Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lũy thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội của của hàm Green đa phức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hàm Green đa phức được giới thiệu và nghiên cứu đầu tiên bởi L. Lempert năm 1981. Cụ thể, hàm Green đa phức là nghiệm của bài toán cực trị được đặt ra một cách tự nhiên đối với các hàm đa điều hoà dưới âm. Từ đó, cho chúng ta một dạng của bổ đề Schwarz, tức là có thể kiểm soát những modun của các hàm chỉnh hình bị chặn mà cùng triệt tiêu tại một điểm cho trước.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lũy thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội của của hàm Green đa phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÊ THU TRANG LŨY THỪA HỌ IĐÊAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH VÀ SỰ HỘI CỦA CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÊ THU TRANG LŨY THỪA HỌ IĐÊAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. DƯƠNG QUANG HẢI Thái Nguyên - Năm 2017
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Lũy thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm Green đa phức" được hoàn thành bởi nhận thức của tôi, không trùng lặp với luận văn, luận án và các công trình đã công bố. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Người viết Luận văn Lê Thu Trang i
Lời cảm ơn Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Dương Quang Hải. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tình cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và Viện Toán học đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã luôn động viên, khích lệ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Người viết luận văn Lê Thu Trang ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 1 Sự hội tụ của họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm Green đa phức kết hợp với một họ iđêan các hàm chỉnh hình 3 1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Hàm Green đa phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Họ iđêan các hàm chỉnh hình và hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan các hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Sự hội tụ của họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan các hàm chỉnh hình . . . . 15 1.5 Một số kết quả về sự hội tụ của hàm Green đa phức . . . . . . 19 iii
2 Lũy thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm Green đa phức 25 2.1 Lũy thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Sự hội tụ của hàm Green đa phức . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Một số trường hợp đặc biệt về sự hội tụ của hàm Green đa phức 37 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 iv
Mở đầu Hàm Green đa phức được giới thiệu và nghiên cứu đầu tiên bởi L. Lempert năm 1981. Cụ thể, hàm Green đa phức là nghiệm của bài toán cực trị được đặt ra một cách tự nhiên đối với các hàm đa điều hoà dưới âm. Từ đó, cho chúng ta một dạng của bổ đề Schwarz, tức là có thể kiểm soát những modun của các hàm chỉnh hình bị chặn mà cùng triệt tiêu tại một điểm cho trước. Đặc biệt, trên một miền siêu lồi, Lempert đã chứng minh được rằng hàm Green đa phức một cực trùng với nghiệm của bài toán cực trị nhận được bằng cách nghiên cứu các đĩa giải tích đi qua điểm cực này. Từ đó, hàm Green đa phức đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết thế vị phức. Một số kết quả về hàm Green đa phức với các cực logarit trên miền siêu lồi và hàm Green