ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN HOÀI TRANG
PHƯƠNG PHÁP LẶP SONG SONG TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC TOÁN TỬ
BREGMAN KHÔNG GIÃN MẠNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Trương Minh Tuyên
Thái Nguyên – 2019
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trương Minh Tuyên, người đã
tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu để tôi
có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô giáo trong khoa
Toán -Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu và các đồng
nghiệp của trường THPT Phổ Yên, gia đình, bạn bè, người thân đã luôn động
viện, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện
ii
luận văn này.
Mục lục
Lời cảm ơn ii
Một số ký hiệu và viết tắt v
Mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 3
3 1.1 Không gian Banach phản xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 1.2 Khoảng cách Bregman và ánh xạ Bregman không giãn mạnh . . .
4 1.2.1 Đạo hàm Gâteaux và đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . .
6 1.2.2 Hàm lồi và khoảng cách Bregman . . . . . . . . . . . . . .
12 1.2.3 Hàm lồi hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 1.2.4 Phép chiếu Bregman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 1.2.5 Ánh xạ Bregman không giãn mạnh . . . . . . . . . . . . .
1.3 Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ Bregman không giãn mạnh 18
2 Hai phương pháp chiếu tìm điểm bất động chung của hữu hạn
21 toán tử Bregman không giãn mạnh
21 2.1 Phương pháp chiếu lai ghép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26 2.2 Phương pháp chiếu thu hẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28 2.3 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28 2.3.1 Bài toán chấp nhận lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29 2.3.2 Không điểm chung của các toán tử đơn điệu cực đại . . . .
iii
29 2.3.3 Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
2.3.4 Không điểm chung của các toán tử Bregman ngược đơn
điệu mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.5 Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Kết luận 34
Tài liệu tham khảo 35
Một số ký hiệu và viết tắt
X không gian Banach
X ∗ không gian đối ngẫu của X
R tập hợp các số thực
R+ tập các số thực không âm
∩ phép giao
int M phần trong của tập hợp M
inf M cận dưới đúng của tập hợp số M
sup M cận trên đúng của tập hợp số M
max M số lớn nhất trong tập hợp số M
min M số nhỏ nhất trong tập hợp số M
tập các điểm cực tiểu của hàm F trên X argminx∈XF (x)
∅ tập rỗng
dom(A) miền hữu hiệu của toán tử (hàm số) A
R(A) miền ảnh của toán tử A
A−1 toán tử ngược của toán tử A
I toán tử đồng nhất
xn giới hạn trên của dãy số {xn} lim sup n→∞
v
xn giới hạn dưới của dãy số {xn} lim inf n→∞
vi
xn → x0 dãy {xn} hội tụ mạnh về x0
xn (cid:42) x0 dãy {xn} hội tụ yếu về x0
F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T
ˆF (T ) tập điểm bất động tiệm cận của ánh xạ T
∂f dưới vi phân của hàm lồi f
(cid:53) f gradient của hàm f
M bao đóng của tập hợp M
phép chiếu Bregman lên C projf C
khoảng cách Bregman từ x đến y Df (x, y)
Mở đầu
Đầu thế kỉ XX đã xuất hiện nhiều định lý điểm bất động nổi tiếng, trong đó
phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co của
Banach (1922). Các kết quả này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không
gian khác nhau. Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
toán học khác nhau như: Giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạo
hàm riêng, tối ưu hóa, các bài toán liên quan đến kinh tế như bài toán cân bằng,
bài toán chấp nhận lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân ...
Bài toán về điểm bất động có hai lĩnh vực được quan tâm nghiên cứu chủ yếu,
đó là: Ta quan tâm đến sự tồn tại nghiệm của phương trình T (x) = x, trong đó
T là một ánh xạ từ tập con C của không gian X vào X và nghiệm x0 của nó được
gọi là một điểm bất động của T . Trong rất nhiều trường hợp quan trọng việc
giải một phương trình được đưa về việc tìm điểm bất động của một ánh xạ thích
hợp. Chẳng hạn, nếu X là một không gian tuyến tính, S là một ánh xạ trong
X và y là một phần tử cố định thuộc X, thì nghiệm của phương trình S(x) = y
chính là điểm bất động của ánh xạ T được xác định bởi T (x) = S(x) + x − y, với
x ∈ X. Bên cạnh đó việc tìm ra các phương pháp tìm hay xấp xỉ điểm bất động
của một ánh xạ cũng thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều người làm
toán trong và ngoài nước.
Một trong những bài toán về xấp xỉ điểm bất động được quan tâm nghiên
cứu nhiều đó là bài toán tìm điểm bất động của một hay một họ ánh xạ kiểu
không giãn trong không gian Hilbert hay Banach. Một trong những khó khăn khi
1
nghiên cứu bài toán xấp xỉ điểm bất động và các bài toán liên quan khác (chẳng
2
hạn bài toán tìm không điểm) trong không gian Banach là ta phải sử dụng đến
ánh xạ đối ngẫu của không gian. Ta biết rằng trong trường hợp tổng quát ánh
xạ đối ngẫu rất khó xác định và ngoài ra nó không có tính chất tuyến tính. Do
đó việc tìm dạng tường minh của toán tử giải tương ứng với toán tử đơn điệu
trong không gian Banach là “rất khó”. Để khắc phục khó khăn này, người ta đã
sử dụng khoảng cách Bregman để thay thế cho khoảng cách thông thường và
thay thế ánh xạ đối ngẫu bởi gradient của một phiếm hàm lồi, khả vi Gâteaux.
Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả của tác giả Tuyen
T.M. trong bài báo [26] về hai phương pháp chiếu tìm điểm bất động chung của
một họ hữu hạn toán tử Bregman không giãn mạnh, cùng với một số ứng dụng
cho việc giải các bài toán liên quan khác trong không gian Banach phản xạ.
Nội dung của luận văn được chia làm hai chương chính:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, luận văn đề cập đến một số vấn đề về không gian Banach
phản xạ, khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman và toán tử Bregman không
giãn mạnh.
Chương 2. Hai phương pháp chiếu tìm điểm bất động chung của hữu
hạn toán tử Bregman không giãn mạnh
Trong chương này luận văn tập trung trình bày lại một cách chi tiết các kết
quả của Tuyen T.M. trong tài liệu [26] về các phương pháp chiếu lai ghép và
phương pháp chiếu thu hẹp tìm điểm bất động chung của một họ hữu hạn toán
tử Bregman không giãn mạnh trong không gian Banach phản xạ. Ngoài ra, một
số ứng dụng của các định lý chính cho việc giải một số lớp bài toán liên quan
khác cũng được giới thiệu ở chương này.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này bao gồm ba mục. Mục 1.1 trình bày về một số tính chất cơ bản
của không gian phản xạ. Mục 1.2 giới thiệu về khoảng cách Bregman, phép chiếu
Bregman và toán tử Bregman không giãn mạnh. Mục 1.3 đề cập đến một số
phương pháp tìm điểm bất động của toán tử Bregman không giãn mạnh. Nội
dung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1, 17, 20, 24, 27].
1.1 Không gian Banach phản xạ
Trước hết, trong mục này chúng tôi nhắc lại khái niệm không gian Banach
phản xạ.
Định nghĩa 1.1.1. Một không gian Banach X được gọi là không gian phản xạ,
nếu với mọi phần tử x∗∗ của không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ của X, đều tồn tại
phần tử x thuộc X sao cho
(cid:104)x, x∗(cid:105) = (cid:104)x∗, x∗∗(cid:105) với mọi x∗ ∈ X ∗.
Chú ý 1.1.2. Trong luận văn, chúng tôi sử dụng ký hiệu (cid:104)x∗, x(cid:105) để chỉ giá trị
của phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X.
Mệnh đề 1.1.3. [1] Cho X là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng định
sau là tương đương:
3
i) X là không gian phản xạ.
4
ii) Mọi dãy bị chặn trong X, đều có một dãy con hội tụ yếu.
Mệnh đề dưới đây cho ta mối liên hệ giữa tập đóng và tập đóng yếu trong
không gian tuyến tính định chuẩn.
Mệnh đề 1.1.4. Nếu C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian không
gian tuyến tính định chuẩn X, thì C là tập đóng yếu.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại dãy {xn} ⊂ C sao cho xn (cid:42) x, nhưng x /∈ C. Theo định lý tách các tập lồi, tồn tại x∗ ∈ X ∗ tách
ngặt x và C, tức là tồn tại ε > 0 sao cho
(cid:104)y, x∗(cid:105) ≤ (cid:104)x, x∗(cid:105) − ε,
với mọi y ∈ C. Đặc biệt, ta có
(cid:104)xn, x∗(cid:105) ≤ (cid:104)x, x∗(cid:105) − ε,
với mọi n ≥ 1. Ngoài ra, vì xn (cid:42) x, nên (cid:104)xn, x∗(cid:105) → (cid:104)x, x∗(cid:105). Do đó, trong bất
đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận được
(cid:104)x, x∗(cid:105) ≤ (cid:104)x, x∗(cid:105) − ε,
điều này là vô lý. Do đó, điều giả sử là sai, hay C là tập đóng yếu.
Mệnh đề được chứng minh.
Chú ý 1.1.5. Nếu C là tập đóng yếu, thì hiển nhiên C là tập đóng.
1.2 Khoảng cách Bregman và ánh xạ Bregman không giãn
mạnh
1.2.1 Đạo hàm Gâteaux và đạo hàm Fréchet
Cho X là một không gian Banach và cho f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm
số. Ta ký hiệu miền hữu hiệu domf là tập {x ∈ X : f (x) < +∞}. Với mỗi x ∈
5
int domf và y ∈ X, ta ký hiệu f (cid:48)(x, y) là đạo hàm phải của f tại x theo hướng
y, tức là
. f (cid:48)(x, y) = lim t↓0 f (x + ty) − f (x) t
Định nghĩa 1.2.1. Hàm f được gọi là khả vi Gâteaux tại x nếu giới hạn
limt→0(f (x + ty) − f (x))/t tồn tại với mọi y. Trong trường hợp này f (cid:48)(x, y)
trùng với ((cid:53)f )(x), giá trị của gradient (cid:53)f của f tại x.
