Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các dạng toán về đa thức hay gặp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

---------------------------------------

THÂN VĂN DỰ

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

---------------------------------------

THÂN VĂN DỰ - C00439

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 60460113

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ ĐÌNH NAM

Hà Nội – 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan dưới sự giúp đỡ, hướng dẫn của TS. Lê Đình Nam, luận văn cao học chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp với đề tài “Một số dạng toán về đa thức” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Thăng Long.

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa

những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, ngày 15 tháng 6 năm 2016 Tác giả THÂN VĂN DỰ

MỤC LỤC

Trang

Lời nói đầu 1

1. Tổng quan về đa thức 3

1.1. Vành các đa thức một biến …………………………………………….3

1.2. Nghiệm của đa thức ………………………………………………..….4

1.3. Một vài biểu diễn đa thức ………………………………………………8

2. Các bài toán về nghiệm của đa thức 10

2.1. Các bài toán về số nghiệm của đa thức ……………………………….10

2.1.1. Tìm nghiệm của đa thức với hệ số nguyên……………………….10

2.1.2. Đa thức không có nghiệm hữu tỉ ….……………………………..12

2.1.3. Sự tồn tại nghiệm thực của đa thức ……………….……………..18

2.2. Các bài toán về đánh giá, ước lượng nghiệm của đa thức ……………26

2.2.1. Một số định lý về ước lượng nghiệm …………………………….26

2.2.2. Một số ví dụ ………………………..……………………………30

3. Các bài toán về xác định đa thức 33

3.1. Xác định đa thức dựa vào đặc trưng nghiệm ………………………...33

3.2. Xác định đa thức thỏa mãn ………….40

3.3. Xác định đa thức thỏa mãn …..50

4. Một số dạng toán khác về đa thức 53

4.1. Các bài toán về tính chia hết của đa thức …………………………….53

4.1.1. Đa thức chia hết cho đa thức ……………………….53

4.1.1.1. Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức …..53

4.1.1.2. Tìm điều kiện của tham số để đa thức chia hết cho đa

thức …………………………………………………………………...59

4.1.2. Các bài toán chia hết của biểu thức nghiệm của đa thức …………63

4.2. Ứng dụng đa thức để giải toán ………………………………………..64

4.2.1. Ứng dụng đa thức giải hệ phương trình …………………………64

4.2.2. Ứng dụng đa thức chứng minh bất đẳng thức ……………………72

4.2.2.1. Ứng dụng đa thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức …….72

4.2.2.2. Ứng dụng đa thức bậc ba để chứng minh bất đẳng thức …77

Kết luận ……………………………………………………………………..83

Tài liệu tham khảo ………………………………………………………….84

LỜI NÓI ĐẦU

Đa thức là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong toán học nói chung

và trong đại số nói riêng. Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán

quốc tế, thi Olympic sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng thì các bài

toán về đa thức cũng được đề cập nhiều và được xem là một dạng toán khó ở

bậc trung học phổ thông.

Hiện nay đã có nhiều tài liệu viết về đa thức. Tuy nhiên các tài liệu này

chủ yếu trình bày về lý thuyết xây dựng và các tính chất của đa thức, bài tập áp

dụng còn ít. Với mong muốn có một tài liệu tham khảo hữu ích giúp cho học

sinh tự ôn tập và giáo viên có tài liệu tham khảo để giảng dạy và tự sáng tác

được các bài toán về đa thức, tác giả đã chọn đề tài “Một số dạng toán về đa

thức”.

Các bài toán về đa thức khá là phong phú, Tuy nhiên ở đề tài này tác giả

chọn một số chủ đề cơ bản về đa thức hay gặp trong các kì thi học sinh giỏi:

Chương 1. Tổng quan về đa thức: Trình bày các khái niệm và các tính

chất cơ bản của đa thức.

Chương 2. Các bài toán về nghiệm của đa thức: Nêu cách giải các bài

toán về số nghiệm của đa thức, các bài toán về đánh giá, ước lượng nghiệm.

Chương 3. Các bài toán về xác định đa thức: Trình bày một số dạng bài

toán xác định đa thức điển hình hay gặp trong các kì thi học sinh giỏi.

Chương 4. Một số dạng toán khác: Trình bài cách giải bài toán chứng

minh đa thức chia hết cho đa thức , bài toán tìm điều kiện của tham

số để đa thức chia hết cho đa thức và ứng dụng của đa thức vào giải

hệ phương trình đối xứng và chứng minh bất đẳng thức.

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại Học Thăng Long dưới sự

hướng dẫn của TS. Lê Đình Nam, giảng viên Trường Đại Học Bách Khoa Hà

Nội. Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cám ơn đến các thầy cô trong khoa toán

Trường Đại Học Thăng Long đã hướng dẫn tác giả trong những năm vừa qua

và lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Đình Nam người đã tận tình hướng dẫn tác

giả hoàn thành luận văn này.

Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ có hạn

nên bản luận văn không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Tác giả rất mong

sẽ nhận được những đóng góp quý báu của thầy cô và bạn đọc để bản luận văn

này được hoàn thiên hơn.

Tôi xin chân thành cám ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 6 năm 2016

Tác giả

THÂN VĂN DỰ

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN VỀ ĐA THỨC

Trong chương này sẽ trình bầy các khái niệm và các tính chất cơ bản của

đa thức: Khái niệm vành đa thức trên một miền nguyên, nghiệm của đa thức,

các định lý thường gặp của đa thức như định lý Bezoút, Viéte, định lý cơ bản

của đại số, định lý giá trị trung bình… và các biểu diễn đa thức quen thuộc như

biểu diễn Lagarange, biểu diễn Taylor, biểu diễn Newton.

1.1. VÀNH CÁC ĐA THỨC MỘT BIẾN

Cho là một miền nguyên có đơn vị 1. Kí hiệu

với là biến. Giả sử

Không làm mất tính tổng quát, ta có thể giả sử , và . Khi đó

Trên có quan hệ bằng nhau: khi và chỉ khi với mọi

và .

. Phép cộng:

Phép nhân: .

Bằng việc kiểm tra các tính chất thủ tục, ta rút ra được rằng với hai phép

toán cộng và nhân đã nêu thì trở thành một vành giao hoán có đơn vị 1.

Khi đó được gọi là vành các đa thức của biến trên , các phần tử của

được gọi là các đa thức của biến trên .

Đa thức được gọi là có bậc và viết là

, nếu , các phần tử được gọi là các hệ số

của đa thức , trong đó được gọi là hệ số cao nhất và được gọi là hệ

số tự do.

Quy ước: Đa thức 0 là đa thức có bậc .

Định lý 1.1. Cho là một miền nguyên. Khi đó vành các đa thức là một

miền nguyên. Ngoài ra, nếu là các đa thức khác đa thức 0,

thì

1.2. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

Định nghĩa 1.2. Cho đa thức

Phần tử được gọi là nghiệm của đa thức nếu

Định nghĩa 1.3. Cho đa thức và . Nếu tồn tại một số tự

nhiên sao cho chia hết cho nhưng không chia hết cho

thì được gọi là nghiệm bội bậc của .

Khi thì được gọi là nghiệm đơn, thì được gọi là nghiệm

kép.

Định lý 1.2. (Bezoút)

Phần tử là một nghiệm của đa thức bậc dương nếu và

chỉ nếu với và .

Hệ quả 1.1.

