intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Nguyên hàm lượng giác - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Tran Binh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST
Báo xấu
635
lượt xem 63
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo môn Toán dành cho quý thầy cô và các bạn học sinh với chuyên đề: Nguyên hàm lượng giác. Mời quý thầy cô và các bạn học sinh tham khảo nhằm củng cố kiến thức và ôn thi Đại học đạt kết quả cao nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học Toán chuyên đề: Nguyên hàm lượng giác - Thầy Đặng Việt Hùng

  1. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 07. NGUYÊN HÀM LƯ NG GIÁC – P1 Th y ng Vi t Hùng I. CÁC CÔNG TH C LƯ NG GIÁC THƯ NG S D NG sin 2 x + cos 2 x = 1 1 = 1 + tan 2 x Các h ng ng th c lư ng giác: cos 2 x 1 2 = 1 + cot 2 x sin x tan x.cot x = 1 cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 2cos 2 x − 1 = 1 − 2sin 2 x Công th c góc nhân ôi: sin 2 x = 2sin x.cos x 1 + cos 2 x cos 2 x = 2 Công th c h b c hai: 1 − cos 2 x sin 2 x = 2 sin ( a ± b ) = sin a.cos b ± sin b.cos a Công th c c ng: cos ( a ± b ) = cos a.cos b sin a.sin b (Sin thì cùng d u khác loài, Cos thì khác d u nhưng loài gi ng nhau) Chú ý: sin 2a = 2sin a.cos a - Trong trư ng h p a = b ta ư c công th c góc nhân ôi:  cos 2a = cos a − sin a = 2cos a − 1 = 1 − 2sin a 2 2 2 2 sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a  - Trong trư ng h p 2a = b ta ư c công th c góc nhân ba:  cos3a = 4cos a − 3cos a 3  1 cos a.cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)] 2 1 Công th c bi n i tích thành t ng: sin a.sin b = [ cos(a − b) − cos(a + b) ] 2 1 sin a.cos b = [sin( a + b) + sin(a − b)] 2 sin ( − x ) = − sin x  Chú ý:  cos ( − x ) = cos x  Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  2. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 a+b a −b sin a + sin b = 2sin .cos 2 2 a+b a −b sin a − sin b = 2cos .cos 2 2 Công th c bi n i t ng thành tích: a+b a −b cos a + cos b = 2cos .cos 2 2 a+b a −b cos a − cos b = −2sin .sin 2 2  2t x sin x = 1 + t 2 sin x 2t Công th c bi n tính theo t = tan ⇒  ⇒ tan x = = 2  1− t 2 cos x 1 − t 2 cos x =   1+ t2 M t s các công th c c n nh nhanh sin 3 x + cos3 x = (sin x + cos x)(1 − sin x.cos x) ; sin 3 x − cos3 x = (sin x − cos x)(1 + sin x.cos x) 1 3 1 sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2sin 2 x.cos 2 x = 1 − sin 2 2 x = + cos 4 x 2 4 4 3 5 3 sin 6 x + cos6 x = 1 − 3sin 2 x.cos 2 x = 1 − sin 2 2 x = + cos 4 x 4 8 8  π  π  π  π sin x + cos x = 2 sin  x +  = 2 cos  x −  ; sin x − cos x = 2 sin  x −  = − 2 cos  x +   4  4  4  4 cos(a − b) 2 1 + tan a.tan b = ; tan x + cot x = cos a.cos b sin 2 x II. CÁC NGUYÊN HÀM LƯ NG GIÁC THƯ NG S D NG dx 1 I1 = ∫ sin x dx = − cos x + C I8 = ∫ = tan ( ax ) + C cos ( ax ) a 2 1 dx I 2 = ∫ sin ( ax ) dx = − cos ( ax ) + C I9 = ∫ = − cot x + C a sin 2 x dx 1 I 3 = ∫ cos x dx = sin x + C I10 = ∫ = − cot ( ax ) + C sin ( ax ) 2 a 1 sin x dx I 4 = ∫ cos ( ax ) dx = sin ( ax ) + C I11 = ∫ tan x dx = ∫ = − ln cos x + C a cos x 1 − cos2 x x sin 2 x cos x dx I 5 = ∫ sin 2 x dx = ∫ dx = − +C I12 = ∫ cot x dx = ∫ = ln sin x + C 2 2 4 sin x 1 + cos 2 x x sin 2 x  1  I 6 = ∫ cos 2 x dx = ∫ dx = + +C I13 = ∫ tan 2 x dx = ∫  2 − 1 dx = tan x − x + C 2 2 4  cos x  dx  1  I7 = ∫ = tan x + C I14 = ∫ cot 2 x dx = ∫  2 − 1 dx = − cot x − x + C cos 2 x  sin x  Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  3. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 III. CÁC D NG NGUYÊN HÀM LƯ NG GIÁC THƯ NG G P D ng 1. Nguyên hàm dùng công th c lư ng giác thu n túy Ví d 1. Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ sin 2 2 x dx b) I 2 = ∫ cos 2 4 x dx c) I 3 = ∫ cos 2 x.sin 4 x dx Hư ng d n gi i: 1 − cos 4 x 1 1 1  x 1 a) I1 = ∫ sin 2 2 x dx = ∫ dx = ∫ (1 − cos 4 x ) dx =  x − sin 4 x  + C = − sin 4 x + C. 2 2 2 4  2 8 1 + cos8 x 1 1 1  x 1 b) I 2 = ∫ cos 2 4 x dx = ∫ dx = ∫ (1 + cos8 x ) dx =  x + sin 8 x  + C = + sin 8 x + C. 2 2 2 8  2 16 c) S d ng liên ti p các công th c h b c hai cho sin2x và cos2x ta ư c: 1 + cos 2 x  1 − cos 2 x  1 + cos 2 x 1 − cos 2 x 1 − cos 2 x 1 − cos 2 2 x 1 − cos 2 x 2 cos 2 x.sin 4 x = cos 2 x.( sin 2 x ) = 2   = . . = . = 2  2  2 2 2 4 2 1 1 1 = sin 2 2 x.