Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
*****************
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT
BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05
Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ THẾ KHÔI
Người thực hiện: TRẦN DANH TUYÊN
Thái Nguyên - 2009
▼ô❝ ❧ô❝
▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ✷
✶ ▼ét sè ✈Ý ❞ô ✈Ò ♥❤ã♠ ✈➭ t➳❝ ➤é♥❣ ♥❤ã♠ ✹
✶✳✶ ◆❤ã♠ ♠❛ tr❐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹
✶✳✷ ❚➳❝ ➤é♥❣ ♥❤ã♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✶✳✸ ◆❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽
✷ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ➤➵✐ sè ❝➡ së ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ♥❤ã♠ ✶✵
✷✳✶ P❤Ð♣ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵
✷✳✷ ❇✐Ó✉ ❞✐Ô♥ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷
✷✳✸ ❈➳❝ ✈Ý ❞ô ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸
✷✳✹ ❚æ♥❣ ✈➭ tÝ❝❤ t❡♥①➡ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ✲ P❤Ð♣ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ t❤➢➡♥❣ ✶✻
✷✳✹✳✶ ❚æ♥❣ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻
✷✳✹✳✷ ❚Ý❝❤ t❡♥①➡ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼
✷✳✹✳✸ P❤Ð♣ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ➤è✐ ♥❣➱✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
✷✳✹✳✹ P❤Ð♣ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ t❤➢➡♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
✷✳✺ P❤➞♥ tÝ❝❤ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ❝ñ❛ ♠ét ♣❤Ð♣ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾
✷✳✻ ➜➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸
✸ ❇✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ❝ñ❛ ♥❤ã♠ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈➭ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s ✷✹
✸✳✶ ➜➷❝ tr➢♥❣ ❤Ö trù❝ ❝❤✉➮♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹
✸✳✷ ❇✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ❝❤Ý♥❤ q✉② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽
✸✳✸ ❍Ö trù❝ ❝❤✉➮♥ ❝➳❝ ➤➷❝ tr➢♥❣ ✈➭ sè ❝➳❝ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ❜✃t ❦❤➯ q✉② ✳ ✷✾
✸✳✹
ø
♥❣ ❞ô♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺
✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
✷
▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉
▲ý t❤✉②Õt ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ♥❤ã♠ ❝ã ♥❣✉å♥ ❣è❝ tõ ❧ý t❤✉②Õt ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛
♥❤ã♠ ❛❜❡❧ ➤➢î❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ❝❤♦ ❝➳❝ ♥❤ã♠ ❝②❝❧✐❝ ❜ë✐ ●❛✉ss✱ ❉✐r✐❝❤❧❡t ✈➭ s❛✉
➤ã ♠ë ré♥❣ s❛♥❣ ❝❤♦ ♥❤ã♠ ❛❜❡❧ ❤÷✉ ❤➵♥ ❜ë✐ ❋r♦❜❡♥✐✉s ✈➭ ❙t✐❝❦❡❧❜❡r❣❡r✳ ▲ý
t❤✉②Õt ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ❝ñ❛ ♥❤ã♠ ❤÷✉ ❤➵♥ ➤➢î❝ ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ✈➭♦ ❝✉è✐ t❤Õ ❦û ❳■❳ tr♦♥❣
❝➳❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❝ñ❛ ❋r♦❜❡♥✐✉s✱ ❙❝❤✉r ✈➭ ❇✉r♥s✐❞❡✳
◆ã✐ ♠ét ❝➳❝❤ ➤➡♥ ❣✐➯♥✱ ❧ý t❤✉②Õt ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ♥❤ã♠ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ❝➳❝❤
♠➭ ♠ét ♥❤ã♠ t➳❝ ➤é♥❣ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝t➡ ❜➺♥❣ ❝➳❝ tù ➤➻♥❣ ❝✃✉ t✉②Õ♥
tÝ♥❤✳ ▲ý t❤✉②Õt ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ♥❤ã♠ ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ➤➵✐
sè ❤✐Ö♥ ➤➵✐ ♠➭ ❝ß♥ ❝ã ♥❤✐Ò✉ ø♥❣ ❞ô♥❣ q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt sè✱ tæ ❤î♣
✈➭ ❝➯ ✈❐t ❧ý✳
▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❧➭ ➤ä❝ ❤✐Ó✉ ✈➭ tr×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡
❜➯♥ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ♥❤ã♠ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈➭ tr×♥❤ ❜➭② ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝ñ❛
❇✳❩❛❣✐❡r ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s✳
❇è ❝ô❝ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❣å♠ ❜❛ ❝❤➢➡♥❣✿
❈❤➢➡♥❣ ✶
▼ét sè ✈Ý ❞ô ✈Ò ♥❤ã♠ ✈➭ t➳❝ ➤é♥❣ ♥❤ã♠✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②
❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥ ♥❤➢✿ ◆❤ã♠ ♠❛ tr❐♥✱ t➳❝ ➤é♥❣
♥❤ã♠✱ ♥❤ã♠ ➤è✐ ①ø♥❣✳ ◆❤÷♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ♥➭② sÏ ➤➢î❝ sö ❞ô♥❣ tr♦♥❣ ♣❤➬♥ ❝ß♥
❧➵✐ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
❈❤➢➡♥❣ ✷
❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ➤➵✐ sè ❝➡ së ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ♥❤ã♠✳ ❚r♦♥❣
❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭ ♠ét sè ✈Ý ❞ô ➤➡♥ ❣✐➯♥ ➤Ó
♠✐♥❤ ❤♦➵ ❝❤♦ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ♥❤ã♠✳
❈❤➢➡♥❣ ✸
❇✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ❝ñ❛ ♥❤ã♠ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈➭ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s✳ ➜➞② ❧➭
❝❤➢➡♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ♠ét
sè ❦Õt q✉➯ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❧ý t❤✉②Õt ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ❝ñ❛ ♥❤ã♠ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈➭ ➤➷❝ ❜✐Öt ❧➭
❝❤ó♥❣ t➠✐ ❞➲ tr×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ♠ét ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝ñ❛ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❋r♦❜❡♥✐✉s t❤➠♥❣
q✉❛ ❧ý t❤✉②Õt ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ♥❤ã♠✳
◗✉❛ ➤➞②✱ t➳❝ ❣✐➯ ❝ò♥❣ ①✐♥ ➤➢î❝ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ ①➽❝ tí✐ ♥❣➢ê✐ t❤➬②✱
♥❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ❝ñ❛ ♠×♥❤✱ ❚❙✳ ❱ò ❚❤Õ ❑❤➠✐✱ ♥❤ê sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
✸
❝❤Ø ❜➯♦ t❐♥ t×♥❤ ✈➭ ♥❣❤✐➟♠ ❦❤➽❝ ❝ñ❛ t❤➬② ♠➭ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤
♠ét ❝➳❝❤ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ➤ó♥❣ t✐Õ♥ ➤é✳ ❳✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❝➠♥❣
t➳❝ t➵✐ ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥✱ t➵✐ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ t❤✉é❝ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ trù❝
t✐Õ♣ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ✈➭ q✉❛♥ t➞♠✳ ❳✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❛♥❤ P❤➵♠ ❍å♥❣ ◆❛♠✱ ❣✐➯♥❣ ✈✐➟♥
❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❝➯♠ ➡♥ ❜➵♥ ❜❒ ➤å♥❣
♥❣❤✐Ö♣ ✈➭ ❣✐❛ ➤×♥❤ ➤➲ ➤é♥❣ ✈✐➟♥✱ ❣✐ó♣ ➤ì t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣
✈➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ ✵✾ ♥➝♠ ✷✵✵✾
❍ä❝ ❱✐➟♥
❚r➬♥ ❉❛♥❤ ❚✉②➟♥
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
❈❤➢➡♥❣ ✶
▼ét sè ✈Ý ❞ô ✈Ò ♥❤ã♠ ✈➭ t➳❝ ➤é♥❣ ♥❤ã♠
❚❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➬♥ ❞ï♥❣ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
✶✳✶ ◆❤ã♠ ♠❛ tr❐♥
❈❤♦
❈
❧➭ tr➢ê♥❣ sè ♣❤ø❝✱ ❦Ý ❤✐Ö✉
Mm,n(C)
❧➭ t❐♣ ❤î♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥
❝✃♣
m×n
tr➟♥
❈
✳
Mm,n(C)
❧❐♣ ♥➟♥ ♠ét
❈✲
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡
m×n
❝❤✐Ò✉✱
tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣
m=n
t❤× t❛ ❦Ý ❤✐Ö✉
Mn(C)
t❤❛② ❝❤♦
Mn,n(C)
✳ ❚❛ ①➳❝
➤Þ♥❤ ➤➢î❝ ♠ét
♥❤ã♠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤
✿
GL(n, C) := {A∈Mn(C), detA 6= 0}.
❚❛ ①➳❝ ➤Þ♥❤
♥❤ã♠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ➤➷❝ ❜✐Öt
✱
SL(n, C) := {A∈Mn(C); detA = 1}.
❚❛ ❝ò♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❤ã♠
trù❝ ❣✐❛♦
✿
O(n) := {A∈Mn(R); tAA =En},
✈➭ ❝❤♦
n=p+q
✱ t❤× t❛ ❝ã✿
O(p, q) := {A∈Mn(R); tADp,qA=Dp,q},
tr♦♥❣ ➤ã
Dp,q
❧➭ ❝➳❝ ♠❛ tr❐♥ ➤➢ê♥❣ ❝❤Ð♦ ♠➭
aii = 1,∀i=1, p
✈➭ ❝➳❝
aii =−1,∀i=p+ 1, n
✳ ❱➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤
♥❤ã♠ ✉♥✐t❛
✿
U(n) := {A∈Mn(C); tAA=En}
✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
