ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------
PHÙNG VĂN THÀNH
VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ĐỒNG BỘ HÓA CỦA HỆ NƠ RON PHÂN THỨ HOPFIELD
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------
PHÙNG VĂN THÀNH
VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ĐỒNG BỘ HÓA CỦA HỆ NƠ RON PHÂN THỨ HOPFIELD
Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Mai Viết Thuận
THÁI NGUYÊN - 2019
Mục lục
1 Một số kiến thức chuẩn bị 6
1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Các định lý tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi
phân phân thứ Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân
thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Tính ổn định và đồng bộ hóa của hệ nơ ron Hopfield phân thứ 17
2.1. Tính ổn định của hệ nơ ron Hopfield phân thứ . . . . . . . . . . 17
1
2.2. Tính đồng bộ hóa của hệ nơ ron Hopfield phân thứ . . . . . . . 27
LỜI NÓI ĐẦU
Mô hình mạng nơ ron Hopfield mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo
hàm bậc nguyên được nghiên cứu đầu tiên bởi Chua và Yang vào năm 1988
(xem [5]). Mô hình này đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà
khoa học trong những năm gần đây do những ứng dụng rộng lớn của nó trong
xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa và các lĩnh vực khác [3, 6, 14]. Năm
2008, trong một nghiên cứu của mình, Boroomand và Menhaj [3] lần đầu tiên
mô hình hóa mạng nơ ron Hopfield bởi hệ phương trình vi phân phân thứ
(Caputo hoặc Riemann–Liouville). So với mạng nơ ron Hopfield mô tả bởi hệ
phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron Hopfield mô tả
bởi hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville) có
thể mô tả các đặc tính và tính chất của mạng nơ ron một cách chính xác hơn
[3, 14]. Như chúng ta đã biết, tính ổn định là một trong những tính chất cơ bản
và quan trọng của mọi hệ động lực và mạng nơ ron phân phân thứ Hopfield
cũng không là ngoại lệ. Do đó bài toán nghiên cứu tính ổn định của hệ nơ ron
Hopfield phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa
học và nhiều kết quả thú vị và sâu sắc đã được công bố trên các tạp chí quốc
tế có uy tín trong những năm gần đây (xem [15, 17, 18, 20, 21, 22]).
Như chúng ta đã biết phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp
hiệu quả để nghiên cứu tính ổn định của hệ nơ ron Hopfield với bậc nguyên.
Năm 2010, Li [12] cùng các cộng sự đưa ra phương pháp hàm Lyapunov hay
còn gọi là phương pháp trực tiếp Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của
hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến. Tuy nhiên khó khăn trong việc
áp dụng phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ
2
là xây dựng hàm Lyapunov thích hợp và tính đạo hàm phân thứ của hàm
3
Lyapunov này. Năm 2015, Duarte-Mermoud [8] cùng các cộng sự đưa ra một
công thức để ước lượng đạo hàm phân thứ cấp α ∈ (0, 1) của hàm Lyapunov dạng V (x(t)) = xT (t)P x(t), x(t) ∈ Rn, trong đó P ∈ Rn×n là một ma trận đối
xứng, xác định dương. Dựa trên kết quả này và bất đẳng thức ma trận tuyến
tính, các tác giả trong [22] nghiên cứu tính ổn định của hệ nơ ron Hopfield
phân thứ. Gần đây, bằng cách tiếp cận sử dụng bổ đề S và bất đẳng thức ma
trận tuyến tính, các tác giả trong [18] đưa ra một vài tiêu chuẩn cho tính ổn
định của một lớp hệ nơ ron Hopfield phân thứ với hàm kích hoạt mở rộng.
Tuy nhiên, hàm Lyapunov được chọn để nghiên cứu tính ổn định của hệ nơ
ron Hopfield phân thứ trong các công trình [18, 22] còn đơn giản. Gần đây,
Wang cùng các cộng sự [16] đã đưa ra cách chọn hàm Lyapunov hữu hiệu hơn
để nghiên cứu tính ổn định của hệ nơ ron Hopfield phân thứ. Ngoài ra, tác giả
còn đưa ra một số tiêu chuẩn cho tính đồng bộ hóa của mạng nơ ron phân thứ.
Luận văn tập trung trình bày tính ổn định và đồng bộ hóa cho hệ nơ ron
Hopfield phân thứ trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợp các kết quả trong bài báo
[16] của Wang cùng các cộng sự được công bố năm 2019. Luận văn gồm có 2
chương gồm những nội dung sau đây:
Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân
thứ như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo
hàm phân thứ Caputo. Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lí tồn tại và
duy nhất nghiệm. Cuối chương, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ. Nội
dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [8, 10, 11].
Trong Chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ
cho tính ổn định của hệ nơ ron Hopfield phân thứ bằng cách xây dựng hàm
Lyapunov lồi và cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính.
Ngoài ra, bài toán đồng bộ hóa cho mạng nơ ron phân thứ cũng được chúng
tôi trình bày trong chương này. Nội dung của chương này được chúng tôi tham
khảo trong tài liệu [16]. Ngoài ra, trong chương này, chúng tôi đưa ra 03 ví
dụ số minh họa cho các kết quả lý thuyết trong chương này. Đây có thể coi là
đóng góp mới của luận văn.
Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
4
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Mai Viết Thuận. Tôi xin
được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học
của mình. Người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn,
tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – tin cùng các giảng viên đã tham
gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu.
Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu,cảm ơn những người
bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiên
cứu. Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa
học - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực
hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau. Xin
chân thành cảm ơn.
Danh mục ký hiệu
Rn không gian vec tơ thực Euclide n chiều
A(cid:62) ma trận chuyển vị của ma trận A
I ma trận đơn vị
λ(A) tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A
λmax(A)
(cid:107)A(cid:107)
A ≥ 0 = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} chuẩn phổ của ma trận A, (cid:107)A(cid:107) = (cid:112)λmax(A(cid:62)A) ma trận A nửa xác định dương, tức là (cid:104)Ax, x(cid:105) ≥ 0, ∀x ∈ Rn
A ≥ B
A > 0 nghĩa là A − B ≥ 0 ma trận A xác định dương, tức là (cid:104)Ax, x(cid:105) > 0, ∀x ∈ Rn, x (cid:54)= 0
LM Is
(cid:107)x(cid:107)
Rn×r
C([a, b], Rn) bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities) chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1, x2, ..., xn)(cid:62) ∈ Rn không gian các ma trận thực cỡ (n × r) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn
không gian các hàm tuyệt đối liên tục cấp m trên[a, b]
toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α
toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α
toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α
AC m[a, b] t0I α t t0 Dα RL t t0Dα C t Γ(x) hàm Gamma
hàm Mittag-Leffler hai tham số Eα,β
(cid:100)α(cid:101) số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α l1 0 0
5
L = diag{l1, l2, l3} L = 0 l2 0 0 0 l3
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính
ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường. Chúng tôi
cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được sử dụng trong chứng minh các
kết quả chính của luận văn cho các chương sau. Kiến thức sử dụng ở chương
1.1. Giải tích phân thứ
này được tham khảo ở [7, 8, 10, 11].
1.1.1. Tích phân phân thứ
Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân
thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm
tích phân lặp thông thường.
Định nghĩa 1.1. ([11]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann- Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
t0I α
t x(t) :=
t0
+∞ (cid:82)
(cid:90) t (t − s)α−1x(s)ds, t ∈ (a, b], 1 Γ(α)
0
trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) = tα−1e−t dt, α > 0.
