Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp dồn và giảm biến trong bất đẳng thức

Chia sẻ: Tran Van Lam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

737
lượt xem 225
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp dồn và giảm biến trong bất đẳng thức nhằm trình bày một cách tổng quan và hệ thống các kiến thức cơ sở về một số bất đẳng thức cơ bản liên quan đến giá trị trung bình, bất đẳng thức Cauchy liên quan đến tam thức bậc hai,...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp dồn và giảm biến trong bất đẳng thức

Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C KHOA H C ĐINH NG C QUANG PHƯƠNG PHÁP D N VÀ GI M BI N TRONG B T Đ NG TH C LU N VĂN TH C SĨ Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P Mã s : 60 46 40 Giáo viên hư ng d n: GS.TSKH. NGUY N VĂN M U THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2 M cl c M đ u 4 1 M t s d ng b t đ ng th c c đi n và phương pháp gi m bi n 7 1.1 Các b t đ ng th c hai bi n liên quan đ n giá tr trung bình . 7 1.2 Các b t đ ng th c n bi n liên quan đ n giá tr trung bình . . 10 1.3 Phương pháp gi m bi n trong b t đ ng th c đ i s . . . . . . 12 1.3.1 Tam th c b c hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Phương pháp tam th c b c hai đ nh hư ng . . . . . . 14 1.3.3 Gi m bi n trong b t đ ng th c đ i s . . . . . . . . . 15 2 Đ g n đ u và phương pháp d n bi n 21 2.1 Đ g n đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Hàm l i và bi u di n c a hàm l i . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Hàm l i, lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2 Bi u di n hàm l i, lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Phương pháp d n bi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.1 D n bi n t ng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.2 M t s đ nh lý v d n bi n . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 M t s áp d ng 39 3.1 M t s k thu t thư ng dùng trong gi i bài toán b tđ ng th c 39 3.1.1 K thu t chu n hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.2 K thu t s p th t b s . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2 K thu t d n bi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.1 D n các bi n b ng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3 3.2.2 D n bi n ra biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.3 D n bi n trong l p hàm l i, lõm . . . . . . . . . . . . 48 3.2.4 D n bi n trong l p hàm đơn đi u . . . . . . . . . . . . 50 K t lu n 52 Tài li u tham kh o 53 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4 M đ u B t đ ng th c là m t v n đ khá c đi n c a toán h c sơ c p và đang ngày càng phát tri n, đây cũng là m t trong nh ng ph n toán h c sơ c p đ p và thú v nh t, vì th luôn cu n hút r t nhi u ngư i quan tâm. B t đ ng th c luôn gi v trí quan tr ng trong các kì thi h c sinh gi i, thi đ i h c, Olympic qu c gia và qu c t . Đi m đ c bi t và n tư ng