Định nghĩa 1.2.2. Hàm f được gọi là khả vi Fréchet tại x nếu giới hạn trên
tồn tại đều trên tập {y ∈ X : (cid:107)y(cid:107) = 1}. Hàm f được gọi là khả vi Fréchet đều
trên tập con C của X nếu giới hạn trên tồn tại đều với mọi x ∈ C và (cid:107)y(cid:107) = 1.
Chú ý 1.2.3. i) Nếu hàm f khả vi Gâteaux (Fréchet) trên X, thì toán tử
gradient (cid:53)f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X.
ii) Ta biết rằng nếu f là khả vi Gâteaux (khả vi Fréchet) trên int domf , thì f
liên tục và đạo hàm Gâteaux (cid:53)f của nó là liên tục từ tôpô mạnh vào tôpô
yếu* trên int domf (xem [9]).
iii) Nếu f khả vi Fréchet đều trên X, thì tồn tại số M sao cho (cid:107) (cid:53) f (x)(cid:107) ≤ M ,
với mọi x ∈ X.
Dưới đây một tính chất đơn giản của hàm khả vi Fréchet đều.
Mệnh đề 1.2.4 (xem [2], Định lý 1.8). Nếu f : X −→ R khả vi Fréchet đều,
thì f liên tục đều trên X.
Chứng minh. Lấy bất kỳ u, v ∈ X. Xét hàm số h(t) = f [u + t(v − u)] với mọi
t ∈ [0, 1]. Khi đó, ta có
= . h(t + τ ) − h(t) τ f ([u + (t + τ )(v − u)]) − f [u + t(v − u)] τ
Vì f khả vi Fréchet đều trên X, nên khi cho τ → 0, ta nhận được
h(cid:48)(t) = (cid:53)f (u + t(v − u))(v − u).
6
Theo định lý Lagrange, tồn tại θ ∈ (0, 1) sao cho
h(1) − h(0) = h(cid:48)(θ).
Suy ra
|f (u) − f (v)| = |h(1) − h(0)|
= | (cid:53) f (u + θ(v − u))(v − u)|
≤ (cid:107) (cid:53) f (u + θ(v − u))(cid:107)(cid:107)u − v(cid:107).
Từ Chú ý 1.2.3 iii), suy ra tồn tại M sao cho (cid:107) (cid:53) f (x)(cid:107) ≤ M , với mọi x ∈ X.
Do đó, ta nhận được
|f (u) − f (v)| ≤ M (cid:107)u − v(cid:107).
Vậy f liên tục đều trên X.
1.2.2 Hàm lồi và khoảng cách Bregman
Định nghĩa 1.2.5. Cho D ⊂ X, f : D → R ∪ {±∞}.
i) Hàm f được gọi là chính thường nếu dom f (cid:54)= ∅ và f (x) > −∞(∀x ∈ D),
trong đó
dom f = {x ∈ D : f (x) < ∞}.
ii) Hàm f được gọi là hàm lồi trên D nếu epi f là tập lồi trong E × R, trong
đó
epi f = {(x, r) ∈ D × R : f (x) ≤ r}.
iii) Hàm f : D ⊂ X → R được gọi là nửa liên tục dưới tại điểm x ∈ D nếu với
mỗi ε > 0 có một δ > 0 sao cho f (x) − ε ≤ f (x) với mọi x ∈ D, (cid:107)x − x(cid:107) < δ.
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên D nếu f nửa liên tục dưới tại mọi
điểm x ∈ D.
Dưới đây là ví dụ về hàm nửa liên tục dưới.
7
Ví dụ 1.2.6. Cho f : R −→ R là hàm số được xác định bởi
x2 khi x (cid:54)= 0 f (x) =
−1 khi x = 0.
Khi đó, hàm f là hàm nửa liên tục dưới tại điểm x = 0, nhưng không liên tục
tại x = 0.
Thật vậy, dễ thấy f không liên tục tại x = 0. Với mọi ε > 0 và với mọi δ > 0
(trong trường hợp này có thể chọn δ là số dương bất kỳ) ta có
f (0) − ε = −1 − ε < −1 ≤ f (x),
với mọi x. Do đó, f là nửa liên tục dưới tại 0.
Mệnh đề 1.2.7. Cho D ⊂ E là một tập lồi, f : D → R ∪ {±∞} là một hàm
lồi trên D. Khi đó, ta có các khẳng định dưới đây:
i) Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên D đều là điểm cực tiểu toàn cục
của f trên D.
ii) Nếu f là hàm lồi chặt trên D, thì điểm cực tiểu của f nếu có là duy nhất.
Chứng minh. i) Giả sử x0 ∈ D là một điểm cực tiểu địa phương của f , nhưng x0
không là điểm cực tiểu toàn cục. Khi đó, tồn tại x1 ∈ D sao cho f (x1) < f (x0).
Vì x0 ∈ D là một điểm cực tiểu địa phương của f , nên tồn tại một lân cận U
của x0 sao cho
f (x0) ≤ f (x),
với mọi x ∈ D ∩ U . Với t ∈ (0, 1) đủ nhỏ, ta có xt = x0 + t(x1 − x0) ∈ D ∩ U , do
đó ta nhận được
f (x0) ≤ f (xt) = f [tx1 + (1 − t)x0] ≤ tf (x1) + (1 − t)f (x0).
Suy ra f (x0) ≤ f (x1), mâu thuẫn với f (x1) < f (x0). Vậy x0 là một điểm cực
tiểu của f trên D.
8
ii) Giả sử x1 và x2 là các điểm cực tiểu của f trên D với x1 (cid:54)= x2. Khi đó
f (x). f (x1) = f (x2) = m = min x∈D
Từ tính lồi chặt của f suy ra
f ( ) < (f (x1) + f (x2)) = m, x1 + x2 2 1 2
mâu thuẫn với m = minx∈D f (x). Vậy điểm cực tiểu của f nếu có là duy nhất.
Định nghĩa 1.2.8. Cho f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm lồi, chính thường và
nửa liên tục dưới. Cho x ∈ int domf , dưới vi phân của f tại x được xác định bởi
∂f (x) = {x∗ ∈ E∗ : f (x) + (cid:104)x∗, y − x(cid:105) ≤ f (y) ∀y ∈ X}.
Ví dụ 1.2.9. Cho f : R −→ R xác định bởi f (x) = |x − a| với a ∈ R và mọi x ∈ R. Khi đó, ta có
1, nếu x > a,
∂f (x) = −1, nếu x < a,
i=1 xi|, với mọi
[−1, 1], nếu x = a.
Ví dụ 1.2.10. Cho f : Rn −→ R xác định bởi f (x) = | (cid:80)n x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn. Khi đó, ta có
∂f (0) = {(a, a, . . . , a) : a ∈ [−1, 1]}.
Định nghĩa 1.2.11. Hàm liên hợp của f là f ∗ : X ∗ −→ (−∞, +∞] và được
xác định bởi
{(cid:104)x∗, x(cid:105) − f (x)}. f ∗(x∗) = sup x∈X
Ví dụ 1.2.12. Cho f : R −→ R xác định bởi f (x) = ex với mọi x ∈ R. Khi đó,
ta có x∗(ln x∗ − 1), nếu x∗ > 0,
f ∗(x∗) = 0, nếu x∗ = 0,
+∞, nếu x∗ < 0.
9
Định nghĩa 1.2.13. Cho E là một không gian Banach phản xạ, một hàm
f : X −→ (−∞, +∞] được gọi là hàm Legendre nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn
hai điều kiện sau:
L1) Phần trong int domf của miền hữu hiệu của f khác rỗng, f khả vi Gâteaux
trên int domf và dom(cid:53)f = int domf ;
L2) Phần trong int domf ∗ của miễn hữu hiệu của f ∗ khác rỗng, f ∗ khả vi
Gâteaux trên int domf ∗ và dom(cid:53)f ∗ = int domf ∗.
Vì E là phản xạ, nên (∂f )−1 = ∂f ∗ (xem [9]). Do đó, từ các điều kiện L1) và
L2), ta có các đẳng thức sau:
(cid:53)f = ((cid:53)f ∗)−1, ran (cid:53) f = dom (cid:53) f ∗ = int domf ∗
và
ran (cid:53) f ∗ = dom (cid:53) f = int domf,
trong đó ran(cid:53)f là miền ảnh của (cid:53)f .
Khi dưới vi phân của f là đơn trị, thì nó đồng nhất với (cid:53)f (xem [12]).
Bauschke và cộng sự (xem [6]) các điều kiện L1) và L2) cũng suy ra rằng các hàm f và f ∗ là lồi chặt trên phần trong của miền hữu hiệu tương ứng. Nếu X
(cid:107)x(cid:107)p, 1 < p < +∞ là là một không gian Banach trơn và lồi chặt, thì f (x) = 1 p hàm Legendre. Từ đây, ta luôn giả thiết rằng X là không gian Banach phản xạ.
Mệnh đề 1.2.14 (xem [19], Mệnh đề 2.1). Nếu f : X −→ R là hàm lồi, khả vi
Fréchet đều và bị chặn trên mỗi tập con bị chặn của X, thì (cid:53)f liên tục đều trên
mỗi tập con bị chặn của X từ tôpô mạnh của X vào tôpô mạnh của X ∗.
