.6). Thật vậy từ (1.7) cho δ α α → 0 ta được
0 ≤ mJ (cid:107)x − x1(cid:107)2 ≤ (cid:104)J(x − x∗), x − x1(cid:105) ∀x ∈ S.
Vì S là tập lồi, nên tx1 + (1 − t)x ∈ S với 0 < t < 1. Do đó,
(cid:104)J[(tx1 + (1 − t)x) − x∗], tx1 + (1 − t)x − x1(cid:105)
= (cid:104)J(tx1 + (1 − t)x − x∗), (1 − t)(x − x1)(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ S
hay
(1 − t)(cid:104)J(tx1 + (1 − t)x − x∗), x − x1(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ S.
Chia cả hai vế cho (1 − t), rồi cho t → 1 ta nhận được
(cid:104)J(x1 − x∗), x − x1(cid:105) ≥ 0.
18
Bất đẳng thức này tương đương với
α} hội tụ (cid:3)
(cid:107)x1 − x∗(cid:107) ≤ (cid:107)x − x∗(cid:107) ∀x ∈ S.
Do phần tử x1 ∈ S thỏa mãn (1.6) là duy nhất, nên cả dãy {xδ mạnh đến x1 = x0.
Nhờ kết quả này, ta có thể xác định được một toán tử hiệu chỉnh R(f, α)
dựa vào việc giải phương trình (1.5) và một sự phụ thuộc α = α(δ) để nghiệm phương trình này hội tụ tới nghiệm của phương trình toán tử đặt
không chỉnh (1.2). Vì lẽ đó mà phương trình (1.5) được gọi là phương trình
hiệu chỉnh cho phương trình (1.2).
Để đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh, ta cần có thêm giả
thiết đặt lên toán tử A như:
(cid:107)Ay − Ax − A(cid:48)x(y − x)(cid:107) ≤ τ (cid:107)y − x(cid:107)(cid:107)A(cid:48)x(y − x)(cid:107), (1.8)
với mọi y thuộc một lân cận nào đó của x ∈ S, τ là hằng số dương. Định
lý sau chỉ ra tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh của phương trình (1.5) về nghiệm đúng của phương trình (1.2).
Định lý 1.1.36 (xem [4]) Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) A khả vi Fréchet trong một lân cận nào đó của x ∈ S thỏa mãn (1.8)
tại x = x0;
(ii) tồn tại một phần tử z ∈ X sao cho
(A(cid:48)x0)∗z = J(x0 − x∗);
(iii) tham số hiệu chỉnh α được chọn bởi α ∼ δp, 0 < p < 1.
α − x0(cid:107) = O(δθ),
Khi đó, (cid:27) (cid:26) . (cid:107)xδ θ = min 1 − p, p 2
19
1.2 Hệ phương trình toán tử trong không gian Banach
Cho X là không gian Banach phản xạ thực, X ∗ là không gian liên hợp của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là (cid:107).(cid:107). Xét hệ phương trình toán tử
i = 0, 1, . . . , N, (1.9) Aix = fi,
ở đây N là số nguyên dương cố định, Ai : X → X ∗ là các toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và có tính chất thế năng, fi ∈ X ∗. Gọi Si là tập nghiệm của
N (cid:84) i=0
phương trình thứ i của hệ (1.9), ta giả thiết S = Si khác rỗng. Khi đó,
S là tập con lồi đóng trong X.
1.2.1 Phương trình toán tử và bài toán cực trị
Trong trường hợp Ai là đạo hàm Gâteaux của một phiếm hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới ϕi : X → R ∪ {+∞} và fi = 0 thì tập Si trùng với tập nghiệm của bài toán cực trị
ϕi(x) inf x∈X
và là tập lồi đóng trong X, với mỗi i = 0, 1, . . . , N . Kết quả này được suy
ra từ bổ đề Minty và các mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.2.1 (xem [8]) Giả sử ϕ : X → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới trên X và khả vi Gâteaux với đạo hàm Gâteaux ϕ(cid:48) được giả thiết là liên tục. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:
(i) x0 là điểm cực tiểu của ϕ(x) trên X;
(ii) (cid:104)ϕ(cid:48)x0, x − x0(cid:105) ≥ 0 với mọi x ∈ X;
(iii) (cid:104)ϕ(cid:48)x, x − x0(cid:105) ≥ 0 với mọi x ∈ X.
Mệnh đề 1.2.2 (xem [8]) Cho ϕ : X → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới trên X. Khi đó tập nghiệm của bài toán
ϕ(x) inf x∈X
20
là tập lồi đóng, có thể là tập rỗng.
1.2.2 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu
Xét bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử được đề cập ở
trên: Tìm phần tử x0 ∈ X thỏa mãn:
(1.10) Aix0 = fi ∀i = 0, 1, . . . , N,
ở đây N là số nguyên dương cố định, Ai : X → X ∗ là các toán tử đơn điệu, hemi-liên tục, có tính chất thế năng và fi ∈ X ∗. Nếu các toán tử Ai, i = 0, 1, . . . , N không có tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh, thì bài toán tìm nghiệm của mỗi phương trình trong hệ (1.10), nói chung, là
một bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa nghiệm của bài toán không phụ
thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Do đó, bài toán tìm nghiệm của hệ (1.10), nói chung, cũng là bài toán đặt không chỉnh.
Ta xét hệ phương trình (1.10) trong trường hợp vế phải fi được cho xấp
i thỏa mãn
xỉ bởi f δ
i − fi(cid:107) ≤ δ
(cid:107)f δ δ → 0. (1.11)
N (cid:88)
Phương trình hiệu chỉnh cho hệ (1.10) trong trường hợp này được xây dựng dưới dạng:
i ) + αJ(x − x∗) = 0
αµi(Aix − f δ (1.12)
i=0 µ0 = 0 < µi < µi+1 < 1,
i = 1, 2, . . . , N − 1,
ở đây x∗ ∈ X là phần tử tùy ý cho trước.
Bổ đề 1.2.3 (xem [6]) Cho X là không gian Banach thực phản xạ và lồi chặt, X ∗, không gian liên hợp của X, là lồi chặt, Ai : X → X ∗ là các toán tử đơn điệu, hemi-liên tục với miền xác định D(Ai) = X; fi ∈ X ∗, i = 0, 1, . . . , N và J : X → X ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X. Khi đó, với mỗi α > 0 phương trình (1.12) có nghiệm duy nhất.