Cho đa thức bậc dương . Khi đó, ta có:

i. Nếu là các nghiệm của , thì

với

và ;

ii. Số nghiệm của đa thức trong không vượt quá bậc của .

Hệ quả 1.2.

Cho đa thức .

Nếu đa thức có quá nghiệm thì tức là .

Định lý 1.3. (Định lý cơ bản của đại số)

Cho đa thức bậc dương . Khi đó có ít một nghiệm

phức.

Hệ quả 1.3.

Mọi đa thức bậc dương luôn có nghiệm phức.

Định lý 1.4. (Viéte)

Nếu là các nghiệm của một đa thức bậc là

trên trường , thì

Định lý 1.5. Cho đa thức . Nếu

phân số tối giảm là nghiệm của đa thức thì:

a) và ;

b) với .

Định lý 1.6. (Định lý giá trị trung gian của đa thức liên tục)

Giả sử hàm số liên tục trên đoạn , nhận giá trị thực trên đoạn

. Nếu thì với mỗi số thực M nằm giữa và , tồn

tại ít nhất một điểm sao cho .

Hệ quả 1.6.1.

Cho đa thức . Nếu tồn tại sao cho

thì phương trình có nghiệm thực trong .

Định lý 1.7. (Định lý Rolle)

Cho hàm số thực liên tục, xác định trên , có đạo hàm trên

và . Khi đó tồn tại sao cho .

Hệ quả 1.7.1.

Cho hàm số liên tục trên , có đạo hàm trên . Nếu

phương trình có nghiệm thực phân biệt trên thì phương trình

có nhiều nhất nghiệm thực phân biệt trên .

Hệ quả 1.7.2.

Cho . Nếu tồn tại sao cho thì phương

trình có nghiệm thực trong .

Định lý 1.8. (Quy tắc xét dấu Descartes)

Cho đa thức .

Gọi là số nghiệm dương của đa thức (đếm cả số bội) và

là số lần đổi dấu trong dãy các hệ số khác không của

. Thế thì và là một số chẵn.

Gọi là số nghiệm âm của đa thức (đếm cả bội) và là

số lần đổi dấu trong dãy các hệ số khác không của đa thức . Thế thì

và là một số chẵn.

Hệ quả 1.8.1.

Cho đa thức với các hệ số thực,

. Nếu thì số nghiệm dương của đa thức (đếm cả bội) là

số chẵn, nếu thì số nghiệm dương của đa thức (đếm cả bội) là

số lẻ.

Hệ quả 1.8.2.

Nếu các hệ số của đa thức đổi dấu đúng một lần thì có đúng

một nghiệm dương.

1.3. MỘT VÀI BIỂU DIỄN ĐA THỨC

Định lý 1.9. (Lagarange)

Cho là một đa thức bậc trên một trường có đặc số 0 và

là phần tử phân biệt trong . Đặt với

. Khi đó ta có:

i. ;

ii. .

Định lý 1.10. (Taylor)

Cho là một đa thức bậc trên một trường K có đặc số 0 và

. Khi đó, ta có

Định lý 1.11. (Newton)

Cho là một đa thức bậc trên một trường và phần tử

. Khi đó, tồn tại các phần tử để

CHƯƠNG 2

CÁC BÀI TOÁN VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

Trong chương này trình bày hai dạng toán về nghiệm của đa thức: Dạng

1 là các bài toán về số nghiệm của đa thức, dạng 2 là các bài toán về đánh giá

ước lượng nghiệm

2.1. CÁC BÀI TOÁN VỀ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

2.1.1. Tìm nghiệm của đa thức với hệ số nguyên

Phương pháp giải: Để tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức

Ta thực hiện như sau:

Bước 1 : Sử dụng định lý 1.5 ta nhẩm nghiệm của đa thức ;

Bước 2 : Sử dụng sơ đồ Hoocne để phân tích đa thức thành tích các đa

thức bậc nhỏ hơn.

Chú ý :

 Nếu tổng các hệ số của đa thức bằng 0 thì đa thức có nghiệm ;

 Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì đa thức có

nghiệm .

Ví dụ 1 Tìm nghiệm của đa thức

Giải :

Giả sử là nghiệm của đa thức , theo định lý 1.5 thì nên

, mặt khác . Suy ra

thử lại ta

thấy là nghiệm của đa thức .

Sử dụng sơ đồ Hoocne ta phân tích .

Suy ra có 4 nghiệm .

Ví dụ 2 Tìm nghiệm của đa thức

Giải :

Đặt đa thức trở thành

Tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ bằng -6. Suy ra đa thức

có nghiệm .

, Suy ra

Giả sử là nghiệm của đa thức (1), theo định lý 1.5 thì nên

, mặt khác . Suy ra

thử lại ta thấy là nghiệm của (1).

Sử dụng sơ đồ Hoocne ta được

Suy ra đa thức có bốn nghiệm .

Nhận xét : Khi tìm nghiệm của đa thức ta có thể đặt ẩn phụ để

đưa bài toán tìm nghiệm của đa thức biến với hệ số đơn giản hơn, có thể giảm

bớt việc kiểm tra các nghiệm.

2.1.2. Đa thức không có nghiệm hữu tỉ

Phương pháp giải : Để chứng đa thức không có nghiệm hữu tỉ ta sử dụng

phương pháp chứng minh phản chứng. Ta giả sử đa thức có nghiệm hữu tỷ

và sử dụng tính chẵn lẻ, tính chia hết để suy ra điều giả sử là mâu thuẫn.

Ví dụ 1

Chứng minh rằng mọi đa thức bậc chẵn có các hệ số là số

nguyên lẻ đều không có nghiệm hữu tỉ.

Giải :

, là số nguyên lẻ .

Giả sử là một nghiệm hữu tỉ của đa thức trong đó

Ta có . Do là số lẻ nên cũng là số lẻ.

Mà là nghiệm của nên .

. Suy ra

đều là số nguyên lẻ nên vế trái (1) là số lẻ mà vế phải Do

bằng 0 không phải là số lẻ điều này mâu thuẫn. Điều này chứng tỏ điều giả sử

là sai.

Ví dụ 2 Cho đa thức và giả sử không

chia hết cho 2016. Chứng minh rằng không có nghiệm nguyên.

Giải :

Giả sử có nghiệm nguyên . Theo định lý 1.5 thì với số nguyên

ta có . Từ đó suy ra

. Mặt khác

điều này mẫu thuẫn với giả thiết. Như Suy ra

vậy điều giả sử là sai.

Vậy đa thức không có nghiệm nguyên.

Nhận xét : Bài toán trên vẫn đúng nếu ta thay 2016 bởi một số nguyên dương

bất kỳ. Ví dụ 3 dưới đây là bài toán tổng quát của Ví dụ 2.

Ví dụ 3

Cho đa thức và giả sử không chia hết

cho với là một số nguyên dương bất kỳ. Chứng minh rằng không có

nghiệm nguyên.

Ví dụ 4

Cho đa thức thỏa mãn đều là số nguyên lẻ.

Chứng minh rằng đa thức không có nghiệm nguyên.

Giải :

Giả sử là một nghiệm nguyên của đa thức , ta có

, .

Suy ra , .

Do đều là những số lẻ nên cũng là những số nguyên

lẻ. Điều này vô lý vì là hai số nguyên liên tiếp nên phải có một

số chẵn.

Vậy điều giả sử là sai.

