BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -----------------------------
Vũ Thị Vân
GIẢN ĐỒ PHA ĐIỆN TỬ Ở MÔ HÌNH
ANDERSON – HUBBARD LẤP ĐẦY MỘT NỬA
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ
Hà Nội - 2019
BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -----------------------------
Vũ Thị Vân
GIẢN ĐỒ PHA ĐIỆN TỬ Ở MÔ HÌNH
ANDERSON – HUBBARD LẤP ĐẦY MỘT NỬA
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 8440103
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
PGS.TS Hoàng Anh Tuấn
Hà Nội- 2019
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏi của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy PSG.TS Hoàng Anh Tuấn. Mọi kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể. Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kỳ một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên bất kỳ một phương tiện nào. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên
Hà Nội, tháng 04 năm 2019
Tác giả luận văn
Vũ Thị Vân
Lời cảm ơn
Sau một thời gian học tập, nghiên cứu với sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn, động viên của Quý thầy giáo, cô giáo cùng sự chia sẽ giúp đỡ của các bạn trong lớp cao học, tôi đã hoàn thành luận văn của mình.
Để hoàn thành luận văn cao học và trở thành người biết phương pháp nghiên cứu khoa học, tôi xin gởi đến thầy hướng dẫn trực tiếp tôi PGS.TS Hoàng Anh Tuấn lời cảm ơn sâu sắc nhất với tất cả tình cảm yêu quý cũng như lòng kính trọng của mình. Thầy không chỉ trang bị thêm cho tôi những kiến thức mới mà còn giảng lại cho tôi những kiến thức tôi chưa hiểu kĩ, thầy tận tình chỉ tôi bước đầu phương pháp nghiên cứu khoa học để tôi làm quen và có thể độc lập ứng dụng trong quá trình làm việc sau này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo của Viện Vật lý thuộc Viện Hàn lâm khoa học và công nghệ Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Tôi chân thành cảm ơn tới Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã giải quyết kịp thời các công văn, thủ tục cần thiết tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập và bảo vệ thành công luận văn của mình.
Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các bạn lớp cao học K2017A – Viện Vật lý đã đồng hành, giúp đỡ và hỗ trợ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đã động viên, chia sẻ với tôi trong suốt thời gian tôi làm việc, học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn.
Hà Nội, tháng 04 năm 2019
Tác giả luận văn
Vũ Thị Vân
Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt
Chữ viết tắt Tên đầy đủ
Chuyển pha kim loại – điện môi MIT
Lý thuyết trường trung bình động DMFT
Mật độ trạng thái điển hình TDOS
Lý thuyết môi trường điển hình TMT
L-DMFT Lý thuyết trường trung bình động tuyến tính hóa
LDOS Mật độ trạng thái địa phương
Gần đúng thế kết hợp CPA
Trung bình nhân TBN
Trung bình cộng TBC
Mô hình tạp Anderson AIM
Danh mục các hình vẽ, đồ thị
Hình 1.1. Sơ đồ cấu trúc vùng năng lượng………………………………………..6
Hình 1.2. Bức tranh về phân vùng năng lượng trong hai trường hợp………....8
Hình 1.3. Bức tranh chuyển pha kim loại – điện môi Mott trong trường hợp lấp đầy một nửa……………………………………………………………………….9
Hình 1.4. Sự phụ thuộc của mật độ trạng thái tại mức Fermi vào tỷ số U/T……………………………………………………………………………………...9
Hình 1.5. Sơ đồ hiệu ứng của bất trật tự………………………………………....10
Hình 1.6. Độ dẫn của hệ mất trật tự. (a) kết quả từ thực nghiệm sử dụng bán dẫn pha tạp Si:P cho thấy chuyển pha loại hai. (b) Sơ đồ dáng điệu điển hình của độ dẫn như là hàm của bất trật tự 8……………………………………….11
Hình 1.7. Cấu trúc điển hình của vùng mất trật tự. Ec ký hiệu biên linh động ngăn cách giữa các trạng thái lan truyền và định xứ…………………………..12
Hình 1.8. Bất trật tự giới hạn như là hàm của năng lượng, Wc(E), hay là đường cong biên linh động của mô hình Anderson 9…………………………13
Hình 2.1. Trong lý thuyết trường trung bình, môi trường của một nút nhất định được biểu diễn bằng một môi trường hiệu dụng, được biểu thị bằng “hàm phổ hốc của nó” i(). Trong một hệ mất trật tự, i() cho các nút khác nhau có thể khác nhau, phản ánh hiệu ứng định xứ Anderson………….21
Hình 2.2. a) Mật độ trạng thái Kết quả của DMFT cho
, tại nhiệt độ và với tỉ số ( từ trên xuống). b)
Đồ thị của DMFT cho mô hình Hubbard trong hệ lấp đầy một nửa. là
nhiệt độ, là thế Coulomb trên nút 14……………………………………24
Hình 2.3. Sơ đồ pha cho mô hình “bán tròn”17……………………………..28
Hình 3.1. Giản đồ pha điện tử ở mô hình Anderson – Hubbard lấp đầy một nửa tại nhiệt độ không tuyệt đối. Chọn W = 1 làm đơn vị năng lượng……....40
Hình 3.2. Mật độ trạng thái trung bình tại mức Fermi như là hàm của khi U = 0.5………………………………………………………………………………..41
Hình 3.3. Mật độ trạng thái trung bình tại mức Fermi như là hàm của khi U = 1.5………………………………………………………………………………..42
MỤC LỤC
MỤC LỤC ......................................................................................................... 1
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 8
CHƯƠNG 1. CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI VÀ ĐỊNH XỨ ANDERSON ................................................................................................... 10
1.1. LÍ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG CỦA VẬT RẮN .................... 10
1.1.1. Nguyên lí hình thành các vùng năng lượng .................................. 10
1.1.2. Cấu trúc vùng năng lượng trong bức tranh một hạt ...................... 11
1.1.3. Thành công và hạn chế của lý thuyết vùng năng lượng ............... 13
1.2. MÔ HÌNH HUBBARD VÀ SỰ CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI 8 ………….. .................................................................................... 13
1.3. CHUYỂN PHA KIM LOẠI ĐIỆN MÔI ANDERSON ...................... 16
CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT MÔI TRƯỜNG ĐIỂN HÌNH CHO ĐỊNH XỨ ANDERSON ................................................................................................... 21
2.1. SƠ LƯỢC VỀ HÀM GREEN 11 ...................................................... 21
2.1.1. Định nghĩa hàm Green trễ Gr và hàm Green sớm Ga. ................... 21
2.1.2. Tính hàm Green bằng phương trình chuyển động. ....................... 23
2.1.3. Ví dụ: Tính hàm Green của hệ điện tử không tương tác từ phương trình chuyển động. ................................................................................... 24
2.1.4. Tính chất của hàm Green không phụ thuộc vào thời gian. ........... 25
2.2. LÝ THUYẾT MÔI TRƯỜNG ĐIỂN HÌNH ....................................... 26
2.2.1. Lý thuyết trung bình động cho hệ đồng nhất. ............................... 26
2.2.2. Lý thuyết môi trường điển hình cho định xứ Anderson ............... 31
CHƯƠNG 3. GIẢN ĐỒ PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI Ở MÔ HÌNH ANDERSON – HUNBBARD LẤP ĐẦY MỘT NỬA .................................. 35
3.1. MÔ HÌNH VÀ HÌNH THỨC LUẬN .................................................. 35
3.2. KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN ............................................ 46
CHƯƠNG 4. KẾT LUẬN …………………………………………………..44 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 45
8
MỞ ĐẦU
Sự phát triển của lý thuyết lượng tử vật lý hệ cô đặc đã phát hiện ra nhiều cơ chế khác nhau gây ra chuyển pha kim loại – điện môi. Những cơ chế quan trọng nhất có thể kể đến đó là cấu trúc vùng của chất rắn, sự có mặt của mất trất tự và tương quan mạnh giữa các điện tử. Chuyển pha kim loại – điện môi do sự tương quan của các điện tử gọi là chuyển pha Mott. Và mô hình chủ yếu để mô tả hệ điện tử tương quan và chuyển pha Mott là mô hình Hubbard. Mặt khác, mất trật tự trong vật rắn, chẳng hạn như tạp chất và nút trống, gây ra sự thay đổi lớn so với tiên đoán của lý thuyết vùng năng lượng. Đặc biệt, sự định xứ của các trạng thái tại mức Fermi gây ra chuyển pha kim loại – điện môi, gọi là chuyển pha Anderson. Mặc dù từng hiện tượng được kể đến ở trên, tương quan và mất trất tự, tự bản thân nó là những thách thức cho các nhà nghiên cứu thực nghiệm cũng như lý thuyết và vẫn đang là đối tượng được nghiên cứu tích cực, nhưng rõ ràng là mô hình thực tế của vật liệu đòi hỏi phải xem xét đồng thời cả hai hiệu ứng này. Mô hình tổng quan để nghiên cứu ảnh hưởng của mất trật tự và tương quan điện tử gọi là mô hình Anderson – Hubbard (AHM).
