Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của đồng điều địa phương cho môđun Compắc tuyến tính

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

107
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của đồng điều địa phương cho môđun Compắc tuyến tính bao gồm những nội dung về môđun đồng điều địa phương của môđun Compắc tuyến tính, tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đồng điều địa phương, môđun đồng điều địa phương Noether, đối ngẫu và một số nội dung khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của đồng điều địa phương cho môđun Compắc tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Vũ Kim Hồng MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHO MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ..................................................................................................................1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................................3 1.1. Hàm tử dẫn xuất trái .................................................................................3 1.2. Hàm tử dẫn xuất phải ...............................................................................4 1.3. Giới hạn ngược .........................................................................................5 1.4. Phức Koszul ..............................................................................................7 1.5. Môđun đồng điều địa phương ..................................................................8 1.6. Môđun compắc tuyến tính ........................................................................9 1.7. Chiều Noether .........................................................................................11 1.8. Bao nội xạ ...............................................................................................12 1.9. Đối ngẫu .................................................................................................13 Chương 2. ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHO MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH ...................................................................................................15 2.1. Môđun đồng điều địa phương của môđun compắc tuyến tính ...............15 2.2. Tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đồng điều địa phương .....22 2.3. Môđun đồng điều địa phương Noether ..................................................29 2.4. Đối ngẫu .................................................................................................32 KẾT LUẬN ............................................................................................................38 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................39
1 MỞ ĐẦU Lý thuyết đối đồng điều địa phương của A. Grothendieck là một công cụ quan trọng trong hình học đại số và đại số giao hoán. Do đó, nhiều nhà toán học trên thế giới cố gắng tìm cách xây dựng một lý thuyết khác xem như đối ngẫu với lý thuyết này mà có thể kể đến như E. Matlis, A.-M. Simon, J.P.C. Greenless, J.P. May... Cho R là một vành Noether, giao hoán có đơn vị khác 0, I là một iđêan của R và M là một R-môđun. Vào năm 2001, trong [4], thầy N.T. Cường và thầy T.T. Nam đã định nghĩa môđun đồng điều địa phương thứ i H i ( M ) của R-môđun M I ứng với iđêan I là  Tori ( R I , M ) H iI ( M ) = lim R t t theo nghĩa đối ngẫu với định nghĩa môđun đối đồng điều địa phương của A. Grothendieck, đồng thời chứng minh một vài tính chất cơ bản của môđun đồng điều địa phương khi M là Artin. Theo [8] , môđun Artin compắc tuyến tính với tôpô rời rạc. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: làm thế nào để xây dựng lý thuyết đồng điều địa phương cho môđun compắc tuyến tính? Vào năm 2008, trong [3], thầy N.T. Cường và thầy T.T. Nam đã chứng minh một vài tính chất cơ bản của môđun đồng điều địa phương của môđun compắc tuyến tính nhằm hướng tới xây dựng lý thuyết đồng điều địa phương cho môđun compắc tuyến tính. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số tính chất của môđun đồng điều địa phương cho môđun compắc tuyến tính. Luận văn được chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chúng tôi trình bày một số khái niệm và mệnh đề được sử dụng trong chương 2. Chương 2: Đồng điều địa phương cho môđun compắc tuyến tính.
