ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------
NGUYỄN THỊ MỴ
TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------------------------------
NGUYỄN THỊ MỴ
TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU MẠNH VÀ PHƢƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CHO BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành :Toán ứng dụng
Mã số
: 60 46 01 12
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Nguyễn Thị Thu Thủy TS. Lâm Thùy Dƣơng
THÁI NGUYÊN - 2016
i
Mục lục
Lời cảm ơn iii
Bảng ký hiệu 1
Lời nói đầu 2
Chương 1. Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh 4
1.1 Không gian Banach. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Một số tính chất của không gian Hilbert . . . . . . . . 7
1.2 Toán tử tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Toán tử đơn điệu mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Hàm lồi và dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Toán tử đơn điệu mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Hiệu chỉnh phương trình toán tử với toán tử tuyến tính đơn điệu Chương 2.
mạnh 25
2.1 Phương trình toán tử đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh dựa trên toán
tử tuyến tính đơn điệu mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
ii
Phương trình hiệu chỉnh . . . . . . . . . . 2.2.1 . . . . . . 27
Sự tồn tại toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh 2.2.2 . . . . . . 28
Sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh 2.2.3 . . . . . . . . . 31
2.2.4 Phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Kết luận 39
Tài liệu tham khảo 40
iii
Lời cảm ơn
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Thu Thủy và
TS. Lâm Thùy Dương. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu
sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu,
dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả
trong suốt quá trình làm luận văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm
Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, cùng các
giảng viên tham gia giảng dạy cao học Toán của trường Đại học Khoa học đã
tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K8A (khóa
2014–2016) đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học
tập, nghiên cứu.
Nhân dịp này, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, lãnh đạo
đơn vị công tác và đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt
nhất cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2016
Tác giả
Nguyễn Thị Mỵ
1
Bảng ký hiệu
R tập số thực
H không gian Hilbert thực
không gian Banach
X X ∗ không gian đối ngẫu của X
C tập con đóng lồi của H
A toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert
miền hữu hiệu của toán tử A dom(A)
tập điểm bất động của ánh xạ S Fix(S)
phép chiếu mêtric của điểm x trên tập C
tích vô hướng của hai vectơ x và y
hàm chỉ trên C
chuẩn của vectơ x PC(x) hx, yi d C(.) kxk
xn → x xn ⇀ x I xn hội tụ mạnh đến x xn hội tụ yếu đến x ánh xạ đơn vị của H
2
Lời nói đầu
Rất nhiều bài toán của thực tiễn, khoa học, công nghệ dẫn tới bài toán đặt không
chỉnh (ill-posed) theo nghĩa Hadamard, nghĩa là bài toán (khi dữ kiện thay đổi
nhỏ) hoặc không tồn tại nghiệm, hoặc nghiệm không duy nhất, hoặc nghiệm
không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Do tính không ổn định này của
bài toán đặt không chỉnh nên việc giải số của nó gặp khó khăn. Lý do là một
sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến một sai số bất kỳ trong lời
giải.
Đề tài luận văn nghiên cứu bài toán đặt không chỉnh dưới dạng phương trình
toán tử
(1) A(x) = f ,
trong đó A : X −→ X ∗ là một toán tử đơn điệu đơn trị từ không gian Banach phản xạ X vào không gian liên hợp X ∗ của X. Để giải loại bài toán này, ta phải
sử dụng những phương pháp ổn định, sao cho khi sai số của các dữ kiện càng
nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuất
phát. Năm 1963, A.N. Tikhonov [5] đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng và
kể từ đó lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh được phát triển hết sức sôi động
và có mặt ở hầu hết các bài toán thực tế. Nội dung chủ yếu của phương pháp này
là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (1) trong không gian Hilbert thực H dựa trên việc tìm phần tử cực tiểu xh,d a của phiếm hàm Tikhonov
F h,d a (2) (x) = kAh(x) − fd k2 + a kx∗ − xk2
3
a (h,d )
trong đó a > 0 là tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào h và d , x∗ là phần tử cho trước đóng vai trò là tiêu chuẩn chọn và (Ah, fd ) là xấp xỉ của (A, f ). Hai vấn đề cần được giải quyết ở đây là tìm phần tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov và chọn tham số hiệu chỉnh a = a (h, d ) thích hợp để phần tử cực tiểu xh,d dần tới nghiệm chính xác của bài toán (1) khi h và d dần tới không.
Việc tìm phần tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov sẽ gặp nhiều khó khăn
trong trường hợp bài toán phi tuyến. Đối với lớp bài toán phi tuyến với toán tử đơn điệu A : X → X ∗, F. Browder [3] đưa ra một dạng khác của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Tư tưởng chủ yếu của phương pháp do F. Browder đề xuất là sử dụng một toán tử B : X → X ∗ có tính chất đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh.
Mục đích của đề tài luận văn nhằm trình bày lại phương pháp giải ổn định
(phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov) phương trình toán đơn điệu với
việc sử dụng toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh trong
bài báo "Regularization by linear operators" của Giáo sư Nguyễn Bường công
bố trên tạp chí Acta Mathematica Vietnamica.
Nội dung của đề tài được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới thiệu
một số kiến thức cơ bản về bài toán đặt không chỉnh và phương trình toán tử
đơn điệu. Chương 2 trình bày phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử với
toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh.
4
Chương 1
Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh
Chương này trình bày khái niệm và một số tính chất cơ bản của không gian
Banach, không gian Hilbert thực; khái niệm và tính chất của toán tử tuyến tính;
toán tử đơn điệu mạnh và một số ví dụ minh họa. Các kiến thức của chương này
được tham khảo từ các tài liệu [1] và [2].
1.1 Không gian Banach. Không gian Hilbert
Mục này giới thiệu khái niệm và một số tính chất của không gian Banach, không
gian Hilbert và ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.
1.1.1 Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1. Không gian định chuẩn là không gian tuyến tính X trong đó
ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số kxk gọi là chuẩn của x, thỏa mãn các
điều kiện sau:
(1) kxk > 0 với mọi x 6= 0; kxk = 0 ⇔ x = 0;
(2) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ X (bất đẳng thức tam giác);
(3) ka xk = |a |kxk với mọi x ∈ X, a ∈ R.
Không gian định chuẩn đầy đủ gọi là không gian Banach.
5
Định nghĩa 1.1.2. Không gian L(X, R)-tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên
tục xác định trên X được gọi là không gian liên hợp hay không gian đối ngẫu của X, ký hiệu là X ∗.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử X là không gian định chuẩn trên R, X ∗ là không gian liên hợp của X và gọi X ∗∗ = L(X ∗, R) là không gian liên hợp thứ hai của X. Ta cho tương ứng với mỗi x ∈ X một phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗∗ trên X ∗∗ nhờ hệ thức hx∗∗, f i = h f , xi, với mọi f ∈ X ∗∗. Ở đây h f , xi là ký hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục f ∈ X ∗ tại x ∈ X. Ta có kxk = kx∗∗k. Đặt h(x) = x∗∗, nếu h : X −→ X ∗∗ là toàn ánh thì không gian X được gọi là không gian phản xạ.
là các không gian Banach phản xạ. Ví dụ 1.1.4. Các không gian vectơ định chuẩn hữu hạn chiều, không gian l p, Lp[a, b], 1 < p < ¥
Định lý 1.1.5. Cho X là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng định sau
là tương đương:
(i) X là không gian phản xạ;
(ii) Mọi dãy bị chặn trong X đều có một dãy con hội tụ yếu.
Ký hiệu SX := {x ∈ X : kxk = 1} là mặt cầu đơn vị của không gian Banach
X.