Ở mô hình này chuyển pha kim loại – điện môi (MIT ) tại lấp đầy
không nguyên đã phát hiện bởi Byczuk và các cộng sự 1,2 bằng lý thuyết
trường trung bình động (DMFT). Họ đã chỉ ra rằng tại độ lấp đầy đặc biệt bằng nồng độ pha tạp x hoặc bằng x + 1, sự tương hỗ giữa các hiệu ứng tách vùng do mất trật tự và chuyển pha Mott do tương quan điện tử dẫn đến một kiểu chuyển pha kim loại – điện môi mới. Kết quả tương tự cũng thu được
bằng phương pháp mô phỏng Monte – Carlo và chéo hóa chính xác 3. Giản
đồ pha kim loại – điện môi như là hàm của và U, trong đó là độ chênh
lệch năng lượng ở hai loại nút trong mô hình, tại T = 0K đã được nghiên cứu bằng sự kết hợp của hai phương pháp lý thuyết trường trung bình động và gần
đúng thế kết hợp CPA 4. Tuy nhiên, giản đồ pha thu được trong các công
trình trên được cho là không đầy đủ vì kiểu lấy trung bình số học của các đại lượng ngẫu nhiên một hạt trong các gần đúng DMFT và CPA không thể phân
9
biệt được trạng thái định xứ và trạng thái lan truyền và do vậy không thể mô tả được chuyển pha Anderson.
Việc tìm kiếm thông số trật tự có thể phân biệt được trạng thái định xứ và trạng thái lan truyền trong chuyển pha Anderson là một thách thức chủ yếu khi nghiên cứu hệ điện tử không trật tự. Trái với trung bình cộng (arithmetic average), trung bình nhân (geometrical average) đưa ra một xấp xỉ tốt hơn cho giá trị khả dĩ nhất của mật độ trạng thái định xứ. Dobrosavljevic và các cộng
sự 18 đã phát triển lý thuyết môi trường điển hình (TMT) để nghiên cứu các
hệ không trật tự, trong đó mật độ trạng thái điển hình (TDOS) được xấp xỉ bằng cách lấy trung bình hình học theo các cấu hình không trật tự, thay cho mật độ trạng thái lấy trung bình số học. TDOS triệt tiêu một cách liên tục khi độ lớn của mất trật tự tiến đến giá trị tới hạn và nó có thể dùng làm thông số
trật tự hiệu dụng trung bình cho chuyển pha Anderson. Giản đồ pha tại
T = 0K đối với mô hình Anderson – Hubbard lấp đầy một nửa thu được từ lý
thuyết môi trường điển hình cho định sứ Anderson (TMT) cho trường hợp
tuân theo phân bố đều trên đoạn bao gồm 3 pha: kim loại, điện
môi Mott (có khe cấm) và điện môi Anderson (không có khe cấm) đã được thực hiện trong khuôn khổ của TMT với các phương pháp giải khác nhau đối
với bài toán tạp ở các công trình 5-7. Bản luận văn này có mục đích tìm hiểu
về định xứ Anderson đồng thời dẫn giải chi tiết các công thức thu nhận được
trong công trình 7, cũng như kiểm tra lại tính chính xác của DMFT tuyến
tính hóa được sử dụng trong công trình này.
Bản luận văn của em có tiêu đề “Giản đồ pha điện tử ở mô hình Anderson – Hubbard lấp đầy một nửa”. Ngoài phần mở đầu và kết luận, bản luận văn gồm ba chương như sau:
Chương 1: Chuyển pha kim loại – điện môi và định xứ Anderson.
Chương 2: Lý thuyết môi trường điển hình cho định xứ Anderson.
Chương 3: Giản đồ pha kim loại – điện môi ở mô hình Anderson –
Hubbard lấp đầy một nửa.
10
CHƯƠNG 1. CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI VÀ ĐỊNH XỨ ANDERSON
1.1. LÍ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG CỦA VẬT RẮN
1.1.1. Nguyên lí hình thành các vùng năng lượng
Theo lý thuyết lượng tử về cấu tạo nguyên tử (mẫu nguyên tử Bohr).
Theo mẫu này thì trong một nguyên tử riêng biệt:
Các điện tử chỉ có thể nằm trên các mức năng lượng gián đoạn nhất
định nào đó gọi là các mức năng lượng nguyên tử.
Mỗi nguyên tử phải nằm trên một mức năng lượng khác nhau (nguyên
lý loại trừ Pauli).
Một mức năng lượng được đặc trưng bởi một bộ gồm 4 số lượng tử: n,
, m, s, trong đó:
(số lượng tử từ)
n = 1, 2, 3,… (số lượng tử chính) l = 0, 1, 2, 3,….., (n-1) (số lượng tử quỹ đạo) m = - , -( -1), ….., ( -1), s = +1/2, - 1/2 (số lượng tử spin)
Thực tế cho thấy rằng vị trí năng lượng của một mức chủ yếu chỉ do n quyết định, do đó người ta đưa ra khái niệm lớp ( các mức có cùng một giá trị của m) và kí hiệu các lớp bằng K (n = 1), L (n = 2), M ( n= 3),…Ngoài ra, trong tất cả các lớp người ta cũng thấy rằng các mức năng lượng có cùng giá trị của bao giờ cũng nằm rất gần nhau, do đó nên người ta đưa ra thêm khái niệm lớp con (các mức có cùng giá trị của n và cùng giá trị của ) và ký hiệu các lớp con này bằng cách viết giá trị bằng số của n (1, 2, 3…) kèm theo giá ký hiệu bằng chữ: s(l = 0), p(l =1), d(l =2)… và tùy chọn có thể kèm trị của thêm số điện tử thuộc lớp con này viết dưới dạng số mũ của .
Để có một vật liệu có thể xét bức tranh tưởng tượng về N nguyên tử
giống hệt nhau đang ở cách xa vô tận tiến lại gần nhau, khi đó:
11
Khi các nguyên tử nằm xa nhau đến mức có thể coi chúng là hoàn toàn độc lập với nhau thì vị trí các mức năng lượng của chúng hoàn toàn trùng nhau.
Khi các nguyên tử nằm gần nhau cỡ
(cỡ 10-10m) thì các hàm sóng của các điện tử trong các nguyên tử có sự chồng phủ lên nhau và ta không thể tiếp tục coi chúng là độc lập nữa. Kết quả là các mức năng lượng nguyên tử thôi không còn trùng chập nữa mà bị tách ra thành các vùng năng lượng.
Mỗi một mức năng lượng tách ra thành một vùng. Mỗi vùng gồm N mức con nằm sít nhau và có thể coi như phổ năng
lượng của chúng phân bố gần như liên tục.
Sự tách một mức năng lượng nguyên tử ra thành một vùng năng lượng rộng hay hẹp phụ thuộc vào sự phủ hàm sóng giữa các diện thuộc các nguyên tử khác nhau với nhau nhiều hay ít.
Giữa các điện tử nằm trên các lớp ngoài của nguyên tử, nhất là các điện
tử hóa trị, có sự phủ hàm sóng mạnh, do đó vùng năng lượng lúc này rộng.
Các điện tử nằm trên các lớp càng sâu bên trong bao nhiêu thì sự phủ hàm sóng càng yếu đi bấy nhiêu (do bị các điện tử bên ngoài che chắn và vùng năng lượng đối với các lớp càng nằm sâu bên trong thì càng hẹp lại)
Xen giữa các vùng năng lượng được phép (vùng dẫn) là vùng cấm, nói chung không có các điện tử có các giá trị năng lượng nằm trong vùng cấm này.