Chứng minh. Giả sử kết luận của mệnh đề là sai, khi đó tồn tại hai dãy bị chặn
{xn}, {yn} và số dương ε sao cho (cid:107)xn − yn(cid:107) → 0, nhưng
(cid:104)(cid:53)f (xn) − (cid:53)f (yn), wn(cid:105) ≥ 2ε,
10
trong đó {wn} là một dãy trong X thỏa mãn (cid:107)wn(cid:107) = 1 với mọi n. Vì f khả vi
Fréchet đều nên tồn tại một hằng số dương δ sao cho
f (yn + twn) − f (yn) − t(cid:104)(cid:53)f (yn), wn(cid:105) ≤ εt,
với mọi t ∈ (0, δ). Từ tính lồi của hàm f , ta cũng có
(cid:104)(cid:53)f (xn), (yn + twn) − xn(cid:105) ≤ f (yn + twn) − f (xn),
với mọi n ≥ 1.
Cũng từ tính lồi của hàm f , ta có
t(cid:104)(cid:53)f (xn), wn(cid:105) ≤ f (yn + twn) − f (yn)
≤ f (yn + twn) − f (yn) + (cid:104)(cid:53)f (xn), xn − yn(cid:105) + f (yn) − f (xn)
Do đó, ta nhận được
2εt ≤ t (cid:53) f (xn) − (cid:53)f (yn), wn(cid:105)
≤ [f (yn + twn) − f (yn) − t(cid:104)(cid:53)f (yn), wn(cid:105)]
+ (cid:104)(cid:53)f (xn), xn − yn(cid:105) + f (yn) − f (xn)
≤ εt + (cid:104)(cid:53)f (xn), xn − yn(cid:105) + f (yn) − f (xn).
Vì f là bị chặn trên các tập con bị chặn của X nên (cid:53)f (xn), xn − yn(cid:105) → 0.
Ngoài ra, theo giả thiết f liên tục đều trên các tập con bị chặn của X, nên
f (yn) − f (xn) → 0. Do đó, trong bất đẳng thức trên, khi cho n → +∞, ta nhận
được 2εt ≤ εt, điều này là vô lý. vậy (cid:53)f liên tục đều trên các tập con bị chặn
của X.
Cuối cùng, trong mục này ta đề cập đến khái niệm khoảng cách Bregman.
Cho f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm lồi khả vi Gâteaux. Hàm Df :
domf × int domf −→ [0, +∞) xác định bởi
(1.1) Df (y, x) = f (y) − f (x) − (cid:104)(cid:53)f (x), y − x(cid:105),
được gọi là khoảng cách Bregman tương ứng với f (xem [2]).
11
Nhận xét 1.2.15. i) Khoảng cách Bregman không là khoảng cách theo nghĩa
thông thường, vì nó không có tính đối xứng.
ii) Với mỗi x cố định, dễ thấy Df (·, x) là hàm lồi chặt và
(cid:53)Df (·, x)(y) = (cid:53)f (y) − (cid:53)f (x).
iii) Khoảng cách Bregman có hai tính chất quan trọng, đó là đẳng thức ba
điểm: với bất kỳ x ∈ dom f và y, z ∈ int dom f ,
(1.2) Df (x, y) + Df (y, z) − Df (x, z) = (cid:104)(cid:53)f (z) − (cid:53)f (y), x − y(cid:105),
và đẳng thức bốn điểm: với bất kỳ y, ω ∈ dom f và x, z ∈ int dom f ,
Df (y, x) − Df (y, z) − Df (ω, x) (1.3)
+ Df (ω, z) = (cid:104)(cid:53)f (z) − (cid:53)f (x), y − ω(cid:105).
Thật vậy, với mọi x, y, z ∈ X, ta có
Df (x, y) + Df (y, z) − Df (x, z) = f (x) − f (y) − (cid:104)(cid:53)f (y), x − y(cid:105)
+ f (y) − f (z) − (cid:104)(cid:53)f (z), y − z(cid:105)
− [f (x) − f (z) − (cid:104)(cid:53)f (z), x − z(cid:105)]
= (cid:104)(cid:53)f (z) − (cid:53)f (y), x − y(cid:105),
suy ra đẳng thức ba điểm được chứng minh.
Bây giờ với mọi x, y, z, w ∈ X, ta có
Df (y, x) − Df (y, z) − Df (ω, x) + Df (ω, z) = f (y) − f (x) − (cid:104)(cid:53)f (x), y − x(cid:105)
− [f (y) − f (z) − (cid:104)(cid:53)f (z), y − z(cid:105)]
− [f (w) − f (x) − (cid:104)(cid:53)f (x), w − x(cid:105)]
+ f (w) − f (z) − (cid:104)(cid:53)f (z), w − z(cid:105)
= (cid:104)(cid:53)f (z) − (cid:53)f (x), y − ω(cid:105),
suy ra đẳng thức bốn điểm được chứng minh.
12
1.2.3 Hàm lồi hoàn toàn
Cho f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm lồi và khả vi Gâteaux. Khi đó, f được
gọi là:
a) lồi hoàn toàn tại x ∈ int domf nếu modul của tính lồi hoàn toàn của nó
int domf × [0, +∞) −→ [0, +∞) xác định bởi tại x, vf :
vf (x, t) = inf{Df (y, x) : y ∈ domf, (cid:107)y − x(cid:107) = t},
là dương với mọi t > 0;
b) lồi hoàn toàn nếu nó là lồi hoàn toàn tại mọi x ∈ int domf ;
c) lồi hoàn toàn trên các tập con bị chặn nếu vf (B, t) là dương với mọi tập
con bị chặn B của X và t > 0, trong đó modul của tính lồi hoàn toàn của
int dom f × [0, +∞) −→ [0, +∞) xác định hàm f trên tập B là hàm vf :
bởi
vf (B, t) = inf{vf (x, t) : x ∈ B ∩ int domf }.
Tính chất của modul lồi của hàm lồi f được giới thiệu trong mệnh đề dưới
đây.
Mệnh đề 1.2.16 (xem [2], Mệnh đề 1.1.8). Cho f là một hàm lồi, chính thường,
nửa liên tục dưới. Nếu x ∈ int dom f thì ta có các khẳng định dưới đây:
i) Miền hữu hiệu của vf (x, ·) là một khoảng có dạng [0, τf (x)) hoặc [0, τf (x)]
với τf (x) ∈ [0, +∞);
ii) Nếu c ∈ [1, +∞) và t ≥ 0, thì vf (x, ct) ≥ cvf (x, t);
iii) Hàm vf (x, ·) là cộng tính trên, tức là với mọi s, t ∈ [0, +∞) thì ta có
vf (x, s + t) ≥ vf (x, s) + vf (x, t);
iv) Hàm vf (x, ·) là đơn điệu tăng và nó là đơn điệu tăng ngặt nếu và chỉ nếu
f là hàm lồi hoàn toàn tại x.
13
Tiếp theo, luận văn đề cập đến một số tính chất quan trọng dưới đây.
Mệnh đề 1.2.17 (xem [20], Bổ đề 3.1). Cho f : X −→ R là một hàm khả vi
Gâteaux và lồi hoàn toàn. Nếu x0 ∈ X và dãy {Df (xn, x0)} bị chặn, thì dãy {xn}
cũng bị chặn.
Chứng minh. Vì dãy {Df (xn, x0)} bị chặn nên tồn tại số M > 0 sao cho Df (xn, x0) ≤
M với mọi n ≥ 1. Từ định nghĩa của modul của tính lồi hoàn toàn vf (x, t) ta có
(1.4) vf (x0, (cid:107)xn − x0(cid:107)) ≤ Df (xn, x0) ≤ M.
Suy ra dãy {vf (x0, (cid:107)xn − x0(cid:107))} cũng bị chặn bởi M . Vì f là hàm lồi hoàn toàn
nên theo Mệnh đề 1.2.16 iv) vf (x, ·) là hàm tăng ngặt và dương trên (0, +∞).
Suy ra vf (x, 1) > 0 với mọi x ∈ X.
Bây giờ, giả sử ngược lại rằng dãy {xn} không bị chặn. Khi đó, tồn tại một dãy
con {xnk} ⊂ {xn} sao cho limk→+∞ (cid:107)xnk(cid:107) = +∞. Do đó limk→+∞ (cid:107)xnk − x0(cid:107) = +∞. Từ Mệnh đề 1.2.16 ii), ta có
vf (x0, (cid:107)xnk − x0(cid:107)) ≥ (cid:107)xnk − x0(cid:107)vf (x, 1) → +∞,
suy ra dãy {vf (x0, (cid:107)xnk − x0(cid:107))} không bị chặn, mâu thuẫn với (1.4). Vậy dãy {xn} bị chặn.
Mệnh đề 1.2.18 (xem [23], Mệnh đề 2.2). Nếu x ∈ domf , thì các khẳng định
dưới đây là tương đương:
i) Hàm f là lồi hoàn toàn tại x;
ii) Với bất kỳ dãy {yn} ⊂ domf,
Df (yn, x) = 0, lim n→+∞
ta đều có limn→+∞ (cid:107)yn − x(cid:107) = 0.
Nhắc lại rằng, một hàm f được gọi là ổn định dãy trên C (xem [11]) nếu
infx∈E vf (x, t) > 0 với mọi tập con bị chặn E của C và mọi số thực dương t.
14
Nhận xét 1.2.19. Hàm f là lồi hoàn toàn trên mỗi tập con bị chặn C ⊂ X nếu
và chỉ nếu nó ổn định dãy trên C.
Mệnh đề 1.2.20 (xem [11], Bổ đề 2.1.2). Hàm f : X −→ (−∞, +∞] là một
hàm lồi và C ⊂ int dom f . Khi đó các khẳng định sau là tương đương.
i) f là ổn định dãy trên C;
ii) Với mọi dãy {xn} và {yn} trong C với {xn} là dãy bị chặn thỏa mãn
limn→+∞ Df (yn, xn) = 0 thì limn→+∞ (cid:107)xn − yn(cid:107) = 0.
