Luận văn Thạc sĩ Vật lý: Chuyển pha kim loại - điện môi ở mô hình Anderson- Falicov- Kimball lấp đầy một nửa

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -----------------------------

Nguyễn Thị Huệ

CHUYỂN PHA KIM LOẠI - ĐIỆN MÔI Ở MÔ HÌNH ANDERSON-FALICOV-KIMBALL LẤP ĐẦY MỘT NỬA

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ

Hà Nội- 2019

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -----------------------------

Nguyễn Thị Huệ

CHUYỂN PHA KIM LOẠI - ĐIỆN MÔI Ở MÔ HÌNH ANDERSON-FALICOV-KIMBALL LẤP ĐẦY MỘT NỬA

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số : 8440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS Hoàng Anh Tuấn

Hà Nội -2019

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn này là do sự tìm tòi, học hỏi của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy PGS.TS Hoàng Anh Tuấn. Mọi kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể. Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kì một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên bất kỳ một phương tiện nào. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lới cam đoan trên.

Hà nội, tháng 04 năm 2019 Người cam đoan

Nguyễn Thị Huệ

Lời cảm ơn

Sau một thời gian học tập, nghiên cứu cùng với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ, hướng dẫn, động viên nhiệt tình của Quý thầy giáo, cô giáo cũng như sự chia sẻ giúp đỡ của các bạn học viên trong lớp cao học, tôi đã hoàn thành luận văn của mình.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hoàng Anh Tuấn, người thầy đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu khoa học và hoàn thiện bản luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo của Viện Vật lý thuộc Viện Hàn lâm khoa học và Công nghệ Việt Nam đã giảng dạy nhiệt tình và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới lãnh đạo Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, lãnh đạo Viện Vật Lý, Phòng sau Đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành bản luận văn này.Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các bạn lớp cao học K2017A- Viện Vật lý thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã đồng hành, giúp đỡ và hỗ trợ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn luôn động viên, giúp đỡ và chia sẻ với tôi trong suốt thời gian tôi làm việc, học tập và nghiên cứu khoa học.

Mặc dù cũng có nhiều cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong sự góp ý, chỉ bảo của Quý thầy cô, cùng các bạn đọc để luận văn của tôi được hoàn thiện hơn .

Hà nội, tháng 04 năm 2019

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Huệ

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt

Viết tắt Tiếng Việt Tiếng Anh

FKM Mô hình Falicov – Kimball Falicov- Kimball Model

DMFT Lý thuyết trường trung bình động

Dynamical Mean Field Theory

LDOS Mật độ trạng thái địa phương Local Density of States

HFA Gần đúng Hartree- Fock

Hartree – Fock Approximation

MIT Chuyển pha kim loại- điện môi Metal- Insulator Transition

AFKM Mô hình Anderson- Falicov-

Kimball Anderson- Falicov- Kimball Model )

TBC Trung bình cộng Arithmetic Average

TBN Trung bình nhân Geometric Average

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

Hình 1.1. Cấu trúc vùng của vật liệu không trật tự; Ec là ngưỡng linh động.................................................................................................................15

Hình 1.2. Minh họa: a) Sự phụ thuộc của độ dẫn vào nồng độ hạt tải ở bán dẫn pha tạp Si:P [10]. b) Dáng điệu điển hình của độ dẫn như là hàm của bất trật tự...............................................................................................................16

Hình 2.1. Lý thuyết trường trung bình động DMFT. Chất rắn được thay thế bằng một nguyên tử trao đổi với các điện tử trong một môi trường tự hợp. Thăng giáng lượng tử được tính đến đầy đủ, nhưng thăng giáng trong không gian đã bị bỏ qua.............................................................................................26

Hình 2.2. Sơ đồ khối giải hệ phương trình DMFT bằng phương pháp lặp....29

, tại nhiệt độ T=0 và với tỷ số U/t* Hình 2.3. Kết quả của DMFT cho 1,2.5,3,4 ( từ trên xuống dưới)[17].................................................................30

Hình 3.1. Sơ đồ khối giải hệ phương trình DMFT bằng phương pháp lặp....................................................................................................................38

Hình 3.2. Giản đồ pha điện tử ở mô hình Anderson- Falicov- Kimball lấp đầy một nửa tại nhiệt độ không tuyệt đối, nhận được từ lời giải phương trình (3.13)-(3.17)....................................................................................................44

Hình 3.3. Mật độ trạng thái trung bình tại mức Fermi ( như là hàm

của thông số đo độ mất trật tự ở w=0.5 và U=0.25........................................45

Hình 3.4. Mật độ trạng thái trung bình tại mức Fermi ( như là hàm

của thông số đo độ mất trật tự ở w=0.5 và U=0.75.......................................46

1

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC…………………………………………………………………….1

MỞ ĐẦU...........................................................................................................3

CHƢƠNG 1.

TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH FALICOV- KIMBALL, ĐIỆN MÔI MOTT- ANDERSON VÀ SỰ CHUYỂN PHA KIM LOẠI- ĐIỆN MÔI.....................6

1.1. Mô hình Falicov- Kimball..........................................................................6

1.2. Phân loại kim loại và điện môi...................................................................8

1.2.1. Định nghĩa............................................................................................8

1.2.2. Phân loại điện môi………………………………………………......10

1.2.3.Chuyển pha kim loại- điện môi Mott……………………………......11

1.2.4. Định xứ Anderson……………………………..................................13

CHƢƠNG 2.

HÀM GREEN VÀ LÝ THUYẾT TRƢỜNG TRUNG BÌNH ĐỘNG (DMFT) VÀ DMFT TUYẾN TÍNH HÓA……………………………………………17

2.1. Phƣơng pháp hàm Green………………………………………………..17

2.1.1 Định nghĩa hàm Green trễ G , hàm Green sớm G ………………...17

2.1.2. Một số dạng khác của các hàm Green………………………………19

2.1.3. Ví dụ hàm Green cho các điện tử không tƣơng tác………………...22

2.1.4. Tính chất cơ bản của hàm Green…………………………………....24

2.2. Lý thuyết trƣờng trung bình động……………………………………....25

2

2.2.1. Lý thuyết trƣờng trung bình động cho hệ đồng nhất……………….27

2.2.2 . Lý thuyết trƣờng trung bình động tuyến tính hóa DMFT…………31

CHƢƠNG 3.

GIẢN ĐỒ PHA KIM LOẠI- ĐIỆN MÔI Ở MÔ HÌNH ANDERSON- FALICOV- KIMBALL LẤP ĐẦY MỘT NỬA.............................................34

3.1. Mô hình và hình thức luận........................................................................34

3.2. Kết quả thảo luận và tính số.....................................................................43

CHƢƠNG 4.

KẾT LUẬN.....................................................................................................47

TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................48

3

MỞ ĐẦU

Nhƣ chúng ta đã biết, trong những năm gần đây cấu trúc và tính chất của các hệ cô đặc không trật tự thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học cũng nhƣ nhiều nhà vật lý. Lí do của nó cho thấy, thứ nhất xuất phát từ những thành tựu của vật lý chất rắn và ứng dụng của nó. Thứ hai, chuyển động của các hạt lƣợng tử có thể bị triệt tiêu hoặc thậm chí bị phá hủy bởi các tƣơng tác và rối loạn Coulomb và bất trật tự, đó chính là những động lực thúc đẩy quá trình chuyển pha kim loại - điện môi (MIT). Chuyển pha kim loại- điện môi do sự tƣơng quan của các điện tử gọi là chuyển pha Mott hoặc Mott- Hubbard. Chuyển pha kim loại - điện môi Mott- Hubbard đƣợc đặc trƣng bởi một khe cấm tại mật độ của các trạng thái ở mức Fermi. Mặt khác, mất trật tự trong vật rắn, chẳng hạn nhƣ tạp chất và nút trống, gây ra sự thay đổi lớn so với tiên đoán của lý thuyết vùng năng lƣợng. Vào năm 1958, nhà vật lý ngƣời Mỹ Anderson khi phân tích mô hình liên kết chặt không trật tự (sau này đƣợc gọi là mô hình Anderson) đã chỉ ra rằng mất trật tự đủ lớn sẽ cản trở sự khuyếch tán của hạt tải. Các quá trình tán xạ ngƣợc kết hợp làm cho các hạt tải bị định xứ. Đặc biệt, sự định xứ của các trạng thái tại mức Fermi gây ra chuyển pha kim loại - điện môi, gọi là chuyển pha Anderson. Ở định xứ Anderson, đặc tính của phổ ở mức Fermi thay đổi từ liên tục sang rời rạc dày đặc. Một điều hợp lí là cả hai MIT đều có thể phát hiện ra bằng cách biết một đại lƣợng duy nhất đó là mật độ trạng thái địa phƣơng. Chuyển pha kim loại - điện môi do sự tƣơng quan điện tử, hay còn gọi là chuyển pha Mott, thƣờng đƣợc nghiên cứu thông qua mô hình lí thuyết tối thiểu. Mô hình này là mô hình vi mô, miêu tả các thành phần cơ bản nhất đƣợc cho là nguyên nhân tạo ra chuyển pha Mott.