1.1.2. Cấu trúc vùng năng lượng trong bức tranh một hạt Theo nguyên lý năng lượng tối thiểu thì trong nguyên tử các mức năng lượng thấp hơn bao giờ cũng được lấp đầy trước. Do đó các vùng năng lượng tương ứng với các mức năng lượng của các điện tử nằm bên trong nguyên tử (có mức năng lượng thấp hơn) bao giờ cũng được lấp đầy trước, chỉ còn vùng ngoài (vùng hóa trị) là có thể chưa được lấp đầy hoàn toàn. Từ đó dựa trên cơ sở vùng hóa trị được lấp đầy bao nhiêu, người ta phân loại các chất rắn thành kim loại, bán dẫn, điện môi và bán kim loại như hình 1.1
12
Nếu vùng hóa trị được điện tử lấp đầy hoàn toàn và nằm cách xa vùng năng lượng được phép tiếp theo, thì ta có chất điện môi, tức là chất cách điện. Nếu vùng hóa trị mới chỉ được các điện tử lấp đầy một phần hoặc vùng hóa trị đã được lấp đầy hoàn toàn nhưng lại chồng lên hoặc liền ngay với vùng năng lượng tiếp theo (thường được gọi là vùng dẫn) thì ta có chất dẫn điện hay ta gọi là kim loại hoặc bán kim loại.
Trong trường hợp tuy vùng hóa trị cũng đã được các điện tử lấp đầy hoàn toàn nhưng vùng này lại khá gần với vùng dẫn, chỉ cách vùng dẫn bằng một vùng cấm tương đối hẹp để sao cho về nguyên tắc các kích thích nhiệt
cũng có thể kích thích điện tử từ vùng hóa trị nhảy lên vùng dẫn (Eg 0,3 3eV) thì ta có chất bán dẫn.
Hình 1.1. Sơ đồ cấu trúc vùng năng lượng.
Các chất rắn về mặt độ dẫn điện được phân loại như trên do hiện tượng
dẫn điện xảy ra trong chất rắn như sau:
Sự dẫn điện về bản chất là chuyển động của các điện tử trong tinh thể. Nếu xét theo bức tranh vùng năng lượng thì đó là hiện tượng điện tử nhảy từ mức năng lượng thấp hơn lên mức năng lượng cao hơn.
Vì các vùng bên trong đều bị lấp đầy nên trong các vùng này các điện tử không thể nhảy lên các mức cao hơn được. Do đó chỉ có vùng ngoài cùng (vùng hóa trị) là quan trọng nhất xét về tính chất dẫn điện.
13
1.1.3. Thành công và hạn chế của lý thuyết vùng năng lượng
*) Thành công
+ Giải thích được tại sao chất rắn là chất dẫn điện, chất bán dẫn hoặc chất cách điện.
+ Thiết lập quan hệ giữa các tính chất của vật liệu và nguyên tử.
+ Giải thích sự tồn tại của các hạt có điện tích dương (lỗ trống) và giải thích khái niệm khối lượng hiệu dụng.
+ Phép gần đúng một electron không thể tính đến các hiệu ứng tập thể như hiện tượng sắt từ, siêu dẫn và sự chuyển pha do năng lượng toàn phần của electron.
*) Hạn chế: Khi số điện tử ngoài cùng là lẻ thì mức trên cùng không được lấp đầy và theo lý thuyết vùng năng lượng thì đó là kim loại. Nhưng trên thực tế ở một số chất, như NiO2, hoặc hợp chất khác mặc dù lớp electron ở ngoài cùng là lẻ mà chúng lại là điện môi. Điều này chứng tỏ sự hạn chế của lý thuyết này.
1.2. MÔ HÌNH HUBBARD VÀ SỰ CHUYỂN PHA KIM LOẠI – ĐIỆN
MÔI [8]
Trong mục này chúng ta xem xét chuyển pha kim loại - điện môi trong mô hình Hubbard . Ở đây MIT được chia thành hai loại: Chuyển pha do hệ số lấp đầy và chuyển pha do độ rộng vùng.
Để hình dung cơ chế của chuyển pha kim loại – điện môi Mott chúng ta
khảo sát các phân vùng Hubbard tạo bởi Hamiltonian.
Ở đây là toán tử sinh (hủy) electron tại nút , với spin
là tương tác Coulomb của 2 electron cùng nằm trên 1 nút mạng.
* Trường hợp 1: U = 0 Hamiltonian có dạng .
14
Bài toán chuyển về giới hạn khảo sát chuyển động của electron trong trường tinh thể. Bài toán này có thể giải bằng phương pháp gần đúng liên kết mạnh trong vật lí chất rắn.
Vùng năng lượng có dạng:
Trong đó h là vecto nối hai nút liền kề, T0 = -Tij với hai nút liền kề và coi như nhau tại mọi nút. Nếu mạng D chiều đối xứng, cách đều với hằng số mạng a thì
Kết quả là electron chuyển động trong các vùng năng lượng có độ rộng
ZT0 với Z = 2D là số phối vị.
* Trường hợp 2: Ti≠j = 0 hay Tij = T0δij giống như trường hợp giới hạn
nguyên tử. Mỗi nút có hai mức năng lượng khả dĩ là T0 và T0 + U.
()
()
T0+U T0 T0 T0+2DT0
a) U = 0
b) Ti≠j = 0 hay Tij = T0δij
Hình 1.2. Bức tranh về phân vùng năng lượng trong hai trường hợp hình a, b.
* Trường hợp tổng quát: UTi≠j ≠ 0, kết hợp cả hai trường hợp trên ta suy ra bức tranh về phân vùng Hubbard: mỗi nút chứa hai mức năng lượng T0 và T0 + U. Khi xét đến sự nhảy nút thì các mức năng lượng này bị nhòe và mở rộng thành các vùng năng lượng với độ rộng ZT0. Các vùng này gọi là
15
phân vùng (hay vùng con) Hubbard. Ta có thể mô tả chuyển pha kim loại – điện môi Mott ở trạng thái lấp đầy một nửa như sau:
Khi U > UC hai phân vùng tách nhau, xuất hiện khe năng lượng giữa hai phân vùng, mật độ trạng thái tại mức Fermi ρ(εF) = 0, vật liệu là điện môi (Hình 1.3.a).
Khi U = UC = ZT0, hai phân vùng chạm nhau, xuất hiện chuyển pha
kim loại – điện môi (Hình 1.3.b).
Khi U < UC có sự chồng lấn của hai phân vùng, ρ(εF) ≠ 0, vật liệu là
kim loại (Hình 1.3.c).
F F F
() () ()
T0 T0+U T0 T0 T0+U
a) ρ(εF) = 0
T0+U c) ρ(εF) ≠ 0
b) ρ(εF) = 0
Hình 1.3. Bức tranh chuyển pha kim loại – điện môi Mott trong trường hợp lấp đầy một nửa
* Sự phụ thuộc của mật độ trạng thái vào tỷ số U/T như hình 1.4.
(F)
U/T
(U/T)C Hình 1.4. Sự phụ thuộc của mật độ trạng thái tại mức Fermi vào tỷ số U/T.
16
Khi U tăng thì ρ giảm từ một giá trị hữu hạn đến không. Như vậy, hàm ρ liên tục tại điểm chuyển pha. Vì vậy mô hình suy ra từ Hamiltonian Hubbard như trên cho ta chuyển pha liên tục hay chuyển pha bậc 2. Tuy nhiên, điều này chỉ đúng tại nhiệt độ bằng 0K.
1.3. CHUYỂN PHA KIM LOẠI ĐIỆN MÔI ANDERSON
Không cần bất cứ tương tác nào, bất trật tự tự nó cũng có thể dẫn tới chuyển pha kim loại – điện môi, và nó được gọi là chuyển pha kim loại - điện môi Anderson, hay là định xứ Anderson. Chúng ta có thể hình dung về điều này như sau: Khi không có bất trật tự, tinh thể tuần hoàn và trạng thái riêng của điện tử là các trạng thái Bloch, độ dẫn là đạn đạo. Nếu bất trật tự xuất hiện ở mức độ yếu, độ dẫn trở thành khuếch tán do sự tán xạ, và lý thuyết Drude thông thường hữu dụng. Tuy nhiên, nếu bất trật tự đủ lớn, nó có thể bẫy các điện tử nhờ tán xạ nhiều lần, dẫn tới không còn sự dẫn điện nữa. Bằng cách như vậy, bất trật tự có thể tạo nên MIT. Vì rằng các điện tử là các sóng lượng tử, sẽ thích hợp khi cho rằng định xứ Anderson là một hiệu ứng giao thoa hơn là một sự va chạm nhiều lần giữa các hạt. Ta cũng có nhận xét thêm rằng cách thức trên có thể được áp dụng không chỉ cho các điện tử mà còn cho bất kỳ một loại sóng khác. Sự sắp xếp ngẫu nhiên của các điểm mạng có thể được xem như một thế ngẫu nhiên bổ sung vào thế tuần hoàn ban đầu của tinh thể (Hình 1.5)
Định xứ Đạn đạo Khuếch tán
Bất trật tự
Hình 1.5. Sơ đồ hiệu ứng của bất trật tự.