:= I với I là toán Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước t0I α t
tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với
0 < α < 1 được cho bởi định lý sau:
6
Định lý 1.1. ([11]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi
7
t x cũng là
t x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa, t0I α
đó, tích phân t0I α một hàm khả tích.
Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản.
Ví dụ 1.1. ([11])
(i) Cho x(t) = (t − a)β, ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có
t0I α
t x(t) =
(t − a)α+β, t > a. Γ(β + 1) Γ(α + β + 1)
+∞ (cid:88)
(ii) Cho x(t) = eλt, λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có
t0I α
t x(t) = λ−α
j=0
, t > 0. (λt)α+j Γ(α + j + 1)
1.1.2. Đạo hàm phân thứ
Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và
đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực.
Định nghĩa 1.2. ([11]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được
cho bởi
RL
t x(t) :=
t0I n−α t
t0 Dα
t0
(cid:90) t (cid:2) x(t)(cid:3) = (t − s)n−α−1x(s)ds, dn dtn 1 Γ(n − α) dn dtn
dtn là đạo
trong đó n := (cid:100)α(cid:101) là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dn
hàm thông thường cấp n.
Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)
1, nếu t ≥ 0, f (t) =
0, nếu t < 0.
Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville cấp α của hàm f (t) là
0 Dα RL
t f (t) =
. t−α Γ(1 − α)
8
Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.
Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm
tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa
các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau:
a
(cid:90) t f (t) ∈ AC[a, b] ⇔ f (t) = c + ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)),
do đó một hàm tuyệt đối liên tục f (t) có đạo hàm f (cid:48)(t) = ϕ(t) hầu khắp nơi
trên [a, b].
Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm AC n[a, b] như sau:
(cid:19) (cid:18) }. AC n[a, b] = {f : [a, b] −→ R, (Dn−1f )(t) ∈ AC[a, b] D = d dt
Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm AC n[a, b].
Mệnh đề 1.1. ([11]) Không gian AC n[a, b] chứa tất cả các hàm f (t) có dạng
n−1 (cid:88)
như sau:
t ϕ(t) +
k=0
ck(t − t0)k, f (t) = t0I α
trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck(k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và
t0I α
t ϕ(t) =
t0
(cid:90) t (t − s)n−1ϕ(s)ds. 1 (n − 1)!
Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có
(k = 0, 1, . . . , n − 1). ϕ(s) = f (n)(s), ck = f (k)(t0) k!
Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân
thứ Riemann–Liouville.
Định lý 1.2. ([11]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n[a, b], khi đó đạo
t f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu
t0 Dα
hàm phân thứ RL
diễn dưới dạng sau
n−1 (cid:88)
RL
t f (t) =
t0 Dα
t0
k=0
(cid:90) t (t − t0)k−α + f (k)(t0) Γ(1 + k − α) 1 Γ(n − α) f (n)(s)ds (t − s)α−n+1 .
9
Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2.
Hệ quả 1.1. ([11]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
RL
t f (t) =
t0 Dα
t0
(cid:21) (cid:90) t . 1 Γ(1 − α) f (cid:48)(s)ds (t − s)α (cid:20) f (t0) (t − t0)α +
Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là
một toán tử tuyến tính.
Mệnh đề 1.2. ([10]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân
RL
t [λf (t) + µg(t)] = λ RL
t f (t) + µ RL
t g(t)
t0 Dα
t0 Dα
t0 Dα
thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là
trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n[a, b].
RL
t0 Dα
t [λf (t) + µg(t)] (cid:90) t
Chứng minh. Ta có
t0 (cid:90) t
(t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds =
t0
t0
(cid:90) t = (t − s)n−α−1f (s)ds + (t − s)n−α−1g(s)ds µ Γ(n − α) dn dtn
t g(t).
t0 Dα
= λ RL dn dtn dn dtn t f (t) + µ RL 1 Γ(n − α) λ Γ(n − α) t0 Dα
C
t x(t) := t0I n−α
t Dnx(t),
t0Dα
Định nghĩa 1.3. ([10]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
dxn là
trong đó n := (cid:100)α(cid:101) là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn = dn
đạo hàm thông thường cấp n.
Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xd(t))T đạo hàm phân thứ
C
Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:
t x(t) := (cid:0)C
t x1(t), C
t x2(t), . . . , C
t xd(t)(cid:1)T
t0Dα
t0Dα
t0Dα
t0Dα
.
Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân
thứ cấp α.
10
t f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có
t0Dα t x(t) biểu diễn dưới dạng sau:
Định lý 1.3. ([11]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n[a, b], khi đó đạo
hàm phân thứ Caputo C (i) Nếu α (cid:54)∈ N thì C t0Dα
C
t f (t) =
t0Dα
(cid:90) t
t0
1 Γ(n − α) f (n)(s)ds (t − s)α−n+1 .
Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có:
C
t f (t) =
t0Dα
(cid:90) t
t0
1 Γ(1 − α) f (cid:48)(s)ds (t − s)α .
t f (t) biểu diễn dưới dạng sau:
t0Dn
C
t f (t) = f (n)(t).
t0Dn
(ii) Nếu α = n ∈ N thì C
C
t f (t) = f (t).
t0D0
Đặc biệt,
Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử
tuyến tính.
Mệnh đề 1.3. ([10]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân
C
t [λf (t) + µg(t)] = λ C
t f (t) + µ C
t g(t),
t0Dα
t0Dα
t0Dα
thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là
trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n[a, b].
Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2.
t ξ = 0.
Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo.
Mệnh đề 1.4. ([10]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì t0Dα C
Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là
nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ.
C
t f (t)) = f (t).
t ( t0I α
t0Dα
Định lý 1.4. ([11]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có
11
Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch
đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lý dưới đây
n−1 (cid:88)
Định lý 1.5. ([11]) Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n[a, b] thì
t0I α t
t f (t)(cid:1) = f (t) −
k=0
(t − t0)k. (cid:0)C t0Dα f (k)(t0) k!
t0I α t
t f (t)(cid:1) = f (t) − f (t0).
Đặc biệt, nếu 0 < α ≤ 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
(cid:0)C t0Dα
Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville và Caputo có quan hệ sau
Định lý 1.6. [11] Cho α > 0 và đặt n = (cid:100)α(cid:101) . Với bất kì x ∈ AC n[a, b], chúng
n−1 (cid:88)
C
ta có: (cid:33) (cid:32)
t x(t) =RL
t
t0Dα
t0 Dα
j=0
, x(t) − x(j)(t0) (t − t0)j j!
1.2. Các định lý tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương
trình vi phân phân thứ Caputo
với hầu hết t ∈ [a, b].
Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và
luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Bây giờ cho trước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn) là không gian các hàm liên tục nhận giá trị véc tơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn (cid:107).(cid:107)∞ được định nghĩa như sau
(cid:107)x(t)(cid:107), (cid:107)x(cid:107)∞ := max t∈[0,T ]
(trong đó (cid:107).(cid:107) là chuẩn Euclide trong không gian Rn).
Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm
địa phương và toàn cục của hệ phương trình vi phân phân thứ.
Xét Hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo
0 Dα C
t x(t) = f (t, x(t)),
(1.1) t ≥ 0,
12
với điều kiện ban đầu
(1.2) x(0) = x0 ∈ Rn,
trong đó f : [0, T ] × Rn −→ Rn là một hàm liên tục trên [0, T ] × Rn.
Bài toán (1.1) với điều kiện đầu (1.2) được gọi là có nghiệm trên đoạn [0, T ] nếu chúng ta tìm được một hàm thuộc lớp C([0, T ], Rn) thỏa mãn (1.1) và
(1.2).