Thông thƣờng mô hình này có hai thành phần: phần động năng mô tả chuyển động của điện tử và phần tƣơng tác Coulomb mô tả khả năng định xứ của điện tử. Một trong những mô hình nhƣ vậy và giải thích khá thành công chuyển pha Mott là mô hình Hubbard [1]. Mô hình Hubbard do Hubbard, Gutzwiller, Kanamori độc lập đề xƣớng vào những năm đầu của thập kỉ 60 của thế kỉ trƣớc. Mô hình Hubbard mô tả sự cạnh tranh giữa động năng và thế

4

năng trong mạng tinh thể là trọng tâm của vấn đề nghiên cứu MIT và vấn đề tƣơng quan điện tử. Dạng giản lƣợc của mô hình Hubbard là Falicov- Kimball, khi một thành phần spin trong mô hình đóng băng và không chuyển động [2]. Mô hình Falicov- Kimball đơn giản nhƣng nó vẫn mang những đặc tính đặc trƣng của hệ điện tử tƣơng quan mạnh đặc biệt nó giải thích đƣợc sự chuyển pha kim loại- điện môi Mott khi lấp đầy một nửa. Mô hình Falicov – Kimball cùng với bất trật tự gọi là mô hình Anderson- Falicov- Kimball (AFKM). Trong mô hình này các hạt linh động đƣợc phân bố trên các thế ngẫu nhiên. Giản đồ pha kim loại - điện môi ở AFKM lấp đầy một nửa đã đƣợc xây dựng bằng cách sử dụng lý thuyết trƣờng trung bình động (DMFT) kết hợp với việc lấy trung bình nhân mật độ trạng thái địa phƣơng (LDOS) trong công trình của Byczuk [3]. Phƣơng pháp này đƣợc gọi là lý thuyết môi trƣờng điển hình.

Bản luận văn này có mục đích tìm hiểu về định xứ Anderson, chuyển pha kim loại – điện môi Mott và dẫn giải chi tiết các công thức nhận đƣợc trong công trình [3], qua đó hiểu rõ cách thức áp dụng lý thuyết môi trƣờng điển hình cho hệ mà ở đó tƣơng quan điện tử và mất trật tự đồng thời có mặt.

Đề tài luận văn của tôi là: Chuyển pha kim loại - điện môi ở mô hình

Anderson- Falicov- Kimball lấp đầy một nửa.

Đề tài hƣớng tới những kết quả sau đây:

1) Tìm hiểu về chuyển pha kim loại – điện môi và phân loại điện môi, về lý thuyết trƣờng trung bình động (DMFT) và DMFT tuyến tính hóa.

2) Xây dựng giản đồ pha kim loại – điện môi ở mô hình Anderson- Falicov- Kimball lấp đầy một nửa.

Phƣơng pháp lý thuyết đƣợc sử dụng trong luận văn là lý thuyết môi trƣờng điển hình, trong đó kết hợp giữa DMFT và việc lấy trung bình nhân mật độ trạng thái địa phƣơng. Để đơn giản hóa việc tính toán DMFT tuyến tính cũng đã đƣợc áp dụng ở đây.

5

Bài luận văn của tôi có bố cục nhƣ sau:

Chƣơng 1: Chuyển pha kim loại – điện môi và phân loại điện môi.

Chƣơng 2: Lý thuyết trƣờng trung bình động (DMFT) và DMFT tuyến tính hóa.

Chƣơng 3: Giản đồ pha kim loại – điện môi ở mô hình Anderson- Falicov-Kimball lấp đầy một nửa.

Chƣơng 4: Kết luận

6

CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH FALICOV- KIMBALL, ĐIỆN MÔI MOTT- ANDERSON VÀ SỰ CHUYỂN PHA KIM LOẠI- ĐIỆN MÔI

Trong những năm gần đây, ngành khoa học vật liệu phát triển mạnh mẽ đã tạo ra rất nhiều ứng dụng trong khoa học, kĩ thuật phục vụ cho lợi ích của con ngƣời. Việc nghiên cứu tính chất của điện tử là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của vật lí chất rắn. Bởi vì điện tử là hạt mang điện, có khối lƣợng bé, nó rất linh động và tham gia vào nhiều quá trình, quy định tính chất của vật liệu. Tuy nhiên để mô tả đúng tính chất của điện tử trong tinh thể là một công việc rất khó bởi vì ta cần phải xét một hệ gồm rất nhiều hạt tƣơng tác với nhau: điện tử, lỗ trống, phonon, tạp chất…Khi ta tính toán phải lập và giải phƣơng trình rất lớn đến nỗi các máy tính hiện đại ngày nay cũng không thể giải đƣợc chính xác. Vì vậy ta cần phải đơn giản các phép toán bằng cách sử dụng các phƣơng pháp tính gần đúng.

1.1. MÔ HÌNH FALICOV- KIMBALL [3]

Chuyển pha kim loại – điện môi do sự tƣơng quan của các điện tử gọi là chuyển pha Mott. Và mô hình đơn giản nhất để mô tả hệ điện tử tƣơng quan và chuyển pha Mott là mô hình Falicov - Kimball. Ở mô hình Hubbard Hamiltonian có dạng:

(1.1) ,

trong đó là toán tử sinh (hủy) điện tử tại nút i và spin ,

biên độ nhảy nút không phụ thuộc vào spin. Một mô hình giản lƣợc từ mô

hình này có thể thu đƣợc bằng cách chỉ cho phép một trong hai loại spin nhảy

(chẳng hạn ( )). Đơn giản hóa này lần đầu tiên đƣợc thảo luận bởi

Hubbard và Gutzwiller nhƣ là một gần đúng cho mô hình đầy đủ. Sau đó nó đƣợc xem xét bởi Falicov và Kimball [2] nhƣ là một mô hình cho chuyển tiếp bán dẫn –kim loại trong các hệ nhƣ SmB6, V2O3 và Ti2O3 lấy tƣơng ứng các hạt di động và cố định là điện tử -d và điện tử -f không spin. Sau đó Kennedy

7

và Lieb đã nghiên cứu nó nhƣ là một mô hình kết tinh của điện tử di động và hạt nhân bất động. Các Hamiltonian cho “mô hình Hubbard giản lƣợc” này còn gọi là mô hình “Falicov- Kimball”, có thể đƣợc viết bằng các hình thức khác nhau.

(1.2)

(1.3) .

Do sự bất động của một trong các loại hạt fermion mà không có sự

truyền năng lƣợng giữa hai loại hạt (hoặc d, f) tức là chúng không liên kết

động học. Đối với mô hình này, ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng khi nhiệt độ đủ thấp và tại lấp đầy một nửa các hạt bất động sẽ tạo nên trật tự điện tích dạng bàn cờ, ít nhất là một loại mạng lồng nhau.

Mặc dù đơn giản hóa đƣợc bổ sung trong (1.3) mô hình này vẫn còn phức tạp- đặc biệt là với hệ lấp đầy khác một nửa. Tuy nhiên một cách giải chính xác là có thể có ở d= , nhƣ lần thứ nhất đƣợc thể hiện bởi Brandt và Mielsch [4]. Các tác giả này đã sử dụng thực tế là phần chéo của năng lƣợng

riêng tối giản , chỉ phụ thuộc vào số hạng chéo tại cùng một vị trí

. Do đó không phụ thuộc tƣờng minh vào dạng của Ri, tức là

động năng, mà chỉ thông qua . Hệ quả là dạng phiếm hàm của nó không

thay đổi ngay cả khi tƣơng ứng với giới hạn nguyên tử. Do đó tại

mô hình Hubbard giản lƣợc có thể đƣợc xem nhƣ một vấn đề nguyên tử (hoặc đơn hạt) với sự có mặt của một trƣờng tổng quát, phụ thuộc thời gian

(1.4) ,

ở đây “at” chỉ giới hạn nguyên tử, tức là với t=0.

8

Các trƣờng sẽ đƣợc đƣa vào để trở thành phiếm hàm tổng

quát của , chỉ liên kết với các điện tử di động. Với thủ thuật này vấn đề

đƣợc chia tách thành bài toán đơn hạt một có thể giải quyết đƣợc.

Một phƣơng pháp khác để đạt đƣợc lời giải chính xác cho mô hình (1.3) đã đƣợc tìm ra bởi van Dongen và Vollhardt [5] cho mô hình có thêm số mọi con hạng tƣơng tác gần nhì trên mạng Bethe. Họ chỉ ra rằng tại đƣờng từ một nút Ri đến nút khác trên mạng tƣơng ứng với một toán tử thuần

nhất fermion . Điều này làm cho phép thay thế (1.2) bởi Hamiltonian

hiệu dụng tƣơng đƣơng:

(1.5) .

Nghĩa là tại , có cùng động học nhƣ . Rõ ràng, (1.5)

có dạng đơn nút, giống nhƣ mô hình Ising ở gần đúng trƣờng trung bình . Cách tiếp cận này rất khác so với CPA tổng quát, cũng thể Weiss tại hiện sự liên kết chặt chẽ giữa giới hạn với các lời giải đơn nút cho các mô hình mạng fermion.