21
N (cid:88)
Chứng minh. Rõ ràng, với mỗi α > 0 cố định, ánh xạ
i=0
A(.) = αµi(Ai(.) − f δ i )
là ánh xạ đơn điệu và hemi-liên tục với miền xác định D(A) = X, vì vậy A là ánh xạ đơn điệu cực đại (xem [4]). Do X ∗ là không gian lồi chặt nên ánh xạ J đơn trị, đơn điệu, hemi-liên tục. Do đó, ánh xạ A + αJ đơn điệu cực đại. Mặt khác, do X là không gian lồi chặt nên ánh xạ J đơn điệu chặt.
Suy ra, A + αJ đơn điệu chặt. Vậy, với mỗi α > 0 phương trình (1.12) có (cid:50) nghiệm duy nhất, kí hiệu là xδ α.
α} về nghiệm đúng x0 của hệ
Sự hội tụ của dãy nghiệm hiệu chỉnh {xδ
phương trình (1.10) được trình bày trong định lý sau.
α → x0 thỏa mãn
Định lý 1.2.4 (xem [6]) Giả sử X là không gian Banach thực phản xạ có tính chất ES; X ∗-không gian liên hợp của X lồi chặt; Ai : X → X ∗ là các ánh xạ hemi-liên tục, có tính chất thế năng với miền xác định D(Ai) = X, i = 0, 1, . . . , N và J : X → X ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X. Khi đó, nếu α, δ/α → 0 khi δ → 0 thì xδ
(1.13) (cid:107)z − x∗(cid:107), x∗ ∈ X. (cid:107)x0 − x∗(cid:107) = min z∈S
N (cid:88)
Chứng minh. Từ (1.12) ta có
α) − f δ
i , xδ
α − z(cid:105) + α(cid:104)J(xδ
α − x∗), xδ
α − z(cid:105) = 0,
i=0
∀z ∈ S. αµi(cid:104)Ai(xδ
N (cid:88)
Từ (1.11) và tính chất đơn điệu của Ai, ta có
α − z(cid:107).
α − x∗), xδ
α − z(cid:105) ≤ δ
i=0
(cid:107)xδ (1.14) (cid:104)J(xδ 1 α1−µi
Vì vậy
N (cid:88)
N (cid:88)
α − x∗(cid:107)2 − (cid:107)xδ
i=0
i=0
(cid:21) (cid:107)xδ ≤ 0. (cid:107)z − x∗(cid:107) + δ − (cid:107)z − x∗(cid:107)δ (cid:20) α − x∗(cid:107) 1 α1−µi 1 α1−µi
22
Do đó,
0 ≤ (cid:107)xδ
N (cid:88)
N (cid:88)
α − x∗(cid:107) ≤ (cid:107)z − x∗(cid:107) (cid:118) (cid:117) (cid:117) (cid:116)δ
i=0
i=0
(1.15) + + δ (cid:107)z − x∗(cid:107). 1 α1−µi 1 α1−µi
Không làm mất tính chất tổng quát, ta giả sử α ≤ 1. Khi đó,
α − x∗(cid:107)
0 ≤ (cid:107)xδ
(cid:114)
α} bị chặn. Vì X là không gian Banach phản α} hội tụ yếu đến phần tử trong X. α (cid:42) x ∈ X, khi α, δ/α → 0. Trước hết ta chứng
+ (cid:107)z − x∗(cid:107) ∀z ∈ S. ≤ (cid:107)z − x∗(cid:107) + δ(N + 1) α δ(N + 1) α
Điều này có nghĩa là dãy {xδ xạ thực, nên tồn tại dãy con của dãy {xδ Để đơn giản, ta giả sử xδ minh x ∈ S0. Thật vậy, do tính chất đơn điệu của A0, J và (1.12) ta có
0 , x − xδ
α − f δ
0 , x − xδ α(cid:105)
α(cid:105) ≥ (cid:104)A0xδ N (cid:88)
(cid:104)A0x − f δ
α − f δ
i , xδ
α − x(cid:105)
i=1
α − x∗), xδ
α − x(cid:105)
≥ αµi(cid:104)Aixδ
i , xδ
α − x(cid:105)
i=1
+ α(cid:104)J(xδ N (cid:88) ≥ αµi(cid:104)Aix − f δ
α − x(cid:105) ∀x ∈ X.
+ α(cid:104)J(x − x∗), xδ
Cho δ, α → 0 trong bất đẳng thức trên ta nhận được
(cid:104)A0x − f0, x − x(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ X.
N (cid:88)
Vậy x ∈ S0 (xem [11]). Bây giờ ta sẽ chứng minh x ∈ Si, i = 1, 2, . . . , N . Thật vậy, từ (1.11), (1.12) và tính chất đơn điệu của A0 suy ra
α − f δ
1 ,xδ
α − x(cid:105) +
α − f δ
i , xδ
α − x(cid:105)
i=2
(cid:104)A1xδ αµi−µ1(cid:104)Aixδ
α − x(cid:107) ∀x ∈ S0.
α − x∗), xδ
α − x(cid:105) ≤
(cid:107)xδ + α1−µ1(cid:104)J(xδ δ αµ1
23
N (cid:88)
Do đó,
1 , xδ
α − x(cid:105) +
i , xδ
α − x(cid:105)
i=2
(cid:104)A1x − f δ αµi−µ1(cid:104)Aix − f δ
α − x(cid:107).
α − x(cid:105) ≤
α1−µ1(cid:107)xδ + α1−µ1(cid:104)J(x − x∗), xδ δ α
Cho δ, α → 0 ta được
(cid:104)A1x − f1, x − x(cid:105) ≤ 0 ∀x ∈ S0.
N (cid:88)
Suy ra, x là cực tiểu địa phương của ϕ1(x) − (cid:104)f1, x(cid:105) trên S0 (xem [5]) mà S0 ∩ S1 (cid:54)= ∅ nên x cũng là cực tiểu toàn cục của ϕ1(x) − (cid:104)f1, x(cid:105). Tức là, x ∈ S1. Đặt (cid:101)Sk = ∩k i=0Si. Khi đó, (cid:101)Sk lồi đóng và (cid:101)Sk (cid:54)= ∅. Giả sử, ta đã chứng minh được x ∈ (cid:101)Sk và ta cần chứng minh x ∈ Sk+1. Từ (1.12) với x ∈ (cid:101)Sk và α ≤ 1 ta có thể viết
α − f δ
k+1, xδ
α − x(cid:105) +
α − f δ
i , xδ
α − x(cid:105)
i=k+2
(cid:104)Ak+1xδ αµi−µk+1(cid:104)Aixδ
α − x∗), xδ
α − x(cid:105) ≤
α − x(cid:107) ∀x ∈ (cid:101)Sk,
+ α1−µk+1(cid:104)J(xδ (k + 1)(cid:107)xδ δ αµk+1
N (cid:88)
Do đó
k+1, xδ
α − x(cid:105) +
i , xδ
α − x(cid:105)
i=k+2
(cid:104)Ak+1x − f δ αµi−µk+1(cid:104)Aix − f δ
α − x(cid:105)
+ α1−µk+1(cid:104)J(x − x∗), xδ
α − x(cid:107)
(k + 1)(cid:107)xδ ≤
α(cid:107) + (cid:107)x(cid:107)).