Mệnh đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn về sự tương đương giữa nghiệm của
hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân.
Mệnh đề 1.5. [7] Xét bài toán (1.1). Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn tùy ý, một hàm ϕ(., x0) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn
[0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân
0
(cid:90) t (1.3) (t − s)α−1f (s, ϕ(s, x0)) ds, t ∈ [0, T ]. ϕ(t, x0) = x0 + 1 Γ(α)
Nhận xét 1.1. [2] Cho t là một thời điểm nào đó ở tương lai và t0 là thời
điểm hiện tại t > t0. Từ công thức (1.3), chúng ta thấy rằng để biết được
ϕ(t, x0) không chỉ cần biết giá trị của nghiệm trong khoảng [t0, t) (từ hiện tại
tới tương lai) mà còn cần phải biết thêm giá trị của nó tại hầu hết các thời
điểm trên đoạn [0, t0] (toàn bộ quá khứ). Đây chính là điểm khác biệt cơ bản
giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ.
Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của Hệ phương
trình vi phân phân thứ Caputo được được đảm bảo bởi các định lý sau đây:
Định lý 1.7. ([7] Định lý tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn và K > 0 tùy ý. Đặt
G = {(t, x) ∈ R+ × Rn : t ∈ [0, T ], (cid:107)x − x0(cid:107) ≤ K}
và giả sử f (t, x) là một hàm liên tục trên G theo biến thứ nhất và thỏa mãn
điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại một hằng số L > 0 sao cho:
(cid:107)f (t, x) − f (t, y)(cid:107) ≤ L(cid:107)x − y(cid:107), ∀(t, x), (t, y) ∈ G.
13
(cid:107)f (t, x)(cid:107) và Đặt M = sup (t,x)∈G
T, nếu M = 0, T ∗ =
min{T, (KΓ(1 + α)/M )1/α}, trong trường hợp còn lại.
Khi đó, tồn tại duy nhất hàm x ∈ C([0, T ∗], Rn) là nghiệm của Bài toán (1.1)
với điều kiện ban đầu thỏa mãn (1.2).
Định lý 1.8. ([2] Định lý tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét Bài toán (1.1), (1.2). Giả sử f : R+ × Rn −→ Rn thỏa mãn
(cid:107)f (t, x) − f (t, y)(cid:107) ≤ L(t)(cid:107)x − y(cid:107),
1.3. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi
phân phân thứ
ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục. Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý x0 ∈ Rn, Bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞).
Trước hết, chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler.
+∞ (cid:88)
Định nghĩa 1.4. [10] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi
k=0
, Eα(z) = zk Γ(αk + 1)
được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.
+∞ (cid:88)
+∞ (cid:88)
Nhận xét 1.2. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có
k=0
k=0
= = ez. E1(z) = zk Γ(k + 1) zk k!
Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ.
+∞ (cid:88)
Định nghĩa 1.5. [10] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi
k=0
, Eα,β(z) = zk Γ(αk + β)
14
được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá
+∞ (cid:88)
trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là
k=0
, ∀A ∈ Rn×n. Eα,β(A) = Ak Γ(αk + β)
Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được
trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của Kilbas A.A [11].
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định của hệ
phương trình tuyến tính phân thứ Caputo và hệ phương trình vi phân có nhiễu
phi tuyến Caputo. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo
t x(t) = f (t, x(t)),
t0Dα C x(t0) = x0 ∈ Rn,
t ≥ t0, (1.4)
trong đó α ∈ (0, 1), x = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ Rn là véc tơ trạng thái, t0 ≥ 0 là thời điểm ban đầu và f : [0, +∞) × Rn −→ Rn là một hàm liên tục theo t và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x.
Định nghĩa 1.6. ([22]) Véc tơ hằng số x được gọi là điểm cân bằng của Hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) nếu và chỉ nếu f (t, x) = 0.
Bằng cách sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ Caputo, mọi
điểm cân bằng của Hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có thể
chuyển về gốc tọa độ 0. Thật vậy, giả sử x (cid:54)= 0 là một điểm cân bằng của hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4). Đặt y(t) = x(t) − x. Khi đó hệ
C
(1.4) trở thành
t (x(t) − x) = f (t, x(t)) = f (t, y(t) + x) = g(t, y(t)),
t y(t) = C
t0Dα
t0Dα
(1.5)
trong đó g(t, 0) = 0 và y = 0 là một điểm cân bằng của hệ mới với biến là y(t).
Do đó để nghiên cứu tính chất định tính của một điểm cân bằng bất kỳ của hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo, ta chỉ cần nghiên cứu tính chất định
tính của điểm gốc 0 của hệ. Không mất tính tổng quát, ta luôn giả thiết hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có điểm cân bằng là 0.
15
Định nghĩa 1.7. ([22]) Giả sử hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4)
có một điểm cân bằng x = 0. Khi đó hệ (1.4) được gọi là ổn định Mittag–Leffler
nếu bất đẳng thức sau đây được thỏa mãn
(cid:107)x(t)(cid:107) ≤ [m(x0)Eα (−λ(t − t0)α)]b ,
ở đó λ > 0, b > 0 và hàm m(x) ≥ 0 (m(0) = 0) thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x ∈ Rn với hằng số Lipschitz m0.
Nhận xét 1.3. ([22]) Nếu Hệ (1.4) ổn định Mittag–Leffler thì hệ ổn định tiệm
cận, tức là (cid:107)x(t)(cid:107) = 0. lim t−→+∞
Như ta đã biết, phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp hiệu quả
để nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến.
Đối với lớp hệ phân thứ Caputo không có trễ, Y. Li, Y. Q. Chen, và I. Podlubny
đã đưa ra phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ
phương trình vi phân phân thứ.
Định lý 1.9. ([12]) Hệ (1.4) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số
dương α1, α2, α3, a, b và một hàm khả vi liên tục V (t, x(t)) thỏa mãn các điều
kiện:
(i)
α1(cid:107)x(t)(cid:107)a ≤ V (t, x(t)) ≤ α2(cid:107)x(t)(cid:107)ab, t V (t, x(t)) ≤ −α3(cid:107)x(t)(cid:107)ab, t0Dα C
(ii) trong đó t ≥ t0 ≥ 0, α ∈ (0, 1) và V (t, x(t)) : [0, +∞) × D −→ R là hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương theo x, D là một tập mở chứa điểm gốc 0 trong Rn. Nếu tất tả các điều kiện trên được thỏa mãn trong Rn thì hệ (1.4)
1.4. Một số bổ đề bổ trợ
là Mittag–Leffler ổn định toàn cục.
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng
minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn.
Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [4]) Cho x, y ∈ Rn và S ∈ Rn×n
là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có đánh giá sau:
±2xT y ≤ xT Sx + yT S−1y.