Chứng minh. i)⇒ii) Giả sử f là ổn định dãy trên C, nhưng tồn tại hai dãy {xn}
và {yn} trong C với {xn} là dãy bị chặn thỏa mãn limn→+∞ Df (yn, xn) = 0 nhưng (cid:107)xn − yn(cid:107) (cid:57) 0. Khi đó, tồn tại số dương α và các dãy con {xnk} ⊂ {xn} và {ynk} ⊂ {yn} thỏa mãn (cid:107)xnk − ynk(cid:107) ≥ α với mọi k ≥ 1. Đặt E = {xn}, khi đó E là tập bị chặn. Do đó
vf (x, α), Df (ynk, xnk) ≥ vf (xnk, (cid:107)xnk − ynk(cid:107)) ≥ vf (xnk, , α) ≥ inf x∈E
suy ra infx∈E vf (x, α) = 0, điều này mâu thuẫn với f là hàm lồi hoàn toàn (Nhận
xét 1.2.19).
ii)⇒i) Giả sử ngược lại rằng tồn tại một tập bị chặn E ⊂ C sao cho infx∈E vf (x, t) =
0 với t là một số thực dương nào đó. Theo tính chất của cận dưới đúng, tồn tại
dãy {xn} ⊂ E sao cho
> vf (xn, t) = inf{Df (y, xn) : (cid:107)y − xn(cid:107) = t}. 1 n
Suy ra tồn tại dãy {yn} ⊂ E sao cho (cid:107)yn − xn(cid:107) = t và Df (yn, xn) < 1/n với mọi
n ≥ 1. Do đó limn→+∞ Df (yn, xn) = 0. Từ tính bị chặn của dãy {xn} và giả thiết
ta nhận được
n→+∞
0 < t = lim (cid:107)xn − yn(cid:107) = 0,
đây là điều vô lý. Vậy infx∈E vf (x, t) > 0 với mọi tập con bị chặn E trong C và
mọi số thực dương t, hay f là ổn định dãy trên C.
15
1.2.4 Phép chiếu Bregman
Cho f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm lồi và khả vi Gâteaux. Phép chiếu
C(x) ∈ C thỏa mãn
Bregman của x ∈ int domf lên tập con lồi, đóng và khác rỗng C ⊂ domf là véctơ duy nhất projf
C(x), x) = inf{Df (y, x) : y ∈ C}.
(1.5) Df (projf
C :
int dom f −→ C được cho bởi (1.5) là Mệnh đề 1.2.21. Toán tử chiếu projf
hoàn toàn xác định.
Chứng minh. Lấy x ∈ int dom f . Đặt
α = inf{Df (y, x) : y ∈ C}.
Khi đó, tồn tại dãy {yn} ⊂ C sao cho Df (yn, x) → α khi n → +∞. Suy ra dãy
{Df (yn, x)} bị chặn trên bởi số thực β nào đó. Từ đó, ta có
(1.6) vf (x, (cid:107)yn − x(cid:107)) ≤ Df (yn, x) ≤ β.
Ta chỉ ra dãy {yn} bị chặn. Giả sử ngược lại rằng dãy {yn} không bị chặn.
Khi đó, tồn tại n0 sao cho (cid:107)yn − x(cid:107) ≥ 1 với mọi n ≥ n0. Khi đó, từ Mệnh đề
1.2.16 ii), suy ra
vf (x, 1)(cid:107)yn − x(cid:107) ≤ vf (x, (cid:107)yn − x(cid:107)),
điều này mâu thuẫn với tính bị chặn của {vf (x, (cid:107)yn − x(cid:107))} (xem (1.6)). Theo Mệnh đề 1.1.3, tồn tại dãy con {ynk} của dãy {yn} sao cho ynk (cid:42) y∗. Vì C là tập lồi, đóng nên C là tập đóng yếu (xem Mệnh đề 1.1.4) và do đó y∗ ∈ C. Hàm
Df (·, x) là nửa liên tục dưới và lồi, do đó nó là nửa liên tục dưới trên int dom f .
Vì vậy, ta có
Df (ynk, x) = α ≤ Df (y∗, x), Df (y∗, x) ≤ lim inf k→+∞
C :
suy ra Df (y∗, x) = α, tức là tồn tại ít nhất một phần tử y∗ ∈ C sao cho α = Df (y∗, x). Vì Df (·, x) là hàm lồi chặt nên theo Mệnh đề 1.2.7, suy ra tính duy nhất của y∗. Vậy phép chiếu Bregman projf int dom f −→ C là hoàn toàn
xác định.
16
Nhận xét 1.2.22. i) Nếu X là một không gian Banach trơn và lồi chặt và
C(x) trở
f (x) = (cid:107)x(cid:107)2 với mọi x ∈ X, thì (cid:53)f (x) = 2Jx với mọi x ∈ X, trong đó J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X vào 2X ∗ , và do đó Df (x, y) trở thành φ(x, y) = (cid:107)x(cid:107)2 − 2(cid:104)x, Jy(cid:105) + (cid:107)y(cid:107)2, với mọi x, y ∈ E, đây là hàm Lyapunov được xây dựng bởi Albert trong [5] và phép chiếu Bregman projf
thành phép chiếu tổng quát ΠC(x) được xác định bởi
φ(y, x). φ(ΠC(x), x) = min y∈C
ii) Nếu X = H là một không gian Hilbert, thì J là ánh xạ đồng nhất và do đó
C(x) trở thành phép chiếu mêtric từ H lên C.
phép chiếu Bregman projf
Tính chất đặc trưng của phép chiếu Bregman được cho bởi mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.2.23 (xem [12], Hệ quả 4.4). Giả sử f khả vi Gâteaux và lồi hoàn
toàn trên int domf . Cho x ∈ int domf và cho C ⊂ int domf là một tập khác
rỗng, lồi và đóng. Nếu x ∈ C, thì các khẳng định dưới đây là tương đương:
C(x);
i) x = projf
ii) x là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân
(cid:104)(cid:53)f (x) − (cid:53)f (x), z − x(cid:105) ≥ 0 ∀z ∈ C;
iii) x là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức
Df (z, x) + Df (x, x) ≤ Df (z, x) ∀z ∈ C.
C(x). Lấy bất kỳ z ∈ C, ta có zt = x + t(z −
Chứng minh. i)⇒ii) Giả sử x = projf
x) ∈ C với mọi t ∈ (0, 1], vì C là tập lồi. Khi đó, ta có
Df (x, x) ≤ Df (zt, x),
với mọi t ∈ (0, 1]. Từ tính lồi và tính khả vi của Df (·, x), ta có
0 ≥ Df (x, x) − Df (zt, x)
17
= (cid:104)(cid:53)Df (, x)(zt), −t(z − x)(cid:105)
= −t(cid:104)(cid:53)f (zt) − (cid:53)f (x), z − x(cid:105).
Theo Chú ý 1.2.3, (cid:53)f của nó là liên tục từ tôpô mạnh vào tôpô yếu* trên
int dom f , nên khi cho t → 0+ trong bất đẳng thức trên, ta nhận được
(cid:104)(cid:53)f (x) − (cid:53)f (x), z − x(cid:105) ≥ 0,
với mọi z ∈ C.
ii)⇒iii) Ta có
Df (z, x) + Df (x, x) ≤ Df (z, x)
⇔f (z) − f (x) − (cid:104)(cid:53)f (x), z − x(cid:105) + f (x) − f (x) − (cid:104)(cid:53)f (x), x − x(cid:105)
≤ f (z) − f (x)(cid:104)(cid:53)f (x), z − x(cid:105)
⇔(cid:104)(cid:53)f (x) − (cid:53)f (x), z − x(cid:105) ≥ 0.
Do đó, ta nhận được kết luận trong iii).
iii)⇒i) Vì Df (z, x) ≥ 0 với mọi z ∈ C, nên ta nhận được
Df (x, x) ≤ Df (z, x).
C x.
Suy ra x = projf
1.2.5 Ánh xạ Bregman không giãn mạnh
Trong mục này luận văn đề cập đến khái niệm toán tử Bregman không giãn
mạnh (Bregman không giãn ổn định) trong không gian Banach phản xạ X.
Cho f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm lồi khả vi Gâteaux. Cho C là một tập
con lồi của int domf và cho T là một ánh xạ từ C vào chính nó. Một điểm p thuộc
bao đóng của C được gọi là điểm bất động tiệm cận của T (xem [15], [18]) nếu C
chứa một dãy {xn} hội tụ yếu về một phần tử p sao cho limn→+∞ (cid:107)xn −T xn(cid:107) = 0. Tập các điểm bất động tiệm cận của T được ký hiệu là ˆF (T ). Toán tử T được
18
gọi là (tựa) Bregman không giãn mạnh (ký hiệu là BSNE) ứng với tập khác rỗng ˆF (T ) nếu
(1.7) Df (p, T x) ≤ Df (p, x),
với mọi p ∈ ˆF (T ) và x ∈ C, và nếu {xn} ⊂ C là bị chặn, p ∈ ˆF (T ), và
(1.8) (Df (p, xn) − Df (p, T xn)) = 0, lim n→+∞
ta nhận được
(1.9) Df (T xn, xn) = 0. lim n→+∞
Một toán tử T : C −→ C được gọi là Bregman không giãn ổn định (ký hiệu là
BFNE) nếu
(cid:104)(cid:53)f (T x) − (cid:53)f (T y), T x − T y(cid:105) ≤ (cid:104)(cid:53)f (x) − (cid:53)f (y), T x − T y(cid:105), (1.10)
với mọi x, y ∈ C. Rõ ràng rằng, từ định nghĩa của khoảng cách Bregman (1.1)
bất đẳng thức (1.10) tương đương với
Df (T x, T y) + Df (T y, T x) + Df (T x, x) (1.11)
+ Df (T y, y) ≤ Df (T x, y) + Df (T y, x).