1.2. PHÂN LOẠI KIM LOẠI VÀ ĐIỆN MÔI [6]

1.2.1. Định nghĩa

Để phân biệt chất nào là kim loại, chất nào là điện môi, một đại lƣợng trực quan nhất ngƣời ta hay sử dụng là độ dẫn điện. Ở các chất điện môi, độ dẫn điện bằng không (không dẫn điện), trong khi đó các chất kim loại, nó khác không (có dẫn điện). Bản chất dẫn điện của hệ là do sự dịch chuyển có hƣớng của các hạt mang điện. Sự dịch chuyển chịu ba ảnh hƣởng cơ bản là:

* Trƣờng thế tạo ra bởi các ion

* Tƣơng tác Coulomb giữa các electron

* Tác dụng của từ trƣờng ngoài

9

Các hạt mang điện chuyển động khi có điện trƣờng ngoài thƣờng gắn liền với sự chuyển động có hƣớng của không những của điện tích mà của cả khối lƣợng, năng lƣợng, momen động lƣợng, xung lƣợng spin. Chính vì vậy, sự chuyển động của các hạt mang điện trong vật liệu phụ thuộc vào thế của các ion (tính chất từ của các ion, sai lệch mạng…), tƣơng tác điện tử- điện tử, hay cả điện- từ trƣờng ngoài. Sự có mặt của trƣờng ngoài và sự chuyển động của hạt mang điện dẫn tới hệ ở trạng thái không cân bằng nhiệt động. Tuy nhiên, nếu coi trƣờng ngoài là nhỏ, ta có thể xét hệ ở trạng thái giả cân bằng. Khi đó trƣờng ngoài có thể coi là một nhiễu loạn nhỏ và ta thu đƣợc mối liên

hệ giữa mật độ dòng và điện trƣờng ngoài là số

chiều của hệ) đƣợc mô tả bằng định luật Ohm.

(1.2.1) .

Áp dụng lí thuyết phản ứng tuyến tính ta thu đƣợc tensor độ dẫn

qua hàm tƣơng quan. Ta sẽ dựa vào tính chất của ( để xác định kim

loại, điện môi. Nhƣ đã trình bày ở trên, để phù hợp với bức tranh điểm giới hạn lƣợng tử, ta chỉ định nghĩa trạng thái kim loại, điện môi ở nhiệt độ T=0, một chất là điện môi khi độ dẫn điện tĩnh bị triệt tiêu

(1.2.2)

Ngƣợc lại, các chất kim loại là chất có hữu hạn khi T=0, thƣờng thỏa mãn

công thức Drude cho tần số nhỏ (kim loại Drude). (1.2.3) .

Trong đó là trọng số Drude, là thời gian tán xạ trung bình của điện

tử với tạp. Trong lí thuyết Drude đơn giản ta có: (1.2.4) .

10

Với e là điện tích của điện tử, n là nồng độ điện tử với khối lƣợng hiệu

ta lại

dụng m* của chuẩn hạt. Nếu không có tán xạ electron, khi đó có bất biến tịnh tiến, vì vậy với kim loại là lí tƣởng ta viết đƣợc:

(1.2.5) .

1.2.2. Phân loại điện môi

Nguyên nhân dẫn tới trạng thái điện môi của hệ là sự cản trở chuyển động của hạt tải. Sự cản trở này do tƣơng tác của các điện tử với các giả hạt lân cận. Chính vì vậy, do từng bản chất tƣơng tác của điện tử với các giả hạt mà ngƣời ta có thể phân loại các dạng điện môi khác nhau. Hạn chế tại nhiệt độ T=0 và trƣờng ngoài yếu cho phép chúng ta xác định hai loại điện môi cơ bản là:

+ Loại 1: Điện môi do tƣơng tác giữa electron và ion

+ Loại 2: Điện môi do tƣơng tác giữa electron với electron

Điện môi loại 1 có thể giải thích bằng lí thuyết một electron, trong đó ba đại diện cơ bản là:

* Điện môi vùng (band insulator) hay điện môi Bloch- Wilson: do tƣơng tác điện tử với thế tuần hoàn của ion

* Điện môi Peierls: do tƣơng tác giữa điện tử với biến dạng của mạng tinh thể

* Điện môi Anderson: Do sự có mặt của mất trật tự do các tạp chất hoặc do sự không lí tƣởng của mạng tinh thể, ví dụ nhƣ tƣơng tác của electron với tạp chất và các sai hỏng mạng.

Sự xuất hiện pha điện môi do tƣơng tác lẫn nhau giữa các electron hoàn toàn khác so với điện môi do tƣơng tác giữa các electron và ion vì phải sử dụng đến lí thuyết hệ nhiều hạt. Với tƣơng tác này ta có điện môi thứ tƣ là :

11

* Điện môi Mott: do tƣơng tác điện tử với điện tử. Do hiệu ứng lƣợng tử trong quan hệ nhiều hạt, khe năng lƣợng hình thành trong phổ kích thích của điện tử mà ta có trạng thái điện môi. Tùy vào bức tranh tƣơng quan của hệ điện tử mà ngƣời ta chia điện môi Mott thành các loại sau:

+ Điện môi Mott- Heisenberg: trạng thái điện môi tồn tại cùng với trật tự phản sắt từ khi nhiệt độ nhỏ hơn nhiệt độ Neel

+ Điện môi Mott – Hubbard: nếu cùng với tính chất điện môi còn có tính chất trật tự điện tích

+ Điện môi Mott- Anderson: Khi trạng thái điện môi hình thành do tƣơng quan điện tử có kèm với mất trật tự.

1.2.3. Chuyển pha kim loại- điện môi Mott [7]

Chuyển pha kim loại- điện môi (MIT) là một trong những hiện tƣợng thú vị nhƣng khó khăn nhất trong nghiên cứu vật lí chất rắn. Những chất hoàn toàn là điện môi nhƣ Si, Ge hay kim loại dẫn điện tốt nhƣ Au, Ag có thể mô tả rất tốt bằng những lí thuyết đơn giản. Tuy nhiên, những tính chất vật lí thú vị và đặc biệt có tính ứng dụng cao trong công nghệ hiện đại lại nằm ở những hợp chất phức tạp có chuyển pha kim loại- điện môi Mott mà những lí thuyết đơn giản không thể giải thích đƣợc. Ở gần điểm chuyển pha MIT các tính chất vật lí thay đổi đột ngột khi ta thay đổi các điều kiện ngoài áp dụng vào hệ. Các điều kiện ngoài có thể là áp suất, nhiệt độ hay điện - từ trƣờng ngoài. Chỉ một thay đổi nhỏ của các điều kiện ngoài làm cho hệ thay đổi bản chất vật lí, vì vậy nó mở ra ứng dụng rất lớn trong công nghệ. Lý thuyết đầu tiên mô tả thành công các kim loại, điện môi và chuyển pha giữa chúng dựa trên hệ điện tử không tƣơng tác hoặc tƣơng tác yếu. Theo đó tại độ không tuyệt đối, kim loại và điện môi đƣợc phân biệt nhau thông qua sự lấp đầy của các vùng năng lƣợng. Đối với điện môi vùng hóa trị đƣợc điện tử lấp đầy hoàn toàn và vùng dẫn bỏ trống, trong khi đó ở kim loại vùng dẫn đƣợc lấp đầy một phần. Nói cách khác, mức Fermi ở chất điện môi nằm trong khe cấm, còn ở kim loại nó nằm trong vùng dẫn. Trong khuôn khổ của lí thuyết vùng năng lƣợng, sự hình

12

thành cấu trúc vùng năng lƣợng đƣợc quyết định hoàn toàn bởi tính tuần hoàn của các nguyên tử trong tinh thể. Sự phân biệt cơ bản giữa kim loại và điện môi trong lí thuyết này đƣợc thiết lập vào năm đầu tiên của cơ học lƣợng tử. Tiếp theo đó vào những năm 1930 ngƣời ta công nhận rằng các chất điện môi với khe cấm hẹp là chất bán dẫn do kích thích nhiệt của các điện tử.

Mặc dù lí thuyết vùng năng lƣợng đã thành công trên nhiều phƣơng diện, năm 1937 de Boer và Verway đã cho thấy nhiều oxit kim loại chuyển tiếp dù có lớp d bị lấp đầy một phần nhƣng lại là vật dẫn kém và thƣờng là chất điện môi. Ví dụ điển hình là NiO. Liên quan đến vấn đề của tƣơng quan điện tử: tƣơng tác đẩy Coulomb giữa các điện tử có thể là nguồn gốc hình thành nên điện môi. Đây có thể xem là điểm khởi đầu của một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong vật lí chất đậm đặc: hệ điện tử tƣơng quan mạnh.

Từ đó tới nay nhiều nỗ lực và tiến bộ đã đƣợc thực hiện, cả lí thuyết lẫn thực nghiệm, để hiểu rõ vì sao vật liệu với các vùng lấp đầy một phần có thể là chất điện môi và chất điện môi có thể trở thành kim loại khi các thông số điều khiển đƣợc thay đổi nhƣ thế nào. Trên phƣơng diện lí thuyết, Mott có những bƣớc đi đầu tiên cho thấy tƣơng quan điện tử- điện tử có thể giải thích thế nào về trạng thái điện môi, và chúng ta gọi nó là điện môi Mott. Ông đã xem xét một mạng tinh thể với quỹ đạo đơn điện tử trên mỗi nút mạng. Khi không có tƣơng tác điện tử - điện tử thì một vùng năng lƣợng đƣợc hình thành từ sự chồng lấn của các quỹ đạo của nguyên tử trong hệ, trong đó vùng sẽ đƣợc lấp đầy khi trên mỗi nút có hai điện tử với spin đối nhau. Tuy nhiên, khi có hai điện tử ở trên cùng một nút thì chúng sẽ đẩy nhau bằng tƣơng tác Coulomb, dẫn tới vùng này sẽ đƣợc tách làm đôi: phân vùng dƣới đƣợc hình thành từ các điện tủ nhảy vào nút trống và phân vùng trên từ các điện tử nhảy vào nút đã có sẵn một điện tử. Nhƣ vậy, với hệ lấp đầy một nửa, tức là hệ có trung bình một điện tử trên một nút mạng, thì vùng dƣới đƣợc lấp đầy hoàn toàn và hệ là điện môi. Ngoài ra Mott cũng cho rằng sự tồn tại trạng thái điện môi không phụ thuộc vào trật tự từ trong hệ, trong đó Slater có quan điểm ngƣợc lại khi giải thích pha điện môi xuất phát từ trật tự phản sắt từ.