16
Bổ đề 1.2. (Bổ đề Schur [4]) Cho X, Y, Z là các ma trận có số chiều thích
hợp, X, Y là hai ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó X + Z T Y −1Z < 0
nếu và chỉ nếu X Z T < 0. Z −Y
Bổ đề 1.3. [8] Cho Ω ⊂ Rn. Cho V (.) : Ω −→ R và x(.) : [0, ∞) −→ R là các
hàm khả vi liên tục và V (.) là một hàm lồi trên Ω. Khi đó
C
C
t V (x(t)) ≤
t x(t), ∀α ∈ (0, 1), ∀t ≥ 0.
t0Dα
t0Dα
(cid:19)T
(cid:18)∂V (x(t)) ∂x
Chương 2
Tính ổn định và đồng bộ hóa của
hệ nơ ron Hopfield phân thứ
2.1. Tính ổn định của hệ nơ ron Hopfield phân thứ
Xét hệ nơ ron Hopfield phân thứ dưới đây
t y(t) = Ay(t) + Bg(y(t)) + J(t), t ≥ 0,
C 0 Dα
(2.1)
y(0) = y0 ∈ Rn,
ở đó α ∈ (0, 1), y(t) = (y1(t), y2(t), . . . , yn(t)) ∈ Rn là véc tơ trạng thái của hệ nơ ron Hopfield phân thứ, g(y(t)) = (g1(y1(t)), . . . , gn(yn(t))) là hàm kích
hoạt của mạng nơ ron Hopfield, A = diag{a1, . . . , an}, ai < 0 (i = 1, 2, . . . , n) và B ∈ Rn×n là các ma trận hằng số cho trước. Để nghiên cứu tính ổn định
của hệ (2.1) ta cần giả thiết dưới đây
Giả thiết 1: Các hàm gi(.), gi(0) = 0(i = 1, 2, . . . , n) là hàm liên tục, bị chặn
và thỏa mãn bất đẳng thức dưới đây.
i , ∀y1, y2 ∈ R, y1 (cid:54)= y2,
(2.2) ≤ k+ k− i ≤ gi(y1) − gi(y2) y1 − y2
i , k+
i (i = 1, 2, . . . , n) là các hằng số cho trước.
ở đó k−
Với Giả thiết 1, người ta đã chứng minh được rằng Hệ (2.1) tồn tại và duy
1, . . . , y∗
n) là điểm cân bằng của Hệ (2.1). Sử dụng phép đổi biến x(t) = y(t) − y∗, ta thu được hệ
nhất một điểm cân bằng (nghiệm của Hệ (2.1)). Cho y∗ = (y∗
phân thứ dưới đây
0 Dα C
t x(t) = Ax(t) + Bf (x(t)), t ≥ 0,
17
(2.3)
18
ở đó f (x(t)) = g(x(t) + y∗) − g(y∗). Từ Giả thiết 1, dễ dàng kiểm tra được
hàm kích hoạt f (x) = (f1(x1), . . . , fn(xn)) thỏa mãn
i , i = 1, 2, . . . , n, ∀x1 (cid:54)= x2.
(2.4) ≤ k+ k− i ≤ fi(x2) − fi(x1) x2 − x1
Ngoài ra, nếu x2 = 0, ta có
i , i = 1, 2, . . . , n, ∀x1 (cid:54)= 0.
(2.5) ≤ k+ k− i ≤ fi(x1) x1
Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho tính Mittag-Leffler ổn định của
j = diag{d∗
j2, . . . , d∗
Hệ nơ ron Hopfield phân thứ (2.3).
Định lý 2.1. Giả sử Giả thiết 1 đúng. Hệ (2.3) là Mittag-Leffler ổn định nếu tồn tại các ma trận P1, P2 ∈ Rn×n, các ma trận đường chéo chính Dj = jn} ∈ Rn×n(j = 1, 2, 3, 4), hai j1, d∗ diag{dj1, dj2, . . . , djn}, D∗ ma trận đường chéo chính, xác định dương S1, S2 ∈ Rn×n và một ma trận L ∈ R4n×n sao cho các bất đẳng thức ma trận tuyến tính dưới đây được thỏa
mãn
i > 0, S1 > 0, S2 > 0, Φ < 0,
(2.6) sym{P1 + P2} > 0, Di + D∗
1 P2e4 + eT
4 P2e1
2 BT (cid:1) P1e1 + eT
1 AT + eT
ở đó
2 − eT
1 K −(cid:1) D∗
2e4
1 K −(cid:1) D2 (Ae1 + Be2) + (cid:0)eT 1 K + − eT 3 3 − αeT
Φ = sym{eT + (cid:2)eT
4e4 (cid:0)αK +e1 − e3
1 P1(Ae1 + Be2) + (cid:0)eT (cid:3) D1 (Ae1 + Be2) 1 K + − eT 2 1e4 + (cid:0)eT 2 − eT 2 )D∗ 1 K + − eT (cid:1) D3(Ae1 + Be2) + (cid:0)αeT 1 K −(cid:1) D4 (Ae1 + Be2) + (cid:0)eT 1 K −(cid:1) S1 (cid:1) + (cid:0)eT (cid:0)K +e1 − e2
1 K + − eT 3 3 − αeT 2 − eT
3 − αeT
(cid:1) + (eT + (cid:0)αeT + (cid:0)eT + (cid:0)eT (cid:1) D∗ 3e4 1 K −(cid:1) D∗ 1 K −(cid:1) S2
+ L (Ae1 + Be2 − e4)}, (cid:105) (cid:104) (cid:104) (cid:105) (cid:104) (cid:104) (cid:105) , e1 = , e2 = , e3 = , e4 = I 0 0 0 0 I 0 0 (cid:105) 0 0 I 0 0 0 0 I
n }, K − = diag{k−
n }.
1 , k+
2 , . . . , k+
1 , k−
2 , . . . , k−
K + = diag{k+
3 (cid:88)
Chứng minh. Xét hàm Lyapunov dưới đây
i=1
V (x(t)) = Vi(x(t)),
19
ở đó
V1(x(t)) = xT (t) sym{P1 + P2}x(t),
n (cid:88)
1i)
i s − fi(s)(cid:1) ds
i=1
0 (cid:90) xi(t)
n (cid:88)
(cid:90) xi(t) (cid:0)k+ V2(x(t)) = 2(d1i + d∗
2i)
i s(cid:1) ds
0
i=1
+ (cid:0)fi(s) − k− 2(d2i + d∗
n (cid:88)
3i)
i s − fi(αs)(cid:1) ds
0
i=1
(cid:90) xi(t) (cid:0)αk+ V3(x(t)) = 2(d3i + d∗
n (cid:88)
4i)
i s(cid:1) ds.
0
i=1
(cid:90) xi(t) (cid:0)fi(αs) − αk− 2(d4i = d∗
Vì chứng minh của định lý tương đối kỹ thuật nên để thuận tiện cho việc theo
dõi, ta chia chứng minh định lý ra làm 3 bước.
Bước 1: Ta chứng tỏ rằng hàm V (x(t)) xác định dương.
Rõ ràng hàm V1(x(t)) là xác định dương vì sym{P1 + P2} > 0. Tiếp theo, ta
0
chứng tỏ V2(x(t)) và V3(x(t)) là các hàm không âm. Với mỗi i, ta có (cid:82) xi(t) (cid:0)k+
i , i = 1, 2, . . . , n.
i s − fi(s)(cid:1) ds ≥ 0. Thật vậy, theo Giả thiết 1 ta có fi(xi(t)) xi(t)
≤ k+ (2.7)
Do đó
i xi(t) − fi(xi(t))(cid:3) xi(t) ≥ 0, i = 1, 2, . . . , n.
(cid:2)k+ (2.8)
i s − fi(s)(cid:1) ds ≥ 0.
0
Từ đó suy ra (cid:90) xi(t) (cid:0)k+
i s(cid:1) ds ≥ 0. Từ đó suy ra
0
Hoàn toàn tương tự, ta cũng có (cid:82) xi(t) (cid:0)fi(s) − k−
V2(x(t)) ≥ 0.
Vì
i , i = 1, 2, . . . , n
≤ k+ (2.9) fi(αxi(t)) αxi(t)
nên
i xi(t) − fi(αxi(t))(cid:3) xi(t) ≥ 0, i = 1, 2, . . . , n.