Trong tài liệu [22] (xem Bổ đề 1.3.2), Reich và cộng sự đã chứng minh rằng mọi toán tử BFNE T đều thỏa mãn F (T ) = ˆF (T ) khi hàm Legendre f là khả vi
Fréchet đều và bị chặn trên mỗi tập con bị chặn của X. Trong trường hợp này,
nếu T là toán tử BFNE, thì T là toán tử BSNE tương ứng với tập khác rỗng F (T ) = ˆF (T ).
1.3 Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ Bregman không
giãn mạnh
Mục này trình bày một số phương pháp lặp tìm điểm bất động (chung) của
toán tử Bregman không giãn mạnh trong không gian Banach phản xạ X.
Cho Ti : X −→ X, i = 1, 2., ..., N, là N toán tử BSNE thỏa mãn F (Ti) =
i=1F (Ti) (cid:54)= ∅.
ˆF (Ti) với mọi i ∈ {1, 2, ..., N } và F = ∩N
19
Để tìm một phần tử trong F , năm 2010, Reich và các cộng sự [20] đã đưa
ra hai thuật toán bằng cách thay khoảng cách thông thường bằng khoảng cách
Bregman. Họ đã chứng minh sự hội tụ mạnh của các dãy lặp dưới đây về một
phần tử của F trong không gian Banach phản xạ.
n), i = 1, 2, . . . , N,
n = Ti(xn + ei yi n = {z ∈ X : Df (z, yi C i
n) ≤ Df (z, xn + ei
n)},
N (cid:92)
x0 ∈ X,
i=1
Cn := C i n,
Cn∩Qn
(1.12) (x0), n ≥ 0, Qn = {z ∈ X : (cid:104)(cid:53)f (x0) − (cid:53)f (xn), z − xn(cid:105) ≤ 0}, xn+1 = projf
và
x0 ∈ X,
n), i = 1, 2, . . . , N, n : Df (z, yi
n) ≤ Df (z, xn + ei
n)},
0 = X, i = 1, 2, . . . , N, n = Ti(xn + ei yi n+1 = {z ∈ C i C i N (cid:92)
C i
n+1,
C i Cn+1 :=
i=1 xn+1 = projf
Cn+1
(1.13) (x0), n ≥ 0,
n} ⊂ X thỏa mãn điều kiện (cid:107)ei
n(cid:107) → 0 với mọi i =
trong đó dãy sai số {ei
1, 2, . . . , N .
Nhận xét 1.3.1. Ta có thể nhận thấy rằng trong các phương pháp lặp (1.12)
và (1.13), rất khó để xác định phần tử xn+1. Thật vậy, ở mỗi bước lặp, trong
(1.12), ta phải tìm hình chiếu Bregman của x0 lên giao của N tập con lồi và
đóng của X. Đặc biệt, trong (1.13), ta phải tìm hình chiếu Bregman của x0 lên
giao N (n + 1) tập con lồi và đóng của X.
20
Khi N = 1, năm 2012, bằng cách sử dụng phương pháp lặp Halpern, Suantai
và các cộng sự [24] đã đưa ra phương pháp lặp dưới đây
(1.14) xn+1 = (cid:53)f ∗(αn (cid:53) f (u) + (1 − αn) (cid:53) f (T xn)),
để tìm điểm bất động của toán tử Bregman không giãn mạnh T trên X. Họ đã
chỉ ra rằng nếu dãy {αn} ⊂ (0, 1) thỏa mãn các điều kiện
A1) limn→+∞ αn = 0,
n=1 αn = +∞,
A2) (cid:80)+∞
S(u), ở đây S = F ix(T ).
thì dãy {xn} xác định bởi (1.14) hội tụ mạnh về projf
Năm 2014, để tìm một phần tử trong F , Zegeye [27] đã đưa ra phương pháp
lặp sau: u, x0 ∈ X, dãy {xn} được xác định bởi
C((cid:53)f ∗(αn (cid:53) f (u) + (1 − αn) (cid:53) f (T xn))),
(1.15) xn+1 = projf
trong đó T = TN TN −1T1. Zegeye đã chỉ ra rằng nếu dãy {αn} ⊂ (0, 1) thỏa
F (u).
mãn các điều kiện A1) và A2), thì dãy {xn} xác định bởi (1.15) hội tụ mạnh về projf
Chương 2
Hai phương pháp chiếu tìm điểm
bất động chung của hữu hạn toán
tử Bregman không giãn mạnh
Trong chương này, chúng tôi đề cập đến hai phương pháp lặp song song dựa
trên phương pháp chiếu lai ghép và phương pháp chiếu thu hẹp cho bài toán tìm
điểm bất động chung của một họ hữu hạn toán tử Bregman không giãn mạnh
trong không gian Banach phản xạ cùng với một số ứng dụng cho các bài toán
liên quan (bài toán chấp nhận lồi, bài toán tìm không điểm chung của các toán
tử đơn điệu cực đại, bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân).
Bài toán
Cho X là một không gian Banach phản xạ và cho Ti
: X −→ X, i = 1, 2., ..., N, là N toán tử BSNE với F (Ti) = ˆF (Ti) với mọi i ∈ {1, 2, ..., N } và i=1F (Ti) (cid:54)= ∅. Cho f : X −→ R là một hàm Legendre bị chặn, khả vi F = ∩N Fréchet đều và lồi hoàn toàn trên các tập con bị chặn của X. Xét bài toán sau:
Tìm một phần tử x† ∈ F. (2.1)
2.1 Phương pháp chiếu lai ghép
Để giải Bài toán (2.1), tác giả Tuyen T.M. [26] đã đưa ra phương pháp chiếu
21
lai ghép và chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp trong định lý dưới đây.
22
Định lý 2.1.1. Cho {xn} là dãy được xác định bởi
yi n = Tixn, i = 1, 2, ..., N,
n, xn)}, yn = yin n ,
in := argmaxi=1,2,...,N {Df (yi
(2.2) Cn = {z ∈ X : Df (z, yn) ≤ Df (z, xn)},
Qn = {z ∈ X : (cid:104)(cid:53)f (x0) − (cid:53)f (xn), z − xn(cid:105) ≤ 0},
Cn∩Qn
(x0), xn+1 = projf
F (x0) khi n → +∞.
Khi đó, dãy {xn} hội tụ mạnh về projf
Chứng minh. Bước 1. Cn và Qn là các tập con lồi và đóng của X với mọi n ∈ N.
Thật vậy, ta viết Cn và Qn ở các dạng
Cn = {z ∈ X : (cid:104)(cid:53)f (xn) − (cid:53)f (yn), z(cid:105) ≤ f (yn) − f (xn)
+ (cid:104)(cid:53)f (x0), xn(cid:105) − (cid:104)(cid:53)f (yn), yn(cid:105),
Qn = {z ∈ X : (cid:104)(cid:53)f (x0) − (cid:53)f (xn), z(cid:105) ≤ (cid:104)(cid:53)f (x0) − (cid:53)f (xn), xn(cid:105)}.
Suy ra Cn và Qn là các tập con lồi và đóng của X. Do đó, Cn ∩ Qn cũng là tập
con lồi và đóng của X với mọi n ≥ 0.
Bước 2. Dãy {xn} hoàn toàn xác định.
Trước hết, ta chỉ ra rằng F ⊂ Cn ∩ Qn với mọi n. Lấy p ∈ F , với mỗi n, ta có
Df (p, yn) = Df (p, Tinxn) ≤ Df (p, xn),
C0∩Q0
(x0) hoàn toàn xác
Cn−1∩Qn−1
(x0)
điều này suy ra p ∈ Cn. Vậy, F ⊂ Cn với mọi n ≥ 0. Từ định nghĩa của Qn, ta có F ⊂ Q0. Do đó, F ⊂ C0 ∩ Q0 và suy ra x1 = projf định. Giả sử rằng F ⊂ Cn−1 ∩ Qn−1 với n ≥ 1. Khi đó xn = projf là hoàn toàn xác định, vì Cn−1 ∩ Qn−1 là tập con lồi, đóng và khác rỗng của X.
Từ Mệnh đề 1.2.23 ii), ta có
(cid:104)(cid:53)f (x0) − (cid:53)f (xn), y − xn(cid:105) ≤ 0,
Cn∩Qn
(x0) với mọi y ∈ Cn−1 ∩ Qn−1. Do đó, từ định nghĩa của Qn, ta nhận được Cn−1 ∩ Qn−1 ⊂ Qn hay ta có F ⊂ Qn. Suy ra F ⊂ Cn∩Qn và do đó xn+1 = projf
23
cũng hoàn toàn xác định.
Bước 3. Dãy {xn} bị chặn.
(x0). Theo Từ định nghĩa của Qn và Mệnh đề 1.2.23 ii), ta có xn = projf Qn
Mệnh đề 1.2.23 iii), với mỗi p ∈ F , ta có
(x0), x0)
(x0)) Df (xn, x0) = Df (projf Qn ≤ Df (p, x0) − Df (p, projf Qn
(2.3) ≤ Df (p, x0),
điều này suy ra dãy {Df (xn, x0)} bị chặn. Từ Mệnh đề 1.2.17, ta nhận được dãy
{xn} cũng bị chặn.
Bước 4. limn→+∞ (cid:107)xn − yn(cid:107) = 0.
(x0) và xn+1 ∈ Qn, nên từ Mệnh đề 1.2.23 iii) suy ra Vì xn = projf Qn
(x0), x0) ≤ Df (xn+1, x0) Df (xn+1, projf Qn (x0)) + Df (projf Qn
và do đó
(2.4) Df (xn+1, xn) + Df (xn, x0) ≤ Df (xn+1, x0).
