ĐẠI HỌC THÁI NGHUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NÔNG THỊ HIỆU
PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2018
ĐẠI HỌC THÁI NGHUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NÔNG THỊ HIỆU
PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS. PHẠM THANH HIẾU
THÁI NGUYÊN - 2018
ii
Mục lục
Mục lục i
Lời cảm ơn iv
Một số ký hiệu và viết tắt v
Mở đầu 1
Chương 1. Bài toán đặt không chỉnh và bài toán điểm bất
3 3 động 1.1. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh . . . .
4 6 1.1.1. Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . 12 1.2.1. Ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ không giãn . 12
1.2.2. Một số phương pháp tìm điểm bất động của ánh xạ
không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2. Phương pháp hiệu chỉnh cho nửa nhóm không giãn 17 2.1. Bài toán tìm điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn 17
2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Browder - Tikhonov . . . . . . . . 21
2.2.1. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2. Sự tồn tại và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3. Phương pháp hiệu chỉnh lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.1. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iii
2.3.2. Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4. Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.1. Minh họa số cho phương pháp hiệu chỉnh (2.17) . . . 32
2.4.2. Minh họa số cho phương pháp (2.25) . . . . . . . . . 33
Kết luận 35
Tài liệu tham khảo 36
iv
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Phạm Thanh Hiếu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động
viên của các thầy cô giáo của khoa Toán–Tin và các thầy cô giáo trong
trường. Tác giả xin bày tỏ lời trân trọng cảm ơn tới các thầy cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Trung học phổ
thông Hà Quảng - Hà quảng - Cao Bằng và các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học.
Xin cảm ơn các anh chị em học viên lớp cao học K10A và bạn bè đồng
nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên.
v
Một số ký hiệu và viết tắt
không gian Banach
không gian đối ngẫu của X X X ∗
phần tử không của không gian Banach X θ
R tập hợp các số thực
R+ tập các số thực không âm
phép giao ∩
cận dưới đúng của tập hợp số M inf M
cận trên đúng của tập hợp số M sup M
số lớn nhất trong tập hợp số M max M
số nhỏ nhất trong tập hợp số M min M
tập các điểm cực tiểu của hàm F trên X
argminx∈XF (x) ∅ tập rỗng
với mọi x ∀x
miền xác định của toán tử A D(A)
miền ảnh của toán tử A
R(A) A−1 toán tử ngược của toán tử A
toán tử đồng nhất I
vi
không gian các hàm khả tích bậc p trên Ω
Lp(Ω) lp không gian các dãy số khả tổng bậc p
d(x, M ) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp M
xn giới hạn trên của dãy số {xn}
xn giới hạn dưới của dãy số {xn}
lim sup n→∞ lim inf n→∞ αn (cid:38) α0 dãy số thực {αn} hội tụ giảm về α0
xn −→ x0 dãy {xn} hội tụ mạnh về x0
xn (cid:42) x0 dãy {xn} hội tụ yếu về x0
J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị
F ix(T ) hoặc F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T
∂f dưới vi phân của hàm lồi f
M bao đóng của tập hợp M
d(a, M ) khoảng cách tử phần tử a đến tập hợp M
o(t) vô cùng bé bậc cao hơn t
số điểm chia cách đều trên đoạn [a, b] n[a,b]
số bước lặp nmax
tg thời gian tính toán
err sai số của nghiệm xấp xỉ so với nghiệm chính xác
int(C) phần trong của tập hợp C
1
Mở đầu
Nhiều bài toán trong các lĩnh vực toán học, vật lý và kinh tế dẫn đến
bài toán tìm điểm bất động chung cho một họ các ánh xạ xác định. Các bài toán đó được gọi chung là bài toán điểm bất động. Chẳng hạn, bài toán tìm ảnh của ánh xạ chiếu mê tric trên các tập con lồi đóng Ci, i ∈ I trong không gian Hilbert thực. Điểm bất động của bài toán này chính nghiệm
của là bài toán chấp nhận lồi nổi tiếng tìm một điểm thuộc vào giao của các tập lồi đóng Ci, i ∈ I trong không gian Hilbert thực. Do sự quan trọng của các bài toán này về cả khía cạnh thực hành và lý thuyết nên các thuật toán để tìm điểm bất động chung của các toán tử đã trở thành một lĩnh
vực nghiên cứu rất phát triển trong lý thuyết điểm bất động. Ta biết rằng
nếu T : H → H là một ánh xạ co thì luôn tồn tại duy nhất một điểm bất động của T . Tuy nhiên, nếu T là một ánh xạ không giãn thì điều này không
còn đúng nên lớp bài toán điểm bất động của một ánh xạ không giãn và một họ các ánh xạ không giãn là một bài toán quan trọng đối với các nhà
nghiên cứu toán học. Lí do vì bài toán này có nhiều ứng dụng thực tế như trong khôi phục và xử lý tín hiệu, phân phối băng thông, điều khiển năng
lượng (xem chẳng hạn [19])...Cho đến nay đã có nhiều nhà toán học công bố nhiều kết quả hay và có ý nghĩa (xem chẳng hạn [24]–[27]) để tìm điểm
bất động chung của một ánh xạ không giãn hoặc một họ các ánh xạ không giãn dựa trên việc cải biên, cải tiến những kết quả đã có của Mann [23],
Halpern [15],.... Ở Việt Nam, bài toán điểm bất động của ánh xạ không
giãn cũng là một đề tài nghiên cứu khá sôi nổi thu hút được nhiều nhà toán học nổi tiếng như Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường, Nguyễn Thị Thu
Thuỷ và nhiều tác giả trẻ như Đặng Văn Hiếu, Trương Minh Tuyên (xem
2
chẳng hạn [9], [21], [32] và một số tài liệu được trích dẫn trong đó). Những
công bố của các tác giả Việt Nam và nước ngoài về những phương pháp giải bài toán điểm bất động đã làm phong phú thêm lý thuyết điểm bất
động và đóng góp chung vào sự phát triển của lĩnh vực nghiên cứu này.
Mặc dù là một bài toán rất quan trọng nhưng bài toán điểm bất động
của ánh xạ không giãn nằm trong lớp các bài toán đặt không chỉnh (nói
chung) theo nghĩa nghiệm của bài toán không là duy nhất và nghiệm không phụ thuộc vào dữ kiện ban đầu. Việc xây dựng các phương pháp giải ổn
định còn gọi là phương pháp hiệu chỉnh cho lớp bài toán đặt không chỉnh trong đó có bài toán điểm động của ánh xạ không giãn là một hướng nghiên
cứu cần được quan tâm. Nói đến phương pháp hiệu chỉnh, thì phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov được coi là phương pháp khá hiệu quả và
đã được sử dụng để giải nhiều lớp bài toán đặt không chỉnh như bất đẳng thức biến phân , phương trình toán tử và bài toán điểm bất động (xem
chẳng hạn [18], [32] và một số tài liệu được trích dẫn trong đó).
Trong luận văn này, dựa trên một số kết quả đã có về phương pháp
hiệu chỉnh Browder–Tikhonov cho bất đẳng thức biến phân và bài toán
điểm bất động chung của một họ vô hạn các ánh xạ không giãn, chúng tôi nghiên cứu và trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho nửa nhóm không
giãn trong không gian Hilbert. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương:
Chương 1 giới thiệu về bài toán đặt không chỉnh và bài toán điểm bất động cùng với một số kiến thức chuẩn bị quan trọng cho việc trình bày kết
quả chính của luận văn liên quan đến một số tính chất hình học của không gian Hilbert và không gian Banach; ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh
xạ không giãn; ánh xạ liên tục; ánh xạ đơn điệu, đơn điệu mạnh và ánh xạ ngược đơn điệu mạnh trong không gian Hilbert... Chương 2 dành để trình
bày kết quả về phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov, phương pháp
hiệu chỉnh lặp cho nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert và ví dụ số minh họa cho hai phương pháp trên.
3
Chương 1
Bài toán đặt không chỉnh và bài
toán điểm bất động
Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị về không gian Hilbert, không gian Banach, ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ không giãn.
Đồng thời, chúng tôi cũng giới thiệu một cách ngắn gọn về bài toán đặt không chỉnh và bài toán điểm bất động. Mục 1.1 dành để giới thiệu về
bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov. Mục 1.2 giới thiệu bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn cùng với
phương pháp lặp Mann [23], phương pháp lặp Halpern [15] để tìm điểm
bất động của ánh xạ không giãn. Những kiến thức cơ bản đề cập trong chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1]-[4] và một số tài
liệu khác có trích dẫn kèm.
1.1. Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh
Trong rất nhiều những bài toán nảy sinh từ thực tế, tồn tại một lớp các bài toán mà nghiệm của nó không ổn định theo nghĩa một thay đổi
nhỏ của dữ liệu đầu vào sẽ dẫn đến những thay đổi lớn của dữ liệu đầu ra
(nghiệm của bài toán), thậm chí còn làm cho bài toán trở nên vô nghiệm. Có thể nói rằng, lớp các bài toán nói trên có nghiệm không phụ thuộc vào
dữ kiện ban đầu và nó là một trường hợp riêng của lớp các bài toán đặt không chỉnh. Trong mục này, chúng tôi đề cập đến khái niệm bài toán đặt
không chỉnh dưới dạng phương trình toán tử, cùng với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho lớp bài toán này.
4
1.1.1. Bài toán đặt không chỉnh
Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X ∗ là không gian liên hợp của X. Cả hai không gian X và X ∗ có chuẩn đều được kí hiệu là (cid:107) . (cid:107). Ta viết (cid:104)x∗, x(cid:105) thay cho x∗(x) với x∗ ∈ X ∗, x ∈ X.
Khái niệm bài toán đặt không chỉnh được Hadamard [1] đưa ra khi
nghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình elliptic cũng như parabollic. Ở đây chúng tôi trình bày khái niệm về
bài toán đặt không chỉnh ở dạng phương trình toán tử
A(x) = f, (1.1)
với A : X −→ Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian
Banach Y , f là phần tử thuộc Y . Sau đây là định nghĩa của Hadamard
(xem [1]).
Định nghĩa 1.1 Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt chỉnh (chính quy)
nếu thỏa mãn đồng thời cả ba điều kiện sau: 1) Phương trình A(x) = f có nghiệm xf với mọi f ∈ Y . 2) Nghiệm xf là duy nhất. 3) Nghiệm xf phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu (f, A).