Định nghĩa 1.1.6. Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu với mọi điểm
x, y ∈ SX , x 6= y, suy ra
k(1 − l )x + l yk < 1 ∀l ∈ (0, 1).
này cũng có nghĩa là trung điểm Điều này có nghĩa là mặt cầu đơn vị SX không chứa đoạn thẳng nào. Điều của đoạn thẳng nối hai điểm x, y phân x + y 2
2 k, thì x = y.
biệt trên mặt cầu đơn vị thì không nằm trên mặt cầu đơn vị. Nói cách khác nếu x, y ∈ SX : kxk = kyk = k x+y
6
1/2
n
Ví dụ 1.1.7. Không gian X = Rn với chuẩn kxk2 được xác định bởi
i=1
(cid:229) kxk2 = , x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn x2 i
(cid:18) (cid:19)
là không gian lồi chặt. Không gian X = Rn, n ≥ 2 với chuẩn kxk1 xác định bởi
kxk1 = |x1| + |x2| + . . . + |xn|, x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
không phải là không gian lồi chặt.
Thật vậy, lấy x = (1, 0, 0, . . . , 0), y = (0, 1, 0, . . . , 0). Ta thấy x 6= y và kxk1 =
kyk1 = 1 nhưng kx + yk1 = 2.
Định nghĩa 1.1.8. Không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu với mọi e ∈ (0, 2] và các bất đẳng thức kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ e thỏa mãn thì tồn tại d = d (e ) > 0 sao cho k(x + y)/2k ≤ 1 − d .
Điều này có nghĩa là nếu x, y là các điểm nằm trên mặt cầu SX hoặc nằm trong hình cầu đơn vị đóng BX := {x ∈ X : kxk ≤ 1} với kx − yk ≥ e > 0 thì trung điểm của đoạn nối x, y nằm trong mặt cầu và khoảng cách từ điểm x+y 2 đến mặt cầu nhỏ nhất là d .
(i) Không gian lồi chặt chưa chắc đã lồi đều; Chú ý 1.1.9.
(ii) Mọi không gian hữu hạn chiều đều là không gian phản xạ nhưng chưa chắc
lồi đều.
(i) Chuẩn của không gian Banach X được gọi là khả vi Định nghĩa 1.1.10.
Gâteaux nếu với mỗi y ∈ SX giới hạn
(1.1) lim t→0 kx + tyk − kxk t
tồn tại với x ∈ SX ký hiệu giới hạn đó là hy, ▽kxki, thì ▽kxk được gọi là đạo hàm Gâteaux của chuẩn.
7
(ii) Chuẩn của X được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ SX , giới hạn
(1.1) đạt được đều với mọi x ∈ SX .
(iii) Chuẩn của X được gọi là khả vi Fréchet nếu với mỗi x ∈ SX , giới hạn (1.1)
tồn tại đều với mọi y ∈ SX.
(iv) Chuẩn của X được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.1) tồn tại đều
với mọi x, y ∈ SX .
, q > 1 (nói chung là đa trị) xác định
Định nghĩa 1.1.11. Ánh xạ Jq : X → 2X ∗ bởi
Jqx = {uq ∈ X ∗ : huq, xi = kuqkkxk, kuqk = kxkq−1},
được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của không gian Banach X. Khi q = 2, ánh
xạ J2 được ký hiệu là J và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X. Tức là
Jx = {u ∈ X ∗ : hu, xi = kukkxk, kuk = kxk}, x ∈ X.
Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc tồn tại trong mọi không gian Banach. Khẳng định
này được suy ra như một hệ quả trực tiếp của Định lý Hahn–Banach.
Chú ý 1.1.12. Trong không gian Lp[0, 1] (1 < p < ¥ ), ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được xác định bởi
|x| sng(x)/kxk, nếu x 6= 0, Jx =
nếu x = 0. 0
1.1.2 Một số tính chất của không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.13. Cho H là một không gian tuyến tính trên trường số thực R.
Tích vô hướng trên không gian H là một ánh xạ đi từ tích Descartes H × H vào trường R, ký hiệu là h., .i, thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H.
8
(b) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H.
(c) ha x, yi = a hx, yi với mọi x, y ∈ H và mọi a ∈ R.
(d) hx, xi > 0 nếu x 6= 0 và hx, xi = 0 nếu x = 0.
Nhận xét 1.1.14. Từ Định nghĩa 1.1.13 ta suy ra
(1) hx, a yi = a hy, xi với mọi x, y ∈ H và mọi a ∈ R;
(2) hx, y + zi = hx, yi + hx, zi với mọi x, y, z ∈ H.
Định nghĩa 1.1.15. Không gian tuyến tính H cùng với một tích vô hướng trên
nó được gọi là một không gian tiền Hilbert.
Định lý 1.1.16. (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với
mọi x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau, được gọi là bất đẳng thức Schwarz:
(1.2) |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi.
Chứng minh. Với mọi số thực a và với mọi x, y ∈ H ta có
0 ≤ hx − a y, x − a yi = hx, xi − 2a hx, yi + a 2hy, yi.
Từ đây suy ra
với mọi D = |hx, yi|2 − hx, xihy, yi ≤ 0 x, y ∈ H.
Hay
|hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi với mọi x, y ∈ H.
(cid:3)
Dấu đẳng thức trong bất đẳng thức (1.2) xảy ra khi và chỉ khi x và y phụ
thuộc tuyến tính.
9
Định lý 1.1.17. Không gian tiền Hilbert H là một không gian tuyến tính định
chuẩn với chuẩn được xác định bởi
với mọi (1.3) hx, xi x ∈ H. kxk =
p
Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng.
Hàm số
||x|| = hx, xi với mọi x ∈ H,
p là một chuẩn trên H.
Thật vậy, từ điều kiện (d) của Định nghĩa 1.1.13 ta có kxk > 0 nếu x 6= 0 và
||x|| = 0 nếu x = 0 với x ∈ H. Từ điều kiện (a) và (c) của Định nghĩa 1.1.13 ta suy ra ||a x|| = |a |.||x|| với mọi a ∈ R và mọi x ∈ H. Từ bất đẳng thức Schwarz (1.2) và cách định nghĩa chuẩn ta có
với mọi (1.4) |hx, yi| ≤ ||x||.||y|| x, y ∈ H.
Từ đó
hx + y, x + yi = hx, xi + 2hx, yi + hy, yi
≤ ||x||2 + 2||x||.||y|| + ||y||2 = (||x|| + ||y||)2
(cid:3) với mọi x, y ∈ H. Suy ra ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y ∈ H.
Định nghĩa 1.1.18. Nếu H là một không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đối
với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (1.3) thì H được gọi là không
gian Hilbert thực.
Ví dụ 1.1.19. Không gian
¥
n=1
(cid:229) l2 = x = {xn}n ∈ R : |xn|2 < +¥
n o
10
là không gian Hilbert với tích vô hướng
¥
n=1
(cid:229) hx, yi = xnyn, x = {xn}n∈N, y = {yn}n∈N ∈ l2
1 2
và chuẩn ¥ ¥
n=1
n=1
(cid:229) (cid:229) hx, xi = . ||x|| = |xn|2 |xn|2 = s (cid:17) (cid:16) p
b
Ví dụ 1.1.20. Không gian L2[a, b] các hàm bình phương khả tích trên đoạn [a, b] là không gian Hilbert với tích vô hướng
a Z
hx, yi = x(t)y(t)dt
b
1/2
và chuẩn
Za
|x(t)|2dt kxk =
(cid:17)
(cid:16) trong đó x = x(t), y = y(t) ∈ L2[a, b].
b
Ví dụ 1.1.21. Gọi C[a, b] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên đoạn [a, b] ⊂ R. Trong C[a, b] xét tích vô hướng
a Z
hx, yi = x(t)y(t)dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b].
b
1 2
Không gian C[a, b] với chuẩn
a (cid:16) Z
||x|| = |x(t)|2dt
(cid:17)
là không gian tiền Hilbert, nhưng không phải là không gian Hilbert.