đa phức với cực hữu hạn đã nhận được sự quan tâm và nghiên cứu bởi nhiều tác giả như: Lelong, Klimek, Demailly, Zaharjuta, E. Amar, Thomas, Dan Coman,... Khi nghiên cứu về hàm Green đa phức, Lempert đã chỉ ra nó là nghiệm của toán tử Monge - Ampère phức. Tuy nhiên, vì toán tử Monge - Ampère phức là không tuyến tính nên việc nghiên cứu toán tử này dẫn đến việc nghiên cứu sự hội tụ của hàm Green đa phức với tập cực gồm hữu hạn điểm trên một miền siêu lồi bị chặn trong Cn . Vấn đề này đã được nhiều tác giả quan tâm 1
nghiên cứu như: Demailly, Lempert, Lelong, Magnusson, Rashkovskii, Láruson, Sigurdsson, Thomas và gần đây là Nguyễn Quang Diệu, Dương Quang Hải,... Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi đã lựa chọn đề tài "Luỹ thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm Green đa phức". Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu và nghiên cứu sự hội tụ của hàm Green đa phức với tập cực gồm hữu hạn điểm cùng hội tụ về điểm gốc nhờ vào việc nghiên cứu sự hội tụ của họ iđêan lũy thừa các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của các hàm Green đa phức liên kết với họ iđêan này. Luận văn trình bày lại một số kết quả của các tác giả nêu trên, chủ yếu dựa vào các tài liệu [2], [8] và [11]. Các kết quả nghiên cứu được trình bày trong phạm vi 48 trang, trong đó có phần mở đầu, 2 chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: "Sự hội tụ của họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm Green đa phức kết hợp với một họ iđêan các hàm chỉnh hình". Luận văn trình bày các kiến thức cơ bản về hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới cực đại, toán tử Monge - Ampère phức,hàm Green đa phức, họ iđêan các hàm chỉnh hình, một số kết quả về sự hội tụ của hàm Green đa phức. Chương 2: "Lũy thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm Green đa phức". Đây là nội dung chính của luận văn. Nội dung của chương này trình bày các kết quả về sự hội tụ của hàm Green đa phức với tập cực gồm hữu hạn điểm cùng hội tụ về điểm gốc nhờ sự hội tụ của họ iđêan lũy thừa các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của các hàm Green đa phức liên kết với họ iđêan này. 2
Chương 1 Sự hội tụ của họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm Green đa phức kết hợp với một họ iđêan các hàm chỉnh hình Trong chương này, luận văn trình bày một số kiến thức chuẩn bị và khái niệm về sự hội tụ của họ iđêan các hàm chỉnh hình, sự hội tụ của hàm Green đa phức kết hợp với một họ iđêan các hàm chỉnh hình để phục vụ cho nghiên cứu ở chương sau. Phần cuối chương là một số kết quả nghiên cứu về sự hội tụ của hàm Green đa phức với tập cực hữu hạn và cùng hội tụ về một điểm trên một miền siêu lồi bị chặn trong Cn . 3
1.1 Một số khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian tôpô, hàm u : X → [−∞, +∞) được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi α ∈ R tập mở {x ∈ X : u(x) < α} là mở trong X . Định nghĩa 1.1.2. Cho Ω là một tập con mở trong Cn và u : Ω → [−∞, +∞) là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với −∞ trên bất kì thành phần liên thông nào của Ω. Hàm u được gọi là đa điều hòa dưới nếu với mỗi a ∈ Ω và b ∈ Cn , hàm λ 7→ u(a + λb) là điều hòa dưới hoặc trùng −∞ trên mỗi thành phần của tập hợp {λ ∈ Cn : a + λb ∈ Ω}. Trong trường hợp này, ta viết u ∈ P SH(Ω). (Ở đây ký hiệu P SH(Ω) là lớp hàm đa điều hòa dưới trong Ω). Mệnh đề 1.1.3. [6] Hàm đa điều hòa dưới thỏa mãn nguyên lý cực trị trong miền bị