Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về phương pháp lồi lôgarit và một vài ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- PHẠM LỆ QUYÊN

VỀ PHƢƠNG PHÁP LỒI LÔGARIT VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ---------------------------

PHẠM LỆ QUYÊN

VỀ PHƢƠNG PHÁP LỒI LÔGARIT VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng

Mã số: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Bùi Việt Hƣơng

THÁI NGUYÊN - 2019

M(cid:246)c l(cid:246)c

M(cid:240) (cid:31)ƒu

1

1 KI(cid:152)N TH(cid:217)C CHU(cid:137)N B(cid:192)

3

1.1. T“p l(cid:231)i. H(cid:160)m l(cid:231)i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. T“p l(cid:231)i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. H(cid:160)m l(cid:231)i

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Mºt sŁ ki‚n thøc c(cid:236) s(cid:240) v• ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng . . . . . . . . .

8

1.2.1. Ph¥n lo⁄i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tuy‚n t‰nh c§p hai

. . . . . . . . . . . .

9

1.2.2. M(cid:176)t (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng. B(cid:160)i to¡n Cauchy v(cid:238)i dœ ki»n cho tr¶n m(cid:176)t (cid:31)(cid:176)c

tr(cid:247)ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.3. S(cid:252) ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3. Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:231)i l(cid:230)garit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2 M¸T V(cid:128)I (cid:217)NG D(cid:214)NG C(cid:213)A PH(cid:215)(cid:204)NG PH(cid:129)P L˙I L˘GARIT

20

2.1. (cid:217)ng d(cid:246)ng trong b(cid:160)i to¡n Cauchy cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh parabolic ng(cid:247)æc th(cid:237)i

gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.1. Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh parabolic ng(cid:247)æc th(cid:237)i gian . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.2. (cid:30)¡nh gi¡ Œn (cid:31)(cid:224)nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2. (cid:217)ng d(cid:246)ng trong b(cid:160)i to¡n Cauchy cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Laplace . . . . . . .

28

2.2.1. Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2.2. (cid:30)¡nh gi¡ Œn (cid:31)(cid:224)nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

T(cid:160)i li»u tham kh£o

40

M— (cid:30)(cid:134)U

B(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh xu§t hi»n trong nhi•u l(cid:190)nh v(cid:252)c øng d(cid:246)ng. B(cid:160)i to¡n

n(cid:160)y c(cid:226) li¶n quan (cid:31)‚n (cid:31)(cid:224)a v“t l(cid:254), v“t l(cid:254) plasma, c¡c b(cid:160)i to¡n v• l(cid:190)nh v(cid:252)c (cid:31)i»n sinh

h(cid:229)c... Trong mºt b(cid:160)i b¡o nŒi ti‚ng cıa Hadamard, b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y lƒn (cid:31)ƒu ti¶n

(cid:31)(cid:247)æc gi(cid:238)i thi»u nh(cid:247) l(cid:160) mºt v‰ d(cid:246) kinh (cid:31)i”n v• b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh. (cid:30)(cid:176)c

(cid:31)i”m nŒi b“t cıa b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y l(cid:160) mºt thay (cid:31)Œi nh(cid:228) trong dœ ki»n c(cid:244)ng c(cid:226) th”

d¤n (cid:31)‚n mºt sai l»ch l(cid:238)n v• nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n. Hadamard cho r‹ng c¡c b(cid:160)i

to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh kh(cid:230)ng c(cid:226) (cid:254) ngh(cid:190)a v“t l‰. Ch‰nh v… v“y, vi»c nghi¶n cøu c¡c

b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh (cid:31)” t…m ra c¡c (cid:31)¡nh gi¡ Œn (cid:31)(cid:224)nh v(cid:160) c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p

ch¿nh h(cid:226)a l(cid:160) mºt vi»c quan tr(cid:229)ng.

Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:231)i l(cid:230)garit l(cid:160) mºt trong nhœng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p d(cid:242)ng (cid:31)” Œn (cid:31)(cid:224)nh h(cid:226)a

c¡c b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh trong ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng. Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p

n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc nghi¶n cøu b(cid:240)i Pucci (1955), John (1955, 1960), Lavrentiev (1956) and

Payne (1960), (cid:30)inh Nho H(cid:160)o v(cid:160) Nguy„n V«n (cid:30)øc (2009, 2010, 2011). (cid:30)¥y l(cid:160) k(cid:190)

thu“t (cid:31)¡nh gi¡ d(cid:252)a tr¶n c¡c b§t (cid:31)flng thøc b“c hai v• (cid:31)⁄o h(cid:160)m (cid:31)” (cid:31)(cid:247)a ra gi(cid:238)i

h⁄n tr¶n v(cid:160) gi(cid:238)i h⁄n d(cid:247)(cid:238)i cho mºt h(cid:160)m l(cid:231)i l(cid:230)garit, (cid:31)¥y l(cid:160) mºt h(cid:160)m cıa nghi»m.

C¡c (cid:31)¡nh gi¡ (cid:31)(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc d(cid:242)ng (cid:31)” thi‚t l“p t‰nh duy nh§t nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n v(cid:160)

ta c(cid:226) th” chøng minh (cid:31)(cid:247)æc s(cid:252) ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c cıa nghi»m v(cid:160)o dœ ki»n (cid:31)¢ cho

theo mºt ngh(cid:190)a n(cid:160)o (cid:31)(cid:226).

Lu“n v«n tr…nh b(cid:160)y v• ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:231)i l(cid:230)garit v(cid:160) mºt sŁ øng d(cid:246)ng cıa

ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:31)” Œn (cid:31)(cid:224)nh h(cid:226)a b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh trong ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)⁄o

h(cid:160)m ri¶ng. C(cid:246) th”, lu“n v«n g(cid:231)m hai ch(cid:247)(cid:236)ng: Ch(cid:247)(cid:236)ng 1, t¡c gi£ tr…nh b(cid:160)y v•

h(cid:160)m l(cid:231)i, mºt v(cid:160)i ki‚n thøc c(cid:236) b£n cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng

1

ph¡p l(cid:231)i l(cid:230)garit; Ch(cid:247)(cid:236)ng 2, t¡c gi£ tr…nh b(cid:160)y hai b(cid:160)i to¡n minh h(cid:229)a cho ph(cid:247)(cid:236)ng

ph¡p n(cid:160)y, (cid:31)(cid:226) l(cid:160) b(cid:160)i to¡n Cauchy cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh parabolic ng(cid:247)æc th(cid:237)i gian v(cid:160)

b(cid:160)i to¡n Cauchy cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Laplace. (cid:30)¥y l(cid:160) c¡c b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh

v(cid:160) t¡c gi£ (cid:31)¢ sß d(cid:246)ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:231)i l(cid:230)garit (cid:31)” (cid:31)(cid:247)a ra (cid:31)¡nh gi¡ Œn (cid:31)(cid:224)nh cho

nghi»m cıa c¡c b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n (cid:31)(cid:247)æc bŒ sung. Phƒn cuŁi Ch(cid:247)(cid:236)ng 2,

t¡c gi£ c(cid:226) tr…nh b(cid:160)y th¶m mºt b(cid:160)i to¡n c(cid:226) th” xem nh(cid:247) m(cid:240) rºng cıa b(cid:160)i to¡n

Cauchy cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Laplace.

Lu“n v«n (cid:31)(cid:247)æc ho(cid:160)n th(cid:160)nh d(cid:247)(cid:238)i s(cid:252) h(cid:247)(cid:238)ng d¤n cıa TS. B(cid:242)i Vi»t H(cid:247)(cid:236)ng. C(cid:230)

(cid:31)¢ t“n t…nh h(cid:247)(cid:238)ng d¤n, ch¿ b£o em trong suŁt qu¡ tr…nh h(cid:229)c t“p v(cid:160) nghi¶n cøu.

Em xin b(cid:160)y t(cid:228) lÆng bi‚t (cid:236)n s¥u s›c t(cid:238)i C(cid:230).

Em c(cid:244)ng xin b(cid:160)y t(cid:228) lÆng bi‚t (cid:236)n tr¥n th(cid:160)nh t(cid:238)i Thƒy C(cid:230) gi¡o khoa To¡n -

Tin, tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c Khoa h(cid:229)c, (cid:30)⁄i h(cid:229)c Th¡i Nguy¶n (cid:31)¢ t“n t…nh gi£ng d⁄y v(cid:160)

t⁄o m(cid:229)i (cid:31)i•u ki»n thu“n læi trong qu¡ tr…nh em h(cid:229)c t“p v(cid:160) nghi¶n cøu t⁄i tr(cid:247)(cid:237)ng.

Em xin tr¥n th(cid:160)nh c£m (cid:236)n TS. Mai Vi‚t Thu“n v(cid:160) TS. Tr(cid:247)(cid:236)ng Minh Tuy¶n (cid:31)¢

d(cid:160)nh s(cid:252) quan t¥m v(cid:160) c(cid:226) nhœng l(cid:237)i (cid:31)ºng vi¶n k(cid:224)p th(cid:237)i (cid:31)” em cŁ g›ng ho(cid:160)n th(cid:160)nh

lu“n v«n n(cid:160)y.

CuŁi c(cid:242)ng em xin c£m (cid:236)n gia (cid:31)…nh, b⁄n b– v(cid:160) ch(cid:231)ng em (cid:31)¢ lu(cid:230)n (cid:240) b¶n (cid:31)ºng

2

vi¶n, t⁄o (cid:31)i•u ki»n cho em trong suŁt qu¡ tr…nh h(cid:229)c t“p v(cid:160) th(cid:252)c hi»n lu“n v«n.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1

KI(cid:152)N TH(cid:217)C CHU(cid:137)N B(cid:192)

1.1. T“p l(cid:231)i. H(cid:160)m l(cid:231)i

M(cid:246)c n(cid:160)y tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ kh¡i ni»m, (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a v(cid:160) k‚t qu£ cƒn thi‚t li¶n

quan (cid:31)‚n h(cid:160)m l(cid:231)i v(cid:160) t“p l(cid:231)i. Nºi dung cıa m(cid:246)c (cid:31)(cid:247)æc tham kh£o tł [2].

1.1.1. T“p l(cid:231)i

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1 Cho hai (cid:31)i”m a, b ∈ Rn.

i) (cid:30)(cid:247)(cid:237)ng thflng (cid:31)i qua hai (cid:31)i”m a v(cid:160) b l(cid:160) t“p hæp c(cid:226) d⁄ng

{x ∈ Rn|x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ R}.

ii) (cid:30)o⁄n thflng (cid:31)i qua hai (cid:31)i”m a v(cid:160) b l(cid:160) t“p hæp c(cid:226) d⁄ng

{x ∈ Rn|x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1]}.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2 T“p C ⊂ Rn (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) t“p l(cid:231)i n‚u C chøa m(cid:229)i (cid:31)o⁄n thflng

nŁi hai (cid:31)i”m b§t k(cid:253) cıa n(cid:226), tøc l(cid:160)

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1], ta c(cid:226) λx + (1 − λ)y ∈ C.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.3 i) Ta n(cid:226)i x l(cid:160) tŒ hæp l(cid:231)i cıa c¡c (cid:31)i”m (vect(cid:236)) x1, x2, · · · , xk

k (cid:88)

k (cid:88)

n‚u

j=1

j=1

3

x = λjxj v(cid:238)i λj > 0, ∀j = 1, 2, · · · , k v(cid:160) λj = 1.

k (cid:88)

k (cid:88)

ii) Ta n(cid:226)i x l(cid:160) tŒ hæp affine cıa c¡c (cid:31)i”m (vect(cid:236)) x1, x2, · · · , xk n‚u

j=1

j=1

x = λjxj v(cid:238)i λj = 1.

k (cid:80) j=1

M»nh (cid:31)• 1.1 T“p hæp C l(cid:160) l(cid:231)i khi v(cid:160) ch¿ khi n(cid:226) chøa m(cid:229)i tŒ hæp l(cid:231)i cıa c¡c (cid:31)i”m cıa n(cid:226), tøc l(cid:160) v(cid:238)i m(cid:229)i k ∈ N, v(cid:238)i m(cid:229)i λ1, λ2, · · · , λk > 0 sao cho λj = 1

k (cid:88)

v(cid:160) v(cid:238)i m(cid:229)i x1, x2, · · · , xk ∈ C ta c(cid:226)

j=1

λjxj ∈ C.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.4 Mºt t“p C (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) n(cid:226)n n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i λ > 0, v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ C

ta c(cid:226) λx ∈ C.

i) Mºt n(cid:226)n (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) n(cid:226)n l(cid:231)i n‚u n(cid:226) l(cid:160) t“p l(cid:231)i.

ii) Mºt n(cid:226)n l(cid:231)i (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) n(cid:226)n nh(cid:229)n n‚u n(cid:226) kh(cid:230)ng chøa (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng, khi (cid:31)(cid:226)

ta n(cid:226)i 0 l(cid:160) (cid:31)¿nh cıa n(cid:226)n. N‚u n(cid:226)n n(cid:160)y l(cid:160) mºt t“p l(cid:231)i (cid:31)a di»n th… ta n(cid:226)i n(cid:226)

l(cid:160) n(cid:226)n l(cid:231)i (cid:31)a di»n.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.5 Cho C ⊂ Rn l(cid:160) mºt t“p l(cid:231)i v(cid:160) x ∈ C.

i) T“p

NC(x) = {w : (cid:104)w, y − x(cid:105) ≤ 0, ∀y ∈ C},

(cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) n(cid:226)n ph¡p tuy‚n (ngo(cid:160)i) cıa C t⁄i x.

ii) T“p

−NC(x) = {w : (cid:104)w, y − x(cid:105) ≥ 0, ∀y ∈ C},

(cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) n(cid:226)n ph¡p tuy‚n (trong) cıa C t⁄i x.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1 ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) x§p x¿ tuy‚n t‰nh t“p l(cid:231)i) M(cid:229)i t“p l(cid:231)i, (cid:31)(cid:226)ng, kh¡c

rØng v(cid:160) kh(cid:230)ng tr(cid:242)ng v(cid:238)i to(cid:160)n bº kh(cid:230)ng gian (cid:31)•u l(cid:160) giao cıa t§t c£ c¡c nßa kh(cid:230)ng

4

gian t(cid:252)a cıa n(cid:226).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.6 Cho hai t“p C v(cid:160) D kh¡c rØng, ta n(cid:226)i si¶u phflng aT x = α

t¡ch C v(cid:160) D n‚u

aT x ≤ α ≤ aT y, ∀a ∈ C, y ∈ D.