Định nghĩa 1.2 Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được
thỏa mãn thì bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh.
Một thời gian dài người ta nghĩ rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn
cả ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng quan niệm đó là sai lầm. Hơn nữa điều kiện thứ ba rất khó thực hiện và nhất là khi máy tính điện
tử ra đời, trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn xảy ra quá trình làm tròn số.
Ví dụ 1.1 . Xét hệ phương trình sau trong R2: x1 + 3x2 = 3, (1.2) 1, 01x1 + 3x2 = 3.01.
5
; trong khi đó hệ phương trình Hệ (1.2) có nghiệm là x1 = 1 và x2 = 2 3
x1 + 3x2 = 3
x1 + 3, 01x2 = 3.05
có nghiệm là x1 = −12 và x2 = 5. Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ số và vế phải của phương trình thứ 2 kéo theo những thay đổi đáng kể của nghiệm. Thậm chí nếu xét hệ phương trình sau:
x1 + 3x2 = 3
x1 + 3x2 = 3.01
thì hệ này còn vô nghiệm.
Nhận xét 1.1 Một số bài toán đặt chỉnh trên không gian này nhưng lại đặt không chỉnh trên không gian khác. Chẳng hạn, phương trình x2 +1 = 0 có nghiệm trên trường số phức C nhưng lại vô nghiệm trên trường số thực R.
Định nghĩa 1.3 Cho (X, d) là một không gian metric và tập K là một tập con khác rỗng của X. Với mọi x ∈ X khoảng cách từ điểm x và tập
K được kí hiệu bởi d(x, K) và được xác định bởi
d(x, y). d(x, K) = inf y∈K
Định nghĩa 1.4 Phép chiếu metric PK xác định trên X là một ánh xạ đa trị từ X vào 2X cho bởi
PK(x) = z ∈ K : d(x, Z) = d(x, K), ∀x ∈ K.
Nếu PK (cid:54)= ∅ với mọi x ∈ K thì K được gọi là tập liền kề. Nếu PK là đơn ánh với mọi x ∈ K thì K được gọi là tập Chebyshev.
Ví dụ 1.2 : Cho X = R, K = [1, 2] ⊂ R, ta có ánh xạ sau là phép chiếu metric từ R lên K
PK(x) =
1 nếu x < 1, x nếu 1 ≤ x ≤ 2, 2 nếu x > 2.
6
Chú ý 1.1 Phép chiếu metric PK : H −→ K là ánh xạ đơn trị trong không gian Hilbert H.
1.1.2. Phương pháp hiệu chỉnh
Trước hết, chúng tôi đề cập một cách sơ lược về phương pháp hiệu chỉnh
Tikhonov. Để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.1) khi không biết tin về nghiệm chính xác x0, Tikhonov (xem [1]) đã đưa ra một khái niệm mới. Đó là phương pháp hiệu chỉnh dựa trên việc xây dựng toán tử hiệu chỉnh và cách chọn giá trị một tham số mới đưa vào.
Giả sử A−1 không liên tục và thay cho f ta biết fδ : ρy(fδ, f ) ≤ δ −→ 0. Bài toán đặt ra là dựa vào thông tin về (a, fδ) và mức sai số của δ, tìm một phần tử xδ xấp xỉ nghiệm chính xác x0 của bài toán (1.1). Rõ ràng là ta không thể xây dựng phần tử xấp xỉ xδ theo quy tắc xδ = A−1fδ, vì thứ nhất là A−1 có thể không xác định với mọi f ∈ Y , thứ hai là A−1 không liên tục, nên nếu A−1fδ tồi tại, cũng chưa chắc đã xấp xỉ A−1f .
Tham số δ chỉ cho ta mức độ sai số vế phải của (1.1). Vì vậy một điều
tự nhiên nảy sinh là liệu có thể xây dựng phần tử xấp xỉ phụ thuộc vào một tham số nào đó và tham số này được chọn tương thích với δ sao cho khi δ −→ 0 thì phần tử xấp xỉ này hội tụ đến x0. Ta cũng thấy nếu được thì từ fδ ∈ Y ta có phần tử thuộc X, tức là tồn tại một toán tử nào đó tác động từ không gian Y vào không gian X. Sau đây là định nghĩa về toán
tử hiệu chỉnh.
Định nghĩa 1.5 Toán tử R(f, α) phụ thuộc vào tham số α tác động từ
Y vào X được gọi là toán tử hiệu chỉnh cho bài toán (1.1) nếu:
(i) Tồn tại hai số dương α1 và δ1 sao cho toán tử R(f, α) xác định với
mọi α ∈ (0, α1) và với mọi fδ ∈ Y : ρY (fδ, f ) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1);
(ii) Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(fδ, δ) sao cho với mọi ε > 0, ∃δ(ε) ≤ δ1 để với mọi fδ ∈ Y thỏa mãn ρY (fδ, f ) ≤ δ1 thì ρX(xα, x0) ≤ ε, ở đây x0 là nghiệm chính xác của (1.1) và xα ∈ R(fδ, α(fδ, δ)).
Phần tử x0 được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của bài toán (1.1) và α = α(fδ, δ) gọi là tham số hiệu chỉnh. Cũng dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa trên, nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ liệu ban đầu.
7
Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là một trong những phương pháp
hiệu chỉnh nổi tiếng và được sử dụng cho việc nghiên cứu và giải các bài toán đặt không chỉnh trong các lĩnh vực khác nhau của Toán học.
Chú ý 1.2 Trong trường hợp α = δ, định nghĩa về toán tử hiệu chỉnh có
dạng đơn giản sau:
(i) Tồn tại một số dương δ1 sao cho toán tử R(f, δ) xác định với mọi
0 ≤ δ ≤ δ1 và với mọi f ∈ Y sao cho ρY (f, f0) ≤ δ;
(ii) Với ε > 0 bất kì, tồn tại δ0 = δ0(ε, fδ) ≤ δ1 sao cho từ ρY (fδ, f0) ≤
δ ≤ δ0 ta có ρX(xα, x0) ≤ ε, ở đây xδ ∈ R(fδ, δ).
Giả thiết rằng X, Y là các không gian Hilbert thực. Nội dung của
phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (1.1) dựa trên việc tìm phần tử cực tiểu xδ α của phiếm hàm Tikhonov
α(x) = (cid:107)A(x) − fδ(cid:107)2 + α(cid:107)x − x∗(cid:107)2. F δ
(1.3)
Kết quả của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là với điều kiện đặt lên
toán tử A, với cách chọn tham số hiệu chỉnh α thích hợp, phần tử cực tiểu α là xấp xỉ tốt cho nghiệm x0 của bài toán (1.1). Định lý sau khẳng định xδ sự tồn tại của dãy nghiệm hiệu chỉnh {xk} của (1.3).
Định lý 1.1 (xem [1]) Cho A là một toán tử liên tục và đóng yếu, α > 0 và {xk} là một dãy cực tiểu của (1.3) với fδ được thay bởi fk sao cho fk → fδ. Khi đó, tồn tại một dãy con hội tụ của dãy {xk} và giới hạn của dãy con hội tụ này là phần tử cực tiểu của (1.3).
Trước khi trình bày một số kết quả của phương pháp hiệu chỉnh Browder
–Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh (1.1), ta nhắc lại một số định nghĩa liên quan đến tính chất hình học của không gian Banach X và ánh
xạ đơn điệu trong không gian Banach (xem thêm [36]).
Định nghĩa 1.6 Không gian Banach X được gọi là
8
(i) lồi chặt nếu mặt cầu đơn vị SX := {x ∈ X : (cid:107)x(cid:107) = 1} của X là lồi chặt, tức là, từ x, y ∈ SX kéo theo (cid:107) x + y (cid:107)< 2, hoặc biên ∂SX không chứa bất kì đoạn thẳng nào.
(ii) lồi đều nếu với ε bất kì thỏa mãn 0 < ε ≤ 2, các bất đẳng thức sau
thỏa mãn (cid:107)x(cid:107) ≤ 1, (cid:107)y(cid:107) ≤ 1 và (cid:107)x − y(cid:107) ≥ ε thì tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho
≤ 1 − δ. x + y 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
Chú ý 1.3
(i) Không gian lồi chặt chưa chắc đã lồi đều.
(ii) Mọi không gian hữu hạn chiều đều là không gian phản xạ nhưng chưa
chắc lồi đều.
Định nghĩa 1.7 Ánh xạ J s : X −→ X ∗ (nói chung đa trị) được định nghĩa bởi
J s(x) = {x∗ ∈ X ∗ : (cid:104)x∗, x(cid:105) = (cid:107)x∗(cid:107)s−1(cid:107)x(cid:107) = (cid:107)x(cid:107)s}, s ≥ 2
gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X. Khi s = 2 thì J s được viết là J và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X.
Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được cho trong mệnh đề
sau.
Mệnh đề 1.1 ( xem [6]) Giả sử X là một không gian Banach. Khi đó,
(i) J(x) là tập lồi, J(λx) = λJ(x) với mọi λ ∈ R;
(ii) J là ánh xạ đơn trị khi và chỉ khi X ∗ là không gian lồi chặt. Trong trường hợp X là không gian Hilbert thì J = I, trong đó I là toán tử đơn vị trong H.
Chú ý 1.4 Kí hiệu j là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị.
Ví dụ 1.3 Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc chính là ánh xạ đơn vị I : H → H, I(x) = x ∀x ∈ H.
Ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu, nó tồn
tại trong mọi không gian Banach.
9
Định nghĩa 1.8 Không gian Banach X được gọi là có tính chất E − S (Ephimov-Stechkin) nếu với mọi dãy {xn} hội tụ yếu đến x và (cid:107)xn(cid:107) → (cid:107)x(cid:107) khi n → ∞ thì xn → x khi n → ∞.
Định lý 1.2 [3] Mọi không gian lồi đều đều có tính chất E − S.
Định nghĩa 1.9 Chuẩn của không gian tuyến tính định chuẩn X được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x0 ∈ SX nếu với mỗi y ∈ SX giới hạn
(1.4) lim t→0 (cid:107)x0 + ty(cid:107) − (cid:107)x0(cid:107) t
tồn tại, kí hiệu (cid:104)y, (cid:53)(cid:107)x0(cid:107)(cid:105). Khi đó (cid:53)(cid:107)x0(cid:107) được gọi là đạo hàm Gâteaux của chuẩn ϕ(x) = (cid:107)x(cid:107) tại x = x0.