nh t c a b t đ ng th c trong toán h c sơ c p đó là có r t nhi u bài toán khó, th m chí là r t khó nhưng luôn có th gi i đư c b ng nh ng ki n th c cơ s , ch y u s d ng các phép bi n đ i, đánh giá sơ c p đ thu đư c k t qu . Ngày nay, có r t nhi u các phương pháp ch ng minh b t đ ng th c thông d ng như: phương pháp s d ng các b t đ ng th c c đi n, phương pháp tam th c b c hai, phương pháp dùng đ o hàm, phương pháp phân tích bình phương S.O.S., phương pháp véc tơ, phương pháp t a đ ,. . . Trong nh ng năm g n đây, GS.TSKH. Nguy n Văn M u [1] đã gi i thi u phương pháp tam th c b c hai đ nh hư ng. Đây là cơ s đ có phương pháp gi m bi n. Phương pháp gi m bi n có th phát bi u b ng l i như sau: Phương pháp này d a vào lát c t và phép bi n đ i đ ng d ng đ gi m s bi n. Thông thư ng, phương pháp này hi u qu trong trư ng h p ba bi n chuy n v bi u th c d ng hai bi n. Cũng trong kho ng th i gian này, TS. Tr n Nam Dũng và Gabriel Dospinescu [3] đã gi i thi u và trình bày phương pháp d n bi n (Mixing variables). Đây là phương pháp r t quan tr ng và hi u qu trong vi c ch ng minh các b t đ ng th c ph c t p. Phương pháp d n bi n có th phát bi u m t cách đơn gi n như sau: Đ ch ng minh b t đ ng th c f (x1 , x2 , . . . , xn ) ≥ 0 chúng ta đi ch ng minh b t đ ng th c x1 + x2 x1 + x2 f (x1 , x2 , . . . , xn ) ≥ f , , x3 , . . . , xn . 2 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5 Sau đó chúng ta đi ch ng minh b t đ ng th c x1 + x2 x1 + x2 f , , x3 , . . . , xn ≥ 0. 2 2 B t đ ng th c sau ch còn n − 1 bi n và đơn gi n hơn b t đ ng th c ban đ u (có n bi n). M c đích c a lu n văn này là trình bày l i m t cách t ng quan, có h th ng các ki n th c cơ s v m t s b t đ ng th c cơ b n liên quan đ n giá tr trung bình, b t đ ng th c Cauchy liên quan đ n tam th c b c hai và xét đ n phương pháp gi m bi n, b t đ ng th c Karamata, đ g n đ u c a b s và xét đ nh lý d n bi n t ng quát như là h qu c a chúng. Ti p theo xét m t s ng d ng c a phương pháp d n bi n trong các bài toán ch ng minh b t đ ng th c thư ng g p trong các kì thi h c sinh gi i và kì thi Olympic. Lu n văn g m ph n m đ u, k t lu n, tài li u tham kh o và 3 chương. Chương 1, trình bày m t s b t đ ng th c cơ b n liên quan đ n giá tr trung bình và b t đ ng th c Cauchy liên quan đ n tam th c b c hai. Các ki n th c này là cơ s đ trình bày các n i dung quan tr ng cu i chương 1 và trong chương 2. Chương 2, trình bày v đ g n đ u, m t s khái ni m và tính ch t quan tr ng c a hàm l i, lõm, t đó đi đ n trình bày phương pháp d n bi n t ng quát. Phương pháp d n bi n v cơ b n là cách th c làm gi m bi n trong b t đ ng th c đ i s . Chương 3, trình bày m t s áp d ng c a phương pháp d n bi n và gi m bi n gi i các bài toán b t đ ng th c 3 bi n, 4 bi n. Qua đây, chúng tôi xin đư c g i l i c m ơn sâu s c đ n th y giáo, ngư i hư ng d n khoa h c c a chúng tôi, GS.TSKH. Nguy n Văn M u, ngư i đã đưa ra đ tài và t n tình hư ng d n trong su t quá trình nghiên