Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 9 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG
Các hằng đẳng thức lượng giác:
2 2
2
2
2
2
sin cos 1
1
1 tan
cos
1
1 cot
sin
tan .cot 1
x x
x
x
x
x
x x
+ =
= +
= +
=
Công thức góc nhân đôi:
2 2 2 2
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
sin 2 2sin .cos
x x x x x
x x x
= − = − = −
=
Công thức hạ bậc hai:
2
2
cos 2
1 cos 2
sin 2
x
x
x
x
+
=
−
=
Công thức cộng:
(
)
( )
sin sin .cos sin .cos
cos cos .cos sin .sin
a b a b b a
a b a b a b
± = ±
± = ∓
(Sin thì cùng d
ấ
u khác loài, Cos thì khác d
ấ
u nh
ư
ng loài gi
ố
ng nhau)
Chú ý:
- Trong tr
ườ
ng h
ợ
p a = b ta
đượ
c
công thức góc nhân đôi
:
2 2 2 2
sin 2 2sin .cos
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
a a a
a a a a a
=
= − = − = −
- Trong tr
ườ
ng h
ợ
p 2a = b ta
đượ
c
công thức góc nhân ba
:
3
3
sin 3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
a a a
a a a
= −
= −
Công thức biến đổi tích thành tổng:
[ ]
[ ]
[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= + + −
= − − +
= + + −
Chú ý:
(
)
( )
sin sin
cos cos
x x
x x
− = −
− =
Tài liệu bài giảng:
07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 9 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Công thức biến đổi tổng thành tích:
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2cos .cos
2 2
cos cos 2cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
+ −
+ =
+ −
− =
+ −
+ =
+ −
− = −
Công thức biến tính theo
2
2
2
2
2
sin
sin 2
1
tan tan
2 cos 1
1
cos 1
=
+
=⇒ ⇒ = =
−
−
=
+
t
x
x x t
t
t x x
t
t
xt
Một số các công thức cần nhớ nhanh
3 3
sin cos (sin cos )(1 sin .cos )
+ = + −
x x x x x x
; 3 3
sin cos (sin cos )(1 sin .cos )
− = − +
x x x x x x
4 4 2 2 2
1 3 1
sin cos 1 2sin .cos 1 sin 2 cos 4
2 4 4
+ = − = − = +
x x x x x x
6 6 2 2 2
3 5 3
sin cos 1 3sin .cos 1 sin 2 cos 4
4 8 8
+ = − = − = +
x x x x x x
π π
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
+ = + = −
x x x x
;
π π
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
− = − = − +
x x x x
cos( )
1 tan .tan
cos .cos
−
+ =
a b
a b
a b
;
2
tan cot
sin 2
+ =x x
x
II. CÁC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG
1
sin cos
I x dx x C
= = − +
∫
( ) ( )
82
1tan
cos
dx
I ax C
ax a
= = +
∫
( ) ( )
2
1
sin cos
I ax dx ax C
a
= = − +
∫
92
cot
sin
dx
I x C
x
= = − +
∫
3
cos sin
I x dx x C
= = +
∫
( ) ( )
10 2
1cot
sin
dx
I ax C
ax a
= = − +
∫
( ) ( )
4
1
cos sin
I ax dx ax C
a
= = +
∫
11
sin
tan ln cos
cos
x dx
I x dx x C
x
= = = − +
∫ ∫
2
5
1 os2 sin 2
sin
2 2 4
c x x x
I x dx dx C
−
= = = − +
∫ ∫
12
cos
cot ln sin
sin
x dx
I x dx x C
x
= = = +
∫ ∫
2
6
1 cos 2 sin 2
cos
2 2 4
x x x
I x dx dx C
+
= = = + +
∫ ∫
2
13 2
1
tan 1 tan
cos
I x dx dx x x C
x
= = − = − +
∫ ∫
72
tan
cos
dx
I x C
x
= = +
∫
2
14 2
1
cot 1 cot
sin
I x dx dx x x C
x
= = − = − − +
∫ ∫
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 9 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
III. CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Dạng 1. Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy
Ví dụ 1. Tính các nguyên hàm sau:
a)
2
1
sin 2
I x dx
=
∫
b)
2
2
cos 4
I x dx
=
∫
c)
2 4
3
cos .sin=
∫
I x x dx
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
( )
2
1
1 cos 4 1 1 1 1
sin 2 1 cos 4 sin 4 sin 4 .
