Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một vài kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:66

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn được chia thành hai chương với nội dung chính như sau: Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị", chương này trình bày một số kiến thức cơ sở về không gian Hilbert, tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert. Chương 2: "Bài toán quy hoạch toàn phương", chương này trình bày nội dung bài toán quy hoạch toàn phương và sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính trong không gian Rn. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một vài kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ THU MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ THU MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - 2017
i Mục lục Mục lục ii Danh sách ký hiệu iii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Không gian tiền Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.4 Một vài tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert . . . . . . . . . 7 1.2.1 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Hàm toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Bài toán quy hoạch toàn phương 21 2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Các định lí về sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 23
ii 2.2.1 Bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2 Bài toán quy hoạch toàn phương lồi với hữu hạn ràng buộc toàn phương lồi trong không gian Hilbert thực . 37 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61
iii Danh sách ký hiệu N Tập số tự nhiên R Tập số thực Rn Không gian các số thực n chiều h., .i Tích vô hướng k.k Chuẩn 0+ F Nón lùi xa của tập lồi F ∂f (x) Dưới vi phân của f tại x ∂ε f (x0 ) ε−Dưới vi phân của f tại x0 ∇f (x) Đạo hàm của f tại x Rm×n Không gian ma trận cấp m × n Rn×n S Không gian ma trận đối xứng cấp n × n AT Ma trận chuyển vị của ma trận A B(x0 , ρ) Hình cầu đóng tâm x0 bán kính ρ H Không gian Hilbert thực
1 Mở đầu Quy hoạch toàn phương là một bộ phận đặc biệt của quy hoạch phi tuyến, có nhiều ứng dụng trong lý thuyết và trong thực tế. Đây là vấn đề đã được nhiều nhà Toán học nghiên cứu và xây dựng nên nhiều thuật toán để giải. Sau khi học những kiến thức trong chuyên ngành Toán ứng dụng, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng dụng của chúng. Đồng thời muốn tìm hiểu sâu hơn về kết quả tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương. Tác giả chọn đề tài nghiên cứu "Một vài kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương". Luận văn trình bày sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính trong Rn và bài toán quy hoạch toàn phương lồi với những ràng buộc toàn phương lồi trong không gian Hilbert. Các kết quả và thông tin trong luận văn được viết dựa vào bài báo "On the Solution Existence of Convex Quadratic Programming Problems in Hilbert Spaces" của Vũ Văn Đông và Nguyễn Năng Tâm, 2016. Luận văn được chia thành hai chương với nội dung chính như sau: Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị", chương này trình bày một số kiến thức cơ sở về không gian Hilbert, tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert. Chương 2: "Bài toán quy hoạch toàn phương", chương này trình bày nội dung bài toán quy hoạch toàn phương và sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính trong không gian Rn và bài toán quy hoạch toàn phương lồi với hữu hạn ràng buộc toàn phương lồi trong
2 không gian Hilbert thực. Thái Nguyên, ngày 05 tháng 9 năm 2017 Tác giả luận văn Đào Thị Thu
3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số kiến thức cở bản về không gian Hilbert và giải tích lồi. Đó là những kết quả sẽ được dùng cho chương sau. Nội dung trong chương này được trích dẫn chủ yếu từ các tài liệu tham khảo [1], [2], [3] và [4]. 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Không gian tiền Hilbert Định nghĩa 1.1.1. Cho H là không gian trên trường K. Tích vô hướng trên H là một ánh xạ xác định như sau: h., .i : H × H → K, (x, y) 7→ hx, yi, thỏa mãn các điều kiện sau đây: a) hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H; b) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H; c) hλx, yi = λhx, yi với mọi x, y ∈ H; λ ∈ K; d) hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H và hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0. Số hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai véctơ x và y. Cặp (H, h., .i) được gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là không gian Unita). Từ định nghĩa ta thấy rằng với trường R thì tích vô hướng h., .i là một dạng song tuyến tính xác định dương trên H. Khi đó H được gọi là không gian tiền Hilbert thực.
4 Định lí 1.1.2. Cho H là không gian tiền Hilbert với x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau |hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính. Định lí 1.1.3. Cho H là không gian tiền Hilbert. Khi đó kxk = hx, xi, x ∈ H xác định một chuẩn trên H. 1.1.2 Không gian Hilbert Một không gian tiền Hilbert xem như không gian định chuẩn có thể đầy đủ hoặc không đầy đủ. Định nghĩa 1.1.4. Nếu H là một không gian tiền Hilbert và đầy đủ với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng thì được gọi là không gian Hilbert. Cũng tương tự như trường hợp không gian tiền Hilbert, với trường R thì ta có không gian Hilbert thực. 1.1.3 Các ví dụ i) Rn là không gian Hilbert thực với tích vô hướng n X hx, yi = xi yi , trong đó x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn . i=1 ii) Xét không gian
∞ ( )
X l2 = x = (xn )n ⊂ K
|xn |2 < +∞ .
i=1 Ta đã biết l2 là không gian Banach với chuẩn v u∞ uX kxk = t |xn |2 . (1.1) i=1
5 Với x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ l2 , từ bất đẳng thức
∞
2
X
xn yn
≤ kxk2 .kyk2 < +∞,