Ta n(cid:226)i si¶u phflng aT x = α t¡ch ch(cid:176)t C v(cid:160) D n‚u

aT x < α < aT y, ∀a ∈ C, y ∈ D.

Ta n(cid:226)i si¶u phflng aT x = α t¡ch m⁄nh C v(cid:160) D n‚u

aT y, ∀a ∈ C, y ∈ D. aT x < α < inf y∈D sup x∈C

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2 ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) t¡ch 1) Cho C v(cid:160) D l(cid:160) hai t“p l(cid:231)i, kh¡c rØng trong Rn

sao cho C ∩ D = ∅. Khi (cid:31)(cid:226) c(cid:226) mºt si¶u phflng t¡ch C v(cid:160) D.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.3 ((cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) t¡ch 2) Cho C v(cid:160) D l(cid:160) hai t“p l(cid:231)i, (cid:31)(cid:226)ng, kh¡c rØng trong Rn sao cho C ∩ D = ∅. Gi£ sß ‰t nh§t mºt trong hai t“p l(cid:160) t“p compact.

Khi (cid:31)(cid:226), hai t“p n(cid:160)y c(cid:226) th” t¡ch m⁄nh (cid:31)(cid:247)æc b(cid:240)i mºt si¶u phflng.

1.1.2. H(cid:160)m l(cid:231)i

Cho C ⊂ Rn l(cid:160) t“p l(cid:231)i v(cid:160) f : C → R. Ta k‰ hi»u

domf = {x ∈ C : f (x) < +∞},

epif = {(x, α) ∈ C × R : f (x) ≤ α}.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.7 T“p domf (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mi•n hœu hi»u cıa f . T“p epif (cid:31)(cid:247)æc

g(cid:229)i l(cid:160) tr¶n (cid:31)(cid:231) th(cid:224) cıa f .

B‹ng c¡ch (cid:31)(cid:176)t f (x) = +∞ n‚u x /∈ C, ta c(cid:226) th” coi f x¡c (cid:31)(cid:224)nh tr¶n to(cid:160)n

kh(cid:230)ng gian. Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

domf = {x ∈ Rn : f (x) ≤ +∞},

5

epif = {(x, α) ∈ Rn × R : f (x) ≤ α}.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.8 Cho C ⊂ Rn, C (cid:54)= ∅ l(cid:160) t“p l(cid:231)i v(cid:160) f : C → [−∞, +∞]. Ta n(cid:226)i f l(cid:160) h(cid:160)m l(cid:231)i tr¶n C n‚u epif l(cid:160) t“p l(cid:231)i trong Rn+1.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a tr¶n t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i: ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ta c(cid:226)

f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y).

Nh“n x†t 1.1 V• m(cid:176)t h…nh h(cid:229)c, (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cong bi”u di„n mºt h(cid:160)m l(cid:231)i ph£i th(cid:228)a

m¢n hai t‰nh ch§t sau

i) kh(cid:230)ng n‹m tr¶n (cid:31)o⁄n thflng nŁi b§t k(cid:253) hai (cid:31)i”m n(cid:160)o thuºc (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cong.

ii) kh(cid:230)ng n‹m d(cid:247)(cid:238)i ti‚p tuy‚n t⁄i b§t k(cid:253) (cid:31)i”m n(cid:160)o thuºc (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cong.

V• m(cid:176)t gi£i t‰ch, nh“n x†t tr¶n c(cid:226) th” bi”u di„n d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng b§t (cid:31)flng thøc sau

f (b) − f (a) (x − a). f (a) + f (cid:48)(a)(x − a) ≤ f (x) ≤ f (a) + (1.1) b − a

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.9 Cho C ⊂ Rn, C (cid:54)= ∅ l(cid:160) t“p l(cid:231)i.

i) H(cid:160)m f : Rn → [−∞, +∞] (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) l(cid:231)i ch(cid:176)t tr¶n C n‚u

f [λx + (1 − λ)y] < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).

ii) H(cid:160)m f : Rn → [−∞, +∞] (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) l(cid:231)i m⁄nh tr¶n C v(cid:238)i h» sŁ η > 0 n‚u

v(cid:238)i m(cid:229)i x, y ∈ C, v(cid:238)i m(cid:229)i λ ∈ (0, 1)

6

f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − 1 ηλ(1 − λ)(cid:107)x − y(cid:107)2. 2

iii) H(cid:160)m f : Rn → [−∞, +∞] (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) h(cid:160)m lªm tr¶n C n‚u −f l(cid:160) h(cid:160)m l(cid:231)i

tr¶n C.

M»nh (cid:31)• 1.2 Mºt h(cid:160)m f : C → R l(cid:160) h(cid:160)m l(cid:231)i tr¶n C khi v(cid:160) ch¿ khi v(cid:238)i m(cid:229)i

x, y ∈ C, v(cid:238)i m(cid:229)i α, β th(cid:228)a m¢n f (x) < α, f (y) < β, v(cid:238)i m(cid:229)i sŁ λ ∈ [0, 1] ta c(cid:226)

f [λx + (1 − λ)y] ≤ λα + (1 − λ)β.

V‰ d(cid:246) 1.1 Mºt sŁ v‰ d(cid:246) v• h(cid:160)m l(cid:231)i

i) Chu'n Euclide ||x|| l(cid:160) mºt h(cid:160)m l(cid:231)i tr¶n Rn, trong (cid:31)(cid:226) x ∈ Rn.

ii) Cho C ⊂ Rn l(cid:160) t“p l(cid:231)i kh¡c rØng, h(cid:160)m ch¿ cıa C, (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

n‚u x ∈ C   0 δC(x) :=

 +∞ n‚u x /∈ C

l(cid:160) mºt h(cid:160)m l(cid:231)i.

iii) Cho C ⊂ Rn l(cid:160) t“p l(cid:231)i kh¡c rØng, h(cid:160)m t(cid:252)a cıa C, (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a

(cid:104)y, x(cid:105) SC(x) := sup y∈C

l(cid:160) mºt h(cid:160)m l(cid:231)i.

iv) Cho C ⊂ Rn l(cid:160) t“p l(cid:231)i kh¡c rØng, h(cid:160)m kho£ng c¡ch (cid:31)‚n t“p C, (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh

ngh(cid:190)a

(cid:107)x − y(cid:107) dC(x) := min y∈C

l(cid:160) mºt h(cid:160)m l(cid:231)i.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.10 H(cid:160)m f (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) h(cid:160)m ch‰nh th(cid:247)(cid:237)ng n‚u domf (cid:54)= ∅ v(cid:160)

f (x) > −∞ v(cid:238)i m(cid:229)i x.

7

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.11 H(cid:160)m f (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) h(cid:160)m (cid:31)(cid:226)ng n‚u epif l(cid:160) t“p (cid:31)(cid:226)ng trong kh(cid:230)ng gian Rn+1.

Nh“n x†t 1.2 N‚u f l(cid:160) mºt h(cid:160)m l(cid:231)i th… dom f l(cid:160) t“p l(cid:231)i.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.12 H(cid:160)m f (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) thuƒn nh§t d(cid:247)(cid:236)ng (b“c 1) tr¶n Rn n‚u

f (λx) = λf (x), ∀x ∈ Rn, ∀λ > 0.

M»nh (cid:31)• 1.3 Cho f l(cid:160) h(cid:160)m thuƒn nh§t d(cid:247)(cid:236)ng tr¶n Rn. Khi (cid:31)(cid:226) f l(cid:160) h(cid:160)m l(cid:231)i

khi v(cid:160) ch¿ khi

f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ Rn.

M»nh (cid:31)• 1.4 N‚u f1, f2 l(cid:160) c¡c h(cid:160)m l(cid:231)i, ch‰nh th(cid:247)(cid:237)ng th… f1 + f2 c(cid:244)ng l(cid:160) h(cid:160)m

l(cid:231)i.

H» qu£ 1.3.1 (TŒng qu¡t) N‚u f1, f2, · · · , fm l(cid:160) c¡c h(cid:160)m l(cid:231)i, ch‰nh th(cid:247)(cid:237)ng

1.2. Mºt sŁ ki‚n thøc c(cid:236) s(cid:240) v• ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)⁄o h(cid:160)m

ri¶ng

v(cid:160) λ1, λ2, · · · , λm l(cid:160) c¡c sŁ d(cid:247)(cid:236)ng th… h(cid:160)m λ1f1 + λ2f2 + · · · + λmfm l(cid:160) h(cid:160)m l(cid:231)i.

Trong m(cid:246)c n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i (cid:31)• c“p (cid:31)‚n mºt v(cid:160)i v§n (cid:31)• c(cid:236) b£n v• ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

(cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng. C¡c ki‚n thøc n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc tham kh£o tł [1].

Mºt ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh li¶n h» giœa 'n h(cid:160)m u(x1, x2, . . . , xn), c¡c bi‚n (cid:31)ºc l“p

x1, x2, . . . , xn v(cid:160) c¡c (cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng cıa n(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh vi ph¥n (cid:31)⁄o

h(cid:160)m ri¶ng. N(cid:226) c(cid:226) d⁄ng

(cid:17) (cid:16) , . . . , , . . . , , . . . = 0, F x1, x2, . . . , xn, u, ∂u ∂x1 ∂u ∂xn ∂xk1 ∂ku 1 ...∂xkn n

trong (cid:31)(cid:226) F l(cid:160) mºt h(cid:160)m n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) cıa c¡c (cid:31)Łi sŁ cıa n(cid:226); k = (k1, k2, . . . , kn) l(cid:160) mºt

bº g(cid:231)m c¡c sŁ nguy¶n kh(cid:230)ng ¥m, th(cid:228)a m¢n |k| = k1 + k2 + . . . + kn v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i

l(cid:160) mºt (cid:31)a ch¿ sŁ.

C§p cao nh§t cıa (cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng cıa h(cid:160)m u c(cid:226) m(cid:176)t trong ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)(cid:247)æc

8

g(cid:229)i l(cid:160) c§p cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh. Chflng h⁄n ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng c§p hai cıa

h(cid:160)m hai bi‚n c(cid:226) d⁄ng

(cid:16) (cid:17) F x, y, , , , = 0. ∂u ∂x ∂u ∂y ∂2u ∂x2 , ∂2u ∂x∂y ∂2u ∂y2

Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) tuy‚n t‰nh n‚u nh(cid:247) n(cid:226) tuy‚n t‰nh

(cid:31)Łi v(cid:238)i 'n h(cid:160)m v(cid:160) t§t c£ c¡c (cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng cıa n(cid:226). Chflng h⁄n ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

tuy‚n t‰nh c§p hai c(cid:226) d⁄ng

a(x, y) + c(x, y) + e(x, y) + f (x, y)u ∂2u ∂x2 + b(x, y) ∂2u ∂x∂y ∂2u ∂y2 + d(x, y) ∂u ∂x ∂u ∂y

= g(x, y).

Trong nºi dung cıa lu“n v«n, ta ch¿ x†t c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng tuy‚n

t‰nh c§p hai. V(cid:160) (cid:31)” (cid:31)(cid:236)n gi£n, ta vi‚t ux, uy, uxx, uxy, uyy thay cho c¡c k(cid:254) hi»u

∂u ∂2u ∂u , , , ∂x ∂y ∂2u ∂x2, ∂x∂y ∂2u ∂y2.

Nh(cid:247) ta (cid:31)¢ bi‚t, hai b(cid:160)i to¡n quan tr(cid:229)ng trong ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng

l(cid:160)

i) B(cid:160)i to¡n gi¡ tr(cid:224) ban (cid:31)ƒu (I.V.P)

ii) B(cid:160)i to¡n gi¡ tr(cid:224) bi¶n (B.V.P)

B(cid:160)i to¡n gi¡ tr(cid:224) ban (cid:31)ƒu th(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) b(cid:160)i to¡n Cauchy. V(cid:238)i b(cid:160)i to¡n gi¡

tr(cid:224) bi¶n: n‚u (cid:31)i•u ki»n bi¶n c(cid:226) d⁄ng B(u) = u tr¶n ∂Ω th… b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i

l(cid:160) b(cid:160)i to¡n bi¶n Dirichlet; n‚u (cid:31)i•u ki»n bi¶n c(cid:226) d⁄ng B(u) = ∇u · n v(cid:238)i n l(cid:160)

v†c t(cid:236) ph¡p tuy‚n (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) ngo(cid:160)i tr¶n ∂Ω th… b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) b(cid:160)i to¡n bi¶n

Neumann; n‚u (cid:31)i•u ki»n c(cid:226) d⁄ng B(u) = λu + µ∇ · n v(cid:238)i λ, µ l(cid:160) c¡c h‹ng sŁ th…

b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) b(cid:160)i to¡n bi¶n Robin hay b(cid:160)i to¡n bi¶n hØn hæp.

1.2.1. Ph¥n lo⁄i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tuy‚n t‰nh c§p hai

i,j=1

9

X†t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tuy‚n t‰nh c§p hai n (cid:88) (1.2) aij(x1, x2, . . . , xn)uxixj + F (x1, x2, . . . , xn, u, ux1, ux2, . . . , uxn) = 0,

trong (cid:31)(cid:226) aij = aij v(cid:160) l(cid:160) c¡c h(cid:160)m cıa bi‚n x1, x2, . . . , xn.

