Luận văn thạc sĩ Toán học: Nhóm con mờ tự do và nhóm con mờ của nhóm Abel

Chia sẻ: Trang Lê | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:60

Thêm vào BST

Báo xấu

100
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn với đề tài "Nhóm con mờ tự do và nhóm con mờ của nhóm Abel" chia nội dung làm 3 chương: chương 1 tập con mờ và nhóm con mờ, chương 2 nhóm con mờ tự do và sự thể hiện của nhóm con mờ, chương 3 nhóm con mờ của nhóm Abel.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn thạc sĩ Toán học: Nhóm con mờ tự do và nhóm con mờ của nhóm Abel

Bé Gi¸o Dôc Vµ §µo T¹o §¹i Häc HuÕ Trêng §¹i Häc S Ph¹m §inh ThÞ Xinh Nhãm con mê tù do vµ nhãm con mê cña nhãm Abel Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ Lý thuyÕt sè M· sè: 60 46 05 LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Ngêi híng dÉn khoa häc: PGS. TS. NguyÔn Gia §Þnh HuÕ, N¨m 2010
Lêi cam ®oan T«i xin cam ®oan luËn v¨n nµy lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña riªng t«i, c¸c sè liÖu vµ kÕt qu¶ nghiªn cøu nªu trong luËn v¨n lµ trung thùc, ®îc c¸c ®ång t¸c gi¶ cho phÐp sö dông vµ cha tõng ®îc c«ng bè trong bÊt k× mét c«ng tr×nh nµo kh¸c. T¸c gi¶ §inh ThÞ Xinh
Lêi c¶m ¬n LuËn v¨n nµy ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn khoa häc tËn t×nh, chu ®¸o cña PGS. TS. NguyÔn Gia §Þnh, ngêi ®· cho t¸c gi¶ lßng say mª, sù tù tin ®Ó häc tËp, nghiªn cøu vµ hoµn thµnh luËn v¨n. T¸c gi¶ xin ®îc bµy tá lßng kÝnh träng vµ sù biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn ThÇy. Cßn cã nh÷ng vÊn ®Ò, nh÷ng ý tëng cña ThÇy ®a ra nhng t¸c gi¶ cha thÓ hoµn thµnh ®îc hoÆc cha kÞp thêi gian ®Ó hoµn thµnh. T¸c gi¶ xin høa sÏ cè g¾ng tiÕp tôc häc tËp, nghiªn cøu ®Ó hoµn thµnh nh÷ng ®iÒu ®ã. Trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ thùc hiÖn luËn v¨n nµy, t¸c gi¶ ®· nhËn ®îc sù ®éng viªn, gióp ®ì cña c¸c thÇy c« gi¸o thuéc khoa To¸n vµ phßng Sau ®¹i häc trêng §¹i häc S ph¹m HuÕ, c¸c thÇy c« gi¸o thuéc khoa Khoa häc tù nhiªn vµ C«ng nghÖ, c¸c thÇy c« gi¸o thuéc bé m«n To¸n trêng §¹i häc T©y Nguyªn. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn c¸c ThÇy, c¸c C«. T¸c gi¶ xin c¶m ¬n c¸c b¹n häc viªn líp Cao häc khãa 17 chuyªn ngµnh §¹i sè vµ Lý thuyÕt sè, nh÷ng ngêi ®· cïng trao ®æi, gióp ®ì vµ ®éng viªn t¸c gi¶ hoµn thµnh khãa häc vµ luËn v¨n nµy. Nh©n dÞp nµy, t¸c gi¶ còng xin ch©n thµnh tá lßng biÕt ¬n gia ®×nh vµ b¹n bÌ ®· gióp ®ì, t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi ®Ó t¸c gi¶ cã thÓ hoµn thµnh tèt nhiÖm vô. HuÕ, th¸ng 10 n¨m 2010 T¸c gi¶
Môc lôc Më ®Çu 4 Ch¬ng 1 TËp con mê vµ nhãm con mê 6 1.1 TËp con mê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Nhãm con mê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Nhãm con mê chuÈn t¾c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 §ång cÊu vµ ®¼ng cÊu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 CÊp mê cña nhãm con mê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 TÝch trùc tiÕp ®Çy ®ñ vµ yÕu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ch¬ng 2 Nhãm con mê tù do vµ sù thÓ hiÖn cña nhãm con mê 23 2.1 Nhãm con mê tù do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Sù thÓ hiÖn cña nhãm con mê . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 X©y dùng nhãm con mê tù do . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Ch¬ng 3 Nhãm con mê cña nhãm Abel 37 3.1 Tæng trùc tiÕp vµ tËp sinh cùc tiÓu . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 HÖ sinh ®éc lËp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3 Nhãm con mê thuÇn tóy vµ nhãm con mê chia ®îc . . . . . 46 3.4 BÊt biÕn cña nhãm con mê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 KÕt luËn 56 Tµi liÖu tham kh¶o 58 3