Định nghĩa 1.10 Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn.
(i) Chuẩn của không gian Banach X được gọi là khả vi Gâteaux nếu nó khả vi Gâteaux tại mọi điểm trên mặt cầu đơn vị SX.
(ii) Chuẩn của X được gọi là có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ SX, giới hạn (1.4) đạt được đều với mọi x ∈ SX.
Định lý 1.3 [3] Không gian Banach X là trơn khi và chỉ khi chuẩn của X khả vi Gâteaux trên X \ {0}.
Định nghĩa 1.11 Cho X là các không gian Banach với không gian liên hợp X ∗. Toán tử A : X → X ∗ được gọi là
(i) đơn điệu nếu
(cid:104)A(x) − A(y), x − y(cid:105) ≥ 0 ∀x, y ∈ X.
Trong trường hợp A là toán tử tuyến tính, thì tính đơn điệu tương
đương với tính không âm của toán tử.
(ii) đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm δ(t) không giảm với
t ≥ 0, δ(0) = 0 và
(cid:104)A(x) − A(y), x − y(cid:105) ≥ δ((cid:107) x − y (cid:107)) ∀x, y ∈ D(A).
10 (iii) Nếu δ(t) = cAt2 với cA là một hằng số dương thì toán tử A được gọi
là đơn điệu mạnh.
(iv) ngược đơn điệu mạnh với hằng số η nếu tồn tại η > 0 và với mọi
x, y ∈ X thì
(cid:104)A(x) − A(y), x − y(cid:105) ≥ η(cid:107)A(x) − A(y)(cid:107)2.
Định nghĩa 1.12 Toán tử A : X → X ∗ được gọi là h-liên tục trên X nếu A(x + ty) (cid:42) Ax khi t −→ 0+ với mọi x, y ∈ X.
Ví dụ 1.4 : Xét toán tử A := f (x, y) : R2 → R là hàm số hai biến số xác định bởi
nếu x2 + y2 (cid:54)= 0, f (x, y) =
x2 + y2 = 0. 2xy x2 + y2 nếu 0
Khi đó, A := f (x, y) là hàm liên tục theo từng biến riêng biệt nhưng không liên tục theo cả hai biến nên A là h-liên tục.
Thật vậy, ta có với x (cid:54)= 0, y (cid:54)= 0 thì
f (x) = 2xy x2 + y2 và f (y) = 2xy x2 + y2
đều là các hàm số phân thức hữu tỉ nên liên tục trên tập xác định.
Xét tại x = 0 ta có (vì y (cid:54)= 0)
lim x→0 f (x) = lim x→0 2xy x2 + y2 = 0 = f (0).
Xét tại y = 0 ta có (vì x (cid:54)= 0)
lim x→0 f (y) = lim x→0 2xy x2 + y2 = 0 = f (0).
Suy ra f (x, y) là hàm số liên tục theo biến x với mỗi giá trị y bất kì và
(cid:19) Xét tính liên tục tại điểm (0,0): Chọn dãy điểm ; → 0 khi n → ∞, f (x, y) liên tục theo biến y với mỗi giá trị x bất kì. (cid:18) 1 n 1 n
ta có (cid:19) 2
= 1 (cid:54)= f (0, 0), lim n−→+∞
(cid:18) 1 n 1 n2 + (cid:19)(cid:18) 1 n 1 n2
11
nên hàm số f (x, y) không liên tục tại điểm (0,0).
Định nghĩa 1.13 Toán tử A : X −→ X ∗ được gọi là toán tử bức nếu với mọi x ∈ X
= ∞. lim (cid:107)x(cid:107)−→∞ (cid:104)Ax, x(cid:105) (cid:107)x(cid:107)
Sau đây là một kết quả của lí thuyết toán tử đơn điệu khẳng định sự tồn
tại nghiệm của phương trình toán tử (1.1).
Bổ đề 1.1 (xem [1]) Cho X là không gian Banach thực, X ∗ là không gian liên hợp của X, f ∈ X ∗ và A : X −→ X ∗ là toán tử h - liên tục. Khi đó nếu tồn tại x0 ∈ X thỏa mãn bất đẳng thức:
(cid:104)A(x) − f, x − x0(cid:105) ≥ 0, ∀x ∈ X
thì x0 là nghiệm của phương trình A(x) = f .
Nếu A là một tóa tử đơn điệu trên X thì điều kiện trên tương đương với
(cid:104)A(x0) − f, x − x0(cid:105) ≥ 0, ∀x ∈ X.
Bổ đề 1.1 gọi là bổ đề Minty, tên một nhà toán học Mỹ, người đã chứng minh kết quả trên trong trường hợp không gian Hilbert. Sau này chính ông
và Browder đã chứng minh một cách độc lập cho không gian Bannach.
Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh do Browder [11] đề xuất năm
1966 cho bài toán bất đẳng thức biến phân (còn gọi là phương pháp hiệu chỉnh Browder - Tikhonov) là sử dụng một toán tử M : X −→ X ∗ có tính chất h-liên tục, đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh. Một dạng của toán tử M là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của X. Bằng phương pháp này,
Alber [4] đã xây dựng phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình toán tử
(1.1) trên cơ sở phương trình
(1.5) A(x) + αJ(x − x∗) = fδ.
Giả sử X là không gian Banach thực phản xạ có tính chất E − S và X ∗ là không gian lồi chặt. Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình hiệu chỉnh (1.5); đồng thời định lý cũng khẳng
định sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của bài toán ban đầu với một số điều kiện xác định.
12 Định lý 1.4 (xem [4]) Cho A : X −→ X ∗ là toán tử đơn điệu, h-liên tục. Khi đó, với mỗi α > 0 và fδ ∈ X ∗, phương trình (1.5) có duy nhất nghiệm α. Ngoài ra nếu α, δ/α −→ 0 thì {xδ xδ α} hội tụ đến nghiệm có x∗-chuẩn nhỏ nhất của bài toán (1.1).
1.2. Bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn
1.2.1. Ánh xạ không giãn và nửa nhóm ánh xạ không giãn
Định nghĩa 1.14 Cho C là một tập con của không gian Banach X và ánh xạ T : C −→ X thỏa mãn
(cid:107)T x − T y(cid:107) ≤ L(cid:107)x − y(cid:107) ∀x, y ∈ C và L ≥ 0. (1.6)
Khi đó, ánh xạ T : C → X được gọi là liên tục Lipschitz với hằng số L.
Ngoài ra, trong (1.6), nếu
• 0 ≤ L < 1 thì ánh xạ T : C −→ X được gọi là ánh xạ co.
• L = 1 thì ánh xạ T : C −→ X được gọi là ánh xạ không giãn.
Định nghĩa 1.15 Phần tử x ∈ C được gọi là một điểm bất động của ánh
xạ T nếu T x = x.
Kí hiệu tập điểm bất động của ánh xạ T là Fix(T ).
Định nghĩa 1.16 Cho T (t) : C −→ C là một ánh xạ từ tập con lồi, đóng, khác rỗng C của không gian Banach X vào chính nó với mỗi t ≥ 0. Họ
ánh xạ {T (t) : t ≥ 0} từ C vào C được gọi là nửa nhóm ánh xạ không giãn (gọi tắt là nửa nhóm không giãn) trên C nếu nó thỏa mãn điều kiện sau:
(i) Với mỗi t ≥ 0, ánh xạ T (t) không giãn trên C.
(ii) T (0)x = x ∀x ∈ C.
(iii) T (t1 + t2) = T (t1) ◦ T (t2) với mọi t1 ≥ 0 và t2 ≥ 0.
(iv) Với mỗi x ∈ C, ánh xạ T (.) từ [0, ∞) vào C liên tục.
Kí hiệu F := ∩t≥0Fix(T (t)) là tập điểm bất động chung của nửa nhóm
không giãn {T (t) : t ≥ 0}. Nếu F (cid:54)= ∅ thì F là tập lồi đóng trong X.
13 Ví dụ 1.5 Trên không gian các số thực R, họ các ánh xạ {T (t) : t ≥ 0} : R → R xác định bởi T (t)x = e−tx với mỗi x ∈ R là nửa nhóm không giãn trên R. Thật vậy,
(i) Với mỗi t ≥ 0, t ∈ R và x, y ∈ R ta có:
(cid:107)T x − T y(cid:107) = (cid:107)e−tx − e−ty(cid:107) = (cid:107)e−t(x − y)(cid:107) = e−t(cid:107)x − y(cid:107) ≤ (cid:107)x − y(cid:107).
Suy ra T (t) ánh xạ không giãn không giãn trên R.
(ii) T (0)x = e−0x = x ∀x ∈ R.
(iii) Với mỗi t1 ≥ 0, t2 ≥ 0 và x, y ∈ R ta có
T (t1 + t2)x = e−(t1+t2)x = e−t1e−t2x = e−t1(e−t2x) = T (t1(T (t2)x).
Tức là T (t1 + t2) = T (t1) ◦ T (t2). (iv) Với mỗi x ∈ R, ánh xạ T (.) từ [0, ∞) vào R liên tục.
Định nghĩa 1.17 Nửa nhóm các ánh xạ không giãn {T (t) : t ≥ 0} được gọi là
(i) chính quy tiệm cận nếu
(cid:107)T (s)T (t)x − T (t)x(cid:107) = 0, lim t→∞
(ii) và chính quy tiệm cận đều nếu
(cid:18) (cid:19) (cid:107)T (s)T (t)x − T (t)x(cid:107) = 0 lim t→∞ sup x∈C
đều với mọi s > 0.
Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn và nửa nhóm không
giãn được khẳng định trong các định lý sau.
Định lý 1.5 (xem [2]) Cho C là tập con lồi, đóng, bị chặn của không gian Hilbert H và T : C −→ C là một ánh xạ không giãn. Khi đó T có ít nhất
một điểm bất động.
Nhận xét 1.2 Từ tính lồi chặt của không gian Hilbert H và tính liên tục
của ánh xạ không giãn T , ta thấy nếu tập điểm bất động Fix(T ) (cid:54)= ∅ thì nó là tập lồi và đóng.