Gi£ sß x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn. X†t ma tr“n

A(x) = (cid:107)aij(x)(cid:107).

2, . . . , x0 n)

1, x0

Ta c(cid:226) th” coi A(x) l(cid:160) mºt ma tr“n (cid:31)Łi xøng. Ta cŁ (cid:31)(cid:224)nh (cid:31)i”m x0 = (x0

n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). Khi (cid:31)(cid:226), A(x) l(cid:160) mºt ma tr“n h‹ng A(x0). Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

(1.3) det (A(x0) − λE) = 0,

trong (cid:31)(cid:226) E l(cid:160) ma tr“n (cid:31)(cid:236)n v(cid:224), λ l(cid:160) mºt sŁ th(cid:252)c, (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)(cid:176)c

tr(cid:247)ng cıa (1.2) t⁄i (cid:31)i”m x0. V(cid:160) ta c(cid:226) (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a sau

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.13 i) Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.2) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) thuºc lo⁄i eliptic t⁄i

(cid:31)i”m x0 n‚u t⁄i (cid:31)i”m (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng (1.3) c(cid:226) n nghi»m kh¡c

0 v(cid:160) c(cid:242)ng mºt d§u. (Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n(cid:160)y, d⁄ng to(cid:160)n ph(cid:247)(cid:236)ng t(cid:247)(cid:236)ng øng

n (cid:88)

v(cid:238)i n(cid:226)

i,j=1

aij(x0)titj

l(cid:160) mºt d⁄ng x¡c (cid:31)(cid:224)nh d(cid:247)(cid:236)ng ho(cid:176)c x¡c (cid:31)(cid:224)nh ¥m.)

ii) Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.2) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) thuºc lo⁄i hypecbolic t⁄i (cid:31)i”m x0 n‚u t⁄i

(cid:31)i”m (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng (1.3) c(cid:226) n nghi»m kh¡c 0 v(cid:160) th(cid:228)a m¢n c(cid:226)

(n − 1) nghi»m c(cid:242)ng d§u, mºt nghi»m cÆn l⁄i kh¡c d§u.

iii) Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.2) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) thuºc lo⁄i parabolic t⁄i (cid:31)i”m x0 n‚u t⁄i (cid:31)i”m

(cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng (1.3) c(cid:226) n nghi»m, trong (cid:31)(cid:226) c(cid:226) mºt nghi»m b‹ng

0 v(cid:160) (n − 1) nghi»m cÆn l⁄i kh¡c 0 v(cid:160) c(cid:242)ng d§u.

N‚u nh(cid:247) t⁄i m(cid:229)i (cid:31)i”m trong mi•n Ω ⊂ Rn, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.2) thuºc c(cid:242)ng

mºt lo⁄i th… ta n(cid:226)i r‹ng ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.2) thuºc lo⁄i (cid:31)(cid:226) trong Ω.

Khi n = 2, ta x†t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tuy‚n t‰nh c§p hai sau

10

(1.4) a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux, uy) = 0.

Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n(cid:160)y, ma tr“n A c(cid:226) d⁄ng

  a(x, y) b(x, y) A(x, y) =   . b(x, y) c(x, y)

X†t (cid:31)i”m (x0, y0) ∈ R2 cŁ (cid:31)(cid:224)nh, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng c(cid:226) d⁄ng

det (A − λE) = (a − λ)(c − λ) − b2 = λ2 − (a + c)λ + ac − b2 = 0.

Do (cid:31)(cid:226), ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.4) t⁄i (cid:31)i”m (x0, y0) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160)

i) thuºc lo⁄i elliptic n‚u t⁄i (cid:31)i”m (cid:31)(cid:226)

b2 − ac < 0,

ii) thuºc lo⁄i hypecbolic n‚u t⁄i (cid:31)i”m (cid:31)(cid:226)

b2 − ac > 0,

iii) thuºc lo⁄i parabolic n‚u t⁄i (cid:31)i”m (cid:31)(cid:226)

b2 − ac = 0.

Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng, b‹ng ph†p (cid:31)Œi bi‚n ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) ta c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)a ph(cid:247)(cid:236)ng

tr…nh thuºc tłng lo⁄i v• c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh c(cid:226) d⁄ng (cid:31)(cid:176)c bi»t n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) m(cid:160) ta g(cid:229)i l(cid:160)

c¡c d⁄ng ch‰nh t›c.

1.2.2. M(cid:176)t (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng. B(cid:160)i to¡n Cauchy v(cid:238)i dœ ki»n cho tr¶n m(cid:176)t (cid:31)(cid:176)c

tr(cid:247)ng

n (cid:88)

X†t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tuy‚n t‰nh c§p hai

i,j=1

(1.5) aij(x)uxixj + F (x1, x2, . . . , xn, u, ux1, ux2, . . . , uxn) = 0.

n (cid:88)

T(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:238)i n(cid:226) ta thi‚t l“p ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

i,j=1

11

(1.6) aij(x)ωxiωxj = 0.

Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.6) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh c¡c m(cid:176)t (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng (hay ph(cid:247)(cid:236)ng

tr…nh c¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng khi n = 2).

M(cid:176)t S (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) m(cid:176)t (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.5) n‚u ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

cıa n(cid:226) c(cid:226) th” vi‚t (cid:31)(cid:247)æc d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng

(1.7) ω(x1, x2, . . . , xn) = 0,

i=1 ω2

xi (cid:54)= 0. Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226) t‰nh ch§t sau

trong (cid:31)(cid:226) h(cid:160)m ω(x1, x2, . . . , xn) tr¶n m(cid:176)t S th(cid:228)a m¢n ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.6) v(cid:160) (cid:80)n

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.4 C¡c m(cid:176)t (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng b§t bi‚n qua c¡c ph†p (cid:31)Œi bi‚n sŁ.

(cid:30)” t…m hi”u v• b(cid:160)i to¡n Cauchy v(cid:238)i dœ ki»n cho tr¶n m(cid:176)t (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng, ta x†t S l(cid:160) mºt m(cid:176)t tr(cid:236)n trong kh(cid:230)ng gian Rn. T⁄i mØi (cid:31)i”m x ∈ S, x†t mºt h(cid:247)(cid:238)ng

λ n(cid:160)o (cid:31)§y, kh(cid:230)ng ti‚p x(cid:243)c v(cid:238)i m(cid:176)t S. B(cid:160)i to¡n Cauchy cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.5)

l(cid:160) b(cid:160)i to¡n sau: Trong l¥n c“n m(cid:176)t S, t…m mºt nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.5)

th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n

(1.8)

= ψ(x), (1.9) u(cid:12) (cid:12)S = ϕ(x) (cid:12) ∂u (cid:12) (cid:12) ∂λ (cid:12)S

trong (cid:31)(cid:226) ϕ(x), ψ(x) l(cid:160) c¡c h(cid:160)m cho tr(cid:247)(cid:238)c tr¶n m(cid:176)t S th(cid:228)a m¢n gi£ thi‚t: ϕ(x) l(cid:160)

mºt h(cid:160)m kh£ vi li¶n t(cid:246)c, ψ(x) l(cid:160) mºt h(cid:160)m li¶n t(cid:246)c tr¶n S. C¡c h(cid:160)m ϕ(x), ψ(x)

(cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) c¡c dœ ki»n Cauchy, m(cid:176)t S g(cid:229)i l(cid:160) m(cid:176)t mang dœ ki»n Cauchy hay g(cid:229)i

t›t l(cid:160) m(cid:176)t Cauchy.

Ta c(cid:226) th” chøng minh c¡c t‰nh ch§t sau (xem [1])

1. Bi‚t c¡c dœ ki»n Cauchy, c(cid:226) th” t…m t§t c£ c¡c (cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng c§p mºt cıa

nghi»m (cid:240) tr¶n m(cid:176)t Cauchy.

2. Tr¶n m(cid:176)t (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng, c¡c dœ ki»n Cauchy ph(cid:246) thuºc l¤n nhau, tøc l(cid:160) (cid:31)Łi

v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n Cauchy cho tr¶n m(cid:176)t (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng, c¡c dœ ki»n Cauchy kh(cid:230)ng

12

th” cho mºt c¡ch t(cid:242)y (cid:254).

3. M(cid:176)t (cid:31)(cid:176)c tr(cid:247)ng l(cid:160) m(cid:176)t "truy•n c¡c gi¡n (cid:31)o⁄n" cıa c¡c (cid:31)⁄o h(cid:160)m c§p cao

cıa nghi»m.

1.2.3. S(cid:252) ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c

Tr¶n th(cid:252)c t‚, khi ta (cid:31)i gi£i c¡c b(cid:160)i to¡n v“t l(cid:254) th(cid:247)(cid:237)ng d¤n (cid:31)‚n sai sŁ. C¡c

sai sŁ ph¡t sinh tł vi»c (cid:31)o (cid:31)⁄c c¡c dœ ki»n cho tr(cid:247)(cid:238)c nh(cid:247) (cid:31)i•u ki»n ban (cid:31)ƒu,

(cid:31)i•u ki»n bi¶n, l(cid:252)c t¡c (cid:31)ºng, mi•n v“t l(cid:254),... ho(cid:176)c c(cid:226) th” l(cid:160) sai sŁ trong qu¡ tr…nh

t‰nh to¡n. C¥u h(cid:228)i (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t ra l(cid:160) c¡c sai sŁ n(cid:160)y c(cid:226) £nh h(cid:247)(cid:240)ng nh(cid:247) th‚ n(cid:160)o (cid:31)‚n

nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n. (cid:30)¥y l(cid:160) s(cid:252) quan t¥m v• s(cid:252) ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c hay tŒng

qu¡t h(cid:236)n l(cid:160) s(cid:252) Œn (cid:31)(cid:224)nh cıa nghi»m. V(cid:238)i c¡c b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh, ch(cid:243)ng ta

th(cid:247)(cid:237)ng quan t¥m (cid:31)‚n s(cid:252) ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c theo ngh(cid:190)a H¨older v(cid:160)o c¡c dœ ki»n.

Kh¡i ni»m n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)a ra b(cid:240)i John v(cid:160)o n«m 1960.

X†t b(cid:160)i to¡n c(cid:226) t“p nghi»m l(cid:160) U , t“p c¡c dœ ki»n l(cid:160) F v(cid:160) A l(cid:160) ¡nh x⁄ tł F

v(cid:160)o U . Gi£ sß, c¡c nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh tr¶n t“p con R ⊂ U v(cid:160)

c¡c dœ ki»n x¡c (cid:31)(cid:224)nh tr¶n t“p G ⊂ F th(cid:228)a m¢n G, R l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng gian tuy‚n

t‰nh (cid:31)(cid:224)nh chu'n v(cid:238)i (cid:107) · (cid:107)G, (cid:107) · (cid:107)R l(cid:160) c¡c chu'n t(cid:247)(cid:236)ng øng trong kh(cid:230)ng gian G v(cid:160)

R. V(cid:238)i mØi t“p con S cıa R v(cid:238)i chu'n (cid:107) · (cid:107)S, n‚u u1, u2 ∈ U v(cid:160) f1, f2 ∈ F th(cid:228)a

m¢n u1 = Af1 v(cid:160) u2 = Af2, ta n(cid:226)i ¡nh x⁄ A l(cid:160) li¶n t(cid:246)c H¨older t⁄i f1 n‚u v(cid:160) ch¿

n‚u

(cid:107)u1 − u2(cid:107)S < M εα, n‚u (cid:107)f1 − f2(cid:107)G < ε, sup u2∈S

trong (cid:31)(cid:226) M, α l(cid:160) c¡c h‹ng sŁ d(cid:247)(cid:236)ng ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o U v(cid:160) S.

V(cid:238)i c¡c b(cid:160)i to¡n v“t l(cid:254), ch(cid:243)ng ta (cid:31)(cid:176)t

R = {u(t) ∈ U (cid:12) (cid:12)t ∈ [0, T )},

v(cid:238)i [0, T ) ch¿ kho£ng th(cid:237)i gian,

S = {u(t) ∈ U (cid:12) (cid:12) t ∈ [0, T1)}, T1 ≤ T

v(cid:160)

13

G = {f ∈ F (cid:12) (cid:12) ∃u ∈ U th(cid:228)a m¢n u(0) = f }.

Nghi»m u1(·, t) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) Œn (cid:31)(cid:224)nh H¨older trong kho£ng t ∈ [0, T ) n‚u v(cid:160) ch¿

n‚u v(cid:238)i ε > 0 cho tr(cid:247)(cid:238)c, v(cid:238)i m(cid:229)i u(·, 0) ∈ F th(cid:228)a m¢n (cid:107)u1(·, 0) − u2(·, 0)(cid:107)0 < ε

th…

(cid:107)u1(·, t) − u2(·, t)(cid:107)t < Cεα, sup 0≤t≤T1

v(cid:238)i α ∈ (0, 1], chu'n (cid:107) · (cid:107)t v(cid:160) (cid:107) · (cid:107)0 t(cid:247)(cid:236)ng øng l(cid:160) c¡c chu'n cıa nghi»m u(·, t) t⁄i

th(cid:237)i (cid:31)i”m t v(cid:160) th(cid:237)i (cid:31)i”m ban (cid:31)ƒu t = 0, C l(cid:160) h‹ng sŁ d(cid:247)(cid:236)ng kh(cid:230)ng ph(cid:246) thuºc

v(cid:160)o ε. Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226) th” n(cid:226)i nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c H¨older theo

(cid:31)i•u ki»n ban (cid:31)ƒu v(cid:238)i t ∈ [0, T ). Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng, trong (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a tr¶n s(cid:252) Œn (cid:31)(cid:224)nh

1.3. Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:231)i l(cid:230)garit

H¨older (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh tr¶n kho£ng con compact cıa kho£ng th(cid:237)i gian hœu h⁄n.