(k + 1)((cid:107)xδ ≤ δ α δ α
Suy ra,
(cid:104)Ak+1x − fk+1, x − x(cid:105) ≤ 0 ∀x ∈ (cid:101)Sk.
α → x và x chính là x0 nên ta có điều phải chứng minh.
Bằng cách chứng minh tương tự như trên ta có x ∈ Sk+1, nên x ∈ S. Hơn nữa, từ (1.15) và tính chất của J ta có (cid:107)xδ α − x∗(cid:107) → (cid:107)x − x∗(cid:107) và (cid:107)x − x∗(cid:107) ≤ (cid:107)z − x∗(cid:107) với mọi z ∈ S. Vì S là tập lồi đóng nên các phần tử của S có x∗-chuẩn nhỏ nhất trong không gian Banach lồi chặt là duy nhất (cid:50) nên xδ
24
Nhờ vào kết quả này, ta có thể xác định được một toán tử hiệu chỉnh dựa vào việc giải phương trình (1.12) và một sự phụ thuộc α = α(δ) để nghiệm
của phương trình này hội tụ đến nghiệm của hệ phương trình (1.10). Chính vì lẽ đó mà phương trình (1.12) được gọi là phương trình hiệu chỉnh cho
hệ phương trình (1.10).
Đối với việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu bao gồm hai bước cơ bản là: tìm toán tử hiệu chỉnh và chọn tham số hiệu
chỉnh dựa vào thông tin của bài toán. Trong chương sau ta sẽ giới thiệu bài toán chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch.
25
Chương 2
Nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số
hiệu chỉnh
Chương này trình bày nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh trong hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu và áp dụng để đánh
giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh. Phần cuối của chương là ví dụ số minh họa cho phương pháp đã trình bày. Nội dung của chương được
trình bày trong 2 mục. Mục 2.1 giới thiệu phương pháp chọn tham số hiệu
chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch. Mục 2.2 trình bày định lý đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh và đưa ra ví dụ số minh họa. Kiến thức
2.1 Nguyên lý tựa độ lệch và tốc độ hội tụ
trong chương này được tổng hợp từ các tài liệu [4]–[6] và [9].
2.1.1 Chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch
Tham số hiệu chỉnh α của phương trình hiệu chỉnh (1.12) được chọn từ
hệ thức
α − x∗(cid:107).
(2.1) ρ(α) = Kδp, K > N + 2, 0 < p ≤ 1, ρ(α) := α(cid:107)xδ
Hàm ρ(α) xác định trong hệ thức trên là hàm liên tục. Kết quả này
được trình bày trong bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.1.1 (i) Hàm ρ(α) liên tục trên (α0, +∞), với mọi α0 > 0;
26
(ii) Nếu AN liên tục tại x∗ và
N (cid:107)> 0,
(2.2) (cid:107) AN x∗ − f δ
N = fN thì
với mọi δ ≥ 0, ở đây f 0
ρ(α) = +∞. lim α→+∞
N (cid:88)
N (cid:88)
Chứng minh. (i) Lấy bất kỳ α, β ∈ (α0, +∞). Từ (1.12) suy ra
α − f δ
i ) −
β − f δ i )
i=0
αµi(Aixδ βµi(Aixδ
i=0 α − x∗) − βJ(xδ
β − x∗) = 0.
+ αJ(xδ
Do đó,
α − x∗) − J(xδ
β − x∗), xδ
α − xδ
β(cid:105) + (α − β)(cid:104)J(xδ
β − x∗), xδ
α − xδ β(cid:105)
N (cid:88)
α(cid:104)J(xδ
α − Aixδ
β, xδ
α − xδ β(cid:105)
i=0 N (cid:88)
+ αµi(cid:104)Aixδ
β − f δ
i , xδ
α − xδ
β(cid:105) = 0,
i=0
+ (αµi − βµi)(cid:104)Aixδ
kết hợp với tính chất
(cid:104)Jx − Jy, x − y(cid:105) ≥ ((cid:107)x(cid:107) − (cid:107)y(cid:107))2 với mọi x, y ∈ X,
suy ra
β − x∗(cid:107)
α − x∗(cid:107) − (cid:107)xδ
β − x∗(cid:107)(cid:1)2 ≤
(cid:107)xδ (cid:0)(cid:107)xδ (cid:20)| α − β | α0
N (cid:88)
β − f δ i (cid:107)
α − x∗(cid:107) + (cid:107)x∗(cid:107) + (cid:107)xδ β(cid:107)
i=0
α − x∗(cid:107) → α − x∗(cid:107) liên tục tại β ∈ (α0, +∞). Vì vậy, ρ(α) cũng
(cid:21)(cid:18) (cid:19) + (cid:107)xδ . | αµi − βµi | (cid:107)Aixδ 1 α0
N (cid:88)
N (cid:88)
Từ bất đẳng thức trên và (1.15) suy ra, khi α → β thì (cid:107)xδ β − x∗(cid:107), nghĩa là (cid:107)xδ (cid:107)xδ liên tục trên (α0, +∞). (ii) Từ (1.12) suy ra
α − Aix∗
α − x∗) =
i − Aix∗
i=0
i=0
(cid:1) + αJ(xδ αµi(cid:0)f δ (cid:1). αµi(cid:0)Aixδ
27
α − x∗, sử dụng
N (cid:88)
Bằng cách tác động vào hai vế của phương trình trên với xδ tính đơn điệu của Ai và định nghĩa của J ta nhận được
α − x∗(cid:107) ≤
i − Aix∗(cid:107).
i=0
(cid:107)xδ (cid:107)f δ 1 α1−µi
Vậy,
α − x∗(cid:107) = 0.