13

Hai trong số các mô hình chủ yếu mô tả hệ điện tử tƣơng quan là mô hình Hubbard thông thƣờng và mô hình Falicov- Kimball. Mô hình Hubbard mô tả các điện tử linh động trên mạng với thông số nhảy nút t và tƣơng tác đẩy Coulomb U của hai điện tử trên cùng một nút mạng. Tuy nhiên đây là một mô hình đơn giản nhƣng nó chỉ đƣợc giải chính xác trong trƣờng hợp một chiều hoặc hệ có số chiều bằng vô cùng. Ở trƣờng hợp số chiều vô hạn, lí thuyết trƣờng trung bình động (DMFT) chỉ ra rằng trạng thái cơ bản của hệ lấp đầy một nửa, nếu không có hiện tƣợng vấp, là điện môi phản sắt từ với mọi giá trị của U. Trong trƣờng hợp bị vấp, hệ nằm ở trạng thái kim loại bị phá vỡ và hệ chuyển sang trạng thái điện môi Mott với một miền đồng tồn tại giữa hai pha kim loại và điện môi.

Một mô hình quan trọng khác của hệ tƣơng quan mạnh là mô hình Falicov- Kimball (FKM), đƣợc xem nhƣ mô hình Hubbard giản lƣợc khi các hạt với một hƣớng spin nào đó có tham số nhảy nút bằng zero, tức là chúng không chuyển động. Ở mô hình này đối xứng SU(2) của spin bị phá vỡ và lí thuyết trƣờng trung bình động chỉ ra tại lấp đầy một nửa hệ nằm ở pha điện môi phản sắt từ, và hiện tƣợng tách pha xảy ra tại hệ lấp đầy khác một nửa khi tƣơng tác Coulomb U nhỏ.

Tƣơng tự ở mô hình Hubbard, chuyển pha kim loại- điện môi tại hệ lấp đầy một nửa cũng xảy ra ở FKM khi U thay đổi. Điều khác biệt cơ bản giữa hai mô hình là trong khi pha kim loại ở mô hình Hubbard đƣợc mô tả bởi chất lỏng Fermi thì pha kim loại ở FKM là chất lỏng không Fermi.

1.2.4. Định xứ Anderson [8]

Năm 1958 Anderson công bố bài báo kinh điển (sau này đƣợc trao giải thƣởng Nobel), trong đó ông chứng minh rằng, dƣới tác dụng của thế ngẫu nhiên dáng điệu của hàm sóng electron có thể thay đổi một cách cơ bản, trở thành định xứ, nếu độ ngẫu nhiên đủ mạnh [9].

Anderson xét một mô hình liên kết mạnh mô tả bằng Hamiltonian:

14

, (1.2.6)

trong đó ngụ ý chỉ tính đến tƣơng quan giữa các nút lân cận gần nhất; yếu

tố chéo là ngẫu nhiên, tuân theo phân bố đều:

Bài toán này có hai tham số: V đặc trƣng cho mức độ phủ nhau của hàm sóng electron ở các nút lân cận gần nhất (khả năng lan truyền) và W là số đo mức độ mất trật tự của hệ. Anderson chứng minh rằng, với mỗi loại mạng, tồn tại một giá trị ngƣỡng (W/V)c mà nếu (W/V)<<(W/V)c thì trạng thái electron trong hệ có thể lan truyền ra xa (trạng thái lan truyền – extended states), còn nếu (W/V)>>(W/V)c thì trạng thái electron bị định xứ (localized states):

, (1.2.7)

trong đó là độ dài định xứ (localization length), kích thƣớc đặc trƣng của

trạng thái.

Anderson nhận đƣợc kết quả trên bằng sử dụng lý thuyết nhiễu loạn. Sau này một lƣợng lớn các công trình tính toán số của nhiều nhà khoa học khác đã khẳng định kết luận của Anderson, đồng thời cho giá trị cụ thể của (W/V)c đối với các loại mạng khác nhau, chẳng hạn với mạng lập phƣơng đơn giản với hypercube bốn chiều

Mott là ngƣời đầu tiên đã mang lại cho mô hình Anderson một nội dung vật lý cụ thể, làm cho nó trở nên “đo đƣợc”. Theo Mott, mất trật tự (thăng giáng) dẫn đến xuất hiện các trạng thái trong vùng cấm. Các trạng thái ở đuôi vùng (nơi mật độ trạng thái nhỏ) bị định xứ. Các trạng thái định xứ phân tách với các trạng thái truyền qua bằng một ranh giới, gọi là ngƣỡng linh động (mobility edge), nhƣ mô tả bằng Ec (trên hình 1.1)

15

Hình 1.1: Cấu trúc vùng của vật liệu không trật tự; Ec là ngưỡng linh động.

Nếu mức Fermi nằm trong miền các trạng thái truyền qua (Hình 1.1)

thì độ dẫn điện ở nhiệt độ không của hệ có giá trị khác không. Còn,

nếu nằm trong vùng các trạng thái định xứ thì . Bằng cách nhƣ

vậy, Mott đã gắn định xứ với (là đại lƣợng đo đƣợc): là hữu

hạn nếu (W/V)<< (W/V)c và nếu (W/V)>> (W/V)c .

Hơn nữa, Mott còn đề xuất một cơ chế chuyển pha kim loại – điện môi.

Trong thực nghiệm, ngƣời ta có thể dịch chuyển vị trí mức Fermi bằng

thay đổi mật độ điện tử. Đồng thời, vị trí các ngƣỡng linh động cũng có thể xê dịch bằng thay đổi nồng độ tạp. Thành ra, bằng thay đổi nồng độ tạp hoặc thay đổi mật độ electron ta có thể thay đổi vị trí tƣơng đối giữa các mức

Fermi và ngƣỡng linh động, chuyển hệ từ trạng thái kim loại, ứng với mức

Fermi nằm trong vùng truyền qua và sang trạng thái điện môi,

ứng với mức Fermi nằm trong vùng định xứ và . Loại chuyển pha

kim loại – điện môi nhƣ vậy đã quan sát đƣợc chẳng hạn ở các bán dẫn pha tạp (doped semiconductors) (Hình 1.2 bên dƣới)

16



T > 0

T = 0

W

Wc

(b)

(a)

Hình 1.2: Minh họa: a) Sự phụ thuộc của độ dẫn vào nồng độ hạt tải ở bán dẫn pha tạp Si:P [10]. b) Dáng điệu điển hình của độ dẫn như là hàm của bất trật tự.

17

CHƢƠNG 2. HÀM GREEN VÀ LÝ THUYẾT TRƢỜNG TRUNG BÌNH ĐỘNG (DMFT) VÀ DMFT TUYẾN TÍNH HÓA

2.1. PHƢƠNG PHÁP HÀM GREEN [11]

Một trong những phƣơng pháp hữu hiệu để nghiên cứu vật lý hệ nhiều hạt là sử dụng hàm Green vật lý để giải các phƣơng trình vi phân. Nó đƣợc phát triển từ thế kỉ 19 nhằm tiếp cận các bài toán trong âm học, tĩnh học, thủy động lực học. Vào những năm 1950 và 1960 các hàm Green lƣợng tử đƣợc Feynman và Schwinger đề xuất nhƣ là các hàm truyền trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử. Ngay sau đó chúng đƣợc mở rộng cho vật lí thống kê và hệ nhiều hạt. Những hàm truyền này chính là các hàm tƣơng quan liên kết giữa các vị trí và các thời điểm khác nhau. Hàm Green vật lý có thể là hàm Green một hạt hay hàm Green nhiều hạt. Khi hàm Green đƣợc xác định thì các tính chất vật lý của hệ tƣơng ứng với các tính chất một hạt hay nhiều hạt cũng đƣợc xác định theo. Trong phần này sẽ đƣa ra các định nghĩa về hàm Green trong vật lý lƣợng tử đƣợc Zubarev đƣa ra vào năm 1960 để giải gần đúng các bài toán trong vấn đề tƣơng quan mạnh.

Hàm Green hai thời gian thông thƣờng ở ba dạng: Hàm Green trễ, hàm Green sớm và hàm Green nhân. Trong đó hàm Green trễ và hàm Green sớm hay đƣợc áp dụng trong nghiên cứu các hệ vật lý cụ thể.

2.1.1. Định nghĩa hàm Green trễ G hàm Green sớm G

Hàm Green trễ đƣợc định nghĩa là:

(2.1) .

Các kí hiệu trên là đối với các hạt boson, khi là giao hoán tử.

Các kí hiệu dƣới là cho fermion, khi là phản giao hoán tử.

Hơn nữa, , vì vậy mà sinh ra một hạt ở vị trí với

một hình chiếu spin (nếu hạt có spin).

Hàm Green sớm đƣợc xác định nhƣ sau:

18

(2.2) .

Chú ý rằng: chỉ khi t>t’ và chỉ khi t

Ngoài ra hai dạng khác của hàm Green, đƣợc gọi là “G- lớn hơn” và “G- nhỏ hơn” cũng đƣợc định nghĩa là:

(2.3) .

(2.4) .

Trong kí hiệu G< trên là cho fermion và dƣới là cho boson. Các hàm Green trễ

và hàm Green sớm sau đó có thể viết dƣới dạng:

(2.5) .

(2.6) .

Sau đây chúng ta sẽ làm rõ kí hiệu và sự phụ thuộc thời gian ở

các công thức trên. Chúng ta sẽ xem xét một hệ vĩ mô ở trạng thái cân bằng

nhiệt động lực học tại nhiệt độ T (có thể bằng 0 hoặc khác 0). Kí hiệu

biểu diễn trung bình nhiệt động và trung bình lƣợng tử ở hệ này. Nói chung, có hai kiểu tập hợp có thể mô tả trong hệ là: tập chính tắc và tập chính tắc lớn.

Trong tập chính tắc số hạt N trong hệ là ấn định, và hệ có thể trao đổi năng lƣợng với nguồn. Năng lƣợng trung bình của hệ đƣợc xác định bởi nhiệt độ T. Trung bình thống kê lƣợng tử của một toán tử tùy ý A trong tập này đƣợc đƣa ra bởi:

(2.7) ,

19

ở đây là trạng thái riêng của hệ mô tả bằng Hamiltonian H với giá trị riêng

và là hàm phân bố. Chúng ta có thể viết giá trị kỳ En,

vọng trong một cơ sở độc lập bằng cách xác định ma trận mật độ.

(2.8)

Và (2.9)

Với định nghĩa này, chúng ta có thể viết:

(2.10) .

Trong tập chính tắc lớn hệ không có số hạt ấn định. Thay vào đó, hệ hạt có thể trao đổi (ngoài năng lƣợng) với nguồn. Nhƣ vậy chúng ta cần một tham số

khác (ngoài nhiệt độ T), cụ thể là thế hóa học , xác định số hạt trung bình

trong hệ, ma trận mật độ của tập này đƣợc xác định bởi:

(2.11) .

(2.12) .

Trong đó N là toán tử số hạt. Với những định nghĩa của và Z nhƣ trên, ta

lại có:

(2.13) .

Đánh giá thực tế vết này là thuận tiện khi sử dụng cơ sở bao gồm các trạng

thái riêng của toán tử H- . Lƣu ý rằng tổng số hạt trong một trạng thái

riêng này là xác định (khi H bảo toàn tổng số hạt), nhƣng có thể là một số không âm tùy ý.

2.1.2. Một số dạng khác của các hàm Green

20

Các hàm Green đƣợc định nghĩa cho đến nay đƣợc gọi là hàm Green không - thời gian, vì chúng liên quan đến việc sinh và hủy của các hạt ở những vị trí xác định trong không gian và thời gian. Chúng ta cũng có thể định nghĩa các hàm Green tƣơng tự trong các cơ sở khác với không gian vị trí (chính xác hơn, cơ sở không gian spin khi các hạt có spin). Ví dụ, trong nhiều vấn đề, đặc biệt là các bài toán với bất biến tịnh tiến trong không gian, ngƣời ta thƣờng sử dụng hàm Green liên quan đến việc sinh/ hủy của các hạt trong

một trạng thái xung lƣợng nhất định đặc trƣng bởi xung lƣợng . Tùy thuộc vào vấn đề cần quan tâm mà hàm Green liên quan đến việc sinh/ hủy của các hạt trong các trạng thái đơn hạt khác cũng có thể hữu ích. Sau đây là việc biến đổi hàm Green sang cơ sở khác (từ hàm Green không –thời gian đã biết).

Xét một cơ sở ( ví dụ: . Chúng ta có thể viết:

(2.14) .

Trong đó là hàm sóng đơn hạt ở trạng thái . Viết

và (ở đây là trạng thái “chân không” không chứa

các hạt nào), sau đó chúng ta có mối quan hệ sau đây giữa các toán tử trong cơ sở x và cơ sở v:

(2.15) .

Lấy liên hợp Hermitian biểu thức này ta có mối quan hệ giữa các toán tử hủy tƣơng ứng:

(2.16) .

Ví dụ khi thì:

. (2.17)

21

Và do đó ta cũng có:

. (2.18)

Để đi đến biểu thức cuối cùng trong (2.17) và (2.18), chúng ta đã xét hệ hạt trong một khối lập phƣơng 3D có thể tích với điều kiện biên tuần hoàn, vì vậy

(2.19)

Sau đây chúng ta sẽ xét hàm Green đối với các hệ bất biến tịnh tiến trong

không gian . Trong một hệ mà bất biến tịnh tiến trong không gian, các hàm

Green không – thời gian không thể phụ thuộc vào và một cách riêng

biệt, mà chỉ phụ thuộc vào hiệu . Trong các hệ này một cách tự nhiên

khi xét hàm Green trong không gian , vì nó trở nên chéo

theo chỉ số . Chúng ta có:

= . (2.20)

Khi vế trái chỉ phụ thuộc vào , sự phụ thuộc vào ở vế phải cần biến

là khác không chỉ khi

mất, có nghĩa là hàm Green trong không gian tức là:

. Nhƣ thế chúng ta có ngay:

. (2.21)

Trong đó:

(2.22)

22

Nếu Hamiltonian không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian, tức là Hamiltonian là bất biến tịnh tiến theo thời gian, các hàm Green sẽ không phụ thuộc vào t và t’ một cách riêng biệt, mà chỉ phụ thuộc vào hiệu của t-t’. Khi đó thực hiện biến đổi Fourier của hàm Green ở biến thời gian sẽ rất thuận lợi. Biến đổi Fourier và nghịch đảo của nó đƣợc xác định là:

. (2.23)

. (2.24)

( ở đây chúng ta đã bỏ tất cả các biến số khác với các biến thời gian/ tần

số trong kí hiệu)

2.1.3. Ví dụ: hàm Green cho các điện tử không tƣơng tác

cho hệ điện tử không tƣơng tác.

Ta tính hàm Green trong không gian Trong trƣờng hợp này, Hamiltonian đƣợc xác định bởi:

, (2.25)

ở đây: và là thế hóa học. Vì H là chéo theo và , các hàm

. Chúng ta sẽ nghiên cứu hàm Green

Green cũng sẽ đƣợc chéo theo và trễ.

, (2.26)

Chỉ số 0 trên hàm Green đề cập đến bản chất không tƣơng tác của Hamiltonian.

Để tính toán hàm Green, chúng ta cần phải làm việc với toán tử fermion phụ thuộc thời gian. Bởi vì

(2.27)

23

Ta có:

(2.28)

Lấy tích phân phƣơng trình vi phân này cho:

(2.29)

(2.30)

Chúng ta thấy ngay sự phụ thuộc thời gian của các toán tử là rất đơn giản đối với các điện tử không tƣơng tác. Bây giờ chúng ta nhận đƣợc hàm Green lớn hơn.

(2.31)

trong đó:

(2.32)

là hàm phân bố Fermi- Dirac. Ở nhiệt độ bằng 0 trở thành do

đó một trạng thái bị chiếm nếu và trống nếu . Việc tính toán

hàm Green nhỏ hơn hoàn toàn tƣơng tự :

(2.33)

Hàm Green trễ có thể đƣợc tìm thấy từ (2.5) cho ta biểu thức sau:

(2.34)

Thực hiện biến đổi Fourier của hàm ta thu đƣợc:

(2.35)

24

Để làm cho các tích phân hội tụ tại các giới hạn trên, chúng ta cho

ở đó là một vô cùng bé. Điều này dẫn tới:

. (2.36)

Nhƣ vậy hàm Green này đƣợc coi là một hàm của với ấn định, có

một cực đại , tức là tại năng lƣợng kích thích của hệ, ngoại trừ

cực đƣợc dịch chuyển vô cùng nhỏ ra khỏi trục thực ở mặt phẳng phức và nằm ở nửa mặt phẳng dƣới. Do đó, biến đổi Fourier của hàm Green trễ có các thuộc tính sau, nó giải tích ở nửa mặt phẳng trên, và vị trí của các cực của nó( tất cả trong nửa mặt phẳng dƣới) cho ta thông tin về các năng lƣợng kích thích của hệ.

2.1.4. Tính chất cơ bản của hàm Green

Xét hàm Green của hệ Hamiltonian H có dạng: .

Nếu toán tử H có phổ gián đoạn thì: .

Hay trong biểu diễn thì .

Vì trị riêng của H (là En trong tổng và E trong tích phân) luôn là thực, do đó hàm Green G(z) giải tích khắp nơi trên mặt phẳng phức trừ những điểm z trùng với trị riêng của H trên trục thực.

Nếu z trùng với trị riêng gián đoạn En của H thì tại đó hàm Green có cực điểm đơn. Nhƣ vậy ta có thể xác định phổ trị riêng gián đoạn của H (các mức năng lƣợng gián đoạn) bằng cách tìm các cực của hàm Green tƣơng ứng. Đây là một kết luận quan trọng khi ứng dụng hàm Green vào vật lí chất rắn.

25

Nếu z trùng với trị riêng E của H thì hàm Green G(z) không xác định.

Tuy nhiên tại các điểm lân cận thì hàm Green luôn giải tích với

mọi dù nhỏ. Khi đó ta có hai hàm Green giới hạn:

Các hàm Green có quan hệ trực tiếp với mật độ trạng thái, là

đại lƣợng rất quan trọng trong vật lí chất rắn. Sử dụng đồng nhất thức ta đƣợc:

trong đó P là kí hiệu trị chính, ta có thể viết lại yếu tố chéo của dƣới dạng:

Sau khi tích phân theo ta đƣợc:

Theo định nghĩa, mật độ trang thái: nên so sánh với

phƣơng trình trên ta đƣợc:

(2.37)

2.2. LÝ THUYẾT TRƢỜNG TRUNG BÌNH ĐỘNG

Lí thuyết trƣờng trung bình động DMFT (Dynamical Mean Field Theory) đƣợc bắt đầu phát triển vào cuối những năm 1980 tới đầu những năm 1990 bởi các nhà vật lý W. Metzner và D. Vollhardt [12] và Miiller- Hartmann [13]. Các bƣớc phát triển tiếp theo là của A. Georges và G. Kotliar[14] và Jarrel [15]. Cho đến sau một phần tƣ thế kỉ phát triển, lí thuyết đã đƣợc hoàn chỉnh và cho phép tính toán trên các vật liệu thực tế.

26

Hình 2.1. Lý thuyết trường trung bình động DMFT. Chất rắn được thay thế bằng một nguyên tử trao đổi với các điện tử trong một môi trường tự hợp. Thăng giáng lượng tử được tính đến đầy đủ, nhưng thăng giáng trong không gian đã bị bỏ qua.

DMFT bắt nguồn cùng ý tƣởng với các lí thuyết trƣờng trung bình trƣớc đây, là thay vì giải bài toán tổng quát cho cả hệ nhiều hạt, ta quy chúng về bài toán một hạt tƣơng tác với các phần còn lại đƣợc xem nhƣ là một trƣờng trung bình (Hình 2.1). Thông thƣờng thì trong các phƣơng pháp trƣờng trung bình trƣớc đây, ví dụ nhƣ trƣờng trung bình Weiss, hay trƣờng trung bình Hartree- Fock thì vấn đề nhiều hạt tƣơng tác ban đầu đƣợc đƣa về bài toán hiệu dụng một hạt bằng phƣơng pháp lấy trung bình các tham số trong hệ, có nghĩa là bỏ qua tất cả các thăng giáng lƣợng tử. Chính vì vậy những phƣơng pháp này chỉ cho kết quả gần đúng trong giới hạn tƣơng tác trong hệ là yếu, có nghĩa là những thăng giáng lƣợng tử là nhỏ và hoàn toàn có thể bỏ qua đƣợc. Lý thuyết này đã thành công trong việc giải thích những hiện tƣợng vật lí chất rắn trên kim loại, bán dẫn và cả siêu dẫn nhiệt độ thấp. Song khi tƣơng tác các điện tử trong hệ là tƣơng đối lớn so với động năng của chúng, thì gần đúng trƣờng trung bình lại không thể giải thích đƣợc, đơn giản là vì lúc này những thăng giáng lƣợng tử không thể bỏ qua đƣợc. Sau đây là ý tƣởng chính của DMFT.

2.2.1. Lý thuyết trƣờng trung bình động cho hệ đồng nhất [16]

27

Để dễ dàng hình dung chúng tôi trình bày DMFT thông qua việc áp dụng nó vào mô hình Hubbard. Mô hình Hubbard có Hamiltonian đƣợc cho nhƣ sau:

(2.38)

trong đó là toán tử sinh hủy điện tử tại nút i có spin , tij là các tham

số nhảy nút giữa các nút i và j khác nhau, U là tƣơng tác Coulomb địa phƣơng của hai điện tử tại cùng một nút trong mạng. Các điện tử chỉ tƣơng tác với

nhau khi chúng cùng định xứ trong cùng một nút, là thế hóa. Ở đây

là toán tử số điện tử tại nút i.

Để đơn giản chúng ta chỉ xét pha thuận từ và mạng tinh thể hình vuông

d chiều. Đối với mạng này số nút lân cận gần nhất là Ở giới hạn

năng lƣợng riêng là một hàm địa phƣơng trong không gian, có nghĩa

là:

. (2.39)

Khai triển Fourier của (2.39) ta thu đƣợc:

(2.40)

chúng ta có thể thay thế mạng tƣơng tác ban đầu bằng Vậy ở giới hạn mô hình hiệu dụng của một nút gắn với một môi trƣờng tự hợp tạo bởi động lực của tất cả các nút khác trong mạng. Mô hình bài toán một nút gắn liền với môi trƣờng tự hợp có thể miêu tả bằng động lực học tại một nút theo hàm tác động

. (2.41)

Ở đây hàm đóng vai trò nhƣ trƣờng hiệu dụng Weiss. Ý nghĩa vật

lí của trƣờng hiệu dụng là ở chỗ nó nhƣ biên độ hiệu dụng đối với điện tử

28

(tới từ môi trƣờng hiệu dụng ra đƣợc tạo ra trên nút đang xét ở thời điểm (quay ngƣợc trở lại môi trƣờng hiệu ngoài) và bị phá hủy tại thời điểm dụng). Điểm thành công của hàm Weiss suy rộng ở đây là một hàm phụ thuộc vào thời gian thay cho một số trong trƣờng trung bình cổ điển. Nhƣ thế, lý thuyết trƣờng trung bình động diễn ra ở đây tính tới một cách đầy đủ thăng giáng địa phƣơng. Tuy nhiên nó lại bỏ qua thăng giáng phi địa phƣơng trong

không gian. Từ hàm tác động (2.41) ta thấy ( ) đóng vai trò của hàm

Green địa phƣơng không tƣơng tác của mô hình mạng tinh thể ban đầu.

Điều kiện tự hợp để xác định hàm chính là hàm Green thu đƣợc từ mô

hình hiệu dụng một nút (2.41) trùng với hàm Green địa phƣơng tại một nút của mạng ban đầu

(2.42)

Nghĩa là chúng ta đòi hỏi hàm Green của mạng và hàm Green của tạp tƣơng ứng phải bằng nhau. Ở đây hàm Green địa phƣơng tại một nút đƣợc tính thông qua hàm Green toàn mạng:

, (2.43)

Năng lƣợng riêng của hàm Green (2.42) đƣợc xác định thông qua phƣơng

trình Dyson

(2.44)

Nhƣ vậy ta thu đƣợc phƣơng trình tự hợp khép kín. Để giải hệ phƣơng trình này chúng ta có thể dùng phƣơng pháp lặp. Vòng lặp tự hợp có thể đƣợc viết nhƣ sau:

29

(2.44) (2.43)

(2.42)

Hình 2.2: Sơ đồ khối giải hệ phương trình DMFT bằng phương pháp lặp

Cách tính trong hình 2.2 bắt đầu từ lời giải của AIM có chứa năng lƣợng riêng

nào đó thế vào phƣơng trình (2.43), tính hàm Green địa phƣơng

Từ phƣơng trình Dyson (2.44) chúng ta tính đƣợc Giải (2.42)

ta thu đƣợc và . Sử dụng điều kiện tự hợp chúng ta có

ngay và lặp lại quá trình tính toán trên cho đến khi thu

đƣợc nghiệm.

Vấn đề quan trọng và tốn khá nhiều thời gian tính toán nhất là giải bài toán hiệu dụng một nút (2.41). Có rất nhiều phƣơng pháp khác nhau về cả giải tích lẫn tính số, gần đúng hay chính xác để giải bài toán một nút (2.41) nhƣ phƣơng pháp mô phỏng Monte- Carlo, phƣơng pháp chéo hóa chính xác, phƣơng pháp nhiễu loạn lặp, phƣơng pháp phƣơng trình chuyển động. Một trong những thành công của DMFT là chỉ ra chuyển pha kim loại điện môi trong mô hình Hubbard lấp đầy một nửa.

30

, tại nhiệt độ T=0 và với tỷ

Hình 2.3: Kết quả của DMFT cho số U/t* = 1,2.5,3,4 ( từ trên xuống dưới) [17].

Trong hình 2.3 thể hiện kết quả của DMFT cho mô hình Hubbard. Khi U nhỏ, hệ ở trạng thái kim loại, thể hiện mật độ trạng thái tại mức Fermi hữu hạn. Trong trạng thái kim loại xuất hiện đỉnh cộng hƣởng, đó là hệ quả của kích thích chuẩn hạt, xuất hiện xung quang năng lƣợng Fermi. Khi U tăng lên, mật độ trạng thái thể hiện cấu trúc ba đỉnh: Hai phần đối xứng nhau, cách nhau một khoảng cỡ U và các tiểu vùng Hubbard và đỉnh chuẩn hạt ở mức Fermi chính là cộng hƣởng Kondo đƣợc hình thành từ kết hợp cặp Kondo. Khi U tăng lên tiếp, đến một giá trị nào đó đỉnh Kondo biến mất và mật độ trạng thái có khe năng lƣợng xuất hiện. Điều đó thể hiện hệ chuyển đổi từ pha kim loại sang pha điện môi.

31

DMFT cho kết quả tốt trong việc khảo sát tại lân cận của chuyển pha Mott trong hệ sạch, rất tốt để dự đoán tính chất của các ôxít kim loại chuyển tiếp, hệ Fermi nặng và điện môi Kondo. Nó cũng đƣa ra đƣợc thông số trật tự động lực học, đặc trƣng cho sự khác biệt định lƣợng của các pha. Mặt khác, DMFT không cho kết quả tốt khi miêu tả hiện tƣợng bị chi phối bởi thăng giáng không gian.

2.2.2. Lý thuyết trƣờng trung bình động tuyến tính hóa DMFT

Lý thuyết trƣờng trung bình động tuyến tính hóa đƣợc Bulla và Potthoff [18] đề xuất, theo đó đại lƣợng tới hạn UC của chuyển pha kim loại điện môi Mott trong mô hình Hubbard đƣợc tính giải tích. Sau đây là tóm lƣợc phƣơng pháp này ở mô hình Hubbard.

Để đơn giản ở đây chúng ta xét mạng Bether và số phối vị z và

Đối với mạng này mật độ trạng thái trần có dạng bán tròn

, với (2.45)

Thay(2.45) vào (2.43) ta nhận đƣợc (bỏ qua chỉ số spin ):

, (2.46)

trong đó . Từ (2.49) ta suy ra:

(2.47)

(2.48) Hay

Từ và (2.47) điều kiện tự hợp

( ) trở thành

32

(2.49)

Khi chuyển pha kim loại- điện môi xảy ra từ phía pha kim loại khi T=0, đỉnh chuẩn hạt xuất hiện cách ly với các vùng Hubbard trên và dƣới. Độ rộng của

đỉnh này triệt tiêu tại giới hạn . Ở giới hạn này ảnh hƣởng của các

vùng Hubbard lên đỉnh chuẩn hạt là hết sức nhỏ. Do vậy Bulla và Potthoff giả thiết đóng góp của các vùng Hubbard trong hàm lai có thể bỏ qua và đỉnh chuẩn hạt đƣợc thay thế bằng một cực điểm đơn tại mức Fermi

, (2.50)

với sẽ đƣợc xác định một cách tự hợp. Khi đó mô hình đơn tạp

,

(trong đó hai số hạng đầu tiên mô tả mức định xứ với năng lƣợng và tƣơng

tác Coulomb U. Số hạng thứ ba mô tả sự liên kết giữa tạp và bể không tƣơng tác, số hạng cuối cùng là năng lƣợng của bể này) trở thành mô hình Anderson hai nút:

, (2.51)

với tại lấp đầy một nửa. Mô hình này đƣợc tính

giải tích để tìm hàm Green với 4 cực điểm: hai cực điểm tại và hai

cực điểm khác gần mức Fermi khi U lớn.

Khi thì ở giới hạn này hàm Green địa phƣơng

đƣợc cho bởi

, (2.52)

33

Trong đó trọng số chuẩn hạt Z ở gần đúng bậc 2 theo có dạng

. (2.53)

Từ (2.49) và (2.52) ,(2.53) chúng ta có hàm lai mới với cực điểm tại và

. (2.54)

Phép lặp khi giải (2.49) đƣợc dừng lại khi , do vậy giá trị tới hạn của

chuyển pha kim loại – điện môi Mott đƣợc cho bởi

(2.55) UC =6t=1.5 W,

trong đó độ rộng vùng của mật độ trạng thái trần W=4t. Với U< UC thì

tăng theo hàm mũ cùng với số lần lặp và sau đó gần đúng cực điểm đơn của

giảm theo hàm mũ để ta có =0, bị phá vỡ. Còn khi U> UC thì

tƣơng ứng với lời giải tại pha điện môi.

Tóm lại, gần đúng chủ yếu đƣợc dùng ở lý thuyết trƣờng trung bình động tuyến tính hóa là cấu trúc một cực điểm của hàm lai hiệu dụng. Phƣơng pháp này cho phép tính toán giải tích tƣơng tác tới hạn của chuyển pha kim loại điện môi Mott tại nhiệt độ T=0K. Nó có thể đƣợc mở rộng cho nhiều loại mạng khác nhau, cho mô hình nhiều vùng cũng nhƣ mô hình bất đối xứng

( ) và mô hình với bất trật tự.

34

CHƢƠNG 3. GIẢN ĐỒ PHA KIM LOẠI- ĐIỆN MÔI Ở MÔ HÌNH

ANDERSON- FALICOV- KIMBALL LẤP ĐẦY MỘT NỬA

3.1. MÔ HÌNH VÀ HÌNH THỨC LUẬN

Ở công trình [19] lý thuyết môi trƣờng điển hình (TMT) đã đƣợc Byczuk sử dụng để thu đƣợc giản đồ pha kim loại – điện môi ở mô hình Anderson- Falicov- Kimball lấp đầy một nửa. Trong chƣơng này chúng tôi dẫn giải chi tiết các công thức chủ yếu cũng nhƣ các kết quả chính thu đƣợc ở công trình này.

Mô hình Anderson- Falicov- Kimball đƣợc định nghĩa bởi Hamiltonian sau:

, (3.1)

trong đó , là toán tử sinh hủy điện tử không spin tại nút i của mạng

tinh thể và , ; tij là thông số nhảy nút của điện tử c từ nút j

sang nút i , lân cận gần nhất , là năng lƣợng ngẫu nhiên tuân theo phân bố

đều , với là hàm bƣớc và U là tƣơng tác Coulomb

trên nút giữa điện tử linh động c và định xứ f , mức năng lƣợng của điện tử f định xứ đƣợc chọn bằng 0. Thông số là độ đo mất trật tự.

Mô hình Anderson- Falicov- Kimball trong đó có sự tƣơng tác và bất trật tự đƣợc giải trong khuôn khổ của DMFT. Đƣa vào các hàm Green:

và

ta có thể nhận đƣợc hệ phƣơng trình nhƣ sau :

, (3.2)

35

(3.3)

Do số hạt định xứ bảo toàn bằng 0 hoặc bằng 1 và do đó ta

có . Năng lƣợng riêng phụ thuộc nút liên hệ với các hàm

Green bởi:

Hệ phƣơng trình (3.2)- (3.3) cho lời giải:

, (3.4)

trong đó là hàm lai và w = < nf >. Theo lý thuyết DMFT hàm Green địa

phƣơng (phụ thuộc ) có dạng:

, (3.5)

Cho một hàm lai , trƣớc hết chúng ta giải các bài toán tạp và tính các

mật độ trạng thái địa phƣơng (LDOS).

, (3.6)

Từ đó ta có thể thu đƣợc LDOS trung bình nhân:

, (3.7)

Hoặc là LDOS tính trung bình cộng :

(3.8)

36

Trong đó là trung bình cộng (kì vọng) của .

Ở đây chúng tôi sử dụng là giá trị ngẫu nhiên độc lập, đƣợc đặc trƣng bởi

hàm phân phối xác suất Hàm Green của mạng nhận đƣợc thông qua

phép biến đổi Hilbert

, (3.9)

trong đó chỉ số có thể là “geom”( nhân) hoặc “arith” (cộng)

Năng lƣợng riêng đƣợc xác định từ phƣơng trình Dyson

Phƣơng trình DMFT tự hợp đƣợc khép kín thông qua biến đổi Hilbert

, ở đây là mật độ không tƣơng

tác của các trạng thái.

Mô hình Anderson-Falicov- Kimball (3.1) đƣợc giải với mật độ trạng thái

trần dạng nửa elipptic Với mật độ trạng thái

này ta tìm đƣợc một liên hệ đơn giản giữa hàm Green và hàm lai:

. Trong trƣờng hợp lấp đầy một nửa, các tính chất ở trạng

thái cơ bản đƣợc xác định bởi các đặc trƣng của trạng thái lƣợng tử tại mức

Fermi ( ). Hàm phân phối xác suât và năng lƣợng ngẫu nhiên

tuân theo phân bố đều với là hàm bƣớc. Thông số

là độ đo mất trật tự. Pha kim loại đƣợc đặc trƣng bởi >0, điện

môi Mott (có khe cấm) xảy ra khi =0, và điện môi Anderson (không

có khe cấm) xảy ra khi =0 , >0.

37

Để tiến hành tính toán tiếp theo chúng tôi sử dụng lý thuyết trung bình

động tuyến tính hóa. Do tính đối xứng của chúng tôi thấy rằng hàm

Green ở tâm vùng thuần ảo: . Thật vậy:

Theo phép biến đổi Hilbert ta có

) ( do

Do đó

Suy ra :

Do tính đối xứng điện tử- lỗ trống, ta có hay là

hàm chẵn nên là hàm lẻ, do đó lấy cận tích phân đối xứng ta suy ra

Vì thế :

Từ điều kiện tự hợp của DMFT dẫn tới hệ thức quy hồi

trong đó bƣớc lặp thứ (n+1) ở vế trái nhận đƣợc

từ kết quả của bƣớc lặp thứ (n) ở vế phải.

Chúng ta có thể giải phƣơng trình tự hợp của DMFT bằng phƣơng pháp lặp

nhƣ sơ đồ trình bày ở hình 3.1.

38

G(0

)

Lấy TBC hay TBN

Kiểm tra điều kiện hội tụ

(3.4) , (3.5)

Hình 3.1. Sơ đồ khối giải hệ phương trình DMFT bằng phương pháp lặp

Vì nên

mà

Suy ra:

Sử dụng phƣơng trình (3.4) và phƣơng trình (3.5) và mở rộng chúng với

chúng ta nhận đƣợc biểu thức quy hồi DMFT. Xét hệ lấp đầy một

nửa, ta có , w = )

Đặt (c nhỏ tại gần biên pha), vì thuần ảo. Suy ra:

39

(Bỏ các số hạng chứa cn với )

Suy ra

Với

Suy ra:

Hay

(3.10)

40

trong đó (3.11)

Các mối quan hệ quy hồi trong DMFT tuyến tính hóa với trung bình nhân 2 vế của (3.10) là

(3.12) Suy ra

. Chúng tôi thu đƣợc các phƣơng trình xác định tại Cho

các đƣờng cong ranh giới tức là:

(3.13)

Và trong hệ quy hồi DMFT tuyến tính hóa với tính trung bình cộng 2 vế của (3.10) là

(3.14) Suy ra

, Suy ra

, (3.15)

41

đối với trung bình cộng.

Trong đó :

(3.16)

Để có đƣợc phƣơng trình (3.16) trên ta có thể làm nhƣ sau: Đặt

Xét

Xét : đặt

42

đặt

Từ đó thay b= và lấy cận tích phân từ , ta nhận đƣợc công

thức (3.16):

và ta sẽ chứng minh (3.17)

Ta thay và lấy cận tích phân từ , ta nhận đƣợc công thức

(3.17) nhƣ sau:

với

43

Xét

=

=

Do đó ta có: .

Các lời giải của phƣơng trình (3.13) và (3.15) đƣợc hiển thị dƣới dạng các đƣờng cong ở phần trên và phần dƣới của hình (3.2) tƣơng ứng. Tại nhỏ, lời giải của phƣơng trình (3.13) (L-DMFT với trung bình hình học) đƣợc tìm

thấy là . Đƣờng cong trong

phƣơng trình (3.15) cũng là một giải pháp chính xác của L- DMFT với trung

bình cộng khi Nhƣ vậy khi nhỏ, hai cách tiếp cận cho cùng một kết

quả.

3.2. KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN

Thực hiện tính số để giải phƣơng trình (3.13) –(3.17) và từ đó tính các mật độ trạng thái địa phƣơng (LDOS). Tại hình 3.2 này cũng nhƣ các hình tiếp theo chúng tôi chọn W làm đơn vị năng lƣợng. Lời giải các phƣơng trình (3.13) –(3.17) đƣợc thể hiện trên hình 3.2.

44

Hình 3.2. Giản đồ pha điện tử ở mô hình Anderson- Falicov- Kimball lấp đầy một nửa tại nhiệt độ không tuyệt đối.

Có ba pha đƣợc tìm thấy: Pha kim loại xuất hiện trong miền U và

nhỏ, pha điện môi Mott ổn định khi U tăng, còn pha điện môi Anderson trội lên khi lớn. Thêm vào đó, sự xuất hiện bất trật tự làm tăng tƣơng tác tới hạn đối với chuyển pha Mott – Hubbard bắt đầu từ UC =W/2=1/2. Mặt khác cƣờng độ bất trật tự tới hạn đối với định xứ Anderson tăng khi tƣơng tác nhỏ

( ), bắt đầu từ giá trị đƣợc tính chính xác (U=0) =e/2 (

e là hằng số Euler, sau đó bị giảm xuống bởi tƣơng tác mạnh hơn.

) lý thuyết L- DMFT với

Chúng tôi thấy rằng tại bất trật tự nhỏ ( trung bình cộng và trung bình nhân cho cùng một kết quả.

Ngoài ra, giản đồ pha kim loại- điện môi ở mô hình AFKM lấp đầy một

nửa thu đƣợc ở đây có dạng tƣơng tự nhƣ giản đồ ở mô hình Anderson-

Hubbard lấp đầy một nửa nhận ở các công trình [20, 21].

45

Tiếp theo, chúng tôi tiến hành tính số theo sơ đồ 3.1 để tính LDOS

trung bình nhƣ là hàm của khi U=0.25 (nhỏ).

Hình 3.3. Mật độ trạng thái trung bình tại mức Fermi ( như là hàm

của thông số đo độ mất trật tự ở w=0.5 và U=0.25

Từ đồ thị ta thấy với thì Ageom(0) > 0; Aarith >0, suy ra hệ là kim

loại.Với

thì Ageom(0) = 0; Aarith >0 suy ra hệ là điện môi Anderson, khi thì hai kiểu lấy trung bình cộng và trung bình nhân cho cùng một kết tăng thì Ageom(0) và Aarith(0) đều giảm, nhƣng Ageom giảm nhanh chuyển pha kim loại - điện môi Anderson xảy ra (Ageom(0)

). Kết quả này phù hợp với giản đồ pha ở hình 3.2 quả, khi hơn. Tại =0, tại đây Aarith(0)

Tiếp theo, chúng tôi tiến hành tính số theo sơ đồ 3.1 để tính LDOS

trung bình nhƣ là hàm của khi U=0.75 (lớn).

46

Hình 3.4. Mật độ trạng thái trung bình tại mức Fermi ( như là hàm

của thông số đo độ mất trật tự ở w=0.5 và U=0.75.

Từ đồ thị ta thấy ở trƣờng hợp này khi nhỏ Trên hình 3.4 hàm mật độ trạng thái đƣợc vẽ cho trƣờng hợp U=0.75, w= 0.5. thì Ageom(0) =0;

Aarith=0 suy ra hệ là điện môi Mott, khi thì Ageom(0) > 0; Aarith >0

; Ageom(0) =0; Aarith >0 : hệ ở pha điện môi suy ra hệ ở pha kim loại và Anderson. Kết quả tính số phù hợp với kết quả giải hệ phƣơng trình (3.13) – (3.17).

47

CHƢƠNG 4. KẾT LUẬN

Những kết quả chính mà đề tài thu đƣợc là:

+ Giới thiệu tổng quan về mô hình Falicov- Kimball và phân loại các

điện môi.

+ Trình bày những khái niệm về chuyển pha kim loại điện môi Mott và

định xứ Anderson.

+ Giới thiệu về hàm Green: định nghĩa, một số tính chất cơ bản và cách tính trong một vài trƣờng hợp đơn giản; đồng thời dẫn ra lý thuyết trƣờng trung bình động DMFT cho hệ đồng nhất và lý thuyết trƣờng trung bình động tuyến tính hóa.

+ Dẫn giải chi tiết các công thức chủ yếu từ công trình của Byczuk [19] về chuyển pha kim loại – điện môi trong mô hình Anderson- Falicov- Kimball lấp đầy một nửa, nhận đƣợc từ lý thuyết môi trƣờng điển hình. Tiến hành giải số các phƣơng trình từ lý thuyết trƣờng trung bình tuyến tính hóa, cũng nhƣ tính mật độ trạng thái trung bình tại mức Fermi, từ đó nhận đƣợc giản đồ pha kim loại – điện môi ở mô hình AFKM. Qua đây có thể hiểu đƣợc cách thức áp dụng lý thuyết môi trƣờng điển hình cho hệ mà ở đó có mặt đồng thời tƣơng quan điện tử và mất trật tự, nhƣ mô hình Anderson – Hubbard hay mô hình AFKM có tính tới mất trật tự của tƣơng tác Coulomb.

48

TÀI LIỆU THAM KHẢO

J. Hubbard, Electron correlation in narrow energy bands, Proc. Roy.

[1] Soc. ( London) A 276 , 238 (1963).

[2] L. M. Falicov and J.C. Kimball, “ Simple Model for Semiconductor- Metal Transitions: SmB6 and Transition- Metal Oxides”, Phys. Rev. Lett. 22, 997( 1969).

[3] D. Vollhardt , Investigation of correlated electron systems using the limit of high dimensions , Correlated electron systems V9, 57 (1992).

[4] U. Brandt , C. Mielsch, Thermodynamics and correlation functions of the Falicov- Kimball model in large dimensions, Z. Phys. B75, 365 (1989).

[5] P. van Dongen and D. Vollhardt, Exact solution and thermodynamics of the Hubbard model with infinite- range hopping, Phys. Rev. B40, 7252 (1989).

[6] Nguyễn Toàn Thắng, Nhập môn hệ điện tử tƣơng quan mạnh. Bài giảng ( lƣu hành nội bộ).

[7] M. Imada et al., Metal – insulator transitions, Rev. Mod. Phys. 70, 1039

(1998).

[8] Nguyễn Văn Liễn, Hàm Green trong vật lý chất rắn, Nxb ĐH Quốc Gia Hà Nội (2003).

[9] P.W. Anderson, Absence of diffusions in certain random site, Phys. Rev. 109, 1492 (1958).

[10] T. F Rosenbaum et al., Sharp metal- insulator transition in a random solid, Phys. Rev. Lett. 45, 1723 (1980).

[11] Vũ Quang Tuyên, Giáo trình lý thuyết hàm Green, Nxb ĐH Khoa học

tự nhiên Tp Hồ Chí Minh (2009).

49

[12] W. Metzner and Vollhardt, Correlated lattice fermions in dimensions, Phys. Rev. Lett. 62,324 (1989).

[13] E. Miiller- Hartmann Correlated fermions on a lattice in high dimensions, Z. Phys. B Condensed Matter 74,507 (1989).

[14] A. Georges and G. Kothiar, Hubbard model infinite dimensions, Phys. Rev. B 45, 6479 (1992).

[15] M. Jarrell, Hubbard model in infinite dimensions: A quantum Monte Carlo, Phys. Rev. Lett. 69, 168 (1992).

[16] Bùi Kim Cƣơng , Luận văn thạc sĩ, Viện Vật lý, Viện Hàn Lâm Khoa học và Công Nghệ Việt Nam (2014).

[17] A. Georges, G. Kotliar, W. Krauth, and M.J. Rozenberg, Dynamical mean-field theory of strongly correlated fermion systems and the limit of infinite dimensions, Rev. Mod. Phys. 68, 13 (1996).

[18]. R. Bulla, M. Potthoff, “Linearized” dynamical mean field theory for the Mott- Hubbard transition, Eur. Phys. J B 13, 257 (2000).

[19]. K. Byczuk, Metal- insulator transitions in the Falicov- Kimball model with disorder, Phys. Rev. B71, 205105 (2005).

[20]. M. C .O Aguiar et al., Critical behavior at Mott- Anderson transition: a TMT- DMFT perspective, Phys. Rev. Lett. 102, 156402 (2009).

[21]. Hoang Anh Tuan and Nguyen Thi Hai Yen, Constructing electronic phase dingram for the half- filled Hubbard model with disorder, Com. Phys. 28, 163 (2018).