Trong m(cid:246)c n(cid:160)y, ch(cid:243)ng t(cid:230)i tr…nh b(cid:160)y kh¡i ni»m v• h(cid:160)m l(cid:231)i l(cid:230)garit. T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252)

nh(cid:247) h(cid:160)m l(cid:231)i theo ngh(cid:190)a th(cid:230)ng th(cid:247)(cid:237)ng, c¡c h(cid:160)m l(cid:231)i l(cid:230)garit th(cid:228)a m¢n b§t (cid:31)flng

thøc v• (cid:31)⁄o h(cid:160)m c§p hai. D(cid:252)a tr¶n b§t (cid:31)flng thøc (cid:31)(cid:226), ch(cid:243)ng t(cid:230)i (cid:31)(cid:247)a ra gi(cid:238)i h⁄n

c“n tr¶n v(cid:160) c“n d(cid:247)(cid:238)i cho c¡c h(cid:160)m l(cid:231)i l(cid:230)garit (xem [4]). Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n, ch(cid:243)ng t(cid:230)i gi(cid:238)i

thi»u kh¡i ni»m v• h(cid:160)m l(cid:231)i l(cid:230)garit.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.14 Mºt h(cid:160)m (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) h(cid:160)m l(cid:231)i l(cid:230)garit n‚u n(cid:226) kh(cid:230)ng ¥m v(cid:160)

l(cid:230)garit cıa n(cid:226) l(cid:160) mºt h(cid:160)m l(cid:231)i.

Gi£ sß, h(cid:160)m F (x) l(cid:160) h(cid:160)m l(cid:231)i l(cid:230)garit, tøc l(cid:160) F (x) > 0 v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ [x1, x2] v(cid:160)

th(cid:228)a m¢n

f (x) = ln F (x) (1.10)

(cid:48)(cid:48)

l(cid:160) h(cid:160)m l(cid:231)i.

V… f (x) l(cid:160) h(cid:160)m l(cid:231)i n¶n ta c(cid:226) f (x) ≥ 0, v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ [x1, x2]. Do (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

d2[ln F (x)] ≥ 0, ∀x ∈ [x1, x2]. dx2

(cid:48)(cid:48)

M(cid:160) ta l⁄i c(cid:226)

14

d2[ln F (x)] F (x)F (x) − [F (cid:48)(x)[2 = ≥ 0. dx2 F 2(x)

(cid:48)(cid:48)

Suy ra

F (x)F (x) − [F (cid:48)(x)]2 ≥ 0, (1.11) ∀x ∈ [x1, x2].

M(cid:176)t kh¡c, v… f (x) = ln F (x) l(cid:160) h(cid:160)m l(cid:231)i n¶n theo b§t (cid:31)flng thøc (1.1) ta c(cid:226)

ln F (x) ≥ ln F (x1) + [ln F (x)](cid:48) (x1)(x − x1)

= ln F (x1) + (x − x1) F (cid:48)(x1) F (x1)

(cid:26) (cid:21)(cid:27) = ln . F (x1) · exp (x − x1) (cid:20)F (cid:48)(x1) F (x1)

Hay ta c(cid:226)

(cid:21) , (1.12) F (x) ≥ F (x1) · exp (x − x1) ∀x ∈ [x1, x2]. (cid:20)F (cid:48)(x1) F (x1)

V(cid:160) ta c(cid:244)ng c(cid:226)

ln F (x) ≤ ln F (x1) + (x − x1) ln F (x2) − ln F (x1) x2 − x2

1 = [ln F (x1)(x2 − x1) + ln F (x2)(x − x1) − ln F (x1)(x − x1)] x2 − x1

1 = [(x2 − x) ln F (x1) + (x − x1) ln F (x2)]

x−x1 x2−x1

x2−x x2−x1 · F (x2)

x2 − x1 (cid:104) (cid:105) = ln . F (x1)

x−x1 x2−x1 ,

Do (cid:31)(cid:226)

x2−x x2−x1 · F (x2)

(1.13) F (x) ≤ F (x1) ∀x ∈ [x1, x2].

Tł (1.12) v(cid:160) (1.13), v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ [x1, x2] ta (cid:31)(cid:247)æc

x−x1 x2−x1 .

x2−x x2−x1 · F (x2)

(cid:21) (1.14) (x − x1) ≤ F (x) ≤ F (x1) F (x1). exp (cid:20)F (cid:48)(x1) F (x1)

C(cid:230)ng thøc (1.14) cho ta gi(cid:238)i h⁄n tr¶n v(cid:160) gi(cid:238)i h⁄n d(cid:247)(cid:238)i cıa mºt h(cid:160)m l(cid:231)i l(cid:230)-

garit. (cid:30)¥y l(cid:160) c(cid:230)ng thøc quan tr(cid:229)ng (cid:31)(cid:247)æc sß d(cid:246)ng r§t nhi•u trong c¡c (cid:31)¡nh gi¡

15

(cid:240) Ch(cid:247)(cid:236)ng 2.

Trong phƒn ti‚p theo, ch(cid:243)ng t(cid:230)i tr…nh b(cid:160)y mºt m(cid:240) rºng cıa b§t (cid:31)flng thøc

(cid:48)(cid:48)

(1.11). Gi£ sß h(cid:160)m F (x) > 0 v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ [x1, x2] v(cid:160) th(cid:228)a m¢n b§t (cid:31)flng thøc

F (x)F (1.15) (x) − [F (cid:48)(x)]2 ≥ −a1F (x)F (cid:48)(x) − a2F 2(x)

v(cid:238)i a1, a2 l(cid:160) c¡c h‹ng sŁ.

(cid:48)(cid:48)

Khi (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ [x1, x2] ta c(cid:226)

F (x)F (x) − [F (cid:48)(x)]2 + a1F (x) · F (cid:48)(x) + a2F 2(x) ≥ 0. F 2(x)

(cid:48)(cid:48)

Hay

F (x)F (x) − [F (cid:48)(x)]2 F (cid:48)(x) + a1 + a2 ≥ 0. F 2(x) F (x)

(cid:48)(cid:48)

Suy ra

[ln F (x)] (1.16) + a1[ln F (x)](cid:48) + a2 ≥ 0.

Gi£ sß a1 (cid:54)= 0, ta (cid:31)(cid:176)t

σ = e−a1x, ∀x ∈ [x1, x2].

X†t h(cid:160)m

1(cid:3) = ln F (σ) −

ln σ. ln (cid:2)F (σ)σ−a2/a2 a2 a2 1

Ta c(cid:226)

1(cid:1) d(cid:0) ln F (σ)σ−a2/a2 dσ

(cid:19) (cid:18) − 1 . · − = (cid:2) ln F (σ)(cid:3)(cid:48) a1σ a2 a2 1σ

Suy ra

1(cid:3) d2(cid:2)F (σ)σ−a2/a2 dσ2

1σ2 + (cid:2) ln F (σ)(cid:3)(cid:48)

· = (cid:2) ln F (σ)(cid:3)(cid:48)(cid:48) · 1 a2 1 a1σ2 + a2 a2 1σ2

(cid:105) = (cid:104)(cid:0) ln F (σ)(cid:1)(cid:48)(cid:48) (cid:0) ln F (σ)(cid:1)(cid:48) . + a1 + a2 1 a2 1σ2

Theo b§t (cid:31)flng thøc (1.16) ta c(cid:226)

16

(cid:2) ln F (σ)(cid:3)(cid:48)(cid:48) (cid:2) ln F (σ)(cid:3)(cid:48) + a2 ≥ 0, ∀σ ∈ [σ1, σ2], + a1

1(cid:1)(cid:105)

trong (cid:31)(cid:226), σ1 = e−a1x1, σ2 = e−a1x2. Do (cid:31)(cid:226), ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc

d2(cid:104) ≥ 0, (1.17) ∀σ ∈ [σ1, σ2]. ln (cid:0)F (σ) · σ−a2/a2 dσ2

Theo (cid:31)¡nh gi¡ tr¶n cıa b§t (cid:31)flng thøc (1.14) ta c(cid:226)

1

1 ≤

2

(cid:104) (cid:104) (cid:105) σ2−σ σ2−σ1 · (cid:105) σ−σ1 σ2−σ1 . F (σ)σ−a2/a2 F (σ2)σ−a2/a2 F (σ1)σ1

Ta (cid:31)(cid:176)t

e−a1x2 − e−a1x δ := = . e−a1x2 − e−a1x1 σ2 − σ σ2 − σ1

Khi (cid:31)(cid:226), ta (cid:31)(cid:247)æc

e−a1x − e−a1x1 = 1 − δ. = e−a1x2 − e−a1x1 σ − σ1 σ2 − σ1

Do (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

1

1 ≤

2

(cid:105)δ (cid:104) (cid:104) (cid:105)1−δ F (σ)σ−a2/a2 · . F (σ1)σ1 F (σ2)σ−a2/a2

V… σ = e−a1x n¶n ta c(cid:226)

(cid:104) (cid:105)δ (cid:104) (cid:105)1−δ F (e−a1x)ea2x/a1 ≤ F (e−a1x1)ea2x1/a1 · F (e−a1x2)ea2x2/a1 .

Suy ra (cid:104) (cid:105)δ (cid:105)1−δ F (x)ea2x/a1 ≤ · . F (x1)ea2x1/a1 (cid:104) F (x2)ea2x2/a1

V“y, ta thu (cid:31)(cid:247)æc

(cid:105)1−δ (cid:105)δ (cid:104) (cid:104) , · F (x) ≤ e−a2x/a1 · (1.18) F (x1)ea2x1/a1 ∀x ∈ [x1, x2]. F (x2)ea2x2/a1

M(cid:176)t kh¡c, theo (cid:31)¡nh gi¡ d(cid:247)(cid:238)i cıa b§t (cid:31)flng thøc (1.14), ta c(cid:226)

1

1

1 ≥ F (σ1)σ−a2/a2

1

1

1

17

(cid:104) (cid:105)(cid:48) F (σ)σ−a2/a2 (σ1)     . · exp F (σ)σ−a2/a2 (σ − σ1) F (σ1)σ−a2/a2  

V…

1

1

1

(cid:105)(cid:48) (cid:104) F (σ)σ−a2/a2 (σ1) (σ − σ1) = F (σ1)σ−a2/a2

1−1

1

1

1

1

(cid:19) (cid:18) − 1 − · σ−a2/a2 F (cid:48)(σ1) · F (σ1)σ−a2/a2 a1σ1 = (σ − σ1) a2 a2 1 F (σ1)σ−a2/a!12

1 + F (cid:48)(σ1) · · F (σ1) a1σ1 = (σ1 − σ) a2 a2 1σ1 F (σ1)

(cid:18) (cid:19) σ = 1 − . F (cid:48)(σ1) + a2/a1 · F (σ1) a1F (σ1) σ1

N¶n

1

1 ≥ F (σ1)σ−a2/a2

1

(cid:18) σ F (σ)σ−a2/a2 (cid:19)(cid:21) . · exp 1 − (cid:20)F (cid:48)(σ1) + a2/a1 · F (σ1) a1F (σ1) σ1

Suy ra, ta c(cid:226)

1

1

(cid:19)(cid:21) (cid:18) σ · σ−a2/a2 1 − · σa2/a2 1. F (σ) ≥ F (σ1) · exp (cid:20)F (cid:48)(σ1) + a2/a1 · F (σ1) a1F (σ1) σ1

−a2 a1

a2 a1

x×

Thay bi‚n σ = e−a1x ta thu (cid:31)(cid:247)æc

x1e 

F (e−a1x) ≥ F (e−a1x1)e

 (cid:18) (cid:19) e−a1x × exp 1 −   e−a1x1 F (cid:48)(e−a1x1) + (a2/a1)F (e−a1x1) a1F (e−a1x1)

  (cid:16) 1 − ea1(x−x1)(cid:17) − = F (e−a1x1) · exp (x − x1)  .  F (cid:48)(e−a1x1) + (a2/a1)F (e−a1x1) a1F (e−a1x1) a2 a1

V“y, v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ [x1, x2] ta c(cid:226)

  (cid:16) 1 − ea1(x−x1)(cid:17) − F (x) ≥ F (x1) · exp (x − x1)   . F (cid:48)(x1) + (a2/a1)F (x1) a1F (x1) a2 a1

18

(1.19)

GiŁng c(cid:230)ng thøc (1.14), c(cid:230)ng thøc (1.19) v(cid:160) (1.18) l(cid:160) c(cid:230)ng c(cid:246) quan tr(cid:229)ng (cid:31)” (cid:31)(cid:247)a

ra c¡c (cid:31)¡nh gi¡ (cid:240) Ch(cid:247)(cid:236)ng 2.

(cid:48)(cid:48)

Trong mºt tr(cid:247)(cid:237)ng hæp kh¡c, n‚u a1 = 0 th… b§t (cid:31)flng thøc (1.15) tr(cid:240) th(cid:160)nh

F (x)F (1.20) (x) − [F (cid:48)(x)]2 ≥ −a2F 2(x), ∀x ∈ [x1, x2],

v(cid:238)i a2 l(cid:160) h‹ng sŁ.

(cid:48)(cid:48)

Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

F (x)F (x) − [F (cid:48)(x)]2 + a2F 2(x) ≥ 0. F 2(x)

Suy ra (cid:104) (cid:105)(cid:48)(cid:48) ln F (x) + a2 ≥ 0.

Do (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

d2(cid:104) ≥ 0, (1.21) ∀x ∈ [x1, x2], ln (cid:0)F (x) · ea2x2/2+αx+β(cid:1)(cid:105) dx2

trong (cid:31)(cid:226), α, β l(cid:160) c¡c h‹ng sŁ t(cid:242)y (cid:254). Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:244)ng c(cid:226) (cid:31)¡nh gi¡ (cid:31)Łi v(cid:238)i c“n tr¶n

19

v(cid:160) c“n d(cid:247)(cid:238)i cıa h(cid:160)m F (x).