2 Phần đầu, chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản và tính triệt tiêu, không triệt tiêu của môđun đồng điều địa phương. Tiếp theo là phần nói về môđun đồng điều địa phương Noether. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra sự đối ngẫu giữa môđun đối đồng điều địa phương và môđun đồng điều địa phương. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Trần Tuấn Nam, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tôi về mặt nghiên cứu cũng như niềm tin để hoàn thành luận văn này. Bên cạnh đó, tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn đến các quý thầy cô trong tổ bộ môn Đại số nói riêng và toàn thể quý thầy cô khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh nói chung đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2014 Vũ Kim Hồng
3 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm tử dẫn xuất trái Định nghĩa 1.1.1. ([12, 6.2.1]) Cho T :  →  là hàm tử hiệp biến cộng tính giữa các phạm trù aben và  đủ xạ ảnh. Ta xây dựng hàm tử dẫn xuất trái của T là LnT :  →  với mọi n ∈  như sau: Với mỗi vật A∈  , gọi P• là phép giải xạ ảnh của A : P• : ...  → P2  → P1  → P0  → A  → 0. Tác động hàm tử T vào phức thu gọn của P• ta được phức T P• , sau đó lấy đồng điều và định nghĩa: ( LnT ) A = H n (T P• ) . Với mỗi cấu xạ f : A → A′ trong phạm trù  , gọi P• , P•′ lần lượt là phép giải xạ ảnh của A, A′ và ϕ• : P• → P•′ là biến đổi dây chuyền treo trên f thì T ϕ• : T P• → T P•′ cũng là một biến đổi đây chuyền. Định nghĩa ( LnT ) f : ( LnT ) A → ( LnT ) A′ bởi: ( LnT ) f = H n (T ϕ• ) . Định nghĩa này là tốt, nghĩa là ( LnT ) A không phụ thuộc vào phép giải xạ ảnh của A theo [12, 6.20] và LnT :  →  là hàm tử hiệp biến cộng tính với mọi n ∈  theo [12, 6.17]. Mệnh đề 1.1.2. ([12, 6.19]) Nếu T :  →  là hàm tử hiệp biến cộng tính giữa các phạm trù aben và  đủ xạ ảnh thì ( LnT ) A = 0 với mọi n ∈  − và mọi A∈  . Mệnh đề 1.1.3. ([12, 6.27]) Cho T :  →  là hàm tử hiệp biến cộng tính giữa các phạm trù aben và  đủ xạ ảnh. Nếu 0  → A  f → B  g → C  →0 là một dãy khớp ngắn trong phạm trù  thì
4 → ( LnT ) A  ...  ( n ) → ( LnT ) B  ( n ) → ( LnT ) C  ∂n → ( Ln−1T ) A  ( n −1 ) → ... LT f LT g L T f → ( L0T ) A  → ( L1T ) C  ...  → ( L0T ) B  → ( L0T ) C  →0 là một dãy khớp dài trong phạm trù  . Mệnh đề 1.1.4. ([12, 6.29]) Cho T :  →  là hàm tử hiệp biến cộng tính giữa các phạm trù aben và  đủ xạ ảnh. Nếu T :  →  là hàm tử khớp phải thì T đẳng cấu tự nhiên với L0T . 1.2. Hàm tử dẫn xuất phải Định nghĩa 1.2.1. ([12, 6.2.3]) Cho T :  →  là hàm tử hiệp biến cộng tính giữa các phạm trù aben và  đủ nội xạ. Ta xây dựng hàm tử dẫn xuất phải của T là R nT :  →  với mọi n ∈  như sau: Với mỗi vật A∈  , gọi E• là phép giải nội xạ của A : E• : 0  → A  → E 0  → E1  → E 2  → ... . Tác động hàm tử T vào phức thu gọn của E• ta được phức T E• , sau đó lấy đồng điều và định nghĩa: ( R T ) A = H (T E ) . n n • Với mỗi cấu xạ f : A → A′ trong phạm trù  , gọi E• , E′• lần lượt là phép giải xạ ảnh của A, A′ và ϕ • : E• → E′• là biến đổi dây chuyền treo trên f thì T ϕ • : T E• → T E′• cũng là một biến đổi đây chuyền. Định nghĩa ( R T ) f : ( R T ) A → ( R T ) A′ bởi: n n n ( R T ) f = H (T ϕ ) . n n • ( ) Định nghĩa này là tốt, nghĩa là R nT A không phụ thuộc vào phép giải nội xạ của A theo [12, 6.40] và R nT :  →  là hàm tử hiệp biến cộng tính với mọi n ∈  theo [12, 6.37].
5 Mệnh đề 1.2.2. ([12, 6.39]) Nếu T :  →  là hàm tử hiệp biến cộng tính ( ) giữa các phạm trù aben và  đủ nội xạ thì R nT A = 0 với mọi n ∈  − và mọi A∈  . Mệnh đề 1.2.3. ([12, 6.43]) Cho T :  →  là hàm tử hiệp biến cộng tính giữa các phạm trù aben và  đủ nội xạ. Nếu 0  → A  f → B  g → C  →0 là một dãy khớp ngắn trong phạm trù  thì → ( R 0T ) A  0  → ( R 0T ) B  → ( R 0T ) C  → ( R1T ) A  → ... (R T ) f ( R T )g (R ) → ( R nT ) A → ( R nT ) B → ( R nT ) C  → ( R n+1T ) A  n n n +1 ∂ T f ...  → ... n là một dãy khớp dài trong phạm trù  . Mệnh đề 1.2.4. ([12, 6.45]) Cho T :  →  là hàm tử hiệp biến cộng tính giữa các phạm trù aben và  đủ nội xạ. Nếu T :  →  là hàm tử khớp trái thì T đẳng cấu tự nhiên với R 0T . 1.3. Giới hạn ngược Định nghĩa 1.3.1. ([22, §1]) Cho I là một tập sắp thứ tự bộ phận, { Aα }α∈I là một họ các R-môđun. Với mỗi cặp chỉ số α ≤ β , cho fαβ : Aβ → Aα là các R-đồng cấu thỏa các điều kiện sau: (i) fαα là ánh xạ đồng nhất của Aα với mọi α ∈ I , (ii) fαγ = fαβ f βγ với mọi α ≤ β ≤ γ .