Như vậy, dãy {Df (xn, x0)} là đơn điệu tăng và kết hợp với (2.3), ta nhận được
giới hạn limn→+∞ Df (xn, x0) là tồn tại và hữu hạn. Từ (2.4) suy ra
(2.5) Df (xn+1, xn) = 0. lim n→+∞
Từ Mệnh đề 1.2.20, ta có
(2.6) (cid:107)xn+1 − xn(cid:107) = 0. lim n→+∞
Từ định nghĩa của Cn và xn+1 ∈ Cn, ta có
Df (xn+1, yn) ≤ Df (xn+1, xn),
và kết hợp với (2.6), ta thu được
(2.7) Df (xn+1, yn) = 0. lim n→+∞
24
Do đó, từ Mệnh đề 1.2.20, ta nhận được
(2.8) (cid:107)xn+1 − yn(cid:107) = 0. lim n→∞
Từ (2.6), (2.8) và bất đẳng thức
(cid:107)xn − yn(cid:107) ≤ (cid:107)xn+1 − xn(cid:107) + (cid:107)xn+1 − yn(cid:107),
suy ra (cid:107)xn − yn(cid:107) → 0, as n → ∞. Bước 5. Mọi giới hạn yếu của dãy {xn} đều thuộc F .
Từ Mệnh đề 1.2.4, ta có f liên tục đều trên X. Do đó, từ tính bị chặn của
{(cid:53)f (xn)} và từ định nghĩa của Df (yn, xn), ta nhận được
n, xn) = 0 với mọi
Df (yn, xn) = 0. lim n→+∞
Do vậy, từ định nghĩa của yn, ta thu được limn→+∞ Df (yi i ∈ {1, 2, ..., N }. Từ Mệnh đề 1.2.20 suy ra
n(cid:107) = 0,
(2.9) (cid:107)xn − yi lim n→∞
với mọi i ∈ {1, 2, ..., N }.
Từ (2.9) và Mệnh đề 1.2.14, ta có
n) − (cid:53)f (xn)(cid:107) = 0,
(cid:107) (cid:53) f (yi (2.10) lim n→∞
với mọi i ∈ {1, 2, ..., N }.
Với mỗi p ∈ F và với mọi i ∈ {1, 2, ..., N }, ta có
n) = f (yi
n) − f (xn)
Df (p, xn) − Df (p, yi
n) − (cid:53)f (xn), p − xn(cid:105) + (cid:104)(cid:53)f (yi
n), xn − yi
n(cid:105).
+ (cid:104)(cid:53)f (yi
n} bị chặn, nên {(cid:53)f (yi
n)} cũng bị chặn. Do đó, từ bất đẳng thức trên, (2.9)
Vì {yi
và (2.10), ta nhận được
n)) = 0
(Df (p, xn) − Df (p, yi lim n→∞
25
tức là,
(2.11) (Df (p, xn) − Df (p, Tixn)) = 0, lim n→∞
với mọi p ∈ F và mọi i ∈ {1, 2, ..., N }. Vì, Ti là toán tử BSNE và F (Ti) = ˆF (Ti), nên
F (x0), khi n → +∞.
(2.12) Df (Tixn, xn) = 0, lim n→∞
Cn∩Qn
Đặt x† = projf (x0) và F ⊂ Cn ∩ Qn, nên ta có
với mọi i ∈ {1, 2, ..., N }. Do đó, nếu {xnk} là một dãy con bất kỳ của {xn} hội tụ yếu về v, thì v ∈ ˆF (Ti) = F (Ti) với mọi i ∈ {1, 2, ..., N }. Vì vậy, v ∈ F , tức là mọi giới hạn yếu của {xn} thuộc F . Bước 6. Dãy {xn} hội tụ mạnh về projf F (x0). Vì xn+1 = projf Df (xn+1, x0) ≤ Df (x†, x0). Từ đẳng thức ba điểm, ta có
Df (xn, x†) = Df (xn, x0) + Df (x0, x†) − (cid:104)(cid:53)f (x†) − (cid:53)f (x0), xn − x0(cid:105)
≤ Df (x†, x0) + Df (x0, x†) − (cid:104)(cid:53)f (x†) − (cid:53)f (x0), xn − x0(cid:105)
(2.13) = (cid:104)(cid:53)f (x†) − (cid:53)f (x0), x† − xn(cid:105).
Vì, {xn} bị chặn, nên tồn tại một dãy con {xnk} của {xn} hội tụ yếu về phần tử u ∈ X. Từ Bước 5, ta có u ∈ F . Do đó, từ Mệnh đề 1.2.23 ii) và (2.13), ta nhận
được
(cid:104)(cid:53)f (x†) − (cid:53)f (x0), x† − xnk(cid:105) lim sup k→+∞ Df (xnk, x†) ≤ lim sup k→+∞
= (cid:104)(cid:53)f (x†) − (cid:53)f (x0), x† − u(cid:105) ≤ 0.
Do đó,
Df (xnk, x†) = 0. lim k→+∞
Từ Mệnh đề 1.2.20, {xnk} hội tụ mạnh về x†. Giả sử rằng {xnl} là một dãy con khác của {xn}, hội tụ mạnh về phần tử u(cid:48). Ta có, {xnl} hội tụ yếu về u(cid:48). Bằng lập luận tương tự như trên, ta nhận được {xnl} hội tụ mạnh về x†. Do đó, {xn} hội tụ mạnh về x†, khi n → +∞.
Định lý được chứng minh.
26
2.2 Phương pháp chiếu thu hẹp
Năm 2014, P.K. Anh và D.V. Hieu [4] đã đưa ra hai phương pháp lặp song
song dựa trên phương pháp chiếu co hẹp cho bài toán tìm một phần tử chung của
tập điểm bất động của một họ ánh xạ φ-tựa không giãn tiệm cận, tập nghiệm
của bài toán bất đẳng thức biến phân và tập nghiệm của bài toán cân bằng trong
không gian Banach trơn đều và 2-lồi đều. Dựa trên ý tưởng này,T.M. Tuyen [26]
đã phát biểu và chứng minh kết quả dưới đây để tìm nghiệm của Bài toán (2.1).
Định lý 2.2.1. Với mỗi x0 ∈ X, dãy {xn} xác định bởi
C0 = X,
yi n = Tixn, i = 1, 2, ..., N,
n, xn)}, yn = yin n ,
(2.14) in ∈ argmaxi=1,2,...,N {Df (yi
Cn+1
(x0), Cn+1 = {z ∈ Cn : Df (z, yn) ≤ Df (z, xn)}, xn+1 = projf
F (x0) khi n → +∞.
hội tụ mạnh về projf
Chứng minh. Bước 1. Cn là các tập con lồi và đóng của X với mọi n ≥ 0.
Rõ ràng rằng C0 là một tập lồi và đóng, vì C0 = X. Giả sử rằng Cn là tập
con lồi và đóng của X với n ≥ 0. Ta có
Cn+1 = Cn ∩ {z ∈ X : (cid:104)(cid:53)f (xn) − (cid:53)f (yn), z(cid:105) ≤ f (yn) − f (xn)
+ (cid:104)(cid:53)f (x), xn(cid:105) − (cid:104)(cid:53)f (yn), yn(cid:105)},
điều này suy ra Cn+1 là tập con lồi và đóng của X. Do đó, từ cách xây dựng tập
Cn, suy ra Cn là tập con lồi và đóng của X với mọi n ≥ 0.
Bước 2. Dãy {xn} hoàn toàn xác định.
Rõ ràng rằng Cn là tập lồi, đóng và F ⊂ C0. Giả sử F ⊂ Cn với n ≥ 0. Lấy
p ∈ F và với mọi n ≥ 0, ta có
Df (p, yn) = Df (p, Tinxn) ≤ Df (p, xn),
27
điều này suy ra p ∈ Cn+1. Do đó, bằng qui nạp, ta nhận được p ∈ Cn với mọi
n ≥ 0. Suy ra, F ⊂ Cn với mọi n ≥ 0. Vì vậy, dãy {xn} hoàn toàn xác định.
Bước 3. Dãy {xn} bị chặn.
Với mỗi p ∈ F , từ Mệnh đề 1.2.23 iii), ta có
(x0), x0)
(x0)) Df (xn, x0) = Df (projf Cn ≤ Df (p, x0) − Df (p, projf Cn
(2.15) ≤ Df (p, x0),
điều này suy ra dãy {Df (xn, x0)} bị chặn. Do đó, từ Mệnh đề 1.2.17, dãy {xn}
cũng bị chặn.
Bước 4. Tồn tại giới hạn hữu hạn của dãy {Df (xn, x0)}.
Vì Cn+1 ⊂ Cn, nên từ Mệnh đề 1.2.23 iii) suy ra
(x0), x0) ≤ Df (xn+1, x0), Df (xn+1, projf Cn (x0)) + Df (projf Cn
và do đó
(2.16) Df (xn+1, xn) + Df (xn, x0) ≤ Df (xn+1, x0).
Suy ra {Df (xn, x0)} là dãy đơn điệu tăng và kết hợp với (2.15), ta thu được giới
hạn limn→+∞ Df (xn, x0) là tồn tại và hữu hạn.
Bước 5. Dãy {xn} hội tụ mạnh về phần tử p ∈ X.
, nên từ Bổ Ta có Cm ⊂ Cn với mọi m ≥ n. Do đó, xm ∈ Cn. Vì, xn = projf Cn
đề 1.2.23 iii) ta có
Df (xm, xn) ≤ Df (xm, x0) − Df (xn, x0) → 0,
điều này suy ra Df (xm, xn), khi m, n → +∞. Từ Mệnh đề 1.2.20, (cid:107)xm −xn(cid:107) → 0,
khi m, n → +∞. Do đó, {xn} là dãy Cauchy. Vì vậy, dãy {xn} hội tụ mạnh về
phần tử p ∈ X.
Bước 6. Ta chỉ ra p ∈ F .