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2

M¸T V(cid:128)I (cid:217)NG D(cid:214)NG C(cid:213)A PH(cid:215)(cid:204)NG PH(cid:129)P L˙I L˘GARIT

2.1. (cid:217)ng d(cid:246)ng trong b(cid:160)i to¡n Cauchy cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

parabolic ng(cid:247)æc th(cid:237)i gian

2.1.1. Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh parabolic ng(cid:247)æc th(cid:237)i gian

Cho Ω = [0, 1], T > 0. X†t b(cid:160)i to¡n parabolic trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp mºt chi•u

(2.1) ut = uxx, 0 ≤ x ≤ 1, 0 < t ≤ T,

u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 < t ≤ T, (2.2)

(2.3) u(x, 0) = u0(x), 0 ≤ x ≤ 1.

Gi£ sß u0(x) l(cid:160) h(cid:160)m li¶n t(cid:246)c tłng kh(cid:243)c v(cid:160) tri»t ti¶u t⁄i x = 0, x = 1, tøc l(cid:160)

u0(0) = u0(1) = 0.

Sß d(cid:246)ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p t¡ch bi‚n, ta t…m nghi»m kh(cid:230)ng tƒm th(cid:247)(cid:237)ng cıa b(cid:160)i to¡n

d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng

u(x, t) = X(x) · T (t).

(cid:48)(cid:48)

Thay v(cid:160)o (2.1) ta c(cid:226)

X(x) · T (cid:48)(t) = X (x) · T (t),

(cid:48)(cid:48)

hay

20

= = −λ, T (cid:48)(t) T (t) (x) X X(x)

trong (cid:31)(cid:226), λ l(cid:160) h‹ng sŁ. Suy ra, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.1) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i hai ph(cid:247)(cid:236)ng

tr…nh vi ph¥n th(cid:247)(cid:237)ng

(cid:48)(cid:48)

T (cid:48)(t) + λT (t) = 0, (2.4)

X (x) + λX(x) = 0. (2.5)

Sß d(cid:246)ng (cid:31)i•u ki»n bi¶n (2.2) ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc

X(0) = X(1) = 0. (2.6)

Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n, ta x†t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh vi ph¥n tuy‚n t‰nh c§p hai (2.5) v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n

(cid:48)(cid:48)

ban (cid:31)ƒu (2.6)

X (x) + λX(x) = 0,  

X(0) = X(1) = 0. 

Ta x†t c¡c tr(cid:247)(cid:237)ng hæp sau cıa tham sŁ λ

+ Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 1: N‚u λ < 0 th… nghi»m tŒng qu¡t cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.5) c(cid:226)

d⁄ng

√ √ −λx, v(cid:238)i C1, C2 l(cid:160) h‹ng sŁ. −λx + C2e−

X(x) = C1e

Tł (cid:31)i•u ki»n ban (cid:31)ƒu (2.6) ta thu (cid:31)(cid:247)æc

√

−λ = 0.

X(0) = C1 + c2 = 0,

√ −λ + C2e−

X(1) = C1e

Do (cid:31)(cid:226), ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc C1 = C2 = 0 hay X(x) ≡ 0. V“y, v(cid:238)i λ < 0, th… u(x, t) ≡ 0.

+ Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 2: N‚u λ = 0 th… nghi»m tŒng qu¡t cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.5) c(cid:226)

d⁄ng

X(x) = ax + b, v(cid:238)i a, b l(cid:160) h‹ng sŁ.

Tł (cid:31)i•u ki»n ban (cid:31)ƒu ta c(cid:244)ng suy ra (cid:31)(cid:247)æc a = b = 0 hay X(x) ≡ 0. V“y, v(cid:238)i

λ = 0 th… ta c(cid:244)ng c(cid:226) u(x, t) ≡ 0.

+ Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 3: N‚u λ > 0 th… nghi»m tŒng qu¡t cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.5) c(cid:226)

21

d⁄ng √ √ λx) + C2 sin( λx), v(cid:238)i C1, C2 l(cid:160) h‹ng sŁ. X(x) = C1 cos(

Thay (cid:31)i•u ki»n ban (cid:31)ƒu ta c(cid:226)

√ λx) = 0. X(0) = C1 cos(

√ λ) = 0. (cid:30)” Suy ra, C1 = 0. Thay (cid:31)i•u ki»n X(1) = 0 v(cid:160) C1 = 0, ta c(cid:226) C2 sin( √ λ = kπ hay nghi»m u(x, t) (cid:54)= 0 th… ta ph£i c(cid:226) C2 (cid:54)= 0. Do (cid:31)(cid:226),

λ = k2π2, k ∈ Z. (2.7)

Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226) X(x) = C2 sin(kπx).

V… h(cid:160)m X(x) ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o k n¶n ta k(cid:254) hi»u

(2.8) Xk(x) = Ak sin(kπx).

Thay λ = k2π2 v(cid:160)o (2.4) th… ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

T (cid:48)(t) + k2T (t) = 0,

c(cid:226) nghi»m

. (2.9) Tk(t) = Bke−tk2π2

Tł (2.8) v(cid:160) (2.9), ta c(cid:226) nghi»m ri¶ng cıa b(cid:160)i to¡n (cid:31)¢ cho c(cid:226) d⁄ng

sin(kπx), (2.10) uk(x, t) = Cke−tk2π2

v(cid:238)i Ck = Ak · Bk l(cid:160) h‹ng sŁ t(cid:242)y (cid:254). Ta th§y, c(cid:230)ng thøc nghi»m (2.10) th(cid:228)a m¢n

∞ (cid:88)

∞ (cid:88)

(cid:31)i•u ki»n bi¶n (2.2). Ta x¥y d(cid:252)ng mºt c¡ch h…nh thøc chuØi

k=1

k=1

u(x, t) = sin(kπx), (2.11) uk(x, t) = Cke−tk2π2

v(cid:238)i h» sŁ Ck x¡c (cid:31)(cid:224)nh sao cho chuØi (2.11) th(cid:228)a m¢n ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.1) v(cid:160) (cid:31)i•u

∞ (cid:88)

ki»n ban (cid:31)ƒu (2.3), tøc l(cid:160)

k=1

22

u(x, 0) = Ck sin(kπx) = u0(x).

Do (cid:31)(cid:226), h» sŁ Ck ph£i l(cid:160) h» sŁ Fourier cıa h(cid:160)m u0(x) khai tri”n theo h» h(cid:160)m

1 (cid:90)

{sin(kπx)} trong kho£ng (0, 1), tøc l(cid:160)

0

(2.12) Ck = 2 u0(ξ) sin(kπξ)dξ.

Ta l“p chuØi h…nh thøc (2.11) v(cid:238)i c¡c h» sŁ Ck (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh nh(cid:247) trong (2.12)

l(cid:160) nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n v(cid:238)i gi£ thi‚t h(cid:160)m u0(x) l(cid:160) h(cid:160)m li¶n t(cid:246)c, c(cid:226) (cid:31)⁄o h(cid:160)m li¶n

t(cid:246)c tłng kh(cid:243)c v(cid:160) th(cid:228)a m¢n u0(0) = u0(1) = 0.

X†t b(cid:160)i to¡n parabolic ng(cid:247)æc th(cid:237)i gian trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp mºt chi•u

(2.13) ut = uxx, 0 ≤ x ≤ 1, 0 < t ≤ T,

u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 < t ≤ T, (2.14)

(2.15) u(x, 0) = u0(x), 0 ≤ x ≤ 1,

(2.16) u(x, T ) = uT (x).

∞ (cid:88)

Gi£ sß (cid:31)i•u ki»n ban (cid:31)ƒu u0(x) c(cid:226) th” khai tri”n d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng chuØi

n=1

u0(x) = u0n sin(nπx).

K‚t hæp v(cid:238)i c(cid:230)ng thøc nghi»m (2.11), ta c(cid:226) nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.13) v(cid:238)i

∞ (cid:88)

(cid:31)i•u ki»n bi¶n (2.14) v(cid:160) (cid:31)i•u ki»n ban (cid:31)ƒu (2.15) c(cid:226) d⁄ng

n=1

u(x, t) = sin(nπx). (2.17) u0ne−tπ2n2

∞ (cid:88)

Thay (cid:31)i•u ki»n t⁄i th(cid:237)i (cid:31)i”m cuŁi t = T ta (cid:31)(cid:247)æc

n=1

u(x, T ) = sin(nπx). (2.18) u0ne−T π2n2

∞ (cid:88)

Gi£ sß h(cid:160)m uT (x) = u(x, T ) c(cid:226) th” khai tri”n d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng

n=1

23

(2.19) u(x, T ) = uT (x) = uT n sin(nπx).

Tł (2.18) v(cid:160) (2.19), ta thu (cid:31)(cid:247)æc

, UT n = u0ne−T n2π2

hay

. u0n = UT neT n2π2

∞ (cid:88)

Thay v(cid:160)o c(cid:230)ng thøc nghi»m (2.17) ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc

n=1

u(x, t) = sin(nπx). uT ne(T −t)π2n2

→ ∞ khi n → ∞. Do (cid:31)(cid:226), b(cid:160)i to¡n parabolic Do (cid:31)(cid:226), n‚u t < T th… ta c(cid:226) e(T −t)π2n2

ng(cid:247)æc th(cid:237)i gian l(cid:160) b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh.

2.1.2. (cid:30)¡nh gi¡ Œn (cid:31)(cid:224)nh

(cid:30)” Œn (cid:31)(cid:224)nh h(cid:226)a b(cid:160)i to¡n (2.13)(cid:21)(2.16), ch(cid:243)ng t(cid:230)i sß d(cid:246)ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:231)i

1 (cid:90)

l(cid:230)garit (xem [3]). Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n, ch(cid:243)ng t(cid:230)i x†t phi‚m h(cid:160)m n«ng l(cid:247)æng

0

F (t) = (cid:107)u(t)(cid:107)2 = u2(x, t)dx, (2.20)

(cid:240) (cid:31)¥y (cid:107) · (cid:107) l(cid:160) chu'n trong kh(cid:230)ng gian L2(0, 1) v(cid:160) ta s‡ ch¿ ra r‹ng h(cid:160)m F (t) th(cid:228)a

(cid:48)(cid:48)

m¢n b§t (cid:31)flng thøc

F (t)F (t) − [F (cid:48)(t)]2 ≥ 0, ∀t ∈ [0, T ).

1 (cid:90)

Th“t v“y, ta (cid:31)⁄o h(cid:160)m hai v‚ cıa (2.20)

0

F (cid:48)(t) = 2 u(x, t)ut(x, t)dx.

V… ut = uxx n¶n sß d(cid:246)ng c(cid:230)ng thøc t‰ch ph¥n tłng phƒn v(cid:160) (cid:31)i•u ki»n bi¶n (2.14)

24

ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc

1 (cid:90)

0

1 (cid:90)

F (cid:48)(t) = 2 u(x, t)ut(x, t)dx

0

1 (cid:90)

= 2 u(x, t)uxx(x, t)dx

1 0 − 2

0

1 (cid:90)

[ux(x, t)]2dx = 2u(x, t)ux(x, t)(cid:12) (cid:12)

0

= −2 (2.21) [ux(x, t)]2dx.

1 (cid:90)

(cid:48)(cid:48)

(cid:30)⁄o h(cid:160)m hai v‚ cıa (2.21) v(cid:160) sß d(cid:246)ng c(cid:230)ng thøc t‰ch ph¥n tłng phƒn ta (cid:31)(cid:247)æc

0 1 (cid:90)

F (t) = −4 ux(x, t)uxt(x, t)dx

0

= 4 uxx(x, t)ut(x, t)dx.

1 (cid:90)

(cid:48)(cid:48)

Thay uxx = ut ta c(cid:226)

0

F = 4 (2.22) [ut(x, t)]2dx.

1 (cid:90)

1 (cid:90)

1 (cid:90)

(cid:48)(cid:48)

Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

0

0

0

(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)2 F (t)F (t)−[F (cid:48)(t)]2 = 4 · u2(x, t)dx − 2 . [ut(x, t)]2dx u(x, t)ut(x, t)dx

1 (cid:90)

1 (cid:90)

1 (cid:90)

Theo b§t (cid:31)flng thøc Cauchy-Schwarz ta c(cid:226)

0

0

0

(cid:17)2 (cid:16) (cid:17) (cid:17) (cid:16) (cid:16) ≥ 0. u2(x, t)dx − · u(x, t)ut(x, t)dx [ut(x, t)]2dx

(cid:48)(cid:48)

Do (cid:31)(cid:226), ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc

25

F (t)F (t) − [F (cid:48)(t)]2 ≥ 0, ∀t ∈ [0, T ) (2.23)

hay F (t) l(cid:160) h(cid:160)m l(cid:231)i l(cid:230)garit.

t

T −t T

Theo c(cid:230)ng thøc (1.13) trong M(cid:246)c 1.3 ta c(cid:226) (cid:31)¡nh gi¡

T , ∀t ∈ [0, T ).

F (t) ≤ F (0) · F (T )

Thay F (t) = (cid:107)u(t)(cid:107)2 trong (2.20) v(cid:160) sß d(cid:246)ng (cid:31)i•u ki»n ban (cid:31)ƒu (2.15) v(cid:160) (cid:31)i•u

ki»n cuŁi (2.16) ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)¡nh gi¡ sau

(2.24) (cid:107)u(t)(cid:107)2 ≤ (cid:107)u0(x)(cid:107)2(1−t/T ) · (cid:107)u(T )(cid:107)2t/T , ∀t ∈ [0, T ).