6 Khi đó, { Aα , fαβ } được gọi là hệ ngược các R-môđun và R-đồng cấu với tập chỉ số I hay nói gọn là I-hệ ngược. Nếu fαβ là toàn cấu với mọi α ≤ β thì { Aα , fαβ } được gọi là hệ ngược toàn cấu. Nếu { A , f } và {B , g } là các I-hệ ngược, ta định nghĩa cấu xạ α αβ α αβ từ {A , f α αβ } đến {B , g } là một họ các R-đồng cấu {u : A → B } thỏa biểu đồ α αβ α α α giao hoán với mọi α ≤ β . Dễ thấy các I-hệ ngược và cấu xạ như trên lập thành một phạm trù aben và đủ nội xạ. Mệnh đề 1.3.2. ([22, §1]) Dãy { A , f }  α αβ { } →{ B , g }  uα { } →{Cα αβ vα α , hαβ } khớp trong phạm trù các I-hệ ngược khi và chỉ khi dãy Aα  uα → Bα  vα → Cα khớp trong phạm trù các R-môđun với mọi α ∈ I . Định nghĩa 1.3.3. ([22, §1]) Ta xây dựng một hàm tử từ phạm trù các I-hệ ngược đến phạm trù các R-môđun như sau: Với mỗi I-hệ ngược { Aα , fαβ } thì T { Aα , fαβ } là R-môđun con của ∏ Aα gồm α∈I = f ( aβ ) với mọi α ≤ β . các phần tử có dạng {aa }a∈I thỏa aaaβ Với mỗi cấu xạ { A , f }  α { } αβ→{B , g } uα α αβ thì T {uα } là R-đồng cấu định nghĩa bởi: } ({a }) = {u ( a )} . T {uaaaa
7 T được gọi là giới hạn ngược, nếu không có nhầm lẫn, ta có thể viết gọn là: T { Aα , fαβ } = lim  Aα và T {uα } = lim  uα . I I Giới hạn ngược là hàm tử hiệp biến cộng tính, khớp trái nhưng nói chung không khớp phải. Do đó, tồn tại hàm tử dẫn xuất phải của giới hạn ngược, nếu không có nhầm lẫn, ta có thể viết gọn là: R nT { Aα , fαβ } = lim  Aα và R T {uα } = lim n n n  uα . I I Mệnh đề 1.3.4. ([22, §1]) Nếu →{ Aα , fαβ }  0  { α} → { Bα , gαβ }  { α} → {Cα , hαβ }  →0 u v là một dãy khớp ngắn trong phạm trù các I-hệ ngược thì 0  → lim  Aα  → lim Bα  → lim Cα  → lim  Aα  → ... 1 n +1 n n ∂ n +1 ...  → lim  Aα  → lim  Bα  → lim  Cα → lim Aα  → ... n  uα n lim  vα lim n n  uα lim  là một dãy khớp dài trong phạm trù các R-môđun. Mệnh đề 1.3.5. ([22, 1.6]) Nếu →{ Aα , fαβ }  0  { α} → { Bα , gαβ }  { α} → {Cα , hαβ }  →0 u v là một dãy khớp ngắn trong phạm trù các I-hệ ngược và { Aα , fαβ } là hệ ngược toàn cấu thì 0  → lim  Aα  → lim Bα  → lim Cα  →0 là một dãy khớp ngắn trong phạm trù các R-môđun. 1.4. Phức Koszul Định nghĩa 1.4.1. ([15, 4.2]) Cho x = x1 ,..., xn là một dãy bất kỳ các phần tử = của R. Với 0 ≤ p ≤ n , cho A là tập gồm các phần tử α ( i ,..., i ) ,1 ≤ i < ... < i 1 p 1 p ≤n là một dãy tăng các số nguyên. Ta định nghĩa K p ( x ) là R-môđun tự do có cơ sở {eα }α∈A , tức là K p ( x ) = ⊕ Reα . Ký hiệu eα = ei1 ...i p . α ∈A