11
Thật vậy, cho [a, b] = [0, 1] và xét dãy xn(t) như sau:
1,
xn(t) = 0,
n + 1 − 2nt, 0 ≤ t ≤ 1 2 1 2 + 1 2n ≤ t ≤ 1 2 + 1 2 ≤ t ≤ 1 1 2n
1
1 2 + 1 2n
Ta có với mọi m > n:
Z0
Z1 2
|xn(t) − xm(t)|dt = r (xn, xm) = |xn(t) − xm(t)|dt
1
Vì |xn(t) − xm(t)| ≤ 1 nên r (xn, xm) ≤ 1/(2n) → 0, do đó {xn(t)} là một dãy cơ bản. Dễ thấy rằng dãy cơ bản này không hội tụ.
0 R
Thật vậy, giả sử xn(t) hội tụ tới một x(t) nào đó trong C[a, b], tức là |xn(t) −
1
1 2
xm(t)|dt → 0. Tích phân này có thể viết
Z0
Z1 2
|xn(t) − x(t)|dt + |xn(t) − x(t)|dt,
1
1 2
cho nên ta phải có
Z0
Z1 2
|xn(t) − x(t)|dt → 0, |xn(t) − x(t)|dt → 0.
1
1 2
Nhưng rõ ràng
Z0
Z1 2
|xn(t) − 1|dt → 0, |xn(t) − 0|dt → 0
12
2, 1]; x(t) và 0 cùng là giới hạn
2, 1]. Do tính duy nhất của giới hạn ta suy ra
Vậy x(t) và 1 cùng là giới hạn của xn(t) trong C[ 1 của xn(t) trong C[ 1
), x(t) = 0( ≤ t ≤ 1). x(t) = 1(0 ≤ t ≤ 1 2 1 2
Nhưng như thế thì x(t) không liên tục và không thuộc C[0, 1]. Do đó, dãy xn(t) không thể có giới hạn nào cả trong không gian C[0, 1]
Định nghĩa 1.1.22. Dãy {xn}n∈N ∈ H được gọi là
(i) hội tụ mạnh đến x0 ∈ H nếu nó hội tụ theo chuẩn, nghĩa là
||xn − x0|| = 0, lim n−→¥
xn = x0. ký hiệu xn −→ x0 hay lim n−→¥
n→¥ hxn, yi = hx, yi, lim
(ii) hội tụ yếu đến x ∈ H nếu với mọi y ∈ H ta có
w −→ x hoặc xn ⇀ x, khi n −→ ¥
. ký hiệu là xn
Chú ý 1.1.23. Nếu dãy {xn} hội tụ mạnh về x thì nó cũng hội tụ yếu về x, nhưng điều ngược lại không đúng.
Ví dụ 1.1.24. Cho {en} là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert thực H. Khi đó, dãy {en} hội tụ yếu về 0 nhưng không hội tụ mạnh về 0.
n→¥ hxn, yni = hx0, y0i. lim
Định lý 1.1.25. Giả sử {xn}n∈N và {yn}n∈N là hai dãy của không gian tiền Hilbert thực H lần lượt hội tụ mạnh đến x0, y0 ∈ H. Khi đó,
yn = y0 trong không gian Hilbert H. Ta Chứng minh. Giả sử lim n→¥ xn = x0, lim n→¥
13
sẽ chứng minh
n→¥ hxn, yni = hx0, y0i lim
trong R.
Thật vậy,
|hxn, yni − hx0, y0i| = |hxn, yni + hxn, y0i − hxn, y0i − hx0, y0i|
≤ |hxn, yn − y0i| + |hxn − x0, y0i|
≤ ||xn||.||yn − y0|| + ||xn − x0||.||y0||.
n→¥ hxn, yni = hx0, y0i. lim
Vì dãy {xn}n∈N hội tụ trong H nên tồn tại một số M > 0 sao cho ||xn|| ≤ M với mọi n ∈ N. Do đó,
(cid:3)
Nhận xét 1.1.26. Tích vô hướng là một phiếm hàm song tuyến tính liên tục trên
H × H.
Định lý 1.1.27. Với mọi x, y thuộc không gian tiền Hilbert H ta luôn có đẳng
thức hình bình hành sau:
||x + y||2 + ||x − y||2 = 2(||x||2 + ||y||2).
Chứng minh. Với mọi x, y ∈ H, ta có
||x + y||2 = hx + y, x + yi = ||x||2 + ||y||2 + 2hx, yi
và
||x − y||2 = hx − y, x − yi = ||x||2 + ||y||2 − 2hx, yi.
(cid:3) Cộng hai đẳng thức trên ta được đẳng thức cần chứng minh.
Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai véc tơ x − y và x − z ta có hệ quả
sau.
14
Hệ quả 1.1.28. Cho H là một không gian tiền Hilbert và x, y, z ∈ H. Khi đó, ta
2
có đẳng thức Apollonius:
2 x − ||x − y||2 + ||x − z||2 = 4 + ||y − z||2. y + z 2 (cid:16) (cid:17)
(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) Nhận xét 1.1.29. (ý nghĩa của đẳng thức hình bình hành)
(1) Đẳng thức trên nói lên một tính chất hình học: Tổng bình phương các cạnh
của hình bình hành bằng tổng bình phương hai đường chéo.
(2) Từ định lý trên ta thấy, muốn đưa được tích vô hướng vào một không gian
định chuẩn thì không gian này phải thỏa mãn điều kiện hình bình hành.
Ngược lại nếu H là một không gian định chuẩn trong đó đẳng thức hình
bình hành được thỏa mãn với mọi phần tử thuộc H thì trên H sẽ tồn tại
một tích vô hướng h., .i sao cho chuẩn được xác định nhờ tích vô hướng.
Điều này được thể hiện qua định lý sau.
Định lý 1.1.30. Giả sử (H, ||.||) là một không gian định chuẩn trên R trong đó
đẳng thức hình bình hành nghiệm đúng với mọi x, y ∈ H. Nếu đặt
(1.5) hx, yi = ||x + y||2 − ||x − y||2 , 1 4 (cid:16) (cid:17)
thì h., .i là một tích vô hướng trên H và ta có hx, xi = ||x||2. Chứng minh. Ta chứng minh h., .i xác định như trên thỏa mãn các điều kiện
trong định nghĩa về tích vô hướng. Thật vậy, các điều kiện (a) và (d) trong Định
nghĩa 1.1.13 hiển nhiên được thỏa mãn.
Đặt
p(x, y) = . 1 4 ||x + y||2 − ||x − y||2 (cid:16) (cid:17) Để ý rằng, h., .i : H × H −→ R là một hàm liên tục và
p(x, 0) = 0, p(−x, y) = −p(x, y) ∀x, y ∈ H.
15
Với mọi x, y, z ∈ H ta có
4 p(x, z) + p(y, z) = ||x + z||2 − ||x − z||2 + ||y + z||2 − ||y − z||2
(cid:0) (cid:1) (1.6) ⇔ p(x, z) + p(y, z) = 2p , z . x + y 2 (cid:16) (cid:17)
Trong đẳng thức (1.6) lấy y = 0 được
(1.7) p(x, z) = 2p , z . x 2 (cid:16) (cid:17)
Như vậy ta có
2p , z = p(x + y, z). x + y 2 (cid:16) (cid:17) Nghĩa là p(x, z)+ p(y, z) = p(x+y, z). Vậy điều kiện (b) trong Định nghĩa 1.1.13
được chứng minh. Thay thế x bằng 2x trong (1.7) ta được
2p(x, z) = p(2x, z) ∀x, y, z ∈ H.