(cid:107)xδ lim α→+∞
Điều kiện (ii) của bổ đề được suy ra từ bất đẳng thức
N −1 (cid:88)
α − f δ
i (cid:107)
α − f δ
N (cid:107) −
i=0
(cid:19) (cid:18) ρ(α) ≥ αµN , (cid:107) Aixδ (cid:107) AN xδ 1 αµN −µi
bằng cách sử dụng (2.2), tính liên tục của AN tại x∗, µN > µi và tính bị (cid:3) chặn của Ai với i = 0, 1, · · · , N − 1, ta có điều phải chứng minh.
Định lý sau sẽ chỉ ra cách chọn tham số hiệu chỉnh bằng nguyên lý tựa
độ lệch.
Định lý 2.1.2 Giả sử x∗ là điểm thuộc X nhưng không thuộc S và AN liên tục tại x∗ thỏa mãn (2.2). Khi đó, tồn tại ít nhất một giá trị α = α(δ) sao cho
(2.3) z ∈ S, α ≥ (cid:0)K − (N + 2)(cid:1)δp/(cid:107)z − x∗(cid:107),
và
(2.4) 0 < p ≤ 1. ρ(α) = Kδp, K > N + 2,
α(δ) → x0;
Ngoài ra nếu Ai là ánh xạ đơn điệu chặt với mọi i = 0, 1, . . . , N − 1 và nếu δ → 0 thì:
1) α(δ) → 0; 2) nếu p ∈ (0, 1) thì δ/α(δ) → 0 và xδ 3) nếu p = 1, S = {x0} và Ai là ánh xạ λi-ngược đơn điệu mạnh với α(δ) hội tụ yếu tới x0 và δ/α(δ) ≤ C với C là hằng số
i = 1, 2, . . . , N thì xδ dương. Chứng minh. Nếu x∗ ∈ S thì ta nhận được Từ (1.15) với α ≤ 1, ta có bất đẳng thức
α − x∗(cid:107) ≤ α(cid:107)z − x∗(cid:107) + δ(N + 1) + (cid:112)αδ(N + 1)(cid:107)z − x∗(cid:107),
α(cid:107)xδ (2.5)
28
với mọi z ∈ S. Với mỗi δ > 0 cố định, p ∈ (0, 1] và α đủ nhỏ, ta có
(2.6)
α(cid:107)z − x∗(cid:107) < (cid:0)K − (N + 2)(cid:1)δp, chọn α đủ nhỏ sao cho α ≤ δ/(cid:0)(N + 1)(cid:107)z − x∗(cid:107)(cid:1), khi đó từ (2.5) suy ra
ρ(α) < (cid:0)K − (N + 2)(cid:1)δp + (N + 2)δ (2.7) < (cid:0)K − (N + 2)(cid:1)δp + (N + 2)δp = Kδp.
Xét hàm
(2.8) d(α) = ρ(α) − Kδp với α ≥ α0 > 0.
Từ Bổ đề 2.1.1 ta có
d(α) = +∞ lim α→+∞
Rõ ràng từ (2.7), (2.8) tồn tại α > 0 sao cho d(α) < 0. Do d(α) liên tục trên (α0, +∞) nên tồn tại α sao cho d(α) = 0, tức là α = α(δ) thỏa mãn (2.4) và dấu "<" trong (2.6) được thay bằng "≥" với α = α. Điều đó có
nghĩa là, α = α thỏa mãn (2.3).
1) Ta sẽ chứng minh α(δ) → 0, khi δ → 0. Thật vậy, bằng phương pháp
phản chứng, khi dãy δk → 0, k → ∞ xảy ra hai trường hợp sau:
(a) αk = α(δk) → C0 là hằng số dương;
(b) αk → +∞.
− x∗(cid:107) = 0. Bằng khi k → ∞, ta
N (cid:88)
Trong trường hợp (a), từ (2.4) ta có C0 limk→∞ (cid:107)xδk αk cách thay δ, α và x trong (1.12) lần lượt bởi δk, αk và xδk αk nhận được
i=0
z ∈ S. (2.9) (cid:0)Aix∗ − Aiz(cid:1) = 0, C µi 0
Tác động hai vế của phương trình bởi x∗ − z và sử dụng tính đơn điệu của Ai với i = 0, 1, . . . , N ta có
i = 0, 1, . . . , N. (cid:104)Aix∗ − Aiz, x∗ − z(cid:105) = 0,
29
Vì Ai là ánh xạ đơn điệu chặt tại x∗ với i = 0, 1, . . . , N −1, nên x∗ ∈ ∩N −1 i=0 Si. Do đó, từ (2.9) suy ra x∗ ∈ SN . Vậy x∗ ∈ S điều này mâu thuẫn với giả thiết x∗ (cid:54)∈ S.
Trong trường hợp (b), từ (2.4) ta có
= 0. (2.10) (cid:107)xδk αk − x∗(cid:107) = lim k→+∞ = K lim k→+∞ lim k→+∞ ρ(αk) αk δp k αk
, ta có Tiếp tục, thay δ, α và x trong (1.12) lần lượt bởi δk, αk và xδk αk
N −1 (cid:88)
N (cid:107) −
α
δk k
δk k
i=0 − x∗(cid:107) ≤ αk(cid:107)x α = ρ(αk) = Kδp k.
(cid:21) ) − f δk (cid:107)Ai(x ) − f δk i (cid:107) αµN k (cid:20) (cid:107)AN (xδk αk 1 αµN −µi k
Trong bất đẳng thức trên cho k → ∞ và sử dụng (2.2), (2.10), tính bị chặn địa phương của Ai với i = 1, 2, . . . , N − 1 và αk → ∞, δk → 0 ta có bất đẳng thức +∞ ≤ 0 điều này là vô lý. Vậy α = α(δ) → 0 khi δ → 0.
2) Từ (2.3) ta có
δ/α(δ) ≤ δ1−p(cid:107)z − x∗(cid:107)/(cid:0)K − (N + 2)(cid:1).
α(δ) → x0.
Vậy, trong trường hợp 0 < p < 1 thì δ/α → 0 khi δ → 0, theo kết quả của Định lý 1.2.4 ta có xδ
3) Khi p = 1 ta có
δ/α(δ) ≤ C = (cid:107)z − x∗(cid:107)/(K − (N + 2)).