2 2 2 4 2 8
x x
I x dx dx x dx x x C x C
−
= = = − = − + = − +
∫ ∫ ∫
b)
( )
2
2
1 cos8 1 1 1 1
cos 4 1 cos8 sin 8 sin8 .
2 2 2 8 2 16
x x
I x dx dx x dx x x C x C
+
= = = + = + + = + +
∫ ∫ ∫
c)
S
ử
d
ụ
ng liên ti
ế
p các công th
ứ
c h
ạ
b
ậ
c hai cho sin2x và cos2x ta
đượ
c:
( )
22
2
2 4 2 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2
cos .sin cos . sin . . .
2 2 2 2 2 4 2
x x x x x x x
x x x x + − + − − − −
= = = = =
( )
2 2 2
1 1 1
sin 2 . 1 cos 2 sin 2 sin 2 .cos 2
8 8 8
x x x x x
= − = −
Khi đó
( )
2 4 2 2 2
3
1 1 1 1 cos 4 1
cos .sin sin 2 sin 2 .cos 2 sin 2 sin 2
8 8 8 2 16
−
= = − = − =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
x
I x x dx x dx x x dx dx x d x
3
3
6
1 1 1 sin 2 1 1 1
sin 4 . sin 4 sin 2 .
16 64 16 3 16 64 48
x
x x C I x x x C
= − − + → = − − +
Ví dụ 2.
Tính các nguyên hàm sau:
a)
7
sin 3 .cos
I x x dx
=
∫
b)
8
cos 2 .cos3
I x x dx
=
∫
c)
9
sin 3 sin
dx
I
x x
=+
∫
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c bi
ế
n
đổ
i tích thành t
ổ
ng ta
đượ
c
( )
1
sin 3 .cos sin 4 sin 2
2
x x x x
= +
T
ừ
đ
ó
( ) ( )
7
1 1 1 1 1 1 1
sin 4 sin 2 sin 4 sin 2 os4 cos 2 os4 cos 2 .
2 2 2 4 2 8 4
I x x dx x x dx c x x C c x x C
= + = + = − − + = − − +
∫ ∫
b)
( )
8
1 1 1 1 1
cos 2 .cos3 cos5 cos sin 5 sin sin 5 sin .
2 2 5 10 2
I x x dx x x dx x x C x x C
= = + = + + = + +
∫ ∫
c)
( )
92 2 2 2 2
1 sin 1 (cos )
sin 3 sin 2sin 2 .cos 4sin .cos 4 sin .cos 4
1 cos .cos
dx dx dx x dx d x
Ix x x x x x x x
x x
= = = = = −
+−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Đặ
t
( )
(
)
( )
2 2
92 2
2 2 2 2
1
1 1 1
cos 4 4 4 1
1 . 1 .
t t
dt dt dt
x t I dt
t t
t t t t
− +
= → = − = − = − +
−
− −
∫ ∫ ∫ ∫
Mà
( ) ( )
( )( )
1
2
9
2
2
1
1 1 1 1
ln .
1 1
1 1 1 1 4 2 1
ln
1 2 1 1 2 1 1 2 1
dt C
t t t
I C
t t
dt dt dt t t t
dt C
t t t t t t
= − +
+
→ = − − + +
− + + +
−
= = + = +
− − + + − −
∫
∫ ∫ ∫ ∫
Thay t = cosx vào ta
đượ
c
9
1 1 1 1 cos
ln .
4 cos 2 1 cos
x
I C
x x
+
= − − + +
−
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 9 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Ví dụ 3. Tính các nguyên hàm sau:
a)
1
sin .sin 2 .cos5=
∫
I x x x dx
b)
2
sin 3 .cos 4
tan 2 cot 2
=+
∫
x x
I dx
x x
c)
3
3
sin
3sin 4 sin 6 3sin 2
=− −
∫
x
I dx
x x x
Ví dụ 4.
Tính các nguyên hàm sau:
a)
3
1
cos .cos3=
∫
I x x dx
b)
2
2
cos .cos 2=
∫
I x x dx
c)
4 4 6 6
3
(sin cos )(sin cos )
= + +
∫
I x x x x dx
Ví dụ 5.