T‰nh ch§t nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n gi¡ tr(cid:224) bi¶n ban (cid:31)ƒu (2.13)(cid:21)(2.16) c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc

suy ra tł (cid:31)¡nh gi¡ (2.23) v(cid:160) (2.24). Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n, ch(cid:243)ng ta c(cid:226) th” nh“n th§y r‹ng

n‚u h(cid:160)m F (t) th(cid:228)a m¢n b§t (cid:31)flng thøc (2.23) v(cid:160) F b(cid:224) tri»t ti¶u t⁄i mºt (cid:31)i”m

n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) t1 ∈ [0, T ] th… tł t‰nh li¶n t(cid:246)c cıa F ta c(cid:226) th” suy ra F (t) (cid:31)(cid:231)ng nh§t

b‹ng 0 v(cid:238)i m(cid:229)i t ∈ [0, T ]. Tł (cid:31)(cid:226), ta suy ra t‰nh duy nh§t nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n

Cauchy tuy‚n t‰nh (2.13)(cid:21)(2.16).

(cid:30)” tr£ l(cid:237)i cho c¥u h(cid:228)i v• t‰nh Œn (cid:31)(cid:224)nh cıa nghi»m ta gi£ sß u1(x, t) v(cid:160) u2(x, t)

l(cid:160) c¡c nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n sau

uit = uixx, 0 ≤ x ≤ 1, 0 < t ≤ T,

ui(0, t) = ui(1, t) = 0, 0 < t ≤ T,

ui(x, 0) = ui0(x), 0 ≤ x ≤ 1,

ui(x, T ) = uiT (x), i = 1, 2.

(cid:30)(cid:176)t u = u1 − u2 th… u s‡ l(cid:160) nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n (2.13)(cid:21)(2.16) v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n

Cauchy t(cid:247)(cid:236)ng øng l(cid:160) u0(x) = u10(x) − u20(x). Khi (cid:31)(cid:226) b§t (cid:31)flng thøc (2.24) s‡

cho ta kh(cid:230)ng gian nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n (cid:31)” sao cho (cid:107)u0(cid:107) nh(cid:228) s‡ k†o theo (cid:107)u(t)(cid:107)

c(cid:244)ng nh(cid:228) v(cid:238)i t ∈ [0, T ) hœu h⁄n. Tuy nhi¶n, (cid:31)i•u ki»n (cid:107)u0(x)(cid:107) nh(cid:228) l(cid:160) kh(cid:230)ng (cid:31)ı

(cid:31)” t‰ch

(cid:107)u0(x)(cid:107)2(1−t/T ) · (cid:107)u(T )(cid:107)2t/T

s‡ nh(cid:228) v(cid:238)i t ∈ [0, T ). Do (cid:31)(cid:226), (cid:31)” c(cid:226) t‰nh ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c cıa nghi»m v(cid:160)o dœ

26

ki»n ban (cid:31)ƒu ch(cid:243)ng ta cƒn mºt h⁄n ch‚ cho l(cid:238)p nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n. C(cid:246) th”,

ta k(cid:254) hi»u M l(cid:160) t“p t§t c£ c¡c h(cid:160)m ϕ(x, t), li¶n t(cid:246)c trong Ω = [0, 1] × [0, T ] v(cid:160)

v(cid:238)i mØi t ∈ (0, T ) cŁ (cid:31)(cid:224)nh th… ϕ(x, t) kh£ vi li¶n t(cid:246)c hai lƒn theo bi‚n x, v(cid:238)i mØi

x ∈ [0, 1] th… ϕ(x, t) kh£ vi li¶n t(cid:246)c theo bi‚n t ∈ (0, T ) v(cid:160) th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n

b(cid:224) ch(cid:176)n

(cid:107)ϕ(T )(cid:107)2 ≤ M 2, (2.25)

v(cid:238)i M l(cid:160) h‹ng sŁ. Ta th§y r‹ng, trong l(cid:238)p h(cid:160)m u ∈ M th… nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n

(2.13)(cid:21)(2.16) s‡ ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c theo ngh(cid:190)a H¨older v(cid:160)o dœ ki»n Cauchy trong

L2(0, 1) v(cid:238)i t ∈ [0, T ). Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226) k‚t qu£ sau

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1 Mºt nghi»m b§t k(cid:253) cıa b(cid:160)i to¡n gi¡ tr(cid:224) bi¶n ban (cid:31)ƒu (2.13)(cid:21)(2.16)

thuºc l(cid:238)p M (cid:31)•u th(cid:228)a m¢n b§t (cid:31)flng thøc

(2.26) (cid:107)u(t)(cid:107)2 ≤ M 2t/T (cid:107)u0(x)(cid:107)2(1−t/T ).

(cid:30)” (cid:254) r‹ng, c¡c k‚t qu£ tr¶n ch¿ c(cid:226) (cid:254) ngh(cid:190)a th(cid:252)c t‚ khi h‹ng sŁ M c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc

t‰nh to¡n tł c¡c dœ ki»n v“t l(cid:254) cıa b(cid:160)i to¡n khi ta (cid:31)i nghi¶n cøu c¡c m(cid:230) h…nh

to¡n h(cid:229)c cıa n(cid:226). Trong nhi•u b(cid:160)i to¡n v“t l(cid:254) th… ta c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)a ra h‹ng sŁ M ,

v‰ d(cid:246) nh(cid:247) n‚u nghi»m u bi”u di„n nhi»t (cid:31)º cıa cıa mºt b(cid:160)i to¡n th(cid:252)c t‚ th… ta

c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)a ra gi(cid:238)i h⁄n tr¶n cıa u. V(cid:160) khi (cid:31)(cid:226), ta kh(cid:230)ng nh§t thi‚t ph£i c(cid:226) d⁄ng

t(cid:247)(cid:237)ng minh cıa nghi»m.

M(cid:176)t kh¡c, (cid:31)” nghi¶n cøu d¡ng (cid:31)i»u cıa nghi»m, tł b§t (cid:31)flng thøc (2.23) ta

c(cid:226) gi(cid:238)i h⁄n d(cid:247)(cid:238)i cıa h(cid:160)m F (t) (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

(cid:32) (cid:33)

. F (t) ≥ F (0) exp (2.27) tF (cid:48)(0) F (0)

Thay c¡c dœ ki»n c(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc tł phƒn tr¶n ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc

(cid:32)

(cid:33) . (2.28) (cid:107)u(t)(cid:107)2 ≥ (cid:107)u0(x)(cid:107)2 exp 2t(cid:107)ux(cid:107)2 (cid:107)u0(cid:107)2

V… v“y, n‚u (cid:107)u(t)(cid:107) x¡c (cid:31)(cid:224)nh tr¶n [0, ∞) th… (cid:107)u(t)(cid:107) s‡ t«ng theo h(cid:160)m sŁ m(cid:244). V(cid:160)

27

do (cid:31)(cid:226), b§t (cid:31)flng thøc (2.28) cho ta (cid:31)¡nh gi¡ v• tŁc (cid:31)º t«ng cıa nghi»m u(x, t).

2.2. (cid:217)ng d(cid:246)ng trong b(cid:160)i to¡n Cauchy cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

Laplace

2.2.1. Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Laplace

Trong m(cid:246)c n(cid:160)y ch(cid:243)ng t(cid:230)i x†t b(cid:160)i to¡n Cauchy cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Laplace. (cid:30)” (cid:31)(cid:236)n gi£n, ch(cid:243)ng t(cid:230)i x†t b(cid:160)i to¡n trong mi•n thuºc kh(cid:230)ng gian R2 (xem [4]). Cho Ω ⊂ R2 (cid:31)(cid:247)æc gi(cid:238)i h⁄n b(cid:240)i 0 < x < X, 0 < y < 1, v(cid:238)i X < +∞ l(cid:160) sŁ cŁ (cid:31)(cid:224)nh cho

tr(cid:247)(cid:238)c. X†t b(cid:160)i to¡n bi¶n cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Laplace trong mi•n Ω

(x, y) ∈ Ω (2.29) uxx + uyy = 0,

v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n bi¶n Dirichlet

u(x, 0) = u(x, 1) = 0, 0 < x < X (2.30)

v(cid:160) (cid:31)i•u ki»n ban (cid:31)ƒu

u(0, y) = f (y), 0 < y < 1 (2.31) ux(0, y) = g(y),

trong (cid:31)(cid:226), f, g l(cid:160) c¡c h(cid:160)m cho tr(cid:247)(cid:238)c v(cid:160) nghi»m u(x, y) ∈ C 2(Ω).

B(cid:160)i to¡n (2.29) (cid:21) (2.31) l(cid:160) b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh do nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n

kh(cid:230)ng ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c v(cid:160)o dœ ki»n ban (cid:31)ƒu. Th“t v“y, x†t h(cid:160)m

cosh nπx sin nπy , un(x, y) = n

v(cid:238)i n l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng.

Ta th§y, h(cid:160)m un(x, y) th(cid:228)a m¢n ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.29), (cid:31)i•u ki»n bi¶n (2.30) v(cid:160)

(cid:31)i•u ki»n ban (cid:31)ƒu (2.31) v(cid:238)i

sin nπy , f (y) = un(x, 0) = n

28

g(y) = (x, 0) = 0. ∂un ∂x

V…

sin(nπy) 1 ≤ → 0, khi n → +∞, |un(0, y)| = n n (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

nh(cid:247)ng

cosh(nπx) · sin(nπy) cosh(nπx) ≤ → +∞ khi n → +∞. |un(x, y)| = n n (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

N¶n, v(cid:238)i x cho tr(cid:247)(cid:238)c th… (cid:31)i•u ki»n ban (cid:31)ƒu un(0, y) thay (cid:31)Œi nh(cid:228) t(cid:242)y (cid:254) nh(cid:247)ng

nghi»m un(x, y) thay (cid:31)Œi l(cid:238)n t(cid:242)y (cid:254) khi n (cid:31)ı l(cid:238)n hay n(cid:226)i c¡ch kh¡c nghi»m cıa

b(cid:160)i to¡n (2.29) (cid:21) (2.30) kh(cid:230)ng ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c v(cid:160)o dœ ki»n ban (cid:31)ƒu. Do (cid:31)(cid:226),

b(cid:160)i to¡n (2.29) (cid:21) (2.30) (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh.

Tuy nhi¶n, (cid:31)” c(cid:226) t‰nh (cid:31)(cid:176)t ch¿nh cıa b(cid:160)i to¡n th… ta cƒn th¶m (cid:31)i•u ki»n b(cid:224)

ch(cid:176)n cıa nghi»m, c(cid:246) th” v(cid:238)i h‹ng sŁ M cho tr(cid:247)(cid:238)c ta c(cid:226)

|u| ≤ M. (2.32)

2.2.2. (cid:30)¡nh gi¡ Œn (cid:31)(cid:224)nh

Gi£ sß ta c(cid:226) r‹ng buºc (2.32), (cid:31)” thi‚t l“p s(cid:252) ph(cid:246) thuºc cıa nghi»m v(cid:160)o (cid:31)i•u

ki»n ban (cid:31)ƒu, ta x†t h(cid:160)m

Ω

(cid:90) F (x) = (2.33) u2(x, y)dy + β(x + x0)2,

(cid:240) (cid:31)¥y, x0, β l(cid:160) h‹ng sŁ (cid:31)(cid:247)æc ch(cid:229)n t(cid:242)y (cid:254) v(cid:160) β > 0.

(cid:30)” chøng minh F (x) l(cid:160) mºt h(cid:160)m l(cid:231)i l(cid:230)garit, tøc l(cid:160) (cid:31)i chøng minh h(cid:160)m F (x)

th(cid:228)a m¢n b§t (cid:31)flng thøc b“c hai cıa (cid:31)⁄o h(cid:160)m d⁄ng (1.20), ta (cid:31)⁄o h(cid:160)m hai v‚

Ω

cıa (2.33) ta (cid:31)(cid:247)æc (cid:90) F (cid:48)(x) = (2.34) 2uuxdy + 2β(x + x0).

Ta ti‚p t(cid:246)c (cid:31)⁄o h(cid:160)m hai v‚ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tr¶n, sß d(cid:246)ng c(cid:230)ng thøc t‰ch ph¥n

29

tłng phƒn v(cid:160) (cid:31)i•u ki»n ban (cid:31)ƒu (2.31) ta (cid:31)(cid:247)æc

(cid:48)(cid:48)

Ω

(cid:90) (cid:16) (cid:17) dy + 2β F = 2

Ω

Ω

u2 x + uuxx (cid:90) (cid:90) = 2 uuyydy + 2β u2 xdy − 2

1 y=0 −

Ω

Ω

(cid:90) (cid:90) (cid:17) (cid:16) + 2β = 2 uuy (cid:12) (cid:12) u2 ydy u2 xdy − 2

x + u2 y

Ω

(cid:90) (cid:0)u2 (cid:1)dy + 2β. = 2 (2.35)

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nguy¶n l(cid:254) b£o to(cid:160)n cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh truy•n s(cid:226)ng, tł (2.29) v(cid:160) (2.31)

ta c(cid:226) th” chøng minh (cid:31)(cid:247)æc

Ω

Ω

(cid:90) (cid:90) (2.36) u2 xdy − u2 ydy = E,

v(cid:238)i E l(cid:160) h‹ng sŁ.

K‚t hæp v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n (2.35) ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc

(cid:48)(cid:48)

Ω

(cid:90) F (x) = 4 (2.37) u2 xdy + 2(β − E).