Më ®Çu LÞch sö ph¸t triÓn cña lý thuyÕt c¸c cÊu tróc ®¹i sè (trong ®ã cã nhãm - vµnh - trêng) ®· tr¶i qua nh÷ng thêi kú huy hoµng tõ thÕ kû tríc do nhu cÇu nghiªn cøu ph¸t sinh tõ nhiÒu lÜnh vùc cña to¸n häc, vËt lý, tin häc vµ ngµy cµng tá râ vai trß quan träng cña nã trong nhiÒu c«ng tr×nh cho tíi nay. N¨m 1965 Lofti A. Zadeh ®a ra kh¸i niÖm tËp con mê cña mét tËp hîp nh lµ mét ph¬ng ph¸p biÓu diÔn t×nh tr¹ng kh«ng ch¾c ch¾n hay kh«ng râ rµng. Tríc hÕt, nã ®· g©y ra sù ph¶n øng mang tÝnh phñ nhËn m¹nh mÏ tõ mét sè nhµ khoa häc vµ to¸n häc cã uy tÝn - nhiÒu ngêi trong sè nµy tá râ sù chèng ®èi c«ng khai. Tuy nhiªn, dï cho sù tranh c·i tiÕp diÔn, chñ ®Ò nµy còng hÊp dÉn sù chó ý nh÷ng nhµ to¸n häc kh¸c vµ trong nh÷ng n¨m tiÕp theo, lý thuyÕt tËp con mê ®· ph¸t triÓn d÷ déi, t×m thÊy nhiÒu øng dông trong c¸c lÜnh vùc nh tù ®éng ho¸, ®iÒu khiÓn tèi u, hÖ chuyªn gia, m¹ng n¬ron. . . Trong hµnh tr×nh ph¸t triÓn kú diÖu cña nã, ph¶i kÓ ®Õn lý thuyÕt ®¹i sè mê vµ trong nh÷ng thËp kû võa qua nhiÒu nhµ nghiªn cøu ®· lµm viÖc qua c¸c kh¸i niÖm nh nhãm mê, vµnh mê, i®ªan mê, trêng mê. . . N¨m 1971 Zadeh vµ Rosenfield ®a ra kh¸i niÖm tËp con mê trong bèi c¶nh lý thuyÕt nhãm vµ sau ®ã tr×nh bµy cã hÖ thèng vÒ mét nhãm con mê cña mét nhãm. Trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y (1998-2005), cã nhiÒu nhµ to¸n häc nghiªn cøu vÒ nhãm mê nh Rosenfield, Vasantha, Kim, Kyung Ho, Jun. . . N¨m 1982 Liu ®· ®Þnh nghÜa vµ nghiªn cøu vµnh con mê còng nh i®ªan mê. Sau ®ã Zhang ®· cã nh÷ng ®ãng gãp tÝch cùc cho viÖc ph¸t triÓn lÜnh vùc vµnh vµ trêng mê. Vasantha, Xia, Xiang-yun, Mordeson, Kim, Chang Bum. . . ®· cã nh÷ng c«ng tr×nh s¸ng gi¸ ®ãng gãp cho lÜnh vùc nµy tõ ®Çu thÕ kû 21 ®Õn nay. Tuy nhiªn, mét ®iÒu cÇn lu ý lµ kh«ng ph¶i kh¸i niÖm nµo trong nhãm - vµnh - trêng ®Òu cã thÓ lµm mê ho¸ ®îc, nghÜa lµ mét sè kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ trong nhãm - vµnh - trêng kh«ng thÓ chuyÓn qua ®îc trong hÖ mê tng øng. Nh÷ng ®iÒu chuyÓn ®îc ®Òu cã nh÷ng øng dông thiÕt thùc trong lÜnh vùc râ còng nh mê. GÇn ®©y, ngêi ta ®· t×m ®îc nh÷ng øng dông cña mét sè cÊu tróc ®¹i sè mê nh lµ nhãm mê, vµnh mê vµ trêng mê chñ yÕu vµo trong lÜnh vùc «t«mat mê mµ «t«mat mê l¹i cã nh÷ng øng dông thó vÞ trong hÖ chuyªn gia, m¹ng n¬ron, lý thuyÕt nhËn d¹ng. . . Mét kh¸i niÖm quan träng trong nghiªn cøu nhiÒu lý thuyÕt to¸n häc lµ kh¸i niÖm vËt tù do. Ch¼ng h¹n, c¸c vËt tù do xuÊt hiÖn trong ®¹i sè trõu tîng, l«gic to¸n, lý thuyÕt dµn, lý thuyÕt ph¹m trï vµ ®¹i sè phæ dông. C¸c vËt tù do còng quan träng trong khoa häc m¸y tÝnh. Chóng xuÊt hiÖn trong lËp tr×nh l«gic vµ «t«mat díi tªn gäi Phæ dông Herbrand. Chóng m« t¶ mét c¸ch næi bËt theo tiÕp cËn ®¹i sè ®èi víi ng÷ nghÜa cña ng«n ng÷ lËp
tr×nh. Do ®ã mét kh¸i niÖm thÝch hîp vÒ tÝnh tù do cña ®èi tîng mê cã thÓ chøng minh tÝnh h÷u Ých trong viÖc nghiªn cøu lý thuyÕt nhãm mê. Trong lý thuyÕt nhãm, mét kh¸i niÖm liªn quan ®Õn vËt tù do lµ kh¸i niÖm thÓ hiÖn. Kh¸i niÖm thÓ hiÖn ®· chøng minh tÝnh h÷u Ých trong lý thuyÕt nhãm. Sù thÓ hiÖn cung cÊp mét ph¬ng ph¸p tiÖn lîi x¸c ®Þnh râ c¸c tÝnh chÊt cña mét nhãm. ChuyÓn qua ®èi tîng mê, sù thÓ hiÖn còng ®ãng mét vai trß quan träng trong viÖc x¸c ®Þnh c¸c tÝnh chÊt cña nhãm mê. NhiÒu vÝ dô tèt nhÊt cña lý thuyÕt cÊu tróc ®¹i sè xuÊt ph¸t tõ lý thuyÕt nhãm giao ho¸n. Lý thuyÕt nhãm giao ho¸n còng lµ mét lý do chÝnh cho viÖc nghiªn cøu lý thuyÕt m«®un. C¸c kÕt qu¶ vÒ mÆt cÊu tróc ®èi víi nhãm con mê cña nhãm Abel lµ rÊt thó vÞ, chóng cã nhiÒu øng dông, ch¼ng h¹n trong ®¹i sè nhãm mê vµ më réng trêng mê. Trong luËn v¨n nµy, ngoµi lêi c¶m ¬n, lêi më ®Çu, phÇn kÕt luËn vµ tµi liÖu tham kh¶o néi dung luËn v¨n ®îc chia lµm ba ch¬ng: Ch¬ng 1: TËp con mê vµ nhãm con mê. Ch¬ng 2: Nhãm con mê tù do vµ sù thÓ hiÖn cña nhãm con mê. Ch¬ng 3: Nhãm con mê cña nhãm Abel. 5
Ch¬ng 1 TËp con mê vµ nhãm con mê Trong ch¬ng nµy ta ký hiÖu X, Y, Z lµ c¸c tËp hîp kh¸c rçng. 1.1 TËp con mê Trong môc nµy chóng t«i tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n cña lý thuyÕt tËp mê, cã thÓ xem trong [19]. §Þnh nghÜa 1.1. Mét tËp con mê cña X lµ mét hµm µ : X −→ [0, 1]. TËp hîp tÊt c¶ c¸c tËp con mê cña tËp X ®îc gäi lµ tËp lòy thõa mê cña X vµ ®îc ký hiÖu lµ FP(X). §Þnh nghÜa 1.2. µ ∈ FP(X). Khi ®ã, tËp hîp {µ(x)|x ∈ X} ®îc gäi Cho lµ ¶nh cña µ vµ ®îc ký hiÖu bëi µ(X) hay Im(µ). TËp hîp µ∗ = {x ∈ X|µ(x) > 0} ®îc gäi lµ gi¸ cña µ. §Æc biÖt, µ ®îc gäi lµ tËp con mê h÷u h¹n (t¬ng ∗ øng, tËp con mê v« h¹n) nÕu µ lµ tËp h÷u h¹n (t¬ng øng, v« h¹n). §Þnh nghÜa 1.3. Y lµ mét tËp hîp con cña