N (cid:88)
Khi đó, từ (1.15) với α(δ) → 0 khi δ → 0 suy ra tính bị chặn của dãy {xδ α(δ)}. Mà X là không gian Banach phản xạ, nên tồn tại dãy con {xk := xδk α(δk)} hội tụ yếu tới phần tử x∞ ∈ X khi k → ∞. Từ (1.12) thay α, δ và x lần lượt bởi αk, δk và xk, ta có
0 (cid:107) ≤
i (cid:107) + αk(cid:107)xk − x∗(cid:107).
i=1
(cid:107)A0xk − f δk αµi k (cid:107)Aixk − f δk
30
Vậy, (cid:107)A0xk − f δk 0 (cid:107) → 0 khi k → ∞. Do đó, A(x∞) = f0. Bằng cách chứng minh tương tự, từ (1.12) và tính chất λl-ngược đơn điệu mạnh của Al với l = 1, 2, . . . , N ta có
2.1.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh
Để đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh với cách chọn tham số
như trong Mục 2.1.1 ta cần phải sử dụng thêm thông tin về nghiệm. Một
trong những giả thiết thông dụng là điều kiện trơn của nghiệm, ngoài ra ta cần có thêm giả thiết đặt lên toán tử A0 như sau: tồn tại hằng số dương τ thỏa mãn
0x0)∗(y − x0)(cid:107) ≤ τ (cid:107)A0y − f0(cid:107),
0x0 là đạo hàm Fréchet của A0 tại
(2.11) (cid:107)A0y − f0 − (A(cid:48)
0x)∗ là toán tử liên hợp của A(cid:48)
0x.
với y thuộc một lân cận của x0 ∈ S, A(cid:48) x0 ∈ X, (A(cid:48)
Định lý sau cho ta kết quả về tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh.
Định lý 2.1.3 Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn
(i) Ai thỏa mãn các điều kiện của Bổ đề 2.1.1, ở đây A0 khả vi Fréchet có đạo hàm liên tục và có tính chất (2.11) còn các ánh xạ Ai khác là Li-liên tục Lipschitz trong lân cận của x0;
(ii) tồn tại phần tử ω ∈ X sao cho
0x0)∗ω = J(x0 − x∗),
(A(cid:48)
và ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J thỏa mãn
(2.12) (cid:104)Jx − Jy, x − y(cid:105) ≥ mJ (cid:107)x − y(cid:107)2, mJ > 0.
(iii) tham số hiệu chỉnh α = α(δ) được chọn bởi (2.4) với 0 < p < 1.
Khi đó, ta có
α(δ) − x0(cid:107) = O(δγ),
(cid:27) . , (cid:107)xδ γ = min (cid:26)1 − p s − 1 µ1p s
31
Chứng minh. Từ (1.2), (1.12), (2.12) và các tính chất của Ai ta có
α − x∗), x0 − xδ α(cid:105)
α − x0(cid:107)s ≤ (cid:104)J(x0 − x∗) − J(xδ N (cid:88)
mJ (cid:107)xδ
α(cid:105) +
α − f δ
i , x0 − xδ α(cid:105)
≤ (cid:104)J(x0 − x∗), x0 − xδ αµi(cid:104)Aixδ 1 α
i=0 N (cid:88)
α(cid:105) +
i , x0 − xδ α(cid:105)
i=0 N (cid:88)
(2.13) ≤ (cid:104)J(x0 − x∗), x0 − xδ αµi(cid:104)fi − f δ 1 α
α(cid:105) +
α − x0(cid:107).
i=0
αµi(cid:107)xδ ≤ (cid:104)J(x0 − x∗), x0 − xδ δ α
Mặt khác, từ (2.11) và điều kiện (ii) của định lý, ta có
0x0(x0 − xδ
α(cid:105) = (cid:104)ω, A(cid:48) ≤ (cid:107)ω(cid:107)(τ + 1)(δ + (cid:107)A0xδ
α)(cid:105) α − f0(cid:107))
(cid:104)J(x0 − x∗), x0 − xδ
α) − f δ
i (cid:107) + α(cid:107)xδ
α − x∗(cid:107)
i=1
(cid:21) (cid:20) N (cid:88) ≤ (cid:107)ω(cid:107)(τ + 1) . αµi(cid:107)Ai(xδ
N (cid:88)
Kết hợp (2.13) với bất đẳng thức trên suy ra
α − x0(cid:107)
α − x0(cid:107)s ≤
i=0
α − Aix0(cid:107) + δ) + α(cid:107)xδ
α − x∗(cid:107)
i=0
αµi(cid:107)xδ mU (cid:107)xδ δ α (2.14) (cid:21) (cid:20) N (cid:88) . + (cid:107)ω(cid:107)(τ + 1) αµi((cid:107)Aixδ
Nếu α được chọn bởi (2.4) thì ta có
α − x0(cid:107) ≤ (cid:107)xδ
α − x∗(cid:107)
α(δ) ≤ 1, (cid:107)xδ
và
α − Aix0(cid:107) ≤ Li(cid:107)Aixδ
α − Aix0(cid:107),
(cid:107)Aixδ
với δ đủ nhỏ. Do đó, từ (2.14), (2.3) và (2.5), ta có
α(δ) − x0(cid:107)s ≤
α(δ) − x0(cid:107)
δ1−p(cid:107)xδ mJ (cid:107)xδ (N + 1)(cid:107)z − x∗(cid:107) K − (N + 2)
α(δ) − x∗(cid:107)(cid:1)µi(cid:107)xδ
α(δ) − x∗(cid:107)1−µi + N δ + Kδp
i=1
(cid:21) (cid:20) N (cid:88) + (cid:107)ω(cid:107)(τ + 1) (cid:0)α(δ)(cid:107)xδ Li
α(δ) − x0(cid:107) + C2δµ1p,
≤ C1δ1−p(cid:107)xδ
32
ở đây, C1, C2 là các hằng số dương. Áp dụng bất đẳng thức Young
a, b, c ≥ 0, s > t, as ≤ bat + c =⇒ as = O(bs/(s−t) + c)
cho bất đẳng thức trên ta được:
α(δ) − x0(cid:13) (cid:13) = O(δγ). (cid:13)
(cid:13) (cid:13)xδ (cid:13)
2.2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp và ví dụ minh họa
(cid:3) Định lí được chứng minh.
2.2.1 Phương pháp hiệu chỉnh lặp
Trong mục này ta xét phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không tìm nghiệm xấp xỉ của hệ (1.2) với A0 là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục, còn các toán tử Ai, i = 1, . . . , N khác là ngược đơn điệu mạnh trong không gian Hilbert thực H:
N (cid:88)
i=1
(cid:104) zm+1 = zm−βm Aizm+αµ+1 z0 ∈ H, (2.15) A0zm+αµ m (cid:105) m (zm−x+) ,
ở đây {αm}, {βm} là các dãy tham số dương.