8 Ta định nghĩa R-đồng cấu d p : K p ( x ) → K p −1 ( x ) bởi p d p ( e= α) ∑ ( −1) j +1 xi j ei ...iˆ ...i . Dễ thấy rằng d p −1d p = 0 nên ta có phức hữu hạn của 1 j p j =1 các môđun tự do hữu hạn sinh K • ( x ) : 0  → K n ( x )  dn → K n −1 ( x )  → K1 ( x )  → ...  d1 → K 0 ( x )  → 0. Phức này được gọi là phức Koszul của R theo x . Định nghĩa 1.4.2. ([15, 4.2.1]) Với R-môđun M bất kỳ, ta định nghĩa K • ( x, M ) là phức K • ( x ) ⊗ R M , được gọi là phức Koszul của M theo x và H • ( x, M ) là môđun đồng điều của nó. Mệnh đề 1.4.3. ([15, 4.2]) Nếu I là iđêan sinh bởi các phần tử x1 ,..., xn thì H 0 ( x, M ) ≅ M IM và H n ( x, M ) ≅ ( 0 :M I ) . 1.5. Môđun đồng điều địa phương Cho R là vành Noether. Định nghĩa 1.5.1. ([4, 3.1]) Cho I là một iđêan của R và M là R-môđun. Khi đó, môđun đồng điều địa phương thứ i H iI ( M ) của M theo I được định nghĩa bởi  Tori ( R I , M ) . H iI ( M ) = lim R t t Ghi chú 1.5.2. (i) Rõ ràng H 0I ( M ) ≅ Λ I ( M ) , trong đó Λ I ( M ) =  M I M là làm đầy I- lim t t adic của M. Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì H iI ( M ) = 0 với mọi i > 0 ([4, 3.2(ii)]). ( ) (ii) Vì I t ToriR R I t , M = 0 nên ToriR R I t , M ( ) có cấu trúc tự nhiên như một môđun trên vành R It với mọi t > 0. Khi đó,
9  Tori ( R I , M ) có cấu trúc tự nhiên như một môđun trên H iI ( M ) = lim R t t vành Λ I ( R ) = t  R I . lim t Mệnh đề 1.5.3. ([4, 3.6, 3.3(i)]) Cho I là một iđêan sinh bởi các phần tử x1 , x2 ,..., xr và H i ( x ( t ) , M ) là môđun đồng điều Koszul của M theo dãy x ( t ) = ( x1t , x2t ,..., xrt ) . Khi đó, với mọi i ≥ 0 thì (i)  H i ( x ( t ) , M ) , H iI ( M ) = lim t (ii) H iI ( M ) là I-tách, nghĩa là  I H (M ) = 0 . t >0 t i I 1.6. Môđun compắc tuyến tính Cho R là vành Noether. Ta sử dụng thuật ngữ của I.G. Macdonald [8]. Cho M là một R-môđun tôpô. Hạt nhân của M là một lân cận của phần tử 0 của M và cơ sở hạt nhân của M là cơ sở ứng với các hạt nhân của M. Nếu N là môđun con của M mà có chứa một hạt nhân thì N là mở (do đó là đóng) trong M và M N là rời rạc. M là Hausdorff khi và chỉ khi giao của tất cả các hạt nhân của M bằng 0. M được gọi là tôpô tuyến tính nếu M có một cơ sở hạt nhân  bao gồm các môđun con. Định nghĩa 1.6.1. ([8, 3.1]) Một R-môđun tôpô tuyến tính Hausdorff M được gọi là compắc tuyến tính nếu M có tính chất sau: Nếu  là một họ các lớp ghép đóng (nghĩa là, lớp ghép của môđun con đóng) trong M mà có tính chất giao hữu hạn thì  có giao khác rỗng. Mệnh đề 1.6.2. ([8, 3.10]) Nếu M là R-môđun Artin với tôpô rời rạc thì nó compắc tuyến tính. Ghi chú 1.6.3. ([8, 2.1]) Cho M là R-môđun. Nếu  là một họ các môđun con của M thỏa mãn các điều kiện: (i) Với mọi N1 , N 2 ∈  , tồn tại N 3 ∈  sao cho N 3 ⊆ N1 ∩ N 2 ,