tËp Cho hîp X vµ a ∈ [0, 1]. Ta ®Þnh nghÜa aY ∈ FP(X) nh sau: a víi x ∈ Y aY (x) = 0 víi x ∈ X\Y §Æc biÖt, nÕu tËp Y chØ gåm mét phÇn tö, Y = {y}, th× a{y} ®îc gäi lµ mét ®iÓm mê vµ ®îc ký hiÖu lµ ay . Ký hiÖu 1Y lµ hµm ®Æc trng cña Y . §Þnh nghÜa 1.4. Choµ, ν ∈ FP(X). NÕu µ(x) ≤ ν(x), ∀x ∈ X , th× µ ®îc gäi lµ chøa trong ν (hay ν chøa µ), vµ ta viÕt µ ⊆ ν (hay ν ⊇ µ). NÕu µ(x) = ν(x), ∀x ∈ X , th× µ = ν . §Þnh nghÜa 1.5. Choµ, ν ∈ FP(X). Ta ®Þnh nghÜa: (µ ∪ ν)(x) = µ(x) ∨ ν(x) := max{µ(x), ν(x)}, (µ ∩ ν)(x) = µ(x) ∧ ν(x) := min{µ(x), ν(x)}, ∀x ∈ X . Khi ®ã, µ ∪ ν vµ µ ∩ ν ®îc gäi lÇn lît lµ hîp vµ giao cña µ vµ ν . Ngoµi ra, ν ®îc gäi lµ phÇn bï cña µ nÕu ν(x) = 1 − µ(x), ∀x ∈ X . 6
B»ng qui n¹p cã thÓ më réng c¸c phÐp to¸n hîp vµ giao cho nhiÒu h¬n hai tËp con mê. Mét c¸ch tæng qu¸t, víi hä bÊt kú {µi |i ∈ I} c¸c tËp con mê cña X , I lµ S tËp chØ sè kh¸c W rçng, ta ®Þnh nghÜa: ( i∈I µi )(x) = i∈I µi (x) := supµi (x), T V i∈I ( i∈I µi )(x) = i∈I µi (x) := inf µi (x). i∈I §Þnh nghÜa 1.6. µ ∈ FP(X). Víi a ∈ [0, 1] ta ®Þnh Cho nghÜa µa = {x ∈ X|µ(x) ≥ a}. TËp µa ®îc gäi lµ a−l¸t c¾t hay a−tËp møc cña µ. NhËn xÐt 1.1. Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau: ∀µ, ν ∈ FP(X), 1) µ ⊆ ν, a ∈ [0, 1] =⇒ µa ⊆ νa . 2) a ≤ b, a, b ∈ [0, 1] =⇒ µb ⊆ µa . 3) µ = ν ⇐⇒ µa = νa , ∀a ∈ [0, 1]. §Þnh nghÜa 1.7. Cho f lµ mét hµm tõ X vµo Y , µ ∈ FP(X) vµ ν ∈ FP(Y ). −1 Khi ®ã c¸c tËp con mê f (µ) ∈ FP(Y ) vµ f (ν) ∈ FP(X) ®îc ®Þnh nghÜa nh sau: ∀y ∈ Y , ∨{µ(x)|x ∈ G, f (x) = y} nÕu f −1 (y) 6= Ø f (µ)(y) := 0 trong trêng hîp cßn l¹i vµ ∀x ∈ X, f −1 (ν)(x) = ν(f (x)). Khi ®ã f (µ) ®îc gäi lµ ¶nh cña µ bëi f vµ f −1 (ν) ®îc gäi lµ ¶nh ngîc hay t¹o ¶nh cña ν bëi f . Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau: MÖnh ®Ò 1.1. Cho f vµ g lÇn lît lµ c¸c hµm tõ X vµo Y vµ tõ Y vµo Z . 1) Víi mäi µi ∈ FP(X), i ∈ I, f (∪i∈I µi ) = ∪i∈I f (µi ) vµ µ1 ⊆ µ2 =⇒ f (µ1 ) ⊆ f (µ2 ), ∀µ1 , µ2 ∈ FP(X). 2) Víi mäi νj ∈ FP(Y ), j ∈ J , víi J lµ mét tËp chØ sè kh¸c rçng th× f −1 (∪j∈J νj ) = ∪j∈J f −1 (νj ), f −1 (∩j∈J νj ) = ∩j∈J f −1 (νj ), vµ ν1 ⊆ ν2 =⇒ f −1 (ν1 ) ⊆ f −1 (ν2 ), ∀ν1 , ν2 ∈ FP(Y ). 3) f −1 (f (µ)) ⊇ µ, ∀µ ∈ FP(X). §Æc biÖt, nÕu f lµ mét ®¬n ¸nh th× f −1 (f (µ)) = µ, ∀µ ∈ FP(X). NghÜa lµ µ 7−→ f (µ) lµ mét ®¬n ¸nh tõ FP(X) vµo FP(Y ) vµ ν 7−→ f −1 (ν) lµ mét toµn ¸nh tõ FP(Y ) lªn FP(X). 4) f (f −1 (ν)) ⊆ ν, ∀ν ∈ FP(Y ). §Æc biÖt, nÕu f lµ mét toµn ¸nh th× f (f −1 (ν)) = ν, ∀ν ∈ FP(Y ) vµ do ®ã µ 7−→ f (µ) lµ mét toµn ¸nh tõ FP(X) lªn FP(Y ) vµ ν 7−→ f −1 (ν) lµ mét ®¬n ¸nh tõ FP(Y ) vµo FP(X). 5) f (µ) ⊆ ν ⇐⇒ µ ⊆ f −1 (ν), ∀µ ∈ FP(X), ∀ν ∈ FP(Y ). 6) g(f (µ)) = (g ◦ f )(µ), ∀µ ∈ FP(X) vµ f −1 (g −1 (ξ)) = (g ◦ f )−1 (ξ), ∀ξ ∈ FP(Z). 7
1.2 Nhãm con mê Tõ ®©y vÒ sau nÕu kh«ng nãi g× thªm th× ta xem G lµ mét nhãm nh©n víi phÇn tö ®¬n vÞ e. Cã thÓ t×m hiÓu c¸c kh¸i niÖm vÒ nhãm con mê vµ c¸c kÕt qu¶ liªn quan cña môc nµy trong [13] vµ [14], ®Æc biÖt trong [4] (Ch. 1). §Þnh nghÜa 1.8. Cho µ ∈ FP(G). Khi ®ã µ ®îc gäi lµ mét nhãm con mê cña G nÕu µ tháa m·n hai ®iÒu kiÖn sau: ∀x, y ∈ G, 1) µ(xy) ≥ µ(x) ∧ µ(y), 2) µ(x−1 ) ≥ µ(x). TËp tÊt c¶ c¸c nhãm con mê cña nhãm G kÝ hiÖu lµF(G). Râ rµng, nÕu µ ∈ F(G) vµ H lµ mét nhãm con cña G th× µ|H ∈ F(H). VÝ dô 1.1. XÐt nhãm céng c¸c sè nguyªn Z vµ hµm µ x¸c ®Þnh nh sau: a nÕu x ∈ 2Z µ(x) = b nÕu x ∈ 2Z + 1. víi a, b ∈ [0, 1] vµ b ≤ a. Khi ®ã µ lµ mét nhãm con mê cña Z. Chøng minh cña mÖnh ®Ò sau lµ ®¬n gi¶n: MÖnh ®Ò 1.2. Cho µ ∈ F(G). Khi ®ã víi mäi x ∈ G, 1) µ(e) ≥ µ(x). 2) µ(x) = µ(x−1 ). MÖnh ®Ò 1.3. Cho µ ∈ FP(G). Khi ®ã c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t¬ng ®¬ng: 1) µ ∈ F(G). 2) µ(x−1 y) ≥ µ(x) ∧ µ(y). 3) µa lµ nhãm con cña G víi mäi a ∈ µ(G) ∪ [0, µ(e)]. Chøng minh. 1) =⇒ 3). §Æt A = µ(G) ∪ [0, µ(e)]. Víi mäi a ∈ A th× a ≤ µ(e) nªn e ∈ µa . Suy ra µa 6= Ø. H¬n n÷a, ∀x, y ∈ µa , µ(x−1 y) ≥ µ(x−1 ) ∧ µ(y) ≥ µ(x) ∧ µ(y) ≥ a ∧ a = a. −1 Suy ra x y ∈ µa . Do ®ã µa lµ nhãm con cña G. 3) =⇒ 2). Víi x, y ∈ G, ®Æt a = µ(x), b = µ(y) vµ c = a ∧ b th× c ∈ µ(G). −1 Theo gi¶ thiÕt, µc lµ nhãm con cña G. V× x, y ∈ µc nªn x y ∈ µc . Do ®ã µ(x−1 y) ≥ c = a ∧ b = µ(x) ∧ µ(y). 2) =⇒ 1). Víi mäi x, y ∈ G, µ(e) = µ(x−1 x) ≥ µ(x) ∧ µ(x) = µ(x), µ(x−1 ) = µ(x−1 e) ≥ µ(x−1 ) ∧ µ(e) ≥ µ(x) ∧ µ(e) = µ(x), µ(xy) = µ((x−1 )−1 y) ≥ µ(x−1 ) ∧ µ(y) ≥ µ(x) ∧ µ(y). Do ®ã µ ∈ F(G). 8
