BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Phan Lê Thanh Quang
XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TOR
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Phan Lê Thanh Quang
XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TOR
Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 8460104
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN HUYÊN
Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng chúng tôi, nội dung được nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác
HỌC VIÊN
PHAN LÊ THANH QUANG
1
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ...................................................................................................................... 1
LỜI NÓI ĐẦU ............................................................................................................................ 3
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................................................................................... 5
§1. PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU ................................................................................................. 5
§2. HÀM TỬ TENXO .......................................................................................................... 14
§3. PHÉP GIẢI XẠ ẢNH VÀ HÀM TỬ TOR .................................................................. 19
Chương 2: XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TỬ TOR ........................................................ 24
§1. MODUN ĐỐI NGẪU ..................................................................................................... 24
§2. XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TỬ TOR ................................................................. 31
§3. SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA XÂY DỰNG TRỰC TIẾP TOR VÀ XÂY DỰNG NHỜ PHÉP GIẢI XẠ ẢNH .......................................................................................................... 46
KẾT LUẬN .............................................................................................................................. 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................................... 56
2
LỜI NÓI ĐẦU
Đồng điều là công cụ dùng để đo mức độ không khớp của một dãy nửa khớp
Các hàm tử Hom và Tenxo là các hàm tử nửa khớp. Để đo mức độ không khớp của
các hàm tử này so với một hàm tử khớp, người ta xây dựng các hàm tử dẫn xuất tương
ứng là Tor (hàm tử xoắn ) và Ext (hàm tử mở rộng ). Các hàm tử này ngày nay đã trở
thành những công cụ trụ cột của nhiều lĩnh vực nghiên cứu trong Hình học, Topo,
Đại số, Lý thuyết số…
Qua quá trình nghiên cứu tại trường Đại học Sư Phạm TPHCM, tôi tiếp cận với
phương pháp xây dựng hàm tử Tor thông qua phép giải xạ ảnh. Câu hỏi đặt ra ở đây:
Ngoài cách xây dựng hàm tử Tor như đã nói trên, thì hàm tử Tor còn có thể xây dựng
bằng phương pháp nào khác không? Điều đó dẫn đến lý do khiến chúng tôi thực hiện
đề tài này.
Đề tài được thực hiện nhằm mục đích nghiên cứu cách xây dựng hàm tử Tor
trực tiếp. Sau quá trình xây dựng, chúng tôi sẽ chứng minh hàm tử Tor được xây
dựng trực tiếp và hàm tử Tor được xây dựng gián tiếp thông qua phép giải xạ ảnh là
tương đương đồng luân với nhau.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong
2 chương:
Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ bản về phức, đồng điều, hàm tử tenxo và
phép giải xạ ảnh. Qua đó, xây dựng hàm tử Tor thông qua phép giải xạ ảnh.
Chương 2: Xây dựng trực tiếp hàm tử Tor bằng các phân hoạch bộ ba, trình bày
một số tính chất và định lý liên quan. Cuối cùng, trong chương này, ta sẽ trình bày
định lý về sự tương đương giữa hai cách xây dựng.
3
Luận văn này được trình bày dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Trần Huyên,
người thầy đã hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận
văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Trần Huyên.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy cô là giảng viên
đã giảng dạy, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình nghiên cứu, đã đặt những nền móng
kiến thức vô cùng quý báu với tôi.
Tôi xin cảm ơn với Ban giám hiệu, các thầy cô công tác tại phòng sau đại học
trường đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt
quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
4
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1. PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU
1.1 Phức
Cho R là một vành giao hoán có đơn vị.
Định nghĩa 1.1.1:
Phức dưới (phức lùi) là một dãy các modun và đồng cấu modun được đánh
số lùi theo tập chỉ số các số nguyên có dạng:
(1)
thỏa , tức là .
Để ngắn gọn ta có thể bỏ chỉ số của các đồng cấu modun trong dãy (1) và viết
đơn giản:
và , tức là .
Định nghĩa 1.1.2:
Phức trên (phức tiến ) là một dãy các modun và đồng cấu modun được
đánh số tiến theo tập chỉ số các số nguyên có dạng:
(2)
thỏa , tức là .
Để ngắn gọn ta có thể bỏ chỉ số của các đồng cấu modun trong dãy (2) và viết
đơn giản
và , tức là .
5
Như vậy một phức các đồng cấu là một dãy nửa khớp được đánh số theo
tập số nguyên. Nếu phức có chiều tăng các chỉ số cùng chiều với chiều đồng cấu
thì ta gọi đó là phức tiến. Ngược lại, nếu phức có chiều tăng các chỉ số ngược
chiều với chiều các đồng cấu thì ta gọi đó là phức lùi.
Ta có thể chuyển phức tiến thành phức lùi và ngược lại bằng cách đặt lại
chỉ số .
Thật vậy, ta xét dãy phức tiến sau:
Bằng cách đặt và , khi đó ta được dãy phức lùi:
Trong luận văn này, chúng ta chỉ tập trung vào phức lùi. Vì thế, khi nói
phức hay phức ta ngầm hiểu đây là phức lùi.
1.2 Biến đổi dây chuyền
Cho hai phức và . Khi đó, ta có định nghĩa
Định nghĩa 1.2.1:
Một biến đổi dây chuyền là một họ các đồng cấu
thỏa mãn đẳng thức với mọi số nguyên . Điều kiện
đó đồng nghĩa với biểu đồ sau đây giao hoán:
Để đơn giản, chúng ta thường lược bỏ phần chỉ số. Tuy vậy, khi gặp mỗi hệ thức
đồng cấu, ta phải ngầm hiểu rằng đó là đồng cấu với chỉ số nào.
6
Mệnh đề 1.2.2:
Ta có một số tính chất sau:
Tích đồng cấu của 2 biến đổi dây chuyền cũng là một biến đổi dây chuyền.
Đồng cấu đồng nhất cũng là một biến đổi dây chuyền.
1.3 Phạm trù các phức
Với các phức và các biến đổi dây chuyền được định nghĩa như trên, ta định
nghĩa được phạm trù các phức như sau.
Định nghĩa :
Phạm trù các phức là phạm trù mà trong đó:
Vật là các phức.