Tł (2.33), (2.34) v(cid:160) (2.37) ta c(cid:226)

(cid:48)(cid:48)

Ω

Ω (cid:90)

(cid:90) (cid:16) (cid:90) (cid:16) (cid:17) F (x)F (x) − [F (cid:48)(x)]2 = · 4 u2dy + β(x + x0)2(cid:17) u2 xdy + 2(β − E)

Ω

(cid:104) (cid:105)2 2 − uuxdy + 2β(x + x0)

Ω

(cid:90) (cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:90) = 4 · u2 xdy + 4β

Ω (cid:17)2

Ω

Ω

(cid:16) (cid:90) u2dy + β(x + x0)2(cid:17) (cid:16) (cid:90) − 2(β + E) − 4 u2dy + β(x + x0)2(cid:17) uuxdy + β(x + x0)

Ω

Ω

(cid:17) (cid:16) (cid:90) (cid:16) (cid:90) · = 4 u2dy + β(x + x0)2(cid:17) u2 xdy + β

(cid:17)2 (cid:16) (cid:90) − 2(β + E)F (x) − 4

Ω

Ω

Ω

(cid:16) (cid:90) (cid:17) (cid:17)2(cid:21) (cid:20)(cid:16) (cid:90) (cid:17) uuxdy + β(x + x0) Ω (cid:16) (cid:90) − 2(β + E)F (x) − u2dy · = 4 uuxdy u2 xdy

Ω

Ω

30

(cid:21) (cid:90) (cid:20) (cid:90) (cid:90) . + 4β uuxdy u2dy + (x + x0)2 u2 xdy − 2(x + x0)

Theo b§t (cid:31)flng thøc Schwarz, ta c(cid:226)

Ω

Ω

Ω

(cid:16) (cid:90) (cid:17) (cid:16) (cid:90) (cid:17) (cid:16) (cid:90) (cid:17)2 u2dy · ≥ , uuxdy u2 xdy

Ω

Ω

v(cid:160) (cid:90) (cid:90) (cid:90) u2dy + (x + x0)2 uuxdy. u2 xdy ≥ 2(x + x0)

(cid:48)(cid:48)

Do (cid:31)(cid:226), ta (cid:31)(cid:247)æc

F (x)F (x) − [F (cid:48)(x)]2 ≥ −2(β + E)F (x). (2.38)

Ti‚p theo, ta x†t t‰nh duy nh§t nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n (2.29)(cid:21)(2.31). G(cid:229)i u1, u2

l(cid:160) hai nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n (2.29)(cid:21)(2.31). (cid:30)(cid:176)t

u = u1 − u2.

Khi (cid:31)(cid:226), u l(cid:160) nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n sau

 ∆u = 0,

u(x, 0) = u(x, 1) = 0,

ux(0, y) = ux(0, y) = 0.  

Suy ra u ≡ 0 hay u1 = u2. Do (cid:31)(cid:226), b(cid:160)i to¡n (2.29)(cid:21)(2.31) c(cid:226) nghi»m duy nh§t.

Ti‚p theo ta s‡ th£o lu“n v• s(cid:252) ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c cıa nghi»m. Ta s‡ x†t hai

tr(cid:247)(cid:237)ng hæp cıa (cid:31)i•u ki»n ban (cid:31)ƒu: khi E ≤ 0 v(cid:160) khi E > 0. (cid:30)ƒu ti¶n, khi E ≤ 0

(cid:48)(cid:48)

v(cid:160) ta ch(cid:229)n β = 0. Tł (2.38) ta c(cid:226)

F F − (F (cid:48))2 ≥ 0.

X−x

x

X · F (X)

X .

(cid:129)p d(cid:246)ng b§t (cid:31)flng thøc (1.14) cho h(cid:160)m F (x) trong [0, X] ta (cid:31)(cid:247)æc

F (x) ≤ F (0)

Gi£ sß nghi»m u(x) th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n b(cid:224) ch(cid:176)n (2.32). Khi (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

31

F (x) ≤ F (0)1−x/X · M 2x/X. (2.39)

B§t (cid:31)flng thøc (2.39) cho ta s(cid:252) ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c theo ngh(cid:190)a H¨older cıa nghi»m

v(cid:160)o dœ ki»n ban (cid:31)ƒu .

Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp thø hai, khi (cid:31)i•u ki»n ban (cid:31)ƒu th(cid:228)a m¢n E > 0. Khi (cid:31)(cid:226)

E l(cid:160) "(cid:31)ı l(cid:238)n". Tł (2.33) v(cid:160)

(cid:31)i•u ki»n β l(cid:160) mºt h‹ng sŁ d(cid:247)(cid:236)ng l(cid:160) cƒn thi‚t (cid:31)” β

(cid:48)(cid:48)

(2.38) ta c(cid:226)

F F − (F (cid:48))2 ≥ − (2.40) (2 + ε) (x + x0)2 F 2.

(cid:30)i•u n(cid:160)y t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i

≥ 0, (2.41) (cid:2) ln F (x + x0)−(2+ε)(cid:3)(cid:48)(cid:48)

trong (cid:31)(cid:226)

ε = . 2E β

Do (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

(cid:104) (cid:105)1−x/X (cid:104) · . F (x)(X + x0)−(2+ε) ≥ F (X)(X + x0)−(2+ε)(cid:105)x/X F (0)x−(2+ε) 0

K‚t hæp v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n (2.32) ta thu (cid:31)(cid:247)æc

(cid:104) (cid:105)1−x/X (cid:104) · . F (x)(X +x0)−(2+ε) ≥ F (0)x−(2+ε) 0

(M 2+β(X +x0)2)(X +x0)−(2+ε)(cid:105)x/X (2.42)

Do (cid:31)(cid:226), t‰nh duy nh§t nghi»m v(cid:160) s(cid:252) ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c cıa nghi»m v(cid:160)o (cid:31)i•u ki»n

ban (cid:31)ƒu cıa b(cid:160)i to¡n Cauchy m(cid:160) ta (cid:31)ang th£o lu“n c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc ph¡t bi”u nh(cid:247)

sau:

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2 B(cid:160)i to¡n ((cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh) Cauchy (2.29) (cid:21) (2.31) c(cid:226) duy nh§t

nghi»m. N‚u ta bŒ sung th¶m (cid:31)i•u ki»n (2.32) th… nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n ph(cid:246) thuºc

li¶n t(cid:246)c v(cid:160)o (cid:31)i•u ki»n ban (cid:31)ƒu theo (cid:31)¡nh gi¡ (2.39) v(cid:160) (2.42) khi (cid:31)i•u ki»n ban

(cid:31)ƒu (2.31) th(cid:228)a m¢n E ≤ 0 v(cid:160) E > 0, v(cid:238)i E (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i (2.36).

Trong phƒn cuŁi cıa m(cid:246)c, ch(cid:243)ng t(cid:230)i th£o lu“n v• mºt k‚t qu£ t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) c(cid:226)

32

th” nh“n (cid:31)(cid:247)æc cho mºt d⁄ng b(cid:160)i to¡n tŒng qu¡t h(cid:236)n (xem [5]).

Cho H l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Hilbert th(cid:252)c v(cid:238)i t‰ch v(cid:230) h(cid:247)(cid:238)ng (cid:104), (cid:105) v(cid:160) chu'n (cid:107) · (cid:107). Gi£

sß D ⊂ H l(cid:160) kh(cid:230)ng gian con tuy‚n t‰nh tr(cid:242) m“t trong H; M v(cid:160) N l(cid:160) c¡c to¡n

tß tuy‚n t‰nh tł D v(cid:160) H. X†t b(cid:160)i to¡n (cid:31)i•u ki»n ban (cid:31)ƒu

M x ∈ [0, X] (2.43) d2u dx2 + N u = 0,

v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n

(2.44) u(0) = u0, (0) = v0. du dx

(cid:30)” (cid:31)(cid:236)n gi£n ta gi£ sß r‹ng M v(cid:160) N l(cid:160) c¡c to¡n tß kh(cid:230)ng ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o tham

sŁ x v(cid:160) th(cid:228)a m¢n c¡c gi£ thi‚t sau

i) M l(cid:160) to¡n tß (cid:31)Łi xøng, x¡c (cid:31)(cid:224)nh d(cid:247)(cid:236)ng;

ii) N l(cid:160) to¡n tß (cid:31)Łi xøng;

iii) nghi»m u cıa b(cid:160)i to¡n thuºc l(cid:238)p C 1([0, X], H).

(cid:30)” thu“n ti»n ta (cid:31)i x†t nghi»m y‚u cıa b(cid:160)i to¡n tr¶n b‹ng c¡ch nh¥n hai v‚ cıa

ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.43) v(cid:238)i h(cid:160)m thß ϕ ∈ C 1([0, X], H) ta c(cid:226)

(cid:104)ϕ(x), M d2u dx2 (cid:105) + (cid:104)ϕ(x), N u(cid:105) = (cid:104)ϕ, 0(cid:105).

V… M l(cid:160) to¡n tß (cid:31)Łi xøng n¶n

(cid:104)M ϕ(x), d2u dx2 (cid:105) + (cid:104)ϕ(x), N u(cid:105) = (cid:104)ϕ, 0(cid:105).

L§y t‰ch ph¥n hai v‚ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tr¶n ta (cid:31)(cid:247)æc

0

0

(cid:90) x (cid:90) x (cid:104)M ϕ(η), (cid:104)ϕ(η), N u(cid:105)dη = 0. d2u dη2 (cid:105)dη +

dx(0) = v0 ta c(cid:226)

x

Sß d(cid:246)ng c(cid:230)ng thøc t‰ch ph¥n tłng phƒn v(cid:160) (cid:31)i•u ki»n ban (cid:31)ƒu du

η=0

0

0

0

0

33

(cid:90) x (cid:90) x (cid:105) − d(M ϕ(η))dη (cid:104)M ϕ(η), (cid:12) (cid:12) (cid:12) d2u dη2 (cid:105)dη = (cid:104)M ϕ(η), du dη (cid:90) x (cid:104)M = (cid:104)M ϕ(x), (x)(cid:105) − (cid:104)M ϕ(0), (0)(cid:105) − (cid:105)dη , du dx du dη (cid:90) x (cid:104)M = (cid:104)M ϕ(x), , (cid:105)dη. (x)(cid:105) − (cid:104)M ϕ(0), v0(cid:105) − dϕ dη du dη dϕ dη du dη du dx du dx

Thay v(cid:160)o ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tr¶n ta (cid:31)(cid:247)æc

0

(cid:90) x (cid:16) (cid:17) (cid:104)M ϕ(x), (cid:104)M , (cid:105) − (cid:104)ϕ, N u(cid:105) dη. (2.45) (x)(cid:105) = (cid:104)M ϕ(0), v0(cid:105) + du dx dϕ dη du dη

(cid:30)(cid:176)t (cid:18) (cid:19) E(x) = (cid:104)M (cid:105) + (cid:104)u(x), N u(x)(cid:105) . , 1 2 du dx du dx

Theo b§t (cid:31)flng thøc n«ng l(cid:247)æng ta c(cid:226)

(cid:19) (cid:18) E(x) = ≤ E(0). (cid:105) + (cid:104)u, N u(cid:105) , (cid:104)M (2.46) 1 2 du dx du dx

Khi (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i mØi nghi»m cŒ (cid:31)i”n th(cid:228)a m¢n ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.45) c(cid:244)ng s‡ th(cid:228)a m¢n

(2.46) v(cid:238)i d§u b‹ng.

Ch(cid:243)ng ta s‡ sß d(cid:246)ng mºt d⁄ng kh¡c cıa b§t (cid:31)flng thøc l(cid:231)i l(cid:230)garit (cid:31)” nghi¶n

cøu t‰nh duy nh§t v(cid:160) t‰nh ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c v(cid:160)o dœ ki»n ban (cid:31)ƒu cıa nghi»m

cıa b(cid:160)i to¡n (cid:31)ang x†t. (cid:30)” (cid:31)⁄t (cid:31)(cid:247)æc m(cid:246)c (cid:31)‰ch (cid:31)(cid:226), ta x†t h(cid:160)m

(2.47) G(x) = (cid:104)u, M u(cid:105) + β(x + x0)2,

trong (cid:31)(cid:226) β v(cid:160) x0 l(cid:160) c¡c h‹ng sŁ kh(cid:230)ng ¥m (cid:31)(cid:247)æc ch(cid:229)n ph(cid:242) hæp. (cid:30)⁄o h(cid:160)m hai v‚

cıa (2.47) ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc

G(cid:48)(x) = 2(cid:104)M u, ux(cid:105) + 2β(x + x0).

(cid:129)p d(cid:246)ng (2.45), thay ϕ(x) = u(x) v(cid:160) sß d(cid:246)ng (cid:31)i•u ki»n ban (cid:31)ƒu u(0) = u0 ta

(cid:31)(cid:247)æc

G(cid:48)(x) = 2(cid:104)M u, ux(cid:105) + 2β(x + x0)

0

(cid:90) x (cid:16) (cid:17) (cid:105) − (cid:104)u, N u(cid:105) (cid:104)M , (2.48) = 2(cid:104)M u0, v0(cid:105) + 2 dη + 2β(x + x0). du dη du dη

(cid:48)(cid:48)

Ti‚p t(cid:246)c (cid:31)⁄o h(cid:160)m hai v‚ cıa (2.48) ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc

34

(cid:16) (cid:17) G (x) = 2 (cid:104)M , (cid:105) − (cid:104)u, N u(cid:105) + 2β. (2.49) du dx du dx

B‹ng c¡ch sß d(cid:246)ng (2.46) khi u(x) l(cid:160) nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.45) (tøc l(cid:160)

(cid:48)(cid:48)

khi (2.46) x£y ra d§u b‹ng) ta c(cid:226) th” vi‚t l⁄i (2.49) d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng

(cid:16) (cid:17) G (x) = 2 (cid:104)M (cid:105) − (cid:104)u, N u(cid:105) + 2β , du dx du dx (cid:16) (cid:17) , = 4(cid:104)M (cid:105) + 4β − 2β + 2(cid:104)M (cid:105) + 2(cid:104)u, N u(cid:105) , du dx du dx du dx du dx

(2.50) = 4(cid:104)M ux, ux(cid:105) + 4β − (2β + 4E(0)).