(cid:2)αk+ (2.10)
20
i s − fi(αs)(cid:1) ds ≥ 0. Hoàn toàn tương tự, ta cũng có
0
(cid:0)αk+ i s(cid:1) ds ≥ 0. Suy ra V3(x(t)) ≥ 0. Từ đó suy ra (cid:82) xi(t) (cid:0)fi(αs) − αk− (cid:82) xi(t) 0
Do đó V (x(t)) là hàm xác định dương.
Bước 2: Ta chứng tỏ tồn tại các số dương α1, α2 thỏa mãn
α1(cid:107)x(t)(cid:107)2 ≤ V (x(t)) ≤ α2(cid:107)x(t)(cid:107)2.
Thật vậy, từ cách chọn hàm Lyapunov V (x(t)) ta thấy bất đẳng thức bên trên
được thỏa mãn với α1 = λmin (sym{P1 + P2}) , α2 = λmax (sym{P1 + P2}) +
i |}.
i |, |k−
1≤j≤4,1≤i≤n
ji}. max 1≤i≤n Bước 3: Ta chỉ ra tồn tại một số dương α3 thỏa mãn C
t V (x(t)) ≤ −α3(cid:107)x(t)(cid:107)2.
0 Dα
{|k+ 4 max {dji + d∗
0 Dα C
t x(t)
Sử dụng Bổ đề 1.3, ta thu được đánh giá dưới đây
1
0 Dα t x(t) + 2xT (t) (cid:0)P2 + P T
2
0 Dα
t x(t)
(cid:1) C (cid:1) C
t V1(x(t)) ≤ 2xT (t) sym{P1 + P2} C = 2xT (t) (cid:0)P1 + P T 0 Dα = 2xT (t) (cid:0)P1 + P T
1
(cid:1) (Ax(t) + Bf (x(t)))
0 Dα
2
(cid:1) C
t x(t) (cid:1) (Ae1 + Be2) + eT
1
1
2
(cid:3) ξ(t) = 2ξT (t) (cid:2)eT (cid:0)P2 + P T
1 1 AT + eT
= ξT (t) sym{eT + 2xT (t) (cid:0)P2 + P T (cid:0)P1 + P T 1 P1 (Ae1 + Be2) + (cid:0)eT (cid:1) e4 2 BT (cid:1) P e1
4 P2e1}ξ(t),
1 P e4 + eT
+ eT
(2.11)
t xT (t)(cid:3)T
0 Dα
i s − fi(s)(cid:1) ds
0
.
i s − fi(s)(cid:1) ds.
0
(cid:0)k+
ở đó ξ(t) = (cid:2)xT (t) f T (x(t)) f T (αx(t)) C (cid:0)k+ t V2(x(t)). Trước hết ta chứng tỏ rằng (cid:82) xi(t) 0 Dα Bây giờ ta đi tính C i s(cid:1) ds là các hàm lồi với biến xi(t). Đặt G(u) = (cid:82) u (cid:0)fi(s) − k− và (cid:82) xi(t) 0 Ta có
i u − fi(u).
G(cid:48)(u) = k+ (2.12)
Với bất kỳ u1, u2 ∈ R, u1 > u2, theo Giả thiết 1, ta có
(2.13) (cid:21) G(cid:48)(u1) − G(cid:48)(u2) = k+ i (u1 − u2) − (fi(u1) − fi(u2)) (cid:20) = (u1 − u2) ≥ 0. k+ i − fi(u1) − fi(u2) u1 − u2
0
(cid:0)k+ Suy ra G(cid:48)(u1) ≥ G(cid:48)(u2). Do đó G(cid:48)(u) là hàm không giảm. Suy ra G(u) là hàm i s − fi(s)(cid:1) ds là một hàm lồi đối với biến xi(t). Một lồi. Từ đó suy ra (cid:82) xi(t)
21
0
i s(cid:1) ds là một hàm lồi đối với biến xi(t). Khi đó áp dụng Bổ đề 1.3, ta thu được đánh giá
cách hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng tỏ được (cid:82) xi(t) (cid:0)fi(s) − k−
t V2(x(t))
0 Dα C ≤ 2 (cid:0)xT (t)K + − f T (x(t))(cid:1) [D1 + D∗
t x(t)
dưới đây
0 Dα 1] C t x(t) + 2 (cid:0)f T (x(t)) − xT (t)K −(cid:1) [D2 + D∗ 0 Dα 2] C (cid:1) D1 (Ae1 + Be2) ξ(t)
= 2ξT (t) (cid:0)eT
1e4ξ(t) 1 K −(cid:1) D2 (Ae1 + Be2) ξ(t) 1 K −(cid:1) D∗ 2e4ξ(t) (cid:1) D1 (Ae1 + Be2) 2 − eT
1 K −(cid:1) D2 (Ae1 + Be2)
(cid:1) D∗ (2.14)
1 K + − eT 2 1 K + − eT 2 2 − eT 2 − eT 1 K + − eT 2 (cid:1) D∗ 1 K −(cid:1) D∗
1 K + − eT 2 2 − eT
1e4 + (cid:0)eT 2e4}ξ(t).
i s − fi(αs)(cid:1) ds và (cid:82) xi(t)
0
0
+ 2ξT (t) (cid:0)eT + 2ξT (t) (cid:0)eT + 2ξT (t) (cid:0)eT = ξT (t) sym{(cid:0)eT + (cid:0)eT + (cid:0)eT
0
(cid:0)αk+
Tiếp theo, ta đi tính đạo hàm phân thứ cấp α của hàm V3(x(t)). Trước hết, (cid:0)fi(αs) − αk− i s(cid:1) ds là các hàm (cid:0)αk+ ta chứng tỏ (cid:82) xi(t) i s − fi(αs)(cid:1) ds. Ta tính được lồi theo biến xi(t). Thật vậy, đặt F (u) = (cid:82) u đạo hàm cấp 1 của hàm F (u) là
i u − fi(αu).
F (cid:48)(u) = αk+
Với bất kỳ u1, u2 ∈ R, u1 > u2, theo Giả thiết 1, ta có
i (u1 − u2) − (fi(αu1) − fi(αu2))
F (cid:48)(u1) − F (cid:48)(u2) = αk+
0
(cid:21) = (αu1 − αu2) ≥ 0. (cid:20) k+ i − fi(αu1) − fi(αu2) αu1 − αu2
0
(cid:0)fi(αs) − αk−
Suy ra F (cid:48)(u1) ≥ F (cid:48)(u2). Do đó F (cid:48)(u) là hàm không giảm. Suy ra F (u) là hàm i s − fi(αs)(cid:1) ds là một hàm lồi đối với ẩn xi(t). (cid:0)αk+ lồi. Suy ra F (xi(t)) = (cid:82) xi(t) i s(cid:1) ds Một cách hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được (cid:82) xi(t) là hàm lồi theo biến xi(t). Bây giờ áp dụng Bổ đề 1.3, ta thu được ước lượng
22
t V3(x(t))
0 Dα C ≤ 2 (cid:0)αxT (t)K + − f T (x(t))(cid:1) [D3 + D∗
3] C + 2 (cid:0)f T (αx(t)) − αxT (t)K −(cid:1) [D4 + D∗
t x(t) 0 Dα
t x(t)
dưới đây
0 Dα 4] C (cid:1) D3 (Ae1 + Be2) ξ(t)
1 K + − eT 3
= 2ξT (t) (cid:0)αeT
1 K + − eT 3 3 − αeT 3 − αeT
(cid:1) D∗ (2.15)
3e4ξ(t) 1 K −(cid:1) D4 (Ae1 + Be2) ξ(t) 1 K −(cid:1) D∗ 4e4ξ(t) (cid:1) D3 (Ae1 + Be2)
3 − αeT
1 K −(cid:1) D4 (Ae1 + Be2)
+ 2ξT (t) (cid:0)αeT + 2ξT (t) (cid:0)eT + 2ξT (t) (cid:0)eT = ξT (t) sym{(cid:0)αeT
1 K + − eT 3 (cid:1) D∗ 1 K −(cid:1) D∗
3e4 + (cid:0)eT 4e4}ξ(t).