(1 − cos 2 x ) = sin 2 2 x − sin 2 2 x.cos 2 x 8 8 8 1 1 1 1 − cos 4 x 1 Khi ó I 3 = ∫ cos 2 x.sin 4 x dx = ∫ sin 2 x dx − 8 ∫ sin 2 x.cos 2 x dx = 8 ∫ 2 dx − 16 ∫ sin 2 x d ( sin 2 x ) = 2 2 2 8 1 1 1 sin 3 2 x 1 1 1 = x − sin 4 x − . + C  I 6 = x − sin 4 x − sin 3 2 x + C. → 16 64 16 3 16 64 48 Ví d 2. Tính các nguyên hàm sau: dx a) I 7 = ∫ sin 3 x.cos x dx b) I8 = ∫ cos 2 x.cos3 x dx c) I 9 = ∫ sin 3x + sin x Hư ng d n gi i: 1 a) S d ng công th c bi n i tích thành t ng ta ư c sin 3 x.cos x = ( sin 4 x + sin 2 x ) 2 ( sin 4 x + sin 2 x ) dx = ∫ ( sin 4 x + sin 2 x ) dx =  − cos4x − cos 2 x  + C = − cos4 x − cos 2 x + C. 1 1 1 1 1 1 1 T ó I7 = ∫   2 2 2 4 2  8 4 ( cos5 x + cos x ) dx =  sin 5 x + sin x  + C = sin 5 x + sin x + C. 1 1 1 1 1 b) I8 = ∫ cos 2 x.cos3x dx = ∫   2 25  10 2 dx dx dx 1 sin x dx 1 d (cos x) c) I 9 = ∫ =∫ =∫ = ∫ 2 =− ∫ sin 3x + sin x 2sin 2 x.cos x 2 4sin x.cos x 4 sin x.cos x2 4 (1 − cos 2 x ) .cos 2 x 1 (1 − t ) + t 2 2 1 dt 1  dt dt  t cos x = t  I 9 = − → 4 ∫ (1 − t 2 ) .t 2 4 (1 − t 2 ).t 2 dt = − 4  ∫ t 2 + ∫ 1 − t 2  =− ∫   dt 1 ∫t 2 = − + C1 t 1  1 1 1+ t  Mà  I 9 = −  − + ln →  + C. dt 1 (1 − t ) + (1 + t ) 1  dt dt  1 1 + t 4  t 2 1− t  ∫ 1 − t 2 = 2 ∫ (1 − t )(1 + t ) dt = 2  ∫ 1 + t + ∫ 1 − t  = 2 ln 1 − t + C2   1 1 1 1 + cos x  Thay t = cosx vào ta ư c I 9 = −  − + ln  + C. 4  cos x 2 1 − cos x  Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  4. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Ví d 3. Tính các nguyên hàm sau: sin 3 x.cos 4 x sin 3 x a) I1 = ∫ sin x.sin 2 x.cos5 x dx b) I 2 = ∫ dx c) I 3 = ∫ dx tan 2 x + cot 2 x 3sin 4 x − sin 6 x − 3sin 2 x Ví d 4. Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ cos3 x.cos 3x dx b) I 2 = ∫ cos 2 x.cos 2 x dx c) I 3 = ∫ (sin 4 x + cos 4 x)(sin 6 x + cos 6 x)dx Ví d 5. Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ sin x cos 2 x dx b) I 2 = ∫ sin 3x cos x dx c) I 3 = ∫ (2sin 2 x − sin x.cos x − cos 2 x)dx Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  5. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 07. NGUYÊN HÀM LƯ NG GIÁC – P2 Th y ng Vi t Hùng III. CÁC D NG NGUYÊN HÀM LƯ NG GIÁC THƯ NG G P D ng 1. Nguyên hàm dùng công th c lư ng giác thu n túy D ng 2. Nguyên hàm lư ng giác c a các hàm ch có sin, cosin Ví d 1. Tính các nguyên hàm sau: a) I 4 = ∫ sin 3 x dx b) I 5 = ∫ cos5 x dx c) I 3 = ∫ cos 4 x dx Hư ng d n gi i: a) I 4 = ∫ sin 3 x dx = ∫ sin 2 x.sin x dx = − ∫ (1 − cos 2 x ) d ( cos x ) = − cos x + cos3 x + C. 3 b) I 5 = ∫ cos5 x dx = ∫ cos 4 x.cos x dx = ∫ (1 − sin 2 x ) d ( sin x ) = ∫ (1 − 2sin x + sin 2 x ) d ( sin x ) = 2 sin 3 x sin 3 x = sin x − sin 2 x + + C  I 5 = sin x − sin 2 x + → + C. 3 3 c) S d ng liên ti p công th c h b c hai ta ư c:  1 + cos 2 x  1 1 + cos 4 x  3 1 2 1 cos x = ( cos x ) =   = (1 + 2cos 2 x + cos 2 x ) =  1 + 2cos 2 x + 2 1  = + cos 2 x + cos 4 x 4 2 2  2  4 4 2  8 2 8 3 1 1  3x 1 1 Khi ó I 3 = ∫ cos 4 x dx = ∫  + cos 2 x + cos 4 x  dx = + sin 2 x + sin 4 x + C. 8 2 8  8 4 32 Ví d 2. Tính các nguyên hàm sau: cos x dx sin 2 x a) I1 = ∫ 2 b) I 2 = ∫ dx sin x + 3sin x + 2 cos x dx dx c) I 3 = ∫ d) I 4 = ∫ sin 3 x + sin x cos3 x Hư ng d n gi i: cos x dx d (sin x) a) Ta có I1 = ∫ 2 sin x + 3sin x + 2 ∫ sin 2 x + 3sin x + 2 = t t = sin x  I1 = ∫ 2 dt =∫ ( t + 2 ) − ( t + 1) dt = dt − dt = ln t + 1 + C = ln sin x + 1 + C. → t + 3t + 2 ( t + 1)( t + 2 ) ∫ t +1 ∫ t + 2 t + 2 sin x + 2 sin 2 x sin 2 x.cos x dx sin 2 x d (sin x) sin 2 x d (sin x) b) I 2 = ∫ dx = ∫ = −∫ =∫ cos x cos 2 x 1 − sin 2 x sin 2 x − 1 t 2 dt t2 −1 + 1  1  dt 1 ( t + 1) − ( t − 1) t t = sin x  I 2 = ∫ 2 → =∫ 2 dt = ∫  1 + 2  dt = t + ∫ 2 =t+ ∫ dt = t −1 t −1  t −1  t −1 2 ( t + 1)( t − 1) 1 t −1 1 sin x − 1 1 sin x − 1 = t + ln + C = sin x + ln + C  I 2 = sin x + ln → + C. 2 t +1 2 sin x + 1 2 sin x + 1 dx dx dx 1 sin x dx 1 d (cos x) c) I 3 = ∫ sin 3 x + sin x ∫ 2sin 2 x.cos x ∫ 4sin x.cos 2 x 4 ∫ sin 2 x.cos 2 x = = = =− ∫ 4 (1 − cos 2 x ) .cos 2 x 1 (1 − t ) + t 2 2 1 dt 1  dt dt  t cos x = t  I 3 = − → 4 ∫ (1 − t 2 ).t 2 4 (1 − t 2 ).t 2 dt = − 4  ∫ t 2 + ∫ 1 − t 2  =− ∫   dt 1 ∫t 2 = − + C1 t 1  1 1 1+ t  Mà  I 3 = −  − + ln →  + C. dt 1 (1 − t ) + (1 + t ) 1  dt dt  1 1 + t 4  t 2 1− t  ∫ 1 − t 2 = 2 ∫ (1 − t )(1 + t ) dt = 2  ∫ 1 + t + ∫ 1 − t  = 2 ln 1 − t + C2   Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  6. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 1 1 1 1 + cos x  Thay t = cosx vào ta ư c I 3 = −  − + ln  + C. 4  cos x 2 1 − cos x  dx cos x dx d (sin x) d) I 4 = ∫ =∫ = −∫ (1 − sin 2 x ) 3 4 2 cos x cos x  ( t + 1) − ( t − 1)  2 2 dt dt 1  1 1  t t = sin x  I 4 = − ∫ → = −∫ = ∫  dt = ∫  −  dt = (1 − t 2 ) (t − 1)  2 ( t + 1)( t − 1)  4  t −1 t +1 2 2   2 1 dt dt 2dt  1 1 1 ( t + 1) − ( t − 1) dt  1  1 1 t −1  = ∫ +∫ +∫  = − − +∫  = − − + ln  + C. 4  ( t − 1)  2 ( t − 1) 2 ( t − 1)( t + 1)  4  t − 1 t + 1   ( t − 1)( t + 1)  4  t − 1 t + 1  t +1  1 1 1 sin x − 1  Thay t = sinx vào ta ư c I 4 =  − − + ln  + C. 4  sin x − 1 sin x + 1 sin x + 1  Ví d 3. Tính các nguyên hàm sau: dx 4sin 3 x dx sin x dx a) I 5 = ∫ b) I 6 = ∫ c) I 7 = ∫ sin x cos x 1 + cos x cos3 x − 1 Hư ng d n gi i: dx cos x dx d (sin x) a) I 5 = ∫ =∫ =∫ sin x (1 − sin 2 x ) 2 sin x cos x sin x cos x dt t 2 + (1 − t 2 ) t dt dt 1 d (1 − t ) 2 1 t t = sin x  I 5 = ∫ → =∫ dt = ∫ +∫ =− ∫ + ln t = − ln 1 − t 2 + ln t + C. t (1 − t ) t (1 − t ) 1− t 1− t 2 2 2 2 t 2 2 1 1 Thay t = sinx vào ta ư c I 5 = − ln 1 − sin 2 x + ln sin x + C = − ln cos 2 x + ln sin x + C = ln tan x + C. 2 2 dx V y I5 = ∫ = ln tan x + C. sin x cos x b) S d ng phép bi n i lư ng giác ta có: 4sin 3 x 4sin 2 x.sin x 4 (1 − cos x ) .sin x 2 = = = 4 (1 − cos x ) .sin x = 4sin x − 2sin 2 x. 1 + cos x 1 + cos x 1 + cos x 4sin 3 x dx T ó I6 = ∫ = ∫ ( 4sin x − 2sin 2 x ) dx = −4cos x + cos2 x + C  I 6 = −4cos x + cos2 x + C. → 1 + cos x sin x dx d (cos x) c) I 7 = ∫ = −∫ cos x − 1 3 cos3 x − 1 dt dt t t = cosx ta ư c I 7 = − ∫ 3 = −∫ t −1 (t − 1)(t 2 + t + 1) 1 3t 2 − 3 ( t 2 + t + 1) + 3 ( t − 1) B ng kĩ thu t phân tích nh y t ng l u ta ư c = ( t − 1) ( t 2 + t + 1) −6 ( t − 1) ( t 2 + t + 1) 1 3t − 3 ( t + t + 1) + 3 ( t − 1) 2 2 1 3t 2 dt 1 dt 1 dt 6∫ dt = ∫ 3 6 t −1 2 ∫ t −1 2 ∫ t2 + t +1 Khi ó I 7 = − + ( t − 1) ( t + t + 1) 2 3t 2 dt d ( t 3 − 1) ∫ t3 −1 =∫ 3 t −1 = ln t 3 − 1 + C1 dt = ln t − 1 + C2 t −1  1 t+  dt dt 1 2  + C = 2 arctan  2t + 1  + C ∫ t2 + t +1 = ∫ 2 = arctan   3  3   3   3  1  3 2 3 3 t +  +      2  2  2  2  1 1 1 2  2t + 1  1 1 1  2t + 1  T ó I 7 = ln t 3 − 1 − ln t − 1 + . arctan   + C = 6 ln t − 1 − 2 ln t − 1 + 3 arctan   + C. 6 2 2 3  3  3  3  Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  7. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Bình lu n: Ngoài cách s d ng kĩ thu t nh y t ng l u tr c ti p như trên, chúng ta có th bi n i theo hư ng khác như sau dt dt d( t − 1 ) du I7 = − ∫ 3 = −∫ = −∫ = −∫ t −1 ( t − 1 )( t + t + 1 ) ( t − 1 ) ( t − 1 ) + 3( t − 1 ) + 3 ) u ( u + 3u + 3 ) 2 2 2   1 ( 3u + 6u + 3 ) − 3 ( u + 3u + 3 ) + 3u 1 3u 2 + 6u 2 2 −1 −1 1 1  → = 3 = . = . 3 − + u ( u + 3u + 3 ) u + 3u + 3u 6 u ( u + 3u + 3 ) 6 u + 3u + 3u 2u 2 ( u + 3u + 3 ) 2 2 2 2 2 Thay vào ta ư c : 1 1 1 du 1 1 1  2u + 3  I7 = ln u 3 + 3u 2 + 3u − ln u + ∫ 2 = ln u 3 + 3u 2 + 3u − ln u + arctan   + C. 6 2 2  3  3 2 6 2 2 3  3  u +  +    2  2  Ví d 4. Tính các nguyên hàm sau: dx a) I1 = ∫ cos6 x dx b) I 2 = ∫ 2 sin x.cos x sin 4 xdx c) I 3 = ∫ sin 2 x(2 + sin 2 xdx d) I 4 = ∫ 2cos 4 x − 1 Ví d 5. Tính các nguyên hàm sau: dx cos3 x dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ sin 3 x sin 5 x dx c) I 3 = ∫ sin x cos 2 x dx d) I 4 = ∫ sin x cos6 x Ví d 6. Tính các nguyên hàm sau: 1 + sin 2 x sin 2 x.cos x a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx cos 2 x 3 + cos x sin 2 x cos x c) I 3 = ∫ dx d) I 4 = ∫ dx 1 + cos x 2 + cos 2 x Ví d 7. Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ cos 2 x.cos 4 xdx b) I 2 = ∫ 1 − cos3 x .sin x.cos5 x dx cos 2 x c) I 3 = ∫ sin x.cos x(1 + cos x) 2 dx d) I 4 = ∫ dx 1 + sin x cos x Ví d 8. Tính các nguyên hàm sau: sin 3 x a) I1 = ∫ cos 2 x(sin 4 x + cos 4 x)dx b) I 2 = ∫ dx 1 + cos 2 x c) I 3 = ∫ (sin 3 x + cos3 x)dx Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  8. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 07. NGUYÊN HÀM LƯ NG GIÁC – P3 Th y ng Vi t Hùng D ng 2. Nguyên hàm lư ng giác c a các hàm ch có sin, cosin (ti p theo) Ví d 1. Tính các nguyên hàm sau: sin 2 x sin x a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ ( sin 4 x + sin 2 x ) cos 2 x + 3dx 1 − sin x Ví d 2. Tính các nguyên hàm sau: tan xdx dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ 4 + cos x 2 tan x 3 + cos 2 x 3sin x + 4cos x sin x.cos3 x c) I 3 = ∫ dx d) I 4 = ∫ dx 3sin 2 x + 4cos 2 x 1 + cos 2 x Ví d 3. Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ ( tan x + e 2sin x ) cos xdx b) I 2 = ∫ ( esin x + cos x ) .cos x dx sin 3 x c) I 3 = ∫ sin 2 x.cos x(2 + cos x) 2 dx d) I 4 = ∫ dx 1 + cos 2 x Ví d 4. Tính các nguyên hàm sau: sin 3 x a) I1 = ∫ cos 4 x (sin 6 x + cos 6 x ) dx b) I 2 = ∫ dx 3 + sin 2 x cos xdx sin 2 x + sin x c) I 3 = ∫ d) I 4 = ∫ dx 5 + cos 2 x 1 + 2cos x Ví d 5. Tính các nguyên hàm sau: cos3x sin x.cos3 x a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx sin x 1 + cos 2 x 4sin 3 xdx 3sin 2 x + sin x c) I 3 = ∫ d) I 4 = ∫ dx 1 + cos 4 x 6cos x − 5 Ví d 6. Tính các nguyên hàm sau:  x a) I1 = ∫  1 + tan x.tan  sin xdx b) I 2 = ∫ ( cos3 x − 1) cos 2 xdx  2 cos x + sin x.cos x sin 3 x − sin 3 x c) I 3 = ∫ d) I 4 = ∫ dx 2 + sin x 1 + cos3x Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  9. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 07. NGUYÊN HÀM LƯ NG GIÁC – P4 Th y ng Vi t Hùng D ng 3. Nguyên hàm lư ng giác c a hàm tan và cot Cách gi i: Các nguyên hàm ch a tanx hay cotx thì ta thư ng dùng h ng ng th c  1  2 1  cos 2 x = 1 + tan x  tan x = 1 − cos 2 x 2      →  1 cot 2 x = 1 − 1 = 1 + cot 2 x  sin x  2   sin 2 x Nguyên hàm mà m u s là ng c p b c hai v i sinx và cosx: A sin 2 x + B sin x.cos x + C.cos 2 x thì ta chia c t và m u cho cos2x ho c sin2x. Ví d 1. Tính các nguyên hàm sau: c) I 3 = ∫ ( tan 3 x + tan x ) dx dx a) I1 = ∫ tan 2 x dx b) I 2 = ∫ tan 3 x dx d) I 4 = ∫ cos 4 x Hư ng d n gi i:  1  a) I1 = ∫ tan 2 x dx = ∫  1 − 2  dx = x − tan x + C.  cos x  b) Xét I 2 = ∫ tan 3 x dx Cách 1:  1  dx tan 2 x sin x dx I 2 = ∫ tan 3 x dx = ∫ tan 2 x.tan x dx = ∫  2 − 1 tan x dx = ∫ tan x. 2 − ∫ tan xdx = −∫ =  cos x  cos x 2 cos x tan 2 x d (cosx) tan 2 x = +∫ = + ln cos x + C. 2 cos x 2 Cách 2: I 2 = ∫ tan x dx = ∫ sin 3 x dx = ∫ sin 2 x.sin xdx = −∫ (1 − cos2 x ).d (cos x) = − d (cos x) + d (cos x) = 1 + ln cos x + C. ∫ cos3 x ∫ cos x 2cos2 x 3 cos3 x cos3 x cos3 x Bình lu n: Nhìn vào hai k t qu thu ư c t hai phương án tính khác nhau, tho t nhìn gây chúng ta cho c m giác không bi t cách nào úng, cách nào sai. Nhưng quan sát kĩ, và th c hi n m t phép bi n i ơn gi n ta thu ư c ngay cùng k t qu . tan 2 x 1 1  1 1 Th t v y, + ln cos x + C =  2 − 1  + ln cos x + C = 2 + ln cos x + C − . 2 2  cos x  2 cos x 2  1 ′ Do  C −  = ( C )′ = 0 nên th c ch t hai nguyên hàm có cùng k t qu .  2  1  c) I 3 = ∫ ( tan 3 x + tan x ) dx = ∫ tan 3 x dx + ∫ tan x dx = ∫ tan 2 x.tan x dx + ∫ tan x dx = ∫  − 1 .tan x dx + ∫ tan x dx =  cos 2 x  dx tan 2 x = ∫ tan x. 2 − ∫ tan x dx + ∫ tan x dx = + C. cos x 2 Bình lu n: Cách gi i bài trên là d a vào cách gi i truy n th ng cho d ng toán này. V i các nguyên hàm có ch a tannx thì thông  1  1 thư ng ta tách theo sơ : tan n x = tan n − 2 x.tan 2 x = tan n − 2 x.  2 − 1 = tan n − 2 x. 2 − tan n − 2 x... v i n > 2.  cos x  cos x 2 Quá trình tách c ti p di n n cu i cùng xu t hi n tanx ho c tan x, mà cách nguyên hàm này u có công th c tính. Tuy nhiên, v i bài toán trên có m t c i m riêng mà ta có th trình bày cách gi i ng n g n hơn như sau: Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  10. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 I 3 = ∫ ( tan 3 x + tan x ) dx = ∫ ( tan 2 x + 1) tan x dx = ∫ tan x. dx tan 2 x = ∫ tan x.d ( tan x ) = + C. cos 2 x 2 = ∫ (1 + tan 2 x ) d ( tan x ) = tan x + dx 1 dx tan 3 x d) I 4 = ∫ =∫ + C. cos 4 x cos 2 x cos 2 x 3 Bình lu n: V i nh ng nguyên hàm có xu t hi n tanx kèm theo cos2nx m u s thì ta s d ng phép phân tích như sau  1  cos 2 n x = cos 2 n − 2 x . cos 2 x = ( tan x + 1) . cos 2 x 1 1 2 n −1 1    dx = d ( tan x )  cos 2 x  D a trên phép phân tích như trên ta có th m r ng thêm m t s bài toán như sau: 2  1  dx = ∫ (1 + tan 2 x ) d ( tan x ) = dx 1 dx 2 tan 5 x 2 tan 3 x J1 = ∫ =∫ . 2 = ∫  + + tan x + C. cos6 x cos 4 x cos x 2 2  cos x  cos x 5 3 tan 2010 x tan 2013 x tan 2011 x dx = ∫ tan 2010 x. 2 . 2 = ∫ tan 2010 x.