Nhận xét :

Ở bài toán trên điều quan trọng không phải số 0 và 1 mà quan trọng là

hai số 0, 1 phải có một số chẵn, một số lẻ và là số lẻ. Dưới đây là

một bài toán tương tự như thế.

Ví dụ 5

Cho đa thức thỏa mãn với

là một số nguyên dương cho trước. Chứng minh đa thức này không có nghiệm

nguyên.

Giải :

Từ giả thiết ta có là số lẻ.

Giả sử là một nghiệm nguyên của suy ra ,

Ta có

Do đều là số lẻ nên cũng là

những số lẻ điều này mâu thuẫn vì có một số chẵn vì

là số lẻ còn là số chẵn. Mâu thuẫn này chứng tỏ điều giả sử là

sai.

Vậy đa thức này không có nghiệm nguyên.

Ví dụ 6

Cho các đa thức và thỏa mãn

, . Chứng minh rằng phương trình

không có nghiệm nguyên.

Giải :

suy ra .

ta có trong hai số có một số chẵn nên chẵn Với

với . Giả sử là nghiệm của phương trình

(*).

Do chẵn nên vế trái (*) là số lẻ mà vế phải (*) chẵn. Điều này mâu thuẫn.

Suy ra điều giả sử là sai.

Nhận xét :

Bài toán trên có thể tổng quát thành bài toán sau :

Bài toán

Cho đa thức và thỏa mãn

, chia hết cho 2. Chứng minh rằng phương

trình vô nghiệm ( ).

Ví dụ 7 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Phú Yên năm 2009-2010)

Cho đa thức .

Chứng minh rằng đa thức này không thể có hai nghiệm nguyên (phân biệt hoặc

trùng nhau).

Giải :

Giải sử là một nghiệm nguyên của . Ta có mà

là một số lẻ nên là số lẻ. Mặt khác

do đó cũng là một số lẻ hay là số chẵn.

Trường hợp 1 : Giả sử đa thức có hai nghiệm nguyên . Khi

đó

Điều này vô lý do vế phải là một số lẻ vì đều là số chẵn.

Trường hợp 2 : Giả sử đa thức có nghiệm kép . Khi đó

Điều này không thể xảy ra vì

là số lẻ vì là số chẵn.

Ta được điều phải chứng minh.

Nhận xét :

Để chứng minh một đa thức không có quá nghiệm nguyên ta thường

sử dụng phương pháp phản chứng. Khi chứng minh ta sử dụng thêm các tính

chất về chia hết, tính chẵn lẻ của số nguyên, sự phân tích một số nguyên thành

tích các số nguyên khác…

2.1.3. Sự tồn tại nghiệm thực của đa thức

Dạng 1. Chứng minh đa thức có nghiệm thực

Ví dụ 1 Chứng minh rằng đa thức có đúng hai nghiệm

dương.

Giải :

Dãy dấu của các hệ số là + - - + nên số lần đổi dấu của dãy hệ số là . Gọi

số nghiệm dương của đa thức là . Theo quy tắc dấu Descates thì

và là số chẵn suy ra hoặc . Mặt khác

nên đa thức có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng . Do đó có đúng

hai nghiệm dương.

Ví dụ 2 Chứng minh rằng đa thức có đúng

hai nghiệm dương và ít nhất một nghiệm âm.

Giải :

Dãy dấu nên số lần đổi dấu của dãy hệ số là . Gọi số nghiệm

dương của đa thức là . Theo quy tắc dấu Descartes thì và là số

chẵn nên hoặc mà nên đa thức có ít nhất

một nghiệm thuộc khoảng . Suy ra tức đa thức có đúng hai

nghiệm dương.

Xét đa thức .

Dãy dấu các hệ số là nên số lần đổi dấu các hệ số của đa thức là

. Gọi số nghiệm dương của là . Theo quy tắc dấu Descartes

thì và là số chẵn nên hoặc . Do đa thức có

ít nhất một nghiệm dương nên đa thức có ít nhất một nghiệm âm.

Ví dụ 3 (Đề thi học sinh giỏi quốc gia – VMO 2003)

Cho hai đa thức

a) Chứng minh rằng mỗi đa thức đã cho có ba nghiệm thực phân biệt ;

b) Ký hiệu là nghiệm lớn nhất của và . Chứng minh rằng

Giải:

a) Ta có hai đa thức liên tục trên .

Ta lại có

Suy ra có ba nghiệm trong các khoảng .

có ba nghiệm nằm trong các khoảng .

b) Vì là nghiệm lớn nhất của nên và

Vì nên . Đặt ,

ta sẽ chứng minh là nghiệm lớn nhất của . Thật vậy:

(Theo (*)).

Vì nên hay là nghiệm lớn nhất của

. Suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 4 (Đề thi Olympic Toán sinh viên 2001)

Cho là các số thực. Chứng minh rằng nếu phương trình

có nghiệm thực trong thì phương trình

cũng có nghiệm thực.

Giải :

Gọi là một nghiệm của phương trình .

. Suy ra

. Khi đó Đặt

Ta có

Do đó phương trình có ít nhất một nghiệm thực thuộc đoạn

hay phương trình có nghiệm thực.

Ví dụ 5

Cho hai đa thức

là một số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng đa thức có ít nhất

với hai nghiệm thực phân biệt.

Giải:

Đa thức liên tục trên . Ta có

suy ra tồn tại sao cho

Vậy đa thức thức có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt nằm trong các

khoảng .

Xét đa thức ,

dễ thấy số nghiệm thực của chính là số nghiệm thực của . Do đó

cũng có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt. Theo định lý Rolle có

ít nhất hai nghiệm thực phân biệt. Mà

Vậy đa thức có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt.

Nhận xét:

Ta thấy . (Trong đó là

một nguyên hàm của ) .

Do đó nghiệm thực của phương trình chính là nghiệm thực

của . Từ đây để xét nghiệm của ta có thể xét

nghiệm của .

Dưới đây là một số ví dụ sử dụng kỹ thuật này để giải.

Ví dụ 6 (Đề thi Olympic Toán sinh viên 2012)

Cho đa thức bậc với hệ số thực và đa thức cho bởi hệ

. thức

Chứng minh rằng nếu phương trình có đúng nghiệm thực phân biệt

thì phương trình có ít nhất nghiệm thực phân trong

biệt.

Giải:

Ta có

Nếu là hai không điểm liên tiếp của thì theo định ly Rolle hàm

có một không điểm nằm giữa và và có không

điểm nằm giữa và . Ta chứng minh . Thật vậy, giả sử thì

Từ đây suy ra (điều này vô lý) suy ra điều giả sử là sai hay .

Vậy nếu là các không điểm liên tiếp của thì có ít

nhất không điểm, ngoài ra trong khoảng có một nghiệm của

(theo định lý Rolle). Vậy đa thức có ít nhất nghiệm phân

biệt.

Ví dụ 7

Cho đa thức bậc 2016 có 2016 nghiệm dương. Chứng minh rằng

đa thức sau có đúng 2017 nghiệm dương

Giải:

Ta có .

Xét đa thức ,

Do có 2016 nghiệm dương nên cũng có 2016

nghiệm dương . Theo định lý Rolle có ít nhất 2015 nghiệm

thuộc các khoảng với hay đa thức

có ít nhất 2015 nghiệm dương .

Ta thấy đa thức bậc 2016 nên có 2016 nghiệm.