HÖ qu¶ 1.1. NÕu µ ∈ F(G) th× µ∗ vµ µ∗ lµ c¸c nhãm con cña G. Trong ®ã µ∗ = {x ∈ G|µ(x) = µ(e)}, µ∗ = {x ∈ G|µ(x) > 0} lµ c¸c tËp ®îc xÐt kh¸c rçng. §Þnh nghÜa 1.9. Ta ®Þnh nghÜa tÝch cña hai tËp con mê vµ nghÞch ®¶o cña mét tËp con mê nh sau:∀µ, ν ∈ FP(G) vµ ∀x ∈ G, (µ ◦ ν)(x) = ∨{µ(y) ∧ ν(z)|y, z ∈ G, yz = x}, µ−1 (x) = µ(x−1 ). µ ◦ ν vµ µ−1 lÇn lît ®îc gäi lµ tÝch cña µ vµ ν vµ nghÞch ®¶o cña µ. DÔ thÊy phÐp to¸n ◦ cã tÝnh chÊt kÕt hîp. NhËn xÐt 1.2. µ◦ν vµ µ−1 lµ c¸c tËp con mê cña G. MÖnh ®Ò 1.4. Cho µ, ν, µi ∈ FP(G), i ∈ I vµ a = ∨{µ(x)|x ∈ G}. Khi ®ã, 1) µ ◦ ν(x) = ∨y∈G (µ(y) ∧ ν(y −1 x)) = ∨y∈G (µ(xy −1 ) ∧ ν(y)), ∀x ∈ G. 2) (ay ◦ µ)(x) = µ(y −1 x), ∀x, y ∈ G. 3) (µ ◦ ay )(x) = µ(xy −1 ), ∀x, y ∈ G. 4) (µ−1 )−1 = µ. 5) µ ⊆ µ−1 ⇐⇒ µ−1 ⊆ µ ⇐⇒ µ = µ−1 ⇐⇒ µ(x) ≤ µ(x−1 ), ∀x ∈ G ⇐⇒ µ(x−1 ) ≤ µ(x), ∀x ∈ G ⇐⇒ µ(x) = µ(x−1 ), ∀x ∈ G. 6) µS⊆ ν ⇐⇒ µ−1S⊆ ν −1 . 7) (Ti∈I µi )−1 = Ti∈I µ−1 i . 8) ( i∈I µi ) = i∈I µ−1 −1 i . −1 −1 −1 9) (µ ◦ ν) = ν ◦ µ . Chøng minh. Chøng minh cña c¸c kÕt qu¶ 1), 4), 5), 6), 7), 8) lµ dÔ. 2) (ay ◦µ)(x) = ∨z∈G {ay (z) ∧ µ(z −1 x)} = ∨z∈G {a ∧ µ(y −1 x), 0} −1 −1 = a ∧ µ(y x) = µ(y x). 3) Chøng minh t¬ng tù 2). −1 −1 −1 −1 9) ∀x ∈ G, (µ ◦ ν) (x) = (µ ◦ ν)(x ) = ∨y∈G {µ(x y ) ∧ ν(y)} = ∨z∈G {ν(z −1 ) ∧ µ(x−1 z)} = ∨z∈G {ν(z −1 ) ∧ µ((z −1 x)−1 )} = ∨z∈G {ν −1 (z) ∧ µ−1 (z −1 x)} = (ν −1 ◦ µ−1 )(x). −1 Do ®ã (µ ◦ ν) = ν −1 ◦ µ−1 . MÖnh ®Ò 1.5. Cho µ ∈ FP(G). Khi ®ã µ ∈ F(G) nÕu vµ chØ nÕu 1) µ ◦ µ ⊆ µ vµ 2) µ−1 ⊇ µ. Chøng minh. Gi¶ sö µ ∈ F(G), µ−1 (x) = µ(x−1 ) ≥ µ(x), ∀x ∈ G. ta cã Do −1 ®ã µ ⊇ µ. MÆt kh¸c, víi bÊt kú x ∈ G, µ(x) = µ(yz) ≥ µ(y) ∧ µ(z) víi mäi y, z ∈ G sao cho yz = x nªn µ(x) ≥ ∨{µ(y) ∧ µ(z)|y, z ∈ G, yz = x} = (µ ◦ µ)(x). Suy ra µ ◦ µ ⊆ µ. −1 §¶o l¹i, gi¶ sö µ ◦ µ ⊆ µ vµ µ ⊇ µ. Khi ®ã 9
µ(x−1 ) = µ−1 (x) ≥ µ(x) µ(xy) ≥ (µ ◦ µ)(xy) = ∨{µ(z) ∧ µ(t)|z, t ∈ G, zt = xy} ≥ µ(x) ∧ µ(y) (chän z = x, t = y ). Do ®ã µ ∈ F(G). MÖnh ®Ò 1.6. Cho µ, ν ∈ F(G). Khi ®ã µ ◦ ν ∈ F(G) ⇐⇒ µ ◦ ν = ν ◦ µ. Chøng minh. Gi¶ sö µ, ν ∈ F(G) vµ µ ◦ ν ∈ F(G). Do µ ∈ F(G) nªn theo −1 MÖnh ®Ò 1.5 ta cã µ ⊇ µ. Theo MÖnh ®Ò 1.4 ta l¹i cã µ−1 = µ. T¬ng tù, ν −1 = ν vµ (µ ◦ ν)−1 = µ ◦ ν . Khi ®ã, µ ◦ ν = (µ ◦ ν)−1 = ν −1 ◦ µ−1 = ν ◦ µ. §¶o l¹i, gi¶ sö µ, ν ∈ F(G) vµ µ ◦ ν = ν ◦ µ. Ta cã: (µ ◦ ν) = (ν ◦ µ) = µ−1 ◦ ν −1 = µ ◦ ν vµ −1 −1 (µ ◦ ν) ◦ (µ ◦ ν) = µ ◦ (ν ◦ µ) ◦ ν = µ ◦ (µ ◦ ν) ◦ ν = (µ ◦ µ) ◦ (ν ◦ ν) ⊆ µ ◦ ν . VËy µ ◦ ν ∈ F(G). MÖnh ®Ò 1.7. Cho f : G −→ H lµ mét ®ång cÊu nhãm, µ ∈ F(G) vµ ν ∈ F(H). Khi ®ã f (µ) ∈ F(H) vµ f −1 (ν) ∈ F(G). T¬ng tù lý thuyÕt nhãm, ®èi víi lý thuyÕt nhãm mê ta còng cã ®Þnh nghÜa nhãm con mê sinh bëi mét tËp. Chøng minh cña mÖnh ®Ò sau ®©y lµ ®¬n gi¶n: Cho {µi |i ∈ I} ⊆ F(G). Khi ®ã µi ∈ F(G). T MÖnh ®Ò 1.8. i∈I §Þnh nghÜa 1.10. T µ ∈ FP(G). Khi ®ã nhãm Cho con mê < µ >= {ν|µ ⊆ ν, ν ∈ F(G)} ®îc gäi lµ nhãm con mê cña G sinh bëi µ. Râ rµng lµ nhãm con mê nhá nhÊt cña G chøa µ. 1.3 Nhãm con mê chuÈn t¾c C¸c kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ trong môc nµy ®îc trÝch dÉn tõ [4] (Ch. 1), [12], [13] vµ [14]. §Þnh nghÜa 1.11. Cho µ ∈ F(G). Khi ®ã µ ®îc gäi lµ nhãm con mê chuÈn t¾c cña G nÕu µ lµ tËp con mê Abel cña G, nghÜa lµ µ(xy) = µ(yx), ∀x, y ∈ G. TËp hîp tÊt c¶ c¸c nhãm con mê chuÈn t¾c cña G kÝ hiÖu lµ N F(G). NhËn xÐt 1.3. NÕu G lµ mét nhãm nh©n Abel th× mäi nhãm con mê cña G ®Òu lµ nhãm con mê chuÈn t¾c cña G. 10