10 (ii) Với mỗi x ∈ M và N ∈  , tồn tại một hạt nhân U của R sao cho Ux ⊆ N , thì  là cơ sở của một tôpô tuyến tính trên M. Mệnh đề 1.6.4. ([8, §3]) (i) Cho M là R-môđun tôpô tuyến tính Hausdorff và N là môđun con đóng của M. Khi đó, M compắc tuyến tính khi và chỉ khi N và M N compắc tuyến tính. (ii) Cho f : M → N là đồng cấu liên tục của các R-môđun tôpô tuyến tính Hausdorff. Nếu M compắc tuyến tính thì f ( M ) compắc tuyến tính và do đó f là ánh xạ đóng. (iii) Nếu {M i }i∈I là họ các R-môđun compắc tuyến tính thì ∏M i compắc i∈I tuyến tính với tôpô tích. (iv) Giới hạn ngược của một hệ các R-môđun compắc tuyến tính và các đồng cấu liên tục là compắc tuyến tính. Mệnh đề 1.6.5. ([22, 7.1]) Cho {M t } là một hệ ngược các môđun compắc  t M t = 0 với mọi i > 0 . Do đó, nếu tuyến tính với các đồng cấu liên tục. Khi đó, lim i → {M t }  0  → { N t }  → {Pt }  →0 là một dãy khớp ngắn các hệ ngược R-môđun thì dãy các giới hạn ngược 0  → lim  M t  → lim  N t  → lim  Pt  →0 t t t cũng khớp. Định nghĩa 1.6.6. ([8, §5]) Một R-môđun tôpô tuyến tính Hausdorff M được gọi là nửa rời rạc nếu mọi môđun con của M đều đóng. Ghi chú 1.6.7. (i) Một R-môđun rời rạc là nửa rời rạc và lớp các môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc chứa mọi môđun Artin. Hơn nữa, môđun hữu hạn sinh M trên vành địa phương, đầy đủ là môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc ([8,
11 7.3]). Do đó, lớp các môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc cũng chứa tất cả môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương, đầy đủ. (ii) Khái niệm về môđun compắc tuyến tính và nửa rời rạc ở đây được định nghĩa theo Macdonald [8]. Khái niệm về môđun compắc tuyến tính của H. Zöschinger [20] là khác với khái niệm về môđun compắc tuyến tính của ta nhưng nó trùng với thuật ngữ môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc trong luận văn này. Định nghĩa 1.6.8. ([2,18,20]) (i) Một iđêan nguyên tố p được gọi là đối liên kết với R-môđun M khác 0 nếu tồn tại một ảnh đồng cấu Artin L của M sao cho p = Ann R L . Tập tất cả iđêan nguyên tố đối liên kết với M được ký hiệu là Coass R M . (ii) M được gọi là p -đối nguyên sơ nếu Coass R M = {p} . (iii) Một môđun được gọi là bất khả tổng nếu nó không thể viết dưới dạng tổng của hai môđun con thật sự. (iv) Đế của M, ký hiệu Soc ( M ) , là tổng của tất cả môđun con đơn của M. (v) L ( M ) là tổng của tất cả môđun con Artin của M. Mệnh đề 1.6.9. ([20, 1(L5)]) Cho M là một R-môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc. Khi đó, L ( M ) là môđun Artin. Mệnh đề 1.6.10. ([2, 2]) Môđun bất khả tổng M là p -đối nguyên sơ, trong đó { x ∈ R xM ≠ M } . p= Mệnh đề 1.6.11. ([20, 1(L3), (L4)]) Cho M là một R-môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc. Khi đó, M có thể được viết dưới dạng tổng hữu hạn của các môđun bất khả tổng và do đó, Coass R M là tập hữu hạn. 1.7. Chiều Noether Cho R là vành Noether. Chiều Noether của một R-module M được ký hiệu bởi Ndim M . Chú ý rằng khái niệm chiều Noether được đưa ra đầu tiên bởi R.N.