Gọi là nghiệm còn lại của đa thức .

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

Theo định lý Viéte ta có

Vì là các số dương nên

là nghiệm của đa thức .

Theo định lý Viéte ta có nên .

Suy ra đa thức có 2016 nghiệm dương. Mặt khác

có một nghiệm dương, một nghiệm âm nên đa thức

có đúng 2017 nghiệm dương.

Dạng 2. Chứng minh đa thức không có nghiệm thực

Phương pháp giải:

Phương pháp 1: Để chứng minh một đa thức không có nghiệm thực ta phân tích đa thức đã cho về dạng tổng các biểu thức luôn âm (luôn dương) hoặc tích các biểu thức không âm.

có tối đa

Phương pháp 2: Để chứng minh một đa thức không có nghiệm thực ta xây dựng một dãy vô hạn, đôi một khác nhau các nghiệm thực của đa thức. Từ đây suy ra điều vô lý (Một đa thức khác không bậc nghiệm trên một trường).

Ví dụ 1 Chứng minh các đa thức sau không có nghiệm thực

ii)

iii)

Giải:

với .

Vậy đa thức không có nghiệm thực.

ii)

với

vì Vậy đa thức không có nghiệm thực.

iii)

. với

Vậy đa thức không có nghiệm thực.

Ví dụ 2

Cho đa thức khác hằng số thỏa mãn điều kiện

Chứng minh đa thức không có nghiệm thực.

Giải:

Giả sử đa thức có nghiệm thực . Xét dãy xác định bởi :

Bằng phương pháp quy nạp toán học ta có thể chứng minh được với là

nghiệm của đa thức thì cũng là nghiệm của với .

Do nên đa thức có vô số nghiệm, điều này vô lý.

Vậy đa thức không có nghiệm thực.

Ví dụ 3

Cho đa thức thỏa mãn

Chứng minh rằng đa thức không có nghiệm thực.

Giải:

Giả sử là một nghiệm thực của đa thức . Xét dãy số xác định bởi :

Bằng phương pháp quy nạp toán học ta có thể chứng minh được với là

nghiệm của đa thức thì cũng là nghiệm của với .

. Vì nên . Chứng minh tương tự

Trường hợp 1 : ta có

Vậy đa thức có vô số nghiệm (vô lý).

. Vì nên . Chứng minh tương tự

Trường hợp 2 : ta có

Vậy đa thức có vô số nghiệm (vô lý).

Trường hợp 3 : , suy ra . Gọi là chỉ số nhỏ nhất mà

. Khi đó .

Theo giả thiết .

Đồng nhất hệ số của ở hai về của (*) ta được (vô lý). Vậy đa thức

không có nghiệm thực.

2.2. Các bài toán về đánh giá, ước lượng nghiệm

2.2.1. Một số định lý về ước lượng nghiệm

Định lý 2.1. (Cauchy)

Cho đa thức .

Các hệ số là các số phức và trong các số có ít nhất

một số khác 0. Khi đó đa thức

có nghiệm thực dương duy nhất (nghiệm đơn) và các nghiệm của đa thức

có module không vượt quá .

Chứng minh:

Đặt .

Nếu thì phương trình tương đương với .

Dễ thấy là hàm liên tục trên khoảng và khi x tăng dần từ 0 đến

thì giảm nghiêm ngặt từ đến . Do đó có nghiệm

dương duy nhất là . Mặt khác do

Nên là nghiệm đơn của . Suy ra cũng có nghiệm thực dương duy

nhất .

Ta còn phải chứng minh nếu là một nghiệm của thì

Giả sử . Do nghịch biến nên . Suy ra

hay .

Mặt khác,

. Điều này mâu thuẫn với nhận xét

trên. Vậy .

Hệ quả 2.1.1.

Cho đa thức , trong đó với

và có ít nhất một số . Khi đó đa thức có duy nhất nghiệm thực

dương (nghiệm đơn) và module của các nghiệm khác không vượt quá .

Định lý 2.2. (Ostrovsky)

Cho đa thức , trong đó với

và có ít nhất một số . Nếu ước chung lớn nhất của các chỉ số của các hệ

số dương bằng 1 thì có nghiệm thực dương duy nhất và module của

các nghiệm khác nhỏ hơn .

Chứng minh:

Giả sử các hệ số là dương với và

. Khi đó tồn tại các số nguyên sao cho

Đặt .

Nếu thì phương trình tương đương với . Dễ thấy

nghịch biến trên và .

Do đó có nghiệm thực dương duy nhất là .

Gọi là nghiệm khác của . Đặt . Ta có

Suy ra . Mặt khác

Trong trường hợp này là số thực và

Điều này mâu thuẫn với việc là nghiệm dương duy nhất của . Vậy

. Mà nghịch biến trên khoảng nên hay

Định lý 2.3. (Enestrom-Kakeya)

Nếu tất cả các hệ số của đa thức đều dương thì

với nghiệm của đa thức, ta có

Chứng minh:

Xét đa thức

Vì nên , hay .

Do đó theo định lý Cauchy, là nghiệm dương của đa thức và

các nghiệm khác của có module nhỏ hơn hoặc bằng . Chú ý rằng các

nghiệm khác của chính là các nghiệm của . Ta được

Nếu là một nghiệm của thì là một nghiệm của đa thức

. Từ đó

Suy ra .

2.2.2. Một số ví dụ

Ví dụ 1

. Cho đa thức

Chứng minh rằng nếu là một nghiệm của thì .

Giải:

Gọi là hệ số của .

Suy ra . Thế thì

Ta thấy hàm là hàm nghịch biến trên nên

Áp dụng định lý Enestrom-Kakeya ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2 Cho . Chứng minh rằng với mọi thỏa mãn

, phương trình có ít nhất một nghiệm thỏa

mãn .

Giải :

Gọi là ba nghiệm của phương trình . Khi đó theo

định lý Viéte, ta có

Ta có

Suy ra .

Suy ra tồn tại một nghiệm sao cho .

Ta có . Ta được điều

phải chứng minh.

CHƯƠNG 3

CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH ĐA THỨC

Trong chương này trình bầy ba dạng toán về xác định đa thức: Dạng 1

xác định đa thức dựa vào đặc trưng nghiệm, ngoài ra ta còn xét thêm 2 dạng

toán thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi đó là : Dạng 2 xác

định đa thức thỏa mãn điều kiện , dạng 3 xác định

đa thức thỏa mãn điều kiện .

3.1. XÁC ĐỊNH ĐA THỨC DỰA VÀO ĐẶC TRƯNG NGHIỆM

Ví dụ 1 Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn

Giải:

(*). Xét phương trình:

Với ta có là nghiệm của .

ta có là nghiệm của . Với

. Nên

vào (*) ta được Thay

Chứng minh tương tự là nghiệm của

Chứng minh tương tự trên ta thấy nếu là nghiệm của đa thức thì

cũng là nghiệm của .

Suy ra đa thức nhận 0, 1, 2, …, 2016 làm nghiệm.

(1). Suy ra

Thay (1) vào (*) ta được .

với c = const. Vậy

Ví dụ 2 (Đề thi Olympic Toán sinh viên 2000)

Cho . Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn

(*).

Giải:

Khi thì là đa thức tùy ý.

Khi thì .

Khi thì với c = const.

Trường hợp 1: thay vào (*) ta được là nghiệm của

Thay vào (*) ta được là một nghiệm của . Cứ như

vậy ta có là nghiệm của . Rõ ràng với

. Suy ra đa thức có vô số nghiệm, Vậy .

Trường hợp 2: . Dễ kiểm tra được nhận

là nghiệm của .

Suy ra .

Thay vào (*) ta được (**).

Thay

vào (**) ta thấy

là nghiệm của

suy ra

.

Thay vào (**) ta được , suy ra .

Vậy .

Ví dụ 3 (Đề thi học sinh giỏi quốc gia – VMO 2003)

Tìm tất cả các đa thức sao cho

Giải:

Theo giả thiết, ta có (*).

. Ta thấy

. Do đó

Thay và vào (*), ta được

(**).

Với . Do nên .

Suy ra .

Thay vào (**) ta được suy ra .

Vậy , c = const.

Ví dụ 4 Tìm đa thức có dạng ,

và nhận là các nghiệm.

Giải:

Đa thức nhận là các nghiệm nên ta có

nên từ đây ta suy ra Vì

với .

. Ta có

Suy ra thử trực tiếp ta thu được các kết quả

Ví dụ 5 Tìm tất cả các đa thức có dạng

mà các nghiệm đều là các số thực sao cho với mọi

Giải:

Với thì là đa thức duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với thì có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện

và

Do nên nên

Suy ra kết hợp ta được hoặc .

Ta thu được hai đa thức

Bây giờ ta chứng minh bài toán vô nghiệm với . Thật vậy, ta có

Với thì .

Từ giả thiết với , ta có

điều này vô lý.

Vậy nghiệm của bài toán là , ,

Ví dụ 6 (Đề thi Olympic Toán sinh viên quốc tê IMC – 2005)

Tìm tất cả các đa thức

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

i) là hoán vị của ;

ii) Tất cả các nghiệm của là các số hữu tỉ.

Giải:

Ta thấy không có nghiệm dương vì với mọi . Giả sử các

nghiệm của là . Nếu thì tồn tại

số tự nhiên , sao cho . Theo định lý Viéte, ta có

Điều này là vô lý vì về trái lớn hơn 0 do với mọi . Vậy

. Suy ra một trong các nghiệm của bằng 0, giả sử đó là

Đa thức có các nghiệm là ,

Theo định lý Viéte với ta có

Từ đó suy ra .

Ta có

Do đó hay (điều này vô

lý).

Vậy .

Thử trực tiếp ta được

Với ta có .

3.2. XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN

Bài toán tổng quát: Giả sử và là các đa thức thuộc

đã cho thoả mãn điều kiện: . Tìm tất cả các đa

thức thuộc sao cho

(1)

thuộc

.

với mọi

Tính chất 3.1. Nếu là nghiệm của (1) thì cũng là nghiệm của (1).

Chứng minh:

Hệ quả 3.1. Nếu là nghiệm của (1) thì cũng là nghiệm của (1).

Nhận xét: Trong khá nhiều trường hợp, hệ quả 3.1 cho phép chúng ta mô tả

hết các nghiệm của (1). Để làm điều này, ta có định lý quan trọng sau đây:

Định lý 3.1. Nếu là các đa thức với hệ số thực thoả mãn điều kiện

và thoả mãn một trong hai điều kiện sau:

i) ,

, trong đó là hệ số cao ii) và

nhất của các đa thức và tương ứng.

Khi đó với mọi số nguyên dương tồn tại nhiều nhất một đa thức có

bậc và thoả mãn phương trình (1).

Chứng minh:

Giả sử là đa thức bậc thoả mãn phương trình (1), ,

, các hệ số cao nhất của tương ứng là . So

sánh hệ số cao nhất hai vế của các đa thức trong phương trình

từ đó suy ra

ta có .

Như vậy, nếu giả sử ngược lại, tồn tại một đa thức bậc (khác ) cũng

thoả mãn phương trình (1) thì và ta có

với

(ta quy ước bậc của đa thức đồng nhất 0 bằng -, do đó đồng

nghĩa không đồng nhất 0).

Thay vào phương trình (1), ta được

(2).

Bây giờ ta xét các trường hợp

i) . Giả sử . Khi đó bậc của các đa thức ở vế

trái (2) lần lượt là , và do

nên vế trái có bậc là . Trong khi

đó vế phải có bậc là . Điều này mâu thuẫn.

ii) . Khi đó, hai đa thức đầu tiên ở vế trái của (2) cùng

có bậc là và có thể xảy ra sự triệt tiêu khi thực

hiện phép cộng. Tuy nhiên, xét hệ số cao nhất của hai đa thức này,

ta có hệ số của trong đa thức thứ nhất và thứ hai lần lượt bằng

, . Như thế, bậc của trong

tổng hai đa thức bằng do .

Như vậy, bậc của vế trái của (2) vẫn là , trong khi đó bậc

của vế phải là . Mâu thuẫn.

Định lý được chứng minh hoàn toàn.

Nhận xét: Áp dụng định lý 3.1 và hệ quả 3.1, ta thấy rằng nếu là một

đa thức bậc nhất thoả mãn phương trình (1) với là các đa thức thoả

mãn điều kiện của định lý 3.1 thì tất cả các nghiệm của (1) sẽ có dạng:

, , .

Ví dụ 1 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thoả mãn phương trình

(3)

với mọi thuộc .

Giải:

Ta có các hàm , , thoả mãn các điều kiện của

định lý 3.1, và hàm là hàm bậc nhất thoả mãn (3) do đó các hàm

, , , = 1, 2, 3, … là tất cả các nghiệm của (3).

Ví dụ 2 (Vietnam 2006) Hãy xác định tất cả các đa thức với hệ số thực,

thoả mãn hệ thức sau:

(4)

với mọi số thực .

Giải:

Thay vào (4), ta được

(5)

Trừ (4) cho (5), ta được

(6)

(6) đúng với mọi x thuộc R, do đó ta phải có

+ Hoặc đúng với vô số các giá trị

Do là đa thức nên từ đây ta suy ra

+ Hoặc đúng với mọi

Ta xét các trường hợp:

Khi đó ta có phương trình

Đặt thì . Theo ví dụ 1 thì ,

, , . Từ đó , . So sánh với điều

kiện , ta chỉ nhận các nghiệm: và

Khi đó ta có phương trình

Đặt thì và như thế , ,

. Từ đó , . So sánh với ,

điều kiện , ta chỉ nhận các nghiệm: ,

và

Tổng hợp hai trường hợp, ta có tất cả nghiệm của (4) là các đa thức

với

Ví dụ 3 Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực thoả mãn đẳng thức sau

với mọi số thực

(7)

Giải:

Các đa thức thoả mãn điều kiện định lý 3.1, do đó ta sẽ đi tìm

nghiệm không đồng nhất hằng số với bậc nhỏ nhất của (7).

Xét trường hợp có bậc nhất, . Thay vào (7), ta có

So sánh hệ số của các đơn thức ở hai vế, ta được hệ

Hệ này vô nghiệm (do  0) nên ta có thể kết luận: Không tồn tại đa thức

bậc nhất thoả mãn (7).

Tiếp tục xét trường hợp có bậc 2, . Thay vào (7), ta

có

So sánh hệ số các đơn thức ở hai vế, ta được hệ

Hệ này có nghiệm . Như vậy, là đa thức bậc 2

thoả mãn (7). Từ hệ quả 3.1 và định lý 3.1, ta suy ra là tất cả các đa

thức bậc chẵn (không đồng nhất hằng số) thoả mãn (7).

Bây giờ ta xét trường hợp đa thức có bậc lẻ.

Giả sử là nghiệm thực của , khi đó cũng là nghiệm của

. Nếu thì ta có là dãy tăng và tất

cả đều là nghiệm của , suy ra có vô số nghiệm điều này mâu

thuẫn. Tương tự, nếu  < 0 thì dãy nói trên là dãy giảm và ta cũng có có

vô số nghiệm. Nếu , đặt với , thay vào

phương trình, ta có

Thay vào ta được , mâu thuẫn.

Vậy không có nghiệm thực, có nghĩa là không thể có bậc lẻ. Nói

cách khác, bài toán đã được giải quyết hoàn toàn.

Ví dụ 4 Tìm tất cả các đa thức có hệ số thực thoả mãn

với mọi . (8)

Giải:

Ta thấy các đa thức , thỏa mãn điều kiện

định lý 3.1.

Ta xét các trường hợp

* là hằng số: Dễ thấy đa thức , thỏa mãn yêu cầu bài

toán.

* có bậc một, giả sử .

Từ (8) suy ra .

Đồng nhất hệ số ta được hệ phương trình

hệ phương trình này vô nghiệm.

* P(x) có bậc hai, giả sử

Từ (8) suy ra

Đồng nhất hệ số ta được .

Suy ra .

* có bậc lẻ

Giả sử là nghiệm thực của , theo (8), ta suy ra

là nghiệm thực của , ta thấy dãy là một dãy tăng

có vô số số hạng. Suy ra có vô số nghiệm . Điều này vô lý.

Theo hệ quả 3.1. bài toán có tất cả các đa thức cần tìm là

Ví dụ 5 (Bulgaria 1976) Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn

(9)

Giải:

thỏa mãn định lý Ta thấy các đa thức

3.1.

Bây giờ ta xét các trường hợp sau:

là đa thức 0 (thỏa mãn bài toán). *

là đa thức bậc 0 . *

* là đa thức bậc 1 , giả sử .

Từ (9) ta có .

Đồng nhất hệ số, ta được hệ phương trình

hệ này vô nghiệm.

* là đa thức bậc hai, giả sử .

Từ (9) ta có .

Đồng nhất hệ số, ta được hệ phương trình

. Giải hệ trên, ta được

* P(x) có bậc lẻ

Giả sử là nghiệm thực của , theo (8), ta suy ra là nghiệm

của .

Các số của dãy số

là nghiệm của .

có vô số nghiệm điều này vô

là dãy số tăng. Suy ra đa thức lý.

Theo hệ quả 3.1. tất cả các đa thức thỏa mãn yêu cầu bài toán là

3.3. XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN

Bây giờ chúng ta xét đến phương trình dạng (1)

trong đó là các đa thức đã cho và .

Định lý 3.2. Cho là các đa thức khác hằng số thỏa mãn điều kiện

, là một đa thức cho trước, ngoài ra

hoặc và . Khi đó, với mỗi số

nguyên dương và số thực , tồn tại nhiều nhất một đa thức thỏa mãn

đồng thời các điều kiện sau:

, i)

ii)

iii)

Hệ quả 3.2. Trong các điều kiện của định lý, với mỗi số nguyên dương , tồn

tại nhiều nhất 2 đa thức có bậc thoả mãn phương trình

Chứng minh:

Hệ số cao nhất của phải thoả mãn phương trình

Với là hệ số của trong . Suy ra chỉ có thể nhận nhiều nhất 2 giá

trị.

Sau đây chúng ta xem xét một số ví dụ áp dụng của định lý này.

Ví dụ 1 Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn phương trình

(2)

Giải:

Nếu đặt với thì ta có

Từ đó suy ra hoặc bằng nếu , hoặc bằng

nếu và , hoặc bằng khi và (tức là đồng nhất 0).

Từ đó, suy ra ≤ 4. Đến đây, ta dễ dàng tìm được các nghiệm của (2) là

, , và .

Ví dụ 2 Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn phương trình

(3)

Giải:

Có 2 đa thức hằng thoả mãn phương trình là đa thức đồng nhất – 1 và đa thức

đồng nhất 2. Với các đa thức bậc lớn hơn hay bằng 1, áp dụng hệ quả 3.2 ta

suy ra với mỗi số nguyên dương , tồn tại không quá 1 đa thức thoả

mãn (3). Điểm khó ở đây là ta không có cơ chế đơn giản để xây dựng các

nghiệm. Dùng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm được các nghiệm bậc 1, 2,

3, 4 lần lượt là:

Từ đây, có thể dự đoán được quy luật của dãy nghiệm như sau:

(4).

bất kỳ thuộc [-2, 2], đặt

thì từ công thức (4), ta suy ra

Bây giờ ta sẽ chứng minh các hàm số trong dãy hàm (4) là nghiệm của

, và nói

chung

. Từ đó

Đẳng thức này đúng với mọi

thuộc [-2, 2] do đó đúng với mọi

. Bài toán được

giải quyết hoàn toàn.

(3). Xét

CHƯƠNG 4

MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC

Trong chương này trình bày một số dạng toán khác về đa thức: Dạng 1

trình bày các dạng toán về tính chia hết của đa thức, dạng 2 trình bày việc ứng

dụng đa thức vào giải hệ phương trình đối xứng và chứng minh bất đẳng thức.

4.1. CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC

4.1.1. Đa thức chia hết cho đa thức

Phương pháp giải: Để chứng minh ta chứng minh rằng tất cả các

nghiệm phức bậc của đều là nghiệm bậc của

Chú ý: Đa thức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện và

thì là nghiệm bậc của

4.1.1.1. Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức .

Ví dụ 1 (Đề thi Olympic Toán sinh viên quốc tế - IMC 2008)

Cho là các số nguyên dương. Giả sử .

Chứng minh rằng .

Giải:

Đặt

có một nghiệm phức là , .

Đặt . Vì nên . Do đó

Gọi là một nghiệm của , Vì nên các nghiệm của

là phân biệt và .

Ta có

Suy ra là nghiệm của . Suy ra .

Ví dụ 2 (Rumani 1962)

Cho . Chứng minh rằng đa thức

luôn chia hết cho đa thức .

Giải:

Cách 1

có hai nghiệm .

Ta có

. Chứng minh tương tự, ta có

Vậy .

Cách 2 Sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp.

, Với ta có

suy ra .

Giải sử đúng với .

Ta cần chứng minh đúng với .

Thật vậy, ta có vì

Nhận xét: Đây là bài toán chứng minh đa thức chia hết khá đơn giản. Trong

kì thi học sinh giỏi quốc gia – VMO 2000 ta còn gặp lại bài toán này dưới

dạng câu hỏi khác như sau :

Ví dụ 3 ( Đề thi học sinh giỏi quốc gia – VMO 2000, bảng A)

Cho trước góc với , chứng minh rằng tồn tại duy nhất một

tam thức bậc hai dạng sao cho với mọi đa

chia hết cho . thức

Giải:

Ta có

Ta thấy không có nghiệm thực, suy ra

là tam thức bậc hai duy nhất có dạng mà

Hơn nữa với mọi ta có .

Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta chứng minh được

đúng với mọi .

Vậy là đa thức bậc hai cần tìm.