Hiệu ứng tương tự có thể được thực hiện qua việc bơm các tạp chất mà ở đó sự sai khác giữa thế do các nguyên tử tạp phân bố ngẫu nhiên và do các
17
nguyên tử của mạng tinh thể có thể được xem như thế bổ sung ngẫu nhiên. Nếu nồng độ pha tạp thấp, và do vậy thang năng lượng của thế bổ sung ngẫu nhiên nhỏ, thì hiệu ứng của nó có thể tính theo nhiễu loạn, và mô hình Drude mô tả sự khuếch tán áp dụng rất tốt. Mặt khác, khi nồng độ pha tạp đủ lớn, thang năng lượng của thế ngẫu nhiên lớn hơn động năng, thì các điện tử sẽ bị bẫy bởi các tạp. Trong một hệ cô đặc tất nhiên các kích thích nhiệt có thể bứt các điện tử khỏi bẫy, vì thế hiện tượng này chỉ dẫn đến chuyển pha thực sự sắc nét tại nhiệt độ không tuyết đối. Tại nhiệt độ hữu hạn ta chỉ có thể tìm thấy sự xuyên chéo (crossover) (Hình 1.6.b).
T > 0 T = 0
W Wc (b) (a)
Hình 1.6. Độ dẫn của hệ mất trật tự. (a) kết quả từ thực nghiệm sử dụng bán dẫn pha tạp Si:P cho thấy chuyển pha loại hai. (b) Sơ đồ dáng điệu điển hình của độ dẫn như là hàm của bất trật tự 9.
Phân loại chuyển pha Mott rõ ràng không phải là vấn đề tầm thường. Vào cuối những năm 1970 Mott cho rằng nếu mô hình Drude hữu dụng thì bất trật tự chỉ làm giảm quãng đường tự do trung bình mà nó không thể nhỏ hơn hằng số mạng a. Điều này dẫn tới độ dẫn Drude tối thiểu, dẫn tới giả thiết chuyển pha là loại một. Tuy nhiên, một vài năm sau, độ dẫn nhỏ hơn giới hạn Mott đã được tìm thấy ở bán dẫn pha tạp, Si: P. Trên hình 1.6.a chỉ ra rằng độ dẫn giảm rất nhanh ở gần nồng độ pha tạp tới hạn, và nó có thể nhỏ hơn hai bậc so với giới hạn Mott, dẫn tới giả thiết chuyển pha là loại hai. Hình 1.6.b
18
chỉ ra sơ đồ hành xử của độ dẫn như là hàm của trật tự. Nếu bất trật tự, W, nhỏ (miền kim loại), tại T=0 ta thấy độ dẫn giảm khi bất trật tự tăng. Độ dẫn tiến tới không tại giá trị bất trật tự tới hạn Wc, và với W > Wc nó vẫn bằng không, nghĩa là ta có miền điện môi.
Một trong những mô hình đơn giản nhất mô tả hệ mất trật tự là mô
hình liên kết chặt được Anderson xem xét sau đây:
Trong đó
tố chéo i là ngẫu nhiên, tuân theo phân bố đều có độ rộng W, đối xứng qua điểm 0. Vì rằng Hamiltonian đối xứng theo năng lượng, vì thế trong nhiều
trường hợp chỉ cần xét E 0.
Nếu W đủ lớn, số hạng chéo của Hamiltonian chiếm ưu thế, và các trạng thái định xứ tại nút mạng. Nếu W nhỏ, các yếu tố không chéo (động năng) chiếm ưu thế, và các trạng thái lan truyền khắp cả hệ. Tuy nhiên, trong trường hợp này cũng có những trạng thái định xứ trong hệ được ngăn cách với trạng thái lan truyền bởi ngưỡng linh động Ec (Hình 1.7).
Hình 1.7. Cấu trúc điển hình của vùng mất trật tự. Ec ký hiệu biên linh động ngăn cách giữa các trạng thái lan truyền và định xứ.
Lý do tồn tại ngưỡng linh động có thể được giải thích như sau: Giả sử có trạng thái định xứ trong miền năng lượng của các trạng thái lan truyền. Theo lý thuyết nhiễu loạn, với sự thay đổi vô cùng bé của bất trật tự ngẫu
19
nhiên thì trạng thái định xứ sẽ lại (kết hợp) với các trạng thái lan truyền để tạo nên một trạng thái lan truyền mới. Thậm chí không có một chứng minh chặt chẽ đối với các trạng thái định xứ nằm gần đuôi vùng và các trạng thái lan truyền nằm ở giữa vùng, nhưng hầu như điều đó đã xảy ra. Mặt khác, tiếp
cận mỗi đuôi vùng, khi vượt quá năng lượng tới hạn E, ta có gọi là đuôi
Lisfschitz chứa các trạng thái định xứ mạnh. Trong miền này mật độ trạng thái giảm nhanh, điển hình theo hàm mũ
Hình 1.7 giải thích vì sao một vật liệu mất trật tự với vùng không lấp đầy có thể là một chất điện môi. Nếu mức Fermi EF nằm ở miền định xứ, các điện tử gần EF định xứ mạnh do sự dẫn điện không thể xảy ra. Bây giờ ta thay đổi mức Fermi, chẳng hạn đặt vào đây một điện thế, ta có thể dịch EF đến miền lan truyền, khi đó ta có thể đo được một độ dẫn hữu hạn. Trong việc tính toán lý thuyết đôi khi sẽ là thuận lợi hơn nếu ta ấn định năng lượng E và thay đổi bất trật tự. Khi bất trật tự tăng, các ngưỡng linh động bắt đầu dịch chuyển về tâm vùng, và nó đạt tới giá trị năng lượng kiểm định tại một giá trị của năng lượng, Wc(E). Đường cong Wc(E) thường được gọi là đường cong ngưỡng linh động, và với mô hình mô tả bởi Hamiltonian nó được cho trên hình 1.8
Hình 1.8. Bất trật tự giới hạn như là hàm của năng lượng, Wc(E), hay
là đường cong biên linh động của mô hình Anderson 10.
20
Khi bất trật tự tăng ngưỡng linh động chuyển động ra xa tâm vùng, tuy nhiên trong lúc đó vùng cũng mở rộng ra khi bất trật tự tăng. Sau đó nó trở
lại, và chuyển động nhanh, dẫn tới trong một khoảng rộng, 0 E 4.0,
ngưỡng linh động gần như không đổi. Tại giá trị tới hạn, Wc 16.5, ngưỡng linh động đạt giá trị 0. Điểm này thường được gọi là điểm tới hạn của hệ, vì khi bất trật tự vượt giá trị này, W > Wc, toàn vùng chỉ chứa các trạng thái định xứ. Quỹ đạo của ngưỡng linh động là liên tục, do vậy số trạng thái lan truyền thay đổi một cách liên tục theo bất trật tự nếu như mật độ trạng thái là liên tục. Bởi vì các trạng thái lan truyền gắn liền với độ dẫn của hệ, từ đó suy ra rằng độ dẫn cũng thay đổi liên tục theo bất trật tự, nghĩa là một lần nữa ta có chuyển pha kim loại hai.
21
CHƯƠNG 2. LÝ THUYẾT MÔI TRƯỜNG ĐIỂN HÌNH CHO ĐỊNH XỨ ANDERSON
2.1. SƠ LƯỢC VỀ HÀM GREEN [11]
2.1.1. Định nghĩa hàm Green trễ Gr và hàm Green sớm Ga.