12 Roberts [11] bằng cái tên chiều Krull. Sau đó, D. Kirby [7] thay đổi thuật ngữ của Roberts thành chiều Noether để tránh nhầm lẫn với chiều Krull của môđun hữu hạn sinh. Định nghĩa 1.7.1. ([7, 2.1]) Cho M là một R-môđun. Khi M = 0 thì ta đặt Ndim M = −1 . Khi đó, theo quy nạp, với số thứ tự α bất kỳ, ta đặt Ndim M = α khi (i) Ndim M < α là sai và (ii) với mọi dây chuyền tăng M 0 ⊆ M 1 ⊆ ... các môđun con của M thì tồn tại số nguyên dương m0 sao cho Ndim ( M m+1 M m ) < α với mọi m ≥ m0 . → M ′′  Mệnh đề 1.7.2. ([7, 2.3]) Nếu 0  → M ′  → M  → 0 là một dãy khớp ngắn các R-môđun thì Ndim M = max { Ndim M ′′, Ndim M ′} . Ghi chú 1.7.3. (i) M là môđun khác 0 và hữu hạn sinh khi và chỉ khi Ndim M = 0 ([7]). (ii) Trong trường hợp M là môđun Artin thì Ndim M < ∞ ([11]). Tổng quát hơn, nếu M là môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc thì tồn tại dãy khớp ngắn 0  → N  → M  → A  → 0 trong đó N hữu hạn sinh và A là Artin (xem [20, Theorem]). Do đó, =Ndim M max { Ndim N , Ndim A} < ∞ . (iii) Nếu M là R-môđun Artin hay tổng quát hơn, M là R-môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc thì Ndim M ≤ max {dim R mm ∈ Coass ( M )} . Nói riêng, nếu M là R-môđun Artin trên vành Noether, địa phương, đầy đủ ( R, m= ) thì Ndim M max {dim R mm ∈ Coass ( M )} ([19, 2.10]). 1.8. Bao nội xạ Định nghĩa 1.8.1. ([15, 3.1.1]) Cho 0 ≠ M ⊆ N là các R-môđun. Môđun N được gọi là một mở rộng cốt yếu của M nếu N ′ ∩ M ≠ 0 với mọi môđun con N ′ khác 0 của N.
13 Mệnh đề 1.8.2. ([15, 3.1.3]) Cho 0 ≠ M ⊆ N là các R-môđun. Khi đó, tồn tại một mở rộng cốt yếu tối đại của M trong N. Định nghĩa 1.8.3. ([15, 3.1.4]) Cho 0 ≠ M ⊆ N là các R-môđun sao cho N là môđun nội xạ và mở rộng cốt yếu của M. Khi đó, N được gọi là bao nội xạ của M và ký hiệu ER ( M ) hay E ( M ) . Định lý 1.8.4. ([15, 3.1.5]) (i) Mọi R-môđun M đều có bao nội xạ. (ii) Nếu N1 , N 2 đều là bao nội xạ của M thì chúng đẳng cấu với nhau. 1.9. Đối ngẫu Cho ( R, m ) là vành Noether, địa phương với iđêan tối đại m và M là R- môđun. Giả sử tôpô trên R là tôpô m -adic. Định nghĩa 1.9.1. (i) Môđun D ( M ) = Hom ( M , E ( R m ) ) được gọi là đối ngẫu Matlis của M. (ii) Nếu M là R-môđun tôpô tuyến tính Hausdorff thì đối ngẫu Macdonald của M được định nghĩa bởi M ∗ = Hom ( M , E ( R m ) ) tập các đồng cấu liên tục R-môđun ([8, §9]). (iii) Trong trường hợp ( R, m ) đầy đủ, địa phương, tôpô trên M ∗ được định nghĩa như trong [8, 8.1]. Hơn nữa, nếu M nửa rời rạc thì tôpô của M ∗ trùng với tôpô cảm sinh trên nó như một môđun con của E ( R m ) , M trong đó E ( R m ) = ∏ ( E ( R m ) ) x , M ( E ( R m )) x = E ( R m ) với mọi x∈M x ∈ M ([8, 8.6]). Mệnh đề 1.9.2. ([8, 5.8]) Cho M là R-môđun tôpô tuyến tính Hausdorff . Khi đó, M là nửa rời rạc nếu và chỉ nếu M ∗ = D ( M ) .
14 Mệnh đề 1.9.3. ([8, 5.7]) Cho M là một R-môđun tôpô tuyến tính Hausdorff và u : M → E ( R m ) là một đồng cấu. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương: (i) u liên tục, (ii) Ker u mở, (iii) Ker u đóng. Định nghĩa 1.9.4. (i) Một R-môđun tôpô tuyến tính Hausdorff là m -nguyên sơ nếu mỗi phần tử của M được linh hóa bởi một lũy thừa của m . (ii) Một R-môđun tôpô tuyến tính Hausdorff M là rời rạc tuyến tính nếu mọi thương m -nguyên sơ của M là rời rạc. Mệnh đề 1.9.5. ([8, 6.2, 6.7, 6.8]) (i) Nếu M rời rạc tuyến tính thì M là nửa rời rạc. (ii) Giới hạn thuận của một hệ thuận các R-môđun rời rạc tuyến tính là rời rạc tuyến tính. (iii) Nếu f : M → N là một toàn cấu các R-môđun tôpô tuyến tính Hausdorff, trong đó M rời rạc tuyến tính, thì f liên tục. Khi đó, I.G. Macdonald [8] thiết lập đối ngẫu giữa môđun compắc tuyến tính và môđun rời rạc tuyến tính như sau. Định lý 1.9.6. ([8, 9.3, 9.12, 9.13]) Cho ( R, m ) là một vành Noether, địa phương, đầy đủ. (i) Nếu M compắc tuyến tính thì M ∗ rời rạc tuyến tính (do đó nửa rời rạc). Nếu M nửa rời rạc thì M ∗ compắc tuyến tính. (ii) Nếu M compắc tuyến tính hoặc rời rạc tuyến tính thì ta có đẳng cấu tôpô ω : M → M ∗∗ .