Cấu xạ là các biến đổi dây chuyền.
Phép hợp thành: là phép hợp 2 đồng cấu.
1.4. Đồng điều
Cho phức , ta định nghĩa và
Định nghĩa:
Ta đặt
Khi đó, ta gọi là modun đồng điều chiều n của phức . Mỗi phần
tử trong là một lớp tương đương có dạng trong đó
và là một biến đổi dây Cho 2 phức
chuyền
Xét sơ đồ sau :
7
Theo định nghĩa của biến đổi dây chuyền thì biểu đồ trên giao hoán. Do
và . Vì thế, cảm sinh đồng cấu với đó,
mỗi :
Với mỗi phần tử , ảnh của chúng qua đồng cấu trên được xác
định như sau
Ta dễ dàng chứng minh được đồng cấu được cảm sinh bởi có các tính chất
sau:
Như vậy, là một hàm tử hiệp biến từ phạm trù các phức và các biến đổi
dây chuyền đến phạm trù các modun. Mỗi phức ứng với modun đồng điều
và mỗi biến đổi dây chuyền thì ứng với đồng cấu modun . Hàm
tử này ta gọi là hàm tử đồng điều.
1.5 Đồng luân dây chuyền
Bây giờ, ta xét 2 biến đổi dây chuyền .
8
Định nghĩa 1.5.1:
Họ các đồng cấu được gọi là đồng luân dây chuyền của
(ký hiệu: hay ) nếu nó thỏa điều kiện sau:
Thông thường, để đơn giản, người ta thường bỏ các chỉ số như sau:
Tuy nhiên, khi đọc vào hệ thức ta phải hiểu được nó ứng với đồng cấu nào trong
sơ đồ.
Mệnh đề 1.5.2:
Một số tính chất của đồng luân dây chuyền:
- Quan hệ đồng luân là một quan hệ tương đương (nghĩa là quan hệ đồng
luân có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu).
- Quan hệ đồng luân bảo toàn qua phép nhân ánh xạ (nghĩa là nếu
và , đồng thời thì khi đó
) .
- Quan hệ đồng luân bảo toàn hàm tử đồng điều (nghĩa là nếu thì
).
9
Định nghĩa 1.5.3:
Cho là ánh xạ dây chuyền. Khi đó, ta nói là tương đương
đồng luân nếu tồn tại ánh xạ dây chuyền sao cho
Mệnh đề 1.5.4:
Nếu là tương đương đồng luân thì là
đẳng cấu.
1.6 Dãy đồng điều khớp
Định nghĩa 1.6.1:
Dãy các modun và các đồng cấu modun được gọi là
khớp tại B nếu ảnh của đồng cấu vào bằng với hạt nhân của đồng cấu ra (tức là
).
Một dãy các modun được gọi là khớp nếu nó khớp tại mọi modun trong
dãy.
Bổ đề 1.6.2:
Cho dãy khớp ngắn các phức
Khi đó:
(3)
khớp tại .
Chứng minh:
Ta cần chứng minh
Ta có: . Suy ra
10
Như vậy chỉ cần chứng minh . Thật vậy, ta lấy suy
ra . Do và toàn cấu nên
. Từ đó suy ra
.
Do đó . Ta chứng minh . Ta có
. Vì đơn cấu nên .
Nên
Ta có:
nên (3) khớp tại Vây
Bổ đề 1.6.3:
Cho dãy khớp ngắn các phức
Ta định nghĩa
Khi đó, ta có dãy sau :
khớp tại
Chứng minh:
Ta cần chứng minh các điều sau:
là đồng cấu
Dãy (4) khớp tại
11
i/Ta lấy , ta có :
Nên tồn tại. Do đó tồn tại.
ii/Ta chứng minh lấy lớp được, tức là chứng minh
Ta có: . Vì đơn cấu nên
. Nên lấy lớp được.
iii/Ta chứng minh tồn tại duy nhất
Nếu có , ta chứng minh
Ta có :
Vì nên :
iv/ Hiễn nhiên là đồng cấu.
v/ Chứng minh dãy (3) khớp tại với mọi n
. Ta có: Lấy =0
Do đó . Ta cần chứng minh chiều ngược lại
Lấy . Nên
12
Đặt . Khi đó :
Từ đó suy ra nên
Vậy dãy (4) khớp tại với mọi n.
Định lý 1.6.4:
Dãy (4) trong bổ đề 1.6.3 là 1 dãy khớp dài.
Chứng minh:
Theo bổ đề 1.6.2, ta có dãy (4) đã khớp tại .
Theo bổ đề 1.6.3, ta có dãy (4) đã khớp tại .
Như vậy, ta chỉ cần chứng minh dãy (4) khớp tại với mọi n.
Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh
Lấy , ta có:
Do đó
Lấy , suy ra:
Đặt . Khi đó, lấy lớp được, tức là (Vì
)
Ta có . Suy ra
.
Vậy nên (4) khớp tại với mọi n. Từ đó dẫn đến (4)
là dãy khớp dài.
Ta gọi dãy (4) là dãy đồng điều khớp.
13
§2. HÀM TỬ TENXO
2.1 Hàm tử
Định nghĩa 2.1.1:
Hàm tử là một quy luật,tương ứng với mỗi vật trong phạm trù với
một vật trong phạm trù , và tương ứng mỗi cấu xạ trong phạm
trù với một cấu xạ trong phạm trù . Đồng thời, thỏa
mãn hai điều kiện sau:
HT1: Với mỗi vật trong phạm trù , ta có:
HT2: Với hai cấu xạ và , ta có
Hàm tử được định nghĩa như trên, ta gọi là hàm tử hiệp biến để phân
biệt với hàm tử phản biến ( hay còn gọi là phản hàm tử ) được định nghĩa như
dưới đây:
Định nghĩa 2.1.2:
Phản hàm tử là một quy luật,tương ứng với mỗi vật trong phạm trù
với một vật trong phạm trù , và tương ứng mỗi cấu xạ trong
phạm trù với một cấu xạ trong phạm trù . Đồng thời,
thỏa mãn hai điều kiện sau:
HT1: Với mỗi vật trong phạm trù , ta có:
HT2: Với hai cấu xạ và , ta có
2.2 Tích tenxo của 2 modun:
Cho là phải và Y là trái
Định nghĩa 2.2.1:
14
Tích tenxo của 2 modun là nhóm abel K sao cho tồn tại 1 ánh xạ song
tuyến tính thỏa mãn điều kiện sau: với mỗi ánh xạ song tuyến tính
thì luôn tồn tại duy nhất một đồng cấu và . Ta
ký hiệu tích tenxo của là .
Ánh xạ trong định nghĩa trên còn được gọi là ánh xạ tenxo
Như vậy theo định nghĩa, ta có biểu đồ sau đây giao hoán
Định lý 2.2.2:
Tích tenxo của 2 modun là luôn tồn tại và duy nhất (sai
khác 1 đẳng cấu ) .
Định lý 2.2.3:
Cho họ là họ các phải và họ là họ các
trái. Khi đó ta có đẳng cấu sau:
2.3 Tích tenxo của 2 đồng cấu:
Cho là một phải và là một
trái.
Theo định lý 2.2.2, tích tenxo luôn tồn tại. Vì thế tồn tại ánh
xạ tenxo và ánh xạ tenxo
Ta có sơ đồ sau:
15
Trong đó là ánh xạ song tuyến tính được xác định theo công thức sau:
Dễ thấy là ánh xạ song tuyến tính, vì thế theo tính chất phổ
dụng của ánh xạ tenxo thì tồn tại duy nhất 1 ánh xạ sao cho
. Ánh xạ được xây dựng như trên được gọi là tích tenxo của 2 đồng
cấu và . Ta ký hiệu
Định lý:
Một số tính chất của tích tenxo 2 đồng cấu.
i. Tích tenxo của 2 đồng cấu đồng nhất là 1 đồng cấu đồng nhất
ii. Nếu là các đồng cấu R- modun phải và
là các đồng cấu R- modun trái thì:
iii. Tích tenxo của 2 toàn cấu cũng là một toàn cấu
2.4 Hàm tử tenxo:
Cho G là R-modun phải, ta xây dựng hàm tử
như sau:
Đặt tương ứng mỗi mỗi R-modun trái X với nhóm abel .
16
Đặt tương ứng mỗi đồng cấu với đồng cấu nhóm
.
Với cách xây như vậy, và theo các tính chất của tích tenxo, ta có:
Với mỗi R-modun trái X, .
Với mỗi đồng cấu modun sao cho tích tồn tại thì
Như vậy, theo định nghĩa hàm tử, là hàm tử hiệp biến.
Tương tự cách xây dựng trên ta hoàn toàn có thể xây dựng được một hàm tử
với là một R- modun trái xác định trước.
Định lý 2.4.1:
Các hàm tử và là các hàm tử khớp về bên phải. Nghĩa
là, nếu là dãy khớp thì 2 dãy
cũng khớp.
Định lý 2.4.2:
Các hàm tử và bảo toàn tính khớp – chẻ đối với các dãy
khớp ngắn và chẻ.
17
Định nghĩa 2.4.3:
Modun dẹt phải G là một R-modun phải sao cho hàm tử là hàm
tử khớp. Nghĩa là, nếu dãy khớp thì dãy
cũng khớp.
Định nghĩa 2.4.4:
Modun dẹt trái C là một R-modun trái sao cho hàm tử là hàm tử
khớp. Nghĩa là, nếu dãy khớp thì dãy
cũng khớp.
Định lý 2.4.5:
Vành hệ tử R cũng có thể xem như là một modun trên chính nó. Hơn nữa,
modun R còn là một modun dẹt, nghĩa là R vừa là modun dẹt trái, vừa là modun
dẹt phải.
18
§3. PHÉP GIẢI XẠ ẢNH VÀ HÀM TỬ TOR
3.1 Phép giải xạ ảnh
Định nghĩa 3.1.1:
Modun P được gọi là modun xạ ảnh nếu với mỗi toàn cấu , thì
với mỗi đồng cấu luôn tồn tại một đồng cấu sao cho
Định lý 3.1.2:
Mọi modun tự do đều là modun xạ ảnh.
Định nghĩa 3.1.3:
Cho là một R-modun. Khi đó, phép giải xạ ảnh của là một dãy khớp
có dạng:
Trong đó, tất cả các modun đều là modun xạ ảnh .
Nếu tất cả các modun đều là modun tự do thì được gọi là phép giải
tự do.
Định lý 3.1.4:
Cho là một R-modun. Khi đó, luôn tồn tại phép giải tự do trên .
Chứng minh:
Với là R-modun, ta có với là một modun tự do
Như vậy, ta có dãy khớp
Tương tự, ta có với là một modun tự do
19
Vì thế ta tiếp tục có dãy khớp
Tương tự như trên ta có các dãy sau khớp:
Do đó ta có dãy sau:
Ta chứng minh dãy (*) là dãy khớp
Tại : Ta có . Vậy (*)
khớp tại .
Tại : Ta có Vậy (*) khớp tại .
Tại : Do là toàn cấu nên (*) khớp tại .
Như vậy, dãy (*) là phép giải tự do của .
Hệ quả:
Cho là modun, phép giải xạ ảnh trên luôn tồn tại.
Định lý 3.1.5:
Cho là 2 modun và là đồng cấu. Giả sử, là phép giải
xạ ảnh của và là phép giải xạ ảnh của . Khi đó, luôn tồn tại phép biến
đổi dây chuyền với .
20
Định lý 3.1.6:
Cho là 2 modun, là phép giải xạ ảnh của và là phép giải xạ
ảnh của . Nếu là 2 biến đổi dây chuyền thỏa thì
đồng luân với .
Định lý 3.1.7: Định lý so sánh
Cho modun và đồng cấu . Với và
là phép giải xạ ảnh của , thì khi đó, tồn tại một biến đổi dây
chuyền từ vào sao cho các hình vuông giao hoán. Các biến đổi dây
chuyền thỏa điều kiện trên thì tương đương đồng luân với nhau.
Hệ quả:
Hai phép giải xạ ảnh của cùng 1 modun X thì tương đương đồng luân.
3.2. Hàm tử Tor
Cho là 2 modun trên vành hệ tử . lần lượt là phép giải xạ ảnh
của .
Khi đó, ta có dãy nửa khớp sau:
trong đó, và
21
Mệnh đề 3.2.1:
Nếu là 2 phép giải xạ ảnh của modun thì
Định nghĩa 3.2.2:
Cho là hai modun. Ta định nghĩa:
trong đó là phép giải xạ ảnh trên . được gọi là tích xoắn của
và chiều thứ .
. Với thì ta có thể ghi thành
Với thì ta quy ước
Mệnh đề 3.2.3:
Một số tính chất cơ bản của Tor
i. Nếu xạ ảnh thì , với mọi .
ii. Nếu xạ ảnh thì , với mọi .
iii. Nếu là 2 modun trên vành chính thì .
iv. Nếu có phép giải xạ ảnh thỏa thì
.
Định lý 3.2.4:
Cho là một phải và dãy khớp ngắn
trong đó là xạ ảnh. Khi đó với mọi trái , ta có:
22
với và
Sau đây, ta sẽ xây dựng tích xoắn của các đồng cấu.
Cho là đồng cấu phải và là đồng cấu
trái. lần lượt là các phép giải xạ ảnh của . Khi đó, luôn
tồn tại phép biến đổi dây chuyền giữa và thỏa
Bây giờ, ta lấy tenxo biến đổi dây chuyền với đồng cấu , ta
có phép biến đổi dây chuyền
và vì thế cảm sinh ra đồng cấu
Đồng cấu trên không phụ thuộc vào biến đổi dây chuyền , chỉ phụ thuộc
vào các đồng cấu và . Ta gọi đồng cấu đó là tích xoắn chiều trên vành
hệ tử và kí hiệu là
Với , ta không cần ghi chỉ số
Với , .
Với các kết quả được nêu ở trên, ta nhận thấy là một hàm tử hiệp biến
theo 2 biến với .
Hàm tử được xây dựng như ở trên là hàm tử được xây dựng bởi
phép giải xạ ảnh. Ở chương sau, chúng ta sẽ xây dựng hàm tử trực tiếp bằng
các phân hoạch bộ ba. Đồng thời, chứng minh định lý quan trọng : “ Hàm tử
được xây dựng bởi hai phương pháp là tương đương đồng luân”.
23
Chương 2: XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TỬ TOR
§1. MODUN ĐỐI NGẪU
1.1 Modun đối ngẫu
Cho là một trái. Đặt
Nhóm ở trên là một nhóm cộng abel. Ta xác định phép nhân
ngoài như sau:
Với mọi phần phần tử và . Ta xác định là một
đồng cấu:
Với phép nhân ngoài được xác định như trên, trở thành một
phải. Thật vậy, ta kiểm tra 4 tiên đề modun:
M1: Với mọi phần tử ta có:
M2: Với mọi phần tử , mọi phần tử , ta có:
M3: Với và ta có:
24
M4: Với ta có:
Như vậy, là một R-modun phải.
Định nghĩa 1.1.1:
phải được nói đến ở trên là đối ngẫu của modun
và ta kí hiệu là .
Tương tự, ta cũng xây dựng được khái niệm modun đối ngẫu cho
phải .
Modun đối ngẫu của phải là một trái
.
Khi nhắc đến phạm trù, ta luôn quan tâm đến vật và cấu xạ. Nói riêng,
trong phạm trù modun, ta quan tâm đến các modun và các đồng cấu modun. Ở
trên, ta đã xây dựng khái niệm đối ngẫu của modun. Vậy câu hỏi đặt ra ở đây là
đồng cấu có khái niệm đối ngẫu hay không ?
Định nghĩa 1.1.2:
Cho và là hai trái và
Khi đó, đối ngẫu của đồng cấu ta kí hiệu là và được xác định như
sau:
1.2 Các mệnh đề và định lý của modun đối ngẫu:
25
Mệnh đề 1.2.1:
Cho là các trái. Khi đó,
Chứng minh:
Do là tổng trực tiếp của và nên ta có sơ đồ sau
và
Các đồng cấu trên thỏa:
và
và
Bây giờ ta lấy đối ngẫu các modun và các đồng cấu trên, nhờ tính chất của
hàm tử các đồng cấu sau khi lấy đối ngẫu cũng thỏa mãn các điều kiện trên.
Và vì thế .
Cho dãy khớp ngắn . Do hàm tử là hàm
tử phản biến và bảo toàn tính khớp trái, nên ta có dãy khớp sau:
Nói cách khác, nếu thì là đẳng cấu với modun con của
bao gồm tất cả các đồng cấu thỏa mãn điều kiện biến tất cả phần tử
thành phần tử . Khi đó ta gọi modun con này là cái linh hóa của và kí
hiệu là .
26
Như vậy , trong đó là đơn cấu.
Đối với mỗi trái , có một đồng cấu tự nhiên
Với mỗi phần tử , ta xác định đồng cấu như sau
với . Như vậy
Khi cố định thì là một ánh xạ tuyến tính của phần tử
Định lý 1.2.2:
Nếu L là trái xạ ảnh, hữu hạn sinh thì là phải,
hữu hạn sinh, xạ ảnh. Khi đó, đồng cấu tự nhiên là đẳng cấu.
Chứng minh
Cho là modun tự do hữu hạn sinh với cơ sở thì ta xác định
các phần tử với
Mỗi đồng cấu là duy nhất. Mỗi phần tử trong nhận
là cơ sở. Ta đặt . Khi đó:
Và do đó, tự do với cơ sở .Xét là ánh xạ chuyển cơ sở từ
thành cơ sở . Vì đây là ảnh xạ chuyển cơ sở nên
là đẳng cấu.
27
Nếu L là modun xạ ảnh, hữu hạn sinh thì khi đó tồn tại modun tự do hữu
hạn sinh sao cho với toàn cấu và đồng thời
Do tự do nên xạ ảnh. Từ đó suy ra cũng là modun xạ ảnh, hữu hạn
sinh. Ta có và , đẳng cấu này chuyển
vào nhờ .
là modun tự do, nên xạ ảnh. Do nên xạ ảnh, hữu
hạn sinh. Đồng cấu là đẳng cấu ( chứng minh ở trên ) nên do đó ta kết thúc
chứng minh.
Định nghĩa 1.2.3:
Cho và là các trái. Khi đó, ta có đồng cấu tự nhiên
Với mỗi phần tử và phần tử , ta xác định theo công thức
như sau với mọi phần tử .
Ta dễ dàng kiểm tra được là một đồng cấu từ đến .
Với và , ta có:
Và
Vậy là một đồng cấu từ đến .
28
Hơn thế nữa, đồng cấu này còn là song cộng tính và kết hợp trong với
và nhờ tính chất của hàm tử tenxo.
Mệnh đề 1.2.4:
Nếu là trái xạ ảnh hữu hạn sinh, thì là đẳng cấu tự nhiên:
Nếu và là các không gian vecto hữu hạn chiều, ta chọn và
. Khi đó, và theo mệnh đề trên thì cho ta đẳng cấu
Vì thế, ta có thể xác định được tích tenxo của các không
gian vecto bằng hàm tử và đối ngẫu. Ngoài ra, là không gian liên
hợp của không gian các ánh xạ song tuyến tính từ tích tới trường hệ tử.
Bây giờ, ta chứng minh mệnh đề 1.2.4.
Chứng minh:
Nếu là modun tự do với cơ sở . Lấy đối ngẫu ta được cơ
sở đối ngẫu . Mỗi phần tử trong đều được biểu diễn duy nhất
dưới dạng với các hằng . Mà là một đồng cấu
đi từ vào và với . Vì tự do, nên mọi ảnh của
là cơ sở. Như vậy là ánh xạ chuyển cơ sở nên đều nhận
là đẳng cấu.
Nếu là xạ ảnh hữu hạn sinh, ta chứng minh tương tự như định lý 1. Từ
đó ta có được kết quả cần chứng minh.
Ta kết thúc chứng minh mệnh đề 1.2.4 ở đây.
29
Định nghĩa 1.2.5:
Cho và là hai modun trên vành giao hoán. Khi đó, ta có một đồng
cấu tự nhiên xác định với mỗi đồng cấu như
sau:
Dễ dàng kiểm tra là một đồng cấu.
Mệnh đề 1.2.6:
Cho và là hai modun trên vành giao hoán . Trong đó, xạ ảnh và
hữu hạn sinh. Khi đó, tồn tại một đẳng cấu tự nhiên:
Chứng minh:
Do là modun xạ ảnh, hữu hạn sinh nên theo mệnh đề 1.2.4, ta có :
Như vậy chính là tích của các đẳng cấu nên cũng đẳng cấu. Vậy, ta kết thúc
chứng minh ở đây.
30
§2. XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM TỬ TOR
:
2.1. Bộ ba
Với là là trái. Ta lập một bộ ba mở
đầu bởi
và kết thúc bởi phải và , kí hiệu là trong đó:
là phức các phải xạ ảnh hữu hạn sinh có độ dài là
là một biến đổi dây chuyền từ phức vào phức tầm thường
thực chất chính là đồng cấu thỏa mãn .
là biến đổi dây chuyền từ ( ở đây là phức
liên hợp của , ) vào phức tầm thường .
thực chất là đồng cấu thỏa mãn
Tập tất cả các bộ ba mở đầu bởi và kết thúc bởi với
ảnh hữu hạn sinh có độ dài như trên, ta ký hiệu là là phức xạ hay để đơn giản
ta ký hiệu là
2.2 Quan hệ toàn đẳng trên tập các bộ ba
Với bộ ba và là một phức các phải xạ ảnh hữu hạn
sinh có độ dài là . Ta có mệnh đề :
Mệnh đề 2.2.1:
là biến đổi dây chuyền thì cũng là một biến đổi
Nếu dây chuyền.
Chứng minh:
Ta có, là biến đổi dây chuyền nên biểu đồ sau đây giao hoán.
31
Tức là ta có:
Đồng cấu được xác định theo công thức . Như vậy,
ta có đẳng thức
Đẳng thức trên chứng tỏ biểu đồ sau đây cũng giao hoán
Vì thế, cũng là một biến đổi dây chuyền.
Định nghĩa 2.2.2:
Cho 2 bộ ba và
Ta nói nếu tồn tại biến đổi dây chuyền sao
cho các biểu đồ sau đây giao hoán:
32
Do 2 biểu đồ trên giao hoán, nên ta có các đẳng thức sau:
Quan hệ của 2 bộ ba trên được viết dưới dạng đồng nhất thức sau:
Ta gọi nó là đồng nhất thức trượt.
Từ quan hệ
được nói ở trên, ta có thể mở rộng thành quan hệ toàn đẳng cho các bộ ba trong . Quan hệ toàn đẳng này là quan hệ tương đương bé nhất bảo toàn đồng nhất thức trượt. Hai bộ ba được gọi là toàn đẳng nếu một bộ ba suy được từ bộ ba còn lại sau khi ta thực hiện một số hữu hạn lần đồng nhất thức trượt. là các bộ ba trong Sau này, để đơn giản thay vì viết , ta viết với
Vì quan hệ toàn đẳng là quan hệ tương đương nên nó thực hiện sự phân thành một tập các lớp tương đương các bộ ba toàn đẳng với
lớp tập các bộ ba nhau.
Định nghĩa 2.2.3:
Tập thương trên ta ký hiệu là .
Để đơn giản ta có thể viết là . Các phần tử trong ta
ký hiệu là . Trong đó, là bộ ba đại diện của lớp. Sau này, để
đơn giản, ta có thể viết các phần tử này thành thay vì .
2.3 Tổng trực tiếp của hai phần tử của :
33
Định nghĩa 2.3.1:
Cho với . Khi đó,
Trong đó:
Do là các phức xạ ảnh hữu hạn sinh, nên cũng là phức xạ
ảnh hữu hạn sinh.
Do là các biến đổi dây chuyền nên
cũng là một biến đổi dây chuyền.
Do là các biến đổi dây chuyền nên
cũng là một biến đổi dây chuyền.
Như vậy, và được
gọi là tổng trực tiếp của và .
Mệnh đề 2.3.2:
Nếu toàn đẳng với và toàn đẳng với thì toàn đẳng với
trong
Chứng minh:
Ta sẽ chứng minh tổng trực tiếp bảo toàn đồng nhất thức trượt.
Do toàn đẳng với và toàn đẳng với nên ta có :
Trong đó, và là các biến đổi dây chuyền. Do đó,
cũng là một biến đổi dây chuyền.
Ta có:
34
Như vậy, tổng trực tiếp bảo toàn đồng nhất thức trượt nên mệnh đề trên đã
chứng minh xong.
2.4 Cấu trúc nhóm abel
Cho là các đồng cấu phải và
trái tương ứng. Khi đó, cảm sinh ra các ánh xạ được xác định như sau:
. Với các phần tử , ta có
. Với các phần tử , ta có
ta gọi là các ánh xạ cảm sinh từ các đồng cấu .
Các đồng cấu Với ta có:
bảo toàn đồng nhất thức trượt nên nó bảo toàn quan hệ
Như vậy, các ánh xạ toàn đẳng. Định nghĩa 2.4.1:
35
Cho là các đồng cấu phải và
trái tương ứng. Khi đó các ánh xạ:
Trong đó, với ta có:
là các ánh xạ cảm sinh từ
Ta gọi Định nghĩa 2.4.2:
Với 2 phần tử và thuộc . Ta xác
định một phép toán hai ngôi trên như sau:
Trong đó, là các đồng cấu tổng.
Để kiểm tra phép toán trên là phép toán hai ngôi trên , ta kiểm
tra xem có thuộc không?
Do là các biến đổi dây chuyền nên
cũng là các biến đổi dây chuyền. Hơn nữa, và
các đồng cấu tổng nên và là
cũng là một biến đổi dây chuyền.
Do là các phức xạ ảnh hữu hạn sinh có chiều dài là nên
cũng là phức xạ ảnh hữu hạn sinh chiều dài . Vì thế
36
Ở các phần trước ta đã chứng minh được bảo toàn đồng nhất thức
trượt và cũng bảo toàn đồng nhất thức trượt nên phép toán hai
ngôi ở trên cũng bảo toàn đồng nhất thức trượt. Và do đó, phép toán được định nghĩa ở trên là hợp lý.
Mệnh đề 2.4.3:
Phép toán hai ngôi trong định nghĩa trên có tính chất kết hợp.
Chứng minh
. Ta cần chứng minh Với
và . Khi đó, ta có: Giả sử
Từ đó, suy ra:
Do tổng trực tiếp có tính chất kết hợp nên
Bây giờ, ta chứng minh .
Lấy . Khi đó, ta có :
37
Do tính kết hợp trong modun phải nên ta có:
Từ đó, suy ra:
Như vậy,
Chứng minh tương tự, ta cũng có:
Vậy, ta đã chứng minh được nên phép toán hai
ngôi được định nghĩa ở trên có tính chất kết hợp.
Mệnh đề 2.4.4:
Phép toán hai ngôi trên có tính chất giao hoán.
Chứng minh:
Với , ta cần chứng minh
Giả sử, . Khi đó:
Xét các đồng cấu sau:
Khi đó, ta có là các biến đổi dây chuyền do các biểu đồ sau đây
giao hoán:
38
là các biến Như vậy,
đổi dây chuyền. Do đó, ta có:
Ta dể dàng kiểm tra được . Thật vậy, ta có:
Ta có:
Như vậy, ta đã chứng minh được phép toán hai ngôi này có tính chất giao
hoán.
Mệnh đề 2.4.5:
Phép toán hai ngôi này trong có phần tử và mọi phần tử trong
có phần tử đối.
39
Chứng minh:
Xét phần tử . Thành phần ở giữa chính là phức các
modun có chiều dài là . Ta có:
Như vậy là phần tử 0 trong .
Các bộ ba trong có một thành phần bằng 0 cũng là phần tử 0.
Thật vậy, ta xét biến đổi dây chuyền sau:
Trong đó, . Ta có:
Xét biến đổi dây chuyền :
Trong đó, . Ta có:
Như vậy, ta đã chứng minh được, phần tử là phần
tử 0 nếu có ít nhất một thành phần trong ba thành phần trên bằng 0.
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh mọi phần tử trong đều có phần tử
đối. Lấy . Xét phần tử ta có:
40
Phần tử này là phần tử đối của , ta ký hiệu là . Thật vậy:
Như vậy, ta đã chứng minh được trong có phần tử 0 và mọi
phần tử trong đều có phần tử đối.
Từ các mệnh đề trên, ta suy ra tập với phép toán hai ngôi như
đã định nghĩa là một nhóm abel. Như vậy, ta đã xây dựng được cấu trúc nhóm có tính chất . Hơn thế nữa, các phần tử trong abel cho tập
cộng tính theo cả và nghĩa là:
Chứng minh:
Ta chứng minh cộng tính theo .
Xét ánh xạ chéo . có đối ngẫu là
. Ta có :
Xét
Tương tự, ta cũng chứng minh được cộng tính theo .
41
Tiếp theo ta sẽ xây dựng cấu trúc modun cho Để thực hiện điều
này, trước hết ta cần xác định phép nhân ngoài thỏa các tiên đề của R-modun trái, phải.
2.5 Cấu trúc modun cho
Mệnh đề 2.5.1:
Nếu là một song modun thì với mọi phần tử thì ánh xạ
với trở thành một đồng cấu.
Chứng minh:
Ta dễ dàng kiểm tra tính đồng cấu của ánh xạ trên. Thật vậy, ta có:
Như vậy, ta đã chứng minh được ánh xạ được xác định ở trên là một
đồng cấu.
Mệnh đề 2.5.2:
Cho là một song modun và trái. Khi đó,
có thể trang bị cấu trúc là trái với phép nhân ngoài được
xác định như sau:
Mệnh đề trên ta có thể tự kiểm tra thông qua 4 tiên đề của modun trái.
Tương tự với các xây dựng trên, nếu là một song modun thì
, ánh xạ với trở thành một đồng cấu.