Tính các nguyên hàm sau:
a)
1
sin cos 2=
∫
I x x dx
b)
2
sin 3 cos=
∫
I x x dx
c)
2 2
3
(2sin sin .cos cos )
= − −
∫
I x x x x dx
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 9 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
III. CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Dạng 1. Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy
Dạng 2. Nguyên hàm lượng giác của các hàm chỉ có sin, cosin
Ví dụ 1. Tính các nguyên hàm sau:
a)
3
4
sin
I x dx
=
∫
b)
5
5
cos
I x dx
=
∫
c)
4
3
cos
I x dx
=
∫
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
( )
( )
3
3 2 2
4
cos
sin sin .sin 1 cos cos cos .
3
x
I x dx x x dx x d x x C
= = = − − = − + +
∫ ∫ ∫
b)
(
)
( )
(
)
( )
2
5 4 2 2
5
cos cos .cos 1 sin sin 1 2sin sin sin
I x dx x x dx x d x x x d x
= = = − = − + =
∫ ∫ ∫ ∫
3 3
2 2
5
sin sin
sin sin sin sin .
3 3
x x
x x C I x x C
= − + + → = − + +
c)
S
ử
d
ụ
ng liên ti
ế
p công th
ứ
c h
ạ
b
ậ
c hai ta
đượ
c:
( ) ( )
2
2
4 2 2
1 cos 2 1 1 1 cos 4 3 1 1
cos cos 1 2cos 2 cos 2 1 2cos 2 cos 2 cos 4
2 4 4 2 8 2 8
x x
x x x x x x x
+ +
= = = + + = + + = + +
Khi
đ
ó
4
3
3 1 1 3 1 1
cos cos 2 cos 4 sin 2 sin 4 .
8 2 8 8 4 32
x
I x dx x x dx x x C
= = + + = + + +
∫ ∫
Ví dụ 2.
Tính các nguyên hàm sau:
a)
12
cos
sin 3sin 2
x dx
I
x x
=
+ +
∫
b)
2
2
sin
cos
x
I dx
x
=
∫
c)
3
sin 3 sin
=+
∫
dx
I
x x
d)
43
cos
dx
I
x
=
∫
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
Ta có
12 2
cos (sin )
sin 3sin 2 sin 3sin 2
x dx d x
I
x x x x
= =
+ + + +
∫ ∫
Đặ
t
(
)
(
)
( )( )
12
2 1 1 sin 1
sin ln ln .
3 2 1 2 1 2 2 sin 2
t t
dt dt dt t x
t x I dt C C
t t t t t t t x
+ − + + +
= → = = = − = + = +
+ + + + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫
b)
2 2 2 2
22 2 2
sin sin .cos sin (sin ) sin (sin )
cos cos 1 sin sin 1
x x x dx x d x x d x
I dx
x x x x
= = = − =
− −
∫ ∫ ∫ ∫
Đặ
t
(
)
(
)
( )( )
2 2
22 2 2 2
1 1
1 1 1 1
sin 1
1 1 1 1 2 1 1
t t
t dt t dt
t x I dt dt t t dt
t t t t t t
+ − −
− +
= → = = = + = + = + =
− − − − + −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
1 1 1 sin 1 1 sin 1
ln sin ln sin ln .
2 1 2 sin 1 2 sin 1
t x x
t C x C I x C
t x x
− − −
= + + = + + → = + +
+ + +
c)
( )
32 2 2 2 2
1 sin 1 (cos )
sin 3 sin 2sin 2 .cos 4sin .cos 4 sin .cos 4
1 cos .cos
= = = = = −
+−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
dx dx dx x dx d x
Ix x x x x x x x
x x
Đặ
t
( )
(
)
( )
2 2
3
2 2
2 2 2 2
1
1 1 1
cos 4 4 4 1
1 . 1 .
− +
= → = − = − = − +
−
− −
∫ ∫ ∫ ∫
t t
dt dt dt
x t I dt
t t
t t t t
Mà
( ) ( )
( )( )
1
2
3
2
2
1
1 1 1 1
ln .
1 1
1 1 1 1 4 2 1
ln
1 2 1 1 2 1 1 2 1
= − +
+
→ = − − + +
− + + +
−
= = + = +
− − + + − −
∫
∫ ∫ ∫ ∫
dt C
t t t
I C
t t
dt dt dt t t t
dt C
t t t t t t
Tài liệu bài giảng:
07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P2
Thầy Đặng Việt Hùng