Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số định lí điểm bất động trong không gian nón Metric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> Nguyễn Công Anh<br /> <br /> MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG<br /> TRONG KHÔNG GIAN NÓN-METRIC<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Thành phố Hồ Chí Minh - 2012<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> Nguyễn Công Anh<br /> <br /> MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG<br /> TRONG KHÔNG GIAN NÓN-METRIC<br /> <br /> Chuyên ngành: Toán Giải tích<br /> Mã số: 60 46 01<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:<br /> <br /> PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY<br /> <br /> Thành phố Hồ Chí Minh - 2012<br /> <br /> Lời cảm ơn<br /> Tôi xin dành những dòng đầu tiên của luận văn để bày tỏ lòng biết ơn chân thành và<br /> sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Bích Huy, là người Thầy đã chỉ dạy tận tâm và nhiệt<br /> tình trong việc nghiên cứu khoa học, là người Cha luôn động viên, giúp tôi có đủ<br /> niềm tin và nghị lực để hoàn thành luận văn này.<br /> Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các Thầy, Cô đang giảng<br /> dạy ở Khoa Toán Tin học, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã<br /> tận tình giúp đỡ, truyền đạt những kiến thức bổ ích cho tôi trong suốt khóa học.<br /> Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên phòng khoa học công nghệ sau đại học,<br /> ban chủ nhiệm khoa Toán -Tin trường ĐHSP TPHCM đã tạo thuận lợi cho chúng<br /> tôi trong cả khóa học.<br /> Tôi cũng rất cảm ơn các bạn, các anh chị học viên khóa 19, 20, 21 đã cùng tôi chia<br /> sẽ buồn vui, những khó khăn trong suốt quá trình học tập.<br /> Cuối cùng tôi xin dành trọn tấm lòng biết ơn của mình đối với những người thương<br /> yêu trong gia đình như bố mẹ, các anh, các em. Những người đã luôn động viên tinh<br /> thần và là chổ dựa cho tôi về mọi mặt<br /> Tp.HCM, Ngày 30 tháng 03 năm 2012<br /> Học viên .<br /> <br /> Nguyễn Công Anh .<br /> <br /> Mục lục<br /> Mục lục .................................................................................................................... 4<br /> Lời mở đầu ............................................................................................................. 5<br /> 1. Điểm bất động trong không gian nón mêtric ....................................................... 6<br /> 1.1 Không gian nón mêtric ............................................................................ 6<br /> 1.2 Điểm bất động của ánh xạ dạng co ......................................................... 16<br /> 1.3 Điểm bất động chung .............................................................................. 22<br /> 1.3.1 Điểm bất động chung của ánh xạ dạng co .......................................... 22<br /> 1.3.2 Điểm bất động chung cho các ánh xạ tương thích yếu ........................ 26<br /> 1.3.3 Điểm bất động chung của những ánh xạ giãn trong không gian nón<br /> mêtric ........................................................................................................... 31<br /> 1.4 Điểm bất động của một số ánh xạ không giãn ........................................ 42<br /> 1.4.1 Ánhxạc-không giãn..... .............................................................. ........... 42<br /> 1.4.2 Một số định lý ánh xạ co mở rộng ...................................................... 45<br /> 1.5 Định lý Kirk-Caristi ................ ............................................................ ... 53<br /> 2. Điểm bất động trong không gian nón -chuẩn .................................................... 59<br /> 2.1 Một định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian nón chuẩn<br /> .................................................................................................................... ... 59<br /> 2.2 Độ đo phi compac với giá trị trong nón và ứng dụng ............................ 63<br /> Tài liệu tham khảo ......... ........................................................................... ............ 67<br /> Danh sách cái tài liệu ........ ........................................................................ ........... 68<br /> <br /> Lời mở đầu<br /> Lý thuyết điểm bất động ra đời từ những năm 1920 và được phát triển mạnh mẽ cho<br /> đến tận hôm nay. Nó là công cụ chính để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm<br /> của nhiều lớp phương trình xuất phát từ Toán học và khoa học.<br /> Các định lý điểm bất động trong không gian với mêtric là một ánh xạ nhận giá trị<br /> trong một nón của không gian vectơ được bắt đầu nghiên cứu từ những năm 1950<br /> để phục vụ việc nghiên cứu các phương trình vi phân và quá trình tính toán gần<br /> đúng.<br /> Những năm gần đây việc nghiên cứu các điểm bất động trong không gian nón mêtric được quan tâm trở lại với hàng chục bài báo về đề tại này được công bố. Rất<br /> nhiều định lý về điểm bất động của ánh xạ trong không gian mêtric thông thường đã<br /> được mở rộng cho không gian nón -mêtric.<br /> Việc hệ thống lại các kết quả trong lĩnh vực này là cần thiết để có một cái nhìn tổng<br /> quan về các kết quả đã đạt được.<br /> Nội dung luận văn bao gồm 02 chương:<br /> Chương 1: Trình bày các khái niệm của không gian nón -mêtric, từ đó đưa ra<br /> các định lý điểm bất động trong không gian nón mêtric của ánh xạ co, ánh xạ không<br /> giãn. Đồng thời trình bày các định lý điểm bất động chung của ánh xạ dạng co, ánh<br /> xạ tương thích yếu, ánh xạ giãn trong không gian nón -mêtric. Và cuối cùng trình<br /> bày định lý Kirk -Caristi.<br /> Chương 2: Trình bày định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không<br /> gian nón chuẩn. Độ đo phi compac với giá trị trong nón và ứng dụng.<br /> Tuy nhiên, do thời gian và điều kiện nghiên cứu có hạn, dù đã hết sức cố gắng<br /> nhưng luận văn cũng không tránh khỏi những sai sót ngoài ý muốn. Do đó, tôi rất<br /> mong nhận được những ý kiến đóng góp, phê bình, xây dựng của các thầy cô và các<br /> bạn tham khảo đề tài này<br /> <br />