Khi đó, tập có thể được trang bị cấu trúc phải với phép
nhân ngoài như sau:
42
Từ các mệnh đề trên, ta có định lý:
Định lý 2.5.3:
là một song modun và cũng là một song modun
Nếu thì khi đó, cũng là song modun
Chứng minh:
Nếu là một song modun thì là một modun trái
theo mệnh đề trên.
Nếu là một song modun thì là một modun phải
theo cách xây dựng như trên.
Như vậy, ta chỉ cần chứng minh với mỗi phần tử , mỗi phần tử
và mỗi phần tử thì ta có:
Thật vậy, ta có:
2.6 Hàm tử
Với là các đồng cấu modun phải và modun
cảm sinh ra các ánh xạ
trai. Theo như phần trước, . Ta có thể kiểm tra bằng định nghĩa đồng cấu nhóm, các ánh xạ cảm sinh này cũng là các đồng cấu có tính chất được thể hiện trong nhóm. Các đồng cấu nhóm cảm sinh bởi mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.6.1:
Với modun phải và là các đồng
cấu là các modun trái thì khi đó:
43
Chứng minh:
. Ta có:
Do các phần tử trong có tính cộng tính nên
Từ đó, suy ra
Thực hiện tương tự, ta cũng chứng minh được
Định lý 2.6.2:
là hàm tử hiệp biến.
Chứng minh:
Ta cố định biến thứ nhất, khi đó ta có là một hàm tử hiệp biến
trái vào phạm trù các nhóm abel. Thật vậy, ta đặt
từ phạm trù các tương ứng
Mỗi vật trong phạm trù tương ứng với vật trong
.
phạm trù Mỗi cấu xạ tương ứng với cấu xạ
Bây giờ, ta kiểm tra 2 tiên đề về hàm tử là HT1 và HT2:
HT1: Với mọi vật , ta có tương ứng với
.
44
HT2: Với khi đó . Đồng thời
và
Như vậy, là hàm tử hiệp biến.
Tương tự nếu ta cố định biến thứ hai thì khi đó cũng là một hàm
vào phạm trù các nhóm abel. Thật vậy, ta đặt tương
tử hiệp biến từ phạm trù ứng:
Mỗi vật trong phạm trù tương ứng với vật trong phạm
trù .
Mỗi cấu xạ tương ứng với cấu xạ .
Bây giờ, ta kiểm tra 2 tiên đề về hàm tử là HT1 và HT2:
HT1: Với mọi vật , ta có tương ứng với
.
HT2: Với khi đó . Đồng thời
và .
Do đó, là hàm tử hiệp biến theo cả 2 biến. Hơn nữa, còn là hàm
tử cộng tính theo hai biến.
45
§3. SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA XÂY DỰNG TRỰC TIẾP TOR VÀ XÂY
DỰNG NHỜ PHÉP GIẢI XẠ ẢNH
Ở mục trên, ta đã xây dựng được hàm tử bằng cách trực tiếp nhờ các
phân hoạch bộ ba. Trong chương 1, ta đã xây dựng hàm tử nhờ phép giải xạ
được xây dựng bởi hai các trên có quan
ảnh. Vậy câu hỏi đặt ra là hai hàm tử hệ như thế nào với nhau ?
Trong phần này, ta sẽ trả lời câu hỏi trên thông qua việc chứng minh đinh
được xây dựng bởi 2 cách trên là tương đương
lý quan trọng : “ Hai hàm tử mđồng luân”.
Định lý 3.1:
Tồn tại đẳng cấu tự nhiên .
Chứng minh:
Mỗi phần tử xác định ánh xạ là các phải theo
đẳng thức với . Tương tự, mỗi phần tử cũng xác định ánh
xạ là các trái theo đẳng thức . Bộ ba
thuộc cộng tính theo và tuyến tính trong. Như vậy,
ánh xạ là đồng cấu các nhóm abel từ vào .
Đồng cấu này là đồng cấu tự nhiên và nó biến mỗi phần tử
thành bộ ba . Trong đó, là modun tự do với các phần tử sinh là .
Đồng thời thỏa mãn đẳng thức và
46
Bây giờ, ta xây dựng ánh xạ ngược từ vào . Mỗi phần
tử trong có thể được viết như là bộ ba . Trong đó, là
modun tự do hữu hạn sinh và các đồng cấu .
Do là modun tự do hữu hạn sinh nên ta chọn cơ sở của là
và xác định được cơ sở đối ngẫu của . Ta đặt:
.
Bây giờ, xét . và lần lượt là cơ sở của và . Khi đó,
ta có:
trong đó là ma trận các phần tử thuộc vành hệ tử . Khi đó:
và ta có:
Như vậy, ta đã chứng minh được ở trên xác định tốt. Đồng thời, nếu
thì không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở trong . Và vì là ánh xạ
ngược của ánh xạ ở trên nên từ đó suy ra
47
Ta kết thúc chứng minh ở đây.
Hệ quả :
Cho L là một phải xạ ảnh hữu hạn sinh. Khi đó, tồn tại đẳng
cấu tự nhiên và được xác định theo đẳng thức
. Do đó, mỗi phần tử có biểu diễn duy nhất dưới
dạng trong đó là đồng cấu nào đó đi từ đến .
Chứng minh:
Do tính chất cộng tính nên là đồng cấu tự nhiên. Bây giờ, ta chứng minh
là đẳng cấu:
Ta có:
Theo mệnh đề trong modun đối ngẫu, ta có là đẳng cấu tự nhiên. Như
vậy, để chứng minh là đẳng cấu, ta sẽ chứng minh là đẳng cấu, và cụ thể
hơn là chứng minh là ánh xạ đồng nhất.
Nếu thì theo định nghĩa các ánh xạ, tích là ánh xạ đồng nhất.
Các hàm tử có tính chất cộng tính nên kết luận trên cũng đúng với là
các modun tự do hữu hạn sinh.
Với modun xạ ảnh hữu hạn sinh thì là hạng tử trực tiếp của 1 modun
tự do hữu hạn sinh nào đó. Các ánh xạ là các ánh xạ tự nhiên nên nó biến
48
các hạng tự trực tiếp vào hạng tử trực tiếp . Như vậy, kết luận trên cũng đúng với
xạ ảnh hữu hạn sinh.
Vậy ta có được điều phải chứng minh.