(2.1.1)
(2.1.2)
Trong đó là hàm bậc thang, tức là
là hàm bước Heaviside. 𝜃(𝑥) = { 1 𝑣ớ𝑖 𝑥 > 0 0 𝑣ớ𝑖 𝑥 < 0
Ở đây là kí hiệu lấy trung bình thống kế của hệ, tức là
trong đó H là Hamiltonian của hệ, là nhiệt độ nghịch đảo và
là hàm phân hoạch của hệ.
và là toán tử phụ thuộc thời gian trong biểu diễn
Heisenberg và tiến hóa theo quy luật
(2.1.3)
Ký hiệu là giao hoán tử hay phản giao hoán tử, có nghĩa là
(2.1.4)
22
Với tương ứng với giao hoán tử . Trong đó A, B
là các toán tử boson hay có dạng boson( toán tử có dạng boson là toán tử có dạng là tích số của các toán tử boson hay có dạng là tích số của số chẵn lần các toán tử fermion)
Với tương ứng với phản hoán tử . Trong A, B
là các toán tử fermion hay có dạng fermion (toán tử có dạng fermion là toán tử có dạng là tích số của số lẻ lần các toán tử fermion)
Từ định nghĩa ta thấy hàm Green trẽ luôn bằng 0 khi và hàm
Green sớm luôn bằng 0 khi .
Hàm Green trễ và hàm Green sớm còn được ký hiệu như sau:
(2.1.5)
Ký hiệu này thường được gọi là ký hiệu của Zubarev đưa ra năm 1960.
Đối với hệ cân bằng (tức là Hamiltonian không phụ thuộc vào thời
gian) hàm Green hai thời gian chỉ phụ thuộc vào hiệu số giữa hai thời gian
Ta xét hàm Green trễ:
(2.1.6)
Mặt khác ta có:
(2.1.7)
23
Như vậy hàm Green trễ (2.1.6) chỉ phụ thuộc vào hiệu . Tương tự
như vậy cho hàm Green sớm.
Như vậy đối với hệ cân bằng thì hàm Green hai thời gian chỉ phụ thuộc
vào hiệu số giữa hai thời gian .
Vì vậy ta có thể sử dụng phép biến đổi Fourier thuận nghịch
(2.1.8)
(2.1.9)
2.1.2. Tính hàm Green bằng phương trình chuyển động.
Phương trình chuyển động cho hàm Green hai thời gian có thể nhận
được bằng cách lấy đạo hàm theo thời gian cho hàm Green.
Xét hàm Green trễ
(2.1.10)
Với hàm Green sớm ta cũng thu được phương trình chuyển động giống
như vậy.
Phương trình (2.1.10) được gọi là phương trình chuyển động cho hàm
Green theo thời gian.
Lấy ảnh Fourier cho phương trình (2.1.10) ta thu được
24
(2.1.11)
Phương trình (2.1.11) được gọi là phương trình chuyển động cho hàm
Green nhưng viết dưới dạng tần số.
2.1.3. Ví dụ: Tính hàm Green của hệ điện tử không tương tác từ
phương trình chuyển động.
Xét hệ các hạt fermion không tương tác có Hamiltonian như sau:
(2.1.12)
Trong đó và là toán tử sinh và hủy hạt fermion có xung lượng
, là hệ thức tán sắc của hạt fermion.
Phương trình chuyển động cho hàm Green fermion có dạng
(2.1.13)
Vì toán tử , là toán tử fermion nên . Tính giao hoán tử
giữa và H
(2.1.14)
Thay (2.1.14) vào (2.1.13) ta thu được phương trình chuyển động như sau:
25
(2.1.15)
Phương trình này tự khép kín và ta thu được nghiệm của phương trình
(2.1.15) là
(2.1.16)
2.1.4. Tính chất của hàm Green không phụ thuộc vào thời gian.
Xét hàm Green có dạng
Nếu toán tử H có phổ gián đoạn thì
Hay trong - biểu diễn thì
Vì trị riêng của H là trong tổng và trong tích phân luôn là thực,
do đó hàm Green giải tích khắp nơi trên mặt phẳng phức trừ những
điểm trùng với trị riêng của H trên trục thực.
Nếu trùng với trị riêng gián đoạn của H thì hàm không xác
định. Tuy nhiên tại các lân cận thì hàm Green luôn giải tích với
mọi dù nhỏ. Khi đó ta có hai hàm Green giới hạn
Các hàm Green có quan hệ trực tiếp với mật độ trạng thái.
Đó là đại lượng quan trọng nhất trong vật lý chất rắn.
Sử dụng đồng nhất thức ta được:
26
trong đó là ký hiệu trị chính, ta có thể viết lại yếu tố chéo của
dưới dạng
Sau khi tích phân theo ta được:
Theo định nghĩa, mật độ trạng thái . So sánh với
phương trình trên ta được
(2.1.17)
2.2. LÝ THUYẾT MÔI TRƯỜNG ĐIỂN HÌNH
2.2.1. Lý thuyết trung bình động cho hệ đồng nhất.
Lý thuyết trung bình động được phát biểu vào cuối những năm 1980 tới đầu những năm 1990. Những công trình tiên phong do Metzer và Vollhard
12 và Miiller – Hartmann 13 thực hiện. Các bước phát triển tiếp theo thuộc
về Georges và Kotliar 14 và Jarrel 15.
Ý tưởng chính của lý thuyết trường trung bình động (DMFT) được
trình bày như sau: Dựa vào hình 2.1
27
Hình 2.1. Trong lý thuyết trường trung bình, môi trường của một nút nhất định được biểu diễn bằng một môi trường hiệu dụng, được biểu thị bằng
“hàm phổ hốc của nó” i(). Trong một hệ mất trật tự, i() cho các nút khác nhau có thể khác nhau, phản ánh hiệu ứng định xứ Anderson.
Trong mạng có tương tác, một nút mạng được lấy ra và các nút mạng khác được ánh xạ vào một bể các hạt không tương tác. Như vậy mô hình mạng đã được ánh xạ sang mô hình “tạp”, bao gồm một nút duy nhất có tương tác (“tạp”) được liên kết với một bể hạt không tương tác. Bằng cách giải mô hình tạp ta có thể nhận được các trạng thái của nút riêng lẻ này. Vì tính đối xứng tịnh tiến của mạng, trạng thái của một nút riêng lẻ được cho là trạng thái của tất cả các nút khác, và do vậy ta thu được trạng thái của mạng. Quá trình này được lặp lại cho đến khi đạt tới lời giải tự hợp.
Ta xét DMFT thông qua việc áp dụng nó cho mô hình Hubbard. Mô
hình có Hamiltonian được xác định bởi công thức:
(2.2.1)
Khi đó mô hình tạp Anderson (AIM) tương ứng có dạng
(2.2.2)
trong đó hai số hạng đầu tiên mô tả mức định xứ với năng lượng và
tương tác Coulomb. Số hạng thứ ba mô tả sự liên kết giữa tạp và bể không
28
tương tác, số hạng cuối cùng là năng lượng của bể này. Sự liên kết giữa tạp và
bể có thể được mô tả thông qua hàm lai , trong đó
(2.2.3)
Hàm Green địa phương không tương tác (tự do, U =0) có thể viết như
sau:
(2.2.4)
Từ đây hàm Green tương tác có dạng:
(2.2.5)
trong đó là năng lượng riêng. Mô hình tạp có thể giải số, cũng
như bằng gần đúng giải tích. Trong trường hợp giải số, vòng lặp tự hợp có thể viết như sau:
(2.2.6)
Cách tính cụ thể như sau: Chúng ta bắt đầu từ lời giải của AIM có chứa
năng lượng riêng . DMFT giả thiết năng lượng riêng của mô hình
mạng cũng định xứ và không phụ thuộc vào và nó bằng năng lượng riêng
của tạp: .
Như vậy, hàm Green một nút của mạng được cho bởi:
(2.2.7)
29
trong đó là mật độ trạng thái của bể. Điều kiện tự
hợp là , nghĩa là chúng ta đòi hỏi hàm Green của mạng và hàm
Green của tạp tương ứng phải bằng nhau. Phương trình tự hợp có thể viết như sau:
(2.2.8)
Hàm Green tự do của tạp chứa đựng thông tin của bể (của một nút)
tạo thành từ tất cả các nút mạng còn lại. Nó tương tự như trường Weiss hiệu dụng ở lý thuyết trường trung bình Weiss đối với mô hình Ising. Thay cho , chính vì vậy trường Weiss tĩnh, trường hiệu dụng có dạng hàm số của phương pháp này được gọi là lý thuyết trung bình động.
‘Hàm Weiss’ được xem như “hàm bể ” là vì lý do sau. Từ
phương trình (2.2.8), bể của mô hình tạp Anderson, xác định bởi , có thể
được tính qua và (bước 2 ở (2.2.6)). Vấn đề mấu chốt và quan trọng
nhất là bước 3 ở (2.2.6), ở bước này ta phải giải bài toán hiệu dụng một nút.
