Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số dạng phương trình và bất phương trình căn thức

Chia sẻ: Tathimu Tathimu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:119

Thêm vào BST

Báo xấu

136
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày các dạng phương trình cơ bản chứa căn thức giải được bằng cách nâng lên lũy thừa, hoặc bằng phương pháp đặt ẩn phụ thích hợp; trình bày các phương pháp đặc biệt, như phương pháp đánh giá chặn trên, chặn dưới để thu hẹp tập nghiệm của các phương trình căn thức,... để đưa một phương trình phức tạp về phương trình đơn giản hơn. Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số dạng phương trình và bất phương trình căn thức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ : 60 46 01 13 Người thực hiện: NGÔ TRUNG KIÊN Cao học khóa 1, 2013-2015 Người hướng dẫn: TS. NCVC. NGUYỄN VĂN NGỌC HÀ NỘI - 2015 Thang Long University Libraty Mục lục Mở đầu 1 2 1 Một số dạng phương trình và phương pháp phổ biến 1.1 Các dạng cơ bản phương trình chứa căn thức . . . . . . . . . . 1.1.1 Phương trình dạng u(x) = f (x) . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Phương trình dạng u(x) + a v(x) = f (x) . . . . . . . 1.1.3 Phương trình dạng 3 u(x) + a 3 v(x) = f (x) . . . . . . . 1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ trong phương trình căn thức . . . . . . 1.2.1 Phương trình dạng u(x) ± v(x) + a u(x)v(x) = f (x) 1.2.2 Phương trình dạng u(x) = au(x) + b . . . . . . . . . . 1.2.3 Phương trình dạng u(x) + a ± u(x) + b = c . . . . . √ 1.2.4 Phương trình dạng x2 + 2ax + a2 + a − b = x + b . . . . √ 1.2.5 Phương trình dạng x3 + 3ax2 + 3a2 x + a3 + a − b = 3 x + b 1.2.6 Lượng giác hóa các phương trình căn thức . . . . . . . . Một số dạng phương trình và phương pháp đặc biệt 2.1 Hằng đẳng thức căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Các hằng đẳng thức về căn bậc hai, bậc ba sử dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Phương pháp đánh giá theo các bất đẳng thức . . . . . 2.2.1 Một số bất đẳng thức thông dụng . . . . . . . . 2.2.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Sử dụng tính đồng biến của các hàm số . . . . . . . . . 2.3.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Các bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Phương trình chứa căn thức sinh bởi hàm số ngược . . 2.4.1 Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii . . . . . . . . . . . 3 3 3 11 17 22 22 27 34 39 47 52 60 . . . . . . 60 thường . . . . . . 60 . . . . . . 61 . . . . . . 65 . . . . . . 65 . . . . . . 66 . . . . . . 73 . . . . . . 73 . . . . . . 74 . . . . . . 84 . . . . . . 84 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 3 Hàm số và hàm số ngược . Phương trình chứa căn thức Phương trình chứa căn thức Phương trình chứa căn thức . . . . . . . αx + β . √ 3 αx + β . √ 5 αx + β . √ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Một số dạng bất phương trình căn thức 3.1 Các dạng cơ bản bất phương trình căn thức . . . . . . . . . . . 3.1.1 Bất phương trình dạng u(x) < f (x) . . . . . . . . . . 3.1.2 Bất phương trình dạng u(x) > f (x) . . . . . . . . . . 3.2 Phương pháp đặt ẩn phu giải bất phương trình . . . . . . . . 3.2.1 Bất phương trình đối với u(x) + au(x) + f (x) . . . . 3.3 Bất phương trình đối với u(x) ± v(x) + a u(x)v(x) + f (x) . . . . . . . . . . . . . . 84 87 89 91 . . . . . . 92 92 92 99 105 105 109 Kết luận 114 Tài liệu tham khảo 115 iii Thang Long University Libraty Mở đầu Phương trình và bất phương trình chứa căn (căn thức) là chuyên mục quan trọng và thú vị của môn Đại số được dạy ở bậc phổ thông, đòi hỏi nhiều sáng tạo, kích thích sự đam mê, nên được nhiều người quan tâm. Các bài toán về phương trình, bất phương trình, hay hệ phương trình, hệ bất phương trình chứa căn thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán ở các cấp THCS, THPT và nhất là trong các kỳ thi đại học, hay thi vào các trường chuyên. Đặc điểm cơ bản của chuyên mục này, trước hết là ở sự tồn tại các căn thức bậc chẵn và sự tương đương của các đẳng thức và bất đẳng thức. Không ít các học sinh đã mắc sai lầm là nâng lên lũy thừa hai vế của phương trình hay bất phương trình để nhận được phương trình hay bất phương trình đa thức không tương đương. Nhiều khi việc nâng lên lũy thừa có thể được thực hiện, thì một khó khăn gặp phải là sẽ được một phương trình hay bất phương trình đa thức bậc cao rất khó tìm được nghiệm. Do đó đã đề xuất cách đặt ẩn phụ, và do đó đã hình thành phương pháp đặt ẩn phụ giải các phương trình căn thức. Mỗi dạng bài toán về phương trình, bất phương trình căn thức đòi hỏi cách đặt ẩn phụ riêng phù hợp, đổi khi phải sử dụng phép đặt lượng giác, hoặc hyperbol. Nhiều bài toán về phương trình, bất phương trình căn thức đòi hỏi vận dụng tinh tế các bất đẳng thức đại số, như bất đảng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, hay các bất đẳng thức khác để đánh giá hai vế, từ đó đưa ra những kết luận về nghiệm của bài toán đã cho. Có nhiều bài toán về phương trình hay bất phương trình căn thức rất khó giải bằng một trong những phương pháp nêu trên đây. Đôi khi phải vận dụng tính đồng biến của hàm số, hoặc sự tồn tại hàm số ngược để giải bài toán. Đó là những phương pháp khá đặc biệt và lý thú, đòi hỏi kỹ năng vận dụng sáng tạo. Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình đã được đề xuất từ khá lâu. Tuy nhiên, do tính đa dạng về hình thức và phong phú về cách tiếp cận, nên phương trình, bất phương trình luôn là đối tượng để những người yêu 1