Định lý 3.2:
Đối với phép giải của modun và đối với trái
thì tồn tại đồng cấu:
trong đó, là đồng cấu tự nhiên trên . Hơn nữa, nếu là phép giải
xạ ảnh thì là đẳng cấu tự nhiên trên và .
Chứng minh:
Với mỗi phần tử thì . Ta có:
Theo định lý so sánh thì có biến đổi dây chuyền
Ta đặt:
Cách đặt trên là hợp lý, vì và nên:
49
Hơn nữa, phần tử là chu trình trong vì:
Lớp đồng điều của chu trình này chỉ phụ thuộc vào . Nếu
là một biến đổi dây chuyền khác thì tồn tại đồng luân sao cho:
Khi đó,
Như vậy, chu trình có được nhờ cộng với một phần tử
bờ.
Nếu và trong đó nào đó, là các phần tử
bằng nhau trong . Nếu thì và đồng thời
trong . Thật vậy,
Bây giờ, ta chứng minh tính đồng cấu của . Tức là chứng minh
Với thì
50
Khi đó,
Do đó,
trong đó, sinh ra biến đổi dây chuyền .
Vậy là đồng cấu.
Tính tự nhiên của trong được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.Tính tự
nhiên của trong được suy ra từ nhận xét trên nhân
với biến đổi dây chuyền cho ta biến đổi dây chuyền .
Tiếp theo, ta chứng minh là toàn cấu.
Để chứng minh là toàn cấu, ta cần chỉ ra với mọi phần tử
thì tồn tại sao cho .
Vì là phần tử trong nên có dạng
trong đó và các là các phần
tử cơ sở của và các . Ta đặt là modun sinh bởi các phần tử có
51
tham gia trong . Khi đó, là modun con tự do hữu hạn
sinh của và đồng thời cũng là hạng tử trực tiếp của . Ta có:
với là modun sinh bởi các phần tử còn lại trong cơ sở của và không tham
gia trong .
Do đó, ta có : là phép nhúng và đồng thời dãy
là dãy khớp chẻ ra nên dãy
cũng là dãy khớp chẻ ra và là phép nhúng.
Ta có là modun hữu hạn sinh nên cũng là modun hữu hạn sinh.
Ta đặt là modun tự do hữu hạn sinh của và đồng thời chứa .
Tương tự quá trình trên ta xây dựng được . Tiếp tục xây dựng ta có dãy:
Trong đó là các đồng cấu thu hẹp của trên và do vậy nên
Như vậy, dãy trên cũng là một phức trên . Các phép nhúng cảm
sinh ra phép nhúng . Do đó, là biến đổi dây chuyền
52
từ phức vào phức .Như vậy là một chu trình
.
Theo định lý trên, ta có . Theo hệ quả thì chu trình này có
thể viết dưới dạng trong đó và . Khi đó, ta chọn
phức và . Đặt . Suy ra,
Vậy toàn cấu.
Cuối cùng, ta chứng minh đơn cấu.
Giả sử , tức là chu trình có bờ trong . Do đó,
cũng có bờ trong với là một phức tự do hữu hạn sinh
của .
Ta chọn chứa . Khi đó, biến đổi dây chuyền sinh ra
biến đổi dây chuyền và
là một bờ của một dây chuyền chiều của . Theo hệ quả của định lý
1, ta viết dây chuyền này được dưới dạng . Trong đó, .
Khi đó:
Do tính duy nhất của biểu diễn trong hệ quả của định lý nên
53
Giả sử là phần từ đến của phức và là phần từ
đến của phức . Khi đó,
là các biến đổi dây chuyền. Phần tử xuất phát trở thành:
Vậy . Do đó, đơn cấu nên là đẳng cấu.
Ta kết thúc chứng minh ở đây.
Vậy ta đã chứng minh được tồn tại một đẳng cấu tự nhiên từ hàm tử
vào với là một phép giải xạ ảnh của . Trong chương
một, ta đã xây dựng hàm tử Tor bằng dãy đồng điều. Định lý ta vừa nêu đã chứng
minh, 2 hàm tử Tor được xây dựng ở chương 1 và chương 2 là tương đương đồng
luân với nhau.
54
KẾT LUẬN Luận văn này đã trình bày hai cách xây dựng hàm tử Tor.
Xây dựng hàm tử Tor bằng phép giải xạ ảnh được trình bày ở chương 1.
Xây dựng hàm tử Tor trực tiếp bằng phân hoạch các bộ ba được trình bày
ở chương 2.
Ngoài ra, trong cả hai chương, luận văn trình bày các tính chất cơ bản của
hàm tử Tor.
Cuối cùng, phần cuối chương 2, luận văn đã chứng minh được sự tương
đương của hàm tử Tor được xây dựng bằng 2 cách.
Vì thời gian có hạn và kiến thức còn hạn chế nên luận văn này không tránh
khỏi những sai sót. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp, quan tâm của quý thầy
cô và các bạn học viên để bài luận văn này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
55
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Saunders Mac Lane ( 1975), Homology, Classics in Mathematics.
[2] Cartan H. and Eilenberg S. (1956), Homological abgebra, Princeton.
[3] Trần Huyên, Nguyễn Viết Đông (2003), Đại số đồng điều, Nhà Xuất Bản Đại học
Quốc Gia TPHCM, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên.
[4] Avramov, Luchezar; Halperin, Stephen (1986), Through the looking glass: a
dictionary between rational homotopy theory and local algebra, in J.-E. Roos
(ed.), Algebra, algebraic topology, and their interactions (Stockholm, 1983).
[5] Hilton, Peter (1988), A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy
Theory in This Century, Mathematics Magazine, Mathematical Association of
America, 60 (5): 282–291, JSTOR 2689545.
[6] Hoàng Xuân Sính (2005), Đại số đại cương, Nhà Xuất Bản Giáo dục.
[7] Saunders Mac Lane (1971), Categories for the Working Mathematician.
[8] William S. Massey, Singular homology theory, Springer, 1980.
[9] Nguyễn Văn Đoành – Tạ Mân, Nhập môn Tôpô Đại số (Đồng điều và đồng luân),
Nhà xuất bản Đại học Sư phạm Hà Nội, 2015.
56