1 K + − eT 3 3 − αeT
+ (cid:0)αeT + (cid:0)eT
Ngoài ra, với bất kỳ ma trận đường chéo chính, xác định dương S1 và S2, ta
có
(cid:0)K +x(t) − f (x(t))(cid:1) ≥ 0, (2.16) (cid:0)αK +x(t) − f (αx(t))(cid:1) ≥ 0. 2 (cid:0)f T (x(t)) − xT (t)K −(cid:1) S1 2 (cid:0)f T (αx(t)) − αxT (t)K −(cid:1) S2
Do đó
2 − eT 3 − αeT
1 K −(cid:1) S1 1 K −(cid:1) S2
(cid:1)}ξ(t) ≥ 0, (2.17) (cid:1)}ξ(t) ≥ 0. ξT (t) sym{(cid:0)eT ξT (t) sym{(cid:0)eT (cid:0)K +e1 − e2 (cid:0)αK +e1 − e3
Từ (2.3), ta có đẳng thức dưới đây
(2.18) ξT (t) sym{L (Ae1 + Be2 − e4)}ξ(t) = 0.
Kết hợp các điều kiện (2.11), (2.14), (2.15), (2.17) và (2.18), ta thu được đánh
giá dưới đây
23
1 P1(Ae1 + Be2) + (cid:0)eT
1 AT + eT
2 BT (cid:1) P1e1 + eT
1 P2e4
0 Dα C
t V (x(t)) ≤ ξT (t)
(cid:20) sym{eT
1 K + − eT 2
1 K + − eT
2 )D∗
1e4
1 K −(cid:1) D2 (Ae1 + Be2) + (cid:0)eT
2 − eT
1 K −(cid:1) D∗
1 K + − eT 3 3 − αeT
(cid:3) D1 (Ae1 + Be2) + (eT
4e4 (cid:0)αK +e1 − e3
4 P2e1 + (cid:2)eT 2 − eT 1 K + − eT 3 3 − αeT 2 − eT
2e4 (cid:1) D∗ 3e4 1 K −(cid:1) D∗ 1 K −(cid:1) S2
3 − αeT
(cid:1) + eT + (cid:0)eT + (cid:0)αeT + (cid:0)eT + (cid:0)eT
(cid:1) D3(Ae1 + Be2) + (cid:0)αeT 1 K −(cid:1) D4 (Ae1 + Be2) + (cid:0)eT (cid:0)K +e1 − e2 (cid:1) + (cid:0)eT 1 K −(cid:1) S1 (cid:21) ξ(t) + L (Ae1 + Be2 − e4)}
= ξT (t)Φξ(t)
≤ λmax(Φ)(cid:107)x(t)(cid:107)2.
(2.19)
Vì Φ < 0 nên điều kiện (ii) trong Định lý 1.9 được thỏa mãn. Vậy Hệ (2.3)
Mittag-Leffler ổn định.
Nhận xét 2.1. Phương pháp hàm Lyapunov là một phương pháp cơ bản và
hữu hiệu để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân phân thứ phi
tuyến. Tuy nhiên, việc tìm hàm Lyapunov phù hợp và tính đạo hàm phân thứ
Caputo của hàm này không đơn giản vì không giống như đạo hàm bậc nguyên,
qui tắc Leibniz và quy tắc lấy đạo hàm của hàm hợp của đạo hàm phân thứ
rất phức tạp. Thông thường để nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình
vi phân phân thứ bằng phương pháp hàm Lyapunov, hàm Lyapunov thường
được chọn là V (x(t)) = xT (t)P x(t) ở đó P là một ma trận đối xứng, xác định
dương. Hàm Lyapunov được chọn trong chứng minh Định lý 2.1 có dạng tổng
quát hơn và do đó kết quả thu được sẽ ít bảo thủ hơn (less conservative) các
kết quả trong [18, 22].
Sau đây chúng tôi đưa ra một vài ví dụ số minh họa cho kết quả lý thuyết
của Định lý 2.1.
24
Ví dụ 2.1. Xét hệ nơ ron Hopfield phân thứ (2.3), trong đó α = 0.8 và
5 1 −3 −6 0 0
, , B = A = −2 −0.4 1 0 −5 0 1 −2.5 3.5 0 0 −8
các hàm kích hoạt thỏa mãn Giả thiết 1 với K + = diag{1, 1, 1}, K − =
diag{−1, −1, −1}. Ta thấy Định lý 3 trong [19] không áp dụng được để xét
tính ổn định của hệ nơ ron Hopfield phân thứ được xét trong ví dụ này vì điều
kiện trong Định lý 3 không thỏa mãn với i = 1. Thật vậy, theo như điều kiện
3 (cid:80) i=1
trong Định lý 3 trong [19], ta có l1 = l2 = l3 = 1, |a1| − bi1l1 = −2 < 0. Tuy
nhiên, bằng cách sử dụng hộp công cụ LMI Toolbox trong MATLAB, ta thấy
các điều kiện trong Định lý 2.1 được thỏa mãn với
3.7382 0.0561 −0.1693
, P1 = 103 × −0.2652 −0.2539 0.0737 0.0424 0.0515 −1.5443
−3.7374 0.0834 0.0765
P2 = 103 × 0.1276 0.2556 −0.0625 0.0506 −0.0627 1.5452
D1 = 103 × diag{−1.1771, 0.9912, 0.5017},
D2 = 103 × diag{−4.4295, 0.5593, −0.4948},
D3 = 103 × diag{−5.9934, 0.8516, 0.6754},
D4 = 103 × diag{−4.5020, 0.8268, 2.7420},
D∗
D∗
D∗
1 = 103 × diag{1.1800, −0.9905, −0.4992}, 2 = 103 × diag{4.4298, −0.5578, 0.4961}, 3 = 103 × diag{5.9939, −0.8505, −0.6735}, 4 = 103 × diag{4.5025, −0.8258, −2.7402},
D∗
5.6260 0 0
, S1 = 0 4.3784 0 0 0 20.8970
25
0.2508 0 0
, S2 = 0 0 0.7254 0 1.7654 0
6.5278 0.4188 −2.8204
0.0343 −2.3841 −0.1161
4.0566 −0.1398 0.3509
2.6919 −0.1733 2.4602
1.2139 0.3924 0.4913
−1.6854 0.1116 −0.4769 . L = 103 × −1.4914 0.0000 0.0000
−0.0000 0.0248 −0.0000
0.0000 −0.0000 −2.0666
0.0007 0.0353 −0.4911
−0.0346 0.0012 0.0019 0.4912 −0.0018 0.0007
Theo Định lý 2.1, hệ đã cho Mittag-Leffler ổn định.