c u c a chúng tôi. Đ ng th i chúng tôi cũng chân thành c m ơn các th y cô trong khoa Toán - Tin h c trư ng Đ i h c Khoa h c, Đ i h c Thái Nguyên, đã t o m i đi u ki n v tài li u và th t c hành chính đ chúng tôi hoàn thành Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6 lu n văn này. Chúng tôi cũng g i l i c m ơn đ n b n bè, đ c bi t là các b n h c viên trong l p Cao h c Toán K4, đã đ ng viên giúp đ chúng tôi trong quá trình h c t p và làm lu n văn. Do th i gian h n h p và kh i lư ng ki n th c l n, ch c ch n lu n văn không th tránh kh i nh ng thi u sót. Chúng tôi r t mong đư c s ch b o t n tình c a các th y cô và b n bè đ ng nghi p. Chúng tôi xin chân thành c m ơn. Thái Nguyên, năm 2012 H c viên Đinh Ng c Quang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7 Chương 1 M t s d ng b t đ ng th c c đi n và phương pháp gi m bi n Trong chương này chúng tôi trình bày m t s b t đ ng th c cơ b n liên quan đ n giá tr trung bình và b t đ ng th c Cauchy liên quan đ n tam th c b c hai đ ph c v cho vi c trình bày các n i dung chính c a lu n văn trong các ph n sau. Các v n đ đư c trình bày trong chương này đư c tham kh o và trích d n ch y u t i m t s tài li u [1], [3]. 1.1 Các b t đ ng th c hai bi n liên quan đ n giá tr trung bình Xu t phát t b t đ ng th c cơ b n x2 ≥ 0, ∀x. Khi đó (x − y)2 ≥ 0 ⇔ x2 + y 2 + 2xy ≥ 4xy ⇔ (x + y)2 ≥ 4xy, ∀x, y. Suy ra x+y √ ≥ xy, ∀x, y ≥ 0. (1.1) 2 B t đ ng th c (1.1) là m t b t đ ng th c quen thu c chương trình toán ph thông. Ta g i là b t đ ng th c gi a trung bình c ng và trung bình nhân (g i ng n g n là b t đ ng th c AM-GM1 ) v i 2 bi n x, y . 1 Arithmetic Mean - Trung bình c ng, Geometric Mean - Trung bình nhân. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8 Đ nh lý 1.1 (B t đ ng th c AM-GM v i 2 bi n). V i x1 , x2 không âm, ta có √ x1 + x2 x1 x2 ≤ . (1.2) 2 D u đ ng th c x y ra khi và ch khi x1 = x2 . Ch ng minh. V i x1 , x2 không âm, bình phương 2 v b t đ ng th c (1.2) đư c 4x1 x2 ≤ (x1 + x2 )2 ⇔ 4x1 x2 ≤ x2 + x2 + 2x1 x2 ⇔ 0 ≤ (x1 − x2 )2 1 2 đúng v i m i x1 , x2 . T b t đ ng th c (1.1) ta th c hi n m t vài bi n đ i √ x+y 2xy √ xy ≤ ⇔ ≤ xy 2 x+y 2 √ ⇔ ≤ xy, ∀x, y ≥ 0. (1.3) 1 1 + x y B t đ ng th c (1.3) là m t H qu tr c ti p c a b t đ ng th c AM-GM v i 2 bi n, và đư c g i là b t đ ng th c gi a trung bình nhân và trung bình đi u hòa (g i ng n g n là b t đ ng th c GM-HM2 ) v i 2 bi n x, y không âm. H qu 1.1 (B t đ ng th c GM-HM v i 2 bi n). Cho x1 , x2 là các s th c không âm, ta có 2 √ ≤ x1 x2 . (1.4) 1 1 + x1 x2 D u đ ng th c x y ra khi và ch khi x1 = x2 . 1 1 Ch ng minh. S d ng b t đ ng th c (1.2) đ i v i x := , y := , ta có x y 1 1 1 1 x + y . ≤ , x y 2 2 Harmonic - Trung bình đi u hòa. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9 hay 2 √ 1 1 ≤ xy. x + y Ta đư c đi u c n ch ng minh. T b t đ ng th c (1.1), bình phương 2 v ta đư c (x + y)2 xy ≤ , 4 hay (x + y)2 − x2 − y 2 x2 + y 2 (x + y)2 x2 + y 2 2xy ≤ x2 + y 2 ⇔ ≤ ⇔ ≤ , 2 2 4 2 l y căn b c hai 2 v ta đư c 2 √ ≤ xy, ∀x, y ≥ 0. (1.5) 1 1 + x y B t đ ng th c (1.3) là m t H qu c a b t đ ng th c AM-GM v i 2 bi n, và đư c g i là b t đ ng th c gi a trung c ng và trung bình b c hai (g i ng n g n là b t đ ng th c AM-QM3 ) v i 2 bi n x, y không âm. H qu 1.2 (B t đ ng th c AM-QM v i 2 bi n). Cho x, y là các s th c không âm, ta có x+y x2 + y 2 ≤ . (1.6) 2 2 D u đ ng th c x y ra khi và ch khi x = y . Ch ng minh. V i x, y không âm, bình phương 2 v b t đ ng th c (1.6) ta đư c (x + y)2 x2 + y 2 x2 − 2xy + y 2 ≤ ⇔0≤ ⇔ 0 ≤ (x − y)2 4 2 4 đúng v i m i x, y . 3 Quadratic mean - Trung bình b c hai (toàn phương). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10 T nh ng ch ng minh trên chúng ta rút ra đư c chu i b t đ ng th c v i 2 bi n x, y không âm như sau 2 √ x+y x2 + y 2 min{x, y} ≤ ≤ xy ≤ ≤ ≤ max{x, y}. (1.7) 1 1 2 2 + x y 1.2 Các b t đ ng th c n bi n liên quan đ n giá tr trung bình Đ nh lý 1.2 (B t đ ng th c AM-GM (Theo [3])). Cho x1 , x2 , . . . , xn là các s th c không âm, n ≥ 1, khi đó √ x1 + x2 + · · · + xn n x1 x2 . . . xn ≤ . (1.8) n D u đ ng th c x y ra khi và ch khi x1 = x2 = · · · = xn . Ch ng minh. (Phương pháp ch ng minh quy n p Cauchy)4 V i n = 1, b t đ ng th c (1.8) hi n nhiên đúng. V i n = 2, ta đư c b t đ ng th c (1.2) đã ch ng minh là đúng Đ nh lý 1.1. • Gi thi t quy n p: Gi s b t đ ng th c (1.8) đúng v i n s th c không âm x1 , x2 , . . . , xn , n ≥ 1. • Cho 2n s th c không âm x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 , . . . , x2n , ta xét x1 + x2 + · · · + x2n 1 x1 + x2 + · · · + xn xn+1 + xn+2 + · · · + x2n = + 2n 2 n n √ √ n x1 x2 . . . xn + n xn+1 xn+2 . . . x2n √ √ 1 ≥ ≥ ( n x1 x2 . . . xn n xn+1 xn+2 . . . x2n ) 2 , 2 hay x1 + x2 + · · · + x2n √ ≥ 2n x1 x2 . . . x2n . (1.9) 2n T trư ng h p n = 1, n = 2 và (1.9) suy ra (1.8) đúng v i n = 2k , ∀k ≥ 1. Đây chính là quy n p theo hư ng lên trên. 4 Đây là ki u quy n p theo c p hư ng (lên-xu ng) do Cauchy đ xu t năm 1821 (Cauchy A.L., cours d’Analyse de l’Ecole Royale Polytechnique, I re partie, Analyse alge’brique, Paris, Debure, 1821) đ ch ng minh Đ nh lý AM-GM [3]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11 • (Quy n p hư ng xu ng dư i) Gi s b t đ ng th c (1.8) đúng v i n s th c không âm. Ta ch ng minh nó đúng v i n − 1 s không âm x1 , x2 , . . . , xn−1 . Xét x1 + x2 + · · · + xn , n x1 + x2 + · · · + xn−1 thay bi n xn b i ta đư c n−1 x1 +x2 +···+xn−1 1 x1 + x2 + · · · + xn−1 + n1 x1 + x2 + · · · + xn−1 n ≥ x1 x2 . . . xn−1 , n n−1 hay 1 x1 + x2 + · · · + xn−1 x1 + x2 + · · · + xn−1 n ≥ x1 x2 . . . xn−1 . n−1 n−1 Nâng lũy th a b c n c 2 v ta đư c x1 + x2 + · · · + xn−1 n x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ x1 x2 . . . xn−1 . n−1 n−1 Suy ra x1 + x2 + · · · + xn−1 n−1 ≥ x1 x2 . . . xn−1 . n−1 L y căn b c n − 1 c 2 v ta đư c x1 + x2 + · · · + xn−1 √ ≥ n−1 x1 x2 . . . xn−1 . n−1 Ta đư c đi u c n ch ng minh. H qu tr c ti p c a b t đ ng th c AM-GM là b t đ ng th c GM-HM. H qu 1.3 (B t đ ng th c GM-HM). Cho x1 , x2 , . . . , xn là các s th c không âm, n ≥ 1, khi đó n √ ≤ n x1 x2 . . . xn . (1.10) 1 1 1 + + ··· + x1 x2 xn D u đ ng th c x y ra khi và ch khi x1 = x2 = · · · = xn . 