MÖnh ®Ò 1.9. Cho µ ∈ F(G). Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng: 1) µ ∈ N F(G). 2) µ(xyx−1 ) = µ(y), ∀x, y ∈ G. 3) µa lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G,∀a ∈ µ(G) ∪ [0, µ(e)]. 4) µ(xyx−1 ) ≥ µ(y), ∀x, y ∈ G. 5) µ(xyx−1 ) ≤ µ(y), ∀x, y ∈ G. 6) µ ◦ ν = ν ◦ µ, ∀ν ∈ FP(G). Chøng minh. 1) =⇒ 2). ∀x, y ∈ G, µ(xyx−1 ) = µ((xy)x−1 ) = µ(x−1 (xy)) = µ(y). 2) =⇒ 3). ∀x ∈ G, ∀y ∈ µa , µ(xyx−1 ) = µ(y) ≥ a nªn xyx−1 ∈ µa . Do ®ã µa lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G. 3) =⇒ 4). Víi x, y ∈ G, ®Æt a = µ(y) th× y ∈ µa . Theo gi¶ thiÕt, µa lµ nhãm −1 con chuÈn t¾c cña G nªn xyx ∈ µa . Suy ra µ(xyx−1 ) ≥ a = µ(y). 4) =⇒ 5). ∀x, y ∈ G, µ(xyx−1 ) ≤ µ((x−1 )(xyx−1 )(x−1 )−1 ) = µ(y). 5) =⇒ 1). ∀x, y ∈ G, µ(xy) = µ(x(yx)x−1 ) ≤ µ(yx) vµ µ(yx) = µ(y(xy)y −1 ) ≤ µ(xy) nªn µ(xy) = µ(yx). Do ®ã µ ∈ N F(G). 1) =⇒ 6). Víi mäi x ∈ G, (µ ◦ ν)(x) = ∨y∈G {µ(xy −1 ) ∧ ν(y)} = ∨y∈G {µ(y −1 x) ∧ ν(y)} = ∨y∈G {ν(y) ∧ µ(y −1 x)} = (ν ◦ µ)(x). Do ®ã µ ◦ ν = ν ◦ µ. (6) =⇒ 1)) : Víi mäi y ∈ G, theo gi¶ thiÕt, 1{y−1 } ◦ µ = µ ◦ 1{y−1 } nªn víi x ∈ G ta cã (1{y−1 } ◦ µ)(x) = (µ ◦ 1{y−1 } )(x) hay ∨z∈G {1{y−1 } (z) ∧ µ(z −1 x)} = ∨z∈G {µ(xz −1 ) ∧ 1{y−1 } (z)} (∗). Tõ ®Þnh nghÜa cña 1{y −1 } , (∗) trë thµnh 1{y−1 } (y −1 ) ∧ µ((y −1 )−1 x) = µ(x(y −1 )−1 ) ∧ 1{y−1 } (y −1 ) hay µ(xy) = µ(yx). Do ®ã µ ∈ N F(G). Chøng minh cña mÖnh ®Ò sau lµ ®¬n gi¶n: MÖnh ®Ò 1.10. Cho µ ∈ N F(G). Khi ®ã µ∗ G vµ µ∗ G. §Þnh nghÜa 1.12. Cho µ ∈ F(G) vµ x ∈ G. Khi ®ã c¸c tËp con mê µ(e){x} ◦µ vµ µ ◦ µ(e){x} lÇn lît ®îc gäi lµ líp kÒ tr¸i vµ líp kÒ ph¶i cña µ theo x vµ ®îc viÕt lµ xµ vµ µx. NÕu µ ∈ N F(G) th× xµ = µx. Trong trêng hîp nµy ta gäi xµ lµ mét líp kÒ. −1 Lu ý, (µ(e){x} ◦ µ)(z) = µ(x z) (Theo MÖnh ®Ò 1.4). Ta cã hai kÕt qu¶ sau: MÖnh ®Ò 1.11. Cho µ ∈ F(G). Khi ®ã víi mäi x, y ∈ G, 1) xµ = yµ ⇐⇒ xµ∗ = yµ∗ . 2) µx = µy ⇐⇒ µ∗ x = µ∗ y . 11
MÖnh ®Ò 1.12. Cho µ ∈ N F(G) vµ x, y ∈ G. NÕu xµ = yµ th× µ(x) = µ(y). MÖnh ®Ò 1.13. Cho µ ∈ N F(G). §Æt G/µ = {xµ|x ∈ G}. Khi ®ã 1) xµ ◦ yµ = (xy)µ, ∀x, y ∈ G. 2) (G/µ, ◦) lµ mét nhãm. 3) G/µ ∼= G/µ∗ . 4) Cho µ(∗) ∈ FP(G/µ) x¸c ®Þnh bëi µ(∗) (xµ) = µ(x), ∀x ∈ G. Khi ®ã µ(∗) ∈ N F(G/µ). Chøng minh. 1) Víi mäi x, y ∈ G, xµ ◦ yµ = (µ(e){x} ◦ µ) ◦ (µ(e){y} ◦ µ) = µ(e){x} ◦ (µ ◦ µ(e){y} ) ◦ µ = µ(e){x} ◦ µ(e){y} ◦ (µ ◦ µ) = (µ(e){x} ◦ µ(e){y} ) ◦ µ = (xy)µ. 2) Theo 1), ◦ lµ mét phÐp to¸n trªn G/µ. DÔ thÊy (G/µ, ◦) lµ mét nhãm −1 víi ®¬n vÞ lµ µ = eµ, phÇn tö nghÞch ®¶o cña xµ ∈ G/µ lµ x µ. 3) Theo MÖnh ®Ò 1.11, xµ = yµ ⇐⇒ xµ∗ = yµ∗ nªn ta cã song ¸nh f : G/µ → G/µ∗ , xµ 7→ xµ∗ . MÆt kh¸c, f (xµ ◦ yµ) = f ((xy)µ) = xyµ∗ = xµ∗ yµ∗ = f (xµ)f (yµ). Do ®ã f lµ mét ®¼ng cÊu hay G/µ ∼ = G/µ∗ . 4) ∀x, y ∈ G, µ(∗) (y −1 µ ◦ xµ) = µ(∗) (y −1 xµ) = µ(y −1 x) ≥ µ(y) ∧ µ(x) = µ(∗) (yµ) ∧ µ(∗) (xµ). (∗) Suy ra µ ∈ F(G/µ). MÆt kh¸c, µ (y µ ◦ xµ ◦ yµ) = µ(∗) (y −1 xyµ) = µ(y −1 xyµ) = µ(x) = µ(∗) (xµ). (∗) −1 (∗) Do ®ã µ ∈ N F(G). §Þnh nghÜa 1.13. Nhãm G/µ ®îc gäi lµ nhãm th¬ng cña G theo nhãm con mê chuÈn t¾c µ. Chøng minh cña mÖnh ®Ò sau lµ ®¬n gi¶n: MÖnh ®Ò 1.14. Cho ν ∈ F(G) vµ N lµ mét nhãm con chuÈn t¾c cña nhãm G. Ta ®Þnh nghÜa ξ ∈ FP(G) nh sau: ξ(xN ) = ∨{ν(z)|z ∈ xN }, ∀x ∈ G. Khi ®ã ξ ∈ F(G/N ). §Þnh nghÜa 1.14. Nhãm con mê ξ x¸c ®Þnh trong MÖnh ®Ò 1.14 ®îc gäi lµ nhãm con mê th¬ng theo nhãm con mê ν cña G theo nhãm con chuÈn t¾c N cña G vµ ®îc kÝ hiÖu lµ ν/N . Ta cã kÕt qu¶ sau: MÖnh ®Ò 1.15. Cho µ ∈ N F(G) vµ ν ∈ N F(H), víi H lµ mét nhãm. Gi¶ sö f lµ mét toµn cÊu nhãm tõ G lªn H . Khi ®ã 1) f (µ) ∈ N F(H). 2) f −1 (ν) ∈ N F(G). 12
Trªn ®©y lµ kh¸i niÖm nhãm con mê chuÈn t¾c cña mét nhãm. TiÕp theo ta x©y dùng nhãm con mê chuÈn t¾c cña mét nhãm con mê. §Þnh nghÜa 1.15. Cho µ, ν ∈ F(G)µ ⊆ ν. vµ Khi ®ã, µ ®îc gäi lµ mét nhãm con mê chuÈn t¾c cña nhãm con mê ν , kÝ hiÖu µ ν , nÕu µ(xyx−1 ) ≥ µ(y) ∧ ν(x), ∀x, y ∈ G. NhËn xÐt 1.4. 1) NÕu G1 vµ G2 lµ c¸c nhãm con cña G th× G1 G2 khi vµ chØ khi 1G1 1G2 . Do ®ã ta còng cã 1G 1G vµ 1e 1G . 2) NÕu µ ∈ N F(G), ν ∈ F(G) vµ µ ⊆ ν th× µ ν . 3) Mçi nhãm con mê lµ mét nhãm con mê chuÈn t¾c cña chÝnh nã. 4) µ ∈ FP(G) lµ nhãm con mê chuÈn t¾c cña G khi vµ chØ khi µ1G . ThËt −1 vËy, râ rµng µ ⊆ 1G . Víi mäi x, y ∈ G ta cã µ(xyx ) = µ(y) ≥ µ(y) ∧ 1G (x) nªn µ 1G . §¶o l¹i, gi¶ sö µ 1G , ta cã µ(xyx ) ≥ µ(y) ∧ 1G (x) = µ(y), −1 ∀x, y ∈ G, nªn µ ∈ N F(G). MÖnh ®Ò 1.16. Cho µ, ν ∈ F(G) vµ µ ⊆ ν . C¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng: 1) µ ν. 2) µ(yx) ≥ µ(xy) ∧ ν(y), ∀x, y ∈ G. 3) µa νa , ∀a ∈ [0, µ(e)]. 4) µ(e){x} ◦ µ ⊇ (µ ◦ µ(e){x} ) ∩ ν, ∀x ∈ G. Chøng minh. 1) =⇒ 2). ∀x, y ∈ G, µ(yx) = µ(y(xy)y −1 ) ≥ µ(xy) ∧ ν(y). 2) =⇒ 3). Víi mäi a ∈ [0, µ(e)], e ∈ µa nªn µa 6= Ø. Víi mäi x ∈ µa , µ(x) ≥ a nªn ν(x) ≥ a. Suy ra x ∈ νa hay µa ⊆ νa . ∀x ∈ νa , y ∈ µa ta −1 −1 cã xy ∈ νa vµ µ((xy)x ) ≥ µ(x xy) ∧ ν(xy) ≥ µ(y) ∧ ν(xy) ≥ a. Do ®ã, xyx−1 ∈ µa . VËy µa νa . 3) =⇒ 1). Víi x, y ∈ G, ®Æt µ(y) = a, ν(x) = b, gi¶ sö b ≥ a. Khi ®ã, víi x ∈ νa th× xyx−1 ∈ µa nªn µ(xyx−1 ) ≥ a = a ∧ b = µ(y) ∧ ν(x). Do ®ã µ ν . 2) =⇒ 4). ∀z ∈ G, (µ(e){x} ◦ µ)(z) = ∨{µ(e){x} (u) ∧ µ(v)|u, v ∈ G, z = uv} ≥ ∨{µ(e){x} (x) ∧ µ(v)|u, v ∈ G, z = xv} = ∨{µ(e){x} (x) ∧ µ(x−1 z)} = ∨{µ(x−1 z)} = ∨{µ(z −1 x)} ≥ ∨{µ(xz −1 )} ∧ ν(z −1 ) = ∨{µ(zx−1 )} ∧ ν(z −1 ) = (µ ◦ µ(e){x} )(z) ∧ ν(z) = ((µ ◦ µ(e){x} ) ∩ ν)(z). 4) =⇒ 2).∀x, y ∈ G, µ(yx) = µ(x−1 y −1 ) = (µ(e){x} ◦ µ)(y −1 ) ≥ ((µ ◦ µ(e){x} ) ∩ ν)(y −1 ) = (µ◦µ(e){x} )(y −1 )∧ν(y −1 ) = µ(y −1 x−1 )∧ν(y −1 ) = µ(xy)∧ν(y). MÖnh ®Ò 1.17. Cho µ, ν ∈ F(G) vµ µ ν . Khi ®ã µ∗ ν∗ vµ µ∗ ν ∗ . 13
Qua phÐp ®ång cÊu nhãm vµ phÐp lÊy nghÞch ¶nh cña ®ång cÊu nhãm, nhãm con mê chuÈn t¾c cña mét nhãm ®îc b¶o toµn. §èi víi nhãm con mê chuÈn t¾c cña mét nhãm con mê ta còng cã ®iÒu t¬ng tù. MÖnh ®Ò 1.18. Cho f : G −→ H lµ mét ®ång cÊu nhãm. Khi ®ã 1) NÕu µ, ν ∈ F(G), µ ν th× f (µ) f (ν). 2) NÕu µ, ν ∈ F(H), µ ν th× f −1 (µ) f −1 (ν). 1.4 §ång cÊu vµ ®¼ng cÊu T¬ng tù môc tríc, môc nµy vµ môc kÕ tiÕp cã c¸c kh¸i niÖm vµ kÕt qu¶ ®îc trÝch dÉn trong [4] (Ch. 1), [12], [13] vµ [14]. §Þnh nghÜa 1.16. Cho G vµ H lµ c¸c nhãm vµ µ ∈ F(G), ν ∈ F(H). 1) Mét toµn cÊu f : G −→ H ®îc gäi lµ mét ®ång cÊu yÕu tõ µ vµo ν f nÕu f (µ) ⊆ ν . Khi ®ã ta nãi µ ®ång cÊu yÕu víi ν , kÝ hiÖu µ ∼ ν hoÆc µ ∼ ν . 2) Mét ®¼ng cÊu f : G −→ H ®îc gäi lµ mét ®¼ng cÊu yÕu tõ µ vµo ν f nÕu f (µ) ⊆ ν . Khi ®ã ta nãi µ ®¼ng cÊu yÕu víi ν , kÝ hiÖu µ ' ν hoÆc µ ' ν . 3) Mét toµn cÊu f : G −→ H ®îc gäi lµ mét ®ång cÊu tõ µ vµo ν nÕu f f (µ) = ν . Khi ®ã ta nãi µ ®ång cÊu víi ν , kÝ hiÖu µ ≈ ν hoÆc µ ≈ ν . 4) Mét ®¼ng cÊu f : G −→ H ®îc gäi lµ mét ®¼ng cÊu tõ µ vµo ν nÕu f f (µ) = ν . Khi ®ã ta nãi µ ®¼ng cÊu víi ν, kÝ hiÖu µ∼ =ν hoÆc µ∼ = ν. Cho µ ν . Theo MÖnh ®Ò 1.17, µ∗ ν ∗ . Râ rµng, ν|ν ∗ µ, ν ∈ F(G) vµ ∗ lµ mét nhãm con mê cña ν . Theo MÖnh ®Ò 1.14, nhãm con mê th¬ng cña ν|ν ∗ theo nhãm con chuÈn t¾c µ∗ lµ tån t¹i, kÝ hiÖu: (ν|ν ∗ )/µ∗ := ν/µ vµ gäi lµ nhãm th¬ng cña ν theo µ. Bæ ®Ò Cho f : G → Y lµ mét ¸nh x¹ vµ µ ∈ FP(G). 1.1. Khi ®ã (f (µ)) = f (µ∗ ). ∗ T¬ng tù §Þnh lý ®¼ng cÊu thø hai vµ thø ba trong lý thuyÕt nhãm, trong lý thuyÕt nhãm mê ta còng cã c¸c kÕt qu¶ sau ®©y: MÖnh ®Ò 1.19. Cho µ ∈ N F(G) vµ ν ∈ F(G) sao cho µ(e) = ν(e). Khi ®ã ν/(µ ∩ ν) ' (µ ◦ ν)µ. Chøng minh. Theo MÖnh ®Ò 1.10, µ∗ G. Theo §Þnh lý ®¼ng cÊu thø hai f cña lý thuyÕt nhãm ta cã ν ∗ /(µ∗ ∩ ν ∗ ) ∼ = (µ∗ ν ∗ )/µ∗ , mµ µ∗ ∩ ν ∗ = (µ ∩ ν)∗ vµ f µ∗ ν ∗ = (µ ◦ ν)∗ . Do ®ã ν ∗ /(µ ∩ ν)∗ ∼ = (µ ◦ ν)µ∗ , trong ®ã f (x(µ∗ ∩ ν ∗ )) = xµ∗ , ∀x ∈ ν ∗ . Ngoµi ra, ∀y ∈ ν ∗ , 14
f (ν/(µ ∩ ν))(yµ∗ ) = ∨{ν/(µ ∩ ν)(x(µ∗ ∩ ν ∗ ))|x(µ∗ ∩ ν ∗ ) ∈ ν ∗ /(µ∗ ∩ ν ∗ ), f (x(µ∗ ∩ ν ∗ )) = yµ∗ }. ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ V× f lµ mét song ¸nh nªn tån t¹i duy nhÊt x(µ ∩ ν ) ∈ ν /(µ ∩ ν ) sao ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ cho f (x(µ ∩ ν )) = yµ . Do ®ã x(µ ∩ ν ) = y(µ ∩ ν ). Suy ra f (ν/(µ ∩ ν))(yµ∗ ) = ν/(µ ∩ ν)(y(µ∗ ∩ ν ∗ )) = ∨{ν(z)|z ∈ y(µ∗ ∩ ν ∗ )} ≤ ∨{(µ ◦ ν)(z)|z ∈ y(µ∗ ∩ ν ∗ )} (do µ(e) = ν(e) nªn ν(z) = ν(e) ∧ ν(z) = µ(e) ∧ ν(z) ≤ (µ ◦ ν)(z)) ≤ ∨{(µ ◦ ν)(z)|z ∈ yµ∗ } = ((µ ◦ ν)/µ)(yµ∗ ). f Do ®ã, f (ν/(µ ∩ ν)) ⊆ (µ ◦ ν)/µ. VËy ν/(µ ∩ ν) ' (µ ◦ ν)µ. MÖnh ®Ò 1.20. Cho µ, ν, ξ ∈ F(G) sao cho µ vµ ν lµ c¸c nhãm con mê chuÈn t¾c cña ξ vµ µ ⊆ ν . Khi ®ã (ξ/µ)/(ν/µ) ∼ = ξ/ν . Chøng minh. Theo MÖnh ®Ò 1.17, µ∗ ξ ∗ vµ ν ∗ ξ ∗, kÕt hîp gi¶ thiÕt µ⊆ν ta cã µ ν ∗ ∗ . Theo §Þnh lý ®¼ng cÊu thø ba cña lý thuyÕt nhãm ta cã f (ξ ∗ /µ∗ )/(ν ∗ /µ∗ ) ∼ = ξ ∗ /ν ∗ , trong ®ã f (xµ∗ .(ν ∗ /µ∗ )) = xν ∗ , ∀x ∈ ξ ∗ . Ngoµi ra, ∀x ∈ ξ ∗ , f ((ξ/µ)/(ν/µ))(xν ∗ ) = ∨{(ξ/µ)/(ν/µ)(yµ∗ .(ν ∗ /µ∗ ))|f (yµ∗ .(ν ∗ /µ∗ )) = xν ∗ }. ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ V× f lµ mét song ¸nh nªn tån t¹i duy nhÊt yµ .(ν /µ ) ∈ (ξ /µ )/(ν /µ ) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ®Ó f (yµ .(ν /µ )) = xν . Do ®ã yµ .(ν /µ ) = xµ .(ν /µ ). Suy ra ∗ ∗ ∗ ∗ f ((ξ/µ)/(ν/µ))(xν ) = (ξ/µ)/(ν/µ)(xµ .(ν /µ )) = ∨{(ξ/µ)(yµ∗ )|yµ∗ ∈ xµ∗ .