Ví dụ 2.2. Xét hệ nơ ron Hopfield phân thứ dưới đây
0 D0.5 C
t x(t) = Ax(t) + Bf (x(t)), t ≥ 0,
(2.20)
trong đó
2 2 −3 0 −9 0 0 0
−1 −4 1 1 0 −10 0 0 . , B = A = 1 −2.5 2.5 1 0 −9 0 0 1 2 1 −1 0 0 0 −6
Hàm kích hoạt f (x(t)) = (sin(x1(t)), sin(x2(t)), sin(x3(t)), sin(x4(t)))T ∈ R4. Dễ kiểm tra được hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn Giả thiết 1 với K + =
diag{1, 1, 1, 1}, K − = diag{0, 0, 0, 0}. Bằng cách sử dụng hộp công cụ LMI
Toolbox trong MATLAB, ta thấy các điều kiện trong Định lý 2.1 được thỏa
26
mãn với
−0.7076 −0.0250 −0.6678 0.0055
0.0983 0.9457 −0.3616 −0.0382 P1 = 103 × 0.5819 0.2053 −1.8003 −0.0239 −0.2485 −0.1931 0.0505 −2.6055
0.7079 −0.0222 0.0467 0.1120
−0.0508 −0.9453 0.0799 0.1174 , P2 = 103 × 0.0394 0.0763 1.8006 −0.0111 0.1310 0.1141 −0.0156 2.6058
D1 = 103 × diag{0.5364, −0.5778, −1.4807, −0.7679},
D2 = 103 × diag{0.3482, −1.7669, −0.1087, −0.9453},
D3 = 103 × diag{0.8258, 0.6662, 0.8569, 1.4259},
D4 = diag{399.8647, 76.1803, 159.4418, 641.7154},
D∗
D∗
1 = 103 × diag{−0.5357, 0.5784, 1.4816, 0.7685}, 2 = 103 × diag{−0.3477, 1.7680, 0.1092, 0.9461}, 3 = 103 × diag{−0.8251, −0.6654, −0.8562, −1.4252},
D∗
4 = diag{−399.1852, −75.4111, −158.7110, −640.9741},
D∗
0.7176 0 0 0
0 0.7062 0 0 , S1 = 0 0 0 0.9063 0 0 0.5012 0
0.5076 0 0 0
0 0.5070 0 0 , S2 = 0 0 0 0.5080 0 0 0.5082 0
27
0.4661 −0.3959 0.2774 −0.4308
0.2853 −1.6466 0.1497 −0.8722
−0.1055 0.1624 4.6528 −0.2011
0.6922 0.8935 0.0897 5.2659
0.1705 −0.0393 −0.0626 0.0588
−0.0595 1.0418 −0.0840 −0.3401
−0.0576 −0.2196 −1.3268 −0.0658
0.0603 0.1097 0.0201 0.3072 . L = 103 × 0.4259 0.0000 0.0000 −0.0000
0.0000 0.5900 −0.0000 0.0000
0.0000 −0.0000 0.6975 0.0000
−0.0000 0.0000 0.0000 0.7842
0.0002 −0.0358 0.0213 −0.0749
0.0359 0.0002 −0.0007 −0.1103
−0.0213 0.0006 0.0002 −0.0194 0.0749 0.1104 0.0194 0.0002
2.2. Tính đồng bộ hóa của hệ nơ ron Hopfield phân thứ
Theo Định lý 2.1, hệ đã cho Mittag-Leffler ổn định.
Trong mục này, chúng tôi trình bày tính đồng bộ hóa của hệ nơ ron Hopfield
phân thứ dựa trên kết quả về tính Mittag-Leffler ổn định của lớp hệ này. Để
giải bài toán này, chúng tôi xét hệ nơ ron Hopfield phân thứ (2.1) như là hệ
chủ (master system). Hệ phụ thuộc (slave system) được cho bởi
0 Dα C
t z(t) = Az(t) + Bg(z(t)) + J(t) + D(t), t ≥ 0,
(2.21)
trong đó D(t) = diag{d1(t), . . . , dn(t)} là điều khiển thích hợp sẽ được xác
định sau.
Tiếp theo, điều khiển ngược tuyến tính sẽ được dùng để đồng bộ hóa Hệ
(2.1) và Hệ (2.21). Ta xét điều khiển ngược tuyến tính có dạng dưới đây
(2.22) D(t) = −K (y(t) − z(t)) , t ≥ 0,
28
ở đó K = diag{k1, k2, . . . , kn} sẽ được xác định sau. Đặt ei(t) = yi(t) − zi(t).
Khi đó ta thu được hệ sai khác (error system) của Hệ (2.1) và (2.21) là
0 Dα C
t e(t) = Ae(t) + B (g(y(t)) − g(z(t))) − Ke(t) t ≥ 0.
(2.23)
Định nghĩa 2.1. Hệ chủ (2.1) và hệ phụ thuộc (2.21) là Mittag-Leffler đồng
bộ hóa được nếu
(cid:107)e(t)(cid:107) ≤ [m(e(0))Eα(−λtα)]b , ∀t > 0, λ > 0, b > 0,
trong đó m(x) là hàm Lipschitz địa phương trên Rn với hằng số Lipschitz
m0, m(0) = 0, m(e) ≥ 0.
Định lý 2.2. Hệ chủ (2.1) và hệ phụ thuộc (2.21) là Mittag-Leffler đồng bộ hóa
được dưới điều khiển ngược tuyến tính (2.22) nếu tồn tại các ma trận P1, P2 ∈ Rn×n, các ma trận đường chéo chính Di, D∗ i ∈ Rn×n(i = 1, 2, 3, 4), S1, S2 ∈ Rn×n và một ma trận L ∈ R4n×n sao cho các bất đẳng thức ma trận tuyến tính
dưới đây được thỏa mãn
i > 0, S1 > 0, S2 > 0, Ψ < 0,
(2.24) sym{P1 + P2} > 0, Di + D∗
trong đó
2 BT (cid:1) P1e1
Ψ = sym{eT
1 (AT − K T ) + eT (cid:3) D1 ((A − K)e1 + Be2) 1 K −(cid:1) D2 ((A − K)e1 + Be2)
1 P1((A − K)e1 + Be2) + (cid:0)eT 4 P2e1 + (cid:2)eT 1 K + − eT 2 1e4 + (cid:0)eT 2 − eT 2 )D∗ 1 K −(cid:1) D∗ 2e4
4e4
+ eT
1 P2e4 + eT 1 K + − eT 2 − eT 1 K + − eT 3 3 − αeT 2 − eT
1 K + − eT 3 3 − αeT 1 K −(cid:1) S2
(cid:1) (cid:1) + (cid:0)eT + (eT + (cid:0)eT + (cid:0)αeT + (cid:0)eT + (cid:0)eT (cid:0)K +e1 − e2 (cid:1) D∗ 3e4 1 K −(cid:1) D∗ (cid:0)αK +e1 − e3
(cid:1) D3((A − K)e1 + Be2) + (cid:0)αeT 1 K −(cid:1) D4 ((A − K)e1 + Be2) + (cid:0)eT 1 K −(cid:1) S1 3 − αeT + L ((A − K)e1 + Be2 − e4)}, (cid:104) (cid:105) (cid:105) (cid:104) (cid:104) (cid:105) , , e2 = , e3 = e1 = , e4 = I 0 0 0 0 I 0 0 (cid:105) (cid:104) 0 0 I 0 0 0 0 I
n }, K − = diag{k−
n }.
2 , . . . , k+
1 , k−
2 , . . . , k−
1 , k+
K + = diag{k+
29
0 Dα C
t e(t) = (A − K) e(t) + B (g(y(t)) − g(z(t))) t ≥ 0.
Chứng minh. Ta thấy hệ (2.23) có thể viết lại thành
Khi đó sử dụng các kỹ thuật chứng minh tương tự như Định lý 2.1, ta dễ dàng
thu được Định lý 2.2.