15 Chương 2. ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG CHO MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH Cho R là vành Noether. 2.1. Môđun đồng điều địa phương của môđun compắc tuyến tính Trước tiên, ta xây dựng một tôpô trên Ext iR ( N , M ) với M là R-môđun compắc tuyến tính và N là R-môđun bất kỳ. Cho M là R-môđun compắc tuyến tính và F là R-môđun tự do có cơ sở {ei }i∈J . Ta có thể định nghĩa tôpô trên Hom R ( F , M ) là tôpô tích qua đẳng cấu Hom R ( F , M ) ≅ M J trong đó M J = ∏ M . Khi đó, Hom R ( F , M ) là một R-môđun i∈J compắc tuyến tính theo 1.6.4(iii). Hơn nữa, nếu h : F → F ′ là một đồng cấu các R- môđun tự do thì đồng cấu cảm sinh h∗ : Hom R ( F ′, M ) → Hom R ( F , M ) là liên tục theo [22, 7.4]. Cho một phép giải tự do F• : ...  → Fi  → ...  → F1  → F0  → N  →0 của R-môđun N. Khi đó, Ext iR ( N , M ) là một R-môđun tôpô tuyến tính với tôpô thương của Hom ( Fi , M ) . Tôpô trên Ext iR ( N , M ) này được gọi là tôpô cảm sinh bởi phép giải tự do F• của N. Bổ đề 2.1.1. Cho M là một R-môđun compắc tuyến tính và N là một R-môđun. Khi đó, với mọi i ≥ 0 , Ext iR ( N , M ) là R-môđun compắc tuyến tính với tôpô cảm sinh bởi một phép giải tự do của N và tôpô này độc lập với cách chọn phép giải tự do của N. Hơn nữa, nếu f : N → N ′ là một đồng cấu R-môđun thì đồng cấu cảm sinh Ext iR ( N ′, M ) → Ext iR ( N , M ) liên tục. Chứng minh.
16 Lấy F• là một phép giải tự do của N thì Hom R ( F• , M ) là một phức các môđun compắc tuyến tính với các đồng cấu liên tục Hom R ( F• , M ) : ... → Hom R ( Fi , M )  → Hom R ( Fi +1 , M ) → i −1 i +1 δ δ i δ ... . có Ext iR ( N , M ) H= Ta = i ( Hom R ( F• , M ) ) Ker δ i Im δ i−1 . Vì Hom R ( Fi +1 , M ) Hausdorff nên {0} đóng trong Hom R ( Fi +1 , M ) , mà δi liên tục nên Ker δ i = (δ i ) −1 ( 0) đóng trong Hom R ( Fi , M ) compắc tuyến tính, theo 1.6.4(i) suy ra Ker δ i compắc tuyến tính. Vì δ i −1 là đồng cấu liên tục các môđun compắc tuyến tính nên theo 1.6.4(ii) thì Im δ i −1 đóng trong Hom R ( Fi , M ) , mà Im δ i −1 ⊂ Ker δ i đóng trong Hom R ( Fi , M ) nên Im δ i −1 đóng trong Ker δ i , theo 1.6.4(i) suy ra Ker δ i Im δ i −1 compắc tuyến tính. Do đó Ext iR ( N , M ) compắc tuyến tính. Lấy G • là phép giải tự do thứ hai của N thì ta có một tương đương dây chuyền giữa các phức ϕ• : G • → F• treo trên ánh xạ đồng nhất của N. Theo tính chất của hàm tử Ext, ta có đẳng cấu ϕi : H i ( Hom R ( F• , M ) ) → H i ( Hom R ( G • , M ) ) x + Im δ i −1  ϕi∗ ( x ) + Im σ i −1 và liên tục do [22,7.4] và 1.6.4(i), (ii). Tương tự đồng cấu ngược của ϕi cũng liên tục. Do đó ϕi là đẳng cấu tôpô với mọi i. Lấy F• và F•′ lần lượt là các phép giải tự do của N và N ′ thì ta có một biến đổi dây chuyền giữa các phức ϕ• : F• → F•′ treo trên f . Khi đó, tương tự như trên, đồng cấu cảm sinh