14
Định lý 1.6 (xem [13] và tài liệu dẫn) Cho X là không gian Banach lồi
đều, C ⊆ X là tập con lồi, đóng, bị chặn trong X và T : C → C là ánh xạ không giãn. Khi đó, T có điểm bất động. Hơn nữa tập điểm bất động
Fix(T ) của ánh xạ T là một tập lồi đóng.
Định lý 1.7 (xem [13] và tài liệu dẫn) Cho X là không gian Banach lồi đều, C là tập con lồi, đóng của X, và {T (t) : t ≥ 0} là nửa nhóm không
giãn trên C. Khi đó các ánh xạ T (t), t ≥ 0 là bị chặn trên C (tức là ∀x ∈ C) khi và chỉ khi nửa nhóm không giãn supt≥0 (cid:107)T (t)x(cid:107) < +∞, {T (t) : t ≥ 0} có điểm bất động x0 ∈ C.
1.2.2. Một số phương pháp tìm điểm bất động của ánh xạ không
giãn
Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày phương pháp lặp Halpern và phương pháp lặp Mann để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn
T : C → C, với C là tập con của không gian Hilbert H. Bài toán được
phát biểu như sau: Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert H và T : C −→ C là một ánh xạ không giãn.
Tìm x∗ ∈ C : T (x∗) = x∗. (1.7)
Sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.7) được đảm bảo nhờ các Định lý 1.5 và Định lý 1.6.
1.2.2.1. Phương pháp lặp loại Mann
Để giải bài toán (1.7), năm 1953, Mann [23] đã nghiên cứu và đề xuất
phương pháp lặp
(1.8) xn+1 = αnxn + (1 − αn)T (xn), x1 ∈ C, n ≥ 1,
và gọi là dãy lặp Mann chuẩn tắc. Ông đã chứng minh rằng, nếu dãy {αn} được chọn sao cho (cid:80)∞ n=1 αn(1 − αn) = ∞ thì dãy {xn} sẽ hội tụ yếu về một điểm bất động của ánh xạ T , ở đây T : C −→ C là một ánh xạ không giãn từ tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H vào chính nó.
Tuy nhiên, trong trường hợp H là một không gian Hilbert vô hạn chiều thì dãy lặp (1.8) chỉ hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh.
15
Nakajo và Takahashi [24] đã đề xuất một cải tiến của phương pháp lặp
(1.8) cho trường hợp T là một ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert dạng
x0 ∈ C,
yn = αnxn + (1 − αn)T (xn),
(1.9) Cn = {z ∈ C : (cid:107)yn − z(cid:107) ≤ (cid:107)xn − z(cid:107)},
Qn = {z ∈ C : (cid:104)xn − z, x0 − xn(cid:105) ≥ 0},
xn+1 = PCn∩Qn(x0),
trong đó PC là phép chiếu mêtric từ H lên một tập con lồi đóng C của H. Họ đã chứng minh được rằng nếu dãy {αn} thỏa mãn điều kiện {αn} ⊆ [0, a] ⊂ [0, 1) thì dãy lặp {xn} xác định bởi (1.9) hội tụ mạnh về PF ix(T )(x0). Năm 2011, các tác giả Buong và Lang [9] đã thay các tập hợp lồi, đóng Cn và Qn bởi các nửa không gian. Cụ thể hơn, họ đã đề xuất phương pháp lặp sau: với x0 ∈ H
zn = αnPC(xn) + (1 − αn)PCT PC(xn),
(1.10)
yn = βnx0 + (1 − βn)PCT zn, Hn = {z ∈ H : (cid:107)yn − z(cid:107)2 ≤ (cid:107)xn − z(cid:107)2 +βn((cid:107)x0(cid:107)2 + 2(cid:104)xn − x0, z(cid:105))},
Wn = {z ∈ H : (cid:104)xn − z, x0 − xn(cid:105) ≥ 0},
xn+1 = PHn∩Wn(x0), n ≥ 0.
Sự hội hội tụ mạnh của dãy lặp {xn} xác định bởi (1.10) được cho bởi
định lí sau.
Định lý 1.8 [9] Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Hilbert H và T : C −→ H là một ánh xạ không giãn với Fix(T ) (cid:54)= ∅. Giả sử {αn} và {βn} là các dãy số trong [0,1] thỏa mãn αn −→ 1 và βn −→ 0. Khi đó, các dãy {xn}, {yn} và {zn} xác định bởi (1.10) hội tụ mạnh về u0 = PFix(T )(x0), khi n −→ ∞.
16
1.2.2.2. Phương pháp lặp Halpern
Phương pháp lặp của Halpern [15] được đề xuất năm 1967 dưới dạng
(1.11) xn+1 = αnu + (1 − αn)T (xn), n ≥ 0,
trong đó u, x0 ∈ C, {αn} ⊂ (0, 1) và T là một ánh xạ không giãn từ tập con lồi đóng C của không gian Hilbert H vào C. Ông đã chứng minh nếu αn = n−α, α ∈ (0, 1) thì dãy {xn} xác định bởi (1.11) sẽ hội tụ về một điểm bất động của T .
Năm 1977, Lions [22] đã chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy {xn} về một điểm bất động của T trong không gian Hilbert nếu dãy số {αn} thỏa mãn các điều kiện sau:
αn = 0,
n=1
(C1) lim n→∞ ∞ (cid:88) αn = +∞, (C2)
n+1
= 0. (C3) lim n→∞ |αn+1 − αn| α2
Tuy nhiên, với các kết quả của Halpern và Lions thì dãy chính tắc αn = lại bị loại trừ. Năm 1992, Wittmann [33] đã mở rộng kết quả của
∞ (cid:88)
1 n + 1 Halpern và giải quyết được vấn đề trên. Ông đã chỉ ra rằng nếu dãy số {αn} thỏa mãn các điều kiện (C1), (C2) và điều kiện
n=1
(C4) |αn+1 − αn| < ∞,
thì dãy lặp {xn} xác định bởi (1.11) hội tụ mạnh về một điểm bất động của T .
17
Chương 2
Phương pháp hiệu chỉnh cho nửa
nhóm không giãn
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kết quả cho bài toán tìm điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert
H không sử dụng đến tích phân Bochner cho nửa nhóm không giãn. Mục 2.1 giới thiệu về bài toán tìm điểm bất động chung của nửa nhóm không
giãn và một số kết quả đã công bố về phương pháp giải cho bài toán này. Mục 2.2 trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov và Mục 2.3
trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp hiện cho bài toán đang xét. Mục 2.4
đưa ra ví dụ số minh họa cho các phương pháp đã nghiên cứu. Nội dung của chương này được viết dựa trên các kết quả của bài báo [17].
2.1. Bài toán tìm điểm bất động chung của nửa nhóm không
giãn
Cho C là tập con khác rỗng lồi đóng trong không gian Hilbert H và {T (t) : t > 0} là nửa nhóm các ánh xạ không giãn trên C với F = ∩t>0Fix(T (t)) là tập điểm bất động chung của nửa nhóm {T (t)} luôn được giả thiết là khác rỗng. Ta biết rằng F (cid:54)= ∅ nếu tập C là compact và F cũng là một tập con lồi đóng của H (xem [14]).
Xét bài toán
Tìm p ∈ F : (2.1) (cid:107)x∗ − y(cid:107), (cid:107)x∗ − p(cid:107) = min y∈F
trong đó x∗ là một điểm thuộc H thỏa mãn x∗ /∈ F.
Để giải (2.1), Shioji và Takahashi [27] đã giới thiệu phương pháp lặp
18
ẩn sau:
0
(cid:90) tn (2.2) T (s)xnds, n ≥ 0, xn = αnu + (1 − αn) 1 tn
trong đó x∗ = u ∈ C, {αn} là dãy nằm trong khoảng (0, 1), và {tn} là dãy thực dương hội tụ về ∞ khi n → ∞. Năm 2003, Suzuki [29] cải tiến phương pháp của Shioji và Takahashi [27] phương pháp lặp ẩn dưới dạng
như sau trong không gian Hilbert
(2.3) xn = αnu + (1 − αn)T (tn)xn, n ≥ 1.
Phương pháp lặp (2.3) của Suzuki đã loại bỏ được tích phân Bochner trong
kết quả của Shioji và Takahashi. Năm 2005, Aleyner và Censor [5] xét dạng hiện của (2.3) như sau:
(2.4) xn+1 = αnu + (1 − αn)T (tn)xn,
với mỗi n ≥ 0, ở đây αn ∈ [0, a] với a ∈ [0, 1) và {tn} là dãy thực dương.
Định lý 2.1 [5] Cho C là tập con khác rỗng lồi đóng của không gian
Hilbert H, và cho u ∈ C là điểm cho trước. Giả sử {T (t) : t ≥ 0} là nửa nhóm không giãn chính quy tiệm cận đều trên C sao cho F (cid:54)= ∅, và giả sử {αn} là dãy thỏa mãn điều kiện
∞ (cid:88)
αn = 0, (L1) αn ∈ [0, 1) với mọi n ≥ 0, và lim n→∞
n=0 (1 − αn) = 0),
n=0 ∞ (cid:88)
(L2) αn = +∞ (hoặc tương đương (cid:117)∞
n=0
(L3) |αn+1 − αn| < ∞,
và {tn}n≥0 là dãy thỏa mãn các điều kiện
và (2.5) 0 ≤ t0 ≤ t1 ≤ . . . ≤ . . . , tn = ∞, lim n→∞
∞ (cid:88)
và
n=0
(2.6) sup (cid:107)T (s)T (tn)x − T (tn)x(cid:107) < ∞.
Khi đó với bất kì dãy {xn} xác định bởi (2.4) sẽ hội tụ mạnh về PF u.