(ν ∗ /µ∗ ), y ∈ ξ ∗ } = ∨{∨{ξ(z)|z ∈ yµ∗ }|yµ∗ ∈ xµ∗ .(ν ∗ /µ∗ ), y ∈ ξ ∗ } = ∨{ξ(z)|z ∈ ξ ∗ , z ∈ xµ∗ .(ν ∗ /µ∗ )} = ∨{ξ(z)|z ∈ ξ ∗ , f (z) ∈ f (xµ∗ .(ν ∗ /µ∗ )) = xν ∗ } = (ξ/ν)(xν ∗ ), ∀x ∈ ξ ∗ . f Do ®ã, f ((ξ/µ)/(ν/µ)) = ξ/ν . VËy (ξ/µ)/(ν/µ) ∼ = ξ/ν . 1.5 CÊp mê cña nhãm con mê §Þnh nghÜa 1.17. µ ∈ F(G) vµ x ∈ G. NÕu tån t¹i sè nguyªn d¬ng n Cho n sao cho µ(x ) = µ(e)(∗) th× sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt tháa m·n (∗) ®îc gäi lµ cÊp mê cña x ®èi víi µ, kÝ hiÖu lµ F Oµ (x). NÕu kh«ng tån t¹i sè nguyªn d¬ng n nµo tháa m·n (∗) th× ta nãi x cã cÊp mê v« h¹n ®èi víi µ. CÊp mê cña mét phÇn tö ®èi víi mét nhãm con mê cã nh÷ng tÝnh chÊt t¬ng tù cÊp cña mét phÇn tö cña nhãm. Ta cã mét sè kÕt qu¶ sau ®©y: MÖnh ®Ò 1.21. Cho µ ∈ F(G), x ∈ G vµ F Oµ (x) = n. Khi ®ã: 1) NÕu m lµ mét sè nguyªn d¬ng sao cho µ(xm ) = µ(e) th× n|m. 15
n 2) Víi mäi sè nguyªn d¬ng m ta ®Òu cã F Oµ (xm ) = . (n, m) 3) NÕu x, y ∈ G sao cho xy = yx vµ (F Oµ (x), F Oµ (y)) = 1 th× F Oµ (xy) = F Oµ (x).F Oµ (y). Chøng minh. 1) Chiam cho n ta ®îc m = nq + r, víi 0 ≤ r < n. Khi ®ã µ(xr ) = µ(xm−nq ) = µ(xm x−nq ) ≥ µ(xm ) ∧ µ((xn )−q ) ≥ µ(xm ) ∧ µ(xn ) = µ(e) ∧ µ(e) = µ(e). r n Suy ra µ(x ) = µ(e). Mµ n lµ sè nguyªn d¬ng bÐ nhÊt tháa µ(x ) = µ(e) nªn r = 0 hay n|m. 2) §Æt F Oµ (xm ) = k vµ d = (m, n). Khi ®ã m = du, n = dv, (u, v) = 1 vµ n µ(xm. d ) = µ(xnu ) ≥ µ(xn ) = µ(e). n Theo 1) ta cã k| . MÆt kh¸c v× d = (m, n) nªn ∃i, j ∈ Z sao cho ni + mj = d. d Khi ®ã µ(xkd ) = µ(xk(ni+mj) = µ(xkni .xkmj ) ≥ µ(xn )∧µ(xk ) = µ(e)∧µ(e) = µ(e). kd n n Suy ra µ(x ) = µ(e). Theo 1), n|kd hay |k . VËy k = . d d 3) §Æt F Oµ (xy) = k, F Oµ (y) = l. Khi ®ã µ((xy)nl ) = µ(xnl .y nl ) ≥ µ(xnl ) ∧ µ(y nl ) ≥ µ(xn ) ∧ µ(y l ) = µ(e). Suy ra k|nl . 0 n l k k §Æt u = x , v = y . Ta cã n = F Oµ (u) = , l0 = F Oµ (v) = vµ (n, k) (l, k) (n0 , l0 ) = 1 (v× (n, l) = 1). MÆt kh¸c, 0 0 0 µ(e) = µ((xy)k ) = µ(xk y k ) = µ(uv) ≤ µ((uv)l ) = µ(ul v l ) 0 0 ⇒ µ(ul v l ) = µ(e) 0 0 0 0 0 0 0 µ(ul ) = µ(ul v l v −l ) ≥ µ(ul v l ) ∧ µ(v −l ) = µ(e) ∧ µ(e) = µ(e) 0 ⇒ µ(ul ) = µ(e) ⇒ n0 |l0 ⇒ n0 = 1 ⇒ µ(xk ) = µ(e). k T¬ng tù, µ(y ) = µ(e). Do ®ã, n|k vµ l|k nªn nl|k . VËy k = nl (v× (n, l) = 1). NhËn xÐt 1.5. x ∈ G, kÝ hiÖu o(x) lµ cÊp cña phÇn tö x trong nhãm G. Víi NÕu o(x) lµ h÷u h¹n th× F Oµ (x) lµ h÷u h¹n ®èi víi mäi nhãm con mê µ cña G vµ F Oµ (x)|o(x) (theo MÖnh ®Ò 1.21, 1)). NÕu o(x) lµ v« h¹n th× víi mçi sè nguyªn d¬ng n, tån t¹i mét nhãm con mê µn cña G sao cho F Oµn (x) = n. ThËt vËy, xÐt tËp con mê µn cña G nh sau: ∀y ∈ G, n t0 nÕu y ∈ hx i µn (y) = t1 / hxn i nÕu y ∈ trong ®ã 0 ≤ t1 < t0 ≤ 1. Râ rµng µn ∈ F(G) vµ F Oµn (x) = n. 16
1.6 TÝch trùc tiÕp ®Çy ®ñ vµ yÕu C¸c kh¸i niÖm vµ c¸c kÕt qu¶ trong môc nµy ®îc trÝch dÉn tõ [3]. §Ó ®Þnh nghÜa tÝch trùc tiÕp ®Çy ®ñ cña c¸c nhãm con mê, tríc hÕt chóng t«i tr×nh bµy l¹i kh¸i niÖm tÝch trùc tiÕp ®Çy ®ñ cña c¸c nhãm. Cho {Gi |i ∈ I} lµ mét hä c¸c Q nhãm víi ei lµ phÇn tö ®¬n vÞ cña Gi , i ∈ I . PhÐp nh©n trªn tËp tÝch G = i∈I Gi ®îc ®Þnh nghÜa: (xi )i∈I (yi )i∈I = (xi yi )i∈I , ∀(xi )i∈I , (yi )i∈I ∈ G. Khi ®ã G cïng víi phÐp nh©n ë trªn cã cÊu tróc nhãm víi ®¬n vÞ (ei )i∈I . Nhãm nµy ®îc gäi lµ tÝch trùc tiÕp ®Çy ®ñ cña c¸c Gi , i ∈ I , kÝ hiÖu lµ ∼ Q i∈I Gi . §Æc biÖt, khi I = {1, 2, . . . , n}, n ≥ 1, th× tËp tÝch lµ G1 × G2 × . . . × Gn = {(x1 , x2 , . . . , xn )|xi ∈ Gi , i ∈ I} ∼ ∼ ∼ vµ kÝ hiÖu bëi G1 ⊗ G2 ⊗ . . . ⊗ Gn . DÔ dµng ta cã ®îc mÖnh ®Ò sau: MÖnh ®Ò 1.22. Cho {Gi |i ∈ I} lµ mét hä c¸c nhãm víi ei lµ phÇn tö ®¬n vÞ ∼ ∼ cña Gi , i ∈ I . NÕu G = i∈I Gi vµ µi ∈ F(Gi ), ∀i ∈ I th× ∈ F(G), Q Q i∈I µi ∼ trong ®ã ∀(xi )i∈I , ( = ∧i∈I µi (xi ). Q i∈I µi )((xi )i∈I ) ∼ G ®îc gäi lµ tÝch trùc tiÕp ®Çy Q §Þnh nghÜa 1.18. Nhãm con mê i∈I µi cña ®ñ cña c¸c µi , i ∈ I . Chøng minh cña mÖnh ®Ò sau lµ ®¬n gi¶n: ∼ Cho µi ∈ N F(Gi ), i ∈ I . Khi ®ã µ = ∈ N F(G). Q MÖnh ®Ò 1.23. i∈I µi Trong phÇn tiÕp theo, chóng t«i tr×nh bµy kh¸i niÖm tÝch trùc tiÕp yÕu cña c¸c nhãm con mê. Cho G lµ nhãm víi ®¬n vÞ e, xi ∈ G, víi i Q ∈ I vµ |I| > 1. Gi¶ sö cã nhiÒu nhÊt lµ h÷u h¹n xi kh¸c e. Ta ®Þnh nghÜa i∈I xi nh sau: Y e nÕu xi = e, ∀i ∈ I xi := Q i∈I,xi 6=e xi nÕu xi 6= e víi i ∈ I nµo ®ã. i∈I Q Lu ý r»ng nÕu cã v« h¹n Q xi kh¸c e i∈I xi lµ kh«ng x¸c ®Þnh. §Ó thuËn th× tiÖn, ta gi¶ sö r»ng Q i∈i xi lµ Qlu«n x¸c ®Þnh. Trong môc nµy ta lu«n gi¶ sö |I| > 1 vµ viÕt xi thay v× i∈I xi . B©y giê, gi¶ sö Gi lµ mét nöa nhãm cña G, ∀i ∈ I . Gi¶ sö xi ∈ Gi vµ xj ∈ Gj , víi i, j ∈ I, i 6= j =⇒ xi xj = xj xi . Khi ®ã Q Q Q x= xi vµ y= yi , víi xi , yi ∈ G, ∀i ∈ I =⇒ xy = xi yj . 17