N (cid:88)
Trước tiên, ta xét phương trình:
m (x − x+) = 0.
i=1
(2.16) Aix + αµ+1 A0x + αµ m
Sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình này được trình bày trong
định lý sau đây.
i=0Si (cid:54)= ∅. Khi đó,
Định lý 2.2.1 Giả sử A0 là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục với D(A0) = H, các toán tử Ai khác là λi-ngược đơn điệu mạnh với D(Ai) = H, i = 1, . . . , N và S := ∩N
(i) phương trình (2.16) có duy nhất nghiệm xm với mỗi αm > 0;
33
(ii) ngoài ra nếu 0 < αm ≤ 1, αm → 0, khi m → +∞ thì xm = x0 ∈ lim m→+∞
S có x+-chuẩn nhỏ nhất và
(cid:19) , (cid:107)xm+1 − xm(cid:107) = O (cid:18)| αm+1 − αm | αµ+1 m
ở đây xm+1 là nghiệm của (2.16) với αm thay bởi αm+1.
(cid:80)N
Chứng minh. (i) Vì Ai là các toán tử λi-ngược đơn điệu mạnh với i = 1, 2, . . . , N , nên Ai là Li-liên tục Lipschitz và đơn điệu với Li = 1/λi. Do đó, Ai là ánh xạ hemi-liên tục. Vì vậy, với mỗi αm > 0, ánh xạ A := A0 + αµ i=1 Ai là hemi-liên tục và đơn điệu với tập xác định D(A) = H. m Do đó, A là ánh xạ đơn điệu cực đại. Do đó phương trình (2.16) có nghiệm. Mặt khác, vì I là ánh xạ đơn điệu chặt nên A + αµ+1 m I cũng là ánh xạ đơn điệu chặt. Vì vậy phương trình (2.16) có duy nhất nghiệm xm với mỗi αm > 0.
m→+∞
(ii) Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng lim xm = x0 ∈ S có x+-chuẩn nhỏ
N (cid:88)
nhất. Thật vậy, từ (2.16) ta có
i=1
(cid:104)Aixm, xm − x(cid:105) (cid:104)A0xm, xm − x(cid:105) + αµ m (2.17)
m (cid:104)xm − x+, xm − x(cid:105) = 0 ∀x ∈ S.
+ αµ+1
Sử dụng tính chất đơn điệu của Ai, (2.16) và (2.17) suy ra
(cid:104)xm − x+, xm − x+(cid:105) ≤ (cid:104)xm − x+, x − x+(cid:105) ∀x ∈ S.
Hay
(2.18) (cid:107)xm − x+(cid:107) ≤ (cid:107)x − x+(cid:107) ∀x ∈ S.
Từ đây suy ra dãy {xm} bị chặn trong không gian Hilbert thực H, do đó tồn tại dãy con của dãy {xm} hội tụ yếu trong H. Không làm mất tính tổng quát, giả sử dãy {xm} hội tụ yếu đến x ∈ H khi m → +∞.
Trước hết ta chứng minh x ∈ S0. Thật vậy, sử dụng tính chất đơn điệu
34
của Ai, i = 0, 1, . . . , N và (2.16) ta có
N (cid:88)
(cid:104)A0x, x − xm(cid:105) ≥ (cid:104)A0xm, x − xm(cid:105)
m (cid:104)xm − x+, xm − x(cid:105)
i=1 N (cid:88)
(cid:104)Aixm, xm − x(cid:105) + αµ+1 ≥ αµ m
m (cid:104)x − x+, xm − x(cid:105) ∀x ∈ H.
i=1
(cid:104)Aix, xm − x(cid:105) + αµ+1 ≥ αµ m
Cho αm → 0 khi m → +∞ trong bất đẳng thức này ta nhận được:
(cid:104)A0x, x − x(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ H.
Theo Bổ đề Minty, x ∈ S0.
Ta sẽ chỉ ra x ∈ Si, i = 1, 2, . . . , N . Thật vậy từ (2.16) và sử dụng tính
N (cid:88)
đơn điệu của Ai ta có:
i=1
(cid:104)Aixm, xm − x(cid:105) + αm(cid:104)xm − x+, xm − x(cid:105) = (cid:104)A0xm, x − xm(cid:105) 1 αµ m
≤ 0 ∀x ∈ S0.
N (cid:88)
Cho αm → 0 khi m → +∞ ta được
i=1
(2.19) (cid:104)Aix, x − x(cid:105) ≤ 0 ∀x ∈ S0.
N (cid:88)
N (cid:88)
Giả sử (cid:98)x là phần tử của Si, i = 1, 2, . . . , N . Từ (2.19) suy ra
i=1
i=1
0 = (cid:104)Ai(cid:98)x, (cid:98)x − x(cid:105) ≥ (cid:104)Aix, (cid:98)x − x(cid:105) ≥ 0.
N (cid:88)
N (cid:88)
Hay,
i=1
i=1
(cid:104)Aix, (cid:98)x − x(cid:105) = 0 = (cid:104)Ai(cid:98)x, (cid:98)x − x(cid:105).
N (cid:88)
Vậy
i=1
(cid:104)Ai(cid:98)x − Aix, (cid:98)x − x(cid:105) = 0.
35
N (cid:88)
N (cid:88)
Sử dụng tính chất λi-ngược đơn điệu mạnh của Ai, i = 1, 2, . . . , N ta nhận được
i=1
i=1
0 = (cid:104)Ai(cid:98)x − Aix, (cid:98)x − x(cid:105) ≥ λi(cid:107)Ai(cid:98)x − Aix(cid:107)2 ≥ 0.