(1 + tan 2 x ) d ( tan x ) = 1 dx J2 = ∫ + + C. cos 4 x cos x cos x 2013 2011 Ví d 2. Tính các nguyên hàm sau: dx dx a) I 5 = ∫ 3 b) I 6 = ∫ sin x.cos5 x 3 sin 5 x.cos x dx dx c) I 7 = ∫ d) I8 = ∫ 2sin x − 5sin x cos x − 3cos 2 x ( cos x − ) 2 2 3 sin x Hư ng d n gi i: dx dx 1  1  dx 3 (1 + tan 2 x )3 a) I 5 = ∫ = ∫ = ∫   = ∫ d ( tan x ) = sin x.cos5 x ( ) cos x tan 3 x  cos 2 x  cos 2 x ( tan x )3 3 3 sin x 8 cos x 2 4 6 1 + 3tan x + 3tan x + tan x  3 3  d ( tan x ) = ( tan x ) + + 3tan x + tan x  d ( tan x ) = −3 = ∫ tan x 3  ∫tan x  2 4 2 4 1 3tan x tan x 1 3tan x tan x =− 2 + 3ln tan x + + + C  I5 = − → 2 + 3ln tan x + + + C. 2tan x 2 4 2tan x 2 4 dx 1 dx −5 3 −2 −3 b) I 6 = ∫ = ∫ ⋅ = ( tan x ) 3 d ( tan x ) = − ( tan x ) 3 + C = ∫ + C. ( ) 2 3 5 sin x.cos x sin x 5 cos x 2 3 2 2 tan x 3 cos x Bình lu n: Trong c hai nguyên hàm I5 và I6 trên chúng ta d dàng nh n th y c i m chung c a hai nguyên hàm là m u s có ch a sinx và cosx v i t ng lũy th a là m t s ch n. Phương pháp gi i trên là cách gi i t ng quát cho d ng nguyên hàm này. Tuy nhiên, n u t ng lũy th a quá l n thì bài toán s tr nên ph c t p hơn nhi u! dx c) I 7 = ∫ 2sin x − 5sin x cos x − 3cos 2 x 2 m u s ta th y có d ng bi u th c ng c p b c hai v i sinx và cosx. Trong chuyên v phương trình lư ng giác ta cũng bi t cách gi i cho lo i phương trình ng c p b c hai này, v i nguyên hàm cũng tương t . Chia c t và m u s dx cos 2 x d ( tan x ) dt cho cos x ta ư c: I 7 = ∫ 2 =∫ =∫ 2 ; (t = tan x ). 2 2sin x 5sin x cos x 3cos x 2 2 tan x − 5 tan x − 3 2 2t − 5t − 3 − − cos 2 x cos 2 x cos 2 x dt (2t + 1) − 2(t − 3) 1 dt 1 2dt 1 t −3 1 tan x − 3  I 7 = ∫ → =∫ dt = ∫ − ∫ = ln + C = ln + C. (t − 3)(2t + 1) 7.(t − 3)(2t + 1) 7 t − 3 7 2t + 1 7 2t + 1 7 2 tan x + 1 ( ) dx dx cos 2 x d ( tan x ) −1 d 1 − 3 tan x 1 d) I8 = ∫ = ∫ = = ∫ = ∫+ C. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 cos x − 3 sin x 1 − 3 tan x 1 − 3 tan x 3 1 − 3 tan x 3 1 − 3 tan x Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  11. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Bình lu n: M u s trong nguyên hàm trên có d ng là m t bi u th c lư ng giác khá c bi t, th nên ta cũng có th tìm ra m t 1 3   π cách gi i c bi t khác. Th t v y, cos x − 3 sin x = 2  cos x − 2 sin x  = 2cos  x +  .   2   3  π dx+  dx dx 1  3 1  π ó I8 = ∫ =∫ π 4∫ T = = tan  x +  + C. ( cos x − )   π 4 2 3 sin x 4 cos 2  x +  cos 2  x +   3  3  3 B ng phép bi n i lư ng giác cho cách gi i trên, ho c khai tri n công th c lư ng giác cho cách gi i dư i ta s thu ư c cùng m t k t qu . N u các em không t tin v i kh ng nh ó thì th y s ch ng minh i u này. 1  π 1 tan x + tan π 3 + C = 1 . tan x + 3 + C = − 1 3 1 − 3 tan x + 3 + 1 ( 3 +C = ) Th t v y, tan  x +  + C = . 4  3 4 1 − tan x.tan π 4 1 − 3 tan x 4 1 − 3 tan x ( ) 3 4 1 1 1  1 ′ ′  = ( C ) = 0. =− + 3 +C = +C − , rõ ràng  C − ( 4 3 4 1 − 3 tan x ) 3 1 − 3 tan x ( 4 3 )  4 3 Ví d 3. Tính các nguyên hàm sau: cos x dx dx a) I 9 = ∫ cot 4 x dx b) I10 = ∫ c) I11 = ∫ sin 5 x 1 + sin 2 x Hư ng d n gi i:  1  dx a) I 9 = ∫ cot 4 x dx = ∫ cot 2 x.cot 2 x dx = ∫  2 − 1 cot 2 x dx = ∫ cot 2 x 2 − ∫ cot 2 x dx =  sin x  sin x  1  − cot 3 x − cot 3 x = − ∫ cot 2 x d ( cot 2 x ) − ∫  2 − 1 dx = dx − ∫ 2 + ∫ dx = + cot x + x + C.  sin x  3 sin x 3 cos x dx 2) Xét I10 = ∫ sin 5 x Cách 1: cos x dx d (sin x) −1 I10 = ∫ 5 =∫ 5 = + C. sin x sin x 4sin 4 x Cách 2: . 4 = ∫ cot x. 2 . 2 = − ∫ cot x. (1 + cot 2 x ) .d (cot x) = − cos x dx cos x dx 1 dx cot 4 x cot 2 x I10 = ∫ =∫ − + C. sin 5 x sin x sin x sin x sin x 4 2 Bình lu n: B ng phép x lý lư ng giác ơn gi n ta cũng thu ư c cùng k t qu v i hai cách gi i trên. Tương t như nguyên hàm c a tanx, v i nguyên hàm cotx mà có ch a sin2nx thì ta cũng s d ng th thu t phân tích  1 1 1 ( ) n −1 1  sin 2 n x = sin 2 n − 2 x . sin 2 x = 1 + cot x . sin 2 x 2   ưa v nguyên hàm cơ b n có ch a cotx và cot2x ã bi t.  dx = − d ( cot x )  sin 2 x   π dx+   π = ∫  dx dx dx 1 4 1 c) I11 = ∫ =∫ =∫ = − cot  x +  1 + sin 2 x ( sin x + cos x )  π 2  π 2 2sin 2  x +  sin 2  x +  2  4  4  4 d ( A sin x + B cos x + C ) = ( Acos x − B sin x ) dx  D ng 4. Nguyên hàm dùng bi n i vi phân  d ( A' sin x − B' cos x + C' ) = ( A' cos x + B' sin x ) dx  Cách gi i: Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  12. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 1 ± sin 2 x = ( sin x ± cos x ) 2  Các nguyên hàm d ng này thư ng s d ng m t s công th c lư ng giác  cos 2 x = cos x − sin x 2 2  tìm nguyên hàm, ta thư ng tìm vi phân c a m u s : d ( A sin x + B cos x + C ) = ( A cos x − B sin x ) dx Ví d . Tính các nguyên hàm sau: cos x − sinx cos 2 x dx a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ sinx + cos x 1 + sin 2 x c) I 3 = ∫ cos 2 x dx d) I 4 = ∫ ( sin 2 x + 2cos 4 x ) dx ( sin x + cos x ) cos 2 x − sin 4 x 3 Hư ng d n gi i: d ( sin x + cos x ) a) Ta có d ( sin x + cos x ) = ( cos x − sin x ) dx  I1 = ∫ → = ln sin x + cos x + C. sin x + cos x cos 2 x dx cos 2 x − sin 2 x cos x − sin x d ( sin x + cos x ) b) I 2 = ∫ =∫ dx = ∫ dx = ∫ = ln sin x + cos x + C. 1 + sin 2 x ( sin x + cos x ) sin x + cos x sin x + cos x 2 Bình lu n: 1 1 Do cos2xdx = d ( sin 2x ) = d ( 1 + sin 2x ) nên ta còn có th gi i theo cách l y vi phân tr c ti p như sau: 2 2 cos2x dx 1 d ( 1 + sin 2x ) 1 1 I2 = ∫ = ∫ = ln 1 + sin 2x + C = ln ( sin x + cos x ) + C = ln sin x + cos x + C. 2 1 + sin 2x 2 1 + sin 2x 2 2 cos 2 x dx cos 2 x − sin 2 x cos x − sin x d ( sin x + cos x ) −1 c) I 3 = ∫ =∫ dx = ∫ dx = ∫ = + C. ( sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) sin x + cos x 3 3 2 2 d) Xét I 4 = ∫ ( sin 2 x + 2cos 4 x ) dx cos 2 x − sin 4 x d ( cos 2 x − sin 4 x ) Vi phân m u s ta có d ( cos 2 x − sin 4 x ) = ( −2sin 2 x − 4cos 4 x ) dx  ( sin 2 x + 2cos 4 x ) dx = − → 2 ó ta ư c I 4 = ∫ ( sin 2 x + 2cos 4 x ) dx = − 1 d ( cos 2 x − sin 4 x ) 1 2∫ T = − ln cos 2 x − sin 4 x + C. cos 2 x − sin 4 x cos 2 x − sin 4 x 2 BÀI T P LUY N T P: sin 2 x dx dx 1) I1 = ∫ dx 2) I 2 = ∫ 3) I 3 = ∫ 1 + cos 2 x sin 3 x cos3 x (sin x − 2cos x) 2 dx dx dx 4) I 4 = ∫ sin 2 x − 6cos 2 x 5) I 5 = ∫ sinx − 9cos 2 x 2 6) I 6 = ∫sin x − 2cos 2 x + 1 2 2cos x − 3sin x 7) I 7 = ∫ ( cot 3 x + cot x ) dx dx 8) I 8 = ∫ dx 9) I 9 = ∫ 2 2sin x − 3cos x + 1 sin x − 4 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  13. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 07. NGUYÊN HÀM LƯ NG GIÁC – P5 Th y ng Vi t Hùng   → d( A sin x ± B cos x ± C ) ← ( A B ) sin 2 x dx 2 2  D ng 5. Nguyên hàm dùng bi n i vi phân  ( ) → d sin x + cos x ← − sin 4 x dx  4 4  Cách gi i: 1 1 − cos 4 x 3 1 Ta có sin 4 x + cos 4 x = ( sin 2 x + cos 2 x ) − 2sin 2 x.cos 2 x = 1 − sin 2 2 x = 1 − . 2 1 = + cos 4 x. 2 2 2 4 4   T ó d ( sin 4 x + cos 4 x ) = d  + cos4 x  = − sin 4 x dx. 3 1  4 4  D ng nguyên hàm này thư ng ư c “ng y trang” vào các hàm s có v ph c t p, nên các b n hãy c g ng nh ư c vi phân c a nó. V i các nguyên hàm lư ng giác mà m u s có v “dài dòng” thì m t kinh nghi m là các em hãy l y vi phân c a m u s xem t s có quan h gì v i vi phân ó hay không ? 3 Chú ý: Ngoài hai công th c trên, d ng nguyên hàm này cũng có th ch a sin6 x + cos 6 x = 1 − sin 2 2x. 4 Ví d 1. Tính các nguyên hàm sau: sin 2 x sin 2 x dx a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ cos x + 4sin x 2 2 2sin 2 x − 4cos 2 x + 5cos 2 x Hư ng d n gi i: a) Ta có d ( cos x + 4sin x ) = ( −2sin x.cos x + 8sin x.cos x ) dx = 6sin x.cos x dx = 3sin 2 x dx 2 2  sin 2 x dx = d ( cos 2 x + 4sin 2 x ) . 1 → 3 1 d ( cos x + 4sin x ) 2 d ( cos x + 4sin x ) 2 2 2 2 2 sin 2 x T ó I1 = ∫ dx = ∫ = ∫ = cos 2 x + 4sin 2 x + C. cos x + 4sin x 2 2 3 cos x + 4sin x 2 2 3 2 cos x + 4sin x 3 2 2 Bình lu n: Ngoài cách gi i như trên, chúng ta có th m nh d n v n d ng ki n th c lư ng giác bi n i m u s g n gàng hơn 1 + cos2x 1 − cos2x 3 5 như sau cos 2 x + 4 sin 2 x = + 4. = − cos2x + 2 2 2 2  3 5  3 5 d  − cos2x +  d  − cos2x +  = ∫  2 2 = ∫  sin 2x dx 1 2 2 2 2 3 5 Khi ó I 1 = ∫ = − cos2x + + C. 3 5 3 3 5 3 3 5 3 2 2 − cos2x + − cos2x + 2 − cos2x + 2 2 2 2 2 2 Rõ ràng hai k t qu thu ư c hoàn toàn gi ng nhau! 5 5 7 b) Ta có 2sin 2 x − 4cos 2 x + 5cos 2 x = (1 − cos 2 x ) − 4cos 2 x + (1 + cos 2 x ) = − cos 2 x + 2 2 2 sin 2 x dx sin 2 x dx 2 d ( 5cos 2 x − 7 ) 2 Khi ó I 2 = ∫ = −2 ∫ 5cos 2 x − 7 5 ∫ 5cos 2 x − 7 = = ln 5cos 2 x − 7 + C. 5 7 5 − cos 2 x + 2 2 Ví d 2. Tính các nguyên hàm sau: 2sin 4 x dx sin 4 x dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ ( sin x + cos 4 x ) 2010 sin x + cos x 4 4 4 sin 2 x + 2cos 2 x sin x cos x c) I 3 = ∫ sin 4 x + cos 4 x dx d) I 4 = ∫ sin6 x + cos6 x dx Hư ng d n gi i: Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  14. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Bình lu n: Ngoài cách gi i truy n th ng cho lo i nguyên hàm này b ng cách l y vi phân tr c ti p cho bi u th c m u s , ây th y gi i thi u cách làm thiên v bi n i lư ng giác k t h p v i vi phân. 1 1 1 − cos 4 x 3 1 2sin 4 x dx 4sin 4 x dx a) Ta có sin 4 x + cos 4 x = 1 − sin 2 2 x = 1 − . = + cos 4 x  I1 = ∫→ =∫ = 2 2 2 4 4 3 1 3 + cos 4 x + cos 4 x 4 4 d (cos 4 x) d (3 + cos 4 x) = −∫ = −2 ∫ = −2 3 + cos 4 x + C  I1 = −2 3 + cos 4 x + C. → 3 + cos 4 x 2 3 + cos 4 x 3 1 sin 4 x dx 1 d ( cos 4 x ) b) Tương t , thay sin 4 x + cos 4 x = + cos 4 x  I 2 = ∫ → 2010 =− ∫ 2010 = 4 4 3 1  4 3 1   + cos 4 x   + cos 4 x  4 4  4 4  1 3 d  cos 4 x +  = −∫  4 4 1 1 = +C = + C. 2009 ( sin x + cos 4 x ) 2010 2009 2009 3 1  3 1  4  + cos 4 x  2009  + cos 4 x  4 4  4 4  sin 2 x + 2cos 2 x sin 2 x + 2cos 2 x 2sin 2 x + 4cos 2 x 2sin 2 x 4cos 2 x c) I 3 = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx sin 4 x + cos 4 x 1 2 1 − sin 2 x 2 − sin 2 2 x 2 − sin 2 2 x 2 − sin 2 2 x 2 2sin 2 x 2sin 2 x 2sin 2 x d (cos 2 x) ∫ 2 − sin 2 2 x dx = ∫ 2 − (1 − cos 2 2 x ) dx = ∫ 1 + cos2 2 x dx = − ∫ 1 + cos 2 2 x = arctan ( cos 2 x ) + C1. 