19
Chú ý rằng nếu {T (t) : t ≥ 0} là chính quy tiệm cận đều thì tồn tại một dãy đơn điệu {tn}n≥0 sao cho các điều kiện (2.5) và (2.6) được thỏa mãn. Năm 2005, Xu [35] và Chen và He [12] mở rộng kết quả của Suzuki
[29] trong không gian Banach phản xạ có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J : X → X ∗ có tính chất liên tục yếu theo dãy. Tiếp sau đó, Nakajo và Takahashi [24] nghiên cứu phương pháp chiếu CQ dựa trên ý tưởng của
Solodov và Svaiter [28] cho bài toán (2.1) dưới dạng
(cid:82) tn 0 T (s)xnds, x0 = x ∈ C, yn = αnu + (1 − αn) 1 tn
(2.7) Cn = {z ∈ C : (cid:107)yn − z(cid:107) ≤ (cid:107)xn − z(cid:107)},
Qn = {z ∈ C : (cid:104)xn − z, x0 − xn(cid:105) ≥ 0},
xn+1 = PCn∩Qn(x0)
với mỗi n ≥ 0, ở đây αn ∈ [0, a] với a ∈ [0, 1) và {tn} là dãy thực dương phân kỳ. Với một số điều kiện đặt lên {αn} và {tn}, dãy {xn} xác định bởi (2.7) hội tụ mạnh về điểm PF x0.
Khi {T (t) : t ≥ 0} không phải là nửa nhóm không giãn chính quy tiệm
cận, dựa trên ý tưởng của Suzuki [29] và Nakajo-Takahashi [24], bằng cách kết hợp (2.3) và (2.7), các tác giả He và Chen [16] nghiên cứu phương pháp
sau: x0 = x ∈ C,
yn = αnxn + (1 − αn)T (tn)xn,
(2.8) Cn = {z ∈ C : (cid:107)yn − z(cid:107) ≤ (cid:107)xn − z(cid:107)},
Qn = {z ∈ C : (cid:104)xn − z, x0 − xn(cid:105) ≥ 0},
xn+1 = PCn∩Qn(x0)
với mỗi n ≥ 0, ở đây αn ∈ [0, a] với a ∈ [0, 1) và tn ≥ 0 : limn→∞ tn = 0. Khi đó, dãy {xn} xác định bởi (2.8) hội tụ mạnh về PF x0.
20
Gần đây, Saejung [26] đề xuất phương pháp
bất kỳ, x0 = x ∈ H,
C1 = C,
x1 = PC1(x0), (2.9)
yn = αnxn + (1 − αn)T (tn)xn,
Cn+1 = {z ∈ C : (cid:107)yn − z(cid:107) ≤ (cid:107)xn − z(cid:107)},
xn+1 = PCn+1(x0),
và chứng minh kết quả sau:
Định lý 2.2 [26] Cho C là tập con khác rỗng lồi đóng trong không gian
Hilbert thực H. Cho {T (t) : t ≥ 0} là nửa nhóm không giãn trên C sao cho F (cid:54)= ∅. Giả sử rằng {xn} là dãy lặp xác định bởi (2.9) với αn ∈ [0, a] với a ∈ [0, 1), lim infn tn > 0, và limn(tn+1 − tn) = 0. Khi đó, xn → PF (x0).
Nếu C ≡ H, thì Cn và Qn trong (2.7), (2.8) và (2.9) là các nửa không gian. Do đó, phép chiếu metric của xn+1 lên Cn ∩ Qn hoặc Cn+1 trong các phương pháp này có thể tìm theo công thức dạng hiện trong [28]. Hiển nhiên, nếu C là tập con thực sự của H, thì Cn và Qn trong các thuật toán này không phải là các nửa không gian. Do vậy, một bài toán được đặt ra là: làm sao để xây dựng các tập con lồi đóng Cn và Qn nếu ta có thể biểu diễn xn+1 trong các thuật toán trên theo công thức dạng hiện của [28]? Bài toán này đã được xét gần đây trong [8]. Trong đó, tác giả đã đề xuất một cách tiếp cận mới để hai tập Cn và Qn vẫn là nửa không gian ngay cả khi C là tập con thực sự của H và yn là vế phải của (2.3) với một vài cải biên.
Ta biết rằng, bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn nói chung là bài toán đặt không chỉnh. Do đó bài toán (2.1) cũng là bài toán
đặt không chỉnh. Việc xây dựng các phương pháp giải ổn định cho lớp các bài toán này là một điều cần thiết, trong đó phương pháp hiệu chỉnh dạng
Browder-Tikhonov (xem chẳng hạn [4]) là một phương pháp khá nổi tiếng và được nhiều tác giả nghiên cứu cho nhiều lớp bài toán đặt không chỉnh.
21
Xuất phát từ ý tưởng đó, chúng tôi nghiên cứu và trình bày trong mục
tiếp theo phương pháp hiệu chỉnh để tìm nghiệm của bài toán (2.1).
2.2. Phương pháp hiệu chỉnh Browder - Tikhonov
2.2.1. Mô tả phương pháp
Năm 2012, Buong và Phuong [10] xây dựng phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu được phát biểu dưới dạng: Tìm điểm x∗ ∈ C ⊂ X sao cho
(2.10) (cid:104)F x∗, j(x − x∗)(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ C,
trong đó C là tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Banach lồi đều
và có chuẩn khả vi Gâteaux đều X, F : X → X là ánh xạ j-đơn điệu mạnh và giả co chặt.
Chú ý 2.1 Ánh xạ F : X → X được gọi là
(i) η-j-đơn điệu mạnh nếu với mọi x, y ∈ D(F ), tồn tại η ≥ 0 sao cho
(cid:104)F x − F y, j(x − y)(cid:105) ≥ η(cid:107)x − y(cid:107)2;
(ii) ánh xạ γ-giả co chặt nếu với mọi x, y ∈ D(F ), tồn tại γ ≥ 0 sao cho
(cid:104)T x − T y, j(x − y)(cid:105) ≥ (cid:107)x − y(cid:107)2 − γ(cid:107)(I − T )x − (I − T )y(cid:107)2 ∀x, y ∈ C,
ở đây j : X → X ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X.
Trong [10], các tác giả đã đề xuất phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder-
Tikhonov cho (2.10) khi tập chấp nhận được C là tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn {Ti}∞ i=1 trong không gian Banach X dưới dạng như sau:
(2.11) Ak(xk) + εkF (xk) = 0, Ak = I − Vk,
ở đây
k = T iT i+1 . . . T k, T i = (1 − κi)I + κiTi, V i
(2.12) Vk = V 1 k ,
với mọi i ≤ k với i, k ∈ N, tập các số nguyên dương, κ ∈ (0, 1), (cid:80)∞ i=1 κi < ∞, và tham số hiệu chỉnh εk → 0 khi k → ∞. Rất gần đây, Thuy [31] đã
22
cải tiến kết quả trên bằng việc xét phương trình hiệu chỉnh cho (2.10) dưới
dạng
(2.13) (I − Sn)xn + αnF xn = 0,
n (cid:88)
n (cid:88)
n (cid:88)
trong đó ánh xạ Sn xác định bởi
i=1
i=1
i=1
(2.14) Sn = (κi/sn)Ti, sn = κi, κi ∈ (0, 1) and κi < ∞.
Ánh xạ Sn xác định bởi (2.14) được chỉ ra là đơn giản và dễ xác định hơn ánh xạ Vk xây dựng bởi (2.12) (xem thêm [31]).
Năm 2017, Thuy và các đồng tác giả [32] xét bài toán (2.10) khi tập chấp nhận được C = F = ∩t≥0Fix(T (t)) là tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn {T (t) : t ≥ 0} trong trên không gian Banach X. Thuy và các đồng tác giả đã xây dựng phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov
cho (2.10) dưới dạng
(2.15) Anxn + εnF xn = 0, n ≥ 0
trong đó An = I − Tn, và Tn được xác định bởi
0
(cid:90) tn T (s)xds ∀x ∈ E, (2.16) Tnx = 1 tn
và {tn}, {εn} là các dãy tham số dương thỏa mãn tn → ∞ và εn → 0 khi n → ∞. Các tác giả đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm của phương trình hiệu chỉnh (2.15), đồng thời chỉ ra rằng với các điều kiện thích hợp đặt lên các dãy tham số {tn} và {εn}, nghiệm của phương trình hiệu chỉnh hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất của bài toán (2.10).
Trong nghiên cứu này, sử dụng ý tưởng của các tác giả trước đó cho bài toán (2.1) và bài toán (2.10), chúng tôi giới thiệu phương pháp hiệu
chỉnh để giải (2.1), khi {T (t : t ≥ 0)} không cần thiết phải là nửa nhóm chính quy tiệm cận đều trên C và không sử dụng tích phân Bochner (2.16)
cho nửa nhóm không giãn {T (t : t ≥ 0)}. Cụ thể, chúng tôi đề xuất phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov dưới dạng như sau: tìm phần tử xn ∈ H sao cho
(2.17) AC(tn)xn + εn(xn − x∗) = 0, AC(t) = I − T (t)PC,
23
ở đây I là ánh xạ đồng nhất trong H và {tn}, {εn} là các dãy số thực dương hội tụ về 0 khi n → ∞.
2.2.2. Sự tồn tại và sự hội tụ
Ta cần các bổ đề sau trong quá trình chứng minh các kết quả cho bài
toán (2.1).
Bổ đề 2.1 [7] Nếu A là ánh xạ đơn điệu cực đại trên H, khi đó với α > 0 phương trình Ax + αx = f , với f ∈ H, có nghiệm duy nhất.
Bổ đề 2.2 [34] Giả sử {sn} là dãy số thực không âm thỏa mãn các điều kiện:
sn+1 ≤ (1 − ζn)sn + ζnηn + θn,
n=1 ζn = ∞;
n=1 θn < ∞.
trong đó {ζn}, {ηn} và {θn} là các dãy số thỏa mãn các điều kiện:
(i) {ζn} ⊂ [0, 1], (cid:80)∞ (ii) lim supn→∞ ηn ≤ 0; (iii) θn ≥ 0, (cid:80)∞ Khi đó, limn→+∞ sn = 0.
Bổ đề 2.3 [25] (Điều kiện Opial) Giả sử H là không gian Hilbert. Với mọi dãy {xk} ⊂ H hội tụ yếu về x khi k → ∞, bất đẳng thức sau
(cid:107)y − xk(cid:107) lim k→∞ (cid:107)x − xk(cid:107) < lim k→∞
thỏa mãn với mọi y ∈ H và y (cid:54)= x.
Định lý sau đây khẳng định sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương
trình (2.17) và sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm duy nhất của bài toán (2.1).
Định lý 2.3 Cho H là không gian Hilbert, C là một tập con khác rỗng lồi
t ≥ 0} là một nửa nhóm ánh xạ không giãn trên
đóng của H và {T (t) : C thỏa mãn F = ∩t≥0 Fix(T (t)) (cid:54)= ∅. Khi đó ta có
(i) Với mỗi εn, tn > 0, phương trình (2.17) có nghiệm duy nhất xn.