Bằng quy nạp ta kiểm tra được
p(nx, z) = np(x, z) ∀n ∈ N
và bằng lập luận như trên ta có
p(rx, z) = r p(x, z) ∀r ∈ Q và x, z ∈ H.
Nhờ tính liên tục của chuẩn ||.|| suy ra hàm p(., z) liên tục, qua giới hạn ta có
p(ax, z) = ap(x, z) ∀x, z ∈ H và a ∈ R.
Vậy p(x, y) là một tích vô hướng trên H và hiển nhiên
hx, xi = p(x, x) = ||x||2.
16
(cid:3) Định lý được chứng minh.
1.2 Toán tử tuyến tính liên tục
Mục này giới thiệu định nghĩa và đưa ra một số ví dụ về toán tử tuyến tính liên
tục.
1.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.2.1. Cho hai không gian véc tơ thực X và Y . Một ánh xạ A : X → Y
được gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu:
(a) A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 với mọi x1, x2 ∈ X.
(b) A(a x) = a Ax với mọi x ∈ X và với mọi số thực a .
Chú ý 1.2.2. (i) Ở đây ta viết Ax thay cho A(x) để chỉ phần tử ứng với x trong
ánh xạ A.
(ii) Từ định nghĩa ta có điều kiện tương đương như sau:
A(a 1x1 + a 2x2 + · · · + a kxk) = a 1Ax1 + a 2Ax2 + · · · + a kAxk.
(iii) Nếu Y = X ta nói A là một toán tử trong X.
Ký hiệu tập các tập con của X là 2X .
Định nghĩa 1.2.3. Cho hai không gian véc tơ X, Y và A : X → 2Y là một ánh xạ. Khi đó ta nói A là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Như vậy mỗi x ∈ X, A(x) là một tập
con của Y (A(x) có thể là tập rỗng). Nếu mỗi x ∈ X, tập A(x) chỉ có một phần
tử thì ta nói A là ánh xạ đơn trị từ X vào Y , và ký hiệu A : X → Y.
Định nghĩa 1.2.4. Toán tử tuyến tính A : X −→ Y từ không gian tuyến tính định
chuẩn X vào không gian tuyến tính định chuẩn Y liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi dãy {xn} ∈ X mà xn −→ x0 thì Axn −→ Ax0. A được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X.
17
Định nghĩa 1.2.5. Đồ thị của ánh xạ A : X → Y từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y là tập tất cả các phần tử (x, Ax) trong không gian tích
X ×Y . Nếu đồ thị ấy là tập đóng trong X ×Y , thì A được gọi là ánh xạ đóng.
Từ định nghĩa trên ta thấy nếu ánh xạ A đóng thì từ xn → x, Axn → y luôn
suy ra được Ax = y.
Một ánh xạ liên tục thì bao giờ cũng là đóng. Ngược lại nói chung không
đúng. Nhưng đối với ánh xạ tuyến tính thì lại khác. Ta có định lý sau đây.
Định lý 1.2.6. Một toán tử tuyến tính đóng từ một không gian Banach X vào
không gian Banach Y bao giờ cũng liên tục.
Ký hiệu G(A) là đồ thị của toán tử A : X → Y , nghĩa là G(A) := {(a, Ax) :
x ∈ X}.
Chứng minh. Nếu A là ánh xạ tuyến tính thì đồ thị G(A) của nó là không gian
con của X × Y , nên bản thân G(A) cũng là không gian Banach. Ta xét ánh xạ
B : G → X xác định bởi
(x, Ax) 7→ x.
Đây là một ánh xạ tuyến tính liên tục, 1 − 1 từ không gian Banach G(A) lên không gian Banach X. Do đó B có ánh xạ ngược B−1 liên tục, nghĩa là nếu (cid:3) xn → x thì (xn, Axn) → (a, Ax). Do đó A liên tục.
1.2.2 Ví dụ
1
Ví dụ 1.2.7. Toán tử A : L2[0, 1] → L2[0, 1] xác định bởi công thức
0 Z
(Ax)(t) = x(s)ds, t ∈ [0, 1]
là toán tử tuyến tính liên tục.
18
2
2
1
t
1
Thật vậy áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki, ta có
0 Z
Z0
Z0 = kxk2, ∀s ∈ [0, 1].
|x(s)|2ds ≤ |x(s)|ds ≤ !
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) x(s)ds (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
Do đó
Ax ∈ L2[0, 1]
và toán tử A bị chặn.
(cid:3) Dễ thấy A là toán tử tuyến tính. Do đó, A liên tục.
Ví dụ 1.2.8. Cho H là một không gian Hilbert, A : H −→ H là một toán tử tuyến
tính thỏa mãn điều kiện
hAx, yi = hx, Ayi với mọi x, y ∈ H,
thì A là toán tử liên tục.
1.3 Toán tử đơn điệu mạnh
Mục này trình bày khái niệm về hàm lồi, dưới vi phân của hàm lồi, khái niệm
và ví dụ về toán tử đơn điệu mạnh.
1.3.1 Hàm lồi và dưới vi phân
Định nghĩa 1.3.1. Cho H là không gian Hilbert thực, C ⊂ H và f : C → R ∪ {−¥ , +¥ }. Ta có các định nghĩa sau đây.
(i) Trên đồ thị (epigraph) của hàm f , ký hiệu là epi( f ), được định nghĩa bởi:
epi( f ) = (x, r) ∈ C × R : f (x) ≤ r .
(cid:8) (cid:9)
19
(ii) Hàm f được gọi là hàm lồi nếu epi( f ) là tập lồi trong H × R. Hàm f được
gọi là hàm lõm nếu − f là hàm lồi.
(iii) Miền hữu dụng (miền xác định) của hàm f ký hiệu là dom( f ) và được
định nghĩa là:
dom( f ) := x ∈ C : f (x) < +¥ .
(cid:9) (cid:8) (iv) Hàm f xác định trên H được gọi là thuần nhất dương (positively homoge-
neous), nếu với mọi x ∈ H và với mọi l ∈ (0, +¥ ) ta đều có:
f (l x) = l f (x).
Ví dụ 1.3.2. Hàm f (x) = |x| với mọi x ∈ R là một hàm lồi.
Định lý 1.3.3. Giả sử C là tập lồi, khác rỗng trong không gian H, hàm f : C → (−¥ ]. Khi đó, hàm f lồi trên C khi và chỉ khi: , +¥
f (l x + (1 − l )y) ≤ l f (x) + (1 − l ) f (y) ∀l ∈ [0, 1] và ∀x, y ∈ C.
Định nghĩa 1.3.4. Hàm f được gọi là chính thường (proper) nếu f thỏa mãn
hai điều kiện sau:
(i) dom( f ) 6= 0;
(ii) f (x) > −¥ với mọi x ∈ C.
, +¥ ] là lồi khi và chỉ khi
Mệnh đề 1.3.5. Hàm thuần nhất dương f : H → (−¥ với mọi x, y ∈ H ta luôn có:
f (x + y) ≤ f (x) + f (y).
Định nghĩa 1.3.6. Hàm f : D −→ R gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ D nếu với mỗi e > 0 tồn tại d > 0 sao cho
∀x ∈ D, kx − xk < d . f (x) ≤ f (x) + e ,
20
Hàm f được gọi là nửa liên tục trên D nếu f nửa liên tục tại mọi điểm x ∈ D.
Định nghĩa 1.3.7. Cho f là hàm lồi chính thường trên H, phiếm hàm (vectơ) x∗ ∈ H được gọi là dưới gradient của f tại x nếu:
f (x) − f (x) ≥ hx∗, x − x i với mọi x ∈ H.