Vì {xn} là dãy Cauchy, nên limn→+∞ (cid:107)xn+1 − xn(cid:107) = 0. Từ xn+1 ∈ Cn+1 và
định nghĩa của Cn+1, ta nhận được
(cid:107)xn+1 − yn(cid:107) ≤ (cid:107)xn+1 − xn(cid:107).
28
Do đó, limn→+∞ (cid:107)xn+1 − yn(cid:107) = 0. Vì vậy, từ đánh giá
(cid:107)xn − yn(cid:107) ≤ (cid:107)xn+1 − xn(cid:107) + (cid:107)xn+1 − yn(cid:107),
ta thu được limn→+∞ (cid:107)xn − yn(cid:107) = 0. Từ định nghĩa của yn, ta nhận được
n(cid:107) → 0,
(cid:107)xn − yi
với mọi i = 1, 2, ..., N .
Bởi lập luận tương tự như Bước 5 trong chứng minh của Định lý 2.1.1, ta có
F (x0). F (x0). Vì xn = projf (x0) và F ⊂ Cn, ta có Df (xn, x0) ≤ Cn Df (x†, x0). Do đó, bởi lập luận tương tự như Bước 6 trong chứng minh của Định lý 2.1.1, ta nhận được p = x†.
p ∈ F . Bước 7. p = projf Đặt x† = projf
Định lý được chứng minh.
2.3 Ứng dụng
Trong mục này, luận văn đề cập đến một số ứng dụng của các định lý 2.1.1
và 2.2.1 cho một số bài toán liên quan.
2.3.1 Bài toán chấp nhận lồi
i=1Ci (cid:54)= ∅. bài toán chấp nhận lồi (CFP) là xác định một phần tử trong ) = Ci với mọi i ∈ {1, 2, ..., N }. và nếu hàm Legendre
Cho Ci, i = 1, 2, ..., N là N tập con lồi, đóng và khác rỗng của X, sao cho
C = ∩N C. Ta biết rằng F (projf Ci
) (xem [22]). Do đó, là toán tử BFNE và F (projf Ci ) = ˆF (projf Ci
trong Định lý 2.1.1 và Định lý 2.2.1, thì ta nhận được hai
f khả vi Fréchet đều và bị chặn trên mỗi tập con bị chặn của X, thì phép chiếu Bregman projf Ci nếu lấy Ti = projf Ci thuật toán để giải bài toán chấp nhận lồi.
Định lý 2.3.1. Cho Ci, i = 1, 2, ..., N là N tập con lồi, đóng và khác rỗng của i=1Ci (cid:54)= ∅. Cho f : X −→ R là hàm Legendre bị chặn, khả X, sao cho C = ∩N
29
với mọi
C(x0), khi n → +∞.
vi Fréchet đều và lồi hoàn toàn trên các tập con bị chặn của X. Khi đó, với mỗi x0 ∈ X, dãy {xn} xác định bởi (2.2) hoặc (2.14) với Ti = projf Ci i = 1, 2, ..., N , hội tụ mạnh về projf
2.3.2 Không điểm chung của các toán tử đơn điệu cực đại
Cho A : X −→ 2X ∗ là một toán tử đơn điệu cực đại. bài toán tìm một phần
tử x ∈ X sao cho 0 ∈ Ax đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực tối ưu và các
lĩnh vực liên quan.
A : X −→ 2X
Ta nhắc lại khái niệm toán tử giải của A, được ký hiệu là Resf
và được xác định như sau (xem [7]):
◦ (cid:53) f (x).
A(x) = ((cid:53)f + A)−1
Resf
A là toán tử BSNE và nó thỏa A) = A−10, trong Định lý 2.1.1 với mọi i = 1, 2, ..., N , ta nhận được hai
Bauschke và các cộng sự [7] đã chứng minh rằng toán tử giải này là toán tử
BFNE. Nếu thêm điều kiện hàm Legendre f khả vi Fréchet đều và bị chặn trên mỗi tập con bị chặn của X, thì toán tử giải Resf A) = ˆF (Resf A) (xem [22]). Từ F (Resf mãn F (Resf và Định lý 2.2.1, nếu ta lấy Ti = Resf Ai thuật toán cho bài toán tìm không điểm chung của một họ hữu hạn toán tử đơn
điệu cực đại.
i=1A−1
Định lý 2.3.2. Cho Ai : X −→ 2X ∗ đại sao cho F = ∩N
với mọi
F (x0), khi n → +∞.
, i = 1, 2, ..., N là N toán tử đơn điệu cực i 0 (cid:54)= ∅. Cho f : X −→ R là hàm Legendre bị chặn, khả vi Fréchet đều và lồi hoàn toàn trên các tập con bị chặn của X. Khi đó, với mỗi x0 ∈ X, dãy {xn} xác định bởi (2.2) hoặc (2.14) với Ti = Resf Ai i = 1, 2, ..., N , hội tụ mạnh về projf
2.3.3 Bài toán cân bằng
Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của X. Cho g là một song hàm xác định trên C × C và nhận giá trị trong R. Bài toán cân bằng được phát biểu
30
như sau: Tìm một phần tử x ∈ C sao cho
g(x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C. (2.17)
Ta ký hiệu EP (g) là tập nghiệm của Bài toán (2.17). Để nghiên cứu Bài toán
(2.17), ta cần đặt lên g một số giả thiết sau (xem [8]):
C1) g(x, x) = 0 với mọi x ∈ C;
C2) g là đơn điệu, tức là, g(x, y) + g(y, x) ≤ 0 với mọi x, y ∈ C;
C3) với mọi x, y, z ∈ C,
g(tz + (1 − t)x, y) ≤ g(x, y); lim sup t↓0
C4) với mỗi x ∈ C, g(x, .) là hàm lồi, nửa liên tục dưới.
g : X −→ 2C
Toán tử giải của song hàm g : C × C −→ R (xem [16]) là Resf
và được xác định bởi
g (x) = {z ∈ C : g(z, y) + (cid:104)(cid:53)f (z) − (cid:53)f (x), y − z(cid:105) ≥ 0 ∀y ∈ C}.
Resf
Ta cần các bổ đề dưới đây (xem [22]):
g ) = X.
Bổ đề 2.3.3. Cho f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm bức và khả vi Gâteaux đều. Cho C là một tập con lồi và đóng của X. Nếu song hàm g : C × C −→ R thỏa mãn các điều kiện C1)-C4), thì dom (Resf
Bổ đề 2.3.4. Cho f : X −→ (−∞, +∞] là một hàm Legendre. Cho C là một tập con lồi và đóng của X. Nếu song hàm g : C × C −→ R thỏa mãn các điều
kiện C1)-C4), thì
g là đơn trị;
i) Resf
g là toán tử BFNE;
ii) Resf
g là tập nghiệm của bài toán cân bằng, tức là,
iii) tập điểm bất động của Resf
g ) = EP (g);
F (Resf
31
iv) EP (g) là tập con lồi và đóng của C;
g ), ta có
v) với mọi x ∈ X và u ∈ F (Resf
g (x)) + Df (Resf
g (x), x) ≤ Df (u, x).
Df (u, Resf
Do đó, Từ các Bổ đề 2.3.3 và Bổ đề 2.3.4 suy ra rằng nếu f : X −→ R là
một hàm Legendre, bức, bị chặn, khả vi Fréchet đều và lồi hoàn toàn trên các tập con bị chặn của X và nếu ta lấy Ti = Resf gi, thì Ti là toán tử BSNE với F (Ti) = ˆF (Ti) (xem [22], Bổ đề 1.3.2) và Ti có miền hữu hiệu là X. Do đó, ta có định lý sau:
S(x0), khi n → +∞.
Định lý 2.3.5. Cho Ci, i = 1, 2, ..., N là N tập con lồi, đóng và khác rỗng của X. cho gi : Ci × Ci −→ R, i = 1, 2, ..., N là N song hàm thỏa mãn các điều kiện i=1EP (gi) (cid:54)= ∅. Cho f : X −→ R là một hàm Legendre, C1)-C4) sao cho S = ∩N bức, bị chặn, khả vi Fréchet đều và lồi hoàn toàn trên các tập con bị chặn của X. Khi đó, với mỗi x0 ∈ X, dãy {xn} xác định bởi (2.2) hoặc (2.14) với Ti = Resf gi với mọi i = 1, 2, ..., N , hội tụ mạnh về projf
2.3.4 Không điểm chung của các toán tử Bregman ngược đơn điệu
mạnh
Lớp các toán tử Bregman ngược đơn điệu mạnh được xây dựng bởi Butnariu
và Kassay trong tài liệu [13]. Ta giả sử hàm Legendre f thỏa mãn điều kiện miền
sau:
ran ((cid:53)f − A) ⊂ ran ((cid:53)f ). (2.18)
Một toán tử A : X −→ 2X ∗ được gọi là toán tử Bregman ngược đơn điệu mạnh
(BISM) nếu (domA) ∩ (int domf ) (cid:54)= ∅ và với bất kỳ x, y ∈ int domf , và nếu
ξ ∈ Ax, η ∈ Ay, ta có
(cid:104)ξ − η, (cid:53)f ∗((cid:53)f (x) − ξ) − (cid:53)f ∗((cid:53)f (y) − η)(cid:105) ≥ 0.
Toán tử phản giải của A là Af : X −→ 2X và được xác định bởi
o ((cid:53)f − A).
Af = (cid:53)f ∗
32
Ta biết rằng toán tử A là BISM nếu và chỉ nếu toán tử phản giải Af của nó (đơn
là toán
trị) là toán tử BFNE (xem [13], Bổ đề 3.5). Reich và các cộng sự đã chứng minh rằng nếu f : X −→ (−∞, +∞] là hàm Legendre và A : X −→ 2X ∗ tử BISM sao cho A−1(0) (cid:54)= ∅, thì A−1(0) = F (Af ) (xem [21], Mệnh đề 7). Do
đó, nếu hàm Legendre f khả vi Fréchet đều và lồi hoàn toàn trên các tập con bị
chặn của X, thì toán tử phản giải Af là đơn trị và là toán tử BSNE thỏa mãn F (Af ) = ˆF (Af ) (xem [22], Bổ đề 1.3.2).