24
(ii) Nếu εn và tn được chọn sao cho
n→∞
tn = 0, lim sup tn > 0, εn = 0, lim inf n→∞ lim n→∞ (tn+1 − tn) = 0 và lim n→∞
xn = p, là nghiệm duy nhất của bài toán (2.1). thì lim n→∞
Chứng minh. (i) Do T (tn) và PC là ánh xạ không giãn nên với mọi x, y ∈ H ta có:
(cid:107)T (tn)PC(x) − T (tn)PC(y)(cid:107) ≤ (cid:107)PC(x) − PC(y)(cid:107)
≤ (cid:107)x − y(cid:107).
Suy ra, T (tn)PC là cũng ánh xạ không giãn trên H. Do đó với mọi x, y ∈ H ta có:
(cid:104)AC(tn)x − AC(tn)y, x − y(cid:105) = (cid:104)(I − T (tn)PCx) − (I − T (tn)PC)y, x − y(cid:105) = (cid:104)x − y − [T (tn)PC(x) − T (tn)PCy], x − y(cid:105) = (cid:107)x − y(cid:107)2 + (cid:104)T (tn)PC(x) − T (tn)PCy, x − y(cid:105) .
Do AC(tn) = I − T (tn)PC, nên ta có
(cid:107)(I − AC(tn))x − (I − AC(tn))y(cid:107)2 = (cid:107)T (tn)PC(x) − T (tn)PCy(cid:107)2
≤ (cid:107)x − y(cid:107)2.
Mặt khác,
(cid:107)(I − AC(tn))x − (I − AC(tn))y(cid:107)2 = (cid:107)x − y(cid:107)2 + (cid:107)AC(tn)x − AC(tn)y(cid:107)2 − 2(cid:104)AC(tn)x − AC(tn)y, x − y(cid:105).
Do vậy, ta suy ra
(2.18) (cid:107)AC(tn)x − AC(tn)y(cid:107)2. (cid:104)AC(tn)x − AC(tn)y, x − y(cid:105) ≥ 1 2
Bất đẳng thức (2.18) chứng tỏ ánh xạ AC(tn) là 1/2-ngược đơn điệu mạnh (xem [30]), với mọi x, y ∈ H, và liên tục Lipschitz với hằng số L = 2. Suy ra, ánh xạ AC(tn) là đơn điệu cực đại (xem [6], [11]) với mỗi tn > 0. Theo Bổ đề 2.1, bài toán (2.17) có nghiệm duy nhất xn với n ≥ 0.
25
(ii) Trước tiên, ta chứng minh rằng
(2.19) (cid:107)xn − x∗(cid:107) ≤ (cid:107)y − x∗(cid:107) ∀y ∈ F.
Với mỗi y ∈ F, ta có y = T (tn)y = T (tn)PC(y). Do vậy AC(tn)y = 0. Khi đó, từ (2.17) dẫn đến
(2.20) (cid:104)AC(tn)y − AC(tn)xn, y − xn(cid:105) + εn(cid:104)xn − x∗, xn − y(cid:105) = 0.
Do AC(tn) là toán tử đơn điệu nên ta có
(cid:104)AC(tn)y − AC(tn)xn, y − xn(cid:105) ≥ 0.
Kết hợp bất đẳng thức cuối và (2.20), ta suy ra với mọi y ∈ F
(cid:104)xn − x∗, xn − y(cid:105) ≤ 0
⇔ (cid:104)xn − x∗, xn − x∗ + x∗ − y(cid:105) ≤ 0
⇔ (cid:104)xn − x∗, xn − x∗(cid:105) + (cid:104)xn − x∗, x∗ − y(cid:105) ≤ 0
⇔ (cid:104)xn − x∗, xn − x∗(cid:105) ≤ (cid:104)xn − x∗, y − x∗(cid:105) ≤ 0 ⇔ (cid:107)xn − x∗(cid:107)2 ≤ (cid:107)xn − x∗(cid:107)(cid:107)y − x∗(cid:107) ≤ 0.
Bất đẳng thức cuối dẫn đến (2.19). Do đó, {xn} là dãy bị chặn. Vì không gian Hilbert H là phản xạ, nên tồn tại một dãy con {xk := xnk} của dãy {xn} hội tụ yếu đến một điểm p ∈ C, khi k → ∞.
Tiếp theo ta chỉ ra rằng p ∈ F. Tức là ta phải chứng minh p = T (t)p với mọi t ≥ 0 cố định. Dễ thấy, với t = 0, p = T (0)p. Xét t > 0. Do AC(tk) là ánh xạ 1/2-ngược đơn điệu mạnh, kết hợp (2.17) và (2.19), ta có
0 ≤ (cid:107)AC(tk)xk(cid:107)2 1 2
≤ (cid:104)AC(tk)xk, xk − y(cid:105) = −εk(cid:104)xk − x∗, xk − y(cid:105)
≤ −εk(cid:104)y − x∗, y − xk(cid:105)
= −εk(cid:104)y − x∗, y − x∗ + x∗ − xk(cid:105)
= −εk(cid:104)y − x∗, y − x∗(cid:105) − εk(cid:104)y − x∗, x∗ − xk(cid:105) ≤ εk(cid:107)y − x∗(cid:107)2 + εk(cid:107)y − x∗(cid:107)2 = 2εk(cid:107)y − x∗(cid:107)2.
26
Do εk → 0 khi k → ∞, từ đánh giá trên ta có
(cid:107)AC(tk)xk(cid:107) = 0, lim k→∞
hay
(2.21) (cid:107)xk − T (tk)PC(xk)(cid:107) = 0. lim k→∞
Mặt khác, do với mỗi t > 0, ánh xạ T (t) : C → C là không giãn, nên ta có T (tk)PC(xk) = PCT (tk)PC(xk) và do đó
(cid:107)PC(xk) − T (tk)PC(xk)(cid:107) = (cid:107)PC(xk) − PCT (tk)PC(xk)(cid:107)
≤ (cid:107)xk − T (tk)PC(xk)(cid:107).
Do vậy, ta được
(2.22) (cid:107)PC(xk) − T (tk)PC(xk)(cid:107) = 0. lim k→∞
Không mất tính tổng quát, tương tự như trong [26], giả sử
= 0. lim k→∞ (cid:107)PC(xk) − T (tk)PC(xk)(cid:107) tk
Chú ý rằng từ (2.21) và (2.22), dẫn đến {PC(xk)} cũng hội tụ yếu đến p, suy ra p ∈ C.
(cid:21) (cid:21) ≤ ≤ +1 ∀k, Do tk → 0, ta giả sử t ≥ tk với mọi k, nên (cid:20) t tk (cid:20) t tk t tk
[t/tk]−1 (cid:88)
trong đó [z] là ký hiệu phần nguyên của số thực dương z ∈ R+. Do đó, với mọi k, ta có
(cid:107)T (t)p − PC(xk)(cid:107) ≤ (cid:107)T (itk)PC(xk) − T ((i + 1)tk)PC(xk)(cid:107)
i=0 + (cid:107)T (t)p − T ([t/tk]tk)p(cid:107)
(2.23)
+ (cid:107)T ([t/tk]tk)p − T ([t/tk]tk)PC(xk)(cid:107).
Do T (t) : t ≥ 0 là nửa nhóm nên với mọi k ta có các bất đẳng thức sau:
T ((i + 1)tk) = T (itk) ◦ T (tk) ∀ 1 ≤ i ≤ [t/tk] − 1;
T (t) = T ([t/tk]tk) ◦ T (t − [t/tk]tk).
27
Thêm vào đó, các ánh xạ T (itk) và T ([t/tk]tk) cũng là các ánh xạ không giãn nên với mọi 0 ≤ i ≤ [t/tk] − 1, ta có các bất đẳng thức sau:
(cid:107)T ((i + 1)tk)PCxk − T (itk)PCxk(cid:107) ≤ (cid:107)T (tk)PCxk − PCxk(cid:107);
(cid:107)T (t)p − T ([t/tk]tk)p(cid:107) ≤ (cid:107)T (t − [t/tk]tk)p − p(cid:107);
(cid:107)T ([t/tk]tk)p − T ([t/tk]tk)PCxk(cid:107) ≤ (cid:107)p − PCxk(cid:107).
Sử dụng ba đánh giá trên vào (2.23) ta suy ra:
(cid:107)T (t)p − PCxk(cid:107) ≤ [t/tk](cid:107)T (tk)PCxk − PCxk(cid:107)
+(cid:107)T (t − [t/tk]tk)p − p(cid:107) + (cid:107)p − PCxk(cid:107).
Do t/tk ≤ [t/tk] + 1, nên t − [t/tk]tk ≤ tk, và do đó,
(cid:107)T (t)p − PCxk(cid:107) ≤ t (cid:107)T (s)p − p(cid:107) + (cid:107)p − PCxk(cid:107) + max 0≤s≤tk (cid:107)T (tk)PCxk − PCxk(cid:107) tk
với mọi k ≥ 0. Từ đó ta có,
k→∞
(2.24) (cid:107)T (t)p − PCxk(cid:107) ≤ lim sup (cid:107)p − PCxk(cid:107). lim sup k→∞
Ta có dãy {PCxk} hội tụ yếu đến p, nên T (t)p = p với mọi t ≥ 0. Thật vậy, nếu T (t)p (cid:54)= p với t ≥ 0 nào đó, khi đó theo điều kiện Opial (xem Bổ
đề 2.3) ta có
k→∞
(cid:107)PCxk − p(cid:107) < lim sup (cid:107)PCxk − T (t)p(cid:107), lim sup k→∞
điều này mâu thuẫn với (2.24). Vậy T (t)p = p với mọi t ≥ 0. Do dãy {xk} hội tụ yếu đến p ∈ F, nên từ (2.19) suy ra
(cid:107)p − x∗(cid:107) ≤ (cid:107)y − x∗(cid:107) ∀ y ∈ F,
điều này có nghĩa p là ảnh của x∗ qua phép chiếu trực giao lên F. Điểm này là duy nhất, nên cả dãy {xn} hội tụ yếu đến p. Thật vậy, giả sử {xm} là dãy con bất kỳ của {xn} hội tụ yếu đến q ∈ F. Khi đó, theo (2.19), ta có với mọi m
(cid:107)xm − x∗(cid:107) ≤ (cid:107)q − x∗(cid:107) ∀y ∈ F.