1 Ch ng minh. S d ng b t đ ng th c AM-GM đ i v i b s xk := , (k = xk 1, 2, . . . , n), ta có ngay b t đ ng th c GM-HM. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12 H qu c a b t đ ng th c AM-GM là b t đ ng th c AM-QM. Tương t như ch ng minh b t đ ng th c AM-GM, b ng phương pháp ch ng minh quay n p Cauchy ta có th ch ng minh b t đ ng th c AM-QM. H qu 1.4 (B t đ ng th c AM-QM). Cho x1 , x2 , . . . , xn là các s th c không âm, n ≥ 1, khi đó x1 + x2 + · · · + xn n x2 + x2 + · · · + x2 1 2 n ≤ . (1.11) n n D u đ ng th c x y ra khi và ch khi x1 = x2 = · · · = xn . T nh ng b t đ ng th c (1.8), (1.10), (1.11) và t chu i b t đ ng th c (1.7), chúng ta ti p t c rút ra đư c chu i b t đ ng th c v i n bi n x1 , x2 , . . . , xn không âm như sau n √ min{x1 , x2 , . . . , xn } ≤ ≤ n x 1 x 2 . . . xn ≤ 1 1 1 + + ··· + x1 x2 xn x1 + x2 + · · · + xn n x2 + x2 + · · · + x2 1 2 n ≤ ≤ ≤ max{x1 , x2 , . . . , xn }. n n (1.12) 1.3 Phương pháp gi m bi n trong b t đ ng th c đ i s đây, chúng tôi trình bày m t phương pháp làm gi m bi n trong b t đ ng th c đ i s . Phương pháp này d a vào lát c t và phép bi n đ i đ ng d ng đ gi m s bi n. Thông thư ng, phương pháp này hi u qu trong trư ng h p ba bi n chuy n v bi u th c d ng hai bi n. Trong m c này chúng tôi s trích d n m t s ki n th c v tam th c b c hai và các đ nh lý v d u c a tam th c b c hai, t đó trình bày v phương pháp gi m bi n trong b t đ ng th c đ i s . Các v n đ trình bày trong m c này đư c chúng tôi tham kh o và trích d n ch y u t tài li u [1]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13 1.3.1 Tam th c b c hai Chúng ta v n xu t phát t b t đ ng th c cơ b n x2 ≥ 0, ∀x ∈ R. (1.13) D u đ ng th c x y ra khi và ch khi x = 0. G n v i b t đ ng th c (1.13) là b t đ ng th c d ng sau: (x1 − x2 )2 ≥ 0, ∀x1 , x2 ∈ R, hay x2 + x2 ≥ 2x1 x2 , ∀x1 , x2 ∈ R. 1 2 D u đ ng th c x y ra khi và ch khi x1 = x2 . Xét tam th c b c hai f (x) = ax2 + bx + c, a = 0. Khi đó 2 b ∆ af (x) = ax + − , 2 4 v i ∆ = b2 − 4ac. T đây, chúng tôi trích d n m t s k t qu sau. Đ nh lý 1.3 (Theo [1]). Xét tam th c b c hai f (x) = ax2 + bx + c, a = 0. i) N u ∆ < 0 thì af (x) > 0, ∀x ∈ R. ii) N u ∆ = 0 thì af (x) ≥ 0, ∀x ∈ R. D u đ ng th c x y ra khi và ch b khi x = − . 