Bây giờ, cho Ci, i = 1, 2, ..., N là N là các tập con lồi, đóng và khác rỗng
của X và cho Ai : X −→ 2X ∗ , i = 1, 2, ..., N là N toán tử BISM sao cho Ci ⊂ domAi với mọi i ∈ {1, 2, ..., N } và f : X −→ R. Từ điều kiện miền (2.18), ta có domAf i = (domA) ∩ (int domf ) = domAi vì trong trường hợp này int domf = X. Từ Mệnh đề 7 i) trong tài liệu [22], ta nhận được A−1(0) = F (Af ).
Do đó, ta có định lý sau:
i=1Ci (cid:54)= ∅. Cho Ai : X −→ 2X ∗
Định lý 2.3.6. Cho Ci, i = 1, 2, ..., N là N là các tập con lồi, đóng và khác rỗng của X sao cho C = ∩N
i=1A−1
tử BISM sao cho Ci ⊂ domAi và S = ∩N
i với mọi
, i = 1, 2, ..., N là N toán i (0) (cid:54)= ∅. Cho f : X −→ R là một hàm Legendre, bị chặn, khả vi Fréchet đều và lồi hoàn toàn trên các tập con bị
S(x0), khi n → +∞.
chặn của X. Giả sử điều kiện miền (2.18) được thỏa mãn với mỗi Ai. Khi đó, với mỗi x0 ∈ X, dãy {xn} xác định bởi (2.2) hoặc (2.14) với Ti = Af i = 1, 2, ..., N , hội tụ mạnh về projf
2.3.5 Bất đẳng thức biến phân
Xét bài toán bất đẳng thức biến phân: Tìm một phần tử x† ∈ C sao cho
(cid:104)Ax†, y − x†(cid:105) ≥ 0 ∀y ∈ C, (2.19)
trong đó A : X −→ X ∗ là toán tử BISM và C là tập con lồi, đóng và khác rỗng
của domA. Ta ký hiệu V I(C, A) là tập nghiệm của Bài toán (2.19).
Ta biết rằng (xem [21], Mệnh đề 8), Reich và các cộng sự đã chứng minh rằng
nếu f : X −→ (−∞, +∞] là hàm Legendre và lồi hoàn toàn, thỏa mãn điều
33
C oAf ).
kiện miền (2.18) và A : X −→ X ∗ là toán tử BISM, và nếu C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của domA ∩ int domf , thì V I(A, C) = F (projf
C là toán tử BSNE thỏa mãn tính chất C oAf là toán
C) = ˆF (projf F (projf tử BSNE với F (projf
C oAf ). Vì vậy, ta có định lý sau:
C). Do đó, từ Bổ đề 2 trong tài liệu [18], projf C oAf ) = ˆF (projf
Ta biết rằng phép chiếu Begman projf
tử BISM sao cho Ci ⊂ dom Ai và S = ∩N
i với mọi
Định lý 2.3.7. Cho Ci, i = 1, 2, ..., N là N là các tập con lồi, đóng và khác rỗng i=1Ci (cid:54)= ∅. Cho Ai : X −→ X ∗, i = 1, 2, ..., N là N toán của X sao cho C = ∩N i=1V I(Ci, Ai) (cid:54)= ∅. Cho f : X −→ R là một hàm Legendre, bị chặn, khả vi Fréchet đều và lồi hoàn toàn trên các tập con
S(x0), khi n → +∞.
bị chặn của X. Giả sử điều kiện miền (2.18) được thỏa mãn với mỗi Ai. Khi đó, với mỗi x0 ∈ X, dãy {xn} xác định bởi (2.2) hoặc (2.14) với Ti = Af i = 1, 2, ..., N , hội tụ mạnh về projf
Kết luận
Luận văn đã trình bày lại một cách khá chi tiết và hệ thống về các
vấn đề sau:
• Một số tính chất đặc trưng của không gian không gian Banach phản xạ,
khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman, hàm lồi hoàn toàn;
• Toán tử Bregman không giãn mạnh cùng một số kết quả về bài toán tìm
điểm bất động cho lớp ánh xạ này;
• Các kết quả nghiên cứu của T.M. Tuyen trong tài liệu [26] về phương pháp
chiếu lai ghép và phương pháp chiếu thu hẹp cho bài toán tìm điểm bất
động chung của một họ hữu hạn toán tử Bregman không giãn mạnh trong
34
không gian Banach phản xạ.
Tài liệu tham khảo
[1] Agarwal R. P., O’Regan D., Sahu D. R. (2009), Fixed Point Theory for
Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.
[2] Ambrosetti A., Prodi G. (1993), A Primer of Nonlinear Analysis, Cambridge
University Press, Cambridge.
[3] Anh P. K., Chung C. V. (2014), “Parallel hybrid methods for a finite family
of relatively nonexpansive mappings”, Numer. Funct. Anal. Optim., 35, pp.
649–664.
[4] Anh P.K., Hieu D.V. (2016), “Parallel hybrid methods for variational in-
equalities, equilibrium problems and common fixed point problems”, Viet-
nam J. Math., 44(2), pp. 351–374
[5] Alber Y.I. (1996), “Metric and generalized projection operators in Banach
spaces: properties and applications, In: Kartsatos, A.G. (ed.) Theory and
Applications of Nonlinear Operator of Accretive and Monotone Type”, Mar-
cel Dekker, New York, pp. 15–50.
[6] Bauschke H.H., Borwein J.M., Combettes P.L. (2001), “Essential smooth-
ness, essential strict convexity, and Legendre functions in Banach spaces”,
Commun. Contemp. Math., 3, pp. 615–647.
[7] Bauschke H.H., Borwein J.M., Combettes P.L. (2003), “Bregman monotone
35
optimization algorithms”, SIAM J. Control Optim., 42, pp. 596–636.
36
[8] Blum E., Oettli W. (1994), “From optimization and variational inequalities
to equilibrium problems”, Math. Student, 63, pp. 123–145.
[9] Bonnans J.F., Shapiro A. (2000), Perturbation Analysis of Optimization
Problem, Springer, New York.
[10] Browder F.E. (1996), “Existence and approximation of solutions of nonlinear
variational inequalities”, Proc. Natl. Acad. Sci. USA., 56, pp. 1080–1086.
[11] Butnariu D., Iusem A.N. (2000), Totally convex functions for fixed points
computation and infinite dimensional optimization, Kluwer Academic Pub-
lishers, Dordrecht.
[12] Butnariu D., Resmerita E. (2006), “Bregman distances, totally convex func-
tions and a method for solving operator equations in Banach spaces”, Abstr.
Appl. Anal., 2006, pp. 1–39.
[13] Butnariu D., Kassay G. (2008), “A proximal-projection method for finding
zeroes of set-valued operators”, SIAM J. Control Optim., 47, pp. 2096–2136.
[14] Ceng L.C., Yao J.C. (2008), “A hybrid iterative scheme for mixed equilibrium
problems and fixed point problems”, J. Comput. Appl. Math., 214, pp. 186–
201.
[15] Censor Y., Reich S. (1996), “Iterations of paracontractions and firmly non-
expansive operators with applications to feasibility and optimization”, Op-
timization, 37, pp. 323–339.
[16] Combettes P.L., Hirstoaga S.A. (2005), “Equilibrium programming in
Hilbert spaces”, J. Nonlinear Convex Anal., 6, pp. 117–136.
[17] Goebel K., Kirk W.A. (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cam-
bridge Stud. Adv. Math., 28, Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK.
37
[18] Reich S. (1996), “A weak convergence theorem for the alternating method
with Bregman distances, in: Theory and Applications of Nonlinear Opera-
tors of Accretive and Monotone Type”, Marcel Dekker, New York, pp. 313–
318.
[19] Reich S., Sabach S. (2009), “A strong convergence theorem for a proximal
type algorithm in reflexive Banach spaces”, J. Nonlinear Convex Anal., 10,
pp. 471–485.
[20] Reich S., Sabach S. (2010), “Two strong convergence theorems for a proximal
method in reflexive Banach spaces”, Numer. Funct. Anal. Optim., 31, pp.
22–44.
[21] Reich S., Sabach S. (2010), “Two strong convergence theorems for Breg-
man strongly nonexpansive operators in reflexive Banach spaces”, Nonlinear
Analysis, 73, pp. 122–135.
[22] Reich S., Sabach S. (2011), “Existence and approximation of fixed points
of Bregman firmly nonexpansive mappings in reflexive Banach spaces, in:
Fixed-Point Algorithms for Inverse Problems in Science and Engineering”,
Springer, New York, 49 , pp. 301–316.
[23] Resmerita E. (2004), “On total convexity, Bregman projections and stability
in Banach spaces”, J. Convex Anal., 11, pp. 1–16.
[24] Suantai S., Cho Y.J., Cholamjiak P. (2012), “Halperns iteration for Bregman
strongly nonexpansive mappings in reflexive Banach spaces”, Comput. Math.
Appl., 64, pp. 489–499.
[25] Takahashi W., Toyoda M. (2003), “Weak convergence theorems for nonex-
pansive mappings and monotone mappings”, J. Optim. Theory Appl., 118,
pp. 417–428.
38
[26] Tuyen T.M. (2017), “Parallel iterative methods for Bregman strongly nonex-
pansive operators in reflexive Banach spaces”, J. Fixed Point Theory Appl.,
19(3), pp. 1695–1710.
[27] Zegeye H. (2014), “Convergence theorems for Bregman strongly nonexpan-
sive mappings in reflexive Banach spaces”, Filomat, 7, pp. 1525–1536.