Ví dụ 4 (Học sinh giỏi nước Mỹ năm 1976)

Chứng minh rằng nếu và là những đa thức và

Thì là ước của .

Giải:

Gọi là những nghiệm phức khác 1 của phương trình .

Thay lần lượt bởi các số ta nhận được

với .

Điều này nghĩa là phương trình là phương trình có

bậc không lớn hơn 2 nhưng có 4 nghiệm khác nhau

Suy ra

hay .

Nhận xét:

- Ta có thể tổng quát Ví dụ 4 thành bài toán sau:

Bài toán. Cho và các đa thức và thỏa mãn

Chứng minh rằng các đa thức chia hết cho với .

- Từ chứng minh trên ta thấy nếu và thỏa mãn yêu

cầu bài toán thì ta có cùng chia hết cho .

- Từ nhận xét trên ta có thể sáng tạo ra một số bài toán khác như :

Ví dụ 5 Cho các đa thức và thỏa mãn

Chứng minh rằng: chia hết cho 2016.

Giải:

Theo chứng minh ở Ví dụ 5, ta có chia hết cho .

. Suy ra

Suy ra

Ví dụ 6 (Đề thi học sinh giỏi nước Mỹ, 1982-1983)

Chứng minh rằng với mọi đa thức , đa thức

chia hết cho đa thức , ở đây ký hiệu .

Giải:

. Cho đa thức

Với ta có

Suy ra

Vì mỗi số hạng trong tổng trên đều chia hết cho nên

Vậy bài toán đúng với .

Giả sử bài toán đúng với .

Ta chứng minh bài toán đúng với .

Thật vậy, ta có

. Mà suy ra

Vậy bài toán được chứng minh.

4.1.1.2. Tìm điều kiện của tham số để đa thức chia hết cho đa thức

Ví dụ 1 (Đề thi vô địch Mỹ - 1977)

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên sao cho

Giải:

Đặt ,

Ta thấy không có nghiệm bội vì và không có

nghiệm bội. Do đó đa thức khi và chỉ khi mọi nghiệm phức của

đều là nghiệm phức của nên mỗi nghiệm phức khác 1 của

không là nghiệm của . Suy ra hệ phương trình có nghiệm

duy nhất .

thì hệ có nghiệm . Nếu

thì tồn tại các số nguyên sao cho Nếu

. Mà suy ra . Vậy điều kiện là

Ví dụ 2 Cho là số tự nhiên không chia hết cho 3. Tìm các số nguyên

để đa thức chia hết cho đa thức

Giải:

Vì có hai nghiệm nên chia hết cho khi và chỉ

khi là nghiệm của .

Ta có ,

Điều kiện cần và đủ để là

Vì là số tự nhiên không chia hết cho 3 nên . Do đó từ hệ

phương trình ta suy ra .

Nhận xét: Bằng phương pháp giải tương tự ta có thể giải bài toán sau:

Ví dụ 3 Tìm tất cả các số tự nhiên để đa thức chia

hết cho đa thức .

Ví dụ 4 Cho là một số tự nhiên chẵn. Tìm tất cả các cặp số thực

sao cho và đa thức chia hết cho đa

thức .

Giải:

* Nếu không chia hết cho đa thức .

* Nếu , suy ra mọi nghiệm của khác 0.

Gọi là ba nghiệm của , ta có

Do nên với mọi hay với

. Xét đa thức có các nghiệm là với

Trường hợp 1: . Khi đó là nghiệm của nên ta có

Mặt khác, áp dụng định lý Viéte cho đa thức ta có . Suy ra

. Suy ra .

Suy ra

Trường hợp 2: , suy ra là nghiệm thực vì có nghiệm

thực. Ta có và .

Do đồng biến và nên trái dấu với , suy ra

Do đó, từ . Mà nên . Điều này dẫn

đến . Vậy là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

4.1.2. Các bài toán chia hết của biểu thức nghiệm của đa thức

Ví dụ 1 Cho đa thức với có ba nghiệm

nguyên . Chứng minh rằng:

chia hết cho 2017.

Giải:

Xét phương trình .

Đặt .

Theo định lý Fecma bé ta có , suy ra với

hay .

* Nếu thì bài toán được chứng minh.

* Nếu không chia hết cho 2017 ta có

suy ra

(1).

Chứng minh tương tự, ta có (2).

Từ (1) và (2) ta có ,

Suy ra .

Theo định lý Fecma bé, ta có

. Suy ra

suy ra điều phải chứng minh. Suy ra

4.2. ỨNG DỤNG ĐA THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN

4.2.1. Ứng dụng đa thức để giải hệ phương trình đối xứng

Phương pháp giải: Khi giải hệ phương trình mà các phương trình là phương

trình đối xứng, ta sẽ biến đổi hệ phương trình về hệ phương trình mà vế trái

của các phương trình là các đa thức đổi xứng cơ bản. Khi đó nghiệm của hệ

phương trình là nghiệm của đa thức tương ứng.

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình

Giải:

. Đặt

Ta có

Khi đó hệ phương trình trở thành

Theo định lý Viéte là nghiệm của đa thức .

Đa thức có 2 nghiệm -3, 5.

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm .

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau:

Giải:

Đặt

Ta có .

Ta có hệ phương trình trở thành

Theo định lý đảo định lý viéte ta có là nghiệm của đa thức

Đa thức có ba nghiệm là .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là và tất cả các hoán vị của

nó.

Ví dụ 3 (Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố Hà Nội lớp 9 năm học 2015-

2016)

Giải hệ phương trình sau:

Giải:

Đặt

Ta có ,

Ta có hệ phương trình trở thành

Theo định lý đảo định lý viéte ta có là nghiệm của đa thức

Đa thức có ba nghiệm là -2; 2; 3.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là bộ số (-2; 2; 3) và các hoán vị của

nó.

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình sau:

Giải:

Đặt

Ta có ,

Khi đó hệ phương trình trở thành

Theo định lý Viéte là nghiệm của đa thức

Đa thức có 3 nghiệm là 1; 2; 3.

Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm là bộ số và các hoán vị của

nó.

Ví dụ 5 Giải hệ phương trình sau:

Giải:

Đặt

, Ta có

Khi đó hệ phương trình trở thành

Theo định lý Viéte là nghiệm của đa thức .

Đa thức có nghiệm là .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là bộ số và các hoán vị của

nó.

Ví dụ 6 Giải hệ phương trình

Giải:

Đặt

, Ta có

Khi đó hệ phương trình trở thành

Theo định lý Viéte ta có là nghiệm của đa thức

Đa thức có 4 nghiệm là : 0,1,2,-2.

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm là bộ số và tất cả các

hoán vị của nó.

Ví dụ 7 Giải hệ phương trình

Giải:

Đặt

Ta có ,

Khi đó hệ phương trình trở thành

Theo định lý Viéte ta có là nghiệm của đa thức

Đa thức có 4 nghiệm là : .

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm là bộ số và tất cả các

hoán vị của nó.

Nhận xét: Bài toán tổng quát của bài toán trên là bài toán sau:

Bài toán. Giải hệ phương trình

Hệ phương trình trên có các nghiệm là bộ số và tất cả các hoán vị

của nó.

4.2.2. Ứng dụng đa thức để chứng minh bất đẳng thức

4.2.2.1. Ứng dụng đa thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức

A. Các kiến thức cơ bản

Trong chương trình trung học phổ thông đa thức bậc hai ẩn ,

được gọi là tam thức bậc hai ẩn .