17 ϕi : H i ( Hom R ( F•′, M ) ) → H i ( Hom R ( F• , M ) ) là liên tục với mọi i. Cho N là một R-môđun hữu hạn sinh và F• : ...  → Fi  → ...  → F1  → F0  → N  →0 là một phép giải tự do của N gồm các môđun hữu hạn sinh. Khi đó, với M là R- môđun compắc tuyến tính thì ToriR ( N , M ) là compắc tuyến tính với tôpô cảm sinh từ tôpô tích của Fi ⊗ R M . Lập luận tương tự như chứng minh của Bổ đề 2.1.1, ta có bổ đề sau. Bổ đề 2.1.2. Cho N là một R-môđun hữu hạn sinh và M là một R-môđun compắc tuyến tính. Khi đó, ToriR ( N , M ) là R-môđun compắc tuyến tính với tôpô cảm sinh bởi phép giải tự do của N (gồm các môđun hữu hạn sinh) và tôpô này độc lập với cách chọn phép giải tự do của N. Hơn nữa, nếu f : N → N ′ là một đồng cấu các R- môđun hữu hạn sinh thì đồng cấu cảm sinh ψ i ,M : ToriR ( N , M ) → ToriR ( N ′, M ) liên tục. Bổ đề 2.1.3. Cho N là một R-môđun hữu hạn sinh và {M t } là một hệ ngược các R- môđun compắc tuyến tính với các đồng cấu liên tục. Khi đó, với mọi i ≥ 0 thì {Tor ( N , M )} lập thành một hệ ngược các môđun compắc tuyến tính với các đồng i R t cấu liên tục. Hơn nữa, ta có ToriR  N ,lim   Tori ( N , M t ) .  M t  ≅ lim R  t  t Chứng minh. Lấy F• là phép giải tự do của N gồm các R-môđun hữu hạn sinh. Vì {M t } là một hệ ngược các môđun compắc tuyến tính với các đồng cấu liên tục và Fi ⊗ M t ≅ ∏M j∈J hh t nên {Fi ⊗ M t } là một hệ ngược các môđun compắc tuyến tính với các đồng cấu liên tục với mọi i ≥ 0 theo 1.6.4(iii). Do đó, ToriR ( N , M t ) lập { }
18 thành một hệ ngược các môđun compắc tuyến tính với các đồng cấu liên tục theo 1.6.4(i), (ii). Vì giới hạn ngược giao hoán với tích trực tiếp F• ⊗ lim  ( F• ⊗ M t )  M t ≅ lim t t và theo [9, 6.1, Theorem 1] H i  lim   ( H i ( F• ⊗ M t ) )  ( F• ⊗ M t )  ≅ lim  t  t nên ToriR  N ,lim    M t  =H i  F• ⊗ lim     ( F• ⊗ M t )   M t  ≅ H i  lim  t   t   t   ( H i ( F• ⊗ M t ) ) = ≅ lim  Tori ( N , M t ) . R lim t t Do đó ToriR  N ,lim   Tori ( N , M t ) .  M t  ≅ lim R  t  t Cho M là R-môđun compắc tuyến tính. Khi đó, ToriR R I t , M ( ) cũng là R- môđun compắc tuyến tính theo 2.1.2 nên có một tôpô cảm sinh trên môđun đồng điều địa phương H iI ( M ) . Mệnh đề 2.1.4. Cho M là R-môđun compắc tuyến tính. Khi đó, với mọi i ≥ 0 thì H iI ( M ) là R-môđun compắc tuyến tính. Chứng minh. { Theo 2.1.2 thì ToriR R I t , M ( )} lập thành một hệ ngược các môđun compắc tuyến tính với các đồng cấu liên tục. Do đó, H iI ( M ) cũng là R-môđun compắc tuyến tính theo 1.6.4(iv). Mệnh đề sau đây cho thấy môđun đồng điều địa phương có thể giao hoán với giới hạn ngược của các hệ ngược các R-môđun compắc tuyến tính với các đồng cấu liên tục.