4cos 2 x d (sin 2 x) dt −2 t+ 2 − t− 2 −1  1 ( ) ( 1  ) ∫ 2 − sin dx = 2∫ = 2∫ = ∫ t − 2 t + 2 dt = 2 ∫  t − 2 − t + 2  dt = 2 2x 2 − sin 2 x 2 2−t 2 2 2  ( )(  ) −1 t − 2 −1 sin 2 x − 2 = ln + C2 = ln + C2 . 2 t+ 2 2 sin 2 x + 2 −1 sin 2 x − 2 1 sin 2 x − 2 T ó ta ư c I 3 = arctan ( cos2 x ) + C1 + ln + C2 = arctan ( cos2 x ) − ln + C. 2 sin 2 x + 2 2 sin 2 x + 2  1 1 sin x cos x = 2 sin 2 x  sin 2 x 2sin 2 x −d (cos 2 x) d) Ta có  sin 6 x + cos6 x = 1 − 3 sin 2 2 x  I 4 = → 2 3 dx = ∫ 4 − 3sin 2 x 2 dx = ∫ 4 − 3 + 3cos 2 2 x . ∫ 1 − sin 2 2 x   4 4 t −dt ( 3t ) = − 1 arctan 3t + C = − d t = cos 2 x → I 4 = ∫ 1 + 3t =− ∫ dt =− 1 3∫ ( ) 1 arctan ( ) 3 cos 2 x + C ( 3t ) ( 3t ) + 1 3 2 2 2 +1 3 Ví d 3. Tính các nguyên hàm sau: sin 2 x dx cos x sin xdx a) I1 = ∫ 3sin 2 x + cos 2 x b) I 2 = ∫ a sin 2 x + b 2 cos 2 x 2 sin 4 x dx sin 4 x dx c) I 3 = ∫ d) I 4 = ∫ sin 4 x + cos 4 x cos ( sin 4 x + cos 4 x ) 2 sin 4 x dx e) I 5 = ∫ tan ( sin 4 x + cos 4 x ) D ng 6. Nguyên hàm lư ng giác m u s có d ng sina .sinb; cos a .cos b; sina .cos b Cách gi i: N u m u s có ch a sina.sinb thì ta phân tích t s theo sin(a – b) N u m u s có ch a cosa.cosb thì ta phân tích t s theo sin(a – b) N u m u s có ch a sina.cosb thì ta phân tích t s theo cos(a – b) Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  15. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Ví d . Tính các nguyên hàm sau: dx dx a) I1 = ∫  π b) I 2 = ∫  π  π sin x.cos  x +  cos  x +  .cos  x +   4  6  3 dx dx c) I 3 = ∫  π d) I 4 = ∫  π cos x.sin  x +  sin x.sin  x +   6  6 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  16. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài li u bài gi ng: 07. NGUYÊN HÀM LƯ NG GIÁC – P6 Th y ng Vi t Hùng  x   → dx ← 1  1 + tan 2 x  dx   → D ng 7. Nguyên hàm dùng bi n i vi phân d  tan  ←    2 2 x 2 2 2 cos 2 Cách gi i: dx Xét nguyên hàm I1 = ∫ A sin x + B cos x + C tính nguyên hàm trên ta xét hai trư ng h p: N u C = ± A2 + B 2  A sin x + B cos x + C = A sin x + B cos x ± A2 + B 2 = A2 + B 2 cos ( x + φ ) ± A2 + B 2 → A2 + B 2 cos ( x + α ) ây, ta ã bi t phép bi n i lư ng giác A sin x + B cos x = A2 + B 2 cos ( x + β ) 1 dx A +B2 2 ∫  x+α 2cos 2   dx 1 dx  2  Khi ó I1 = ∫ A2 + B 2 cos ( x + α ) ± A2 + B 2 = A2 + B 2 ∫ cos ( x + α ) ± 1 = −1 dx A + B2 2 ∫  x+α 2sin 2    2  1 dx 1 x 2dt dt = = 1 + tan 2  dx  dx = → 2 cos 2 x 2 2 1+ t2 2 x 2t N u C ≠ ± A2 + B 2 thì ta t t = tan  → sin x = 2 1+ t2 1− t2 cos x = 1+ t2 Thay vào ta tính ư c I1 là nguyên hàm theo n t.  π  π sin x + cos x = 2 sin  x +  = 2 cos  x −   4  4  π  π Chú ý: M t s công th c tính nhanh: 3 sin x + cos x = 2 sin  x +  = 2 cos  x −   6  3  π  π sin x − 3 cos x = 2 sin  x −  = −2 cos  x +   3  6 Ví d 1. Tính các nguyên hàm sau: dx dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ sin x + cos x + 2 3 sin x − cos x − 2 dx dx c) I 3 = ∫ 3sin x + cos x + 1 d) I 4 = ∫ sin x − cos x − 1 Hư ng d n gi i: dx a) I1 = ∫ sin x + cos x + 2  1 1   π Ta có 12 + 12 = 2  sin x + cos x = 2  → sin x + cos x  = 2 cos  x −  .  2 2   4 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  17. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95  x π d −  dx 1 dx 1 dx 1 2 8 1  x π I1 = ∫ = ∫ = ∫ 2  x π  = 2 ∫ 2  x π  = 2 tan  2 − 8  + C.   π 2 1 + cos x − π 2 2cos  2 cos  x −  + 2    −  2 cos  −   4  4 2 8 2 8 1  x π V y I1 = tan  −  + C. 2 2 8 Bình lu n: Trong nguyên hàm trên, bi u th c sinx + cosx ta th ng nh t chuy n v hàm cos s d ng công th c lư ng giác a dx dx 1 + cos a = 2 cos 2  2 ∫→ 1 + cos a∫ = a 2 cos 2 2  3 1   π b) Ta có 3 sin x − cos x = 2   2 sin x − cos x  = −2cos  x +  .   