Sau đây, chúng tôi đưa ra một ví dụ số minh họa cho kết quả lý thuyết của
Định lý 2.2.
Ví dụ 2.3. Xét hệ chủ (2.1) và hệ phụ thuộc (2.21), trong đó α = 0.98 và các
ma trận hệ số
−1 0 −1.2 0 0 2
, B = . A = 0 −1 1.71 1.15 0 1.8 0 0 −1 −4.75 0 1.1
Cho K + = diag{1, 1, 1} và K − = diag{−1, −1, −1}. Theo như kết quả trong
[19] hệ (2.23) với D(t) = 0 có quỹ đạo hỗn loạn, tức là hệ (2.23) không Mittag-
Leffler ổn định. Do đó hệ chủ (2.1) và hệ phụ thuộc (2.21) không đồng bộ hóa
được. Với bộ điều khiển ngược tuyến tính (2.22), trong đó K = diag{2.3, 2.1, 2},
ta thu được hệ đóng (2.23). Bằng cách sử dụng phần mềm MATLAB, ta thấy
các điều kiện trong Định lý 2.2 được thỏa mãn với
−0.0674 −0.0501 2.1193
, P1 = 105 × 0.1268 −0.0431 0.2089 −0.3656 0.5806 −4.3222
0.0685 −0.0594 −0.8643
, P2 = 105 × −0.0174 0.0436 −0.4299 −0.8889 −0.3596 4.3225
D1 = 105 × diag{−0.8601, −0.4975, 1.4899},
D2 = 104 × diag{−9.8385, −4.8139, 9.9105},
D3 = 105 × diag{0.4818, 0.0147, 1.3641},
D4 = 105 × diag{1.3045, −0.3075, 0.9365},
30
D∗
D∗
D∗
1 = 105 × diag{0.8618, 0.4987, −1.4894}, 2 = 104 × diag{9.8571, 4.8220, −9.9077}, 3 = 105 × diag{−0.4801, −0.0136, −1.3637}, 4 = 105 × diag{−1.3027, 0.3085, −0.9362},
D∗
S1 = 103 × diag{1.3749, 0.7062, 0.2126},
S2 = diag{34.8503, 27.2694, 10.3783},
0.2328 −1.0343 −1.1937
0.8227 1.3546 −0.9242
−2.2624 −0.6593 3.9099
−1.2018 0.7880 −0.2622
−0.4981 −0.3627 0.2775
−0.1469 −0.0472 0.5492 L = 105 × . −0.8226 0.0000 0.0000
−0.0000 0.3222 0.0000
−0.0000 0.0000 0.4275
0.0013 −0.2902 0.1697
0.2901 0.0009 −0.0434 −0.1695 0.0435 0.0004
Do đó hệ chủ (2.1) và hệ phụ thuộc (2.21) là Mittag-Leffler đồng bộ hóa được.
31
Kết luận
Luận văn đã đạt được những kết quả sau:
• Trình bày lại một số khái niệm cơ bản về giải tích phân thứ bao gồm tích
phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi
phân phân thứ Caputo;
• Trình bày một tiêu chuẩn cho tính Mittag-Leffler ổn định của hệ nơ ron
Hopfield phân thứ;
• Trình bày một tiêu chuẩn cho tính đồng bộ hóa được của hệ nơ ron Hopfield
phân thứ;
• Đưa ra 03 ví dụ số minh họa cho kết quả lý thuyết.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Văn Cường, Về tính ổn định của một số lớp hệ nơ ron thần kinh
phân thứ, Luận văn cao học, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên.
[2] Hoàng Thế Tuấn (2017), Về một số vấn đề định tính của hệ phương trình
vi phân phân thứ, Luận án tiến sĩ toán học, Viện Toán học.
Tiếng Anh
[3] Boroomand A. and Menhaj M. B. (2008), “Fractional-order Hopfield neural
networks”, In International Conference on Neural Information Processing
(pp. 883-890). Springer, Berlin, Heidelberg.
[4] Boyd S., El Ghaoui L., Feron E. and Balakrishnan V. (1994), Linear Matrix
Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia.
[5] Chua L.O. and Yang L. (1998), “Cellular neural networks: Theory”, IEEE
Transactions on Circuits and Systems, 35(10), 1257–1272.
[6] Chua L.O. and Yang L. (1998), “Cellular neural networks: Applications”,
IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), 1273–1290.
[7] Diethelm K. (2010), The Analysis of Fractional Differential Equations. An
Application oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo
32
Type, Lecture Notes in Mathematics, 2004, Springer - Verlag, Berlin.
33
[8] Duarte-Mermoud M.A., Aguila-Camacho N., Gallegos J.A. and Castro-
Linares R. (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove
Lyapunov uniform stability for fractional order systems”, Communications
in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), 650–659.
[9] Hilfer R. (2000), Applications of Fractional Calculus in Physics, World
Science Publishing, Singapore.
[10] Kaczorek T. (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory,
Springer.
[11] Kilbas A.A., Srivastava H.M. and Trujillo J.J (2006), Theory and Appli-
cations of Fractional Differential Equations, Springer.
[12] Li Y., Chen Y.Q. and Podlubny I. (2010), “Stability of fractional- or-
der nonlinear dynamic systems: Lyapunov direct method and generalized
Mittag–Leffler stability”, Computers and Mathematics with Applications,
59(5), 1810–1821.
[13] Liu S, Yang R, Zhou X.F., Jiang W., Li X. and Zhao X.W. (2019), “Sta-
bility analysis of fractional delayed equations and its applications on con-
sensus of multi-agent systems”, Communications in Nonlinear Science and
Numerical Simulation, 73, 351–362.
[14] Shuo Z, Chen Y.Q. and Yu Y. (2017), “A Survey of Fractional-Order
Neural Network”, ASME 2017 International Design Engineering Technical
Conferences and Computers and Information in Engineering Conference,
American Society of Mechanical Engineers.
[15] Wang H., Yu Y.G. and Wen G. (2014), “Stability analysis of fractional-
order Hopfield neural networks with time delays", Neural Networks, 55,
98–109.
[16] Wang F., Liu X., Tang M. and Chen L. (2019), “Further results on sta-
bility and synchronization of fractional-order Hopfield neural networks”,
Neurocomputing, DOI: 10.1016/j.neucom.2018.08.089.
34
[17] Wang L., Song Q., Liu Y., Zhao Z. and Alsaadi F.E. (2017), “Global
asymptotic stability of impulsive fractional-order complex-valued neural
networks with time delay”, Neurocomputing, 243, 49–59.
[18] Yang Y., He Y., Wang Y. and Wu M. (2018), “Stability analysis of
fractional-order neural networks: An LMI approach”, Neurocomputing,
285, 82–93.
[19] Zhang S., Yu Y., Wang H. (2015), “Mittag-Leffler stability of fraction-
alorder Hopfield neural networks”, Nonlinear Analysis Hybrid Systems,
16, 104–121.
[20] Zhang S., Yu Y. and Wang Q. (2016), “Stability analysis of fractional-
order Hopfield neural networks with discontinuous activation functions”,
Neurocomputing, 171, 1075–1084.
[21] Zhang L., Song Q. and Zhao Z. (2017), “Stability analysis of fractional-
order complex-valued neural networks with both leakage and discrete de-
lays”, Applied Mathematics and Computation, 298, 296–309.
[22] Zhang S., Yu Y. and Yu J. (2017), “LMI conditions for global stability of
fractional-order neural networks”, IEEE Transactions on Neural Networks
and Learning Systems, 28(10), 2423–2433.