Do đó
i = 1, 2, . . . , N, Ai(cid:98)x = Aix,
suy ra (cid:98)x = x, hay x ∈ S. Hơn nữa từ (2.17) suy ra (cid:107)xm − x+(cid:107) → (cid:107)x − x+(cid:107) và (cid:107)x − x+(cid:107) ≤ (cid:107)x − x+(cid:107) với mọi x ∈ S. Vì S là một tập lồi đóng, phần tử thuộc S có x+-chuẩn nhỏ nhất trong H là duy nhất nên xm → x và x chính là x0 phải tìm, nghĩa là
xm = x0. lim m→+∞
N (cid:88)
Tiếp theo giả sử xm+1 là nghiệm của (2.16) khi αm được thay bởi αm+1. Từ (2.16) ta suy ra
m+1
i=1 m+1(cid:104)xm+1 − x+, xm+1 − xm(cid:105) + (cid:104)A0xm, xm − xm+1(cid:105)
(cid:104)A0xm+1, xm+1 − xm(cid:105) + αµ (cid:104)Aixm+1, xm+1 − xm(cid:105)
m (cid:104)xm − x+, xm − xm+1(cid:105)
i=1
N (cid:88)
N (cid:88)
+ αµ+1 N (cid:88) (cid:104)Ai(xm), xm − xm+1(cid:105) + αµ+1 + αµ m
m+1
m+1
i=1
i=1
+ αµ (cid:104)Aixm, xm+1 − xm(cid:105) + αµ (cid:104)Aixm, xm − xm+1(cid:105) = 0.
N (cid:88)
Từ tính đơn điệu của Ai, i = 0, 1, . . . , N và bất đẳng thức cuối cùng ta nhận được
m (cid:104)xm − xm+1, xm − xm+1(cid:105)
m+1 − αµ m
i=1
(cid:1) (cid:0)αµ (cid:104)Aixm, xm+1 − xm(cid:105) + αµ+1
m
m+1 − αµ+1
+ (cid:0)αµ+1 (cid:1)(cid:104)xm+1 − x+, xm+1 − xm(cid:105) ≤ 0,
36
suy ra,
N (cid:88)
m |
m+1 − αµ αµ+1 m | αµ+1
| αµ (cid:104)Aixm, xm − xm+1(cid:105) (cid:104)xm+1 − xm, xm+1 − xm(cid:105) ≤
i=1 m+1 − αµ+1 m | αµ+1 m
+ (cid:104)xm+1 − x+, xm − xm+1(cid:105).
Do đó,
N (cid:88)
m |
m+1 − αµ αµ+1 m
m+1 − αµ+1 m | αµ+1 m
i=1
| αµ | αµ+1 (cid:107)xm+1 − xm(cid:107) ≤ (cid:107)Aixm(cid:107) + (cid:107)xm+1 − x+(cid:107).
Đặt
i
d1 = max (cid:107)Aixm(cid:107), d0 ≥ (cid:107)xm+1 − x+(cid:107).
Ta nhận được
m |
m+1 − αµ αµ+1 m
m+1 − αµ+1 m | αµ+1 m
| αµ | αµ+1 . (cid:107)xm+1 − xm(cid:107) ≤ N d1 + d0
Sử dụng bất đẳng thức
am − bm = (a − b)(am−1 + am−2b + · · · + abm−2 + bm−1),
ta nhận được
, (cid:107)xm+1 − xm(cid:107) ≤ (cid:102)M | αm+1 − αm | αµ+1 m
(cid:102)M là hằng số dương. Do đó,
(cid:19) . (cid:107)xm+1 − xm(cid:107) = O (cid:18)| αm+1 − αm | αµ+1 m
(cid:3) Định lý được chứng minh.
Bổ đề 2.2.2 Giả sử {uk}, {ak}, {bk} là các dãy số dương thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) uk+1 ≤ (1 − ak)uk + bk, 0 ≤ ak ≤ 1;
k=1 ak = +∞,
(ii) (cid:80)∞ = 0. lim k→+∞ bk ak
37
Khi đó, uk = 0. lim k→+∞
Sự hội tụ của dãy lặp (2.15) được công bố trong định lý sau đây.
Định lý 2.2.3 Giả sử các dãy {αm}, {βm} trong (2.15) và các ánh xạ Ai thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) A0 là ánh xạ liên tục Lipschitz và đơn điệu, các ánh xạ Ai khác là
λi-ngược đơn điệu mạnh;
(ii) 1 ≥ αm (cid:38) 0, βm → 0 khi m → +∞;
(iii) = 0, = 0; lim m→+∞ lim m→+∞ βm αµ+1 m
m = +∞.
(iv) (cid:80)∞ |αm+1 − αm| βmα2(µ+1) m m=0 βmαµ+1
Khi đó, zm = x0 ∈ S có x+-chuẩn nhỏ nhất. lim m→+∞
Chứng minh. Trước hết ta có (cid:107)zm − x0(cid:107) ≤ (cid:107)zm − xm(cid:107) + (cid:107)xm − x0(cid:107). Sử dụng Định lý 2.2.1 thì thành phần thứ hai trong vế phải của đánh giá này dần tới 0 khi m → +∞. Vì vậy ta chỉ cần chứng minh zm xấp xỉ xm khi m → +∞.
Đặt
(cid:52)m = (cid:107)zm − xm(cid:107).
Khi đó,
N (cid:88)
(cid:52)m+1 = (cid:107)zm+1 − xm+1(cid:107)
m
m (zm − x+)(cid:3)
i=1
= zm − xm − βm Aizm + αµ+1 (cid:2)A0zm + αµ (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
N (cid:88)
(2.20) − (xm+1 − xm) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
m
i=1
≤ zm − xm − βm Aizm + αµ+1 (cid:2)A0zm + αµ (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) m (zm − x+)(cid:3) (cid:13) (cid:13)
+ (cid:107)xm+1 − xm(cid:107).