(cid:48)(cid:48)

Do (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

(cid:104) GG − (G(cid:48))2 = (cid:104)u, M u(cid:105) + β(x + x0)2(cid:105)(cid:104) (cid:105) 4(cid:104)M ux, ux(cid:105) + 4β − (2β + 4E(0))

(cid:104) (cid:105) 2(cid:104)M u, ux(cid:105) + 2β(x + x0)

(cid:105) (cid:105)2 (cid:104) − 4 (cid:104) = 4 (cid:104)M ux, ux(cid:105) + β − (cid:104)M u, u(cid:105) + β(x + x0)2(cid:105)(cid:104) (cid:104)M u, ux(cid:105) + β(x + x0)

(cid:104) (cid:105) 2β + 4E(0) − G(x). (2.51)

V… M x¡c (cid:31)(cid:224)nh d(cid:247)(cid:236)ng v(cid:160) theo b§t (cid:31)flng thøc Schwarz, ta c(cid:226)

(cid:105) (cid:105)2 (cid:104) 4 (cid:104) −4 ≥ 0. (2.52) (cid:104)M u, M (cid:105)+β(x+x0)2(cid:105)(cid:104) (cid:104)M ux, ux(cid:105)+β (cid:104)M u, ux(cid:105)+β(x+x0)

Th“t v“y, (cid:31)” chøng minh b§t (cid:31)flng thøc tr¶n, ta k(cid:254) hi»u (cid:104)u, v(cid:105)∗ := (cid:104)M u, v(cid:105). V…

M l(cid:160) to¡n tß (cid:31)Łi xøng, x¡c (cid:31)(cid:224)nh d(cid:247)(cid:236)ng n¶n (cid:104), (cid:105)∗ l(cid:160) mºt t‰ch v(cid:230) h(cid:247)(cid:238)ng trong

kh(cid:230)ng gian Hilbert H. (cid:30)” ¡p d(cid:246)ng b§t (cid:31)flng thøc Schwarz, ta ch(cid:229)n ˆu l(cid:160) vect(cid:236)

tr(cid:252)c giao v(cid:238)i h» vect(cid:236) {u, ux} v(cid:160) (cid:107)ˆu(cid:107) = 1. (cid:30)(cid:176)t c¡c vect(cid:236)

u(cid:48)(x) = u(x) + (cid:112)β(x + x0)ˆu; v(cid:48)(x) = ux(x) + (cid:112)β ˆu.

V… h» vect(cid:236) ˆu(x) tr(cid:252)c giao v(cid:238)i h» {ut(x), ˆu(x)} v(cid:160) (cid:107)ˆu(cid:107) = 1 n¶n ta c(cid:226)

(cid:104)u(cid:48), u(cid:48)(cid:105)∗ = (cid:104)u, u(cid:105)∗ + β(x + x0)2 = (cid:104)M u, u(cid:105) + β(x + x0)2;

(cid:104)v(cid:48), v(cid:48)(cid:105)∗ = (cid:104)ux, ux(cid:105)∗ + β = (cid:104)M ux, ux(cid:105) + β;

35

(cid:104)u(cid:48), v(cid:48)(cid:105)∗ = (cid:104)u, ux(cid:105)∗ + β(x + x0) = (cid:104)M u, ux(cid:105) + β(x + x0).

M(cid:160) ta l⁄i c(cid:226)

(cid:104)u(cid:48), u(cid:48)(cid:105)∗ · (cid:104)v(cid:48), v(cid:48)(cid:105)∗ ≥ |(cid:104)u(cid:48), v(cid:48)(cid:105)∗|2.

(cid:48)(cid:48)

Do (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226) (2.52). V“y, suy ra

GG (cid:104) − (G(cid:48))2 ≥ − (cid:105) 2β + 4E(0) G(x). (2.53)

Tł b§t (cid:31)flng thøc (2.53) ch(cid:243)ng ta c(cid:226) th” ch¿ ra c¡c k‚t qu£ v• s(cid:252) duy nh§t, d¡ng

(cid:31)i»u v(cid:160) s(cid:252) ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c cıa nghi»m.

1. S(cid:252) duy nh§t nghi»m. — (cid:31)¥y, ch(cid:243)ng ta cƒn ch¿ ra r‹ng tł u0 = v0 = 0 k†o

theo u(x) ≡ 0. Th“t v“y, trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n(cid:160)y ta s‡ ch(cid:229)n β = 0. Tł E(0) = 0

(cid:48)(cid:48) GG

ta c(cid:226)

− (G(cid:48))2 ≥ 0, (2.54)

v(cid:160) tł b§t (cid:31)flng thøc (1.13), ta suy ra

G(x) ≤ G(0)1−x/XG(X)x/X. (2.55)

V… G(0) = 0 n¶n G(x) ph£i b‹ng 0 v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ [0, X]. V… M l(cid:160) to¡n tß x¡c (cid:31)(cid:224)nh

d(cid:247)(cid:236)ng n¶n ta suy ra u ≡ 0 trong (cid:31)o⁄n [0, X].

2. D¡ng (cid:31)i»u cıa nghi»m. Gi£ sß X = ∞ v(cid:160) ch(cid:243)ng ta (cid:31)i nghi¶n cøu d¡ng

(cid:31)i»u cıa nghi»m khi x → ∞. Khi (cid:31)(cid:226) ta s‡ x†t hai tr(cid:247)(cid:237)ng hæp E(0) < 0 v(cid:160)

E(0) > 0, tr(cid:247)(cid:237)ng hæp E(0) = 0 kh¡ (cid:31)(cid:176)c bi»t, b⁄n (cid:31)(cid:229)c c(cid:226) th” tham kh£o trong

mºt b(cid:160)i b¡o cıa R.J. Knops v(cid:160) L.E.Payne (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)«ng tr¶n t⁄p ch‰ Arch. Rational

Mech. Anal. n«m 1971. Trong khu(cid:230)n khŒ cıa lu“n v«n, ch(cid:243)ng t(cid:230)i kh(cid:230)ng x†t (cid:31)‚n

tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n(cid:160)y.

(i) E(0) < 0. Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n(cid:160)y ta ch(cid:229)n β = −2E(0) v(cid:160) ta c(cid:244)ng d¤n (cid:31)‚n

b§t (cid:31)flng thøc (2.54). Do (cid:31)(cid:226), tł b§t (cid:31)flng thøc (1.12) ta c(cid:244)ng c(cid:226) (cid:31)¡nh gi¡ c“n

d(cid:247)(cid:238)i cıa h(cid:160)m G(x) nh(cid:247) sau

(cid:105) x , G(x) ≥ G(0) exp (2.56) (cid:104)G(cid:48)(0) G(0)

36

hay (cid:17) (cid:35) (cid:17) exp . (2.57) (cid:104)u, M u(cid:105) + β(x + x0)2 ≥ (cid:16) (cid:104)u0, M u0(cid:105) + βx2 0 (cid:16) (cid:34)2x (cid:16) (cid:104)M u0, v0(cid:105) + βx0 (cid:17) (cid:104)u0, M u0(cid:105) + βx2 0

Ta th§y r‹ng, n‚u (cid:104)M u0, v0(cid:105) b(cid:224) ch(cid:176)n th… ta lu(cid:230)n c(cid:226) th” ch(cid:229)n (cid:31)(cid:247)æc x0 (cid:31)ı l(cid:238)n (cid:31)”

sŁ m(cid:244) trong (2.57) l(cid:160) sŁ d(cid:247)(cid:236)ng. Do (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226) k‚t qu£ sau

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3 Mºt nghi»m y‚u b§t k(cid:253) cıa b(cid:160)i to¡n (2.43)(cid:21)(2.44) t(cid:231)n t⁄i v(cid:238)i m(cid:229)i

x v(cid:160) n‚u (cid:31)i•u ki»n ban (cid:31)ƒu th(cid:228)a m¢n E(0) < 0 th… nghi»m (cid:31)(cid:226) ph£i t«ng theo

h(cid:160)m sŁ m(cid:244) (theo chu'n) khi x dƒn t(cid:238)i ∞.

B¶n c⁄nh (cid:31)(cid:226), khi c(cid:226) (2.55) v(cid:238)i β = −2E(0) th… nghi»m u(x) s‡ thuºc l(cid:238)p

c¡c h(cid:160)m m(cid:160) chu'n cıa n(cid:226) b(cid:224) ch(cid:176)n t⁄i x = ˆx. Khi (cid:31)(cid:226), trong l(cid:238)p h(cid:160)m n(cid:160)y th…

nghi»m u(x) ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c H¨older (theo chu'n) v(cid:160)o dœ ki»n cıa b(cid:160)i to¡n

v(cid:238)i 0 ≤ x ≤ ˆx.

(cid:48)(cid:48) GG

(ii) E(0) > 0. Tł (2.53), ta suy ra

− (G(cid:48))2 ≥ − . (2.58) [2β + 4E(0)]G2 β(x + x0)2

Cho β r§t l(cid:238)n, (cid:31)(cid:176)t ε = 4E(0)/β th… ta c(cid:226) th” vi‚t l⁄i b§t (cid:31)flng thøc tr¶n d(cid:247)(cid:238)i

(cid:48)(cid:48) GG

d⁄ng

(2.59) − (G(cid:48))2 ≥ −(2 + ε)(x + x0)−2G2,

hay (cid:34) (cid:19)(cid:35)(cid:48)(cid:48) (cid:18) G(x) ≤ 0. log (2.60) (x + x0)2+ε

Khi (cid:31)(cid:226), ta thu (cid:31)(cid:247)æc hai k‚t qu£ sau

(cid:104) (cid:105)1−x/x∗(cid:104) , (2.61) G(x)(x + x0)−(2+ε) ≤ G(0)x−(2+ε) 0

(cid:34) (cid:19)(cid:35) (cid:104) (cid:105) − , (2.62) exp G(x)(x + x0)−(2+ε) ≥ G(0)x−(2+ε) 0 G(x∗)(x∗ + x0)−(2+ε)(cid:105)x/x∗ (cid:18)G(cid:48)(0) (2 + ε) x x0 G(0)

(cid:240) (cid:31)¥y, b§t (cid:31)flng thøc (2.61) ch¿ (cid:31)(cid:243)ng khi 0 ≤ x ≤ x∗. Tł (2.61) ta th§y r‹ng n‚u

(cid:35) (cid:34) (cid:19) (cid:18) G(x) = 0, (x∗)−1 (2.63) log lim x→∞ (x + x0)2+ε

th…

G(x) ≤ (2.64) (x + x0)2+ε.

37

G(0) x2+ε 0 Hay n(cid:226)i c¡ch kh¡c, ta c(cid:226) k‚t qu£ sau

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4 Mºt nghi»m y‚u b§t k(cid:253) cıa b(cid:160)i to¡n (2.43)(cid:21)(2.44) t(cid:231)n t⁄i v(cid:238)i m(cid:229)i

x v(cid:160) n‚u (cid:31)i•u ki»n ban (cid:31)ƒu th(cid:228)a m¢n E(0) > 0 th… ho(cid:176)c l(cid:160) nghi»m ph£i ph¡t

tri”n theo h(cid:160)m sŁ m(cid:244) (theo chu'n) khi x dƒn t(cid:238)i ∞ ho(cid:176)c l(cid:160) (cid:107)u(cid:107) t«ng kh(cid:230)ng

nhanh h(cid:236)n O(t1+ε) v(cid:238)i ε nh(cid:228) t(cid:242)y (cid:254).

C(cid:244)ng nh(cid:247) tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (i), ta nh“n th§y r‹ng tł b§t (cid:31)flng thøc (2.61) th… trong

l(cid:238)p nghi»m m(cid:160) h(cid:160)m G(x) b(cid:224) ch(cid:176)n th… nghi»m y‚u cıa b(cid:160)i to¡n (2.43)(cid:21)(2.44) ph(cid:246)

38

thuºc li¶n t(cid:246)c H¨older (theo chu'n) v(cid:160)o dœ ki»n cıa b(cid:160)i to¡n v(cid:238)i 0 ≤ x ≤ x∗.

K(cid:152)T LU(cid:138)N

Lu“n v«n tr…nh b(cid:160)y l⁄i ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:231)i l(cid:230)garit. (cid:30)¥y l(cid:160) mºt ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p

(cid:31)(cid:247)æc sß d(cid:246)ng nhi•u trong vi»c Œn (cid:31)(cid:224)nh h(cid:226)a c¡c b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh trong

ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng. C(cid:246) th”

- Trong ch(cid:247)(cid:236)ng 1, t¡c gi£ tr…nh b(cid:160)y l⁄i nºi dung cıa ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:231)i l(cid:230)garit.

- Trong ch(cid:247)(cid:236)ng 2, t¡c gi£ tr…nh b(cid:160)y l⁄i hai v‰ d(cid:246) sß d(cid:246)ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p l(cid:231)i

l(cid:230)garit (cid:31)” Œn (cid:31)(cid:224)nh h(cid:226)a b(cid:160)i to¡n, (cid:31)(cid:226) l(cid:160) b(cid:160)i to¡n Cauchy cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh parabolic

39

ng(cid:247)æc th(cid:237)i gian v(cid:160) b(cid:160)i to¡n Cauchy cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Laplace.

T(cid:160)i li»u tham kh£o

A. Ti‚ng Vi»t

[1] Nguy„n Thła Hæp (2006), Gi¡o tr…nh ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)⁄o h(cid:160)m ri¶ng, NXB

(cid:30)⁄i h(cid:229)c QuŁc gia H(cid:160) Nºi.

[2] Trƒn V(cid:244) Thi»u, Nguy„n Th(cid:224) Thu Thıy (2011), Gi¡o tr…nh tŁi (cid:247)u phi tuy‚n,

NXB (cid:30)⁄i h(cid:229)c QuŁc gia H(cid:160) Nºi.

B. Ti‚ng Anh

[3] K. A. Ames and B. Straughan (1997), Non(cid:21)standard and Improperly Posed

Problems, Academic Press.

[4] J. N. Flavin and S. Rionero (1996), Qualitative Estimates for Partial Dif-

ferential Equations: An Introduction, CRC Press.

[5] L. E. Payne (1975), Improperly Posed Problems in Partial Differential Equa-

tions, Society of Industrial and Applied Mathematics, Philadenphia, Penn-

40

sylvania.