28
Mặt khác, do chuẩn là nửa liên tục dưới yếu nên
(cid:107)xm − x∗(cid:107) (cid:107)q − x∗(cid:107) ≤ lim inf m→∞
và do vậy ta có
(cid:107)q − x∗(cid:107) ≤ (cid:107)y − x∗(cid:107) ∀y ∈ F.
Vậy, p = q và xn (cid:42) p. Cuối cùng, vì (cid:107)xn − x∗(cid:107) → (cid:107)p − x∗(cid:107), ta thu được dãy {xn} hội tụ mạnh đến p khi n → ∞. Điều phải được chứng minh.
Ngoài ra, ta có đánh giá cho (cid:107)xn − xm(cid:107) với xn, xm là các nghiệm hiệu chỉnh với các tham số hiệu chỉnh tương ứng εn và εm trong bổ đề sau đây. Bổ đề 2.4 được dùng để chứng minh sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh
hiệu chỉnh lặp cho nửa nhóm không giãn mà ta sẽ xét trong Định lý 2.4.
Bổ đề 2.4 Cho H, C, {T (t) : t ≥ 0} và F được giả thiết như trong Định lý 2.3. Cho xn và xm là nghiệm hiệu chỉnh của phương trình (2.17) với các tham số hiệu chỉnh tương ứng εn và εm. Nếu (cid:107)T (t)x−T (h)x(cid:107) ≤ |t−h|γ(x) với mỗi x ∈ C, ở đây γ(x) là một hàm bị chặn thì
(cid:107)y − x∗(cid:107) + γ1 (cid:107)xn − xm(cid:107) ≤ |εn − εm| εn |tn − tm| εn
với mỗi εn, εm, tn, tm > 0, y ∈ F, và hằng số dương γ1.
Chứng minh. Từ (2.17) và tính đơn điệu của AC(tn), ta có đẳng thức sau:
(cid:104)AC(tn)xn − AC(tm)xm, xm − xn(cid:105) + εn(cid:104)xn − x∗, xm − xn(cid:105) +εm(cid:104)xm − x∗, xn − xm(cid:105) = 0.
Do (cid:107)AC(tn)xm − AC(tm)xm(cid:107) ≤ |tn − tm|γ(xm), và γ(x) là hàm bị chặn, nên tồn tại hằng số dương γ1 sao cho γ(xm) ≤ γ1. Do đó,
(cid:107)xn − xm(cid:107) ≤ (cid:107)xm − x∗(cid:107) + (cid:107)AC(tn)xm − AC(tm)xm(cid:107) εn
≤ (cid:107)y − x∗(cid:107) + γ1, |εn − εm| εn |εn − εm| εn |tn − tm| εn
với mỗi εn, εm, tn, tm > 0 và y ∈ F. Định lý được chứng minh.
29
2.3. Phương pháp hiệu chỉnh lặp
2.3.1. Mô tả phương pháp
Phương pháp tiếp theo được đề xuất dựa trên việc kết hợp phương pháp
hiệu chỉnh (2.17) và phương pháp lặp hiện dưới dạng như sau:
(2.25) wn+1 = wn − βn[AC(tn)wn + εn(wn − x∗)], n ≥ 0, w0 ∈ H,
ở đây {βn} là dãy thực dương thỏa mãn một số điều kiện xác định.
Khi AC(t) ≡ A, thuật toán (2.25) được Bakushinskii nghiên cứu và giới
thiệu đầu tiên và được gọi là phương pháp lặp hiệu chỉnh bậc không.
2.3.2. Sự hội tụ
Định lý 2.4 Cho H, C, {T (t), t ≥ 0}, và F được giả sử như trong Định lý
2.3. Giả thiết các điều kiện sau thỏa mãn:
|εn−εn+1| ε2 nβn
|tn−tn+1| ε2 nβn
εn 4+4εn+ε2 n n=0 εnβn = +∞,
với mọi n, = 0, và lim n→∞ = lim n→∞ (i) βn ≤ (cid:80)∞ εn → 0;
n→∞
tn = 0, lim sup (tn+1 − tn) = 0; tn > 0, (ii) lim inf n→∞
lim n→∞ (iii) (cid:107)T (t)x − T (h)x(cid:107) ≤ |t − h|γ(x) với mỗi x ∈ C, trong đó γ(x) là
hàm bị chặn. Khi đó, dãy wn xác định bởi (2.25) hội tụ mạnh về điểm p ∈ F thỏa mãn (2.1), khi n → +∞.
Chứng minh. Đặt ∆n = (cid:107)wn −xn(cid:107) với xn là nghiệm của (2.17). Từ (2.25) dẫn đến
∆n+1 = (cid:107)wn+1 − xn+1(cid:107) = (cid:107)wn+1 − xn + xn − xn+1(cid:107)
≤ (cid:107)wn+1 − xn(cid:107) + (cid:107)xn − xn+1(cid:107),
trong đó
(cid:107)wn+1 − xn(cid:107)2
n(cid:107)[AC(tn)wn − AC(tn)xn] + εn(wn − xn)(cid:107)2
=(cid:107)wn − xn − βn[AC(tn)wn − AC(tn)xn + εn(wn − xn)](cid:107)2 =(cid:107)wn − xn(cid:107)2 + β2
− 2βn(cid:104)AC(tn)wn − AC(tn)xn + εn(wn − xn), wn − xn(cid:105)
30
n(cid:107)wn − xn(cid:107)2 (cid:21)
(cid:20) (cid:107)AC(tn)wn − AC(tn)xn(cid:107)2 + ε2 =(cid:107)wn − xn(cid:107)2 + β2 n
(cid:11) + 2εn (cid:10)AC(tn)wn − AC(tn)xn, wn − xn
− 2βn(cid:104)AC(tn)wn − AC(tn)xn, wn − xn(cid:105) − 2βnεn(cid:107)wn − xn(cid:107)2. (2.26)
Do AC(tn) là ánh xạ liên tục Lipschitz với hằng số L = 2 và đơn điệu nên ta có:
(cid:107)AC(tn)wn − AC(tn)xn(cid:107) ≤ 2(cid:107)wn − xn(cid:107), (cid:104)AC(tn)wn − AC(tn)xn, wn − xn(cid:105) ≤ 2(cid:107)wn − xn(cid:107)2,
và
(cid:104)AC(tn)wn − AC(tn)xn, wn − xn(cid:105) ≥ 0.
Sử dụng tính liên tục Lipschitz và tính đơn điệu của AC(tn) vào (2.26), ta suy ra được:
n(2 + εn)2
(cid:21) , (cid:107)wn+1 − xn(cid:107)2 ≤ (cid:107)wn − xn(cid:107)2 (cid:20) 1 − 2βnεn + β2
n(2 + εn)2
hay (cid:21)1/2 . (cid:20) (cid:107)wn+1 − xn(cid:107) ≤ (cid:107)wn − xn(cid:107) 1 − 2βnεn + β2
εn 4+4εn+ε2 n
với mọi n và sử dụng bất đẳng thức (1 − t)s ≤
Với giả thiết βn ≤ 1 − st với 0 < s < 1, ta dễ suy ra được
n(2 + εn)2
(cid:20) (cid:21)1/2 (cid:18) (cid:19) ≤ 1 − . βnεn 1 − 2βnεn + β2 1 2
Do vậy,
n(2 + εn)2]1/2 + (cid:107)xn − xn+1(cid:107) |εn − εn+1| εn
(cid:19) ∆n+1 ≤ ∆n[1 − 2βnεn + β2 (cid:18) + 1 − βnεn (cid:107)p − x∗(cid:107) + γ1 ≤ ∆n 1 2 |tn − tn+1| εn
≤ ∆n(1 − ζn) + ζnηn.
2βnεn và ζnηn = |εn−εn+1|
εn
εn
(cid:107)p − x∗(cid:107) + |tn−tn+1| γ1 thỏa mãn các
trong đó ζn = 1 điều kiện của Bổ đề 2.2 với sn = ∆n và θn = 0. Áp dụng Bổ đề 2.2, suy ra limn→∞ ∆n = 0. Do vậy wn → xn, n → ∞.
31
Theo Định lý 2.3, ta có xn → p khi n → ∞. Điều này có nghĩa là {wn}
hội tụ mạnh về p khi n → ∞. Định lý được chứng minh.
2.4. Ví dụ số minh họa
Trong mục này chúng tôi trình bày ví dụ số minh họa cho sự hội tụ
của hai phương pháp (2.17) và (2.25) để tìm điểm bất động của nửa nhóm không giãn có x∗-chuẩn nhỏ nhất. Kết quả số được chạy bằng ngôn ngữ MATLAB 7.0 và đã chạy thử nghiệm trên máy tính cá nhân.
0
cos(αt) − sin(αt)
0
0 . . . 0
0
0
x1
0
sin(αt)
cos(αt)
0
0 . . . 0
0
0
x2
0
0
cos(αt) − sin(αt) 0 . . . 0
0
0
x3
0
0
sin(αt)
cos(αt)
0 . . . 0
0
0
x4
T (t)x =
,
0 ... 0
0 ... 0
0 ... 0
0 ... 0
1 . . . 0 ... ... . . . 0 . . . 1
0 ... 0
0 ... 0
x5 ... x8
0
0
0
0
0 . . . 0 cos(βt) − sin(βt)
x9
0
0
0
0
0 . . . 0 sin(βt)
cos(βt)
x10
Ví dụ 2.1 Xét trường hợp H = R10 và C = F là tập điểm bất động chung của nửa nhóm các ánh xạ không giãn {T (t) : R10 → R10, t ≥ 0} sau:
với x = (x1, x2, . . . , x10)T ∈ R10 và α, β ∈ R cố định.
Khi đó dễ dàng kiểm tra được {T (t) : t ≥ 0} thỏa mãn các tính chất
của nửa nhóm không giãn và
F = {x ∈ R10 : x = (0, . . . , 0, x5, . . . , x8, 0, 0)T }
là tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn {T (t) : t ≥ 0}.