chặn, tức là nếu Ω là một tập con mở liên thông bị chặn của Cn và u ∈ P SH(Ω), thì u là hằng hoặc với mỗi z ∈ Ω, u(z) < sup lim sup u(y). ω∈∂Ω y→ω y∈Ω Định nghĩa 1.1.4. Cho Ω là một tập con mở trong Cn . Giả sử u : Ω → R là một hàm đa điều hòa dưới. Khi đó, u được gọi là cực đại nếu với mọi tập con compact G ⊂ Ω và mọi hàm nửa liên tục v trên G sao cho v ∈ P SH(G) và v ≤ u trên ∂G, ta có v ≤ u trên G. Ký hiệu M P SH(Ω) là tập hợp các hàm đa điều hòa dưới cực đại trên Ω. Cho một miền Ω ⊂ Cn . Ký hiệu U b Ω là tập con compact tương đối trong Ω. 4
Định nghĩa 1.1.5. Một miền bị chặn Ω ⊂ Cn được gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới âm, liên tục ρ : Ω → (−∞, 0) sao cho với c < 0, Ωc = {z ∈ Ω : ρ(z) < c} b Ω. Cho u là đa điều hòa dưới trên miền Ω ⊂ Cn . Ký hiệu d = ∂ + ∂ và dc = i(∂ − ∂). Định nghĩa 1.1.6. Nếu u ∈ C 2 (Ω) thì toán tử 2 ∂ u (ddc u)n = (ddc u) ∧ . . . ∧ (ddc u) = 4n n!det dV, | {z } ∂zj ∂ z¯k 1≤j,k≤n n với dV là độ đo thể tích trong Cn gọi là toán tử Monge-Ampère phức. Toán tử này có thể xem như độ đo Radon trên Ω, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C0 (Ω) trên Ω, Z C0 (Ω) 3 ϕ 7→ ϕ(ddc u)n . Ω Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương trên Ω thì tồn tại dãy {um }m>1 ⊂ P SH(Ω) ∩ C ∞ (Ω) sao cho um & u và {(ddc um )n } hội tụ yếu tới độ đo Radon µ trên Ω tức là: Z Z n lim ϕ(ddc um ) = ϕdµ, ∀ϕ ∈ C0 (Ω). n Ω Ω Hơn nữa, µ không phụ thuộc vào việc chọn dãy {um } như trên, ta ký hiệu (ddc u)n = µ và gọi là toán tử Monge-Ampère phức của hàm u. 5
1.2 Hàm Green đa phức Định nghĩa sau đây về hàm Green đa phức được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên bởi Lelong (xem [6] và [7]). Định nghĩa 1.2.1. Cho Ω là một miền siêu lồi bị chặn trong Cn . Cho S := {a1 , . . . , aN } là một tập hữu hạn các điểm trong Ω. Hàm Green đa phức của Ω với tập cực S được xác định như sau: GΩ S (z) := sup{u(z) : u ∈ P SH− (Ω), u(z) ≤ log|z − a| + O(1), ∀a ∈ S}, trong đó, ký hiệu P SH− (Ω) là tập hợp tất cả các hàm đa điều hòa dưới âm trên Ω. Hàm Green đa phức có một tính chất cơ bản sau đây (xem [6]) 1. Hàm Green đa cực bất biến dưới nhóm các tự đồng cấu của Ω. Tổng quát hơn, nếu Ω0 b Cm là một miền siêu lồi và nếu f : Ω 7→ Ω0 là một ánh xạ chỉnh hình thì với mọi z, a ∈ Ω, ta có 0 GΩ Ω Ω {a} (z) ≥ G{f (a)} (f (z)) =: f ∗ G{a} (z). 0 Đặc biệt, nếu f là song chỉnh hình thì GΩ Ω {a} = f ∗ G{a} . 2. GΩ {a} (z) là hàm đa điều hòa dưới âm với cực tại a. 3. GΩ {a} là hàm đa điều hòa dưới cực đại trên Ω\ {a}. 4. Nếu Ω ⊂ Cn là một miền siêu lồi thì hàm GΩ (z, a) := GΩ {a} x(z) là liên tục trên Ω × Ω. 6
Hơn nữa, hàm Green đa phức GS là một đa điều hoà dưới hàm âm trên Ω nên GS thỏa mãn tính chất sau đây. Mệnh đề 1.2.2. Giả sử Ω là miền siêu lồi bị chặn trong Cn , cho S = {a1 , a2 , ..., aN } là một tập hữu hạn các điểm trong Ω. Khi đó, ta có các bất đẳng thức sau N X Gaj (z) ≤ GS (z) ≤ min {Gaj (z)}. (1.1) j=1,N j=1 Chứng minh. Theo định nghĩa của hàm Green đa phức, hàm vế trái của bất đẳng thức trên là một trong những hàm đa điều hoà dưới âm của các hàm lấy supremun trong định nghĩa của GS . Mặt khác, hàm Green đa phức GS cũng là một hàm trong họ các hàm Green được định nghĩa ở vế phải. Do đó, ta có bất đẳng thức trên. Tiếp theo, chúng ta có một số ví dụ về hàm Green đa phức trên các đa đĩa đơn vị. Ví dụ 1.2.3. Trên song đĩa đơn vị D2 ⊂ C2 , hàm Green đa phức với cực tại ω = (a, 0), a ∈ C được xác định bởi
z1 − a
G{(a,0)} (z) := max log
, log |z2 | . 1 − az1