Qua đó ta sẽ tính được . Như thế vòng lặp được khép kín và quá trình
lặp được tiếp tục cho đến khi đạt được lời giải tự hợp. Có nhiều phương pháp khác nhau, cả về giải tích đến tính số, để giải bài toán hiệu dụng một nút (2.2.2) như phương pháp mô phỏng Monte-Carlo, phương pháp chéo hóa chính xác, phương pháp nhiễu loạn lặp, phương pháp phương trình chuyển động.
Ở đây có hai gần đúng được thực hiện. Thứ nhất là lời giải được giả thiết cho hệ đồng nhất và có bất biến tịnh tiến. Thứ hai là năng lượng riêng
được giả thiết định xứ . Metzner và Vollhard 12
chứng tỏ rằng các gần đúng này trở thành chính xác tại giới hạn số chiều bằng . Để đảm bảo thế năng và động năng có cùng một bậc khi vô cùng
30
, người ta hiệu chỉnh thông số nhảy nút như sau , trong đó là
số phối vị của mạng, đại lượng cũng tiến tới vô cùng khi .
Trong hình 2.2.a thể hiện kết quả DMFT cho mô hình Hubbard. Hệ có số lẻ điện tử trên mỗi nút theo như lý thuyết vùng năng lượng, là kim loại nhưng do tính đến tương quan mạnh, hệ là điện môi. Trong trạng thái kim loại xuất hiện đỉnh cộng hưởng, đó là hệ quả của kích thích chuẩn hạt, xuất hiện xung quanh năng lượng Fermi. Chiều cao của nó là không đổi, nhưng độ rộng của nó trở nên nhỏ hơn khi tăng thế Coulomb trên nút và tại giá trị
đỉnh biến mất. Khe năng lượng được hình thành. Tại chuyển pha Mott có sự với tương tác điện tử - điện tử U. Sự cạnh tranh giữa độ rộng của vùng hình thành khe gắn với việc biến mất của trọng số tái chuẩn hóa và sự phân kỳ khối lượng của chuẩn hạt. Hình 2.2.b là giản đồ pha của mô hình Hubbard lấp đầy một nửa. Đường nét liền mô tả chuyển pha loại I ở nhiệt độ cao và kết thúc với điểm tới hạn loại II khi nhiệt độ giảm (điểm này được gọi là điểm chuyển pha Mott). Hai đường nét đứt tạo thành miền mà ở đó đồng tồn tại hai sự chuyển pha liên tục xảy trạng thái kim loại và điện môi. Tại nhiệt độ
ra.
a)
Hình 2. 2. a) Mật độ trạng thái b) Kết quả của DMFT cho
, tại nhiệt độ và với tỉ số (từ trên xuống). b) Đồ thị của
là nhiệt độ,
DMFT cho mô hình Hubbard trong hệ lấp đầy một nửa. là thế Coulomb trên nút 16.
31
DMFT cho kết quả tốt trong việc khảo sát tại lân cận của chuyển pha Mott trong hệ sạch, rất tốt để dự đoán tính chất của các oxit kim loại chuyển tiếp, hệ Fermi nặng, và điện môi Kondo. Nó cũng đưa ra được thông số trật tự động lực học, đặc trưng cho sự khác biệt định lượng của các pha. Mặt khác, DMFT không cho kết quả tốt khi miêu tả hiện tượng bị chi phối bởi thăng giáng không gian.
2.2.2. Lý thuyết môi trường điển hình cho định xứ Anderson
trung bình động là
Như đã chỉ ra ở phần 2.2.1 đại lượng trọng tâm của lý thuyết trường (ở phần này các nút mạng có thể không tương ) và đương với nhau do có bất trật tự nên chỉ số nút i được viết thêm vào
còn được gọi là hàm hốc địa phương. Theo quan điểm vật lý, đối
tượng này biểu diễn các trạng thái khả dĩ mà một điện tử có thể nhảy vào từ một nút i cho trước. Như vậy nó cung cấp một thông số trật tự tự nhiên để mô tả chuyển pha kim loại - điện môi. Tất nhiên, hình thức của nó có thể thay đổi căn bản bởi tương tác điện tử - điện tử hoặc bất trật tự, phản ánh sự thay đổi tương ứng với động lực học của điện tử. Theo quy tắc vàng Fermi, tốc độ chuyển dời đến các nút lân cận tỉ lệ thuận với mật độ trạng thái cuối, điều này
dẫn tới hệ sẽ ở trạng thái điện môi khi có khe cấm tại mức Fermi.
Ở trường hợp chuyển pha Mott khi không có bất trật tự, khe cấm này là hệ quả trực tiếp của tương tác Coulomb trên một nút lớn và nó là như nhau đối với mọi nút mạng. Tình hình trở nên phức tạp hơn ở trường hợp định xứ do bất trật tự gây ra, như đã được chỉ ra trong công trình tiên phong của
Anderson 17. Ở đây trung bình của đại lượng không có khe cấm và
nó không thể là thông số trật tự. Thật vậy, ở điện môi Anderson, môi trường được tạo nên từ một điện tử ở một nút cho trước có thể khác xa với giá trị
trung bình của nó. Ở trường hợp này hàm hốc điển hình bao gồm hàng
loạt đỉnh của hàm detta, phản ánh sự tồn tại của các trạng thái định xứ (liên kết) của điện tử. Và như thế một nút điển hình được nhúng trong một môi trường có khe cấm ở mức Fermi, dẫn đến một pha điện môi. Cần nhấn mạnh là sự định xứ và độ rộng của các vùng cấm thay đổi mạnh từ nút này đến nút
32
khác. Sự thăng giáng mạnh của các hàm vẫn tiếp tục ở phía kim loại
của chuyển pha, tại đó mật độ phổ điển hình có thể nhỏ
hơn nhiều so với giá trị trung bình của chúng. Rõ ràng là hàm phân bố
đầy đủ cần để đặc trưng cho hệ. Thay cho các trung bình đơn giản, ở đây toàn bộ hàm phân bố đóng vai trò thông số trật tự, và nó thay đổi một cách định tính khi chuyển pha. Vậy là, trái với các hệ sạch (không có bất trật tự) các thông số trật tự của hệ mất trật tự có đặc tính của các hàm phân bố và chúng thay đổi định tính khi chuyển pha. Một lý thuyết mở rộng DMFT đưa thêm vào thăng giáng của bất trật tự trong không gian với các bậc ngẫu nhiên đầy đủ, được gọi là lý thuyết trung bình động thống kê, đã được Dobrosavljevic
và Kotliar xây dựng 18. Lý thuyết này mô tả tốt các chuyển pha kim loại –
điện môi Mott và Anderson trong hệ tương quan và mất trật tự, tuy nhiên việc tính toán lại quá phức tạp và đòi hỏi nhiều tài nguyên máy tính.
Để khắc phục nhược điểm trên Dobrosavljevic và các cộng sự đã phát
triển lý thuyết trường trung bình điển hình cho hệ bất trật tự 19. Theo lý
thuyết này, mật độ trạng thái điển hình (TDOS) được lấy gần đúng là trung bình nhân theo các cấu hình ngẫu nhiên khả dĩ, thay cho trung bình cộng ở DMFT thông thường. Họ chứng tỏ được rằng TDOS triệt tiêu tại bất trật tự tới hạn và nó có thể dùng làm thông số trật tự cho định xứ Anderson. Sau đây là nội dung chính của lý thuyết này ở mô hình liên kết chặt không tương tác với
năng lượng nút được phân bố ngẫu nhiên theo hàm .
Giống như ở DMFT, mỗi nút mạng được nhúng vào môi trường hiệu
dụng với năng lượng riêng địa phương .
Hàm Green địa phương tương ứng có dạng:
(2.2.9)
Ở đây “hàm hốc” được cho bởi
33
(2.2.10)
và hàm hốc với là
(2.2.11)
Hàm Green mạng:
(2.2.12)
là biến đổi Hilbert của mật độ trạng thái trần đặc trưng cho cấu trúc
vùng.
Cho trước một môi trường hiệu dụng với năng lượng riêng ,
chúng ta có thể đánh giá thông số trật tự mà ta chọn là TDOS được cho bởi
(2.2.13)
trong đó là mật độ trạng thái địa phương.
Hàm Green tương ứng với được tính thông qua biến đổi
Hilbert
(2.2.14)
Cuối cùng, chúng ta đóng vòng lặp bằng cách đặt hàm Green của môi trường hiệu dụng bằng hàm Green tương ứng với thông số trật tự địa phương, nghĩa là
(2.2.15)
34
Chú ý là thủ tục được xác định từ các phương trình (2.2.9) – (2.2.15) không hề đặc biệt. Cách thức như vậy có thể sử dụng cho mọi lý thuyết được đặc trưng bởi năng lượng riêng địa phương. Điều đặc biệt trong lý thuyết môi trường điển hình (TMT) chỉ là việc chọn TDOS được xác định từ phương trình (2.2.13) là thông số trật tự. Nếu chúng ta chọn trung bình cộng của LDOS thay cho trung bình nhân thì lý thuyết này trở về gần đúng thế kết hợp (CPA) quen thuộc. Như vậy TMT là lý thuyết có đặc tính tương tự như CPA, với một sự khác biệt nhỏ nhưng cơ bản, đó là lựa chọn chính xác thông số trật tự cho định xứ Anderson.
Cũng như ở DMFT, ở hình thức luận TMT toàn bộ thông tin về cấu
trúc vùng điện tử được chứa đựng ở mật độ trạng thái trần . Không khó
để giải số hệ phương trình (2.2.12) - (2.2.15) và có thể thấy kết quả định tính
không phụ thuộc vào việc chọn .
Hình 2. 3. Sơ đồ pha cho mô hình “bán tròn”19.
Trên hình 2.3 là giản đồ pha được tính cho trường hợp mật độ trạng thái bán tròn cho bởi phương trình (2.2.12) với độ rộng vùng (= 4t) được lấy tuân theo phân bố làm đơn vị của năng lượng. Năng lượng nút ngẫu nhiên
đều trong đoạn , với chính là số đo mất trật tự của hệ.
Đường liền nét chỉ ngưỡng linh động (được cho bởi tần số mà ở đó TDOS triệt tiêu với W cho trước), còn đường đứt nét là biên vùng mà ở đó mật độ trạng thái tính theo CPA bị triệt tiêu.
35
CHƯƠNG 3. GIẢN ĐỒ PHA KIM LOẠI – ĐIỆN MÔI Ở MÔ HÌNH ANDERSON – HUNBBARD LẤP ĐẦY MỘT NỬA
3.1. MÔ HÌNH VÀ HÌNH THỨC LUẬN
Ở công trình 7 lý thuyết TMT tuyến tính hóa và phương trình chuyển
động đã được các tác giả sử dụng để thu được giản đồ pha kim loại – điện môi ở mô hình Anderson – Hubbard lấp đầy một nửa. Trong chương này chúng tôi dẫn giải chi tiết các công thức thu được trong công trình trên, cũng như thực hiện thêm việc tính số mật độ trạng thái địa phương để kiểm tra lại tính chính xác của lời giải DMFT tuyến tính hóa ở công trình này.
Mô hình Anderson - Hubbard có Hamiltonian được xác định bởi công
thức:
(3.1.1)
trong đó hủy (sinh) một điện tử với spin tại nút .
là toán tử số hạt.
là tích phân nhảy nút giữa các nút lân cận gần nhất
U là tương tác Coulomb trên một nút.
Năng lượng ngẫu nhiên tuân theo phân bố đều.
, với là hàm bước.
Thông số là độ đo mất trật tự.
TMT – DMFT ánh xạ bài toán mạng vào bài toán tạp của mô hình một
tạp hiệu dụng Anderson với các khác nhau có dạng:
36
(3.1.2)
trong đó:
Số hạng đầu tiên
là thế năng của tạp ở nút i.
Số hạng thứ hai là năng lượng tương tác Coulomb trên nút i.
Số hạng thứ ba là năng lượng của bể điện tử dẫn.
Số hạng thứ tư mô tả sự liên kết giữa tạp và
bể điện tử dẫn.
là thế hóa.
là yếu tố ma trận lai và năng lượng của các bể fermion phụ thuộc
tương ứng.
Các tham số được mô tả thông qua hàm lai như sau: và
(3.1.3)
Sau đây mô hình tạp (3.1.2) được giải tại nhiệt độ không tuyệt đối bằng phương pháp ngắt chuỗi phương trình chuyển động tại bậc hai. Giới hạn bài
toán ở trường hợp thuận từ và tại lấp đầy một nửa: và .
Để thiết lập giản đồ pha kim loại – điện môi của hệ, chúng tôi sử dụng
gần đúng sau cho hàm Green tạp:
37
(3.1.4)
Phương trình (3.1.4) chính xác trong trường hợp U = 0, còn với thì gần đúng này được gọi là gần đúng Hubbard 3 cho mô hình
Hubbard.
Cho một hàm lai , trước tiên giải bài toán tạp và tính các mật độ
trạng thái địa phương (LDOS)
(3.1.5)
Từ LDOS phụ thuộc ta có thể thu được LDOS trung bình nhân
(3.1.6)
hay LDOS trung bình cộng
(3.1.7)
trong đó là kỳ vọng của , là
hàm mật độ xác suất.
Hàm Geen của mạng nhận được qua phép biến đổi Hilbert.
(3.1.8)
trong đó chỉ số có thể là “geom”( nhân) hoặc “arith” ( cộng).
Mô hình Anderson – Hubbard (AHM) (3.1.1) được giải đối với mật độ
trạng thái trần dạng nửa elipptic.
38
(3.1.9)
Với mật độ trạng thái này ta tìm được một liên hệ đơn giản giữa hàm
Green và hàm lai:
(3.1.10)
Trong trường hợp lấp đầy một nửa, các tính chất ở trạng thái cơ bản được xác định bởi các đặc trưng của trạng thái lượng tử tại mức Fermi
. (Chú ý , theo bất đẳng thức Cauchy). Ta có 3
trường hợp xảy ra:
Với thì hệ là kim loại. và
Với và thì hệ là điện môi Mott (có khe cấm).
Với , thì hệ là điện môi Anderson (không có
khe cấm).
Để tính toán tiếp người ta sử dụng lý thuyết trung bình động tuyến tính
hóa (L-DMFT).
Theo biến đổi Hilbert (3.1.8)
Xét tại mức Fermi
(3.1.11)
39
Do đối xứng điện tử - lỗ trống, ta có hay là
hàm chẵn, từ đầy ta suy ra là hàm lẻ, cận tích phân đối xứng
Ta suy ra
Thay vào (3.1.11)
(3.1.12)
Công thức (3.1.12) là hàm Green ở tâm vùng thuần ảo.
Từ đó điều kiện tự hợp của DMFT là hàm Green của mạng và hàm
Green của tạp tương ứng phải bằng nhau
Mô hình có thể giải số, cũng như bằng gần đúng giải tích. Trong trường
(3.1.4)
Lấy trung bình cộng hoặc trung bình nhân
Không thỏa mãn điều kiện hội tụ
(3.1.10)
hợp giải số, vòng lặp tự hợp có thể viết như sau:
Thỏa mãn điều kiện hội tụ
Điều kiện hội tụ
Từ kết quả
Từ điều kiện tự hợp của DMFT dẫn tới hệ thức quy hồi
(3.1.13)
40
trong đó bước lặp ở vế trái nhận được từ kết quả của bước lặp
thứ ở vế phải.
Sử dụng phương trình (3.1.4) và khai triển nó theo tham số bé ,
khi , đặt với c là số bé (c thực)
Khi đó:
trong đó
Thực hiện phép biến đổi đồng nhất
(Bỏ các số hạng không tuyến tính của c, vì c nhỏ)
Tương tự:
41
(Bỏ các số hạng không tuyến tính của c, vì c nhỏ)
Vậy:
Lưu ý:
(3.1.14)
Với
42
Phương trình (3.1.14) trở thành
(3.1.15)
Hay
(3.1.16)
Biểu thức (3.1.16) là biểu thức quy hồi DMFT
và trong đó:
(3.1.17)
Để xác định giản đồ pha ở mô hình Anderson- Hubbard lấp đầy
một nửa ta xác định như sau:
Từ công thức (3.1.16) ta lấy trung bình nhân cả 2 vế theo
Đường biên giữa pha kim loại và các pha điện môi có thể thu được khi
điều kiện:
Từ điều kiện trên ta có
43
(3.1.18)
Công thức (3.1.18) xác định đường cong ,
trong đó
Đặt a = U/2.