2a iii) N u ∆ > 0 thì af (x) = a2 (x − x1 )(x − x2 ) v i √ b ∆ x1,2 = − . (1.14) 2a 2|a| Trong trư ng h p này, af (x) < 0 khi x ∈ (x1 , x2 ) và af (x) > 0 khi x < x1 ho c x > x2 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14 Đ nh lý 1.4 (Đ nh lý đ o (Theo [1])). Đi u ki n c n và đ đ t n t i s α sao cho af (α) < 0 là ∆ > 0 và x1 < α < x2 , trong đó x1,2 là các nghi m c a f (x) xác đ nh theo (1.14). Đ nh lý 1.5 (Theo [1]). V i m i tam th c b c hai f (x) có nghi m th c đ u t n t i m t nguyên hàm F (x) là đa th c b c ba, có ba nghi m đ u th c. Đ nh lý 1.6 (Theo [1]). Tam th c b c hai f (x) = 3x2 + 2bx + c có nghi m (th c) khi và ch khi h s b, c có d ng: b = α + β + γ, c = αβ + βγ + γα, (1.15) trong đó α, β, γ ∈ R. 1.3.2 Phương pháp tam th c b c hai đ nh hư ng Xét đa th c thu n nh t b c hai hai bi n (xem như tam th c b c hai đ i v i x) F (x, y) = ax2 + bxy + cy 2 , a = 0, (1.16) ∆ := (b2 − 4ac)y 2 . Khi đó, n u ∆ ≤ 0 thì aF (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ R. V y khi b2 ≤ 4ac và a < 0 thì hi n nhiên ax2 + cy 2 ≥ |bxy|, ∀x, y ∈ R. Trư ng h p riêng khi a = c = 1, b = ±2 ta nh n l i đư c k t qu x2 + y 2 ≥ 2|xy|, hay u+v √ ≥ uv, u, v ≥ 0. 2 Phương pháp "tam th c b c hai đ nh hư ng" là phương pháp tìm giá tr l n nh t (nh nh t) c a bi u th c d ng toàn phương khi đã tư ng minh m t Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15 giá tr c a nó. Khi đó đ tìm giá tr l n nh t (nh nh t) c a bi u th c đã cho, ta ch c n quan tâm đ n các giá tr l n hơn (nh thua) c a bi u th c mà thôi. Đ áp d ng vào các bài toán c c tr c a m t s d ng toán b c hai, ta s d ng tính ch t c a d ng phân th c b c hai a1 x2 + b1 x + c1 y= , a2 x2 + b2 x + c2 v i đi u ki n a2 > 0, f2 (x) = a2 x2 + b2 x + c2 > 0, ∀x ∈ R. Nh n xét 1.1. • phương pháp đã nêu trên, đa th c thu n nh t b c hai hai bi n (1.16) đư c xem như tam th c b c hai đ i v i x. Khi đó, t bài toán hai bi n x, y , bi n y đư c coi như tham bi n cho trư c, thì ta ch ph i làm vi c v i bi n x. V y m c tiêu chính c a phương pháp này là làm gi m s bi n đ đưa bài toán v d ng tam th c b c hai, và có th gi i quy t đư c v i các ki n th c v d u c a tam th c b c hai. • Đ c trưng c a phương pháp này là gi i quy t các bài toán tìm c c tr và g n li n v i các ki n th c v d u c a tam th c b c hai. Ta có th trình bày tư ng minh phương pháp này thông qua bài toán sau 1.3.3 Gi m bi n trong b t đ ng th c đ i s Bài toán 1.1 (Theo [1]). Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s a1 x2 + b1 x + c1 y= , a2 x2 + b2 x + c2 v i đi u ki n a2 > 0, f2 (x) = a2 x2 + b2 x + c2 > 0, ∀x ∈ R. c1 a1 Gi i. Nh n xét r ng khi x = 0 thì y(0) = và khi x → ∞ thì y → . c a2 c1 a1 2 Ti p theo, ta xét các giá tr y = và y = . c2 a2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16 c1 a1 Gi s y là m t giá tr c a bi u th c, y = và y = . Khi đó phương c2 a2 trình tương ng a1 x2 + b1 x + c1 =y a2 x2 + b2 x + c2 ph i có nghi m, hay phương trình (a2 y − a1 )x2 + (b2 y − b1 )x + (c2 y − c1 ) = 0 (1.17) ph i có nghi m. Do (1.17) là phương trình b c hai nên đi u này tương đương v i ∆ = (b2 y − b1 )2 − 4(a2 y − a1 )(c2 y − c1 ) ≥ 0, hay g(y) := (b2 − 4a2 c2 )y 2 + 2(b1 b2 + 2a2 c1 + 2a1 c2 )y + b2 − 4a1 c1 2 1 ph i có nghi m. Vì g(y) có b2 − 4a2 c2 < 0 nên theo Đ nh lý đ o c a tam 2 th c b c hai 1.4, thì ∆ = (b1 b2 + 2a1 c2 + a2 c1 )2 − (4a1 c1 − b2 )(4a2 c2 − b2 ) ≥ 0 1 2 (1.18) và y1 ≤ y ≤ y2 , v i √ b1 b2 + 2a2 c1 + 2a1 c2 ± ∆ y1,2 = , b2 − 4a2 c2 2 và ∆ đư c tính theo công th c (1.18). Suy ra max y = y2 và min y = y1 , đ t đư c khi ng v i m i j(j = 1, 2), x y ra đ ng th i   ∆ = (b2 yj − b1 )2 − 4(a2 yj − a1 )(c2 yj − c1 ) = 0, 1 b2 yj − b1  xj = − . 