2   3  x π d +   x π =− ∫  dx dx 1 dx 1 2 6 1 I2 = ∫ =∫ =− ∫ = − tan  +  + C. 3 sin x − cos x − 2  π −2cos  x +  − 2 2  1 + cos  x +  π 2  x π cos 2  +  2 2 6  3  3 2 6 x 1 dx 1 x 2dt c) t t = tan ⇒ dt = = 1 + tan 2  dx  dx = → 2 2 cos 2 x 2 2 1+ t2 2 2t 1− t2 Ta có sin x = ; cos x = 1+ t2 1+ t2 2dt 1+ t2 2dt 2dt 1 d (6t + 2) 1 1 x Khi ó I 3 = ∫ =∫ =∫ = ∫ = ln 6t + 2 + C = ln 6 tan + 2 + C. 6t 1− t2 6t + 1 − t + 1 + t 2 2 6t + 2 3 6t + 2 3 3 2 + +1 1+ t2 1+ t2 x 1 dx 1 x 2dt d) t t = tan ⇒ dt = = 1 + tan 2  dx  dx = → 2 2 cos 2 x 2 2 1+ t2 2 2t 1− t2 Ta có sin x = ; cos x = 1+ t2 1+ t2 2dt dx 1+ t2 2dt dt x Khi ó I 4 = ∫ sin x − cos x − 1 ∫ = 2t 1− t 2∫ = ∫ 2t − 1 + t − 1 − t 2 2 = t = ln t + C = ln tan + C. 2 − −1 1+ t 2 1+ t 2 Ví d 2. Tính các nguyên hàm sau: dx dx a) I1 = ∫ b) I 2 = ∫ 3sin x − cos x + 3 2sin x − cos x − 2 dx dx c) I 3 = ∫ d) I 4 = ∫ sin x − 3 cos x + 2 1 + sin x A sin x + B cos x + C Xét nguyên hàm I 2 = ∫ A′ sin x + B′ cos x + C ′ dx V i d ng nguyên hàm này ta s s d ng phương pháp ng nh t như v i nguyên hàm c a hàm phân th c h u t ã xét A sin x + B cos x + C m ( A′ cos x − B′ sin x ) + n ( A′ sin x + B′ cos x + C ′ ) + p b ng vi c phân tích: = A′ sin x + B′ cos x + C ′ A′ sin x + B′ cos x + C ′  A = −mB′ + nA′ m   ng nh t theo các h s c a sinx và cosx ta ư c  B = mA′ + nB′   n → C = nC ′ + p p   A sin x + B cos x + C m ( A′ cos x − B′ sin x ) dx dx T ó ta ư c I 2 = ∫ A′ sin x + B′ cos x + C ′ dx = ∫ A′ sin x + B′ cos x + C ′ ∫ + n dx + p ∫A′ sin x + B ′ cos x + C ′ = Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  18. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 dx = m ln A′ sin x + B′ cos x + C ′ + nx + p ∫ A′ sin x + B′ cos x + C ′ Ví d 3. Tính các nguyên hàm sau: sin x + 3cos x − 1 7sin x − 5cos x a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx sin x + cos x + 2 ( 3sin x + 4cos x ) 2 Hư ng d n gi i: 1 = − A + B A =1 sin x + 3cos x − 1 A(cos x − sin x) + B (sin x + cos x + 2) + C   a) Ta có phân tích =  3 = A + B ⇔  B = 2 → sin x + cos x + 2 sin x + cos x + 2  −1 = 2 B + C C = −5   (cos x − sin x) + 2(sin x + cos x + 2) − 5 (cos x − sin x)dx dx T ó I1 = ∫ dx = ∫ + 2 ∫ dx − 5∫ = sin x + cos x + 2 sin x + cos x + 2 sin x + cos x + 2 d (sin x + cos x + 2) =∫ + 2 x − 5 J = ln sin x + cos x + 2 + 2 x − 5 J . sin x + cos x + 2 1 dx 1 x 2dt dt = = 1 + tan 2  dx  dx = → 2 cos 2 x 2  2 1+ t2 2 dx x 2t Xét J = ∫ . t t = tan  → sin x = sin x + cos x + 2 2 1+ t2 1− t2 cos x = 1+ t2 2dt dx 1+ t2 2dt 2dt 2d ( t + 1) Khi ó J = ∫ =∫ =∫ =∫ 2 =∫ = sin x + cos x + 2 1− t 2t + 1 − t + 2 + 2t t + 2t + 3 ( ) ( t + 1) + 2 2 2 2 2 2t 2 + +2 1+ t2 1+ t2  x   x  2  t +1  tan 2 + 1   tan 2 + 1  = arctan   + C = 2 arctan   + C1  I1 = ln sin x + cos x + 2 + 2 x − 5 2 arctan  →  + C. 2  2   2   2       43 7 sin x − 5cos x A ( 3cos x − 4sin x ) + B ( 3sin x + 4cos x ) 7 = −4 A + 3B  A = − 25  b) Ta có phân tích =   → ⇔ ( 3sin x + 4cos x ) ( 3sin x + 4cos x )  −5 = 3 A + 4 B 2 2 B = 1   25 43 1 − ( 3cos x − 4sin x ) + ( 3sin x + 4cos x ) 7sin x − 5cos x 25 25 T ó ta có I 2 = ∫ dx = ∫ dx = ( 3sin x + 4cos x ) ( 3sin x + 4cos x ) 2 2 43 ( 3cos x − 4sin x ) dx 1 dx 43 d ( 3sin x + 4cos x ) 1 dx =− 25 ∫ ( 3sin x + 4cos x )2 dx + 25 ∫ 3sin x + 4cos x = − 25 ∫ ( 3sin x + 4cos x )2 + 25 ∫ 3sin x + 4cos x = 43 1 = + J. 25 ( 3sin x + 4 cos x ) 25 1 dx 1 x 2dt dt = = 1 + tan 2  dx  dx = → 2 cos 2 x 2 2 1+ t2 2 dx x 2t Xét J = ∫ . t t = tan  → sin x = 3sin x + 4 cos x 2 1+ t2 1− t2 cos x = 1+ t2 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
  19. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 2dt dx 1+ t2 dt dt 1 (2t − 1) − 2(t + 2) J= ∫ 3sin x + 4cos x = 6t∫ 4(1 − t ) 2 ∫ = 2t + 3t − 2 2 ∫ = (2t − 1)(t + 2) =− 5 ∫ (2t − 1)(t + 2) dt = − 1+ t2 1+ t2 x 2 tan − 1 1 2 dt 1 1 1 2t − 1 1 = − ln t + 2 + 5 ∫ 5 2t − 1 = − ln t + 2 + ln 2t − 1 + C1 = ln 5 5 5 t+2 + C = ln 5 x 2 + C1. tan + 2 2 x 2 tan − 1 43 1 2 V y I2 = + ln + C. 25 ( 3sin x + 4cos x ) 125 x tan + 2 2 Ví d 4. Tính các nguyên hàm sau: 8cos x − sin x + 3 5cos x − sin x + 2 a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx 3sin x + 2cos x + 3 sin x + cos x + 1 4sin x − 3cos x + 3 5sin x − 2 c) I 3 = ∫ dx b) I 4 = ∫ dx (2sin x + cos x + 2) 2 2sin x − cos x − 1 Ví d 5. Tính các nguyên hàm sau: sin x − 3cos x + 2 4cos x − 3sin x + 2 a) I1 = ∫ dx b) I 2 = ∫ dx 2sin x − cos x − 2 (sin x + 2cos x + 2)2 sin 2 x cos 2 x c) I 3 = ∫ dx d) I 4 = ∫ dx sin x + cos x sin x − 3 cos x sin x − cos x + 1 sin x + 3cos x − 1 e) I 5 = ∫ dx f) I 6 = ∫ dx sin x + 2cos x + 3 sin x + cos x + 2 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t 9 i m Toán tr lên! www.moon.vn
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2