Xét
Đặt
44
Ta thay , lấy cận
(3.1.19)
Tương tự, từ công thức (3.1.16) ta lấy trung bình cộng cả 2 vế
Đường biên giữa pha lim loại và các pha điện môi có thể thu được khi
điều kiện:
Từ điều kiện trên ta có
45
(3.1.20)
Đặt a = U/2 trong đó:
Xét
Từ đó ta có:
46
(3.1.21)
3.2. KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN
Giải các phương trình (3.1.18) – (3.1.21) ta xác định được giản đồ pha ở mô hình Anderson- Hubbard lấp đầy một nửa theo L-DMFT. Giản đồ
Điện môi Anderson
Kim loại
Điện môi Mott
này được thể hiện trên hình 3.1. Tại hình này cũng như các hình tiếp theo ta lấy W làm đơn vị năng lượng.
Hình 3.1. Giản đồ pha điện tử ở mô hình Anderson – Hubbard lấp đầy một nửa tại nhiệt độ không tuyệt đối. Chọn W = 1 làm đơn vị năng lượng.
Từ giản đồ có 3 pha được tìm thấy: pha kim loại xuất hiện trong miền
U và nhỏ, pha điện môi Mott ổn định khi U tăng, còn pha điện môi
Anderson trội lên khi lớn.
Thêm vào đó sự bất trật tự làm tăng tương tác tới hạn đối với chuyển
pha Mott- Hubbad bắt đầu từ . Mặt khác, cường độ trật tự
tới hạn đối với định xứ Anderson tăng khi tương tác nhỏ (0 U 1.7), bắt
47
đầu từ giá trị được tính chính xác , sau đó bị giảm
xuống bởi tương tác mạnh hơn.
Tại bất trật tự nhỏ lý thuyết L-DMFT với trung bình cộng
và trung bình nhân cho cùng một kết quả, trong lúc đó khi bất trật tự lớn
đường biên giữa 2 pha điện môi tiệm cận tới đường thẳng ,
giống với kết quả nhận được từ công trình của nhóm Byczuk và nhóm Aguitar
5,6.
Tiếp theo, chúng tôi sẽ sử dụng công thức (3.1.4) để tính số theo
vòng lặp tự hợp.
• Khi hàm mật độ trạng thái địa phương (LDOS) được cho ở
hình 3.2
Hình 3.2. Mật độ trạng thái trung bình tại mức Fermi như là hàm của
khi U = 0.5.
Từ đồ thị ta thấy với thì , suy ra hệ
là kim loại. Với thì , suy ra hệ là điện môi
Anderson. Kết quả này phù hợp tốt với kết quả khi giải các phương trình
48
(3.1.18) – (3.1.21), theo đó giá trị tới hạn của chuyển pha MIT khi U = 0.5 là . Ngoài ra ta thấy ở miền U nhỏ thì tính kim loại giảm khi bất trật
tự tăng.
• Khi hàm mật độ trạng thái địa phương (LDOS) được cho ở
hình 3.3
Hình 3.3. Mật độ trạng thái trung bình tại mức Fermi như là hàm của khi
U = 1.5
Từ đồ thị ta thấy với thì , suy ra hệ là
điện môi Mott. Với thì , suy ra hệ là kim
loại. Với thì , suy ra hệ là điện môi Anderson.
Kết quả này cũng phù hợp với kết quả tính dựa trên DMFT tuyến tính (các phương trình (3.1.18) – (3.1.21)), theo đó các giá trị bất trật tự tới hạn khi . Ngoài ra ta thấy với U lớn U = 1.5 lần lượt là
như trường hợp U
tính kim loại không còn là một hàm đơn điệu giảm của nhỏ.
49
Giản đồ pha điện tử thu được từ mô hình Anderson – Hubbard khá giống với giản đồ pha ở mô hình Anderson – Falicov – Kimball (AFKM)
nhận được bằng phương pháp TMT – DMFT ở công trình Byczuk 20. Tuy
nhiên miền kim loại ở mô hình Anderson – Hubbard rộng hơn nhiều so với ở mô hình AFKM.
50
CHƯƠNG 4. KẾT LUẬN
Những kết quả chính luận văn thu được là:
+ Giới thiệu tổng quan về lý thuyết vùng năng lượng của vật rắn, mô hình Hubbard, chuyển pha kim loại - điện môi và chuyển pha kim loại điện môi Anderson.
+ Giới thiệu về hàm Green: định nghĩa, phương trình chuyển động, tính chất cơ bản, lý thuyết trường trung bình động và lý thuyết môi trường điển hình cho định xứ Anderson.
+ Sử dụng phương trình chuyển động như là một phương pháp giải bài toán tạp và dùng lý thuyết trường trung bình động tuyến tính hóa với 2 kiểu lấy trung bình (nhân và cộng) để thiết lập được giản đồ pha điện tử của mô hình Hubbard – Anderson lấp đầy một nửa. Cách tiếp cận này cho phép nhận được các phương trình tường minh xác định đường biên giữa các pha kim loại tương quan, điện môi Mott và điện môi Anderson. Ngoài việc dẫn giải chi tiết các công thức nhận được trong công trình đã công bố, luận văn còn tiến hành tính số mật độ trạng thái trung bình tại mức Fermi cho các trường hợp U nhỏ và U lớn như là hàm của bất trật tự. Qua đó kiểm tra lại tính chính xác của DMFT tuyến tính hóa được sử dụng trong công trình này.
51
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 K. Byczuk, W. Hofstetter, and D. Vollhardt, Mott – Hubbard metal-
insulator transition at noninteger filling, Phys. Rev. B 69, 045112 (2004).
2 D.Semmler, K. Byczuk, and W. Hofstetter, Mott- Hubbard and Anderson
metal-insulator transitions in correlated fermions with binary disorder, Phys. Rev. B 81, 115111 (2010).
3 N. Paris et al., Mott and band – insulator transitions in the binary alloy
Hubbard model: Exact diagonalization and determinant quantum Monte Carlo simulations, Phys. Rev. B 75, 165113 (2007).
4 M. Balzer, M. Potthoff, Disorder and correlation – driven metal – insulator
transition, Physica B 359 – 361, 768 (2005).
5 K. Byczuk et al., Mott – Hubbard transition versus Anderson localization
in correlated electron systems with disorder, Phys. Rev. Lett. 94, 056404 (2005).
6 M. C. D. Aguiar et al., Critical behavior at Mott – Anderson transition: a
TMT – DMFT perspective, Phys. Rev. Lett. 102, 156402 (2009).
7 Hoang Anh Tuan and Nguyen Thi Hai Yen, Constructing electronic phase
diagram for the half – filled Hubbard model with disorder, Com. Phys. 28, 163 (2008).
[8] Nguyễn Toàn Thắng, Bài giảng về nhập môn hệ điện tử tương quan mạnh (tài liệu lưu hành nội bộ).
9 T.F. Rosenbaum et al., Sharp metal – insulator transition in a random
Solid, Phys. Rev. Lett. 45, 1723 (1980).
10 H. Grussbach and M. Schreiber, Determination of the mobility edge in
the Anderson model of localization in three dimensions by multifractal analysis, Phys. Rev. B 51, 663 (R) (1995).
[11] Nguyễn Văn Liễn, Hàm Green trong vật lý chất rắn, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (2003)
52
12 W. Metzner and Vollhardt, Correlated lattice fermions in d =
dimensions, Phys. Rev. Lett. 62, 324 (1989).
13 E. Miiller – Hartmann, Correlated fermions on a lattice in high
dimensions, Z. Phys. B Condensed Mutter 74, 507 (1989)
14 A. Georges and G. Kotliar, Hubbard model in infinite dimensions, Phys.
Rev.B 45, 6479 (1992).
15 M. Jarrell, Hubbard model in infinite dimensions, A quantum Monte
Carlo, Phys. Rev. Lett. 69, 168 (1992).
16 M. Imada, A. Fujimri, and Y. Tokura, Metal-insulator transition, Rev.
Mod. Phys. 70, 1039 (1998).
17 P.W. Anderson, Absence of diffusions in certain randon site, Phys. Rev.
109, 1492 (1958).
18 V. Dobrosavljevic and G. Kotliar, Mean field theory of the Mott –
Anderson transition, Phys. Rev. Lett. 78, 3943 (1997).
19 V. Dobrosavljevic, A. Pastor and B. K. Nikolic, Typical mediam theory
of Anderson localization: A local order parameter approach to strong disorder effects, Eur. Phys. Lett. 62, 76 (2003).
20 K. Byczuk, Metal – insulator transitions in the Falicov – Kimball model
wwith disorder, Phys. Rev. B 71, 205105 (2005).