tÝch Q Víi tËp con Ai , i ∈ I , cña G, tËp { xi |xi ∈ Ai , i ∈ I} ®îc gäi lµ ∗ yÕu Q cña c¸c Ai vµ viÕt lµ i∈I Ai . Q ∗ NÕu e ∈ Ai , ∀i ∈ I, th× Aj ⊆ i∈I Ai , ∀j ∈ I . Víi c¸c nhãm con Gi cña G, i ∈ I , nhãm G ®îc gäi lµ tÝch trùc tiÕp yÕu • Q cña c¸c Gi vµ viÕt lµ G = i∈I Gi nÕu c¸c ®iÒu kiÖn sau ®îc tháa m·n: Q∗ 1) G = i∈I Gi , 2) xQi ∈ Gi Q vµ xj ∈ Gj , víi i, j ∈ I, i 6= j =⇒ xi xj = xj xi , 3) xi = yi , trong ®ã xi , yi ∈ Gi =⇒ xi = yi , ∀i ∈ I . Cã thÓ chøng tá ®iÒu kiÖn 2) trong ®Þnh nghÜa trªn t¬ng ®¬ng víi: 20 ) Mäi Gi ®Òu lµ nhãm con chuÈn t¾c cña G. vµ ®iÒu kiÖn 3) t¬ng ®¬ng víi mét trong hai ®iÒu kiÖn sau: 30 ) e = xi , víi xi ∈ Gi =⇒ xi = e, ∀i ∈ I . Q ∗ 00 Q 3 ) Gj ∩ i∈I\{j} Gi = {e}, ∀j ∈ I . Trong lý thuyÕt nhãm, nÕu I lµ h÷u h¹n th× tÝch trùc tiÕp ®Çy ®ñ vµ Q• tÝch trùc tiÕp yÕu lµ trïng nhau. NÕu G = i∈I Gi lµ tÝch trùc tiÕp yÕu vµ ∼ ∼ ∼ I = {1, 2, . . . , n} th× ta kÝ hiÖu G1 ⊗ G2 ⊗ . . . ⊗ Gn hoÆc G1 ⊗ G2 ⊗ . . . ⊗ Gn ®Ó chØ tÝch trùc tiÕp yÕu cña c¸c Gi vµ gäi lµ tÝch trùc tiÕp cña c¸c Gi . TiÕp theo chóng t«i ®Þnh nghÜa tÝch yÕu cña c¸c nhãm con mê. §Þnh nghÜa 1.19. Víi mäi i ∈ I, gi¶ sö µi ∈ FP(G). Ta ®Þnh nghÜa tËp con mê µ cña G nh sau: Q µ(x) = ∨{∧i∈I µi (xi )|xi ∈ G, i ∈ I, xi = x}, ∀x ∈ G. ∗ tÝch yÕu Q Khi ®ã µ ®îc gäi lµ cña c¸c µi vµ kÝ hiÖu lµ µ = i∈I µi . NhËn xÐt 1.6. I = {1, 2, . . . , n}, víi n ∈ N \ {1}. NÕu µi (e) ≥ µj (x) Gi¶ sö vµ µi ⊆ µ, ∀i, j ∈ I, ∀x ∈ G th× Q∗ i∈I µi ⊆ µ1 ◦ µ2 ◦ . . . ◦ µn . Tuy nhiªn, nÕu c¸c µi tháa m·n thªm ®iÒu kiÖn xi ∈ µ∗i vµ xj ∈ µ∗j , i, j ∈ I, i 6= j =⇒ xi xj = xj xi ∗ Q th× i∈I µi = µ1 ◦ µ2 ◦ . . . ◦ µn . Do ®ã, tÝch cña h÷u h¹n nhãm con mê cña mét nhãm giao ho¸n cã thÓ xem nh lµ mét trêng hîp ®Æc biÖt cña tÝch yÕu. ∗ Víi mäi i ∈ I , gi¶ sö µi ∈ F(G) vµ µ = i∈I µi . Khi Q MÖnh ®Ò 1.24 ([13]). ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ ®óng: ∗ i∈I (µi )∗ . Q 1) µ∗ ⊇ ∗ 2) NÕu ∨{(∪i∈I µi (G)) \ {µ(e)}} < µ(e) th× µ∗ = i∈I (µi )∗ . Q ∗ 3) µ∗ = i∈I (µi )∗ . Q 18
Chøng minh. ∗ Q Q 1) Víi mäi x ∈ i∈I (µi )∗ , x= xi , víi xi ∈ (µi )∗ (tøc lµ µi (xi ) = µi (e)). Ta cã Q∗ Q∗ Q µ(x) = ( i∈I µi )(x) = ( i∈I µi )( Q xi ) = ∨{∧i∈I µi (xi )|xi ∈ G, i ∈Q I, xi = x} = ∨{∧i∈I µi (e)|xi ∈ G, i ∈ I, xi = x} = µ(e) Q∗ Do ®ã x ∈ µ∗ . VËy µ∗ ⊇ i∈I (µi )∗ . Q ∗ 2) Do kÕt qu¶ ë 1), ta chØ cÇn chøng tá µ∗ ⊆ i∈I (µi )∗ . ThËt vËy, Q∗ Q∗ ∀x ∈ µ∗ , µ(x) = µ(e) ⇐⇒ ( i∈IQ µi )(x) = ( i∈I µi )(e) ⇐⇒ ∨{∧i∈I µi (xi )|xQ i ∈ G, i ∈ I, xi = x} = {∨{∧i∈I µi (yi )|yi ∈ G, i ∈ I, yi = e}} Q ⇐⇒ ∨{∧i∈I µi (xi )|xi ∈ G, i ∈ I, xi = x} = µ(e). Theo gi¶ thiÕt, ∨((∪i∈I µi (G)) \ {µ(e)}) < µ(e) nªn µi (xi ) = µ(e), ∀i ∈ I . Suy ra µi (e) = µ(e). Do ®ã µi (xi ) = µi (e). Q ∗ Q VËy x = xi , µi (xi ) = µi (e), ∀i ∈ I , hay x ∈ i∈I (µi )∗ . ∗ 3) x ∈ µ∗ ⇐⇒ µ(x) > 0 ⇐⇒ i∈I µi )(x) > Q Q0 ⇐⇒ ∨{∧i∈I Q µi (xi )|xi ∈ G, i ∈ I, xi = x} > 0 ⇐⇒ x = Q xi , µi (xi ) > 0, ∀i ∈ I ⇐⇒ x = xi , x ∈ µ∗i , i ∈ I ∗ ⇐⇒ x ∈ i∈I (µi )∗ . Q ∗ ∗ ∗ Q VËy µ = i∈I (µi ) . MÖnh ®Ò 1.25 ([13]). Cho µi ∈ F(G), ∀i ∈ I , sao cho µi (e) = µj (e), ∀i, j ∈ I . ∗ §Æt µ = i∈I µi . Gi¶ sö H vµ Hi , i ∈ I , lµ c¸c nhãm con cña G sao cho Q • µ∗i ⊆ Hi , ∀i ∈ I , vµ H lµ tÝch trùc tiÕp yÕu cña c¸c Hi , H = i∈I Hi . Khi ®ã Q c¸c mÖnh ®Ò sau lµ ®óng: 1) µ ∈ F(G). 2) Mçi µi lµ mét nhãm con mê chuÈn t¾c cña nhãm con mê µ. ∗ 3) µj ∩ ( i∈I\{j} µi ) = µ(e){e} , ∀j ∈ I . Q 4) NÕu µi |H ∈ N F(H), ∀i ∈ I , th× µ|H ∈ N F(H). Chøng minh. 1) Víi mäi x, y ∈ G, xÐt c¸c trêng hîp sau: Q• x ∈ + NÕu / H hoÆc yQ∈ / H : NÕu x ∈ / H th× x ∈ / i∈I Hi . Do ®ã ∗ ∗ @xi ∈ Hi , i ∈ I sao cho x = xi . V× µi ⊆ Hi , ∀i ∈ I , @xi ∈ µi , i ∈ I sao cho ∗ / i∈I (µi )∗ = µ∗ . Suy ra µ(x) = 0. T¬ng tù, nÕu Q Q x = xi , i ∈ I . Do ®ã x ∈ y∈/ H th× µ(y) = 0. VËy µ(xy) ≥ 0 = µ(x) ∧ µ(y). 19