1. Định lý dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai ,

. Khi đó ta có:

 Nếu thì luôn cùng dấu với hệ số với mọi ;

 Nếu thì luôn cùng dấu với hệ số với mọi hoặc

, trái dấu với hệ số với (trong đó là

nghiệm của phương trình ).

* Chú ý: Định lý dấu của tam thức bậc hai vẫn đúng nếu ta thay

bằng ( ).

2. Hệ quả

, .

Cho tam thức bậc hai Khi đó ta có:

 Nếu với thì ;

 Nếu tồn tại sao cho thì ;

 Nếu tồn tại sao cho thì .

B. Một số dạng toán

Bài toán 1

Cho bất đẳng thức (1).

là tam thức bậc hai đối với . Hãy chứng minh bất đẳng thức

Trong đó (1) đúng với mọi .

Phương pháp giải:

Theo đinh lý về dấu của tam thức bậc hai do là tam thức bậc hai

ta chỉ cần chứng minh (*).

Chú ý:

Nếu trong bất đẳng thức (1) chỉ có bất đẳng thức ( không có dấu đẳng cũng chỉ có bất đẳng thức ( không thức ) thì trong điều kiện (*) đối với

có dấu “=” ).

Ví dụ 1

Chứng minh rằng nếu là độ dài ba cạnh của tam giác thì bất đẳng

thức sau đúng với mọi x.

(1).

Giải:

Đặt Ta thấy là một tam thức bậc hai đối với có

hệ số là do đó để chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng minh

. Thật vậy

. Vậy

Bài toán 2

Cho bất đẳng thức (2) Trong đó là tam thức bậc

và . Chứng minh (2) đúng với mọi và

hai đối với một trong hai biến số mọi .

Phương pháp giải:

Ta giả sử hàm là tam thức bậc hai đối với gọi tam thức bậc

hai đó là Ta cần chứng minh với mọi và mọi . Để chứng

minh với mọi theo bài toán 1 ta cần chứng minh (*) .

Suy ra để chứng minh ta cần chứng minh hệ (*) đúng với mọi

Ví dụ 2

Cho . Hãy chứng minh bất đẳng thức

(1) đúng với mọi .

Giải:

Đặt VT(2) =

là một tam thức bậc hai ẩn có hệ số =1. Do vậy để chứng minh

(1) ta chỉ cẩn chứng minh . Thật vậy

. Do

Suy ra điều phải chứng minh.

Bài toán 3

Chứng minh rằng ( hoặc ).

Phương pháp giải:

Để chứng minh ta đi chứng minh PT (

hoặc PT ) có nghiệm

( Chứng minh ta chứng minh PT hoặc PT

có nghiệm ).

Ví dụ 3

Cho thỏa mãn điều kiện

Hãy chứng minh rằng:

(*).

Giải:

(*) hiển nhiên đúng . Khi

. Khi

, Đặt

Ta lập tam thức bậc hai:

Để chứng minh ta chỉ cần chứng minh có nghiệm

Thật vậy

ta có

điều phải chứng minh. suy ra

Bài toán 4

Chứng minh rằng ( hoặc ).

Phương pháp giải:

Để chứng minh rằng ( hoặc ) ta chứng

( hoặc minh trong đó

hoặc hoặc

Ví dụ 4 ( Bất đẳng thức Bunyakovsky)

Cho là hai bộ số thực. Chứng minh bất đẳng

thức và dấu

đẳng thức xảy ra khi .

Giải:

Đặt

ta cần chứng minh .

Ta coi là biệt thức của tam thức bâc hai

Để chứng minh ta cần chứng minh . Ta có

Dấu đẳng thức xẩy ra khi .

4.2.2.2. Ứng dụng đa thức bậc ba chứng minh bất đẳng thức

. Cho đa thức

Nếu đa thức có ba nghiệm thì ta có

Ngược lại với ba số thực bất kì thì chúng là nghiệm của đa thức

. Với

Xét phương trình (*).

. Đặt

Phương trình (*) trở thành (**).

Số nghiệm của phương trình (**) là số giao điểm của đồ thị hàm số

với trục hoành.

Ta có .

Nếu thì với nên phương trình (**) có nghiệm duy nhất.

Suy ra đa thức có nghiệm duy nhất.

Nếu thì phương trình (**) có nghiệm bội bậc 3 hay đa thức có

nghiệm bội bậc 3.

Nếu thì có hai nghiệm ;

. Suy ra

Do đó đa thức có ba nghiệm (có thể bằng nhau) khi và chỉ khi phương

trình (**) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

(1). Hay

Ví dụ 1 Cho là các số thực không đồng thời bằng 0 thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

Giải:

.

Đặt

Suy ra là ba nghiệm của phương trình .

Theo (1) ta có .

. Suy ra

. Nên ta có

. Suy ra

Mà ta có

Suy ra .

Dấu “=” xảy ra khi hay là nghiệm của phương trình

Suy ra dấu “=” xẩy ra khi và các hoán vị của nó.

Ví dụ 2

Cho các số thực thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức :

Giải :

Đặt

Suy ra là ba nghiệm của phương trình

Từ giả thiết .

Suy ra .

Từ điều kiện ta có

Suy ra

Dấu « = » xẩy ra khi

(*).

Giải hệ (*) ta được hai nghiệm là

và

* Với thì là nghiệm của phương trình

Suy ra giá trị nhỏ nhất của bằng 27 khi và các hoán

vị của nó.

* Với thì là nghiệm của phương trình

Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng 27.

KẾT LUẬN

Luận văn “Một số dạng toán về đa thức” gồm 4 chương: Chương 1 hệ thống lại các kiến thức cơ bản về đa thức. chương 2 trình bầy các dạng toán về nghiệm của đa thức, chương 3 trình bầy ba dạng toán về xác định đa thức, chương 4 trình bày các dạng toán về chia hết của đa thức, ứng dụng đa thức vào giải hệ phương trình đối xứng và chứng minh bất đẳng thức.

Ở mỗi dạng toán, tác giả đều nêu phương pháp giải và các ví dụ minh họa. Đặc biệt sau một số ví dụ, tác giả có nêu một số nhận xét về cách giải, đưa ra các bài toán tương tự, bài toán tổng quát. Với cách trình bầy như vậy, tác giả hy vọng bạn đọc có thể nắm vững được phương pháp giải của mỗi dạng toán cũng như có thể tự mình sáng tạo thêm được các bài toán khác hay hơn. Tác giả cũng hy vọng bản luận văn này là một tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên và học sinh ôn thi học sinh giỏi.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về mặt thời gian và trình độ nên luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn đọc để bản luận văn được hoàn thiện hơn.

Danh mục các tài liệu tham khảo:

I. Tài liệu tiếng việt

1) Đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế các năm.

2) Đề thi Olympic sinh viên các năm.

3) Trần Nam Dũng, Về một dạng phương trình hàm đa thức,

http://diendantoanhoc.net , 2010.

4) Nguyễn Hữu Điển, Đa thức và ứng dụng, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2003.

5) Phan Huy Khải, Đa thức, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2006.

6) Nguyễn Văn Mậu, Chuyên đề chọn lọc về đa thức và áp dụng, NXB Giáo

dục, Hà Nội, 2008.

7) Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số và phân thức hữu tỷ, NXB Giáo dục,

Hà Nội, 2008.