Tập tất cả các dưới gradient của f tại x được gọi là dưới vi phân của f tại x. Ký hiệu là ¶ f (x). Như vậy:
¶ f (x) = x∗ ∈ H : f (x) − f (x) ≥ hx∗, x − xi với mọi x ∈ H .
n o
Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ¶ f (x) 6= /0.
Ví dụ 1.3.8. Cho C là tập lồi khác rỗng của H. Xét hàm chỉ của tập C:
0 nếu x ∈ C d C(x) := +¥ nếu x /∈ C.
Khi x0 ∈ C thì
. ¶d C(x0) = x∗ ∈ H : hx∗, x − x0i ≤ d C(x) ∀x ∈ C
n o
Với x /∈ C thì d C(x) = +¥ nên bất đẳng thức hx∗, x − x0i ≤ d C(x) luôn đúng. Do đó
∀x ∈ C ¶d C(x0) = x∗ ∈ H : hx∗, x − x0i ≤ 0, = NC(x0),
o n đây là nón pháp tuyến ngoài của C tại x0.
f (x) thì hz, xi = f (x). và hz, xi ≤ f (x) ∀x ∈ C.
Ví dụ 1.3.9. Cho f : H → R là hàm lồi thuần nhất dương. Nếu z ∈ ¶ Thật vậy, nếu z ∈ ¶ f (x) thì
(1.8) hz, x − xi ≤ f (x) − f (x) ∀x ∈ C.
21
Thay x = 2x vào (1.8) ta có
(1.9) hz, xi ≤ f (2x) − f (x) = f (x).
Còn nếu thay x = 0 vào (1.8) ta có
(1.10) −hz, xi ≤ − f (x).
Kết hợp (1.9) và (1.10) suy ra
(1.11) hz, xi = f (x).
Hơn nữa,
(1.12) hz, x − xi = hz, xi − hz, xi = hz, xi − f (x).
Do đó,
hz, xi ≤ f (x) ∀x ∈ C.
Nhận xét 1.3.10. Nếu f là hàm lồi thuần nhất dương thỏa mãn
f (−x) = f (x) ≥ 0 ∀x ∈ C,
thì
hz, xi ≤ f (x) ∀x ∈ C
⇔ |hz, xi| ≤ f (x) ∀x ∈ C.
Định nghĩa 1.3.11. Hàm f : Rn −→ Rm được gọi là khả vi Gâteaux tại x nếu tồn tại ma trận M cấp m × n sao cho với mọi u ∈ Rn ta có
= M(u). lim t→0 f (x + tu) − f (x) t
22
Khi đó M được gọi là đạo hàm Gâteaux của hàm f tại x.
Chú ý 1.3.12. Nếu hàm lồi f khả vi Gâteaux thì f khả dưới vi phân. Ngược lại,
nếu hàm lồi f khả dưới vi phân tại điểm x0 và dưới vi phân tại đó chỉ gồm một điểm thì f khả vi Gâteaux và đạo hàm Gâteaux tại x0 trùng với dưới vi phân tại đó.
1.3.2 Toán tử đơn điệu mạnh
Cho H là một không gian Hilbert thực, A : H → 2H là một ánh xạ. Ký hiệu đồ thị của toán tử A là G(A) := {(x, Ax) : x ∈ H}.
Định nghĩa 1.3.13. Cho H là một không gian Hilbert. Toán tử A : H → 2H được gọi là
(i) đơn điệu nếu với mọi (x, u) và (y, v) thuộc đồ thị G(A) của A ta luôn có
(1.13) hu − v, x − yi ≥ 0.
Trong trường hợp toán tử A đơn trị ta có
(1.14) hAx − Ay, x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ D(A).
(ii) h -đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng số h dương sao cho
hA(x) − A(y), x − yi ≥ h ||x − y||2 ∀x, y ∈ C.
Ví dụ 1.3.14. Cho f : H → R ∪ {+¥ } là hàm lồi, chính thường. Ánh xạ dưới vi phân ¶ f : H → 2H của f là toán tử đơn điệu trên dom(¶ f ).
Thật vậy, với mọi x, y ∈ dom(¶ f ), u ∈ ¶ f (x), v ∈ ¶ f (y) ta có
(1.15) f (x) ⇔ hu, y − xi ≤ f (y) − f (x) ∀y ∈ H,
(1.16) f (x) ⇔ hv, x − yi ≤ f (x) − f (y) ∀y ∈ H. u ∈ ¶ v ∈ ¶
23
Cộng từng vế của (1.15) và (1.16) ta có
hv, x − yi − hu, x − yi ≤ 0
⇔ hu − v, x − yi ≥ 0.
(cid:3) f là toán tử đơn điệu. Hay ¶
Định nghĩa 1.3.15. Một toán tử đơn điệu A : H −→ 2H được gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ thị G(A) của nó không thực sự chứa trong đồ thị của một toán tử
đơn điệu nào khác trên H.
Ví dụ 1.3.16. Cho f : H → R là một hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới.
Khi đó, toán tử dưới vi phân
¶ f (x) = x∗ ∈ H : f (y) − f (x) ≥ hy − x, x∗i ∀y ∈ H
n o
là một toán tử đơn điệu cực đại.
Ví dụ 1.3.17. Ánh xạ T : R −→ 2R xác định như sau:
nếu x > 0
1 T (x) = nếu x = 0 [0, 1]
nếu x < 0
−x2 là toán tử đơn điệu cực đại. Thật vậy, với mọi M(x, y) /∈ G(T ) ta luôn tìm được
−−→ OM và −−→ OM0 là góc tù. Nghĩa
ít nhất điểm M0(x0, y0) ∈ G(T ) sao cho góc giữa là
−−→ OM. −−→ OM0 < 0. h(x, y), (x0, y0)i =
Vậy T là toán tử đơn điệu cực đại.
Định lý 1.3.18 (Định lý Minty). Cho A là một toán tử đơn điệu từ H đến 2H. Khi đó A được gọi là đơn điệu cực đại khi và chỉ khi ran(I + l A) = H với mọi
24
l > 0, ở đây ran(I + l A) là miền ảnh của toán tử I + l A và I là toán tử đồng nhất trên H.
Cho H là không gian Hilbert thực, toán tử A : H → 2H là đơn điệu cực đại,
khi đó bài toán bao hàm thức đơn điệu cực đại được phát biểu như sau
(1.17) Tìm phần tử z ∈ H sao cho 0 ∈ A(z).
Nếu toán tử A là đơn trị thì (1.17) là bài toán giải phương trình A(z) = 0. Nếu
toán tử A là toán tử đa trị thì (1.17) là bài toán tìm không điểm của toán tử đơn
điệu cực đại A. Về mặt hình thức bài toán này khá đơn giản, tuy nhiên nó bao
hàm được nhiều lớp bài toán quan trọng khác thuộc nhiều lĩnh vực như bài toán
cực tiểu hàm lồi, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, bài toán điểm
bất động.
25
Chương 2
Hiệu chỉnh phương trình toán tử với toán
tử tuyến tính đơn điệu mạnh
Chương này trình bày khái niệm và ví dụ về phương trình toán tử đặt không
chỉnh; phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh với thành
phần hiệu chỉnh là toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh. Các kiến thức của chương
này được tham khảo từ tài liệu [1] và bài báo [4].
2.1 Phương trình toán tử đặt không chỉnh
2.1.1 Định nghĩa
Xét phương trình toán tử:
(2.1) A(x) = f ,
trong đó A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gian
Banach Y , f là phần tử thuộc Y. Sau đây là một định nghĩa của Hadamard.
Định nghĩa 2.1.1. Cho A là một toán tử từ không gian Banach X vào không
gian Banach Y. Bài toán (2.1) được gọi là bài toán đặt chỉnh (well-posed) nếu
(1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ;
(2) nghiệm này là duy nhất;
26
(3) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán (2.1)
được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed).
2.1.2 Ví dụ
Ví dụ 2.1.2. Xét phương trình toán tử (2.1) với A là một ma trận vuông cấp
M = 4 được xác định bởi
2 2 2 2
2 2 2 2, 001 A = 2 2 2, 001
2 2 2, 001
2 2
T
và vế phải
∈ R4. f = 8 8, 001 8, 001 8, 001
T
(cid:17) (cid:16) Ta thấy phương trình A(x) = f có duy nhất nghiệm
∈ R4. x = 1 1 1 1
(cid:16) (cid:17)
Nếu
2 2 2 2
2 2 2 2, 001 A = Ah1 2 2 2, 001 2
2 2 2 2
T
và vế phải
∈ R4. 8 8, 001 8, 001 8 f = fd 1 =
(cid:16) (cid:17)
27
Khi đó, ta thấy phương trình A(x) = f có vô số nghiệm.
Nếu
2 2 2 2
2 2 2 2, 001 A = Ah1 = 2 2 2, 001 2
2 2 2
T
2 và vế phải
∈ R4. f = 8 8, 001 8, 001 8, 001
(cid:17) (cid:16) Khi đó phương trình A(x) = f vô nghiệm.
Như vậy ta thấy chỉ cần một thay đổi nhỏ trong dữ kiện ban đầu đã dẫn đến
thay đổi lớn của nghiệm. Vậy bài toán đã cho là bài toán đặt không chỉnh.
Vì tính không duy nhất của nghiệm của bài toán đặt không chỉnh nên người
ta thường có tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm. Ta sẽ sử dụng nghiệm x0 sao cho x0 − x∗ có chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm x0 ∈ S thỏa mãn
A(x0) = f ,
và
kx0 − x∗k = min{kx − x∗k : Ax = f },
trong đó S là tập nghiệm của bài toán (2.1), được giả thiết là khác rỗng. Bằng cách chọn x∗ ta có thể có được nghiệm mà ta muốn xấp xỉ.
2.2 Hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt không chỉnh dựa trên
toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh
2.2.1 Phương trình hiệu chỉnh
Cho X là một không gian Banach phản xạ thực và X ∗ là không gian liên hợp của X, cả hai có chuẩn đều ký hiệu là k.k. Ta viết hx∗, xi thay cho x∗(x) với x∗ ∈ X ∗ và x ∈ X. Cho A là toán tử đơn điệu, liên tục và bị chặn với miền xác
28
định D(A) = X và miền giá trị R(A) ⊆ X ∗ và f0 là phần tử cố định của R(A). Nếu không có thêm điều kiện đặt lên toán tử A, chẳng hạn tính đồng bức, đơn
điệu mạnh thì bài toán
(2.2) A(x) = f0
nói chung là một bài toán đặt không chỉnh. Điều đó có nghĩa rằng nghiệm của
(2.2) không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu A và f0. Ta xét phương trình hiệu chỉnh
(2.3) A(x) + a J(x) = fd ,
trong đó, J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X, a > 0 là tham số hiệu chỉnh và fd là xấp xỉ của f thỏa mãn điều kiện
a và xd a
(2.4) k fd − f k ≤ d d → 0.
Định lý 2.2.1. Phương trình (2.3), với mỗi a > 0 có nghiệm duy nhất xd hội tụ tới nghiệm của (2.2) nếu d /a → 0.
2.2.2 Sự tồn tại toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh
Định nghĩa 2.2.2. Toán tử B : X → X ∗ được gọi là toán tử đơn điệu mạnh nếu
hBx, xi ≥ mBkxk2, với mB > 0, x ∈ D(B).
W là tập bị chặn, mở và đo được trong Rn với biên trơn G .
Ví dụ 2.2.3. Cho W Đặt t u là toán tử vi phân từng phần
1≤kBk≤2m
W t u = (cid:229) ab Db u, ab (x) ∈ C( ¯W ); ( ¯W = W ∪ G )
ở đây kBk là chuẩn của B trong Rn. Cho V là tập đóng trong chuẩn của không
29
q
gian W 2m của tất cả các hàm từ C2m(W ) thỏa mãn điều kiện:
W Dru(x) = 0, x ∈ G , 0 ≤ |r| ≤ m − 1
q > 1 nếu n − 2m ≤ 0 và q > nếu n − 2m > 0. Khi đó, 2n n + 2m
hBu, ui ≥ mBkuk2, ∀u ∈ V, mB > 0, p−1 + q−1 = 1
trong đó, Bu = ru, D(B) = V .
Ví dụ 2.2.4. Không gian véctơ định chuẩn Y được gọi là đơn ánh nếu tồn tại
không gian Hilbert H sao cho Y ֒→ H và đơn ánh tự nhiên ֒→ là trù mật và liên
tục.
Nếu X là không gian Banach phản xạ với X ∗ là đơn ánh thì tồn tại không
gian Hilbert H sao cho
X ∗ ֒→ H ֒→ X
trong đó, đơn ánh là trù mật và liên tục. Trong H ta có thể tìm toán tử tuyến tính ˆB sao cho:
∗ ≥ h ˆBj , j i ≥ M ˆBkj k∗, ∀j ∈ H, m ˆB > 0.
m ˆBkj k2
Đặt D(B) = R( ˆB|X ∗) và B = ˆB−1 thì D(B) ֒→ H. Ta cũng có:
∀j ∈ D(B) hBj , j i ≤ mBkj k2,
vì H được nhúng liên tục trong X. Nó cũng được biết đến rằng R(B) = X ∗. Vì vậy B−1 là trù mật trong X ∗ và liên tục. Vì vậy B−1 là đơn điệu cực đại. Vì vậy,
B cũng đơn điệu cực đại.
30
p (W ) là không gian Sobolev với chuẩn:
1 2
Ví dụ 2.2.5. Đặt ˜W m
Lp(W )
p (W ) =
|a|≥m
(cid:229) j k2 , kDa kj k ˜W m
(cid:17) (cid:16)
2 (W ) ta có:
ở đây 1 < p < 2. Từ Lq(W ) ֒→ L2(W ) ֒→ Lp(W ), kj kL2(W ), c0 là hằng số xác định dương, với mỗi j ∈ ˜W m
p (W )
2 (W ) ≤ c0kj k ˜W m
kj k ˜W m
p (W ). Do đó, chúng ta có thể chọn toán tử B bởi cách
p (W )∗ ֒→ ˜W m
2 (W ) ֒→ ˜W m
˜W m
trên.
Tiếp theo ta chứng minh kết quả sau.
Định lý 2.2.6. Nếu X là không gian Banach phản xạ và tách được, thì tồn tại
j/k ˜j
j có thể đếm được và trù mật trong tập X các phần tử j = ˜j jk Đặt H0 là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính j. Thì H0 ⊂ X và H0 không gian tuyến tính. Trong H0 ta có cấu trúc tích
toán tử B với các tính chất ở trên.
k=1
Chứng minh. Đầu tiên, ta sẽ chứng minh tồn tại không gian Hilbert H sao cho H ֒→ X. Thật vậy, cho ˜j độc lập tuyến tính. Đặt j của j vô hướng: ¥ p 2 (cid:229) hj , y i = akbkk2, 6
trong đó ¥ ¥
k=1
k=1
(cid:229) (cid:229) j = akj k, y = bkj k.
Ta biết rằng ak và bk có hữu hạn phần tử khác phần tử không. Ta có:
−1/2
1/2
¥ ¥ ¥ ¥
k=1
k=1
k=1
k=1
(cid:229) (cid:229) (cid:229) (cid:229) k−2 kj k ≤ := kj k1. |ak| = k−1|ak|k ≤ k2|ak|2
(cid:16) (cid:17) (cid:16) (cid:17)
Nói cách khác, H0 là liên tục được nhúng trong X. Vì vậy, phần bù của H trong chuẩn k.k1 cũng liên tục được nhúng trong X và X ∗ ⊂ H∗.
31
Phần còn lại của chứng minh định lý được lặp lại ở Ví dụ 2.2.4.
2.2.3 Sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh
Ta ký hiệu S0 là tập tất cả các nghiệm của phương trình (2.2), và giả thiết rằng S0 ⊂ D(B), D(B) = X. Ta cũng biết rằng S0 là tập con lồi và đóng trong X.
Định lý 2.2.7. Với mỗi a > 0 và fd ∈ X ∗ phương trình hiệu chỉnh
a . Ngoài ra nếu d /a → 0 khi a
(2.5) A(x) + a Bx = fd
a } hội
, d → 0, thì dãy {xd
có duy nhất nghiệm xd tụ tới x0 ∈ S0 và
(2.6) hBx, x − x0i ≥ 0 ∀x ∈ S0.
Trước hết, ta xét phương trình sau:
(2.7) Am (x) + a Bx = fd
trong đó, Am = A + m B với m là tham số dương nhỏ tùy ý tiến tới 0. Ta có Am + a B là toán tử đơn điệu cực đại. Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình (2.7) và sự hội tụ của nghiệm của phương trình (2.7) được trình bày trong định
lý sau đây.
g a , g = (m , d ). Hơn nữa, nếu d /a và m /a
Định lý 2.2.8. Với mỗi a > 0, m > 0 và fd ∈ X ∗ phương trình (2.7) có nghiệm g duy nhất x a hội tụ tiến tới 0, thì dãy x
tới x0. Chứng minh. Từ (2.2) và (2.7) ta có
g a ) − A(x) + a B(x
g a − x)i ≤ d kx
g a − xk
hAm (x
g a i, ∀x ∈ S0.
+ (m + a )hBx, x − x
32
Vì Am là toán tử đơn điệu, nên
g a − xk2 ≤
g a − xk +
g a i.
(2.8) 1 + hBx, x − x mBkx d a kx m a
g a } là bị chặn. Do đó, tồn tại một dãy con của dãy {x
g a } hội tụ yếu , m /a và a → 0. Không làm mất tính tổng quát, giả sử
(cid:16) (cid:17)
Vì vậy, dãy {x đến phần tử x1 khi d /a
g a ⇀ x1
x khi và d /a , m /a a → 0.
Vì A là toán tử đơn điệu, nên
g a ), x − x
g a i ≥ 0 ∀x ∈ X.
hA(x) − A(x
Hay,
g a − fd , x − x
g a i ≥ 0 ∀x ∈ X.
hA(x) + (a + m )Bx
g a i ≥ 0 ∀x ∈ D(B).
Do đó,
hA(x) + (a + m )Bx − fd , x − x
Cho a , m , d → 0 trong bất đẳng thức trên ta nhận được
g a } hội tụ mạnh
hA(x) − f0, x − x1i ≥ 0 ∀x ∈ D(B).
Suy ra, x1 ∈ S0. Ta thay x bởi x1 trong (2.8) ta thấy rằng dãy {x tới x1. Mặt khác, từ (2.8) ta cũng có
hBx, x − x1i ≥ 0 ∀x ∈ S0.
Thay x bởi tx1 + (1 −t)x trong bất đẳng thức này và sử dụng tính chất tuyến tính của toán tử B và tính lồi tính đóng của S0 ta có
htBx1 + (1 − t)Bx, x − x1i ≥ 0 ∀x ∈ S0, t ∈ (0, 1).
33
Cho t → 1 trong bất đẳng thức này ta nhận được
hBx1, x − x1i ≥ 0 ∀x ∈ S0.
g a
g a hội tụ tới x1 và x1 = x0. (cid:3) là nghiệm duy nhất của (2.3) và a được chọn theo quy
Từ phần tử x1 xác định bởi (2.6) là duy nhất, dãy x
Ta thấy rằng nếu x
˜p,
tắc
g ¯a k = ˜Kd
0 < ˜p < 1, ˜K ≥ 1 ¯a kx
thì phương trình (2.3) và quy tắc chọn a bởi (2.9) thỏa mãn tất cả các nguyên lý của phương pháp hiệu chỉnh. Trên cở sở ý tưởng này, ta xét hàm thực sau:
g a k + a0),
r (a ) = a (kx a0 > 0.
Khi
kAm (x) − A(x)k ≤ m kBxk ∀x ∈ D(B), m → 0
tiến dần tới 0. ta có thể xem (2.7) là phương trình hiệu chỉnh hóa cho (2.2) với dữ kiện được cho xấp xỉ bởi (Am , fd ), trong đó m và d
Ta sẽ chứng minh bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.9. Với mỗi g > 0 xác định (nghĩa là d , m > 0) hàm r (a) liên tục trong khoảng (0, +¥ ) và
i là các số thực thỏa mãn điều kiện a 1 > a 2 ≥ a 0 > 0. Từ
r (a ) = +¥ , r (a ) = 0. lim a →+¥ lim a →+0
Chứng minh. Đặt a (2.7) ta có được
g a 1 − a 2Bx
g a 1, xa 1 − xa 1i ≤ 0
ha 1Bx
hoặc
hB(xa 1 − xa 2), xa 1 − xa 2i ≤ hBxa 2, xa 1 − xa 2i,
i là nghiệm của (2.7) với a = a
trong đó, xa |a 2 − a 1| a 0 i.
34
Trong trường hợp tổng quát của a ta có
g a 1 hội tụ tới x
g a 2 khi a 1 hội tụ tới a 2 với mỗi g > 0 cố định, suy
mBkxa 1 − xa 2k ≤ kBxa 2k. |a 2 − a 1| a 0
Dễ thấy rằng x ra r (a ) là hàm liên tục trong khoảng (0, +¥ ). Rõ ràng,
r (a ) = +¥ . lim a →+¥
g a − xg
Giả sử xg là nghiệm của (2.7) với a = 0. Từ (2.7) ta suy ra
k ≤ kBxg k, mBkx
g a } là bị chặn. Vì vậy,
nghĩa là với mỗi g > 0 cố định, dãy {x
r (a ) = 0. lim a →+0
(cid:3)
thỏa mãn
Định lý 2.2.10. Với mỗi g > 0 cố định, tồn tại ít nhất một giá trị ¯a phương trình:
(2.9) r ( ¯a ) = (m + d ) ˜p, 0 < ˜p < 1
tồn tại. Từ (2.9) ta nhận được và {m / ¯a } và {d / ¯a } hội tụ tới 0 khi g → 0. Chứng minh. Theo Bổ đề 2.2.9 giá trị ¯a
g ¯a k + a0)
(2.10) = (m + d )1− ¯p(kx m + d ¯a
g ¯a
trong đó x là nghiệm của (2.7) với a = ¯a và số g > 0 xác định. Từ (2.2), (2.7)
và (2.9) ta có:
g ¯a − x1k ≤
+ kBx1k, x1 ∈ S0. mBkx m kBx1k + d ¯a
35
Kết hợp bất đẳng thức trên và (2.10) ta được
B max(1, kBx1k)) ≤ (m +d )1− ¯p(kx1k+m−1
B kBx1k+a0).
(1−(m +d )1− ˜pm−1 m + d ¯a
(cid:3) Vì vậy dãy {m / ¯a } và {d / ¯a } hội tụ tới 0 khi g → 0.
a của phương trình
2.2.4 Phương pháp lặp
Bây giờ, ta xét phương pháp lặp để tìm nghiệm hiệu chỉnh xd (2.5). Thêm nữa, giả sử rằng toán tử B là đối xứng, nghĩa là B∗ = B.
Cho x1 là phần tử bất kỳ của D(B). Dãy lặp của xk được xây dựng như sau:
(2.11) xk+1 = xk − b kB−1(A(xk) + a Bxk − fd )/t k,
trong đó,
(2.12) t k = hB−1(A(xk)) + a Bxk − fd ), A(xk) + a Bxk − fd i1/2.
Sự hội tụ của dãy lặp (2.11)-(2.12) được trình bày trong định lý sau.
Định lý 2.2.11. Nếu số thực b k thỏa mãn các điều kiện
¥ ¥
n=1
n=1
(cid:229) (cid:229) , , b n > 0, b n ց 0, b n = +¥ b 2 n < +¥
a với mỗi a > 0 khi k → ¥
.
a ), xk − xd
a i
thì dãy {xk} hội tụ tới xd Chứng minh. Đặt
l k := hB(xk − xd
a i + hB(xk+1 − xk), xk+1 − xki.
với mỗi a > 0 xác định và d . Dễ thấy rằng
l k+1 ≤ l k + 2hB(xk+1 − xk), xk − xd
36
Từ bất đẳng thức trên và (2.11)-(2.12) ta nhận được:
kl k/t k + b 2 k .
l k+1 ≤ l k − 2ab
a )), A(xk)−A(xd
a )i+2a hA(xk −A(xd
a )), xk −xd
k = hB−1(A(xk)−A(xd t 2
a i+a 2l 2 k ,
Vì vậy, dãy {l k} là bị chặn. Do đó, dãy {xk} và {A(xk)} cũng bị chặn. Từ
A và B−1 là toán tử bị chặn, dãy t k cũng bị chặn, nghĩa là tồn tại hằng số C > 0 sao cho
kl k/C + b 2 k .
l k+1 ≤ l k − 2ab
a .
(cid:3) . Vì vậy dãy {xk} hội tụ tới xd Suy ra l k → 0 khi k → +¥
2.3 Ví dụ
1
Ví dụ 2.3.1. Xét phương trình tích phân tuyến tính
Z0
(2.13) x ∈ [0, 1] (Kj )(x) = k(x, y)j (y)dy = f0(x),
trong đó, k(x, y) là hàm thực, không âm và đo được trên [0, 1] × [0, 1] thỏa mãn
1
1
điều kiện:
Z0
|k(x, y)|qdxdy < +¥
Z0 và f0(x) ∈ L([0, 1]), 1 < q < +¥ (2.13) là khả vi suy rộng k-lần và
. Giả sử rằng nghiệm j (x) của phương trình
j (0) = j (1)(0) = · · · = j k−1(0) = 0j (1) = j (1)(1) = · · · = j k−1(1) = 0.
(2.14)
37
Ta thấy, K là toán tử tuyến tính, bị chặn và đơn điệu từ D(K) = X = Lp[0, 1] vào X ∗ = Lq[0, 1], p−1 + q−1 = 1. Vì vậy, K là toán tử compact. Đây là bài toán đặt không chỉnh. Trong trường hợp này, nếu ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh
A(x) + a J(x) = fd
thì ta sẽ có một phương trình toán tử phi tuyến vì tính chất không tuyến tính của ánh xạ đối ngẫu J của không gian Lp[0, 1]. Mặt khác, thông tin (2.14) về nghiệm sẽ không thể dùng để giải bài toán (2.13). Đặc biệt, việc nghiên cứu tốc
độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều sẽ gặp nhiều khó khăn.
k
Trong trường hợp, toán tử B có thể được xác định bằng công thức
r=0
(cid:229) Bj = (−1)r d2rj c0 > 0. dx2r + c0j ,
Khi đó, hBj , j i ≥ kmBj k, mB > 0.
Ví dụ sau chỉ ra rằng ta có thể dùng toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh trong
hiệu chỉnh.
1
Ví dụ 2.3.2. Xét phương trình tích phân phi tuyến loại Hammerstein
Z0
(2.15) K f (j ) ≡ 0 ≤ x ≤ 1 k(x, y) f (j (y))dy = f0(x),
trong đó k(x, y) và f0(x) là hàm liên tục trên [0, 1] × [0, 1] và [0, 1] tương ứng, f (s) là hàm liên tục trên R thỏa mãn điều kiện sau
s1 ≤ s2 ⇔ f (s1) ≤ f (s2),
và
| f (s)| ≤ a + b|s|p−1; a, b ≤ 0, 1 < p < 2.
Do đó, f : Lp[0, 1] → Lq[0, 1] và f là toán tử đơn điệu và liên tục.
38
Ta giả sử rằng (2.15) có nghiệm trong L2[0, 1]. Ta tìm điều kiện đủ để giải
phương trình sau
K f K∗j = f0,
1
trong đó
Z0
Kj = k(x, y)j (y)dy,
và K là toán tử tuyến tính liên tục trong Lq [0, 1] với q > 1. Vì K f K∗ là toán tử liên tục và đơn điệu từ X = Lp[0, 1] vào X ∗ = Lq[0, 1]. Ta có H = L2[0, 1], X ∗ ֒→ H ֒→ X. Vì vậy, với mỗi a > 0 phương trình
a ∈ L2[0, 1] và dãy {j
a } hội tụ
j ∈ H K f K∗j + aj = f0,
là bài toán đặt chỉnh, nó có nghiệm duy nhất j tới nghiệm của (2.15) khi a → 0.
39
Kết luận
Luận văn đã trình bày lại có hệ thống về phương pháp hiệu chỉnh phương trình
toán tử đặt không chỉnh với toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh trong không gian
Hilbert. Cụ thể:
(1) Trình bày các khái niệm về không gian Banach, không gian Hilbert và một
số tính chất;
(2) Giới thiệu khái niệm về toán tử tuyến tính liên tục, toán tử đơn điệu, đơn
điệu mạnh trong không gian Hilbert và ví dụ minh họa;
(3) Trình bày khái niệm và ví dụ về phương trình toán tử đặt không chỉnh;
(4) Giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh và sự hội tụ của phương pháp trên cơ
sở sử dụng ánh xạ tuyến tính đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh.
Trong đó kết quả chính của luận văn này là việc sử dụng phương pháp hiệu
chỉnh Browder–Tikhonov hiệu chỉnh phương trình toán tử đơn điệu với thành
phần hiệu chỉnh là toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh.
Phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov giải bài toán đặt không chỉnh là
một trong những phương pháp được sử dụng rộng rãi và khá hiệu quả khi nghiên
cứu bài toán đặt không chỉnh. Việc phát triển các phương pháp hiệu chỉnh cho
bất đẳng thức biến phân, hệ phương trình toán tử đơn điệu từ không gian Hilbert
sang không gian Banach, từ bài toán đơn trị sang bài toán đa trị vv. . . là hướng
phát triển tiếp theo của đề tài.
40
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, NXB
Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia
Hà Nội.
Tiếng Anh
[3] F. Browder (1966), "Existence and approximation of solutions of nonlinear
variational inequalities", Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 56(4), 1080-1086.
[4] Ng. Buong (1996), "Regularization by linear operators", Acta Mathemat-
ica Vietnamica, 21(1), 135–145.
[5] A.N. Tikhonov (1963), "On the solution of ill-posed problems and the
method of regularization", Doklady Akademii Nauk SSSR, 151, 501–504
(Russian).