+ Chọn điểm x∗ ∈ R10 : x∗ = (2, 2, . . . , 2)T . Khi đó nghiệm đúng của
bài toán (2.1) là điểm p = (0, 0, 0, 0, 2, . . . , 2, 0, 0)T ∈ F ⊂ R10.
32
2.4.1. Minh họa số cho phương pháp hiệu chỉnh (2.17)
0
0
0
. . .
0
0
0
ϑn
σn
0
0
0
. . .
0
0
0
−σn ϑn
0
0
0
. . .
0
0
0
ϑn
σn
0
0
. . .
0
0
0
0 −σn ϑn
An =
. . . . . .
0 ... 0
0 ... 0
0 ... 0
εn ... 0
0 ... 0
0 ... 0
0 ... 0
0 ... . . . εn
0
0
0
0
0
. . .
0
0
0
0
0
0
. . .
ϑ(cid:48) σ(cid:48) n n 0 −σ(cid:48) n ϑ(cid:48) n
(cid:16)
(cid:17)T
(cid:16)
(cid:17)T
,
xn =
, bn =
εnx∗1, εnx∗2, . . . , εnx∗10
xn1, xn2,
. . . , xn10
n và σn, σ(cid:48)
n ở trong ma trận An được xác định
Viết lại (2.17) dưới dạng phương trình ma trận Anxn = bn với
trong đó các phần tử ϑn, ϑ(cid:48) như sau:
n = 1 + εn − cos(βtn)
ϑn = 1 + εn − cos(αtn), ϑ(cid:48)
n = sin(βtn).
σn = sin(αtn), σ(cid:48)
Chọn α = π/6, β = π/9 và các dãy tham số
tn = π(3n + 1)−1/150, εn = (n + 1)−3.
n
err = (cid:107)xn − p(cid:107) Thời gian (giây)
1
0.45482
0.38
2
0.14142
0.386
3
0.060428
0.39
10
0.0029459
0.452
20
0.00042514
0.483
50
2.9833 × 10−5
0.514
100
3.856 × 10−6
0.515
200
4.9114 × 10−7
0.53
Bảng 2.1 Kết quả tính toán cho phương pháp (2.17)
Kết quả tính toán cho phương pháp được thể hiện trong bảng sau đây:
33
Hình 2.1: Minh họa sai số tuyệt đối của phương pháp (2.17)
2.4.2. Minh họa số cho phương pháp (2.25)
Chọn α = π/6, β = π/9, xấp xỉ ban đầu x0 = (7.5, 7.5, 7.5, 5.5 . . . , 5.5) ∈
R10 và các dãy tham số được chọn như sau
tn = π(3n + 1)−1/150, εn = (7n + 1)−2/3 và βn = (n + 1)−1/14.
n
err = (cid:107)xn − p(cid:107) Thời gian (giây)
1
17.564
0.406
2
16.315
0.407
3
14.315
0.422
10
6.1924
0.426
20
2.1234
0.430
50
0.93478
0.437
100
0.52057
0.453
200
0.25995
0.468
500
0.084602
0.546
1000
0.030745
0.577
5000
0.0039281
1.076
5.18
10000
0.0024046
Bảng 2.2 Kết quả tính toán cho phương pháp (2.25)
Kết quả tính toán cho phương pháp được thể hiện trong bảng sau đây:
Nhận xét 2.1 Dựa trên kết quả tính toán cho thuật toán (2.17) và (2.25) ta rút ra một số nhận xét sau:
34
Hình 2.2: Minh họa sai số tuyệt đối của phương pháp (2.25)
(i) Các phương pháp hiệu chỉnh lặp ẩn và hiệu chỉnh lặp hiện hội tụ về nghiệm chính xác của bài toán ban đầu.
(ii) Thuật toán lặp ẩn hội tụ khá nhanh khi sai số err cho trước chọn trong khoảng từ 10−5 đến 10−7.
35
Kết luận
Trong luận văn này, chúng tôi đã thu được một số kết quả cụ thể sau
đây:
• Nghiên cứu và trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp ẩn dạng Browder– Tikhonov để tìm điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn trong
không gian Hilbert mà không dùng đến tích phân Bochner cho nửa nhóm không giãn.
• Thiết lập phương pháp hiệu chỉnh lặp hiện dựa trên phương pháp
hiệu chỉnh Browder–Tikhonov cho nửa nhóm không giãn.
• Đưa ra ví dụ số nhằm minh họa cho sự hội tụ của hai phương pháp
đã giới thiệu.
36
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, NXB
Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà (2002), Các định lí điểm bất
động, NXB Đại học Sư Phạm.
Tiếng Anh
[3] Agarwal R.P., O’Regan D., Sahu D.R.(2009), Fixed Point Theory for
Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.
[4] Alber Y., Ryazantseva I. (2006), Nonlinear Ill-posed Problems of
Monotone Type, Springer-Verlag, Berlin.
[5] Aleyner A., Censor Y.(2005) , "Best approximation to common fixed points of a semigroup of nonexpansive operators", J. Nonlinear Con-
vex Anal., 6, pp. 137–151.
[6] Barbu V. (1976), Nonlinear Semigroups and Differential Equations
in Banach Spaces, Editura Academiei Bucuresti, România, Noordholf
International Publishing Leyden The Netherlands .
convex feasibility problems", SIAM Review, 38, pp. 367–426.
[7] Brezis H. (1973), Opérateurs maximaux monotones et semigroupes de
contractions dans les espaces de Hilbert, North Holland, Amsterdam.
[8] Buong N.(2010), "Strong convergence theorem of an iterative method
for variational inequalities and fixed point problems in Hilbert spaces",
Appl. Math. Comput., DOI:10.1016/j.amc.2010.05.064.
37
[9] Buong N., Lang N. D. (2011), "Hybrid Mann-Halpern iteration meth- ods for nonexpansive mappings and semigroups", Appl. Math. Comp.,
218 (6), pp. 2459-2466.
[10] Buong N., Phuong N.T.H. (2012), "Regularization methods for a class of variational inequalities in Banach spaces", Comput. Math. Math.
Phys., 52(11), pp. 1487-1496.
[11] Browder E.F. (1965), "Nonexpansive nonlinear operators in a Banach
space", Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 54, pp. 1041–1044.
[12] Chen R., He H.(2007), "Viscosity approximation of common fixed
points of nonexpansive semigroup in Banach spaces", Appl. Math. Lett., 20,pp. 751–757.
[13] Cioranescu I. (1990), Geometry of Banach Spaces, Duality Mappings
and Nonlinear Problems, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.
[14] De Marr R. (1963), "Common fixed points for commuting contraction
mappings", Pacific J. Math., 13, pp.1139-1141.
[15] Halpern B.(1967), "Fixed points of nonexpanding maps", Bull. Amer.
Math. Soc., 73, pp. 957–961.
[16] He H., Chen R.(2007), Strong convergence theorems of the CQ method
for nonexpansive semigroup, Fixed Point Theory Appl., 2007, Article
ID 59735, 8 pages.
[17] Hieu P.T., Thuy N.T.T. (2015), "Regularization methods for non- expansive semigroups in Hilbert spaces", Vietnam J. Math., 44, pp.
637-648.
[18] Hieu P.T, Thuy N.T.T. (2015), Regularization methods for nonex-
pansive semigroups in Hilbert spaces, Vietnam J. Math., 44(3), pp. 637–648.
[19] Iiduka H. (2010), "New iterative algorithm for the variational inequal-
ity problem over the fixed point set of a firmly nonexpansive map- ping", Optimization, 59, pp. 873–885.
38
[20] Kim T.H., Xu H.K. (2005), "Strong convergence of modified Mann
iterations", Non., Anal., 61, pp. 51-60.
[21] Kim J.K. , Tuyen T.M. (2011), "Regularization proximal point algo-
rithm for finding a common fixed point of a finite family of nonex- pansive mappings in Banach spaces", Fixed Point Theory and Appli-
cations, 2011 (1), 52
[22] Lions P. L. (1977),"Approximation de points fixes de contractions",
C. R. Acad. Sci. Paris Sér., 284, pp. 1357 - 1359.
[23] Mann W.R. (1953), "Mean value methods in iteration", Proc. Amer.
Math. Soc., 4, pp. 506-510.
[24] Nakajo K., Takahashi W. (2003), Strong convergence theorem for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroup, J. Math. Anal.
Appl., 279, pp. 372–379.
[25] Opial Z. (1967), "Weak convergence of the sequence of successive ap- proximations for nonexpansive mappings", Bull. Amer. Math. Soc., 4,
pp. 591–597.
[26] Seajung S. (2008), Strong convergence theorems for nonexpansive
semigroups without Bochner intergrals, Fixed Point Theory Appl., 2008, DOI:1155/2008/745010.
[27] Shioji N., Takahashi W.(1998), Strong convergence theorems for as-
symptotically nonexpansive semigroup in Hilbert spaces, Nonlinear
Anal., 34, pp. 87–99.
[28] Solodov M.V., Svaiter B.F.(2000), Forcing strong convergence of prox- imal point iterations in Hilbert space, Math. Program., 87, pp. 189–
202.
[29] Suzuki T. (2003), On strong convergence to common fixed points of
nonexpansive semigroup in Hilbert spaces, Proc. Amer. Math. Soc., 131, pp. 2133–2136.
39
[30] Takahashi W., Toyota M. (2003), "Weak convergence theorems for nonexpansive mappings and monotone mappings", J. Optim. Theory
Appl., 118, pp. 417–428.
[31] Thuy N.T.T.(2014), Regularization methods and iterative methods for variational inequality with accretive operator, Acta Mathematica
Vietnamica, 41(1), pp. 55–68.
[32] Thuy N.T.T, Hieu P.T, Strodiot J,J.(2016), Regularization methods
for accretive variational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive semigroups, Optimization, 65(8), pp. 1553-
1567.
[33] Wittmann R.(1992), "Approximation of fixed points of nonexpansive
mappings", Arch. Math,.59, pp,486-491.
[34] Xu. H.-K. (2002), "Iterative algorithms for nonlinear operators",J.
Lond. Math. Soc., 66, pp. 240-256.
[35] Xu H.-K. (2005), "A strong convergence theorem for contraction semi-
groups in Banach spaces", Bull. Aust. Math. Soc., 72, pp. 371-379.
[36] Zeidler E. (1985), Nonlinear Functional Analysis and Its Applications,
Springer, New York.