38
N (cid:88)
Ở đây
m
i=1
N (cid:88)
Aizm + αµ+1 zm − xm − βm (cid:2)A0zm + αµ (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) 2 (cid:13) m (zm − x+)(cid:3) (cid:13) (cid:13)
Aizm + αµ+1 = (cid:107)zm − xm(cid:107)2 + β2 m (cid:13) (cid:13) A0zm + αµ (cid:13) m (cid:13) (cid:13) 2 (cid:13) m (zm − x+) (cid:13) (cid:13)
i=1 N (cid:88)
(cid:28)
m (zm − x+)
i=1
N (cid:88)
Aizm + αµ+1 − 2βm zm − xm, A0zm + αµ m (2.21)
m
i=1
Aixm + αµ+1 − (cid:2)A0xm + αµ (cid:29) m (xm − x+)(cid:3)
m
N (cid:88)
≤ (cid:0)1 − 2βmαµ+1 (cid:1)(cid:107)zm − xm(cid:107)2
i=1
. Aizm + αµ+1 + β2 m (cid:13) (cid:13) A0zm + αµ (cid:13) m (cid:13) (cid:13) 2 (cid:13) m (zm − x+) (cid:13) (cid:13)
N (cid:88)
Vì A0 là ánh xạ liên tục Lipschitz, các ánh xạ Ai khác là λi-ngược đơn điệu mạnh, i = 1, 2, . . . , N , nên
i=1
N (cid:88)
Aizm + αµ+1 (cid:13) (cid:13) A0zm + αµ (cid:13) m (cid:13) (cid:13) 2 (cid:13) m (zm − x+) (cid:13) (cid:13)
i=1
= (cid:1) + αµ+1 (cid:0)Aizm − Aixm (cid:13) (cid:13) A0zm − A0xm + αµ (cid:13) m (cid:13) (cid:13) 2 (cid:13) m (zm − xm) (cid:13) (cid:13)
≤ c(cid:107)zm − xm(cid:107)2,
ở đây c là hằng số dương. Từ (2.20), (2.21) và bất đẳng thức cuối cùng ta
nhận được
m(1 − 2βmαµ+1
m + cβ2 m)
(cid:19) (cid:18) (cid:19)1/2 . (cid:52)2 + O (cid:52)m+1 ≤ (cid:18)| αm+1 − αm | αµ+1 m
Bình phương 2 vế của bất đẳng thức này và sử dụng bất đẳng thức sơ cấp
(cid:18) (cid:19) 1 + b2, (a + b)2 ≤ (1 + αmβm)a2 + 1 αmβm
39
ta nhận được
mαµ+2
m + cαmβ3 m
m − 2β2 (cid:19)2
(cid:1) (cid:52)2
(2.22) . O 1 + + (cid:0)1 − 2βmαµ+1 m + αmβm + cβ2 m+1 ≤(cid:52)2 m (cid:19) (cid:18) 1 αmβm (cid:18)| αm+1 − αm | αµ+1 m
m − αmβm − cβ2
Điều kiện của Bổ đề 2.2.2 đúng cho dãy số {(cid:52)m} vì (2.22) và các điều kiện (ii) - (iv) với
m − cαmβ3 mαµ+2 m, (cid:19)2
m + 2β2 (cid:18)| αm+1 − αm | αµ+1 m
(cid:19) 1 + . O bm = am = 2βmαµ+1 (cid:18) 1 αmβm
(cid:3) Chứng minh Định lý 2.2.3 được hoàn thành.
Chú ý 2.2.4 Các dãy βm = (1 + m)−1/2 và αm = (1 + m)−p, 0 < 2p < 1/(N + 1) thỏa mãn các điều kiện (ii) - (iv) của Định lý 2.2.3.
2.2.2 Ví dụ số minh họa
Xét hệ phương trình
i = 1, 2, (2.23) Aix = 0,
i ∗ Bi với
ở đây, Ai = BT
1 −1 1 −2 −1
B1 = ; B2 = . 0 0 −1 0 1 1 1 0 1 −2 −1 −1 −1
Ta có det(Ai) = 0, i = 1, 2 nên mỗi phương trình của (2.23) đặt không chỉnh, do đó hệ (2.23) nói chung là đặt không chỉnh.
Ta thấy x0 = (0, 0, 0)T ∈ R3 là nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của hệ (2.23). Từ các kết quả đạt được ta có thể tìm nghiệm của hệ (2.23) từ việc giải
phương trình hiệu chỉnh
(2.24) αµ1A1x + αµ2A2x + αJ(x − x∗) = 0,
40
trong ví dụ này ta chọn x∗ = (0, 0, 0) ∈ R3, µ1 = 0, µ2 = 1/2, α = 10−3. Sử dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp (2.16) với dãy lặp
(cid:18) (cid:19)
zm+1 = zm − βm αµ1A1zm + αµ2A2zm + αmzm
để tìm nghiệm của (2.24) với xấp xỉ ban đầu z0 = (1, 1, 1) ∈ R3 và αm = (1 + m)−1/8, βm = (1 + m)−1/2.
Trong tính toán thử nghiệm, nếu
i (cid:107) ≤ err
− zm (cid:107)zm+1 i max 1≤i≤3
thì dừng tính toán, với err là sai số cho trước. Sau đây là kết quả tính toán.
m err (cid:107)x0 − zm(cid:107)
10
9.3115 ×10−3 1.6250 ×10−2 3.9691 ×10−5 6.9863 ×10−5 50 100 1.1444 ×10−6 2.0268 ×10−6 200 1.1811 ×10−8 2.1096 ×10−8
Bảng 2.1 Kết quả tính toán minh họa cho sự hội tụ
41
Kết luận
Luận văn đã đề cập đến những vấn đề sau:
• Trình bày phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đơn điệu,
hemi-liên tục và có tính chất thế năng trong không gian Banach, trên
cơ sở giải một phương trình toán tử phụ thuộc tham số trong trường hợp vế phải bằng không và trường hợp vế phải khác không.
• Giới thiệu cách chọn tham số hiệu chỉnh bằng nguyên lý tựa độ lệch,
trên cơ sở đó đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh tới nghiệm chính xác của hệ phương trình toán tử đã cho.
• Giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh lặp bậc không và đưa ra ví dụ số minh họa cho tốc độ hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh với tham số
hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm.
42
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, NXB
Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Nguyễn Bường (2001), Hiệu chỉnh bài toán phi tuyến bằng phương
pháp toán tử đơn điệu, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc
gia Hà Nội.
Tiếng Anh
[4] Y. Alber, I.P. Ryazantseva (2006), Nonlinear ill-posed problems of
monotone types, Springer Verlag.
[5] V. Barbu (1976), Nonlinear semigroups and differential equations in
Banach spaces, Acad. Bucuresti Romania.
[6] Ng. Buong, T.T. Huong, and Ng.T.T. Thuy (2016), "A quasi-residual
principle in regularization for a solution of a finite system of ill-posed equations in Banach spaces", Russian Math., 60(3), 47–55.
[7] F.E. Browder (1966), "Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities", Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A, 56(4),
1080–1086.
[8] I. Ekeland, R. Temam (1970), Convex analysis and variational prob- lems, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Holland.
43
[9] Ng.T.T. Thuy (2012), "Regularization for a system of inverse-strongly
monotone operator equations", Nonlinear. Funct. Anal. Appl., 17(1), 71–87.
[10] A.N. Tikhonov (1963), "Regularization of inorrectly posed problems and the regularization method", Dolk. Acad. Nauk SSSR Math, 4,
1624–1627.
[11] M.M. Vainberg (1972), Variational method and method of monotone operators in the theory of nonlinear equations, M. Nauka, in Russian.