2 2a2 yj − a1 Sau đây, chúng tôi trích d n ví d minh h a sau. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17 Ví d 1.1 (Theo [1]). Cho x, y là các s th c sao cho 2x2 + y 2 + xy ≥ 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c M = x2 + y 2 . Gi i. Đ t 2x2 + y 2 + xy = a, a ≥ 1. Khi đó M x2 + y 2 = 2 . a 2x + y 2 + xy M 1 • N u y = 0 thì = . a x2 • N u y = 0, đ t t = , suy ra y M t2 + 1 = 2 . a 2t + t + 1 M 1 Ta ch c n xác đ nh các giá tr < , sao cho phương trình a 2 M t2 + 1 = 2 a 2t + t + 1 có nghi m. Nghĩa là phương trình M M M 2 − 1 t2 + t + −1=0 a a a có nghi m. Th thì bi t th c ∆ ph i không âm. Ta có 2 M M M ∆= −4 2 −1 − 1 ≥ 0, a a a hay 2 M M −7 + 12 − 4 ≥ 0. a a Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
18 Gi i b t phương trình b c hai này ta đư c √ √ 6−2 2 M 6+2 2 ≤ ≤ . 7 a 7 Suy ra √ √ 6−2 2 6−2 2 M≥ a≥ = M0 . 7 7 √ 6−2 2 V y min M = , đ t đư c khi và ch khi 7  x = M1 y√  x = M1 y 2(1 − 2M0 ) 2x2 + y 2 + xy = 1 ⇔  y = ± 2 2 − 7M0 + 7M0 −M0 v i M1 = . 2(2M0 − 1) Nh n xét 1.2. Bài toán minh h a phương pháp gi m bi n trong b t đ ng th c đ i s và c ví d minh h a đ u d ng 2 bi n. Tuy nhiên, ta v n có th dùng phương pháp này cho b t đ ng th c nhi u bi n hơn, gi s 3 bi n. Chúng tôi s trình bày bài toán 3 bi n áp d ng phương pháp gi m bi n này như bài toán sau. Bài toán 1.2. Cho x2 + 2y 2 + 5z 2 = 1. (1.19) Ch ng minh 1 M = xy + yz + zx ≤ . 2 Ch ng minh. • Xét z = 0 thì (1.19) ⇔ x + 2y 2 = 1 và M = xy . 2 Theo AM-GM ta có √ 1 = x2 + 2y 2 ≥ 2 2|xy|, hay 1 M≤ √ . 2 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
19 D u đ ng th c x y ra khi và ch khi 1  x=√  2 y= .  1 2 1 Khi đó, ta có đư c M = √ . 2 2 1 • Xét z = 0, ta ch c n quan tâm đ n các giá tr M > √ (vì ta đang c n 2 2 1 ch ng minh M ≤ ). x y 2 Đ t = α, = β . Khi đó z z (1.19) ⇔ (α2 + 2β 2 + 5)z 2 = 1 (1.20) α + β + αβ 1 M = z 2 (αβ + β + α) = ,M > √ . α2 + 2β 2 + 5 2 2 ⇔ M.α2 − (β + 1)α + M (2β 2 + 5) − β = 0, (coi α là n) (1.21) ph i có nghi m. Suy ra ∆ = (β + 1)2 − 4M (2M β 2 − β + 5M ) ≥ 0 ⇔ (1 − 8M 2 )β 2 + 2(2M + 1)β + 1 − 20M 2 ≥ 0. (1.22) Do đó ∆ = (2M + 1)2 − (1 − 8M 2 )(1 − 20M 2 ) ≥ 0 ⇔ 4M + 32M 2 − 160M 4 ≥ 0 ⇔ 4M (1 + 8M − 40M 3 ) ≥ 0 1 1 ⇔ √
20 Bài toán 1.3. Cho x2 + 2y 2 + 5z 2 = 1. (1.23) Tìm giá tr l n nh t c a M = xy + yz + zx. Gi i. Gi i tương t l i gi i c a Bài toán 1.2. Cu i cùng, khi ta đã tìm ra M 1 1 đ t giá tr l n nh t là M = , thì ta tính β, α, z, x, y b ng cách th M = 2 2 l n lư t như sau. Th M vào (1.22) ta tính ra β . Th M, β vào (1.21) ta tính ra α. Th M, β, α vào (1.20) ta tính ra z . T đó, suy ra x, y . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn