Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về phương trình tuyến tính với các số Fibonacci

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dãy Fibonacci xuất hiện và biến hóa võ tận trong tự nhiên, với rất nhiều tính chất đẹp và ứng dụng quan trọng. Dến nay có rất nhiều mở rộng của đây Pibounaccl như dãy k-Fibounacci... Hầu hết những tính chất tốt của những đãy này đều xuất phát từ đây Pibonacei. Một dãy tồn tại song song với dãy Fibonacci là đây Lucas. Dãy này có nhiều ứng dụng đặc biệt trong tìm nghiệm của các phương trình Diophantiue. Hai dãy này là chúng có mỗi liên hệ chặt chẽ với nhau.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về phương trình tuyến tính với các số Fibonacci

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- ĐINH THỊ HUYỀN VỀ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VỚI CÁC SỐ FIBONACCI Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH THÁI NGUYÊN - 2019
i Möc löc Líi c£m ìn 1 Mð ¦u 2 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 4 1.1 D¢y Fibonacci v d¢y Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 B i to¡n 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 B i to¡n 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 C¡c ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh vîi c¡c sè Fibonacci 9 2.1 Giîi thi»u b i to¡n têng qu¡t, c¡c kh¡i ni»m . . . . . . . . 9 2.2 Tr÷íng hñp m = 3 v m = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Tr÷íng hñp têng qu¡t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Tr÷íng hñp x(i) < b, vîi måi i . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5 Tr÷íng hñp tçn t¤i i º x(i) ≥ b . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6 Mët sè k¸t qu£ v· t½nh ch§t cõa tªp S1 . . . . . . . . . . . 29 2.7 Tr÷íng hñp b l´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.8 Chùng minh ành lþ 2.3.1 ( ành lþ ng¨u nhi¶n) . . . . . . 36 K¸t luªn 38 T i li»u tham kh£o 39
1 Líi c£m ìn Tr÷îc h¸t, tæi xin gûi líi bi¸t ìn ch¥n th nh ¸n PGS. TS. Næng Quèc Chinh ¢ h÷îng d¨n tæi ho n th nh b£n luªn v«n n y. Khi bt ¦u nhªn · t i thüc sü tæi c£m nhªn · t i mang nhi·u nëi dung mîi m´. Hìn núa vîi vèn ki¸n thùc ½t äi n¶n r§t khâ º ti¸p cªn · t i. M°c dò r§t bªn rën trong cæng vi»c nh÷ng Th¦y v¨n d nh nhi·u thíi gian v t¥m huy¸t trong vi»c h÷îng d¨n, ëng vi¶n khuy¸n kh½ch tæi trong suèt thíi gian tæi thüc hi»n · t i. Trong qu¡ tr¼nh ti¸p cªn · t i ¸n qu¡ tr¼nh ho n thi»n luªn v«n Th¦y luæn tªn t¼nh ch¿ b£o v t¤o i·u ki»n tèt nh§t cho tæi ho n th nh luªn v«n. Cho ¸n b¥y gií luªn v«n th¤c s¾ cõa tæi ¢ ÷ñc ho n th nh, xin c£m ìn Th¦y ¢ æn èc nhc nhð tæi. Tæi xin tr¥n trång c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, Khoa To¡n - Tin v Pháng o t¤o cõa tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n. Tæi xin tr¥n trång c£m ìn c¡c Th¦y, Cæ ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi nh§t º tæi ho n th nh luªn v«n n y. Tæi xin tr¥n trång c£m ìn Ban gi¡m hi»u, c¡c th¦y cæ gi¡o tr÷íng THPT Hoa L÷ A - Ninh B¼nh nìi tæi cæng t¡c ¢ t¤o i·u ki»n gióp ï tæi ho n th nh cæng vi»c chuy¶n mæn t¤i nh tr÷íng º tæi ho n th nh ch÷ìng tr¼nh håc tªp cao håc. Cuèi còng, tæi xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn ¸n gia ¼nh, b¤n b±, nhúng ng÷íi khæng ngøng ëng vi¶n, hé trñ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2019 T¡c gi£ inh Thà Huy·n
2 Mð ¦u Leonardo Pisano Bogollo (kho£ng 1170 kho£ng 1250), cán ÷ñc bi¸t ¸n vîi t¶n Leonardo cõa Pisa, hay phê bi¸n nh§t d÷îi c¡i t¶n Fibonacci, l mët nh to¡n håc ng÷íi Þ v æng ÷ñc mët sè ng÷íi xem l "nh to¡n håc t i ba nh§t thíi Trung Cê". Fibonacci nêi ti¸ng trong th¸ giîi hi»n ¤i v¼ câ cæng lan truy·n h» kþ sè Hindu- Rªp ð ch¥u u, v °c bi»t l d¢y sè hi»n ¤i mang t¶n æng, d¢y Fibonacci trong cuèn s¡ch Liber Abaci. D¢y sè Fibonacci l mët trong nhúng v´ µp cõa kho t ng To¡n håc. D¢y Fibonacci xu§t hi»n v bi¸n hâa væ tªn trong tü nhi¶n, vîi r§t nhi·u t½nh ch§t µp v ùng döng quan trång. ¸n nay câ r§t nhi·u mð rëng cõa d¢y Fibonacci nh÷ d¢y k -Fibonacci... H¦u h¸t nhúng t½nh ch§t tèt cõa nhúng d¢y n y ·u xu§t ph¡t tø d¢y Fibonacci. Mët d¢y tçn t¤i song song vîi d¢y Fibonacci l d¢y Lucas. D¢y n y câ nhi·u ùng döng °c bi»t trong t¼m nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh Diophantine. Hai d¢y n y l chóng câ mèi li¶n h» ch°t ch³ vîi nhau. Trong tü nhi¶n câ nhi·u hi»n t÷ñng, sü vªt xu§t hi»n tròng vîi d¢y sè Fibonacci. H¦u h¸t c¡c bæng hoa câ sè c¡nh hoa l mët trong c¡c sè 3, 5, 8. Sè nh¡nh tø mët c¥y khi i tø gèc l¶n ngån công th÷íng tu¥n theo d¢y Fibonacci khi tø 1 nh¡nh l¶n 2 nh¡nh, 3 nh¡nh rçi 5, 8, 13 nh¡nh. Nhúng chi¸c l¡ tr¶n mët nh nh c¥y công t÷ìng ùng vîi d¢y sè Fibonacci. Trong luªn v«n n y chóng ta i t¼m hiºu c¡c b i to¡n ri¶ng, b i to¡n têng qu¡t v· ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh trong â c¡c h» nghi»m l c¡c sè Fibonacci. Nëi dung cõa luªn v«n tr¼nh b y trong hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1 d nh º tr¼nh b y l¤i sè ki¸n thùc li¶n quan ¸n sè Fibonacci v sè Lucas, giîi thi»u hai b i to¡n 779 v 804 v líi gi£i cõa hai b i to¡n n y. C¡c k¸t qu£ ¢ bi¸t cõa ch÷ìng n y ÷ñc vi¸t theo t i li»u [1], [2], [3]. Ch÷ìng 2 ta tªp trung i t¼m hiºu b i to¡n têng qu¡t, líi gi£i b i to¡n
3 trong khi m = 3, 4 tø â ÷a ra dü o¡n líi gi£i cho b i to¡n têng qu¡t. Cö thº trong ph¦n 2.1 giîi thi»u b i to¡n têng qu¡t. Ph¦n 2.2 tr¼nh b y líi gi£i trong tr÷íng hñp m = 3 ho°c 4. Ph¦n 2.3 tr¼nh b y líi gi£i cho tr÷íng hñp têng qu¡t â l ành lþ ng¨u nhi¶n. Ph¦n 2.4 ¸n h¸t 2.8 l c¡c k¸t qu£ xoay quanh vi»c chùng minh cõa ành lþ ng¨u nhi¶n. C¡c k¸t qu£ ¢ bi¸t cõa ch÷ìng n y ÷ñc vi¸t theo t i li»u [4].
4 Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 1.1 D¢y Fibonacci v d¢y Lucas ành ngh¾a 1.1.1. D¢y sè Fibonacci, kþ hi»u (Fn)n∈ N ÷ñc ành ngh¾a bði cæng thùc truy hçi F0 = 0, ( F1 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1 , (n ≥ 1), ð ¥y Fn l sè h¤ng thù n cõa d¢y sè Fibonacci. C¡c sè ¦u ti¶n cõa d¢y Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . . . Tø h» thùc truy hçi cõa d¢y Fibonacci ta câ Fn+2 − Fn+1 − Fn = 0, vîi måi n ≥ 0. Do â ta câ ph÷ìng tr¼nh x2 − x − 1 = 0 hay x2 = x + 1. Nh¥n hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh vîi xn−1 ta ÷ñc xn+1 = xn + xn−1 . (1.1) Rã r ng n¸u ϕ l mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1) th¼ 1 − ϕ công l mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1). Do â ϕn+1 = ϕn + ϕn−1 v (1 − ϕ)n+1 = (1 − ϕ)n + (1 − ϕ)n−1 . n Vîi méi c°p sè thüc a, b, ta °t Fa,b (n) = aϕn + b(1 − ϕ) . Khi â t§t c£ c¡c h m n y thäa m¢n h» thùc truy hçi Fibonacci.
5 ành ngh¾a 1.1.2. C¡c h m Fa,b (n) = aϕn + b(1 − ϕ)n ÷ñc gåi l h m sinh. Trong ành ngh¾a d¢y Fibonacci, c¡c sè h¤ng cõa d¢y ÷ñc cho d÷îi d¤ng truy hçi n¶n khi sû döng d¢y æi khi g°p khâ kh«n. M»nh · sau ¥y cho ta cæng thùc t÷íng minh cõa d¢y Fibonacci v ÷ñc gåi l cæng thùc Binet. Cæng thùc Binet ÷ñc sû döng húu hi»u trong c¡c chùng minh sau n y. M»nh · 1.1.3. D¢y sè Fibonacci ÷ñc cho bði cæng thùc √ n √ n 1+ 5 1− 5 2 − 2 Fn = √ . 5 D¢y Lucas l mët d¢y sè ÷ñc °t t¶n nh¬m vinh danh nh to¡n håc Francois douard Anatole Lucas (1842-1891), ng÷íi ¢ nghi¶n cùu d¢y sè Fibonacci, d¢y sè Lucas v c¡c d¢y t÷ìng tü. Gièng nh÷ d¢y Fibonacci, méi sè trong d¢y Lucas b¬ng têng cõa hai sè li·n tr÷îc nâ. D¢y sè gçm th÷ìng giúa hai sè Lucas li·n nhau s³ hëi tö ¸n giîi h¤n b¬ng t¿ l» v ng. Tuy vªy kh¡c vîi d¢y Fibonacci, hai sè ¦u ti¶n trong d¢y Lucas l L0 = 2 v L1 = 1 (trong d¢y Fibonacci l 0 v 1). Ch½nh v¼ th¸ m mët sè t½nh ch§t cõa sè Lucas s³ kh¡c vîi sè Fibonacci. ành ngh¾a 1.1.4. Cho r, s l c¡c sè nguy¶n kh¡c khæng. D¢y Lucas ùng vîi c°p (r, s) ÷ñc ành ngh¾a l : u0 (r, s) = 0, u1 (r, s) = 1, un (r, s) = run−1 + sun−2 (n ≥ 2) . Trong tr÷íng hñp (r, s) = (1, 1) ta k½ hi»u sè h¤ng thù n cõa d¢y l Ln v gåi ngn gån l d¢y Lucas. T÷ìng tü nh÷ d¢y Fibonacci, b¬ng quy n¤p ta câ thº chùng minh ÷ñc d¢y Lucas ÷ñc cho bði cæng thùc sau. M»nh · 1.1.5. Vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n, ta câ √ !n √ !n 1+ 5 1− 5 Ln = − 2 2 Tø M»nh · 1.1.3 v M»nh · 1.1.5 ta câ ành lþ sau. ành lþ cho ta mèi li¶n h» giúa c¡c sè h¤ng têng qu¡t cõa d¢y Fibonacci v d¢y Lucas.
6 ành lþ 1.1.6. Vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n > m, ta câ FnLm = Fn+m + Fn−m . Vîi méi sè nguy¶n d÷ìng n ta °t F−n = (−1)n Fn v Ln = (−1)n Ln . 1.2 B i to¡n 779 N«m 1995, t¤p ch½ The Fibonacci Quarterly sè 33.1 ¢ giîi thi»u b i to¡n B.779 cõa Andrew Cusumano. Nëi dung cõa b i to¡n â l : T¼m c¡c sè nguy¶n a, b, c v d thäa m¢n 1 < a < b < c < d sao cho çng nh§t thùc sau l óng vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n. Fn = Fn−a + 6Fn−b + Fn−c + Fn−d (1.2) ¢ câ nhi·u nh to¡n håc kh¡c nhau gûi líi gi£i ¸n t¤p ch½ The Fibonacci Quarterly, h¦u h¸t c¡c nh to¡n håc ch¿ gûi ¸n líi gi£i a = 2, b = 5, c = 6, d = 8 v kh¯ng ành r¬ng vi»c chùng minh ¯ng thùc Fn = Fn−2 + 6Fn−5 + Fn−6 + Fn−8 (1.3) b¬ng ph÷ìng ph¡p chùng minh quy n¤p theo n l ìn gi£n. Ch¿ câ Bruck- man v Figghion ¢ chùng minh cö thº v ch¿ ra c¡ch t¼m a, b, c, d. Tuy nhi¶n, c¡c ph÷ìng ph¡p ti¸p cªn v gi£i quy¸t b i to¡n d÷íng nh÷ khæng câ t½nh kh¡i qu¡t. Ta câ thº câ chùng minh ¯ng thùc (1.3) b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p theo n nh÷ sau: Vîi n = 8 th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.3) t÷ìng ÷ìng vîi F8 = F6 + 6F3 + F2 + F0 . ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng v¼ F8 = 21, F6 = 8, F3 = 2, F2 = 1, F0 = 0. Gi£ sû ¯ng thùc óng vîi måi sè tü nhi¶n 8 ≤ k ≤ n. Ta chùng minh (1.3) óng vîi k = n + 1. Theo ành ngh¾a d¢y Fibonacci v gi£ thi¸t quy
7 n¤p ta câ Fn+1 = Fn + Fn−1 = (Fn−2 + 6Fn−5 + Fn−6 + Fn−8 ) + F(n−1)−2 + 6F(n−1)−5 + F(n−1)−6 + F(n−1)−8 = (Fn−2 + Fn−3 ) + 6 (Fn−5 + Fn−6 ) + (Fn−6 + Fn−7 ) + (Fn−8 + Fn−9 ) = Fn−1 + 6Fn−4 + Fn−5 + Fn−7 . V¼ vªy ta câ Fn+1 = F(n+1)−2 + 6F(n+1)−5 + F(n+1)−6 + F(n+1)−8 . 1.3 B i to¡n 804 Nëi dung cõa b i to¡n 804 l : H¢y t¼m t§t c£ c¡c sè nguy¶n a, b, c v d (vîi 1 < a < b < c < d) sao cho çng nh§t thùc sau ¥y l óng vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n Fn = Fn−a + 9342Fn−b + Fn−c + Fn−d . (1.4) Ngay sau â, n«m 1997, L.A.G. Dersel ¢ ÷a ra líi gi£i cõa b i to¡n 804 trong sè 35.1 (1997) cõa t¤p ch½ The Fibonacci Quarterly. Líi gi£i cö thº nh÷ sau. Tø nhªn x²t 9342 = 9349 − 7 = L19 − L4 , ð ¥y Lk l sè Lucas thù k. Sû döng c¡c çng nh§t thùc giúa c¡c sè Fibonacci v sè Lucas ta câ Fm+19 − Fm−19 = Fm L19 , Fm+4 + Fm−4 = Fm L4 . Trø v¸ vîi v¸ cõa 2 ¯ng thùc tr¶n ta nhªn ÷ñc Fm+19 − Fm−19 − Fm+4 − Fm−4 = Fm (L19 − L4 ) . °t n = m + 19, ta nhªn ÷ñc ¯ng thùc sau Fn = Fn−15 + 9342Fn−19 + Fn−23 + Fn−38 . Nh÷ vªy ta câ c¡c sè tr¶n c¦n t¼m l : a = 15, b = 19, c = 23, d = 38. Bèn sè tr¶n ch½nh l mët líi gi£i cõa b i to¡n 804.
8 Nhªn x²t 1.3.1. (i) Trong thüc t¸, vi»c gi£i c¡c b i to¡n 779 v 804, ch½nh l vi»c t¼m c¡c sè Fibonacci thäa m¢n c¡c çng thùc ¢ n¶u, hay nâi c¡ch kh¡c ch½nh l vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh vîi c¡c nghi»m l c¡c sè Fibonacci. (ii) Rã r ng ta câ thº thay êi h» sè cõa h¤ng tû thù 2 cõa v¸ ph£i c¡c çng nh§t thùc tr¶n v ta s³ nhªn l¤i ÷ñc mët b i to¡n mîi vîi c¡c líi gi£i kh¡c nhau. V½ dö 1.3.2. Zeitlin ¢ t¼m ra a = 2, b = 20, c = 40, d = 1 l líi gi£i cõa ph÷ìng tr¼nh Fn = Fn−2 + 9349Fn−20 + Fn−40 + Fn−41 Trong ch÷ìng sau (nëi döng ch½nh cõa luªn v«n) chóng ta s³ nghi¶n cùu c¡ch gi£i ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh vîi c¡c bë nghi»m l c¡c sè Fibonacci.
9 Ch÷ìng 2 C¡c ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh vîi c¡c sè Fibonacci 2.1 Giîi thi»u b i to¡n têng qu¡t, c¡c kh¡i ni»m T÷ìng tü nh÷ B i to¡n 779 v 804 ta x²t b i to¡n têng qu¡t sau. B i to¡n. Cho m l mët sè nguy¶n thäa m¢n m ≥ 3. T¼m t§t c£ c¡c bë sè nguy¶n {c 6= 0, a(1), ...a(m)} thäa m¢n i·u ki»n 0 < a(1) < a(2) < ... < a(m) sao cho vîi måi sè n > 0 cho tr÷îc ta câ Fn = Fn−a(1) + cFn−a(2) + Fn−a(3) + Fn−a(4) + ... + Fn−a(m) . (2.1) ành ngh¾a 2.1.1. Ph÷ìng tr¼nh (2.1) ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh têng qu¡t vîi c¡c sè Fibonacci câ ë d i m. Trong ph÷ìng tr¼nh (2.1) ÷ñc gåi b¬ng c¡ch thay n = a(2) = b v °t x(1) = b − a(1), x(i) = a(i) − b, i = 3, 4, ..., m. Khi â tø ph÷ìng tr¼nh (2.1) ta câ ph÷ìng tr¼nh sau Fb = Fx(1) + F−x(3) + F−x(4) + ... + F−x(m) , (2.2) trong â 0 < x(1) < b; 0 < x(3) < x(4) < ... < x(m). (2.3) ành ngh¾a 2.1.2. Ph÷ìng tr¼nh (2.2) ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh rót gån cõa (2.1).
10 ành ngh¾a 2.1.3. Mët nghi»m b, x(1), x(3), x(4), . . . , x(m) cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) ÷ñc gåi l 1 − tham sè n¸u b + 2j, x(1) + 2j, x(3) + 2j, x(4) + 2j, . . . , x(m) + 2j công l nghi»m cõa (2.2). Mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) ÷ñc gåi l nghi»m ìn n¸u nâ khæng l 1 − tham sè. Nhªn x²t: Nh÷ vªy, tªp t§t c£ c¡c nghi»m 1 − tham sè l mët lîp væ h¤n c¡c nghi»m, m chóng câ kho£ng c¡ch ·u nhau giúa c¡c ch¿ sè. V¼ vªy, t§t c£ c¡c ch¿ sè cõa c¡c nghi»m 1 − tham sè câ thº biºu di¹n nh÷ mët h m tuy¸n t½nh cõa mët tham sè duy nh§t. V¼ vªy, n¸u nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) l 1 − tham sè, th¼ kho£ng c¡ch giúa c¡c ch¿ sè l r§t quan trång. ành ngh¾a 2.1.4. èi vîi nghi»m 1−tham sè b, x(1), x(3), x(4), . . . , x(m) cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) ta sû döng y − k½ hi»u ("y − notation") thay cho bë (m − 1) sau ¥y: hy(1), y(3), y(4), · · · , y(m)i, trong â y(i) ÷ñc x¡c ành bði y(i) = |b − x(i)| . vîi i = 1, 3, 4, . . . , m. V½ dö 2.1.5. a) èi vîi çng nh§t thùc Fb = Fb−1 + Fb−2 ta câ y − k½ hi»u l h1, 2i V¼ y(1) = · · · = 1 y(2) = · · · = 2. b) èi vîi çng nh§t thùc Fb = Fb−2 + Fb−1 th¼ y − k½ hi»u l h2, 1i ành ngh¾a 2.1.6. Hai nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) thäa m¢n i·u ki»n (2.3) ÷ñc gåi l hai nghi»m nh÷ nhau n¸u ë d i v y − k½ hi»u cõa chóng l b¬ng nhau. Rã r ng quan h» hai nghi»m nh÷ nhau trong lîp c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) ÷ñc ành ngh¾a nh÷ tr¶n l mët quan h» t÷ìng ÷ìng.
11 V½ dö 2.1.7. èi vîi çng nh§t thùc Fb = Fb−1 + Fb−2 , ta câ y(1) = |b − x(1)| = |b − (b − 1)| = 1, y(3) = |b − x(3)| = |b − (b − 2)| = 2. ành ngh¾a 2.1.8. Ta nâi sè Fibonacci Fz l lîn, n¸u z > 2. Ta nâi mët çng nh§t thùc l lîn n¸u m c¡c v¸ cõa nâ l mët tê hñp tuy¸n t½nh cõa c¡c sè Fibonacci câ t§t c£ c¡c ch¿ sè ·u lîn hìn 2. Mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) ÷ñc gåi l lîn n¸u b > 2 v x(i) > 2 vîi måi i = 1, 3, 4, . . . , m. ành ngh¾a 2.1.9. Ta nâi mët çng nh§t thùc câ d¤ng Pj∈J Fj = Fb l ph¥n t½ch ÷ñc n¸u têng cõa mët tªp con kh¡c réng thüc sü n o â c¡c h¤ng tû cõa v¸ ph£i b¬ng 0. N¸u çng nh§t thùc Fj = Fb khæng ph¥n P j∈J t½ch ÷ñc th¼ ta nâi çng nh§t thùc â l nguy¶n tè. V½ dö 2.1.10. a) Ph÷ìng tr¼nh Fb = Fx(1) + F−x(3) + F−x(4) câ mët nghi»m l 0 < x(1) = x(3) v 0 < x(4) = b (vîi x(3) < x(4)), ngh¾a l Fb = Fx(1) + F−x(1) + F−b vîi b l´ v x(1) ch®n. ¥y l nghi»m ph¥n t½ch ÷ñc cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho v¼ ta câ Fx(1) + F−x(3) = 0. b) Ph÷ìng tr¼nh Fb = Fx(1) + F−x(3) câ nghi»m x(1) = b − 1, x(3) = b − 2, vîi b ≥ 3, b l´. V¼ khi b l´ ta câ (b − 2) l l´, do â F−(b−2) = Fb−2 . V¼ vªy Fb = Fb−1 + F−(b−2) l nghi»m nguy¶n tè cõa ph÷ìng tr¼nh tr¶n. èi vîi çng nh§t thùc ph¥n t½ch ÷ñc, ta câ thº biºu di¹n v¸ ph£i cõa nâ nh÷ l têng cõa c¡c nh¥n tè (" factor"). ành ngh¾a 2.1.11. a) Ta hiºu mët nh¥n P tè ("factor") cõa mët çng nh§t thùc ph¥n t½ch ÷ñc l mët têng câ d¤ng j∈J Fj thäa m¢n: ho°c l Fj = 0, ho°c Fj = Fb , P P j∈J j∈J
12 trong â J l tªp con thüc sü cõa tªp c¡c ch¿ sè: {x(1), x(3), x(4), · · · , x(m)}. b) Sè l÷ñng c¡c nh¥n tè cõa mët çng nh§t thùc ph¥n t½ch ÷ñc l sè lîn nh§t cõa c¡c tªp con kh¡c réng, khæng giao nhau cõa c¡c ch¿ sè trong çng nh§t thùc â, sao cho èi vîi méi tªp con J nh÷ vªy, ta câ P j∈J Fj l mët nh¥n tè cõa çng nh§t thùc ¢ cho. c) ë d i cõa mët nh¥n tè l sè h¤ng tû câ trong nh¥n tè â. V½ dö 2.1.12. a) Vîi m = 6 ta câ çng nh§t thùc Fb = Fd + F−1 + F−2 + F−d + F−b vîi d ch®n, b l´ v 2 < d < b l mët nghi»m cõa (2.2), v çng nh§t thùc tr¶n câ 3 nh¥n tè v v¼ vªy nâ l ph¥n t½ch ÷ñc. C¡c nh¥n tè â l : Fd + F−d = 0. V¼ d l ch®n, nh¥n tè n y câ ë d i l 2. T÷ìng tü ta câ 2 nh¥n tè cán l¤i công câ ë d i l 2 F−1 + F−2 = 0 Fb = F−b v¼ b l l´. b) Vîi m = 7 ta câ çng nh§t thùc Fb = Fd + F−1 + F−3 + F−4 + F−d + F−(b+1) + F−(b+2) vîi b l´, d ch®n v d < 4 < b + 1. ¥y l çng nh§t thùc ph¥n t½ch ÷ñc v¼ nâ câ 3 nh¥n tè â l Fd + F−d = 0, câ ë d i 2. F−1 + F−3 + F−4 = 0, câ ë d i 3. V¼ b l´ n¶n F−(b+2) = Fb+2 , F−(b+1) = −Fb+1 n¶n ta câ nh¥n tè: Fb = F−(b+1) + F−(b+2) câ ë d i 3. ành ngh¾a 2.1.13. Mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) ÷ñc gåi l ch®n (ho°c l´) n¸u b t÷ìng ùng l ch®n (ho°c l´). ành ngh¾a 2.1.14. Mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) ÷ñc gåi l nguy¶n tè n¸u çng nh§t thùc Fb = Fx(1) + F−x(3) + F−x(4) + ... + F−x(m) l khæng ph¥n t½ch ÷ñc, ngh¾a l khæng câ mët tªp con J thüc sü n o cõa tªp {b, x(1), −x(3), . . . , −x(m)} sao cho P j∈J Fj = 0.
13 2.2 Tr÷íng hñp m = 3 v m = 4 Möc ½ch cõa ph¦n n y l t¼m líi gi£i cho ph÷ìng tr¼nh (2.2) trong tr÷íng hñp m = 3 v m = 4. Vîi m = 3, ph÷ìng tr¼nh (2.2) câ d¤ng Fb = Fx(1) + F−x(3) , 0 < x(1) < b, 0 < x(3). Tr÷îc ti¶n ta c¦n bê · sau. Bê · 2.2.1. N¸u {b, x(1), x(3)} l mët nghi»m lîn cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) vîi m = 3 th¼ x(1) = b − 1, x(3) = b − 2, b l´, b ≥ 5 ho°c x(1) = b − 2, x(3) = b − 1, b ch®n, b ≥ 5. Chùng minh. Theo i·u ki»n cõa x(1) ta luæn câ 0 < x(1) < b. Do â ta x²t c¡c tr÷íng hñp sau. Tr÷íng hñp 1: x(1) = b − 1. V¼ {b, x(1), x(3)} l mët nghi»m lîn n¶n b, x(1), x(3) > 2. Khi â F−x(3) = Fb − Fx(1) = Fb − Fb−1 = Fb−2 > 0. Do â x(3) l sè l´ v x(3) = b − 2 ≥ 3 hay b ≥ 5. Tr÷íng hñp 2: x(1) = b − 2. Khi â F−x(3) = Fb − Fx(1) = Fb−1 > 0. T÷ìng tü ta câ x(3) l sè l´ v x(3) = b − 1 n¶n b ch®n. M°t kh¡c x(1) = b − 2 > 2 n¶n b ≥ 5. Tr÷íng hñp 3: x(1) ≤ b − 3. Khi â n¸u F−x(3) ≤ Fb−1 th¼ ta câ Fx(1) + F−x(3) ≤ Fb−3 + Fb−1 < Fb , i·u n y l m¥u thu¨n. N¸u F−x(3) ≥ Fb do x(1) > 0 ta suy ra Fx(1) + F−x(3) > Fb , i·u n y l m¥u thu¨n. Vªy khæng x£y ra tr÷íng hñp x(1) ≤ b − 3. Do â ph÷ìng tr¼nh d¤ng Fb = Fx(1) + F−x(3) , 0 < x(1) < b, 0 < x(3) ch¿ câ hai hå nghi»m 1 − tham sè l Fb = Fb−1 + F−(b−2) vîi b l´, b ≥ 5 v Fb = Fb−2 + F−(b−1) vîi b ch®n, b ≥ 6. ành lþ 2.2.2. Khi m = 3, ph÷ìng tr¼nh (2.2) ch¿ câ c¡c nghi»m l (i) x(1) = b − 1, x(3) = b − 2, b ≥ 3 v b l sè l´. (ii) x(1) = b − 2, x(3) = b − 1, b ≥ 4 v b l sè ch®n. (iii) b = 3, x(1) = 1, x(3) = 1. (iv) b = 4, x(1) = 1, x(3) = 3. (v) b = 4, x(1) = 3, x(3) = 1.
14 Chùng minh. Theo Bê · 2.2.1, n¸u nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) l lîn v b ≥ 5 th¼ nghi»m â l d¤ng (i) ho°c (ii). Tr÷íng hñp cán l¤i, nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) khæng lîn th¼ mët trong ba gi¡ trà b, x(1), x(3) ph£i b¬ng 1 ho°c 2. Hìn núa, tø nhªn x²t ph÷ìng tr¼nh Fz − 1 = Fy l khæng gi£i ÷ñc èi vîi y n¸u z ≥ 5. V¼ vªy, ta câ thº kiºm tra t§t c£ c¡c iºm 3 3 tåa ë nguy¶n trong khèi lªp ph÷ìng [1, 4] ⊂ R3 . Ph÷ìng tr¼nh (2.2) ch¿ câ 3 nghi»m d¤ng (iii) ho°c (iv) v (v). V¼ vªy c¡c nghi»m khæng lîn cõa (2.2) l F3 = F1 + F−1 (x(3) = −1) , F4 = F1 + F−3 (x(3) = 3) , F4 = F3 + F−1 (x(3) = 1). Ta câ i·u ph£i chùng minh. K¸t qu£ sau l h» qu£ trüc ti¸p cõa ành lþ 2.2.2. H» qu£ 2.2.3. T§t c£ c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.1) khi m = 3 ·u thuëc mët trong c¡c d¤ng sau. (i) Fn = Fn−1 + Lb−2Fn−b + Fn−(2b−2), b ≥ 3 v b l´. (ii)Fn = Fn−2 + Lb−1Fn−b + Fn−(2b−1), b ≥ 4 v b ch®n. (iii) Fn = Fn−1 + 2Fn−4 + Fn−5. (iv) Fn = Fn−2 + 2Fn−3 + Fn−4. (v) Fn = Fn−3 + 5Fn−4 + Fn−7. Chó þ r¬ng c¡c nghi»m khæng lîn cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) trong (iii), (iv) v (v) l nghi»m ìn trong khi nghi»m lîn cõa ph÷ìng tr¼nh (2.1) l 1 − tham sè. Ti¸p theo ta x²t tr÷íng hñp m = 4. Khi â ph÷ìng tr¼nh (2.2) câ d¤ng Fb = Fx(1) + F−x(3) + F−x(4) , trong â b > x(1) > 0 v 0 < x(3) < x(4). T÷ìng tü nh÷ trong tr÷íng hñp m = 3 ta câ ành lþ sau. ành lþ 2.2.4. Khi m = 4 th¼ b, x(1), x(3), x(4) l mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) n¸u nâ l mët trong 10 nghi»m kh¡c nhau ÷ñc tr¼nh b y trong b£ng 2.1, 2.2 v 2.3 d÷îi ¥y.
15 Hai nhâm gièng nhau cõa c¡c nghi»m nguy¶n tè 1− tham sè cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) vîi m = 4 ÷ñc tr¼nh b y trong b£ng 2.1 d÷îi ¥y. y-k½ hi»u Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2.2) i·u ki»n cõa b b, x(1), x(3), x(4) < 2, 0, 1 > b, b − 2, b, b + 1Fb = Fb−2 + F−b + F−(b+1) b > 3, b ch®n < 4, 3, 1 > Fb = Fb−4 + F−(b−3) + F−(b+1) b > 5, b ch®n b, b − 4, b − 3, b − 1 B£ng 2.1: Hai nhâm gièng nhau cõa nghi»m nguy¶n tè cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) khi m = 4. b, x(1), x(3), x(4) Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2.2) 4, 3, 2, 3 F4 = F3 + F−2 + F−3 5, 3, 1, 3 F5 = F3 + F−1 + F−3 4, 1, 4, 5 F4 = F1 + F−4 + F−5 6, 3, 1, 5 F6 = F3 + F−1 + F−5 6, 3, 1, 5 F6 = F1 + F−3 + F−5 6, 5, 3, 1 F6 = F5 + F−1 + F−3 B£ng 2.2: S¡u nghi»m ìn cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) khi m = 4. S¡u nghi»m ìn ÷ñc tr¼nh b y trong b£ng 2.2. Trong 6 nghi»m n y th¼ nghi»m b = 4, x(1) = 3, x(3) = 2, x(4) = 3 l nghi»m ph¥n t½ch ÷ñc, 5 nghi»m cán l¤i ·u l c¡c nghi»m nguy¶n tè. Khi m = 4, hai hå nghi»m ph¥n t½ch ÷ñc cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) ÷ñc cho trong b£ng 2.3. Hå nghi»m trong h ng 1 l nghi»m 1 − tham sè, ph¥n t½ch ÷ñc v¼ Fx(1) + F−x(1) = 0. Vîi x(1) l ch®n. Hå nghi»m trong h ng 2 l nghi»m ìn v ph¥n t½ch ÷ñc v¼ F1 + F−2 = 0. b, x(1), x(3), x(4) Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2.1.2) Giîi h¤n tham sè b, x(1), x(1), b Fb = Fx(1) + F−x(1) + F−b b l´; x(1) ch®n x(1) < b b, 1, 2, b Fb = F1 + F−2 + Fb b l´; b > 2 B£ng 2.3: Hai nghi»m nh¥n tè cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) khi m = 4.
16 Nhªn x²t 2.2.5. M÷íi nhâm nghi»m ríi nhau cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) khi m = 4 ÷ñc tr¼nh b y ð tr¶n, °t cho ta c¥u häi v· vi»c x¡c ành mªt ë cõa c¡c nghi»m. Ta câ thº ti¸n h nh vi»c â nh÷ sau: Méi nghi»m cõa (2.2) thäa m¢n (2.3) l mët bë bèn. Ta câ thº chån mët sè u khæng êi v ¸m t§t c£ c¡c bë 4 sè nguy¶n 4 n¬m trong khèi si¶u lªp ph÷ìng [1, u] . Kiºm tra xem nhúng bë bèn n o l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) v thäa m¢n (2.3). Trong b£ng bèn d÷îi ¥y, ta l§y u = 40 trong h¼nh si¶u lªp ph÷ìng [1, 40]4 câ 131 nghi»m cõa (2.2), trong â câ s¡u nghi»m ìn cö thº ÷ñc trong b£ng 2.2, khi u t«ng ta công ch¿ câ 6 nghi»m ìn cö thº â, cán l¤i t§t c£ c¡c nghi»m ·u n¬m trong 4 hå nghi»m cõa b£ng 2.1 v b£ng 2.3. Trong h¼nh si¶u lªp ph÷ìng câ 125 nghi»m cõa 4 hå nghi»m n y, chi¸m 95%. Mªt ë c¡c nghi»m cõa 4 hå nghi»m â ÷ñc x¡c ành trong b£ng 2.4 d÷îi ¥y. b, x(1), x(3), x(4) Thay v o ph÷ìng tr¼nh (2.2) Mªt ë b, x(1), x(1), b Fb = Fx(1) + F−x(1) + F−b 69% b, 1, 2, b Fb = F1 + F−2 + F−b 14% b, b − 2, b, b + 1 Fb = Fb−2 + F−b + F−(b+1) 6% b, b − 4, b − 3, b − 1 Fb = Fb−4 + F−(b−3) + F−(b−1) 6% B£ng 2.4: Mªt ë cõa c¡c hå nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) khi m = 4, trong 4 tªp sè trong h¼nh si¶u lªp ph÷ìng[1, 40]4. Khi u t«ng th¼ mªt ë c¡c nghi»m s³ thay êi, t¡c gi£ Stephens Hall dü o¡n l nâ s³ ti¸n ¸n mët giîi h¤n n o â, v câ nhªn x²t r¬ng h¦u h¸t c¡c nghi»m ÷ñc cho trong b£ng 2.4 ·u khæng ph£i l nghi»m nguy¶n tè. 2.3 Tr÷íng hñp têng qu¡t Möc ½ch ch½nh cõa ph¦n n y l tr¼nh b y líi gi£i trong tr÷íng hñp têng qu¡t. Tr÷îc khi ph¡t biºu k¸t qu£ ch½nh ta c¦n mët sè quy ÷îc sau. Ta quy ÷îc k½ hi»u o, o0 , o00 t÷ìng ùng l c¡c sè nguy¶n d÷ìng, l´ tòy þ. N¸u J l tªp con c¡c sè nguy¶n th¼ a ≤ J ≤ b câ ngh¾a l a ≤ j ≤ b vîi måi j ∈ J . T÷ìng tü J l ch®n (l´) ngh¾a l t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa tªp hñp J l ch®n (l´). Khi â k¸t qu£ sau l ành lþ ch½nh cõa ch÷ìng n y.
17 ành lþ 2.3.1. (ành l½ ng¨u nhi¶n) Gi£ sû {b, x(1), x(3), x(4), . . . , x(m)} l mët nghi»m nguy¶n tè lîn cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) vîi m ≥ 3. Khi â nghi»m n y l 1 − tham sè. Hìn núa n¸u m = 3 th¼ nghi»m câ d¤ng (i) v (ii) trong ành l½ 2.2.2, n¸u m > 3, b l sè ch®n th¼ nghi»m n y thuëc mët trong ch½n d¤ng nh÷ sau. (1) Fb = Fb−o−3 + F−(b−o−2) + F−(b−o) + ... + F−(b−1) . (2) Fb = Fb−2 + F−b + F−(b−1) . (3) Fb = Fb−2 + F−b + F−(b+2) + F−(b+4) + ... + F−(b+o00 +1) + F−(b+o00 +2) . (4) Fb = Fb−0−3 + F−(b−0−1) + F−(b−0) + ... + F−(b−1) + F−b + F−(b+1) . (5) Fb = Fb−0−3 + F−(b−0−1) + F−(b−0) + ... + F−(b−1) + F−b + F−(b+2) + F−(b+4) + ... + F−(b+o00 +1) + F−(b+o00 +2) . (6) Fb = Fb−o−3 + F−(b−o−2) + F−(b−o) + ... + F−(b−3) + F−b + F−(b+1) . (7) Fb = Fb−o−3 + F−(b−o−2) + F−(b−o) + ... + F−(b−3) + F−b + F−(b+2) + F−(b+4) + ... + F−(b+o00 +1) + F−(b+o00 +2) . (8) Fb = Fb−o−4−o0 +F−(b−o−3−o0 ) +F−(b−o−1−o0 ) +...+F(b−o−4) +F−(b−o−1) + F−(b−o) + ... + F−(b−1) + F−b + F−(b+1) . (9) Fb = Fb−o−4−o0 + F−(b−o−3−o0 ) + F−(b−o−1−o0 ) + ... + F−(b−o−4) + F−(b−o−1) + F−(b−o) + ... + F−(b−1) + F−b + F−(b+2) + F−(b+4) + ... + F−(b+o00 +1) + F−(b+o00 +2) . Ng÷ñc l¤i måi sü lüa chån sè nguy¶n d÷ìng b l lîn, ch®n v måi lüa chån o, o0 v o00 sao cho t§t c£ c¡c ch¿ sè trong 9 d¤ng ð tr¶n ·u lîn th¼ ta nhªn ÷ñc nghi»m 1 − tham sè, lîn, ch®n, nguy¶n tè cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2) vîi m > 3. V½ dö sau ¥y l mët minh håa cho c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.2). V½ dö 2.3.2. C¡c nghi»m sau ¥y cho ph÷ìng tr¼nh (2.2), vîi c¡c gi¡ trà kh¡c nhau cõa m minh håa bði 9 d¤ng sau: (1) Fb = Fb−10 + F−(b−9) + F−(b−7) + F−(b−5) + F−(b−3) + F−(b−1) . (2) Fb = Fb−2 + F−b + F−(b+1) . (3) Fb = Fb−2 + F−b + F−(b+2) + F−(b+4) + F−(b+6) + F−(b+7) . (4) Fb = Fb−4 + F−(b−2) + F−(b−1) + F−b + F−(b+1) . (5) Fb = Fb−4 + F−(b−2) + F−(b−1) + F−b + F−(b+2) + F−(b+3) . (6) Fb = Fb−8 + F−(b−7) + F−(b−5) + F−(b−3) + F−b + F−(b+1) . (7) Fb = Fb−6 + F−(b−5) + F−(b−3) + F−b + F−(b+2) + F−(b+3) .
18 (8) Fb = Fb−6 + F−(b−5) + F−(b−2) + F−(b−1) + F−b + F−(b+1) . (9) Fb = Fb−8 +F−(b−7) +F−(b−5) +F−(b−2) +F−(b−1) +F−b +F−(b+2) +F−(b+3) . Tr÷îc khi chùng minh ành lþ ng¨u nhi¶n ta câ nhªn x²t v· 9 d¤ng nghi»m trong ph¡t biºu cõa ành lþ. Nhªn x²t 2.3.3. Trong 9 d¤ng ð tr¶n, duy nh§t d¤ng 1 câ x(i) < b vîi måi i, t§t c£ c¡c d¤ng cán l¤i ·u câ x(i) ≥ b vîi i n o â. Trong qu¡ tr¼nh chùng minh ành lþ ng¨u nhi¶n, chóng ta quy ÷îc s³ sû döng mët sè k½ hi»u sau ¥y: - N¸u têng Fx + Fy + · · · + Fz câ trong ph÷ìng tr¼nh th¼ ta hiºu têng â b¬ng ho°c Fx , ho°c b¬ng Fx + Fx+d + Fx+2d + · · · + Fx+jd , vîi y = x + d, z = x + jd, d 6= x vîi j l mët sè nguy¶n d÷ìng kh¡c khæng n o â. - Mët têng câ d¤ng Fx + Fy + · · · + Fz + Fu ÷ñc hiºu l (Fx + Fy + · · · + Fz ) + Fu . - Mët têng câ d¤ng Fx + Fy + · · · + Fz + Fy + Fy + · · · + Fw ÷ñc hiºu l (F2 + Fy + · · · + Fz ) + (Fy + Fy + · · · + Fw ) . Bê · 2.3.4. Vîi sè nguy¶n d÷ìng z tòy þ ta câ: a) Fz + Fz+1 + Fz+3 + Fz+5 + · · · + Fz+o = Fz+o+1. b) Fz − Fz−1 − Fz−3 − Fz−5 − · · · − Fz−o = Fz−o−1. trong â o l 1 sè nguy¶n d÷ìng l´ b§t k¼. Chùng minh. Biºu di¹n o = 2k + 1. Ta s³ chùng minh ph¦n a) bê · tr¶n b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p theo k . + Vîi k = 0 suy ra o = 1, ta câ Fz + Fz+o = Fz + Fz+1 = Fz+2 = Fz+o+1 . Suy ra bê · óng vîi k = 0. + Gi£ sû bê · l óng vîi sè nguy¶n d÷ìng k , ngh¾a l ta câ Fz + Fz+1 + Fz+3 + · · · + Fz+2k+1 = Fz+(2k+1)+1 . X²t têng: